1 2 3 4 5
Idee per
il tuo futuro
Massimo Bergamini
Anna Trifone Graziella Barozzi
Riesci a ottenere
4 triangoli
spostando solo
3 fiammiferi?
Manuale blu 2.0
di matematica
4
Funzioni e limiti
U
Limiti notevoli
sen x
t MJN ᎏᎏ ⫽ xA0
x
1 ⫺ cos x
t MJN ᎏᎏ ⫽ xA0
x
冢
冣
1 x
t MJN 1 ⫹ ᎏᎏ ⫽ e, dove e ÒVOOVNFSPJSSB[JPOBMF e ⯝ 2,7182…
xA⫾⬁
x
MO ⫹ x)
1 ⫺ cos x
1
ex ⫺ 1
t MJN ᎏᎏ ⫽ t MJN ᎏᎏ
⫽
ᎏ
ᎏ
t
MJN
ᎏ
ᎏ⫽1
x A0
xA0
xA0
x
x2
2
x
Gli asintoti
La retta di equazione
è un asintoto
y⫽q
PSJ[[POUBMF
x⫽c
WFSUJDBMF
y ⫽ mx ⫹ q
PCMJRVP
y
y
per il grafico di y ⴝ f(x) se
MJN f x) ⫽ q
x A'
MJN f x) ⫽ ⬁
x Ac
MJN [f x) ⫺ mx ⫹ q)] ⫽ 0
x A'
asintoto
verticale
y
asintoto
obliquo
y=mx+q
q
asintoto orizzontale
O
x
q
x
c
O
f(x) q = lim [f(x) – mx]
m = lim ––––,
xA ⬁
xA ⬁ x
lim f(x) = ⬁
lim f(x) = q
xAc (
xA+⬁
a
x
O
b
c
I teoremi sulle funzioni continue
y
y
f(b)
f(d) M
y f(x)
O
a c
v
b
x
f(c) m
O a
f(a)
f continua in [a; b]
f(a) 0, f(b) 0
‰šc D]a; b[ f(c) 0
a. Il teorema di esistenza degli zeri.
y f(x)
c x d b
f continua in [a; b] ‰
™ v : m )v )M
šx D[a; b] f(x) v
b. Il teorema dei valori intermedi e il teorema di
Weierstrass (esistenza massimo e minimo).
x
Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
Matematica.blu 2.0
Funzioni
e limiti
U
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– Redazione: Valentina Franceschi, Isabella Malacari, Elena Meucci
– Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma
– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini
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– Ricerca iconografica e realizzazione delle aperture di capitolo
e di Realtà e modelli: Byblos, Faenza
– Disegni: Graffito, Cusano Milanino
– Correzione di bozze: T2, Bologna
Contributi:
– Stesura delle aperture: Andrea Betti (L’inflazione), Daniela Cipolloni
(Il prezzo giusto, Un’onda anomala, La Torre Eiffel, Matematica al servizio
della legge, I vettori dello “spazio colore”, Il percorso più breve, Bloccare
le e-mail di spam, Riconoscere se una dichiarazione dei redditi non
è veritiera), Daniele Gouthier (Non può fare più freddo di così!,
Scrivere 1 con infinite cifre, Una scatola in cartone, Il decadimento
radioattivo, La mosca di Cartesio, La rete di Sant’Antonio)
– Stesura delle schede di Esplorazione: Fulvia Baccarani (Uno, cento,
mille racconti), Chiara Ballarotti (Un limite da disastro, Arte al cubo),
Daniela Cipolloni (L’iperspazio, Siamo soli nell’Universo?, Trasformazioni
geometriche e tassellazioni), Daniele Gouthier (Logaritmi e decibel,
I paradossi di Zenone), Chiara Manzini (La topologia dei nodi, Frattali),
Elisa Menozzi (Chi è il padre del calcolo?), Ilaria Pellati (Archimede
e gli integrali ante litteram, Prede e predatori)
– Stesura dei testi e degli esercizi del Laboratorio di matematica:
Antonio Rotteglia
– Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti
– Revisioni dei testi e degli esercizi: Chiara Ballarotti, Luca Malagoli,
Elisa Menozzi, Monica Prandini
– Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio
– Risoluzione degli esercizi: Silvano Baggio, Francesco Benvenuti,
Davide Bergamini, Angela Capucci, Elisa Capucci, Lisa Cecconi,
Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato,
Francesca Incensi, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Elisa Menozzi,
Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Elisa Targa, Ambra Tinti
– Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci,
Davide Bergamini, Cristina Bignardi, Francesco Biondi, Lisa Cecconi,
Chiara Cinti, Paolo Maurizio Dieghi, Daniela Favaretto, Rita Fortuzzi,
Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Mario Luciani, Chiara Lugli,
Francesca Lugli, Armando Magnavacca, Elisa Menozzi, Luisa Morini,
Monica Prandini, Tiziana Raparelli, Laura Recine, Daniele Ritelli,
Antonio Rotteglia, Giuseppe Sturiale, Renata Tolino, Maria Angela Vitali,
Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago, Lorenzo Zordan
– Stesura dei problemi di Realtà e modelli: Daniela Boni, Maria Falivene,
Nadia Moretti
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Maria Alberta Bulgaro, Laura Caliccia, Anna Maria Logoteta,
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L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone.
Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini,
Enrico Bergamini e Lisa Cecconi.
Copertina:
– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna
– Realizzazione: Roberto Marchetti
– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna
Prima edizione: febbraio 2012
L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume
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Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
Matematica.blu 2.0
Funzioni
e limiti
U
SOMMARIO
TEORIA
ESERCIZI
1354
1359
1365
1370
1385
CAPITOLO 20
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Le funzioni reali di variabile reale
2. Le proprietà delle funzioni
1.
ESPLORAZIONE
Chi stabilisce qual è il prezzo
«giusto»?
䉴 La risposta a pag. 1366
Logaritmi e decibel
LABORATORIO DI MATEMATICA
1367
Le funzioni e le loro proprietà
1398
1399
■ Realtà e modelli
■ Verso l’esame di Stato
CAPITOLO 21
I LIMITI DELLE FUNZIONI
1.
La topologia della retta
ESPLORAZIONE
La topologia dei nodi
La definizione di xlim
f (x) = ᐉ
" x0
La definizione di xlim
f
(x) = 3
" x0
4. La definizione di lim f (x) = ᐉ
x "3
5. La definizione di lim f (x) = 3
x "3
6. Primi teoremi sui limiti
2.
Perché il termometro non può
scendere sotto lo zero assoluto?
䉴 La risposta a pag. 1435
3.
LABORATORIO DI MATEMATICA
1404
1412
1413
1420
1425
1428
1430
I limiti delle funzioni
1441
1448
1455
1459
1462
1469
1436
1471
■ Verso l’esame di Stato
CAPITOLO 22
IL CALCOLO DEI LIMITI
1.
2.
3.
Come si stabilisce la potenza di
un sisma?
4.
䉴 La risposta a pag. 1508
6.
5.
7.
Le operazioni con i limiti
Le forme indeterminate
I limiti notevoli
Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto
Le funzioni continue
I punti di discontinuità di una funzione
La ricerca degli asintoti
ESPLORAZIONE
Un limite da disastro
IV
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Volume 4 © Zanichelli 2012 con Maths in English
1476
1484
1489
1492
1497
1500
1503
1504
1514
1519
1527
1538
1542
1548
1554
SOMMARIO
8.
Il grafico probabile di una funzione
LABORATORIO DI MATEMATICA
TEORIA
ESERCIZI
1507
1559
1509
Le funzioni continue
1562
1563
■ Realtà e modelli
■ Verso l’esame di Stato
CAPITOLO 23
LE SUCCESSIONI E LE SERIE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Quale significato ha la scrittura
del numero 1 come numero
periodico 0,9999…?
䉴 La risposta a pag. 1586
7.
Le successioni
Alcuni tipi di successioni
Il limite di una successione
I teoremi sui limiti delle successioni
I limiti delle progressioni
Che cos’è una serie numerica
Serie convergenti, divergenti, indeterminate
ESPLORAZIONE
I paradossi di Zenone
LABORATORIO DI MATEMATICA
1568
1570
1571
1574
1576
1579
1581
1585
1591
1593
1594
1597
1600
1605
1607
1587
Le successioni
1611
1612
■ Realtà e modelli
■ Verso l’esame di Stato
Indice analitico
I1
V
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Volume 4 © Zanichelli 2012 con Maths in English
FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI
1353 (a), 1366 (a): Francesco Ridoli /Shutterstock;
1353 (b), 1366 (b): Artem Samokhvalov /Shutterstock;
1365: Alex Nikada/iStockphoto;
1398 (a): Joat/Shutterstock;
1398 (b): André Klaassen/Shutterstock;
1403, 1435 (a): Le Loft 1911/Shutterstock;
1412: Mau Horng/Shutterstock;
1435 (b): Armin Rose/Shutterstock;
1475, 1508 (a): Carolina K. Smith, M.D. /Shutterstock,
Christopher Waters/Shutterstock;
1504: Anton Bocaling, 2000;
1508 (b): A.S. Zain/Shutterstock;
1508 (c): Charles Richter analizza un sismogramma a Los Angeles,
1964, California. Los Angeles Times photographic archivi,
UCLA Library. Copyright Regents of the University of
California, UCLA Library;
1562 (a): H. Brauer/Shutterstock;
1562 (b): J and S Photography/Shutterstock;
1567, 1586 (a): Sony Ho/Shutterstock;
1585 (a): Maurits Cornelis Escher, Salita e discesa, 1970,
Fondazione Escher;
1585 (b): Alexander Briel Perez/Shutterstock;
1611 (a): Arkady/Shutterstock;
1611 (b): Igor Terekhov/Shutterstock.
VI
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Volume 4 © Zanichelli 2012 con Maths in English
La funzione esponenziale
y
y
y
y = ax
0<a<1
y = ax
a>1
y = ax
a=1
1
1
x
O
1
x
O
b. • dominio: ⺢; +
• codominio: ⺢ ;
• funzione decrescente in ⺢;
• corrispondenza biunivoca;
• ax → 0 per x → + ⬁;
• ax → + ⬁ per x → − ⬁.
a. • dominio: ⺢; +
• codominio: ⺢ ;
• funzione crescente in ⺢;
• corrispondenza biunivoca;
• ax → 0 per x → − ⬁;
• ax → + ⬁ per x → + ⬁.
x
O
c.• dominio: ⺢;
• codominio: {1};
• funzione costante;
• funzione non iniettiva.
La funzione logaritmo
Proprietà
Logaritmo di un quoziente
b
log a ᎏᎏ ⴝ log a b ⴚ log a c
c
y
y
Logaritmo di un prodotto
log a (b ⴢ c) ⴝ log a b ⴙ log a c (b ⬎ 0, c ⬎ 0)
y = logax
a>1
(b ⬎ 0, c ⬎ 0)
x
1
O
O
x
1
Logaritmo di una potenza
log a bn ⴝ n ⴢ log a b (b ⬎ 0)
y = logax
0<a<1
+
+
a.• dominio: ⺢ ;
• codominio: ⺢;
+
• funzione crescente in ⺢ ;
• corrispondenza biunivoca;
• loga x → − ⬁ per x → 0;
• loga x → + ⬁ per x → + ⬁.
Cambiamento di base nei logaritmi
log c b
a ⬎ 0, b ⬎ 0, c ⬎ 0
log a b ⴝ ᎏᎏ
log c a
a ⴝ 1, c ⴝ 1
b. • dominio: ⺢ ;
• codominio: ⺢;
+
• funzione decrescente in ⺢ ;
• corrispondenza biunivoca;
• loga x → + ⬁ per x → 0;
• loga x → − ⬁ per x → + ⬁.
Confronto fra i grafici delle funzioni esponenziale e logaritmo
y = ax
y
a>1
y
0<a<1
y = ax
y = logax
1
O 1
1
x
y=x
y=x
a
y = logax
b
Funzioneesponenziali
inversa
Disequazioni
az
O z t
y = ax
(a > 1)
at ⬎ az
⇔
y=a
(0 < a < 1)
x
0⬍a⬍1
y
logab < logac
y
y
x
logab < logac
b<c
at > az
t<z
at
at
a⬎1
t ⬍z
⇔
y
at > az
t>z
0⬍a⬍1
t ⬎z
⇔
Funzione
composta
Disequazioni
logaritmiche
⇔
a⬎1
at ⬎ az
x
O 1
az
t z O
logab
O
b
b>c
logac
c
c
O
x
x
a
y = loga x
(a > 1)
b
logac
b
logab x
y = logax
0<a<1
VII
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Volume 4 © Zanichelli 2012 con Maths in English
Le funzioni goniometriche
La prima relazione fondamentale
sen2 ␣ ⫹ cos2 ␣ ⫽ 1
y
x2 + y2 = 1
B
La seconda relazione fondamentale
sen α = yB
cos α = xB
yB
α
O xB A
sen ␣
tg ␣ ⫽ ᎏᎏ
cos ␣
x
1
y
tg α = —B
xB
xB
cotg α = —
yB
I grafici delle funzioni goniometriche
y
y
LA SINUSOIDE
1
3π
—
2
O
−1
π
—
2
LA COSINUSOIDE
y = sen x
1
2π x
O
−1
π
π
2π x
3π
—
2
π
—
2
y = cos x
LA TANGENTOIDE
y
π
—
2
π
−—
2
LA COTANGENTOIDE
y
5π
—
2
3π
—
2
x
O
−π
O
2π x
π
y = cotg x
y = tg x
Seno, coseno e tangente su un triangolo rettangolo
cateto opposto
sen α = ———————
ipotenusa
cateto adiacente
cos α = ————————
ipotenusa
B
B
cateto opposto
tg α = ————————
cateto adiacente
B
ipotenusa
ipotenusa
cateto
opposto
cateto
opposto
α
α
a
O
A
b
O
cateto adiacente
A
α
O cateto adiacente A
VIII
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Volume 4 © Zanichelli 2012 con Maths in English
CAPITOLO
20
[numerazione araba]
[numerazione devanagari]
[numerazione cinese]
LE FUNZIONI
E LE LORO PROPRIETÀ
IL PREZZO GIUSTO Ogni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo
in cambio una certa cifra di denaro.
Chi stabilisce qual è il prezzo «giusto»?
La risposta a pag. 1366
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
1. LE FUNZIONI REALI
DI VARIABILE REALE
Che cosa sono le funzioni
DEFINIZIONE
Funzione
Dati due insiemi A e B (non vuoti), una funzione f da A a B è una relazione
che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.
● A viene anche detto
insieme di partenza e B
insieme di arrivo.
Possiamo indicare una funzione con la seguente notazione:
● Si legge:
«f è una funzione da A a B».
f : A " B.
Se a x ! A la funzione f associa y ! B , diciamo che y è immagine di x mediante f
e x è controimmagine di y. Scriviamo:
● y = f (x) si legge
«y uguale a f di x».
f:x 7 y
oppure
y = f (x).
A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre
il sottoinsieme C di B, formato dalle immagini degli elementi di A, è detto codominio.
Se A e B sono insiemi di numeri reali, la funzione viene detta funzione reale di
variabile reale.
ESEMPIO
La funzione f⬊ R " R, descritta dalla legge matematica
x 7-
3
x+3
2
oppure
y =-
3
x + 3,
2
associa a ogni valore di x uno e un solo valore di y. Per esempio, per x = 4 si ha
y =-
3
$ 4 + 3 =- 3 .
2
x è detta variabile indipendente, y variabile dipendente. Spesso, come nell’esempio, una funzione è assegnata mediante un’espressione analitica, ossia mediante
una formula matematica.
Una funzione può essere anche indicata con un’espressione del tipo f (x; y) = 0,
detta forma implicita, mentre y = f (x) è detta forma esplicita. Per esempio, la fun3
zione 3x + 2y - 6 = 0 è la forma implicita di y =- x + 3 .
2
Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l’insieme dei punti
P(x ; y) del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f, ossia dei punti
del tipo P (x ; f (x)). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si
determinano mettendo a sistema l’equazione della funzione con y = 0 (equazione
dell’asse x) o con x = 0 (equazione dell’asse y).
1354
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
Esistono funzioni, dette funzioni definite per casi, date da espressioni analitiche
diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.
y
y
y = |x|
1
● Queste funzioni vengono
anche dette funzioni definite a tratti.
3
2
y = sign (x)
–3 –2 –1
y
x
O
3
x
–3
se n ≤ x < n + 1
y= n
–(n + 1) se –(n + 1) ≤ x < –n
y = 1 se x ≥ 0
–1 se x < 0
{
{
{
1 2
–1
–2
–1
y = x se x ≥ 0
–x se x < 0
a. La funzione valore assoluto.
y = [x]
1
O
x
O
TEORIA
c. La funzione parte intera.
b. La funzione segno.
䉱 Figura
i
1 Alcuni
l
i esempii di
funzioni definite per casi.
La classificazione delle funzioni
Una funzione è algebrica se l’espressione analitica y = f (x) che la descrive contiene, nella variabile x, solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione,
divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica è:
• razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in particolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione si
dice lineare; se il polinomio in x è
di secondo grado, la funzione è detta
FUNZIONI
quadratica;
• razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi;
• irrazionale se la variabile indipendente x compare sotto il segno di radice.
Se una funzione non è algebrica, si dice
trascendente.
● Il grafico di una funzione
lineare è una retta, mentre
quello di una funzione quadratica è una parabola.
algebriche trascendenti
y = ex, y = sen x
razionali
intere
y = 5x − 7
irrazionali
y=√
⎯⎯⎯⎯
x+1
fratte
2x − 1
y = ———
3x + 2
䉳 Figura 2 La classificazione
delle funzioni reali di variabile reale della forma y = f (x)
e alcuni esempi.
Per una funzione algebrica viene definito il grado della funzione, che è il grado del
polinomio P(x; y), in x e y, che compare nell’espressione analitica in forma implicita della funzione P(x; y) = 0.
ESEMPIO
La funzione y =
x-1
in forma implicita diventa
x2
x2 y - x + 1 = 0 ,
quindi il suo grado è 3.
Il dominio e il segno di una funzione
Spesso di una funzione si considera come dominio il sottoinsieme più ampio di R
in cui la funzione può essere definita. In questo caso si parla di dominio naturale
o campo di esistenza della funzione.
1355
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
ESEMPIO
La funzione
y=
● Scrivendo per esteso,
abbiamo
D: {x ! R x # - 2 0 x $ 2} .
x2 - 4
ha come dominio naturale l’insieme dei valori x per i quali il radicando dell’espressione a secondo membro è positivo o nullo, ossia x # - 2 0 x $ 2.
Scriviamo sinteticamente:
D: x # - 2 0 x $ 2 .
Domini delle principali funzioni
● Abitualmente il termine
dominio viene usato come
sinonimo di dominio naturale, in quanto è usuale considerare il dominio naturale
come dominio per una funzione.
Funzione
Dominio
Funzioni razionali intere:
y = a0 xn + a1 xn - 1 + f + an
R
Funzioni razionali fratte:
y=
P (x)
(P e Q polinomi)
Q (x)
Funzioni irrazionali:
y=
n
f (x)
# x ! R f (x) $ 0-, se n è pari
dominio di f (x), se n è dispari
Funzioni logaritmiche:
y = loga f (x)
R esclusi i valori che annullano Q(x)
a 2 0, a ! 1
# x ! R f (x) 2 0-
Funzioni esponenziali:
y = a f (x)
a 2 0, a ! 1
y = f (x) g (x)
● Esempi:
y = (x - 1) 7, D: R ;
y = (x - 1) - 7, D: x ! 1;
4
y = (x - 1) 5 =
= 5 (x - 1) 4 , D: R ;
y = (x - 1) r, D: x $ 1.
dominio di f (x)
# x ! R f (x) 2 0- + dominio di g (x)
Funzioni potenza y = f (x) a :
a intero positivo
dominio di f (x)
a intero negativo
dominio di f (x) ma con f (x) ! 0
a razionale
dominio delle funzioni irrazionali
a irrazionale positivo
# x ! R f (x) $ 0-
Funzioni goniometriche:
y = sen x, y = cos x
y = tg x
y = cotg x
y = arcsen x, y = arccos x
y = arctg x, y = arccotg x
● Per esempio, la funzione
y = ln x risulta positiva per
x 2 1, nulla per x = 1,
negativa per 0 1 x 1 1.
R
R -&
r
+ kr 0
2
R - !kr +
[- 1; 1]
R
È possibile anche studiare il segno di una funzione y = f (x), ossia cercare per
quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo.
1356
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
●
I grafici delle funzioni e le trasformazioni geometriche
IN PRATICA
Videolezione 62
䉴
Le traslazioni
y
y
y
y = f(x − a)
P
P'
P'
a
TEORIA
"
v
y = f(x) + b
b
y = f(x − a) + b
b
a
P
O
x
y = f(x)
O
x
y = f(x)
x
O
y = f(x)
"
c. Traslazione di vettore v (a; b).
"
b. Traslazione di vettore v (0; b)
parallelo all’asse y.
"
a. Traslazione di vettore v (a; 0)
parallelo all’asse x.
Le simmetrie
y
y
y
P
y = f(−x)
P'
y = f(x)
O
P
y = f(x)
P
x
O
y = f(x)
y = − f(x)
O
x
x
P'
P'
y = − f(−x)
a. Simmetria rispetto all’asse x.
b. Simmetria rispetto all’asse y.
c. Simmetria centrale rispetto a O.
y = f(⏐x⏐)
y
y
y = ⏐f(x)⏐
O
O
x
x
y = f(x)
y = f(x)
d. Il grafico di⏐f(x)⏐, se f(x) ≥ 0, è lo stesso di f(x); se
f(x) < 0, è simmetrico rispetto all’asse x di quello di f(x).
e. Per x ≥ 0 il grafico è lo stesso di y = f(x), per x < 0 il
grafico è il simmetrico rispetto all’asse y di quello che
y = f(x) ha per x > 0.
Le dilatazioni
m>1
y
m<1
y
x
y = f冢—
m冣
x
y = f冢 —
m冣
x
O
n>1
y
y = f(x)
a. Dilatazione orizzontale.
y = nf(x)
x
O
n<1
y
y = f(x)
b. Contrazione orizzontale.
y = f(x)
x
O
O
x
y = nf(x)
y = f(x)
c. Dilatazione verticale.
d. Contrazione verticale.
1357
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Il grafico di y = f 2 (x)
Dato il grafico di y = f (x), per tracciare l’andamento di quello di y = f 2(x), teniamo conto che:
f 2(x) = 1;
f 2(x) = 0;
1. se f (x) = 1,
2. se f (x) = 0 ,
f 2 (x) 1 f (x) ;
f 2 (x) 2 f (x) .
3. se f (x) 1 1,
4. se f (x) 2 1,
y
y
y
y=f(x)
4
3
2
4
3
2
1
O
y= f(x)
1
–1
x
O
a
1
–1
x
O
b
Il grafico di y =
y=f 2 (x)
4
3
2
–1
c
f (x)
y
Dato il grafico di y = f (x), per tracciare l’andamento
di quello di y = f (x) , osserviamo che:
1.
2.
3.
4.
5.
se
se
se
se
se
f (x) 1 0 ,
f (x) = 0 ,
f (x) = 1,
0 1 f (x) 1 1,
f (x) 2 1,
Il grafico di y =
x
y= f (x)
2
f (x) non esiste;
f (x) = 0 ;
f (x) = 1;
f (x) 1 f (x) 1 1;
1 1 f (x) 1 f (x) .
1
y= f(x)
O
x
1
f (x)
1. Se il grafico di f (x) interseca l’asse x in x0, per x che si avvicina a x0:
• se f (x) 2 0,
1
1
assume valori positivi sempre più grandi; diremo che
tende a + 3 ;
f (x)
f (x)
• se f (x) 1 0,
1
1
assume valori negativi, in valore assoluto sempre più grandi; diremo che
tende a - 3 .
f (x)
f (x)
La retta y = x 0 è asintoto verticale.
2. Se f (x) tende a + 3 o - 3 ,
1
tende a 0.
f (x)
3. Se f (a) = 1 o f (a) = - 1, a è punto di intersezione fra i grafici di f (x) e di
1 tende
1 Se x tende a – 1, ––––
y
1
1
.
f (x)
y=x+1
a – ⬁ o a + ⬁.
x+ 1
2 Se x +1 tende a – ⬁ o a + ⬁,
3
1
2
–1 O
1 tende a 0.
––––
x+1
1
y =––––
x+1
2
x
3 Il punto di ordinata 1,
appartenente a y =x + 1,
1
appartiene anche a y= ––––.
x+1
1
1358
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
TEORIA
2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive
DEFINIZIONE
Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca)
Una funzione da A a B si dice:
• iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;
• suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;
• biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.
● In modo equivalente,
possiamo dire che una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti
di B, ossia, comunque scelti
x1 e x2 appartenenti ad A, si ha
x1 ! x2 & f (x1) ! f (x2).
ESEMPIO
䉳 Figura 3
y
y
O 1
—
–1 2
4
y = 2x – 1
3
3
–1 O
x
2
a
x
y = – x2 + 4
+1
b
Le funzioni crescenti, decrescenti, monotòne
a) La funzione y = 2x - 1 è
sia iniettiva sia suriettiva
perché a ogni valore scelto
sull’asse y corrisponde un
valore (suriettiva) e un solo
(iniettiva) valore sull’asse
x. La funzione è quindi
biiettiva.
b) La funzione y = - x2 + 4
è suriettiva se si considera
come insieme B quello
degli y tali che y # 4 , ma
non è iniettiva perché,
scelto nel codominio un
y diverso da 4, esso è
l’immagine di due valori
distinti di x.
DEFINIZIONE
Funzione crescente
Una funzione y = f (x) di dominio
D 3 R si dice crescente in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I,
con x 1 1 x 2 , risulta f (x1) 1 f (x2).
ESEMPIO
● Una funzione crescente
viene detta anche crescente
in senso stretto.
y
f(x2)
f(x1)
x1
y
x2 I
D
x
2
La funzione y = 2x + 1 è crescente in R. Infatti:
x1 1 x 2 " 2 1 2
x1
x2
1
" 2 + 1 1 2 + 1 " y1 1 y2 .
x1
x2
y
La funzione
x
y = f (x) = *1
x-2
se x # 1
se 1 1 x 1 3
se x $ 3
è crescente in senso lato in R (figura 4).
x
O
Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x1) 1 f (x2) con
f (x1) # f (x2), otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato, o
anche non decrescente.
ESEMPIO
y = 2x + 1
y=1
● Si può anche dire che la
funzione è debolmente crescente.
y=x−2
1
y=x
1
3
x
I = ] − ⬁; +⬁ [ = ⺢
䉳 Figura 4 Un esempio di
funzione crescente in senso
lato in R.
1359
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
DEFINIZIONE
● Una funzione decre-
scente viene detta anche
decrescente in senso
stretto.
● In questo caso la funzione
si può anche dire debolmente decrescente.
● Una funzione può essere
monotòna in senso stretto e
in senso lato.
Funzione decrescente
Una funzione y = f (x) di dominio
D 3 R si dice decrescente in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a
I, con x 1 1 x 2, risulta f (x 1) 2 f (x 2 ).
y
f(x1)
f(x2)
I
x1 x2
D
x
Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x 1 ) 2 f (x 2 ) con
f (x 1 ) $ f (x 2 ), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o
anche non crescente.
Una funzione si dice monotòna in un intervallo I del suo dominio se in I è sempre crescente o decrescente.
Una funzione f monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. Infatti, se f è
monotòna in senso stretto, allora per ogni x1 ! x2 si ha f (x1) 1 f (x2) oppure
f (x1) 2 f (x2); quindi risulta f (x1) ! f (x2), cioè f è iniettiva.
Le funzioni periodiche
DEFINIZIONE
● Se f è periodica di
periodo T, allora non è
iniettiva, perché x e
x + kT hanno la stessa
immagine.
● Se una funzione è perio-
dica di periodo T, essa lo è
anche di periodo 2T, 3T,
4T, …
Il periodo minore è anche
detto periodo principale ed
è quello che di solito è considerato come periodo della
funzione.
Per esempio, y = sen 4x ha
come periodo principale
2r
r
T=
= .
4
2
Funzione periodica
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T 2 0,
se, per qualsiasi numero k intero,
si ha:
y
f(x)
x
T
f (x) = f (x + kT).
f(x + T)
x+T
f(x) = f(x + kT), ∀ k ∈ ⺪
In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.
ESEMPIO
y = sen x e y = cos x sono funzioni periodiche di periodo 2r.
y = tg x e y = cotg x sono funzioni periodiche di periodo r.
Le funzioni pari e le funzioni dispari
y
f(− a)
−a
O
y = f(x)
f(a)
a x
䉱 Figura 5 Il grafico di una
funzione pari è simmetrico
rispetto all’asse y.
DEFINIZIONE
Funzione pari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x ! D, allora
- x ! D. Una funzione y = f (x)
avente D come dominio si dice pari
se f (- x) = f (x) per qualunque x
appartenente a D.
D⊆⺢
f: D " ⺢
∀ x, −x ∈ D
⇒
f(−x) = f(x)
1360
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
TEORIA
ESEMPIO
La funzione y = f (x) = 2x 4 - 1 è pari perché, sostituendo a x il suo opposto
- x , si ottiene ancora f (x):
f (- x) = 2 (- x)4 - 1 = 2x 4 - 1 = f (x).
In generale, se una funzione ha espressione analitica y = f (x) contenente soltanto
potenze della x con esponente pari, allora è pari.
● Verifica invece
che la funzione
y = f (x) = 2x 4 - x non è
pari perché, sostituendo a x
il suo opposto - x, si ha
f (- x) ! f (x) .
DEFINIZIONE
y
Funzione dispari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x ! D, anche
- x ! D. Una funzione y = f (x)
avente D come dominio si dice
dispari se f (- x) = - f (x) per qualunque x appartenente a D.
−a
D⊆⺢
f: D " ⺢
O
∀ x, −x ∈ D
⇒
a
x
f(−x) = −f(x)
䉱 Fi
Figura 6 Il grafico
fi di una
funzione dispari è simmetrico
rispetto all’origine.
ESEMPIO
La funzione y = f (x) = x 3 + x è dispari perché, sostituendo a x il suo opposto - x, si ottiene - f (x):
f (- x) = (- x)3 + (- x) = - x 3 - x = - (x 3 + x) = - f (x).
● Verifica che la funzione
y = f (x) = x 3 + 1 non è
dispari perché, sostituendo
a x il suo opposto - x, si ha
f (- x) ! - f (x) .
Una funzione con espressione analitica y = f (x) contenente solo potenze della x
con esponente dispari è una funzione dispari.
● Una funzione che non sia pari non è necessariamente dispari (e viceversa).
Per esempio, la funzione y = f (x) = x 2 + x non è né pari né dispari. Infatti:
f (- x) = (- x)2 + (- x) = x 2 - x ! - f (x) / ! f (x).
●
● -f (x) = - x 2 - x.
Le proprietà delle principali funzioni trascendenti
La funzione logaritmica
La funzione esponenziale
y = logax
y
y
0<a<1
a>1
a>1
O
1
x
1
a=1
x
O
y=
ax
• Ha come dominio R e come codominio, se a ! 1, R+, ossia
il suo grafico sta tutto «sopra» l’asse x.
• Il grafico: non interseca l’asse x; interseca l’asse y in (0; 1).
• Se a 2 1, è una funzione crescente; se 0 1 a 1 1, è decrescente; se a = 1, è costante e vale 1.
0<a<1
• Ha come dominio R+, come codominio R.
• Il grafico: interseca l’asse x in (1; 0); non interseca l’asse y.
• Se a 2 1, è una funzione crescente; se 0 1 a 1 1, è decrescente.
1361
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TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
La funzione coseno
La funzione seno
y
y
y = sen x
y = cos x
1
–1
1
O π
2π
π
O
x
x
2π
–1
• Ha come dominio R e come codominio [- 1; 1] .
• È una funzione dispari, in quanto sen (- x) = - sen x .
• È una funzione periodica di periodo 2r:
sen x = sen (x + 2kr), con k ! Z.
r r
r 3
• È crescente in :- ; D , è decrescente in : ; r D .
2 2
2 2
• Ha come dominio R e come codominio [- 1; 1] .
• È una funzione pari, in quanto cos (- x) = cos x.
• È una funzione periodica di periodo 2r:
cos x = cos (x + 2kr), con k ! Z .
• È crescente in [- r; 0], è decrescente in [0; r].
La funzione tangente
La funzione cotangente
y = tg x
y
π
–π –—
2
π
O —
2
3 π 2π
π —
2
x
• Ha come dominio l’insieme R privato dei valori
y = cotg x
y
π
–π –—
2
r
+ kr
2
(con k ! Z) e come codominio R.
• È una funzione dispari in quanto tg (- x) = - tg x .
• È una funzione periodica di periodo r:
tg x = tg (x + k r), con k ! Z .
r r
• È crescente in D- ; : .
2 2
O π
—
2
x
3 π 2π
π —
2
• Ha come dominio l’insieme R privato dei valori kr (con
k ! Z ) e come codominio R .
• È una funzione dispari in quanto cotg (- x) = - cotg x .
• È una funzione periodica di periodo r:
cotg x = cotg (x + k r), con k ! Z.
• È decrescente in ]0; r[.
La funzione inversa
DEFINIZIONE
Funzione inversa
Data la funzione biiettiva f da A a
B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f -1 da B ad A che
associa a ogni y di B il valore x di A
tale che y = f (x):
-1
f : y " x.
f
biiettiva
A
x
A
B
y=f(x)
B
f −1
x=f −1(y)
1362
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
y
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
TEORIA
Si ha quindi che x = f -1(y), dove y è la variabile indipendente e x la variabile
dipendente, ma per poter rappresentare la funzione x = f -1(y) nello stesso piano
cartesiano di y = f (x) operiamo la sostituzione
x"ye y"x
e otteniamo y = f -1(x).
Con la sostituzione indicata si ottiene il grafico simmetrico di y = f (x) rispetto
alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Se una funzione ammette inversa, si dice che è invertibile.
ESEMPIO
La funzione y = f (x) = x2 ha
come dominio R, ma in R non è
biiettiva. Per renderla biiettiva
dobbiamo considerare come dominio un insieme più ristretto, per
esempio quello dei numeri reali
positivi o nulli. In casi come questo parliamo di restrizione del dominio per l’invertibilità della funzione. La sua funzione inversa è:
x = f -1(y) =
y
䉳 Figura 7 Il grafico della
funzione y = x 2 e della
sua inversa y = x , per
x $ 0.
y = x2
y=x
y= x
1
O 1
x
y.
Per rappresentare la funzione f -1 insieme alla funzione f, scambiamo le variabili nell’espressione della funzione inversa, considerando: y = x .
● Le funzioni monotòne in
senso stretto sono biiettive
se si considera come
insieme di arrivo il loro
codominio. Quindi esse
ammettono sempre la funzione inversa.
Il grafico di una funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
Sfruttando questa proprietà, conoscendo il grafico di una funzione possiamo disegnare il grafico della sua inversa.
●
Il grafico delle funzioni inverse
La funzione esponenziale e la funzione logaritmica
La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale (e viceversa). Sono entrambe funzioni strettamente monotòne e
quindi biiettive.
y
y = ax
y=x
1
y
y=x
1
y = ax
O
1
x
O
x
1
y = loga x
a>1
y = loga x
0<a<1
1363
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Le funzioni goniometriche e le loro inverse
Poiché le funzioni goniometriche sono periodiche, e quindi non biiettive, è necessario effettuare una restrizione del dominio, in
modo che risultino essere biiettive.
y
π
—
2
y=x
y = sen x
1
π −1
−—
2
y=x
π
—
2
1
O
π x
1
—
y = arcsen x 2
−1
−1
π
−—
2
O
−1
π —
π ,
a. Considerata la funzione seno nel dominio – —;
2 2
la funzione arcoseno ha dominio D = [–1; 1] e
π —
π .
codominio C = – —;
2 2
[
[
y
π
y = arccos x
]
]
π
π
1 —
2
y = cos x
b. Considerata la funzione coseno nel dominio [0; π],
la funzione arcocoseno ha dominio D = [–1; 1] e
codominio C = [0; π].
y
y
y=x
π
π
—
2
O
y = arccotg x
y = arctg x
O
π
−—
2
π
—
2
x
y = tg x
c. Considerata la funzione tangente nel dominio
π —
π , la funzione arcotangente ha dominio
– —;
2 2
π —
π .
D = ⺢ e codominio C = – —;
2 2
]
y=x
π
—
2
π
−—
2
[
]
x
[
π
π
—
2
x
y = cotg x
d. Considerata la funzione cotangente nel dominio ]0; π[,
la funzione arcocotangente ha dominio D = ⺢ e
codominio C = ]0; π[.
Le funzioni composte
Date le funzioni
f⬊ A " B e g⬊ B " C,
indichiamo con g % f oppure con
● g % f si legge
«g composto f ».
g (f (x)) si legge
«g di f di x».
A
gⴰf
x
il codominio di f è contenuto nel dominio di g:
Cf 3 Dg .
la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando
a ogni x di A l’immagine mediante g
dell’immagine di x mediante f.
C
y
f(x)
y = g( f (x))
● g % f è quindi definita se
B
g
g(f(x))
f
䉱 Figura 8
● Nella definizione, l’insieme di arrivo della prima funzione coincide con il dominio della
seconda.
In generale si ha g % f ! f % g, ossia la composizione delle funzioni non è commutativa.
1364
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESPLORAZIONE LOGARITMI E DECIBEL
ESPLORAZIONE
Logaritmi e decibel
Le scale logaritmiche
Sono utili per misurare grandezze che variano molto
rapidamente, perché permettono di «comprimere»
su un intervallo più piccolo i possibili valori di una
grandezza (per esempio l’intensità di un suono), rendendoli più facili da trattare.
0
0
1
10
x
1
2
3
4
5
log x
Inoltre, usando i logaritmi, riusciamo a trasformare
una dipendenza non lineare in una lineare. Supponiamo che una grandezza y dipenda da una grandezza x secondo la legge
y = ax2,
dove a è una costante positiva. Il grafico di questa legge è una parabola. Passando ai logaritmi e applicando
le loro proprietà, otteniamo:
log y = log (ax2)
"
log y = log a + 2 log x.
Il grafico di questa legge (se consideriamo log x e
log y come nuove variabili) è una retta: le due quantità dipendono l’una dall’altra in modo lineare.
I decibel
Il timpano è una membrana che reagisce a variazioni
di pressione. Il suono è un’onda che propagandosi
nell’aria produce queste variazioni. L’intensità effettiva di un suono è l’energia associata all’onda sonora che attraversa un’unità di superficie nell’unità di
tempo e si esprime in watt/metro2 (W/m2). Il campo
di udibilità è un intervallo di intensità sonore il cui
limite inferiore, o soglia del silenzio, vale 10-12 W/m2
e corrisponde all’incirca al rumore provocato da una
zanzara a 3 metri di distanza. La soglia del dolore è
invece il limite superiore dell’intervallo. Vale 1 W/m2
ed è la massima intensità sonora che siamo in grado
di sopportare: andando oltre, al suono si sostituisce
una sensazione di dolore.
Il campo di udibilità occupa 12 ordini di grandezza,
quindi è comodo rappresentarlo con una scala logaritmica. In questa scala l’unità di misura è il decibel
(dB). Il livello di intensità percepita IdB misurato
in dB è legato all’intensità effettiva I di un suono in
W/m2 da una relazione logaritmica:
I
IdB = 10 log ,
I0
dove I0 è la soglia del silenzio (presa come riferimento) a cui corrisponde il valore di 0 dB. Questo implica
che a una piccola differenza (per esempio 10 dB) tra
il livello di intensità di due suoni percepiti, come il
fruscio del vento tra le foglie e un mormorio, corrisponda una grande differenza (di un fattore 10) tra le
intensità effettive.
Attività
● Fai una ricerca su altre applicazioni della funzione logaritmo.
Cerca nel Web:
logaritmi applicazioni, pH definizione, scala Richter, magnitudo
1365
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
TEORIA
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
IL PREZZO GIUSTO
Chi stabilisce qual è il prezzo «giusto»?
Il quesito completo a pag. 1353
Tutto quello che acquistiamo, un
paio di scarpe, la benzina o un pacco
di pasta al supermercato, ha un certo
prezzo. Questo tende al prezzo
«giusto» per acquirenti e venditori
seguendo una legge di mercato.
Il prezzo di un bene sale o scende a
seconda che esso sia più o meno
richiesto (domanda) e più o meno
presente (offerta) sul mercato. Vale
anche il contrario: la domanda e l’offerta possono variare in funzione del
prezzo.
La curva di domanda
Più un bene o un servizio è economico, maggiore sarà la quantità
richiesta dai consumatori. Più è caro,
meno saranno quelli disposti a spendere una somma astronomica. Sotto
questo aspetto la domanda è quindi
una funzione continua e decrescente
del prezzo della merce. Il grafico in
figura mostra la curva di domanda in
funzione del prezzo. Si tratta ovviamente di un modello semplificato.
In un contesto reale, la domanda è
funzione anche di altre variabili,
come il tipo di bene, il reddito del
qd
quantità
domandata
La quantità
domandata
della merce
aumenta
come effetto
della riduzione
del prezzo.
consumatore o il prezzo di prodotti
concorrenti.
La curva di offerta
Anche l’offerta, la quantità di merce
messa in vendita, è una funzione
matematica per la quale assumiamo il
prezzo come variabile indipendente e
la sua quantità come variabile dipendente. L’offerta ha un andamento
diverso dalla domanda: la correlazione tra la merce in vendita e il corrispettivo prezzo è opposta. Mettendosi nei panni del produttore, il cui
fine è massimizzare il profitto, se una
merce ha un prezzo più alto, il guadagno per lui sarà maggiore vendendone una quantità superiore. Viceversa, se il prezzo diminuisce, il produttore sarà disincentivato a vendere
il prodotto e ne produrrà di meno.
L’offerta è quindi una funzione crescente del prezzo di vendita, come si
può vedere nel grafico in figura.
qo
quantità
offerta
La quantità
offerta
della merce
aumenta
come effetto
dell’incremento
del prezzo.
p
prezzo
qo = f(p)
quantità offerta
della merce
p
prezzo
quantità
domandata
della merce
qd = f(p)
prezzo
della merce
prezzo
della merce
Qual è il prezzo ideale
per soddisfare le esigenze
di consumatori e venditori?
Si dice che il mercato è in equilibrio
quando, per un dato prezzo, la quan-
tità domandata dai consumatori è
uguale alla quantità offerta dalle
imprese. Pertanto, non vi sono né
eccedenze di merce nei negozi né
richieste insoddisfatte da parte dei
consumatori.
Graficamente, il punto di equilibrio
corrisponde al punto in cui la curva
di domanda incontra la curva di
offerta. Il punto di intersezione delle
due funzioni determina il prezzo
giusto, né troppo alto né troppo
basso, per mantenere il mercato in
equilibrio.
q
quantità
curva di
offerta
equilibrio di
mercato
curva di
domanda
p
prezzo
Quando il prezzo di un bene si allontana dal prezzo di equilibrio, subisce
oscillazioni che lo riportano al valore
ideale. Infatti, un prezzo più elevato
del prezzo di equilibrio farebbe
arrivare sul mercato più merce di
quanta i consumatori sono disposti
ad acquistare, lasciando invenduta
gran parte della produzione;
pertanto, per incrementare le vendite,
le imprese cercherebbero di abbassare i prezzi.
Al contrario, un prezzo più basso del
prezzo di equilibrio porterebbe i consumatori ad acquistare più merce di
quanta ne producono le imprese e
queste ne approfitterebbero aumentando i loro prezzi.
1366
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
LABORATORIO DI MATEMATICA
Le funzioni e le loro proprietà
TEORIA
LABORATORIO DI MATEMATICA
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
ESERCITAZIONE GUIDATA
Con Wiris determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani della funzione f: R " R definita dalla
legge y = 12x 4 - 20x3 - 231x2 - 145x + 132 e ne tracciamo il grafico, dove evidenziamo le intersezioni trovate.
• Entriamo in ambiente Wiris e inseriamo l’espressione della funzione f(x) (figura 1).
• Troviamo le ascisse delle intersezioni con l’asse x: impostiamo l’equazione ottenuta uguagliando a 0
l’espressione di f(x) e la risolviamo con un clic su Calcola.
• Troviamo,
quindi, l’ordinata dell’intersezione con l’asse
y valutando f(0).
䉱 Figura 1
g
• Scriviamo le coordinate dei punti secondo la sintassi di Wiris (figura
2).
• Inquadriamo i punti salienti della f(x) indicando al sistema,
con l’istruzione tracciante, di mostrare la zona del piano cartesiano che abbia il centro nel punto (1; -500) e dimensioni 12 per
l’asse x e 4000 per l’asse y.
p
q
• Impostiamo
quindi
due istruzioni tracciare contenenti rispettivamente la funzione e i
punti, sulle
quali diamo
Calcola, ottenendo il
grafico di figura 3.
䉱 Figura 3
䉳 Figura 2
Nel sito:
䉴 1 esercitazioni guidata 䉴 44 esercitazioni in più
Esercitazioni
Con l’aiuto del computer determina il dominio, la positività e le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani delle
seguenti funzioni. Con gli strumenti grafici del tuo applicativo informatico traccia l’andamento delle funzioni ed
evidenzia le intersezioni trovate.
1
1
1
5
p (x) = 2 f (x) = 4 +
x-2
2x + 4
g (x) = 2 - ln (x - 2)
l (x) = ln (- 4 - x)
2
6
3
h (x) = 2x2 + 5x - 3
7
m (x) =
ex - 4
2
4
s (x) = 2 - e x
8
r (x) =
x3 - 2x 2 - 3x
1367
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ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LA TEORIA IN SINTESI
LE FUNZIONI
E LE LORO PROPRIETÀ
1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
䡲 Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una
funzione da A a B è una relazione che a ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.
Se y ! B è associato a x ! A dalla funzione, diciamo
che y è l’immagine di x.
funzione
A
B
x
y
C
䡲 Il dominio della funzione è l’insieme A, il codomi-
nio è il sottoinsieme di B costituito dalle immagini
degli elementi di A.
dominio
codominio
䡲 Data la funzione y = f (x), y è detta variabile dipendente e x variabile indipendente.
䡲 Funzioni reali di variabile reale: sono rappresentate in genere da un’espressione analitica, ossia una formula
matematica.
䡲 Il grafico di una funzione f è l’insieme dei punti P(x; y) del piano cartesiano tali che y = f (x).
䡲 Dominio naturale o campo di esistenza di una funzione: è il più ampio sottoinsieme di R che può essere preso
come dominio. Esso è costituito da tutti i valori per i quali esiste l’espressione analitica che definisce la funzione.
䡲 Il valore assoluto è un esempio di funzione definita per casi:
x
y= x ='
-x
se x $ 0
se x 1 0
䡲 Se l’espressione analitica che descrive una funzione contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, mol-
tiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice, la funzione è algebrica.
Una funzione algebrica può essere:
• razionale intera, o polinomiale, se è espressa mediante un polinomio nella variabile indipendente;
• razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi in x;
• irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.
䡲 Il grado di una funzione algebrica è il grado del polinomio P(x; y) della forma implicita P(x; y) = 0 della funzione.
䡲 Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente.
2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
䡲 Una funzione da A a B è:
• iniettiva se due qualunque elementi distinti di A hanno immagini distinte in B;
• suriettiva se tutti gli elementi di B sono immagini di almeno un elemento di A;
• biiettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva.
1368
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LA TEORIA IN SINTESI
ESERCIZI
䡲 Una funzione y = f(x), di dominio D, si dice:
• crescente in un intervallo I 3 D, se 6x1, x2 ! I, con x1 1 x2, risulta f (x1) 1 f (x2);
• decrescente in un intervallo I 3 D, se 6x1, x2 ! I, con x1 1 x2, risulta f (x1) 2 f (x2).
y
x1< x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
y
x1< x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
y = f(x)
y = f(x)
f(x1)
f(x2)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
O
a. Funzione crescente in I.
x
x2
x1
⌱
⌱
b. Funzione decrescente in I.
• Se la funzione è crescente o decrescente in senso lato, le considerazioni sono analoghe, ma valgono rispettivamente le relazioni f (x1) # f (x2) e f (x1) $ f (x2).
䡲 Funzione monotòna
Una funzione, di dominio D, si dice monotòna in un intervallo I 3 D se in esso è sempre crescente o sempre
decrescente.
䡲 Funzione periodica
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo
T (T 2 0) se:
f (x) = f (x + kT),
y
f(x)
f(x + T)
f(x + 2T)
x
x+T
x + 2T
6k ! Z.
O
T
x
y = f(x)
䡲 Una funzione y = f (x), definita in un certo dominio D 3 R, si dice:
• pari se f (-x) = f (x), 6x ! D;
• dispari se f (-x) = -f (x), 6x ! D.
ESEMPIO:
y = x 2 è una funzione pari, y = x 3 è una funzione dispari.
䡲 Una funzione ammette la funzione inversa se e solo se è biiettiva. Se indichiamo con f una funzione e con f -1 la
sua inversa si ha:
a = f -1(b)
+ b = f(a).
gⴰf
䡲 Date le funzioni f: A " B e g: B " C, si può definire
la funzione composta g % f: A " C, che associa a ogni
elemento a ! A un elemento c ! C che è l’immagine
mediante g dell’immagine di a mediante f.
In generale, g % f ! f % g.
B
A
C
f
g
c
a
b
b = f(a)
c = g(b) = g(f(a))
Funzione composta
1369
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
1. LE FUNZIONI REALI
DI VARIABILE REALE
䉴 Teoria a pag. 1354
Che cosa sono le funzioni
Quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione?
1
y
—
O
2
y
y
O
x
a
x
c
y
O
O
x
b
x
c
Indica il motivo per cui ciascuna delle seguenti scritture non può rappresentare una funzione (reale di variabile reale x).
a) f (x) = 1 - ln (- x );
b) x2 + y2 = 9;
c) x2 + 1 = 5;
x-1
se x # 0
d) f (x) = ' 2
x + 3 se x $ 0
4
O
x
b
—
3
O
x
a
—
y
y
e) 2xy - 3 + y 2 = 0 ;
f) 8x - 3 = 0 ;
g) x + y = 0 ;
h) y = x2 - 1.
Osservando il grafico della figura trova:
—
5
—
a) il dominio e il codominio della funzione;
b) f (-4), f (0), 3 = f (. . . ), -1 = f (. . . );
c) l’equazione di y = f (x).
Il grafico della figura, per x # 1, è un arco di
parabola. Determina:
a) il dominio e il codominio della funzione;
b) f (1), f (2), f (-1), f (0), 0 = f (...), 1 = f (...);
c) l’equazione di y = f (x).
y
y
y = f(x)
4
y = f(x)
3
2
O
2
1
1
–1
x
–1
O
1
2
1370
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
ESERCIZI
COMPLETA
6
—
7
—
8
—
9
—
10
—
y = f (x) =
3 - 4x
;
x2 + 1
… = f (-1),
5
= f (f),
2
1
= f (f),
2
y = f (x) = 2 x - 1 + 2 ;
y = f (x) = sen b x +
rl
;
6
4 = f (…),
… = f (0),
3 = f (…).
3 = f (…),
… = f (3),
… = f (-2).
r
g = f b l,
2
r
g = f b l.
3
3 = f (…).
-
3
= f (f),
2
y = f (x) = 2 ln x - 1;
… = f (1),
… = f (e),
- 3 = f (…),
y = f (x) = arcsen (x + 1);
f (0) = …,
f b-
-
1l
= …,
2
r
= f (f),
2
0 = f (…).
Per ogni funzione calcola, se esistono, i valori indicati a fianco.
11
—
12
—
13
——
14
——
15
x2 - 1
;
x
x-4
y = f (x) =
;
ln x
x2 - 1
y = f (x) =
;
x
1
f (0), f (-1), f (4), f b l , f (1 - x), f (x + a).
2
1
f b l , f (1), f (e), f (x + 4).
2
y = f (x) =
f (2), - f (-x), f ( x ), f (x + 1),
y = f (x) =
f (-x), f (3x), f (x 2), 3f (x), f 2(x).
x - 1;
f 2 (x) + 1 .
Scrivi le seguenti funzioni in forma esplicita.
—
a) x 2 - 2yx + 1 = 0;
b) x + 2 ln y - 5 = 0;
16
c) y sen x + y - 1 = 0;
d) 2xy + y - x - 1 = 0;
e) 2y + 1 - x = 0;
f) xy 3 - 4 = 0.
Scrivi le seguenti funzioni in forma implicita.
—
a) y =
x-1
;
x+4
b) y =
ln x - 1
;
x
c) y =
ex + 1
.
ex
Esplicita le seguenti equazioni rispetto alla variabile y e indica le condizioni di esistenza di y.
17
—
2x 2 + y 2 - x - 2y + 6 = 0
18
—
3x 2 - 4y 2 + x - y = 0
Determina il grado delle seguenti funzioni algebriche.
19
—
20
—
21
—
22
—
y=
x 2 - 4x
x2
23
—
2x2 - 3x + 1
x3
2
2
x y+x -1=0
y=
Traccia i grafici corrispondenti alle seguenti
equazioni:
a) y = x - 1;
b) x 2 + y 2 - 4x = 0;
c) y = x 2 - 2x ;
d) x 2 - y 2 = 9.
Quali di queste equazioni rappresentano una
funzione?
Disegna il grafico della funzione:
f (x) = (
x-2
x2 - 4
se x 2 2
se x # 2
Deduci dal grafico il codominio di f(x) e calcola
f(-4), f(0), f(2), f(3).
24
—
Disegna il grafico della funzione:
f (x) = (
x+4
2x - 1
se x 1 - 1
se x $ - 1
Indica il codominio di f(x) e calcola f (-5), f(-1),
f(0), f(2). Trova poi per quali valori di x si ha
f(x) = 8 e f(x) = - 4.
1371
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
25
—
26
——
27
——
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Indica, tra le seguenti funzioni, quali sono razionali (intere o fratte), irrazionali, trascendenti.
x2
x4 + 1
x+1
1
y=
,
y = arcsen x - 3,
y=
,
y=
,
y=
.
x-1
x-3
x
x + sen x
Disegna il grafico della funzione:
x+2
se x 1 - 2
f (x) = * x 2 + 2x se - 2 # x 1 0
2
se x $ 0
Determina il codominio di f(x) e calcola f(-4), f(-1), f(0), f(3). Trova poi per quali valori di x si ha f(x) = - 1.
Disegna il grafico della funzione:
se - 2 # x 1 1
se x $ 1
x +1
f (x) = * log x
1
2
Trova il codominio di f(x) e calcola f(-1), f(0), f(1), f(2). Determina per quali valori di x si ha f(x) = - 3
e f(x) = 2.
Il dominio di una funzione
28
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo il dominio delle seguenti funzioni:
a) y =
tg x - 1
x+2
x
x2
; c) y =
; d) y =
; e) y = arcsen
.
2 sen x - 1
ln x - 1
4
x - 6x + 5
x2 - 1
; b) y =
x 3 - 9x
2
a) L’espressione ha significato per ogni valore di x
che rende non nullo il denominatore, ossia:
x 3 - 9x ! 0 " x (x 2 - 9) ! 0.
Dominio: x ! 0 / x ! 3 / x ! - 3.
x+2
è pari,
x 2 - 6x + 5
quindi l’espressione esiste soltanto se:
b) L’indice della radice
x+2
$ 0.
x 2 - 6x + 5
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore:
x+2 2 0
per x 2 - 2;
x2 - 6x + 5 2 0 per x 1 1 0 x 2 5.
Compiliamo il quadro dei segni:
–2
Segno di N
−
Segno di D
+
N
Segno di ––
D
−
0
0
1
+
5
+
ln x - 1 ! 0 " ln x ! ln e
" x ! e.
Quindi:
Dominio: x 2 0 / x ! e.
r
d) Per l’esistenza di tg x : x ! + kr ; per l’esi2
stenza della frazione:
2 sen x - 1 ! 0 "
"x !
sen x !
1
2
"
5
r
+ 2k r / x !
r + 2k r.
6
6
Quindi:
Dominio: x !
r
+ kr /
2
5
r
+ 2k r / x !
r + 2k r.
6
6
e) Per l’esistenza di arcsen t deve essere
- 1 # t # 1, quindi:
/ x!
+
+
0
−
0
+
+
∃
−
∃
+
Dominio: -2 # x 1 1 0 x 2 5.
c) Per l’esistenza di ln x deve essere x 2 0.
Per l’esistenza della frazione deve essere:
-1 #
x2
#1
4
"
- 4 # x 2 # 4.
Si ha x 2 $ - 4 6x ! R , mentre è x 2 # 4 per
- 2 # x # 2.
Dominio: - 2 # x # 2.
1372
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
29
ESERCIZI
Tra le seguenti coppie di equazioni indica quali rappresentano la stessa funzione.
—
a) y = ln x ,
y=
1
ln x ;
2
d) y =
b) y = ln (x - 3)2,
y = 2ln(x - 3);
e) y =
y = 1;
f) y =
c) y =
x
,
x2
sen x
+ 1,
sen x
y = 2;
x $ 2-x,
x3
,
x2
y=
x (2 - x) ;
y = x.
Determina il dominio delle seguenti funzioni.
30
—
31
—
32
—
33
—
34
—
35
—
36
—
37
—
38
—
39
—
40
—
41
—
42
—
43
—
44
—
45
—
46
—
47
—
48
—
49
—
y = x3 - 4x ;
y=
x 2 - 3x + 1
;
x3 - 2x + 4
x+2
y= 2
;
x - 2x - 8
x-1
.
x 2 + 3x
[R; x ! 0 / x !- 3]
x2 + 4 +
y=
y=
y = tg x + x2 - 2x ;
1
.
ex - 1 - 1
2- 3
y=
.
x
4 - x2
y = ln
.
6x
y=
3
x 2 - 6x ;
- 2x
;
x + 4x + 4
x-1
y= 2
;
x - 4x
x2 - 1
y=
;
x
y=
2
1
.
x+3
y=
2x2 + x - 1
.
x-1
y=
x
.
2x 2 - 5x - 3
1
y=
.
(2x 2 - 4x) (x + 3)
y=
[x ! - 2; x ! - 3]
[x ! - 2 / x ! 4; x ! 1]
: x ! r + kr; x ! 0D
2
[R; x 1 - 2 0 0 1 x 1 2]
: x # 0 / x ! - 2; - 1 # x # 1 0 x 2 1D
2
: x ! 0 / x ! 4; x ! - 1 / x ! 3D
2
[- 1 # x 1 0 0 x $ 1; x ! 0 / x ! 2 / x ! - 3]
y=
ln2 x
;
1 - ln x
y = ln ln x .
y=
sen 2x
;
cos x - 1
y = ln x 2 - 4 .
[x ! 2kr; x 1 - 2 0 x 2 2]
ln x
.
x2 - 25
[R; x 2 5]
y = (1 - 2x) e-2x;
2x - 1
;
x3 + 4x 2 - 2x - 8
1
y=
;
ln x + 1
y=
y=2
x
x-3
;
y=
[x 2 0 / x ! e; x 2 1]
2x - 1 + 4 - x .
y=
x-1
.
x
y=
y=3
x2 - 4
+
1
.
6+x
1
.
1
ln - 1
x
y=
4- x ;
y=
y=
ln (x + 3) ;
y = ln ( x - 4).
y=
x+2
1
e
-1
;
y = ln ln (x - 2);
y=
1
+ tg x ;
sen x
y = ln (2x - x );
: x ! ! 2 / x ! - 4; 1 # x # 4 D
2
: x 2 0 / x ! 1 ; x 1 0 0 x $ 1D
e
[x # 0 0 x 2 3; x # - 2 0 x $ 2 / x ! - 6]
:- 4 # x # 4; x 2 0 / x ! 1 D
e
[x $ - 2; x 1 - 4 0 x 2 4]
2x - 1
.
2x
1
y = tg x +
.
sen x
[x ! - 2; x 2 0]
y=
y=
y=
ln x + 4 - x .
1
.
ln (x + 1)
: x 2 3; x ! k r D
2
:kr 1 x 1 r + kr; 1 # x # 4 D
2
1
: x 2 ; x 2 - 1 / x ! 0D
4
1373
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
50
—
51
—
52
—
53
—
54
—
55
—
56
—
57
—
58
—
59
—
60
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
2
+ 1 - x2 .
1 - 3x
y=
x+6
.
x2
y=
3x
.
x+1
[x ! - 3; x 2 - 1 / x ! 0]
y=
ln (e x - 1)
.
x-1
: 1 # x # 1; x 2 0 / x ! 1D
2
ln (x - 4)
;
ln x - 4
y=
2x - 4x .
y = ln
x+1
;
x-3
y=
ln
y=
2x
;
x - 2x
y=
x 2 - 4x
.
x - 5x + 4
ln (x 2 - 3) + ln x ;
y=
y=
62
63
—
64
—
65
—
66
y=
67
68
—
69
—
2x + 4 - 2
3
y=
[x # - 6 0 0 1 x 1 9; x $ - 6 / x ! 0]
1
1
y=
;
2
sen x
;
cos2 x - cos x
[x 2 4 / x ! e 4 ; x # 0]
3-x
.
1 - x2
[x 1 - 1 0 x 2 3; - 1 1 x 1 1]
[x ! 0 / x ! 2; x # 0 0 1 1 x 1 4 0 x 2 4]
2
; x $ 2; x 2 0 / x !
1
.
ln2 x + 3 ln x + 2
: x ! r + kr / x ! 2kr; r + 2kr # x # 5 r + 2kr D
2
6
6
ln (2 sen x) .
y=
: x ! ! 2 / x ! 1; x ! 0 / x ! 1 / x ! ! 2D
2
y=
2x
;
x 2 - x3 + 4x - 4
y=
y=
x
;
x3 - 2x + 1
y=
1 - 4x
.
x3 - 2x2 - 9x + 18
y=
2+x
;
x- x
y=
x
.
x3 - 3x 2 + 2x - 6
y=
x-3
;
x 4 - 3x 2 + 2
y=
x-1 -2 +
y=
1
;
3 cos 2 x - sen2 x
y=2
2 cos x - 1 + sen x ; y =
y=
y=
x-1
;
x2 - 4 x
x2 - 3 - 1 ;
y=
y=
1
1
/x ! E
e
e2
1
1
+
; y = ln sen x + ln tg x .
2 cos x + 1
sen x
:2kr 1 x 1 r + 2kr / x ! 2 r + 2kr; 2kr 1 x 1 r + 2kr D
3
2
y=
—
—
6+x
;
9x - x 2
y = - ln x + 2x - 1 ;
—
—
x
;
4x2 - 3x
y=
—
61
:x 2 0 / x ! 3 ; - 1 # x 1 1 D
3
4
y=
y=
1
;
x-1 -3
y=
tg 2 x - 1 + sen x ;
y=
5
.
1
b2 - l (4 - x 2)
x
sen x
+2
cos x
.
1
+ cotg x .
tg 2 x - 3
x+5
.
x3 + x 2 - 2x
y = x ln x .
y=
.
1
1+
1
x
5
; x ! 2 / x ! ! 3E
[x 1 0; x ! 3]
x - 1.
[x ! ! 2 / x ! ! 1; x # - 1 0 x $ 3]
: x ! ! r + kr; 2kr # x # r + 2kr D
3
2
:2kr # x # r + 2kr; x ! k r / x ! ! r + kr D
3
2
3
[x ! 0 / x ! ! 4; x ! - 2 / x ! 0 / x ! 1]
[x # - 2 0 - 2 # x #
1
1+
;x ! 1 / x ! - 1 !
2
2 0 x $ 2; x ! 0]
: x ! - 2 / x ! 4; x ! - 1 / x ! - 1 / x ! 0D
2
y = ln (1 - 4 cos2 x).
: r + 2kr # x # 3 r + 2kr / x ! r + 2kr; r + kr 1 x 1 2 r + kr D
4
4
2
3
3
1374
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
70
—
71
—
72
—
73
—
74
—
75
—
76
—
77
—
78
—
79
—
x-5
;
3x 2 - 5x - 2
y=
y=
e
x-1
x
-1;
y=
ln (x + 1)
;
2x - 1
y=
2
+
x3 - 25x
y=
4- x-1
x 2 - 2x
y=
sen x
1 - tg x
y=
x -1;
1 - x2
x
[x 1 0 0 x $ 1; - 1 # x # 1 / x ! 0]
.
y=
1
.
2 $ 4x - 5 $ 2x + 2
y=
x
.
x 4 - 7x 2 + 12
[x 2 - 1 / x ! 0; x ! ! 1]
[x # - 1 0 x $ 1 / x ! ! 5; x ! ! 2 / x ! ! 3 ]
: x ! r + kr / x ! r + kr D
4
2
x-1
;
2x - 5x 2 + 2x
y=
e
3
1
;
x - x2 - 2
1
y=
;
ln (2 x - 1)
y=
y=
x8 - 15x 4 - 16
.
x-6
[x 1 1 / x ! 0; x # - 2 0 x $ 2 / x ! 6]
y=
x2 - 1
.
x + 3x 2 - 4x - 12
: x 1 0 0 1 1 x # 1 0 x 2 2; x ! - 3 / x ! ! 2D
2
y=
3
3
1
2
+
.
x-4
x -2
[x $
4 - x2 ).
y = ln (x -
—
81
—
82
—
83
—
84
—
85
—
86
—
87
—
88
—
89
—
90
—
91
——
y = (tg x) x ;
Z x-1
]
y = [ 31 - x
] x-4
\2
y = ln
y=
2 1 x # 2]
:kr 1 x 1 r + kr; 2kr 1 x 1 r + 2kr D
2
y = (sen x) x .
se x # 0
2 / x ! 2; x ! ! 2 / x ! 4]
[x 2 0 / x ! 1;
1
80
:- 1 1 x 1 2 0 x $ 5; x $ 3 D
4
3
[x 1 0 0 x 2 2]
1 - x5
;
x2 - x
y=
x + 7 - 4x - 3 .
y=
ESERCIZI
[x ! 4; x 1 2 0 x 2 4]
; y = ln ln x - 3 .
se x 2 0
x
;
x-3 -5
y = ln
1
;
e- x ln x
1
+ ln (x3 - x).
x2 - 4
[x 1 - 2 0 x 2 8; x 2 2]
: x 2 0 / x ! 1; - 1 + 2 1 x # 1 D
2
y = ln (x - 1 - 2x ).
y=
x 4 (x + 2)
;
x+1 +x+1
y=
x
+
x-1
y=
2x2 - x - 1
;
6x + 3
y=
x2 - 3x + 4 - 2 .
y=
1
;
tg x (1 - 2 cos x)
y=
1
+
x 2 - 5x + 6
x2 - 9 .
[x 2 - 1; x $ 3]
[x $ 1; x # 1 0 x $ 2]
r
r
r
y = sen x + cos x + tg x . : x ! k / x ! ! + 2kr; 2kr # x 1 + 2kr D
2
3
2
1
;
x-1
y=
x
.
x - 1 + x2 - x
[1 1 x 1 2 0 x 2 3; x $ 0 / x ! 1]
y=
ln x
sen x + 1
3r
r
r
r
; y=
. :x !
+ kr / x ! + kr; x ! 0 / x ! + kr / x ! + kr D
tg x - 1
4
2
4
2
2 cos 2 x + sen 2x
y=
x-1
ln (x2 - 3)
y=
y=*
[x 2
3 / x ! 2]
22x - 2 x - 2 - 2 - 2 x
x-1
x
arctg x
se x # 1
se x 2 1
;
- arcsen x
y=*
r
tg b x - l
4
[x = 1]
se x # 0
se x 2 0
3
. : x ! 0; - 1 # x # 0 0 x 2 0 / x ! r + kr D
4
1375
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
92
——
93
——
94
——
95
——
96
——
97
——
98
——
99
——
100
——
101
——
102
——
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
y = log 1 log 2 (4 - x2) ;
y=
2
ln x + e x ;
y=
y=
r
sen x $ cos b x - l
4
y=
ln x - 3
e
log 2 (x + 2)
1
x2 - 4
x-2
x
;
103
104
——
105
——
106
——
107
——
108
——
109
——
3 ; x ! kr / x !
3
r + kr D
4
[x $ 1; x $ 2]
2
; x ! 0 / x ! 2 / x ! 3E
2
tg x - 1
.
sen x
y=
: x 1 - 2 0 x $ 0; r + 2kr # x 1 r + 2kr 0 r + 2kr 1 x # 5 r + 2kr 0 3 r + 2kr 1 x 1 2r + 2kr D
4
2
4
2
sen x
y = ln
y = sen x - cos x ;
.
1 - 2 cos x
: r + 2kr # x # 5 r + 2kr; r + 2kr 1 x 1 r + 2kr 0 5 r + 2kr 1 x 1 2r + 2kr D
4
4
3
3
tg x
:0 1 x # 1; x ! r + kr / x ! r + r k D
y = ln arcsen x ;
y=
.
2
4
2
1 - tg 2 x
1
.
2 sen2 x - sen x - 1
: r + 2kr # x 1 r + 2kr; x ! r + 2kr / x ! 7 r + 2kr / x ! 11 r + 2kr D
2
6
2
6
6
1
: R; x 2 0 / x ! 1 / x ! 1D
y=
.
27
log32 x + 3 log3 x
y = ln cos x + 2 sen x - 1 ; y =
y=
3 x + 3 $ 3- x - 3 ;
y = arcsen (1 - 2x) + ln 2x ;
y=
y = arcsen 1 - x ;
y = arctg
y = ln (x2 - x ) ;
y=
arcsen (x + 1) .
x
.
1 - x2
y=
y=
2
log 2 (1 - x)
x-2
.
ln ln x
[x 1 - 1 0 x 2 1; x $ 2 / x ! e]
y=
y=
y=
:0 1 x 1 1; r + 2kr 1 x 1 5 r + 2kr D
4
4
y = ln (sen x - cos x) .
2
1
; y=
.
cos 2 x - sen2 x - 2 sen x cos x
sen x + 1 - tg x
:2kr # x # r + 2kr 0 r + 2kr 1 x # r + 2kr; x ! r + k r D
4
2
8
2
y = arcsen
y=
;
[0 1 x # 1; - 1 # x # 0]
[0 # x # 1; x ! ! 1]
log 1 (1 - x)
——
:- 3 1 x 1
;x ! !
.
-1
se x $ 0
se x 1 0
.
ln x + (x - 2) e x .
y=
1
;
2
9x - 3
y=*
1
x-1
;
x
x-1
-1;
1 + 2x
y = arcsen x + arccos
y=
x2 - 4
+ 1- x ;
x-3
x+3-
x 2 - 2x - 3 ;
log 2 x + 4
;
log 1 (x + 4)
2
1
+
x2 (x + 1)
y=
y=
1
.
x
1
1
. :- 2 # x # 0 / x ! - ; x 2 - 1 / x ! 0 / x ! 1D
2
x-1
x4 - x2 - 2
.
2x x - 1
1-
x + 2x 2 .
y = log 1 (sen x - cos 2x).
2
: x $ 1 ; x =- 1 0 x = 1D
2
[0 # x # 1; x # - 2 0 x $
2]
:- 3 # x # - 1 0 x $ 3; - 1 # x # 1 D
2
2
:0 1 x # 1 ; r + 2kr 1 x 1 5 r + 2kr D
16 6
6
1376
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
110
——
111
——
112
——
113
——
114
——
115
——
116
——
117
——
118
——
119
——
120
——
121
——
122
——
123
——
124
——
125
——
126
——
127
——
128
——
129
——
130
——
131
——
y=
: r + 2kr 1 x 1 3 r + 2kr 0 r + 2kr # x # 2r + 2kr / x ! r + kr D
4
4
2
tg x
cos x (2 sen x - 2 )
y=
: r + kr 1 x 1 r + kr / x ! 3 r + k r D
4
8
2
1
ln (2 sen2 x - sen 2x)
: r + 2kr 1 x 1 7 r + 2kr D
2
6
y = ln (sen x - 3 cos x - 1)
y=
1
arctg
x
1-x
y = arccos
ESERCIZI
;
4 - x2
;
x2
[x ! 0 / x ! 1; e- 1 # x # e]
y = arcsen 3 x .
[x # - 2 0 x $
2 ; x # 0]
x-2
.
[e- 1 # x # e / x ! 1; x $ 2 / x ! e]
ln ln x
1
y = sen 2x - cos x ;
y=
+ cos x .
2 sen x - 1
: r + 2kr # x # r + 2kr 0 5 r + 2kr # x # 3 r + 2kr; - r + 2kr # x # r + 2kr / x ! ! r + 2kr D
6
2
6
2
2
2
6
y=
1
;
arcsen ln x
y = arcsen ln x .
y=
y = (x3 - 4x) r ;
y=
log 2
y = ln b
y = (x2 - 1)
x
.
[- 2 # x # 0 0 x $ 2; x 2 1]
x-1
-1
x-3
[3 1 x # 5]
x l
ln x
[x 2 1]
: x 2 1 / x ! 1D
2
y = log x (2x2 - x)
: 3 # x # 1/ x ! 7 D
4
8
ln (2x - 1 - x )
1
ln b x + l
8
y = ln ln ln x - 1
y=
x-1
x
2x - 1
+
y = arccos
x+1
[x 1 1 - e 0 x 2 1 + e]
y = arcsen log 2
y=
[x # - 1 0 x $ 2]
x2 + 1
1-x
[0 # x 1 1]
arcsen ln (x - 1)
[2 # x # e + 1]
y = (2 - x + 1) ln (x - 2)
[2 1 x 1 3]
y = (1 - cos ln x) ln (1 - cosx)
[x 2 0 / x ! 2kr / x ! e2kr, k ! N - {0}]
y=
log 2 x2 - x - 1 +
y=
- 2 sen2 x + 3 sen x - 1
ln cos x
y=
2 log 22 x - 7 log 2 x - 4
y=
ln (4 x - 4 $ 2 x - 32)
4 x + 8 - 32 - 2 $ 2 x
1 - log 1 x
[x $ 2]
3
: r + 2kr # x 1 r + 2kr D
6
2
;0 1 x # 2 0 x $ 16E
2
[3 1 x # 4]
1377
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
132
——
133
——
134
——
135
——
136
——
137
——
138
——
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
log 2 (x - 2) - log 4 x + 3 log8 x - 4
y=
y = log 2
[x $ 16]
: x 1 1 0 3 1 x 1 3 / x ! 2D
2
3 - 2x
ln x - 2
:- 2 # x # 1 0 x $ 3 / x ! 0 / x ! 1 D
3
y=
x3 - 2x 2 - 5x + 6
3x 2 - x
y=
ln (x - 2) + ln (x + 5) - ln (x2 - 7x)
8 - 2x - 6
: x 2 7 / x ! 15 D
2
y=
2x + 3 - x - 1 + ln x 2 + 1 - 2x
ln (4 - x)
[1 1 x 1 4 / x ! 3]
y = barccos log 2
y = 7 log 1 (x - 3)A
2x - 1 l
x+1
:x $ 5 D
7
x
: 7 # x 1 4D
2
2 x -7
2
Il dominio e i parametri
Determina il dominio delle seguenti funzioni al variare del parametro k.
139
—
140
—
141
—
142
——
143
——
:k 1 0: x # 1 , k = 0: b x ! R, k 2 0: x $ 1 D
k
k
kx - 1
y=
k-1
x
y=2
[k 1 1: b x ! R, k = 1: 6x ! R, k 2 1: x ! 0]
[k # - 3: b x ! R, k 2 - 3: x 2 0]
y = ln (x k + 3 )
y=
1
x2 - k
y=
[k 1 0: 6x ! R, k = 0: x ! 0, k 2 0: x ! ! k ]
x 2 + 2k
[k 1 0: x # - - 2k 0 x $ - 2k , k $ 0: 6x ! R]
Nelle seguenti funzioni determina i valori del parametro affinché il dominio sia quello indicato a fianco.
144
——
145
——
a) y =
2
,
ax2 + 2x + 5
a) y = ln (k - 3x),
1
,
D: R .
4x2 - ax + a - 2
: a) a = 1 ; b ) 8 - 4 2 1 a 1 8 + 4 2 D
5
D: x !- 5 ;
b) y =
D: x 1- 3 ;
b) y = e x2 - kx - k - 1 ,
2x
D: x ! - 1 / x ! 3 .
[a) k =- 9; b) k = 2]
Per le seguenti funzioni determina il valore di a e b affinché il loro grafico passi per il punto P e il dominio sia
quello indicato a fianco.
146
——
147
——
148
——
f (x) =
ax 2 + 2x + a
,
x - 2b
a-5
,
2 x - 2b - 1
a-x
f (x) =
,
2 log 2 x - b
f (x) =
P = (1; - 1),
D: x ! 2 .
:a =- 1 , b = 1D
2
P = (0; 1),
D: x ! 3 .
[a =- 2, b = 4]
P = (1; 0),
D: x 2 0 / x ! 2 .
1378
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[a = 1, b = 2]
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
ESERCIZI
La ricerca del codominio di una funzione
149
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo il dominio e il codominio delle seguenti funzioni:
x2 - 2
a) y =
;
b) y = e- x + 1;
c) y = 2 sen 3x - 2 .
x
x2 - 2
a) La funzione y = f (x) =
è definita per
x
x ! 0.
Ricaviamo la variabile x in funzione della y:
y ! y2 + 8
.
x 2 - xy - 2 = 0 " x =
2
I valori del codominio sono quei valori di y per
i quali la x è definita e appartiene al dominio
della funzione, cioè x ! 0. Poiché l’espressione
di x che abbiamo ottenuto è definita per ogni y
reale ed è sempre diversa da 0, il codominio di
f(x) è l’insieme C = R.
Poiché, per l’esistenza di x, deve essere
y - 1 2 0 , ossia y 2 1, il codominio è:
C: y 2 1.
c) La funzione è definita per ogni x ! R . Troviamo ora le condizioni per y. Si ha
y+2
,
sen 3x =
2
e poiché è sempre - 1 # sen a # 1
scriviamo:
y+2
-1 #
# 1 " -2 # y+2 # 2 "
2
" - 4 # y # 0.
b) La funzione è definita per ogni x ! R .
Ricaviamo x in funzione di y:
Quindi il codominio è:
e- x = y - 1 " - x = ln (y - 1) "
" x =- ln (y - 1).
C: - 4 # y # 0 .
Determina il dominio e il codominio delle seguenti funzioni.
150
—
151
—
152
——
153
——
y=
2-x;
y = x 2 - 2x ;
y = 1 - sen
1
: D: x # 2, C: y $ 0; D: x ! b r - 1l + kr, C: R D
2
y = 3 tg (x + 1).
y=
1
;
x
y = e x - 1;
2-x
.
x
[D: R, C: y $- 1; D: x ! 0, C: y ! - 1]
y = 1 - 4x 2 .
: D: x ! 0, C: 0 # y # 2 / y ! 1; D: - 1 # x # 1 , C: 0 # y # 1D
2
2
y = ln (2 - x).
[D: x ! 0, C: y 2 - 1 / y ! 0; D: x 1 2, C: R]
Lo studio del segno di una funzione
154
—
Osservando il grafico della figura, indica il dominio e il codominio della funzione. Indica inoltre per quali
valori di x la funzione è positiva e per quali è negativa.
y
y
1
O
–3
a
2
3
5
O
–1
x
3
–1
b
1379
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Disegna il grafico delle seguenti funzioni e deduci da esso il dominio, il codominio e il segno.
155
——
156
——
161
x-4
y=
y=
157
——
x+3
4-x
158
——
y=
x
- 2x + 1
x
159
——
y = x2 - 3 x - 4
160
——
y = log 1 x
2
y=
3 sen x + cos x
ESERCIZIO GUIDA
Studiamo il segno della seguente funzione nel suo dominio:
ln x - 1
y = f (x) =
.
x x+1
Compiliamo il quadro dei segni:
Determiniamo il dominio:
Zx 2 0
]
]x ! 0
[
F
]] x + 1 ! 0
\x + 1 $ 0
esistenza di ln x
0
e
esistenza della frazione
esistenza del radicale
−
Segno di N
Quindi D: x 2 0 .
Segno di D
0
+
Per studiare il segno della funzione analizziamo
separatamente numeratore e denominatore.
Numeratore:
N
Segno di ––
D
∃
−
0
+
+
0
+
La funzione y = f (x) esiste soltanto per x 2 0 :
ln x - 1 2 0 " ln x 2 1 "
" ln x 2 ln e " x 2 e .
Denominatore:
x x + 1 2 0 " x 2 0 (essendo il radicale
sempre positivo).
f (x) 2 0
f (x) 1 0
f (x) = 0
per
per
per
x 2 e;
0 1 x 1 e;
x = e.
Studia il segno delle seguenti funzioni nel loro dominio.
162
—
163
—
164
—
165
—
166
—
167
—
168
—
169
—
170
—
y=
2x
2 -2
[D: x ! 1; y 2 0 per x 2 1]
x
y = ln (2 sen x)
x2 - 2x
x3
y=
: D: 2kr 1 x 1 r + 2kr; y 2 0 per r + 2kr 1 x 1 5 r + 2kr D
6
6
[D: x $ 2; y 2 0 per x 2 2]
x-1
x-4
[D: x 1 1 0 x 2 4; y 2 0 per x 2 4]
y=
2- x
x-1
[D: x 2 1; y 2 0 per 1 1 x 1 2]
y=
x-4
x (1 - x) 2
y=
x 2 - 5x + 4
x 2 - 3x
y=
1 - 2 sen x
cos 2 x
y = ln
y=
ln x
x - x-1
[D: x ! 0 / x ! 1; y 2 0 per x 1 0 0 x 2 4]
[D: x ! 0 / x ! 3; y 2 0 per x 1 0 0 1 1 x 1 3 0 x 2 4]
: D: x ! r + kr; y 2 0 per - 7 r + 2kr 1 x 1 r + 2kr, x ! - r + 2kr D
2
6
6
2
: D: x 2 0 / x ! 1 ; y 2 0 per 0 1 x 1 1 0 x 2 1D
2
2
1380
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
171
—
172
—
173
—
174
—
175
—
176
——
177
——
y=
x-1
x + 3 ln (x - 2)
y=
e 2x - 1 - 1
ex - 1
y=
x2 - 4
9x 2 - x3
y=
x+3
(x2 - 1) (- x2 + 4)
y=
y=
y=
[D: x 2 2 / x ! 3; y 2 0 per x 2 3]
: D: x ! 0; y 2 0 per x 1 0 0 x 2 1 D
2
[D: x ! 0 / x ! 9; y 2 0 per x 1 - 2 0 2 1 x 1 9]
[D: x ! ! 1 / x ! ! 2; y 2 0 per x 1 - 3 0 - 2 1 x 1 - 1 0 1 1 x 1 2]
25 - x2
x + x2 - 4x
[D: - 5 # x # 5 / x ! 0; y 2 0 per - 5 1 x 1 5 / x ! 0]
ln x
ln (x - 1)
[D: x 2 1 / x ! 2; y 2 0 per x 2 2]
: D: 0 1 x # 1 0 x 2 1; y 2 0 per 0 1 x 1 1 0 x 2 1D
2
2
1 - 4x 2
log 1 x
2
178
——
179
——
180
——
ESERCIZI
y=
arcsen x
1 - 4x 2
: D: - 1 1 x 1 1 ; y 2 0 per 0 1 x 1 1 D
2
2
2
y=
log 2 x
1 - log 2 x
[D: x $ 1 / x ! 2; y 2 0 per 1 1 x 1 2]
y = cos x + sen 2x
: D: R; in [0; 2r] y 2 0 per 0 # x 1 r 0 7 r 1 x 1 3 r 0 11 r 1 x # 2r D
2 6
2
6
log 1 x - 3
181
——
182
——
183
——
184
—
y=
2
[D: x 2 1 / x ! 2 / x ! 3; y 2 0 per 1 1 x 1 4 / x ! 2 / x ! 3]
log3 (x - 1)
y=
22x + 2 $ 2 x - 8 - 2 x + 1 + 8
y=
sen x
: D: - r + kr 1 x 1 r + kr; y 2 0 per 2kr 1 x 1 r + kr 0 r + 2kr 1 x 1 r + 2kr D
2
4
4
2
1 - tg x
Data la funzione f (x) =
x2 - 1
,
x
a) determina il dominio di f (x);
b) studia il segno;
c) calcola, se possibile, i seguenti valori:
1
f (0), f (-1), f (4), f b l, f (1- x), f (x + a).
2
[D: x $ 1; y 2 0 per x 2 2]
185
—
Data la funzione f (x) =
a) determina il dominio di f (x);
b) studia il segno;
c) calcola, se possibile, i seguenti valori:
1
f b l, f (1), f (e), f (x + 4).
2
I grafici delle funzioni e le trasformazioni
geometriche
186
x-4
,
ln x
IN PRATICA
䉴
Videolezione 62
ESERCIZIO GUIDA
Disegniamo il grafico delle seguenti funzioni:
a) y = 2 + ln (x + 1);
b) y =- sen x + 1;
c) y = - 2cos x.
a) Tracciato il grafico di y = f (x) = ln x (figura a), otteniamo quello di y = 2 + f (x + 1) =
= 2 + ln (x + 1), con una traslazione di vettore v (- 1; 2) (figura b).
1381
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
y
y
y = ln x
y = 2 + ln(x + 1)
y = ln x
2
"
v (–1; 2)
O
–1 O
x
1
a
x
1
b
b) Tracciato il grafico di y = f (x) = sen x (figura a , sotto), otteniamo quello di y = f ( x ) = sen x
per x 1 0 con una simmetria rispetto all’asse y del grafico di y = f(x) che si ha per x $ 0 e che rimane
invariato (figura b, sotto).
Otteniamo poi il grafico di y =- sen x con una simmetria rispetto all’asse x (figura c). Eseguiamo
poi una traslazione di vettore v (0;1) per ottenere il grafico di y =- sen x + 1 (figura d ).
y
y
y
y = sen x
1
–1
x
O
a
1
O
x
–1 O
b
y = – sen |x| + 1
y = – sen |x|
y = sen |x|
1
y
2
1
x
–1
c
x
O
d
c) Tracciato il grafico di y = f (x) = cos x (figura a , sotto), otteniamo quello di y = - f (x) = - cos x
con una simmetria rispetto all’asse x del grafico di y = f (x) (figura b, sotto).
Otteniamo poi il grafico di y = - 2 cos x con una dilatazione verticale con n = 2 (figura c, sotto).
y
y
y
y = cos x
2
1
–π
π
O
–1
y = – 2 cos x
y = – cos x
1
2π
–π
x
–1
O
2π
π
O
–π
x
π
2π
x
–2
a
b
c
Rappresenta le seguenti funzioni nello stesso piano cartesiano.
x
cos x
189
187
y = cos x;
y = cos ;
y=
.
—
2
2
—
188
—
191
—
y = tg x ;
y = tg (x + 1);
y = tg x + 1.
Graph the function f (x) = (
190
—
y = cotg x ;
y = cotg x ;
y = cotg x .
y = ln x ;
y = ln (- x);
y =- ln (x).
e- x
if x 1 0
.
x
e + 1 if x $ 0
(USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, 2002)
1382
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
ESERCIZI
Disegna i grafici delle seguenti funzioni.
192
—
193
—
194
—
195
—
196
—
197
—
204
—
205
—
206
—
y = cos x + 3 ;
y =- sen x .
198
—
y = 2 x - 1;
y = 2 x - 1.
y = cos b
y=
r
- xl;
6
199
—
1
cotg x .
2
200
——
201
y = 2 tg x ;
y = cos 2x - 1.
——
y =- e x ;
y = ex - 1 + 4 .
——
y = - cos x + 2 ;
202
203
y =- tg 2x .
——
y = 4 - x2 + 2 ;
y = cos b x +
y = sen
y = 2 sen (- x) .
rl
- 1;
4
x
+ 2;
4
y = ln (x - 2) .
y=
1
sen x + 2 .
4
y =- 2 ln (- x);
y =- ln x + 1.
y =- 3 sen b2x -
rl
x
r
; y = tg b - l .
3
2
4
y = 2 cos b
x
r
- l;
2
6
y =- ln (x - 2) + 1.
Dopo aver disegnato il grafico di y = f (x) = sen x, traccia i grafici di y = f (x) , y = - f (x),
y = f (x) + 1, y = f ( x ) .
Disegna il grafico della funzione y = f (x) = log 2 x . Successivamente traccia i grafici di y = - f (x),
y = f (x + 2), y = f (x) + 2, y =- f ( x ) .
Data la funzione y = f (x) rappresentata nel grafico della figura seguente, disegna i grafici delle
funzioni:
y = f (x) , y = f ( x ), y = - f (x) -2, y = f (-x).
207
——
In figura è rappresentato il grafico della funzione y = f (x). Disegna i grafici delle funzioni:
y = f (x -1), y =
y
1
–2
O
f (x)+ f (x)
, y =- f (x) .
2
y
y = f(x)
3
y = f(x)
x
O
1
2
x
–1
–2
208
—
209
—
210
—
211
——
Disegna il grafico di f (x) = 2x-1 e dimostra che f (-x) $ f (x) = f (-1).
Disegna il grafico di f (x) = ln x + 1 e poi traccia i grafici di -f (-x), f (x - 4), f (x - 1) - 1.
Determina la funzione y = f (x) = ax 2 + bx + c, il cui grafico passa per A(-1; -1), per B(-2; 0) e per
l’origine O, e rappresentala graficamente. Disegna poi i grafici di y = f (-x) + 1, y = - 2f (-x),
y = f (x) - 2 .
[y = x 2 + 2x ]
Disegna il grafico di f (x) = - cos x e poi quello delle funzioni 2 f (2x), - f (x) - 2,
f (x)
- 2.
f (x)
1383
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
212
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
ESERCIZIO GUIDA
Disegniamo il grafico delle seguenti funzioni:
x-1
a) y = f (x) =
;
x-2
b) y = f 2 (x);
c) y =
d) y =
f (x) ;
1
.
f (x)
x-1
ha come grafico una funzione
x-2
omografica e cioè un’iperbole equilatera con asintoti x = 2 e y = 1
(figura a).
a) La funzione y = f (x) =
y
x–1
y =––––
x–2
1
Ha il centro di simmetria in (2; 1) e interseca gli assi cartesiani in
1
(1; 0) e b0; l .
2
O
1
2
1
2
1
2
x
a
b) Per il grafico di y = f 2 (x) (figura b) conviene disegnare subito il
grafico di f (x) e poi sfruttare le seguenti informazioni:
1
1
1. per x = 0 si ha f (x) = , quindi f 2 (x) = ;
2
4
2
2. nell’intervallo in cui f (x) 1 1 si ha f (x) 1 f (x) ;
y
x –1
y= ––––
x –2
(
2
)
1
3. negli intervalli in cui f (x) 2 1 si ha f 2 (x) 2 f (x) .
O
x
x–1
y = ––––
x–2
b
c) L’andamento del grafico di y =
zando le seguenti informazioni:
1.
2.
3.
4.
f (x) (figura c) si ottiene utiliz-
per 1 1 x 1 2, f (x) 1 0 , quindi f (x) non esiste;
per x = 1, f(x) = 0, quindi f (x) = 0 ;
per x 1 1, 0 1 f (x) 1 1, quindi f (x) 1 f (x) 1 1;
per x 2 2, f (x) 2 1, quindi 1 1 f (x) 1 f (x) .
y
x –1
y = ––––
x– 2
1
O
c
1384
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
x–1
y =––––
x–2
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
1
d) Le informazioni utili per disegnare il grafico di y =
(figura
f (x)
d) sono:
ESERCIZI
y
x– 1
y =––––
x– 2
1. il valore di x per cui f(x) = 0, e cioè x = 1; per x che tende a 1:
1
1
tende a + 3 ; se f (x) 1 0,
tende a
se f (x) 2 0,
f (x)
f (x)
- 3;
2. il valore di x per cui f(x) tende a !3, e cioè x = 2; per x che
1
tende a 2, f(x) tende a !3, quindi
tende a 0;
f (x)
1
1– O
2
2
1
x
x– 2
y =––––
x– 1
d
3. il valore di x per cui f (x) = ! 1; poiché per x che tende a
1
- 3 e a + 3 , f(x) tende a 1, anche
tende a 1.
f (x)
Traccia il grafico della funzione y = f (x) e poi quello della funzione indicata a fianco.
y = f(x) = x2 - 4x,
213
—
y = f (x) =
214
—
y = f 2 (x).
1
,
x-1
y=
y = f (x) = sen x ,
215
—
y=
216
—
f (x) .
217
—
1
.
f (x)
218
—
y = f (x) =- ln (x - 1), y = f 2 (x).
y = f (x) = e x + 1 - 1,
y=
y = f (x) =- tg x ,
y=
Disegna i grafici delle seguenti funzioni, interpretandole come funzioni del tipo f 2(x),
y=
219
—
x-4
x
222
—
y = ( x - x 2) 2
220
—
y=
221
—
1
;
x 2 - 4x
223
—
y=
sen x + 1.
224
—
1
;
x2 + 2x
r
y = tg 2 b x - l ;
4
y=
2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
f (x) .
1
.
f (x)
f (x),
y = (ln x - 1) 2 ;
1
.
f (x)
1
.
e- x - 1
1
y=
.
ln x
y=
y = 2 cos2 2x .
䉴 Teoria a pag. 1359
Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive
Ogni grafico rappresenta una funzione f⬊ R " R. Indica se è una funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva.
225
y
y
—
O
a
y
x
O
b
x
x
O
c
1385
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
226
y
y
y
—
x
O
a
O
x
b
x
O
c
Per ognuna delle seguenti funzioni, indica quale sottoinsieme di R si deve prendere come insieme di arrivo
se si vuole che la funzione sia suriettiva.
227
—
y
y
1
1
—
2
O
2
1
x
O
y
1
O
x
3
x
–1
c
b
a
Data la funzione
228
—
-x
f (x) = (
x-2
se x 1 1
se x $ 1
a) rappresenta il grafico di f (x);
b) determina il dominio e il codominio;
c) studia il segno della funzione;
1
2
d) calcola f (-1), f (3), f b l e determina le controimmagini di 0 e - ;
2
5
e) f (x) è una corrispondenza biunivoca?
: b) D: R, C: y 2 - 1; c) f (x) 2 0 per x 1 0 0 1 # x 1 2 0 x 2 2; d) 3, 1, - 1 ; 0 e 2, 2 ; e) noD
2
5
Le funzioni crescenti, decrescenti e monotòne
Indica quali tra i seguenti grafici rappresentano funzioni sempre crescenti o decrescenti, precisando se lo
sono in senso stretto o in senso lato.
229
—
y
O
a
y
y
x
O
b
x
O
c
1386
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
230
—
ESERCIZI
VERO O FALSO?
a)
b)
c)
d)
e)
La funzione y = tg x è crescente in [0; r].
La funzione y = cotg x è sempre decrescente.
Una funzione biunivoca è sempre monotòna.
Una funzione monotòna è sempre biunivoca.
La funzione y = 3-x-1 è crescente.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Dopo aver rappresentato le seguenti funzioni, indica in quali intervalli sono crescenti e in quali decrescenti.
231
—
232
—
233
—
234
—
235
—
236
—
237
—
238
y='
2x - 1
7 - x2
Z
]] sen x r
2
y =[
]]- tg x r
2
\
se x # 2
se x 2 2
[cresc. per x 1 2; decr. per x 2 2]
r
r
#x#
2
2
3
r
se
1x1 r
2
2
se -
:cresc. per - r 1 x 1 r ; decr. per r 1 x 1 3 r D
2
2
2
2
y = 8 - x2
[cresc. per x 1 0; decr. per x 2 0]
:decr. per x 1 3 ; cresc. per x 2 3 D
2
2
y = x 2 - 3x - 10
1 - 3x 2
y =* x-3
x
se x # 1
- ln (x + 1)
y = *1
2x - 1
se - 1 1 x 1 0
se 0 # x 1 1
se x $ 1
x2 + 5
y = *5 - x
2x - 4
se x # 0
se 0 1 x # 3
se x 2 3
se x 2 1
[cresc. per x 1 0 0 x 2 1; decr. per 0 1 x 1 1]
3
2
[decr. per - 1 1 x 1 0; cresc. in senso lato per x $ 0]
[decr. per x 1 3; cresc. per x 2 3]
Dimostra, utilizzando il suo grafico, che la funzione
—
x-2
f (x) = * 1
- x+5
2
se 0 # x 1 4
se 4 # x # 6
3
2
è iniettiva ma non è monotòna.
239
ESERCIZIO GUIDA
Dimostriamo che la funzione f (x) =
1
è decrescente nel suo dominio.
4x + 8
Poiché il denominatore non si annulla mai, il dominio è D: R.
Una funzione è decrescente se x1 1 x2 & f (x1) 2 f (x 2). Nel nostro caso si ha:
x1 1 x2 " 4 x1 1 4 x2 " 4 x1 + 8 1 4 x2 + 8 "
1
1
.
2 x2
4 x1 + 8
4 +8
Quindi la funzione è decrescente.
1387
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ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Per le seguenti funzioni dimostra ciò che è indicato.
240
—
241
—
242
—
y = 2x3 - 3 ,
crescente.
y = ln b
243
—
y=
x + 2 - 1,
crescente.
y=b
1 lx + 1
- 4,
2
decrescente.
4 l
,
x-2
decrescente.
y = 2 + e- x + 1 ,
244
—
1
- 3,
1 - 2x
y=
245
—
decrescente.
crescente.
Le funzioni periodiche
Indica il periodo delle seguenti funzioni periodiche.
246
247
y
248
y
2π
–—
3
O
2π
x
O
a
y
—
—
—
8π
b
x
O
10π
x
c
Per ognuna delle funzioni rappresentate nei seguenti grafici indica:
a) il dominio; b) il codominio; c) il periodo, se è periodica; d) se è monotòna.
249
250
y
—
y
—
3
2
2π
O
x
1
–1
O
4π
Il periodo delle funzioni goniometriche
251
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo il periodo delle seguenti funzioni:
a) y = cos
2
x;
5
b) y = tg 4x + sen
3
x.
2
Se f (x) è una funzione di periodo T1 e m 2 0 , allora f (mx) è periodica di periodo T =
a) Il periodo della funzione y = cos x è 2r, quindi il periodo cercato è T =
T1
.
m
2r
5
= 2r $ = 5r .
2
2
5
1388
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x
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
ESERCIZI
3
x.
2
b) Il periodo della funzione si ottiene calcolando il m.c.m. dei periodi delle due funzioni tg 4x e sen
Poiché il periodo di y = tg x è r, il periodo di y = tg 4x è T1 =
è T2 =
2r
4
= r . Calcoliamo:
3
3
2
m.c.m. b
r
3
, mentre il periodo di y = sen x
4
2
1 4
3 16 l
r 4 l
r
r
; r = r $ m.c.m. b ; l = r $ m.c.m. b ;
=
$ m.c.m. (3; 16) =
$ 48 = 4r .
4 3
4 3
12 12
12
12
Trova il periodo delle seguenti funzioni.
252
—
253
—
254
—
255
—
256
—
257
—
258
——
259
——
y = sen
2
x;
3
x
;
2
y = sen x + cos
y = 2 cos 2x + sen x ;
y=
y = tg x + sen x.
[4r; 2r]
x
.
3
[2r; 6r]
:r ; rD
2 4
y = 4 sen (8x + 2).
y = sen 3x + 4 cos 5x - tg b4x +
rl
;
3
x
x
- tg ;
4
6
y = tg 2x + cotg
1
x.
2
[2r; 2r]
y = sen 4x + cos 6x.
[24r; r]
:2; r D
2
:3r; r D
4
y = sen2 2x.
y = 2 cos 4rx - sen 5rx;
y = cos
:3r; r D
5
y = cos
1
;
cos 4x
y = 2 cos
y = tg 5x.
2
x + sen 6x cos 6x;
3
y = cos2 4x + tg 8x.
Le funzioni pari e le funzioni dispari
260
—
VERO O FALSO?
Una funzione che non è dispari è pari.
Una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse x.
c) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all’asse y.
d) Date le due funzioni f e g, con f dispari e g dispari, allora è f + g dispari e f $ g pari.
a)
V
F
b)
V
F
V
F
V
F
Nei seguenti esercizi sono rappresentati i grafici di alcune funzioni. Indica quali di esse sono pari, quali dispari e
quali né pari né dispari, motivando la risposta.
261
y
—
y
O
a
y
O
x
b
O
x
x
c
1389
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ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
262
y
—
y
y
O
O
a
263
O
x
x
x
b
c
ESERCIZIO GUIDA
Stabiliamo se le seguenti funzioni sono pari o dispari:
a) f (x) =
x2 - x
;
1 - 4x 2
b) f (x) =
x3 - x
3 2 .
x
a) Determiniamo il dominio. La funzione è fratta:
1
1
" D: x ! ! ,
4
2
Preso un generico x del dominio, sostituiamo il suo opposto nella funzione:
(- x) 2 - - x
x2 - x
= f (x).
f (- x) =
2 =
1 - 4 (- x)
1 - 4x 2
1 - 4x2 ! 0 " 4x2 ! 1 " x2 !
Quindi la funzione è pari.
b) Determiniamo il dominio. La funzione è fratta:
3
x2 ! 0 " x2 ! 0 " D: x ! 0 .
Preso un generico x del dominio, sostituiamo il suo opposto nella funzione:
f (- x) =
(- x) 3 - (- x)
- (x3 - x)
x3 - x
- x3 + x
=
=
=3
3
3
3 2 =- f (x) .
(- x) 2
x2
x2
x
La funzione è dunque dispari.
Verifica che le seguenti funzioni sono pari.
264
—
265
—
y=
y=
1 + x2
;
4 - x2
3x
;
x -1
2
y=
y=
x2 - 2
;
3x 4
y = 5x - 3x 2 .
x2 + 9 - x4 ; y =
x2 - 3
.
2 - x2
Verifica che le seguenti funzioni sono dispari.
266
—
267
—
268
18
y=
3
+ 2x3 ;
x3
y = x 5 - x2 ;
3
y = 3x - x ;
y=
x
;
9 - x2
3
y=
x
.
x2
3
y=
x2
.
x
Determine (algebraically) if each function is even, odd, or neither.
—
a) y = x + 2 ;
b) y = x + 2 ;
c) y = x2 + 3 ;
d) y = x2 + 3x ;
e) y = x3 - 5x ;
f) y = x3 - 5 .
(USA Tacoma Community College, Worksheet)
[a) neither; b) even; c) even; d) neither; e) odd; f) neither]
1390
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
ESERCIZI
Fra le seguenti funzioni, indica quali sono pari, quali dispari e quali né pari né dispari, motivando la risposta.
y = x2 - 5x ;
y = 3x3 + 2x - 1;
269
—
y=
270
—
7 - x2
;
x
y=
x
;
1 + x2 - 1
3
y=
;
3 - x2
y=
271
—
272
—
273
——
274
——
275
——
——
——
[né pari né dispari; pari; dispari]
x3 - 1
;
1 - x2
y = 2 x + 1 - x.
2x
;
2 x + 2- x
y=
[dispari; né pari né dispari; né pari né dispari]
x2 - 1
;
5 + x2
y=
[pari; dispari; dispari]
y = x x2 - 1 .
[pari; pari; dispari]
y=
e x + e- x
.
x
[pari; pari; dispari]
x + x2
.
2x
[pari; dispari; dispari]
y = cos x ;
y = (sen x - cos x) 2 - 1;
y=
y = arcsen x + 2x3 ;
y = tg 2 x + sen x ;
y = log 2
y = ln (1 - x) + ln (1 + x);
y=
x3 - 2x + 1
.
x2 - 1
y=
x 4 - x2
.
x2 + 1
e- x - e x
;
e2x - e- 2x
y=
rl
;
2
x4 + 2
.
x
y = sen b x -
y = 3x 2 - 2 x + 3 ;
277
2x
.
3
y = ln x + 1;
y=
276
y=
y = x$
x3 - x
;
x+2
2-x
.
2+x
[dispari; pari; dispari]
[pari; pari; né pari né dispari]
[pari; né pari né dispari; dispari]
Per ognuna delle funzioni rappresentate nei seguenti grafici indica:
a) il dominio; b) il codominio; c) se è pari o dispari; d) se è monotòna.
278
279
y
—
y
—
3
–π
O
π
O
x
–5
–1
1
5
x
La funzione inversa
Per ognuna delle funzioni che hanno i seguenti grafici, considera un’eventuale restrizione del dominio e del
codominio in modo che la funzione ammetta la funzione inversa e disegnane il grafico.
280
y
—
y
y
O
x
O
x
x
O
a
b
c
1391
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ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
281
18
y
y
y
—
x
O
a
282
x
O
b
O
c
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo l’espressione della funzione inversa delle seguenti funzioni e il relativo dominio.
1
r
a) f (x) =
;
b) f (x) = 1 + 2 sen b x - l .
4
1 + ex
a) La funzione y =
1 + ex =
1
è definita 6x ! R. Determiniamo la relazione inversa ricavando x,
1 + ex
1
1
1
" e x = - 1 " x = ln c - 1m ,
y
y
y
e notiamo che è una funzione perché a ogni valore di y corrisponde un solo valore di x. Quindi scriviamo la funzione inversa scambiando x con y:
f - 1 (x) = ln b
1
- 1l .
x
Il dominio di f -1(x), che coincide con il codominio di f (x), si ottiene risolvendo la disequazione
1
- 1 2 0 . Esso risulta essere l’insieme " x ! R 0 1 x 1 1, .
x
b) Anche la funzione y = 1 + 2 sen b x 2 sen b x -
rl
è definita 6x ! R. Ricaviamo la relazione inversa:
4
y-1
rl
r
= y - 1 " sen b x - l =
.
4
4
2
La funzione y = sen a è invertibile se Nel nostro caso deve essere -
r
r
#a# .
2
2
r
r
r
# x- #
, e cioè:
2
4
2
r
3
# x # r.
4
4
Scriviamo allora la funzione inversa:
x-
y-1
y-1
r
r
= arcsen
" x = arcsen
+ .
4
2
2
4
Scambiamo x con y e scriviamo:
f - 1 (x) = arcsen
r
x-1
+ .
2
4
Questa funzione è definita per quei valori di x tali che - 1 #
x-1
# 1, cioè per - 1 # x # 3.
2
1392
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI
ESERCIZI
Determina l’espressione della funzione inversa delle seguenti funzioni e il relativo dominio.
283
—
284
—
285
—
286
—
287
—
288
—
: f - 1 (x) = 1 - sen x ; D: R D
2
f (x) = 2 arcsen (1 - x)
f (x) = e
: f - 1 (x) =
x-1
x
f (x) =- arctg
2
r
r
; f - 1 (x) =- tg x ; D: - 2 1 x 1 2 / x ! 0E
2
x
; f - 1 (x) =
1-x
x
f (x) =
1
; D: R E
1 + x2
: y = arccos (2 - x) ; D: 1 # x # 3D
2
f (x) = 2 - cos 2x
f (x) =
1
; D: x 2 0 / x ! e D
1 - ln x
8y = e x
1
1
ln x - 1
; D: x ! 0B
+1
In un diagramma cartesiano disegna le seguenti funzioni e le loro inverse, dopo aver considerato, se necessario,
opportune restrizioni del dominio, tali che le funzioni siano biiettive. Scrivi l’espressione analitica della funzione inversa.
289
—
290
—
291
——
292
——
293
——
294
——
y =- 4x 2 + 8x ;
y = ln x - 2 .
y = sen b x +
y =- 2x - 2 .
rl
;
4
y = ln x ;
y='
y = e- x - 1 ;
y = x2 - 6x + 5 .
y =- arctg (x - 3);
y = 1 - arcsen x .
y = ln
y=b
1
;
x-3
4x + 1
2x - 1
se x $ 0
.
se x 1 0
1 lx + 1
- 2.
2
Rappresenta graficamente le funzioni indicando quale di esse ammette la funzione inversa.
295
—
296
—
297
—
y = arcsen x + 1;
y =- arccos x -
y = arctg x -
1
.
2
r
; y = 2 arcsen (x - 2).
2
2x
è invertibile e determina la funzione inversa f - 1 (x). Disegna i
3x - 1
x D
: f - 1 (x) =
grafici delle due funzioni f(x) e f - 1 (x).
3x - 2
Dimostra che la funzione f (x) =
Le funzioni composte
298
ESERCIZIO GUIDA
Date le seguenti funzioni f e g, determiniamo f % g e g % f:
f (x) = ln x, g(x) = x 2 - 2x.
1393
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
• Possiamo effettuare la composizione f % g solo se il codominio di g è contenuto nel dominio di f.
La funzione f è definita per x 2 0, per cui occorre che:
g(x) = x 2 - 2x 2 0, cioè x 1 0 0 x 2 2.
Quindi f % g è definita sull’insieme ] - 3; 0 [,] 2; + 3 [ .
Per determinare la sua espressione, applichiamo alla variabile x la funzione g, per ottenere z = g(x), e a
z la funzione f, per ottenere y = f (z):
z = x 2 - 2x e y = ln z = ln (x 2 - 2x).
La funzione f % g : ] - 3; 0 [,] 2; + 3 [ " R è y = ln (x 2 - 2x).
• Poiché la funzione g è definita 6x ! R, la funzione composta g % f è sempre definita e il suo dominio
coincide con quello di f, cioè ] 0; + 3 [ . Per determinare g % f, applichiamo alla variabile x la funzione f,
per ottenere z = f (x), e a z la funzione g, per ottenere y = g(z):
e y = z 2 - 2z = ln2 x - 2 ln x.
z = ln x
La funzione g % f : ] 0; + 3 [ " R è y = ln2 x - 2 ln x.
Date le seguenti funzioni f e g, determina f % g e g % f.
299
—
300
—
301
—
302
—
303
—
304
—
305
f (x) = sen 2x ;
f (x) =
1
;
x - 3x2
f (x) = cos b- x +
f (x) = 2
x -4
;
g (x) =
x - 1.
g (x) = e- x + 2 .
rl
; g (x) =
6
g (x) =
[( f % g) (x) = sen (2 x - 2); (g % f ) (x) =
;( f % g) (x) =
1
. ( f % g)(x) = cos cx+1 >
x-2
.
x+3
sen 2x - 1]
+2
1
; (g % f ) (x) = e x - 3x2 E
- 3e- 2x + 4
1
-x + 2
e
r
1
+ m; (g % f )(x) =
x +1 6
<( f % g) (x) = 2
4
x-2
-4
x+3
; (g
1
cos b- x +
% f ) (x) =
2
2
H
rl
+1
6
x -4
x -4
-2 F
+3
2
Data la funzione f (x) =
, dimostra che è invertibile, trova la funzione inversa f - 1 (x) e verifica che
-4
ln
x
2
f ^ f - 1 (x)h = x .
+4
8 f - 1 (x) = e x B
Considera le funzioni f (x) =
x + 3 e g(x) = ln x + 1. Verifica che f % g ! g % f.
[( f % g) (x) = ln x + 1 + 3; (g % f ) (x) = ln ( x + 3) + 1]
Date le funzioni f(x) = x + 1 e g(x) = 2x - 3, trova f(x + 1) e g(x - 1) e risolvi l’equazione:
—
[x = 3]
f ( g(x )) = f (x + 1) - g (x - 1).
306
——
Date le funzioni f (x) =
x+1
e g(x) = x 2:
x
a) determina h = f % g ;
b) risolvi la disequazione h(x ) # f (2x).
307
—
2
;a) ( f % g) (x) = x +2 1 ; b) x $ 2E
x
Consider the functions f, g, and h, where f (x) = x2 + 1 , g (x) = 2 x , and h (x) = 4x +1 .
What are the natural domains of f, g, and h? Consider the composition f % g of the functions f and g. What
is its natural domain? What is the natural domain of g % f ? Find expressions for ( f % g) (x) and (g % f ) (x) .
(UK University of Essex, First Year Examination, 2002)
7( f % g) (x) =
4x + 1; ( g % f ) (x) = 2 x 2 + 1 A
1394
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
4
ESERCIZI VARI LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
ESERCIZI
Find the inverse of the following function and then verify that f ( f - 1 (x)) = x .
308
—
f (x) =
2
.
6x - 1
(USA Southern Illinois University Carbondale, Final Exam, 2002)
: f - 1 (x) = 2 + x D
6x
ESERCIZI VARI
Le funzioni e le loro proprietà
TEST
Se f (x) =
309
—
g(x) =
3x + 4
.
A
2x
B
3x
.
2x + 4
C
4x
.
2 - 3x
2x
e f(g(x)) = x, allora
(3x + 4)
D
E
310
Nessuna delle precedenti.
313
——
x + 1 - 2x - 1 è invertibile:
A
è:
B
è R.
C
f non è invertibile su nessun intervallo.
D
è contenuto nell’intervallo [- 1; 1].
1 D
;2 .
2
(Politecnico di Torino, Test di autovalutazione)
311
Se f ((x - 1) - 1) = x- 1 , allora f(x) è:
1
- x.
A (x - 1) - 1 .
D
x
x
.
B
E Nessuna delle precedenti.
x+1
C
x+1
.
x
(USA Furman University Wylie Mathematics
Tournament, 1999)
315
—
1.
D
5.
B
2.
E
more than 5.
C
3.
Supponi che f e g siano funzioni tali che
4-s
.
f (g (x)) = x + 2 e che f (s) =
s+1
Qual è g(t)?
2-t
A g (t) = f (t) + 2
D g (t) =
t+3
B g (t) = f (t) - 2 .
E Nessuna delle
precedenti.
t+3
C g (t) =
2-t
(USA Furman University Wylie Mathematics
Tournament, 2004)
314
——
——
A
(USA North Carolina State High School
Mathematics Contest, 1997)
Il più grande intervallo in cui la funzione
f (x) =
x
r$x
and let g (x) =
.
1+x
1-x
Let S be the set of all real numbers r such that
f ( g (x)) = g ( f (x)) for infinitely many real numbers x. The number of elements in set S is:
2x + 4
.
4
(USA Furman University Wylie Mathematics
Tournament, 1998)
——
Let f (x) =
312
——
Sia f (x) = 2x3 - 7 . Se la funzione g(x)
soddisfa (f % g) (x) = x e (g % f ) (x) = x , allora
g(x) è:
3 x+7
1
.
.
A
D
2
2x3 - 7
7
.
B
E non univocamente
3
2 x
determinata.
3
C
x +7
.
2
(USA Indiana University of Pennsylvania Annual High
School Mathematics Competition, 2003)
sen x - 1
.
tg x
b) Studia il segno e determina le intersezioni con gli assi.
c) Stabilisci se è pari o dispari e se è periodica.
r
r
: a) D: x ! k ; b) y 2 0 per + kr 1 x 1 r + kr; c) né pari né dispari; T = 2rD
2
2
a) Determina il dominio della funzione f (x) =
1395
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Per ognuna delle funzioni rappresentate nella figura seguente indica:
a) il dominio;
c) se è pari o dispari;
e) se è invertibile.
b) il codominio;
d) se è monotòna;
316
—
y
y
y
3
4
y
8
2
π
O
2π
x
O
–1
317
318
—
319
—
x
O
2π
2
x
–4
O
–1 1
4
x
–3
a
—
2
π
b
c
d
–4
Disegnato il grafico della funzione y = x , rappresenta graficamente le funzioni y =
x , y = 1- x
e y = x - 2 . Per ciascuna indica il dominio, il codominio e il segno. Quale di esse è pari? Quale è dispari?
Quale ammette inversa?
VERO O FALSO?
Se y
b) Se y
c) Se y
d) Se y
a)
= f(x) è una qualunque funzione, y = f(x) + f(- x) è una funzione pari.
= f(x) è una funzione pari e y = g (x) è dispari, allora y = f(g (x)) è pari.
= f(x) è una funzione dispari, allora y = f 2(x) è dispari.
= f(x) è una funzione dispari, allora y = f(x 2) è una funzione pari.
Data la funzione f (x) =
V
F
V
F
V
F
V
F
2-a
,
1 + ln x
a) trova per quale valore di a si ha f(1) = 1;
b) determina il dominio;
c) determina l’espressione e il dominio della funzione inversa f -1(x) per il valore di a trovato precedentemente.
1-x
:a) a = 1; b) D: x 2 0 / x ! 1 ; c) f - 1 (x) = e x , D: x ! 0D
e
320
—
- x2 - ax se x # 2
Data la funzione f (x) = (
ln (x - 1) se x 2 2
a) trova il valore del parametro a affinché il grafico di f(x) passi per il punto P(2; 0);
b) determina il dominio e disegna il grafico di f(x);
c) la funzione è invertibile?
[a) a =- 2; b) D: R; c) no]
321
—
a) Disegna il grafico della funzione y = f (x) = 1 -
1
utilizzando le trasformazioni geometriche.
x
b) Trova gli insiemi in cui è crescente o decrescente.
c) f(x) è biunivoca?
322
——
[b) cresc. per x 2 0, decr. per x 1 0; c) no]
a) Trova il dominio, il codominio e disegna il grafico di f (x) = - x 2 + 4x - 4 .
b) Determina il dominio, il codominio e disegna il grafico di
f (x)
.
f (x)
c) Trova il vettore v di una traslazione che rende f(x) pari.
[a) D: R, C: y $- 4; b) D: x ! 2 / x ! 2 ! 2 2 , C: y = ! 1; c) v = (- 2; 0)]
1396
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
323
——
Indica quale delle seguenti funzioni ha come grafico quello rappresentato nella figura a lato. Per ciascuna di esse determina il
dominio, il codominio, il segno, stabilisci se è monotòna, pari o
dispari, invertibile. Quando esiste, trova la funzione inversa.
a) y = f (x) = e- x - 1;
b) y = f (x) =- e x - 1;
c) y = f (x) = e- x + 1;
d) y = f (x) =- e x + 1.
ESERCIZI
y
1
x
O
[a) f - 1 (x) =- ln (x + 1); b) f - 1 (x) = ln (- 1 - x); c) f - 1 (x) =- ln (x - 1); d) f - 1 (x) = ln (1 - x)]
324
——
325
314
——
326
——
327
——
Rappresenta graficamente la funzione f (x) = x2 + 2x + 5 - 4 + 4x . Trova il suo dominio e il codominio. Risolvi algebricamente e graficamente la disequazione f (x) 1 x + 2 .
: D: R, C: y $ 0; x 2 - 1 D
2
a) Date le funzioni f (x) = x + 3 - 5 , g(x) = x - 2 e h(x) = x 2 + 2x, trova f % g, g % h , f % h, g % g.
b) Determina ( f % h) % g.
c) Risolvi la disequazione f (g (x )) 2 2g(x).
[a) ( f % g) (x) = x + 1 - 5; ( g % h) (x) = x2 + 2x - 2;
( f % h) (x) = x2 + 2x + 3 - 5; ( g % g) (x) = x - 4; b) (( f % h) % g) (x) = x2 - 2x + 3 - 5; c) x 1 0]
a) Trova il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi della funzione f (x) = e- x + 1 - 1.
b) Disegna il grafico di f (x) utilizzando le trasformazioni geometriche.
f (x)
1
+ 3.
, di y = 2 + f (1 - x) e di y =
c) Disegna il grafico di y =
f (x)
f (x)
d) Determina la funzione inversa f -1(x) indicando il dominio, il codominio e tracciandone il grafico.
[a) D: R, y 2 0 per x 1 1, P(1; 0), Q(0; e - 1); d) f -1(x) = 1 - ln(x + 1), D: x 2 - 1, C: R]
1
- 1.
x-2
b) Verifica se è una funzione crescente o decrescente e in caso affermativo trova f -1(x).
c) Traccia i grafici di f (- x), f (x + 2) e f -1(x) - 2.
a) Determina il dominio, studia il segno e rappresenta il grafico di f (x) =
;a) D: x 2 2, y 2 0 per 2 1 x 1 3; b) f (x) decrescente, f - 1 (x) =
328
——
Trova per quali valori di k la funzione y =
1
ha come dominio R.
x 2 - kx + k
[0 1 k 1 4]
Rappresenta poi la funzione nel caso di k = 4.
329
——
330
——
1
+ 2E
(x + 1) 2
È data la funzione f (x) = a sen 2x + b cos 2x che interseca l’asse y nel punto di ordinata 3 e tale che
r
f b l = 2 3 . Trova a e b, il periodo di f(x) e disegna il suo grafico nell’intervallo [- r; r].
12
[a = 3 , b = 3, T = r]
Supponi che f sia una funzione che a ogni numero reale x associa un valore f(x) e supponi che
l’equazione
f (x1 + x2 + x3 + x 4 + x5) = f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x 4) + f (x5) - 8
sia soddisfatta da tutti i numeri reali x1, x2, x3, x4, x5. Quanto vale f(0)?
(USA Harvard-MIT Mathematics Tournament, 2004)
[2]
1397
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
REALTÀ E MODELLI
La clessidra ad acqua
Ipotizziamo che la clessidra ad acqua mostrata in figura sia formata
da due coni perfetti sovrapposti. La clessidra impiega 1,5 minuti per
svuotarsi e supponiamo che il volume di acqua che passa da Cs a Ci in
un secondo sia costante.
䊳 Determina quanta acqua scorre in un secondo.
䊳 Esprimi il volume V e l’altezza h dell’acqua scesa in Ci in funzione del
tempo t, considerando come istante iniziale quello in cui Cs è pieno.
䊳 Considera la funzione V(t) trovata al punto precedente non per un
solo passaggio di acqua, ma tenendo conto del fatto che, appena il
cono superiore si è svuotato, la clessidra viene girata; in un sistema
di riferimento cartesiano rappresenta il grafico di tale funzione e
descrivine le caratteristiche.
Cs
Ci
7 cm
1
8 cm
2
L’orologio
Considera un orologio analogico (a lancette) e costruisci la seguente funzione: la variabile indipendente
corrisponde all’ora (dall’ora 1 all’ora 24), la variabile dipendente è l’angolo (in gradi) che la lancetta delle
ore forma con la posizione verticale delle 12.
䊳 Rappresenta tale funzione in forma tabulare, in forma analitica e nel piano
cartesiano, quindi analizza le sue caratteristiche.
䊳 Se si collegano i punti del grafico con tratti lineari, che cosa cambia nelle
caratteristiche della funzione?
䊳 Costruisci una funzione analoga considerando la lancetta dei minuti
nell’arco di un’ora; rappresentala analiticamente e nel piano cartesiano e
analizza le sue caratteristiche.
3
La diffusione dell’influenza
Un modello matematico prevede che il virus dell’influenza si diffonda all’interno di una popolazione di P
persone con una velocità (numero di nuovi casi giorno per giorno) che dipende in modo proporzionale
sia dal numero di persone che già hanno contratto la malattia, sia da quelle che non sono state infettate.
䊳 Mostra che (nell’ipotesi che la popolazione resti costante nel tempo) la velocità massima di diffusione si
ha quando il numero di persone potenzialmente infette corrisponde alla metà della popolazione stessa.
䊳 Calcola il valore della costante di proporzionalità nell’ipotesi che, su un campione di 100 000 persone,
1750 siano ammalate il giovedì e, il venerdì, ci siano 370 nuovi casi.
䊳 Stima il numero di nuovi casi infetti il sabato.
4
Le montagne russe
In un luna park, un tratto delle rotaie delle
montagne russe ha la traiettoria descritta dal
grafico di y = sen (x2), con - r # x # r .
Disegna il grafico della funzione, quindi:
䊳 stabilisci in quali tratti i vagoni salgono
e in quali scendono (i vagoni si spostano,
in riferimento al grafico, da sinistra verso
destra);
䊳 descrivi le proprietà della funzione rappresentata (dominio, codominio, pari o dispari).
1398
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
VERSO L’ESAME DI STATO
ESERCIZI
VERSO L’ESAME DI STATO
TEST
1
—
Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it
Soltanto una delle seguenti funzioni è dispari.
Quale?
A y = ln x + 5
B y = x 3 + x2
3
C y= x
D y = sen 2x + x 2
E y = e x + e -x
5
—
6
—
2
—
La seguente figura rappresenta il grafico di una
funzione. Quale?
y
3
—π
2
π
−—
2
π
—
2
π
Il grafico della funzione y = ln x - 1 ha come
asse di simmetria la retta di equazione:
A x = 0.
D x = 2.
B x = 1.
E x = - 2.
C x = - 1.
Quale delle seguenti espressioni analitiche rappresenta la funzione inversa di y = 2x +1 ?
A y = log 2 x - 1
B y = log 2 (x - 1)
C y = log 2 (x + 1)
D y = log 2 x + 1
E y = log 2 x
x
7
La funzione
—
y = sen x
B y = cos x
C y = sen x
A
3
—
4
—
D
E
Date le funzioni f (x)= x +5 e g (x)=(x + 2) 2 ,
quale fra le seguenti è la funzione composta
y = f (g(x))?
A y = x+ 7
B y = x2 + 7
C y = x +7
D y = x+2 +5
E y = ( x + 7) 2
r.
2r.
C 3r.
D 4r.
E 6r.
A
B
se x # 0
se x 2 0
è crescente nell’intervallo:
A ] - 3; - 2 [ .
D ] 0; 2 [ .
B ] - 2 ; 2 [.
E ] - 2 ; + 3 [.
C ] - 2 ; 0 [.
y = cos x
y = - sen x
Il periodo della funzione f (x) = 3 sen
x2 - 2
f (x) = (
-x + 2
x
è:
2
8
—
9
—
Il codominio della funzione f (x) = e
sieme:
A R.
B # y ! R y 2 0- .
C # y ! R y 2 0 / y ! e-.
D # y ! R y 1 2 0 y 2 0- .
E " x ! R x ! 0, .
x-2
x
Il periodo della funzione
y = sen 4x cos 4x + cos 6x è:
A
r
.
2
B
r
.
4
C
2r.
r.
r
.
E
3
D
1399
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
è l’in-
ESERCIZI
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
QUESITI
10
COMPLETA la seguente tabella e motiva le tue risposte.
—
11
—
f(x)
g(x)
pari
pari
dispari
dispari
pari
dispari
f (x) + g(x)
Se f(x) = 2x, mostrare che:
15
a) f (x + 3) - f (x - 1) =
f (x) ;
2
b)
f (x) - g(x)
f (x) $ g(x)
f (x)
g(x)
f (x + 3)
= f (4).
f (x - 1)
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Scuole italiane all’estero, Sessione ordinaria, 2002, quesito 2)
12
—
Cosa si intende per «funzione periodica»? Qual è il periodo di f (x) =- sen
rx
? Quale quello di sen 2x?
3
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione ordinaria, 2002, quesito 5)
13
—
14
—
15
—
16
——
17
——
18
——
Si determini il campo di esistenza della funzione y = (x2 - 3x)
1
x-4
.
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2007, quesito 1)
Si determini il campo di esistenza della funzione y = arcsen (tg x), con 0 # x # 2r.
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2007, quesito 2)
Determinare il dominio della funzione f (x) = ln (1 - 2x + x ).
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2004, quesito 3)
Fornisci la definizione di funzione iniettiva e dimostra che la composizione di due funzioni iniettive è ancora
una funzione iniettiva. Utilizza questo risultato per dimostrare che f(x) = ln(4 - x 2), definita per x $ 0, è
iniettiva e trova la sua inversa.
[ f - 1 (x) = 4 - e x ]
Dopo aver dato la definizione di funzione monotòna e di funzione biiettiva, stabilisci se una funzione monotòna è sempre biiettiva e viceversa. Fornisci alcuni esempi.
Dimostra che la funzione composta di una funzione pari e di una funzione dispari è pari indipendentemente
dall’ordine di composizione. Fai un esempio.
PROBLEMI
19
——
Data la funzione f (x) =- e x
a)
b)
c)
d)
-x
- 2:
trova il dominio, il codominio e il segno di f(x);
disegna il grafico di f(x) e di f (x) usando le trasformazioni geometriche;
stabilisci se f(x) è una funzione monotòna in senso lato;
restringi il dominio in modo che f(x) sia invertibile e trova f -1(x) graficamente e algebricamente.
:a) D: R, C: y # - 3; y 1 0, 6x ! R; c) sì; d) se D: x 1 0, f - 1 (x) =- 1 ln (- 2 - x)D
2
1400
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
VERSO L’ESAME DI STATO
20
——
21
——
22
——
23
——
ESERCIZI
Data la funzione f(x) = - e-x-1 + 2:
a)
b)
c)
d)
determina il dominio, studia il segno e l’intersezione con gli assi e stabilisci se è pari o dispari;
disegna il grafico di f(x) e quello di f (x) ;
determina f (- x) - 2 e f (x) - f (x) ;
determina f -1(x) graficamente e algebricamente.
[a) D: R; y 2 0 per x 2 - 1 - ln 2; né pari né dispari; d) f -1(x) = - 1 - ln (2 - x)]
Data la funzione f(x) = - ln(-x) - 1:
a)
b)
c)
d)
determina il dominio, studia il segno e stabilisci se è pari o dispari;
disegna il grafico della funzione utilizzando le trasformazioni geometriche;
disegna il grafico di y = f (x) - 1 , di y = - f (- x) e di y = f 2(x);
determina f -1(x) graficamente e algebricamente e indica il suo dominio.
1
: a) D: x 1 0; y 2 0 per - 1 x 1 0; né pari né dispari; d) f - 1 (x) =- e- 1 - x, D: RD
e
r
a) Trova il dominio e il codominio della funzione y = f (x) = 2 cos b x + l - 1.
4
1
b) Rappresenta graficamente y = f (x) e y =
.
f (x)
c) Determina per quali valori di x si ha y = 0.
r
d) Risolvi l’equazione 2f b x - l + 4 = 0 .
2
:a) D: R, C: - 3 # y # 1; c) y = 0 per x = r + 2kr 0 x =
12
19
d) x =
r + 2kr 0 x =
12
17
r + 2kr;
12
11
r + 2kr D
12
1
1 x
1 x
Sono date le funzioni f (x) = log 2 d b l - 1 + b l + 1n e g (x) = x - 3 - 1.
2
2
2
a) Disegna i loro grafici precisando per ciascuna funzione il dominio, il codominio e le intersezioni con gli
assi.
b) Verifica che solo la funzione g (x) è biunivoca e determina g -1(x) algebricamente e graficamente.
c) Determina f % g e g % f.
d) Disegna il grafico di (g % f )2.
< a) Df = Dg = R, C f : y $ 1, Cg : y 2- 1; b) g- 1 (x) = 3 - log 2 (x + 1);
se x # 3
se x $ 0
1
3
G
c) f (g (x)) = )
, g (f (x)) = ) 2 + x
3-x
se x 2 3
2-2
2
- 1 se x 1 0
24
——
Data la funzione:
2 x + a se x 1 0
f (x) = ) 2
x - bx se x $ 0
a) trova a e b in modo che il suo grafico passi per i punti b- 4;
b) traccia il grafico di f(x) e da esso deduci il codominio;
c) traccia il grafico di y = f (x) e di y = f ( x );
3
d) risolvi le equazioni f ( x ) = 5 e f (x) = .
2
17 l
e (3; - 3);
16
;a) a = 1, b = 4; b) C: y $ - 4; d) x = ! 5; x =- 1, x = 4 + 22 E
2
1401
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
25
——
26
——
CAPITOLO 20. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
Considera la funzione y = f (x) = 2 log 2 x + log 2 2x - 2 .
a) Trova il dominio, rappresenta il grafico di f(x) e indica il codominio.
b) Studia il segno di f(x).
c) La funzione è monotòna? È invertibile? Se non lo è in tutto il suo dominio, effettua una restrizione, trova
f -1(x) e mostra che f (f -1(x)) = x.
d) Disegna i grafici di y = f (x) + 1 e di y = f (x + 1).
x+1
:a) D: x 2 0 C: y $ - 1; b) f (x) 2 0 per 0 1 x 1 1 0 x 2 3 2 ; c) per x $ 1, f - 1 (x) = 2 3 D
2
Sono date le funzioni:
- x + 2 se x ! - 1
8
f (x) =
e g (x) = (
x
1
se x =- 1
a)
b)
c)
d)
27
——
Considera la funzione f (x) =
a)
b)
c)
d)
28
——
29
——
Determina il dominio, il codominio e disegna i grafici delle due funzioni.
Stabilisci se sono iniettive e, quando esistono, determina le espressioni delle funzioni inverse.
Traccia il grafico di y = f ( x ) e trova i punti di intersezione tra il grafico di y = f ( x ) e quello di g(x).
Disegna il grafico di y = g (x) e calcola per quali valori di x si ha g (x) 2 2 .
:a) Df : x ! 0, C f : y ! 0; Dg : R, Cg : y ! 3; b) f - 1 (x) = 8 ; c) (- 2; 4); d) x 1 - 2D
x
x 4 - 3x 2 + 2
.
x3 + ax
1 7 l
.
Trova a in modo che il grafico della funzione passi per P b- ;
2 10
Determina il dominio di f(x) per il valore di a trovato.
Verifica se la funzione è pari o dispari e studia il segno di f(x) per x 2 0 .
Risolvi l’equazione f (x) - x = 1.
[a) a =- 4; b) D: x ! ! 2 / x ! 0; c) dispari; y 2 0 per 1 1 x 1
2 0 x 2 2; d) - 1, 1 ! 3 ]
È assegnata la funzione f (x) = 2 sen2 x - 3 .
a)
b)
c)
d)
Trova il dominio, il codominio e il periodo.
Trasforma la funzione in modo che diventi una funzione goniometrica di primo grado.
Verifica se è pari o dispari e disegna il grafico di f(x).
1 3
Trova il vettore di traslazione v (0; b) in modo che il codominio della funzione traslata diventi :- ; D
2 2
e determina le intersezioni con l’asse x della curva traslata.
:a) D: R, C: - 3 # y # - 1, T = r; b) y =- cos 2x - 2; c) pari; d) v b0; 5 l, x = ! r + kr D
2
6
x
x
- 2 cos .
2
2
a) Trova il periodo e rappresenta il suo grafico. (Utilizza il metodo dell’angolo aggiunto.)
b) Studia il segno di f(x).
c) Stabilisci se è pari o dispari.
d) Opera un’opportuna restrizione del dominio in modo che esista la funzione inversa e scrivi la sua
equazione.
r
e) Rappresenta f b x + l .
4
:a) 4r; b) y 2 0 per r + 4kr 1 x 1 5 r + 4kr; c) né pari né dispari; d) f - 1 (x) = r + 2 arcsen x D
2
2
2
2
È data la funzione f (x) =
2 sen
1402
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
CAPITOLO
21
[numerazione
[
i
araba]
b ]
[numerazione
[
i
devanagari]
d
i]
[[numerazione
i
cinese]
i
]
I LIMITI
DELLE FUNZIONI
NON PUÒ FARE PIÙ FREDDO DI COSÌ!
Non c’è limite al caldo, ma esiste un limite al
freddo. La temperatura più bassa teoricamente
raggiungibile nell’Universo si definisce «zero assoluto» ed è pari a –273,15 °C.
Perché il termometro non può scendere
sotto lo zero assoluto?
La risposta a pag. 1435
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
● Il termine topologia
significa «studio del luogo»
e deriva dalla parola greca
topos che significa appunto
«luogo».
Esponiamo alcune nozioni fondamentali della topologia dell’insieme R dei numeri reali. Poiché esiste una corrispondenza biunivoca tra R e i punti di una retta
orientata r, detta retta reale, possiamo identificare ogni sottoinsieme di R (insieme numerico) con un sottoinsieme di punti della retta r e quindi parlare anche di
topologia della retta.
Gli intervalli
Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta
(intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale.
Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano
o meno all’intervallo.
Un intervallo può essere rappresentato in tre modi diversi, come puoi osservare
nelle figure seguenti.
䉲 Figura 1 Gli intervalli limi-
Intervalli limitati
tati di estremi a e b.
a
b
a
b
[ a; b ]
] a; b [
[ a; b [
] a; b ]
a ≥ x ≥b
a<x<b
a≥ x<b
a < x ≥b
a. Intervallo chiuso.
● I simboli -3 e +3 non
sono numeri reali e quindi
sono sempre esclusi dall’intervallo.
䉲 Figura 2 Gli intervalli
illimitati corrispondono a
g
semirette di origine
a.
a
b. Intervallo aperto.
c. Intervallo chiuso a
sinistra e aperto a destra.
d. Intervallo aperto a
sinistra e chiuso a destra.
Gli intervalli limitati corrispondono a segmenti della retta reale aventi estremi a e b
b-a b+a
e
e lunghezza b - a, che viene detta ampiezza dell’intervallo. I valori
2
2
sono rispettivamente il raggio e il centro dell’intervallo.
Intervalli illimitati
a
[ a; + ∞ [
] a; + ∞ [
] – ∞; a ]
] – ∞; a [
x ≥a
x>a
x≥a
x>a
a. Intervallo chiuso
illimitato superiormente.
b. Intervallo aperto
illimitato superiormente.
c. Intervallo chiuso
illimitato inferiormente.
d. Intervallo aperto
illimitato inferiormente.
1404
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
TEORIA
Gli intorni di un punto
DEFINIZIONE
Intorno completo
Dato un numero reale x 0, si chiama intorno completo di x 0 un
qualunque intervallo aperto I (x 0 )
contenente x 0 :
I(x 0 ) = ]x 0 - d1; x 0 + d2 [
con d1, d2 numeri reali positivi.
δ1
δ2
x 0 – δ1
x0
x0 + δ2
● Parlando di punto di un
intervallo intenderemo sia il
numero reale, sia il punto
del segmento che lo rappresenta.
Ι(x0)
ESEMPIO
Se x 0 = 1, l’intervallo aperto I = ]0; 3[ è un intorno completo di 1. In questo
caso d1 = 1 e d2 = 2, perché possiamo scrivere:
I = ] 1 - 1; 1 + 2 [.
0
1
–1
1
3
2
1
––
21
Questo intorno ha ampiezza (x0 + d2) - (x0 - d1) = d1 + d2 = 1 + 2 = 3.
4
Anche ] - 1; 2 [ e E 1 ; 4; sono intorni completi di 1.
2
Quando d1 = d2, il punto x 0 è il punto medio dell’intervallo. In questo caso parliamo di intorno circolare di x 0.
DEFINIZIONE
Intorno circolare
Dato un numero reale x 0 e un
numero reale positivo d, si chiama
intorno circolare di x 0, di raggio d,
l’intervallo aperto I d(x 0) di centro
x 0 e raggio d:
δ = raggio
x0 − δ
x0
x0 + δ
Ιδ(x0)
I d(x 0 ) = ] x 0 - d; x 0 + d[.
2
L’intorno circolare del punto 5 di raggio 2 è ]5 - 2; 5 + 2 [, ossia ] 3; 7 [.
3
Poiché l’intorno circolare di x 0 di raggio d è l’insieme dei punti x ! R tali che
2
5
Ι2(5)
7
x 0 - d 1 x 1 x 0 + d,
cioè tali che - d 1 x - x 0 1 d, possiamo anche scrivere:
Id (x0) = $ x ! R x - x0 1 d. .
Per gli intorni completi e circolari di un punto x 0 vale la seguente proprietà.
● Ricorda che A (x) 1 k
è equivalente a
- k 1 A (x) 1 k
e viceversa.
PROPRIETÀ
L’intersezione e l’unione di due o più intorni di x 0 sono ancora degli intorni
di x 0 .
L’intorno destro e l’intorno sinistro di un punto
Dato un intorno di un punto x 0 , talvolta interessa considerare soltanto la parte
dell’intorno che sta a destra di x 0 oppure quella che sta a sinistra.
1405
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
In generale, dato un numero d ! R+, chiamiamo:
• intorno destro di x 0 l’intervallo I+d (x 0 ) = ]x 0 ; x 0 + d[;
• intorno sinistro di x 0 l’intervallo I-d (x 0 ) = ]x 0 - d; x 0 [.
䉴 Figura 3
x0 – δ
x0
intorno sinistro di x0
I–δ(x0)
I+δ (x0)
x0
x0 + δ
intorno destro di x0
Per esempio, l’intervallo ] 2; 2 + d[ è un intorno destro di 2; l’intervallo ] -5; -3[
è sia un intorno sinistro di -3, sia un intorno destro di -5.
Gli intorni di infinito
Dati a, b ! R, con a 1 b, chiamiamo:
• intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:
I (- 3) = @- 3; a6 = " x ! R x 1 a, ;
• intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente:
I (+ 3) = @b; + 36 = " x ! R x 2 b, .
Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di - 3 e un intorno
di + 3 , cioè:
I (3) = I (- 3) , I (+ 3) = " x ! R x 1 a 0 x 2 b, .
● La scrittura 3, priva di segno, indica contemporaneamente sia -3 che +3. Quindi, se si
vuole indicare solo +3, bisogna esplicitamente scrivere il segno + davanti al simbolo 3.
Analogamente al caso di un punto reale x 0 , possiamo parlare di intorno circolare
di infinito:
Ic (3) = @- 3; - c6 , @c; + 36
ESEMPIO
3
Ι(+ 3) = ]3; + 3[
–3
(c ! R+).
1. Le soluzioni della disequazione lineare 3x - 9 2 0 costituiscono un intorno
di + 3. Infatti sono tutti i numeri reali x tali che x 2 3, cioè I (+ 3) = ]3; + 3[.
1
Ι(3) = ]– 3; –3[j]1; +3[
2. Le soluzioni della disequazione di secondo grado x 2 + 2x - 3 2 0 sono
x 1 - 3 0 x 2 1; quindi corrispondono all’intorno di infinito:
I (3) = ] - 3 ; -3[ ,]1; + 3 [.
–4
4
Ι4(3)
3. L’insieme dei numeri reali x tali che 兩x 兩 2 4 è un intorno circolare di 3:
I 4 (3) = ] - 3 ; -4[,]4; + 3 [.
1406
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
Gli insiemi limitati e illimitati
Esistono insiemi numerici che non sono intervalli.
La proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma
anche a un qualunque insieme numerico.
Un insieme numerico F 1 R è detto:
• superiormente limitato se è possibile determinare un numero reale a, non
necessariamente appartenente a F, tale che x # a 6x ! F; il numero a è detto
un maggiorante di F;
• inferiormente limitato se è possibile determinare un numero reale b, non
necessariamente appartenente a F, tale che x $ b 6x ! F; il numero b è detto
un minorante di F;
• limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente, cioè se esiste un
intervallo limitato che lo contiene.
ESEMPIO
2n
1. Consideriamo l’insieme A = & x x =
, n ! N0 . I suoi elementi sono
n+1
i numeri:
0, 1,
TEORIA
● Osserviamo che un
intervallo limitato non è un
insieme finito, cioè non è
costituito da un numero
finito di elementi; invece un
insieme numerico finito è
sempre contenuto in un
intervallo limitato.
● In modo equivalente
possiamo dire che F è limitato se esiste un numero
reale positivo k tale che
x # k 6x ! F .
4 3 8 5
, , , ,f
3 2 5 3
Si può dimostrare che tutti gli elementi di A sono minori di 2, quindi 2 è
un maggiorante di A e tale insieme è superiormente limitato. Inoltre tutti
gli elementi di A sono maggiori o uguali a 0, per cui A è anche inferiormente limitato perché 0 è un suo minorante.
Allora possiamo dire che A è limitato, infatti esso è contenuto nell’intervallo limitato [0; 2].
2. L’insieme F = {-1, 0, 2, 3} è contenuto nell’intervallo chiuso I = [-1; 3] e
quindi è limitato. -1 è un minorante di F e 3 è un suo maggiorante.
In generale, gli insiemi finiti sono sempre limitati perché, come abbiamo
già osservato, essi sono sempre contenuti in qualche intervallo limitato.
● La disuguaglianza
2n
1 2 è verificata
n+1
6n ! N.
● A, pur essendo limitato,
è un insieme infinito.
I
–1
0
2
F債I
Esistono insiemi non limitati superiormente, per esempio l’insieme dei numeri
pari. Tali insiemi si dicono illimitati superiormente.
Ci sono anche insiemi non limitati inferiormente, per esempio l’insieme dei numeri razionali minori di 3. Tali insiemi sono detti illimitati inferiormente.
In generale, un insieme numerico F 1 R è detto:
• illimitato superiormente se, scelto ad arbitrio un numero reale m, è possibile
trovare qualche elemento di F maggiore di m, ossia 6m ! R ∃x ! F tale che
x 2 m;
• illimitato inferiormente se, scelto ad arbitrio un numero reale m, è possibile
trovare qualche elemento di F minore di m, ossia 6m ! R ∃x ! F tale che
x 1 m;
• illimitato se è illimitato superiormente e inferiormente.
Gli estremi di un insieme
Consideriamo l’insieme E = ' x x = 1 -
1
, n ! N - {0}1 , ossia l’insieme
n2
1407
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
3
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
E = '0,
ε
1–ε
0
x 1
3 8 15
, f1 . Confrontiamo gli elementi di E con il numero 1. Tutti
, ,
4 9 16
i numeri di E sono minori di 1; quindi 1 è un maggiorante di E.
Ora scegliamo ad arbitrio un numero reale positivo f e vediamo se ci sono elementi di E maggiori di (1 - f). Vogliamo cioè stabilire se la disequazione
䉱 Figura 4 Poiché f può
essere preso piccolo quanto
vogliamo, se la condizione
è verificata, siamo sicuri che
«vicino» a 1 quanto si vuole
c’è almeno un elemento x di E.
● Se a 2 b 2 0 , allora
1
1
1 . Per esempio:
a
b
1
1
.
100 2 10 e
1
100
10
x 2 1 - f,
x ! E,
ammette soluzioni in E. Sostituiamo a x la sua espressione:
1
1
1
2 1 - f " - 2 2-f "
1 f.
n2
n
n2
Passiamo ai reciproci in entrambi i membri, cambiando anche il verso della disuguaglianza:
1-
n2 2
1
.
f
Poiché n ed f sono numeri positivi possiamo estrarre la radice quadrata e ricavare
le soluzioni:
1
.
f
Dunque tutti gli elementi x di E calcolati scegliendo n maggiore di
n2
1
risolvof
no la disequazione. Ciò vuol dire che ogni volta che scegliamo un numero positivo
f è possibile trovare numeri di E maggiori di (1 - f). 1 ha quindi una particolare
proprietà che riassumiamo dicendo che 1 è estremo superiore di E.
DEFINIZIONE
Estremo superiore di un insieme
Dato un insieme E 1 R superiormente limitato, si dice estremo superiore
di E quel numero reale M tale che:
● M è un maggiorante di E.
● Qualunque sia f (f 2 0) ,
è possibile trovare almeno
un elemento di E maggiore
di (M - f) : M è il più
piccolo maggiorante di E.
• x # M,
6x ! E;
• 6f 2 0 7 x ! E tale che x 2 (M - f).
Per indicare l’estremo superiore di un insieme E si usa la notazione sup E .
L’estremo superiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo
caso è detto anche massimo e si usa la notazione max E .
Consideriamo ancora l’insieme E dell’esempio precedente. Possiamo osservare
che tutti i numeri di E sono maggiori o uguali a 0; quindi 0 è un minorante di E.
Ora scegliamo ad arbitrio un numero reale positivo f e vediamo se ci sono elementi di E minori di (0 + f). Per questo stabiliamo se la disequazione
x 1 0 + f,
ε
0 x
0+ε
x ! E,
ammette soluzioni in E.
1
Sostituendo a x la sua espressione, otteniamo:
䉱 Figura 5 Se la condizione
posta è verificata, «vicino»
a 0 quanto si vuole c’è
almeno un elemento di E
non minore di 0.
1-
1
1 0+f "
n2
1
2 1 - f.
n2
Vediamo quindi che, qualunque sia il valore di f, c’è sempre la soluzione corrispondente a n = 1, ossia x = 0.
1408
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
TEORIA
Ciò significa che ogni volta che scegliamo un numero positivo f troviamo almeno
un numero di E minore di (0 + f). Per riassumere questa proprietà diciamo che 0
è estremo inferiore di E.
DEFINIZIONE
Estremo inferiore di un insieme
Dato un insieme E 1 R non vuoto e inferiormente limitato, si dice estremo
inferiore di E quel numero reale L tale che:
• x $ L,
6x ! E;
● L è un minorante di E.
• 6f 2 0 7 x ! E tale che x 1 (L + f).
Per indicare l’estremo inferiore di un insieme E si usa la notazione inf E .
L’estremo inferiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche minimo e si usa la notazione min E .
● Qualunque sia f (f 2 0) ,
è possibile trovare un elemento di E minore di
(L + f) : L è il più grande
minorante di E.
Vale la seguente proprietà.
PROPRIETÀ
Esistenza e unicità degli estremi superiore o inferiore
L’estremo superiore di un insieme E 1 R non vuoto e superiormente limitato esiste sempre ed è unico.
L’estremo inferiore di un insieme E 1 R non vuoto e inferiormente limitato esiste sempre ed è unico.
Se un insieme E è illimitato superiormente, si pone sup E =+ 3 ; se è illimitato inferiormente, si pone infE =- 3 .
Con queste definizioni si può dire che ogni sottoinsieme non vuoto di R ha
sia estremo superiore sia estremo inferiore.
● Gli estremi inferiore e superiore di una funzione
Parlando di una funzione y = f(x), chiamiamo estremo inferiore ed estremo superiore di f(x)
l’estremo inferiore e quello superiore del codominio della funzione relativo al dominio considerato.
In modo analogo si parla di massimo e di minimo della funzione.
Diciamo poi che una funzione è limitata o illimitata superiormente o inferiormente se lo è il
suo codominio.
I punti isolati
DEFINIZIONE
Punto isolato
Sia x 0 un numero reale appartenente a un sottoinsieme A di R. Si
dice che x 0 è un punto isolato di A
se esiste almeno un intorno I di x 0
che non contiene altri elementi di
A diversi da x 0.
⌱
x0
A
1409
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
ESEMPIO
Consideriamo l’insieme A = &0,
● Per verificare che un
punto di un insieme è
isolato basta determinare un
solo intorno di quel punto
che non contenga altri punti
dell’insieme stesso.
1 2 3 4 5 6
n 0
, , , , , , f,
, n ! N.
2 3 4 5 6 7
n+1
Rappresentiamo l’insieme A sulla retta orientata e consideriamo il suo punto 0.
Osserviamo che è possibile determinare un intorno di 0 che non contenga
1 1
altri elementi di A, per esempio E- ; ; . Allora 0 è un punto isolato di A.
4 4
0
1
−—
4
1
—
4
1
—
2
2 3 4 …
— — —
3 4 5
1
䉴 Figura 6
1
si
2
può prendere l’intorno
1
circolare di raggio .
8
● Per esempio, per
Nello stesso modo, è possibile dimostrare che tutti gli elementi dell’insieme A
sono punti isolati.
● Se un insieme contiene un numero finito di punti, questi sono tutti punti isolati.
Per esempio, l’insieme B = &- 2, 0,
1 0
, 4 è formato da quattro punti tutti isolati.
2
● Anche un insieme di infiniti punti può essere costituito da punti tutti isolati.
Per esempio, l’insieme dei numeri naturali N è un insieme infinito, ma tutti i suoi punti sono
1
e osservare
punti isolati: basta prendere per ciascun punto il suo intorno circolare di raggio
2
che non contiene altri numeri naturali.
● Il termine accumulazione indica che i punti di A
si accumulano, si addensano intorno al punto x0.
● Si dimostra che è equivalente alla definizione data
dire che x0 è punto di accumulazione di A se ogni
intorno completo di x0 contiene almeno un elemento
di A distinto da x0.
I punti di accumulazione
DEFINIZIONE
Punto di accumulazione
Si dice che il numero reale x 0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di x 0 contiene infiniti punti di A.
ESEMPIO
Consideriamo di nuovo l’insieme:
A = &0,
n 0
1 2 3 4 5 6
, , , , , , f,
, n ! N.
n+1
2 3 4 5 6 7
All’aumentare di n, i corrispondenti valori di A si avvicinano al valore 1,
come si può osservare nella tabella seguente.
n
10
100
1000
10 000
f
n
10
100
1000
10000
= 0, 90
= 0, 9900
= 0, 999000
=0, 99990000 f
n + 1 11
101
1001
10001
È possibile verificare che il punto 1 gode della seguente proprietà: comunque
scegliamo un intorno completo di 1 (anche di raggio molto piccolo), questo
1410
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
TEORIA
contiene infiniti elementi di A. Quindi 1 è un punto di accumulazione di A.
Per esempio, l’intorno ]0,9; 1,1[ del punto 1 contiene infiniti punti di A:
10 11 12
,
,
,f
11 12 13
L’intorno ]0,99; 1,01[ contiene altri infiniti punti di A:
100 101 102
,
,
,f
101 102 103
E così via.
Osserva che il punto 1 è punto di accumulazione di A, ma non appartiene
ad A.
䉳 Figura 7 Disegniamo
0,99
0,9
1
1,01
1,1
10 –––
11 –––
12
–––
11 12 13
0,99
100 ––––
101 ––––
102
––––
101 102 103
1
1,01
alcuni punti dell’insieme
A contenuti in ]0,9; 1,1[.
Ingrandiamo poi la figura e
disegniamo alcuni punti di
A, contenuti in ]0,99; 1,01[.
Questo procedimento può
essere ripetuto considerando
un intorno con raggio preso
piccolo a piacere.
Ogni punto di un intervallo è di accumulazione per l’intervallo stesso. Anche gli
estremi dell’intervallo sono suoi punti di accumulazione.
ESEMPIO
Sia A l’insieme dei numeri reali compresi fra 2 e 5, ossia A = ]2; 5[.
Il punto 3 di A è di accumulazione per A perché ogni intorno di 3 contiene
infiniti punti di A.
Anche i punti 2 e 5, che non appartengono ad A, sono di accumulazione per A.
䉳 Figura 8 Evidenziamo in rosso un intorno
intorno di 3
2
completo del punto 3. Tutti i suoi punti sono
contenuti in A = ]2; 5[ e sono infiniti: 3 è punto
di accumulazione per A.
3
5
A = ]2; 5[
䉳 Figura 9 Gli estremi dell’intervallo, 2 e 5,
intorno di 2
2−δ
2
2+δ
intorno di 5
5−δ
5
5+δ
che non appartengono all’intervallo, sono
punti di accumulazione. Infatti gli intorni
]2 - d; 2 + d[ e ]5 - d; 5 + d[ contengono
entrambi infiniti elementi dell’intervallo ]2; 5[.
infiniti punti di A
Gli esempi che abbiamo esaminato mostrano che un punto di accumulazione di
un insieme può appartenere o non appartenere all’insieme stesso.
1411
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
ESPLORAZIONE
La topologia dei nodi
Che cos’è la topologia
Se proviamo a deformare un oggetto, ci sono delle
proprietà geometriche che non possiamo cambiare,
a meno di romperlo o strapparlo e poi incollarlo di
nuovo. La dimensione è una di queste proprietà. Per
esempio, non possiamo trasformare un solido in
una figura in due dimensioni tramite una trasformazione continua.
La topologia è lo studio delle proprietà degli oggetti geometrici che si preservano quando li deformiamo in maniera continua, cioè senza romperli. Il primo a usare il termine «topologia» fu Johann Listing,
allievo del famoso matematico Karl Friedrich Gauss,
che nel 1847 pubblicò il primo libro sull’argomento,
dedicato anche allo studio dei nodi.
Nodi matematici
Prendiamo un pezzo di spago e annodiamolo, poi incolliamo le sue due estremità in modo che non si possa
più aprire: questo è un nodo
detto nodo trifoglio. Non possiamo più cambiarlo,
se non tagliando lo spago.
In matematica un nodo è una curva chiusa immersa
nello spazio.
movimenti continui, cioè senza rompere lo spago con cui li abbiamo fatti. Non possiamo quindi
tagliare e incollare lo spago, ma possiamo pensare, per esempio, di allungare o accorciare il nodo,
come se fosse un elastico.
䉱 Il primo nodo e il terzo sono ottenuti da quello centrale
tramite una serie di movimenti continui del filo (senza
doverlo tagliare). I tre nodi sono quindi equivalenti.
Dati due nodi, a prima vista molto diversi, può
esistere una serie di mosse che trasformano l’uno
nell’altro. Ma come facciamo a sapere se questo è
possibile? Abbiamo bisogno di criteri precisi per
classificare i nodi, in modo da poter affermare con
sicurezza che due nodi sono equivalenti. Numerosi
studi matematici sulla teoria dei nodi sono dedicati
alla ricerca di questi criteri. Esistono regole, dette
invarianti dei nodi, che associano a ogni nodo un
numero, il linking number, che risulta lo stesso per
i nodi equivalenti. Nella figura trovi alcuni esempi
di nodi equivalenti.
Le regole di equivalenza
Due nodi sono equivalenti quando possiamo
trasformare l’uno nell’altro tramite una serie di
Attività
Nodi multipli e cravatte
● Fai una ricerca sul nodo borromeo, sulla sua storia e sulle
sue applicazioni.
● La matematica può influire sulla moda? Scoprilo con il nodo Fink.
Cerca nel Web:
nodo borromeo, anelli borromei, borromean rings, nodo Fink, Fink knot
1412
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
TEORIA
0
2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
IN PRATICA
䉴
0
Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo la funzione f : D " R, y = f (x) e supponiamo che il suo grafico sia quello rappresentato in figura.
y
f(x)
f(x)
ᐉ = f(x0)
ᐉ
→
y
Videolezione 63
● Negli esempi che considereremo, D sarà spesso un
intervallo o un’unione di
intervalli.
f(x)
O
x
x0 x
x x x
→ 0
O
x
→
→
a. Nel caso di una funzione f come
quella disegnata in figura vediamo
che, se x si avvicina a x0, allora f(x) si
avvicina a ᐉ = f(x0).
b. Possiamo porci la stessa domanda
anche nel caso in cui x0 è punto di
accumulazione per D, ma x0 僆 D e
quindi l’espressione f(x0) non
ha significato. A quale valore ᐉ si
avvicina f(x) quando x si avvicina a x0?
䉳 Figura 10 Quando x si av-
vicina a x0, f(x) si avvicina a ᐉ?
Introduciamo uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione
la proprietà che vediamo nella figura 10: più scegliamo x vicino al valore x 0 e più la
sua immagine f (x) si avvicina a un certo valore l.
Consideriamo, per esempio, la funzione:
y = f (x) =
● Vedremo che l può coin-
cidere con f (x 0 ), ma può
anche essere diverso.
2x 2 - 6x
x-3
definita in D = R - {3}. Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicino al punto x 0 = 3.
Osserviamo che f (x ) non è definita in 3, quindi non ha senso considerare f (3).
Cerchiamo allora a quale valore l si avvicina la funzione quando x si approssima
al valore 3.
Diamo alla variabile x dei valori che si avvicinano sempre più (per eccesso o per difetto) a 3 e calcoliamo le loro immagini f (x), come indicato nella seguente tabella.
x
2,9
2,99
2,999
2,9999
f (x)
5,8
5,98
5,998
5,9998
"3!
3,0001
3,001
3,01
3,1
6,0002
6,002
6,02
6,2
Vediamo che quanto più x si avvicina a 3, tanto più f (x ) si avvicina al valore 6.
Più in generale, se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre
più piccolo, allora f (x ) si trova sempre più vicino a 6, cioè si trova in un intorno di
6 sempre più piccolo. Per comodità, consideriamo degli intorni circolari.
Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di
ampiezza f, che indichiamo con If (6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti x
(con x ! 3) hanno immagine f (x ) contenuta in If (6).
1413
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Infatti i punti di tale intorno sono quei valori di x che soddisfano la disequazione
f (x ) - 6 1 f ,
● Ricordiamo che i punti
di un intorno circolare
I ε (x 0 ) sono i numeri reali x
tali che x - x0 1 f .
ossia:
2x 2 - 6 x
- 6 1 f.
x-3
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
2 (x 2 - 6x + 9)
2x 2 - 6x - 6x + 18
1f "
1f
x-3
x-3
(x - 3) 2
f
" 2$
1 f " x-3 1 ,
2
x-3
● Stiamo studiando il
comportamento di f(x) in
un intorno di 3, ma non in
3, quindi possiamo considerare x ! 3 e semplificare.
"
f
f
1 x 1 3 + . Quindi le soluzioni della disequazione sono i punti
2
2
f
f
dell’intorno I (3) = E3 - ; 3 + ;.
2
2
cioè 3 -
● L’ampiezza dell’intorno
di 3 dipende dalla scelta
dell’intorno di 6.
Riassumendo: per ogni f 2 0 esiste un intorno I (3), che dipende da f, tale che per
ogni x ! I (3), con x ! 3,
f (x ) - 6 1 f .
Possiamo osservare questa proprietà anche sul grafico della funzione, in figura 11.
y
6 +1
ε{
6
ε=1
y
y
1
6 + ––
2
1
6 + ––
4
1
ε = ––
2
6
1
6 – ––
2
6 –1
O
1
3 – ––
2
3
Ι
1 ; 3 + ––
1 [.
a. Per ε = 1, I = ] 3 – ––
2
2
䉱 Figura 11 Sul grafico della
2x 2 - 6x
funzione y =
,
x-3
osserviamo che in corrispondenza di un intorno circolare
If di 6 esiste un intorno circolare di 3 la cui immagine è
contenuta in If.
O
x
1
3 + ––
2
6
1
6 – ––
4
Ι
2x2 – 6x
y = –––––––
x–3
1
ε = ––
4
2x2 – 6x
y = –––––––
x–3
1
3 – ––
4
3
Ι
O
x
1
3 + ––
4
1 ; 3 + ––
1 [.
1 , I = ] 3 – ––
b. Per ε = ––
4
4
2
2x2 – 6x
y = –––––––
x–3
1
3 – ––
8
3
x
1
3 + ––
8
1 ; 3 + ––
1 [.
1 , I = ] 3 – ––
c. Per ε = ––
8
8
4
Diciamo allora che «per x che tende a 3, f (x ) ha limite 6» e scriviamo:
lim f (x) = 6 .
x"3
● Come abbiamo visto, non è necessario che il punto x 0 = 3 appartenga al dominio D della
funzione, ma poiché dobbiamo considerare le immagini di punti sempre più vicini a x 0 , occorre che la funzione sia definita in questi punti. Ciò significa che x 0 deve essere un punto di
accumulazione per D.
1414
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
TEORIA
0
In generale possiamo dare la seguente definizione.
DEFINIZIONE
Limite finito per x che tende a x0
Si dice che la funzione f (x) ha per
limite il numero reale l per x che
tende a x 0 , e si scrive
y
艎
⏐f(x) − 艎⏐ < ε
lim f (x) = l ,
x"x
0
quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0
tale che risulti
x0
{
O
● La validità della condizione f (x) - l 1 f presuppone che f (x) sia definita in I (escluso al più x0).
Il punto x 0 è di accumulazione per il dominio della
funzione. Non ci interessa il
valore che la funzione f (x)
assume eventualmente in x 0.
x
f (x) - l 1 f
per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x 0.
In simboli la definizione si può formulare così:
6f 2 0 7I (x 0)
● 6 significa comunque,
per ogni; 7 significa esiste;
significa tale che.
f (x) - l 1 f, 6x ! I (x 0), x ! x 0 .
Il significato della definizione
Nella definizione appena data, considerando f, pensiamo a valori che diventano
sempre più piccoli.
Diremo che f è preso «piccolo a piacere».
Inoltre, se esplicitiamo il valore assoluto nell’espressione f (x) - l 1 f , otteniamo
- f 1 f (x ) - l 1 f
l - f 1 f (x ) 1 l + f,
"
ossia f (x) appartiene all’intorno ]l - f; l + f[.
Interpretiamo la definizione
La definizione dice che l è il limite di f (x ) se, fissato un f qualsiasi, anche «molto
piccolo», troviamo sempre un intorno di x 0 tale che, per ogni x ! x 0 di quell’intorno, f (x ) appartiene a ] l - f; l + f[, cioè f (x ) è «molto vicino» a l (figura 12).
y
ᐉ+ε
f(x)
ᐉ
f(x)
x0 x
{
O
I
a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo un
intorno I di x0 tale che
f(x) 僆 ]ᐉ – ε; ᐉ + ε[ per ogni x 僆 I.
x
ᐉ+ε
ᐉ+ε
ᐉ
ᐉ–ε
O
ᐉ
f(x)
ᐉ–ε
x0 x
{
ᐉ–ε
y
x
O
I
b. Se riduciamo ε, troviamo un
intorno di x0 più piccolo.
x
x x0
{
y
䉲 Figura 12
I
c. Più piccolo scegliamo ε, più piccolo
diventa, in genere, l’intorno I.
1415
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
In simboli
A parole
Geometricamente
6f 2 0 f
Per ogni f positivo f
Per ogni fissata
distanza f presa
piccola a piacere f
f 7I (x0) tale che
6x ! I (x 0), x ! x 0 f
f troviamo sempre
un intorno di x0 tale che
per ogni x dell’intorno
diverso (al più) da x0 f
f troviamo infiniti
punti x vicini a x0
per i quali si
verifica che f
f f (x) - l 1 f
f f (x) appartiene
all’intorno di l
di ampiezza f .
f f (x) è vicino a
l, a distanza
minore di f .
La verifica
Per eseguire la verifica del limite xlim
f (x) = l , dobbiamo applicare la definizione.
"x
0
ESEMPIO
Verifichiamo che lim (2x - 1) = 3 .
x"2
Dobbiamo provare che, scelto f2 0, esiste un intorno completo di 2 per ogni x
del quale (escluso al più 2) si ha (2x - 1) - 3 1 f , ossia:
2x - 4 1 f " - f 1 2x - 4 1 f " 4 - f 1 2x 1 4 + f "
" 2-
f
f
1 x 1 2+ .
2
2
L’insieme delle soluzioni della disequazione è quindi:
E2 - f ; 2 + f ; .
2
2
● Il raggio d dell’intorno
trovato dipende da f⬊
f
d= .
2
● Approfondiremo lo
studio delle funzioni continue nel prossimo capitolo.
● Applicando la definizione di limite, f (x) è continua in x 0 se 6f 2 0 esiste
un intorno completo I di x 0
tale che
f (x) - f (x 0) 1 f, 6x ! I.
Abbiamo trovato un intorno circolare di 2 per cui è vera la condizione iniziale, quindi il limite è verificato.
Le funzioni continue
Abbiamo visto che una funzione può ammettere limite l in un punto x 0 , anche
se in x 0 non è definita. Quando invece x 0 appartiene al dominio di f, possiamo
considerare la sua immagine f (x 0 ). Se essa coincide con il limite di f (x ) per x che
tende a x 0 allora si dice che f è continua in x0 .
DEFINIZIONE
Funzione continua in un punto
Siano f (x) una funzione definita in
un intervallo [a; b] e x 0 un punto
interno all’intervallo. La funzione
f (x) si dice continua nel punto x 0
quando esiste il limite di f (x) per
x " x 0 e tale limite è uguale al valore
f (x0) della funzione calcolata in x 0 :
lim f (x) = f (x 0).
x"x
y
f(x0) + ε
f(x0)
f(x0) − ε
O
0
1416
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x0
x
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
TEORIA
0
Diciamo poi che f è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni
punto di D.
Sono funzioni continue nel loro dominio quelle il cui grafico è una curva senza
interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.
Elenchiamo le funzioni continue in R (o in intervalli di R) più utilizzate, senza
dimostrare la loro continuità.
La funzione costante
La funzione f (x) = k è continua in tutto R. Infatti, in ogni punto x 0 di R si ha
lim k = k .
x"x
0
La funzione f (x) = x
La funzione f (x) = x è continua in tutto R, cioè per un qualunque punto x 0 ! R
si ha
lim x = x 0 ,
x " x0
infatti 6f 2 0 risulta x - x 0 1 f per ogni x ! @ x0 - f; x0 + f6 .
La funzione polinomiale
Ogni funzione polinomiale, ossia ogni funzione del tipo
f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x + a n,
è continua in R.
In particolare, sono continue in R le funzioni espresse dalle potenze di x:
x, x 2, x 3, …, x n.
● Per esempio, puoi verificare che f (x) = x 2 - 2x è
continua in x 0 = 1, e cioè
che lim (x 2 - 2x) = - 1.
x"1
La funzione radice quadrata
La funzione, definita in R+ , {0},
y=
x
è continua per ogni x reale positivo o nullo. Per esempio lim x = 2 .
x"2
Più in generale, sono continue le funzioni potenza con esponente reale, definite
in R+:
y = xa
(a ! R).
● Per esempio,
3
Le funzioni goniometriche
Sono continue in R le funzioni sen x e cos x.
Per esempio, xlim
sen x = sen r = 0 e lim cos x = cos 0 = 1.
"r
3
4
4
lim x 4 = 2 4 = 23 = 8 .
x"2
x"0
r
È continua anche la funzione tangente in R - & + kr, k ! Z0 .
2
r
= 3.
Per esempio, limr tg x = tg
3
x"
● La funzione tg x non è
definita per x =
r
+ kr .
2
3
La funzione cotangente è continua in R - {kr, k ! Z }.
r
= 1.
Per esempio, limr cotg x = cotg
4
x"
● La funzione cotg x non è
definita per x = kr .
4
Infine, si può dimostrare che le funzioni secante, cosecante, arcoseno, arcocoseno,
arcotangente, arcocotangente sono continue nel loro dominio.
La funzione esponenziale
La funzione esponenziale, definita in R, y = a x, con a 2 0, è continua in R.
● Per esempio, lim 3 x = 9 .
x"2
1417
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
● Per esempio,
lim log3 x = log3 9 = 2 .
x"9
La funzione logaritmica
La funzione logaritmica, definita in R+, y = log a x, con a 2 0, a ! 1, è continua
in R+.
Il limite per eccesso e il limite per difetto
Il limite per eccesso
y
DEFINIZIONE
Se f (x ) è una funzione che ha limite finito l per x che tende a x 0 e inoltre, in
un intorno di x 0 , con al più x ! x 0 , assume sempre valori maggiori di l, si
dice che f (x ) tende a l per eccesso e si scrive:
ᐉ
lim f (x) = l+.
O
x0
x
x " x0
Pertanto, la definizione di limite per eccesso si ottiene da quella più generale di
limite, che abbiamo già visto, aggiungendo la condizione che f (x ) 2 l in un intorno di x 0 . Poiché
f (x) - l 1 f / f (x) 2 l & 0 1 f (x) - l 1 f ,
per verificare che xlim
f (x) = l+ , basta provare che per ogni f2 0 esiste un intor" x0
no I di x 0 tale che per ogni x ! I, con al più x ! x0 , si ha 0 1 f (x ) - l 1 f, ossia
l 1 f (x) 1 l + f.
ε
2
ESEMPIO
y
Verifichiamo che lim (4x 2 - 3) =- 3+.
ε
2
x"0
–––
– –––
O
x
ᐉ+ ε
y = 4x2 – 3
ᐉ = –3
Fissiamo f 2 0 e risolviamo la disequazione:
ossia
0 1 4x 2 1 f.
0 1 (4x 2 - 3) - (-3) 1 f,
La prima disuguaglianza è sempre vera perché x 2 è sempre positivo per ogni x
diverso da 0; dalla seconda disuguaglianza invece otteniamo:
f
f
f
.
" 1x1
x2 1
4
2
2
Quindi è verificata la condizione -3 1 f (x ) 1 - 3 + f, per ogni x, diverso
f
f;
del punto 0.
da 0, appartenente all’intorno E;
2
2
Il limite per difetto
y
DEFINIZIONE
Si dice che f (x ) tende a l per difetto e si scrive
ᐉ
lim f (x) = l-
x " x0
O
x0
x
se f (x ) è una funzione con limite finito l per x che tende a x0 e assume sempre valori minori di l in un intorno di x0, con al più x ! x0 .
La definizione di limite per difetto si ottiene, quindi, aggiungendo alla definizione
generale di limite la condizione che f (x ) 1 l in un intorno di x 0 , ossia ponendo:
- f 1 f (x ) - l 1 0.
Allora, per verificare che xlim
f (x) = l- , basta provare che per ogni f 2 0
" x0
esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x ! I, con al più x ! x0 , si ha
-f 1 f (x ) - l 1 0, ossia l - f 1 f (x) 1 l.
1418
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
TEORIA
0
Il limite destro e il limite sinistro
Il limite destro
Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo:
lim f (x) = l .
x " x+
0
La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola
differenza che la disuguaglianza 兩 f (x ) - l 兩 1 f deve essere verificata per ogni x
appartenente a un intorno destro di x 0 , ossia a un intorno del tipo ] x 0 ; x 0 + d[.
● La scrittura x " x +0
si legge «x tende a x 0 da
destra». Significa che x si
avvicina a x 0 restando però
sempre maggiore di x 0 .
Il limite sinistro
Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo:
● La scrittura x " x 0 si
lim- f (x) = l .
x " x0
Anche per il limite sinistro valgono le stesse considerazioni fatte per il limite
destro, con la sola differenza che f (x) - l 1 f deve essere verificata per ogni
x appartenente a un intorno sinistro di x 0 , ossia un intorno del tipo ]x 0 - d; x 0[.
legge «x tende a x 0 da
sinistra». Significa che x si
avvicina a x 0 restando però
sempre minore di x 0 .
ESEMPIO
y
Consideriamo la funzione il cui grafico è illustrato nella figura a lato.
3x - 1
f (x) = )
2x + 1
y = 2x + 1
se x 1 1
se x $ 1
3
2
y = 3x − 1
Verifichiamo che lim+ f (x) = 3 .
x"1
O
Fissato f 2 0 , risolviamo la disequazione:
(2x + 1) - 3 1 f .
Si ha:
2x - 2 1 f
"
"
- f 1 2x - 2 1 f
2 - f 1 2x 1 2 + f
"
1-
"
f
f
1 x 1 1+ .
2
2
f
La disequazione è verificata in particolare per 1 1 x 1 1 + , che è un intor2
no destro di 1.
1
● Poiché stiamo verificando un limite destro,
usiamo per f(x) l’espressione che vale se x $ 1.
● Puoi verificare in modo
analogo che lim- f (x) = 2 ,
x"1
utilizzando per f(x) l’espressione che vale se x 1 1.
Il xlim
f (x) = l esiste se e solo se esistono entrambi i limiti destro e sinistro e
" x0
coincidono:
lim f (x) = l + lim+ f (x) = l / lim- f (x) = l .
x " x0
x " x0
x
x " x0
Infatti, fissato f 2 0 , la disuguaglianza f (x) - l 1 f è verificata in un intorno
completo I di x 0, con al più x ! x 0 , se e solo se è verificata sia in un intorno destro
di x 0 sia in un intorno sinistro di x 0.
● I limiti per eccesso e per difetto sono definiti anche per x " x+0 oppure x " x-0 . In questi casi
si considerano rispettivamente solo intorni destri o sinistri di x 0.
1419
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
IN PRATICA
䉴
Videolezione 64
0
Il limite è + 3
Se per valori di x che si avvicinano a un certo x0 i valori di una funzione crescono
sempre più, diciamo che per x che tende a x 0 la funzione tende a + 3 .
DEFINIZIONE
● La funzione è definita in
tutti i punti di un intorno
completo I tranne che in x0.
Limite + 3 per x che tende a x0
Sia f (x ) una funzione non definita
in x 0 .
Si dice che f (x ) tende a + 3 per x
che tende a x 0 e si scrive
lim f (x) =+ 3
f(x)
x " x0
● Nella definizione,
quando diciamo «per ogni
numero reale positivo M»,
pensiamo a valori di M che
diventano sempre più
grandi. Diremo allora che
M è preso grande a piacere.
y = f(x)
y
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x 0 tale che risulti
M
O
x
x x0
⌱
f (x ) 2 M
x = x0
per ogni x appartenente a I e diverso da x 0.
Sinteticamente possiamo dire che xlim
f (x) =+ 3 se:
"x
0
6M 2 0 7I (x 0) f (x) 2 M, 6x ! I (x 0) - " x 0, .
䉲 Figura 13 Anche se attri-
buiamo a M valori sempre
più grandi, possiamo trovare
un intorno I di x0 i cui elementi x abbiano immagine
f(x) che supera M, a patto di
prendere l’intorno I abbastanza piccolo.
Se xlim
f (x) =+ 3 , si dice anche che la funzione f diverge positivamente.
"x
0
y = f(x)
y
y = f(x)
y
y = f(x)
y
f(x)
M
f(x)
f(x)
M
M
O
x x0
x
⌱
a. Fissiamo M 僆 ⺢+. Individuiamo un
intorno di x0 tale che f(x) > M
∀ x 僆 − {x0 }.
O
x x0
x
⌱
b. Se prendiamo M più grande,
esiste ancora e risulta, in genere, più
piccolo.
O
x x0
x
⌱
c. Scegliamo un valore di M ancora
più grande. Se è abbastanza piccolo,
ossia se x è abbastanza vicino a x0,
allora f(x) supera M.
1420
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
TEORIA
0
In simboli
A parole
Geometricamente
6M 2 0 f
Per ogni M positivo f
Per ogni ordinata fissata
M presa grande a
piacere f
f troviamo sempre un
intorno di x 0 tale che
per ogni x dell’intorno
diverso da x0 f
f troviamo infiniti
punti x vicini a x0
per i quali si verifica
che f
f f (x) supera il
valore M.
f f (x) è maggiore
di M: si avvicina
a + 3.
f 7I (x 0) tale che
6x ! I (x0), x ! x 0 f
f f (x ) 2 M .
La verifica
ESEMPIO
Verifichiamo che lim
x"1
1
=+ 3 .
(x - 1) 2
Fissato ad arbitrio un M reale positivo, risolviamo la disequazione:
1
2 M.
(x - 1) 2
Passiamo ai reciproci e cambiamo il verso della disuguaglianza:
(x - 1) 2 1
1
.
M
Applichiamo la radice quadrata a entrambi i membri:
x-1 1
1
.
M
● Ricorda che
x2 = x .
Esplicitiamo il valore assoluto:
1-
1
1 x 1 1+
M
1
.
M
Tenendo conto del dominio, otteniamo come insieme delle soluzioni della di1
1
sequazione l’intorno di 1 dato da E1 ;1 +
; privato del punto 1.
M
M
Fissato un generico M, esiste quindi un intorno di 1 in cui i punti verificano la
condizione f (x ) 2 M, con x ! 1.
● L’intorno ha il raggio che
dipende da M: più M è
grande, più il raggio è
piccolo.
y
Il limite è ⫺3
Ci sono anche funzioni che decrescono sempre di più in prossimità di un certo
punto x 0 , ossia che tendono a - 3 per x che tende a x 0 , come per esempio la funzione disegnata nella figura a lato. In questo caso diciamo che la funzione ha limite
- 3 per x che tende a x 0 . In generale vale la seguente definizione.
x0
O
x
1421
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
DEFINIZIONE
Limite - 3 per x che tende a x0
Sia f (x ) una funzione non definita
in x0. Si dice che f (x ) tende a - 3
per x che tende a x 0 e si scrive:
x = x0
y
⌱
x x0
y = f(x)
x
O
lim f (x) =- 3
x " x0
quando per ogni numero reale
positivo M si può determinare un
intorno completo I di x 0 tale che
risulti:
−M
f(x)
f (x ) 1 - M
per ogni x appartenente a I e diverso d
da x 0 .
䉲 Figura 14 Se attribuiamo
a M valori sempre più grandi
( a ⫺M valori sempre minori),
possiamo trovare sempre un
intorno I di x0 i cui valori x
abbiano f (x) 1 ⫺M, a patto
di prendere I abbastanza
piccolo.
y
O x
In simboli, diciamo che xlim
f (x) =- 3 se:
"x
0
6M 2 0 7I (x 0) f (x) 1 - M, 6x ! I (x 0) - " x 0, .
Se xlim
f (x) =- 3 , si dice anche che la funzione f diverge negativamente.
" x0
L’interpretazione della definizione è analoga a quella data per funzioni che divergono positivamente (figura 14). Negli esercizi vedremo un esempio di verifica.
Ι
y
x0
y = f(x)
O
x
Ι
x x0
y
y = f(x)
O
y = f(x)
x
x
b. Se prendiamo M più grande, ossia
–M minore, I esiste ancora e risulta,
in genere, più piccolo.
–M
f(x)
c. Scegliamo un valore di M ancora
più grande (–M ancora minore).
Se I è abbastanza piccolo, ossia se x è
abbastanza vicino a x0, allora f(x) è
minore di –M.
–M
f(x)
–M
f(x)
a. Fissiamo M 僆 ⺢+.
Individuiamo un intorno I di x0
tale che f(x) < –M ∀ x 僆 I –{x0}.
Ι
x x0
I limiti destro e sinistro infiniti
Anche per i limiti infiniti si possono distinguere limiti destri e sinistri.
Se...
la disequazione...
è soddisfatta
per x ! x 0 , in un...
lim f (x) =+ 3
f (x) 2 M
intorno destro di x0
lim f (x) =+ 3
f (x) 2 M
intorno sinistro di x0
lim f (x) =- 3
f (x) 1- M
intorno destro di x0
lim f (x) =- 3
f (x) 1- M
intorno sinistro di x0
x " x+
0
x " x0
x " x+
0
x " x0
1422
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PARAGRAFO 3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
TEORIA
0
ESEMPIO
1
(figura a lato). Mediante la definizione e la
x
1
1
tabella precedente, puoi verificare che lim+ =+ 3 e lim- =- 3 .
x"0 x
x"0 x
y
1
y=—
x
1
1
=+ 3 e lim- =- 3 si possono riassumere in una sola,
x
x"0 x
O
x
Consideriamo la funzione y =
Le scritture lim+
x"0
lim
x"0
1
= 3,
x
a
cioè scrivendo «infinito» senza segni + o - e lo 0 senza specificare se da destra o
da sinistra.
Quando scriviamo xlim
f (x) = 3 intendiamo dire che f diverge, ma non importa
" x0
specificare se positivamente o negativamente.
La definizione di xlim
f (x) = 3 è analoga alle precedenti, ma con la seguente
" x0
variazione:
per ogni M 2 0, è possibile trovare un intorno I di x0 tale che f (x) 2 M, per
ogni x ! I nel dominio di f, con x ! x0.
La disequazione f (x) 2 M si può scrivere in modo equivalente come
f (x) 2 M 0 f (x) 1 - M,
● Questa scrittura significa
che f (x) appartiene a un
intorno circolare di 3.
e quindi le sue soluzioni sono l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni.
y
f(x)
M
ESEMPIO
1
1
= 3 , le soluzioni di
2 M sono
x
x
E0; 1 ; , E- 1 ; 0; , che possiamo anche scrivere E- 1 ; 1 ; - ! 0 + .
M M
M
M
Abbiamo così trovato un intorno di 0, privato dello 0 stesso, come richiesto
dalla definizione.
Nel nostro esempio lim
⌱
x"0
O
−M
−f(x)
x0
x
⏐f(x)⏐> M
Gli asintoti verticali
Può capitare che il grafico di una funzione si avvicini sempre più a quello di una
retta. In tal caso la retta è un asintoto della funzione.
DEFINIZIONE
Asintoto
Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza
di un generico punto del grafico
da tale retta tende a 0 quando
l’ascissa o l’ordinata del punto
tendono a 3.
y
asintoto
H
r
P(x; y)
y = f(x)
O
x
Per x " + 3, PH " 0
Studiamo ora gli asintoti verticali.
1423
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
DEFINIZIONE
Asintoto verticale
Data la funzione y = f (x), se si verifica che
lim
f (x ) = 3 ,
x"c
● In particolare, può
accadere che
si dice che la retta x = c è asintoto verticale per il grafico della funzione.
lim
f (x) = + 3
x"c
oppure
La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto
verticale, di equazione x = c, tende a 0 quando x " c (figura 15).
Infatti, essendo P(x; y) il generico punto del grafico, si ha:
lim
f (x) = - 3 .
x"c
lim
PH = lim
x - c = 0.
x"c
x"c
y
P
La definizione di asintoto verticale è
ancora valida se consideriamo il limite destro (x " x+0 ) e il limite sinistro
(x " x-0 ) e i due limiti sono entrambi
infiniti, ma con segno opposto, oppure
solo uno dei due limiti è infinito.
H
x
x=c
asintoto verticale
O
y = f(x)
䉳 Figura 15
ESEMPIO
y
Prendiamo in esame la funzione logaritmo
y = lnx
y = ln x ,
O
x
1
per la quale:
lim ln x =- 3 .
䉴 Figura 16 Il grafico della
x " 0+
funzione y = ln x ha come
asintoto verticale l’asse y,
cioè x = 0.
La retta x = 0 è asintoto verticale del
grafico della funzione.
● Il grafico di una funzione può avere più asintoti verticali, anche infiniti, come nel caso di
y = tg x .
䉲 Figura 17 Esempi di fun-
zioni i cui grafici hanno asintoti verticali.
y
Esaminiamo alcuni esempi di funzioni i cui grafici presentano asintoti verticali.
y
x=c
y
x=c
x=c
y
x = c2
O
x
y = f(x)
y = f(x)
x
O
y = f(x)
x
O
y = f(x)
x = c1
x
O
a. Asintoto verticale
soltanto per x " c −:
lim
f(x) = + 3.
x " c−
b. Asintoto verticale
soltanto per x " c +:
lim
f(x) = − 3.
x " c+
c. Asintoto verticale per
f(x) = − 3.
x " c: xlim
" c
d. Due asintoti verticali
distinti: lim
f(x) = + 3 e
x"c
1
lim
f(x) = 3.
x"c
2
1424
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PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
TEORIA
4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
x tende a ⫹3
Dicendo «x tende a + 3 » intendiamo dire che consideriamo valori di x sempre
più grandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo c fissato.
DEFINIZIONE
Limite finito di una funzione per x che tende a + 3
Si dice che una funzione f (x ) tende
y
al numero reale l per x che tende a
艎+ε
+ 3 e si scrive
y=艎
艎
f(x)
艎−ε
lim f (x) = l
x "+3
quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno I di + 3 tale
che:
I(+3)
c x
x
O
y = f(x)
f (x) - l 1 f per ogni x ! I .
Considerato che un intorno di + 3 è costituito da tutti gli x maggiori di un numero c, possiamo dire che x lim
f (x) = l se:
"+3
6f 2 0 7c 2 0
f (x) - l 1 f, 6x 2 c .
L’interpretazione della definizione è data nella figura 18.
y
y
艎 + ε2
艎
ε2 f(x)
艎 − ε2
艎 + ε3
y
艎 + ε1
艎
ε1
f(x)
艎 − ε1
y = f(x)
O
ε3
y = f(x)
c1
x
x
a. Fissiamo ε > 0. Individuiamo c1 > 0
tale che ⎜f(x) − 艎 ⎜< ε per ogni x > c1,
ossia per ogni punto dell’intorno di
+3: ]c1; +3[.
艎
f(x)
艎 − ε3
y = f(x)
O
c2
x x
b. Se ε diventa più piccolo, la
disuguaglianza ⎜f(x) − 艎 ⎜< ε è ancora
vera, purché scegliamo valori di x più
grandi di c2 > c1.
O
c3 x x
c. Scegliamo ε ancora più piccolo.
In genere, perché f(x) sia distante da
艎 meno di ε, dovremo prendere c3
ancora più grande.
Ciò significa che, al crescere dei valori di x, f (x ) si avvicina al valore l.
䉱 Figura 18
x tende a ⫺3
Il caso in cui «x tende a - 3 » è analogo al precedente.
1425
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
DEFINIZIONE
● Esempi di verifica di
questo tipo di limite e di
quello precedente si trovano
negli esercizi guida.
Limite finito di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che una funzione f (x ) ha
limite reale l per x che tende a - 3
e si scrive
y
艎+ε
艎
艎−ε
lim f (x) = l
x "-3
se per ogni f 2 0 fissato è possibile trovare un intorno I di - 3 tale
che risulti:
y=艎
f (x)
I(− ⬁)
x
−c
O
x
f (x) - l 1 f per ogni x ! I .
● Un intorno di - 3 può
essere determinato considerando gli x per i quali
x 1 - c, con c 2 0, ossia
x ! ] - 3 ; - c [.
In simboli, x lim
f (x) = l se:
"-3
6f 2 0 7 c 2 0
f (x) - l 1 f, 6x 1 - c .
x tende a 3
I due casi precedenti possono essere riassunti in uno solo se si considera un intorno di 3 determinato dagli x per i quali
● x 2 c è un intorno circolare di 3.
x
−c
0
c
x 2 c , ossia x 1 - c 0 x 2 c,
o anche x ! ] - 3 ; - c [ ,]c ; + 3 [, dove c è un numero reale positivo grande a
piacere. Diciamo allora che x tende a 3 omettendo il segno + o -.
Si dice che xlim
f (x) = l quando per ogni f 2 0 è possibile trovare un intorno
"3
I di 3 tale che
f (x) - l 1 f per ogni x ! I.
ESEMPIO
Consideriamo la funzione y =
● I limiti per eccesso
e per difetto
Anche per x " - 3 o
x " + 3 possiamo parlare
di limite per eccesso e limite
per difetto. In questi casi
vale ancora la definizione
data in precedenza per
x " x 0, ma, ovviamente,
occorre considerare intorni
rispettivamente di - 3 e di
+ 3 anziché intorni di x 0 .
● Se il limite esiste finito
soltanto per x " + 3 (o
x " - 3 ), abbiamo un asintoto orizzontale destro (o
sinistro). Se sono valide
entrambe le condizioni, possiamo anche scrivere:
lim f (x) = q .
x"3
4x + 5
, definita in D = R - {0}.
x
Verifichiamo che:
4x + 5
= 4.
lim
x"3
x
Fissato f 2 0 , risolviamo la disequazione:
4x + 5
- 4 1 f.
x
5
5
5
Svolgendo i calcoli si ha x 2 , ossia x 1 - 0 x 2 , intorno di 3.
f
f
f
Abbiamo trovato un intorno di 3 per cui è vera la condizione iniziale, quindi
il limite è verificato.
Gli asintoti orizzontali
DEFINIZIONE
Asintoto orizzontale
Data la funzione y = f (x), se si verifica una delle condizioni
lim f (x) = q o x lim
f (x) = q o xlim
f (x) = q ,
"-3
"3
x "+3
si dice che la retta y = q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
1426
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PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
La distanza di un generico punto P del
grafico di una funzione da un suo asintoto orizzontale, di equazione y = q,
tende a 0 quando x tende a + 3.
Detto P (x; f (x)) il punto, si ha:
TEORIA
䉳 Figura 19
y
asintoto orizzontale
y=q
H
y = f(x)
P
lim PH = x lim
f (x) - q = 0 .
"+3
x "+3
Considerazioni analoghe si hanno per
x " 3 o x " - 3.
O
x
M
y
ESEMPIO
Prendiamo in esame una funzione nota, la funzione esponenziale
y = e x,
il cui grafico è rappresentato nella figura 20. Sappiamo che x lim
e x = 0 , quin"-3
di la retta y = 0 è asintoto orizzontale sinistro.
● Il grafico di una funzione f (x ) può ammettere un solo asintoto orizzontale, come nell’esem-
pio precedente, ma può anche ammettere due asintoti. Ciò accade quando i limiti della funzione per x " + 3 e per x " - 3 sono entrambi finiti, ma diversi fra loro, ossia:
1
y = ex
O
x
䉱 Figura 20 Il grafico della
funzione y = ex ha come
asintoto orizzontale sinistro
l’asse x, cioè y = 0.
lim f (x) = q1 e x lim
f (x) = q 2, con q1 ! q 2 .
"-3
x "+3
y
y
x
O
y
x
O
b. Asintoto orizzontale
soltanto per x " + 3.
a. Asintoto orizzontale
soltanto per x " − 3.
y
x
O
c. Asintoto orizzontale
unico per x " + 3 e x " − 3.
x
O
d. Due asintoti orizzontali
diversi per x " + 3 e x " − 3.
䉱 Figura 21 Esempi di fun-
● Rispetto all’asintoto orizzontale, il grafico della funzione può stare tutto «al di sopra» della
retta o tutto «al di sotto», ma può anche intersecare l’asintoto stesso in un punto, due punti, …,
infiniti punti.
zioni i cui grafici hanno asintoti orizzontali.
䉳 Figura 22 Diverse posi-
y
y
O
x
a. Il grafico non interseca
l’asintoto.
O
b. Il grafico interseca
l’asintoto in due punti.
zioni di grafici rispetto
all’asintoto orizzontale.
y
x
O
x
c. Il grafico interseca
l’asintoto in infiniti punti.
1427
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
5. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
"3
Il limite è ⫹3 quando x tende a ⫹3 o a ⫺3
In questo caso si può anche dire che la funzione diverge positivamente.
Studiamo i due casi:
lim f (x) =+ 3 e x lim
f (x) =+ 3 .
"-3
x "+3
y
O
Consideriamo la funzione y = x 3, il cui grafico è nella figura a lato.
y = x3
x
Se attribuiamo a x valori positivi crescenti, per esempio 1, 2, 3, 4, …, i corrispondenti valori x3, ossia 1, 8, 27, 64, …, aumentano sempre più.
Diciamo che quando x tende a + 3 i valori della funzione tendono a + 3 e scriviamo x lim
x3 =+ 3 .
"+3
DEFINIZIONE
Limite + 3 di una funzione per x che tende a + 3
Si dice che la funzione f (x) ha per
limite + 3 per x che tende a + 3
e si scrive
lim f (x) =+ 3
x "+3
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di + 3 tale che risulti:
f (x) 2 M per ogni x ! I.
y
y = f(x)
M
I(⫹⬁)
O
c
x
In simboli, x lim
f (x) =+ 3 se:
"+3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 2 M, 6x 2 c.
ESEMPIO
Verifichiamo che x lim
x3 =+ 3 , applicando la definizione.
"+3
Scelto M 2 0, dobbiamo determinare un intorno di + 3 tale che risulti:
x 3 2 M per ogni x dell’intorno.
Applichiamo la radice cubica a entrambi i membri:
x2
y
O
y = x2
x
3
M.
3
L’insieme delle soluzioni è A M ; + 37 , che è l’intorno cercato.
Consideriamo ora la funzione y = x 2, il cui grafico è nella figura a lato.
Se attribuiamo a x valori negativi decrescenti, per esempio -1, -2, -3, -4, …,
i corrispondenti valori x2, ossia 1, 4, 9, 16, …, aumentano sempre più. Diciamo
che quando x tende a - 3 i valori della funzione tendono a + 3 e scriviamo
lim x2 =+ 3 .
x "-3
1428
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 5. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
"3
TEORIA
DEFINIZIONE
Limite + 3 di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che la funzione f (x) ha per
limite + 3 per x che tende a - 3
e si scrive
y = f(x)
y
f(x)
lim f (x) =+ 3
x "-3
quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di - 3 tale che risulti:
M
I(⫺ ⬁)
x
⫺c
O
x
f (x) 2 M per ogni x ! I.
In simboli, x lim
f (x) =+ 3 se:
"-3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 2 M, 6x 1- c.
ESEMPIO
Verifichiamo il limite precedente, x lim
x2 =+ 3 , applicando la definizione.
"-3
Scelto M 2 0, dobbiamo determinare un intorno di - 3 tale che risulti:
x 2 2 M per ogni x dell’intorno.
Questa disequazione di secondo grado è verificata per valori esterni alle radici x = ! M , ossia ha per soluzioni x 1 - M 0 x 2 + M .
In particolare, se x 1- M , che rappresenta un intorno di - 3 , la disuguaglianza è vera, quindi il limite è verificato.
Il limite è ⫺3 quando x tende a ⫹3 o a ⫺3
In questo caso si può anche dire che la funzione diverge negativamente.
Studiamo i due casi:
lim f (x) =- 3 e x lim
f (x) =- 3 .
"-3
x "+3
DEFINIZIONE
y
Limite - 3 di una funzione per x che tende a + 3
O
Si dice che la funzione f (x) ha per limite - 3 per x che tende a + 3 e si
scrive xlim
f (x) =- 3 quando per ogni numero reale positivo M si può
"+3
determinare un intorno I di + 3 tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.
c I(⫹⬁ )
x
−M
y = f(x)
∀M > 0 ∃c > 0 ⎪
f(x) < − M, ∀x > c
In simboli, x lim
f (x) =- 3 se:
"+3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 1 - M, 6x 2 c.
1429
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TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
ESEMPIO
^- x - 1h =- 3 , applicando la definizione.
Verifichiamo il limite x lim
"+3
La funzione è definita in D = [1; + 3 [. Scelto un numero M 2 0, dobbiamo
determinare un intorno di + 3 tale che risulti:
y
- x - 1 1 - M per ogni x dell’intorno.
Moltiplichiamo entrambi i membri per - 1 ed eleviamoli al quadrato:
1
O
x
"
x - 1 2 M2 "
x 2 1 + M2.
Le soluzioni sono date da x 2 1 + M2, che rappresenta un intorno di + 3 ,
quindi il limite è verificato.
y=– x–1
DEFINIZIONE
y
I(⫺⬁) ⫺ c
x-1 2 M
O
x
−M
y = f(x)
∀M > 0 ∃c > 0 ⎪
f(x) < − M, ∀x < − c
Limite - 3 di una funzione per x che tende a - 3
Si dice che la funzione f (x) ha per limite - 3 per x che tende a - 3 e si
scrive xlim
f (x) =- 3 quando per ogni numero reale positivo M si può
"-3
determinare un intorno I di - 3 tale che risulti f (x) 1 - M per ogni x ! I.
In simboli, x lim
f (x) =- 3 se:
"-3
6M 2 0 7c 2 0 f (x) 1 - M, 6x 1 - c.
Un esempio di verifica di questo limite si trova negli esercizi, dove esaminiamo
anche il caso di xlim
f (x).
"3
In generale possiamo dare la seguente definizione topologica di limite.
DEFINIZIONE
Sia y = f (x) una funzione con dominio D e sia x 0 un punto di accumulazione di D: si dice che l è il limite di f (x) per x che tende a x0 se per ogni
intorno I(l) di l esiste, in corrispondenza, un intorno I(x0) di x0 tale che
6x ! D + I (x0), escluso al più x0, si ha f (x) ! I (l).
Questa definizione coincide con quelle date finora anche nei casi in cui x0 o l sono
uguali a - 3 o a + 3 .
6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
I teoremi e le proprietà che enunceremo in questo paragrafo sono validi per
funzioni definite in un qualsiasi dominio D 3 R e per punti x 0 (in cui calcoliamo il limite) di accumulazione del dominio D. Valgono inoltre per
x " + 3 oppure x " - 3 .
Tuttavia, per semplicità, penseremo sempre a particolari domini D, ossia a intervalli di R o a unioni di intervalli, e a x 0 come punto di D o estremo di uno degli
intervalli che costituiscono D.
I teoremi valgono anche se invece di l abbiamo + 3 , - 3 o 3. Valgono inoltre nei
casi di limite destro o limite sinistro.
1430
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
TEORIA
Il teorema di unicità del limite
TEOREMA
Se per x che tende a x 0 la funzione f (x ) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico.
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " + 3 o
x " - 3.
DIMOSTRAZIONE
● Nelle dimostrazioni per
assurdo si procede così: si
suppone falsa la tesi; se con
questa supposizione, dopo
opportuni passaggi, l’ipotesi
viene negata, significa che è
sbagliato supporre falsa la
tesi, ossia la tesi è vera.
Dimostriamo la tesi per assurdo.
Supponiamo che la tesi sia falsa e cioè che l non sia unico. In tal caso dovrebbe
esistere un numero reale l l diverso da l tale che risulti:
lim f (x) = l l, l l ! l .
x " x0
Possiamo supporre l 1 l l e, poiché nella definizione di limite possiamo scegliere f arbitrariamente purché sia positivo, consideriamo:
f1
ll - l
.
2
Applichiamo la definizione di limite in entrambi i casi. Dovrebbero esistere
due intorni I e I l di x 0 tali che:
f (x) - l 1 f per ogni x ! I,
f (x) - l l 1 f per ogni x ! Il.
Osserviamo che anche I + Il è un intorno di x 0 . In I + Il devono valere contemporaneamente le due disequazioni, ossia:
*
f (x) - l 1 f
f (x) - l l 1 f
6x ! I + I l
Possiamo anche scrivere:
l - f 1 f ( x) 1 l + f
*
l l - f 1 f (x) 1 l l + f
Dal confronto delle disuguaglianze, ricordando che l 1 l l , risulta che
ll - f 1 f (x) 1 l + f ,
da cui segue:
ll - f 1 l + f .
Ricavando f otteniamo
- f - f 1 l - ll
da cui f 2
"
- 2f 1 l - ll
"
2f 2 ll - l,
ll - l
ll - l
, contro l’ipotesi di f 1
.
2
2
La supposizione che ci siano due limiti è falsa. Pertanto, se xlim
f (x) = l , il
" x0
limite l è unico.
1431
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Il teorema della permanenza del segno
● Il teorema afferma che in
un intorno di x 0 la funzione
f (x) ha lo stesso segno di l .
TEOREMA
Se il limite di una funzione per x che tende a x 0 è un numero l diverso
da 0, allora esiste un intorno I di x 0 (escluso al più x 0 ) in cui f (x) e l sono
entrambi positivi oppure entrambi negativi.
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " + 3 o
x " - 3.
lim f(x) = 艎 ≠ 0
x→x
0
艎>0
y
f(x) > 0
∀x∈⌱ 艎
艎<0
y = f(x)
y
⌱
x0
O
x0
x
x
O
f(x) < 0 艎
∀x∈⌱
⌱
y = f(x)
DIMOSTRAZIONE
Dalla definizione di xlim
f (x) = l , scelto f arbitrariamente positivo, deve es" x0
sere:
f (x ) - l 1 f " l - f 1 f ( x ) 1 l + f .
Posto allora f = l , si ha:
l - l 1 f (x) 1 l + l .
䉴 Figura 23 La funzione f (x)
è positiva in ogni intorno
sinistro di 1 e negativa
in ogni intorno destro. Il
teorema non si applica.
Se l 2 0 , allora 0 1 f (x) 1 2l
"
f (x) 2 0.
Se l 1 0 , allora 2l 1 f (x) 1 0
"
f (x) 1 0.
● Il teorema non è valido nel caso in cui il limite
l sia uguale a 0.
Per esempio, consideriamo lim (1 - x) = 0 : in un
y
x"1
qualunque intorno completo del punto 1, i
valori assunti dalla funzione y = 1 - x sono in
parte positivi e in parte negativi.
1
f(x) > 0
O
f(x) < 0
1
x
Il teorema della permanenza del segno si può opportunamente invertire: vale il
seguente teorema.
● Questo teorema si
estende anche al caso in cui
il limite è infinito:
• se f (x) $ 0, si ha l = + 3 ;
• se f (x) # 0, si ha l = - 3 .
TEOREMA
Se una funzione f (x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e in un
intorno I (x 0) di x0 , escluso al più x0, è:
• positiva o nulla, allora l $ 0 ;
• negativa o nulla, allora l # 0 .
1432
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PARAGRAFO 6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
TEORIA
Dimostriamo la prima parte del teorema.
DIMOSTRAZIONE
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che l 1 0 . Allora, per il teorema precedente, esiste un intorno I l(x 0) di x 0 tale che f (x) 1 0 per ogni x ! I⬘(x 0 ),
con x ! x0 . Ma, per l’ipotesi che f(x) è positiva o nulla in I(x 0 ), ciò implica che
per i punti x dell’intorno I(x 0 ) + I⬘(x 0 ) la funzione assume valori sia positivi che negativi. Abbiamo quindi ottenuto una contraddizione, pertanto deve
essere l $ 0.
● Analogamente puoi
dimostrare la seconda parte.
Il teorema del confronto
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " 3.
TEOREMA
Siano h (x), f (x) e g (x) tre funzioni
definite nello stesso dominio
D 3 R, escluso al più un punto x 0 .
Se in ogni punto diverso da x0 del
dominio risulta
y = g(x)
y
y = f(x)
y = h(x)
艎
h(x) # f (x) # g (x)
e il limite delle due funzioni h (x)
e g (x), per x che tende a x 0, è uno
stesso numero l, allora anche il
limite di f (x) per x che tende a x 0 è
uguale a l .
O
x
x0
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
lim h(x) = 艎
● Poiché la funzione f
viene «costretta», da h e da
g, a tendere a l, il teorema
viene anche detto teorema
dei due carabinieri.
f(x) = 艎
⇒ xlim
→x
0
x→x
0
lim g(x) = 艎
x→x
0
DIMOSTRAZIONE
Fissiamo f 2 0 a piacere. È vero che:
● I1 e I2 sono due intorni di
x0 che, in generale, dipendono da f.
h (x) - l 1 f , per ogni x ! I1 + D , perché h (x) " l per x " x0 ;
g (x) - l 1 f , per ogni x ! I2 + D , perché g (x) " l per x " x 0 .
Le disuguaglianze valgono entrambe per ogni x del dominio appartenente
all’intorno I = I 1 + I 2 , escluso al più x0 . Quindi, per ogni x ! I, abbiamo:
l - f 1 h (x) 1 l + f ,
l - f 1 g ( x) 1 l + f .
Tenendo conto della relazione fra le
funzioni, abbiamo
l - f 1 h (x) # f (x) # g (x)1l + f ,
per ogni x ! I, che implica
l - f 1 f (x ) 1 l + f,
per ogni x ! I, ossia:
䉳 Figura 24
y
ᐉ+ε
ᐉ
ᐉ–ε
O
x0
Ι2
f (x) - l 1 f, 6x ! I.
Ι1
Ι1 Ι2
⊃
Quest’ultima relazione significa proprio che xlim
f (x ) = l .
"x
x
0
1433
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
ESEMPIO
Sono date le funzioni
h (x) = - x 2 + 4x - 2,
g(x) = x 2,
f (x) = 2x - 1,
rappresentate nella figura 25a.
● h(x) e g(x) sono funzioni
polinomiali e quindi continue:
lim h (x) = h (1) ,
Noto che:
lim h (x) = lim (- x2 + 4x - 2) = 1
x"1
x"1
lim g (x) = lim x2 = 1,
e
x"1
x"1
calcoliamo lim f (x).
x"1
x"1
lim g (x) = g (1) .
x"1
Possiamo osservare che per ogni valore x appartenente all’intervallo ] 0; 3[,
i rispettivi valori delle tre funzioni h, f e g sono, nell’ordine, uno minore o
uguale all’altro, ossia h (x) # f (x) # g (x).
䉴 Figura 25
y = x2
y
g(x)
y = 2x − 1
g
y = 2x − 1
f(x)
f
h(x)
O
y = − x2 + 4x − 2
h
1
1
y = x2
y
3
x
x
a. Consideriamo un valore x e i
corrispondenti valori h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).
g
g(x)
f(x)
h(x)
f
O
y = − x2 + 4x − 2
h
1
1
x
3
x
b. Se x tende a 1, h(x) e g(x) tendono
a 1. Anche f(x), essendo compreso
fra h(x) e g(x), deve tendere a 1.
Il teorema permette di affermare che è anche vero:
● Il teorema vale anche per
i limiti con x " + 3 o
x " - 3.
Un esempio grafico nel caso
x " + 3 è illustrato nella
figura sotto.
y
y = g(x)
lim f (x) = lim (2x - 1) = 1.
x"1
x"1
Casi particolari
Si possono dimostrare i seguenti teoremi.
• Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x 0 , escluso al più
x 0 , se per ogni x ! x0 di I è
f (x) # g (x)
e
y = f(x)
lim g (x) = 0 ,
x " x0
allora xlim
f (x ) = 0 .
"x
0
y = h(x)
x
O
• Date le funzioni f(x) e g(x), definite in uno stesso intorno I di x0 , escluso al più
x0 , se per ogni x ! x0 di I è:
f (x) $ g (x)
e
lim g (x) = 3 ,
x " x0
allora xlim
f (x ) = 3 .
"x
0
1434
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
RISPOSTA AL QUESITO
TEORIA
NON PUÒ FARE PIÙ FREDDO DI COSÌ!
Perché il termometro non può scendere sotto lo zero assoluto?
Il quesito completo a pag. 1403
All’interno delle stelle si possono raggiungere temperature elevatissime di
milioni e milioni di gradi.
All’estremo opposto, il luogo più
freddo dell’Universo finora conosciuto è una nebulosa a 5000 anni
luce dalla Terra che ha una temperatura di 272 °C sotto zero. In alcuni
laboratori di ricerca gli scienziati
sono riusciti a oltrepassare questo
record cosmico, arrivando quasi a
sfiorare lo zero assoluto.
Impossibile spingersi oltre
Lo zero assoluto, che coincide con il
valore 0 della scala Kelvin, è il limite
inferiore della temperatura: una
soglia teorica alla quale ci si può avvicinare, ma che è impossibile raggiungere in pratica.
Come mai? Per comprenderlo bisogna ricordare che la temperatura è
una misura dell’agitazione delle
molecole di un corpo. Più un oggetto
è caldo, maggiore è l’energia cinetica
(l’energia di movimento) delle particelle che lo compongono. Più si raffredda, più le molecole rallentano.
Immaginiamo di avvicinarci allo zero
assoluto: in questa condizione
estrema tutte le molecole si fermano.
Ma vediamo come si ricava il valore
teorico di -273,15 °C e perché
abbiamo detto che è un limite insuperabile in qualsivoglia esperimento
o luogo dell’Universo.
Un esempio per capire
Un gas ideale, o perfetto, è un gas
molto rarefatto in cui le molecole
possono interagire soltanto urtandosi
in modo elastico: quando si scontrano, rimbalzano come palle da
biliardo. Per questi gas le grandezze
fondamentali (volume V, pressione P
e temperatura T) sono legate
dall’equazione di stato: PV = NkT,
dove k è la costante di Boltzmann e N
è il numero di molecole del gas.
Da questa formula è facile ricavare
una relazione che lega il cambiamento
del volume di un gas al variare della
temperatura, ipotizzando che la pressione resti costante. La legge che
regola questa trasformazione, detta
prima legge di Gay-Lussac, afferma
che le variazioni del volume sono
direttamente proporzionali alle variazioni della temperatura. Matematicamente, V = V0 (1 + aT), dove a è un
coefficiente identico per tutti i gas
perfetti. Vuol dire che più un gas si
raffredda, più il suo volume si riduce.
La rappresentazione grafica corrisponde a una retta. Il punto in cui la
retta incontra l’asse delle ascisse corrisponde allo zero assoluto. Fisicamente, questo punto è irraggiungibile, perché man mano che la temperatura scende, il volume del gas si
contrae, ma, per quanto piccole e
concentrate siano le particelle, questo
volume non potrà mai essere nullo.
volume
V0
–500
O
–273,15 °C
500
1000
temperatura (°C)
Quello che succede è che per T che
tende a -273,15 °C (da destra), il
volume tende a 0.
Il luogo più freddo della Terra
La Stazione Vostok, base russa in Antartide, è
la zona in cui si è registrata la più bassa temperatura terrestre. Gli scienziati giunti nel 1974
misurarono temperature intorno ai -89 °C,
mai registrate prima di allora. Da quel momento Vostok ha catalizzato le attenzioni di molti
ricercatori. Nel 1996 fu accertata l’esistenza di
un lago sotterraneo, il lago Vostok appunto,
in grado di mantenere le sue acque allo stato
liquido anche a temperature di qualche grado
sotto lo zero. È un lago grande come la Corsica, profondo 700 metri, nascosto sotto circa
4000 metri di ghiaccio e che risale probabilmente a milioni di anni fa.
1435
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
LABORATORIO DI MATEMATICA
I LIMITI DELLE FUNZIONI
ESERCITAZIONE GUIDATA
Con l’aiuto di Derive stabiliamo il dominio, troviamo gli asintoti e abbozziamo il grafico della funzio4x2 - 16
.
ne f (x) = log2 2
x - 8x + 16
Per risolvere il problema facciamo svolgere i calcoli a Derive e diamo un significato ai suoi risultati.
• Immettiamo la funzione nell’etichetta #1 (figura 1).
• Trattandosi di una funzione logaritmica, per stabilirne il
dominio, impostiamo il comando Solve sulla disequazione
formata dall’argomento del logaritmo posto maggiore di 0 in
senso stretto.
• Con Semplifica_Base lo facciamo operare, ricavando dal
risultato che il dominio è dato da: (x 1 - 2) 0 (x 2 2 / x ! 4).
• Con Calcola_Limite calcoliamo i limiti della funzione per x
tendente a - 3 e a + 3 , dalla lettura dei risultati deduciamo
che la retta y = 2 è
asintoto orizzontale per la f(x).
• Svolgiamo poi il
calcolo dei limiti
per x tendente a
- 2 da sinistra, a 2
da destra e a 4, da
destra e da sinistra,
deducendo dai risul䉱 Figura 1
tati dei limiti che le
rette x = - 2, x = 2 e x = 4 sono asintoti verticali della f(x).
• Con le istruzioni di Derive tracciamo infine i grafici della
f(x) in rosso e quelli degli asintoti in verde (figura 2).
䉱 Figura 2
Nel sito:
䉴 1 esercitazione guidata 䉴 20 esercitazioni in più
Esercitazioni
Con l’aiuto del computer determina il dominio, gli asintoti orizzontali e verticali e le intersezioni con gli assi
cartesiani delle seguenti funzioni. Con strumenti grafici traccia l’andamento della f(x) e dei suoi asintoti ed evidenzia le intersezioni con gli assi cartesiani.
1
2
3
3x 2 + 6x + 3
x2 - 2x - 3
4x 2 - 10x - 6
f (x) = 3
2x - x2 + 2x - 1
3 (x3 + x 2 - 9x - 9)
f (x) =
x 2 - 1 (x - 4) 2
f (x) =
[D: R - {- 1, 3}; x = 3, y = 3; (0; 1)]
: D: R - & 1 0; x = 1 , y = 0; b- 1 ; 0l, (3; 0), (0; 6)D
2
2
2
[D: (x 1 - 1 0 x 2 1) / x ! 4; x = 1, x = 4, y = 3, y =- 3; (- 3; 0), (3; 0)]
1436
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LA TEORIA IN SINTESI
ESERCIZI
LA TEORIA IN SINTESI
I LIMITI DELLE FUNZIONI
1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
䡲 Intorni
δ1
• Intorno completo di x0: I (x0) = ] x0 - d1; x0 + d2 [, d1, d2 ! R+ .
x0 – δ1
• Intorno circolare di x0: Id (x0) = ] x0 - d; x0 + d [, d ! R+ .
• Intorno destro di x0:
I+d (x0) = ] x0; x0 + d [, d ! R+ .
• Intorno sinistro di x0:
I-d (x0) = ] x0 - d; x0 [, d ! R+ .
• Intorno di - 3 :
I (- 3) = ] - 3; a [, a ! R .
• Intorno di + 3 :
I (+ 3) = ] b; + 3 [, b ! R .
δ
x0 – δ
x0
x0 + δ2
δ
x0
δ
x0 – δ
δ2
δ
x0 + δ
x0 + δ
x0
x0
a
b
䡲 Un insieme numerico F 1 R è detto:
• superiormente limitato se è possibile determinare un numero reale a tale che x # a 6x ! F ; a è detto maggiorante di F; inoltre, se, 6f 2 0 , 7x ! F tale che x 2 a - f , allora a è estremo superiore di F;
• inferiormente limitato se è possibile determinare un numero reale b tale che x $ b 6x ! F ; b è detto minorante
di F; inoltre, se, 6f 2 0 , 7x ! F tale che x 1 b + f , allora b è estremo inferiore di F;
• limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente.
䡲 Sia A un sottoinsieme di R:
• x0 ! A è un punto isolato di A se esiste un intorno di x0 che non contiene elementi di A diversi da x 0;
• x0 ! R è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di A.
f ( x) = ᐉ
2. LA DEFINIZIONE DI xlim
"x
0
䡲 xlim
f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno I di
"x
0
x 0 tale che:
lim f(x) = ᐉ
f (x) - l 1 f per ogni x ! I, x ! x 0 .
䡲 Una funzione si dice continua in un punto x0 del suo
dominio se:
lim f (x) = f (x0).
x"x
x"x0
y
ᐉ+ ε
ᐉ
ᐉ– ε
0
䡲 Limite per eccesso: xlim
f (x) = l+ se
"x
0
• xlim
f (x) = l ,
"x
0
• f (x) 2 l in un intorno di x 0 (con al più x ! x0 ).
䡲 Limite per difetto: xlim
f (x) = l- se
"x
0
Ι
O
x0
x
∀ ε > 0 ∃ Ι(x0) ⏐ |f(x) – ᐉ| < ε, ∀ x 僆 Ι(x0), x ≠ x0
• xlim
f (x) = l ,
"x
0
• f (x) 1 l in un intorno di x 0 (con al più x ! x0 ).
1437
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
䡲 Limite destro: lim+ f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno destro di x0, I+ (x0) , tale che f (x) - l 1 f per
x " x0
ogni x ! I+ (x0), x ! x 0 .
䡲 Limite sinistro: lim- f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno sinistro di x 0, I- (x0) , tale che f (x) - l 1 f
x " x0
per ogni x ! I- (x0), x ! x 0 .
䡲 Esiste xlim
f (x) = l se e solo se esistono entrambi lim+ f (x) e lim- f (x) e sono entrambi uguali a l.
"x
0
x " x0
x " x0
f ( x) = 3
3. LA DEFINIZIONE DI xlim
"x
0
䡲 • xlim
f (x) =+ 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di x 0 tale che f(x) 2 M per ogni x ! I, x ! x 0 .
"x
0
• xlim
f (x) =- 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di x 0 tale che f(x) 1 - M per ogni x ! I, x ! x 0 .
"x
0
• xlim
f (x) = 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di x0 tale che f (x) 2 M per ogni x ! I, x ! x 0 .
"x
0
lim
f(x) = − 3
x"x
lim f(x) = + 3
x"x0
y
f(x)
0
y
y = f(x)
x = x0
⌱
x x0
M
O
O
x
−M
f(x)
x
x
y = f(x)
⌱
x = x0
∀ M > 0 ∃ Ι(x0) ⏐ f(x) > M, ∀ x 僆 Ι(x0) − {x0}
a
∀ M > 0 ∃ Ι(x0) ⏐ f(x) < − M, ∀ x 僆 Ι(x0) − {x0}
b
Le definizioni si possono enunciare anche per limite destro e sinistro, ossia per x " x +0 o x " x -0 .
䡲 Asintoto del grafico di una funzione: è una retta tale che la distanza di un generico punto P del grafico dalla retta
tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata di P tendono a 3.
䡲 Data y = f (x), se lim
f (x) = 3 , la retta x = c è asintoto verticale per il grafico di f.
x"c
y
y
asintoto
H
r
P(x; y)
P
y = f(x)
H
x
O
O
y = f(x)
Per x " + 3, PH " 0
x
x=c
asintoto verticale
1438
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LA TEORIA IN SINTESI
ESERCIZI
4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐉ
"3
䡲 •
lim f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno I di + 3 tale che f (x) - l 1 f per ogni x ! I.
x "+3
• xlim
f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno I di - 3 tale che f (x) - l 1 f per ogni x ! I.
"-3
• xlim
f (x) = l se per ogni f 2 0 esiste un intorno I di 3 tale che f (x) - l 1 f per ogni x ! I.
"3
lim
f(x) = 艎
x"− ⬁
lim
f(x) = 艎
x"+ ⬁
y
y
艎+ε
y=艎
艎+ε
艎
艎
f(x)
艎−ε
艎−ε
O
c x
⌱(+ 3)
x
y=艎
f(x)
⌱(−3)
x
–c
O
x
y = f(x)
∀ ε > 0 ∃ c > 0 ⏐ |f(x) – ᐉ| < ε, ∀ x > c
a
∀ ε > 0 ∃ c > 0 ⏐ |f(x) – ᐉ| < ε, ∀ x < – c
b
䡲 Data y = f (x), se lim f (x) = q o x lim
f (x) = q o xlim
f (x) = q , la retta y = q è asintoto orizzontale per il
"-3
"3
grafico di f.
x "+3
y
y
x
O
a. Asintoto orizzontale
soltanto per x " − 3.
O
b. Asintoto orizzontale
soltanto per x " + 3.
y
x
O
y
x
c. Asintoto orizzontale
unico per x " + 3 e x " − 3.
x
O
d. Due asintoti orizzontali
diversi per x " + 3 e x " − 3.
5. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
"3
䡲 •
lim f (x) =+ 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di + 3 tale che f(x) 2 M per ogni x ! I.
x "+3
• xlim
f (x) =+ 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di - 3 tale che f(x) 2 M per ogni x ! I.
"-3
In entrambi i casi si dice che la funzione f diverge positivamente (per x che tende a + 3 o a - 3).
1439
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
lim f(x) = + 3
lim f(x) = + 3
x"− ⬁
x"+ ⬁
y = f(x)
y
y
y = f(x)
M
M
⌱(+ 3)
O
c
⌱(−3)
–c
x
∀ M > 0 ∃ c > 0 ⏐ f(x) > M, ∀ x > c
x
O
∀ M > 0 ∃ c > 0 ⏐ f(x) > M, ∀ x < – c
b
a
• xlim
f (x) =- 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di + 3 tale che f(x) 1 - M per ogni x ! I.
"+3
• xlim
f (x) =- 3 se per ogni M 2 0 esiste un intorno I di - 3 tale che f(x) 1 - M per ogni x ! I.
"-3
lim f(x) = − ⬁
lim f(x) = −3
x"+ ⬁
x"− ⬁
y
O
y
⌱(⫹3)
c
⌱(−3)
–c
x
−M
x
−M
y = f(x)
y = f(x)
a
O
∀ M > 0 ∃ c > 0 ⏐ f(x) < – M, ∀ x > c
b
∀ M > 0 ∃ c > 0 ⏐ f(x) < – M, ∀ x < – c
In entrambi i casi si dice che la funzione f diverge negativamente (per x che tende a + 3 o a - 3).
6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
䡲 Teorema di unicità del limite
Se per x che tende a x 0 la funzione f ha limite l, allora tale limite è unico.
䡲 Teorema della permanenza del segno
Se xlim
f (x) = l , con l ! 0, allora esiste un intorno I di x 0 tale che:
"x
0
• f(x) 2 0 6 x ! I, x ! x 0 , quando l 2 0;
• f(x) 1 0 6 x ! I, x ! x 0 , quando l 1 0.
䡲 Teorema del confronto
Se le funzioni h (x), f (x), g (x) sono definite tutte in D 3 R, e h(x) # f(x) # g (x) per ogni x ! D e inoltre
lim h (x) = xlim
g (x) = l ,
x"x
"x
0
0
allora anche:
lim f (x) = l .
x"x
0
1440
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PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1404
Gli intervalli
Rappresenta i seguenti intervalli sulla retta reale.
1
—
C = " x ! R 1 # x 1 5, .
a) A =] - 3; 1];
B =] 1; 4];
b) A = " x ! R x $ 4, ;
B = &x ! R -
1
# x # 10 .
2
Fai un esempio di intervallo chiuso illimitato inferiormente e uno di intervallo aperto illimitato superiormente.
2
—
Indica gli intervalli rappresentati in figura utilizzando entrambe le forme dell’esercizio 1.
3
—
–5
2
6
B
A
a
4
0
–1
C
b
c
4
2
D
9
E
d
e
VERO O FALSO?
—
a)
b)
c)
d)
e)
?- 3; 9? è equivalente a x 1 9 .
?- 3; - 25 , ?2; + 35 equivale a x - 4 2 0 .
2
5- 3; 165 equivale a x 1 - 3 0 x 2 16 .
?- 3; 5? , ?5; + 35 equivale a x ! 5 .
?- 3; + 35 equivale all’insieme R.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Dai grafici seguenti deduci il dominio e il codominio delle funzioni rappresentate, indica se sono intervalli
limitati o illimitati e rappresentali nelle tre forme possibili.
5
—
y
y
y
2
1
1
1
x
O
O
2π
x
O
2
x
–1
a
b
c
[a) D: x 2 0, C⬊ y # 1; b) D: 0 1 x # 2r, C⬊ 0 # y # 1; c) D: x ! 2, C⬊ y 1 1 0 y 2 2]
6
—
7
—
L’insieme I = &4,
11 0
, 9 è un intervallo limitato?
2
L’insieme I = " x ! R 4 1 x 1 9, è un intervallo limitato? È chiuso?
1441
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ESERCIZI
8
—
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
VERO O FALSO?
L’insieme I = {1, 2} è un intervallo.
2
b) L’insieme A = & x ! R x =
, n ! N - {0}0 è un intervallo.
n
c) Un intervallo limitato è un insieme formato da un numero finito di elementi.
a)
9
—
V
F
V
F
V
F
d)
Un insieme con infiniti elementi è un intervallo.
V
F
e)
L’insieme dei numeri naturali dispari è un intervallo limitato inferiormente.
V
F
f)
Un intervallo chiuso è limitato.
V
F
g)
Un intervallo limitato è chiuso.
V
F
L’insieme degli x ! R tali che
risposta.
1 - x 1 1 è un intervallo limitato o illimitato inferiormente? Motiva la
Trova il dominio e il codominio delle seguenti funzioni e stabilisci se sono intervalli limitati o illimitati.
10
—
11
—
12
—
a) y = 1 + x - 1 ;
a) y =
b) y = 2 arcsen x ;
c) y = ln x - 1.
b) y = 2x 2 - 1;
c) y = e x - 1 .
6a) D: x $ 1, C: y $ 1; b) D: - 1 # x # 1, C: - r # y # r; c) D: x 2 0, C: R @
2
;
x
6a) D: R - {0}, C: R - {0}; b) D: R, C: y $ - 1; c) D: R, C: y 2 0,@
Date le funzioni f (x) = ln(1 - x) e g (x) = x - 3 , trova il dominio di f (x), g(x), ( f % g)(x) e ( g % f )(x) e
indica se sono intervalli limitati o illimitati, chiusi o aperti.
[x 1 1; x $ 3; 3 # x 1 4; x # 1 - e 3]
Gli intorni di un punto
Stabilisci se i seguenti intervalli sono intorni del punto x0. In caso affermativo indica se sono intorni circolari.
13
—
14
—
x 0 = 2;
]3; 8[;
] - 3; 8[;
x 0 = - 1;
] - 3; 1 [;
] 0; 3 [;
]1; 3[.
] - 4; 8 [.
Per ciascuno dei seguenti punti indica un intorno destro e un intorno sinistro.
15
2;
8;
- 3.
1
;
3
7
;
2
0.
—
16
—
Per ciascuno dei punti seguenti determina almeno due intorni, di cui uno sia l’intorno circolare di raggio assegnato a fianco.
1
17
18
19
x0 = 1 e d = 9 .
x0 =- 3 e d = 0, 5 .
x0 = 12 e d = .
2
—
—
—
20
—
Dei seguenti intorni trova il centro e l’ampiezza.
?- 1; 25, ?4; 95, ?4, 3; 4, 65, ?- 8; - 35 .
21
Scrivi un intorno circolare di -
—
1442
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1
con raggio d.
2
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
22
—
VERO O FALSO?
a)
b)
c)
d)
e)
23
—
Nei seguenti quesiti considera d, f ! R+ .
x - 3 1 d è un intorno circolare di 3.
- x - 4 1 d è un intorno circolare di - 4 di raggio d.
- 5 - 2d 1 x 1 - 5 + 2d è un intorno circolare di - 5 di raggio d.
x 2 2 è un intorno di 3.
f
1 x 1 2f è un intorno di 0.
f+1
ESERCIZI
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
L’insieme A = # x ! R x + 5 1 d- , con d ! R+ , è un intervallo? È un intorno completo di un solo punto?
È un intorno circolare di 5?
Indica se i seguenti intervalli sono intorni completi, destri o sinistri del punto assegnato.
24
—
25
—
26
x0 =
1
;
2
x 0 = - 3;
TEST
—
A
B
C
D0; 1 : ;
2
?0; 15 ;
D 1 ; 9 :.
2 2
] - 4; - 3[;
]10; - 1[;
] - 3; 4[.
Quale di questi insiemi non rappresenta un intorno di 3?
A = # x ! R x 2 2-
B = " x ! R x2 - 2x - 3 2 0,
C = " x ! R x 2 7 0 x 1 2,
1-x
$ 01
x
E E = # x ! R ln x $ 0-
D
D = 'x ! R
Gli estremi di un insieme
27
ESERCIZIO GUIDA
a) Dato l’insieme
E = &x x =
2n + 1
, n ! N - {0}0 ,
n
verifichiamo che 2 e 3 sono rispettivamente l’estremo inferiore e quello superiore dell’insieme, indicando anche se sono il minimo e il massimo.
b) Dato l’insieme
E = &x x =
n2 - 1
, n ! N - {0}0 ,
n
verifichiamo che è illimitato superiormente, ossia che il suo estremo superiore è + 3 .
a) Verifichiamo che l’estremo inferiore di E è 2.
1. 6x ! E deve essere x $ 2 , ossia:
2n + 1
$2 "
n
2n + 1 - 2n
$0 "
n
1
$ 0 vera 6n ! N - {0} .
n
2. 2 non appartiene all’insieme. Infatti l’equazione
2n + 1
=2 "
n
2n + 1 - 2n
=0 "
n
1
=0
n
è impossibile.
1443
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Perché 2 sia l’estremo inferiore, 6f 2 0 la disequazione x 1 2 + f deve ammettere almeno una
soluzione in E, ossia deve esistere almeno un n ! N - {0} tale che
2n + 1
1 2+f "
n
2n + 1 - 2n - fn
10 "
n
1 - fn
1 0,
n
ed essendo n 2 0 si ha:
1 - fn 1 0 " - fn 1 - 1 " fn 2 1 " n 2
1
.
f
1
la disequazione è verificata.
f
Le condizioni dei punti 1 e 2 sono entrambre verificate, quindi 2 è l’estremo inferiore di E.
Per qualsiasi valore di n maggiore di
Consideriamo ora il valore 3.
1. 6x ! E deve essere x # 3 , ossia:
2n + 1
#3 "
n
2n + 1 - 3n
#0 "
n
-n + 1
#0 "
n
n-1
$ 0.
n
La disequazione è verificata per n $ 1.
È quindi vero che x # 3 6n ! N - {0} .
2. 3 ! E perché:
2n + 1
=3 "
n
2n + 1 - 3n
=0 "
n
-n + 1
= 0 " n = 1.
n
Per n = 1 si ha che x = 3 .
Verificate le due condizioni precedenti, possiamo concludere che x = 3 è il massimo di E.
b) Perché l’insieme sia superiormente illimitato, 6k 2 0 deve esistere almeno un elemento dell’insieme
n2 - 1
2 k deve essere verificata almeno per un valore di n.
che superi k, ossia la disequazione
n
Risolviamo la disequazione:
n2 - 1
2k "
n
n 2 - 1 - nk
2 0.
n
Essendo n 2 0 , anche il numeratore deve essere positivo:
n 2 - nk - 1 2 0 vera per n 1
k - k2 + 4
k + k2 + 4
.
0n 2
2
2
k + k2 + 1
il corrispon2
dente elemento dell’insieme è maggiore del k fissato, quindi l’insieme ha per estremo superiore + 3 .
Poiché n ! N - {0} , consideriamo solo le soluzioni positive: per ogni n 2
Dati i seguenti insiemi, verifica che gli estremi inferiori e superiori sono quelli indicati a fianco, indicando anche
se sono minimo e massimo.
28
—
29
—
30
—
A = { x x = n2, n ! N}, 0, + 3 .
B = { x x = 2n + 2, n ! N}, 2, + 3 .
D = &x x =
1+n
1
, n ! N0 , , + 3 .
2
2
31
—
32
—
33
—
A = &x x =
n+3
1
, n ! N - {0}0 , , 1.
4n
4
B = &x x =
1
n-1
, n ! N - {0, 1}0 , 0, .
3
n2 - 1
C = &x x =
7
2n2 + 5
, n ! N - {0}0 , , + 3 .
2
2
1444
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PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
ESERCIZI
Trova, se esistono, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo dei seguenti insiemi.
34
—
35
—
36
—
37
—
A = ]1; 3[;
B = ]- 3; 1];
C = {1} , {x ! R x $ 2} .
A = {0, 1, 3};
B = ]0; 4] , ]6; 10[;
C = [2; + 3[.
A = {2, 3, 4, 5, 20};
B = {x ! R x2 - 5x + 9 2 0} ;
C = {x ! R x2 # 1} .
Stabilisci se le seguenti funzioni hanno dominio e codominio limitati o illimitati e determina l’estremo superiore e l’estremo inferiore di f(x) indicando anche se sono il massimo e il minimo.
y
y
y
2
2
1
O
x
2
–2
O
2
x
O
2
x
–1
a
b
c
Per ciascuna delle funzioni descritte dai seguenti grafici, determina il dominio e il codominio, l’estremo inferiore
e l’estremo superiore, indicando anche se sono il massimo e il minimo.
y
38
y
39
—
—
3
1
2
1
–2
40
—
O
O
x
1
Rappresenta la funzione:
f (x) = '
ex
x-1
43
se x # 0
se x 2 0
—
44
—
Disegna il grafico della funzione:
f (x) = '
x+1
ln x
42
—
Data la funzione y =
—
se x # 0
se x 2 0
Indica se ha estremo superiore o inferiore, se ha
massimo e minimo.
2
:
x
a) trova il dominio;
b) verifica che ha per estremo superiore + 3 .
Data la funzione y =
1
:
x + 2x2
a) trova il dominio;
b) stabilisci se la funzione è pari o dispari;
c) verifica che ha per estremo inferiore L = 0.
È limitata inferiormente? E superiormente? Ha
minimo?
41
x
1
45
—
Trova il dominio della funzione y = ln x - 1
e stabilisci se si tratta di un intervallo limitato o
illimitato. Verifica che ha per estremo inferiore
L = 0.
Date le funzioni f (x)= ln (1- x) e g (x)= x -3 :
a) trova il dominio di f (x), di g(x), di ( f ° g)(x)
e di ( g ° f )(x);
b) di ciascun dominio trova l’estremo superiore
e inferiore.
[a) x 1 1; x $ 3; 3 # x 1 4; x # 1 - e 3;
b) 1, - ⬁; + ⬁, 3; 4, 3; 1 - e 3, - ⬁]
1445
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
I punti isolati
46
ESERCIZIO GUIDA
Dato l’insieme A = ' x x =
1
, n ! N - ! 0 +1 , dopo averne rappresentato alcuni elementi, ne scen
gliamo uno a caso e verifichiamo che è un punto isolato.
Determiniamo alcuni elementi di A costruendo
la seguente tabella.
n
x
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
2
3
4
5
6
Rappresentiamo sulla retta orientata gli elementi di
A trovati.
A
1
—
2
1 1 1 1
… —
—— —
6 5 4 3
0
1
—
5
1
—
3
1
—
4
1
δ=—
20
1
δ
1
—
12
1
1
1
è un punto isolato. Dobbiamo trovare un intorno D - d; + d:
4
4
4
1
che non contenga altri elementi di A. Dalla figura possiamo osservare che l’elemento di A più vicino a
4
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
da è - =
da è - =
è . Infatti la distanza di
, mentre la distanza di
.
5
4
5
4
5
20
4
3 3
4
12
1
1
3
1
1
1
1
1
Se poniamo d =
, otteniamo l’intervallo D :=D ;
: che è un intorno di 4 e
; +
20
20
5 10
4
20 4
1
non contiene altri punti di A, dunque
è un punto isolato di A.
4
Verifichiamo, per esempio, che
Determina alcuni elementi di ciascuno dei seguenti insiemi e rappresentali sulla retta orientata. Scegli uno o più
punti dell’insieme e verifica che sono punti isolati.
47
—
48
—
49
—
50
—
51
—
52
—
A = "x x =
n , n ! N,
A = &x x =
n+1
, n ! N - ! 0 +0
n
B = &x x =
2
, n ! N - ! 0 +0
n2
C = 'x x =
n2 - 1
, n ! N - ! 0 +1
n2
D = &x x =
n-3
, n ! N - ! 0 +0
n
A = " x x = (- 1) n $ n, n ! N,
1446
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA
ESERCIZI
I punti di accumulazione
53
ESERCIZIO GUIDA
Dato l’insieme A = & x x =
1
, n ! N - ! 0 +0, verifichiamo che 0 è un punto di accumulazione per A.
n
1
Tutti gli elementi di A con n 2
appartengono a
d
]- d; d[.
Prendiamo un qualunque intorno di 0, di generica
apertura d: ]- d; d[. Mostriamo che esistono infiniti valori di A che appartengono a tale intorno.
Per esempio, scegliendo d = 0,1, i valori di n che
1
1
rendono vera n 2 =
= 10 sono: 11, 12,
0, 1
d
13, … e quindi all’intervallo ]- 0,1; 0,1[ appar1 1 1
,
,
,…
tengono i seguenti elementi di A:
11 12 13
Scegliendo un qualsiasi altro valore per d, esistono
1
sempre infiniti numeri naturali maggiori di
,
d
quindi 0 è un punto di accumulazione per A.
Affinché un punto di A appartenga a ]- d; d[,
deve valere:
1
- d 1 1 d.
n
1
1
2 - d , quindi basta
2 0 , è anche
Poiché
n
n
considerare:
1
1 d.
n
Passiamo alla disuguaglianza fra i reciproci (essendo n e d numeri positivi):
1
n2 .
d
Verifica che il punto x0 scritto a fianco all’insieme dato è un punto di accumulazione per l’insieme.
54
—
55
—
56
—
57
——
58
——
59
——
A = &x x =
1
, n ! N0, x0 = 0 .
n+1
A = &x x = 2 +
1
, n ! N - ! 0 +0, x0 = 2 .
n
A = &x x =
1
1
1
, n ! N0, x0 = .
+
2
n+1
2
A = &x x =
3n + 4
, n ! N0, x0 = 3 .
n+1
B = &x x =
n+2
, n ! N - ! 0 +0, x0 = 1.
n
C = &x x =
4n - 5
, n ! N - !0, 1+0, x0 = 4 .
n-1
Trova, se esistono, i punti di accumulazione dei seguenti insiemi.
60
—
61
—
A = &x ! R x =
4
, n ! N - ! 0 +0
n
B = " x ! R 2 1 x 1 8,
62
—
63
—
C = " x ! N 6 1 x 1 50,
D = &x ! R x =
n
, n ! N0
n+1
1447
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
2.
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
䉴 Teoria a pag. 1413
0
osservando i grafici di y = f (x).
COMPLETA
64
65
y
—
IN PRATICA
䉴
Videolezione 63
y
—
2
1
1
––
2
1
1
––
2
O
O
1
––
2
1
3
––
2
2
3
a)
lim f (x) = ff;
c)
b)
lim f (x) = ff;
d)
x"0
x"2
7
––
2
x
1
2
3 ––
7 4
2
lim f (x) = ff;
a)
lim f (x) = ff;
c)
lim f (x) = 1.
b)
lim f (x) = ff;
d)
x"3
x"f
x"1
x"4
5
x
lim f (x) = ff;
x"3
lim f (x) =
x"f
1
.
2
Scrivi in forma simbolica il significato dei seguenti limiti e rappresentali graficamente utilizzando una funzione
f(x) scelta a piacere.
66
—
lim f (x) =- 1
lim f (x) = 4
67
x"2
x "- 1
—
Che cosa significano le seguenti scritture per la funzione y = f (x)?
68
—
69
—
6f 2 0 7d 2 0 6x con x 1 d, x ! 0, f (x) - 3 1 f .
6f 2 0 7I (- 2) 6x ! I (- 2), x ! - 2, - f 1 f (x) 1 f .
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ᐍ
"x
0
70
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione di limite, verifichiamo lim
x"3
x+3
= 2.
x
Dobbiamo verificare che, scelto f 2 0, esiste un intorno completo di 3 per ogni x del quale (escluso al più 3)
x+3
si ha
- 2 1 f . Risolviamo la disequazione:
x
Z 3 - x - fx
Z3 - x
]
]
1f
10
3-x
x+3
x
-2 1 f "
1 f " [ 3-x
" [ 3 - xx+ fx
x
x
]
]
2-f
20
x
\
\ x
1448
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
ESERCIZI
0
Prima disequazione
Numeratore: 3- x -fx 2 0 " - x (1+ f) 2-3 "
3
" x (1 + f) 1 3 " x 1
.
1+f
Denominatore: x 2 0 .
Il q
quadro delle soluzioni del sistema è il seguente:
g
0
3
——
1+ε
0
3 − x − εx
+
+
x
−
0
+
3 − x − εx
—————
x
−
∃
+
−
0
+
−
0
La prima disequazione ha per soluzioni:
3
.
x 1 00x 2
1+f
3
——
1−ε
3 − x + εx
+
+
x
−
0
+
3 − x + εx
—————
x
−
∃
+
3
——
1−ε
Le soluzioni sono:
3
3
1x1
.
1+f
1-f
Verifichiamo che l’intervallo trovato è un intorno
di 3. Per farlo, controlliamo che per ogni f 2 0 piccolo a piacere risulti:
3
3
.
131
1+f
1-f
Seconda disequazione
Numeratore: 3- x + fx 2 0 " - x (1-f) 2-3 "
" x (1 - f) 1 3 .
Per risolvere questa disequazione occorre dividere
entrambi i membri per 1 - f . Poiché f è arbitrariamente piccolo possiamo supporre f 1 1, ossia
1 - f 2 0.
3
Quindi x 1
.
1-f
Denominatore: x 2 0 .
0
3
——
1+ε
0
•
3
1 3 + 3 1 3 + 3f
1+f
sempre vera;
• 31
3
+ 3 - 3f 1 3
1-f
sempre vera nell’ipotesi fatta, f 1 1.
Possiamo quindi dire che entrambe le disuguaglianze sono vere per ogni f 2 0 piccolo a piacere.
3 :
3
;
Poiché l’intervallo D
rappresenta un
1+f 1-f
intorno completo di 3, il limite è verificato.
Graficamente otteniamo:
−
0
+
−
0
⌱(3)
3
3
–––––
1+ε
3
–––––
1–ε
La seconda disequazione ha per soluzioni:
3
01x1
.
1-f
Utilizzando la definizione, verifica i seguenti limiti.
71
—
72
—
73
—
lim (2 - 3x) =- 1
x"1
lim (x + 5) = 2
x "- 3
75
—
lim (4x - 1) = 1
1
x"
2
74
—
76
—
lim (x 2 + 1) = 5
x"2
lim (4 - x2) = 0
x "- 2
lim (x2 - 3x) = 0
x"0
77
—
78
—
79
—
lim (x2 - 2x + 1) = 1
x"0
lim (x3 - 1) =- 1
x"0
lim
x"2
x2 - 4
=4
x-2
1449
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
80
—
81
—
82
——
83
——
84
——
85
——
86
——
101
——
102
——
103
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
lim
88
x+4
=- 1
x
x
lim
=2
x "- 2 x + 1
lim
x "- 2
lim
x "- 2
lim log 1 (3 - x) = 0
——
——
lim e- x = 1
x2 + 1 =
lim
——
lim
x"0
105
106
——
——
e 4x
1
=
4
4
1
lim b l
x "- 1 2
108
——
=1
lim 2 (log3 x - 5) =- 8
99
x"9
lim
100
107
2
x"3
——
x"0
——
1
+ x - 3l =- 1
x
lim (4- x + 3 + 1) = 2
98
x"3
se x 1 0
e 2x
con f (x) = (
2
x"0
(x -1) se x $ 0
1
1
x
lim b1 - 2 l =
x"1
2
2
1+x
lim ln (x - 2) = 0
lim f (x)=1,
x"1
3
92
——
1
2
lim b
97
——
93
lim log 1 (x + 1) = 1
x "-
96
x-1
lim
=2
x"1
x -1
91
2-x = 2
——
x"2
x "- 1
95
2x 2 - x - 1
=3
x-1
x"1
lim [1 - log 2 (1 - x)] = 0
94
——
——
lim
——
x3 - x2 - 3x + 3
=2
1-x
lim [2 + ln (3x - 1)] = 2
89
——
lim
x"1
2
x"
3
90
x+1 = 3
x"8
lim
——
——
x2 + 4
=4
lim
x"2
x
104
109
17
——
x"8
x"1
——
87
3
lim ^ x - 2h = 0
——
——
x =4
x " 16
x"2
1
=1
log 2 x
lim ]x 2 + 3x - 1g = 3
x"1
1
1
=
2+x
4
x+3
lim
=2
x"1 x + 1
2-x
=1
lim
x"1
x
lim
x"2
State the f - d definition of the limit, L, of a function, f(x), as x approaches a number, a. Use this definition to prove that:
2x + 1
= 1.
lim
x " 2 3x - 1
(CAN University of New Brunswick, Final Exam, 1997)
110
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione di limite verifichiamo che non vale lim (2x + 1) = 7 .
x"4
Scelto un f 2 0 , risolviamo la disequazione (2x + 1) - 7 1 f .
La disequazione data è equivalente al sistema:
(
2x - 6 1 f
2x - 6 2 - f
" (
2x 1 6 + f
"
2x 2 6 - f
ε
x<3+—
2
ε
3+—
2
Z
Z
ε
]] x 1 6 + f
]] x 1 3 + f
x>3−—
2
2
2
ε
" [
" [
3−—
6
f
f
2
]] x 2
]] x 2 3 2
2
\
\
f
f
L’intervallo D3 - ; 3 + : , può non rappresentare un intorno completo di 4 per qualsiasi valore di f.
2
2
1
1
1
Per esempio se f = , l’intervallo D3 - ; 3 + : non è un intorno di 4. Quindi l’uguaglianza
4
4
2
f
f
lim (2x + 1) = 7 è falsa. L’intervallo D3 - ; 3 + : è invece sempre un intorno completo di 3 di raggio
x"4
2
2
f
, pertanto il limite corretto è lim (2x + 1) = 7 .
x"3
2
1450
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
ESERCIZI
0
Verifica, applicando la definizione, che i seguenti limiti sono errati.
111
—
112
—
113
—
114
—
115
—
lim (2 - 3x) =- 7
116
x"0
—
lim (2x + 1) = 9
117
x"0
—
lim ln (- x) = 1
118
x "- 1
lim
x"1
—
x =0
119
—
lim (x 2 + 1) = 1
120
x"1
—
lim (2x 2 - 1) = 3
x"1
lim
x "- 2
4 - x2
=2
x+2
lim (1 - ln x) =- 1
x"1
1
lim b - 5l =- 4
x
x "- 1
lim 22 - 2x = 2
x"1
Le funzioni continue
121
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che la funzione f (x) = 3x - 5 è continua nel punto x 0 = 2 .
Mostriamo che vale lim f (x) = f (2), ossia lim (3x - 5) = 1.
x"2
x"2
Scelto f 2 0 risolviamo la disequazione (3x - 5) - 1 1 f e verifichiamo che fra le sue soluzioni vi sia
un intorno di 2:
Z
Z
6+f
]x 1 2 + f
]
1
x
3x - 6 1 f
3x 1 6 + f
3
3
" '
" [
" [
3x - 6 1 f " '
f
f
6
3x - 6 2 - f
3x 2 6 - f
]x 2 2 ]x 2
3
3
\
\
f
f
Le soluzioni sono: 2 - 1 x 1 2 + .
ε
3
3
2+—
3
ε
x<2+—
3
f
f
Poiché l’intervallo D2 - ; 2 + : rappresenta
3
3
un intorno completo di 2, il limite è verificato e
quindi la funzione data è continua nel punto
considerato.
ε
x>2−—
3
ε
2−—
3
Verifica, applicando la definizione, che le seguenti funzioni sono continue nel punto indicato a fianco.
122
—
123
—
f (x) =- 4x + 1,
x0 =- 1.
129
—
f (x) = x2 - 2x ,
x 0 = 1.
130
—
124
—
125
—
126
—
127
—
128
—
f (x) =
x,
3
f (x) = x + 1,
f (x) =
1
x - 2,
2
f (x) = 4 x ,
x0 = 4 .
x 0 = 1.
131
—
132
x0 =- 1.
f (x) = b
x0 =- 2 .
f (x) =
1
,
x
x0 = 2 .
f (x) =
x
,
2x - 1
x 0 = 1.
Verifica con la definizione che la funzione
—
y=
x0 = 0 .
1 lx
,
2
x2 - 4
x-2
non è continua in x0 = 2 .
f (x) = log 2 x ,
x0 = 4 .
1451
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Il limite per eccesso e il limite per difetto
133
—
VERO O FALSO?
Data la funzione f(x) rappresentata in figura, puoi dire che:
y
2
1
O
1
2
3
4
x
5
a)
lim f (x) = 2- .
V
F
b)
lim f (x) = 1+ .
V
F
c)
lim f (x) = 2+ .
V
F
d)
lim f (x) =- 1- .
V
F
–1
134
—
x"3
x"2
x"0
x"5
Rappresenta graficamente una funzione y = f (x) per la quale siano veri i seguenti limiti.
lim f (x) =-
x "- 2
1+
;
2
lim f (x) = 1+ ;
x"1
lim f (x) = 3- ;
lim f (x) =- 2+ .
x"0
x"2
Scrivi in forma simbolica il significato dei seguenti limiti.
135
—
136
—
lim f (x) = 2- ;
lim f (x) =- 1+ .
x"1
x "- 2
lim f (x) =- 1- ;
lim f (x) = 2+ .
x"0
x"4
La verifica
137
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione di limite, verifichiamo che lim (- x2 + 4) = 4- .
x"0
Dobbiamo verificare che, scelto f 2 0 , esiste un intorno di 0 per ogni x ! 0 del quale si ha:
4 - f 1 - x2 + 4 1 4 .
Risolviamo:
- f 1 - x2 1 0
"
0 1 x2 1 f
"
- f 1x1 f.
La disequazione è verificata in un intorno completo di 0, pertanto il limite è verificato.
Applicando la definizione, verifica i seguenti limiti.
138
—
139
—
lim (- x2 + 2x) = 1x"1
lim (- x2 + 6x - 9) = 0x"3
140
—
141
—
lim ^ x + 3h = 3+
x"0
lim
x"0
x 2 + 1 = 1+
142
—
143
—
lim (x 2 - 6x + 7) =- 2+
x"3
lim ^
x"0
x + 1h = 1+
1452
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
x
ESERCIZI
0
Il limite destro e il limite sinistro
COMPLETA
Dal grafico della funzione y = f (x) deduci i limiti indicati, quando esistono.
y
144
y
144
145
—
—
1
2
1
–
2
O
–1
O
a)
b)
3
4
lim f (x) = ff;
c)
lim f (x) = ff;
d)
x"4
x " 3-
5
x
1
x
lim f (x) = ff;
a)
lim f (x) = ff.
b)
x"3
x " 5-
lim f (x) = ff;
c)
lim f (x) = ff;
d)
x "- 1
x "- 1-
lim f (x) = ff;
x "- 1+
lim f (x) = ff.
x"1
Rappresenta graficamente una funzione y = f (x) per la quale siano veri i seguenti limiti.
146
—
lim f (x) = 1;
lim f (x) = 0 .
147
x " 2-
x " 2+
—
lim f (x) = 1;
x " 0+
lim f (x) = 0 .
x " 1-
Scrivi in forma simbolica il significato dei seguenti limiti.
148
—
lim f (x) =- 4 ;
x " 1+
lim f (x) = 1.
x " 3-
149
—
lim f (x) =
x " 2+
1
;
2
lim f (x) = 2 .
x " 5-
Che cosa significano le seguenti scritture per la funzione y = f (x)?
150
—
151
—
152
—
6f 2 0 7 d 2 0 6x con 1 1 x 1 1 + d, 2 - f (x) 1 f .
6f 2 0 7 d 2 0 6x con - 2 - d 1 x 1 - 2, x ! - 2, f (x) + 5 1 f .
Data la funzione y = f (x), il cui dominio è D = !1, 2+ , 57; 105 , indica se è possibile calcolare:
a) lim f (x); b) lim+ f (x); c) lim- f (x).
x"2
x " 10
x"7
Motiva le risposte.
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ᐍ e lim f ( x) ⫽ ᐍ
"x
0
153
x " x +0
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione di limite, verifichiamo che lim- (3 x - 1) = 8 .
x"2
Dobbiamo verificare che, scelto f 2 0 , esiste un intorno sinistro di 2 per ogni x del quale si ha
(3 x - 1) - 8 1 f . Risolviamo la disequazione:
(3 x - 1) - 8 1 f " - f 1 3 x - 9 1 f " 9 - f 1 3 x 1 9 + f .
Poiché la funzione logaritmo in base 3 è strettamente crescente, possiamo applicarla a tutti i membri
della disequazione e conservare il verso della disuguaglianza
log3 (9 - f) 1 log3 3x 1 log3 (9 + f).
1453
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Poiché pensiamo a valori di f scelti piccoli a piacere, è lecito considerare f 1 9 , in modo che sia definito
log3 (9 - f).
Per la definizione di logaritmo si ha log3 3x = x, quindi otteniamo:
log3 (9 - f) 1 x 1 log3 (9 + f).
Osserviamo che:
log3 (9 - f) 1 log3 9
"
log3 (9 - f) 1 2
log3 (9 + f) 2 log3 9
"
log3 (9 + f) 2 2.
Quindi la disequazione è verificata in un intorno completo di 2. In particolare, è verificata in un suo sottoinsieme, ossia l’intorno sinistro di 2: ]log3 (9 - f); 2[. Pertanto il limite è verificato.
log3(9 – ε)
2
–
⌱ (2)
Applicando la definizione, verifica i seguenti limiti.
2
154
—
155
—
156
—
163
——
164
——
165
——
166
——
167
——
168
——
172
—
lim+ x = 0
157
x"0
—
lim - (2x + 3) = 1
x "- 1
lim
2-x = 0
x " 2-
158
—
159
——
lim- (1 - 2x) =- 3
x"2
lim (x + x ) = 0
f (x) = )
x2
x2 + 1
se x $ 0
,
se x 1 0
x " 0+
f (x) = (
x
x-2
se x $ 4
,
se x 1 4
x " 4+
x2 - x - 6
=5
x-3
x"3
162
x " 0+
x " 1+
lim-
——
+
se x $ 1
,
se x 1 1
x"0
161
x"1
2x - 4
2-x
x 2 - 2x
=- 2
x
——
lim- 1 - x = 0
f (x) = (
lim+
160
——
lim f (x) =- 2 ,
lim f (x) = 0 ,
lim +
x "- 3
x 2 + 5x + 6
=- 1
x+3
lim (2 - 3x) =- 7
x " 3+
lim f (x) = 1.
x " 1-
lim f (x) = 1.
lim f (x) = 2 .
x " 4-
169
lim (2 - - x ) = 2
——
x " 0-
170
lim-
x"0
x 2 - 2x
=2
x
lim
1 - x = 0+
——
1
x
lim 2 = 0+
x"3
x " 0-
lim f (x) = 2 ,
171
x " 0-
lim+ e 3 - x = 0+
——
x " 1-
Verifica che lim+ ( x - 1) = 1 è errato.
x"0
Rappresenta le seguenti funzioni utilizzando le trasformazioni geometriche. Deduci poi dal grafico i limiti indicati a fianco e verificali mediante la relativa definizione.
173
—
174
—
f (x) =
x (x - 1)
+ 1,
x
f (x) =- ln (x + 1),
lim! f (x).
x"0
lim f (x) .
x"0
175
——
176
——
f (x) = (
f (x) =
e- x
se x $ 0
,
2x - 1 se x 1 0
x -1 ,
lim f (x),
x " 0-
lim f (x),
x " 0+
1454
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
lim f (x).
x " 0+
lim f (x).
x " 1!
ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ⫹3
"x
0
189
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione, verifichiamo che lim
x"4
1
=+ 3 .
(x - 4) 2
Dobbiamo verificare che, scelto M 2 0, arbitrariamente grande, esiste un intorno completo di 4 per ogni
x del quale, con l’esclusione al più di 4, si ha:
1
2 M.
(x - 4) 2
Poiché (x - 4)2 2 0 per ogni x ! 4, possiamo passare ai reciproci invertendo il verso della disuguaglianza:
(x - 4) 2 1
1
M
"
1
1 x-4 1
M
-
1
M
"
4-
1
1 x 1 4+
M
1
.
M
1
1
;4+
; è un intorno completo di 4 in cui il valore della
M
M
funzione è maggiore di M, quindi il limite è verificato.
⌱(4)
1
1
1
L’intorno è circolare e ha raggio d =
.
4 – –––
4 + –––
4
M
M
M
Escluso x = 4, l’intervallo E4 -
Verifica i seguenti limiti, applicando la definizione.
190
—
191
—
1
=+ 3
x
lim
x " 0+
lim
x"7
197
——
1
=+ 3
(x - 7) 2
198
——
1
=+ 3
2-x
lim
x " 2-
lim
x"5
5
=+ 3
(x - 5) 4
2
192
—
193
—
194
—
195
—
196
——
lim+ e x =+ 3
199
x"0
——
lim+ (- ln x) =+ 3
200
x"0
lim ln
x"0
lim
x"
1
2
lim
x " 2+
——
1
=+ 3
x2
201
——
1
=+ 3
(2x - 1) 2
——
1
=+ 3
x2 - 4
——
202
203
lim
x "- 3
lim
x"1
2
=+ 3
(x + 3) 2
x
=+ 3
(x - 1) 2
lim+ b
x"2
1
+ 1l =+ 3
x-2
lim 2
1
x
x"0
lim
x " 4-
204
——
205
——
206
——
207
——
208
——
lim
1
=+ 3
4 - x2
lim
5 + 2x
=+ 3
-x
x " 2-
x " 0-
lim log3
x " 1+
lim+ b
x"2
1
=+ 3
x2 - 1
1
1 l2-x
=+ 3
2
1
x
lim+ e
x"0
=+ 3
1
=+ 3
x
=+ 3
4-x
209
——
210
——
lim+ e x - 1 =+ 3
x"1
lim log b
x "- 1+
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ⫺3
"x
0
211
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che lim
x"2
-2
=- 3 , mediante la definizione.
x-2
1456
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
2 l
=+ 3
x+1
PARAGRAFO 3. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
x
ESERCIZI
0
Dobbiamo verificare che, scelto M 2 0, arbitrariamente grande, esiste un intorno completo di 2 per ogni
-2
x del quale, escluso al più 2, si ha
1-M :
x-2
2
-2
1-M "
2 M.
x-2
x-2
Poiché x - 2 2 0 per x ! 2, possiamo passare ai reciproci invertendo il verso della disuguaglianza:
x-2
1
1
2
M
"
-
2
2
1 x-2 1
M
M
"
2-
2
2
.
1 x 1 2+
M
M
Per ogni x, escluso x = 2, dell’intorno completo D2 - 2 ; 2 + 2 : di 2, il valore della funzione è minore
M
M
di - M, quindi il limite è verificato. L’intorno è circolare
⌱(2)
2
e ha raggio d =
.
M
2
2 – ––
M
2
2 + ––
M
2
Verifica i seguenti limiti, applicando la definizione.
212
—
213
—
214
—
215
—
216
—
217
—
218
——
1
=- 3
3x 4
1
lim- 2
=- 3
3 4x - 9
x"
2
-1
=- 3
lim 2
x "- 1 x + 2x + 1
lim x"0
lim log 2 (1 - x) =- 3
x " 1-
1
=- 3
x-3
-1
lim
=- 3
x"0 x
1
lim
=- 3
x " 1x -1
lim
x " 3-
219
——
220
——
221
——
222
——
223
——
224
——
225
——
lim ln (1 - x 2) =- 3
x " 1-
lim
x "- 1+
226
——
x
=- 3
x+1
lim log 2 x - 4 =- 3
x"4
227
——
228
——
lim ln 1 - x =- 3
x " 1-
229
——
1
=- 3
2 - 2x
1
lim
=- 3
x " 1x -1
2
lim
=3
x " 1 1 - x3
lim
x " 1+
230
——
231
——
232
——
1
=3
ln x
1
lim x
=3
x"1 4 - 4
1
lim
=3
x " 0 1 - e 2x
1
=- 3
lim
x " 2+ 2 - x
-2
=- 3
lim
x " 0+ x 3
x2 + 1
=- 3
lim+
x " 1 1 - x2
lim
x"1
lim log (x - 1) =- 3
x " 1+
Verifica che sono errati i seguenti limiti.
233
—
lim
x " 2+
x
=+ 3
x 2 + 2x
234
—
lim
x " 4+
-2
=+ 3
x-4
235
—
lim ln
x " 0+
1
=- 3
x
Controlla, mediante il procedimento di verifica, se i seguenti limiti sono errati.
236
—
237
—
3
=+ 3
x"4 x - 4
1
lim
=- 3
x "- 2 (2 - x) 2
lim-
238
—
239
—
-1
=- 3
x"0
x
-x
lim
=- 3
x"2 2 - x
lim+
2
240
—
241
—
lim+ e x =+ 3
x"0
lim ln x =- 3
x " 0+
Rappresenta graficamente le seguenti funzioni, deduci dai grafici i limiti nei punti indicati a fianco ed esegui la verifica.
1
242
244
y = ln x - 1,
in x = 0, limite destro.
y=
,
in x = 0.
—
—
x
2
x-1
243
245
y=
,
in x = 1.
y=
, in x = 0, limite destro.
x-1
x
—
—
1457
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Gli asintoti verticali
246
—
247
—
Utilizzando il linguaggio dei limiti, scrivi che la funzione y = f (x) ha un asintoto verticale di equazione
x = - 1.
La funzione rappresentata dal grafico della figura ha due asintoti verticali. Scrivi le loro equazioni e i limiti
che li esprimono.
y
O
248
2
x
5
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che la funzione f (x) =
1
ha un asintoto verticale in x = 1.
1
ln
x
1
= 3 (eventualmente anche
1
ln
x
soltanto il limite destro o il limite sinistro).
-
Deve essere lim
" ln e
x"1
Poiché ln
2 M , cioè ln
1
-
1 ln x 1 ln e M " e
1
M
1
1 x 1e M .
Essendo 1 = e0 , possiamo affermare che l’intervallo delle soluzioni è un intorno completo di 1,
1
= 3 e x = 1 è asintoto verticale
quindi lim
x"1
1
ln
x
della funzione.
In alternativa possiamo risolvere separatamente le
disequazioni
1
1
1- M,
2M e
1
1
ln
ln
x
x
Verifichiamo che, scelto M 2 0 , arbitrariamente
grande, esiste un intorno di 1 per ogni x del quale,
escluso 1, si ha:
1
1
ln
x
1
M
1
1
1
.
x
M
1
= ln x- 1 = - ln x = ln x , si ha:
x
ottenendo come soluzioni rispettivamente un intorno sinistro e un intorno destro di 1, e verificando così che lim- f (x) =+ 3 e lim+ f (x) =- 3 .
1
1
1
ln x 1
" 1 ln x 1
"
M
M
M
x"1
x"1
Verifica che le seguenti funzioni hanno un asintoto verticale nei punti indicati a fianco.
249
—
250
—
251
—
y=
2
,
(x - 1) 2
in x = 1.
y=
1
,
ln x
in x = 1.
y=
252
—
y=
x-3
,
x2 - x
in x = 0.
1
2
,
x -2
253
—
y = 1+ex ,
in x = 0, asintoto destro.
in x = 4.
1458
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
COMPLETA
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1425
osservando il grafico della funzione y = f (x).
y
254
y
255
—
—
O
1
1
x
–1
x
O
a)
b)
c)
256
—
257
—
lim f (x) =- 1- ;
a)
lim f (x) = f;
b)
lim f (x) = f.
c)
x"f
x"3
x " 1+
lim f (x) = f;
x "+3
lim f (x) = f;
x "-3
lim f (x) = 1.
x"f
In ognuno dei seguenti casi rappresenta graficamente una funzione y = f (x) per la quale siano veri il limite
o i limiti indicati.
a) x lim
f (x) = 3- ; b) x lim
f (x) =- 1+ ;
c) xlim
f (x) = 2+ ; d) x lim
f (x) = 0+ e x lim
f (x) = 1- .
"-3
"3
"-3
"+3
"+3
Scrivi in forma simbolica il significato dei seguenti limiti.
a) x lim
f (x) = 2 ;
b) x lim
f (x) = 1;
c) xlim
f (x) =- 2 .
"-3
"3
"+3
Che cosa significa la seguente scrittura, per la funzione y = f (x)?
258
—
259
—
262
6f 2 0 7c 2 0 6 x 2 c, f (x) - 2 1 f .
6f 2 0 7c 2 0 6 x 1 - c, f (x) + 1 1 f .
260
—
261
—
6f 2 0 7c 2 0 6 x con x 2 c, f (x) 1 f.
6f 2 0 7c 2 0 6 x 2 c, f (x) 1 f.
Spiega perché non è possibile calcolare i seguenti limiti.
—
a) x lim
"+3
4 - x2 ;
b) x lim
ln (1 - x).
"+3
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ᐉ
" ⫹3
263
ESERCIZIO GUIDA
Applicando la definizione di limite, verifichiamo che xlim
"+3
3x + 1
= 3.
x
Scelto f 2 0 , dobbiamo verificare che esiste un intorno di + 3 per ogni x del quale si ha:
Risolviamo la disequazione, con x ! 0:
3x + 1 - 3x
1
1
1f"
1f" x 2 "
x
x
f
1
1
" x 1- 0 x 2 .
f
f
3x + 1
- 3 1 f.
x
⌱(+⬁)
1
– ––
ε
1
––
ε
1
1
La disequazione è verificata in particolare per x 2 , cioè per ogni x dell’intorno D ; + 3: di + 3: il
f
f
limite è verificato.
1459
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Mediante la definizione, verifica i seguenti limiti.
264
—
265
—
266
——
267
——
x "+3
2
=0
x + 10
lim
x "+3
4x - 1
=2
2x + 1
lim
x "+3
2
=0
x
lim
x3 + 4
=1
x3
lim
x "+3
——
x "+3
1
=0
1 + ex
——
269
lim
x "+3
2x - 1
=1
2x
——
268
——
270
——
271
——
lim
- 3x
=- 3
x +1
lim
x "+3
lim ] x 2 - 1 - xg = 0
x "+3
272
273
274
——
lim ln
x "+3
lim
x "+3
x
=0
x-1
x
=0
x2 - 1
lim b
x "+3
1 l2x
=0
2
1
lim ;b l
3
x+1
275
——
x "+3
+ 1E = 1
La verifica di xlim
f ( x) ⫽ ᐉ
" ⫺3
276
ESERCIZIO GUIDA
Mediante la definizione, verifichiamo che xlim
e2x = 0 .
"-3
Dobbiamo verificare che, fissato f 2 0 , esiste un intorno di - 3 per ogni x del quale si ha e2x - 0 1 f .
Risolviamo la disequazione:
e 2x 1 f.
Poiché e2x 2 0 6x ! R , possiamo togliere il valore assoluto:
e 2x 1 f.
Applichiamo il logaritmo in base e a entrambi i membri. Poiché la base è e 2 1, se a 1 b allora ln a 1 ln b ,
quindi:
ln e2x 1 ln f.
⌱(– ⬁)
2x
Per la definizione di logaritmo si ha che ln e = 2x , quindi:
2x 1 ln f
"
x1
ln
–––ε
2
ln f
.
2
ln f :
, che è un intorno di - 3 ; quindi il limite
La disequazione è vera per ogni x dell’intervallo D- 3;
2
è verificato.
Mediante la definizione, verifica i seguenti limiti.
2
277
280
=0
lim
lim e- 2 + x = 0
x " - 3 2x + 1
x "-3
—
—
278
—
279
—
lim
x "-3
lim
x "-3
x3 + 1
1
=
2
2x3
—
3x + 1
3
=1 - 2x
2
——
281
282
lim
x "-3
lim
x "-3
283
——
2x - 1
=2
x
——
1
=0
- ln (- x)
——
284
285
lim
x "-3
-1
=0
ex
2
lim 2e- 4x = 0
x "-3
lim ln (1 + e x) = 0
x "-3
Verifica i seguenti limiti mediante le relative definizioni.
286
—
287
—
lim
x"3
x+2
=1
x
lim
x "+3
1
= 0+
x
288
—
289
—
lim c
x "+3
lim
x"3
1
- 1m =- 1
x
x
=1
x-1
290
—
291
—
lim
1
=0
x3
lim
x+4
=1
x
x"3
x"3
1460
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 4. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = ᐍ
"3
292
—
293
——
294
——
295
——
296
——
2x
=2
x-1
lim
x"3
lim
x "+3
297
——
log 2 x + 1
=1
log 2 x
298
——
x
=1
x +1
lim
x "+3
299
——
lim
x "+3
1
=0
log 2 x
lim
x "-3
- 2x2 - 2x
=- 2
x2 + x - 1
300
——
lim b2 -
1
l=2
ex - 2
x "+3
lim
x"3
302
——
1
2 = 0
3x
lim
x "-3
303
——
1
1+
lim b
x "+3
x
304
= 0+
——
1
x
1l
=1
2
305
——
1
301
——
lim 2 x - 1 = 1
x "+3
lim d1 +
x"3
ESERCIZI
1
n=1
log3 x
lim a1 + e
x"3
1
x
k=2
1
=0
x3 - 1
lim
x"3
lim f (x)= 2, xlim
f (x)=1,
"-3
Z 2
]] 2x
se x 1 0
1
f (x)=[ x 2+
x
]
se x $ 0
\ x+1
x "+3
Verifica che i seguenti limiti sono errati.
306
—
lim
x "-3
1
=1
2x
307
—
lim ln (1 + x) = 0
308
x "+3
——
lim
x"3
1
=2
2 x -3
Gli asintoti orizzontali
309
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che la funzione y =
1
ha un asintoto orizzontale di equazione y = 0 .
ln (x - 1)
Dobbiamo verificare che tende a 0 il limite della funzione per x " + 3 o per x " - 3 (o per entrambi).
Poiché il dominio della funzione è ?1; 25 , ?2; + 35 , la verifica si restringe al caso in cui x " + 3 .
1
Fissato f 2 0 , cerchiamo un intorno di + 3 per ogni x del quale si abbia
- 0 1 f.
ln (x - 1)
Risolviamo la disequazione:
1
1f
ln (x - 1)
ln (x - 1) 2
"
1
.
f
Preso x 2 2 , possiamo eliminare il valore assoluto, essendo ln (x - 1) 2 0 :
ln (x - 1) 2
1
f
1
"
ln (x - 1) 2 ln e f
1
"
x-1 2 ef
A1 + e f ; + 37 è l’intorno di + 3 cercato, quindi lim
x "+3
1
funzione.
310
—
311
—
312
—
313
—
1
"
x 2 1+ef.
1
= 0 e y = 0 è asintoto orizzontale della
ln (x - 1)
x
. Verifica, mediante la definizione di limite, che la funzione ha un asin1-x
toto orizzontale sia per x " + 3 , sia per x " - 3 .
Rappresenta la funzione y =
1
Verifica che la funzione y = ln c1 +
m ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y = 0 sia per
x
x " + 3 , sia per x " - 3 .
2 x
Verifica che la funzione y =
ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y = 2 , per x " + 3 .
x +1
2 x -1
ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y = 2 . La
x
funzione ha altri asintoti orizzontali?
[sì, y =- 2 ]
Verifica che la funzione y =
1461
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Stabilisci se le seguenti funzioni ammettono come asintoti orizzontali le rette le cui equazioni sono indicate a fianco.
314
—
315
—
x +1
,
x -1
y=
y = 1 per x " + 3 . [sì]
316
—
x
1
, y = 1 per x "!3 . [sì]
1+x
1-x
y=
317
—
y=
e x + e- x
, y = 0 per x " + 3 .
ex
y=
1
,
x-3
y = 0 per x "!3 .
[no]
[sì]
Rappresenta graficamente le seguenti funzioni e verifica l’esistenza di un asintoto orizzontale mediante la definizione di limite.
y=* 1
ex
318
—
x
2
se x # 0
se x 2 0
y=
319
—
2
x-1
320
—
5. LA DEFINIZIONE DI xlim
f ( x) = 3
"3
COMPLETA
321
322
y
–1
c)
䉴 Teoria a pag. 1428
y
—
b)
1
x -1
osservando il grafico della funzione y = f (x).
—
a)
y=
O
x
1
O
lim f (x) = f;
a)
lim f (x) = f;
b)
x "-3
x "+3
lim f (x) = f.
c)
x"1
1
lim f (x) = f;
x "-3
lim f (x) = f;
x "+3
lim f (x) = f.
x"1
Scrivi in forma simbolica il significato dei seguenti limiti.
323
—
324
—
lim f (x) =- 3 ;
x "+3
lim
x "-3
1 - x =+ 3 ;
lim f (x) =- 3 .
x"3
lim ln 1 - x =+ 3 .
x"3
Che cosa significa la seguente scrittura, per la funzione f(x)?
325
—
326
—
6M 2 0 7c 2 0 6 x con x 2 c, f (x) 1- M .
6M 2 0 7c 2 0 6 x 1 - c, f (x) 2 M .
1462
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 5. LA DEFINIZIONE DI lim
f ( x) = 3
x" 3
ESERCIZI
La verifica
327
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo i limiti: a) xlim
(x3 + 2) =+ 3 ; b) xlim
"-3
"+3
1 + 2x 2
=- 3 ; c) xlim
(x2 + 1) =+ 3 .
"3
x
a) Dobbiamo verificare che, scelto M 2 0, esiste un intorno di + 3 per ogni x del quale si ha x 3 + 2 2 M.
Risolviamo la disequazione:
x3 + 2 2 M
"
x3 2 M - 2
x2
"
3
⌱(+ ⬁)
M-2.
3
L’insieme delle soluzioni è l’intorno di + 3 ,
M–2
A 3 M - 2; + 37 , quindi il limite è verificato.
1 + 2x2
1-M.
x
b) Scelto M 2 0, dobbiamo determinare un intorno di - 3 per ogni x del quale si abbia
Risolviamo la disequazione:
1 + 2x2
1 + 2x2
1 + 2x2 + Mx
1-M "
+M 1 0 "
1 0.
x
x
x
Poiché x " - 3 , supponiamo x 1 0; quindi, per verificare la disequazione, basta che sia positivo il
numeratore:
2x 2 + Mx + 1 2 0.
Nell’equazione associata, poiché M è scelto arbitrariamente grande, supponiamo M 2 2 8 e quindi
M 2 - 8 2 0. Si ottiene quindi:
⌱(– ⬁)
x1
-M -
4
M2 - 8
0 x2
-M +
4
M2 - 8
.
Considerato x 1 0, abbiamo che per ogni x dell’intervallo E- 3;
–M – M2 – 8
–––––––––––––
4
-M -
4
M2 - 8 ;
, che è un intorno
di - 3 , è vera la condizione iniziale, quindi il limite è verificato.
c) Scelto M 2 0, cerchiamo un intorno di 3, per ogni x del quale si abbia x 2 + 1 2 M. Risolviamo la
disequazione, per la quale, supponendo M 2 1, otteniamo:
x2 + 1 2 M
"
"
x2 2 M - 1
x 1- M - 1 0 x 2
⌱(⬁)
"
M - 1.
– M–1
M–1
Per ogni x dell’intorno @- 3; - M - 1 6 , @ M - 1; + 36 di 3 è vera la condizione x 2 + 1 2 M,
quindi il limite è verificato.
Verifica i seguenti limiti mediante le relative definizioni.
328
—
329
—
330
—
lim (x3 + 3) =+ 3
x "+3
lim
x "+3
x 2 + 1 =+ 3
lim (- 3x3) =- 3
x "+3
331
—
332
—
333
—
lim ln
x"3
2 + x 2 =+ 3
lim
x "-3
lim
x "+3
x
=+ 3
2
3
x =+ 3
334
—
335
—
336
—
lim (x2 - 1) =+ 3
x "-3
lim 2 x - 4 =+ 3
x "+3
2
lim e x =+ 3
x "+3
1463
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ESERCIZI
337
—
338
—
339
—
340
—
341
—
342
—
343
—
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
lim ^log 2 x - 2h =+ 3
lim
x "+3
—
——
x -1
=+ 3
x
347
——
lim (x 2 + 3) =+ 3
——
lim (x - x2) =- 3
——
——
x "+3
353
354
3
——
2
=- 3
x-1
355
——
lim [1 - ln (1 + x2)] =- 3
350
x "-3
——
1 - x2
=- 3
lim
x "+3
x
lim ln
349
2 - x =+ 3
x "-3
352
x "+3
x "+3
——
x"3
Verifica che i seguenti limiti sono errati.
1
357
358
=- 3
lim
x "+3
—
—
x-1
2x3 - 1 se x # 1
,
ln (x - 1) se x 2 1
lim y = !3
lim log 1 (x + 4) =- 3
348
x "-3
y=(
x "!3
lim (4 - 2 x ) =- 3
346
2
lim
——
lim (2 + 22x) =+ 3
x "+3
345
1+ x
=+ 3
3
351
x "-3
—
x "+3
lim
x "+3
lim (- log 2 x2) =- 3
344
x3 - 1 =+ 3
lim
x "+3
lim 2 x - 4 =- 3
356
——
359
x "-3
—
1 - 2x 2
=+ 3
3x
2x - x2
b1l
=+ 3
lim
x "-3 2
lim
x "-3
lim ] x2 + 2 + xg =+ 3
x "+3
lim ]x - - x g =- 3
x "-3
lim log
x "+3
1
=- 3
x
lim [ln (- x) + 1] =- 3
x "-3
Controlla, mediante il procedimento di verifica, se i seguenti limiti sono errati.
1
360
362
lim x 2 - 4 =+ 3
lim b + 1l =- 3
x " + 3 ex
x "+3
—
——
1
361
363
lim (x - x 2) =+ 3
lim ln
=- 3
x "-3
x "-3
1-x
——
——
Rappresenta graficamente le seguenti funzioni, deduci dai grafici i limiti indicati a fianco ed esegui la verifica.
364
—
365
——
366
——
x - 1,
y=
lim y .
x "+3
y =- ln (x + 2),
lim y .
x "+3
x2 - 1 se x 2 0
y = ) -x
,
-e
se x # 0
ESERCIZI VARI
lim y,
x "-3
lim y .
x "+3
La definizione di limite
TEST
367
—
Se 6M 2 1020 esiste un intorno di x = 2 tale
che f (x) - 3 + M 1 0 , allora:
A lim 6 f (x) - 2@ =- 3 .
x"3
B
C
D
E
lim 6 f (x) - 3@ =+ 3 .
x"2
lim 6 f (x) - 3@ =- 3 .
x"2
lim 62 - f (x)@ =- 3 .
368
—
Se 6a 2 0 la disequazione f (x) + 5 1 a è ve3
rificata per x 2 1 + , allora:
a
lim 6 f (x) + 5@ = 0 .
A
x "+3
B
C
D
x"3
lim 63 - f (x)@ =- 3 .
x"2
E
lim f (x) = 1.
x"5
lim 6 f (x) + 5@ =+ 3 .
x"1
lim f (x) =- 5 .
x "-3
lim 6 f (x) + 5@ =+ 3 .
x " 1+
1464
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ESERCIZI VARI LA DEFINIZIONE DI LIMITE
369
——
Risolvendo la disequazione (x + 1) 2 1 f , puoi
verificare uno solo fra i seguenti limiti. Quale?
A lim (x 2 + 2x) =- 1
370
——
x "- 1
B
lim (x2 + 2x + 1) = 1
C
lim (x 2 + 2x) = 3
D
E
x"0
Se 6f 2 0 la disequazione f (x) - 2 1 f è ve1
rificata per x 1 3 - , allora:
f
lim f (x) = 3 .
A
x "-3
B
C
x"1
2
lim (x + 2x) = 0
x"0
D
Nessuno dei precedenti.
E
lim f (x) =+ 3 .
x " 3-
lim [f (x) + 2] = 0 .
x "+3
lim [f (x) - 2] = 0 .
x "-3
lim f (x) = 2 .
x "+3
Dal grafico della funzione y = f (x) deduci, se esistono, i limiti indicati.
371
y
a) x lim
f (x);
"-3
d) x lim
f (x);
"+3
1
b) lim- f (x);
e) lim+ f (x).
—
x"0
–1
O
1
x"0
c) lim f (x);
x
x"1
Esprimi mediante la definizione i casi a), b), d).
372
y
a) x lim
f (x);
"-3
d) lim + f (x);
1
b) lim - f (x);
e) lim+ f (x).
—
x "- 3
x "- 3
x"0
c) lim- f (x);
x
O
–3
x"0
Esprimi mediante la definizione i casi d), e).
373
y
—
a) x lim
f (x);
"-3
d) lim f (x);
b) lim f (x);
e) x lim
f (x).
"+3
x "- 4
x"2
c) lim f (x);
x
–4
–1
2
y
374
—
2
1
–2
O
x"0
Esprimi mediante la definizione i casi b), d).
a) x lim
f (x);
"-3
d) x lim
f (x);
"+3
b) lim+ f (x);
e) lim- f (x);
c) lim+ f (x);
f) lim- f (x).
x"0
1
x
x"1
ESERCIZI
x"0
x"1
Esprimi mediante la definizione i casi a), f).
1465
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
375
y
—
a) x lim
f (x);
"-3
e) x lim
f (x);
"+3
b) lim+ f (x);
f) lim- f (x);
c) lim+ f (x);
g) lim- f (x);
d) lim+ f (x);
h) lim- f (x).
x"0
x"0
O
1
x
2
x"1
x"1
–1
x"2
x"2
–2
Esprimi mediante la definizione i casi a), d), e).
376
17
—
Suppose that the graph of y = f (x) is as
given below.
–4
Suppose the graph of y = f (x) is given
below.
y
y
2
2
O
–1
–2
377
17
—
2
6 x
4
1
–2
O
1
Find the following limits, if they exist:
d) lim + f (x);
a) lim f (x);
x "- 4
x "- 4
b) lim f (x);
a) What is lim- f (x)?
e) lim+ f (x);
x "- 2
x"1
x"4
c) lim+ f (x);
b) What is lim+ f (x)?
x"1
f) lim- f (x).
c) What is lim f (x)?
x"4
x"2
(USA Southern Illinois University Carbondale,
Final Exam, Fall 2003)
6a) doesn’t exist; b) 0; c) 0; d) 2; e) - 2; f) 2@
x"1
(USA Southern Illinois University Carbondale,
Final Exam, Fall 2002)
6a) 1; b) 2; c) doesn’t exist @
Disegna il grafico di una funzione y = f (x) che soddisfi le seguenti condizioni.
378
—
379
—
f (-2) = 0;
D = R;
lim f (x) =+ 3 ;
380
—
D = R - {0, 2};
y 2 0 per - 1 1 x 1 0 0 x 2 2;
lim f (x) =- 3 ;
381
382
—
y 2 0 per x 1 - 2 0 x 2 - 1;
lim f (x) = 0 .
x "+3
lim f (x) = 0 ;
x " 0+
lim f (x) =+ 3 ;
x " 0-
lim f (x) =+ 3 ;
x " 2+
lim f (x) =- 3 .
x " 2-
D = ]-1; 1[ 傼 ]1; + 3 [; y 2 0 per - 1 1 x 1 1 0 x 2 2;
lim f (x) =+ 3 ;
x "- 1+
—
f (-1) = 0;
x "-3
x "-3
D = R - {0};
lim f (x) = 3 ;
x"1
lim f (x) =- 2 ;
lim f (x) = 1- .
x "+3
y 1 0 per x 1 - 2;
f (-2) = 0;
+
lim f (x) = 0 ;
+
lim f (x) =+ 3 ;
lim f (x) =+ 3 .
x "-3
x " 0-
x " 0+
D = R - {2};
f (0) = 0;
y 2 0 per - 3 1 x 1 0 0 x 2
lim f (x) =- 3 ;
x "-3
lim f (x) =+ 3 ;
x"2
x
lim f (x) = 0+ .
x "+3
3
;
2
x "+3
1466
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ESERCIZI VARI LA DEFINIZIONE DI LIMITE
383
—
Dal grafico della funzione y = f (x) deduci, se esistono, i limiti indicati.
y
a) x lim
f (x);
"-3
d) x lim
f (x);
"+3
b) lim+ f (x);
e) lim- f (x);
c) lim+ f (x);
f) lim- f (x).
x"1
x"1
1
x"3
x"3
O
384
—
385
—
ESERCIZI
1
3
x
Esprimi mediante la definizione i casi a), b), c).
a) Traduci la seguente scrittura con il linguaggio dei limiti:
1
6M 2 0 ∃d 2 0⏐6x ! ]1 - d; 1[,
1 - M.
x-1
b) Esegui la verifica.
c) Rappresenta graficamente la funzione evidenziando nel grafico il limite precedente.
d) Dal grafico deduci il limite per x " + 3 e verificalo con la definizione.
Data la funzione y = - ln (x - 2):
a) rappresentala graficamente, utilizzando le trasformazioni geometriche;
b) dal grafico deduci i valori di lim+ y e x lim
y;
"+3
x"2
c) verifica i limiti del punto precedente mediante le relative definizioni.
386
—
387
——
388
——
Come nell’esercizio precedente, con la funzione y = 1 - ln x , con lim y e con lim y .
x"0
x"1
1
se x 1 0
È data la funzione f (x) = * x + 1
.
e- x - 1 se x $ 0
a) Traccia il suo grafico.
b) Verifica l’esistenza di due asintoti orizzontali mediante le definizioni di limite.
1
:
x-4
a) rappresentala graficamente;
b) verifica l’esistenza di un asintoto verticale e di uno orizzontale, mediante le definizioni di limite;
c) deduci dal grafico il valore di lim y ed esegui la verifica mediante la relativa definizione di limite.
Data la funzione y =
x"2
389
——
390
-2
.
2-x
b) Verifica l’esistenza di un asintoto verticale e di uno orizzontale.
c) Trova la funzione inversa, giustificando la sua esistenza e rappresentala graficamente. Quali sono i suoi
asintoti?
a) Rappresenta graficamente la funzione y =
a) Traduci le seguenti scritture con il linguaggio dei limiti:
——
1. 6a 2 0 7c 2 0 6 x con x + 2 1 c, 0 # 4 - f (x) 1 a ;
1
2. 6k 2 0 7c 2 0 6 x con 1 - c 1 x 1 1, 2
1-k.
x -1
b) Esegui la verifica del limite del precedente punto 2.
1
c) Posto f (x) =- x 2 - 2x + 2 , verifica il limite del punto 1.
2
d) Verifica che xlim
f (x) =- 3 .
"3
;a) lim f (x) = 4-, limx "-2
x"1
1
=- 3E
x2 - 1
1467
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ESERCIZI
391
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Determina il dominio della funzione:
——
f (x) =
x4 - x2 .
Verificato che f (0) = 0 , dimostra che non esiste il limite:
lim f (x) .
x"0
392
——
[D: ]- 3; - 1] , {0} , [1; + 3[; non esiste il limite perché 0 è punto isolato]
Data la funzione y = a + b log 2 x :
a) determina a e b, sapendo che il suo grafico passa per (1; 4) ed è intersecato dalla retta di equazione y = 7
1
nel punto di ascissa ;
8
b) rappresenta graficamente la funzione;
1
c) disegna il grafico di g (x) =
- 1;
f (x)
d) dimostra mediante il procedimento di verifica dei limiti che la funzione g(x) presenta un asintoto orizzontale e uno verticale;
e) determina l’espressione analitica e rappresenta graficamente la funzione g- 1 (x).
4x + 3
1
;a) a = 4, b =- 1; c) g (x) = 4 - log x - 1; d) x = 16, y =- 1; e) y = 2 x + 1 E
2
Rappresenta graficamente le seguenti funzioni, mediante le trasformazioni geometriche, e deduci dal grafico i
limiti indicati a fianco, se esistono.
393
—
394
—
395
—
396
—
y =- sen x ;
a) x lim
y;
"+3
b) x lim
y;
"-3
c) lim y ;
y =- x - 1 + 1;
a) lim+ y ;
b) x lim
y;
"+3
c) lim y .
a) x lim
y;
"+3
b) x lim
y;
"-3
c) lim y ;
x"0
d) lim+ y ;
x"1
e) lim- y .
a) x lim
y;
"+3
b)
c) lim+ y ;
d) lim- y ;
e) lim y .
y=)
ln x
se x 2 1
e x - 1 se x # 1
x"1
;
- (x + 1) 2 se x # 0
y=)
;
x
se x 2 0
lim y ;
x "-3
x"0
d) limr y .
x"
2
x"2
x"0
x"0
x"1
x "- 1
Che cosa significano le seguenti scritture?
397
—
398
—
399
—
400
—
401
—
6f 2 0 7d 2 0 6 x con x - 2 1 d, x ! 2, f (x) - 1 1 f .
6 M 2 0 7h 6 x 1 h , x 2 - 1 2 M .
6h 2 0 7d 2 0 6 x con 3 1 x 1 3 + d, x ! 2, f (x) + 2 1 h .
6M 2 0 7I (2) 6 x ! I (2), x ! 2, f (x) 1 - M .
TEST Sia g: R " R . Allora l’espressione « 6a 2 0, 7b 2 0 tale che 0 1 x - 5 1 b implica g (x) 2 a » è la
definizione di:
A
B
lim g (x) = 5 .
x "-3
lim g (x) = 5 .
x "+3
C
lim g (x) =+ 3 .
D
lim g (x) =- 3 .
x"5
x"5
(Università di Trento, Facoltà di Matematica, Test di Analisi, 2003)
1468
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PARAGRAFO 6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
402
—
ESERCIZI
Dimostra che lim (4x - 10) =- 2 , trovando un d 2 0 tale che (4x - 10) - (- 2) 1 f ogniqualvolx"2
ta 0 1 x - 2 1 d .
(USA Stanford University, 2002)
Trova un numero d 2 0 tale che
403
——
5x + 1 - 4 1 0, 5 se 0 1 x - 3 1 d .
(USA University of Central Arkansas Regional Math Contest, 2006)
[d 1 0, 75]
6. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI
䉴 Teoria a pag. 1430
Il teorema della permanenza del segno
404
——
405
——
Sapendo che lim (4 - 9x 2) =- 5 , verifica il teorema della permanenza del segno determinando un intorno
x "- 1
di - 1 nel quale la funzione f (x) = 4 - 9x2 abbia lo stesso segno del limite.
Dopo aver verificato che lim (1 - x2) = 1, individua l’intorno dell’origine di raggio massimo per cui vale il
x"0
teorema della permanenza del segno.
Per ciascuno dei seguenti limiti verifica il teorema della permanenza del segno.
406
—
407
—
lim (2x + 3) = 5
x"1
lim (2x2 - 8) =- 6
x"1
408
—
409
—
lim
x"2
lim
x"2
x+4
=2
x+1
—
x
2
=
x+1
3
—
410
411
lim
x"1
x2
1
=
x+1
2
lim ]x - 2x + 1g = 1
x"4
Il teorema del confronto
412
ESERCIZIO GUIDA
Date le funzioni
h(x) = - x 2 + 4x - 3, f(x) = 2x - 2, g(x) = x 2 - 1,
e sapendo che
lim h (x) = lim g (x) = 0 ,
x"1
x"1
calcoliamo lim f (x) usando il teorema del confronto.
x"1
Per applicare il teorema del confronto dobbiamo verificare le sue ipotesi, ossia che si abbia
h (x) # f (x ) # g (x ) in un intorno di 1:
- x 2 + 4x - 3 # 2x - 2 # x 2 - 1 "
- x 2 + 4x - 3 # 2x - 2
")
"
2x - 2 # x2 - 1
- x 2 + 2x - 1 # 0
") 2
- x + 2x - 1 # 0
1469
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ESERCIZI
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Poiché le disequazioni del sistema sono verificate 6x ! R, allora è verificata anche la
disuguaglianza:
y = x2 – 1
y = 2x – 2
y
h(x) # f (x ) # g(x ) 6x ! R.
Possiamo applicare il teorema del confronto e affermare che lim f (x) = 0 .
O
x"1
x
1
y = – x2 + 4x – 3
In ciascuno dei seguenti esercizi sono date tre funzioni, di cui due aventi lo stesso limite in un punto. Controlla se sono
soddisfatte le ipotesi del teorema del confronto e in tal caso applicalo per calcolare il limite della terza funzione.
413
—
414
—
415
—
416
—
h (x) =- x2 + 8x - 14 ;
f (x) = 2x - 5 ;
g (x) = x2 - 4x + 4 ;
lim h (x) = lim g (x) = 1.
h (x) = 1 - x2 ;
f (x) = x 2 + 1;
g (x) = 2x 2 + 1;
lim h (x) = lim g (x) = 1.
2
2
h (x) =- x - 4x - 4 ;
f (x) = x + 4x + 4 ; g (x) =
x+2 ;
- 2x + 4
h (x) =
;
x-1
3
1
f (x) =- x + ;
4
2
2
g (x) =- x + 2x ;
x"3
x"0
x"3
x"0
lim h (x) = lim g (x) = 0 .
x "-2
x "-2
lim h (x) = lim g (x) = 0 .
x"2
x"2
Applicando il teorema del confronto, verifica i seguenti limiti.
417
—
418
—
419
—
420
——
421
——
lim sen x = 0 (Suggerimento. Ricorda che se un angolo x 2 0 è espresso in radianti, si ha sen x 1 x .)
x " 0+
lim
x "+3
lim
x "+3
1
sen x
sen x
con 0 e con .l
= 0 bSuggerimento. Confronta
x
x
x
cos x
= 0 (Suggerimento. Ricorda che - 1 # cos x # 1.)
x
Dimostra che, date due funzioni f(x) e g(x), definite nello stesso dominio, tali che f (x) # g (x) e
sen x
f (x) = 0 . Applica il risultato per dimostrare che xlim
= 0.
lim
g (x) = 0 , allora lim
x"c
x"c
"3
x
Date due funzioni f(x) e g(x), definite nello stesso dominio, tali che f (x) $ g (x) e lim
g (x) = 3 , dimox"c
.
=
3
stra che lim
f
(
x
)
x"c
1470
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VERSO L’ESAME DI STATO
ESERCIZI
VERSO L’ESAME DI STATO
TEST
1
—
Sia f (x) una funzione definita in A = 52; 9? .
Se 6f 2 0 ∃k 2 0⏐6x ! A, con 4 1 x 1 4 + k,
f (x) - 1 1 f , è vero che:
A
B
C
D
E
2
—
Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it
lim f (x) = 1.
x " 4+
lim f (x) =- 1.
x " 4-
lim f (x) = 1.
x"4
lim f (x) = 1+ .
x " 4+
lim f (x) = 1- .
x " 4+
Data la funzione y = f (x), se
6k 2 0 ∃m 2 0⏐6x,
con 2 - m 1 x 1 2, f (x) 2 k, è vero che:
A
B
C
3
—
6
—
x"k
lim f (x) = 3 .
x"m
lim f (x) =+ 3 .
x " 2-
Se 6a 2 0 la disequazione sen x - f (x) 2 a è ve3
3
ra per r - # x # r + , allora:
a
a
A lim 6sen x - f (x)@ =+ 3 .
x"r
B
lim f (x) =+ 3 .
x"2
C
E
lim+ f (x) = m .
D
x"2
E
4
Data la funzione f (x ) = 4 - x , l’espressione
«Per ogni numero reale positivo m si può sempre determinare un numero reale positivo c m
tale che risulti 4 - x 4 1 - m per ogni x 2cm » è
la definizione di:
B
C
D
E
4
lim f (x) =+ 3 .
Scrivere x lim
f (x) = 6 significa che:
"-3
A f (x) si avvicina sempre più a 6 per valori di
x non negativi.
B la differenza in valore assoluto tra f (x) e 6 è
maggiore di un numero positivo piccolo a
piacere al diminuire di x.
C la differenza in valore assoluto tra f (x) e 6 è
minore di un numero positivo piccolo a
piacere all’aumentare di x.
D f (x) si avvicina sempre più a 6 per valori di
x non positivi.
E la differenza in valore assoluto tra f (x) e 6 è
minore di un numero positivo piccolo a
piacere al diminuire di x.
D
A
—
5
—
lim (4 - x 4) =+ 3 .
x "-3
lim (4 - x 4) = 1.
x "+3
lim (4 - x 4) =+ 3 .
x "+3
lim (4 - x 4) =- 3 .
x "+3
lim (4 - x 4) =- 3 .
x "-3
Se 6f 2 0 esiste un intorno destro di - 2 tale
che 4 - f 1 f (x) # 4 , allora:
A
B
C
D
E
7
——
lim f (x) =- 4 .
x "- 2
lim f (x) =- 2 .
8
——
lim 6sen x - f (x)@ = r .
x "+3
lim 6sen x - f (x)@ = r .
x "-3
lim 6 f (x) - sen x @ = r .
x"0
lim
6sen x - f (x)@ =+ 3 .
x"a
4
Risolvendo la disequazione x - 4 2 , con
f
f 2 0, puoi verificare uno solo dei seguenti
limiti. Quale?
x
=1
A lim
x"3 x - 4
x
1
=
B lim
x " 3 4x - 4
4
4x - 4
=4
C lim
x"3
x
x
=- 1
D lim
x"3 x - 4
lim (x - 4) =+ 3
E
x "-3
Se lim (x 2 - 3) =- 2 , allora 6f 2 0 7df tale che
x"1
per x - 1 1 df si ha:
A
- f 1x1 f.
B
lim - f (x) = 4- .
- f - 1 1 x 1 f + 1.
C
1-f 1 x 1 1+f.
lim f (x) = 4 .
D
- 1 + f 1 x 1- 1 - f .
lim f (x) = 4- .
E
- f + 1 1 x 1 f + 1.
x"4
x "- 2
+
x "- 2+
x "- 2+
1471
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ESERCIZI
9
—
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Se 6m 2 0 esiste un c 2 0 tale che e x
2+1
2m
10
—
se x 2 c , allora è vero che:
A
B
lim e x + 1 =+ 3 .
2
x "!3
x"0
lim e x + 1 = 0 .
x "-3
2
x2 + 1
B
C
=+ 3 .
C
lim
e
x"c
D
lim e x + 1 =- 3 .
x "+3
E
Risolvendo la disequazione x - 1 2 - 2- M , possiamo verificare la validità di uno solo dei seguenti limiti. Quale?
A lim log 2 (1 - x) =+ 3 .
2
lim log 2 (1 - x) =+ 3 .
x " 1-
lim log 2 (1 - x) =- 3 .
x " 1-
1
lim 2 1 - x =+ 3 .
x"1
1
=+ 3 .
E lim
x"1 x - 1
D
lim e x + 1 = m .
2
x "+3
QUESITI
11
—
12
—
Dopo aver scritto la definizione di punto di accumulazione per un insieme A di numeri
reali, indica se sono vere o false le seguenti proposizioni, motivando le risposte.
Se x0 è un punto di accumulazione per l’insieme A:
VERO O FALSO?
a)
A è un insieme infinito.
V
F
b)
A può essere un insieme limitato.
V
F
c)
x0 deve appartenere ad A.
V
F
d)
ogni intorno di x0 deve contenere almeno un punto di A.
V
F
Il punto (2; 6) appartiene al grafico di una funzione y = f (x), con dominio R.
Puoi dedurre da ciò che lim f (x) = 6 ? Viceversa, se lim f (x) = 6 , puoi affermare che f (2) = 6 ?
x"2
13
—
14
—
15
x"2
La funzione y = f (x) ha come dominio D = 50; 5? . Può avere un asintoto orizzontale? E verticale?
Scrivi, utilizzando il linguaggio dei limiti, che una funzione y = f (x) ha un asintoto verticale di equazione
x =- 2 e un asintoto orizzontale di equazione y = 4 .
Una funzione periodica può avere un asintoto orizzontale? E verticale?
—
16
—
17
—
18
—
Dimostra che, se lim
f (x) = l , allora lim
[- f (x)] =- l .
x"c
x"c
Dimostra che, se lim
f (x) = l , allora lim
[f (x) - k] = l - k .
x"c
x"c
Dimostra che, se lim
f (x) = l , allora lim
f (x) = l .
x"c
x"c
(Suggerimento. Ricorda la proprietà a - b # a - b .)
19
——
Enuncia e dimostra il teorema del confronto. Utilizzalo poi per dimostrare il limite:
1 - cos2 x
lim
= 0.
x"0
x
1472
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VERSO L’ESAME DI STATO
20
——
ESERCIZI
Dopo aver definito il limite destro e il limite sinistro di una funzione in un punto, ricorrere a tali definizioni
per verificare che risulta:
lim c x +
x " 0-
x
m =- 1,
x
lim c x +
x " 0+
x
m = 1.
x
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione straordinaria, 2002, quesito 4)
21
——
Considerata la funzione reale di variabile reale f(x), affermare che x lim
f (x) =+ 3 significa che per ogni
"+3
numero reale M, esiste un numero reale N tale che, per ogni x, se x 2 N allora f(x) 2 M.
È vero o è falso? Accompagnare la risposta con un’interpretazione grafica.
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2006, quesito 7)
PROBLEMI
22
—
Dato l’insieme A = & x x = 3 +
2
, n ! N - ! 0 +0 :
n
a) verifica che x 0 = 3 è punto di accumulazione per A;
11
b) verifica che x1 =
è un punto isolato;
3
c) trova l’estremo superiore e l’estremo inferiore di A;
d) A è un insieme limitato? È chiuso? È finito?
23
——
È data la funzione:
Z
x
]] 4 - e
f (x) = [ 1
]] ln 1
x
\
se x # 0
se x 2 0
a) Trova il dominio, studia il segno di f(x) e calcola le intersezioni con gli assi cartesiani.
f (x) = 0- , lim+ f (x) = 0+ e lim f (x) = 3 .
b) Verifica che x lim
f (x) = 2- , x lim
"-3
"+3
x"0
x"1
c) Rappresenta il grafico probabile di f(x) utilizzando le informazioni ottenute in a) e b).
[a) D: x ! 1; y 2 0 per x 1 1; (0;
24
3 )]
Data la funzione
——
y=
1
:
ex - 1 - 1
a) trova il suo dominio;
b) studia il segno e determina le intersezioni con gli assi cartesiani;
c) verifica che x lim
y = 0 e che lim y = 3 ;
"+3
x"1
d) disegna il grafico probabile di y utilizzando i dati ottenuti in a), b), c), sapendo che la funzione ha un
asintoto orizzontale di equazione y = - 1.
[a) D: x ! 1; b) y 2 0 per x 2 1]
1473
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ESERCIZI
25
——
CAPITOLO 21. I LIMITI DELLE FUNZIONI
Dato l’insieme
A = &0,
1 2 3 4 5
, f0 ,
,
,
,
,
6 10 14 18 22
a) sapendo che i suoi elementi si ottengono da una funzione da N a Q+, scrivi l’espressione analitica della
funzione;
1
è un punto di accumulazione per l’insieme A;
b) dimostra che x0 =
4
c) scelto un punto a piacere di A, verifica che è un punto isolato;
d) A è un insieme limitato? È chiuso? È finito?
n
:a) y =
, n ! ND
4n + 2
26
——
Data la funzione
1
y= a
:
2x -2
4
a) determina a, sapendo che il grafico della funzione passa per b- 1; - l ;
7
b) trova il dominio e studia il segno;
c) verifica che lim+ y = 0+ .
[a) a = 2; b) D: x ! 0 / x ! 2; y 2 0 per 0 1 x 1 2]
x"0
27
——
È assegnata la funzione:
Z
]] - x - 1
f (x) = [ 2 x - 1
]
\ ln (x - 2)
se x # - 1
se - 1 1 x # 2
se x 2 2
a) Rappresenta il suo grafico utilizzando le trasformazioni geometriche.
b) Osservando il grafico, deduci i seguenti limiti:
lim ! f (x),
lim! f (x),
lim f (x).
x "!3
x "- 1
x"2
c) Verifica, usando le definizioni, i limiti:
lim - f (x), lim+ f (x).
x "- 1
28
——
x"2
: b) - 1 , 0; - 3, 3; + 3D
2
Considera la funzione:
1
y=
.
1 - log 2 (x - 1)
a) Trova il suo dominio e studia il segno.
b) Rappresenta il grafico della funzione mediante le trasformazioni geometriche; osservando il grafico, conferma i risultati del punto a) e deduci i seguenti limiti:
lim+ y ,
lim! y ,
lim y .
x "+3
x"1
x"3
c) Esegui la verifica, mediante le definizioni, dei limiti dedotti nel punto b).
[a) D: x 2 1 / x ! 3; y 2 0 per 1 1 x 1 3; b) 0+; " 3; 0-]
1474
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TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
Nel capitolo precedente abbiamo definito e analizzato il concetto di limite. Ora è
necessario imparare a calcolarlo.
Abbiamo visto che il calcolo di xlim
f (x) è rapido e semplice quando f(x) è una
" x0
funzione continua, perché basta sostituire x0 in f(x). Sono poi utili alcuni teoremi
relativi alle operazioni sui limiti che ora illustreremo.
● Una funzione f(x) è
continua in x0 se
lim f (x) = f (x 0) .
x"x
I teoremi che enunceremo sono validi sia nel caso di limite per x che tende a un
valore finito, sia nel caso di limite per x che tende a +3 o -3.
Perciò, quando non sarà importante distinguere, indicheremo con «x " a» una
qualsiasi delle seguenti scritture:
0
x " x 0 ; x " x+0 ; x " x-0 ; x " + 3; x " - 3 .
Il limite della somma algebrica
di due funzioni
Le funzioni hanno limite finito
In generale, si può dimostrare il seguente teorema.
TEOREMA
● Con le parole: il limite
della somma di due funzioni è uguale alla somma
dei loro limiti.
Se xlim
f (x) = l e xlim
g (x) = m , dove l, m ! R , allora:
"a
"a
lim 6 f (x) + g (x)@ = xlim
f (x) + xlim
g (x) = l + m .
"a
"a
x"a
DIMOSTRAZIONE
● Se scegliamo f piccolo a
f
è arbitra2
riamente piccolo.
piacere, anche
Siccome xlim
f (x) = l , dalla definizione segue che in corrispondenza di ogni
"a
f
valore positivo , arbitrariamente piccolo, esiste un intorno I1 di a tale che:
2
f
f
6x ! I1 con x ! a .
l - 1 f (x) 1 l + ,
2
2
f
Analogamente, poiché xlim
g (x) = m , in corrispondenza dello stesso
esi"a
2
ste un intorno I2 di a tale che:
m-
f
f
1 g (x ) 1 m + ,
2
2
6x ! I2 con x ! a .
Per i punti x dell’intorno I = I1 + I2 diversi da a, valgono entrambe le disugaglianze precedenti e quindi, sommando membro a membro, otteniamo
bl - f l + bm - f l 1 f (x) + g (x) 1 bl + f l + bm + f l ,
2
2
2
2
ossia:
(l + m) - f 1 f (x) + g (x) 1 (l + m) + f,
6x ! I con x ! a .
Abbiamo pertanto verificato che in corrispondenza di ogni arbitrario f 2 0
esiste un intorno di a tale che per ogni suo punto x ! a si ha
f (x) + g (x) - (l + m) 1 f , cioè:
lim 6 f (x) + g (x)@ = l + m .
x"a
1476
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
TEORIA
● In particolare, questo teorema dice che per ogni x0 tale che xlim
f (x)= f (x 0) e xlim
g (x)= g (x 0)
"x
"x
0
0
si ha xlim
[ f (x) + g (x)] = f (x 0) + g (x 0) .
" x0
Questo significa che la somma algebrica di due funzioni continue è una funzione continua.
ESEMPIO
Consideriamo le due funzioni f (x) = 2x - 6 e g (x) = x + 3 e i loro limiti per
x " 4:
lim (2x - 6) = 2 e lim (x + 3) = 7 .
x"4
x"4
La funzione somma s (x) = f (x) + g (x) è:
s (x) = (2x - 6) + (x + 3) = 3x - 3 .
Il limite di s (x) per x che tende a 4 è:
lim (3x - 3) = 9 .
x"4
Osserviamo che 9 = 2 + 7, ossia il limite della funzione s (x) è uguale alla
somma dei limiti di f (x) e di g (x).
Le funzioni non hanno entrambe limite finito
Cosa succede quando una delle due funzioni ha limite infinito? E quando entrambe hanno limite infinito?
Con i simboli + 3 e - 3 non si possono eseguire operazioni ragionando come se
si trattasse di numeri reali. Per esempio, si può dimostrare che se xlim
f ( x) = l e
"a
lim
g
(
x
)
,
che
è
come
dire:
=+
3
,
allora
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
+
=+
3
@
6
x"a
x"a
l + (+ 3) =+ 3 .
Una relazione simile per i numeri reali a + b = b è vera solo se a = 0 .
Riassumiamo nella tabella i vari casi che si possono presentare nei calcoli dei limiti
della somma di due funzioni.
● In questa tabella, come
g(x)
5
ᐍ
+3
-3
m
m+l
+3
-3
+3
+3
+3
?
-3
-3
?
-3
f (x)
nelle successive, nella
prima colonna mettiamo i
valori a cui tende f(x), nella
prima riga quelli a cui
tende g(x) e all’incrocio tra
riga e colonna quelli a cui
tende la funzione indicata
dall’operatore. Con ? indichiamo le forme indeterminate.
Nella tabella si può notare che i casi in cui si sommano + 3 e - 3 non hanno
come risultato 0, come ci si potrebbe erroneamente aspettare. Questa è una forma
di indecisione o forma indeterminata.
Consideriamo, per esempio, la funzione f (x) = 2x e le tre funzioni:
g1 (x) =- 2x + 1; g2 (x) =- x ; g3 (x) =- 3x .
Per x " + 3 , il limite di f (x) è + 3 , mentre i limiti di g1 (x), g2 (x) e g3 (x) sono
- 3.
1477
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Calcoliamo le funzioni somma:
s1 (x) = f (x) + g1 (x) = 2x - 2x + 1 = 1;
s2 (x) = f (x) + g2 (x) = 2x - x = x ;
s3 (x) = f (x) + g3 (x) = 2x - 3x =- x .
Calcoliamo il limite per x " + 3 di tali funzioni:
● Quando, nel prossimo
paragrafo, calcoleremo
limiti che si presentano in
forma indeterminata
+ 3 - 3 , cercheremo di
scrivere la funzione somma
in modo diverso da quello
iniziale, per eliminare l’indeterminazione.
lim s (x)
x "+3 1
= x lim
1 = 1;
"+3
lim s (x)
x "+3 2
x =+ 3 ;
= x lim
"+3
lim s (x)
x "+3 3
= x lim
(- x) =- 3 .
"+3
Abbiamo ottenuto tre risultati diversi: non può quindi esistere una regola che permetta di ottenere in generale il limite della funzione somma f (x) + g (x) quando i
limiti delle funzioni f (x) e g (x) sono rispettivamente + 3 e - 3 .
Per questo motivo diciamo che siamo in presenza della forma indeterminata
+ 3 - 3.
Il limite del prodotto di due funzioni
Le funzioni hanno limite finito
TEOREMA
Limite del prodotto di una costante (diversa da 0) per una funzione
Sia k un numero reale diverso da 0 e xlim
f (x) = l ! R . Allora:
"a
lim [k $ f (x)] = k $ xlim
f (x) = k $ l .
"a
x"a
DIMOSTRAZIONE
Distinguiamo due casi.
1. k 2 0 . Sia f 2 0 arbitrariamente piccolo; poiché xlim
f (x) = l , in corri"a
f
spondenza di
2 0 esiste un intorno I di a tale che:
k
f
f
l - 1 f (x) 1 l + ,
6x ! I con x ! a .
k
k
Allora, moltiplicando tutti i membri delle disequazioni per k, otteniamo
k $ l - f 1 k $ f (x) 1 k $ l + f,
6x ! I con x ! a ,
cioè:
lim [k $ f (x)] = k $ l = k $ xlim
f (x).
"a
x"a
2. k 1 0 . In questo caso si ha - k 2 0 e quindi, per quanto è appena stato
dimostrato:
lim [- k $ f (x)] =- k $ l .
x"a
1478
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PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
TEORIA
Quindi per ogni f 2 0 esiste un intorno I di a tale che:
- k $ l - f 1 - k $ f (x) 1 - k $ l + f,
6x ! I con x ! a .
Moltiplicando tutti i membri delle disequazioni per -1, si invertono i versi
delle disuguaglianze e si cambia segno:
k $ l + f 2 k $ f (x) 2 k $ l - f,
6x ! I con x ! a .
Riotteniamo quindi xlim
[k $ f (x)] = k $ l = k $ xlim
f (x).
"a
"a
ESEMPIO
Se lim (3x - 1) = 5 , allora lim 4 $ (3x - 1) = 4 $ 5 = 20.
x"2
x"2
TEOREMA
Se xlim
f (x) = l e xlim
g (x) = m con l, m ! R , allora:
"a
"a
lim [ f (x) $ g (x)] = xlim
f (x) $ xlim
g (x) = l $ m .
"a
"a
x"a
● Con le parole: il limite
del prodotto di due funzioni
è uguale al prodotto dei loro
limiti.
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo inizialmente il caso in cui l = m = 0.
Applichiamo la definizione di limite: per le ipotesi fatte possiamo dire che,
preso f 2 0 arbitrariamente piccolo (possiamo assumere che f 1 1), esistono due intorni I 1 e I 2 di a tali che:
f (x) 1 f,
6x ! I1 con x ! a
g (x) 1 f,
6x ! I2 con x ! a.
e
Allora nell’intorno I = I1 + I2 sono verificate entrambe le disuguaglianze e
quindi, moltiplicando tra loro entrambi i membri, abbiamo:
f (x) $ g (x) 1 f2 1 f,
6x ! I con x ! a.
● Se f 1 1, allora f2 1 f.
Ciò significa che:
lim [ f (x) $ g (x)] = 0 .
x"a
Sfruttiamo ora questo risultato per dimostrare il caso più generale. Osserviamo che
lim [ f (x) - l] = 0 ;
x"a
lim f (x) = l
"
x"a
lim g (x) = m
"
x"a
x"a
lim [g (x) - m] = 0 ;
allora:
lim [ f (x) - l] [g (x) - m] = 0 .
x"a
Poiché
[ f (x) - l] [g (x) - m] = f (x) $ g (x) - f (x) $ m - l $ g (x) + l $ m "
" f (x) $ g (x) = [ f (x) - l] [g (x) - m] + f (x) $ m + l $ g (x) - l $ m ,
passando al limite in entrambi i membri, risulta:
lim [ f (x) $ g (x)] = 0 + l $ m + l $ m - l $ m = l $ m .
x"a
● Applichiamo il teorema
della somma dei limiti e
quello del prodotto nei
casi particolari di limiti
entrambi nulli e di prodotto di una costante per una
funzione.
1479
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
ESEMPIO
Essendo lim 3x = 3 e lim (x + 1) = 2 , allora lim 3x (x + 1) = 3 $ 2 = 6 .
x"1
x"1
x"1
Infatti, la funzione prodotto è p (x) = 3x (x + 1) = 3x2 + 3x , e il limite per x
che tende a 1 di tale funzione è proprio uguale a 6.
● Analogamente a quanto visto per la somma di due funzioni, questi ultimi due teoremi permettono di affermare che il prodotto di due funzioni continue (in particolare il prodotto di una
costante per una funzione continua) è una funzione continua.
Le funzioni non hanno entrambe limite finito
Se le funzioni non hanno entrambe limite finito, per il limite del prodotto si possono presentare diversi casi che riassumiamo nella tabella, osservando che anche
quando si usano i simboli + 3 e - 3 vale ancora la regola dei segni.
g(x)
9
ᐍ2 0
ᐍ1 0
0
+3
-3
m20
m$l
m$l
0
+3
-3
10
m$l
m$l
0
-3
+3
0
0
0
0
?
?
+3
+3
-3
?
+3
-3
-
-3
+3
?
-3
+3
f (x)
ESEMPIO
Supponiamo noti lim (- 4x) =- 4 e lim
x"1
x"1
lim (- 4x) $
x"1
● Utilizziamo la forma
abbreviata 3 $ 0 per indicare + 3 $ 0 e - 3 $ 0 .
1
=+ 3 . Allora:
(x - 1) 2
1
=- 3 .
(x - 1) 2
Notiamo che anche nella tabella precedente compare una forma indeterminata, o
forma di indecisione: 3 $ 0 .
Una funzione ha limite 0 e l’altra ha limite infinito
1
Consideriamo, per esempio, la funzione f (x) = 3x 2 e le funzioni g1 (x) = 2 e
x
1
g 2 (x ) = 4 .
x
Quando x " 0, il limite di f (x) è uguale a 0, mentre i limiti di g 1 (x ) e g 2 (x ) sono
entrambi + 3.
Calcoliamo le funzioni prodotto:
p1 (x) = f (x) $ g1 (x) = 3x2 $
1
= 3;
x2
p2 (x) = f (x) $ g2 (x) = 3x 2 $
1
3
= 2 .
x4
x
1480
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
Si verifica che:
lim p1 (x) = 3; lim p2 (x) =+ 3 .
x"0
x"0
L’esempio mostra che non esiste una regola generale. Ecco perché 0 $ 3 è una
forma indeterminata.
TEORIA
● Vedremo nel prossimo
paragrafo che in alcuni casi,
riscrivendo la funzione prodotto in modo opportuno,
possiamo liberarci della
forma indeterminata e calcolare il limite.
Il limite della potenza
TEOREMA
Se n ! N - {0} e xlim
f (x) = l , allora:
"a
lim 6 f (x)@n = 7 xlim
f (x)An = ln .
"a
x"a
Il teorema può essere dimostrato pensando che la potenza n-esima di una funzione è il prodotto di tale funzione per se stessa n volte, e quindi si possono applicare
i teoremi sul prodotto di funzioni.
In particolare, per f(x) = x abbiamo:
lim xn = xn0,
x " x0
lim xn =+ 3,
x "+3
+ 3 se n è pari
lim xn = *
.
- 3 se n è dispari
x "-3
Inoltre, combinando questo risultato con il teorema sul limite del prodotto di una
funzione per una costante e sul limite della somma di due funzioni, possiamo
determinare il limite di un polinomio P(x) per x che tende a un valore finito x0:
lim P (x) = P (x 0), 6x 0 ! R .
● Si ha allora, per esempio,
x " x0
lim (x3 - 4x) =
Quindi possiamo dire che i polinomi sono funzioni continue in R.
x"2
= 23 - 4 $ 2 = 0.
Possiamo poi estendere il teorema anche al caso di esponente reale a diverso da 0.
La funzione ha limite ⫹3
Abbiamo la tabella a fianco.
f (x)
a
6f (x)@a
+3
a20
(+ 3) a =+ 3
+3
a10
(+ 3) a = 0+
L’esponente è una funzione
Il teorema della potenza si può estendere al caso [f (x)] g (x) .
● Il caso di f(x) che tende a
g(x)
g (x)
0
+3
-3
+3
?
+3
0+
0+
?
0+
+3
1
1
?
?
0 1ᐍ1 1
1
0
+3
ᐍ2 1
1
+3
0+
[f (x))]
f (x)
+
- 3 non si può presentare
perché nella potenza [f (x)] a
deve essere f (x) 2 0 . Per lo
stesso motivo, f(x) può
tendere a 0 solamente per
eccesso, e non può essere
lim f (x) = 0-.
● Ricorda che ci sono due
tipi di funzione esponenziale: uno con la base compresa fra 0 e 1 e l’altro con
la base maggiore di 1.
1481
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
● Utilizziamo le forme
abbreviate:
3 0 per indicare (+ 3 )0,
00 per indicare (0+ )0,
13 per 1+ 3 e 1- 3 .
● Questo teorema è una
conseguenza del teorema
sul limite della potenza
n-esima di una funzione;
infatti, ponendo
{ (x) = n f (x) , si ha
f (x) = [{ (x)] n e quindi,
passando al limite in
entrambi i membri
dell’uguaglianza, risulta
l = [xlim
{ (x)] n , cioè
"a
lim
n
x"a
f (x) =
n
l.
Nella tabella precedente troviamo altre tre forme indeterminate: 3 0, 0 0, 13 .
Il limite della radice n-esima di una funzione
TEOREMA
Se xlim
f (x) = l, l ! R e l 2 0 , allora:
"a
lim
n
x"a
f (x ) =
n
lim f (x) =
n
l.
x"a
Se n è dispari, questo risultato vale anche per l # 0 .
ESEMPIO
Essendo lim (5x - 1) = 4 , allora lim
x"1
x"1
5x - 1 = 2 .
Il limite della funzione reciproca
TEOREMA
Se lim 3x = 6 ,
x"2
allora lim
x"2
1
1
= .
3x
6
Se lim (x - 5) = 0 ,
x"5
allora lim
x"5
1
:
f (x)
1
1
1
=
= ;
• se xlim
f (x) = l ! R, l ! 0 , allora xlim
"a
" a f (x)
lim
f
(
x
)
l
x"a
1
f (x) =- 3 , allora xlim
= 0;
• se xlim
f (x) =+ 3 , o xlim
"a
"a
" a f (x )
quando esiste un intorno di a in cui f (x) ! 0 :
1
=+ 3 ;
• se xlim
f (x) = 0+ , allora xlim
"a
" a f (x )
1
• se xlim
f (x) = 0- , allora xlim
=- 3 .
" a f (x )
"a
Consideriamo una funzione f (x) e la sua reciproca
● Esempi.
1
= 3.
x-5
Se xlim
2x = 3 ,
"3
1
= 0.
2x
Scrivendo 3 intendiamo
dire che il risultato può
essere + 3 o - 3 .
allora xlim
"3
Il limite del quoziente di due funzioni
Le funzioni hanno limite finito, di cui almeno uno diverso da 0
TEOREMA
● Osserviamo che, per il
teorema della permanenza
del segno, se m ! 0 , allora
g (x) ! 0 in tutto un
intorno di a.
Se xlim
f (x) = l e xlim
g (x) = m , e m ! 0 , allora:
"a
"a
lim
x"a
lim f (x)
f (x)
l
.
= x"a
=
(
)
g (x)
lim
g
x
m
x"a
DIMOSTRAZIONE
f (x)
1
= f (x) $
, per il teorema del limite delg (x)
g (x )
la funzione reciproca e del limite del prodotto di due funzioni, abbiamo:
f (x)
1
1
l
.
= xlim
= xlim
=
lim
f (x) $ xlim
f (x) $
x " a g (x )
"a
" a g (x )
"a
lim
(
)
g
x
m
x"a
Siccome possiamo scrivere
ESEMPIO
x-1
2
= .
2x + 1
7
x-3
0
= = 0.
2. Essendo lim (x - 3) = 0 e lim (2x + 1) = 7, allora lim
x"3
x"3
x " 3 2x + 1
7
1. Essendo lim (x - 1) = 2 e lim (2x + 1) = 7, allora lim
x"3
x"3
x"3
1482
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
● Questo teorema permette di affermare che il quoziente
TEORIA
f (x)
di due funzioni continue in un
g (x)
punto x0 è una funzione continua se g (x 0) ! 0 .
P (x)
, cioè una funzione razionale fratta, è una
In particolare, il quoziente di due polinomi
Q (x)
funzione continua in tutti i punti che non annullano il denominatore Q(x).
Le funzioni non hanno entrambe limite finito
Si possono presentare i casi riassunti nella tabella.
g(x)
f (x)
g (x)
m!0
0
+3
-3
ᐍ! 0
l
m
3
0
0
0
0
?
0
0
+
3
3
?
?
-3
3
3
?
?
f (x)
Abbiamo le forme di indecisione:
0 3
,
.
0 3
Il limite delle funzioni composte
Consideriamo due funzioni, y = f (z) e z = g (x), per le quali possiamo fare la
composizione f(g(x)), cioè tali che g(x) appartiene al dominio di f per ogni x appartenente al dominio di g.
TEOREMA
Siano y = f (z) e z = g (x) tali che f(z) è continua in z0 e xlim
g (x ) = z 0 .
"a
Allora:
lim f (g (x)) = f (xlim
g (x)) = f (z0).
"a
x"a
In particolare, se g(x) è continua in x0 e f(z) è continua in z0 = g(x0), allora:
lim f (g (x)) = f (xlim
g (x)) = f (g (x 0)),
"x
x " x0
0
cioè la funzione composta f(g(x)) è continua in x0.
ESEMPIO
La funzione y = sen 4x è la funzione composta da z = g (x) = 4x, continua in R,
e da y = f (z) = sen z , continua in R e quindi in ogni punto dell’immagine di g.
La funzione composta f % g è f ( g (x)) = sen 4x , continua in R.
r
Per esempio, limr sen 4x = sen b4 $ l = sen r = 0 .
4
x"
4
● Per poter comporre due
funzioni è necessario che il
codominio della prima funzione sia contenuto nel
dominio della seconda funzione. In questo caso i due
insiemi coincidono con R.
1483
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Continuità della funzione inversa
● Ricordiamo che funzioni
sempre crescenti o sempre
decrescenti sono esempi di
funzioni biettive.
Se y = f (x ) è una funzione biettiva in un intervallo D, allora esiste la funzione
inversa f -1 definita nel codominio di f. Per essa si può dimostrare il seguente
teorema.
TEOREMA
Se y = f (x ) è una funzione biettiva e continua in D, allora la funzione
inversa f -1 è continua nel codominio di f .
● La funzione arccos x è
l’inversa della restrizione di
cos x all’intervallo [0; r].
x"0
La funzione cos x è continua in R e quindi la funzione arccos x è continua per
tutti i valori di [-1; 1], in particolare per x = 0. Quindi:
r
r
lim (arccos x + 4x) = lim arccos x + lim 4x = + 0 = .
x"0
x"0
x"0
2
2
2. LE FORME INDETERMINATE
IN PRATICA
䉴
ESEMPIO
Calcoliamo lim (arccos x + 4x).
Videolezione 65
● Non esistono regole
generali per il calcolo delle
forme indeterminate, che
vanno quindi risolte caso
per caso.
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, le forme indeterminate che possiamo incontrare nel calcolo dei limiti sono sette:
0 3 3 0
, 1 , 0 , 30 .
+ 3 - 3, 3 $ 0, ,
0 3
Esaminiamo ora, attraverso alcuni esempi, come calcolare i limiti che si presentano in forma indeterminata.
La forma indeterminata ⫹3 - 3
ESEMPIO
1. x lim
(x "+3
x2 + 1) si presenta in forma indeterminata + 3 - 3 , perché:
lim x =+ 3 e x lim
("+3
x "+3
x2 + 1) =- 3 .
Per calcolare questo limite possiamo riscrivere la funzione data in modo
che nell’argomento del limite scompaia la differenza x - x 2 + 1 e appaia
invece la somma x + x2 + 1 . Per far ciò, moltiplichiamo e dividiamo la
funzione per x + x2 + 1 :
● Abbiamo usato il pro-
dotto notevole
(a - b)(a + b) = a 2 - b 2 ,
con a = x e b = x 2 + 1 .
Nota che x + x 2 + 1 è
sicuramente diverso da 0.
x-
x 2 + 1 = (x =
x+
x 2 + 1) $
x+
x+
x2 - (x2 + 1)
x2 + 1
=
=
2
x +1
x + x2 + 1
-1
.
x2 + 1
Quando x " + 3 , il denominatore della frazione x + x2 + 1 tende a + 3 ,
quindi, per il teorema del limite della funzione reciproca, la frazione tende
a 0, ossia:
lim (x -
x "+3
x2 + 1) = x lim
"+3
x+
-1
= 0.
x2 + 1
1484
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE FORME INDETERMINATE
TEORIA
2. x lim
(x 4 - 3x2 + 1) si presenta nella forma indeterminata + 3 - 3 .
"+3
Raccogliendo il fattore x 4, il limite diventa:
lim x 4 c1 -
x "+3
3
1
+ 4 m.
x2
x
cPoiché x lim
"+3
1
3 m
c1 - 32 + 14 m = 1.
= 0 e x lim
= 0, risulta x lim
"+3
" + 3 x4
x
x
x2
Inoltre, x lim
x 4 =+ 3 , quindi, per il teorema del limite del prodotto, tro"+3
vandoci nel caso di un limite finito (diverso da 0) e uno infinito, risulta:
lim x 4 c1 -
x "+3
3
1
+ 4 m =+ 3 .
x2
x
Il procedimento utilizzato nell’esempio 2 si generalizza come segue.
Il limite di una funzione polinomiale
In generale, per calcolare il limite di una funzione polinomiale per x " + 3 (o per
x " - 3 ),
lim (a 0 xn + a1 xn - 1 + f + an),
x "+3
(x " - 3)
● Questo procedimento è
necessario se nel limite del
polinomio compare la forma indeterminata + 3 - 3 .
Esempio:
lim (x 2 - 2x) ;
x "+3
lim (x3 + x 2) .
x "-3
procediamo così:
• raccogliamo a fattor comune x n:
lim xn ca0 +
x "+3
(x " - 3)
● n è il grado del polinomio.
a
a1
a
+ 22 + f + nn m ;
x
x
x
• poiché, per x che tende a + 3 o - 3 , il limite di
lim ca0 +
x "+3
(x " - 3)
a
a1 a 2
,
, f, nn vale 0, risulta
x x2
x
a
a1
a
+ 22 + f + nn m = a0
x
x
x
e quindi:
lim (a 0 xn + a1 xn - 1 + f + an) = xlim
a xn .
"+3 0
x "+3
(x " - 3)
(x " - 3)
Tale limite vale + 3 o - 3 . Il segno si determina applicando la regola dei segni al
prodotto a 0 x n .
ESEMPIO
lim (6x3 + 4x2 - 5) = x lim
x 3 $ c6 +
"-3
x "-3
4
5
6x3 =- 3 .
- 3 m = x lim
"-3
x
x
1485
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
La forma indeterminata 0 $ 3
ESEMPIO
Calcoliamo il seguente limite:
lim-(1 - sen x) $ tg x .
x"
r
2
Con il calcolo diretto otteniamo la forma indeterminata 0 $ 3, perché:
lim-(1 - sen x) = 0 ,
x"
r
2
lim-tg x =+ 3 .
x"
● Per x vicino a
1 + sen x ! 0 .
r
, si ha
2
r
2
sen x
Ricordiamo che tg x =
e moltiplichiamo e dividiamo la funzione data
cos x
per (1 + sen x ):
(1 - sen x) $ tg x $
● Poiché x si avvicina a
r
, abbiamo cos x ! 0 e
2
quindi possiamo semplificare per cos x.
● Analogamente calcoliamo
lim+(1 - sen x) $ tg x = 0
x"
r
2
e quindi abbiamo:
limr (1 - sen x) tg x = 0 .
x"
2
=
(1 - sen x) (1 + sen x)
1 + sen x
=
$ tg x =
1 + sen x
1 + sen x
1 - sen2 x sen x
cos 2 x
sen x
sen x $ cos x
=
=
$
$
.
1 + sen x cos x
1 + sen x cos x
1 + sen x
r, il numeratore sen x $ cos x tende a 0, mentre il denomina2
tore 1 + sen x tende a 2, quindi, per il teorema del limite del quoziente di due
0
funzioni, la frazione tende a , ossia a 0:
2
Quando x "
lim- (1 - sen x) $ tg x = lim-
r
x"
2
r
x"
2
sen x $ cos x
= 0.
1 + sen x
La forma indeterminata
3
3
Il limite di una funzione razionale fratta per x " 3
Dato il limite
lim
x "+3
(x " - 3)
● n e m sono rispettivamente il grado del numeratore e quello del denominatore. Si ha la forma inde3
terminata
se n $ 1 e
3
m $ 1.
a0 xn + a1 xn - 1 + f + an
,
b0 xm + b1 xm - 1 + f + bm
quando almeno un coefficiente delle potenze di x è diverso da 0 sia a numerato3
, perché il numere sia a denominatore, questo limite si presenta nella forma
3
ratore e il denominatore tendono a 3 quando x tende a 3.
Forniamo tre esempi di calcolo di limite con n 2 m , n = m , n 1 m .
1486
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE FORME INDETERMINATE
TEORIA
Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore
ESEMPIO
x5 - 2x2 + 1
.
3x 2 - 2x + 6
Raccogliamo a fattor comune x 5 al numeratore e x 2 al denominatore:
Calcoliamo il limite x lim
"+3
2
x $ c1 - 3 +
x
lim
x "+3
2
x 2 $ c3 - +
x
5
1 m
c1 - 23 +
x
x5 = lim x3 $
x "+3
6 m
c3 - 2 +
x2
x
tende a + 3
1 m
x5
.
6 m
x2
tende a 1
tende a 3
● Semplifichiamo x 5 con
x 2 ; possiamo supporre
x ! 0 perché x tende a + 3
(lo stesso accadrebbe se x
tendesse a - 3 ).
Si ha quindi:
x5 - 2x2 + 1
=+ 3 .
3x2 - 2x + 6
lim
x "+3
Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore
ESEMPIO
Calcoliamo il limite x lim
"+3
(x " - 3)
1 - 2x 2
.
3x + 2 x - 5
2
Raccogliamo a fattor comune x 2 sia al numeratore sia al denominatore:
1
c 12 - 2m
x $ c 2 - 2m
x
x
.
= x lim
"
+
3
2
5
x 2 $ c3 + - 2 m (x " - 3) c3 + 2 - 52 m
x
x
x
x
tende a -2
2
lim
x "+3
(x " - 3)
tamente diverso da 0, visto
che cerchiamo il limite per
x tendente a 3).
tende a 3
Per il teorema del quoziente dei limiti, la frazione tende a lim
x "+3
(x " - 3)
● Semplifichiamo x 2 (cer-
2
, pertanto:
3
1 - 2x 2
2
=- .
2
3
3x + 2x - 5
2
è il rapporto fra i coefficienti dei termini di grado mas3
simo, ossia dei termini con x 2, del numeratore e del denominatore.
Osserviamo che -
Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore
ESEMPIO
2x - 1
.
x 3 + 2x
Raccogliamo x al numeratore e x 3 al denominatore:
Calcoliamo il limite x lim
"-3
1
b2 - 1 l
x $ b2 - l
x
1
x
lim
.
= x lim
$
" - 3 x2
x "-3
2
x3 $ c1 + 2 m
c1 + 22 m
x
x
tende a 0
tende a 2
● Semplifichiamo x con x 3
( x ! 0 perché x " - 3 ).
tende a 1
Quindi:
lim
x "-3
2x - 1
= 0.
x3 + 2x
1487
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
In generale, data una funzione razionale fratta
a0 xn + a1 xn - 1 + f + an
,
b0 xm + b1 xm - 1 + f + bm
con il numeratore di grado n e il denominatore di grado m, abbiamo:
Z
] ! 3 se n 2 m
]a
n
n-1
a 0 x + a1 x
+ f + an
[ 0 se n = m
=
lim
1
m
m
x " + 3 b 0 x + b1 x
f
b
+
+
] b0
m
(x " - 3)
]
se n 1 m
\0
Il segno da attribuire a 3 nel caso n 2 m è dato dal prodotto dei segni di:
a
lim xn - m e 0 .
x "+3
b
0
(x " - 3)
f (x) =
La forma indeterminata
0
0
ESEMPIO
Calcoliamo il limite
● La tecnica utilizzata in
questo esempio si applica,
più in generale, al caso di
due polinomi f(x) e g(x), di
grado qualunque, che si
annullino entrambi per
x " x0 .
lim
x"3
x 2 - 2x - 3
,
2x 2 - 9 x + 9
che si presenta in forma indeterminata
0
, perché:
0
lim (x2 - 2x - 3) = 0 e lim (2x2 - 9x + 9) = 0 .
x"3
x"3
Poiché il valore 3 annulla sia il numeratore sia il denominatore, scomponiamo in fattori entrambi:
● Per x " 3 , possiamo
supporre x - 3 ! 0 .
x2 - 2x - 3 = (x - 3) (x + 1)
2x2 - 9x + 9 = (x - 3) (2x - 3)
(x - 3) (x + 1)
4
x2 - 2x - 3
x+1
lim 2
= lim
= lim
= .
x " 3 2x - 9x + 9
x " 3 (x - 3) (2x - 3)
x " 3 2x - 3
3
Le forme indeterminate 0 0, 3 0, 13
Le forme indeterminate 00, 30, 13 si incontrano nei calcoli di limite del tipo
lim f (x) g (x),
x"a
con f (x) 2 0 .
Ricorrendo all’identità a = e lna possiamo scrivere:
f (x) g (x) = e ln f (x)
g (x)
= e g (x) ln f (x) .
Allora se, per esempio, g (x) " 0 e f (x) " 0+ , nella funzione e g (x) ln f (x) all’esponente compare la forma indeterminata 0 $ 3.
ESEMPIO
1
Calcoliamo x lim
x ln x .
"+3
Poiché x lim
"+3
Scriviamo: x
1
= 0 , si ha la forma indeterminata 30 .
ln x
1
ln x
=e
1
ln x ln x
1
= e ln x
$ ln x
= e . Il limite vale allora e.
1488
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 3. I LIMITI NOTEVOLI
3. I LIMITI NOTEVOLI
TEORIA
IN PRATICA
䉴
Videolezione 66
Illustriamo due limiti particolari, detti notevoli perché sono fondamentali nelle
applicazioni dell’analisi.
Un primo limite notevole
Consideriamo
lim
x"0
sen x
, con x espresso in radianti.
x
Poiché lim sen x = 0 e lim x = 0 , siamo in presenza della forma indeterminax"0
x"0
0
ta . Dimostriamo che
0
lim
x"0
sen x
= 1.
x
Osserviamo che la funzione
sen x
è pari, poiché
x
● Una funzione f(x) è pari
se f (- x) = f (x) .
sen (- x)
- sen x
sen x
=
=
,
-x
-x
x
e quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y. Possiamo allora affermare che
lim
x " 0-
sen x
sen x
,
= lim+
x
x
x"0
e quindi nella dimostrazione ci limitiamo al caso lim+
x"0
Consideriamo il cerchio trigonometrico e un angolo positivo di ampiezza x.
Se x è in radianti, la sua misura coinci%
de con quella di AP, mentre la misura di
PQ è sen x e quella di TA è tg x. Essendo
%
PQ 1 AP 1 TA ,
sen x
.
x
䉳 Figura 1
y
T
P
● Poiché x " 0+ , si può
x
O
Q
A
x
supporre che x 1
r
.
2
abbiamo che
sen x 1 x 1 tg x .
Dividiamo i termini della disuguaglianza
per sen x,
11
x
1
,
1
sen x
cos x
sen x
e passiamo ai reciproci, ottenendo: cos x 1
1 1.
x
sen x
è compresa fra la funzione cos x e la funzione costante 1. PosLa funzione
x
siamo applicare il teorema del confronto: essendo lim+ cos x = 1, la funzione
x"0
sen x
è compresa fra due funzioni che per x " 0+ tendono entrambe a 1, quinx
di anch’essa tende a 1.
● Dividendo per sen x, la
disuguaglianza conserva il
suo verso perché sen x 2 0 ,
in quanto x 2 0 .
1489
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
● Se l’angolo è espresso in
gradi invece che in radianti,
si può dimostrare che:
sen x o
r
lim
.
=
x "0
xo
180 o
sen x
sen x
= lim= 1, concludiamo che:
x
x
x"0
sen x
= 1.
lim
x"0
x
Essendo lim+
x"0
o
Da questo limite notevole si deducono i seguenti limiti, che si presentano anch’essi
0
nella forma indeterminata .
0
1. lim
x"0
1 - cos x
=0
x
DIMOSTRAZIONE
Moltiplicando numeratore e denominatore di
niamo
1 - cos x
per 1 + cos x, ottex
1 - cos x 1 + cos x
1 - cos2 x
sen 2 x
=
=
$
=
x
1 + cos x
x (1 + cos x)
x (1 + cos x)
1
sen x
$ sen x $
,
1 + cos x
x
e quindi, per il teorema del prodotto dei limiti, risulta:
=
lim
x"0
2. lim
x"0
1
1 - cos x
1
sen x
= lim
$ sen x $
= 1 $ 0 $ = 0.
x"0
2
1 + cos x
x
x
1 - cos x
1
=
2
x2
DIMOSTRAZIONE
Applicando il ragionamento precedente, possiamo scrivere:
lim
x"0
sen x sen x
1 - cos x
1
1
1
= lim
$
$
= 1$1$ = .
x"0
x
x
1 + cos x
2
2
x2
Un secondo limite notevole
Consideriamo:
lim b1 +
x "!3
1 lx
.
x
1
= 0 , siamo in presenza della forma indeterminata 13 .
x
Si può dimostrare che
Poiché xlim
"!3
lim b1 +
x "!3
1 lx
= e.
x
Ricordiamo che e rappresenta il numero di Nepero, che è un numero irrazionale
di valore compreso fra 2 e 3.
Anche da questo limite notevole possiamo dedurne altri, che sono nella forma
0
indeterminata .
0
1490
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PARAGRAFO 3. I LIMITI NOTEVOLI
1. lim
x"0
TEORIA
● Più in generale, si dimostra che, se a 2 0 e a ! 1:
ln (1 + x)
=1
x
lim
DIMOSTRAZIONE
x"0
log a (1 + x)
= log a e .
x
Applicando le proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere
1
ln (1 + x)
1
= ln (1 + x) = ln (1 + x) x ,
x
x
e quindi, per il teorema di continuità della funzione composta:
lim ln (1 + x) x = ln : lim (1 + x) x D.
1
x"0
1
x"0
1
1
, allora x =
e per x " 0 abbiamo y "!3.
x
y
Effettuando la sostituzione di variabile nel limite precedente, otteniamo:
Poniamo ora y =
lim
x"0
2. lim
x"0
ln (1 + x)
1 y
1
= ln = ylim
+
d
n G = ln e = 1.
"!3
x
y
ex - 1
=1
x
● Più in generale, si dimostra che, se a 2 0 :
lim
DIMOSTRAZIONE
x"0
Poniamo y = e x - 1, allora e x = 1 + y e x = ln (1 + y). Inoltre, per x " 0 risulta y " 0 ; quindi, sostituendo la variabile x, otteniamo
y
ex - 1
1
1
lim
= lim
= lim
= = 1,
x"0
y " 0 ln (1 + y)
y " 0 ln (1 + y)
x
1
y
per il teorema del limite della funzione reciproca.
ax - 1
= ln a .
x
● Poiché e x è continua,
lim y = lim (e x - 1) =
x"0
x"0
= 1 - 1 = 0.
● I limiti notevoli si applicano anche quando al posto della variabile x compare una funzione
y = f (x) il cui limite è uguale al valore a cui tende x nel limite notevole. Per esempio:
lim
x"0
sen (3x)
= 1.
3x
Infatti, se poniamo y = 3x, per x " 0 anche y " 0 e il limite risulta nella sua forma standard:
sen y
lim
= 1.
y"0
y
3. lim
x"0
(1 + x) k - 1
=k
x
DIMOSTRAZIONE
k
Scriviamo (1 + x) k = e ln (1 + x) = e k ln (1 + x) .
Sostituiamo e moltiplichiamo numeratore e denominatore per k ln (1 + x):
e k ln (1 + x) - 1 k ln (1 + x)
lim
.
$
x"0
x
k ln (1 + x)
Applichiamo i due limiti notevoli precedenti:
e k ln (1 + x) - 1 ln (1 + x)
lim
$
$ k = 1 $ 1 $ k = k.
x " 0 k ln (1 + x)
x
1491
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TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI
E IL LORO CONFRONTO
Gli infinitesimi
DEFINIZIONE
Infinitesimo per x " a
Si dice che una funzione f (x ) è un infinitesimo per x " a quando il limite
di f (x) per x " a è uguale a 0.
● a può essere finito o
+ 3 o - 3.
y=x−1
y
ESEMPIO
1
1. La funzione f (x) = x - 1 è un infinitesimo per x " 1 perché lim (x - 1) = 0 .
x
O
x"1
1
è un infix+2
nitesimo per x " + 3 , perché
2. La funzione f (x) =
−1
䉱 Figura 2 La funzione
y = x - 1 è un infinitesimo
per x che tende a 1. Nel
punto di ascissa 1 la funzione
interseca l’asse delle x .
y
1
y = ——
x+2
1
—
2
1
= 0,
lim
x "+3 x + 2
e per x " - 3 , perché
lim
x "-3
1
= 0.
x+2
−2
O
f tende
a0
x
f tende
a0
䉴 Figura 3 La funzione
1
è un infinitesimo
x+2
per x " + 3 e per x " - 3 .
y=
● Se f e g sono infinitesimi
per x " a, allora xlim
"a
si presenta nella forma
0
indeterminata .
0
f (x)
g (x)
1
1 1 1
1
,
,
,f e
, 3 , f sono tutte infinitesimi per x " + 3 e
x x 2 x3
x
x
per x " - 3 (da quest’ultimo caso sono esclusi i reciproci delle radici di indice pari).
● Funzioni del tipo
Se f (x) e g (x) sono entrambi degli infinitesimi per x " a, si dice che f (x) e g (x)
sono infinitesimi simultanei.
In questo caso è interessante vedere quale dei due infinitesimi tende a 0 «più rapidamente»; possiamo stabilire ciò determinando il limite (se esiste) del loro rapporto per x " a.
Siano dunque f (x) e g (x) due infinitesimi simultanei per x " a e supponiamo
che esista un intorno I di a tale che g (x) ! 0 per ogni x ! I, con x ! a.
f (x)
• Se xlim
= l ! 0 (l finito), si dice che f (x) e g (x) sono infinitesimi dello
" a g (x )
stesso ordine (essenzialmente questo vuol dire che tendono a 0 con la stessa
rapidità).
f (x)
= 0 , si dice che f (x) è un infinitesimo di ordine superiore a g (x)
• Se xlim
" a g (x )
(cioè f tende a 0 più rapidamente di g).
f (x)
= !3 , si dice che f (x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g (x)
• Se xlim
" a g (x )
(cioè f tende a 0 meno rapidamente di g).
f (x)
, si dice che gli infinitesimi f (x) e g (x) non sono con• Se non esiste il xlim
" a g (x )
frontabili.
1492
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PARAGRAFO 4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
TEORIA
ESEMPIO
1. Gli infinitesimi f (x) = ln (1 + x) e g (x) = x , per x " 0 , sono dello stesso
ln (1 + x)
= 1 ! 0.
ordine perché lim
x"0
x
2. f (x) = (x - 3) 2 è un infinitesimo di ordine superiore a g (x) = x - 3 , per
x " 3 , perché:
(x - 3) 2
lim
= lim (x - 3) = 0 .
x"3
x"3
x-3
3. f (x) = e x - 1 è un infinitesimo di ordine inferiore a g (x) = x3 , per x " 0 ,
perché:
ex - 1
ex - 1
1
lim
=
$ lim 2 = 1 $ (+ 3) =+ 3 .
x"0
x"0
x"0 x
x
x3
1
e g (x) = x , per x " 0 , non sono confron4. Gli infinitesimi f (x) = x sen
x
tabili, perché
1
x sen
x = lim sen 1 = lim sen y
lim
y"3
x"0
x"0
x
x
non esiste.
lim
DEFINIZIONE
Ordine di un infinitesimo
Dati due infinitesimi f (x) e g (x), per x " ␣, si dice che f (x ) è un infinitesimo di ordine c ( c 2 0 ) rispetto a g (x ), quando f (x ) è dello stesso ordine
di [g (x )] c, cioè se:
f (x)
= l ! 0.
lim
x " a [ g (x)] c
● Puoi dimostrare che
1
è un infinitesimo
x
per x " 0 con il teorema
del confronto.
● Abbiamo eseguito il
cambiamento di variabile
1
y= .
x
x sen
Diciamo inoltre che g (x ) è preso come infinitesimo campione. In generale, come
infinitesimo campione, si prende:
g (x) = x - x0,
se x " x0;
1
g (x ) = ,
x
se x "!3.
ESEMPIO
x-4
L’infinitesimo f (x) = 5
, per x " + 3 , è di ordine 4 drispetto al campiox +1
1
ne n, infatti:
x
x-4
5
x
+ 1 = lim x5 - 4x 4 = 1 ! 0 .
lim
x "+3
x " + 3 x5 + 1
1
x4
DEFINIZIONE
Infinitesimi equivalenti
Dati due infinitesimi f (x ) e g(x ), per x " a, essi si dicono equivalenti se:
f (x )
= 1,
lim
x " a g (x )
e si scrive f + g .
● Quando non è specificato, l’ordine di infinitesimo è riferito a questi campioni standard.
● Due infinitesimi equivalenti si dicono anche asintoticamente uguali e il
simbolo + è detto di uguaglianza asintotica.
Per la definizione, due infinitesimi equivalenti hanno
lo stesso ordine.
1493
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Inoltre uno dei due si dice parte principale dell’altro.
Esempi di infinitesimi equivalenti, per x " 0 , sono:
sen x + x,
● Infatti:
lim
sen x
= 1,
x
lim
ln (1 + x)
= 1,
x
lim
e -1
= 1.
x
x"0
x"0
x"0
ln (1 + x) + x,
ex - 1 + x ,
che abbiamo visto come limiti notevoli.
TEOREMA
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Se esiste il limite del rapporto di due infinitesimi simultanei f (x ) e g (x ),
allora esso resta invariato se si sostituisce ciascun infinitesimo con la sua
parte principale (cioè con un infinitesimo a esso equivalente):
x
f + f1, g + g1
&
lim
x"a
f (x)
f1 (x)
.
= xlim
" a g1 (x)
g (x )
DIMOSTRAZIONE
● Possiamo scrivere:
f1 (x)
f1 (x) g (x) f (x)
=
$
$
.
g1 (x)
f (x) g1 (x) g (x)
lim
x"a
g (x )
f1 (x)
f1 (x)
f (x)
.
= xlim
$ lim
$ lim
" a f (x) x " a g1 (x) x " a g (x)
g1 (x)
Per la definizione di infinitesimi equivalenti:
lim
x"a
f1 (x)
f (x )
f (x )
.
= 1 $ 1 $ xlim
= xlim
" a g (x)
" a g (x )
g1 (x)
ESEMPIO
Calcoliamo lim
x"0
ln (1 + 5x)
.
sen 2x
Poiché ln (1 + 5x) + 5x e sen 2x + 2x , abbiamo:
lim
x"0
ln (1 + 5x)
5x
5
= lim
= .
x " 0 2x
2
sen 2x
Gli infiniti
DEFINIZIONE
Infinito per x " a
Una funzione f (x) si dice un infinito per x " a quando il limite di f (x) per
x " a vale + 3 , - 3 o 3.
● a può essere finito o
+ 3 o - 3.
y
1
y = ––––
x–1
f tende
a +⬁
ESEMPIO
La funzione f (x) =
1
1
è un infinito per x " 1 perché lim
= 3.
x"1 x - 1
x-1
O
x
1
–1
f tende
a –⬁
䉱 Figura 4 La funzione
1
è un infinito
x-1
+
per x " 1 e per x " 1- .
y=
● Le funzioni del tipo x, x 2, x 3, … e anche
3
x , x , … sono infiniti per x " + 3 e per x " - 3
(da quest’ultimo caso sono escluse le radici di indice pari).
Per gli infiniti possiamo introdurre dei concetti analoghi a quelli visti per gli infinitesimi.
Se f (x) e g (x) sono entrambi infiniti per x " a, si dice che f (x) e g (x) sono infiniti simultanei.
1494
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
TEORIA
Siano f (x) e g (x) due infiniti simultanei per x " a.
f (x)
= l ! 0 (l finito), si dice che f (x) e g (x) sono infiniti dello stesg (x )
so ordine (essenzialmente questo vuol dire che tendono a 3 con la stessa rapidità).
• Se xlim
"a
f (x )
= 0 , si dice che f (x) è un infinito di ordine inferiore a g (x) (cioè
g (x )
f tende a 3 meno rapidamente di g).
• Se xlim
"a
f (x )
= !3 , si dice che f (x) è un infinito di ordine superiore a g (x)
g (x )
(cioè f tende a 3 più rapidamente di g).
• Se xlim
"a
● In questo caso sicuramente g (x) ! 0 in un
intorno di a perché tende a
! 3.
● Se f e g sono infiniti per
f (x)
g (x)
si presenta nella forma
3
indeterminata
.
3
x " a, allora xlim
"a
f (x )
, si dice che gli infiniti f (x) e g (x) non sono confron• Se non esiste il xlim
" a g (x)
tabili.
ESEMPIO
1. Gli infiniti f (x) = x5 e g (x) = 3x5 + 2 , per x " + 3 , sono dello stesso
ordine perché
lim
x "+3
x5
1
= ! 0.
3
3x + 2
5
2. f (x) = (x - 1) 2 è un infinito di ordine superiore a g (x) = x + 1, per
x " + 3 , perché
lim
x "+3
3. f (x) =
(x - 1) 2
x2 - 2x + 1
=+ 3 .
= x lim
"+3
x+1
x+1
1
1
è un infinito di ordine inferiore a g (x) = 4 , per x " 0 , perché
x
x
1
lim x = lim x3 = 0 .
x"0 1
x"0
x4
4. Gli infiniti f (x) = x3 (cos x + 2) e g (x) = x3 , per x " + 3 , non sono confrontabili perché
lim
x "+3
x3 (cos x + 2)
= x lim
(cos x + 2)
"+3
x3
● Puoi dimostrare che
x3 (cos x + 2) è un infinito
per x " + 3 mediante il
teorema del confronto.
non esiste.
DEFINIZIONE
Ordine di un infinito
Dati due infiniti f (x) e g (x), per x " a, si dice che f (x) è un infinito di ordine c ( c 2 0 ) rispetto a g (x), quando f (x) è dello stesso ordine di [g (x)] c,
cioè se:
f (x)
= l ! 0.
lim
x " a [g (x)] c
1495
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Diciamo inoltre che g (x) è preso come infinito campione. In generale, si considera come infinito campione:
● Quando non è specifi-
cato, l’ordine di infinito è
riferito a questi campioni
standard.
1
,
x - x0
g (x) = x,
g (x) =
se x " x 0;
se x "!3.
ESEMPIO
x+2
L’infinito f (x) = 3
, per x " 0 , è di ordine 2 drispetto al campio2x - 5 x 2
1
ne n, infatti:
x
x+2
3
2
2
x3 + 2x 2
=- ! 0 .
lim 2x - 5x = lim 3
x"0
x " 0 2x - 5x 2
5
1
x2
DEFINIZIONE
● Due infiniti equivalenti
si dicono anche asintoticamente uguali. Per la definizione, due infiniti equivalenti hanno lo stesso ordine.
Infiniti equivalenti
Dati due infiniti f (x) e g (x), per x " a, essi si dicono equivalenti se:
f (x )
lim
= 1,
x " a g (x )
e si scrive f + g .
Inoltre, uno dei due si dice parte principale dell’altro.
ESEMPIO
La funzione f (x) = 3x 6 + 4x3 + 2x - 1 è un infinito, per x " + 3 , equivalente a g (x) = 3x6 , allora 3x6 è la parte principale di f(x).
TEOREMA
● Si dimostra come il principio di sostituzione degli
infinitesimi.
Principio di sostituzione degli infiniti
Se esiste il limite del rapporto di due infiniti simultanei f (x ) e g (x ), allora
esso resta invariato se si sostituisce ciascun infinito con la sua parte principale (cioè con un infinito a esso equivalente):
f + f1, g + g1
&
lim
x"a
f (x)
f1 (x)
.
= xlim
" a g1 (x)
g (x )
Gerarchia degli infiniti
Se si deve calcolare il limite del rapporto di due infiniti, spesso non è facile valutare
l’ordine di infinito delle due funzioni. Per esempio, anche con l’aiuto di limiti noex
tevoli, non possiamo calcolare x lim
.
" + 3 x2
Il seguente teorema dice che, per x " + 3 , le funzioni logaritmiche (con base
a 2 1) tendono a infinito meno rapidamente delle potenze, le quali a loro volta tendono a infinito meno rapidamente delle funzioni esponenziali (con base
b 2 1).
1496
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 5. LE FUNZIONI CONTINUE
TEORIA
TEOREMA
Gerarchia degli infiniti
Date le tre famiglie di funzioni
(loga x) a,
xb,
b x,
con a, b 2 0 e a, b 2 1,
allora, per x " + 3 , ognuna è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella che si trova a destra nell’elenco, cioè:
(loga x) a
xb
lim
0,
lim
=
= 0.
b
x "+3
x "+3 bx
x
Sinteticamente, possiamo scrivere, riferendoci agli ordini di infinito:
(loga x) a 1 xb 1 b x .
y
10 x
ex x3
䉳 Figura 5 Graficamente
x2
vediamo che ln x, (ln x)2, …
tendono a + 3 più lentamente di x, x2, x3, …, che a
loro volta tendono a + 3 più
lentamente di ex, 10x, …
x
(ln x)2
ln x
x
Come casi particolari si hanno i seguenti limiti:
lim
x "+3
ln x
= 0,
xb
lim
x "+3
ex
=+ 3 .
xb
ESEMPIO
lim
x "+3
(ln x) 3
= 0,
x2
lim
x "+3
x
= 0.
2x
● Mediante la gerarchia
degli infiniti, il calcolo di
limiti di questo tipo diventa
rapido.
5. LE FUNZIONI CONTINUE
Approfondiamo ora il concetto di funzione continua.
Ricordiamo la definizione: una funzione f(x), definita in un intorno di un punto x0,
si dice continua in x0 se:
lim f (x) = f (x0).
x " x0
Una funzione f (x) è quindi continua in x 0 se:
• è definita in x 0 , cioè esiste f (x 0);
• esiste finito xlim
f (x);
" x0
• il valore del limite è uguale a f (x0).
● Se esiste finito xlim
f (x) ,
"x
0
significa che lim- f (x) =
x " x0
= lim+ f (x) = l .
x " x0
1497
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TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Consideriamo le funzioni i cui grafici sono illustrati in figura 6.
䉴 Figura 6
y
y
2
2
O
1
3
x
a. La funzione f(x) = –x2 + 3x è definita
in ⺢ e lim f(x) = 2 = f(1).
x→1
O
1
3
x
{
2
b. La funzione f(x) = –x + 3x se x ≠ 1
0
se x = 1
ha limite lim f(x) = 2 ≠ f(1).
x→1
Esse hanno lo stesso limite per x che tende a 1; nel caso a tale limite coincide con
il valore f (1) della funzione nel punto 1, mentre nel caso b questo non accade.
Nel primo caso la funzione è continua in x = 1, mentre nel secondo la funzione è
discontinua in x = 1.
Abbiamo già visto che, se una funzione è continua in un punto, il calcolo del limite
in quel punto risulta semplice, perché basta calcolare il valore della funzione in
quel punto. Per esempio, sapendo che la funzione f (x) = 2x è continua nel punto
7, risulta lim
2x = 2 $ 7 = 14 .
x"7
La definizione di funzione continua in x0 può essere anche espressa in modo equivalente:
lim f (x0 + h) = f (x0).
h"0
f (x) = f (x 0).
Infatti, posto x0 + h = x , se h " 0 si ha che x " x0 , dunque xlim
"x
y
0
Se consideriamo solo il limite destro o sinistro di una funzione f (x), possiamo
dare le seguenti definizioni:
O
a
x0
b x
a. La funzione è continua a
destra in x0.
y
lim f (x) = f (x 0);
x " x+
0
• f (x) è continua a sinistra in x 0 se f (x0) coincide con il limite sinistro di f (x)
per x che tende a x 0 :
a
O
• f (x) è continua a destra in x 0 se f (x0) coincide con il limite destro di f (x) per
x che tende a x 0 :
x0
b x
b. La funzione è continua a
sinistra in x0.
● Intuitivamente, dire che
una funzione è continua in
un intervallo è come dire
che nel disegnare il suo
grafico non stacchiamo mai
la penna dal foglio.
lim f (x) = f (x 0).
x " x0
È possibile allora parlare di continuità anche per punti che sono estremi dell’intervallo [a; b] in cui la funzione è definita; nel punto a si parla di continuità a destra,
mentre nel punto b si parla di continuità a sinistra.
DEFINIZIONE
Funzione continua in un intervallo
Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è
continua in ogni punto dell’intervallo.
1498
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PARAGRAFO 5. LE FUNZIONI CONTINUE
TEORIA
I teoremi sulle funzioni continue
Enunciamo, senza dimostrare, alcuni teoremi che esprimono proprietà importanti delle funzioni continue e ne illustriamo graficamente le conseguenze.
TEOREMA
Teorema di Weierstrass
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo
assoluto.
● Data la funzione
y
y = f (x) definita nell’intervallo I, chiamiamo:
• massimo assoluto di f (x) ,
se esiste, il massimo M dei
valori assunti dalla funzione in I;
• minimo assoluto di f (x) ,
se esiste, il minimo m dei
valori assunti dalla funzione in I.
M
m
O a
b x
Se alcune ipotesi del teorema non sono verificate, il risultato non è più vero come
mostrano i seguenti controesempi.
y
y
y
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
O
2
5
x
O
1
2
3
O
x
a. La funzione è continua nell’intervallo b. La funzione non è continua nel punto
limitato aperto ]2; 5[. Essa è priva di
x = 2. Nell’intervallo [1; 3] essa assume
massimo e minimo in questo intervallo, minimo, ma è priva di massimo.
in quanto gli estremi non appartengono
all’intervallo.
x
1
c. La funzione è continua nell’intervallo
illimitato [1; +⬁[. Non vale il teorema
di Weierstrass e la funzione è priva
di minimo assoluto.
䉱 Figura 7
TEOREMA
Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, almeno una
volta, tutti i valori compresi tra il
massimo e il minimo.
y
f(d) = M
y = f(x)
v
f(c) = m
O a
c
x
d b
x
f continua in [a; b] ⇒
∀v⎪m≤v≤M
∃ x ∈ [a; b] ⎪ f(x) = v
1499
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TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
TEOREMA
● Ciò che afferma il
teorema equivale a dire che,
nelle ipotesi indicate, l’equazione f(x) = 0 ha almeno
una soluzione in ]a; b[.
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b] e
negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora
esiste almeno un punto c, interno
all’intervallo, in cui f si annulla.
y
f(b)
y = f(x)
O
b x
a c
f(a)
f continua in [a; b]
f(a) < 0, f(b) > 0 ⇒
∃ c ∈ ]a; b[ ⎪ f(c) = 0
ESEMPIO
1
Consideriamo la funzione f (x) = x + log 2 x nell’intervallo ; ; 1E.
2
1
Poiché il dominio di f(x) è D: x 2 0 , la funzione è continua in ; ; 1E.
2
Inoltre si ha:
fb
1
1
1
1l 1
= + log2 = - 1 =- 1 0 e f (1) = 1 + log2 1 = 1 2 0 .
2
2
2
2
2
Sono verificate le ipotesi del teorema degli zeri, quindi è possibile affermare che l’equazione f (x) = 0 , e cioè x + log2 x = 0 , ha almeno una soluzione
1
nell’intervallo E ; 1; .
2
䉴 Figura 8 Alcuni contro-
esempi.
y
y
y = f(x)
f(3)
− 4 −1
O
1
y = f(x)
5
x
a. La funzione è continua nell’intervallo
]1; 5], f(1) < 0 e f(5) > 0, ma non esiste
alcun punto dell’intervallo in cui essa
si annulla.
O
3
x
f(− 4)
b. La funzione non è continua in x = –1;
f(– 4) < 0 e f(3) > 0. Non esiste alcun
punto dell’intervallo [– 4; 3]
in cui essa si annulla.
6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ
DI UNA FUNZIONE
● Un punto di discontinuità viene anche chiamato
punto singolare.
Un punto x 0 di un intervallo [a; b] si dice punto di discontinuità per una funzione f(x) se la funzione non è continua in x 0 .
I punti di discontinuità di prima specie
Consideriamo la seguente funzione definita per casi:
1500
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PARAGRAFO 6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
- 3x
f (x) = )
x-1
se x 1 2
se x $ 2
y
Se calcoliamo il limite per x che tende a 2
da destra, dobbiamo considerare la funzione y = x - 1; per x che tende a 2 da
sinistra, dobbiamo considerare la funzione
y =- 3x :
lim (x - 1) = 1 e lim- (- 3x) =- 6 .
x " 2+
y=
A
1
− 3x x < 2
x−1 x≥2
x
2
−1
salto
● È possibile classificare i
punti di discontinuità di una
funzione in tre categorie: di
prima specie, di seconda
specie e di terza specie. Il criterio usato per tale classificazione si basa sullo studio di
lim f (x) .
x"x
0
−6
B
x"2
䉳 Figura 9
Il punto 2 è un punto di discontinuità di prima specie. La distanza fra i punti A e B
in figura 9 viene chiamata salto della funzione nel punto 2 e vale: 1 - (- 6) = 7 .
DEFINIZIONE
Punto di discontinuità
di prima specie
Un punto x 0 si dice punto di
discontinuità di prima specie per la
funzione f (x) quando, per x " x 0 ,
il limite destro e il limite sinistro di
f (x) sono entrambi finiti ma diversi fra loro.
y
ᐍ2
salto
ᐍ1
O
x
x0
lim f (x) = l1 ! lim+ f (x) = l2 .
x " x0
x " x0
La differenza l 2 - l1 si dice salto
della funzione.
I punti di discontinuità di seconda specie
Consideriamo gli esempi in figura 10.
y
y
1
x
y = ––––
x–1
1
y = sen ––
x
1
O
1
x non è definita
a. La funzione y = –––
x –1
nel punto x0 = 1 e lim–f(x) = – ⬁,
x→1
mentre lim+f(x) = + ⬁.
x→1
x
x
–1
1
b. La funzione y = sen ––
x non è definita
in x0 = 0 e per x → 0 non ammette né
limite destro né limite sinistro: infatti
1 tende all’infinito e sen t continua
t = ––
x
a oscillare tra –1 e 1.
TEORIA
䉳 Figura 10
In entrambi i casi il punto x 0 è un punto di discontinuità di seconda specie.
1501
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TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
DEFINIZIONE
Punto di discontinuità di seconda specie
Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f (x) quando per x " x0 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di
f (x) è infinito oppure non esiste.
y
y
O x0
x
y
x
O x0
x
O x0
I punti di discontinuità di terza specie
(o eliminabile)
䉴 Figura 11 La funzione
Consideriamo la funzione:
y
2
1-x
coincide con
x-1
la funzione y = - 1 - x
nell’insieme R - ! 1+ .
y=
f (x) =
2
1-x
.
x-1
Il dominio è R - {1} .
La funzione è discontinua in x0 = 1 perché
f (1) non esiste.
Calcoliamo il limite per x " 1:
1
O
–2
x
– x2
y = 1–––––
x–1
(1 - x)(1 + x)
1 - x2
= lim
=
x"1 x - 1
x"1
- (1 - x)
= lim - (1 + x) =- 2.
lim
x"1
Per la definizione di limite, possiamo dire che, scelto un intorno completo di
x0 = 1 sempre più ristretto, la funzione assume valori sempre più vicini a - 2 ,
e quindi possiamo dire che f (x) è quasi continua, perché rimane escluso il solo
punto x 0 = 1, come si può osservare nel grafico.
Il punto 1 si chiama punto di discontinuità di terza specie per la funzione
y=
1 - x2
.
x-1
Il punto 1 viene anche detto punto di discontinuità eliminabile, perché la funzione può essere modificata nel punto 1 in modo da renderla continua, rimanendo
invariata nel suo dominio naturale:
● Per semplicità, indi-
chiamo anche la funzione
modificata con la scrittura
f (x).
1 - x2
f (x) = * x - 1
-2
se x ! 1
se x = 1
Tale funzione è continua in x = 1, infatti lim f (x) =- 2 = f (1).
x"1
1502
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PARAGRAFO 7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
TEORIA
DEFINIZIONE
Punto di discontinuità di terza specie (o eliminabile)
Un punto x 0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione
f (x) quando:
1. esiste ed è finito il limite di f (x) per x " x0 , ossia xlim
f (x ) = l ;
"x
0
2. f non è definita in x 0 , oppure, se lo è, risulta f (x 0) ! l .
y
y
f(x0)
艎
艎
O
x
x0
O
x
x0
b. f è definita in x0 , ma f(x0) ≠ 艎.
a. f non è definita in x0.
7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
Sappiamo che un asintoto di una funzione f (x) è una retta la cui distanza dal
grafico di f (x) tende a 0 man mano che un generico punto P sul grafico si allontana all’infinito.
y
y
y
P
P
P
O
a. Asintoto verticale.
x
O
b. Asintoto orizzontale.
x
x
O
c. Asintoto obliquo.
䉱 Figura 12
La ricerca degli asintoti orizzontali e verticali
Nel capitolo precedente abbiamo dato le definizioni relative agli asintoti orizzontali e verticali. Ora riprendiamo l’argomento per indicare come si effettua la
loro ricerca.
Per vedere se una funzione f(x) possiede degli asintoti occorre esaminare il suo
dominio D. Se D è illimitato, gli asintoti orizzontali si determinano calcolando
lim f (x). Gli asintoti verticali invece si cercano calcolando xlim
f (x), dove x0 è un
" x0
x"3
punto escluso dal dominio, ovvero un punto in cui la funzione è discontinua.
1503
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
ESPLORAZIONE
Un limite da disastro
L’oscillatore armonico semplice
I fenomeni di vibrazione, come una scossa di terremoto, vengono studiati ricorrendo a modelli basati
sull’oscillatore armonico semplice, che è costituito
da una massa m attaccak
ta a una molla. Se la molm
la viene deformata e successivamente rilasciata,
la massa, sottoposta all’azione di una forza di richiamo
elastica F =- kx , compie un moto oscillatorio orizzontale detto armonico semplice. L’equazione che lo
descrive è del tipo x (t) = A cos ~0 t , dove x è lo spostamento rispetto alla posizione di riposo e A l’ampiezza,
ossia il massimo spostamento nell’oscillazione.
k
~0 =
= 2rf è una costante detta pulsazione
m
ed è caratteristica dell’oscillatore; f è la frequenza,
cioè il numero di oscillazioni nell’unità di tempo.
tende ad amplificare le
A
oscillazioni. L’ampiezza
delle oscillazioni varia al
variare di ~ e, come si
vede nel grafico, diventa
particolarmente grande
quando F ha una pulsazione vicina a quella
O
propria dell’oscillatore,
ovvero quando ~ - ~0 . Se la forza dissipativa è trascurabile, abbiamo che ~lim
A (~) =+ 3 . Il fenome" ~0
no è detto risonanza e la pulsazione propria ~0 è
detta anche pulsazione di risonanza del sistema.
Le strutture architettoniche possono essere considerate degli oscillatori: hanno una frequenza propria
determinata dalla loro rigidità, dalla massa e dalle
caratteristiche della loro costruzione. Una forza eccitatrice che agisce su questi oscillatori può essere generata, per esempio, dal vento o da un terremoto.
Oscillatore smorzato e forzato
Nel caso in cui
la massa m,
oltre che alla
forza elastica
t
di richiamo, O
sia sottoposta
x(t)
anche a una
forza dissipativa (come la forza di attrito), il moto è
smorzato. L’ampiezza delle oscillazioni diventa progressivamente più piccola con il passare del tempo,
mentre la pulsazione ~0 resta costante.
Supponiamo ora che su m agiscano una forza elastica
di richiamo, una forza dissipativa e una forza eccitatrice, la cui intensità varia nel tempo secondo la legge
F (t) = F0 sen ~t . Una forza di questo tipo compensa
le perdite di energia dovute alla forza dissipativa e
䉳 Gli angoli delle
Petronas Towers a
Kuala Lumpur sono
smussati. Nei grattacieli è necessario
adottare forme
aerodinamiche per
evitare l’impatto
con il vento, che
potrebbe provocare un fenomeno
di risonanza.
S la
l frequenza
f
ill i
d l suolo durante un
Se
di oscillazione
del
terremoto è vicina alla frequenza propria della costruzione, le vibrazioni risonanti della costruzione
possono amplificarsi raggiungendo ampiezze tali da
danneggiarla o addirittura distruggerla.
Attività
Risonanza distruttiva
● Cerca in Internet filmati ed esempi riguardanti la risonanza distruttiva.
Cerca nel Web:
Tacoma Bridge, risonanza, ponti, soldati
1504
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
TEORIA
ESEMPIO
4x 2 + 3
, cerchiamo le equazioni dei suoi asintoti orizx2 - 1
zontali e verticali. Il dominio della funzione è D = R - {! 1} .
Asintoti orizzontali:
4x 2 + 3
= 4.
lim
x " 3 x2 - 1
La retta di equazione y = 4 è asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
Asintoti verticali:
4x 2 + 3
4x 2 + 3
= 3.
= lim
lim
2
x "+1 x - 1
x " - 1 x2 - 1
Le rette di equazioni x = 1 e x =- 1 sono gli asintoti verticali.
Data la funzione y =
Gli asintoti obliqui
DEFINIZIONE
Asintoto obliquo
Data la funzione y = f (x), se si verifica che
lim 6 f (x) - (mx + q)@ = 0 ,
x"3
si dice che la retta di equazione y = mx + q è asintoto obliquo per il grafico
della funzione.
Analoga definizione si ha se si sostituiscono + 3 o - 3 a 3.
Dimostriamo che la distanza di un generico punto del grafico di una funzione da
un suo asintoto obliquo, di equazione y = mx + q , tende a 0 quando x tende a 3
(figura a lato).
Infatti, per la definizione di asintoto,
lim PQ = xlim
f (x) - (mx + q) = 0 ,
x"3
"3
● Un asintoto orizzontale
di equazione y = c si ha
quando:
lim f (x) = c.
x"3
● Un asintoto verticale di
equazione x = x0 si ha
quando:
lim f (x) = 3 .
x"x
0
● Da
lim 6 f (x) - (mx + q)@ = 0
x"3
ricaviamo
lim f (x) = xlim
(mx + q) ,
x"3
"3
da cui:
lim f (x) = 3,
x"3
condizione necessaria (ma
non sufficiente) per l’esistenza dell’asintoto obliquo.
● Per x " + 3 parliamo di
asintoto obliquo destro, per
x " - 3 di asintoto obliquo
sinistro.
y
ma, poiché PQ e HP sono rispettivamente l’ipotenusa e un cateto del triangolo
rettangolo QHP, si ha:
y = mx + q
H
y = f(x)
P
PQ 2 PH 2 0 .
Per il teorema del confronto:
Q
O
x
lim PH = 0 .
x"3
Considerazioni analoghe valgono per x " + 3 o x " - 3 .
La ricerca degli asintoti obliqui
TEOREMA
Se il grafico della funzione y = f (x) ha un asintoto obliquo di equazione
y = mx + q , con m ! 0 , allora m e q sono dati dai seguenti limiti:
f (x)
;
m = xlim
"3
x
q = xlim
6 f (x) - mx @.
"3
● Una funzione può avere
un asintoto obliquo solo se
lim f (x) = 3 ,
x"3
o uno dei limiti analoghi
con + 3 o - 3 .
1505
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
DIMOSTRAZIONE
● Il teorema è valido anche
se al posto di 3 mettiamo
+ 3 o - 3.
Se esiste un asintoto obliquo, è vero che
lim 6 f (x) - (mx + q)@ = 0 ,
x"3
e quindi, dividendo per x ! 0 ,
● Un asintoto obliquo si
può avere sia per x " + 3
sia per x " - 3 , oppure in
uno solo dei due casi. Per
esempio, la funzione rappresentata qui sotto ha due
asintoti obliqui diversi per
x " + 3 e per x " - 3 .
f (x) - (mx + q)
f (x)
q
;
= 0 " xlim
- m - E = 0,
"3
x
x
x
q
= 0 , deve essere:
e, poiché xlim
m = m e xlim
"3
"3 x
lim
x"3
m = xlim
"3
f (x )
.
x
Se m è diverso da 0, per calcolare q consideriamo nuovamente:
y
lim 6 f (x) - (mx + q)@ = 0 " xlim
7^ f (x) - mxh - q A = 0 "
"3
x"3
x
O
" xlim
6 f (x) - mx @.
6 f (x) - mx @ - q = 0 " q = xlim
"3
"3
Viceversa, si può dimostrare che, se xlim
f (x) = 3 ed esistono finiti i limiti
"3
f (x)
e q = xlim
m = xlim
6 f (x) - mx @, con m ! 0 , allora il grafico della funzio"3
"3
x
ne y = f (x) presenta un asintoto obliquo di equazione y = mx + q.
ESEMPIO
Determiniamo, se esiste, l’asintoto obliquo della funzione:
3x 2 - 2x + 1
y=
.
x-1
Essendo xlim
f (x)=3 , la curva può avere un asintoto obliquo. Calcoliamo m:
"3
f (x )
3x 2 - 2x + 1
m = xlim
lim
=
= 3.
"3
x"3
x
x2 - x
Calcoliamo q , sostituendo nella formula il valore 3 al posto di m:
y
y = 3x + 1
c
q = xlim
6 f (x) - mx @ = xlim
"3
"3
1
1
x
3x2 − 2x + 1
y = —————
x−1
= xlim
"3
3x 2 - 2x + 1
- 3x m =
x-1
3x 2 - 2x + 1 - 3x 2 + 3x
x+1
= 1.
= xlim
"3 x - 1
x-1
I calcoli svolti sono validi sia per x " + 3 sia per x " - 3 ; quindi, in entrambi i casi, il grafico della funzione ha un asintoto obliquo di equazione:
y = 3x + 1.
● Ricorda che
A (x) B (x)
, e quindi
R (x) Q (x)
A (x) = B (x) $ Q (x) + R (x) ,
da cui:
R (x)
A (x)
.
= Q (x) +
B (x)
B (x)
Un caso particolare
Sia f (x) una funzione razionale fratta
A (x)
f (x ) =
B (x )
tale che A (x) sia un polinomio di grado n e B (x) un polinomio di grado n - 1.
Allora, effettuando la divisione tra i due polinomi, possiamo scrivere:
R (x)
f (x) = Q (x) +
,
B (x)
1506
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 8. IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
dove Q (x) è il quoziente, che è un polinomio di primo grado, e R (x) è il resto, che
è un polinomio di grado inferiore a B (x). Quindi:
R (x)
Q (x) = mx + q e xlim
= 0.
" 3 B (x)
f (x)
R ( x)
, si ha che xlim
f (x) = 3 , xlim
=m e
Essendo f (x) = mx + q +
"3
"3
x
B (x )
lim [ f (x) - mx] = q .
x"3
䉳 Figura 13 Per x " 3, la differenza
y
y = f(x)
R(x)
––––
B(x)
f(x)
O
R (x)
tende a 0 e quindi il grafico di
B (x)
f (x) si avvicina sempre più alla retta y = Q (x) .
f (x) - Q (x) =
{
y = Q(x)
Q(x)
x
x
Allora, la retta di equazione y = mx + q, determinata dal quoziente tra A (x) e
B (x), è un asintoto obliquo per il grafico di f (x).
ESEMPIO
Consideriamo la funzione razionale fratta:
2x 4 - 2x + 1
.
x3 - 1
Osserviamo che il grado del numeratore supera di una unità quello del denominatore, quindi la funzione ammette un asintoto obliquo, che troviamo eseguendo la divisione tra A (x) = 2x 4 - 2x + 1 e B (x) = x3 - 1.
Otteniamo come quoziente Q (x) = 2x e come resto R (x) = 1, quindi possiamo scrivere
1
f (x) = 2x + 3
x -1
f (x ) =
e la retta di equazione y = 2x è un asintoto obliquo per f (x).
8. IL GRAFICO PROBABILE
DI UNA FUNZIONE
Data una funzione y = f (x), poiché siamo in grado di determinare molte sue
caratteristiche, possiamo tracciare il suo grafico anche se solo in modo approssimato. Lo chiameremo grafico probabile.
Per rappresentare il grafico probabile di una funzione occorre:
1. determinare il dominio;
2. studiare eventuali simmetrie;
3. determinare le intersezioni con gli assi cartesiani;
4. studiare il segno;
5. calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di discontinuità;
6. determinare gli asintoti.
Negli esercizi viene proposto di tracciare il grafico probabile di diverse funzioni.
1507
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
TEORIA
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
UN’ONDA ANOMALA
Come si stabilisce la potenza di un sisma?
Il quesito completo a pag. 1475
Il terremoto che sollevò la terribile
onda anomala nel Pacifico il 26
dicembre del 2004 è stato uno dei più
forti degli ultimi 40 anni. I sismografi
registrarono una magnitudo 9 della
scala Richter.
La scala Richter misura la magnitudo,
cioè l’energia liberata dal terremoto
all’epicentro. È una scala logaritmica
e, anziché basarsi, come la scala Mercalli, sulle conseguenze empiriche
provocate dal sisma, mette in relazione la grandezza di un terremoto
con un valore numerico, ovvero l’ampiezza massima della traccia registrata
sul sismografo. Fu ideata nel 1935 dal
sismologo americano Charles Richter.
Terremoti e logaritmi
La funzione continua che quantifica
la magnitudo M è il logaritmo in base
10 del rapporto tra l’ampiezza massima A del terremoto e l’ampiezza
massima A0 di una scossa campione:
A
M = log
= log A - log A0 .
A0
L’ampiezza A0, scelta come standard,
corrisponde all’oscillazione massima,
pari a 0,001 mm, prodotta su un
sismografo posto a 100 km dall’epicentro del terremoto di riferimento.
䉱 Charles Richter analizza la traccia di
un sismografo. Los Angeles, 1964.
La scala logaritmica offre il vantaggio
di rappresentare la forza di terremoti
molto violenti con valori relativamente piccoli di magnitudo. Infatti,
le ampiezze di un forte sisma possono essere anche milioni di volte maggiori rispetto a quelle di un terremoto
debole.
I terremoti più piccoli, appena percettibili dall’uomo, hanno una magnitudo intorno a 2,5, mentre quelli che
possono provocare danni alle abitazioni e vittime hanno generalmente
una magnitudo superiore a 5,5. Un
terremoto, passato alla storia per la
sua magnitudo superiore a 7, fu quello
del 1906 a San Francisco.
Un po’ di calcoli...
Usando una scala logaritmica, l’aumento di una unità di magnitudo
corrisponde all’aumento di un fattore
10 nell’ampiezza del movimento della
Terra e a un rilascio di energia circa
30 volte superiore. Per esempio, un
terremoto di magnitudo 4 sprigiona
un’energia che provoca oscillazioni
10 volte più grandi di un terremoto
di magnitudo 3 e 100 volte più grandi
(non il doppio!) di un terremoto di
magnitudo 2.
La scala Richter va da 0 a 9, ma teoricamente la magnitudo non è limitata
superiormente (il logaritmo dell’ampiezza tende a + 3 quando l’ampiezza tende a + 3 ). Nell’ultimo
secolo la massima magnitudo registrata è stata circa 9,5. Partendo dalle
regioni centrali del Cile la scossa fu
avvertita in molte zone del Pianeta;
provocò l’eruzione del vulcano
Puyehue e uno tsunami che investì le
Hawaii e il Giappone. Per avere un
termine di paragone, un sisma di
magnitudo 12 avrebbe energia sufficiente per spaccare la Terra a metà.
䉱 Traccia di un sismografo. Stazione di
Resia (Udine), 2000.
1508
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
LABORATORIO DI MATEMATICA
Le funzioni continue
TEORIA
LABORATORIO DI MATEMATICA
LE FUNZIONI CONTINUE
ESERCITAZIONE GUIDATA
Con Wiris classifichiamo i punti di discontinuità della funzione f (x) =
3x2 - 7x - 6
.
12x2 + 5x - 2
La f(x) è una funzione razionale fratta e i suoi punti di discontinuità sono quelli che annullano il denominatore. Per stabilirne poi la specie dobbiamo calcolare i limiti di f(x) per x tendente a ognuno
di essi.
• Entriamo, pertanto, in ambiente Wiris e digitiamo la funzione data (figura 1).
• Dal menu Operazioni importiamo il comando
risolvere, dentro al quale con Copia e Incolla inseriamo il denominatore dall’espressione di f(x).
2
1
e- .
• Con un clic su Calcola otteniamo
3
4
• Dal menu Analisi importiamo i modelli del limite
destro e del limite sinistro, inseriamo nei campi
2
vuoti dei modelli la f(x) e x tendente al punto 3
e facciamo clic su Calcola. Il sistema mostra che il
limite sinistro è 1 e il limite destro è -1, numeri
䉱 Figura 1
finiti e diversi; pertanto il punto è di discontinuità di prima specie.
1
e il sistema ci dice che il limite sinistro è - 3 e quello destro è
• Operiamo similmente per il punto
4
+ 3 , quindi il punto è di discontinuità di seconda specie.
Nel sito:
䉴 1 esercitazione guidata 䉴 16 esercitazioni in più
Esercitazioni
Con l’aiuto del computer determina il dominio, classifica i punti di discontinuità e trova le equazioni degli asintoti delle seguenti funzioni. Tracciane poi il grafico con i rispettivi asintoti.
(2x - 1) ln (x - 1)
(3x - 6) (x - 3)
1
f (x) =
x+1
x2 - 4 - 3
5
f (x) =
2
f (x) =
x 2 - 3x (x - 1) 2
x 2 - 4x + 3 (x 2 + x - 2)
6
f (x) =
3
15x3 - 17x 2 - 6x + 8
f (x) =
(3x 2 + 5x + 2) 5x - 4
7
(2x - 1) e (x - 3)2
f (x) =
x2 - 2x - 3
4
f (x) =
8
f (x) =
8x3 + 10x2 - 11x + 2
4x3 + 12x2 - 9x - 27
-1
4x - 2
(x 2 +
1
1) e 5x - 2
x
1
arctg
x+1
x-1
1509
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
LA TEORIA IN SINTESI
IL CALCOLO DEI LIMITI
1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
Indichiamo con a un valore che può essere x0 ! R , x+0 , x-0 , + 3, - 3 .
䡲 Per i limiti della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni si ha la seguente tabella.
lim
f (x)
x"a
lim
g(x)
x"a
lim
[f (x) + g(x))]
x"a
lim
[f (x) g(x))]
x"a
lim
x"a
l!R
m!R
m!0
l+m
l$m
l
m
f (x)
g(x)
f (x)
2 0 per x " a
g (x)
f (x)
- 3, se
1 0 per x " a
g (x)
+ 3, se
l!R
l!0
0
l
0
0
0
0
0
forma indeterminata
0
0
l!R
l!0
+3
+3
+ 3, se l 2 0
- 3, se l 1 0
0
l!R
l!0
-3
-3
+ 3, se l 1 0
- 3, se l 2 0
0
+3
m!R
m!0
+3
+ 3, se m 2 0
- 3, se m 1 0
+ 3, se m 2 0
- 3, se m 1 0
-3
m!R
m!0
-3
+ 3, se m 1 0
- 3, se m 2 0
+ 3, se m 1 0
- 3, se m 2 0
+3
+3
0
f (x)
2 0 per x " a
g (x)
- 3 , se
f (x)
1 0 per x " a
g (x)
forma indeterminata
0$3
-3
-3
+ 3 , se
+3
+3
+3
+3
+3
-3
forma indeterminata
+3 - 3
-3
-3
+3
forma indeterminata
+3 - 3
-3
-3
-3
-3
+3
forma indeterminata
3
3
forma indeterminata
3
3
forma indeterminata
3
3
forma indeterminata
3
3
1510
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LA TEORIA IN SINTESI
䡲 Limite della potenza: se n ! N - ! 0 + e xlim
f (x) = l , allora xlim
f (x)An = ln .
6 f (x)@n = 7 xlim
"a
"a
"a
䡲 Per xlim
[ f (x)] g (x) abbiamo la seguente tabella.
"a
g(x)
g (x)
0
+3
-3
+3
forma indeterminata 30
+3
0+
0+
forma indeterminata 00
0+
+3
1
1
forma indeterminata 1+ 3
forma indeterminata 1- 3
0 1 ᐍ 11
1
0+
+3
ᐍ 21
1
+3
0+
[f (x))]
f (x)
2. LE FORME INDETERMINATE
䡲 Forme indeterminate: + 3 - 3, 3 $ 0,
0 3 3 0 0
,
,1 , 0 , 3 .
0 3
Si risolvono caso per caso.
䡲 Forma indeterminata + 3 - 3 di funzioni razionali intere
lim (a0 xn + a1 xn - 1 + f + an - 1 x + an) = x lim
a xn = 3 , secondo la regola dei segni del prodotto a 0 x n.
"+3 0
x "+3
(x " - 3)
(x " - 3)
3
di funzioni razionali fratte
3
Z! 3 se n 2 m
]
]a
a0 xn + a1 xn - 1 + f + an
[ 0
=
se n = m
b0 xm + b1 xm - 1 + f + bm ] b0
]
se n 1 m
\0
䡲 Forma indeterminata
lim
x "+3
(x " - 3)
xn - m e
Il segno di !3 nel caso n 2 m è dato dal prodotto dei segni di x lim
"+3
(x " - 3)
a0
.
b0
3. I LIMITI NOTEVOLI
b1 +
• xlim
"!3
• lim
sen x
= 1;
x
• lim
1 - cos x
= 0;
x
x"0
x"0
• lim
x"0
1 lx
= e , dove e b 2, 7182f;
x
1 - cos x
1
= ;
2
x2
• lim
x"0
• lim
x"0
ex - 1
= 1;
x
ln (1 + x)
= 1;
x
• lim
x"0
(1 + x) k - 1
= k.
x
4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
䡲 Una funzione f(x) è un:
• infinitesimo, per x " a, se xlim
f (x) = 0 ;
"a
• infinito, per x " a, se xlim
f (x) = !3 .
"a
1511
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ESERCIZI
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
f(x)
lim ––––– =
g(x)
x→α
ᐉ≠0
infinitesimi
dello stesso ordine
ᐉ≠0
infiniti
dello stesso ordine
0
f(x) è infinitesimo
di ordine superiore a g(x)
0
f(x) è infinito
di ordine inferiore a g(x)
±⬁
f(x) è infinito
di ordine superiore a g(x)
non esiste
non sono confrontabili
±⬁
f(x) è infinitesimo
di ordine inferiore a g(x)
non esiste
non sono confrontabili
a. Confronto di infinitesimi simultanei.
f(x)
lim ––––– =
g(x)
x→α
b. Confronto di infiniti simultanei.
䡲 Dati due infinitesimi (infiniti) f (x) e {(x) , per x " a (cioè simultanei), si dice che f (x) è un infinitesimo (infi-
nito) di ordine c (c 2 0) rispetto all’infinitesimo (infinito) campione {(x), se:
lim
x"a
f (x)
c = l ! 0.
{ (x)
Inoltre scriviamo f + { se xlim
"a
f (x)
= 1 (diciamo che f e { sono equivalenti).
{(x)
䡲 Principio di sostituzione degli infinitesimi (infiniti)
Se il limite del rapporto di due infinitesimi (infiniti) simultanei f (x) e g (x) esiste, allora:
f + f1, g + g1 & xlim
"a
f (x)
f1 (x)
= xlim
.
" a g1 (x)
g (x)
䡲 Gerarchia degli infiniti: (loga x) a 1 xb 1 b x ,
con a, b 2 0 e a, b 2 1.
5. LE FUNZIONI CONTINUE
f (x) = f (x0).
䡲 f (x) continua in x 0 : xlim
"x
0
䡲 f (x) continua in [a; b]: f è continua in ogni punto dell’intervallo.
䡲 I teoremi sulle funzioni continue
y
f(d) = M
y
f(b)
y = f(x)
y = f(x)
v
f(c) = m
O
O a
c x d b
f continua in [a; b] ⇒
∀ v⎪m ≤ v ≤ M
∃ x ∈ [a; b] ⎪ f(x) = v
a. Il teorema dei valori intermedi e il teorema di
Weierstrass (esistenza massimo e minimo assoluti).
a c
b
x
f(a)
f continua in [a; b]
f(a) < 0, f(b) > 0 ⇒
∃ c ∈ ]a; b[ ⎪ f(c) = 0
b. Il teorema di esistenza degli zeri.
1512
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
LA TEORIA IN SINTESI
ESERCIZI
6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
䡲 Sia f (x) una funzione definita su [a; b].
y
艎2
• x 0 punto di discontinuità (punto singolare):
se x0 ! [a; b], con f (x) non continua in x 0 .
艎1
• x 0 punto di discontinuità di prima specie:
se lim- f (x) = l1 ! lim+ f (x) = l 2 .
x " x0
O
x " x0
x0
x
salto = ⎪艎2 − 艎1⎪
• x 0 punto di discontinuità di seconda specie:
se per x " x0 almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f (x) è infinito oppure non esiste.
y
y
O x0
x
y
x
O x0
x
O x0
• x 0 punto di discontinuità di terza specie:
1. se esiste ed è finito xlim
f (x) = l ;
"x
0
2. se f non è definita in x 0 oppure, se lo è, risulta f (x0) ! l .
7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
asintoto
verticale
y
y
y
x=c
asintoto
obliquo
y=q
q
asintoto orizzontale
O
x
q
c
O
x
y = mx + q
x
O
lim [f(x) –(mx +q)]=0
x→+ ⬁
a
f(x) q = lim [f(x) – mx]
m = lim ––––,
x→ ⬁ x
x→ ⬁
lim f(x) = ⬁
lim f(x) = q
x→c ±
x→+ ⬁
b
c
8. IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
䡲 Grafico probabile: è il grafico di f(x) tracciato in modo approssimativo dopo averne determinato il dominio, le
eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi cartesiani, il segno, i limiti agli estremi del dominio con lo studio
dei punti di discontinuità, gli asintoti.
1513
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
䉴 Teoria a pag. 1476
VERO O FALSO?
1
—
Sapendo che lim
f (x) =- 1 e lim
g (x) = 5 ,
x"c
x"c
si ha:
a)
b)
2
—
lim
6- f (x) - 2g (x)@ = 9 .
x"c
f (x)
5
$ g (x) =- .
4
4
c)
lim
x"c
d)
lim
- 6- f (x)@4 = 1.
x"c
V
F
V
F
V
F
V
F
Sapendo che lim
f (x) =- 3 e lim
g (x) =- 2 ,
x"c
x"c
si ha:
a)
lim
6 f (x) - g (x)@ =- 3 .
x"c
V
F
b)
lim
f (x) $ g (x) =- 3 .
x"c
V
F
c)
- 6 f (x)@2 =- 3 .
lim
x"c
V
F
V
F
d)
5
lim
6 f (x) + g (x)@ = 4 .
x"c
a)
——
b)
c)
d)
"2f (x) - 6 g (x)@3, =- 3 .
lim
x"c
3
—
Se lim
f (x) =- 1 e lim
g (x) =- 3 , allora:
x"c
x"c
a)
lim
6 f (x) - g (x)@ =- 3 .
x"c
V
F
lim
x"c
V
F
V
F
V
F
f (x)
=- 1.
g (x)
g (x)
=- 3 .
c) lim
x " c f (x)
d) lim "- f (x) - 6 g (x)@2 , =- 3 .
x"c
b)
4
—
Supponendo che lim
f (x) = 0 e lim
g (x) =- 3,
x"c
x"c
possiamo scrivere:
1
1
+
= 3.
a) lim ;
V
F
x"c
f (x)
g (x) E
g (x)
= 0.
b) lim
V
F
x " c f (x)
f (x)
= 0.
c) lim
V
F
x " c g (x)
1
d) lim
V
F
61 - g (x)@ = 3 .
x " c f (x)
Se la funzione y = f (x) tende a zero per x " c , allora anche la funzione prodotto
p (x) = f (x) $ g (x) tende a zero per x " c , per una qualunque funzione g(x).
V
F
Se la funzione prodotto p (x) = f (x) $ g (x) ha limite per x " c , allora anche f (x) e g(x)
ammettono limite per x " c .
V
F
Se la funzione somma s (x) = f (x) + g (x) ha limite per x " c , allora anche f (x) e g(x)
ammettono limite per x " c .
V
F
La funzione prodotto p(x) ammette limite per x " c solo se f (x) e g(x) ammettono limite per x " c. V
F
TEST
6
—
Se lim f (x) =+ 3 , quanto vale il
x"1
f (x)
lim
?
x " 1 - ex - 1
A 0
C -3
E e
B
7
—
+3
D
8
—
Quale fra le seguenti affermazioni è falsa?
g (x), allora esiSe esistono finiti lim
f (x) e lim
x"c
x"c
ste finito il limite:
lim
x"c
B
lim
6 f (x) - g (x)@ .
x"c
C
lim
{ln [( g (x)) 2 + 1] + f (x)} .
x"c
D
lim
6e f (x) - g (x)@.
x"c
1
r
Il limite per x che tende a
della funzio4
ne y = f (x) $ cos x vale 2. Quanto vale il limite
r
per x che tende a
di f(x)?
4
A 2 2
C 1
E 0
2
B 2
D
2
f (x)
.
g (x)
A
E
lim
6 f (x) $ g (x)@ .
x"c
1514
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
9
—
Sapendo che lim 6 f (x) + sen x @ =- 3 , quanto
x"0
vale lim 6- f (x)@ ?
10
——
11
x "- 2+
A
1
C
+3
B
0
D
-3
E
C
D
E
1
.
2
B - 3.
-1
Date le funzioni f (x)= 2x e g (x)=1- x 2 , allora:
f (x)
=+ 3 .
A limx " 1 g (x)
B
3x - 1
e f (x)= x + 2 ,
x2
lim ( g % f ) (x) vale:
x"0
——
Date le funzioni g (x)=
ESERCIZI
A
12
C
0.
D
+ 3.
E
2.
Date le due funzioni
——
f (x) = 4x + 4
e
g (x) = 2 + 2x ,
x "- 2
lim 6 f (x) $ g (x)@ =- 20 .
calcola i loro limiti per x " 3 e per x " - 3 .
Determina poi, verificando i rispettivi teoremi:
lim ( g % f ) (x) = 2 .
a) il limite della funzione somma
x " 0+
lim-
x"0
s (x) = f (x) + g (x)
g (x)
=+ 3 .
f (x)
b) il limite della funzione prodotto
lim 6 f (x) - g (x)@ = 0 .
p (x) = f (x) $ g (x).
x"1
Il calcolo dei limiti
13
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo i limiti: a) lim ; x +
x"1
1
(x2 - 2x).
E ; b) xlim
"-3
(x - 1) 2
1
è la somma
(x - 1) 2
1
delle funzioni g (x) = x e f (x) =
.
(x - 1) 2
La somma di un limite finito con uno infinito è
1
infinito, quindi lim ; x +
E =+ 3 .
x"1
(x - 1) 2
a) La funzione s (x) = x +
lim x = 1 per la continuità di y = x.
x"1
Per la continuità della funzione polinomiale
y = x - 1 e il teorema del limite della potenza,
b) La funzione s (x) = x2 - 2x è la somma delle
funzioni g (x) = x 2 e f (x) =- 2x .
Abbiamo
lim (x - 1) 2 = 0 ,
(- 2x) =+ 3 ,
lim x2 =+ 3 e x lim
"-3
x"1
x "-3
quindi, per il teorema del limite della funzione
reciproca:
1
lim
=+ 3 .
x " 1 (x - 1) 2
14
quindi:
lim (x2 - 2x) =+ 3 .
x "-3
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo i limiti: a) xlim
x$
"+3
ex
1
; b) lim+ $ log x .
2
x"0 x
a) Abbiamo:
lim x =+ 3 ;
x "+3
ex
=+ 3 .
lim
x "+3 2
Il segno dei due limiti è concorde, pertanto:
ex
lim
x
$
=+ 3 .
x "+3
2
b) Abbiamo:
1
=+ 3 ;
lim
x " 0+ x
lim log x =- 3 .
x " 0+
Il segno dei due limiti è discorde, quindi:
1
lim
$ log x =- 3 .
x " 0+ x
1515
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
15
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo i limiti:
x 2 + 3x - 1
a) lim
;
x"2
x-1
b) lim +
x "- 2
6x + 1
;
x+2
c) lim x "- 2
x2 + 3x - 1
è il quoziente delle funziox -1
ni f (x) = x2 + 3x - 1 e g (x) = x - 1:
a) h (x) =
lim (x 2 + 3x - 1) = 9 ;
x"2
Il numeratore tende a un numero negativo,
mentre il denominatore tende a 0+ (cioè resta
sempre positivo); i limiti hanno segno discorde,
pertanto:
6x + 1
=- 3 .
lim
x "- 2+ x + 2
lim (x - 1) = 1.
x"2
Il limite dato è uguale al quoziente dei limiti,
x 2 + 3x - 1
9
perciò lim
= = 9.
x"2
x-1
1
6x + 1
è il quoziente delle funzioni
b) h (x) =
x+2
f (x) = 6x + 1 e g (x) = x + 2 :
lim + (6x + 1) =- 11;
x "- 2
6x + 1
.
x+2
c) Calcoliamo ora i limiti di numeratore e denominatore per x "- 2- :
lim (6x + 1) =- 11;
x "- 2-
lim (x + 2) = 0- .
x "- 2-
I limiti hanno segno concorde, quindi:
6x + 1
lim
=+ 3 .
x "- 2- x + 2
lim + (x + 2) = 0+.
x "- 2
Tenendo presenti i teoremi sulle operazioni con i limiti e la continuità delle funzioni elementari, calcola i seguenti limiti.
16
—
17
—
18
—
19
—
20
—
21
—
22
—
23
—
24
—
25
—
26
—
lim 5e3 ;
lim
x"2
x"1
lim (x 4 - x3 - 4)
x "- 1
2
.
ln e 2
[5e3 ; 1]
[- 2]
lim ( 2x + 6 - x)
[3]
lim
(3 - ln x)
x"e
[2]
x "- 1
lim e
-4
x
lim log3 (24 - x)
x"1
2 + ln x
1 - ln x
31
1
1
+ 2l
x4
x
lim b
[3]
[- 3]
[+ 3]
1
1
+ 3l
x
x
[0]
lim (- x2 + x)
[- 3]
x "-3
x "-3
32
—
33
—
5
lim b x + l
x
x"0
30
—
[2]
x "-3
lim b
29
—
x "- 3
lim
28
—
—
[e]
x "- 4
27
—
34
—
35
—
36
—
37
—
lim
x 2
(x + 7)
2
[- 3]
lim
2-x
$ (x3 - 1)
3
[- 3]
x "-3
x "+3
lim (2 - x) log x
[- 3]
lim (1 - x 2) e x
[- 3]
x "+3
x "+3
lim
1
x+1
[+ 3]
lim
1
x-2
[0]
x "- 1+
x "+3
lim
ln (3 - x)
3-x
lim
1
6 - 3x
x " 3-
x "-3
lim
1
3x - 9
lim
x2 + 2x - 1
2
lim
-5
(x + 1) 2
x " 3+
x "- 1
x "- 1
1516
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[- 3]
[0]
[+ 3]
[- 1]
[- 3]
PARAGRAFO 1. LE OPERAZIONI CON I LIMITI
38
—
39
—
40
—
41
—
42
—
43
—
44
—
45
—
46
—
47
—
48
—
49
—
50
—
x+1
x+2
[- 3; + 3]
lim+
3x + 2
x-1
[+ 3]
lim
2-x
x+1
[- 2]
lim !
x "- 2
x"1
x "- 4
x-2
(2x - 3) 2
[- 3]
lim -
x "- 2
4x + 3
x2 - 4
[- 3]
lim+ b
2x 2 + x
1 l
+
2x + 5
sen x
[+ 3]
lim -
x2 - 1
x+3
[- 3]
x+1
x 2 - 2x + 1
[+ 3]
lim
3
x"
2
x"0
x "- 3
lim
x"1
lim
x "- 1
lim
x"4
lim
x"5
lim
x"1
—
59
—
[+ 3]
x"0
x+1
x 2 - 2x + 1
[0]
60
—
61
—
62
—
63
—
64
—
65
—
66
—
67
—
x+ x
x 2 - 13
[2]
x+4
x+1
:1D
2
68
—
x
x2 - 4 x + 2
1
51
—
x 2 + 3x + 2
x2
lim
58
[- 1]
69
——
70
——
52
x " 64
[- 11]
71
——
x+x3
lim 3
x"8
x +2
[3]
—
54
—
55
—
56
—
57
—
lim bx 8 - x + 3l
[3]
cos x + 2 x
x2 + 4
[1]
x"1
lim
x"0
limr
x"
2
sen x + cos x
2x
lim-
2x + 1
sen x
lim
cos2 x - 2
3x - 2
x"0
x"0
2x 2 - x + 1
22x - 2 x + 2
:1D
2
lim
3x - 2x
4 - 4 x - 20
: 1 D
44
x"2
x"2
2x
lim
2x + 3
5x - 1
[+ 3]
lim
log 2 x + 1
3 log 4 x - 3
[+ 3]
x " 0+
x " 4+
lim cos c
log3 x - 1
m
x+3
[1]
lim
log (x2 + x - 5)
2x - 1
[0]
lim
ecos x + sen x
1 + tg x
:1D
e
lim
2x - 2 + 2 x
1 + log x
[2]
x"3
x"2
x"r
x"1
lim log (1 - log x)
[0]
x"1
lim
log3 x + log3
x-2
x"3
lim
x"1
3
x
[1]
ex
x
lim
x "-3
[0]
2x - 1
1
$
log x - 3 (1 - x) 2
[- 3]
3 x ln x
2+x
lim+
x"0
[- 3]
72
[1]
lim b
[+ 3]
73
lim- b
74
——
[- 3]
[+ 3]
x "+3
——
:1D
r
lim (- x3 x ln x) 2
x "+3
——
7
53
lim
2
lim cx 6 - x 3 + 3m
2
—
ESERCIZI
75
x"1
[- 3]
3
[1]
arctg x + 2x
cos x
[0]
76
lim
——
[- 3]
sen x
1 l
lim b
+
ln x
cos x
x " 0+
77
2x
1 l
+
ln x
x-1
lim ` log 1 x - xe x j
x "+3
——
——
ln x
2
+ l
x
e- x
x"0
lim+
x"0
log 2 x
-x
[+ 3]
1517
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
78
——
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
arcsen x
x-1
lim
x " 1-
[- 3]
91
——
1
79
——
80
——
81
——
82
——
lim ! e cos x
x "b
[0+; + 3]
rl
2
lim ln arccos x
[- 3]
x " 1-
:- r D
2
lim arctg ln x
x " 0+
lim x
92
——
93
——
94
——
1
x
[0+]
x " 0+
95
——
83
——
84
——
85
——
86
——
87
——
88
——
89
——
90
——
lim (ln x)
[+ 3]
x
x "+3
lim (1 - cos x)
96
1
x2
[0 ]
+
x"0
lim- b
x"1
1 lx - 3
1-x
lim+ b
1 l
sen x
x"0
-
lim+ b ln
x"0
1l
x
e
2
[0+]
1
sen x
[0+]
1
x
[+ 3]
lim (x + 1)
x2
[+ 3]
x "-3
sen (2 x - 1) + log 2 (x + 2)
lim
x"0
cos (x + r)
lim :arc sen x - 3 + arccos bx"4
[-1]
2 lD
x
: 7 rD
6
lim
x " 1+
ln arctg (x - 1)
x 2 - 2x
1 + cos (x - 1) D
lim :
4
x " 1+
[+ 3]
1
1-x
lim
1
tg ln (x + 2)
x "-3
lim
arctg (e 2x + e x)
e- x + 2
lim <
ln (x - 3)
1
F
3
3
x
3-x
x "- 1+
x " 3+
lim (2 x - 2) arctg (2 - x)
[+ 3]
[+ 3]
[0]
[+ 3]
[0]
——
x "+3
97
lim+ b
x"3
x l ln (x - 2)
2x - 1
[0]
lim
x "-3
ln (e 2x + 1)
ln (1 - x)
[0]
——
98
——
99
——
1
lim+ c
x-2
1
m
x-1
x"1
lim
——
x "-3
2x
(x - x) ln (1 - x)
101
lim+ b
x - 2 x-2
l
ex - 2
lim
x + sen (3 x + 1 - 1)
arcsen (x + 1) 2
100
——
102
——
x"2
x "- 1
2
[0]
[0]
1
[0+]
[- 3]
Applicazione del teorema del confronto
103
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo xlim
"+3
3 + cos x
.
x
3 + cos x
, se x " + 3 , non ammette limite, quindi non possiamo applicax
re i teoremi sul calcolo del limiti.
Il numeratore della funzione
Poiché - 1 # cos x # 1, allora 2 # 3 + cos x # 4 e quindi, per x 2 0 :
2
3 + cos x
4
#
# .
x
x
x
Poiché x lim
"+3
lim
x "+3
2
4
= x lim
= 0 , per il teorema del confronto:
"+3 x
x
3 + cos x
= 0.
x
1518
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE FORME INDETERMINATE
ESERCIZI
Utilizzando il teorema del confronto, calcola i seguenti limiti.
104
——
105
——
106
——
107
——
108
——
113
sen x
x
cos x
lim
x "+3
x
lim
lim x (cos x + 2)
lim
x"3
1
x
[0]
cos x
x2
[0]
lim e- x cos x
[0]
x "+3
110
——
111
2x
3 + sen x
lim x sen
114
115
[+ 3]
lim e 2x sen x
x "-3
x"0
——
[0]
x "+3
lim
x "+3
109
——
3
——
——
[0]
x "+3
[+ 3]
——
[0]
——
112
lim (sen x + 3) x
116
——
x "+3
117
lim
x "+3
——
x
1 + sen x cos x
lim
1 + cos x
x2
lim
2x
sen x + cos x + 2
x "+3
x "+3
x2
2 + sen x
x "+3
[+ 3]
[0]
[+ 3]
lim e x (sen x + 4)
[+ 3]
x "+3
[+ 3]
119
——
lim (sen x - 3x)
118
——
lim
x "+3
[+ 3]
120
——
[- 3]
121
——
lim
x "+3
cos x
1 + ex
[0]
lim (x 2 + 3 cos x) [+ 3]
x "+3
lim x 2 cos
x"0
2. LE FORME INDETERMINATE
1
x
[0]
䉴 Teoria a pag. 1484
IN PRATICA
La forma indeterminata + 3 - 3
122
䉴
Videolezione 65
ESERCIZIO GUIDA
] x + 7 - x - 5 g.
Calcoliamo xlim
"+3
Poiché x lim
"+3
x + 7 =+ 3 e x lim
"+3
x - 5 =+ 3 , abbiamo la forma indeterminata + 3 - 3 .
Scriviamo la funzione f (x) = x + 7 - x - 5 in modo che compaia la somma delle radici anziché la
differenza, moltiplicando e dividendo f (x) per ] x + 7 + x - 5 g:
x + 7 - x - 5 = ] x + 7 - x - 5g $
=
12
.
x+7 + x-5
(x + 7) - (x - 5)
x+7 + x-5
=
=
x+7 + x-5
x+7 + x-5
Quando x " + 3 , il denominatore
x + 7 + x - 5 della frazione tende a + 3 , mentre il numeratore
12
] x + 7 - x - 5 g = lim
tende a 12, e quindi: x lim
= 0.
"+3
x "+3
x+7 + x-5
123
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo xlim
(x3 + 2x2 - 3).
"-3
(2x2 - 3) =+ 3 , abbiamo la forma indeterminata - 3 + 3 .
Poiché x lim
x3 =- 3 e x lim
"-3
"-3
1519
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Per calcolare il limite raccogliamo a fattor comune x elevato al massimo esponente, cioè x 3:
2
3
; x3 $ b1 + - 3 lE .
lim (x3 + 2x2 - 3) = x lim
x "-3
"-3
x
x
3
2
b1 + 2 - 33 l = 1.
= 0 , allora x lim
= 0 e x lim
Dal momento che x lim
"-3
" - 3 x3
"-3 x
x
x
Poiché x lim
x3 =- 3 , otteniamo:
"-3
; x3 $ b1 +
lim (x3 + 2x2 - 3) = x lim
"-3
2
3
- 3 lE =- 3 .
x
x
Possiamo ottenere il risultato applicando anche la regola:
x "-3
lim (a0 xn + a1 xn - 1 + f + an) = xlim
a xn .
"3 0
x"3
Nel nostro caso si ha:
lim (x3 + 2x 2 - 3) = x lim
x3 =- 3 .
"-3
x "-3
Calcola i seguenti limiti.
124
—
125
—
126
—
127
—
128
—
129
—
130
—
131
—
132
—
lim ] x + 1 - x + 2 g
x "+3
lim ] x 2 + 1 -
[0]
——
x2 - 4 g
x "+3
[0]
lim (x 4 - x2 - 9)
lim
[+ 3]
x
2x - 1 - 2x + 2
[- 3]
lim (- 2x5 + 3x 2 - x + 3)
3
2
lim (- 2x + x - 2x )
[- 3]
x "+3
lim ] 1 - 2x - 3 - 2x g
x "-3
lim
x "-3
1 - x - 1 - 2x
3x
3
135
——
136
——
[+ 3]
x "-3
4
134
——
x "-3
x "+3
133
2
lim (- 3x + 2x - x)
137
lim
x "+3
2- x
- 2x + 4x + 1
3
lim ^ x 2 - x h
lim (4x + 16x2 - 1)
3
lim ^ x3 - x 2 - x h
:- 1 D
3
Utilizza: A3 - B3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2).
x "+3
3
lim ^ x3 + x2 + 1 -
138
lim
x "+3
3
[0]
——
139
[0]
x "-3
x "+3
——
[+ 3]
x "+3
——
[0]
[0]
4
x3 + x x
3
3
x3 - 1h
x3 - x
^ x3 + x 2 Find x lim
"+3
3
[0]
3
x3 - x 2 h .
(USA Harvard-MIT Mathematics Tournament, 2004)
[+ 3]
x "-3
:1D
3
:2D
3
La forma indeterminata 0 $ 3
140
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo lim+ (sen 2x $ cotg x).
x"0
Poiché lim+ sen 2x = 0 e lim+ cotg x =+ 3 , abbiamo la forma indeterminata 0 $ 3.
x"0
x"0
Utilizzando le formule goniometriche, trasformiamo sen2x e cotg x in modo da semplificare l’argomento del limite:
cos x
= 2 cos2 x .
sen 2x $ cotg x = 2 sen x cos x $
sen x
Quindi:
lim (sen 2x $ cotg x) = lim+ (2 cos 2 x) = 2 $ 1 = 2 .
x " 0+
x"0
1520
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. LE FORME INDETERMINATE
ESERCIZI
Calcola i seguenti limiti.
141
—
142
—
143
—
144
—
145
——
lim [(1 - cos 2x) $ cotg x]
[0]
limr [(1 + tg x) $ cotg x]
[1]
x"0
x"
147
——
2
lim (sen x $ cotg 2 x)
[- 3]
x " 0-
limr (cos2 x $ tg x)
x"
146
——
[0]
148
——
149
——
2
:1D
2
lim [(1 + sen x) $ tg 2 x]
3r
x"
2
150
——
lim [(2 - cotg x) $ tg x]
[- 1]
x"0
lim
x"1
lim (x 2 - 9)
x " 3-
lim
:1D
6
2x2
$ ( 2 - x - 1)
3 - 3x 2
x "-3
2x3
3-x
1
x3 + x - 2
lim ( 2 + x - 3 )
x"1
[0]
x 2 - 2x + 1
4
2x + 7
(x - 1) 2
[3]
3
La forma indeterminata 3
151
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo: a) xlim
"+3
2x - 3x 4 + x 2
x - 5 x 2 + 6x 3
2x - x 2
; b) xlim
; c) xlim
.
2
3
2
3
"
+
3
"
+
3
2x - 2
x - 2x - 1
x + x2 - 2
a) Riscriviamo l’argomento del limite ordinando il numeratore e il denominatore secondo il grado:
- 3x 4 + x 2 + 2x
.
lim
x "+3
2x 2 - 2
Raccogliamo a fattor comune i monomi di grado massimo al numeratore e al denominatore:
tende a -
lim
x "+3
x 4 b- 3 +
3
2
tende a + 3
1
2
1
2
+ 3l
-3 + 2 + 3
x2
x = lim x2 $
x
x =- 3 .
x "+3
2
2
2- 2
x 2 $ b2 - 2 l
x
x
b) Riscriviamo il limite ordinando il numeratore e il denominatore secondo il grado decrescente:
6x3 - 5x 2 + x
lim
.
x " + 3 x 3 - 2x 2 - 1
Raccogliamo a fattor comune i monomi di grado massimo al numeratore e al denominatore:
5
1
5
1
x 3 $ b6 - + 2 l
6- + 2
6
x
x
x
x
lim
= = 6.
= x lim
x "+3
"+3
2
1
1
2
1
3
1- - 3
x $ b1 - - 3 l
x
x
x
x
c) Riscriviamo il limite ordinando il numeratore e il denominatore secondo il grado decrescente:
- x2 + 2x
.
lim
x " + 3 x3 + x 2 - 2
Raccogliamo a fattor comune i monomi di grado massimo al numeratore e al denominatore:
x 2 $ b- 1 +
tende a 0
2l
2
-1 +
1
x
x
lim
$
= x lim
= 0 $ (- 1) = 0 .
x "+3
"+3 x
1
2
1
2
1+ - 3
x3 $ b1 + - 3 l
x
x
x
x
tende a -1
1521
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[0]
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Calcola i seguenti limiti.
152
—
153
—
154
—
155
—
156
—
157
—
158
—
166
lim
x "-3
lim
x "+3
lim
x "+3
x6 - 3x 4
2x 2 - 2x + 1
[+ 3]
—
3x2 - 2x + 1 + x5
3x 2 - 2x + 1
[+ 3]
—
3x3 - 4x 2 + 6
3x2 - 2x + x3
[3]
160
161
—
lim
x "-3
x2 - 6x 4 + 3x6
7x5 + 4x3 - 2x
[- 3]
lim
x2 - 3x 4 - 27
7 + 4x3 + x
[+ 3]
lim
x "+3
2x - 6x3 + x 2
x 2 - 3x3
[2]
lim
x "+3
x2 - 2x + 3x3
2x 4 - x2
[0]
x "-3
159
162
—
163
—
164
—
165
—
lim
x - 2x3 + 3x2
x2 - 2 - x4
[0]
lim
2x 2 + x + 4x3
x5 - x 2
[0]
lim
2x5 - x3 + x 4
x5 - 6x 2
[2]
lim
x "-3
x3 - 2x6 + 4
2x6 - 7 - x3
[- 1]
x "+3
lim
x2 - 3x 4
2x - x + 4x 4
:- 3 D
4
lim
x "+3
x2 - x4
x - x + x6
[0]
lim
x "+3
x2 - 2
x - 2x + 1
[0]
x "-3
x "-3
x "-3
2
2
3
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo xlim
"-3
x2 + 1
.
2x - 1
Osserviamo che per x che tende a - 3 il numeratore tende a + 3 , mentre il denominatore tende a - 3
3
.
e quindi il limite è nella forma indeterminata
3
Raccogliamo a fattor comune i termini di grado massimo all’interno della radice e al denominatore:
lim
x "-3
x 2 b1 +
1
l
x 2 = lim
x "-3
1
x b2 - l
x
1
1
x $ 1+ 2
x 2 = lim
x .
x "-3
1
1
x b2 - l
x b2 - l
x
x
x2 $
1+
Poiché x tende a - 3 , possiamo supporre x 1 0 , quindi abbiamo x =- x . Il limite perciò diventa:
lim
1
1
- 1+ 2
x2 = lim
x = - 1 =- 1 .
x "-3
1
1
2
2
2x b2 - l
x
x
-x
x "-3
1+
Calcola i seguenti limiti.
167
—
168
—
169
—
170
—
171
—
lim
x "+3
lim
x "+3
lim
x "-3
x + x2 + 8
2x + 1
x2 + 3x - 1
x2 + x - 1
3x - 2
x2 - x + 1
lim
x "+3
x2 + 8
x+1
lim
x3 + x + 2
2x2 + 1
x "+3
[1]
172
—
[0]
173
——
[- 3]
[1]
174
——
175
——
[+ 3]
176
——
lim
x "+3
4x2 - 3
x+1
[2]
lim ( x 2 + 2x - 4 - x)
x "+3
6x3 - x
- 2x2l
lim b
3x + 1
[+ 3]
x "-3
lim ( x 2 + 4x + 1 -
x "+3
lim
x "-3
[1]
x 2 - 2x - 3)
x3 + 2x 2 - 1
x6 + 3x 2 + 2
1522
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[3]
[- 1]
PARAGRAFO 2. LE FORME INDETERMINATE
177
——
9x 4 + 5x 2 + x
(x + 2) 2
lim
x "-3
[3]
——
La forma indeterminata
179
178
lim
x "+3
5x2 - 1
4 + x2
ESERCIZI
:5D
2
2 - 3x
1 - 12x
0
0
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo: a) lim
x"2
2x 3 - x 2 - 5x - 2
1- x+1
; b) lim
.
x"0
2x 2 - 5x + 2
x2 - x
0
.
0
Poiché 2 è radice sia per il numeratore sia per il denominatore, possiamo scomporre in fattori numeratore e denominatore. Per il numeratore usiamo la regola di Ruffini:
a) Calcolando il limite del numeratore e del denominatore, otteniamo la forma indeterminata
2 -1 -5 -2
2
2
6
4
0
2
1
3
"
2x3 - x2 - 5x - 2 = (x - 2) (2x 2 + 3x + 1) .
Scomponendo il denominatore si ha:
2x2 - 5x + 2 = (x - 2) (2x - 1).
Calcoliamo il limite:
lim
x"2
(x - 2) (2x 2 + 3x + 1)
2x 3 - x 2 - 5 x - 2
2x 2 + 3x + 1
= lim
= 5.
= lim
2
x"2
x"2
2x - 1
(x - 2) (2x - 1)
2 x - 5x + 2
0
.
0
Razionalizziamo il numeratore e scomponiamo il denominatore in fattori. Si ha:
b) Calcolando il limite, si ha la forma indeterminata
lim
x"0
1- x -1
1- x+1 1+ x+1
= lim
=
$
x
0
"
x (x - 1) 1 + x + 1
x (x - 1) (1 + x + 1)
= lim
x"0
-1
1
= .
2
(x - 1) (1 + x + 1)
Calcola i seguenti limiti.
180
—
181
—
182
—
183
—
184
—
185
—
186
—
lim
x "- 5
lim
x "- 2
lim
x "- 1
lim
x"1
1
x"
2
x"2
lim
: 7 D
10
—
3x 2 + x - 10
x 2 - 5x - 14
: 11 D
9
—
- x3 + 3x2 + 9x + 5
x2 - 7 - 6x
x3 - 1
x4 - 1
lim+
lim
x 2 + 3x - 10
x 2 - 25
2x2 + 9x - 5
4x 2 - 4x + 1
x3 + 2x2 - 8x
x - 2x2 + 2x - 4
x "- 1
3
x 4 + 2x3 - 2x - 1
x2 + 2x + 1
[0]
187
188
189
—
lim
x"1
x3 + 6x 2 + 12x + 8
x 2 + 4x + 4
lim
4+x -2
3x
191
lim
——
[0]
193
——
3
lim
[+ 3]
192
[- 3]
x "- 2
x"0
——
x2 + x - 6
x + 6x2 + 9x
lim
——
[2]
[+ 3]
x "- 3-
:3D
4
190
x2 - 1
x - 2x3 + 2x - 1
4
x"9
[0]
: 1 D
12
:1D
6
3- x
9-x
lim
2x3 + 5x 2 - x - 6
2x 2 + 3x - 2
:- 3 D
5
lim
x 2 + 5 - x3 + 1
2x - x 2
:2D
3
x "- 2
x"2
1523
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
194
——
195
——
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
lim
x"2
: 1 D
21
x 2 - 2x + 9 - 3
x3 - x 2 - x - 2
x2 + 3 - 2
lim
x "- 1 3 8 - x3
[- 1]
196
189
——
lim
x"0
3 - 9 - x2
2 1 + x2 - 4 + x2
3x - 4x + 1 m
lim c 2
x " 1+
x +x-2
2
197
——
1
1-x
:2D
9
[+ 3]
Le forme indeterminate 0 0 , 3 0 , 13
198
ESERCIZIO GUIDA
1
Calcoliamo lim+ x ln x .
x"0
1
" 0- , perciò abbiamo la forma indeterminata 00.
ln x
Poiché e ln a = a (con a 2 0), scriviamo il limite nella forma
Per x " 0+ si ha ln x " - 3 , quindi
1
lim+ x ln x = lim+ e ln x
x"0
x"0
1
ln x
,
e, applicando la proprietà dei logaritmi ln ab = b ln a , otteniamo:
1
lim+ e ln x
$ ln x
x"0
= lim+ e1 = e .
x"0
Osservazione. Anche forme indeterminate dei tipi 30 e 13 possono essere risolte utilizzando la proprietà e ln a = a, con a 2 0.
Calcola i seguenti limiti.
2
199
—
[e 2]
lim+ (2x) ln 2x
x"0
——
-3
200
——
201
——
x ln x
lim b l
x " 0+ 2
-
lim+ x
202
;
;
1
ln x2
x"0
ESERCIZI VARI
1E
e3
lim+ b
x"0
1
:1D
e
2 l ln x
x
1
203
——
lim (x + 1) lnx
x "+3
[e]
1
E
e
Le forme indeterminate
TEST
204
—
Considera le funzioni:
1
; h (x) =- x .
x
Quale, fra i seguenti limiti, non è una forma
indeterminata?
A lim [ f (x) $ g (x)]
x"3
f (x) = 2x 2; g (x) =
205
—
Fra i seguenti limiti, solo uno è una forma indeterminata. Quale?
lim b
3
1
- 2l
x
x
B
lim -
1
x3
lim
C
lim
D
lim 6 g (x) $ h (x)@
D
lim (x 2 - 3x3)
E
lim
E
f (x)
h (x)
lim 6 f (x) - h (x)@
C
x "+3
B
x"3
A
x"0
x"0
h (x)
f (x)
x"3
x"0
x"0
2x + 1
3
x"0
lim (2x2 + x3)
x "-3
1524
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI LE FORME INDETERMINATE
206
—
Quale, fra i seguenti limiti, si presenta in forma
indeterminata?
lim x2 $ sen x
A lim x $ tg x
D
r
x "+3
x"
2
ex
x
x-1
C lim
x"1 x + 1
B
207
——
208
——
lim
x "-3
1
E
lim+ x $ e x
x"0
Per quale valore di a ! R
- 3x2 + a 2 x + 2a
lim
si presenta nella forma
x"1
x2 - 1
5
0
e vale - ?
indeterminata
2
0
5
A -3
B 1
C 0
D E 2
2
209
——
ESERCIZI
Se n 2 3 , allora puoi affermare che:
x3 + 1
= 1.
lim
A
x " + 3 xn - 1
x+3
= 0.
lim
B
x " - 3 nx + 1
xn + 1
=+ 3 .
lim
C
x " + 3 2x - 3x 2
x3 + 5x - 1
lim
= 0.
D
x "+3
2xn + 1
nx + 1
lim
=+ 3 .
E
x "-3
x
Per quale valore di k si ha:
6x 2k - 1 - 4x + 8
=- 3 ?
lim
x "-3
- 2x k + 1 - 3
A
-2
B
2
C
0
D
1
E
3
Calcola i seguenti limiti.
210
—
211
—
212
—
213
—
214
—
215
—
216
—
217
—
218
—
219
—
220
—
221
—
222
—
1
x+1- x+7
lim
x "+3
lim ]x +
x "-3
x2 + 2 g
[- 3]
[0]
x3 + 8
x + 2x2 - 4x - 8
[- 3]
lim
- x + x2 - 8
6x + 7
:- 1 D
3
x+3
x + 8x2 + 21x + 18
[- 3]
1
2x - 3 + 4x 2
[- 3]
x "- 2
x "-3
lim +
x "- 3
lim
x "+3
lim+
x"4
lim
x "-3
lim
x "+3
3
x-4
x - 8x + 16
2
[+ 3]
x - 5x3 + x 2
2x3 + 4x 2 - x
:- 5 D
2
x2 - x + 2
3
x + x3 + 2x - 1
[+ 3]
lim (3x - 9x2 + 1)
x "+3
[0]
lim
x "-3
x2 - 2x3 + x 4
x5 + x3 - 2x
[0]
lim
x2 - 2x3 + x
4x2 - 2x5 + 1
[0]
x "+3
lim (x5 - x 2 - x - 1000)
x "+3
224
—
lim +
3
223
—
[+ 3]
225
—
226
—
227
—
228
—
229
—
230
—
231
—
232
—
233
—
234
—
235
—
lim
1
1 + x2 + x
[+ 3]
lim
8x + 2
x - x2 - 3
[4]
lim
4
- 3x 2 - 2x + 1
x "-3
x "-3
x "- 1-
lim (- 4x7 + x 2 - 4) $
x "+3
[- 3]
x-1
x
lim ; log 2 (2x3 - x 2 + x) - log 2
x "+3
lim b
x "-3
lim-
x"5
x3 + 1 lx
x+2
[- 3]
x3 D
4
3 + 4x 2
[0+]
:1D
6
x 2 - 10x + 25
x - 9x2 + 15x + 25
3
lim log 2
x"0
[3]
:- 1 D
2
x+2 - 2-x
x
lim [log 2 (x 2 + 1) - 2 log 2 x]
[0]
x "+3
lim
x
x2 + 3 + x4
[0]
lim
x2 - 2x3 + 5
2x 2 - 3x3 + 1
:2D
3
lim
x+3
x3 + 8x2 + 21x + 18
[+ 3]
lim
x - 2x3 + x5 + x7
x2 - 2x 4 + 10x6
[- 3]
x "+3
x "-3
x "- 3-
x "-3
1525
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
236
—
237
—
238
—
239
—
240
—
241
—
242
—
243
—
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
lim
x " 0-
lim
x " 3+
x-1
8x 2 + 7x
[+ 3]
x-3
x 2 - 6x + 9
[+ 3]
x "- 2
[+ 3]
lim
x "+3
x - 2x3 + x 4
2x3 - x
[+ 3]
lim e
3
x2 - 4
x+2
lim ;
tg 2 x
- ln (sen2 x)E
sen x
x"0
lim
x"1
1-x
1- x
—
245
lim _2 - 2
1
x
x "+3
x-1
x+1 i
—
246
—
247
——
248
——
249
——
250
——
251
——
252
——
253
——
254
——
x"2
x3 - 4x
3
x - 2x2 + x - 2
lim b
x "+3
x 2 + 1 lr
$ (1 - x)
x
arcsen 2 x
2+x m
+ ln
lim c
x
2- x
x "-3
lim (log 1 x - x $ 3 x + 2)
x "+3
——
[+ 3]
3
lim ln arctg
x "-3
[- 1]
x-2
1 - x2
:8D
5
[- 3]
[0]
[- 3]
[- 3]
lim
x "-3
(x + 2) 2
(3x - 1) 2
:1D
9
lim
x "+3
ln (3x - 1) - ln 3x
3x - 1
lim
x " 0+
2 ln x - 3
12 - ln x
lim arcsen
x "+3
lim b
x "+3
x 2 - 8x3 m 1 +x2x
1 - x3
2x - 1 l- x
1 + 4x
lim log 2
x"2
1 - ex
2e x + 1
2 + 3x
x 2 + 12 - 4
3x 2 - 4x - 4
——
x "- 1
260
lim
x"3
261
——
262
——
263
——
264
——
265
——
266
——
[0]
[- 2]
267
——
268
——
269
——
270
——
271
——
:- r D
6
272
——
[6]
[+ 3]
[- 1]
:- 1 D
2
x +1
x+1
lim log9
2x - x2 - 1
4x - 1
:se x " + 3: 1 ; se x " - 3: 3 D
4
4
lim b
x "+3
4x 2 - x lx
x+1
lim b
x "+3
x 2 - 1 l- ln x
x
lim
x"1
2
[+ 3]
x+3- 5-x
1+x - 2
lim b
x "+3
3x - 2 l x2-x 1
x+1
[0+]
6 2@
6 3@
limr 6(1 - sen x) $ sec x @
[0]
lim 6(cos x + 1) $ cosec x @
[0]
x"
2
x"r
x2 - 2
[- 3]
2x + 3
23 - x
lim ln
x "-3
lim log 2 c
x "+3
[+ 3]
3
259
——
: 1 D
12
x -2
lim
x"8 x - 8
lim
258
ln (3 - x)
x3 - x2 - 6x
lim
x " 3-
[2]
3
244
257
——
[e- 4]
x "- 2
256
——
x2 + 4x + 4
x + 6x2 + 12x + 8
lim +
255
——
lim e - 2x + 1
x "+3
lim
x "+3
[0+]
ln2 x + 2 ln x
ln x + 1
lim b log10 5x x"2
2
lim
x "+3
x2 - 4 l
x-2
2-2
lim b
x "+3
[- 3]
[+ 3]
1 + x2
2x 2
:rD
6
x + 1 lx - 1
2x - 3
[0+]
lim arcsen
x"3
x-1
x
[+ 3]
1526
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 3. I LIMITI NOTEVOLI
3. I LIMITI NOTEVOLI
䉴 Teoria a pag. 1489
IN PRATICA
sen x
=1
lim
x
x" 0
273
ESERCIZI
䉴
Videolezione 66
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo lim
x"0
tg x + 3x
.
x + sen x
0
Il limite presenta la forma indeterminata .
0
sen x
:
Sostituiamo tg x =
cos x
sen x
sen x + 3x cos x
+ 3x
tg x + 3x
sen x + 3x cos x
cos
cos x
x
lim
= lim
= lim
= lim
.
x " 0 x + sen x
x"0
x"0
x " 0 cos x (x + sen x)
x + sen x
x + sen x
Raccogliamo x al numeratore e al denominatore, semplifichiamo e calcoliamo il limite tenendo conto che
sen x
= 1.
lim
x"0
x
xb
sen x
sen x
+ 3 cos x l
+ 3 cos x
1+3$1
x
x
lim
= lim
=
= 2.
x"0
x"0
sen
x
sen
x
1
(1 + 1)
l
l
x cos x b1 +
cos x b1 +
x
x
Calcola i seguenti limiti, tenendo conto che lim
x"0
274
—
275
—
276
—
277
—
278
—
279
—
280
—
281
—
282
—
283
—
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
lim
x"0
sen x
1 - cos x
1 - cos x
1
= 1, lim
= 0, lim
= .
x"0
x"0
x
x
2
x2
sen 5x
x
[5]
sen kx
x
[k]
sen2 2x
x2
[4]
cos2 x - 1
2x
[0]
tg x
x
[1]
285
—
286
—
287
—
288
—
sen 6x
7x
:6D
7
senn x
sen xn
[1]
2tg x + x
x
[3]
x2 + x
2x + sen x
:1D
3
2x2
1 - cos x
284
—
289
—
290
—
291
—
[4]
292
—
293
—
lim
x"0
lim
x"0
tg 3x
sen x
[3]
1 - cos x
2 - cos x - 1
[2]
lim
sen x + 5x
x + 2 sen x
[2]
lim
1 - cos x
tg x sen x
:1D
2
lim
2x sen x
tg 2 x
[2]
lim
sen x + 2x cos x
x cos x + 2 sen x
[1]
lim
2 sen x + 5x
3 sen x - x
lim
1 - cos
lim
sen2 2x
x tg x
[4]
lim
x - x cos x tg 2x
$
x
sen2 x
[0]
x"0
x"0
x"0
x"0
x"0
x " 0+
x"0
x"0
x - sen
x
:7D
2
x
[- 3]
1527
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
294
—
295
——
296
——
297
——
298
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
sen 2x + x
x + sen x
:3D
2
sen 3x + 2x
5x + sen 3x
:5D
8
x
sen + 4x
6
lim
x"0
x
: 25 D
6
lim
x"0
lim
x"0
lim
——
x"0
299
lim
——
x"0
2 E
2
1 - cos x
x
[0]
1 + cos (x + r)
sen 3x
[0]
——
301
——
302
——
303
——
304
lim e 1 - cos x
[0+]
x " 0-
lim arctg b2 $
x"0
lim
x"0
cos x - 1
l
sen2 x
x 2 cos x
2 - 2 cos x
lim [ln (tg x) - ln (2x)]
x " 0+
x 2 + 4x
4 + sen x - 4 - sen x
lim
——
x"0
305
lim
——
x"0
cos 4x - cos 2x
sen2 x
306
lim
sen x - tg x
6x3
——
x"0
:- r D
4
[1]
: ln 1 D
2
[8]
[- 6]
:- 1 D
12
sen x
= 1 e il cambiamento di variabile
x
lim
x" 0
307
;
1 - cos x
x
lim
x " 0+
sen x
300
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo limr
x"
2
cos x
.
r
x2
0
.
0
sen x
= 1 con un cambiamento di variabile, ossia ponendo
Ci riconduciamo al limite notevole lim
x"0
x
r
r
y = x - , da cui x = y + .
2
2
r
Osserviamo che per x " , y " 0 e quindi il limite dato, utilizzando le formule degli archi associati,
2
diventa:
r
cos b y + l
cos x
2 = lim - sen y =- 1.
= lim
limr
y"0
y"0
r
y
y
x"
2 x2
Il limite presenta la forma indeterminata
Calcola i seguenti limiti mediante cambiamenti di variabile (in alcuni casi scritti a fianco).
308
—
309
——
310
——
311
——
312
——
1
lim b x sen l ,
x
x"3
lim
x"3
313
——
1
x+2
[2]
(2x - r) cos x
x (1 - sen x)
:- 8 D
r
lim 2x sen
x "+3
; 2 E
6
lim
x"0
arcsen x
x
[1]
——
cos x
2x - 3r
:1D
2
316
lim
x"0
arctg x
x
[1]
——
tg rx
2x + 8
:rD
2
317
lim
arcsen x + arctg 3x
sen x + 3x
[1]
——
1 - cos (1 - x)
2x2 - x - 1
lim
3
r
2
lim
[1]
——
lim
x "- 4
1
.
x
:3D
2
sen (x2 - 3x)
(x - 3) (x - 1)
x " 1+
x"
y=
314
315
limr
x"
2
x"0
1528
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 3. I LIMITI NOTEVOLI
318
——
319
——
320
——
321
——
322
——
lim
x"0
:1D
2
sen 2x
3x + arctg x
r
limr :b x - l tg x D ,
2
x"
y = x-
2
lim
x"2
x-2
,
sen (rx)
lim
x "- 1
lim
x"2
ESERCIZI
sen (rx)
,
x+1
r
.
2
[- 1]
y = r (x - 2).
:1D
r
y = r (x + 1).
[- r]
:1D
4
1 - cos (x - 2)
x2 - 4x + 4
1 lx
b
lim
1+
=e
x" 3
x
323
ESERCIZIO GUIDA
b
Calcoliamo xlim
"+3
5 + x lx
.
x
Per x " + 3 si ha la forma indeterminata 13 .
«Spezziamo» la frazione tra parentesi dividendo ciascun addendo del numeratore per x e semplificando:
lim b
x "+3
x
5 + x lx
b 5 + 1l .
= x lim
"+3 x
x
x
Per ricondurci al limite fondamentale poniamo y = , cioè x = 5y . Osserviamo che, per x " + 3 ,
5
y " + 3.
Il limite dato diventa:
lim b
x "+3
x
5y
5y
5
1
1 y
5
<
+ 1l = y lim
+
=
+
=
+
1
1
1
lim
lim
c
m
c
m
c
m F = e5 .
" + 3 5y
y "+3
y "+3
x
y
y
5
b1 +
Calcola i limiti tenendo conto che xlim
"3
324
—
325
—
326
—
327
—
328
—
329
—
x - 7 lx
lim b
x
[e- 7]
x "-3
2x
2
c x +2 1 m
lim
x "+3
x
lim
x"0
lim
x"0
ln (1 + 3x)
x
e- 2x - 1
x
ln (x + 5) - ln 5
x
[e 2]
331
—
[1]
64e@
1 lx
lim b1 +
4x
x "+3
2
lim {x [ln (x + 1) - ln x]}
x"0
330
—
x "+3
lim
ln (1 + x)
(1 + x) k - 1
ex - 1
1 lx
= e, lim
= 1, lim
= 1, lim
= k.
x"0
x"0
x"0
x
x
x
x
lim+
x"0
e
4x
-1
x
[2]
x+2l
lim b
x+1
x
332
—
[e]
x "-3
1
[3]
333
—
lim (1 + x) x
[e]
x"0
1
[- 2]
:1D
5
334
—
lim x c1 - e x m
[- 1]
x"3
2
335
—
[e6]
lim (1 + 3x) x
x"0
1529
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
336
—
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
lim b1 x "+3
2 lx
x
[e- 2]
1
337
—
338
—
339
—
340
—
341
—
342
—
343
——
344
——
345
——
346
——
347
——
348
——
349
——
363
x"0
351
e2x + 4 - 1
lim
x "- 2
x+2
lim
x"0
3l
x
x
ln (1 - 4x)
x
x"1
lim
[e3]
[6]
:eD
2
x
e -e
2x - 2
:1D
3
1 - e2x
lim
x " 0 sen x
[- 2]
cos x - ln (1 + x) - 1
lim
x"0
2x
e x - e- x
lim
x"0
8x
x"0
352
——
[2]
3x + 1 l
lim b x ln
x "+3
3x
lim
[2]
x"0
[- 4]
9 ln (1 + 2x)
lim
x"0
sen 3x
1 - cos3 x
2
ex - 1
lim x [ln (x 2 + 4) - 2 ln x]
x "+3
lim
——
353
x+2l
lim b x ln
x "+3
x
lim
lim
x "+3
[e 2]
lim (1 + 2x) x
lim b1 +
x "-3
350
——
:- 1 D
2
x"0
e
lim b
x"3
——
356
lim
x"0
[e 2]
tg x
- cos x
[1]
sen x
lim b1 +
354
355
1-e
:- 1 D
2
1
x
e
- e2
1 - cos2 x
——
——
1 l
2x
2 + x2
x "+3
x
x
l
2x + 1
6 e@
2
x
3x - 1 l 2
3x + 2
;
esen 4x - 1
ln (1 + tg x)
1
E
e
[4]
lim- (1 - cos x) tg x
:1D
e
(1 + x) 6 - 1
2x
[3]
——
r
x"
2
357
lim
——
x"0
358
lim
——
x"0
1+x -1
x
:1D
5
359
lim
(1 + 2x) 5 - 1
5x
[2]
5
——
x"0
360
lim
6
:1D
4
——
:3D
2
361
[0]
ln b1 +
x"0
7
lim x $
——
x"0
362
lim
——
x"0
:- 2 D
7
1 + sen x - 1
cos x - 1
:7D
6
sen x (1 - cos x)
7
x2 ( 1 + 3x - 1)
Prove that the following limit exists and determine its value: lim
x"0
——
: 1 D
12
1-x -1
e 2x - 1
3 sin 2x - x
.
5e2x - 5
(UK Manchester Metropolitan University, Centre for Mathematics Education, Bank of Questions)
:1D
2
ESERCIZI VARI
Il calcolo dei limiti
TEST
364
—
Quale dei seguenti limiti non si presenta in forma indeterminata?
x-1
1 - cos 2x
A lim 3
D lim
x"0
x " 1 x + 2x - 3
x
x
x
ln x
b +1l
lim
B lim+
E
x "+3 x - 1
x
x"0
x
lim
C
x " + 3 ex
365
—
sen 3x
1
= , quale delle seguensen 6 f (x)@
2
ti f (x) verifica tale limite?
Dato lim
x"0
A
B
C
f (x) = 6x
2
f (x) = x
3
3
f (x) = x
2
D
f (x) = 2x
E
f (x) = 9x
1530
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI IL CALCOLO DEI LIMITI
366
293
Quale dei seguenti limiti non vale e 2 ?
—
A
B
lim (1 + 2x)
1 l
lim b1 +
2x
2 l3x
lim b1 +
E
x "+3
3x
1
x
x
D
x"0
lim (1 + 3x)
2
3x
x"0
2 -x
lim b1 - l
C
x "+3
x
293
367
——
B
lim ; ln c1 x "+3
C
lim b
D
E
x"0
limr <
368
293
——
374
——
3x 4 - 1 mE 1x
3x - 4x5
x-3
l
x 2 - 2x - 3
3
- x2 + 1
:a) 7 ; b) 2 ; c) 1; d) - 3D
5
3
Calcola i seguenti limiti.
+3
B
0
1
C
-3
D
E
376
—
e3 .
C
3
e.
2
3
D
375
—
377
—
e2 .
378
Data la funzione continua y = f (x) tale che
A
1
B
-1
C
e
D
-e
E
1
x+1 ?
e- 1
sen (2x)
se x ! 0 , f (0) = a:
x
f è discontinua in x = 0 per ogni a ! R .
f è continua su R se e solo se a = 2 .
se a = 0 , f è dispari.
f è continua su R per ogni a ! R .
Sia f : R " R, f (x) =
A
B
C
D
(Università di Modena, Corso di laurea
in Matematica, Test propedeutico, 2001)
372
Trova lim
x"0
x"9
lim cx 4 - x 2 - xm
- 1 + cos x
.
3x 2 + 4x3
1
[- 63]
x " 81
2
e3
.
2
E
:1D
5
2x - x
x2 - x + 3
lim
3
3x
b1 + 1 l vale:
lim
x "+3
2x
e.
-1
x "-1
——
x2 - 1
.
(x - 1) 2
(USA Southern Illinois University Carbondale, Final
Exam, Fall 2002)
2 cos x - 1
sen x - 1
1
F
(3tg x - 3 ) 2
f (- 1) = 1, quanto vale lim f (x) (x + 2)
371
Find the following limits. You must show
all your work.
x 2 - x - 12
a) lim 2
;
x " 4 x - 3x - 4
2x
b) lim
;
x " 0 sin 3x
]x - x2 - 2x + 3 g;
c) x lim
"+3
x"1
—
——
3.
d) lim-
x"0
B
293
370
1.
B
C
x $ f (x)
?
limsen x
x"0
A
——
1
.
3
sen (2rx) D
=
6x
2
.
D
2
E Il limite non esiste.
Sapendo che lim- f (x) = 0 , quanto vale il
A
369
293
6
lim tg :
x " 0+
(USA University of Houston Mathematics Contest, 2009)
x
1
l
x - 3x + 1
x "-1
TEST
A
2
lim b1 -
x"
——
x "+3
Quale fra i seguenti limiti dà la forma indeterminata 30 ?
cos x
1
l
A lim b
r 1 - sen 3x
x"
2
373
——
ESERCIZI
:- 1 D
6
(USA Rice University Mathematics Tournament, 2007)
379
—
380
—
381
—
382
—
383
—
384
—
385
—
lim
x " 216
lim
x"0
x 3 - 34
3
x -4
[1]
3x
sen x + cos x
[0]
6 2@
limr (4 sen x - 2 cos x)
x"
4
2
lim
x"2
3r
x"
4
x"3
: 1 D
10
log 2 x
22x - 2 x - 2
lim
lim
:rD
2
x
sen x
limr
x"
: 4 D
3r
cos x + sen x + 1
x
log (x 2 - 2x - 2)
x2 + x - 1
lim
x"1
[0]
:1D
2
log x - cos (rx)
rx
+ 2x
2 sen
2
lim ] 1 + 2x - 3 + 2x g
[0]
x "+3
1531
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
386
—
387
—
388
—
389
—
390
—
391
—
392
—
393
—
394
—
395
—
396
—
397
—
398
—
399
—
400
—
401
—
402
—
403
—
404
—
405
—
406
—
407
—
408
—
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
1
x+2 - x+5
lim
x "+3
lim (- x 4 + 3x3 - 5x 2 + x)
x "+3
[- 3]
409
—
410
—
lim (- 5x3 + 2x 2 + 5)
x "-3
[+ 3]
411
—
r
limr :sen b x + l $ tg x D
2
x "-
[- 3]
[- 1]
2
lim [(3 + cotg x) $ sen x]
x"0
412
—
2x
1-x
lim
[- 2]
4
3
2
x -x +x
- x 2 + x3 - 2x
414
[- 3]
—
lim
x "-3
x+1
x -1
[- 1]
—
lim
x "+3
x-1
x +1
[1]
—
lim
x "-3
- 2x3 + x 2 + 1
3x2 + 4x3 - 2x
lim
x "-3
lim
lim
x "+3
[- 3]
- 3x
2x + 1 + x + 2
lim
lim ] 3 + 2x - 2 + x g
x "+3
lim ] 1 + x + x 2 - 3 + x 2 g
x "+3
lim ] 1 + 4x2 - 3 + x2 g
x "-3
x"0
lim
x"1
[0]
[- 3]
[+ 3]
2x2 + 7x - 4
3x2 + 10x - 8
lim+
x"1
2x3 + x 2 - 4x + 3
2x 2 - x - 1
lim +
x "- 2
x2 - x - 6
2x2 + 8x + 8
419
—
420
421
422
—
:1D
2
[+ 3]
423
—
424
—
[- 3]
lim
418
—
x3 + 3x + 4x2
x 4 - 2x3
x "- 4
—
—
[0]
x2 - 2x + 1
x-1
417
—
x2 + 3x + 1
x + 2x3
lim
x "+3
lim
:- 1 D
2
x2 + 3x + 1
1 - 2x
4
x "+3
416
[2]
x3 + 7x 2
x - 2x3 + 6
lim
x "-3
415
2x3 + 7
x - 2x + 6
3
x "-3
x2
x+2
[+ 3]
lim -
x 2 - x - 12
x3 + 6x2 + 9x
[- 3]
lim+
2x 2 + x - 1
4x3 - 8x 2 - 5x - 1
x "- 2
x "- 3
1
x"
2
3
—
425
—
426
—
[0]
427
—
: 9 D
14
[+ 3]
428
—
429
—
[- 3]
430
—
[- 3]
lim +
[1]
413
x "-3
x
x-1
lim
x " 1-
lim
3
x "- 2
x3 + 8
x2 - 4
lim
x -2
x2 - 16
lim
sen x
tg x
x"4
x"0
limr
x"
2
limr
x"
4
[0]
6- 3 3 @
: 1 D
32
[1]
cotg x
cos x
[1]
1 - cotg x
tg x - 1
[1]
lim
x2 + e x + 1
x2 + x sen x
lim
x2 - 2
x+1
x "-3
x "- 1
lim b
x "+3
2
1
-x+ l
x
x2
[1]
[3]
[- 3]
lim 6(1 - x) (x2 + 2)@
[- 3]
lim (- 2x 4 - x3 + 10x 2)
[- 3]
x "+3
x "-3
lim
5 - 2x + 3x 2
1 + x 2 - x3 - x 4
lim +
x2 - 3x - 10
x3 + 3x2 - 4
[+ 3]
lim
6x 2 + x + 3
2x 2 - 2x + 1
[3]
x "-3
x "- 2
x "-3
[0]
lim
2 - 2 cos x
x sen x
lim
sen2 x - cos x
x2
[- 3]
lim
x2 - 5
e x + e- x
:- 5 D
2
lim
x-
x"0
x"0
x"0
x"0
x2 + x
cos x
lim [log 2 (x 2 + 2x) - log 2 (2x 2 + 3)]
x "+3
1532
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[1]
[0]
[- 1]
ESERCIZI VARI IL CALCOLO DEI LIMITI
431
—
432
—
433
—
434
—
435
—
436
—
437
—
438
—
439
—
440
—
441
—
442
—
443
—
444
—
lim log
x "+3
1
x+2
[- 3]
—
lim [log sen 2 x - log (x 2 + 4x)]
x " 0+
:1D
2
sen x
x 2 + 2x
lim
2 sen x - 3x
x
lim
x"0
sen x - 2x
sen x + x
:- 1 D
2
lim
x"r
sen (x - r)
2x - 2r
:1D
2
x"0
445
446
—
447
—
448
—
449
—
450
—
451
—
452
—
453
—
455
—
lim e
x "+3
lim e
x+2
x-1
x+2
x-1
[+ 3]
x " 1+
x
b1 + 4 l
lim
x "+3
x
lim b1 x "-3
[- 1]
[e]
4
9 lx
x
456
—
457
—
458
—
459
—
460
—
461
—
462
[e ]
—
[e- 9]
—
463
lim b
x "+3
x l- x
1+x
[e]
—
lim b
x "-3
x + 4 lx
x+2
[e 2]
—
[e]
—
1 tg x
limr c1 +
m
tg x
x"
464
465
466
lim
x "+3
ln (1 - 2x)
lim
x"0
x
[- 2]
x+4 l
lim b
x " + 3 2x + 1
lim
x"0
ln (x + 1)
sen 2x + sen x
lim {x [log (2x - 1) - log (x + 2)]}
x "+3
lim+
x"0
log x 1x
$e
x
lim xe x ln x
x "+3
lim
x "-3
lim
x "-3
lim
x "+3
lim
x "+3
ex
1
$
x ln (x2 + x)
[0]
:1D
3
—
468
—
469
—
[2]
- 3x
lim (x 4) e
[+ 3]
sen 3x
sen 6x
:1D
2
lim
x"0
lim
x "+3
<
e3
ln (2r)
x+1
x2
lim log 1
x " 0+
e3 F
ln (2r)
2
[- 3]
x
lim ] 3 - 2 g
[0+]
x "+3
lim
x "+3
(x + 1)
e- x
lim b
x "!3
x+1 l
2x - 1
23x - 1
2x
lim
4 sen ln x
2 x ln x
x"1
x"0
x2 - 1
x
[0; + 3]
[2]
x - x+3
3
lim
x "+3
lim
[+ 3]
: 3 ln 2D
2
lim
x"0
5
[0]
cos 2x - cos x
cos x - 1
[3]
1
lim
[0; 1]
1
x " 1!
1 + 2 x-1
lim
x3 - 2x + 1
x3 - 1
:1D
3
lim
e x + e- x - 2
3x 2
:1D
3
x"1
x"0
lim e
2x2
x
[1]
x"0
;
1
470
[+ 3]
——
[- 3]
——
471
lim (1 - 4x) x
x"0
lim
x"0
tg x + 2x
sen x - x 2
1 E
e4
[3]
x
[+ 3]
472
——
[0]
473
——
e3x + 2
e2x - 1
[- 2]
e3x + 2
e2x - 1
[+ 3]
e3x + 2e x
e 4x - e x
467
2e3x + e2x + 3e x
e3x + e2x - e x
x "-3
2
x
—
[- 3]
lim
x"0
454
ESERCIZI
474
——
2
lim b1 +
x "+3
[e 5]
[1]
1 lx + 4
x
[e]
:1D
2
2
475
——
[0]
x + 10 l 2
lim b
x "+3
x
cos x + 2 sen x
limr log 2 c
m
cotg x + 1
x"
476
——
e x - 2 + cos x
x"0
sen2 x
ln (1 + x) 2
lim
x"0
sen2 x
lim
[2]
1533
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
477
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
lim
——
x"0
478
lim
——
x"0
479
lim
——
480
——
481
——
ln (6x 2 + 5x + 1)
x
[5]
e5x - ln [e (x + 1)]
x
[4]
ln (x + 1) e
x
x"0
——
x"2
x
[1]
:3D
4
;
sen x + cos x
cos 2x
limr
x "-
4
2 E
2
——
483
2
1
lim b l (x - 4)
x"4 3
lim+ ln 3
——
x"2
484
lim
——
485
——
486
——
487
——
488
——
489
——
490
r
x"
2
cos x
1 - sen x
x"0
lim
x"0
lim e
x"0
494
——
495
——
496
——
497
——
:- 1 D
2
:3D
4
x"0
[+ 3]
[se x " 0+, 0+; se x " 0-, + 3]
[- 1]
1
1+x m
lim c
x + x2
x"0
limr
x"
:1D
e
b poni 1 = y l
x
;
2x
x"3
lim
1 E
e2
ln x
ln (x + 2)
[1]
2x 2 sen2 x
ln (1 + 4x 4)
:1D
2
sen b2x -
4
lim x $
x"0
502
——
503
——
504
——
505
——
506
——
507
——
——
509
——
lim b1 x"3
lim b
x"3
2-1
[e- 8]
x
2x + 1 l 3
2x - 4
sen x - sen
limr
x"
2 4x
l
x2
[4]
r
x8
8
6
[ e5 ]
r
8
:cos r D
8
[e2]
lim (x + 2) x + 1
x "-1
lim (cos x)
-
;
4
x2
x"0
lim (1 - sen x)
cos x
x
[e- 1]
x"0
1
lim
x " x0
lim
x"1
1-e
(con x0 = 0, 1, 3)
x-1
x
:se x " 0+: 1, se x " 0-: 0; 3;
1 D
1-e
1 - cos (x - 1)
x2 - 1
[0]
b2 sen x - sen x l
2
lim
x"0
x3
lim
x"
1
2
10x3 + 5x 2 - 5x
2x 2 - 7x + 3
:1D
8
:- 3 D
2
rl
r
- ln b1 + 2x - l
2
2
r
x4
x + e 4x - ln 6e (5x + 1)@
1 - cos x
[0]
3x3 - 2x 2 + 5
2x + x 2 - 1
lim
x "-3
3
[ 3]
lim (1 + tg 2 x) x ln (x + 1)
[e]
x"0
1
511
——
512
——
513
——
514
——
515
lim+ x ln 4x
lim
x"e
limr
x"
2
lim
x"0
516
lim
x"0
;
(1 - x) 2x
(1 + x2) x
lim
x "+3
——
——
[e]
x"0
sen x - 1
x
x
b
cos x cos - sen l
2
2
e- x + sen x - cos x
x
1 + x3 - 1
x3 - x 4
1534
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
1 E
e2
:2D
e
ln x 2 - 2
x-e
4
[0]
1 E
e2
1
510
——
1 + x lx
1 + 2x
lim
1 - cos2 2x
x sen x
3
- 2x
x2
x "+3
501
——
508
cos x - e x
sen x
lim b
——
x"0
6- 2 2 @
2 x
e x2
2
——
:- r ; r D
2 2
3 sen x
ln (1 + x) 4
lim
lim
493
[- 2]
arctg (x - 1)
lim
x"1
2 (1 - x)
491
——
[- 3]
sen x - cos x
limr
r
x
x"
- l
4 tg b
8
2
x"0
492
-x
x-2
lim! arctg
——
——
[0]
2 sen (1 - e x)
ex - 1
x"0
500
lim
2
1
482
499
——
3e2 sen (x - 2)
4e x - (2e) 2
lim
498
;-
2 E
2
[0]
:1D
4
ESERCIZI VARI IL CALCOLO DEI LIMITI
517
——
518
——
519
——
520
——
521
——
522
——
523
——
524
——
525
——
526
——
527
——
528
——
x-5
x + 20 - 5
lim log10
x"5
e
lim
sen 2x
-e
tg x
x"0
-x b
lim 2
x "+3
[1]
[1]
3 x
2+ l
x
3
[ e]
:1D
2
lim x [ln (2x + 1) - ln x - ln 2]
-x
e -e
ln (1 + x)
lim
x"0
[2]
:1D
2
18x3 - 3x 2 - 4x + 1
lim
1
2x 2 + 27x + 13
x "2
[0]
27 lx
10
x + ex
lim
x "+3
-
x"0
lim b
x"0
1
x
[0]
[2]
2
1
(e + 2x) x
[e e ]
lim (e x - x x)
[- 3]
x "+3
Data la funzione
Z sen 5x
]]
2 sen 2x
f (x) = [
]] 5 + x ln (1 + x)
\4
calcola, se esiste, il lim f (x).
——
——
Data la funzione f (x) =
forma indeterminata
544
——
——
535
——
536
537
538
539
——
540
——
lim 2 x - 2 = 0
x"f
lim ln
x"f
[2; 3]
[2+; + 3]
2x + 1
=- 3
x2 - x
+
;- 1 ; + 3E
2
x - 5x2
=3
2x - x2
2x + 1
=+ 3
lim ln 2
x"f
x -x
lim
[2]
x"f
x
= !3
x-2
x+1
lim ln
= !3
x"f
x2
[0-; 1+]
lim ln
[0; 2]
x"f
[- 1+; 0; + 3]
0
.
0
Data la funzione f (x) =
:5D
4
lim 3 x2 - 4 =+ 3
x"f
lim ln
x"f
[- 2+; 2+; + 3]
x2 - x
=- 3
x+1
[0+; 1+]
Data la funzione f(x) tale che
2
x
,
# f (x) #
ln x + 1
x2 + 1
quanto vale x lim
f (x)?
"+3
541
——
542
se x $ 0
Data la funzione
Z
]] arcsen x + 1
se x # 0
2
f (x) = [
]] r cos b x - r l se x 2 0
3
\3
calcola, se esiste, il lim f (x).
x"0
543
534
se x 1 0
x"0
530
——
sen 4x l 1x
[se x " 0+: + 3, se x " 0-: 0+]
x
(Suggerimento. Trasforma x con l’identità
a = e lna : x x = ef, poi raccogli ex.)
529
533
——
x
——
x-1
=3
x 2 - 5x + 6
x3
x sen x (e x - 1)
lim
x " 0 ln (1 + x) (1 - cos x)
lim+ e
——
——
2x + b
lim
x"f
- x2
——
2 + cos x
2x + sen x
lim
x "+3
——
532
x "+3
x
COMPLETA
531
sen x
ESERCIZI
——
[0]
Trova per quale valore di a la funzione
se x # - 1
2x 2 - ax + 1
f (x) = * ax - 1
se x 2 - 1
x+2
ammette limite nel punto x = - 1. [a = - 2]
f (x) - f (c)
nel punto indicato a
x-c
fianco di ciascuna delle seguenti funzioni.
Calcola lim
x"c
a) f (x) =
x;
c = 3.
2
b) f (x) = 5x ;
c) f (x) = e3x ;
:rD
6
c = 1.
c = 1.
r
d) f (x) = sen x ; c = .
6
<a) 1 ; b) 10; c) 3e3; d) 3 F
2
2 3
ax 2 + 2x + b
, trova a, b, c, sapendo che lim f (x) = 2 e che per x " - 1 si ha la
x"0
cx - 1
[a = 4; b = - 2; c = - 1]
x-1
, determina per quale valore di a si ha lim f (x) = 3 .
x "- 1
2a - x2
:a = 1 D
2
1535
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
545
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Calcola per quale valore di a si ha lim
x"0
——
546
——
Data la funzione f (x) =
sen ax
=- 4 .
5x
[a =- 20]
3ax2 + 1
, trova per quali valori di a e b si ha:
bx - x 2
lim f (x) =- 1 e lim f (x) = 3 .
x"1
x "+3
547
——
548
——
Data la funzione f (x) =
ax2 - 4
2
3
, trova a e b, sapendo che xlim
f (x) =
e lim f (x) = 0 . :a = 1; b = D
"3
3 x"2
2
bx2 - x
Quali valori devono assumere i parametri a e b affinché sia x lim
"+3
4x + a
=- 2 ? [a = - 2; b = 0]
(a + b) x + bx 2
ax
549
——
550
:a = 1 ; b = 1D
3
Determina a e b tali che la funzione f (x) = 2 x + 2b abbia xlim
f (x) =
"3
Trova per quale valore di k si ha lim
x"0
——
1
1
e lim f (x) = 0 . :a =- 1; b =- D
2 x " 1+
2
ln (1 + kx)
=+ 3 .
8x
[k = 24]
Discuti al variare di k il risultato dei seguenti limiti.
551
——
lim
x "+3
2xk + x + 1
, k ! N.
x2 - 1
[se 0 # k 1 2: 0; se k = 2: 2; se k 2 2: + 3]
lim a 2 x - 3 + x k, k ! Z .
x"3
[se k = 0: 4; per x " 3+, se k 2 0: + 3, se k 1 0: 3; per x " 3-, se k 2 0: 3; se k 1 0: + 3]
k
552
——
553
——
lim
x "-3
2kx2 - 1
, k ! R.
x+4
lim
——
x"0
sen kx
, k ! R.
x (2 - k)
555
lim
ln (k + x)
x
554
——
556
——
557
——
x"0
[se k = 0: 0; se k 2 0: - 3; se k 1 0: + 3]
:se k = 0: 0; se k = 2: impossibile; se k ! 0 / k ! 2:
k D
2-k
:se k 1 0: impossibile; se k =0: si ha solo lim+ ln x =- 3; se k =1: 1; se k 2 0 / k !1: 3D
x
x"0
Verifica che la funzione f (x) =
cos x
ha come asintoto orizzontale la retta y = 0 .
x
e- x + 2e x
2
Verifica che la funzione f (x) = - x
ha come asintoto orizzontale la retta y = . Esistono altri asin3
e + 3e x
toti per f(x)?
[sì: y = 1]
I problemi con i limiti
I problemi di geometria piana
558
——
V . Conduci una semiretta r avente origine in A, che inconW = 3ABC
Nel triangolo ABC si ha: AB = b , BAC
V
W
tri il lato BC in P e tale che risulti: BAP , PBA .
AP
V tende a 0 e quando tende a r .
a) Calcola il limite del rapporto
quando l’angolo PBA
4
AC
BH
V
quando l’angolo PBA
b) Indica con H la proiezione di B sulla remiretta r e calcola i limiti del rapporto
PB
r
tende a 0 e quando tende a .
[a) 2; 0; b) 0; 1]
4
1536
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI IL CALCOLO DEI LIMITI
559
——
560
——
561
——
562
——
In un trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB e il lato obliquo CB misurano 4a e la
base minore DC misura 2a.
Dopo aver determinato gli elementi incogniti del trapezio, traccia la semicirconferenza
di diametro CB che incontra la base maggiore nel punto H. Considera un punto P apparV = x , calcola
tenente all’arco CH e, posto PBH
2
PH
lim
.
[0]
P " H AP 2 - PB 2
È dato un quadrante di cerchio OAB di raggio
OA = r . Considera sull’arco AB due punti C e
W = 2AOC
W e indica con C l e Dl
D tali che AOD
le proiezioni di C e D su OA. Calcola i limiti:
DlA
DlC l
lim
, lim
.
[4; 3]
D " A C lA
D " A C lA
È data una semicirconferenza di centro O con
diametro AB = 2r . Conduci dal punto A due
W = r e, semcorde AC e AD in modo che COD
3
pre dal punto A, la semiretta tangente in A alla
semicirconferenza.
Detta P la proiezione di C sulla tangente, espriW il rapporto
mi in funzione dell’angolo PAC
AP $ CD
, dove Ꮽ(ACD) rappresenta l’area
Ꮽ (ACD)
del triangolo ACD, e calcola il limite di tale rapporto al tendere di C ad A.
[4]
È dato il settore circolare AOB di centro O, ragr
gio r e angolo al centro . Considera un pun4
to Q sull’arco AB e sia QH la distanza di Q dalla
tangente in A all’arco AB. Dal punto Q traccia la parallela a OB che incontra in R il raggio OA. Calcola:
QH
QH
:0; 1 D
e lim
.
lim
Q " A QR
Q " A QR 2
4r
564
——
565
——
566
——
567
——
563
Data una circonferenza di raggio r e una sua
r
corda AB a distanza dal centro O, indica con
2
M il punto medio del maggiore dei due archi AB
e con P un generico punto dell’arco minore.
Il segmento MP interseca la corda AB in Q.
PA
.
[1]
Calcola lim
P " A AQ
In un quarto di circonferenza di estremi A, B e
raggio r = 1, traccia la tangente t passante per
B e la corda AB. Considera un punto M appartenente all’arco AB e, dette T e C le sue proiezioni ortogonali sulla tangente t e sulla corda AB,
calcola il limite:
MT
.
[0]
lim
M " B MC
Nel parallelogramma ABCD le misure dei lati
AB e BC sono rispettivamente a e b e l’angolo in
B misura 120°. Dal generico punto F appartenente al lato BC conduci la parallela al lato AB
che incontri in G la diagonale AC e in E il lato
AD. Calcola il limite del rapporto fra l’area del
triangolo CFG e quella del trapezio CDEG al
tendere di F a C.
[0]
Dato il settore circolare AOB di centro O, ragr
, considera un pun4
to P sull’arco AB e la sua proiezione H su OA.
Traccia la circonferenza con centro in H passante per P e sia Q il suo punto di intersezione
OQ
.
[ 2]
zione con OA. Determina lim
P " B BP
gio 1 e angolo al centro
Considera la semicirconferenza di centro O e
diametro AB = 2r , traccia la semiretta t tangente in A e la semiretta s di origine O che interseca la semicirconferenza in P e la semiretta
PQ + AQ
.
[1]
t in Q. Calcola lim
P"A
PA
I problemi di geometria analitica
568
——
569
——
——
ESERCIZI
Studia il fascio di parabole di equazione
y =- x 2 + kx , verificando che ha come punto
base l’origine O degli assi. Dopo aver scritto
l’equazione della tangente in O alla generica
parabola del fascio, considera il punto di intersezione C tra tale tangente e la retta x = k e il
punto H, proiezione di C sull’asse x.
OC - OH
:1D
.
Calcola lim
k " 0 CH $ OH
2
Siano date l’iperbole di equazione x 2 - y 2 = 4
e la retta r di equazione y = 2x - 4 e siano A e
B i loro punti di intersezione (A di ascissa minore). Sull’arco di iperbole AB considera un punto
P e calcola:
PK
,
lim
P " A PH
dove PK è la distanza di P dalla retta r e PH è
la distanza di P dall’asse x.
1
;
E
5
1537
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
570
——
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
In una circonferenza con centro nell’origine
degli assi e raggio r indica con B il suo punto di
intersezione con la parte positiva dell’asse y.
Considera il punto P sull’arco di circonferenza
che si trova nel primo quadrante, la sua proiezione$ K sulla tangente alla circonferenza in B e
calcola:
PK
PK
:0; 1 D
e lim
.
lim
P " B BK
P " B BK 2
2r
573
——
574
——
y2
x
Considera l’ellisse
+
= 1 e la retta r di
4
9
equazione 3x + 2y - 6 = 0 . Siano A e B i loro
punti di intersezione (A di ascissa maggiore).
Sull’arco di ellisse AB prendi un punto P e
calcola:
PK
,
lim
P " A PH
dove PK è la distanza di P dalla retta r e PH è
la distanza dalla tangente all’ellisse in A. [+ 3]
2
571
——
572
——
Sono date le iperboli equilatere di equazioni:
1 - 2x
3x
y=
, y=
.
x+1
x+1
Considera la retta x = h (h 1 - 1) e i punti Q e
R di intersezione con le iperboli. Calcola:
area (AOQ)
lim
,
h " - 3 area (AOR)
essendo A (- 2; 0) e O l’origine del sistema di
assi cartesiani.
:2D
3
Considera la parabola c con l’asse coincidente
con l’asse y, avente come vertice il punto V (0; - 4)
e passante per A(4; 0). Traccia la retta t tangente
in A, considera un punto P sull’arco AV di c e,
indicata con Q la sua proiezione su t, calcola:
PQ
.
[0]
lim
P " A PA
a) Nel fascio di parabole
y = kx 2 - 2x + 3 ,
determina il punto base B e la tangente comune alle parabole in B.
b) Sia Q il punto di intersezione della retta con
l’asse x. Considera il vertice V della generica
parabola del fascio e calcola:
BV
BV
, lim
.
lim
k " 3 QV
k " 0 QV
[a) B (0; 3), y + 2x - 3 = 0; b) 1, 0]
575
——
Considera il fascio di circonferenze:
x2 + y 2 + kx - 2 (k - 3) y + 4k - 16 = 0 .
a) Determina l’asse radicale e i punti base A e B
(A è quello di ascissa minore).
b) Sia C il centro della generica circonferenza e
O l’origine degli assi. Calcola:
CO
CO
lim
, lim
.
k " 3 CB
k " 0 CB
:a) x - 2y + 4 = 0, A (- 4; 0), B (0; 2); b) 1; 3 D
5
4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI
E IL LORO CONFRONTO
䉴 Teoria a pag. 1492
Gli infinitesimi
Verifica che le seguenti funzioni sono infinitesimi.
576
—
577
—
578
x - sen x
,
sen x
per x " 0 ;
a) f (x) = x3 - 2x + 1,
per x " 1;
a) f (x) =
tg x
- cos x ,
per x " 0 .
x
1
b) f (x) =
,
per x " + 3 .
x-3
b) f (x) =
ESERCIZIO GUIDA
Confrontiamo fra loro gli infinitesimi:
f (x) = ln (2x2 + 1), g (x) = e- x - 1, per x " 0 .
1538
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PARAGRAFO 4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
ESERCIZI
Le due funzioni sono infinitesimi perché:
lim ln (2x2 + 1) = lim (e- x - 1) = 0 .
x"0
x"0
Consideriamo il rapporto fra i due infinitesimi e calcoliamo il limite per x " 0. Tenendo conto che x ! 0,
moltiplichiamo e dividiamo sia per 2x 2, sia per - x, in modo da poter utilizzare i limiti notevoli:
ln (2x2 + 1)
ln (2x2 + 1) 2x2
-x
lim
=
$
$
=
x"0
x"0
- x e- x - 1
2x2
e- x - 1
ln (2x2 + 1)
-x
= 1 $ 0 $ 1 = 0.
= lim
$ lim (- 2x) $ lim - x
x"0
x"0
x"0 e
2x2
-1
lim
Poiché lim
x"0
f (x)
= 0, f (x) è infinitesimo di ordine superiore a g (x).
g (x)
Confronta fra loro gli infinitesimi seguenti.
579
—
580
—
581
—
582
—
583
——
f (x) =
1
,
x2
g (x) =
1
,
x+6
per x " 3.
[ f (x) ord. sup. a g (x)]
f (x) = e2x - 1,
g (x) = sen x,
per x " 0 .
[ f (x) stesso ordine rispetto a g (x)]
f (x) = ln (1 - 2x),
g (x) = x (1 - e3x),
per x " 0 .
[ f (x) ord. inf. a g (x)]
g (x) = x ,
per x " 0 .
[non confrontabili]
g (x) = sen 2x,
per x " 0 .
[ f (x) ord. sup. a g (x)]
f (x) = x sen
1
,
x
f (x) = 1 - cos 4x ,
Confronta gli infinitesimi seguenti con i relativi infinitesimi campione.
584
——
585
——
586
——
587
——
588
f (x) = 2 - x + 4 ,
f (x) =
-3
,
x 4 + 2x 2 - 1
per x " 0 .
[ f (x) stesso ordine rispetto a x]
: f (x) ord. sup. rispetto a 1 D
x
per x " 3.
f (x) = x3 + x 2 - 2x,
per x " 1.
[ f (x) stesso ordine rispetto a x - 1]
f (x) = ln2 (1 + 2x),
per x " 0 .
[ f (x) ord. sup. rispetto a x]
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo l’ordine dell’infinitesimo f (x) =
Confrontiamo f (x) con l’infinitesimo b
1
, per x " 3 .
x 2 - 2x
1 lk
:
x
1
2
1
xk
x
2x = lim
$ xk = xlim
.
lim
k
2
"
3
"
3
x"3
x
2
x
x
2
x2 b1 - l
b1l
x
x
Il limite è finito e diverso da 0 (vale 1) per k = 2 , quindi l’infinitesimo è di ordine 2.
Determina l’ordine dei seguenti infinitesimi.
589
—
590
—
f (x) = sen x,
f (x) =
1
,
x+3
per x " 0 .
[1]
per x " 3.
[1]
591
——
592
——
f (x) = 1 - cos x,
per x " 0 .
[2]
f (x) = tg x,
per x " 0 .
[1]
1539
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ESERCIZI
593
——
594
——
597
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
f (x) =
1
,
x3 + 3x
f (x) = ln (1 + 2x),
per x " 3.
[3]
per x " 0 .
[1]
595
——
596
——
f (x) = sen x (e 2x - 1),
per x " 0 .
f (x) = 1 - 4x 2 ,
per x "
1
.
2
[2]
[1]
ESERCIZIO GUIDA
Con il principio di sostituzione degli infinitesimi calcoliamo lim
x"0
(1 - cos x) sen 4x
.
ln (1 + 8x)
x2
, sen 4x + 4x e ln (1 + 8x) + 8x , abbiamo:
2
x2
$ 4x
(1 - cos x) sen 4x
= lim 2
= 0.
lim
x"0
x"0
ln (1 + 8x)
8x
Poiché, per x " 0 , 1 - cos x +
Utilizzando il principio di sostituzione degli infinitesimi, calcola i seguenti limiti.
598
—
599
—
600
—
601
—
606
——
607
——
608
sen 2x
x " 0 ln (1 + 4x)
(e x - 1) sen 3x
lim
x"0
ln2 (1 - x)
x2
(e - 1) (1 - cos x)
lim
x"0
sen 4 x
ln (1 + 3x)
lim
x"0
sen 6x
lim
:1D
2
[3]
2
602
—
603
—
:1D
2
:1D
2
604
—
605
—
lim
x"1
ex - 1 - 1
sen (x - 1)
[2]
:1D
5
2x2 + sen x
5x + x 4 cos x
2x + sen 2x + 1 - cos 4x
lim
x"0
- 2x 4 + sen2 x
tg x + 3x 2 + ln (1 + x)
lim
x"0
sen3 x + 6x
lim
x"0
[3]
:1D
3
Dimostra che le misure della superficie e del volume della sfera sono entrambe infinitesimi quando la misura
del raggio tende a 0 e confronta gli infinitesimi.
È possibile, per qualche valore particolare del parametro k, che le funzioni f (x) = kx - k e g (x) = x 2 + kx - 2
siano infinitesime per x " x0 , con x0 valore comune? In caso affermativo calcola il valore di x0 e confronta
gli infinitesimi.
TEST Per
——
x " 0 le funzioni 1 - cos x e sen x :
sono infinitesime dello stesso ordine.
B 1 - cos x è infinitesima di ordine inferiore.
A
1 - cos x è infinitesima di ordine superiore.
D sono equivalenti.
C
(Politecnico di Torino, Test di autovalutazione)
Gli infiniti
Controlla se le seguenti funzioni sono infiniti.
x-3
609
a) f (x) = 3
,
per x " 3;
—
x +2
x4 + 1
,
per x " 3.
b) f (x) =
2x
[a) no; b) sì]
611
610
—
a) f (x) =
x
,
cos x
b) f (x) = ln (1 + x),
per x "
per x "- 1+ .
[a) sì; b) sì]
ESERCIZIO GUIDA
Confrontiamo fra loro gli infiniti:
1
1
f (x) = 2 , g (x) = 3
,
x
(x + x) (x2 - 2x)
r
;
2
per x " 0 .
1540
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PARAGRAFO 4. GLI INFINITESIMI, GLI INFINITI E IL LORO CONFRONTO
ESERCIZI
Le due funzioni sono infiniti, in quanto:
lim
x"0
1
1
= lim 3
= 3.
x " 0 (x + x) (x 2 - 2x)
x2
Calcoliamo il limite del rapporto tra i due infiniti, tenendo conto che x ! 0:
1
2
2
2
1 x (x + 1) (x - 2)
x
= lim 2 $
= lim (x 2 + 1) (x - 2) =- 2 .
lim
x"0
x"0 x
x"0
1
1
3
2
(x + x) (x - 2x)
Poiché il limite è finito e diverso da 0, i due infiniti sono dello stesso ordine.
Confronta fra loro i seguenti infiniti.
612
—
613
—
614
—
615
—
f (x) = x 4 + 3x2 - 2x ,
1
,
(x - 1) 2
1
f (x) =
,
1
x cos
x
f (x) =
f (x) =
x2 + 2x - 1,
g (x) =- 3x3 + x + 1,
1
,
(x3 - x) (2x - 2)
1
g (x) = ,
x
g (x) =
g (x) = x2 + x ,
[ f (x) ord. sup. a g (x)]
per x " 3.
per x " 1.
[stesso ordine]
per x " 0 .
[non confrontabili]
[ f (x) ord. inf. a g (x)]
per x " 3.
Confronta gli infiniti seguenti con i relativi infiniti campione.
616
——
617
——
618
——
619
——
f (x) =
1
,
x3 + x 2 - 2x
f (x) =
x 2 + 2x + x ,
1
,
ln (1 + 3x 2)
1
f (x) =
,
sen 2x + sen 2 x
f (x) =
: f (x) stesso ordine rispetto a
per x " 1.
per x " + 3 .
1 D
x-1
[ f (x) stesso ordine rispetto a x]
: f (x) ord. sup. rispetto a 1 D
x
1
: f (x) stesso ordine rispetto a D
x
per x " 0 .
per x " 0 .
Determina l’ordine dei seguenti infiniti.
620
——
621
——
622
——
623
——
f (x) =
2x - 1
,
x
f (x) = x 4 + 2x 2 + x ,
1
,
x3 - 4x
x4 + x
f (x) =
,
x-1
f (x) =
per x " 0 .
[1]
per x " 3.
[4]
per x " 2 .
[1]
per x " 3.
[3]
624
——
625
——
626
——
627
——
1
,
sen2 2x
1
f (x) =
,
(x - 3) 2
f (x) =
f (x) =- x 4 - 1,
f (x) =
x 2 + 4x + 1
,
x2
per x " 0 .
[2]
per x " 3 .
[2]
per x " 3.
[4]
per x " 0 .
[2]
La gerarchia degli infiniti
628
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo il seguente limite utilizzando la gerarchia degli infiniti:
1
lim x 3x3 .
x "+3
1541
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Utilizziamo la definizione di logaritmo, da cui a = e lna (a 2 0) :
1
lim x 3x3 = x lim
e ln x
"+3
x "+3
1
3x 3
.
Sfruttiamo una proprietà dei logaritmi:
1
lim e 3x3
x "+3
lnx
1 ln x
$ 3
x
e3
= x lim
"+3
.
Per la gerarchia degli infiniti x lim
"+3
ln x
= 0 , quindi il limite cercato vale e0 = 1. In conclusione:
x3
1
lim x 3x3 = 1.
x "+3
Calcola i seguenti limiti utilizzando la gerarchia degli infiniti.
629
—
630
—
631
—
632
—
633
—
634
—
ln x
x2
ln x2
lim
x " +3 ex
x4
lim
x " + 3 ln x
lim
[0]
x "+3
e- x
x4
x3
lim
x " + 3 ln 2 x
x2
lim
x " + 3 4 ln x
lim
x "-3
—
lim x x
[1]
x " 0+
[+ 3]
[+ 3]
[+ 3]
[+ 3]
lim ln x x
[0]
x "+3
637
—
638
—
639
——
640
——
641
——
642
——
lim x x
x "+3
[1]
[0]
x " 0+
lim+ b1 +
x"0
lim b
x"3
644
——
1
4x
lim x
643
——
1
[0]
1
635
636
—
645
——
1 lx
x
[1]
646
——
1 1x
l
x2
[1]
lim x ln x
[0]
x " 0+
647
3
lim x2e- x
[0]
lim e- 2x ln 2x
[0]
2e x + x8
x2 - e x
[- 2]
x "+3
——
x "+3
648
lim
x "+3
——
lim xsenx
e2x
[+ 3]
x - ln x + 1
ln2 x + 2e x
lim
[+ 3]
x "+3
x2
ln x
lim
[0]
x " + 3 x 4 - 4x 2 + 6
lim
x "+3
[1]
x " 0+
5. LE FUNZIONI CONTINUE
649
—
650
䉴 Teoria a pag. 1497
Se f(x) è una funzione definita nell’intervallo [a; b], c un punto interno a tale intervallo e se vale il limite
lim
f (x) = l , possiamo affermare che la funzione f(x) è continua in c? Motiva la risposta.
x"c
TEST
——
Consideriamo la funzione:
ln (2x - 1)
f (x) = (
1-x
se x $ 1
se x 1 1
Una delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
A
B
C
D
E
f(x) è continua soltanto in x = 1.
f(x) presenta una discontinuità in x = 1.
f(x) è continua 6x ! R .
f(x) non è definita in x = 1.
Nessuna delle affermazioni precedenti è
vera.
651
TEST
——
Sia f : R " R, f (x) =
3
se x ! 0 ,
x2
f (0) = a :
f
f
C f
D f
A
B
è periodica.
è discontinua in x = 0 per ogni a ! R .
è continua su R per ogni a ! R .
è continua su R se e solo se a =+ 3 .
(Università di Modena, Corso di laurea in Matematica,
Test propedeutico, 2001)
1542
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 5. LE FUNZIONI CONTINUE
ESERCIZI
Quali delle funzioni rappresentate dai seguenti grafici non sono continue in c e perché?
652
—
y
y
y
O
x
c
a
O
c
x
O
b
y
x
c
c
O
c
x
d
[a; b; d]
Rappresenta le seguenti funzioni e trova eventuali punti in cui non sono continue.
653
—
654
—
f (x) = (
ex
se x 1 0
2x + 1 se x $ 0
[f (x) continua 6x ! R]
f (x) = (
1-x
2x - 2
se x # 1
se x 2 1
[f (x) continua 6x ! R]
655
—
656
—
- 2x + 1
f (x) = (
ln x
1
- x
f (x) = * 2
x2 + 1
se x 1 1
se x $ 1
[f (x) discontinua in x = 1]
se x # 0
se x 2 0
[f (x) discontinua in x = 0]
Disegna il grafico delle seguenti funzioni, verificando che sono continue nei punti segnati a fianco.
657
—
658
—
659
—
660
—
661
—
665
—
f (x) = 4x + 3 ,
x0 =- 4 .
f (x) = 1 - 3x ,
x0 = 0 .
f (x) = x2 - 6 ,
x0 =- 1.
—
663
—
f (x) = 2 - 3x2 ,
x 0 = 1.
f (x) =
x0 = 5 .
4x + 5 ,
Verifica graficamente che la seguente funzione
è continua a destra in x0 = 0:
-x
f (x) = (
2x + 1
666
662
664
—
668
—
se x 1 0
se x $ 0
Verifica graficamente che la funzione
—
y=
x2 - 4
x-2
non è continua in x0 = 2.
667
—
Verifica che la funzione
x2
f (x) = * x
0
se x ! 0
se x = 0
è continua in tutto il suo dominio.
669
——
x-1
f (x) = (
- 2x + 2
se x $ 1
,
se x 1 1
x 0 = 1.
f (x) = (
se x # 0
,
se x 2 0
x0 = 0 .
f (x) =
x2
2x
x
,
2x - 1
x 0 = 1.
Considera la funzione:
Zbx
se x 1 1
]
f (x) = [ a - 2 se x = 1
] 2
se x 2 1
\x
Quali valori devono assumere i parametri a e b
affinché la funzione sia continua in tutto il suo
dominio?
[a = 3; b = 1]
Data la funzione:
Zx+2
]]
se x 1 0
x-1
f (x) = [
]] ln (ax + 1)
se x 2 0
x
\
trova per quale valore di a nel punto x = 0 ammette limite.
Per il valore trovato di a la funzione risulta continua in x = 0 ?
[ a =- 2 ; no]
1543
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
I teoremi sulle funzioni continue
670
—
Spiega perché, per le funzioni rappresentate nei seguenti grafici, non è possibile applicare il teorema di
Weierstrass negli intervalli indicati.
y
O
4
]1; 4[
a
671
1
x
y
y
y
O
1
O
5 x
3
[1; 5]
b
c
4
x
]0; 4]
O
d
1
x
3
[1; 3]
ESERCIZIO GUIDA
Stabiliamo se vale il teorema di Weierstrass per la seguente funzione, nell’intervallo indicato:
- x2 + 4
f (x) = * 1
x-1
2
se x # 2
se x 2 2
, in [- 1; 3] .
Dobbiamo verificare l’ipotesi del teorema, ossia che la funzione è continua nell’intervallo [- 1; 3].
Per ogni x ! [- 1; 3] e x ! 2 , la funzione è continua perché sono continue le funzioni y =- x2 + 4 e
1
y = x - 1.
2
1
Per x = 2 si ha f (2) = 0 e lim- (- x2 + 4) = lim+ b x - 1l = 0 , quindi anche in 2 la funzione è con2
x"2
x"2
tinua.
Concludiamo che vale il teorema di Weierstrass.
y
Osservazione. Dal grafico della funzione possiamo dedurre che nell’intervallo [- 1; 3] il punto
di massimo è (0; 4) e quello di minimo è (2; 0). Il
massimo M della funzione è M = 4 e il minimo
m è m = 0.
4
–1 O
2
3
x
Stabilisci se, per le seguenti funzioni, vale il teorema di Weierstrass, nell’intervallo indicato a fianco.
672
—
673
—
f (x) =
f (x) =
1
,
2x - 1
1
,
x-1
in [- 1; 2].
[no]
676
—
in [1; 2].
[no]
677
—
674
—
675
—
f (x) = ln (x + 1),
f (x) =
5x
,
x2 - 1
in [1; 3].
f (x) =
x2
se 0 # x # 1
, in [0; 3].
x + 1 se 1 1 x # 3
sen x - x
,
2 cos x - 1
[sì]
678
in [2; 7].
f (x) = (
[sì]
—
f (x) = ln
2x
,
x+3
1544
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
in :0;
[no]
rD
. [no]
2
in [0; 5].
[no]
PARAGRAFO 5. LE FUNZIONI CONTINUE
ESERCIZI
Disegna i grafici delle seguenti funzioni nell’intervallo indicato a fianco, controlla le ipotesi del teorema di Weierstrass e, quando è possibile, determina il massimo M e il minimo m della funzione.
679
—
680
—
681
—
682
—
683
—
684
—
f(x) = x 2 - 4x,
in [0; 3].
[sì, M = 0, m = - 4]
f(x) = 1 + ln x,
in [1; 3].
[sì, M = 1 + ln 3, m = 1]
in [0; 3].
[no]
f (x) =
x
,
x-1
f(x) = - x 2 + 3x, in [- 1; 0].
- 2x + 1
f (x) = )
x
se 0 # x 1 1
se 1 # x # 4
[sì, M = 0, m = - 4]
,
in [0; 4].
[no]
Controlla graficamente che la funzione
f (x) = (
x2 - 1
2x + 4
se x # 0
se x 2 0
non verifica il teorema dei valori intermedi nell’intervallo :685
——
686
1 D
;2 .
2
Una funzione f(x) considerata in un intervallo [a; b] può assumere tutti i valori compresi tra il minimo e
massimo senza essere continua? Motiva la risposta.
[sì]
ESERCIZIO GUIDA
Stabiliamo se vale il teorema di esistenza degli zeri per la seguente funzione, nell’intervallo indicato:
f (x) =
x
1 1
, in :- ; D.
2 2
2x 2 - 1
La funzione è discontinua per i punti in cui 2x 2 - 1 = 0 " x 2 =
Poiché tali punti non appartengono all’intervallo :Inoltre:
f b-
2
1
, ossia per x = !
.
2
2
1 1D
, la funzione è continua nell’intervallo.
;
2 2
1l
1
= 1 2 0 e f b l =- 1 1 0 .
2
2
Sono quindi verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri, pertanto esiste almeno un punto c
1 1
interno a :- ; D in cui f (x) = 0 . Nel nostro caso è c = 0 .
2 2
Stabilisci se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri per le seguenti funzioni, negli intervalli indicati.
687
——
688
——
f (x) =- ln x ,
1
in : ; e D .
e
[sì]
f (x) = 2x5 + x 2 + 1,
in [0; 2].
[no]
689
——
690
——
f (x) = 1 - x - ln x ,
in [1; 2].
[no]
f (x) = 1 - e x - 1 ,
in [0; 2].
[sì]
Stabilisci se il teorema di esistenza degli zeri permette di affermare che le seguenti equazioni ammettono soluzioni nell’intervallo indicato.
691
——
- 1 + x + sen x = 0 ,
in :0;
rD
.
2
[sì]
692
——
x3 + x + 1 = 0 ,
in [- 2; 4].
1545
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[sì]
ESERCIZI
693
——
694
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
- 2 + x + ln (1 + x) = 0 ,
4 arctg
——
697
in [0; 3].
[sì]
695
——
x+1
+ x - 1 = 0 , in [- 1; 0].
x2 + 1
[sì]
696
——
1
in : ; e D.
e
ln x + x = 0 ,
x2 +
[sì]
1
= 0 , in [- 1; 2] e in [- 4; 0].
x+3
[no, no]
ESERCIZIO GUIDA
Stabiliamo che la seguente equazione ammette soluzioni nell’intervallo indicato e verifichiamo graficamente il risultato ottenuto:
e x - ln x = 0 , in [0; 1].
Poiché ln x non esiste per x = 0 , invece dell’intervallo dato ne consideriamo uno meno ampio, con il
primo estremo di poco maggiore di 0. Per esempio [0,1; 1].
In [0,1; 1] la funzione f (x) = e x - ln x è continua. Inoltre
f (0, 1) -- 1, 197 1 0 ;
f (1) = e 2 0 ;
quindi agli estremi dell’intervallo la funzione assume valori di segno opposto. Sono vere le ipotesi del
teorema degli zeri, perciò e x - ln x = 0 in almeno un punto dell’intervallo: l’equazione ammette soluzione in [0,1; 1] e, a maggior ragione, anche in [0; 1].
Per verificare graficamente la nostra affermazione tracciamo i grafici delle funzioni:
y
y = ex
y = e e y = ln x .
x
I due grafici si intersecano in un punto che ha
ascissa appartenente all’intervallo [0; 1].
1
In tale punto si ha:
O
y = ln (x)
1
x
e = ln x " e - ln x = 0 .
x
x
Mediante il teorema di esistenza degli zeri, verifica che le seguenti equazioni ammettono soluzioni nell’intervallo
indicato e conferma graficamente il risultato.
698
——
699
——
700
——
701
——
702
——
ln x - sen x = 0 ,
1
in : ; 2r D .
e
(x - 1) e x - x = 0 ,
in [0; 5].
e x + x 2 + 2x - 1 = 0 ,
in [- 3; - 1].
x ln x - 1 = 0 ,
1
in : ; e D .
e
Data la funzione f (x) =
x + 1 + x + 6 - 5:
a) determina il suo dominio;
b) ci sono punti interni all’intervallo [- 1; 5] in cui la funzione si annulla?
c) il teorema di esistenza degli zeri permette di affermare che nell’intervallo [4; 5] non ci sono zeri della
funzione?
[a) D: x $ - 1; b) sì, perchéf; c) no, perchéf]
1546
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
ESERCIZI VARI
703
——
I teoremi sulle funzioni continue
Se la funzione f (x) è continua nell’intervallo ]a; b[, allora:
706
TEST
——
f(x) ammette massimo e minimo in ogni
intervallo [a; b] 1 ]a; b[ .
B esiste, ed è finito, il limite lim+ f (x) .
B
x"a
esiste almeno un punto c ! ]a; b[ tale che
f (c) = 0 .
D il codominio di f(x) è un intervallo limitato.
E il codominio di f(x) è un intervallo illimitato.
C
704
C
D
Considera le funzioni:
- 2e x - 1
f (x) = ( 2
x
se 0 # x 1 1
se 1 # x # 2
E
e
ex - 1
se 0 # x 1 1
g (x) = '
- x - 1 se 1 # x # 2
707
——
Dimostra che nell’intervallo [0; 2]:
a) le funzioni f e g non soddisfano le ipotesi del
teorema di esistenza degli zeri;
b) la funzione h (x) = f (x) + g (x) soddisfa le
ipotesi del teorema di esistenza degli zeri.
705
——
708
——
x
Sulla funzione f (x) =
possiamo
x+5
affermare che:
TEST
A
A
——
ESERCIZI
Enuncia il teorema di Weierstrass. Considera
ex
, dove c è un parapoi la funzione f (x) =
x-c
metro reale.
Determina per quali valori di c la funzione soddisfa le ipotesi del teorema 6x ! [- 1; 1].
[c 1 - 1 0 c 2 1]
Una funzione f(x) ha il grafico della figura. Una
parte del grafico è stata coperta, ma è noto che, in
quella parte, la funzione è definita e continua in tutti
i valori di x e non ci sono discontinuità sul confine
della zona nascosta.
assume massimo e minimo assoluto nell’intervallo [- 10; 0].
per x ! [- 6; 4] la funzione assume tutti i
valori compresi fra f (- 6) e f(4).
poiché f (- 6) = 6 2 0 e f (- 4) =- 4 1 0 ,
per il teorema di esistenza degli zeri esiste
almeno un punto x0 ! [- 6; - 4] in cui
f (x0) = 0 .
è continua in tutti i punti del suo dominio
e quindi verifica le ipotesi del teorema di
Weierstrass.
è priva di massimo assoluto nell’intervallo
[- 6; - 5 [ .
TEST Considera la funzione f(x) definita
sull’intervallo [0; 1] con tutte le seguenti proprietà:
a) f(x) è continua in [0; 1].
b) f(x) è decrescente sull’intero intervallo [0; 1].
c) f (0,1) = 1, f (0, 3) = 0, 5 , f (0, 7) =- 0,1 e
f (0, 9) =- 0, 5 .
In accordo con il teorema dei valori intermedi,
quale dei seguenti valori può risolvere f (x) = 0 ?
x = 0,2
B x = 0,3
C x = 0,5
x = 0,8
E Nessuno di questi.
A
D
(USA Wolsborn-Drazovich State Math Contest, 2007)
y
2
1
–2
O
3
x
a) Ci sono valori di x, nell’intervallo [- 2; 3], in cui
la funzione si annulla? In caso affermativo, puoi
dire quanti sono tali valori?
–4
b) Puoi utilizzare in tale intervallo il teorema di
Weierstrass?
c) La funzione assume in [0; 3] il valore - 0,317? Se la risposta è sì, puoi dire quante volte?
1547
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
709
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Le funzioni f(x) e g(x) hanno i grafici della figura.
y
y
——
a) Ciascuna funzione ha, nell’intervallo [- 1; 1],
massimo e minimo assoluti?
b) Per ognuna delle funzioni, è possibile utilizzare il
teorema di Weierstrass in [- 1; 1]?
c) Per ognuna delle funzioni, indica un intervallo di
ampiezza 1 dove le ipotesi del teorema valgono.
710
——
Data la funzione f (x) =
y = f(x)
–1
y = g(x)
1 x
O
O
–1
1 x
2x - 3
:
4x + 8
a) f(x) è continua nell’intervallo [1; 3]? E nell’intervallo [- 3; 3]?
b) Calcola f(- 3), f(1) e f(3). Puoi affermare, senza risolvere un’equazione, che esiste uno zero di f(x) in
ciascuno degli intervalli [- 3; 3], [- 3; 1], [1; 3]? Motiva la risposta.
711
Considera le funzioni:
——
1. y =
1
,
x2 - 1
3. y =
3x + 1
,
x-4
5. y =
1
,
x
7. y = sen x ,
9. y = tg 2x ,
x2
.
4x - 1
a) Quali di queste funzioni verificano, nell’intervallo [- 1; 1], le ipotesi del teorema di Weierstrass?
b) Quali di esse verificano le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri, nello stesso intervallo?
c) Alcune delle funzioni si annullano in un punto interno a [- 1; 1] pur non essendo verificate le ipotesi del
teorema di esistenza degli zeri. Quali sono? Perché non c’è contraddizione?
[a) 2, 4, 6, 8, 9; b) 2, 4, 6; c) 5, 9, 10]
2. y = arcsen x ,
4. y = log 2 x ,
6. y = 2 x ,
8. y = x ,
10. y =
2
6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ
DI UNA FUNZIONE
䉴 Teoria a pag. 1500
Assegnati i grafici delle seguenti funzioni, classifica le discontinuità nei punti x 0 .
712
y
y
y
—
O
713
x
x0
a
b
y
—
O
a
O
x0
x
O
c
x
O
b
x
y
y
x0
x0
x0
x
O
x0
c
1548
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
x
PARAGRAFO 6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
714
—
715
—
716
—
ESERCIZI
Disegna una funzione che in x = 0 abbia una discontinuità di terza specie e in x = 2 una di seconda
specie.
Disegna una funzione che abbia in x =- 1 una discontinuità di prima specie con salto uguale a 2.
VERO O FALSO?
sen x
ha in x = 0 una discontinuità eliminabile.
x
x2 - 1
b) La funzione y =
ha in x = 1 una discontinuità di seconda specie.
x-1
x
c) La funzione y =
ha nel punto x = 0 una discontinuità eliminabile e
x (x + 2)
nel punto x =- 2 una discontinuità di seconda specie.
a)
La funzione y =
1 - cos x
ha una discontinuità di seconda specie in x = 0 .
x
e) Una funzione razionale fratta presenta sempre una discontinuità di seconda specie.
d)
La funzione y =
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Disegna il grafico delle seguenti funzioni, classifica i loro punti di discontinuità e, in caso di discontinuità di
prima specie, calcola il salto.
717
—
718
——
719
——
723
——
724
——
725
——
726
x
[x = 1: II specie]
x-1
sen x
f (x) =
sen 2x
: x = r + kr: II specie; x = kr: III specieD
2
x2 - x
[x = 1: III specie]
f (x) =
2x - 2
f (x) =
720
——
721
——
722
——
f (x) =
2 x
-3
x
[x = 0: I specie, salto = 4]
f (x) =
x -3
+ 1 [x = 3: I specie, salto = 2]
x -3
f (x) =
x2 - 4
x +2
[x = - 2: I specie, salto = 8]
- x2 - 1
f (x) = (
2x
se x # 0
se x 2 0
[x = 0: I specie, salto = 1]
f (x) = )
2x
ln (x - 1)
se x # 1
se x 2 1
[x = 1: II specie]
f (x) = )
2
tg x
se x # 0
se x 2 0
: x = r + kr, k ! N: II specie; x = 0: I specie, salto = 2D
2
ESERCIZIO GUIDA
Cerchiamo, se esistono, i punti di discontinuità della funzione f (x) =
x+3
e classifichiamoli.
x2 - 9
Poiché la funzione è il quoziente di due funzioni continue, g (x) = x + 3 e h (x) = x 2 - 9 , i suoi punti
di discontinuità sono i punti dove si annulla il denominatore.
I punti x1 =+ 3 e x2 =- 3 sono perciò punti di discontinuità della funzione.
Stabiliamo il tipo di discontinuità.
Poiché x 2 - 9 2 0 , per x 1 - 3 0 x 2 3 , e x 2 - 9 1 0 , per - 3 1 x 1 3 , allora riscriviamo la funzione:
Z x+3
1
x+3
]] 2
se x 1 - 3 0 x 2 3
=
=
x-3
(x - 3) (x + 3)
x -9
f (x) = [
1
x+3
]] x + 3 =
se - 3 1 x 1 3
=
2
3
3
3
x
x
x
+
(
)
(
)
9
x
\
1549
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per x " - 3:
lim
1
1
x+3
= lim =- ,
6
x "-3 x - 3
x2 - 9
lim
1
1
x+3
= lim +
= .
2
3
6
x
x
3
"
x -9
x " - 3-
x " - 3+
Poiché il limite destro e quello sinistro sono diversi e sono entrambi finiti, x =- 3 è un punto di disconti1
1
1
nuità di prima specie. Il salto della funzione per x "- 3 vale: lim + f (x) - lim - f (x) = - b- l = .
6
6
3
x "-3
x "-3
Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per x " 3 e otteniamo:
lim
x"3
1
1
x+3
= lim= lim+
=+ 3 .
x"3 3 - x
x"3 x - 3
x2 - 9
Poiché la funzione ha limite infinito per x che tende a 3, x = 3 è un punto di discontinuità di seconda
specie.
Date le seguenti funzioni, individua i loro punti di discontinuità e la relativa specie.
727
—
728
—
729
—
730
—
f (x) =
f (x) =
x 2 - 16
x-4
x2 - x
x
[x = 4: I specie]
——
[x = 0: I specie]
738
x 2 + 2x + 4
f (x) =
x-2
——
[x = 2: II specie]
1
f (x) =
4-2
737
739
1
x
——
- 2 - 2x
f (x) = )
2 + 2x
se x # 1
[x = 1: I specie]
se x 2 1
Z2x + 2
]
f (x) = [1 - x
]
\ ln x
se x 1 0
f (x) =
e2x - 1
x2 - x
+
3x
3 1-x
: x = 0: I specie; x = 1 : II specieD
2
731
—
732
—
733
—
734
—
735
——
f (x) =
2
x + 2x - 3
x2 - 3x + 2
[x = 2: II specie; x = 1: III specie]
f (x) = 3 + log x
f (x) =
f (x) =
f (x) =
[x = 0: II specie]
[x = 0: III specie; x = 1: I specie]
449
740
——
741
——
[x = 0: II specie]
sen rx
6x
[x = 0: III specie]
——
f (x) =
f (x) =
743
736
f (x) =
744
——
f (x) =
2x
[x = - 2: I specie; x = 0: II specie]
x
sen x
2x - 1
x-4
: x = 1 e x = 4: II specie D
2
x+1
2
+
x
x+1
[x = 0: II specie; x = - 1: I specie]
1
1 - e x+2
[x = - 2: II specie]
4x2
1 - cos x
f (x) = ln
[x = - 2: III specie]
——
x
x+2
[x = 0: III specie; x = kr (k ! Z - {0}): II specie]
——
x 2 + 5x + 6
x3 + 2x 2 + 4x + 8
f (x) = cos
[x = 0: III specie; x = 2kr (k ! Z - {0}): II specie]
742
1
e x
se 0 1 x 1 1
se x $ 1
[x = 0: I specie]
745
——
f (x) =
1
x
$ 2 x-1
x
[x = 0: I specie; x = 1: II specie]
1550
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
746
——
747
——
748
——
749
——
750
——
1
f (x) =
1-2
——
752
——
753
——
754
——
755
se x # - 1
[x = - 1: II specie; x = 0: III specie]
se x 2 - 1
x+7 -3
x2 - 4
Z 2
]] x 2 - x
x -1
f (x) = [
]] 1
\ x+1
[x = 2: III specie; x = - 2: II specie]
se x 1 1
[x = - 1: II specie]
se x $ 1
Z
2x
]1-e
se x 1 0
x
3
]]
f (x) = [- 2
se x = 0
] 3
1
]]
x
\(1 + x) se x 2 0
3
751
[x = 1: II specie; x = 0: I specie]
x-1
x
-x
f (x) = * ln (x + 1)
- 2x
f (x) =
f (x) =
f (x) =
[x = 0: I specie]
x+4 -2
x-4
[x = 4: III specie]
2
x-3
[x = 3: I specie]
f (x) = arctg
f (x) =
ESERCIZI
: x = r + kr: II specie; x = 0: I specie D
2
tg x
x
sen x
r
r
x+
2
2
[x = 0 e x = - r: III specie]
Classifica le discontinuità delle funzioni:
——
y=4
x2
x
-
; y=4
x2
x
-
; y=4
x
x
.
Rappresenta le funzioni graficamente ed evidenzia le discontinuità precedentemente ottenute.
[x = 0: III specie; x = 0: III specie; x = 0: I specie]
Funzioni continue e parametri
756
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo per quali valori di a e b la funzione:
Z 2
]- x - x + 1 se x # 1
f (x) = [ 2x - b
se 1 1 x # 3
] 2
se x 2 3
\- x + a
è continua in tutto R.
La funzione f (x) è continua negli intervalli ] - 3 ; 1 [ , ]1; 3 [ e ]3; + 3 [ . Dobbiamo scegliere il valore dei
parametri a e b affinché risulti continua anche in x = 1 e in x = 3.
1551
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Dovrà perciò valere:
lim- f (x) = lim+ f (x) = f (1) + - 1 = 2 - b,
x"1
x"1
lim- f (x) = lim+ f (x) = f (3) + 6 - b =- 9 + a.
x"3
x"3
Determiniamo a e b risolvendo il sistema:
-1 = 2 - b
b=3
a = 12
(
" (
" (
6 - b =- 9 + a
a + b = 15
b=3
Determina i valori dei parametri affinché le seguenti funzioni siano continue in tutto R.
Z 2
] x + x - 6 se x # - 3
757
f (x) = [ ax + b
se - 3 1 x # 2
—
] 3
se x 2 2
\x + a
Z 2
se x 1 - 1
]] x - 2b
758
se - 1 # x 1 3
f (x) = [ 2x - b
—
]
se x $ 3
\ 2x + a
759
—
760
—
761
—
762
—
763
——
764
——
765
——
f (x) = )
log (x3 - 28a) - log 2 - log 10
log (x + a)
[a = 2, b = 6]
[a = 3, b = 3]
se x 1 6
se x $ 6
[a = 2]
f (x) = )
23x - a5 - 29 se x 1 2
3x - 1
se x $ 2
Z
] 2 cos x - 1 se x # r
6
]
]
r
r
f (x) = [ a tg x + b
1x#
se
6
4
]
r
]]
sen 2x + 1 se x 2
4
\
Zb - 2 cos x se x # - r
]
]
3r
se - r 1 x 1
f (x) = [ 2b
2
]
3
r
] 2 sen x + a se x $
2
\
Z
] 2 sen x + b cos x se x 1 r
2
]
]
2
r
f (x) = [ a + b cotg x
se
#x1 r
2
3
]
2
]] a - 2 sen x
se x $ r
3
3
\
f (x) = *
[a = 2]
[a = 3, b = - 1]
sen ax
se x 1 0
x
x 2 + 2a + 1 se x $ 0
Zx-4
]]
se x # 0
x-2
f (x) = [
]] 1 - cos ax se x 2 0
x2
\
1552
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[a = 6, b = 2]
[a = 2, b = 1]
[a = - 1]
[a = ! 2]
PARAGRAFO 6. I PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE
766
——
767
——
768
—
ln (1 + x) - 2a se x 1 0
f (x) = * cos x - e x
se x $ 0
2ax
Z 2x
] e - 1 + ax + b se x 1 0
]] x
se 0 # x # 1
f (x) = [ x - a
]
2b
]]
se x 2 1
log 2 (3 - x)
\
Determina per quale valore del parametro a la
seguente funzione ha discontinuità eliminabile in x = 3:
f (x) =
:a = ! 1 D
2
[a = - 5, b = 3]
771
——
Determina per quale valore di a si ha, per la
funzione
f (x) =
2
x + ax
.
x2 - 2x - 3
- x 2 + ax
,
2x + 1
1
;
2
b) una discontinuità di seconda specie in
1
:a) a =- 1 ; b) a ! - 1 D
x =- .
2
2
2
a) una discontinuità di terza specie in x =-
Classifica le altre discontinuità della funzione.
[a = - 3; x = - 1: II specie]
769
ESERCIZI
Determina per quale valore di a la funzione
—
f (x) = ln
ax 2 - 1
x-1
772
——
1
.
2
Classifica le altre discontinuità della funzione
per il valore di a trovato.
Se a = 1, che discontinuità presenta f(x)?
1
: a = 4, x =- , x = 1: II specie;
2
x =- 1: II specie, x = 1: III specie D
ha una discontinuità di seconda specie in x =
770
——
Trova per quale valore di a si ha per la funzione
x-1
f (x) = e x2 + ax ,
a) in x = - 1 una discontinuità di seconda
specie;
b) in x = 1 una discontinuità di terza specie.
[a) a = 1; b) a = - 1]
Trova per quali valori di a la funzione
f (x) = (
ex + 1
x2 - a
se x # 0
se x 2 0
ammette una discontinuità di prima specie con
salto uguale a 3 in x = 0.
Rappresenta la funzione ottenuta.
[a = 1, a = - 5]
Discuti al variare del parametro k la continuità della funzione.
773
——
774
——
775
——
776
——
f (x) =
sen x
,
xk
in x = 0.
[se k # 1, III specie; se k 2 1, II specie]
f (x) =
1 - cos x
,
xk
in x = 0.
[se k # 2, III specie; se k 2 2, II specie]
f (x) =
x sen2 x
,
xk
in x = 0.
[se k # 3, III specie; se k 2 3, II specie]
f (x) =
kx + 4
,
x+k
in x =- k .
[se k ! ! 2, II specie; se k = ! 2, III specie]
1553
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
䉴 Teoria a pag. 1503
Scrivi le equazioni degli asintoti delle funzioni rappresentate dai seguenti grafici.
777
—
y
y
y
1
2
2
−1 O
x
1
O
778
—
779
x
3
−1
c
b
a
O
x
1
VERO O FALSO?
a)
Se una funzione f (x) ha un asintoto verticale di equazione x = 2 , si ha lim f (x) = 3 .
V
F
b)
Se una funzione f (x) ha un asintoto obliquo, si ha che xlim
f (x) = 3 .
"3
V
F
c)
Se una funzione f (x) ha xlim
f (x) = 3 , allora ha un asintoto obliquo.
"3
V
F
d)
Una funzione può avere infiniti asintoti verticali.
V
F
e)
Una funzione f (x) può avere due asintoti orizzontali diversi.
V
F
f)
Una funzione può avere più di un asintoto obliquo.
V
F
g)
Una funzione razionale fratta ha sempre un asintoto verticale.
V
F
h)
Una funzione periodica non può avere asintoti obliqui o asintoti orizzontali.
V
F
x"2
Verifica se nel grafico della figura si ha:
y
—
lim f (x) = 2 , lim+ f (x) =+ 3 ,
x "-3
x"2
lim f (x) =+ 3 , x lim
f (x) = 0 .
"+3
x"7
2
Scrivi le equazioni degli asintoti.
O
780
2
7
Disegna un grafico possibile per una funzione e traccia i suoi asintoti, sapendo che:
—
lim f (x) = 1+ , lim! f (x) =+ 3 ,
x "-3
781
x"0
lim f (x) = 0+ .
x "+3
Come nell’esercizio precedente, sapendo che:
—
lim f (x) = 0- ,
x "-3
lim f (x) =- 3 ,
x "- 1-
lim f (x) =+ 3 ,
x "- 1+
lim f (x) = 2- .
x "+3
1554
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x
PARAGRAFO 7. LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
ESERCIZI
La ricerca degli asintoti orizzontali e verticali
782
ESERCIZIO GUIDA
Determiniamo le equazioni degli eventuali asintoti orizzontali e verticali delle seguenti funzioni:
a) y =
3x 2 + 1
;
x2 - 1
b) y =
1
.
sen x - 1
a) La funzione data è una funzione razionale fratta, il cui dominio è ]-3; -1[ , ]-1; 1[ , ]1; +3[,
ossia D: x ! !1.
La ricerca degli asintoti viene effettuata esaminando i limiti nei punti esclusi dal dominio e per x " 3
se il dominio è illimitato. Ricordiamo che se xlim
f (x) = l , allora la retta y = l è asintoto orizzonta"!3
le, mentre se lim
f (x) = 3 , la retta x = c è asintoto verticale.
x"c
lim
3x 2 + 1
=3
x2 - 1
"
la retta y = 3 è asintoto orizzontale.
lim !
3x 2 + 1
= "3
x2 - 1
"
la retta x =- 1 è asintoto verticale.
"
la retta x = 1 è asintoto verticale.
x "!3
x "- 1
lim!
x"1
3x2 + 1
= !3
x2 - 1
Osservazione. Possiamo giungere più rapidamente al risultato se notiamo che la funzione è pari e il
suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y. Quindi basta calcolare i limiti per x " + 3 e x " 1!.
b) La funzione data è una funzione goniometrica fratta, periodica di periodo 2r. Limitiamoci a consider
r
rare il suo dominio nell’intervallo [0; 2r], che è D: :0;
9 , C ; 2r D .
2
2
Essendo la funzione periodica, non esistono asintoti orizzontali.
r
in cui la funzione non esiste perché si annulla il denominatore. Poiché
Consideriamo il valore
2
lim!
r
x"
2
1
=- 3 ,
sen x - 1
r
è asintoto verticale in D.
2
Considerando poi la funzione nel suo dominio naturale, poiché essa è periodica di periodo 2r, i suoi
asintoti hanno equazioni:
la retta x =
x=
r
+ 2kr .
2
Determina le equazioni degli eventuali asintoti orizzontali e verticali delle seguenti funzioni.
(Qui e in seguito, nei risultati, in caso di funzioni periodiche, per brevità indichiamo soltanto gli asintoti relativi
a un periodo.)
783
—
784
—
785
—
786
—
y=
2x 2 - 1
x-3
2x3 + 9
x3 - 1
x 2 - 2x
y= 2
x -4
2x + 1
y= 2
x -9
y=
[x = 3]
[x = 1, y = 2]
[x = - 2, y = 1]
[x = ! 3, y = 0]
787
—
788
—
789
—
790
—
y=
x-4
x
y=
x3 - 1
x2 - x
y = tg x + cotg x
y=
1 - cos x
sen x + cos x
[x = 0, y = 1]
[x = 0]
: x = 0, x = r , x = r D
2
: x = 3 r, x = 7 r D
4
4
1555
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ESERCIZI
791
—
792
—
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
y=
cos 2x
1 + sen x
y=
2e- x
x
: x = 3 rD
2
[x = 0, y = 0]
793
—
794
—
y=
1
ln x
y=
1
ex - 1
[y = 0, x = 1]
[x = 0, y = 0, y = - 1]
Per quali valori del parametro k le seguenti funzioni hanno asintoti orizzontali?
Calcola le equazioni degli asintoti.
795
——
796
——
797
——
798
——
f (x) =
: per k = 0, y = 1 ; per k ! 0, y = 1D
2
kx 2 + 1
kx + kx + 2
2
f (x) = kx ln b1 +
1l
x
[6k ! R, y = k]
f (x) = ke x + (k + 1) e- x
f (x) =
[per k = 0, y = 0; per k = - 1, y = 0]
kx - x + 1 + k
[per k = 1, y = 1]
La ricerca degli asintoti obliqui
799
ESERCIZIO GUIDA
Data la funzione y =
x2 - x + 1
, determiniamo le equazioni degli eventuali asintoti obliqui.
x+3
Ricordiamo che, quando xlim
f (x) = 3 , esiste un asintoto obliquo se esistono finiti i limiti
"3
f (x)
x
m = xlim
"3
e
q = xlim
6 f (x) - mx @ ,
"3
e in questo caso l’equazione dell’asintoto è y = mx + q .
Calcoliamo il limite:
lim
x"3
x2 - x + 1
= 3.
x+3
Essendo verificata la prima ipotesi, calcoliamo i limiti:
m = xlim
"3
x2 - x + 1
x2 - x + 1
= 1,
= xlim
"3
x $ (x + 3)
x2 + 3x
b
q = xlim
"3
- 4x + 1
x2 - x + 1
x 2 - x + 1 - x 2 - 3x
=- 4 .
= xlim
- x l = xlim
"
3
"3
x+3
x+3
x+3
L’asintoto obliquo della funzione data è la retta di equazione:
y = x - 4.
Determina le equazioni degli eventuali asintoti obliqui delle seguenti funzioni.
800
—
801
—
802
—
y=
2x 2 - 1
x+1
[y = 2x - 2]
y=
4 - x3
2x 2 - 1
: y =- 1 x D
2
y=
5x 2 - 3x + 2
2x + 4
: y = 5 x - 13 D
2
2
803
—
804
—
805
—
y=
x2 - 1
y=
2x 2 - 3x
y=
[y = ! x]
;y =! 2 x "
9x 2 - 4
3x - 1
1556
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
3
E
2 2
[y = 3x + 1]
ESERCIZI VARI LA RICERCA DEGLI ASINTOTI
806
—
807
—
808
——
y=
x3 - 2x
4 - x2
[y = - x]
y=
2x 4 - 3
x3
[y = 2x ]
x3 - 1
x
y=
[y = ! x ]
VERO O FALSO?
—
La funzione y =
x 2 - 2x
:
x 2 - 4x
811
——
815
——
ha due asintoti verticali.
V
F
b)
ha un asintoto obliquo.
V
F
c)
non ha asintoti.
V
F
d)
ha due asintoti.
V
F
e)
ha un asintoto orizzontale.
V
F
a)
810
——
TEST
813
—
B
C
D
E
814
——
Può ammettere 3 asintoti verticali e uno
orizzontale.
Può ammettere 2 asintoti orizzontali.
Può ammettere un asintoto orizzontale e
uno obliquo.
Può intersecare un suo asintoto orizzontale.
Può avere un punto in comune con un suo
asintoto verticale.
816
——
2
xn + 3
nx 2 + 1
ammette un asintoto obliquo e due verticali?
y=
3
B
- 3
y = 2x $
: y =- 1 x + r D
2
2
1
x
2
x+1
x-1
[y = 2x + 2]
C
3
D
1
E
kx 2 + hx
abbia come
2x + 3
3
asintoto obliquo la retta y = x + , i valori dei
2
parametri k e h devono essere rispettivamente:
1
.
A 2;
3
Affinché la funzione y =
B
2; 6.
C
0; 6h .
D
Per quale valore reale di n la funzione
A
y = arctg x -
9
.
2
3
.
E 6k;
2
Se la funzione y = f(x) non è definita per casi, quale
fra le seguenti affermazioni è sicuramente falsa?
A
: y = ! 2x " 3 D
4
4x 2 - 3x + 2
y=
La ricerca degli asintoti
ESERCIZI VARI
812
809
——
ESERCIZI
2;
La funzione f (x) = 4 -
1
:
1-x
A
non possiede alcun asintoto.
B
ha come asintoti x = 1 e y = 4x.
C
ha come asintoti x = 1 e y = 4.
D
ha come asintoti x = 1 e y = 4x + 1.
E
ha come asintoti x = 1 e y = 3.
0
Determina le equazioni degli eventuali asintoti delle seguenti funzioni.
817
—
818
—
819
—
y=
4x 2 - x + 1
x2 - 1
y=
4x3 - 1
x2 - 4
y=
x+3
x 2 + 4x + 4
[x = - 1, x = 1, y = 4]
[x = - 2, x = 2, y = 4x]
[x = - 2, y = 0]
820
—
821
—
822
—
y=
x4
1 - x3
y=
x2 + 1
y=
cos x
1 - 2 sen x
[x = 1, y = - x]
[y = ! x]
: x = r , x = 5 rD
6
6
1557
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
823
—
824
—
825
—
826
—
827
—
828
—
829
—
830
—
831
—
832
—
833
—
834
—
835
—
836
—
837
—
564
852
——
853
——
854
——
855
——
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
y=
sen x + cos x
sen 2x
838
: x = 0, x = r , x = r, x = 3 r, x = 2r D
2
2
y=
2
x - 4x + 1
2x
[x = 0, y = 1]
: x = 0, y = 1 x - 2D
2
[x = ! 1, y = 0]
843
[x = 1]
844
——
845
x +4
x
[x = 0, y = ! 1]
[x = 1, y = 1]
y=
——
y=
x4 + 2
8 - x3
y=
x 2 + 4x
x + 5x 2 + 1
y=
x2 - 2
4 - x2
[y = 0]
——
[y = 0, y = 2x]
——
848
x2 - 1
849
x2 + 1
x2 - 3x
[y = e, x = 0, x = 3]
2e x
x+4
[x = - 4, y = 0]
[y = - 2, x = e]
: x = 1 , y =- 1 x D
2
8
4
1-x
8x3 - 1
Data la funzione y =
y = 2x - 1.
——
850
——
3 - 2 ln x
ln x - 1
: x = 2, y = 1 x + 1D
2
[x = 2, y =- x]
[y = 0]
4
[x = ! 2, y =- 1]
x-3
x -1
y=
[x = ! 1, y = ! 1]
y = xe x + 1
[y = 0]
:y = r D
2
y = arctg (1 + x 2)
y=
y=
3
x 2 (x - 1)
3
x3 - 2x
:y = x - 1 D
3
[y = x]
1
847
sen x
y=
x
y=
——
846
x+2
y=
x-1
y=
x3 - 2x
2x 2 - 4x
[x = - 1, x = 2, y = 0]
2
y=e
842
——
x+1
x-2
y = x-
841
[x = 2, y = ! 1]
4x
y=
1- x
y=
—
—
x+2
x -2
y = ln
840
—
1
y=
1 - x2
y=
839
—
x+3
x
y=
—
y=
851
——
y = 2xe x
x2
x -9
y=
y=
[x = ! 3, y = 1]
2
y = ln
y=
[x = 0, y = 2x + 2]
x 2 - 4x
x + 5x + 4
[y = 0, x = ! 4, x = - 1, x = 0]
2
x2 + 1 +
x
ex + 3
ex - 1
x2 - 4
[y = ! 2]
[y = - 3, y = 1, x = 0]
ax3 + bx 2 + 4
, trova a e b in modo che il suo grafico abbia un asintoto di equazione
x2 - 1
[a = 2, b = - 1]
Il grafico della funzione y =
1
ax 2 + bx
ha come asintoti le rette di equazione y = x e x = . Trova a, b e c.
4
cx - 1
[a = c = 4, b = - 1]
Determina a, b e c nella funzione y =
x = ! 3 e y = 2.
ax3 + bx 2 + x
, sapendo che il suo grafico ha come asintoti le rette
x2 - c
[a = 0, b = 2, c = 9]
ax3 + bx 2 + 1
2x2 - 1
Date le funzioni y =
e y=
, trova a e b in modo che i loro grafici abbiano un asinx-4
x2 + 1
toto in comune.
[a = 2, b = 8]
1558
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PARAGRAFO 8. IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
856
——
857
——
858
——
859
——
a ln x - 1
Nella funzione y =
trova a e b in modo che il suo grafico abbia per asintoto orizzontale
(a + 1) ln x + b - 2
1
la retta y =
e per asintoto verticale la retta x = 1.
[a = 1, b = 2]
2
tg (x + a)
Il grafico della funzione y =
presenta nell’intervallo [0; 2r] cinque asintoti verticali e uno di
2 sen x
r
questi ha equazione x = . Trova a e le equazioni degli altri quattro asintoti.
3
:a = r , a = 7 r, x = 0, x = r, x = 4 r, x = 2r D
6
6
3
e- x + 2e x
2
Verifica che la funzione f (x) = - x
ha come asintoto orizzontale la retta y = . Esistono altri
3
e + 3e x
asintoti per f(x)?
[sì: y = 1]
Data la funzione
x-1
se x # 0
f (x) = * ax + 2
x 2 + 2x + b se x 2 0
trova per quali valori di a e b la funzione è continua in x = 0 e presenta un asintoto verticale in
x = - 4. Rappresenta poi la funzione ottenuta.
:a = 1 , b =- 1 D
2
2
860
——
861
——
862
——
Per ognuna delle funzioni che seguono trova il
dominio, disegna il grafico (aiutandoti con le
trasformazioni geometriche, quando è necessario), cerca e classifica eventuali punti di discontinuità, determina il codominio ed eventuali
asintoti:
a) y = x 2 - x .
b) y = 1 - arctg ( x + 1).
c) y = e- x + 2 - 1 .
[a) D: ] - 3; - 1] , [1; + 3[ , ! 0 +; f;
b) D: R; f; c) D: R; f]
Dimostra che gli asintoti dell’iperbole di equax2 y2
b
zione 2 - 2 = 1 hanno equazioni y = ! x .
a
a
b
Sia y = f(x) una funzione tale che:
lim f (x) =+ 3 (o casi analoghi).
x "+3
a) Dimostra che condizione necessaria affinché
la funzione ammetta l’asintoto obliquo per
x " + 3 è che l’ordine di infinito sia uguale
a 1.
Successivamente:
b) utilizza la funzione f (x) = x + sen x per
provare che la condizione indicata non è
sufficiente;
c) applica la proprietà dimostrata in a per prox4 + 1
non ha
vare che la funzione f (x) = 2
x +1
asintoti obliqui.
8. IL GRAFICO PROBABILE
DI UNA FUNZIONE
863
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1507
ESERCIZIO GUIDA
Studiamo e rappresentiamo graficamente la funzione y =
x2 - 1
.
x
1. Determiniamo il dominio della funzione. Si tratta di una funzione razionale fratta il cui denominatore
deve essere non nullo. Quindi:
D: R - {0} .
1559
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
2. Cerchiamo eventuali simmetrie.
f (- x) =
(- x) 2 - 1
x2 - 1
==- f (x).
-x
x
Poiché f (- x) =- f (x), la funzione è dispari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.
3. Determiniamo le intersezioni con gli assi.
Asse y: nessuna intersezione, essendo x = 0 escluso dal dominio.
Asse x:
x2 - 1
x
"
*
y=0
y=
" )
x2 - 1
=0
"
* x
y=0
–1
x1, 2 = ! 1
x2 - 1 = 0
" )
y=0
y=0
I punti di intersezione con l’asse x sono:
A(- 1; 0),
B(1; 0).
4. Studiamo il segno della funzione.
x2 - 1
20
x
Segno di N
+
Segno di D
−
N
Segno di ––
D
−
0
1
−
0
0
−
−
0
+
+
∃
−
0
+
+
0
+
a
N 2 0 per x 1 - 1 0 x 2 1,
y
D 2 0 per x 2 0.
Compiliamo il quadro dei segni (figura a).
A
Rappresentiamo questi risultati nel piano
cartesiano (figura b), tratteggiando le zone
del piano in cui non ci sono punti della funzione.
B
O
−1
x
1
b
5. Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:
x2 - 1
= !3 ; poiché il grado del numeratore supera di 1 quello del denominatore, esiste un
x
asintoto obliquo di equazione y = mx + q .
• xlim
"!3
m= xlim
"!3
b
q = xlim
"!3
x2 -1
x2 -1 1
$ = xlim
=1,
"
!
3
x
x
x2
y
y=x
x -1
x -1- x
- x l= xlim
=
"!3
x
x
b- 1 l= 0.
= xlim
"!3
x
2
2
2
x2 − 1
y = ——–
x
A
−1
L’asintoto obliquo ha equazione y = x.
B
O 1
x2 - 1
= "3 " x = 0 è un asintoto
x
verticale.
• lim!
x"0
Tracciamo il grafico probabile della funzione (figura c).
c
1560
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x
PARAGRAFO 8. IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
ESERCIZI
Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni.
864
—
865
—
866
—
867
—
868
—
869
—
870
—
871
—
872
—
873
—
874
—
895
875
y =- x3 + 4x
—
y = x3 - x2 - 2x
y=
y=
y=
y=
876
—
2x
x -9
2
877
2
—
x -1
x 2 - 2x
878
x
x 2 - 5x + 6
—
879
2
x -1
x 2 - 7x + 6
—
880
x3
y= 2
x -1
——
881
2
y= 2
x - 6x
——
y=
2x 4
3
x -8
y=
x
x2 - 4
y=
x+1
x - 4x2
882
——
883
——
884
3
——
y=
y=
2x
(x - 1) 2
x 2 - 16
885
——
886
——
4
+4
x
y = x+
y=
y=
y=
y=
y=
y=
ex
e -1
x
887
——
y = ln
y=
x3 + 1
x2 + 6x
y=
x3 - x
x3 + 1
x-1
888
——
y = 2 x+2
2
x -1
x3 - 4x
889
——
y=
ex - 1
ex + 4
y=
x3 - 2x 2 - 8x
x2 + 1
3
x - 4x + 3
x 2 + 3x
x-1
x-2
x
x+3
890
——
891
——
y=
x2 - 1
x-3
y=
x2 - 1 - x
2
x - 2x
x
——
x2
x4 + 4
——
y = log 2
x-1
x-4
892
893
894
——
y=
log3 x
1 - log3 x
y=
sen x
1 - cos x
Determina i valori dei parametri reali p e q in modo che la funzione
——
y=
x3 + p
,
(x + q) 2
p, q ! R ,
passi per il punto (1; 0) e abbia come asintoto la retta x =- 2 . Ricerca quindi gli ulteriori asintoti e disegna
il grafico probabile.
6 p =- 1, q = 2; y = x - 4 @
896
Data la funzione
——
log 1 x - 2
y=
2
1 - log 1 x
:
2
a) determina il dominio e studia il segno;
b) studia il comportamento agli estremi del dominio classificando eventuali punti di discontinuità;
c) traccia il grafico probabile.
:a) D: x 2 0 / x ! 1 ; y 2 0 per 1 1 x 1 1 D
2
4
2
1561
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ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
REALTÀ E MODELLI
1
La funzione a dente di sega
La funzione a «dente di sega» rappresenta una forma d’onda non sinusoidale; il suo
andamento è lineare crescente per un certo intervallo di tempo, dopodiché scende repentinamente per poi tornare a salire. Tale onda è fondamentale nel campo dell’elettronica e dell’acustica, per esempio per riprodurre i suoni degli strumenti ad arco nei sintetizzatori
analogici. Considera la seguente funzione:
f(x) = 0,5x - k per 2k 1 x # 2k + 2, k ! N.
䊳 Rappresenta il grafico della funzione.
䊳 Stabilisci se è periodica e indicane il periodo.
䊳 Determina il dominio, il codominio e studiane il segno.
䊳 Analizza la sua continuità.
2
La carica di un condensatore
Il condensatore è un dispositivo in grado di accumulare cariche elettriche quando è sottoposto a una
differenza di potenziale. Sapendo che la legge fisica che descrive la quantità di carica Q accumulata da un
condensatore in funzione del tempo è espressa dalla formula:
t
Q (t) = C $ E $ _1 - e RC i :
䊳
䊳
䊳
scrivi la funzione relativa a un condensatore con capacità
C = 8,5 $ 10-4 F sottoposto a una differenza di potenziale E = 12,0 V,
inserito in un circuito con resistenza complessiva R = 300 X;
calcola la quantità di carica massima che il condensatore può
accumulare;
stabilisci dopo quanto tempo il condensatore si è caricato al 90%
del suo massimo.
3
Il rally
Durante una gara di rally, una macchina percorre un tratto di strada la cui traiettoria può essere descritta
3 - x2
, con x 1- 3 .
dalla funzione y =
x+1
䊳 Disegna il grafico approssimativo della funzione.
䊳 Quale inclinazione massima (rispetto all’asse x) dovrebbe avere un muro di protezione rettilineo che
costeggia la strada affinché non si verifichi un’uscita di strada?
䊳 Studia la continuità della funzione che rappresenta la traiettoria nel suo dominio naturale.
䊳 Determina eventuali asintoti.
4
IRPEF: imposta sul reddito delle persone fisiche
L’IRPEF è la tassa che ogni anno devono pagare tutti i cittadini italiani che hanno un reddito.
La percentuale di tassa da pagare aumenta in base al reddito secondo la seguente tabella.
Scaglioni reddito 2010
䊳
Aliquota
Irpef lordo 2010
da 0 a 15 000 euro
23%
23% del reddito
da 15 000,01 a 28 000 euro
27%
3450 + 27% sulla parte eccedente i 15 000 euro
da 28 000,01 a 55 000 euro
38%
6960 + 38% sulla parte eccedente i 28 000 euro
da 55 000,01 a 75 000 euro
41%
17 220 + 41% sulla parte eccedente i 55 000 euro
oltre 75 000 euro
43%
25 420 + 43% sulla parte eccedente i 75 000 euro
Scrivi l’espressione analitica della funzione che fornisce la tassa in base al reddito. Si tratta di una
funzione continua?
1562
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VERSO L’ESAME DI STATO
ESERCIZI
VERSO L’ESAME DI STATO
TEST
1
—
Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it
Quale dei seguenti limiti è errato?
A lim+ log 1 (x - 1) =- 3
x"1
B
C
D
E
2
—
B
lim log 2 (x + 3) =+ 3
x "+3
C
lim+ tg 2 x =+ 3
D
r
x"
2
E
3x
lim e = 0
x "-3
lim 2 x + 1 =+ 3
x "+3
lim e
x "+3
x+3
x2
3
—
lim
7
—
Quale di queste funzioni soddisfa le condiziof (x) = 2 ?
ni lim + f (x) =- 3 e x lim
"-3
A
f (x) =
B
f (x) =
C
f (x) =
D
f (x) =
E
f (x) =
2x
x2 - 4
2x - 1
x+2
2x 2 + 1
x+2
2x 2 - 10
x2 - 4
- 2x
-x + 2
8
—
A
lim ] x 2 + 1 x "+3
x2 - 3 g .
x4
.
x " 0 sen 3 x
2x3 - x 4 + 2
.
C lim
x"3
x3
x3 - 1
.
D lim 4
x"3 x + 1
x - x+k
.
lim
E
x "+3
k
B
lim
2
k - x2
x+1
se x 1 0
se x $ 0
Z 3x
]]
se x 2 2
x-2
f (x) = [
]] x 2 + 1
se x # 2
3
\
presenta nel punto x = 2 una discontinuità:
A di prima specie.
B di seconda specie.
C di terza specie.
D eliminabile.
E non classificabile, perché la funzione è definita per casi.
3x - 1
:
6 - x2
non ha asintoti verticali e ha un solo asin1
toto orizzontale di equazione y = .
2
ha due asintoti verticali di equazioni
x = ! 6 e un asintoto orizzontale di equazione y =- 3 .
non ha asintoti orizzontali e ha due asintoti
verticali di equazioni x = ! 6 .
non ha asintoti verticali e ha un asintoto
orizzontale di equazione y = 0 .
ha un asintoto orizzontale di equazione
y = 0 e due asintoti verticali di equazioni
x = 6 e x =- 6 .
La funzione y =
A
Fra i seguenti limiti, non è uguale a 0:
—
f (x) = (
è continua in tutto R per:
A k = 1.
D nessun valore reale di k.
B k = 0.
E k = 2.
C k = - 1.
x "+3
x "- 2
4
—
=1
x2 + 2
=+ 3
4+x
sen 2x
=1
D lim
x"0
x
x
b1 + 1 l = 3 e
lim
E
x "+3
2x
C
6
x+1
:
x2 - 4
è continua in tutto R.
è continua in ! 2 .
non è continua in nessun punto di R.
è continua in tutti i punti del suo dominio.
è continua in tutti i punti del suo dominio
escluso - 1, dove si annulla.
La funzione f (x) =
A
2
Soltanto uno dei seguenti limiti è corretto. Quale?
x2 + 4x - 3
lim
=1
A
x "+3
4 - x2
B
5
—
B
C
D
E
1563
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
9
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
Si considerino le funzioni:
—
f (x) =
10
Sia data una generica funzione:
—
1
1
e g (x) = 3 .
2x
x
f: [a; b] " R .
3
Al tendere di x " 0 :
A sono due infinitesimi.
B f(x) è un infinito di ordine superiore a g(x).
C sono infiniti dello stesso ordine.
D f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a
g(x).
E f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x).
Se f (a) $ f (b) 1 0 , allora:
A f(x) ammette almeno uno zero in ]a; b[.
B f(x) ammette soltanto uno zero in ]a; b[.
C f(x) non ammette zeri in ]a; b[.
D non è possibile stabilire a priori l’esistenza
di zeri in ]a; b[.
E nessuna delle affermazioni precedenti è
vera.
QUESITI
11
—
Dopo aver dato la definizione corretta di lim
f (x) = l , dimostrare che lim
x"c
x"0
ln (1 + x) + ln (1 - x)
= 2.
cos x - 1
(Maturità scientifica, Sessione suppletiva, 1982, quesito 1)
12
—
Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f (x) " l per x " a con l e a numeri reali;
dire se ciò è sufficiente per concludere che f (a) = l e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Sessione ordinaria, 2001, quesito 1)
13
VERO O FALSO?
Per ognuna delle seguenti proposizioni indica se è vera o falsa e motiva la risposta.
—
ln (- x) - 1
:
e- x
a) non si può calcolare perché non esiste il logaritmo di un numero negativo.
lim
x "-3
14
—
V
F
b)
si può calcolare e il limite vale + 3 perché il numeratore tende a 3 e il denominatore
tende a 0, quindi la frazione tende a 3.
V
F
c)
si può calcolare e il limite vale 0 perché e
al numeratore.
V
F
-x
è un infinito di ordine superiore rispetto
Sia y = f (x), x ! R , una generica funzione tale che f (- 1) = 2 . Possiamo affermare che è valido il limite:
lim f (x) = 2 ?
x "- 1
Se la funzione f(x) è così definita:
1
x+1
se x ! - 1 ,
f (x) = *e
2
se x =- 1
che cosa possiamo dire del limite precedente?
In entrambi i casi dai una spiegazione esauriente della risposta.
8no, se la funzione non è continua; lim - f (x) = 0 , lim + f (x) =+ 3 B
x "- 1
15
—
Sia f (x) =
x "- 1
x2 - 1
; esiste lim f (x)? Si giustifichi la risposta.
x"1
x-1
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione ordinaria, 2008, quesito 9)
1564
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
VERSO L’ESAME DI STATO
16
—
17
Si determinino le equazioni degli asintoti della curva f (x) =- x + 1 +
ESERCIZI
x2 + 2x + 2 .
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2008, quesito 3)
Si consideri la funzione:
—
f (x) = *
sen2 x sen
1
x
per x ! 0
0
.
per x = 0
Se ne studi la continuità nel punto x = 0 .
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2007, quesito 6)
18
—
ax 2 + 6
Si determinino i coefficienti dell’equazione y =
perché la curva rappresentativa ammetta un asinbx + 3
toto obliquo d’equazione y = x + 3 .
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2007, quesito 8)
19
Si consideri la seguente equazione in x:
—
(k - 2) x2 - (2k - 1) x + (k + 1) = 0 , dove k è un parametro reale diverso da 2.
Indicate con x l e x m le sue radici, calcolare i limiti di x l + x m quando k tende a 2, a + 3 e a - 3 .
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2005, quesito 4)
20
TEST
Il limite della funzione
——
sen x - cos x
, quando x " + 3 :
x
è uguale a 0.
è uguale a 1.
C è un valore diverso dai due precedenti.
D non è determinato.
Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.
A
B
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Sessione ordinaria, 2001, quesito 9)
PROBLEMI
21
—
Data una circonferenza c di raggio unitario e
centro O, tracciare una semiretta s uscente da O
e intersecante c in un punto Q. Indicato con P
un generico punto di s esterno alla circonferenza c, tracciare da esso le due tangenti alla circonferenza: siano A e B i punti di tangenza.
Indicata con x la lunghezza del segmento PQ,
trovare il limite per x tendente a infinito del
rapporto
k=
AQ + QB
.
AB
(Maturità scientifica, Corso di ordinamento,
Sessione ordinaria, 1992)
22
—
In una semicirconferenza di diametro AB = 2r
inscrivere il triangolo ABD, retto in D. TracciaW : tale bisettrice
re la bisettrice dell’angolo DAB
intersechi il segmento BD in E. Indicato con x
W , determinare il rapporto y tra la
l’angolo BAE
lunghezza del segmento BE e la lunghezza del
segmento BD:
y=
BE
.
BD
Calcolare il rapporto y per x che tende a zero.
(Maturità scientifica, Corso di ordinamento,
Sessione suppletiva, 1992)
1565
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 22. IL CALCOLO DEI LIMITI
ln (1 - x)
:
x
a) determina il dominio e studia il segno;
b) ricerca e classifica i punti di discontinuità;
c) trova eventuali asintoti;
d) cerca eventuali intersezioni con la curva di
1
equazione y = ;
x
e) traccia il grafico probabile.
[a) D: x 1 1 / x ! 0; y 1 0 6x ! D;
b) x = 0: III specie; c) y = 0 asint. orizz.;
x = 1 asint. vert.; d) x = 1 - e]
Data la funzione y =
23
——
26
——
b) Deduci poi dal grafico:
• il codominio;
• i punti di minimo e massimo;
• gli zeri.
[b) C: [- 2; 4]; (2; - 2), (- 4; 4);
x =- 3, x = 0, x = 4]
Considerata la funzione
24
——
px - 2
3x - p
f (x) =
(p ! R):
a) classifica i punti di discontinuità al variare
del parametro p;
b) nel caso che sia p = 5 puoi stabilire, utilizzando il teorema degli zeri, se l’equazione
f (x) = 0 ammette radici in ciascuno dei
seguenti intervalli?
27
——
[- 1; 1], [0; 6];
c) con p = 3 , utilizzando la definizione, verifica il limite:
lim f (x) = 0 .
x"
2
3
;a) se p = ! 6 disc. di III sp. in x = !
se p ! ! 6 disc. di II sp. in x =
6
;
3
p
; b) sì, noE
3
Considerata la funzione
25
——
f (x) =
ln ^ 2x + 1 - 2h
:
x-4
28
3
2
lim+ f (x) =+ 3, lim" f (x) = " 3; d) x1 =- 2, x 2 = 1
E
x"4
1
x"
2
Dopo aver trovato per quali valori del parametro reale k la funzione
Z sen kx
]]
se x 1 0
x
f (x) = [ 2
]] x - k + 1
se x $ 0
\ x-2
presenta una discontinuità di prima specie con
salto l = 1 in x = 0 ,
a) determina il dominio;
b) classifica eventuali altri punti di discontinuità;
c) ricerca gli asintoti.
[k =- 3, k = 1; a) D: x ! 2; b) x = 2: II specie;
c) y = 0; x = 2, y = x + 2]
Data la funzione
——
a) determina il dominio;
b) studia il comportamento agli estremi del dominio;
7
c) dimostra che negli intervalli :- 3; - D e
4
: 3 ; 3D si annulla almeno una volta;
4
d) calcola le soluzioni di f (x) = 0 ;
e) traccia il grafico possibile.
:a) D: R - :- 3 ; 1 D - {4};
2 2
(
b) xlim
0
f
x
lim
f (x) =+ 3,
=
)
,
" !3
x "-
Disegna il grafico della seguente funzione:
Z 2
se - 4 # x 1 0
] x + 3x
]
2
se 0 # x # 4
f (x) = [- 4x - x
] - 3x + 12
]
se 4 1 x # 5
\ x-2
a) Utilizzando i teoremi sulle funzioni continue
dimostra che la funzione:
• ha per codominio un intervallo;
• ammette minimo e massimo;
• ha almeno uno zero.
f (x) = ax + b +
1 - x2
:
x-2
a) trova per quali valori di a e b si ha
lim f (x) =- 1;
x "+3
b) rappresenta la funzione per i valori trovati;
c) detto A il punto in cui il grafico di f (x)
incontra l’asse y, determina la retta tangente
t in A e considera il punto P appartenente all’arco di f (x), con x 1 2 . Determina
PH 2
, essendo H il punto in cui la palim
P " A PA 2
rallela all’asse y passante per P interseca la
retta t.
:a) a = 1, b = 1; b) f (x) = - x - 1 ; c) 0D
x-2
1566
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
CAPITOLO
23
[numerazione araba]
[numerazione devanagari]
[numerazione cinese]
LE SUCCESSIONI
E LE SERIE
SCRIVERE 1 CON INFINITE CIFRE I numeri razionali decimali
periodici sono caratterizzati da un gruppo di cifre che si ripete infinite
volte dopo la virgola. Per esempio 0,285714285714285714…, che otteniamo dividendo 2 per 7, è un modo diverso per scrivere la frazione 2 .
7
Può lasciare un po’ perplessi che anche i numeri interi possano essere
scritti come numeri periodici.
Per esempio, 1 si scrive come 0,999999999999999999…
Quale significato ha la scrittura del numero 1 come numero periodico 0,9999…?
La risposta a pag. 1586
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
1. LE SUCCESSIONI
DEFINIZIONE
Successione numerica
Una successione numerica f è una funzione che associa a ogni numero
naturale n un numero reale a n :
f: N " R
n 7 a n.
● Quando non si specifica
il numero n, an si chiama
termine generico.
n è la variabile indipendente e si dice indice della successione. a n è la variabile
dipendente e si dice termine della successione.
Una successione è dunque costituita da un insieme di numeri ordinato e infinito:
a 0,
a 1, a 2, a 3,
…, a n ,
…
ESEMPIO
La successione costituita da tutti i quadrati dei numeri naturali è una funzione
f che associa a ogni numero naturale il suo quadrato.
f: N " R
0 7 a0 = 0
1 7 a1 = 1
2 7 a2 = 4
3 7 a3 = 9
…
L’insieme immagine di questa successione, cioè il codominio, è proprio l’insieme dei quadrati dei numeri naturali.
La rappresentazione di una successione
● Questa rappresentazione
è consigliabile soltanto se,
leggendo i primi termini, si
possono dedurre gli altri
senza ambiguità.
Per rappresentare una successione, a volte si possono indicare i primi cinque o sei
termini seguiti dai puntini di sospensione, sottintendendo che l’indice equivale
alla posizione. Questo tipo di rappresentazione prende il nome di rappresentazione per enumerazione.
ESEMPIO
0,
10,
20,
30,
40,
50,
60,
…
è la successione dei multipli di 10.
Il modo più comune di rappresentare una successione numerica (per non dare
luogo ad ambiguità) consiste nello scrivere esplicitamente la relazione che lega
l’indice n e il termine a n. Questo tipo di rappresentazione si chiama rappresentazione mediante espressione analitica.
1568
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE SUCCESSIONI
TEORIA
ESEMPIO
Consideriamo la successione:
an =
2n + 1
, n ! N - {0} .
n
Sostituendo a n i valori 1, 2, 3, 4, …, si ottengono i termini:
1 2 3 4 …
n
.
2n + 1
5 7 9
3
…
an =
2 3 4
n
Una successione può essere rappresentata anche mediante una formula ricorsiva.
Essa viene definita indicando il primo termine della successione, a0 (o a1), e la
relazione che lega il termine successivo, a n+1, con quello precedente, a n :
)
a0
an + 1 = f (an) (per n $ 0)
Quindi, per determinare l’n-esimo termine della successione occorre aver determinato tutti i termini precedenti.
● Qui il primo termine
della successione è a1 = 3 .
A volte il primo termine
non si indica con a 0 ma
con a1 , oppure con a k , se la
successione non è definita
per numeri minori di k. Per
esempio, consideriamo la
successione:
an =
n+1
, n ! N - {0, 1} .
n-1
Questa successione non è
definita per n = 0 e n = 1:
i termini della successione
partono da a 2.
A volte, nella rappresentazione, vengono dati i primi k termini e una relazione che
lega il termine generico a uno o più termini precedenti.
ESEMPIO
Una particolare successione definita per ricorsione è la cosiddetta successione
di Fibonacci:
(
a0 = 1, a1 = 1
an = an - 1 + an - 2
i cui elementi, detti numeri di Fibonacci, sono:
a0 = 1,
a1 = 1,
a2 = a0 + a1 = 2,
a3 = a1 + a2 = 3,
a 4 = a2 + a3 = 5,
a5 = a3 + a 4 = 8,
f
Una stessa successione può essere rappresentata in forma sia analitica sia ricorsiva.
ESEMPIO
La successione dei numeri dispari è definita dall’espressione analitica
an = 2n + 1,
ma anche in modo ricorsivo:
(
● Non sempre è facile
passare da un tipo di rappresentazione all’altra.
Comunque, quando è possibile, conviene utilizzare la
definizione analitica perché
permette di calcolare il
termine n-esimo direttamente da n.
a0 = 1
an + 1 = an + 2
1569
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
2. ALCUNI TIPI DI SUCCESSIONI
Le successioni monotòne
Una successione si dice:
IN PRATICA
䉴
Videolezione 7
• crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente, ossia:
an 1 an + 1, 6n ! N;
• decrescente se ogni termine è minore del suo precedente, ossia:
an 2 an + 1, 6n ! N;
• non decrescente (o crescente in senso lato) se: an # an + 1, 6n ! N;
• non crescente (o decrescente in senso lato) se: an $ an + 1, 6n ! N;
• costante se ogni termine è uguale al suo precedente, ossia:
an = an + 1, 6n ! N.
In generale, una successione per cui vale una di queste proprietà si dice monotòna.
ESEMPIO
1. La successione 0, 3, 6, 9, 12, … è monotòna crescente.
2. La successione 20, 12, 4, - 4 , - 12 , - 20 , - 28 , … è monotòna decrescente.
3. La successione 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, … è monotòna non decrescente.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4. La successione 1, , , , , , , , , , f è monotòna non cre2 2 3 3 3 4 4 4 4
scente.
5. La successione 5, 5, 5, 5, 5, 5, … è costante.
Le successioni limitate e illimitate
Una successione si dice limitata superiormente se tutti i suoi termini risultano
minori o uguali di un numero reale M, ossia a n # M, 6n ! N.
ESEMPIO
La successione
2, 1,
2 2 2
2
,
,
, f,
, f
3 4 5
n+1
è limitata superiormente, perché tutti i suoi termini sono minori o uguali a 2.
Una successione si dice limitata inferiormente se tutti i suoi termini risultano
maggiori o uguali a un numero reale m, ossia a n $ m, 6n ! N.
ESEMPIO
La successione an =
2,
n2 + 1
, con n ! 0 , i cui termini sono
n
n2 + 1
5 10 17 26
,
,
,
, f,
, f,
n
2
3
4
5
è limitata inferiormente, perché tutti i suoi termini risultano maggiori o uguali a 2.
● Una successione è limitata superiormente/inferiormente o limitata se tale è il
suo codominio.
Una successione si dice limitata quando è limitata sia superiormente sia inferiormente, ossia quando esistono due numeri reali m e M tali che
m # a n # M, 6n ! N.
1570
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PARAGRAFO 3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
TEORIA
ESEMPIO
La successione an =
n
, i cui termini sono
n+1
1 2 3 4 5 6
n
,
,
,
,
,
, f,
, f,
2 3 4 5 6 7
n+1
0,
è una successione limitata inferiormente, perché tutti i suoi termini risultano
maggiori o uguali a 0 ed è anche limitata superiormente perché la frazione
n
è una frazione propria, pertanto minore di 1. Tutti i termini della sucn+1
cessione risultano minori di 1, anche se 1 non fa parte di essi.
La successione data è una successione limitata.
a1
a0
a2
a3 ……… an ….. M
an ≤ M
m ….. an ….. a1 a0
∀n∈⺞
an ≥ m
a2
a3
a. Successione limitata superiormente. b. Successione limitata inferiormente.
a2 a0 a1 a3 … an … M
m
∀n∈⺞
m ≤ an ≤ M
ESEMPIO
La successione a n = 2n + 1 dei numeri dispari
3,
5,
7,
9,
11,
…,
2n + 1,
∀n∈⺞
c. Successione limitata.
Una successione non limitata si dice illimitata.
1,
䉲 Figura 1
…
è una successione illimitata (superiormente).
● Se la successione non è
limitata superiormente,
allora si dice che è illimitata superiormente ; se la
successione non è limitata
inferiormente, allora si dice
che è illimitata inferiormente.
3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
Il concetto di limite di una successione è simile a quello di limite di una funzione. Tuttavia, nel caso delle successioni osserviamo che il dominio è l’insieme dei
numeri naturali e non un intervallo. Poiché N non ammette punti di accumulazione, la variabile indipendente n non può tendere a un valore finito, ma solo a + 3.
lim a n =+ 3
n "+3
DEFINIZIONE
lim a
n "+3 n
=+ 3
Data la successione di termine generale a n, si dice che per n tendente a + 3
la successione ha per limite + 3 quando, fissato ad arbitrio un numero M
positivo, è possibile determinare un corrispondente numero pM positivo
tale che risulti:
an 2 M
per ogni n 2 pM.
In questo caso la successione si dice divergente positivamente.
● Dire che M è un numero
positivo fissato ad arbitrio
equivale a dire che quanto
enunciato vale per ogni
M 2 0.
● Questo vuol dire che,
fissato ad arbitrio M 2 0,
da un certo indice in poi
tutti i termini che seguono
sono maggiori di M.
1571
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
ESEMPIO
Verifichiamo che la successione dei numeri naturali multipli di 3 è divergente
positivamente, ossia che:
lim 3n =+ 3 .
n "+3
Fissato un numero positivo M, dobbiamo trovare un corrispondente numero
positivo p M per cui risulti:
3n 2 M
6n 2 p M .
Dividendo entrambi i membri per 3 otteniamo la disequazione equivalente:
M
.
3
n2
M
, abbiamo trovato che 6n 2 p M risulta 3n 2 M, ossia
3
M
tutti i termini con indice n 2
sono maggiori di M.
3
Se poniamo p M =
lim a n =- 3
n "+3
DEFINIZIONE
lim a
n "+3 n
=- 3
Data la successione di termine generale a n, si dice che per n tendente a più
infinito la successione ha per limite - 3 quando, fissato ad arbitrio un
numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero pM
positivo tale che risulti:
● Quindi, fissato ad arbitrio un numero M 2 0, da
un certo indice in poi tutti i
termini della successione
sono minori di - M .
an 1 - M
per ogni n 2 pM.
In questo caso la successione è detta divergente negativamente.
ESEMPIO
Verifichiamo che n lim
(1 - n2) =- 3 .
"+3
Fissato un numero positivo M, dobbiamo trovare un corrispondente numero
positivo pM per cui risulti:
1 - n2 1 - M, 6n 2 p M .
Risolviamo la disequazione:
n2 - 1 2 M " n2 2 M + 1 " n 2
Se poniamo p M =
M + 1.
M + 1 , abbiamo trovato che 6n 2 p M risulta:
1 - n2 1 - M .
1572
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PARAGRAFO 3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
lim a n = l
n "+3
DEFINIZIONE
lim a
n "+3 n
=l
Data la successione di termine generale a n, si dice che per n tendente a
+ 3 la successione ha per limite il numero l quando, fissato ad arbitrio un
numero f positivo, è possibile determinare un corrispondente numero p f
positivo tale che risulti:
an - l 1 f
per ogni n 2 p f.
Una successione di questo tipo si dice convergente.
ESEMPIO
1
= 0.
2n
Fissato un numero positivo f, dobbiamo trovare in corrispondenza un numero positivo p f per cui risulti:
Verifichiamo che n lim
"+3
1
-0 1 f
2n
"
1
1 f,
2n
6n 2 pf .
Poiché n 2 0, possiamo togliere il valore assoluto:
1
1 f.
2n
Passiamo alla disuguaglianza tra i reciproci dei due membri, cambiando anche
il verso della disuguaglianza, e dividiamo poi per 2:
1
1
2n 2
" n2
.
f
2f
1
Se poniamo pf =
, abbiamo trovato che 6n 2 pf risulta:
2f
1
- 0 1 f.
2n
lim a n non esiste
n "+3
Può capitare che una successione non sia né divergente (positivamente o negativamente) né convergente: in questi casi si dice che non esiste il limite, oppure che
la successione è indeterminata.
ESEMPIO
Nella successione
an = (- 1) n,
con n ! N,
tutti i termini hanno come valore +1 o -1:
+ 1 se n è pari
an = '
- 1 se n è dispari
Anche considerando indici molto grandi, la successione oscilla tra +1 e -1,
pertanto non è possibile determinare un unico valore a cui si avvicina, quindi
il limite non esiste.
1573
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
4. I TEOREMI SUI LIMITI
DELLE SUCCESSIONI
I teoremi fondamentali
I teoremi che abbiamo dimostrato per i limiti delle funzioni sono validi, come casi
particolari, anche per le successioni.
Ricordiamo in particolare il teorema del confronto:
• date le successioni a n , b n , c n tali che a n # b n # c n , 6n ! N, se n lim
a = lim c =l ,
"+3 n n "+3 n
allora esiste anche il limite di b n per n tendente a + 3 ed è uguale a l;
a =+ 3 , anche b n
• date le successioni a n, b n tali che a n # b n, 6n ! N, se n lim
"+3 n
tende a + 3 per n tendente a + 3 e, analogamente, se n lim
b =- 3 , anche
"+3 n
a n tende a - 3 per n tendente a + 3 .
Le sottosuccessioni
n-1
, con n ! N , e prendiamo i termini che
n+2
hanno come indice i multipli di 3 non nulli (cioè a3, a 6, a9, f):
Consideriamo la successione an =
2 5 8
3n - 1
, ,
, f,
,f
5 8 11
3n + 2
Abbiamo ottenuto un’altra successione detta sottosuccessione o successione
estratta da quella data.
Da una successione possiamo ricavare infinite sottosuccessioni. Diamo altri due
esempi di sottosuccessioni della successione appena considerata:
● Prova a scrivere i primi
dieci termini di queste sottosuccessioni e confrontali
con quelli della successione
di partenza.
an =
2n - 1
,
2n + 2
bn =
5n - 1
.
5n + 2
Applicando la definizione di limite alla successione data possiamo verificare che
lim a = 1. In modo analogo è possibile verificare che le tre sottosuccessioni tenn "+3 n
dono tutte a 1 per n tendente a + 3 . Questa è una proprietà generale delle successioni non indeterminate; infatti è possibile dimostrare il seguente teorema.
TEOREMA
Limite delle sottosuccessioni
Se una successione an ammette limite l ! R, oppure + 3 o - 3 , per n tendente a + 3 , allora ogni successione estratta ammette lo stesso limite per n
tendente a + 3 .
● Per esempio, la successione indeterminata
1, - 1, 1, - 1, f
ha per sottosuccessione
1, 1, 1, 1, f,
che è convergente a 1.
● Se una successione è indeterminata, non è detto che anche le sue sottosuccessioni lo siano.
Inoltre, se da una successione è possibile estrarre una sottosuccessione convergente, non possiamo dedurre che anche la successione di partenza sia convergente.
1574
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PARAGRAFO 4. I TEOREMI SUI LIMITI DELLE SUCCESSIONI
TEORIA
I limiti delle successioni monotòne
Per le successioni monotòne vale il seguente teorema.
TEOREMA
Limite di una successione monotòna
• Se una successione crescente è limitata superiormente, allora è convergente; se è illimitata superiormente, allora diverge positivamente.
• Se una successione decrescente è limitata inferiormente, allora è convergente; se è illimitata inferiormente, allora diverge negativamente.
ESEMPIO
1. La successione an =
0,
1
,
2
2
,
3
n
, ossia
n+1
● Dal teorema si deduce
che una successione monotòna non è mai indeterminata.
● Puoi verificare che ogni
termine è minore del suo
successivo e che ogni
termine è minore di 1.
3
, f,
4
è crescente e limitata, quindi è convergente.
2. La successione dei numeri pari è crescente e illimitata, quindi è divergente.
Le operazioni con le successioni
È possibile definire anche con le successioni le quattro operazioni.
Date le successioni
a 0 , a 1 , a 2 , …, a n , …
e
b 0 , b 1 , b 2 , …, b n , …,
definiamo le seguenti operazioni.
Addizione
Si chiama somma delle due successioni la successione:
a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 ,
…, a n + bn ,
● Per esempio, se
…
Sottrazione
Si chiama differenza delle due successioni la successione:
a0 - b0, a1 - b1 , a2 - b2,
…, a n - bn ,
…
Moltiplicazione
Si chiama prodotto delle due successioni la successione:
a0 $ b0,
a1 $ b1 , a2 $ b2 ,
…, a n $ bn ,
a n = 2n e b n = n 2 - 3n,
an + bn =
= 2n + n 2 - 3n =
= n 2 - n.
…
Divisione
Se b n ! 0, 6n ! N, si chiama quoziente delle due successioni la successione:
● Per esempio, se
1
a n = n - 1 e bn = ,
n
n-1
.
an $ bn =
n
a
a 0 a1 a 2
,
,
, f, n , f
b0 b1 b2
bn
I teoremi sulle operazioni con i limiti
b = l l , allora sono validi i seguenti teoremi.
Se n lim
a = l e n lim
"+3 n
"+3 n
• Teorema della somma dei limiti: n lim
(a + bn) = l + l l .
"+3 n
• Teorema della differenza dei limiti: n lim
(a - bn) = l - l l .
"+3 n
● Per esempio:
1
n-1l
=
lim b +
n
n
= 0 + 1 = 1 perché
1
lim
=0e
n "+3 n
n-1
lim
= 1.
n "+3
n
n "+3
1575
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
● Questi teoremi sono analoghi a quelli studiati per le
funzioni per x " + 3.
Analoghi sono anche i
teoremi validi quando si
presentano una o più successioni divergenti. Per
esempio, se
lim an = - 3 e
n "+3
• Teorema del prodotto dei limiti: n lim
(a $ bn) = l $ l l .
"+3 n
• Teorema del quoziente dei limiti: se bn ! 0 6n ! N e ll ! 0, allora n lim
"+3
an l
= .
bn l l
● I teoremi sui limiti delle successioni sono alla base del calcolo dei limiti, analogamente a
quanto avviene per le funzioni. Affronteremo il calcolo dei limiti negli esercizi.
lim bn = - 3 , allora
n "+3
lim (an + bn) = - 3 .
n "+3
● Anche per le successioni
si dimostrano alcuni limiti
fondamentali. Per esempio
si ha
lim b1 +
n "+3
5. I LIMITI DELLE PROGRESSIONI
Le progressioni aritmetiche
DEFINIZIONE
1 ln
= e.
n
Progressione aritmetica
Una successione numerica si dice progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è costante.
● In questo paragrafo definiremo le successioni in
N - {0} .
La differenza costante fra un termine e il suo precedente viene chiamata ragione
della progressione e viene indicata con d.
Molto spesso capita di considerare un numero finito di termini consecutivi della
progressione. In tal caso il primo e l’ultimo termine di questo insieme ordinato
sono detti estremi della progressione.
ESEMPIO
Consideriamo la successione:
10,
15,
20,
25,
30,
35,
40,
…
È una progressione aritmetica di ragione 5. Consideriamo i primi cinque termini: avremo un insieme i cui estremi sono 10 e 30.
an−1
an
+d
an+1
In una progressione aritmetica di ragione d è possibile calcolare un termine qualunque a n conoscendo il termine precedente a n-1 e aggiungendo la ragione, oppure il termine successivo a n+1 e sottraendo la ragione.
−d
● Se d 2 0 , allora an + 1 2 an e quindi la progressione è crescente; se invece d 1 0 , allora
● In generale, è possibile
calcolare un qualsiasi
termine an se è noto il
termine an + p.
a1
Le formule relative al termine generico e alla somma di una progressione aritmetica sono fornite dai seguenti teoremi.
an
+ (n − 1) d
•
…
a1
a2 = a1 + 1d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
an + 1 1 an e quindi la progressione è decrescente.
TEOREMA
Calcolo del termine a n di una progressione aritmetica
In una progressione aritmetica, il termine a n è uguale alla somma del primo
termine a 1 con il prodotto della ragione d per (n - 1):
an = a1 + (n - 1) $ d , con n intero positivo.
an = a1 + (n − 1)d
1576
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 5. I LIMITI DELLE PROGRESSIONI
TEOREMA
TEORIA
● La somma
Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La somma S n dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al
prodotto di n per la semisomma dei due termini estremi a 1 e a n :
a + an
.
Sn = n $ 1
2
Sn = a1 + a 2 + f + an
si può anche indicare con
n
/ ai .
i=1
ESEMPIO
Calcoliamo la somma dei primi 10 termini della progressione aritmetica di
primo termine 1 e ragione d = 2:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …
Poiché n = 10, a 1 = 1, risulta a 10 = 1 + (10 - 1) $ 2 = 19 e quindi:
S10 = 10 $
1 + 19
= 10 $ 10 = 102 .
2
Il limite di una progressione aritmetica
Poiché il termine generico a n di una progressione aritmetica di ragione d è dato
dall’espressione
a n = a 1 + (n - 1) $ d,
vediamo che:
1. se d = 0, cioè a n = a 1 6n 2 1, allora la successione è costante e
lim a = a1 ;
n "+3 n
2. se d ! 0 , allora:
+3
lim an = n lim
[a + (n - 1) $ d] = (
"+3 1
-3
n "+3
se d 2 0
.
se d 1 0
Pertanto vale la seguente proprietà.
PROPRIETÀ
Una progressione aritmetica di ragione d ! 0 è sempre divergente.
Le progressioni geometriche
DEFINIZIONE
Progressione geometrica
Una successione numerica si dice progressione geometrica quando il quoziente fra ogni termine e il suo precedente è costante.
Il quoziente costante fra un termine e il suo precedente è detto ragione della progressione geometrica e viene indicato con q.
La ragione q non può essere mai uguale a 0.
Se consideriamo un numero finito di termini consecutivi di una progressione geometrica, il primo e l’ultimo termine sono detti estremi della progressione.
● Nessun termine di una
progressione geometrica
può essere uguale a 0,
perché non ha significato
n
una divisione del tipo .
0
1577
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
ESEMPIO
La successione
7, 21, 63, 189, 567, …
è una progressione geometrica di ragione 3. Gli estremi dei primi 4 termini
sono 7 e 189.
Le progressioni geometriche hanno proprietà simili a quelle delle progressioni
aritmetiche. Per esempio, in una progressione geometrica di ragione q è possibile
calcolare un termine qualunque a n conoscendo il termine precedente a n-1 oppure
il termine successivo a n +1.
an
an-1
×q
an+1
an = an - 1 $ q .
:q
Se conosciamo il termine successivo, lo dividiamo per la ragione:
a
an = n + 1 .
q
Possiamo dedurre da queste proprietà che in una progressione geometrica:
• se q 2 0 , i termini sono tutti o positivi o negativi;
• se q 1 0 , i termini sono alternativamente di segno opposto.
● Se a 1 2 0 e q 1 0,
a2 = a1 $ q
a3 = a2 $ q
Se a 1 2 0 e q
a2 = a1 $ q
a3 = a2 $ q
1 0,
2 0...
2 0,
2 0,
2 0...
TEOREMA
Calcolo del termine an di una progressione geometrica
In una progressione geometrica il termine a n è uguale al prodotto del primo termine a 1 per la potenza della ragione con esponente (n - 1):
an = a1 $ qn - 1 con n intero positivo.
● a1
a 2 = a 1 $ q1
a3 = a1 $ q2
a4 = a1 $ q3
h
Se conosciamo il termine precedente, lo moltiplichiamo per la ragione:
ESEMPIO
Nella progressione geometrica di ragione 2, determiniamo il sesto termine
sapendo che il primo termine è uguale a 3.
h h
a n = a 1 $ q n-1
Poiché a1 = 3 , q = 2 , il sesto termine è:
a 6 = 3 $ 26 - 1 = 3 $ 25 = 96 .
La progressione geometrica è 3, 6, 12, 24, 48, 96, …
TEOREMA
● Se q = 1, il denominatore si annulla.
● Abbiamo considerato
come primo termine a1.
Se invece consideriamo a0,
l’n-esimo termine è an - 1
e la somma risulta
qn - 1 - 1
.
Sn = a 0 $
q-1
Somma dei primi n termini di una progressione geometrica
La somma S n dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione
q diversa da 1 è espressa dalla formula:
qn - 1
.
Sn = a1 $
q-1
ESEMPIO
Calcoliamo la somma dei primi 5 termini della progressione geometrica:
2,
8,
32,
128,
512,
…
Poiché q = 4, a 1 = 2, calcoliamo S 5:
45 - 1
1024 - 1
= 2$
= 682 .
S5 = 2 $
4-1
3
1578
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 6. CHE COS’È UNA SERIE NUMERICA
TEORIA
Il limite di una progressione geometrica
Poiché il termine generico a n di una progressione geometrica di ragione q è dato da
an = a1 $ qn - 1 ,
vediamo che:
• se q #- 1, allora a n cambia alternativamente segno al crescere di n e il suo valore
assoluto tende a + 3 per n tendente a + 3 ; quindi non esiste il limite n lim
a ;
"+3 n
qn = 0 e quindi:
• se - 1 1 q 1 1, cioè q 1 1, allora n lim
"+3
lim an = n lim
a qn - 1 = 0 ;
"+3 1
n "+3
• se q = 1, allora la progressione geometrica è costante e quindi n lim
a = a1;
"+3 n
• se q 2 1, allora:
+3
n-1
(
=
=
lim
a
lim
a
q
n
1
n "+3
n "+3
-3
se a1 2 0
se a1 1 0
䉳 Figura 2 Il comporta-
an = a1 qn ⫺ 1
•
convergente
a1 se q = 1
0 se |q| < 1
se
–1 < q ≤ 1
divergente
+⬁ se a1 > 0
– ⬁ se a1 < 0
se
q>1
se
q ≤ –1
indeterminata
non ammette limite
mento della progressione
geometrica, al variare della
ragione q.
6. CHE COS’È UNA SERIE
NUMERICA
Abbiamo già visto che un numero decimale finito può essere scritto come somma
di numeri interi e/o di numeri frazionari.
Per esempio:
2, 491 = 2 +
4
9
1
+
+
.
10
100
1000
Possiamo eseguire l’addizione perché è formata da un numero finito di addendi.
Consideriamo ora un numero decimale illimitato periodico. Per esempio, se scriviamo
3, 5 = 3, 5555f = 3 +
5
5
5
5
+
+
+
+ f,
100
1000
10 000
10
che significato diamo a questa addizione di infiniti addendi?
1579
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
5
5
5
5
,
,
,
,…e
10 100 1000 10 000
costruiamone un’altra mediante somme parziali dei suoi termini:
Per rispondere, consideriamo la successione 3,
s1 = 3 ,
5
10
5
s3 = 3 +
10
5
s4 = 3 +
10
5
s5 = 3 +
10
s2 = 3 +
= 3, 5 ,
5
= 3, 55 ,
100
5
5
+
+
= 3, 555 ,
100
1000
5
5
5
+
+
+
= 3, 5555 ,
100
1000
10 000
+
…
Quando scriviamo la precedente uguaglianza tra il numero 3, 5 e la somma di
infiniti termini, in realtà affermiamo che la successione di somme parziali che
abbiamo costruito ha per limite il numero 3, 5.
In generale, il procedimento che abbiamo esaminato porta ai concetti di serie e di
somma di una serie e serve per studiare l’addizione di infiniti addendi.
DEFINIZIONE
Serie numerica
Data una successione di numeri a 1, a 2, a 3, …, a n , …, si chiama serie numerica la successione:
s 1 = a 1,
s 2 = a 1 + a 2,
s 3 = a 1 + a 2 + a 3,
…
s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n,
…
● È possibile che il valore
iniziale di n non sia 1 ma un
altro numero naturale. Per
esempio,
+3
/
n=2
n
=
n-1
I numeri a 1, a 2, a 3, … si chiamano termini della serie; an si chiama termine generale; le somme s 1, s 2 , s 3 , …, s n , … si dicono somme parziali o ridotte della serie.
s n si chiama ridotta n-esima o ridotta di ordine n.
È possibile indicare una serie con
Il simbolo
3
4
= 2+ + +f
2
3
Tuttavia, le ridotte continuano a essere ordinate con
indici 1, 2, 3, …
Nell’esempio abbiamo:
+3
/
n=1
+3
/ an .
n=1
si chiama sommatoria e si legge «sommatoria in n da 1 a più infi-
nito». Si ha quindi:
+3
/ an = a1 + a2 + a3 + f + an + f
n=1
ESEMPIO
s1 = 2,
3
7
s2 = 2 + = ,
2
2
3
4
29
s3 = 2 + + =
,
2
3
6
f
Le ridotte della serie
+3
/ (2n - 1) sono:
n=1
s1 = 1, s2 = 1 + 3 = 4, s3 = 1 + 3 + 5 = 9, s 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16,
s5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, f
1580
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI, INDETERMINATE
Utilizzando il simbolo di sommatoria, la ridotta n-esima può essere scritta
come:
n
sn =
/ ak .
TEORIA
● Se n = 1, per convenzio-
ne, si ha: s1 =
1
/ ak = a1 .
k=1
k=1
ESEMPIO
Consideriamo la serie
I suoi termini sono:
a1 = 2, a 2 =
+3
/
n=1
2n
.
n
22
23
8
24
2n
= 2, a3 =
= , a4 =
= 4, f , an =
,f
2
3
3
4
n
Le ridotte sono:
s1 = 2 , s2 = 2 + 2 = 4 , s3 = 2 + 2 +
n
8
20
2k
=
, f , sn = /
,f
3
3
k=1 k
7. SERIE CONVERGENTI,
DIVERGENTI, INDETERMINATE
La definizione di serie è stata introdotta per dare significato all’addizione di un
numero infinito di termini. Alcune volte tale addizione dà per risultato un numero, altre volte non dà risultato. A seconda del comportamento, una serie può essere convergente, divergente, indeterminata.
Il comportamento di una serie viene chiamato carattere della serie.
Serie convergente
DEFINIZIONE
Serie convergente
Una serie
+3
/ an è convergente se la successione delle sue ridotte ha un limi-
n=1
te finito, cioè se n lim
s = s, s ! R .
"+3 n
Il numero s si chiama somma o valore della serie e si scrive anche:
+3
/ an = s .
n=1
● La serie
+3
/
n=1
ESEMPIO
Consideriamo la seguente serie:
+3
/
1
1
1
1
1
=
+
+
+f+
+f
n
(
n
1
)
1
2
2
3
3
4
n
(
n
+
$
$
$
+ 1)
n=1
1
Il suo termine generale, an =
, può essere scritto come somma algen (n + 1)
brica di due frazioni più semplici:
1
1
1
.
= n (n + 1)
n
n+1
1
è
n (n + 1)
detta serie di Mengoli, dal
nome del matematico bolognese Pietro Mengoli
(1626-1686). Gli studi di
Mengoli sui limiti furono
approfonditi e vennero
sfruttati da Newton e
Leibniz.
● Infatti:
=
1
1
=
n
n+1
n+1-n
1
.
=
n (n + 1)
n (n + 1)
1581
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Quindi, la ridotta n-esima s n è:
1
1
1
1
1
1
1
1
- l+b - l+b - l+ f +b
- l+
n-1
n
1
2
2
3
3
4
1
1 l
sn = + b .
n
n+1
sn = b
Eliminiamo le parentesi e semplifichiamo; restano soltanto il primo e l’ultimo
addendo:
1
sn = 1 .
n+1
Passando al limite per n " + 3 , otteniamo:
lim s
n "+3 n
= 1.
Pertanto, la serie ha per somma 1:
+3
/
n=1
1
= 1.
n (n + 1)
Serie divergente
DEFINIZIONE
Serie divergente
Una serie
+3
/ an è:
n=1
• divergente positivamente se la successione delle sue ridotte ha limite + 3 :
lim s
n "+3 n
=+ 3 ;
• divergente negativamente se la successione delle sue ridotte ha limite - 3 :
lim s
n "+3 n
=- 3 .
In questo caso si dice che la somma della serie è + 3 (oppure - 3 ) e si scrive
anche:
+3
/ an =+ 3
n=1
ESEMPIO
Esaminiamo la serie
eoppure
/ an =- 3o .
+3
n=1
+3
/ 2n . I suoi termini sono: 2, 4, 6, …, 2n …
n=1
● In una progressione arit-
metica di ragione d,
la somma dei primi n
termini è:
sn = n $ b
a1 + an l
.
2
Essi costituiscono la progressione aritmetica dei numeri pari, cioè la progressione di ragione d = 2, che ha come primo elemento a 1 = 2. Calcoliamo la
ridotta n -esima utilizzando la formula della somma dei primi n elementi di
una progressione aritmetica:
sn =
a1 + an
2 + 2n
n = (n + 1) n = n2 + n .
$n =
2
2
Dato che n lim
(n2 + n) =+ 3 , la serie diverge positivamente e scriviamo:
"+3
+3
/ 2n = 2 + 4 + 6 + f + 2n + f =+ 3 .
n=1
1582
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI, INDETERMINATE
TEORIA
● Una serie i cui termini sono uguali a una costante diversa da 0 è sempre divergente.
Infatti, data la serie
+3
n
/ c , la generica ridotta è sn = / c = c + c + f + c = nc , quindi:
k=1
n=1
+3
lim nc = '
-3
n "+3
se c 2 0
se c 1 0
3
/ c = '+
-3
+3
"
n=1
se c 2 0
se c 1 0
Serie indeterminata
DEFINIZIONE
Serie indeterminata
La serie
● Una serie indeterminata
+3
/ an è indeterminata se la successione delle sue ridotte è indetermi-
si dice anche oscillante.
n=1
nata, cioè se non è né convergente né divergente.
ESEMPIO
Consideriamo la serie
+3
/ (- 1) n e scriviamo i suoi termini:
n=1
a1 =- 1, a2 = 1, a3 =- 1, a 4 = 1, f, an = (- 1) n , f
La successione delle ridotte è:
s1 =- 1, s2 = 0 , s3 =- 1, s 4 = 0 , s5 =- 1, f , s2n = 0 , s 2n + 1 =- 1, f
Le ridotte hanno alternativamente valori -1 e 0, pertanto la loro successione
è indeterminata. La serie data è quindi indeterminata.
La serie geometrica
DEFINIZIONE
Serie geometrica
Si chiama serie geometrica di ragione q la serie:
+3
/ qn = 1 + q + q 2 + q3 + f + qn + f
n=0
I suoi termini sono quelli della progressione geometrica che ha la stessa ragione q
e come primo elemento 1.
● Nella serie geometrica
l’indice n parte da 0 (e non
da 1).
ESEMPIO
/ b 15 l
+3
n=0
n
= 1+
1
1
1
+
+
+f
5
25
125
è la serie geometrica di ragione
1
.
5
Studiamo il comportamento della serie geometrica.
Se q = 1, la somma parziale s n è data dalla somma di n addendi tutti uguali a 1,
cioè:
sn = 1 + 1 + 1 + f + 1 = n .
Dunque s n , e quindi anche la serie, diverge positivamente.
1583
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Se q ! 1, calcoliamo s n scrivendo la somma dei primi n termini di una progressione geometrica con ragione q e primo termine uguale a 1:
termini di una progressione
geometrica di ragione q ! 1
e con primo elemento a 1 è:
1 - qn
sn = a1 $
.
1-q
1-qn
.
1-q
sn =
● La somma s n dei primi n
Si possono presentare tre casi.
• q 2 1: n lim
qn =+ 3 , quindi
"+3
lim
n "+3
1 - qn
=+ 3 .
1-q
La serie diverge positivamente.
qn = 0 , quindi
• q 1 1: n lim
"+3
lim
n "+3
1 - qn
1
.
=
1-q
1-q
La serie converge.
• q #- 1: n lim
qn non esiste perché qn cambia alternativamente di segno all’au"+3
mentare di n e il suo valore assoluto tende a + 3 , quindi anche
lim
n "+3
1 - qn
1-q
non esiste.
La serie è indeterminata.
In sintesi, abbiamo il seguente schema.
䉴 Figura 3 Il comportamento
divergente
della serie geometrica di
ragione q è diverso a seconda
del valore di q.
+∞
∑
qn
+∞
convergente
n=0
indeterminata
●
se
q≥1
1
——
1–q
se
–1 < q < 1
∃ somma
se
q ≤ –1
Le proprietà delle serie
Per le serie valgono queste proprietà.
Proprietà distributiva
Se c è un numero reale diverso da 0, le serie
Se sono convergenti, allora
+3
+3
n=1
n=1
+3
+3
n=1
n=1
/ an e / can hanno lo stesso carattere.
/ can = c $ / an .
Proprietà associativa
Data una serie convergente oppure divergente, se associamo i suoi termini in gruppi contenenti un numero finito di addendi consecutivi, otteniamo una serie che ha la stessa somma (finita
o infinita).
Non vale invece la proprietà commutativa:
se modifichiamo l’ordine dei termini di una serie, in generale ne otteniamo un’altra che ha una
somma diversa o un diverso carattere.
1584
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESPLORAZIONE I PARADOSSI DI ZENONE
ESPLORAZIONE
I paradossi di Zenone
Zenone di Elea, filosofo greco del V secolo a.C., usava
il paradosso come strumento retorico per dimostrare
«a rigor di logica» le idee del suo maestro Parmenide,
spesso in contraddizione col senso comune e l’esperienza. Se Parmenide voleva dimostrare che l’«Essere» è unico e immutabile, Zenone costruiva giochi
logici per negare addirittura il movimento.
Nelle ipotesi di uno dei suoi paradossi diceva che per
attraversare l’intera lunghezza di uno stadio bisogna
prima percorrerne la metà, prima ancora un quarto,
ancora prima un ottavo e così via. Zenone rappresentava quindi una distanza come una somma infinita di frazioni, o meglio, come la serie numerica
1
formata dalle potenze di :
2
1
1
1
1 n
1
+ + + f +b l + f =
2
4
8
2
2
/ b 12 l .
+3
n
n=0
Il paradosso di Zenone continuava sostenendo che era
quindi impossibile percorrere in un tempo finito una
quantità infinita di parti di spazio: ne sarebbe sempre
e comunque rimasta una davanti a chi si fosse cimentato nell’impresa, qualunque fosse stata la distanza in
oggetto.
A parole il ragionamento fila, ma, tenendo conto del
passaggio al limite e della formula che ci permette di
calcolare la somma della serie geometrica di ragione
1
, la serie che descrive gli infiniti spazi percorsi nel2
lo stadio ha per somma:
1
$
2
1
1-
1
2
= 1.
䉱 Nei suoi paradossi visivi, come Salita e discesa, Maurits C.
Escher elabora, da artista, il concetto di infinito.
Il paradosso è quindi svelato. La distanza è finita
anche «a rigor di logica» e quindi percorribile in un
tempo finito, nonostante sia rappresentabile come
somma di infiniti termini. Oltre al paradosso dello
stadio, anche il paradosso di Achille e quello della
freccia speculano sull’infinita divisibilità dello spazio;
l’attenzione su questo tema è il motivo per cui molti
matematici si sono interessati a Zenone di Elea.
Attività
Achille e la tartaruga
● Interpreta mediante le serie numeriche il paradosso di
Achille e la tartaruga e spiegalo. Se non ne conosci l’enunciato, cercalo online.
Cerca nel Web:
Achille tartaruga, paradosso Zenone, Zeno’s paradox
1585
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
TEORIA
TEORIA
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
SCRIVERE 1 CON INFINITE CIFRE
Quale significato ha la scrittura del numero 1 come numero periodico 0,9999…?
Il quesito completo a pag. 1567
1
, minore di 1,
trovata, con ragione
10
converge a
Una somma infinita
Cerchiamo di capire che cosa significa 0,9999…
Raccogliamo un 9 e otteniamo
1
1
110
Perciò:
0, 9999f = 9 $ 0, 1111f =
ora moltiplichiamo e dividiamo per
10 il numero con la virgola e otteniamo
9
$ 1, 11111f
10
Il numero 1,1111… può essere visto
come somma di una serie geometrica.
Infatti:
+
1
1
+
+
10
100
+3
1
1 n
+f = /b l .
1000
n = 0 10
Quindi:
0, 9999f =
10
.
9
9 10
$
= 1.
10 9
Questo dovrebbe spazzare via ogni
perplessità.
0, 9999f =
=
1, 1111f = 1 +
=
9 + 3 b 1 ln
.
$/
10 n = 0 10
Se cambiamo base
Abbiamo mostrato che, quando scriviamo i numeri in base 10, la scrittura
0,9999… è una scrittura alternativa
per rappresentare il numero 1.
Proviamo adesso a cambiare base e
consideriamo, in base 3, il numero
0,2222…
Raccogliamo un 2 (che è analogo al
9 di prima, perché è il numero intero che precede la base 3, ossia
(2) 3 = (10) 3 - (1) 3 ) e otteniamo
0, 2222f = 2 $ 0, 1111f =
Sappiamo che la serie geometrica
se ora moltiplichiamo e dividiamo il
numero con la virgola per 3, ossia
(10) 3 , otteniamo, in base 3,
2
=
$ 1, 1111f
10
e quindi:
2 + 3 b 1 ln
.
0, 2222f =
$/
10 n = 0 10
Anche qui il valore della serie è
1
,
1
110
ma adesso, per fare le sottrazioni,
dobbiamo ricordare che in base 3
abbiamo 10 - 1 = 2, e così troviamo
il risultato
1
1
1
10
=
=
=
.
1
10 - 1
2
2
110
10
10
Quindi:
2 10
$
= 1.
0, 2222f =
10 2
Anche in base 3, se prendiamo il
numero decimale costituito da 0
seguito dal periodo uguale a 2 (il
numero che precede (10) 3 ) otteniamo l’unità.
Pi greco e le somme infinite
Ci sono parecchie formule che mettono in relazione il numero r
con delle serie numeriche e che possono servire per calcolare
le sue cifre.
La prima, attribuita al matematico scozzese James Gregory,
ma pubblicata dal matematico e filosofo tedesco Gottfried W.
Leibniz nel 1674, è:
+3
( - 1) n
r
1
1
1
.
= 1- + - +f = /
4
3
5
7
2
n=0 n + 1
Questa formula è molto semplice, ma la convergenza della serie
r
a è molto lenta e bisogna sommare più di 600 termini prima
4
di ottenere stabilmente la seconda cifra decimale di r, cioè 4.
Un’altra formula semplice è quella di Eulero, grande matematico svizzero del Settecento:
+3
2
r
1
1
1
1
= 1+ + +
+f= / 2 ,
6
4
9
16
n=1 n
ma anch’essa ha una convergenza molto lenta.
Esistono formule con una convergenza molto più rapida, ma
molto più complesse.
Per esempio, la formula dell’indiano Srinivasa A. Ramanujan,
uno dei più grandi matematici del Novecento, dà:
1
2 2 + 3 (4n) !(1103 + 26390n)
=
.
/
9801 n = 0
r
(n!) 4 396 4n
Già per n = 2 si ricavano più di venti cifre decimali di r corrette e per ogni termine aggiunto nella serie si ottengono otto
cifre corrette in più.
Nel 1996 i matematici David H. Bailey, Peter Borwein e Simon
Plouffe pubblicarono, sulla rivista scientifica Mathematics of
Computation, la «miracolosa» formula
r=
+3
/
n=0
1 b 4
2
1
1 l
,
8n + 5
8n + 6
16 n 8n + 1 8n + 4
dalla quale si ricava l’algoritmo per calcolare una qualsiasi cifra decimale di r, senza dover calcolare le precedenti.
1586
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
LABORATORIO DI MATEMATICA
Le successioni
TEORIA
LABORATORIO DI MATEMATICA
LE SUCCESSIONI
ESERCITAZIONE GUIDATA
4n + 11
= 2 , costruiamo un foglio di Excel che, letto un f 2 0, permetta la
2n + 7
4n + 11
ricerca dell’indice pf, tale che 6 n 2 pf valga la disuguaglianza
- 2 1 f.
2n + 7
Per controllare che nlim
"+3
Per trovare l’indice pf costruiamo un foglio che realizzi un procedimento numerico che:
• richieda l’inserimento di un coefficiente intero positivo casuale;
• abbini al coefficiente scelto un certo numero di indici consecutivi della successione ottenuti, per esempio, moltiplicando per 10 il coefficiente casuale e scrivendo i dieci indici seguenti;
• ponga a fianco di ognuno di essi un’istruzione condizionale per cui se la disuguaglianza:
– non è soddisfatta, mostri l’indicatore =;
䉲 Figura 1
– è soddisfatta per la prima volta, mostri l’indicatore 1--;
– è soddisfatta per le volte successive, mostri l’indicatore ==.
La costruzione del foglio
• Attiviamo Excel e scriviamo le didascalie come in figura 1.
• Per mostrare gli indici e i termini della successione, digitiamo =
D4*10 in A7, = A7 + 1 in A8 e la copiamo sino alla A17. Quindi digitiamo = (4*A7 + 11)/(2*A7 + 7) in B7 e la copiamo sino alla B17.
• Per verificare la disuguaglianza digitiamo = SE(ASS(B8 - $C$2)
2= $D$3; "="; SE(E(ASS(B8 - $C$2) 1 $D$3; C7 = "="); "1--";
"==")) in C8 e la copiamo sino alla C17.
• Per mostrare l’indice pf , quando la ricerca ha successo, digitiamo = SE(C7 = "1--"; A7; "") in D7 e la copiamo sino alla D17, e la
formula = SOMMA(D7:D17) in D19.
• In figura 1 osserviamo la conclusione di una ricerca che, dopo
aver posto f = 0,001, è pervenuta a pf = 1497.
Nel sito:
䉴 1 esercitazione guidata 䉴 18 esercitazioni in più
Esercitazioni
Calcola il limite sul quaderno con procedimento analitico. Usa il valore trovato per verificare nel foglio elettronico la corrispondente definizione di limite, come nell’esercitazione guidata.
1
2
3
4
5
1 + 2n
4n
2
n + 3n3
an =
(n + 1) 3
n 4 - 2n3 - 3n2 - 5n - 8
an =
n3 + 1
n 2 - 3n + 2
an =
(n - 1) 3
n-2l
an = n ln b
n
an =
:1D
2
6
an = n _e n - 1i
[3]
7
an = n sen
[+ 3]
8
an = n 2 :cos b
[0]
9
4
an = 4n b
[4]
1
n
[1]
2l
- 1D
n
5
1 - - 1l
n
[- 2]
[- 10]
[- 2]
1587
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
LA TEORIA IN SINTESI
LE SUCCESSIONI E LE SERIE
1. LE SUCCESSIONI
䡲 Successione numerica: è una funzione f che associa a ogni numero naturale un numero reale:
f: N " R, n 7 a n.
n si chiama indice della successione e an termine della successione.
ESEMPIO:
⺞
0
1
2
3
…
n …
a0
a1
a2
a3
…
an …
1
3
5
7
an = 2n + 1
⺢
䡲 Una successione può essere rappresentata:
• per enumerazione: a0, a1, a2, a3, a4, …;
• mediante espressione analitica: a n = f(n);
• mediante formula ricorsiva indicando a0 e la relazione a n+1 = f(an) che lega il termine successivo a n+1 al suo
precedente a n.
2. ALCUNI TIPI DI SUCCESSIONI
䡲 Una successione è detta:
•
•
•
•
•
crescente se a n 1 a n+1 , 6n ! N;
crescente in senso lato (o non decrescente) se a n # a n+1 , 6n ! N;
decrescente se a n 2 a n+1 , 6n ! N;
decrescente in senso lato (o non crescente) se a n $ a n+1 , 6n ! N;
costante se a n = a n+1 , 6n ! N.
Ogni successione di questo tipo si dice monotòna.
䡲 Una successione è:
•
•
•
•
limitata superiormente se tutti i termini risultano minori o uguali di un numero reale M⬊ a n # M, 6n ! N;
limitata inferiormente se tutti i termini risultano maggiori o uguali di un numero reale m⬊ a n $ m, 6n ! N;
limitata quando è limitata sia superiormente sia inferiormente;
illimitata quando non è limitata.
ESEMPIO:
1,
1 1 1 1 1
1
, , , , , f, , f
2 3 4 5 6
n
1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n + 1, …
è una successione limitata;
è una successione illimitata (superiormente).
1588
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
LA TEORIA IN SINTESI
ESERCIZI
3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
䡲
lim a
n "+3 n
=+ 3 se, fissato ad arbitrio un numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero
p M positivo tale che an 2 M, 6n 2 p M . La successione si dice divergente positivamente.
䡲
lim a
n "+3 n
=- 3 se, fissato ad arbitrio un numero M positivo, è possibile determinare un corrispondente numero
p M positivo tale che an 1 - M, 6n 2 p M . La successione si dice divergente negativamente.
䡲
lim a
n "+3 n
= l se, fissato ad arbitrio un numero f positivo, è possibile determinare un corrispondente numero pf
lim a
n "+3 n
non esiste se an è non divergente e non convergente. La successione si dice indeterminata.
positivo tale che risulti: 兩a n - l 兩 1 f, per ogni n 2 pf. La successione si dice convergente.
䡲
4. I TEOREMI SUI LIMITI DELLE SUCCESSIONI
I teoremi relativi ai limiti di funzioni sono validi anche per le successioni. In particolare vale il teorema del confronto.
䡲 Teorema del limite di una sottosuccessione
Se una successione an ammette limite l ! R, oppure + 3 o - 3 , per n tendente a + 3 , allora ogni successione
estratta ammette lo stesso limite per n tendente a + 3 .
䡲 Teorema del limite delle successioni monotòne
Se una successione
è
allora è
crescente
limitata superiormente
convergente
crescente
illimitata superiormente
divergente positivamente
decrescente
limitata inferiormente
convergente
decrescente
illimitata inferiormente
divergente negativamente
䡲 Date le successioni a 0 , a1 , a 2 , …, a n , … e b0 , b1 , b2 , …, bn , … diciamo:
• somma delle successioni la successione a 0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , …, a n + bn , …;
• differenza delle successioni la successione a 0 - b0 , a1 - b1 , a2 - b2 , …, a n - bn , …;
• prodotto delle successioni la successione a 0 $ b0 , a1 $ b1 , a2 $ b2 , …, a n $ bn , …;
a
a a a
• se bn ! 0, 6n ! N , quoziente delle successioni la successione 0 , 1 , 2 , f, n , f
b0 b1 b2
bn
䡲 Per le successioni con limite finito _ lim an = l e lim bn = l li , valgono i teoremi sulle operazioni con i limiti,
n "+3
n "+3
come per le funzioni.
5. I LIMITI DELLE PROGRESSIONI
䡲 Progressione aritmetica di ragione d: è una successione a1, a2, …, an, … tale che:
an + 1 - an = d
per ogni n;
per essa valgono i seguenti risultati:
an = a1 + (n - 1) $ d
Sn = a1 + f + an = n $
+3
lim
a
=
-3
*
n "+3 n
a1
a1 + an
2
se d 2 0
se d 1 0
se d = 0
1589
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
䡲 Progressione geometrica di ragione q: è una successione a1, a2, …, an, … tale che:
an + 1
= q per ogni n;
an
per essa valgono i seguenti risultati:
an = a1 $ qn - 1
Sn = a1 + f + an = a1
Za
] 1
]0
lim a = [
n "+3 n
] !3
]b
\
qn - 1
q-1
se q = 1
se q 1 1
se q 2 1
se q # - 1
6. CHE COS’È UNA SERIE NUMERICA
䡲 Data una successione di numeri a1, a2, a3, …, an, …, si chiama serie numerica la successione dei numeri
s1 = a1,
s 2 = a1 + a 2,
s3 = a1 + a 2 + a3, f,
Si indica con a1 + a 2 + a3 + f + an + f oppure
sn
+3
= a1 + a 2 + a3 + f + an, f
/ an .
n=1
a1, a2, a3, …, an, … sono i termini della serie e s1, s2, s3, …, sn, … sono le somme parziali o ridotte.
La serie 1 + 3 + 5 + 7 + f + ]2n + 1g + f, con n ! N , ossia la serie che otteniamo dalla
successione dei numeri dispari, ha come ridotte 1, 4, 9, 16, …
ESEMPIO:
7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI, INDETERMINATE
䡲 Carattere di una serie: è il comportamento della serie, ossia se è convergente, divergente o indeterminata.
䡲 Una serie
+3
/ an è:
n=1
• convergente se n lim
s = s, con s ! R , e si scrive
"+3 n
+3
/ an = s ; s è la somma della serie;
n=1
positivamente se n lim
s =+ 3 e si scrive
"+3 n
• divergente
negativamente se n lim
s =- 3 e si scrive
"+3 n
+3
/ an =+ 3 ;
n=1
+3
/ an =- 3 ;
n=1
• indeterminata se non è né convergente né divergente.
ESEMPIO:
La serie di Mengoli
+3
/
n=1
1
è convergente. Abbiamo calcolato che la sua somma è 1.
n (n + 1)
䡲 Serie geometrica di ragione q: è la serie
+3
/ qn = 1 + q + q 2 + q 3 + f + qn + f
n=0
1-q
, la serie è:
1-q
• divergente se q $ 1;
1
;
• convergente se - 1 1 q 1 1, con somma s =
1-q
• indeterminata se q #- 1.
n
Poiché sn =
1590
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 1. LE SUCCESSIONI
1. LE SUCCESSIONI
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1568
La rappresentazione di una successione
La rappresentazione mediante espressione analitica
Scrivi i primi cinque termini delle seguenti successioni.
1
—
2
—
3
—
4
—
5
—
6
an = 5n + 1, n ! N ;
an = 3n + 5, n ! N ;
an = 5n + 5, n ! N .
an = 2n, n ! N ;
an = (- 1) n, n ! N ;
an = n $ (- 1) n, n ! N .
an =
1
, n ! N - {0} ;
n
an = 2 sen b
an = b
n l
r , n ! N;
2
1 ln + 1
, n ! N;
2
an =
1
, n ! N;
n+1
an = cos bn
an =
rl
, n ! N;
6
(- 1) n n + 1
$ n, n ! N ;
n+1
an =
n+1
, n ! N.
n+2
-
an = n
1
n
, n ! N - {0} .
an = n sen bn
rl
, n ! N.
4
ESERCIZIO GUIDA
Rappresentiamo mediante una possibile espressione analitica la seguente successione:
1
,
2
2
3
4
,
,
,
5
10
17
5
, f
26
Possiamo notare che in ogni frazione al numeratore troviamo i numeri naturali a partire da 1, mentre il
denominatore si ottiene aggiungendo 1 al quadrato di ogni numero naturale diverso da 0, cioè n2 + 1,
infatti:
2 = 12 + 1;
5 = 22 + 1; 10 = 32 + 1; 17 = 42 + 1; f
Dunque il termine generico della successione è:
an =
n
,
n2 + 1
n ! N - {0} .
Rappresenta mediante espressione analitica le seguenti successioni.
7
6an = 3n, n ! N @
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, f
—
8
—
9
1,
1
1
,
,
2
3
1,
2 - 1,
0,
1
2
,
,
2
3
—
10
—
11
—
12
——
13
——
6an = 2n - 1, n ! N @
- 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, f
3 - 2, - 1,
3
,
4
5 - 4,
6 - 5, f
[an =
1
2
3
4
,
,
,
, f
4
9
16
25
1
, f
42
;an =
1
, n ! ND
n+1
n + 1 - n, n ! N]
:an =
4
, f
5
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
2
6
12
20
30
0,
:an =
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
,
, f
4
5
6
7
8
9 10 11
n
, n ! ND
n+1
1
, n ! N - {0}E
n (n + 1)
;an =
n-1
, n ! N - {0}E
n2
1591
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
14
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
3
8an = n $ 2 n , n ! N - {0}B
1
5
4
2, 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , f
——
15
4,
——
16
——
:an = n + 3 , n ! N - {0}D
n
5
6
7
8
9
10
,
,
,
,
,
, f
2
3
4
5
6
7
- 1,
1
1
, - ,
2
3
n
;an = (- 1) , n ! N - {0}E
n
1
1
, - , f
4
5
Scrivi i primi cinque termini delle seguenti successioni definite ricorsivamente.
17
—
18
—
19
—
20
—
*
a0 = 1
(
a0 = 2
an + 1 = 1 - 2an
(
a0 =- 1
[- 1, - 3, - 11, - 43, - 171]
an + 1 = 4an + 1
(
a0 = 1
an + 1 = an2 + 1
:1, 2 , 4 , 8 , 16 D
3 9 27 81
2
an + 1 = an
3
[2, - 3, 7, - 13, 27]
21
—
22
—
23
—
(
a1 = 2
an + 1 = an + an2
*
a0 = 1
1
an = (an - 1 + 3)
2
(
a0 = 2
an = 3an + 1 + 2
[2, 6, 42, 1806, 3263442]
:1, 2, 5 , 11 , 23 D
2 4 8
:2, 0, - 2 , - 8 , - 26 D
27
9
3
[1, 2, 5, 26, 677]
Scrivi in forma analitica le seguenti successioni espresse ricorsivamente.
24
—
25
——
26
——
(
a0 = 2
;
an + 1 = an + 2
(
a0 = 0
.
an + 1 = an + 4
*
a0 = 1
(
a0 = 2
.
an + 1 =- 2an
1 ;
an + 1 = an
3
a 2 =- 1
Data la successione: *a = 5 a
n
2 n-1
a) trova a0, a1, a3, a4;
b) scrivi la successione in forma analitica.
[an = 2 (n + 1), n ! N; an = 4n, n ! N]
;an = b 1 l , n ! N; an = (- 1) n $ 2n + 1, n ! NE
3
n
n-2
;a) - 4 ; - 2 ; - 5 ; - 25 ; b) an =- b 5 l , n ! NE
25
5
2
4
2
Scrivi in forma ricorsiva le seguenti successioni espresse in forma analitica.
27
—
28
——
29
——
an = 3n, n ! N ;
an =
1
, n ! N.
2n
>(
an = b-
an = (- 1) n $ 3n, n ! N .
>*
1 ln
, n ! N;
2
a0 = 1
a0 = 0
H
; *
an + 1 = an + 3 an + 1 = 1 an
2
a0 = 1
a0 = 1
H
1 ; (a
an + 1 =- an
n + 1 =- 3an
2
A sequence is defined by an = an - 1 + an - 2 + an - 3 for n $ 4 . Suppose a 4 = 20, a5 = 36, a7 = 121.
What is the value of a1?
(USA Lehigh University: High School Math Contest, 2005)
54?
1592
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 2. ALCUNI TIPI DI SUCCESSIONI
2. ALCUNI TIPI DI SUCCESSIONI
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1570
IN PRATICA
Le successioni monotòne
䉴
Videolezione 7
Per ogni successione scrivi i primi dieci termini, rappresentali su una retta orientata e stabilisci se si tratta di una
successione crescente, decrescente o costante, oppure crescente in senso lato o decrescente in senso lato.
30
17
—
31
—
32
—
33
an = 2n ;
an =- 2n ;
an = 2n - 1.
an = 2n + 1;
2
an =
, n 2 0;
3n
an = 1 - 2n ;
1
an =- , n 2 0 ;
n
an = (+ 1) n .
an = (- 1) 2n .
ESERCIZIO GUIDA
Dimostriamo che la successione an =
2n - 3
è crescente.
n
Dobbiamo dimostrare che an 1 an + 1,
6n ! N - {0} .
Risolviamo la disequazione:
2 (n + 1) - 3
2n - 3
.
1
n
n+1
Si ha:
2n - 3
2n - 1
2n2 + 2n - 3n - 3
2n2 - n
.
1
"
1
n
n+1
n (n + 1)
n (n + 1)
Essendo n 2 0 , possiamo eliminare il denominatore e semplificare:
2n 2 - n - 3 1 2n 2 - n " - 3 1 0 .
La disequazione è dunque verificata 6n 2 0 , pertanto la successione è crescente.
Dimostra che le successioni seguenti sono monotòne.
34
—
35
—
36
—
37
—
an =
n-2
,
2n
an = 2 $ 3
an =
n ! N - {0} .
—
n
3n + 1
,
n
38
39
—
n ! N - {0} .
an = n - n 2
40
——
41
——
an = b
1 ln + 2
2
an = log 2 (1 + 8n)
1
2n + 1
2n + 1
an =
, n ! N - {0} .
n2
an =
Le successioni limitate e illimitate
42
ESERCIZIO GUIDA
2n
Stabiliamo se la successione an =
, con n 2 1, è limitata superiormente, limitata inferiormente,
n-1
limitata o illimitata.
Scriviamo alcuni elementi della successione e
li rappresentiamo su una retta orientata.
4, 3,
8 5 12 7
2n
, ,
, , f,
,f
3 2 5 3
n-1
7 5 8
2 .. — — —
3 2 3
m
3
12
—
5
4
M
1593
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
La successione è limitata superiormente, perché tutti i suoi termini risultano minori o uguali a 4. Infatti,
la disuguaglianza
2n
#4
n-1
"
2n - 4 (n - 1)
#0
n-1
"
- 2n + 4
#0
n-1
"
n-2
$0
n-1
è sempre verificata, essendo n 2 1.
Essa è anche limitata inferiormente, perché tutti i suoi termini risultano maggiori di 2. Infatti la fra2n
n
n
può essere scritta come 2 $
; poiché
è una frazione impropria, essa è maggiore
n-1
n-1
n-1
2n
di 1, quindi risulta
2 2 . Tutti i termini della successione sono maggiori di 2, anche se 2 non fa
n-1
parte di essi.
zione
Pertanto la successione data è una successione limitata.
Per ogni successione scrivi i primi dieci termini e stabilisci se si tratta di una successione limitata superiormente,
limitata inferiormente, limitata o illimitata.
43
——
44
——
45
——
46
——
47
——
48
——
49
——
an =
3n
,
n-1
an =
2n2
;
n+1
an = b
an =
n 2 1;
1 ln
;
2
1
,
n
an =
n+1
,
n2
n 2 0;
n 2 0;
an = 2n ;
5n
;
n+1
n;
5n2
;
n+1
an =-
1
,
n
n 2 0.
an =- 2n - 1.
an = 3n + (- 1) n .
an =
5n
.
n2 + 1
an = 1 + 2n2 ;
an =
1
,
n3
an = (- 1) n $ n ;
an =
an =
an =- n2 ;
an =
an =
1
,
n
n 2 0.
n 2 0.
2n
è monotòna per n 2 1 ed è limitata.
n!
(Suggerimento. n! = n $ (n - 1) $ f $ 3 $ 2 $ 1.)
Dimostra che la successione an =
3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
50
䉴 Teoria a pag. 1571
VERO O FALSO?
—
a)
La successione sn, per la quale 6k 2 0 , 7 nk tale che 6n 2 nk si ha sn 2 k , è convergente.
V
F
b)
La successione sn, per la quale 6k 2 0 , 7 nk tale che 6n 2 nk si ha sn 1 k , è divergente.
V
F
c)
La successione sn, per la quale 6k 2 0 , 7 nk tale che 6n 2 nk si ha sn 2 k , è convergente.
V
F
d)
Una successione limitata è formata da un numero finito di termini.
V
F
e)
Una successione crescente non può essere limitata.
V
F
1594
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 3. IL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
ESERCIZI
lim a n =+ 3
n "+3
51
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che la successione an = n2 - 1 diverge positivamente.
Dobbiamo verificare che n lim
(n2 - 1) =+ 3 .
"+3
Fissato ad arbitrio un numero M 2 0, dobbiamo trovare un corrispondente numero p M 2 0 per cui
risulti:
n2 - 1 2 M, 6n 2 p M .
Risolviamo la disequazione:
n 2 2 M + 1.
Poiché i due membri sono positivi, possiamo estrarre la radice quadrata:
n2
M + 1.
Se poniamo p M = M + 1 , abbiamo trovato che 6n 2 p M risulta n 2 - 1 2 M, pertanto la successione
data diverge positivamente.
Verifica che le seguenti successioni divergono positivamente.
52
—
53
—
54
—
n2
n
an = 3n - 1, n ! N.
an =
an =
55
—
n-3
, n ! N.
2
56
—
n + 1, n ! N .
57
—
an = 2n2 - 3, n ! N.
n2
n
58
——
an = 8n3 - 2, n ! N .
——
an = 16n 4 + 6, n ! N .
——
59
60
an = 2n + 1, n ! N.
n2
n
n2 -1
, n ! N - {0} .
n
1 + n2
an =
, n ! N.
1+n
an =
lim a n =- 3
n "+3
61
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che la successione an = 3 - n diverge negativamente.
Occorre verificare che n lim
(3 - n) =- 3 .
"+3
Fissato un numero M 2 0, dobbiamo trovare un corrispondente numero p M 2 0 per cui risulti:
3 - n 1 - M,
6n 2 p M .
Risolviamo la disequazione:
-3+n 2M
"
n 2 M + 3.
Se poniamo p M = M + 3, abbiamo trovato che 6n 2 p M risulta 3 - n 1 - M, pertanto la successione
data diverge negativamente.
1595
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Verifica che le seguenti successioni divergono negativamente.
62
—
63
—
64
—
an = 1 - 4n, n ! N .
an = log 1 (n + 2), n ! N .
2
an =-
an = 1 - 2n + 1, n ! N .
65
—
1
- 3n, n ! N .
2
68
—
69
an = 1 - 2n2, n ! N .
66
—
——
an = 2 - 3n, n ! N .
67
—
70
——
an = 1 - (5n) 4, n ! N .
an =an =
n2
, n ! N.
2n + 1
2 - n2
, n ! N.
1+n
lim a n = l
n "+3
71
ESERCIZIO GUIDA
Verifichiamo che nlim
"+3
2n - 1
= 2.
n
Fissato arbitrariamente un numero f2 0, cerchiamo un corrispondente numero pf 2 0 per cui risulti:
2n - 1
- 2 1 f , 6n 2 p f
n
"
2n - 1 - 2n
1f
n
"
-
1
1 f.
n
1
1
1
1 f.
= , quindi la disequazione è equivalente a:
n
n
n
Essendo n 2 0, -
Passiamo ai reciproci in entrambi i membri, cambiando il verso della disuguaglianza: n 2
Se poniamo pf =
1
.
f
1
2n - 1
, abbiamo verificato che 6n 2 pf risulta
- 2 1 f.
f
n
Verifica i seguenti limiti.
72
—
73
—
74
—
1
lim b + 3l = 3
n
75
n "+3
—
lim
n "+3
n-1
=1
n
——
lim
n+1
1
=
2n
2
——
n "+3
76
77
lim
n "+3
1
=0
3n2 + 10
2
79
lim 41 - n = 0
n "+3
lim c
n "+3
78
——
——
1
+ 1m = 1
n
80
——
lim
1
=0
log 2 n
lim
2n - 1
2
=
3n - 1
3
lim
n
=0
2n2 + 1
n "+3
n "+3
n "+3
lim a n non esiste
n "+3
Spiega perché le seguenti successioni non ammettono limite.
81
—
82
—
83
74
——
an = 10 - 2 $ (- 1) n ,
n ! N.
84
——
an =
an =
1
+ 4 $ (- 1) n ,
2
n ! N.
n2 - 1
(- 1) n ,
n2
n ! N - {0} .
85
——
86
——
an =
n-1
(- 1) n ,
n+1
n ! N.
an =
1 - n2
(- 1) n ,
2n + 1
n ! N.
an = 3n (- 1) 3n ,
n ! N.
1596
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 4. I TEOREMI SUI LIMITI DELLE SUCCESSIONI
4. I TEOREMI SUI LIMITI
DELLE SUCCESSIONI
ESERCIZI
䉴 Teoria a pag. 1574
Il calcolo dei limiti di successioni
87
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo nlim
"+3
1 - n2
.
2n 2
Poiché stiamo calcolando il limite per n " + 3 , possiamo considerare n ! 0 ; quindi, raccogliendo n2 al
numeratore, abbiamo:
1 - n2
= n lim
lim
"+3
n " + 3 2n 2
n2 b
1
- 1l
1
n2
=- .
2
2 n2
Osservazione. In analogia a quanto visto per il calcolo del limite per x " + 3 delle funzioni fratte, si
ricava la seguente regola di calcolo del limite per n " + 3 del rapporto di due polinomi in n.
Detti gN e gD i gradi del numeratore e del denominatore:
• se g N 2 g D , il limite è più o meno infinito, con segno concorde con il segno del rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore;
• se g N 1 g D , il limite è uguale a 0;
• se g N = g D , il limite è uguale al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore.
Calcola i seguenti limiti.
88
—
89
—
90
—
91
—
92
—
93
—
94
—
95
—
96
—
lim (1 + n)
n "+3
n2
1
[+ 3]
lim (2 - 3n)
n "+3
[- 3]
lim 2 + n2
n "+3
[+ 3]
lim ( n + 4 - 4) [+ 3]
n "+3
n "+3
1-n
n2
[0]
lim
n "+3
n2
1-n
[- 3]
lim
lim (- 1) n $ n
n "+3
[non esiste]
lim
n "+3
lim
n "+3
3 - n3
3n3
:- 1 D
3
1 - 2n 2
n2 + 1
[- 2]
97
—
98
—
99
—
100
—
101
—
102
—
103
—
104
—
105
—
106
—
2n - 3
3n + 2
lim
n "+3
lim
n "+3
2n2 + 5
3n
lim (- 2) n
n "+3
lim
n "+3
:
2D
3
[+ 3]
[non esiste]
5 - n3
1+n
[- 3]
108
—
109
110
—
lim ( n - n + 1)
[0]
111
—
lim (n - n )
n "+3
lim `e
1
n
- nj
n5 + 3
lim
n " + 3 9 + n 2 + 2n5
n2
lim
n " + 3 2n + 1
lim
n "+3
—
—
n "+3
n "+3
107
n2 - 2n
3n3
[+ 3]
112
—
2n2
3n2 + 1
:2D
3
lim (2n + 5)
[+ 3]
lim
n "+3
n "+3
1 n 3
lim ;b l + E
2
4
n "+3
lim
n "+3
:1D
2
[+ 3]
[0]
113
—
114
—
115
—
cos n
n
[0]
1
n
[0]
lim sen
n "+3
lim log10 c
n "+3
[- 3]
:3D
4
n4 + 3 m
2 + n4
n2 + 5
[0]
[e- 1]
lim e 4 - n2
n "+3
lim (- 1) n $ n
n "+3
lim tg
n "+3
[non esiste]
rn3 - 1
4 + 4n3
1597
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
[1]
ESERCIZI
116
—
117
—
118
——
119
——
120
——
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
lim
n "+3
n
$ (- 1) n
2n + 1
lim
n "+3
4n3 - 2
5n + n3
lim (- 1) n $
n "+3
[non esiste]
——
[2]
n3
n +1
[0]
4
lim b1 +
n "+3
[non esiste]
1 ln
n+1
[e]
n+1l
lim b
n "+3 n - 3
2n
121
——
122
——
123
——
124
——
134
——
135
——
n
lim n
n "+3
lim
n "+3
n2 + 1
1
cos
n+1
n
lim log 2 c
n "+3
ESERCIZI VARI
129
——
130
[e ]
——
[1]
——
[- 3]
131
132
133
——
lim (ran + 2 bn); an =
lim (a + bn);
n "+3 n
128
——
——
n2 + 4 m
n3
n "+3
127
——
8
[+ 3]
:- 1 D
2
4n2 + 1 - 2n
n2 - 1 - n
lim
n "+3
2n + 1 l
lim b
2n + 5
5n + 2
lim n sen
n "+3
n2
n+1l
lim n ln2 b
n "+3
n
;
n
126
——
n
$ (- 1) n
2n - 1
lim
n "+3
125
n "+3
[5]
[0 ]
lim (3n + 2) _ en - 1 - 1i
n "+3
n2
lim
1
n-1l
ln b
(n - 1) !
n
lim c
n "+3
n - 6n2
11n - 3n2
[ 2]
5 non esiste ?
(- 1) n n2
4 - 3n2
62r +
8n3 - 5n2
6n - 4
, bn = ln
.
3n
4n3
1 n
an = b l ,
5
:- 7 D
8
3n
7n2 - n m
- 2
4n - 5n
8n + 9
lim
n "+3
[- 1]
3
n "+3
lim
[3]
n!
n "+3
1 E
e2
2 ln 2@
5 non esiste ?
bn = (- 1) n .
I limiti delle successioni
TEST
136
—
La successione an = (- 1) n + n :
138
——
La successione an =
A
non ha limite.
A
è infinitesima.
B
è divergente.
B
tende a + 3 .
C
è oscillante.
C
tende a - 3 .
D
assume valori positivi e negativi.
D
non esiste il limite per n che tende a + 3 .
(Università di Trento, Facoltà di Ingegneria,
Test di autovalutazione, 1998)
137
—
3n - 5n
:
2n - n 2
La successione an = b
tende a 1.
B tende a e- 1 .
C è divergente.
D tende a - e .
A
n ln
:
1+n
(Università di Trento, Facoltà di Ingegneria,
Test di autovalutazione, 1998)
(Università di Trento, Facoltà di Ingegneria,
Test di autovalutazione, 1998)
139
——
Considerata la successione an =
lim an =+ 3 .
e
lim a =
.
B
n "+3 n
10
C non esiste lim an =+ 3 .
n "+3
A
D
n!
, allora:
10 2n
n "+3
lim an = 0 .
n "+3
(Università di Trento, Facoltà di Architettura,
Test di Analisi, 2005)
1598
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI I LIMITI DELLE SUCCESSIONI
140
——
lim
n "+3
n sin (nr)
n+1
A
=- 1.
B
non esiste.
C
= 0.
D
= 1.
143
——
144
(Università di Trento, Facoltà di Ingegneria,
Test di Analisi, 1999)
141
——
142
——
Considera la successione an =
——
3- 2n + 1
, n ! N.
2
a) Calcola a0, a1, a 2 .
b) Dimostra che la successione è decrescente.
c) Calcola n lim
a .
"+3 n
:a) 1 , - 1 , - 5 ; c) - 3D
2
2
2
Data la successione il cui termine generale è
2 - 3n
an =
, n ! N - {0} :
n
a) dimostra che è monotòna decrescente;
b) calcola il n lim
a ;
"+3 n
c) verifica il limite mediante la definizione.
[b) - 3]
145
——
ESERCIZI
Enuncia il teorema del limite di una successione
monotòna e applicalo per stabilire se la sucr n
n+1 b
cessione an =
+ cos l , n ! N - {0},
n
6
è convergente, divergente o indeterminata.
a) Calcola le lunghezze ln e Ln del lato del generico poligono regolare di n lati inscritto e circoscritto in una circonferenza di raggio r.
b) Verifica che il limite per n " + 3 dei perimetri è la lunghezza della circonferenza e che
quello delle aree è la superficie del cerchio.
:a) ln = 2r sen r ; Ln = 2r tg r D
n
n
TEST Sia an una successione di numeri
reali. Quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
Se an 2 0 6n ! N e an " L , allora L 2 0 .
B Se {an} non è limitata inferiormente, allora
diverge.
C Se an $ 0 6n ! N e an " L , allora L $ 0 .
D Se {an} è non decrescente e non limitata
superiormente, allora converge.
A
(USA University of Houston Mathematics Contest, 2009)
Limiti e parametri
Discuti il valore del limite al variare del parametro k.
146
——
lim
n "+3
(k - 4) n 4 + n + 2
2n - (k + 2) n3
——
n "+3
kn2 + n
- 2n2 + 3
148
lim
n "+3
(k - 1) n3 + 2n2
4n2 + 3
lim
n "+3
kn3 - 3n
5 + (2k - 1) n2
lim
(k + 2) n3 + 2n2
kn2 - 1
147
——
149
——
150
——
lim
n "+3
[se k = 4, 0; se k # - 2 0 k 2 4, - 3; se - 2 1 k 1 4, + 3]
:6k ! R: - k D
2
:se k = 1, 1 ; se k 2 1, + 3; se k 1 1, - 3D
2
:se k = 0, 0; se k 1 0 0 k $ 1 , + 3; se 0 1 k 1 1 , - 3D
2
2
[se k =- 2, - 1; se k 1 - 2 0 k 2 0, + 3; se - 2 1 k # 0, - 3]
kn
151
——
lim 2 2 + kn2
n "+3
[6k ! R, 1]
kn2
152
——
lim e kn - 1
n "+3
[se k = 0, 1; se k ! 0, + 3]
1599
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Calcola il limite delle seguenti successioni nei casi indicati.
153
——
an = 5n (log10 k) n:
a) k =
154
——
an =
155
c) k = 10
b) k =- 2;
c ) k = e.
-
1
5
6a) + 3; b) 0; c) non esiste @
.
n
kn
:
$
n + 1 1 + en
a) k =- 3;
——
4
;
5
b) k =
3;
6a) non esiste; b) 0; c) 1@
Calcola per k = 1, 2, 3 :
2 - n2
lim
,
n " + 3 4n - (3 - k) n k
[- 3; 1; - 3]
spiegando le regole che utilizzi.
5. I LIMITI DELLE PROGRESSIONI
䉴 Teoria a pag. 1576
Le progressioni aritmetiche e le progressioni geometriche
156
ESERCIZIO GUIDA
Stabiliamo se le seguenti successioni, definite per n ! N , sono progressioni aritmetiche o geometriche:
a n = 3n - 2,
bn = 42n + 3,
cn = n3 .
• an è una progressione aritmetica, perché:
an - an - 1 = (3n - 2) - [3 (n - 1) - 2] = 3 ,
ossia la differenza fra un termine qualsiasi e il suo precedente è costante. La ragione è d = 3 .
• b è una progressione geometrica, perché:
bn
42n + 3
42n + 3
= 2 (n - 1) + 3 = 2n + 1 = 4(2n + 3) - (2n + 1) = 42 ,
bn - 1
4
4
ossia il quoziente fra un termine qualsiasi e il suo precedente è costante. La ragione è q = 42 .
• cn non è né una progressione aritmetica né una geometrica, perché:
n3
n l3
,
=b
3
n-1
cn - 1
(n - 1)
ossia sia la differenza, sia il quoziente fra un termine e il suo precedente dipendono da n.
cn - cn + 1 = n3 - (n - 1) 3 = n3 - n3 + 3n 2 - 3n + 1 e
cn
=
Stabilisci se le seguenti successioni, definite per n ! N , sono progressioni aritmetiche o geometriche e indica la ragione.
157
—
158
—
159
—
160
—
an = 6n + 1
[arit., d = 6]
an = (- 8) - n
n
n+1
- 2n + 3
an =
5
an =
: geom., q =- 1 D
8
[non è una progr.]
161
—
162
—
163
—
:arit., d = 4 D
5
164
—
an = 1 + log 2 3n + 1
[arit., d = log 2 3]
an = b
:geom., q = 1 D
12
1 l2n - n + 1
$3
2
an = 2n - 3 + 5n
an =
1
n (n + 1)
2
[non è una progr.]
[non è una progr.]
1600
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 5. I LIMITI DELLE PROGRESSIONI
ESERCIZI
Determina se le seguenti successioni sono progressioni aritmetiche o geometriche e, nel caso lo siano, calcola
la ragione.
165
13,
16,
19,
22,
25,
28, f
[progressione aritmetica, d = 3]
3,
12,
48,
192,
768, f
3,
7,
11,
16,
21,
100,
50,
25,
12,5, 6,25, 3,125, f
[progressione geometrica, q = 0,5]
20,
18,
16,
14,
[progressione aritmetica, d = - 2]
—
166
[progressione geometrica, q = 4]
—
167
26, f
[non è una progressione]
—
168
—
169
12,
10, f
—
Il calcolo dei termini di una progressione
170
ESERCIZIO GUIDA
a) Calcoliamo il sesto termine, a6, di una progressione aritmetica di ragione d = 4 il cui primo termine è
a1 = 5 .
b) Calcoliamo il sesto termine, a6, di una progressione geometrica di ragione q = 2 il cui primo termine è
a1 = 5 .
a) Utilizziamo la formula:
b) Utilizziamo la formula:
an = a1 $ qn - 1 .
an = a1 + (n - 1) $ d .
Essendo n = 6, a1 = 5 e d = 4 , otteniamo:
Essendo n = 6, a1 = 5 e q = 2 , otteniamo:
a6 = 5 $ 26 - 1 = 5 $ 32 = 160 .
a6 = 5 + (6 - 1) $ 4 = 25 .
La progressione è la seguente:
La progressione è la seguente:
5, 10, 20, 40, 80, 160, f
5, 9, 13, 17, 21, 25, f
Date le seguenti informazioni relative a progressioni, in cui la ragione è indicata con d se la progressione è aritmetica o con q se è geometrica, determina ciò che è richiesto.
171
—
172
—
173
—
174
—
a1 = 0 e d = 5, calcola a8 .
[35]
176
——
1
, calcola a8 .
2
31
1
e d =- , calcola a5 .
a1 =
2
2
1
a1 = - 9 e q =- , calcola a5 .
2
[2]
a1 = 256 e q =
: 27 D
2
:- 9 D
16
177
——
178
——
179
——
175
——
a5 =- 8 e a1 = 28, calcola d .
a6 =
:1D
3
5
e a1 = 5, calcola q .
243
5- 24 ?
a 4 =- 192 e q = 2, calcola a1 .
a1 =- 10, an =- 43 e d =- 11, calcola n .
a1 =
3
1
1
,a =
e q = , calcola n .
4 n
36
3
[4]
54?
[- 9]
La somma dei termini consecutivi di una progressione
180
ESERCIZIO GUIDA
Calcoliamo la somma:
a) dei primi sei multipli di 5 diversi da 0;
b) delle prime sei potenze di 3 con esponente diverso da 0.
a) I numeri di cui vogliamo conoscere la somma sono i primi sei termini della progressione aritmetica di
primo termine 5 e ragione 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
1601
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Applichiamo la formula Sn = n $
S6 = 6 $
5 + 30
= 105 .
2
a1 + an
. Sostituendo i dati, n = 6, a 1 = 5, a 6 = 30, otteniamo:
2
b) I numeri di cui vogliamo calcolare la somma sono i primi sei termini della progressione geometrica di
ragione 3 e primo termine 3:
3, 9, 27, 81, 243, 729.
qn - 1
. Sostituendo n = 6, a 1 = 3, q = 3, otteniamo:
q-1
728
729 - 1
36 - 1
= 3$
= 3$
= 1092 .
S6 = 3 $
3-1
2
2
Usiamo la formula Sn = a1 $
181
—
182
Calcola la somma dei primi dieci termini di una progressione aritmetica di ragione d = 3, il cui primo estre[185]
mo è a1 = 5.
Calcola la somma dei primi otto multipli di 4 diversi da 0.
[144]
—
183
—
184
—
185
Calcola la somma dei primi cento numeri naturali diversi da 0. Quanto vale la somma dei primi n numeri
naturali diversi da 0?
:5050 ; n $ (n + 1) D
2
Calcola la somma dei primi dieci numeri pari diversi da 0. Quanto vale la somma dei primi n numeri pari
diversi da 0?
[110; n $ (n + 1)]
Calcola la somma delle prime dieci potenze di 2 con esponente diverso da 0.
[2046]
—
186
—
187
—
188
——
189
——
1
Determina la somma dei primi sei termini di una progressione geometrica, di ragione q =- , il cui pri2
3
: 63 D
mo termine è a1 = .
128
4
Determina il primo termine di una progressione geometrica di ragione q = 3 , sapendo che la somma dei
primi sei termini è 91.
:1D
4
Calcola quanti sono i termini di una progressione geometrica di ragione q = 2 , sapendo che la loro somma
1
.
[8]
è 51 e che il primo termine è
5
Trova quattro numeri in progressione geometrica crescente, sapendo che la loro somma è 160 e che la somma tra i primi due è 16.
[4; 12; 36; 108]
I limiti delle progressioni
Stabilisci se le seguenti successioni, definite per n ! N, sono progressioni aritmetiche o geometriche e calcolane
i limiti.
190
—
191
—
192
—
an = 3n
[geometrica, + 3 ]
193
—
an = 2n + 1
an = b
1l
4
n-1
[aritmetica, + 3 ]
194
—
[geometrica, 0]
195
—
4 - 3n
7
[aritmetica, - 3 ]
an = 31 - n $ 5n
[geometrica, + 3 ]
an =
an = 2 - log3 2n - 1
[aritmetica, - 3 ]
1602
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI VARI LE PROGRESSIONI
ESERCIZI
Stabilisci quali di queste successioni sono progressioni aritmetiche e quali geometriche. Trova la ragione e scrivi
il termine generale an in funzione di n. Definisci poi le successioni in modo ricorsivo e calcolane il limite.
196
2,
0,
⫺ 2,
-4,
—
197
—
198
1
,
2
-
3
,
4
a
,
2
2a,
a,
2x,
2x - 3 ,
—
199
9
,
8
-
27
,
16
81
, …
32
a
, …
4
2x - 6 , …
(con a ! R )
(con x ! R )
——
200
2,
- 2,
——
201
——
log2 5,
2 2,
log2 15,
log2 45, …
ESERCIZI VARI
202
—
203
-4, …
a1 = 2
, - 3F
an + 1 = an - 2
V
R
Z
1
W
S
]
=
a
1
n-1 ]
2
Sgeom., q =- 3 , a = 1 b- 3 l , [
, bW
n
S
2
2
2
]] an + 1 =- 3 an WW
S
2
\
X
T
a
a
=
2
1
n-1
>geom., q = 12 , an = 2a b 12 l , *
1 , 0H
an + 1 = an
2
a1 = 2 x
>geom., q = 2- 3, an = 2- 3n + x + 3, *
1 , 0H
an + 1 = an
8
<arit., d =- 2, an = 4 - 2n, (
- 6, …
= geom., q =- 2 , an = (- 1) n - 1 $ 2n , )
=arit., d = log 2 3, an = log 2 (5 $ 3n - 1), )
—
È data la successione definita da:
——
206
207
;
Stabilisci se è vero o falso che
lim
n "+3
1+2+3+f+n
1
= 0 . : falso; D
2
n2
Calcola i seguenti limiti.
205
—
lim
n "+3
2 + 4 + 6 + f + 2n
4n2
1
1+2+3+f+n,
n
(IR Leaving Certificate Examination, Higher Level, 1995)
1
a
5 n
Verifica che è una progressione geometrica,
determina il termine an in funzione di n e calcon-1
la il limite per n " + 3 .
;an = 2 b 9 l , + 3E
5
204
If Sn =
: 11 D
9
find n lim
S .
"+3 n
a1 = 2
——
1
1
1
+
+f+ n
4
16
4
lim
n "+3
1
1
1
1+
+
+f+ n
12
144
12
1+
——
an + 1 = 2an -
a1 = log 2 5
, + 3G
an + 1 = an + log 2 3
Le progressioni
Data la progressione geometrica con a1 = 2 e
3
ragione , determina an e calcola il limite per
2
n-1
;an = 2 b 3 l , + 3E
n " + 3.
2
*
a1 = 2
, bG
an + 1 =- 2 an
:1D
4
208
——
2 E
2
Sono date:
• una progressione geometrica in cui a1=-128
e a 4 = 16 ;
• una progressione aritmetica in cui a1 = 3 e
27
a6 =
.
2
Per ognuna determina:
a) la ragione e il termine an;
b) il limite per n " + 3 .
n-1
;a) q =- 1 , an =- 128 b- 1 l ;
2
2
21n + 9
21
d=
; b) 0; + 3D
,a =
10
10 n
1603
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
209
——
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
In un triangolo ABC, rettangolo in A e isoscele, di cateto l, traccia l’altezza AH relativa all’ipotenusa. Da H
manda la perpendicolare al cateto AB fino a incontrarlo in Al . Ottieni il triangolo rettangolo e isoscele Al HB.
Ripeti il procedimento.
C
C
C
H
H
H’
B
A
A
A’
B
A
A’
A’’
B
a) Determina la successione delle misure delle altezze relative alle ipotenuse dei triangoli.
a .
b) Trova il termine an della successione e calcola n lim
n
"+3 n
; b) an = 2 l b 1 l , n ! N; 0E
2
2
210
——
Dato un segmento di misura a, dividi il segmento in tre parti congruenti e sostituisci quella centrale con due
segmenti in modo che questi ultimi formino con il segmento eliminato un triangolo equilatero. Ottieni così una
spezzata di quattro segmenti consecutivi: a ognuno di questi applica lo stesso procedimento e così via.
a) Esprimi la successione delle misure delle spezzate indicando se si tratta di una progressione aritmetica o
geometrica.
b) Calcola la misura della somma delle lunghezze delle prime cinque spezzate.
n
;a) an = a b 4 l , n ! N; b) 781 a E
3
81
211
——
212
——
In una successione di infiniti segmenti ciascuno è doppio del successivo. Se la lunghezza del primo segmento in
una arbitraria unità è l, quanto vale la somma delle lunghezze di tutti i segmenti?
[2l]
An infinite series of similar right triangles converges to point C. If AE = 16 , and ED = 8 , what is the
sum of all the vertical segments ( AE + BD + f)?
A
B
....
E
213
——
D
C
(USA Rice University Mathematics Tournament, 2005)
532?
A geometric sequence is one where the ratio between each two consecutive terms is constant (for
example, 3, 6, 12, 24, f). The fifth term of a geometric series is 5!, and the sixth term is 6!. What is the fourth
term? (Suggestion. 5! = 1$ 2 $ 3 $ 4 $ 5, 6! = 1$ 2 $ 3 $ 4 $ 5 $ 6.)
(USA Rice University Mathematics Tournament, General Test, 2006)
520?
1604
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 6. CHE COS’È UNA SERIE NUMERICA
6. CHE COS’È UNA SERIE NUMERICA
214
䉴 Teoria a pag. 1579
Fra le seguenti scritture, indica quelle che rappresentano delle serie.
—
a)
+3
/ n2 cos n ;
b)
23
3n2
;
n-1
/
n=2
n=1
215
ESERCIZI
c)
+3
/
n=1
1 - n2 ;
d)
+3
/ e- n .
n=1
Spiega perché le seguenti scritture non rappresentano serie numeriche.
—
a)
+3
/
n=1
1
n2
cos n ;
b)
+3
/
n=1
n
;
n-1
c)
+3
/ ln (1 - n);
d)
+3
/ arcsen n .
n=1
n=1
Per ogni serie scrivi la ridotta di ordine 3.
+3
216
—
217
4
—
220
/
n=1
+3
/
n=1
3n
;
n+1
n
;
n2 + 2
+3
/
n=1
+3
/
n=0
+3
n2
.
2n + 1
—
n+2
.
n!
—
/
218
n=1
+3
/
219
4
n=0
(- 1) n
;
n+1
n!
;
3n -1
+3
/
n=0
+3
/
n=1
n+1
.
2n
(- 1) n n2
.
n+1
ESERCIZIO GUIDA
Scriviamo la seguente serie utilizzando il simbolo di sommatoria:
3
4
5
6
+ + + +f
2
3
4
5
2+
Procediamo in due tappe:
a) cerchiamo l’espressione di un termine qualsiasi della somma in funzione dell’indice n ;
b) determiniamo il valore iniziale di n.
a) I termini della serie sono frazioni i cui denominatori rappresentano la successione dei numeri naturali, mentre ogni numeratore è sempre il successivo del denominatore. Possiamo pertanto scrivere:
an =
n+1
.
n
b) Il primo termine della serie è 2, che si ottiene assegnando a n in a n il valore 1.
La scrittura cercata è pertanto
+3
/
n=1
n+1
.
n
Osservazione. Tale scrittura non è univocamente determinata. Infatti, si può anche notare che i numeratori costituiscono la successione dei numeri naturali a partire da 2, mentre ogni denominatore è il
precedente del numeratore.
+3
n
.
Si può quindi scrivere: /
n
1
n=2
Scrivi le seguenti serie utilizzando il simbolo di sommatoria.
2
4
8
16
32
221
+
+f
1+ + + +
2
3
4
5
6
—
222
—
223
—
224
——
2+
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+f
2
2$3
2$3$4
2$3$4$5
2$3$4$5$6
1-
1
1
1
1
1
+ - +
+f
2
4
8
16
32
-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + f
2n
F
n+1
=/
+3
n=0
=/
+3
n=1
= / b+3
n=0
+3
1 ln
F
2
= / (- 1) n nF
n=1
1605
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
2
F
n!
ESERCIZI
225
——
226
——
227
——
228
——
229
——
230
——
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
=/
+3
1
2
3
4
5
6
+ + + +
+
+f
3
5
7
9
11 13
n = 1 2n
+3
=/
3
4
5
6
7
8
+ +
+
+
+
+f
4
9
16
25
36
49
2
5
10
17
26
+ +
+
+
+f
4
7
10
13
16
1+
2
3
4
5
6
+ +
+
+
+f
3
9
27
81
243
3
4
+
+
3
6
16
36
2+
+
+
3
4
n+1
n
n=2
+3
2
=/
1+
n
F
+1
2
F
n +1
F
+1
n = 0 3n
+3
=/
n=0
+3
n+1
F
3n
n+2
F
3n
n=1
+3
(2n) 2
=/
F
n=1 n + 1
=/
5
6
7
8
+
+
+
+f
9
12
15
18
64
100
144
+
+
+f
5
6
7
Per ogni coppia, indica se le seguenti scritture rappresentano la stessa serie.
+3
231
—
/
n=0
+3
232
—
/
n=1
+3
233
/
——
n=2
COMPLETA
+3
237
—
/
n=3
3 (n + 1) + 3
3n
.
;/
n2 + 1 n = 1 n 2 - 2n + 2
5V?
+3
4n
;
/ 5n .
(n + 1) 2 n = 0 - 2n + 1
5F?
(- 1) n + 1 n + 1 + 3 cos (nr) n
;/
.
n (n - 2)
n2 - 1
n=3
5V?
+3
234
/
——
n=1
+3
235
/
——
n=1
+3
236
/
——
n=0
n - 1 +3 b 2
1
- l.
;/
n
n2 + n n = 1 n + 1
5V?
+3
3n
3n + 1
.
;/
n + 1 n=2 n + 2
5F?
3n2 + 1 + 3 3 (n + 1) 2
.
;/
n2 + 1 n = 1
n2
5F?
le seguenti uguaglianze.
+3
n+1
3
= / b1 + l 238
n - 2 n=f
n —
/ b 2n 1- 1 + nl = /
+3
n=1
+3
n=2
+3
fff
2n - 3
239
—
/
n=0
+3
n
=
/ n-1
n2 + 1 n = 1 fff
La ridotta di una serie e il principio di induzione
240
ESERCIZIO GUIDA
Dimostriamo, applicando il principio di induzione, che:
n
/ (4k - 1) = 3 + 7 + 11 + 15 + f + (4n - 1) = n (2n + 1),
n ! N - {0} .
k=1
Per n = 1 la proposizione è vera. Infatti, il primo membro è 3 e il secondo membro è 1 $ (2 + 1) = 3 .
Supponiamo ora che la proposizione sia vera per n, dimostriamo allora che è vera anche per n + 1.
Il primo membro per n + 1 diventa:
3 + 7 + 11 + 15 + f + (4n - 1) + [4 (n + 1) - 1] =
= n (2n + 1) + [4n + 4 - 1] = 2n2 + n + 4n + 3 = 2n2 + 5n + 3 .
Il secondo membro per n + 1 è:
(n + 1) [2 (n + 1) + 1] = (n + 1) (2n + 3) = 2n2 + 5n + 3 .
La proposizione è quindi vera per n + 1.
1606
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI, INDETERMINATE
ESERCIZI
Attraverso il principio di induzione dimostra che 6n ! N - {0} sono vere le seguenti uguaglianze.
241
—
242
—
243
——
4 + 8 + 12 + f + 4n = 2n (n + 1)
244
——
n (5n + 9)
7 + 12 + 17 + f + (5n + 2) =
2
1
1
1
1
n
+
+
+f+
=
1$2
2$3
3$4
n (n + 1)
n+1
1 + 3 + 9 + f + 3n - 1 =
3n - 1
2
n
245
——
246
——
1
4n - 1
k =
3 $ 4n
k=1 4
n
/ (4 + 3k) = n2 (3n + 11)
k=1
/
n
247
——
/ k $ k! = 1 $ 1! + 2 $ 2! + f + n $ n! = (n + 1) ! - 1
k=1
7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI,
INDETERMINATE
䉴 Teoria a pag. 1581
Le serie convergenti
248
ESERCIZIO GUIDA
+3
Applicando la definizione, verifichiamo che la serie
somma.
/
n=2
1
è convergente e ne determiniamo la
n2 - n
Dobbiamo verificare che il limite della successione sn delle ridotte per n " + 3 è un numero finito, ossia
che n lim
s = s.
"+3 n
1
1
Riscriviamo il termine generale an = 2
=
e calcoliamo sn:
n (n - 1)
n -n
1
1
1
1
1
1
.
+
+
+
+
+f+
sn = a 2 + a 3 + a 4 + a5 + a 6 + f + an =
2$1
3$2
4$3
5$4
6$5
n (n - 1)
Poiché non siamo in grado di calcolare il limite di questa espressione, cerchiamo di scrivere il termine
generico a n come somma algebrica di due frazioni, ovvero cerchiamo due numeri A e B tali che:
an =
1
A
B
=
+
.
n (n - 1)
n
n-1
Svolgiamo i calcoli:
A (n - 1) + Bn
(A + B) n - A
A
B
.
+
=
=
n
n-1
n (n - 1)
n (n - 1)
Per il principio di identità dei polinomi, deve essere:
A+B = 0
'
-A = 1
"
A =- 1, B = 1.
Riscriviamo an e la serie assegnata:
an =
-1
1
1
1
+
=
n
n-1
n-1
n
+3
"
/
n=2
+3
1
1
1
= /b
- l.
n
n -n
n=2 n - 1
2
La ridotta s n assume la forma:
1
1
1
1
1
1
1
1 l b 1
1
1
sn = b - l + b - l + b - l + f + b
+
- l= 1- .
1
2
2
3
3
4
n-2
n-1
n-1
n
n
b1 - 1 l = 1.
Siamo in grado ora di calcolare il limite di sn per n " + 3 , ossia n lim
"+3
n
+3
1
Concludiamo che la serie / 2
è convergente e la sua somma vale 1.
n=2 n - n
1607
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Osservazione. Una serie del tipo (a1 - a 2) + (a 2 - a3) + (a3 - a 4) + f + (an - an + 1) + f è detta
telescopica. Per essa vale: sn = a1 - an + 1 e n lim
s = a1 - n lim
a .
"+3 n
"+3 n + 1
Applicando la definizione, verifica che le seguenti serie convergono e determina la somma.
/ b n2 - 41n + 4 - n2 - 21n + 1 l
+3
249
—
250
—
251
—
252
—
253
——
258
——
n=3
+3
/
n=0
+3
/
n=1
+3
/
n=0
+3
1
(n + 1) (n + 2)
[1]
——
[1]
255
——
1
4n2 + 4n
:1D
4
——
1
n2 + 5n + 6
:1D
2
——
/c
1
1
m
n-1
n
n=2
/ a2 n - 1 - 2 n k
1
+3
254
256
257
n=2
+3
1
[1]
6n + 3
n2 (n + 1) 2
[3]
n+1
n3 - n
[1]
/ sen nr
[0]
/
n=1
+3
/
n=2
+3
n=0
[1]
1
1
1
=
.
n+2
n+3
(n + 2) (n + 3)
n
1
1
1
= and find the sum to infinity of this series.
Hence show that /
+
+
+
(
r
2
)
(
r
3
)
3
n
3
r=1
Show that
(UK Manchester Metropolitan University: Centre for Mathematics Education, Question Bank)
:1D
3
Le serie divergenti
259
ESERCIZIO GUIDA
+3
Applicando la definizione, verifichiamo che la serie
/
12n + 25
è divergente.
20
n=1
Scriviamo la serie in forma estesa:
37
49
61
73
12n + 25
+
+
+
+f+
+f
20
20
20
20
20
Osserviamo che da ogni termine possiamo ottenere il successivo sommando
12
3
, ovvero .
20
5
3
Gli addendi della serie formano una progressione aritmetica di ragione , aventi come primo ele5
37
.
mento
20
Pertanto, possiamo calcolare la ridotta s n ricordando che, se a n è una progressione aritmetica, vale:
a1 + an
.
2
37
12n + 25
Poiché a1 =
e an =
, otteniamo:
20
20
sn = n
sn =
n b 37
12n + 25 l n b 31
3
31
3 2
+
=
+ nl =
n+
n .
2 20
20
2 10
5
20
10
Calcolando infine n lim
s , possiamo stabilire il carattere della serie.
"+3 n
b 31 n + 3 n2l =+ 3 , la serie diverge positivamente.
Poiché n lim
" + 3 20
10
1608
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
PARAGRAFO 7. SERIE CONVERGENTI, DIVERGENTI, INDETERMINATE
ESERCIZI
Applicando la definizione, verifica che le seguenti serie sono divergenti.
+3
260
—
261
—
262
—
+3
/ (1 - n)
n=0
+3
/
n=0
+3
/
263
n=0
+3
—
2
5
266
——
/ c 5n n+2 n - n1 m
264
——
/ b5n - 23 rl
n=0
+3
2+n
2
2
267
n=1
+3
——
n=0
——
/ cos2 (nr)
265
——
268
/ [(n + 1) 2 - n (n + 2)]
n=1
+3
/
n=0
+3
1 - 2n2
1+ 2n
/(
n=1
n - n - 1)
Le serie indeterminate
269
ESERCIZIO GUIDA
/ sen br $ 2n 2+ 1 l è indeterminata.
+3
Applicando la definizione, verifichiamo che la serie
n=1
Riscriviamo la serie nel modo seguente:
/ sen br $ 2n 2+ 1 l = / sen b r2
+3
+3
n=1
n=1
+ nrl =
= sen b
r
r
r
+ rl + sen b + 2rl + sen b + 3rl + f =- 1 + 1 - 1 + f,
2
2
2
da cui s1 =- 1, s 2 = 0, s3 =- 1, s 4 = 0, f
Le ridotte assumono valore - 1 o 0 a seconda che n sia dispari o pari.
Pertanto, n lim
s non esiste e la serie è indeterminata.
"+3 n
Applicando la definizione, verifica che le seguenti serie sono indeterminate.
+3
270
—
n=1
+3
271
—
+3
/ cos (nr)
/
n=1
272
/
——
n=1
:cos 2 bn r l - sen2 bn r lD
2
2
+3
(- 1) n
3
273
——
/ (- 1) n cos (2nr)
n=1
Stabilisci se le seguenti serie sono convergenti, divergenti oppure indeterminate. Se sono convergenti, determina
la loro somma.
6divergente @
+3
274
—
/ n cos r3
n=1
/ sen bn r2 l
+3
275
—
[indeterminata]
n=1
+3
276
/
——
n=2
n+1- n
n (n + 1)
——
2 E
2
n
6divergente @
n=1
+3
278
——
;convergente;
/ ln b 43 l
+3
277
/ tg (nr)
n=1
+3
279
/
——
n=0
6convergente; 0@
6divergente @
14 + 3n
6
Le serie geometriche
280
ESERCIZIO GUIDA
Studiamo la seguente serie geometrica. Se la serie è convergente, calcoliamo la sua somma.
/ b 73 l .
+3
n
n=0
1609
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Si tratta di una serie geometrica di ragione q =
Calcoliamo la somma s =
1
s=
3
17
=
7
.
4
1
:
1-q
3
. Poiché - 1 1 q 1 1, la serie converge.
7
Studia le seguenti serie, verificando che si tratta di serie geometriche. Se la serie è convergente, calcola la sua somma.
—
282
—
283
—
284
—
285
—
291
:convergente; 5 D
2
:convergente; 10 D
9
:convergente; 49 D
45
/ b 53 l
+3
281
n
n=0
+3
/ 10- n
n=0
+3
/ b 72 l
2n
n=0
+3
/ b 58 l
n=0
+3
/
n=0
n
[divergente]
—
287
—
288
—
289
—
2n
2
3n
[divergente]
/ b 21n l
+3
286
290
—
4
n=0
+3
/ (3 -
8 )n
/ (4 -
8 )n
n=0
+3
n=0
+3
/
n=0
+3
/
n=0
:convergente; 16 D
15
;convergente; 2 + 1 E
2
6divergente @
(- 10) n
6n
(- 3) 3n
22n
[indeterminata]
[indeterminata]
ESERCIZIO GUIDA
+3
Determiniamo per quali valori reali di x la serie geometrica
/ (x2 - 3x + 1) n converge.
n=1
La ragione q è x2 - 3x + 1 e, per la convergenza, deve essere - 1 1 q 1 1. Quindi risolviamo il sistema:
(
x 2 - 3x + 1 2 - 1
x 2 - 3x + 1 1 1
(
(x - 1) (x - 2) 2 0
x2 - 3x + 2 2 0
x 1 10 x 2 2
" (
" '
" 0 1 x 1 1 0 2 1 x 1 3.
x (x - 3) 1 0
01x13
x2 - 3x 1 0
Perciò la serie converge se 0 1 x 1 1 0 2 1 x 1 3 .
Determina per quali valori reali di x le seguenti serie geometriche sono convergenti.
+3
292
—
293
—
294
—
295
—
296
—
297
—
298
—
/ (x + 6) n
n=1
+3
/ (5x - 9) n
n=1
+3
/ b 1 +1 x2 l
n
n=0
+3
;-
/ (2x2) n
n=1
+3
/ (x2 + 3x + 3) n
n=0
+3
/ (x2 - x + 4) n
n=0
+3
—
: 8 1 x 1 2D
5
—
5 x ! 0?
+3
299
300
301
—
2
2 E
1x1
2
2
—
5- 2 1 x 1 - 1?
—
[bx ! R]
302
303
304
——
xl
/ b 11 +
-x
n=1
5- 7 1 x 1 - 5?
n
(per x ! 1)
[x 1 0]
305
——
2n
/e x
[x 1 0]
n=0
+3
/ 10- nx
n=0
+3
[x 2 0]
/ b 2xx-+41 l
n
[- 5 1 x 1 1]
n=0
+3
/ (2 ln x - 1) n
[1 1 x 1 e]
n=0
+3
:0 1 x 1 1 D
2
/ (32x - 2) n
n=0
+3
/(
n=0
+3
r
sen x ) n :2kr # x #r+2kr / x ! +2kr D
2
/ [ln (x4 + 1)] n
n=1
6- 4 e - 1 1 x 1 4 e - 1 @
1610
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
REALTÀ E MODELLI
ESERCIZI
REALTÀ E MODELLI
1
La rendita finanziaria
Un risparmiatore, alla fine di ogni anno, versa una rata R di € 6000
a una banca che la capitalizza a un tasso d’interesse annuo i del 3,5%.
Il montante Mn maturato alla fine dell’anno n, cioè l’ammontare che
il risparmiatore potrebbe prelevare alla fine dell’anno n, è dato da:
(1 + i) n - 1
Mn = R
i
(l’anno 1 è l’anno in cui si effettua il primo versamento).
䊳 Determina l’espressione ricorsiva del montante Mn.
䊳 Alla fine del 5° anno quanto hanno fruttato in tutto le rate
versate dal commerciante?
䊳 A quanto tende il montante se il numero di anni dei versamenti aumenta sempre di più?
2
Poligoni inscritti e circoscritti
Data una circonferenza C di raggio r, per ogni numero naturale n si possono costruire i poligoni regolari P
e Q di n lati, rispettivamente inscritto e circoscritto alla circonferenza. La lunghezza della circonferenza è
ovviamente compresa tra i perimetri dei due poligoni.
䊳 Esprimi in funzione di r e n il perimetro dei poligoni, e calcola il limite delle successioni ottenute, con n
che tende all’infinito.
3
Le soluzioni
La concentrazione di una sostanza A in una soluzione S può essere espressa dal rapporto tra il volume
di soluto A contenuto in una determinata quantità di soluzione S e il volume della soluzione stessa. Per
esempio, se 10 ml della sostanza A sono mescolati con 90 ml di un solvente, la concentrazione di A nella
soluzione ottenuta S1 è 10 ml / (10 + 90) ml = 1/10 della concentrazione iniziale di A.
䊳 Se si mescolano 10 ml della soluzione S1 precedentemente ottenuta con altri 90 ml di solvente, qual è la
concentrazione di sostanza A nel campione di soluzione ottenuto S2?
䊳 Come si può modellizzare la concentrazione di sostanza A nel campione se vengono fatte in sequenza
n diluizioni mantenendo costanti le proporzioni e prendendo ogni volta come campione da diluire la
miscela ottenuta nell’operazione precedente?
䊳 Qual è la concentrazione di A nel campione dopo 7 operazioni di diluizione successive?
4
Il tappeto geometrico
Un designer organizza un’area quadrata di lato 8 m destinata
a bambini piccoli all’interno di un giardino pubblico. L’area
è suddivisa in quadrati concentrici, ognuno dei quali è
individuato dai punti medi dei lati del quadrato a esso esterno.
䊳 Ipotizziamo che la successione dei quadrati prosegua
all’infinito (anche se nella realtà ciò ovviamente è
impossibile). Qual è il termine generale della successione ln
che esprime la lunghezza del lato dei quadrati?
䊳 Trova, in funzione di n, la somma dei primi n termini della
successione ln.
4m
4m
1611
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
VERSO L’ESAME DI STATO
TEST
1
—
2
—
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica di ragione d è uguale a:
an + a1
n.
A a1 + (n - 1) d .
D
2
B a1 + nd .
an + a1
d.
E
C nd .
2
B
C
D
E
3
4
—
1
, puoi dire che:
n2
è convergente perché è monotòna.
è divergente perché è monotòna.
è convergente perché il suo codominio è limitato.
è indeterminata perché è monotòna.
non è indeterminata perché è monotòna.
6
——
Della successione an = 2 A
—
Questi e altri test interattivi nel sito: zte.zanichelli.it
Considera la successione: 5, 8, 11, 14, …
La somma dei primi 100 termini è:
A 15 350.
D 302.
B 300.
E 14 850.
C 305.
Il limite n lim
( n + 1 - 2n + 1):
"+3
A
B
C
D
E
è uguale a - 1.
è uguale a + 3 .
è uguale a 0.
è uguale a - 3 .
non esiste.
7
——
8
——
9
——
5
—
Considera la successione:
3 3
3 3
3, - , , - ,
,f
2 4
8 16
La somma dei primi 8 termini è:
255
.
A 128
B
255
.
128
C
127
.
64
D
129
.
64
E
257
.
128
10
——
La successione an = (- 3) - n :
A è una progressione aritmetica con ragione
negativa.
B è una progressione geometrica perché è decrescente.
C è una progressione geometrica perché il
rapporto fra due termini consecutivi è costante.
D non è una progressione geometrica perché
i termini hanno segno alterno.
E è una progressione aritmetica perché i termini hanno segno alterno.
La successione an = n - (- 1) n n :
A converge a 0 per n tendente a + 3 .
B tende a + 3 per n tendente a + 3 .
C tende a - 3 per n tendente a + 3 .
D è indeterminata.
E nessuna delle affermazioni precedenti è
vera.
r n
r n
Le successioni an =b tg l , bn =bsen l sono:
3
4
A entrambe non monotòne.
B a n monotòna, b n non monotòna.
C entrambe crescenti.
D entrambe non crescenti.
E a n crescente, b n decrescente.
(- 1) n n
Data la successione an =
, puoi affer2n - 1
mare che:
1
lim a = .
lim a = 0 .
A
D
n "+3 n
n "+3 n
2
lim a =+ 3 .
B è indeterminata.
E
n "+3 n
1
lim a =- .
C
n "+3 n
2
n-2
$ (- 1) n, n ! N, è:
n+2
una progressione geometrica di ragione
q =- 1.
indeterminata.
convergente.
divergente negativamente.
divergente positivamente.
La successione an =
A
B
C
D
E
1612
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
VERSO L’ESAME DI STATO
11
Uno dei seguenti limiti è sbagliato. Quale?
——
A
B
lim (2n - n2 - 1) =+ 3
12
lim (2n - 5n2 + n ) =- 3
n "+3
lim
n "+3
3n -
+3
/
n=0
——
n "+3
4n2 + 8
1
=
2n
2
2
2n - n - 9
=2
lim
D
n "+3
n
n + n2 + 5
=2
lim
E
n "+3
n
C
Le serie
A
B
C
D
E
ESERCIZI
31 - n + 3 b 3 l
e / ln
sono:
4
2n
n=0
n
entrambe divergenti.
entrambe indeterminate.
entrambe convergenti.
la prima convergente, la seconda divergente.
la prima divergente, la seconda convergente.
QUESITI
13
—
Calcolare:
3n
lim
.
n " + 3 n!
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione ordinaria, 2002, quesito 4)
[0]
(Suggerimento. n! = n (n - 1) $ (n - 2) $ f $ 3 $ 2 $ 1, f)
14
——
15
——
Dopo aver dato la definizione di limite di una successione numerica, fornisci un esempio per ciascun tipo
di successione: convergente, divergente e indeterminata. Calcola poi il seguente limite:
n-2
b n+1l .
lim
[e6]
n "+3 n - 5
Considerata la successione di termine generale: an = 1 + 2 + 4 f + (2 $ 2n - 1) + (2 $ 2n) , calcolare il limite:
lim
n "+3
16
——
an
.
22n
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione ordinaria, 2002, quesito 7)
[0]
3
7
Sn rappresenta la somma di n numeri in progressione geometrica di ragione
e primo termine . Calco7
3
lare nlim
S .
"3 n
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Scuole italiane all’estero (America Latina), Sessione ordinaria, 2001, quesito 1)
: 49 D
12
17
——
1
1
Indicata con Sn la somma di n termini in progressione geometrica di primo termine
e ragione , si
2
2
Sn
.
calcoli il nlim
"3 n
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Scuole italiane all’estero, Sessione ordinaria, 2005, quesito 1)
[0]
18
——
È assegnato un triangolo equilatero di lato lungo L. Si costruisce un secondo triangolo, avente per vertici
i punti medi dei lati del primo e, così proseguendo, un n-esimo triangolo avente per vertici i punti medi
dei lati del triangolo (n - 1) -esimo. Calcolare il limite cui tende la somma delle aree degli n triangoli
quando n tende a 3.
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione suppletiva, 2006, quesito 8)
;
1613
Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
3 2E
L
3
ESERCIZI
19
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Determinare il più grande valore dell’intero n per cui l’espressione
n
/ 3k non supera 10 000.
k=0
——
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2005, quesito 5)
[n = 8]
20
——
Enunciare il principio d’induzione matematica e applicarlo alla dimostrazione della seguente relazione:
/ i3 = d / i n ,
n
n
i=1
i=1
2
la quale esprime una proprietà dei numeri naturali conosciuta come «teorema di Nicomaco» (da Nicomaco
di Gerasa, filosofo e matematico ellenico, vissuto intorno all’anno 100 d.C.).
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione straordinaria, 2005, quesito 5)
PROBLEMI
21
——
22
——
23
——
24
——
Data la successione così definita:
a 4 =- 2
*
1
2an =- an - 1 + an - 1
3
a) calcola a1, a2, a3, a5, a6;
b) verifica se si tratta di una progressione aritmetica o geometrica e trova la ragione;
c) calcola la somma dei primi 10 termini;
d) trova la forma analitica della successione e calcola il limite per n " + 3 .
10
n-1
;a) - 54, - 18, - 6, - 2 , - 2 ; b) geometrica, q = 1 ; c) S10 = 81 ;b 1 l - 1E; d) an =- 54 b 1 l , 0E
3
3
9
3
3
È data la successione an = (ln x) - n, n ! N.
a) Trova l’insieme dei valori di x per i quali esiste la successione e stabilisci il tipo di successione.
b) Determina per quali valori di x è crescente e per quali è decrescente.
c) Studia il carattere della successione in funzione di x.
[a) (x 2 0 / x ! 1) , pr. geom. q = (ln x) - 1 ; b) cresc. se 1 1 x 1 e , decr. se x 2 e ;
-1
c) indeter. se e # x 1 1, div. a + 3 se 1 1 x 1 e, costante se x = e, conv. a 0 se (0 1 x 1 e- 1 0 x 2 e) ]
È data la successione gn = (1 - sen x) n, n 2 0 .
a) Determina l’insieme dei valori di x per i quali esiste la successione; verifica che per ogni prefissato x la
successione è una progressione geometrica.
b) Considerati i primi nove termini della successione, trova per quali valori di x il prodotto dei termini
equidistanti dagli estremi è uguale a 1024.
c) Studia, al variare di x, il carattere della successione Sn , dove Sn = g1 + g 2 + f + gn .
:a) R, q = 1 - sen x; b) x = 3r + 2kr;
2
1
c) conv. a
- 1 se 2kr 1 x 1 r + 2kr, div. a + 3 se (2k + 1) r # x # 2 (k + 1) r D
sen x
Su una semiretta di origine P0 è dato il segmento P0 P1 che misura 2. Considera i segmenti adiacenti P1 P2,
5
P2 P3, …, Pn-1 Pn, … tali che il rapporto tra un segmento e il suo precedente sia . Dopo aver costruito su
4
ogni segmento un quadrato che abbia per lato il segmento stesso:
a) dimostra che le misure delle aree dei quadrati sono i termini di una progressione geometrica e calcolane
la ragione;
b) esprimi il termine generico ln della progressione in funzione di n e calcola il limite per n " + 3 ;
c) calcola il perimetro e l’area dell’ottavo quadrato.
n
7
7
;a) q = 25 ; b) ln = 4 b 25 l , n ! N; + 3 ; c) 8 b 5 l , 4 b 25 l E
16
16
4
16
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Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
VERSO L’ESAME DI STATO
ESERCIZI
In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è dato il punto A0(1; 0). Si costruisca il trianW 0 A1. Si conduca per A1 la
golo rettangolo OA0 A1 avente il vertice A1 sull’asse delle ordinate e sia a l’angolo OA
perpendicolare alla retta A0 A1 che incontra l’asse delle ascisse in A2; si conduca per A2 la perpendicolare alla
retta A1A2 che incontra l’asse delle ordinate in A3 e così via, ottenendo una spezzata A0 A1 A2 A3 … An⫺1 An i
cui vertici di indice dispari appartengono all’asse delle ordinate e quelli di indice pari all’asse delle ascisse.
Il candidato:
a) dimostri che le lunghezze dei lati della spezzata sono in progressione geometrica e calcoli la lunghezza ln
25
——
della spezzata dla somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo termine a0 e
1 - qn
ragione q è Sn = a0
n;
1-q
b) determini il limite di ln al tendere di n all’infinito distinguendo i due casi:
r
r
2. a $
1. a 1 ,
4
4
e verificando che nel caso 1 detto limite assume valore finito l (a).
(Esame di Stato, Liceo Scientifico, Corso sperimentale, Sessione ordinaria, 1995, quesito 1)
V
r
W
1
r
r
r
4 ; b)
se 0 1 a 1 , + 3 se
# a 1 WW
4
4
2
cos a - sen a
r
se a =
W
4
X
R
Z
n
S
]] 1 - (tg a)
Sa) l = [ cos a - sen a
S n ]
]n 2
S
\
T
se a !
Dato il triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza di raggio r, inscrivi in tale triangolo una semicirconferenza; in questa semicirconferenza inscrivi un triangolo isoscele e così via.
26
——
C
C
C
C’
C’
C’’
A
r
B
A
B’
A’
B
A
B’’ B’
A’ A’’
B
a) Scrivi in funzione di r la successione delle misure dei perimetri e quella delle misure delle aree dei
triangoli.
b) Scrivi il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti per n " + 3 .
n
n
; b) an = 2r (1 + 2 ) c 2 m ; bn = r2 b 1 l , n ! N; 0; 0E
2
2
1
Nel quadrato ABCD di lato l, sui quattro lati prendi Al , Bl , C l , Dl tali che AAl = BBl = CC l = DDl = l ;
8
congiungi i punti in modo da ottenere un nuovo quadrato, su cui ripeti lo stesso procedimento.
27
——
D
C
C’
D
C
D’
C’
D
D’
C
C’’
D’’
B’’
B’
A
B
A
A’
B
B’
A’’
A
A’
B
a) Determina la successione delle misure dei perimetri e quella delle misure delle aree e stabilisci se sono
progressioni geometriche o aritmetiche.
b) Trova il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti per n " + 3 .
n
n
;a) geometriche; b) an = 4l b 5 2 l ; bn = l 2 b 25 l , n ! N; 0; 0E
8
32
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Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
ESERCIZI
28
——
CAPITOLO 23. LE SUCCESSIONI E LE SERIE
Disegna il generico arco di parabola di equazione y = ax 2 (a 2 0) con ascisse comprese nell’intervallo
p
[0; p]. Suddiviso tale intervallo in n sottointervalli uguali di ampiezza Tx = , costruisci i rettangoli di
n
uguale base Tx e aventi come altezza il valore massimo assunto da y in ciascun sottointervallo. Calcola il
limite della somma delle aree degli n rettangoli al tendere di n a + 3 .
(Suggerimento. Devi utilizzare la formula
12 + 22 + f + n2 =
n3
n2
n
+
+ ,
3
2
6
: 1 ap3D
3
che puoi anche dimostrare mediante il principio di induzione.)
29
——
In un quadrato ABCD di lato l inscrivi il quadrato A1 B1 C1 D1 , che ha per vertici i punti medi dei lati di ABCD;
in A1 B1 C1 D1 inscrivi il quadrato i cui vertici A2, B2, C2, D2 sono i punti medi dei lati di A1 B1 C1 D1 .
Ripeti il procedimento indefinitamente.
a) Dimostra che le lunghezze dei lati dei quadrati formano una successione i cui termini ln sono legati
l
dalla relazione ln + 1 = n .
2
b) Dimostra che la somma delle aree di tutti gli infiniti quadrati è doppia rispetto a quella di ABCD.
c) Dimostra che la somma dei perimetri di tutti gli infiniti quadrati è 4l (2 + 2 ).
30
——
5
È data la successione così definita: *an + 1 = 3 an
a2 = 3
a) Calcola a0, a1, a3.
b) Dimostra che è una progressione geometrica e trova la ragione.
c) Dimostra che è monotòna.
d) Determina il termine an in funzione di n e calcola il limite per n " + 3 .
n-1
;a) 27 , 9 , 5; b) 5 ; d) an = 9 b 5 l , + 3E
25 5
3
5 3
31
——
Dato un semicerchio di raggio r e diametro AB, costruisci un nuovo semicerchio con centro B, raggio AB e
diametro ABl e così via.
A
r
B
A
B
B’
A
B
B’
B’’
a) Scrivi in funzione di r la successione delle misure delle aree dei semicerchi e quella delle misure delle
semicirconferenze.
b) Calcola i loro limiti per n " + 3 .
2
;a) an = rr 4n; bn = rr $ 2n, n ! N; b) + 3; + 3D
2
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Bergamini, Trifone, Barozzi MANUALE BLU 2.0 DI MATEMATICA - Modulo U © Zanichelli 2012 con Maths in English
1 2 3 4 5
Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi
4
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