ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
πρόβλημα
πόσο διάστημα θα έχει διανύσει το σημείο Α όταν ο τροχός , κυλώντας , έχει κάνει
μια πλήρη περιστροφή;
Ο
Α
Β
Έστω ότι ο τροχός έχει κυλήσει στρεφόμενος κατά γωνία φ. τότε το σημείο Α που στην
αρχή του χρόνου είχε συντεταγμένες (0,0) τώρα θα έχει συντεταγμένες
x  u  t  AB  u  t  Rημφ  u  t  Rημωt
(1)
y  R  OB  R  Rσυνφ  R  Rσυνωt
στην κύλιση γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση uμετ  uπερ  u  ω  R
(2)
οπότε
x(t)  u  t  Rημωt  ωRt  Rημωt
y(t)  R  Rσυνωt
Για να βρούμε τις εξισώσεις των ταχυτήτων παραγωγίζουμε τις σχέσεις (1).
Με τη βοήθεια της σχέσης (2) έχουμε:
ux (t)  x '(t)  ω  R  ω  Rσυνωt
uy (y)  y '(t)  ω  Rημωt
u  ux2  uy2 

 ω  R  ω  Rσυνωt 2  ω  Rημωt 2

ω2R2  2ω2R2συνωt  ω2R 2συν2ωt  ω2R 2ημ2ωt 
ω2R2  2ω2R2συνωt  ω2R2(συν2ωt  ημ2ωt)  ω2R2  2ω2R2συνωt  ω2R2  2ω2R 2 1  συνωt  
 ωR 2 1  συνωt   ωR 2  2ημ2
ωt
ωt
ωt
 ωR  2  ημ
 2ω  Rημ
2
2
2
από τις σχέσεις (3) μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέτρο της ταχύτητας
ωt
u  ux2  uy2  u  ω  R 2  2συνωt  2ω  Rημ
2
ωt
ds  udt  ds  2ωRημ
 dt θέτω θ=ωt 
2
dθ
ωt
θ
dθ=ωdt  dt=
άρα ds  2ωRημ
 dt  ds  2Rημ dθ
ω
2
2
για να βρούμε το διάστημα που διάνυσε το σώμα σε μια πλήρη περιστροφή αρκεί να
ολοκληρώσουμε την παραπάνω σχέση από 0 έως 360 μοίρες ή από 0 έως 2π.
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
2π
s
θ
 2Rημ(2)dθ
θέτω φ=
0
θ
1
 dφ  dθ  dθ  2dφ
2
2
όταν θ=0 τότε φ=0
όταν θ=2π τότε φ=π άρα
2π
s
θ
π
π
 2Rημ(2)dθ   4Rημθdθ  4R συνθ 0  4R συνπ  συν0  4R 1  1  8R
0
0