ĐỀ THI THAM KHẢO SỐ 1
Câu 1. (2 điểm) Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng
của các máy này sản xuất ra chiếm tỷ lệ 35%, 40%; 25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng.
Tỷ lệ phế phẩm của các máy này tương ứng là 1%; 1,5%; 0,8%. Lấy ngẫu nhiên một sản
phẩm của phân xưởng để kiểm tra.
a. (1 điểm) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b. (1 điểm) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Nhiều khả năng sản phẩm đó do máy nào
sản xuất ra?
Câu 2. (1 điểm) Tỉ lệ mắc một loại bệnh trong một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên liên tục
và có hàm mật độ xác suất
1
; x   5; 25 

f ( x)   20
.
0 ; x   5; 25 

Tính tỉ lệ mắc bệnh trung bình và phương sai.
Câu 3. (1 điểm) Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên Tú là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn trung bình là 15, độ lệch chuẩn là 3 (đơn vị: phút). Tính xác suất Tú bị
muộn học nếu bạn này đi học trước giờ vào học 21 phút.
Câu 4. (2 điểm) Trọng lượng của một loại sản phẩm A là một biến ngẫu nhiên có phân
phối theo quy luật chuẩn với độ lệch là 1 gram. Cân thử 27 bao loại này ta thu được kết
quả:
Trọng lượng (gam) 47,5 – 48,5 48,5 – 49,5 49,5 – 50,5 50,5 – 51,5 51,5 – 52,5
Số bao tương ứng
3
6
15
2
1
a. (1 điểm) Tìm khoảng tin cậy 95% của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm
trên.
b. (1 điểm) Nếu muốn độ chính xác là 0,1 thì kích thước mẫu cần thiết là bao nhiêu.
Câu 5. (1 điểm) Cho mẫu ngẫu nhiên W   X 1 , X 2 , X 3  lập từ tổng thể phân phối chuẩn
N   ,  2  . Lập thống kê
G
Chứng minh G và
1
1
1
X1  X 2  X 3 .
2
4
4
G X
là các ước lượng không chệch của  . Hơn nữa, hỏi rằng ước
2
lượng nào tốt hơn cho  .
Câu 6. (3 điểm) Tuổi thọ sản phẩm do một doanh nghiệp sản xuất có phân phối chuẩn.
Qua quá trình theo dõi tuổi thọ của một số sản phẩm được sử dụng người ta có số liệu sau:
Tuổi thọ
320
350
390
400
450
12
25
35
20
8
(giờ)
Số sàn phẩm
a. (1 điểm) Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu này.
b. (1 điểm) Với mức ý nghĩa 5% có thể nói tuổi thọ trung bình của sản phẩm là dưới
400 giờ?
c. (1 điểm) Phải chăng tỉ lệ sản phẩm tuổi thọ trên 400 giờ là dưới 10%? Kết luận với
mức ý nghĩa 5%.
Câu 1. Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng của các
máy này sản xuất ra chiếm tỷ lệ 35%, 40%; 25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng. Tỷ lệ
phế phẩm của các máy này tương ứng là 1%; 1,5%; 0,8%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
của phân xưởng để kiểm tra.
a. Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b. Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Nhiều khả năng sản phẩm đó do máy nào sản xuất
ra?
Giải
a. Gọi Ai là biến cố chọn sản phẩm từ máy thứ i , với i  1, 2,3 .
Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm.
Theo công thức xác suất đầy đủ:
P( B)  P( A1 ) P  B | A1   P( A2 ) P  B | A2   P( A3 ) P  B | A3   0,0115 .
b. Ta có
P  A1 | B  
P  A1  P  B | A1  7

P  B
23
P  A2 | B  
P  A2  P  B | A2  12

P  B
23
P  A3 | B  
P  A3  P  B | A3 
P  B

4
23
Vậy nhiều khả năng do máy hai sản xuất.
Câu 2. Tỉ lệ mắc một loại bệnh trong một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên liên tục và có
hàm mật độ xác suất
1
; x   5; 25 

f ( x)   20
.
0 ; x   5; 25 

Tính tỉ lệ mắc bệnh trung bình và phương sai.
Giải
Tỉ lệ mắc bệnh trung bình:
EX  

 xf  x  dx

25
  xf  x  dx
5
25

x
 20 dx
5
 15
Phương sai:
V X  

  x  15 f  x  dx
2

25

  x  15 f  x  dx
2
5
25


 x  15
20
5

2
dx
100
3
Câu 3. Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên Tú là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn trung bình là 15, độ lệch chuẩn là 3 (đơn vị: phút). Tính xác suất Tú bị muộn học
nếu bạn này đi học trước giờ vào học 21 phút.
Giải
Gọi X là thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên. Khi đó X ~ N 15, 32  .
Xác suất sinh viên đi học muộn là
 21  15 
P  X  21  0,5   

 3 
 0,5  0, 4772
 0,0228
Câu 4. Trọng lượng của một loại sản phẩm A là một biến ngẫu nhiên có phân phối theo
quy luật chuẩn với độ lệch là 1 gram. Cân thử 27 bao loại này ta thu được kết quả:
Trọng lượng (gam) 47,5 – 48,5 48,5 – 49,5 49,5 – 50,5 50,5 – 51,5 51,5 – 52,5
Số bao tương ứng
3
6
15
2
1
a. Tìm khoảng tin cậy 95% của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm trên.
b. Nếu muốn độ chính xác là 0,1 thì kích thước mẫu cần thiết là bao nhiêu.
Giải
a. Tính x  49,7; z /2  1,96 .
Vì n  27  30 và   1 nên khoảng ước lượng là:



z /2 ; x 
z /2
x
n
n


   49,323; 50,077 

b. Để độ chính xác là 0,1 thì

n
z /2  0,1  n  384,16 .
Câu 5. Cho mẫu ngẫu nhiên W   X 1 , X 2 , X 3  lập từ tổng thể phân phối chuẩn N   ,  2  .
Lập thống kê
G
1
1
1
X1  X 2  X 3 .
2
4
4
Chứng minh G và
G X
là các ước lượng không chệch của  . Hơn nữa, hỏi rằng ước
2
lượng nào tốt hơn cho  .
Giải
Ta có
1
1
1
1
1
1
G  X1  X 2  X 3  E G   E  X1   E  X 2   E  X 3   
2
4
4
2
4
4
G X
G X 5
7
7
 X1 
X2 
X3  E 
2
12
24
24
 2
Vậy G và



G X
là các ước lượng không chệch của  .
2
Ta lại có
G X
3
V G   V  X ; V 
8
 2
Suy ra
 11
  V X 
 32
GX
là ước lượng tốt hơn.
2
Câu 6. Tuổi thọ sản phẩm do một doanh nghiệp sản xuất có phân phối chuẩn. Qua quá
trình theo dõi tuổi thọ của một số sản phẩm được sử dụng người ta có số liệu sau:
Tuổi thọ
320
350
390
400
450
12
25
35
20
8
(giờ)
Số sàn phẩm
a. (1 điểm) Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu này.
b. (1 điểm) Với mức ý nghĩa 5% có thể nói tuổi thọ trung bình của sản phẩm là dưới
400 giờ?
c. (1 điểm) Phải chăng tỉ lệ sản phẩm tuổi thọ trên 400 giờ là dưới 10%? Kết luận với
mức ý nghĩa 5%.
Giải
a. x  378, 4
s 2  1179,172  s  34, 2515
b. Cặp giả thiết thống kê là
 H 0 :   400

 H1 :   400
Chọn G 
X  
0
S
n
 g qs  6,306
Miền bác bỏ W  G : G   z    ;  1,65 
Vì g qs  W nên ta bác bỏ H 0 . Như vậy có thể nói tuổi thọ của sản phẩm là dưới 400 giờ.
c. Cặp giả thuyết thống kê
 H 0 : p  0,1

 H1 : p  0,1
Chọn G 
 F  p0  n  g  0,667
qs
p0 1  p0 
Miền bác bỏ W  G : G   z    ;  1,65  .
Do g qs  W nên không đủ cơ sở bác bỏ H 0 . Vậy chưa thể nói tỷ lệ sản phẩm tuổi thọ trên
400 giờ là dưới 10%.
ĐỀ THI THAM KHẢO SỐ 2
Câu 1. (2 điểm) Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi
ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao. Theo thống kê thấy tỉ lệ dân gặp rủi ro trong 1 năm tương
ứng với các loại trên là 5%, 15%, 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi
ro trung bình; 30% rủi ro cao.
a. (1 điểm) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b. (1 điểm) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại
ít rủi ro là bao nhiêu?
Câu 2. (1 điểm) Một hộp có 4 bi đỏ, 6 bi vàng, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp nếu
được mỗi bi đỏ thì được 1 điểm, mỗi bi xanh bớt đi 1 điểm, được bi vàng thì được 0 điểm.
Gọi X là tổng số điểm có được khi lấy 3 bi. Lập bảng phân phối xác suất của tổng số điểm
có được khi lấy 3 bi.
Câu 3. (1 điểm) Khối lượng nước mà các hộ gia đình sử dụng trong một tháng ở một chung
cư là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
với trung bình lả 30 khối và phương sai là 16 khối. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một
gia đình thì được gia đình có mức tiêu thụ nước trên 40 khối.
Câu 4. (2 điểm) Năng suất của một loại giống mới là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân
phối chuẩn N   ,  2  . Gieo thử giống hạt này trên 16 mảnh vườn thí nghiệm thu được như
sau (đơn vị kg/ha):
172, 173, 173, 174, 174, 175, 176, 166, 166, 167, 165, 173, 171, 170, 171, 170
Hãy tìm khoảng tin cậy cho năng suất trung bình của loại hạt giống này với độ tin cậy
  95% .
Câu 5. (1 điểm) Cho mẫu ngẫu nhiên W   X 1 , X 2 , X 3  lập từ tổng thể phân phối không
một A  p  . Cho hai ước lượng không chệch
G
X
X
X
1
2
2
X1  X 2  X 3 ; F  1  2  3 .
5
5
5
3
3
3
Hỏi rằng ước lượng nào hiệu quả hơn hơn cho p .
Câu 6. (3 điểm) Xem xét về trọng lượng của một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến
hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, được số liệu cho bảng dưới đây:
Trọng lượng (gam) 25-27 27-29 29-31 31-33 33-35 35-37
Số quả tương ứng
3
5
7
5
3
2
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn.
a. (1 điểm) Tìm trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu này.
b. (1 điểm) Công ty quảng cáo rằng trọng lượng trung bình của quả là 30g. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy nhận xét về quảng cáo của công ty?
c. (1 điểm) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình của loại quả này là 29g. Với mức ý
nghĩa 5%, có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên không?
Câu 1. (2 điểm) Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi
ro, rủi ro trung bình, rủi ro cao. Theo thống kê thấy tỉ lệ dân gặp rủi ro trong 1 năm tương
ứng với các loại trên là 5%, 15%, 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi
ro trung bình; 30% rủi ro cao.
a. (1 điểm) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b. (1 điểm) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại
ít rủi ro là bao nhiêu?
Giải
a. Gọi 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 lần lượt là biến cố đối tượng bảo hiểm thuộc loại ít rủi ro; rủi ro trung
bình; rủi ro cao. Gọi A là biến cố đối tượng bảo hiểm gặp rủi ro.
Theo công thức xác suất đầy đủ, tính được 𝑝(𝐴) = 0,175.
b. Theo công thức Bayes ta tính được xác suất người không gặp rủi ro thuộc loại ít rủi ro
p  H1 | A   0,2303
Câu 2. (1 điểm) Một hộp có 4 bi đỏ, 6 bi vàng, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp nếu
được mỗi bi đỏ thì được 1 điểm, mỗi bi xanh bớt đi 1 điểm, được bi vàng thì được 0 điểm.
Gọi X là tổng số điểm có được khi lấy 3 bi. Lập bảng phân phối xác suất của tổng số điểm
có được khi lấy 3 bi.
Giải
X là tổng số điểm có được khi lấy 3 bi.
X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X=-3,-2,-1,0,1,2,3
Bảng phân phối xác suất của tổng số điểm X có được khi lấy 3 viên bi
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
P
10
143
45
286
3
11
27
286
24
143
9
143
2
143
Câu 3. (1 điểm) Khối lượng nước mà các hộ gia đình sử dụng trong một tháng ở một chung
cư là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn
với trung bình lả 30 khối và phương sai là 16 khối. Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên một
gia đình thì được gia đình có mức tiêu thụ nước trên 40 khối.
Giải
Gọi X là khối lượng nước mà một hộ gia đình sử dụng trong một tháng. Khi đó
X ~ N  30; 42  .
Xác suất để mức tiêu thụ nước trên 40 khối là:
 40  30 
P  X  40   0,5   

 4 
 0,5  0, 4798
 0,0202
Câu 4. (2 điểm) Năng suất của một loại giống mới là một biến ngẫu nhiên có quy luật phân
phối chuẩn N   ,  2  . Gieo thử giống hạt này trên 16 mảnh vườn thí nghiệm thu được như
sau (đơn vị kg/ha):
172, 173, 173, 174, 174, 175, 176, 166, 166, 167, 165, 173, 171, 170, 171, 170
Hãy tìm khoảng tin cậy cho năng suất trung bình của loại hạt giống này với độ tin cậy
  95% .
Giải
 x  171

Ta có  s  3, 43
t
  /2  n  1  t0,025 15  2,131
Khoảng tin cậy cho năng suất trung bình là
S
S


t /2  n  1 ; X 
t /2  n  1   169,17; 172,83
X 
n
n


Câu 5. (1 điểm) Cho mẫu ngẫu nhiên W   X 1 , X 2 , X 3  lập từ tổng thể phân phối không
một A  p  . Cho hai ước lượng không chệch
G
X
X
X
1
2
2
X1  X 2  X 3 ; F  1  2  3 .
5
5
5
3
3
3
Giải
Ta có
2
2 
1
E G   E  X1  X 2  X 3 
5
5 
5
1
2
2
 E  X1   E  X 2   E  X 3 
5
5
5
p
và
1
1 
1
E  F   E  X1  X 2  X 3 
3
3 
3
1
1
1
 E  X1   E  X 2   E  X 3 
3
3
3
p
Do đó G và F là các ước lượng không chệch của p. Hơn nữa
2
2 
1
V  G   V  X1  X 2  X 3 
5
5 
5
1
4
4
 V  X1   V  X 2   V  X 3 
25
25
25
9

p 1  p 
25
Và
1
1 
1
V  F   V  X1  X 2  X 3 
3
3 
3
1
1
1
 V  X1   V  X 2   V  X 3 
9
9
9
1
 p 1  p 
3
Do đó F là ước lượng hiệu quả hơn G.
Câu 6. (3 điểm) Xem xét về trọng lượng của một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến
hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, được số liệu cho bảng dưới đây:
Trọng lượng (gam) 25-27 27-29 29-31 31-33 33-35 35-37
Số quả tương ứng
3
5
7
5
3
2
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn.
a. (1 điểm) Tìm trung bình mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu này.
b. (1 điểm) Công ty quảng cáo rằng trọng lượng trung bình của quả là 30g. Với mức ý
nghĩa 5%, hãy nhận xét về quảng cáo của công ty?
c. (1 điểm) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình của loại quả này là 29g. Với mức ý
nghĩa 5%, có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên không?
Giải
a. x  30, 48
s 2  8, 4267  s  2,903
b. Cặp giả thuyết thống kê
 H 0 :   30

 H1 :   30
Chọn G 
X  
0
S
n
 g qs  0,8267
Miền bác bỏ W  G : G  t /2  n  1   ;  2,064    2,064;  
Vì g qs  W nên chưa đủ cơ sở bác bỏ H 0 hay có thể nói quảng cáo đúng.
c. Cặp giả thuyết thống kê
Chọn G 
X  
0
S
 H 0 :   29

 H1 :   29
n
 g qs  2,5491
Miền bác bỏ W  G : G  t  n  1  1,711;   
Do g qs  W suy ra bác bỏ H 0 hay có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên so với
mùa vụ trước.
Bài 4 chương 6
4. X ( đơn vị tính bằng %) là chỉ tiêu của một loại sản phẩm. Điều tra ở một số sản phẩm
ta có kết quả
xi
5-7
7-9
9-11
11-13
13-15
15-17
17-19
19-21
ni
2
8
14
19
22
20
10
5
a) Để ước lượng trung bình (ước lượng  ) chỉ tiêu X với độ tin cậy 92% và độ chính xác
là 0,3% thì cần phải điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm
b. Sản phẩm có chỉ tiêu X càng lớn càng được ưa chuộng. Người ta xem các sản phẩm có
chỉ tiêu X dưới một mức quy định là loại II. Từ số liệu điều tra trên , bằng phương pháp
ước lượng khoảng tỷ lệ (ước lượng p)(loại II), người ta tính được khoảng tin cậy là
(4%,16%). Tìm độ chính xác và độ tin cậy của ước lượng này.
Giải
a. x  13,52, s  3,353, z / 2  z0,04  1,75
n  100
và phương sai chưa biết.
Để độ chính xác là 0,3 (%) thì
s
n
z / 2  0,3  n  382,56
Ta có 383-100 = 283. Vậy cần phải điều tra thêm 283 sản phẩm.
b. Ta có

 4%,16%    f



f 1  f 
n
z / 2 ; f 
Nên tỉ lệ mẫu là
f 
4%  16%
 0,1
2
f 1  f 
n

z / 2 


Và độ chính xác
f 1  f 
n
z /2 
16%  4%
 0,06
2
Thay n=100 và 0,1 vào đẳng thức trên ta tìm được
z / 2  2 
Vậy độ tin cậy là 1    0,9544 .

2
 0,0228    0,0456