hardening behaviour
spring
Solution for ODE
linea Spring
• NO MASS
• potential energy
d'YA)
dem + an, djfynay + --- + toy (f) = Bm d dtm
"ult) + Ama d"' alt)
dtm.it - .. + boult)
✗n
softening behaviour
'(×,-×)
-
damper
•
INPUT
ult) →
INITIAL
STATE:
tiene da conto la dissipation
c
• NO MA S S
perte o
u (t)-0
410) -0
4. (o) = 0
(xi-×)
Diff.
EQUAT
→ y (t)
CON
PI ELENI SE
CONTINUOUS
QUESTE CONDIZIONI
+ g CH
y (t) = y (t)
HOMOGENEOUS
PARTICULAR
4101=0
1 DOF EQUATION
lg. motion
my = EF; = f (t)-my -Fn-Fc
y
quando
f (t)
mossa è
in rest:
my = o = -mg -K Y
L
con lato DX = O
a) "+ ama]?... 0070=0
• Lineare
• complex conj
y =- "9
µ
→
polinomio caratteristico
LAPLACE OPERATOR
j-0, Y-0, FA) = O
→ n roots con µ →
t" eat =
y (t) è funt. spostamento (di quanto si sposta)
n!
(s-a) M +1
G, e
Thomas =
✗ (t) è posizione iniziale
"È
my = f- Ct)-my
=
trovo sposi y (t)
×-Gst
L (f (t + to)) =
funzione di yStatic
ES
11 con Ms
t-caatedit-casted.tt... capatmitett­
YHOMIYHOMZYH.AM 3
- backward shifting:
y (t) = ✗ -Gst
Soddisfa la ag. diff.
iniziale MA NON le
CONDIZIONI INIZIALI
e to S. Fcs)
• derivata
-K y -C y
Eg motion
Ys)
m (X-Y'st) = fa) - mg - K (×-ys) - C (×-°
m I = f (t) -mg -Kx + KY si - CX
2°
S'F- (s) - s'fco) -5 fio)
1°
S FCS)
- f- (o)
AL GRADO
Ky = - my
semplifica
"DÈRI"VATA
MASSIMA
m i + C'✗ + KX = f (t)
1 DOF SYSTEM
NON HOMO GENA
(f (t) non è costante)
ORDINARIO
(xk non ci sono
derivate parziali)
• Flo) -
S
S
• VALORE finale:
•
limo, fit) -Ling, S. FCS)
VALORE INIZIALE:
lim S FCS)
5 → 00
LINEARE
SECONDO ORDINE
-
e
I
m (s'×- S ✗ (o) ora il
✗ (t)
condizioni
✗ (s) =
✗ '(O)) +
problema
+
Ra#=
-Cin
> 1
dove
LUOGO
con µ-2
SOLUZIONE IMAGINARIA
3> 1 Real
DOUBLE
3=1
- cum
COMPLEX can;
+
+ RIP
Ratt
S-P2
S-Pi
=
Xp (s) =
Cos (Q)
da"
particolare
•
TANGEEE
sin (wat)
PSEUDO PERIOD
Solution
considero
UNIT STEP
:
RIP
REP
S-Pa
S-pa
+
SEMPRE
Rap =
RIP
5
con
§-Pa)
Ip (t)
}#1
L. Fg.
Rs =
s £
E
I E- -
È
=
Fo
q
m
µ
=
F
1
m
Curi
F-
m
or} <1
STEADY STATE
quando t-o
it
GALIZIANI "I 90%
RISE TIME
Xp (o) ⇒
PACROTINCULUARN it STEP
m (papa)
-
SETTING TIME
( quando sono allo steady )
state con un Error
OVERSHOOT
UNIT STEP
S =P 3=0
.
Sim (watto))
Fo
=
$-Pi)(S-P2)
Pa
1 XÒ
Fo
1
G- PICS-Pa) s =p? MPs (Pa-Pa)
1
S
025 <1
FORCED RESPONSE
(µ-1)
Pi
2
Fg
m pa (Pa-Pa
11 (t)-Rip
E ( " (t)-
FCS) come
1/(t). Fo
Fo
Rap =
e- Scout
= 2%
2- ' (11 (s). Fo) =
13=0
321
t
L
"
o 1. E
5423cm Steinem
s
complex con;
& (o)-O
INPUT
PARTICOLARE
SCRIVERE COME:
Xp (t) = R, e "E Bert + Rape'st
con
✗01=0
J
S-Pa
S-P>
homogenea
con condizioni
iniziali
FREE RESPONSE
+ RIP
+ Rap
LI STUDIO:
Yy
Pez = -3am ± con
jun
Re =-Icon
Cud
PART (S) =
Re
UNSTABLE
mogn.com
'cin + com' (1-32) = con
conjugates:
INVERSE LAPLACE OF PARTICULAR
SOLUTION
Ritt
=
(Pi-Pa)
✗ (o) =D
Nn OVER DUMPED
↳
SOLUZIONE REALE
UNSTABLE
complex
- Scout
e
O
NO DUMPED
In = conte = Sim (O) = Cud
✗ (S)
e
ESPONENZIALE
OSCILLATORIA
MODULATING FUNCTION
PERMANENTE
III 3=0
Un
cristiàn
DOUBLE ROOT
con magnitude:
radici...
<
\
✗ Hom (t) =
PARTICOLARE
32-1
Sono
→ la posso
57 23 am + comp F (S)
HOMOGENEA
- Icon ± comite
OVERALL
con ✗ (o) Io
S-Pi
Salsat + syes#t
11m
5+2} con + così
I join
Raha Rah
RESPONSE
✗(o)-S + ✗È + 23am ✗ (o)
- } con ± con te 1=1
O <5<1
(SP) (S-P)
-
Pa-PI
O <
= 1
S =p,
×:
-Ria =
%
✗ Ha (S-Pi)
✗ Homs (S-Pa)
fps,
FORCED
(rolls)
NATURAL FREQ.
c
DAMPING
2 man
RATIO.
CRITICAL
DAMPING
NO DAMPING
(root is Nor)
DOUBLE
Rea e't + Rane Pat
f- '=D
algebrico
PARTICULAR SOLUTION
WII
I =O
=D
3#1
mst CS + K
HOMOGENEOUS SOLUTION
FREE RESPONSE
- Sunt cum
Ratt
con
SOLUTION
S-pa
RI H =
f- (t)
1
(MS? + CS + K)
pali_
C (SX - ✗'(o)) + KX = F (s)
con l'imput
+
5- PI
non è + differenziale, ma
iniziali
MS ✗ (o) + m ✗ '(a) + e ✗'(O)
3 =
Rih
7 Laplace
mi + ci + k x = f- (t)
fit)
fco) = lim
S. FCS)
5- 00
IN VERSIONE DI LAPLACE DELL'OMOGENEO US
OSCILLATOR
-
=D
ESISTE
COEFFICIENTI
COSTANTI
BASIC
DIMINUISCO ESPONENTE DI S
AUMENTO GRADO DERIVATA Di f- (o)
"f-(o) -
✗ è (o) = 0
FREQUENCY RESPONSE
ult)
4 (t)
Gcs)
caratterizzata da
UCS)
condizioni iniziali → Iati perturbazione
✓
A Cs)
✗ (s) =
§-Pi) (s-Pa)
SCEMANO
=
TEMPO
M a
"(s)
=
Rsp
y HOM
+
w
Rsp = (s-'ja)
(S-ja) (stja)
M. G (s)
(S-ja) (Saja)
Glia)/
IL SENO DELL'
e oscillazione CHE
PERSISTE
2 (Rap) e'Reliant)
cos (cit + q (ja)-E)
INPUT è
IN UN ALTRO SENO,
TRASFORMATO IN
SCALATO DI
=
con t»> T
AMPIEZZA INPUT
RESCALED
VALITY FACTOR
1
CMAX = CON
linearizzando
G (s)
3
1+2;} La-gg,
(ja)-+ 23 cum jw + con'
E
P
%
Rap Rap
(1/4) 2
→ /G (ja)/=
ù
(1-97)? 434%)"
• con 5=0
232
1/K
BODE PLOT PHASE
• } AUMENTA, il picco si sposta a sx Giu
perdendo la singolarità
frequency response di un syst.
WMAX = Con
(assumendo 3 piccolo)
il massimo
• moltiplica per_ci 2
×
f è la somma di tutto
o
%:
7
KX
moltiplica.;
(è come se Ruoto
Di
T/2)
9 (ja)
• il massimo DELLA FUNZIONE È
1 -232
1- 23'
CON
3 + ++
<cum)
3: E
o
-È
T
= O
LA FORZA
ESPOSTA M.
SONO IN FASE
quality factor
W Max = CU N =
Wa + CO2
2
la forza esterna è bilanciata
quindi forza e displacement
sono in fase
w
CUMAX
In =L
se In = 1
1- Ent
• vedo che in corrispondenza di coma✗ ho
IL PUNTO
A META è §
con
3++ +
HO SINGOLARITÀ:
G (jw)/ =
• 3=1
29
mi
oscillazione
che resta:
PER NON AVERE PICCHI IL VALORE
1
232
= -q + E
I/Olja)/
In
K/Olja)/
Q =
9 Cia)
BODE PLOT... MAGNITUDE
1/k
capace di misurare la
art.
2J
-Ty, =P (JW)-E
\
11m
1- 232
un sistema
= Gaja, M
(org (Psp))
quello
che
svanisce
RIH RIH
R Ip Rap
info per descrivere
1
1- 32
2 3
G (ja) M
INPUT M Sim (cit)
È LA FREQ. RESPONSE Function l'output dinamico
G (ja) =
2M/ G (ja) /
t
→ quanto l'oscillatore è sensibile A UNA FORZA MOLTO DEBOLE
G (jumax)/ =
Se considero
arg (Rap) = arg
INPUT ARMONICO
⇒
I Rap/ =
MODULO
del sistema con
11m
K I
IN:
INPUT
PHASE SHIFT
ALL'INPUT
divido per un' =
Q =
☐ (s)
arg (Rap) =
cos (cit + arg (Risp))
E RITARDATO DI
S'+ 23 am St com?
I
U (o)
FASE
Siccome
sono complex
cani li scuro
come
Rap = GC-ja). M
→a
FREQUENCY RESPONSE
TRANSFER FUNCTION:
G ()
=
S
NCS)
M/G (ja)/ sin (g (ja) + cut)
OUTPUT
G (ja)
+
SCRIVO
(OSCILLAZIONE PERSISTENTE AMO STEADY STATE)
e '°" + Ru petit =
2M
Acs)
B (S)
Sjw= G (ja) My
CRITICAL TAU
Y (t) =
Y PART =
S'+ cu?
Raf e" t + Ray@Pat + Rip e Pat, Repeat, Rsp e'? Rap e- int
Scrivo auro CHE RIMANE
y (t) =
M
+
t → 00
→
G (S)
E-P a) (s-Pz)
CON IL
M sincut)
UCS) =
Y (s)
N (s)
+
U (t) =
ESTERNO
mi + ci + Kx = f
INERZIA VISCOSO ELASTICO
con F- A/Gljulsincut + a)
la ✗ = × HOM -I
Lo scrivo con
I FASORI
✗ PART
A REGIME
Xp = A/G(jw)/sin (cit + 9)
Scritta con i fasori
è
✗ ex. aiut
✗ = Xo e tut
MODULE
FA SORE
con frequenze alte il damper comincia
a produrre forza, la molla anche
e cerca di bilanciare la forza nell'
alto senso
x = ja ✗ o e'"
a forza esterna
deve bilanciare le 3 forze
• KX domina
con FASI PICCOLE
SULL'INERZIA
o se CX SPARISCE
LA FORZA E
LO SPOSTAMENTO
SONO IN OPPOSIZIONE
DI FASE
(A FASI GRANDI
la FASE SHIFT PASSA DA O att
× = -at xo e int
→ cambiando fase la disposit.
delle forze cambia (l'angolo
ha le forze cambia
(cambia l'angolo dei vettori
forza)
INTEGRALE
come
un input è
GCS)
dice
⇒
→
CONVOLUZIONALE
come
convertito in output in base alla logica del sistema?
lo steady state
y (s) =
funzione 1 (T)
funzione 2 (t-2) →
t
senza transitorio
GCS). U (s)
voglio ottenere
THEOREM
L [Ifactifact-e) di]-ECS)-Fi (s) ⇒ L' [Fa (s).E Cs) =/Fact) fa (t-t) de
input è convertito in output
considero solo
CONVOLUTIONAL
trascurando le initial condition
ult)
U (s) = 1, così
avrei
quindi
anche
con
Y (s) = Ge)-UCS)
Ult-t)
4 (s) = G (s)
questa
COME
LO
DIMOSTRO
quindi
il delta
dirac
Saira,
y (t) = g (t). u (t)
L (Salt)) -1
dove
Unit step
è
:
ult) =
Sct) =D
t
y (t) = g- (t)
SI CHIAMA
IMPULSE
RESPONSE
unit step con delay di t
÷
g (t)
14)-1 (t-t)
= f (t-t)
se tè piccolo
=D con lim 7 (t, T) = Sct)
e→0
S (t)
SHIFTATI
:
Sct)
S (t-T)
ME
OUTPUT
Ps.
IL PRODOTTO
È O ECCETTO
- T)
g (t)
OUTPUT
GRANDE
dipende dai precedenti colori
combina. lineari degli INPUT sono convertite in
µ
11
Il OUTPUT
y
ACT)
mi
un
- t)
OUTPUT
S (t-T)
PIET)
OUTPUT
S (t-T)
Dale HO
IL 8
)
SCE) SHIFTATO PRODUCE OUTPUT CON
STESSA GC) SHIFTATA
2 DOF
Mi
Ma
-
C2
G
↳
"in
→
fa (t)
Fact)
✗(t)
I
=
- KI XI - CIXI
maxi
=
- K2 (×, -12) - C2 (✗ 2-x'2) - Kg ✗ a - <3×2 + fa
0
\"
CI + (2
:
+
MASS
M
I
+ Ci +
D- "(s) =
+ Myos
l'imput generico
fa (s)
SOMMA Di
Katka) [È %:)
STIFFNESS
F
00
ult) =
Xo e xò
+ FCS)
→ se entrambi -0 =D OMOGENEA È-0
=D ✗ (s) =
di 1
1
deto
611 (s)
=
[Mst Cs + H] "
⇒
- dai
422
62115) 622 (s)
RULE INVERSE
ha cinq. Lo stesso DENOMINATORE (det D) →
le cand. iniziali
✗o
611 (s)
612
021 (s)
62]
:
XÒ =
→ (=
0
- c
F- (s)
☐ (S)
GCS)
B (s)
se
di 612 e 621
ka = O
[2=0
C1, C2 e Ka, Ka)
tutte le TRANSFER FUNCTIONS
↳ ✗ (S)
:
C-
8:
TEMPO
☐
LE CALCOLO
✗ HOM 1
-
4° GRADO
COSI COME PER
dai dia
122
+1231 H
5- 013
S-Pz
S-PI
+ RUSH
SONO
COMPLEX
CON;
S-PG
SONO COMPLEX
conjugate
- 412
✗ HOME (S) = 612 (s).
dei dar-dea dai
2° GRADO
2° GRADO
Rash
con µ =L
dai
dai
e UN SET Di EQ. INDIPENDENTI
RISH
des dar - dai dai
411 =
detto
DCS)
611 Fa (s) + 622 FCS)
2° GRADO
=D PFD di
U (s)
TUTTO DIVENTEREBBE
UNCOUPLED
✓
HANNO STESSI POLI
per andare
nel dominio
c 2+63
611 (s) =
621.0 + 622 (Mast <3)
621 (mi sta 1) . ✗10
2
2
detta =
0 +612 (master)
611 (mister). ✗so
- c
✗ HOMI (S)-Gu (5) [MIS + C) ✗ io =
:
Mas + <3
G 21 (me St Cs) + 622.0
[MI + (s + K]
le equazioni sono coupling DATA LA Presenza
dipendono da
CI + C2
C. 2=0
MIS + Cs
Gin (mista) + 611.
+
ACS) + NCS)
✗ (S) =
✗ (s) =
✗ 10
=
Ms + C) Xo + Mio'I
(ult) g (t-t) = y (t)
OUT
PUT
- 1
11.....
u (t) g (t-t)
OUTPUT
u (t) S (t-t) de →
0
G (S)
612 (s)
S (t-t)
I traslati:
→ RESTA SOLO LA PARTICOLARE
D (s)
- di 2
alt) è pensato come
INFINITI DIRAC
U (t) •
→ M [s'✗(s) - S Xo-Xo'] + (/SX (s)-✗ o] + K X (s) = Fa)
cond. iniziali
+ M Xo' + Cx.
CONSIDERO LA LA OMOGENEA
=
fils)]
FCS) =
S uno dopo l'altro
otterrà un output ogni volta
scalato
✗2 (s)
- K2
:).
Kx =
=
-K2
PARTICOLARE DENAM. ☐ (S)]
la dinamica
✗HOMES)
Cat (3
con più
[Xp (s)
L
✗ (s) [Msa + (s + K] =
Atom (S) =
K1 + Ha
DAMING
soluzione omogenea dipende dalle
G (s) =
-Ka (Xa-Xa) - C2 (Xa-Xa) + fa
- C2
- C2
Ma
✗ 2 (t)
CON SIDERO LA
✗ (S)
Mai,
Ma 0
❤
ALL
OUTPUT
è
SOMMA
Di
moltiplicando SC t-t) per ult) ottengo
output moltiplicato per act) eshifiato
SYSTEMS
K2
Ki
dell'input
se vado indietro nel tempo troppo il sistema perde memoria
✗ K ult-T) sera • un numero sempre più piccolo (g (t) piccola)
e non sarà + rilevante per l'output
che lizza-0
OUTPUT CON
g (t) . u (t-t)
ha una
memoria: l'output
E. 1s - E-Ge-"= # (1- è")
L (fatti) =L (E. 114) - L (E 1 (t-t)) =
l'output è una
convoluzione
dell'input con
l'impulse response
set è grande g (t) = o
quindi il sistema
±
L-/1Gas> Ucs)] =/{ge) ult-e) de
da t vado a sx
moltiplicando le
funzioni, con
g (T) flippata
L
¥
funzione è
il
→
DENOMINATORE
PFD
È COMUNE ALLE DUE
✗ 70M 2
Raze + Raza
5- p,
s-Ps
=
+ R 324
S-P]
Raza
+
S-py
LA PFD TOTALE (VOGLIO TORNARE NEL DOMINIO TEMPO) È
2
1
✗
HOMI (s)
✗ Hom 2
Rie
-
(s)
e
Pat
e Pat
R 12
+
2 21
R 22
1
Rex
e Pst
R 13
aptt
1
2
1
2
stessi paio di poli producono modulazione di oscillazione
e Recat uguale e frequenza angolare uguale Im (pa) t
t
R 24
R 23
MA DIVERSA FASE
• Residual rule the
AMPLITUDE AND PHASE
2
1) 2ha) e Re (Pa" cos (Im (pa)t + arg (Rss))
1)
2) 2/Ris/e'Re (Pitt cos (Im/post + arg (Rsi))
2) 2/ Ras/e'Re (B) tcas (Im (pa)t + org (Ras))
con condizioni iniziali NULLE (Ho
Im COME SI COMBINANO 1) , 2)
P]
✗HOMI
2/RaaleRelaltcos (Im (pa)t + org (Ras)
✗ 20=0,
✗ 10=0, ✗2.0=0)
LOCALIZZO I
RESIDUI SUL PIANO COMPLESSO
PER formare LAOCERAU OSCILLATION?
t
GUARDO Re (PI) → CAPISCO IL DAMPING → RIES THE time constant 31 Wa = %,
GUARDO Im (Pa) → CAPISCO LA FREQUENCY → RULES FREQUENCY Cuda
ad 1
• Real part of pole was the
DAMPING
• Import of pole rules the frequency
1
} Cin
1
Ps
Ris
GUARDO LA FASE di Rai
Re ①
E → cos (Im (PI)-E) I Sim (Im (pa))
SOMMA
TRA
GUARDO FASE DI R 13 è a + E → Cos (Im (PB) + E) =-Sim (Im (PB))
2
Suni E
+
Ru
a
Ps
•
SOMMA
Ho
•
~ Sin
(
② -2/Referee" sin (Imp) t)
OGNI DOF HA UNA SUA
②
Pa
✗o
✗ 10
=
✗ O'=
0
:
✗ HOM
e icist
=
Ri z
t
Rai
✗ Ham, =
→
e- just
+
R 22
Resent + Ra, e-Just
+
R 13
giusta Ray
R 23
Ray
Rasejuat,
=D
- just
e
①
DENOMINATORE SCENDE
AL SECONDO ORDINE
(con 5=52)
54=512
S'= S'
V11
✗HOM 2 =
Rascicust + Raz e- just
✗ = & O TL + ✗
° ^ FASE
OPPOSIZIONE
CALCOLO
✗ HOM
C-O
DEI MODES
Raz escort, Ray e- just
411
421
DALLA EQUAZIONE DEL MOTO:
coscust + a) +
✗ aims --wifi: cos (art + a)
421
422
91 (t)
MODAL
K V1-Mai Us-0
CUI M Us = KU,
Svolgo equazione dell'lig. problem
• Ust
(un
= V1,
??:)-va
W? VIRTU, = VIRTU,
⇒
1
2
TRASFORM_
MEMBRO A MEMBRO
1
faccio stesso
VICE M Va = UT HU,
con mode 22
• Ust
→
M (U, q, + V, 92)
Pu =-jus
INIT. COND)
(DIPENDE DA
QUINDI OSCILLAZIONE È
SINCRONA IN FASE O IN
OPPOSIZIONE DI FASE
MODE VIB. IT
1:
cos (art +B)
"1) cos (cit + a) = o
412 I;) cos (wit + a) + K V21
UN
a) = O
È EIGENVALUE
Un
TRIVIAL SOLUTION è
(YY,
NON TRIVIAL SOLUTION:
cos (ait +
=
o
OTTENGO
so che
* se sostituisco
cus
[H-Ma]
SONO SICURAMENTE #
PER
KUIWIMU,-0 → COMU, = KU, → GI UIM Us = VIK V1
MODAL MASS
DIVIDO PER LA MODA MASS
poi trovo
Un
UZI
PERCIO'
trovo gli
EIGENVECTORS
FORMANO L'EIGEN SPACES
V1
l'unica maniera è
che VI M V2
✗HOM 2 (1)
1
421
Un
costa
UT
- O
la soluzione sono
gli eigenvalues
IL] -0
VatVat-Vat KU-CUE cui) VINU)
VIM Us 91 + Virus 91 = Uif
1
↳ TMU, gi + CUI Ust M U, q, = Uif
(sistema statico)
det [K-Ma] = 0
+ K (Usgs +0292)-f → PREMOLTIPLICO
PER ORTOGONALITÀ
PROBLEM!
LO TRASCURO
è un polinomio in ci con soluzioni
che sono le freg. Naturali cuz,-cua, cua,-ma
1 TRASFORMATA
VIM Us 9's + VIN Vagi + VIKU, 92 + Utr
1 'V2 92 = Uff
Ra
Ps = jus
ORTOGONALITÀ DEGLI EIGENVECTORS È USATA PER DISACCOPPIARE le EQ. Del MOTO
Mi + Kx-f
1223
E' opposta (O LA STESSA)
K-Mai
CIU, MUI = Va KUI
CUI UMU!-VICINO a =
R 22
= O
SOST. ✗ HOM -
VINI MU, = Viru,
MA Me K SONO
→
SIMMETRICHE: MEN
RIG
Pre-jens
cos (Cust + a) +
92 (t)
COORDINATES
IN 1
TRASPONGO TUTTO E APPLICO PROPRIETÀ Di T:
, R 13
4
CHIAMO VETTORI DEI MODES Of Vibration (NATURAL MODES OF VIB.)
LA DIMENSIONE DIPENDE Dalle I. C.
DESCRIVE LA FREE OSCILLATION e ogni free vibra. è descritta da sue linear comb.
M x + KX
cos (Wat + B)
ORTOGONALITÀ DEGLI EIGENVECTORS WRT M e K
Uss
V21
+ 2 / 1223 /
OF VIBRATION
= ✗ HOMI + ✗ HOME =
V11
)
Raz
Pe = jus
MODE OF VIBRATION I
cos (Cust + arg (Ras))
B
V22
STESSO DISCORSO
E' LA STESSA FUNZIONE
2 /Rza/ cos (cost + arghras))
Rip
Rai
Ray e-just
✗
2/Real CI cos (cost + argass)) + 2112231 cos (Cust + arg (Rss))
+
② LE ROOTS SONO
PURAMENTE IMMAGINARIE
NUMERATORE
AL TERZO ORDINE
V12
V21 ←
LA FASE DEI RESIDUI
py
(MS + C) Xo + Ma'] = Mst K] [Msx.]
-1
Rin
2/1223/ e REPS) tsin (Im (pg))
Rai
C= 0
= [MSHCs.tk].
✗ HOMO G
FREQUENCY (411 'DOF, 02 2° DO F)
123
HOMOGENEA
ASSUMO ASSENZA DI DAMPING: C-O
In (a) t)
(
COME
PRIMA:
solo che
ora ho 2 ☐ in
21122,/ e REC.PH Sim (Im (p 1)t)
1
Ras/e Real tsin
1 10
Sinf..)
= THOM 2
2
①②
gli argomenti arg (Rza), org (Ras) a-E ⇒ APPROSSIMO CON
Im
P}
•
✗HOMI
2
:è a
= HOMI
+
✗HOMS (1)
DIVIDO PER MODAL MASS:
9'i + wig, = VINU
1
Vita
gi + wigs =
1
VINU
vita
MODAL COMPONENT OF F
PROIEZIONE DELLE FORZE
ESTERNE:
azione di forza su
coordinate modali
C A S O
S TU D IO
1
✗
M a
K 2
F R A H M E R
s te a d y
2
C 2
E
A B S O R B E R
f a = M
M I
M a
✗ 1
M a
e ( s )
6
=
=
2 1 ( s )
=
r
X I
=
1 - C
ix i
+ K 2 ( + 2- 4 2 )
K 2 ( × 1 - ✗ 2 )
M
I
c o n i
C = o
DE G LI
- K IX
L a p la c e :
G
A S S U M O
G
Z E R I N E LL A T R A S F E R
F U N C T I O N )
L O S TE A D Y
r e s p o n s e o f t h e s y s te m ? m a S E V O G LI O
s t a te
M a x 's
s im ( c u t )
( R U O L O
+
s i t
(
- -
( 4 ° G RA D O )
d e l l a
s
+
K
f o r m
P U R A M E N TE
a
5 1 ,2
IN F R E Q R E S P F U N Z I O N I
S O N O
•
" ( i n
)
=
M
q u a n d o
• q u a n d o
f u n z i o n e è
f u n z io n e è
•
• q u a n d o
(C i o è
•
R E A L I
j
X K
=
w z
è
z
W
Pre s o n a n t
x k
6 2 1 ( in ) =
po s iti v a
n e g a t iv a
in p u t e
in p u t e
m
a
A B S O R B E R
( c o n o s cen d o l a
f a . d ella
S IS T E M A
s e a u m
e n to
cu p s
cu z
CU Z
A U M E N TO
N e d M
D O F
L 'A M P IE
C U PI
c u p a
A U M E N TO K e d
Z Z A
D E L L A
e
T
=
a
z =
R IM A N E
P iù A U M E N T O
R E S P O N S E
È
( L O Z E R O )
ci ò
K
l
M I
2
J
12
.
→
M IL L I N G
M A C H IN E
L ' O S C I L L A Z IO N E
l a
f req . r e s p on se
R E S PO N S E
G C S ) =
M
e
=
p
-
S IS T EM A
- 1
M
K X A L
F U N C T . T R A
F O R Z A
d e n o m
e s p r im
O p c ( ja )
o n o
i n a to r e
l e
in
F A S E
y ( s )
+
e d M ,
P I A T TA
N
y
p e r
( S )
=
d i
4
f r e q u
e n
c i e s
d e l
e f fett o d i
S u
c u e
✗ (t )
✗ a , ✗ a
u s o
c a l c o l a r e
a n
d i s p l a
c o m e
c a m
c e m
e n
b ia n o
Z zz - 1 M
c h
t
e
G
z e r i
( G )
PC S )
7 = - 0 .1
p .
4
s u
?
i l
E
S E
E
o
il
P O L O
L O
è
z a - p a
in
w
Z E R O
= 2
,
M
=
L A
s
a
G
@
F R E Q
+ y
IL
.
M
1
D O F
☒
i
→
f a "
E N E R G IA
i n
M a
→
P O
T E N
- m i-
1
Z
( K
) ✗
d is p l a c e m
7 3
IA
L E
→
P O S S O
p u
⇒
E L A S T I C
-
V E D E R L O
T IA L
W IT H
R
B Y
IX ( K
IT Y M A
A N
O
A D
E N E R
/I
C H E
M A S S E
EN E R G Y
2 Q U A D
M E A N S
)
A N D
TR IX ( 2
G Y
:
M
A =
9
O F
LI B R .
:
y -
+ 4
co s ( co t t a ) ( K
- W
I M
cu s
in
CA N
R A TIC
O F
D IS P L A C .
) A N D F O R C E
D O V E
V
F i = E
.
E
È , × :(
n
q
✗
( &
✗
D i s p la c e m
R E C IP R O C I T Y
=
K
t i
i l
+
en t
S U L G D L i
E S TR A G G O
M i = a t , = [ a
E N E R G IA
P O T E N Z IA L E
S U G D L i
L O A D
E N E R G IA
f u n z io n e
1
V
)
=
E
F I
=
F i
O r i
M i
a F i =
O
F
i -F i
2 1
d e l la a
i
C O L O N N A
E
✗ ( s ) -
✗ +
4
× ; =
O
E
F it
v i
i i
9 12
. F i
:•
.
A QA
l 3 ul 1
9
0 1 2 2
@
→
9 32
O F i =
E
F I
n i =
E
a
M
I
d e ca d er e
1
It
F O R Z E
N O N
f ly )
Q U A D R A TIC
d o ve
y
è
F O R M
: po sso
,
n ei
la
f a r e in
v e t to r e
U t m
+ g ra n d i so n o
m
( j a ) /è
f l a t
n ei
a
a
è
_
E ' P O S . D E F . Q U A N D O
U N C O M P O R T A M E N TO
O S C IL LA T O R I O
M
→
c
È
i)
E
=
y
r it
+
K y -
2 k
H E S S IA N
P O S IT IV A
S E M
4 : ) - 0
0
p iù
d i
l a
c u z
n u m e r o d i
]
0
)
→
y
- K / L -l )
- K ( L l )
U n
=
K A T E - l l
c o s ( c it
4 2 1
✗ A
D I L IB
d et / K
u n a M A T R . c o n
D À
LA
E q
. ..
= U n - E
P O S S O
S P O S T A M
2 ° M A N IE R A
) - 0
→
a
IN P U T
⇒
U n =
U n - E ..
C H E H O
PU N TI C H E
FO R C E
O U T P U T
✗ c o
,
→
P C
D
ID E F IN IT A
s o l u z io n e
1
al l a
= / G l io
) /w
^
N e
G L I
L N
-
X c
9
_
1
B
)
c
✗ c
N 2
N O D I
→
N O N S I M U O V O N O .-
c a l c o lo
L u i = f à ,
Po c o s c u t
=
✗ ( C t ) =
X C O
c o s ( c i t + f )
= .
@
G P A ( ja ) . P l ic o )
( s )
=
✗
( ja
z a
y
z )
- E
d a
✗ ( s ) + R Q
( j a
z )
✗ A o
)
G
( s )
Q
=
G
z (5) P
: N O N
È
U N
è
N O D O
DE L M O D E
1
( K )
❤
*
K
- 1 . F
✗ d x
E
.
→
=
E
s - P
=
K
ix
°
- t →
K
K X ? =
x
; =
=
- 1 2
:
F L E X I B IL
M A T R IX
E
0
d
j;
in
,
L È
=
LA F O R Z A
f l y ) >
S E
f r e q = o
o
I
IT Y
s - B
f - P a)
) ( s - P I )
p o l e is c a n c e l l e d
w ith z e ro ...
→
1 1
-
2 1
3 1
:
D IS T O R S I O N E
( D IS P L A C E M E N T
C H E
:
K
[
i,
K
2
K a ,
E X TK X
, X i F i-
È
s u f i
( r e tt o r e )
y # 0
f l y ) 2 0
E S :
K i 3
K 2 2
K Z /K
:
Q U E S T O È G R A F IC O C O N
F R E Q . R E S P . F U N C T IO N
C O M P LE S S A
M A S S A 1
S PO S T O
F
F L E X IB IL IT Y
M A T R IX
1 1
F 1
3 2
:
K 2 3
K
-÷
"
.­
/
2 1
3 3 ..
:
:
12
•
☐
✗
×
2 2
3 2
.
3 1
.}
×
2
×
E S TRA G G O
F O R Z A E L A S T IC A
¥ CO LO N N A
. . .
3
.-
3
-
3
•
D I
.
D IS P L A C E M E N T
Q U A D R A T IC F O R M
¥ " .d
✓ n o i =
F :
is f i
! a i F i
IN
S W
I T I A L
A P O ID u e
F j O ji F i
¥
e
S E
v a l o re
T =
f l y ) - 0
g e
= I
2
F " O F
# F
CA SE
1
c a s i :
=
. d i j F . + 1 2 ; ; -F i
J
F IN A L C A S E
+
V =
F id
M O T IO N
E
X T
c o n
M
G a j; -F i
i; F i
s e
+ F ij
=
2
i F it
d ii - d
O F S I S T .
e
n o n
K
S IM M E T .
S IM M .
ij
C
2 +
E d
C I
it t i?
2
-
D E VE E S S E R E
S IM M E T R I C A
x
y - 0
M
.. . 0 )
V
p e n so
I
l
t ta r e
E
1 = 1 1 )"
(c o n K N ON
S IN G O L A R E
:
•
/
⇒
2
F- 1 3
a
. . .
F O R M
( o p p u r e
" 1
u n
R I G ID
C H E
( S - P ax )
S E
A L LO R A
F g?
c o n
C H E È
1
I
d a j F j
:
D ; F j
:
v e l o c i t à
P o
S H A P E ._
F x
I n ; F j
È
i
A
A pp lic o
D is p l a c e m e n t u n i t a r i o A
M I
R I S U L T A C H E
C m a
s t o
a pp l ic a n d o f o r z e a ll e a l tr e
m a s se
p e r
F A R
R I M A N E R E
F E R M O
IL S I S T E M A ! ( x k ✗ 2 , ✗ 3 . . . = 0 )
F- 1 1
Q U A D R A T I C
F M O R O Z EN N A
F a
E
-
•
F o rz a
2
/a n n
( 5 - Z 1*
2)
a)
p e n is
CA N C E D
K is
✗ 2 1
4 3 1
:
--
0
D O V E
V i =
R IG H E
( ja
D E L L 'O S C . IN
E L A S T I C A :
F A = K . X A
G U A L I
A
G x , G a
Q U E L L O
;
. F
i, F ,
G p a
P O S S O C A L C O L A R N E
( s )
( S - P
=
f o r z a c h e p r o d u c e s p . d i 1
A l l a
F O R Z A C H E M A N TI E N E M A S S A 2 A
☐
0
=
E
A M P I E Z Z A T O T A LE
l o g i co )
=
f
V = O F > = D
S TO E S TR A E N D O
LA
S E
"
B
2 ° M O D O
2
) =
O S C I L L A T IO N
N
M A T R I X
f- =
l a se c o n d a r ig a è
2 T
l i n . c o m b . d e l l a p r im a
C A L C O L A R E
E N T I .. .
V E D O
C IO È
C i
c os ( w a t e r )
4 2 2
4 2
- c o m
d e t t o
P E
9
1 0 M O D O
= X -
✗ B
X c
7 2
+ a ) + "
P
=
9 1
o tte n g o
N E A N C H E
C U I , C O M E
d
e
i l S y s te m a a v r à
u n m o d o d i li b
c o n
r es o n a n c e
+
;
t o ) - 0
D I L IB
( d i s ta n
È
D E F IN IT A
a
ch e
C U Z Z
A L
%
, E X IF
=
L O A D
p o s it i v a
H O
o d o
a , k a ,
p res s i
en to il
Z I
0
O
?
S R P IO G S H T E A M E N O
F i?
M
N o n t r iv i a l s o l u ti o n :
I M ]
E S TR A G G O
v e t to r e
F O R Z A
L U N G O
B IL A N C I A
X j
N
N
[
i d o f o n m
E
E
b
" K
=
V 2
u
m
pres s i d e l l a
G ( j a ) / è
n
a
*
d }
u :
= E
V O L U T E
s
F a
C IN E T I C A
Do le
7
en to
I P O L I D i G a z ( s ) R IM A N G O N O
U
C A M B IA
S O N O
G L I Z E R I
S - Z
R O O T S E Z E R I ( S E M P L IF IC O ) :
D IV E N T A N O
❤
, V i =
B I R I L L I ,c a ri d i N a t e
F i
=
a g e n te s u m
1
S T . S TA TE
M e ( 6 2 , ( j a ) )
c o s ì C A L C O L O
M I
✗ z ( s )
E S IS T E R À + . . .
L ' A S I N T O T O IN
c u z
it
m
s o s t .
M
4 4 : / c o s c
[ K - W
s h a f t
9
( J W )
j - 1
E ST RA G G O
1 3
2 3
@ 3 3
d a f a r
a r e
è
H O
Z E R I
l o g a r i tm o
: O
È
F i n
⇒
e l i m in
N O N
←
9
= O
2 ° G R A D O
M O D O
d e l l a
ij × .
N E
T H E O R E M
9
=
C I
a
]
s i m u o v e il 1 ° G R A D O
r u o ta
→
F i
S E IL
S I S TE M A È Co n s e r v a t iv o
A V R O - A L C U N E P R O PR I E T À
p e r
cu p a
S e a n
- f ) q
G P A ( s ) . P C S )
☐
( 3 )
✓
j-1
c u z
9
I l M O D O
4 11
n °
D IS P L A C E M E N T
F
:
co n
freg . cu z
K - F x
IN G E N E R A L E
N E L S IS T E M A
o s c il la
= FR E Q
o
F I N A LE )
C u p ,
M I
× - E
=
V A L O R E D E I P O L I
Q U IN D I W I n o n
:
/
P e r
s ia
:
M A
D A R IO
2 DO T ,
'2 Z E R I
È
e l o c it à
=
V a l e
✗
+ a )
( s )
✗ z =
C O M E
✓
è t a l e
C io 'N o n
D O F
IL
N
M A X W E L L
a
v a l o r e
e d
W
: / c o s ( a t
=
× )
\
PO T E N
S SE D
IT H E
M A TR
X IB IL
+
e n t
P O T .
D A
( D IS P L A C E M E N T
S T I C
S P R E
M S ( E
N E S S
F LE
v
*
c u p s
c iò
✗
F
( C O O R D IN A T A
E L A
B E E
F O R
S T IF
A N D
-
w
M O D E S
a c c e l er a z o
c o n si d e ro
F e l
=
Cu z
( s )
X - E
N E A N C H E
N O N A V
p
S
A
G
G
I
O
D I
PE R R E R O
X K A N C H E L O O è CA N CE L ED
M 3
3
f a
à
S E C O N D O
P
X A -
A S IN T O TO
Q U I NO N
V IE N E
c a n c e l l a to
( Z E R O )
S Y S T E M
- m i
P
G
D X
f reg . d i m
A M P IE Z Z A
D I
F O R Z A CO N
A N G U L A R F R E Q
F U N C T IO N
( A S IN T O T O )
X 2
M A G N .
B O D E !
K
✗ a
1
g
D C S ) n o n C a m b ia : Q U E L L O
C H E C A M B IA è N ( s )
P O L I- Z E R I ( I = P , o 2 , = P 2 )
P E R D O
. R E S P O N S E
6 12 , 6 2 1
:
S P O S T A M E N TO
7
f re q . d el la f . e s te r n a
M I D I C E D I Q U A N T O C A M B I A IL 1 ° G D L
R IS P E T T O A L S E C O N D O
( 1 ° M A N IE R A )
( s ) po , :
. t .g g
S U
s o c h e
S E
S IS T E
S E C O N
H A
A V R O
s e M t t
g li Z E R I D E LLA
A
l a
✗ - ¥
d i q u a n t o
z a = P a
C U Z
l a
✗ A
d i q u a n to
(t )
( s ) ,
G
✗ 1
M
l s ) )
a g l i a l t r i
✗
e
u t il iz z a r e
S e s o ch e
4 11 1
G
S T O M U O VE N D O
C U Z IN C U I
A S X
S I F O N D E C O N
M U L T IP L E
I n
a
in
Z = P O LO 1
e
-
I s in
I M
U 2 ,
M o l in o )
q u a n d
M E T O D O :
×
=
d e
✗ z =
cu p a
e d
+
Y I ,/
d i E P IS)
=
( S )
c c e
y
p o s s o
F I S I C A M E N T E
IL P U N T O
D ' IN T E R E S S E
S T A
F E R M O
C O I N V O L T O N E L O S C I L L A Z IO N E : M C H E F A S E M P L IF I C A R E
O
Z a , - 1 1]
( s )
S P O S T A M E N T O
✗ 2
F 1
→
s in g
✗
- W
( s )
c o s a s u c ce d e :
Q U A N D O
X
M t + +
2 1 ,2 - - 0
⇒
e f fe tto d i L /2 .P is)
s u q
Q
v a r io
7
N tt
K
× - E
a
s u
S U
Cu p a
M 3
C U P I
A U M E N T O
IM A G I N A R Y )
e f f e tto
✗
⇒
s e
s is t e m
¥
f o r ze ) ,
fer m a
u p s
s o s ti t u e n d o
R O T A Z IO N E
×
e ff e tt o d i
s u q
c o s a
✗
P U R E
P C S )
p e r v ed e re
d i
g l i
N O
µ = ..
c u z
O
( co n r o o t
c o n f a g c u z h o d i s p l a c e m e n t ✗ e F E R M O
( E L O Z E R O DE LLA T R A N S F , F U N C TI O N )
s i p u ò
c u z
Cu z
d iF A S E
(
s u
n e l l a s te a d y s t a t e
7
✗ ( ( f ) =
=
( S )
-
6 2 , 6 22
T R A N S F . F U N C TI O N
E F F E T T O D I
Cu z
9
P l s )
✗ (t )
G R A D O
C u z
ti
✗ a s ta
L A F R E Q .
P r e s s i d i C u z
T R O V A RE LA S TE A D Y
S P O S T A M E N TO
s a r à
s o l o
✗ B ( t ) = × - ( E - e ) s in g
×
Y ( s )
C O L L O C A T E D
!
im m a g i n a r i e
" s )
F a
IG
N e d M
E P
D O F
/
G ia ( j e u )
t e :
✗ A C ) =
o p p o s iz i o n e
{
E
D a
CU P I
I
+
D I
e
P iù
N E I
X B
X B C E . e e)
E F F E T T O
1 2
T R A S C U R A B I LE
c o n
P u ra m e n t e
I .C )
re s o n a n c e
I
e i p u n
K
v o g l i o
o
e s s e r e u s a ta
C u z
n
-
K
r o o t
G CS ) =
M
↳
p u ò
5 2
K
è
6
( a n c h e a p p l ic a n d o
a
S H A F T
D E L
C - a )
f ,
N A T U R A L
( S E N Z A
s u o
K Y A
G
T R A N S F . F U N C TI O N S
K 2
M a
A U M E N TO
-
ia
6 12
K I M
K
C O N F . E Q U IL IB R I O
f u n c ti o n
:
s ' +
T R A N S F .
i l
+
d a m p i n g , q u i n d i o g n i t .f i h a
E
è
g
è
c o n c a v it à
=
6 2 2
U G U A LE
cu p s
K a
D - 1 ( s) . F ( s) = G c s ) F c s) =
t r a n s f e r e n c e t r a
F O R Z A F I ( S ) : E F F E T T O D I F I
16 2 1 )
:
- K a
✗ 2
a
-_
È
f r e q u en z e d i r is o n a n z a
c o n t a l e
o l t e p l i c i tà a l l e r o o t d e l d e n o m i n a to r e
16
c o s ta n
A
f a s e
a
f e r m o
F O S S E
F
K 2 , M
K I =
m y
W
m a n t e n e n d o c in a i l
R A P P O R T O C O S T A N TE
D I S T U D IO
S T A TE
d i
c a n 'è p o co , m
S E
K a t K a -K a
)
2
= D
C 2
È
c i
F A S E
o p p o s iz io n e
11
C U I
- C ,
2
CO N S I D E R O
li
lu p i
( W p ?- a
IN
p in g
c o n
- C 2
+
K
A U TO B IL A N C I A M E N TO
IN T E R N O
D E LLE F O R Z E
X
M A
M
a c c a d e ch e l a
d a m
I
K e d M
C H E
c o m p l es s e )
( p i - a )
i l r a p p o r to
w
V IB R A Z IO N E A U M E N T A R I S P E T T O A I D O F
↳
PO S S O C O R R E G G E R E
C O N L A /G a i ( j w ) /
G
N O N LE
C a t C 2
G li/ ja )
S O N O
il
K , M
CU P I
K
( = )
S Y S TE M
Z
s a re b b e r o
M1
D I PR I M A :
K I
m a
c 'È
W
p r o d o t ta
M A N T E N E N D O
I
C H E
( D A T O
f o r z a es te r n a )
•
✗
=
N O N
M A G I N A R I
O S C I L LE R E B B E
F o r z a d i r e a z io n e
D A L S IS T E M A
2
Ch i
N o n
( D A TO
F r e q . O F M A IN
i l s is t e m a m i ( G it ( j a ) ) r i m a n e
c o n
a m p ie z z a
*
•
C A S O
j
O U TP U T
o u tp u t
s e n o n c 'è
d i T E M P O .. .
P e r la Q u a l e
o s c il l a z i o n e
f a (t ) =
T U N IN G
T H E
①
M A N IE R A
s e
IM
( in g e n e r a l e
)
%
M a
✗ ( s )
c u p a
2 2 = -
0
la f r e q u e n z a a l l a Q u a le
q u e s to
2
F- ( s )
h o u n
A S IN T O T O V E R T I C A L E v u o l d i r e c h e s t o a v e n d o l e
s t o a c q u i s ta n d o m
l ' a m p i e z z a d iv e r g e
c o n
il
t e m p o )
• c u z è
l a f r e e .
H o u n a pic c o l a
C O N
=
C u z?
d a n n o d i v i s ta
p r a ti c o , a n c h e
i l t r a n s it o r i o
d o p o
u n PE R IO D O
↳
✗ ( s )
IT I A L
0
0
IM M A G I N A R I
P U R A M E N TE
W
C
W E - C U ?
( a p i - 0 2 ) ( co p i a
I
2 2 ,2
Z , =
]
L E C O N D . IN
✓
C 2 ( X a - × 2)
5 3 ,4 = 1 )
( 2 ° G R A D O )
f e l t )
I
A B SO R B E R
C O L L O C A TE D
D E N O M I N A T O R E : PO L I S i, 5 2 , 5 3 ,5 4
Z E R I
M
c on i
.
N U M E R A T O RE :
+ C 2 ( X I - X I ) +
S T A T E
FR A H M
a u n
s y s te m
h o
n e s s u n a
d o v e
g
è
= L
P O S IT -D E F I N I T A
E D
✗ T K
ID E F IN IT A = D K
D O VE ?
= [ y i .u a ... y n ]
✗
.p l i c o u n a
e n e r g ia
im
m
è
P O S . S E M
f o r z a
y
a g a z z in a t a
A N C H E T
ITERATIVE
EIGENVALUE PROBLEM: SOLUTIONS: approssimazioni matematiche per trovare MODAL SHAPES e FREQUENCIES (LINEAR SYSTEM)
→ sostituisco → -WMU sin/Watty ) + KU cos (otto) = O
soluzione è
✗ =/Ui) cos (Wat + a) + Sua] cos (art + B) +.
(da mi + Kx-0)
OGNI MODO
MODE 2
MODEL
ALTRI DOF
FREQUENCY
ASSUMO CHE:
I NEO-MOTION
MODE OF
→ -WMV + KU = 0
MU = E, KU → 7 = La PER OGNI MODO
→ K-IMU =) U USUAL FORMULA → 1 D Ur = ar Ur VIBRATION • OGNI MODE
ABBIAM =L
M = 1,... number of
DOF
2
(NO MODES CON
OBIETTIVO: TROVARE W, e V1 (fondamentale mode con cus è il MOST DANGEROUS)
[
DYNAMIC MATRIX:
LA STESSA FREQ)
con 1 ORDINE DECRESCENTE
FIRST guess
so che
TENTATIVE VECTOR
3
Us, Us... Un sono ortogonali (basi dell'auto spazio
con dimensione modi DOF)
V1
42 + ---+ Cn
Va = Du, = CI Dug + C2 Dua... Cm Dum = CIA, u, + Caazuat... + Cm In Un = 71 (C1 4, + C2
÷
÷
SCALE FACTOR
In Un
NEW V2
11 V1
72 V2
E' ciò che
&
4
ESSENDO IL PIÙ GRANDE
E GLI ALTRI SEMPRE + piccoli →
↳ =D Va = GDV, + C2 1) va +... + Cm AID un "FLARE
11 112
7141
In Un
5
= Is
Up = Dup., =
6
(1 Us + C2
11
±
D cava
=
E)'un
CI 11 Us
~
8. 1
NORMALI 770
0.2
OTTENGO LA NUOVA
REITERO:
9
V1 (che ho già)
= 11 Up
Da V =
in modo che
D → Da →
In
11
→
DEVO TOGLIERE LE INFO DI
☐ che si riferiscono al 1° MODO
CANCELLO IL SUO EIGENVECTOR E IL SUO
EIGEN SPACE CHE GENERA
REYLEIGH
COMERGO A 72 e V2... etc
O, XK MODES
Mi + Kx = 0
WIM UEKI dove di = cu?
(con
(272 V2 t... + Cm In Un
1.
U, Un SONO ORTOGONALI
UTM Vi = 1
l
2. UiTM Uj = O (ORTOGONALI TY DEI MODI RISP A M :
3. VITKU; = O (ORTOGONALITÀ DEI MODI RISP. A K )
4.
di Mui-Kui
cui CRESCENTE) →
WFMU i = Kui → × Vit → Cui UT Mui = VIK
ASSUMO CHE:
Cui"=
ENERGIA POTENZIALE Elastica Associata A V DISPLACEMENT: 1 VTK V = 12
✗ tutti i modi
2
= 12 (a cui + (a cui +... + Cn cui]
TUTTI I CROSS PRODUCT es:
2
UTM V
CI VIK C2 V2,..., Comuni K Cn Un
SIELIDONO = 0]
DOVE IL SUO
GRADIENTE È =D
→
Cioe'
Se
R (X) = 0 → Se
se ✗ 1... Xm-0
⇒
CIOÈ:
C2, C}... Cm =D
→ cioe' quando
ma possono esserci altri punti stazionari (guardo Hessiana)
HESSIAN REX) / ×,, ×,,...im =
→ se
quando VE ALLINEATO CON
V1
APPLICAZIONE
con ME + Kx-0
Ci Viso
DIMOSTRO CHE
C- a MTB K
→
UTC U è DI AG.
→ U'C
q + @Ia + Br)
à
+ Iq = Utf =D equazione di 1 DOF MODAL OSCILLATOR
23 CUI MODAL DUMPING
CONTINUOUS
SYSTEMS
FORCE f (x,t)
BAR
A(x)
dx
DX
considero
un pesto :
MIAMI...
✗s
in =
STRESS
u uau
÷
Un
VEDO CHE ASSOMIGLIANO
ALE Ea. DI UN OSCILLATORE
È + In × = 0
m E + Kx-O
U" + Gu = o
t" +
U e T:
Il = I + kit
= Unam + U PARA =
cos (Ex) +
Urdu-u -du
DX
dx
con K= 0... M
OTTENGO W=
W =
(E + AT) E
ah
✗
azz 'd
FORCED VIBRATION
t
TOGLIENDO f POSSO DIVIDERE
per A OTENENDO LA ED. Di
← aI-37
con C = È
SPEED OF
SOUND NEL
MATERIALE
9
Te ¥, = te
à
, 3. e
3
4
cursinlho
-DA-0,
=D A ⇒
da D=..
B-0 (TRIVIAL)
E COS (EX)
K TL
= O
✗ =L
FULL SOLUTION:
e
ASSUMO
Us
Bn
→ Efim (WI)/Gas (cont) + Dsm (cont)]
n
CON LE CONDIZIONI
114
214
di periodo
EAU (lit) = Pear = Press,
d.×
Ma
da u (at) = O
ulx.tt-È UnG) TH) = Bn Sim (WI) (Goa (cont) + Isin (cont)]
INIZIALI
SFRUTTO
00
u (no) = Eosincun E) • Cm
l,
ORTOGONALITÀ DELLE HARMONIC F.
.
(n =...
314
li (Xo) = % sin (con E) . cum Dn Dm =...
ò
↳ SONO FOURIER SERIES EXPANSIONS
EAU'(Lt) =-M. U "(lit)
4,1ft) = GB cos (alce) (cos (cit) + Ds in/at)]
NATURAL FREQUENCIES:
U/o,E) = 0
.
EA?È + 7=912;
¥ l = I +
ze (1+24)
Picco
Vo
→
11C
Basin (Eax)./Cacao (Iet) + Disinfect
ES 2)
✗
→ TROVO USANDO LE BOUNDARY COND.
U (lit) = A cos (Ex) + B sin (WRX)]/(cos (wax) + Dsm (w/(X))-0 →
2 l
Curo in l ho 14 di periodo
7
IN QUESTO CASO AVRO ì
1
3 TIC
ACCEL.
LEASE)
aI (EASE) a ✗ + fax =p Ad
general soluzione
→
MASSA
X:
è cuz COME NELLE EQ. PRECEDENTI
a = 24T
VOLUME
SX
¥ locazione è che
siano costanti uguali
B Sin (G ×)
Id
+ (t) = Than + Tarr = C cos (cit) + Dain (aut) → TROVO USANDO LE INITIAL COND.
→ Basin (Ex)./Gas (Iet) + D. sin (Iet)]
PERIODO È
con UK-1 =
A
OF THE SYSTEM!
= IL
FORCE
A DX
. DYfj-1.IT/t)
(x)
DE = CONST. modo ✗ cui
V
TH)
le due og. possono
essere = K tempo e
cioè
Id
FREE VIBRATION
no/0, t) = B sin (Wax). [C cos (w/e ×) + Dsm (wax)]
☑KO
SU
V'KU q = Ut
FORZA
dp =?_? di =
STRETCHO
1
II. -T-COST-0
po 4/0,4=0 / PEA Gell,t)-o →
ES 1)
con
d.
0
O = E 2
2×
YOUNG
MODULO
g. +
?
+ Fhd" = PA dx. Fu dx
FORCE
INFINITESIMA
at
perché l'unico
dove
U (x)
62 t-o
(risolvo EQ. DIFFERENZIALI)
MODES SHAPE
E
Mi
AXIAL AXIAL
PadP P
✗ come fossero?
OTTENGO COSI DUE
EQUAZIONI PER
da#
A
quanto
dà -G.COST-0
ho un - alpostodel +
Quindi la costante deve
AVERE SEGNO -
COST = In =-CU?
AREA
ELA SOSTITUISCO ALLA FREE VIBR.
SCRILENDO COME:
E In = CO2, ALLORA
E
alx.tl = [Un (x). Tct) = Vex) TA)
DIPENDENTI DAL TEMPO EDANO SPARO OTTENGO: <2
SE DEVO AVERE UN +
FORZA
STRAIN
2€
UUP)
UTM U q + (✗ Id +
Id
Id
SO CHE
D= OH = EASY
DX
POSSO IMMAGINARE DI
coolest + e + ... AVERE INFINITI DOI:
ETC). OGIE V. IT"
TERMINI
O=
l
T
SPOSTANDO I
materiale
è Distorto (internamente)
e la slice si muove
fa, ×) dx
-
ba gi + WI ba 92 = Usi 1
:
:
:
:
:
bn gin + curi bn qu = Un'7
WI O... o
R =
cin
ò
Id
MANCA DA
DIMOSTRARE
CHE ANCHE
UTC U LO È
STRESS ASSIALE
p
/
DISPLACEMENT
RICORDANDO CHE CON MULTIPLI DOF HO EO.
fun
l
→ gi + 23 cui g.i + cui? q; = Uitf
AXIAL FORCE
Pt di
fondamentale
R (V) = CUI
CUI VI MUIGI = Utf
U'MU = Identity (1) → UTC U = ✗ Id + U'KUB
a UMU + BUT KU → NORMALI 220 TALE CHE
frequenza
Civi> o
, ma
UTM Ugt UCU gi + U'KU 9 = Utf
SONO TUTE DIAGONALI !
à
X'= U
Xn
\2
✓ = CI V1
posso DISACOPPIAREEQ. OF MOTION → COORD. MODALI:L" MUI GI +
MODAL MATRIX
(E)
Cui è il → autovalori
di - (%:) > 1, XK
+ PICCOLO
→ HESSIANA E' POSITIVA DEFINITA → RIV) E' AL MINIMO :
cui = Chi?-a)
→
×, = X, = Xm = 0
OGNI GDL è indipendente dagli altri nell'equazioni nodali
(xk ogni coordinata MODALE gi è INDIPENDENTE DALLE ALTRE)
Voglio ESTENDERE CIÒ ANCHE A:
u
MI + (x + Kx = f­
- INTRODUCO
1:)
2
2
E' STAZIONARIO ✗ QUALE V?
CALCOLO
WE
VTMV = (causa cavata.._+ anni) M (GU, + Cavat---+ Chun) = CIUTMU, + CI UTM va +... + Cri Un'Mun
2
cum
E
1... +
1 +
CI w? + CI cui +... + Cri curi
C 2
È
= cui i + tirà... + Xian
Cus
1 CUI
Cm
it ✗ [+... + Xp
ci + Ci + ... + Cnr
eì
1+ ⇐
+...
+
CI
(cs '
VTK V
IL QUOZIENTE Di REYLIGHÉRCU)
=L
cui
(aut + Cavit---+ cn Un' ) K (cava + cava +.. + Cn un) = CI usi KU at EVEN Ua +..- + Chuntkun
ENERGIA CINETICA ASSOCIATA A V DISPLACEMENT: (¥ MODO): E JIM È; → duldt = -cui vi cos (witty)-12W? UIMU;
1 cui' ✓ TMV →
VIK Vi
da:
FIRST GUESS: TENTATIVE VECTOR V = CIU, + C2 V2 +... + Cn Un
per tutti i modi:
V2 t... + Cm In Un
-.
QUOTIENT comincio da eigenvalue problem
SUBST.
Dava = Cad
10
#A1- U,
EIGEN SPAZIO
DI Us
V3
V2
Va
ci = ha
1, = Upea
up
VIM V1 = 1
V2 NEW
o
LIMITS...
= CaduateaDuat... +Cnd un - da Ustus Masua- Javi varcava_... _da Ustus Man Un
In Un
71
SONO DEFLESSI
1
Da = D - A1 U, VIM
12 Va
-
SCALE FACTOR
<
CI Da 41 + Cadeva +... + Cm Da Un = (D- Da Ustus M) (Cau, + Cava +... + Cn un)
1
Asu1
un)
Limite è che per il PRIMO modo 12, Us è robusto
ma da modo 2 in poi
l'errore dipende dalla
ACCURATEZZA DELLO STED Precedente
POTREBBE NON Avvenire LA CANCELLAZIONE A
11 CI V1 E 11 VIEW
UP NEW
La matrice (D) Dynamic ha contributi del 1° modo (1° modo gia lo so!) →
8
II,...
→ (7)?-(7)'sono
ancora
+ DEFLESSI
causa ca 7)""U2 +... + confà)""un
✓ per =D upon =
7
"U2 +... + Cm
• W, <W,---<Un
CRESCENTE
ESPRIMO V1 COME LINEAR
= Cally + Calla + - .. + Cn Un COMBINATION
OF EIGENVECTORS
P + Mia = 0
at?
d. ×
CON
n''(lit) = Basin (Ee)/-cocco@t)-a-Ds in (cit)]
MASSA BAR
di
EA E B) cos (a/ce) ((costui) + Dsintwt)] =-M B sin (Ee)-ci/C cos tut) + Ds in (cit)]
m
fan (Ge) = EA → tg (a) = E A l = EAlf
EA cos (u/ce) = WM Sim (Ge)
WMC
MAC? MA E ⇒ M
OTTENGO:
MASS RATIO
con a- Il 9 → W = &, CE
✗ I = NIC
NOTO CHE:
→
p
a.tg (a) = E B
→ tanta) =P E
9
M
METTO ASSIEME
LE DUE EQUAZIONI
p
SE CONSIDERO ✗1=0
allora avrò
Cus-0, C- 00
con l'approssimazione
tanta) =L
All = E FAC
EFFETTI
µ = FA
e
>a
22
✗1142
e
dove e#è
atona =P
seno
REYLEIGH'S METHO
FOR CONTINUOUS SYSTEM:
R (v) = ✓Vi+ py,
KU
WI quando è minimo (a ✓ Max = LUI K V1
I
u e
stremata di dm
u
a + dm
EN. CINETICA
→ sostituisco
Tenax
= 1 /f- w UG) sin (cit))". g. C. A
TENTI AL ENERGY
VEDO BAR COME MOLLE STRETCHED
CON ELONGAZIONE du
D=
✓ MAX
✓ = EFX =L
e
HE
m → o
Pdf dx = È
D= E Ady
×, → 0
✗ 2 - TL
r
Reus) = ' "Max
KINETIC EN. →
VIM V1 = 2TMAX
TK MAX ="E
FÉ
g = l'A
m
d x = f- e Guai sin'(cit)).g. e. A
CUI
nel picco:
②
u (✗ it) = Vix) TA)-Vascon (cit)
↳ A. f. fax, so che
Liam =L
0
=
2T MAX/cui
cuì
li (x,t) = -a Ux) sin (at)
O
dx
:
"UÈ pla
di
= Tk Max
IL SENO è 1 perche guardo nel picco:
V Max (en POTENZIALE MAX)
e
→
d'=P
POT. ENERGY
PIO
Pdu = E lp da = E
→
KIN ENERGY
considero una slice generica della BARRA
mossa di
→ 0
IN STATIC CONDITION
Trax = LUI MU, • CUI
che viene
SE BAR MASS <<MASS LUMPED
m
<< M
→ B
→ ✗ = Ifp → CUI =p ⇒ Cus = EB = FF
Kevin. → cioè È COME DIRE CHE
•
--- p
=D P = E Al = Keg. Al ⇒ W,
PER PICCOLI ANGOLI →
M
E
22 = Wac .-
{&:&, a =
±
LEAHY)" dx
u (x,f) = U(x) cosa t) → du = d Uk) cosa t
a×
dx
IL REY LEIGH COEFFICIENT DIVENTA:
R (v) =
✓ MAX
Trax/cui
→
SE EA (dj)'d x
/Evince Adx
SE U (X)
è u.
ALLORA
= cui
=S
1 DOF
Fk
NEWTON
LAW
m. ☒ =
IFI-0
- Fu + R -O
→ E Fi = O →
SOLUZIONE:
(RE REAL. VINCOLARE PERNO)
JÀ + KM =
a
con @ (01=0,@'(a) =D, Giò,-0, Mlt) = t
:
R
→ soluzione in
è nella forma:
① (f) = O (f) Hom + ① C) PART
i
torque
vengono
calcolati
risp.
al
CDM
↳
Fa
=
K.TO
t
MH
Jo
> =0
c
Op = Fit
① PARTICULAR: è del tipo: Ct + D infatti, se sostituisco: Kr (Ctt D) = at →
Kracttkr? D= et +0
Kr?-a -- C-F, →
→ 04)
② HOMOGENEOUS:
Jo. È =
E Mi =
M - Fair
guardo il chaact POLINOMIO: Jo]' + KM-0
⇒
TOTAL SOLUTION:
ES 1 DOF
EULERO LAW
① (t) = A
Jo
G
EULER
R
EQUATIONS:
W=
a = fly
JOE = EM -TR
MI +7€ = -Fk
+ Kx =D
con
✗ (o) -Xo
e ✗'(o) = 0
QUANDO E' VERA LA ROLLING WITHOUT SLIPPING:
vince l'attrito
E
FATRITO
è
F
VTKU =
UTM
→
D=
E
Sol EA (Ex)'d"
Farr. = NMS
= cu, (quando è minimo)
A#)
CALCOLO IL
FIELD OF
DISPLACEMENT
.
REALE... calcolata
STIMA
PER L'ESTIMATOR
e calcolo il Reyleigh
CON
E + K TI) E
✗ (o) = 0
l'Equazione di Ux)
Quindi
FATRITO> F
SLICE
→
M
dx
+ = centro-GR
B-0
I
✗ (t) = -CON ✗o cos (cit)
Te-IX/R'
è
× o cos (at)
T = Jan?
2
E
T
µ> Juni ✗o cosa t)
Rmg
TROVO IL QUOZIENTE DI R
→
2) (M
dj -V = O
VARIABILI
--
E. E
: Wat) = W (x).TK)
è un oscillatore nel tempo:
W (O) = O
SIROTAT.
Wo)-0
☐
WIL)-O
NO TORQUE
la. è
← mom. inerzia
→ MIEI (x) 2¥ (xt)
EULER-BERNOULLI
THEOREM
E SOSTITUISCO:
2
LEI OGI aiti) + 9A(x) da
FORCED VIBRATION
24,
LA ASSUMO
UNIFORME
+ TALE-7
ORTOGONALITÀ DEI MODE
dove
CI @Patto, @Pax + egepskeyePax
→ MODE 1 : 01, Bs, Cus
-B
IB
cit(7) + at?
at
TALI = c'→
NONTRIVIAL SOLUTIONS
CL#C2, IL DET.
g'
02
SHAPES:
f
g
2 / w;"" cui =
g"
f
g
i e j:
(cos (Ax)-cash (Bx)) (sin (Bx)-sink (Bx)
E sink (Bx) _sin (Bx)). (cos (Bx) - Cash (Bx)
UN COUPLE
EO. OF THE BEAM
9m (t)
W/✗ it) = E W (x) T (x) = MODE . TIME DEP.
SHAPE
PART
1
m
n
e
- cui vi-0
dx
o
✗o
TI/2
T
1
WPEF
si cancellano
L
c- (w i'" cui + cilici;'-cui"Ici-w; "w i)/I#i- 4?) Wi Wjdx
DIPENDE DA BOUNDARY CONDITIONS:
o
DEVO FARLO DIVENTARE O CON LE BOUNDARY CONDITIONS
/cu"; cui"
ES:
FREE END:
M -O, SH FORCE = O
O FIXED END
O PINNED END
dy" = La
EI WW (x)
1) SOSTITUISCO NELLA FORCED
2) Sostitui S O NELLA
W" = 0
W'" = O
→
/Win; dx-0
ORTOGONALITY
=f
VIBRATION EI 2" W + FA 24
E
24 ×
fa con Iowa) qu(t) + 9 A FI NIX). d'9 ult) = fax,t)
at?
PRIMA SOSTITUZIONE
PER UN
→ MOLTIPLICO
GENERICO MODESTHAPE Wm (×) →
E DIVIDO PER fa
'
divi". Wj - du:
ax wi) = Wi Wi (cui'-w;)
dx
C2
• Wi
f
dx
PA co: WH) + fa affar f (x,t)
(1=0 →
INT. PER PARI: /gf-gf -Igf'
cui"" cui + ( "cui)
d×
PEG
G
se sostituisco gli integrali
E due)" - Wax) cit = 0
CON SEPARAZIONE DELLE VARIABILI OITENEVO:
• Wj
-
(2 dw".
| - Wj" Wj
due)" = ah
W (x)
w =
i
of
cu''; cui - / W""; cui' =
g'
EI
tan (BL)-tonk (BL), B- E
W!
dx
&
(Bx) + ↳ cash (Bx) + ca sink (Bx)
, e =
→
MODAL
FORCE
e
¢
con Igult) Wm A)Wm (x) di + II d'qu (t) Wm (x). Wm (x) dx = fa f- (✗ it) Wm (x) dx
=o
de o
0
_
ORTOGONALI
ALTRIMENTI ORMONALI CON
Combin qm (t) + bm d'quit) = Fa Qm (t)
solo con m#m
OO OSCILLATOR
SE MEM
m#m
at
divido per bm
OTTENENDO
L
MODAL MASS
d 9miCt) + com'9m (4) =
"
Qm (t)
at
PA bm
UNCOUPLED DYNAMIC OF BEAM
9m (t) = Am Sim (Cunt) + Beos (cume)
,
E
9A Bm
FREE RESPONSE
IMPULSE RESPONSE
& exit)- Stx-× a) hit)
Qm (t) Em sin (com (t-t)) de
e
?
hit)
-
PRESSIONE SEMBRA INFINITA,
MA SE INTEGRO Dove e'
APPLICATA LA FORZA OTTENGO
UN NUMERO FINITO
CON UNA
/
FORCED RESPONSE
. DAMPING MATRIX!
✗a
•
Qn (t) = /IS (×-Xo) hit) Wm (Xd ✗ = h (t). W/✗ o)
d'9m + 2}~un don
An con Qn (t) = l feat) Wm (x) d ×
at + "n'qu =
1
fa bm
o
de
DISSIPATION
✗ 1×1+22×2
2141 +4242
LO STATO è DATO DA:
NON C'E' SUPERPOSITION Principle
\
✗ i = gi
COORDINATE
i
STATE
VECTOR
✗
=
NON LINEAR SYSTEMS → NON C'E' Laplace TRANSFORM (NON C'E' UNA FREQ. RESPONSE FUNCTION)
✗ nta
✗ n +1 = 9: → VELOCITÀ
NON C'E Resonance FREQ, DUM Ratio, Proporz. Alle cond. Iniziali
EQ. DEL SYSTEMA
di = fi (91,92,..., gn, 91,91...., Int)
GENERALIZED
i è n'di Doe
COORDINATES
FORZE APPLICATE
IL PROBLEMA è DEL 2° ORDINE
PER RISOLVERLO DEVO DERIVARE
per le soluzioni
EX
DARO' SAPERE le INIT. CONDIT.
1 DOF SYSTEM
1×3 =
9 (t)
CON INITIAL CONF
Xo)
910)
E' UN PUNTO CHE Si MUOVE
TROVO IL SET DI PUNTI CHE
-
NEL PIANO CON UNA TRAI e
UN PUNTO È DETTO ORDINARIO SE
Mi DANNO UNA TRAIETTORIA
nel tempo e la cui derivata
coincide CON IL VETTORE ASSEGNATO
✗ TX> O
PUNTI DI EQUILIBRIO è un punto ✗o
dove
✗ =/8
e
→ anche X = 0
= O
=
✗Mt" =
fi
Ti
SEVEL è
① VUOL DIRE
CHE PUNTO Si muove
DA SX A DX
I
✗ (✗ 1, ✗ 2,..., ✗ 2M/t))
9• = ×,
Io INITIAL
CONF
LIAPUNOV
STABLE
STABILITY
)
prendendo un punto
INITIAL STATE
✗2
CONFINATO IN SFERA S, La sua EVOLUZIONE
DEL SISTEMA SARA'SEMPRE DENTRO La
BOUNDARY SPHERE E
(CON CENTRO ORIGINE)
REALI
×,
×a
✗0
E
<O
= Raeht-Raedat
✗2
UNSTABLE
ASIMPTOTICALLY STABLE
TENDE
A 0
CON
✗ (t) → 00
se un punto Di Ea. NON È Nell'origine traslo il S. R. AFFINCHÉ LO SIA
SE NE HO MOLTI, ALMENO 1 D. EVE ESSERE NELL'ORIGINE
TIPI DI STABILITÀ IN BASE Ai Poli Del Denominatore
>
✗2
✗2
>
H
>
✗0
✗0
SE LIMES 00 /✗ (t)/ = 0
H
✗ A)
E
COMPLEX CONJUGATES
HO una spirale causata
DALLA PARTE IMMAGIN-RIA
•
•
SE NON ESISTE UN S CHE
CONTENGA L'EVOLUTION IN E
✗
ASIM PT.
STABLE
STABLE
E0
a ✗1
✗2
✗19
✗1
= 00+00=00
FOCUS
9. = 9
NELLA ASSE X
LA TANGENTE È'
VERTICALE
µ perche HANNO DERIU.
(VELOCITÀ) = 0, GLI ALTRI
HANNO CI#O
U STABLE
Re> O
✗1
UNSTABLE
9×2
✗2
PARTE
CON I =
SEGNO OPPOSTO
>o
✗2
= 0+0=09
PARTE I Re
ASIMPTOT.
✗ 1,12
NODE
4 =O
possono essere • Di EQUIL.
SOLO QUELLI NELL'ASSE
VELOCITÀ
4×03=4×10, +20,... ✗ no,
CAUCY PROBLEM
9 = ✗1
PHASE
velocity
VELOCO
9 co
✗2
✗ /1
✗ (o) = 1×0)
9
INIZI AL CONDIT.
DEI 2° ORDRE
90.20
VELO C.④
VEL ① ALLORA PUNTO SI
MUOVE DA DX A SX
→ TRIVIAL SOLUTION
STATEMENT
=
EQ. POINT
gi
g.i
=
Xmas
*
Ci sono soluzioni SOLO SE IL CAUCHY PROBLEM È Unico
con Xi Lipschitz continue (fune. in 2 Punti deve essere
E ALLA DISTANZA TRA Due Punti Moltiplicati Per L)
LO SPAZIO DELLE SOLUZIONI
È LO STATE SPACE (PHASE SPACE)
9.10), 9:(0)
=
Xmas =
gli]] UNA VELOCITÀ E = (✗ (×, t)]
PHASE VELOCITY
DAL PROBLEMA
SÉ non dipende dal tempo il sistema è retto
Autonomo LE sue forze applicate non dip da t → LE TRAIETTORIE
NON POSSONO INTERSECARI
(PRINCIPIO DI UNICITÀ SOLUZIONI DI CAUCY)
UN PUNTO E' DETTO SINGOLARE SE ✗ t × = 0
9. (t)
=
\" =
lo stare vector
ALLE GEN. COORDINATES
•
✗i
SADDLE POINT
PURE IMAGINARY
✗1
UNSTABLE
✗2
✗2
•
•
•
•
O
e Wix)-EY! = 0
B = E
f'
7
B- te
=
w?
-IB
/ W""; w; = w"; w; -/WE'wj' = cui"wj + ( "i wj') - / Wii Wi"
PER 2 VOLTE
BEAM NON UNIFORME
1
con cre ca proporzionali
CONSIDERO
EQ. DIFF. FREE VI BR. OF BEAM
PER MODI
L
L
=
' (cui'-w;) dx
C2 divi". wj-dwy.ci/dxWjW.
dx
d ×
g" f
2
1
1
Cacao (B) + casin
=f
il dx non C'È Più!
LESPLITO B"
Ca + Ip, + Ep," C" →
s-p,
5- PY
Deve essere 0
Cs (cosa) -cash (Bx)) + C2 (Sim (Bx)-Sink (Bx)) = 0
CI = colf") -cash (Bx)
e,
Sim (Bx)-Sink (ex)
INTEGRO PER PARTI
QUESTO PER
2
→ A cos (cit) + B sin (cit)
Ca (cos (Ax)-cash (Bx)) + Ca (sin (Bx)-sink (Bx))
'1 (+ sink (Bx)-sin (Bx)) + Ca (cos (Bx)-Cash (Bx))
W''(L) = 0
W (x) =
NEWTON EQUATIONS
EULER EQ. CON POCO
+ dm)-M -(+ du). dx + fdx.ly =
Siccome la larghezza
in 0
è <ce lunghezza si ha J-O
⇒ a "cu (xt)
B
PER LA
FOND. FRED
accelerazione laterale
; c' TCH. Gad + W (x) Leo → Wix)
e ¥4
W" =
"==-C2
-"
Cy
E' UN
ESTIMATOR
→ 10,1% IN +
EQ. OF OSCILLATOR
→ W (s) =
2W"
a × a + B" W (x) ⇒ è un es. diff.del
4° ordine... USO LAPLACE
EX 1)
L. 1,1
mossa slice
IN Z
LE SOLUZIONI:
LE + CIT =0
WIFE
• EE
- . E- =
SUBSTITUTE VE Fà
UNIFORM BEAM
= Rcw)
Ci =
MOMENT?
ii. 7%+21=7
c'7g, +77-0
3E
g la
DENOMINATORE
2
3
51 + f- pag, 20 → COMEREAGISCE
2k
2h
BEAM AL BANDING
C velocità suono
FREE VIBRATION:
SECONSEPARAZ-Di
P2 L A È • I
.
La
Pif
EA
0 (Ht), Nxt) + do SHEAR FORCE
1) v - (v-du) + fax = ma = g. acxidx.ae
MAH), Mat) + dm banding moment
dx
INFINITESIMO DEL 2° ORDINE NN O
space d "→ 4 Bound.
CONDITIONS
mg ns> JEY xe cosce)
202
vado
= O
✗ (t) = ✗o cos (cont)
sto quindi SOVRASTIMANDO IL 1° RES. FREQ.
(perché con la stima ci con Reyleight sto mettendomi al minimo
Rev)
Su
# + f = fax, dei
at?
-
x
2
timed ↳ 2 INITIA
CONDITIO
-s
VELOCITÀ
SU CUI
POGGIA
VE L TOTALE
DI RUOTA
È = I/R
- EEE
Go
✗ ù
dmax- rdx - dvd?
✗ +. f- d'
da cui
ERÒ
LA VOGLIO CONFRONTARE
EQUILIBRIO
Medem
v
1) Ed
MODE SHAPE:
X-RÈ =
(pA. Vai di =/IPA.EE/idx=f-IEE=AErg.}
WEST
✗ + fax = pacxidx.dz,
If Lista.
✗
Da sostituire NEL SISTEMA
2
Cio = E %
Basin (II) = U (x)
µ ESATTO =
Wait)
ORA TROVO
=
-×
E LO FACCIO FACENDO UNA STATIC DEFORMATION
dove tutte le masse si muovono nella stessa
Direzione
e con la STESSA FASE
FONDAMENT.
NON CI SONO
DISCONTINUITÀ
2)
- Ri
SE È R.WS.
• G
→ MI
FAHR = N.MS = Mg/s
→
VOGLIO TROVARE UN GOOD ESTIMATION PER
SI FA ftp.dx = EA
P" ✗ = EAL,
A (x) è SEMPRE 1 ALLA LINEA CENTRALE
✗ fax
Z
f- (at)
f (t)
Alt
TRASLA.
• G
I + ROI
PROBLEMA DI CAUCHY
✗ (o) = Xo
POSSO TROVARE IL RISULTATO di cu esatto anche sostituendo alle leg. di prima
/
BEAN
✗
+
NUMERATORE
ANALITICA
la frequenza fondamentale cavolata era..
W =
RUOTA
• G
st
Rolling with. Slipping condition:
CI Cos (cont) + (2 sin (cont)
TONDA
MENIAL
MODE- SHAPL=
e
U = Eax + C
sostituisco
la
RO
JI = -TR"
R mi dà idea della resonance
frequency FONDAMENTALE CUI
da = EA
→
applico
mi-Fritt
✗ Ham =
STATICO
IO VOGLIO CHE NON Slitti
19pA. vai a ×
→
fiction modelofcoulomb
(SLITTA)
FAIR
I = Ham + ✗ PARE
ES (REY LEIGHT METHOD)
so che
STEADY STATE
%
O perché
FREE OSCILLATIONS
Ra) =
A
A cosa) + Bsm (cit)
JE = -TR
T-JI
R2
ha @dat
^ Oct)
2/A/e'" cos (cit + Arg(A 1)
=
ha east,
TOTAL SOLUTION
e + jat, B e- jot
R
Mt JIR?
quando
=
MI =-Fatt
T
K
una mossa
Of) = A
Kx
m + Tra
Ì
soluz. è
1mg
= -mg + N
O
M
FREQ. RISONANZA
Fk
OPPOSTA K
I Fy = m. Y'=
→
Jo w
Z Fx = m. E = -FK + latrito
NEWTON EQUATIONS:
Oct)
- Ij ci
Kr?
CALCOLO LE Initial conditions
PER TROVARE A e B
con @ (t)...
+ A costo f) + B cos@t)
M,
= M- Kra
11,2 = I
Catt d +
STABLE
CENTER
1 )
•L . S Y S T E M
N
0
m
S IN O
m
m a s in o . l
E = E m
✗
"
u ' + m g h
C U R V E
D I
L IV E L L O
2 T
IN
E N E R G IA
E
u n pe n d o lo
M E T O D
I
no n
D I
l in e a
U IN D I
X K
E N T O
- I
) /e
X
M
=
A x
A s im p r o t ic
• C O N
S I M P LE
IN
= D
C A S O
S IS T E M
C O N S E R V A T IV E
to t
=
12 #
A
+
o
✓ ( X )
+
V ( Y ) =
in
M O T IO N
IN
•
→
LA
A
in
I
Q u e s to
. PO T E N Z I A LE
m o d o
✗
NO N
u n
D i
A
e
✗ ( s )
H A
s o d d i s f a n
X I
× ,
= × ,
F- =
o
g h
( s t a b i le
E '
Q U E L
o
✗ 2 = + 1
✗ 2 = X I
S O S T IT U E N D O L A
T R O N C A T A
a l l o
IL
E q
o ? ( X o
2 s o m
↳
C O N
( t
)
M A
+
2 )
)
9
I
2 )
I
M
H O U S A T O IL
M a rz o u s a r e
M E D IO
e e no n l ine a r e
O R D IN E
→
M O D O
O
C
- X
C
D E V
l a F IN A L
O M O G E N E A
O R A VO G L I O L A
E + a : X
+ a
- c o ' A
F O R C E D
X = F
s im
c o s (ci t )
+ cu o
c a s k e t ) f - W
→
c o n
a
è
N O TO CH E TR A
IN
O U T P U T
A
c o m e
F
:
A
A
a
_
I
p re n d e n d o
i
c o n
c i
U R
LA
NE
A
A L
P IN
+ +
&
g , w
E a
✗ 1
E X s
in i t i a l
co s a
a
a
-
✗
CO M E
✗
=
=
o
f orz a
u n a
e A
- W
{ ?
-
X o
n o n
⇒
PU Ò
( P E R E S 2 4 T
D E V O A VE R E
s o l u z . V E L = X E È > O
d i
ch e
↳
è
E
E Q
= D
→
× ,
E O
st E
A
✗ 1 = 0
✗ 2 = 0
→
1 2 ,2 = I j a
C E N TE R
✗ 1I T L
✗ 2= 0 →
1 2 ,2 = F W
S A D D L E
+ C O S T
P O T -E N E R G Y ✗ U N I T
K I N . E N E R G Y P E R U N IT M A S S
=
-
PO IC
H E
V
( x
✗ a
=
S E
)
X 2 È
IS O L A T O !
S T A B IL E
s u a
o n
P O IN T
M A S S
d i l i v e l lo
A S S E X ,
S O L U Z . = D
3
1
A N C H E -
O
2
1
S U P E R F IC I E
IN C U I M i
M U O V O
1
2
C O N
U
?
H A
1 )
f r e g . C È
S I S T . R A G G IU
N G E
X
+
X
•
•
U N
H O
H o
H O
- O
=
( A
× ?
N O
pu ò
S IS T
I
IN K T
E IL
LA
h o
c i
.
U N A
, a )
O F
2 ) = E
E N E R G Y A L LA
→
× > =
T R A IE TT O R I A
2 t r a i e t to r i e +
2 T R A I E T TO R IE
2 ( E -
p u n ti d i
E Q U IL I B R I O
r o o t s
d e t ( S I - A
=
¥
±
¥
F O R Z A
T E R N A
?
C
A
S
T
a m
A LL A
H E 'E
LO P E
cu i
O R E L IN
M a
M A X I M U M
L in e a r e H A
C U O
a
W
s o lu
P R O B LE M A
z i o n e
( L a p l a
s
,
2
IL
E
w
= O
A . s in
A
3 2 0
2 )
o + ✗ C u s
Ò
2
s in
=
a &
0
=
0
✗
A
O F
( a -0 )
i
co s a
co n
→
L I N E A R E
IN P U T
s im o
: M a
A
:
F R E Q U E N Z A
2
E D
①
"
È
E
( 3 0
L a
Q U IN D
s o l o
i
#
L A
v al o r i
m
3 /n o t + f )
2 Pe r t u r b a z io n
3 cu o
e
cu o
C IO E È
IN R I S
× , A U M E N T A
E Q u e s to P o r te
d iv e r g e c o n
a è co n s e r v a t
i
O
s in
a
?
s in
i co n F r
( = A l l ' A
O N A N Z A )
A L L ' IN F
r e b b e
il t e m p
i v o ) lo
( co t t o
e d .
L TR A ,
I N IT O
o
v io l a !
a n ch e c i ò )
×
W E
W E + d a i,
T R O N C O 1 0 O R D IN E
7
2
w a = G A E
O R A D E V O M E TTE R E
C O N D I Z IO N I IN I Z I A L I
1 = _
C H E
✗
( O )
= A
+ W E
3 2 0 0 2
9
1 =
( o )
= O
%
d i u n
o s cil la tor e
O P P O S I2 . D I F A S E
A LL A F O R Z A E S TE R N A
S O S T IT U I R E ! )
+
✗
A
Fo r ce )
A
,
Z i
A
d
F
-
K
O
R E F E R E N C E
t
L IN E A R
D X
S X
H A R D E N IN G = D
S O F T E N IN G ⇒
!
É
U N
s x
D
D X
a
S E S O N O
S E S O N O
a +
P A R A M E T R O :: +
i a s in t o t o
o p p o s iz i o n e
→
w
G
G
LE CU R V E
A L Z A N O D I L FI E L L O
d i f a s e
3
• 4
H A R D E N IN
S O F T E N IN
D E S C R I V E
U N S TA B L E
P A R T
l
c o s ( a t )
O S C IL L A T IO N
S IN T O T O
' a
c i #
✗ ( t ) = A
P A R A M E TR O
Q U A N TIT A !
U N A R E L A Z I O N E IM P L I C I T A T R A
O TT E N G O
-
:
1
I
O s c i l l a
✗ " ( X i ) - 0
2
/A
0
S O L U TI O N
✗ A ) s a r a
u g u a l e a q u e l l a
l i n ea r e , q u i n d i
I N F A S E O IN
F R E Q U E N Z A
S T A B LE
P A R T
=
2 2 × 2 (t ) ...
+
n o n s o n o t e , m a
S E M P L IF I C A R E →
1 e S O S T I T U IS C O
A
2
3
)
E ' × , =
=
IN
× : )
M P E D
i ll a to r
F R E Q W O
m p ie z z a d
N IL T E M P
in d i
a x
a il s i s t e
a p p o s it i
A
×
C i o è L 'o s c i l l a t o r e o s c i l l e r e b b e s e m p r e @
f in o a 0 0 : c i o è
X s l t) t r a
d
A
→
c u - A
Cu o
+ 0
+
pre n d er e
X j + W
P H A SE
R A LE D U E P A R T I M A
S IS T E M A H A
M A X IM
3
3 1 3 × 0
S im
U N D A
o s c
CO N
L 'a
C O
Q u
(m
) )
p er u n a
A
I
F I S S A N D O
I PA R A M E T R I C u o r e ✗
L A V O G L IO
P l o t ta r e !
U N ST A BL E
P H A S E
P
A
X X I ( t )
S A P E N D O
3 S O L U Z IO N I
e s s er e s o l u zio n e )
E M A N E P E R S E G U E U N A , IN
M A X
-
R IS PE TT O
( L A PO S S O
-
x
Ci , A o - G A E - 0
t ) + & c o s ( s a t ) ]
A R R I V O
8
s o n o n e l l a s a m e s i tu a ti o n , m a o r a p o s s o p r e n d e r e
C u s in
m o d o t a le C H E
Il S E C U L A R
TE R M
S I A N N U L L I
e ) + 1 4 A i s in 3 / c o t t e )
(ci t _
o s cil la t o r
+
( t )
s e n s o
t en g o
H A R M O N IC C O M P O N E N T
N E G LI G I B L E ( D A E la s ti c
l in ea
o
+ 0
:( / m e n o E )
E Q . D E L N O N L I NE A R
( D U F F IN E Q U A T IO N )
F R E Q U E N Z A N A T U R A LE
a
!
(ci t + %
!
E N E R G Y
*
) + 0
C LA S S IC A E a .
H O M O G E N E A e
P a r ti c o l a r e
a S im p
s
C U O
n e g l i g ib l e
L d e f
e
h
R I O
a
G E N E R A TI N G
RE S P O N S E
3 2 W
( a rt )
in
U IL IB
IN S T A B I L E
E a .a m a r a
Ci o = Co 2 - 2 0
3 ( c i t + y )
c u t -
i l i tu d i n
A d
E Q
S T A TE S P A C E
IN J E C T I O N
✗
c e et c .. .)
→
N O D E
U N S T A B LE
F O C U S
A m p ie z z a o s cil l a .A U M E N T A
f in o a l l o
s t e a d y s ta t e .
c i o è q u a n d o H O E Q U IL IB R I O T R A D I S S I P A Z I O N E
F O R Z A :
( c o t t a )
F O R C E D
c o s
s im
a
c o s ( co t t e ) -
2
0
im .
o n e
el e r a r e
( 3 × 0 4
IN E
D i
È
k
)
I
< 2
P U N T O
S IS T E M A
3 , 2 4 . .
E
A L
e
2
W
4 2
0
t
G E N E R A T I N G S O L U TI O N ( c i o è E S PA N D O
M E G LI O T O G L I E R L I X
+ a C U I
O S C I LL A TI ON )
t r o v o
A ?
s A o s in c u t t a ) - ?
- ✗ 3 2A a 3
TE R M
+ 1 =
in j e c ti o n
A M P IE Z Z A C H E D I P E N D E D A L T E M P O
C O N U N T E R M IN E : S E C U L A R T E R M
W
+
×
s in o =
IL
S
A LL E
D i h ( ✗ a)
S o l it o
M E T O D O
?
A Z IO N E
f er m a
G ) =
✗ e ) + 8
C ' E ' U N
3 - ⑦
8 4 0
✗ 1 ( f ) =
N E LL A
=
=
R IS C R I V O
5 2 - U
- 1
V I C IN O
( a n g olo @
E
✗
s o c h e
B A S E
S a l u t .
c i s o n o
•.
T R A IE TT O R IA
IN
U
IN
+
g l i ( a )
E Q U I L IB R I O
d ip e n d e d a
✗ s e il
c o m p o r t a m e n t o
è
H A R D ( a +)
S O F T E N IN G
3
T A SS A U N I T A R I A
P U N TO
1 1 , 2
a d i D I S S IP
z io n e s i
en te e
d i r e z io n
p a s s a il l
je c t io n z
a a d a c c
✗ ° , 2 1 , 2
→
.
.
1
t ro n c a to
l ' o r d i n e
0 1 : e s c l u d o
F R E Q . F O N D A M E N T A LE #
D A ②
c o n
W
t + IL S S T . h a U N S A L T O
D A ②
S T E S S A C O S A
C H E
A N C H E
D A
→ ③
→
4
U N S T A B LE P A R T
N O N V I E N E M A I R A G G IU N T A
D I
M E T H O D
W ak o ) + ✗ ( x + W i x
A "
a
IN
( X a )
L IV E L L O
P O S IT I V A
n e l la z o n
l 'o s c i l l a
v el o c e m
c a m b ia
q u a n d o
d e l la
in
co m i n c i
E S P A N D E R L A
P E R O
1
S U P E R F IC I E
L I V EL L I
P U N T I D I
E Q U IL I B R IO
N O R M A L I ?
L IN E A R
S O F T
-
×
so l o
I
O U T P U T ) N O N C 'E +
P R O P O R Z IO N A LI T À
il
T A G LI O
L A
A D IV E R S E
✗ T U R B A T IO N
R D
s in > ( c i ò
( F RE E
S im
, h
T R O V O
3 P U N TI
E Q U IL I B R I
U s o
( × 2 -
IL
P O S S O
- X o> →
× ,
&
1 × 2 + g h e
G O N O
I T
U E
I T À A D U N A O R B IT A
) ( E S T E N S IO N E D E L L A S T A B )
A s s in ( c o t t a )
a
G
X a
Z
1
) = 0
=
D A N D O
S A
d a t o ch e
f in o a
P R O B LE M A
SE G N A N D O
N U N CU O
. D E LL O
IN E A R E ( L
A O S C I L L A
M i n im a ) .
N C H E D E L
a t o r e no n
l in e a r e
S O
o n
il
IA L
L
O V
✓ ( X i )
( 3 )
t r a ie t t o r i a
( + 2 - 1 ) × 2 - X
( X o +
r e l a z io n e
D I L IV E L L O E C I
R T E IN S T A B IL E
( n
PA R TE S T A B I LE e d
C O N D IZ I O N I IN I Z
IM IT E , n o n c 'è
C ' È U N L IN K , D
d
V E L O C I T À
cro s s ( a t ) )
V A
PA
L LA
LL E
L
G
)
d i • D ie a u il ib .
+
R A C C O L G O
a p p l i c a ta ] →
( I
( 1 , ;
M
3
.
✗ 2 = 0
→
R a z
F O C U S , S A D D L E P O IN T ,
C E N T R O
Z T L
1 × 2
e a t
R ia
+
. P O IN T S
2
✗
e a st
R u
R a i
q u i n d i N E L LE P o s s ib il i c u r e
A V R O _ U N A S IM M E T R I A R I S P . A LL A
2
C U S
U I L IB R I O
E
=
✗ 1 - Z T L
IB R I O
A L "
N
= X o
✗ 2 = 0
f- ( x ) D X
X a
✗
N O D O ,
l in e a r i 2 2 .
S IM P L E
P E N D U L U M
✗ 2 = 0
✗ ( f ) =
✗
- 1 , K - 1 , M A U N A
C L E V E R
D U M P IN G
a / × ? - 1 )
N O N L I N E A R E
O .
2 µ
→
A
a n
+
( A M P IE Z Z A
g e n e r i c a
X
M
✗ o tt )
A ' c o s '( a t ) - F
a
: NO N
L , T )
d e lla
A B IL
. IN S
D X ;
T a y l o r
X Ò
-
0 3
C u o r +
T O R N O A l l a
IN P U T )
'I
E NE R G Y
S I
= 0
✗ o
=
N O
O
E Q
O D
P U N TI
,c o n
0 se m p r e + g r a n d e s i
D IS C O S T A
S E M P R E +
)
j a
S y s t .
A T I V O
A I U N F
N TO D I
E U N
N
2
C O N V A LO R I
> 2 C U M
A . D X :
D A L L A IN I Z I A I C O N D I T I O N
n e l B o r d o
t r a
E N E R G Y IN J E C T I O N
e D is s ip a t i o n
e g li d o u n a
IN C O G N IT A
✗ a lt /=
t ) ) +
IN
= D
E N E R G IA
✗ a )
↳
h o
( DN E I i E P a U N . T I
d in a m i c a
.#
Q U A L 'È
IL
M E N TE S T O A S
A TIN G
SO L U T IO
o n a n c e
F R E Q
O S C I L L A TO R E L
E' R IF E R I T A
L 'A N G O L A Z IO N E
TE N E R E C O N TO A
C H E L ' O s c i ll
c i 2
U N
C O N D IT IO N S )
= D
J E C T
= O
+ ×
=
d i o s c il l a t o r e
( A M P IE Z Z A
D A T A
C
È N EL
N O
B A S E
D A T I A l C U O ,
s e a g g iu n g o
D A M
①
+
+
Q u e l l o
→
× ? + g h o
d e ll a
- K X - A M X ?
P L O TT O
F O R Z A E LA S TI C A >
( x o
✗ ( t )
a s c ii )
c o s ( c i t )
Q ue l l o
H
D A
p r o p r i e t à
IN
H I U
LE
N V E R
L IM
C I C
L A S T A B IL
U N P U N T O
f- ( x , × )
C H E
R e s p o n s e
(ci t )
[ o ra
w o A
4 = 0
I L G R A F IC O
( F R E E
.
n o d is p a r i
s o l u z io n i d i E a . M O T IO N
(N O N L IN E A R )
✗ è + w h
E Q U A T IO N :
c o n
f- ( 4
e d
E U R
→
I ICA
U N A
IA C
TT E
C O
M A
H O M O G E N E A
o t te n g o
J
A d j ( D )
d e t o
v e d o
IN
?
+ X o ? = 0
d a l l ' A M P IE Z Z A A o
W a = 3 g A Ò
O TT E N G O
s t
D IS S IP O
→
+ c u i
e s t
=
C O S I
C o s X s , C io e ' M O L TE
s o l u z i o n i D i E Q U IL
f i x )
TO T A L
1
→
C H E
→
O
I
T U TT
IS T E
I E TT O R
U I T U
TT O R I E
I C H I A
E S
R A
I C
IE
S
=
p o n g o
o
N S E R V
V R O _ M
M E PU
N E P P U R
H A
D I E Q U IL IB R I O
E S IS T E R E
( - T
v io l a u n ic i t à
E D È
IN S T
✗ K P U N TI E D
d i
D T E D T
S O LO
^
S IS T E M A
N O N
u n
+ K X
è
I
A
A /
L I N E A R IZ Z A T O
±
C O S T
=
E = O
v e r s . L i n e a r .)
( x ) =
=
2 )
0
Q U E S T A
T R A I E TT O R I A
~
×
u n c o m p o r t a m e n t o
→
o r i g in e
+ C I
>
0
+ G
f a
P u n t o
d a l l e
a e q u a z io n i :
IC A
N E R
r e s
U N
K
C H E HA
D E V O
S L O P E
pe r i o d o
!
S =
=
Q U IN D I
( x s / ×
E = s cu si *
0
E = a h
E
N O N H O P U N T I
d i E Q U IL IB R I O
T A B IL I
S C H E
D I E Q U IL I B R I O
S T A B I L E
( N C H O E N C E O S N T I ES N T G E A B O L A U N T D r a A j R e c Y t o S r ) y
n to
A R Y
N E
e ' s t u d ia r e
→
. i
D e l
C O
A
C O
E
X 2
=
( s e n z a
I
C
+ C u i x ò
F IS
G E
La
D I
S t a ti
.
M E T H O D
D I C E N D O
C H E
c u ' = C i ò +
✗
✗ =
X o + X X I
× + C i ò × = - × 3
C O N
o ra
h o ch e :
( 5 5 + 0 2 × 0 ) + ✗ ( x ''s t a
- ✗ 1 - C u s t o + ✗ 0 3 ) + 0 2 1 .. .
d ip e n d e
PR E N D O
SE
s ta te
1
IN
-
e d e s tra g g o
%
l o
IN V E R S O . . .
t r o v o
=
M
c o i n c i d e
e s A s in t o t i c o S t a b il i t y l a t r a i e t t o r i a n
r i m a n e n e l l ' i n t e r n o
d e l • E Q ., M A
CO N V E R G E N E L • D I E Q .
C H E P O R TA
( N O N + A D
F U O R I
I . C .
IL I
=
= D
d a to
→
<
✗ I t a l y
a
è
> 1
( + 2 - 1 ) × 2
Sei M I LE
✗ a )
e g
( l a g r a n g e )
ib r i o
D A L • D I E Q U IL IB R I O
M E T H O D " )
( G o t
L IN
IN T E R E S S A
w
P O S S IB
%
B IL E
→
,
- l e
S L O P E M A S S IM O
D E L S IS TE M A
N O N L IN
)
S L O PE DEL ×
S IS T E M A
L I N E A R E ( M I N IM O )
q u in d i
o tt en g o
M I
_
S O N O
- F a
IL
=
C h e r a c c h i u d o n o
→
( f )
✗
• I =
+ a
m e
, C I O
C H E W I F
m S lo pe
O P E
IN T E R
llo l i n e a r
4 7
× :
u i l
C O N C E TT O
X
L O N T A N O
P E R T U R B A T IO N
D IC E N D O
m in im u
U N O
S L
t ra Q u e
d x
s te a d y
G E N E R A T I N G S O LU T I O N
A L
1 0 O R D IN E
+ w
s in
p o s it . × ]
d
e ?
cu ri / 1 - c o s ×) ]
te m p o
" . X o
c o s t a
[ d ip . S ol o d a
d e
E
- I
e s e
( x )
G I
m
Z T L
. P O IN T S :
E n e r g y
H O
H O
x )
S T A
m e n o )
P u n to
D U F F IN O S C I L L A T O R :
m
M I
C O N S P R IN G N O N L I N E R E
N O N L IN E A R
*
- f( X i x )
i + c i ò ✗ = - a
✗ 3 _- 2
N O N L IN E A R
C O N VE R G E N T
L IN E A R
PE R T U R B A T I O N
T A Y L O R S E R IE S
D E
IL
S
=
c i
E Q
n o n c 'è s o l u z i o n e c h i u s a ,
m a po ss o r i f a rm i , a l l a
c o n s e r v a z io n e e n e r g ia
>
c h i u s e
en ta
M E T H O D
W
f
S ' +
✗ 1 =
l
c o n s e r v a t i v o
=
✗ 2 = 0
TE M P O
Z - 2 a m ?
p ic c o l o
=
S
(X a )
d u
• D i
✗
E X . P E R T U R B A TIO N
D I
G .. .
N A N O
IM U M
=
IN
C H E
PU N TI
O R K IN
T E R M I
M A X
LO P E
I
l 'a g .
-
n e l
P E R C A P IR E
IN I T IA L C O N D
( S IA D E N T R O
A L IN J E C T / D I S S IP A T I O N
o
E '
= ☐
Z = C U M
o
✗
I er i [ I
l i n e a r i z z a to
- t )
:
:
✗ ( s ) = ( S I d - A I
S i s t .
s y s t .
s
o
V ( ✗ a ) =
u n co m p o r t a m e n to
=
( co n
A u to n o m o
[ 3 - ' =
→
d e l
s e
-
d i E a .
È
S IS T E M A
2 ° X K
L ' E 2 6 .
N O N È
C O N S E R V A T A
( N O N É C O S T A N TE )
X I -
c o n
=
E
✗ 2 = 0
0
T R A
E
= A
# 0
Z
= È
A
✗ o ( t )
✗ '( 0 )
E
t r a i e t to r i e
, a u m
d i +
,
d a ll ' a m p ie z z a
1 ° X K N O N S IM M
R I S P E TT O A X
CO M P O R T A M E N TO
S Y S TE M
d ip e n d e
s )
e n t o
d e t
A C C E L E R A TIO N
c h e
P I A N O
Z = C U
Q U I H O S E M P R E
1 p u
c i o e ' E S IS T E U N B O U N D
c o n t ie n e
la
S O L U Z IO
D X )
s o n o
C O
D IP . D A
✗ 1 = 0
co n Z = 2 0 n F
{ = 1 × 2 + con " ( 1 - c o s × )
7 - ( 1 × 2 +
a
- w i c o s p
c a p i r e
- A ) =
✗ 2
e
A D
IN U N
D E F IN I S
N O N
L ' IN T E R S E T .
I
1
C O N
c o m p o r t a m
D e v o
M i n im
→
( ✗ 2, X a )
)
T
D O E
n o n
✗ a
il p i a n o
D IV E N T A
S X )
E Q U IL IB R IO
IN
X = O
A U TO N O M O , X K
→
C R E S C E
E
n ' S i n
( x , t )
c h e
☐
T R A
Ì
- U
N O N
=
IN
1
m u o v o
p u n t i
a t o d i s t a b il i t à a d
T O R Y
&
a t r a i e t t o r i a v ic i n o a l l a
c l o s e d t r a je c t o r y h a
P U N O V
S T A B IL I T Y ( V I C I N O A L L A T R I V I A L s o l u t i o n s
S U C C E D E
q u i n d i h o
I T À
E L
O D
0
D I
O A
O
→
TE O R E M I
E N . P O T . M IN I M A
p u n t o
o s c il l a
o s c i l l a
U N
B I L
E N T
O V
L ' 0
N TO
U O V
E q u i l ib r i o :
X I -- ×
D I
O S CI L L A TO R
i s )
i
d u e
F E R M O
→
→
N E L L ' IN T O R N O D I
ic
E C
l
IA
u a n d o
i l sy s t em a
( x ò + ✗
m
C O N S E R V A T IV O
C O S A
1)
IN S T A
N O
E S A T TA M
M A S E
M I M U
T E N D O A L
R E
A L
P U
X ( S E M I M
=
✗
l i n e a r iz z a t o
A
( S I
H O
H a n n o
P U N T I D I E Q U I L IB R IO :
B A S IC
H O
D X
( s e
Q u e s t i
E
S T A B IL I T À
ci r c o S X ,
=
N O N
t r o v o
DE R P O L
S IS T E M A
LA
=
=
× ,
) ) = CO S T
m a n m a n o
E
=
× :
&
( 1- co s a
!
o s c i l l a z io n e
C O S Ì
ip u n ti
LA R G E
C Y C L E S
Q
IS
O
.
il
G L I U N IC I A D
E S S E R E
A S I M P T O T . S T A B LE
t e n d o il s i g n i f
A C LO S E D
TR A J
o v o i c a s i in c u i
I M I LE A D U N A
L
V A N
+
S Y S T E M
→
a i
+ £
e
✗ I
✗
✗ 2 = 6
E A R I Z Z A T O
d e t
D I E D . IS O L A T O
E N
L IM I T
IN
è
S
P u n to
=
N E L S IM P L E
P E N D U L U M
i S is t . c o n s e r v a t i v i
e s
U N
t r
S
L IN
D I E Q U I L IB R I O
P U N T O
S E
✗ (o )
+ 2 K T
E
S O
L I ,
S IM O
C C IA
+ A S
O
= - cu i s in
-
H O
Q U E S TI TI P I D I
P u n ti s o n o
T H E
I PU N TI
•
T L
d i
s t a b i l i t à
N O N
E t a t
S T A B L E
• U N
+
S i s t e m a
N O N
A U TO N O M O U S
P T O T I C A L L Y
P E R
o
p e r io d o
S U L
P e n d o l o :
Q U IN D I U N
S Y S T . C O N S E R V .
N O N P U O 'E S SE R E
A S IM
il
S X ( s)
✓
× ?
I O È
E S T
C H
P P R
T A B
+ 2 k t
I C O N S E R V A T IV I
O F
1
2 ) IN
( C
R
P O
A
IT )
S
s e s o n o
%
S T A B I L I T Y
Q U E S T O
O
N E L L ' IN T O R N O d i U n
•
✗ a = ✗ 2 = 0
x o →
✗ =
S t a b
P U N TI D I
E Q U IL IB R I O
✗ 1 = 0
✗ =
m g -( e - e c o s x a ) - m e ' ( E x :
S T A T I C O
D A S Y S T . L I N E A R IZ Z A T O
E
i l i a> ' +
S Y S T .
R i z z a t o
M O V IM
A
S O L U Z IO N E
• D a
P O R T R A
P E R T U R B A Z IO N E
N A T U R A D E L
X
B A S E
( P H A S E
T R A IE TT O R IE
N O N C A M B IA N O C O N IL T E M P O
E ' A U TO N O M O U S
Q
E m
1 ) IN
L IV E L L O D I
in
=
✗ 2 = Z T L
X 2 = 0
I
PL O T O
+ co m ' s in o - 0
E
3n A
2
È
I p s in a - 0
ò
' -"
A
+
B R A C C IO
F O R Z A
*
m g
2 a m'
P E N D U L U M
J O =
n e l
l
t
:
C O P O R T A M E N TO
IN F A S E
)
EX NON LINEAR Sy ST
JG) =
O
X-asini +Px = O
1
✗2=0
O
4=0 → /(A)= -12
✗ = 0 =
acosta
ABIO
\
¥ È
→
1
✗E1==+a2sin ✗ 2-Ax,
of det (SI-JIAO))-0 • B- 20
eigenvalue
a
Voglio un tool matematico che mi trovi qualcosa di ripetibile nella randomness
PARTE RANDOM + PARTE DETERMINISTICA →
(xk ogni input diunsyst Dinamico è composto da
VOLTE
• ENSAMBLE AVERAGE
\ DI UNO STESSO
/
LE MISURAZIONI
µ ✗ (ta) = linea @
• ENSAMBLE AUTOCORRELATION
[-1... 1)
Grado Di
ESPERIMENTO =D
Xm (ta)
da
Xm (ta + =),
Rx (H, T) =
µ
lim
Xu (t) XK (t + T) de
+→ • ¥/II
GER (to)
PER TO
M. S V. e AUT.
SONO UGUALI
PER UN PROCESSO ERGO DICO L'AUTOCORRELATION È
R (Kit) = lizza
A
"Ict)#+ e) dt
72
E ANCHE PER
r. V. = ZE,
INDIPENDENTI
Of = lim
+→ 00
CASO
T GRANDE
[(x) = PEC ✗ A) <✗2) =
ANALISI DI
(tuta asse reale)
T
>t
realization
K
É
E GENERICO
SE MI RIFERISCO
SOLO ALLA
MISURAZIONE K
→
pe) =
d [(x)
dx
✗1
IN UN
✗a
(ERGODIC PROCESS)
P. D. F.
AUTOCORRELATION:
SE INTEGRO RISP XI
→ (MARGINALIZATION)
OTTENGO PDF X2 E V. S.
Rx)
×a xp (x,,✗a) dx,dx,
-00
PER PROCESSO ERGODICO
00
•
Rx (T) =/xp (a) des ✗a p(a) dx, = 0
- 00
00
2
✗ 1, ✗ 2 INDIPENDENTI →
FOURIER
+1
/" pe) dx
io e' NON C'E' UNA
DIREZIONE PREFERITÀ
(e A MEDIA NULLA)
(dall ALTO PDF È CIRCOLARE
E PICCOLO
E MOLTO DIPENDENTI
×,
GRANDE Correlazione tra ×,,X, → C'È una direzione
2 CASO
con
✗2
Xm (ta)
prob. che due variabili siano <di →
7×2
un volare Xs per la prima exe
P (✗ a, XD mi dice se i
per la seconda
punti sopra cadono in un area
eat
✗2171)
.
+1
cosa succede con due punti vicini o lontani in una Pdf
1
[(x) =P (✗ (t) <✗ 1) = {I p (×) d ✗
PLX, <XI, ✗ 2 <X2] =P (XI, Xa)
e
÷
*
LA ST. DEVIATION è Ff
→
→ CIOÈ ESTRAE LA PARTE
1
DINAMICA, L'ERRORE
t/II (✗ (t)-Mx)'d t
PCs, ✗2)
Se ho DIVERSE REALIZZAZIONI
DI UNO STESSO EVENTO:
PRENDO IN CONSIDERAZIONE SIA
UNA CHE L'ALTRA...
Ht
V.V. HA PROB. DISTRIBUTION FUNCTION GAUSSIANA
×
JOINT PROB. FUNCTION
:
L'AUTOCORRELATION
dx
Tante RANDOM VARIAB. 1>
⑦
if
✗s (t)
SE ✗ (f) Mx + Ex LA VARIANZA È
PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION È [(✗ (t) È ×)
per t → 00
PROB CHE UNA DISTRIB. DI VALORI NEL TEMPO SIA E- DI VALORE ✗ FIXATO
PROBABILITY DENSITY FUNCTION DERIVATA DELLA PROB. DISTRIBUTION FUNCTION
↳ è LA DERIVATA Di PDF: p (x) = d P (✗ CHE × )
CENTER LIMIT THEOREM
\1
CONDIZIONE PER ERGODICO
①
②
µ ✗ (te) =p ✗ (ta) =.. µ ×
Mx, =p x, =...mx
Cioè
4? = ltim-o ¥ (È ✗2 (t) at
Rx (T)
realization
1
(DI TUTTE)
SE PROCESSO E' STAZIONARIO Con
MEDIA temporale e AUTOCORRELAZIONE
TEMPORALE NON DIPENDENTI DA K
E' ERGODICO
K MISURA
-T/2
MEAN SQUARE VALLE (DELL'ENERGIA DI UN PROCESSO)
IL VALORE AL TEMPO t 1
Mx (ta) =p e
µ X (K) fig, f §" ✗K (t) dt
TEMPORAL AUTOCORRELATION
Yn (t) + yn (t)
UN PROCESSO RANDOM È Stazionario
SE Mx e Rx NON DIPENDONO DAL TEMPO:
Rx (te, ti + t) = linea, & E, Xk (ta) ✗ K (fatt)
TEMPORAL EVERAGE
4=0
U (t) + Mlt) →
NE ESTRAPOLO
In Ea Xx (ta)
Dipendenza Di
•
UNSTABLE NODE
CENTRO SE
%-ASINI +BR = O
SOLO SE
AMMETTE UN POTENZIALE (È CONSERVATIVA) →
✗ =D
RANDOM VIBRATIONS gli INPUT POSSONO NON ESSERE DETERMINISTICI, MA RANDOM
RIPETO M
UNSTABLE
B- E
£ FOCUS
¥ NODO INSTABILEUNSTABLE
NODE
È
(so)
• B-O
S-E ±? ✗ Zap?
ANALISI INFINITESIMA ATTORNO EQUILIBRIO
B
• REALI A <24
(so)
• COMPLEX CONI A> 20 (so)
AUTO CORRE LaZI ONE PROPERTIES
Rx (t) = Rx (-t) è PARI
Rx (o) a/Rx (t)/ MAX VALLE INO
Preferita
✗a
RIO) = YE
CONMean
T-O so.
ÈValle
IL
SEGNALE CON FUNZIONE PERIODICA -00 <te 00, cio = 2 TI/T
REAL
00
↳ capace trasf. solo per t 20
ei
plot
SERIE DI
TA
CON I + +
→ pe'AMPIEZZA DELLA
E Cp
FOURIER f- (t) = p-00
generico segnale ✗ LO DICO PUO 'ESSERE
COMPONENTE ARMONICA
= 91007 /" (Hdt
Autocar.
P-O, ± 1, 12.- In
→ SCRITTO COME SOMMA di componenti armoniche
%
→ 0
CP = 7/"f (t) . e ipootat
E RISPONDE AD OGNI Componente armonica linearmente
COMPLEX
00 di Fourier da complex (output = E output di ogni componente)
time i Story of OUTPUT → posso DIVIDERE INPUT IN
converte la-serie
TO REAL (CON IL CONIUGATO)
⇐
-mi
m
f- (t)
A
✗ (t)
So che posso scrivere fa) come
time history
of the OUTPUT
→f-(t)
fa) = Ffp e" wet
-00
-
-A
+
(P ODD)
SE FACCIO UN PLOT
0
DEI COEFFICIENTI p = 0 (con pareri) o complex -3¥, i
Frequency spectrum of signal
Im (Cp)
IN ✗ HO
l
-44-300 two- cio
Cuo
p.no
Zoo 3 cio 4 Wo
fette somma di
CP ALL'INFINITO, FA)
che È scomponibile
+
us IN Cp + acpo
CONIUGATI
+ c.gg/-iaog) e-i wort
→
Cg G (ing) *
L'OUTPUT
SARÀ
9 LEVEL OF EXPANSION
OF SERIES
→ 2/Cgl./Gli a. g) /. cos (wo gt + Arg (a) + Arg (Giang))) = gg output
eipwot
QUAL'È IL LIVELLO DI EXPANSION
→
di g da 1 a 00 =D cioè -a-pa 00
IN THE STEADY STATE FORM (COMPLEX)
SE MOLTIPLICO LA FREQ. SPECTRUM
E A Cp (LA PRESENZA, INTENSITÀ DELL'INPUT A UNA
CERTA
NEL TIME Domain:
→
l'ESPANSIONE ALLA
EXPANSION 3W ARMONIC 5 ARMONICA NON
AGGIUNGE NESSUNA
EXPANSION SUO
DIFFERENZAALL'OUTPUT
con cum-200
:
914"
CON
FONDAMENTALE
EXPANSION
QUI ANCHE LA 5 EXPANSION È
DIVERSA DALLA 30
FINO ALLA 3°
Devo prendere decisioni
→ FI NO ALLA 5°
s
non solo in base al segnale,
No
MA ANCHE IN BASE ALLA NATURA
DEL SISTEMA
con
-00 <+ <00
PER OGNI INTERVALLO T1, 2,3.. OSSERVO #
FREQUENZE FONDAMENTALI:
NO 1 = 2" , Cuor = 2 TI/TI
& /t" fa, e' "Patat
→
Tcp =
- T/2
-I
no
¥ + de
SE IL LIMITE] ED È FINITO È LA FOURIER TR. off (t)
CONSIDERO
→ con
tra UN GRAN → lim
Eine
INTERVALLO
T> 00
d
ARMONICA GENERICA O Tat
P
→
FREQUENZA)
con F. A PERIODICHE CONSIDERO SEGNALE f- (t)
TI
G REASONABLE?
per CAPIRLO DEVO PENSARE AL BEHAVIOUR OF G,
QUI INVECE LA MOLT. MA
IN SUO NON
è più negligible
e sarà negligible averla
IN 7 WO
Cp =
SOMMA DI ARGOMENTI OF
2 COMPLEX NUMBERS
Arg (ca. Gliwog))
MOLT. DI DUE MAGN. OF
COMPLEX NUMBERS
1cg. G (ing)/
FOURIER EXPAN. OUTPUT OF SYS
•
→ p = I 1, 13
GENERIc
Gli a) . ng
00
YC) = E Gli not) ep
q = 1 → p = I 1
CON q = 1,3
of f- (t) = u q
IN CUO IL RISULTATO NON è Negligible, così
COME IN 300
ma in 5 cuo comincia ad ESSERE NEGLIGIBLE
FOURIER ANALYSIS
CON
fourier expansion
SECONDO CIÒ DEVO MOLTIPLICARE
LA T. F. PER UN CP ALLA STESSA FREQUENZA
>W
12,14 (EVEN)
e'900T 2/ Cq / cos (quot + Arg (ca))
fit)
HA Questo GRAFICO:
un
Luo
P-O,
invece di p uso 920
raccogliendo tutte le componenti
at ogni frequenza devo calcolare la Freg. Resp.
function e moltiplicarla per cp complesso
LA F RESP. FUNCTION
-q
p =-00
DALLO SPETTRO DELL'INPUT
→
(ge'quot+ C
plotting the
L'OUTPUT?
INPUT U PUO ESSERE
SCRITTO
ICT = Yg so CHE G (in) o
U = f- (t)
UN DAMPED OSCILLATOR
G (in).EE?NSE
mi1
È
G (io) =
E ESPANSO CON ARMONIC
COMPONENTS:
1- (En)
Cg G (ing) e in at
(p
"9 =
C ha due
COMPONENTI#O
UNA IN CUO e ALTRA IN CO
→ ORA LA SCRIVO COME LINEAR COMBINATION OF EXPONENTIAL
con
- 2A; con p = 11,13 (ODD)
PTL
ESPANDOLA)
IN COMPONENTI
CP ARMONICHE
- 72
.
O
A
quindi se
O
- A e- ipnotataf Thae-ipnotdt ... -
¥
CON CP = 9
ho un behaviour
HIPERBOLIC
CON p dispari
w
l
=
CORRELAZ.
TRA X,
ex a
COMPONENTI DI FOURIER
(CIOE' ARMONICHE OSCILLAZIONI)
INDIPENDENTI → E OUTPUT è
LA OVERALL RESPONSE
00
fa, e- ip Not
dove op = f
Tècosì
GRANDE
CHE NON
C'E'
cut
dt =
CPT = "fa) è"
FINII
72
Conta ⇒ cuo → O =D Ci =P. Cio posso pendere
P GRANDE QUANTO voglio
SE SO CHE
fa) = E cpeiPFEEIGP.tt Gyeipoot
MA CONT → 00
È.
→ wo → da
moltiplica e divido per te so che (p. T = F(CU)
Zoo →
con T> 00
e 1/T =D Wo/2 TI
→ ho
conf PARI
✗ K LE DUE PARTI IMMAGINARIE ± Si Cancellano
PERIODICHE
FOURIER
F) = 1, [Fca). e'" da Inverse
TRANSFORM
TEMPORAL
POWER SPECTRAL DENSITY → E' FOURIER TRASFORM OF AUTOCORRELATION
È IL POWER
OF THE SIGNAL
YI
SOME SIGNALS
f- (t)
cost
47
cost?
fa) =L,/• Fca) e int da
Y A) = Fogli paio) Cp e'Put
y A) =L,
IN ± ZI
PS D= SO
è/2T, e quindi
42
adf.cn) PSE so
So
bilancio
T
2 DIRAC DELTA K
FREQUENCY
COMPONENT
± 2¥
± 4!...
Wi
42
a
Sf (a)
POWER SP.
DENSITY
in
SE IL PROCESSO È RANDOM, ¥
Realizzazione HA #Mean savane
una data regione
E QUINDI #POWER, Ma se il proc.
E' STAZIONARIO (Cioè Mean e
l'integrale della Pisa.
E' IL M-S-VALE → Autocorrelation NON DIPENDONO DAL
CIOE' IL POKER
TEMPO) ED IL POWER (M-S-VALLE)
OF SIGNAL
>a
IN UN DATO INTERVALLO CUI, 2
è lo stesso
→ BANDA RIDOTTA
00
MA Sfcw) = Sffa)
Rf (T) = # {• Sacco) e tutto è PARI
= 1 + • Sfcw)/cos (cit) + i Simcoe)] do
2T →
Quando Sf (a) Assume ci, ci SARA' ANCHE-CU, SO,
Il seno fa avere i valori = opposti quindi e' Elisa!
Simchat) _sin (Wat)
⇒ [2 So cos (ut) da = &
T
z
con area E/Cp/2
fa
A
→ E
to
RETI
↳ SOLO FINO A TO
If
to
a Rfc).
Auto con.
OF WIDE BAND
SIGNAL
Sfwa WOO
>
T
E
SE Sim (Wat) = Rf (r)
(
L'AUTOCORRELATION
DI UN SEGNALE WIDE
IL SUO
MEAN. S. V. BAND È DIRAC S
È INFINITO
AVREBBE UN POWER 00
Real Process (sample Armonie signal infinite domain )
COM'E' ? PSD?
Rfc T)
Con CUI = O =D Ho il sinclast) ↳ SE Cia → 00 HO UN DIRAC S
centrato in o con
E' UN WIDE BAND SIGNAL
ampiezza #cua
(O BANDA)
NON HA DOMINIO INFINITO
LA SUA AUTO Correlation
Fca). G (io) e int da
Rx (t) = #IIS f (a) e 'curda
costruisco un segnale NARROWBAND CON PSD = So
- W, -CUI
generic
deterministic
function
periodo t
INVERSE
41
Co2
range offre a. Where the power concentrate
Cioè IL POWER
E' CON CE N TATO
IN O
2T XK l'integrale
CON AREA TIA?
2
La stessa energia
Sfcw)
PSD
DUE PIRAL DELTA
A?
R,
CALCOLO L'OUTPUT
Y (Cu)
MEAN SO. VALLE IN FUNE. DI PSD
DIRAC DELTA
IN O CON AREA
FOURIER
TRANSFORM 2T C2
A Sim (t)
= E/Esfadw
FOURIER TRASF
NON PERIODICHE
+ (t) = I cpeinot
pelo
CON IL SUPERPOSITION PRINCIPLE
+" f- K(t). f (txt) de - SUA PSD è REALE (e PARI)
Rft, n) = lim
+→ at
72
TEMPORAL ANIMATION (è una funzione EVEN)
Rx (t). e- in the
so che M. SQUARE VALLE of signal: ERGODIC PROCESS)
112
PSD
00
47 = 1/72 f- 'it) at = R (TO) =L,/Sfuse"" Io
=
T -I
-O
I (a) NON è + E ①
(FG) = f C-A) =D MA È REALE!
TIÈ
HO DUE Def OF PSD: 1-SIDE, 2-SIDE (2×1 SIDE)
MEANS. VALE UNIT IS
a Sfcw)
f-(t) [MI → 42 [ma]
E' IL RUMORE BIANCO
ma
HA
AL
SUO
- 2T
zà '€
PSD → 4%0 → Mads → ma. 5) →
a SUA
cereauzze
INTERNO
TUTTE
Hz) oppure
AUTOCORREL
,
AUTOCAR
rod
^
l'autocar. moltiplica f- (t). f- (txt), con T
È
O
LA PSD Diventa
la Psd DELL'OUTPUT DI UN SISTEMA
ALLARGATA FOR
che prima o poi cadrà FUORI DAL Dominio (esto)
NARROW BANA SIGNAL
SOGGETTO A UN INPUT RANDOM È
Sy = G (a)/"Simp.(a) → DOVE Si npu.CN) = So (2 SIDED)
t
W,
t
U2
KAZ
IL M.SK. di OUTPUT è
µ! E,
• Sy da
-00
O P PURE = 2 So
(1 SIDED)
(È RUMORE BIANCO)
CONSIDERAZIONI SU PS:D CON INPUT PSD
PSD,
SO
e OUTPUT PSD
Ry (t)
INPUT
FACENDONE
LA INVERSE
Sy (a)
→ LA PSD
OF OUTPUT
DEVO MOLTI PL.
> a
GCW)/
%
WMAX
/Gas/? PSDX
--
CMAX
LE RICHIESTE DI
¥2
→ %
FOURIER TRANS F
OTTENGO
> W
La AUTO
CORRELATION
MOST of energy IS HERE
POSSONO ESSERE
Sx/w) da
00
LOGARITMI C DECREMENT METHOD
✗ (t)
r
c
✗o
-2
(
per l'altezza dei due picchi
(free oscillation)
UNDER CRITICAL:
× (t) =
} <1
→
(SONO SEMPRE+ INDIPENDENTI
MANO A MANO CHE T CRESCE)
L'IDEA DI AUTOCORR.
E' LA MEMORIA DEL
MODULUS OF
FREAK. FUN
Ed
e- 3 cuntsincudt)
(con ✗ (o) e X (o) = 0)
2
•
\ o e- 3am (tatta) sin (ad [tatta])
PRIMA:(IL PERIODO ✗ O_NON È STABILE
YA)
4g
2Wh
PSD Della
cud =
Zitta +2T = 2T ta = ti
- Sconta
e- Sconta. e-3 conta
che è So y
QUALCOSA:
→ /H (a)/2=0
PSD, Cw) =/H (a) ? Sy (cu)
21 → distanza ha tre ti è ta?
Sì
Td
✗(t) = -} con Xo e'> Umts in Gdt) + Xo cud e- Santos (ndt)
no cun FE
= Xo e-3 cont (Cud cos (adt) -} con sin (ndt)
come stimo &, con, ad
tramite questi ?
=
SONO ALTI!
Forza applicata A
F- (s) = H (s) Y (s)
LO CALCOLO CON
RATIO BETH. XI e X 2
→ ④ è grande il DAMPING RATIO → ① i picchi
→
COSTANT. T
PSD OF
OUTPUT
✗0
(b)
wa-ah,
A
IL SEGNALE LA CUI AUTOCORRELATION è
così (y (t)) è RANDOM, CON UN PERIODO
(PSEUDOPERIOD) 2T/ad uguale a
PROCESSO
✗2 (inte), ✗2. (inte)
ad
✗ o e-3wntag.in/cudt)
FINO
LONTANI E NON SONO +
Correlati TRA LORO
GUARDO I PICCHI
Dell'OSCILLAZIONE
I + 23am X + Un ✗ = O
Cud = Cum 1- '32
PERIODI = 2T
-PERIOI
¥
✗(S)-(Gw)/Y (s)
LA DIFF. EQUATION OF 1-DOF OSCILLATOR
✗2
QUAL'È IL TIMESCALE DOVE IL SYST
HA MEMORIA? CIOÈ QUAL È IL
VALORE ✗ IL QUALE L'AUTO CORRE
MANTIENE VALORI ALTI?
PSD OF INPUT. Sjw) = /Gcw)/? So
OUTPUT OF OSCILLATION OF SYSTEM (UNDER CRITICAL)
✗1
=
E
come stimare LE COSTANTI del modello generale di 1- DOF SYSTEM TRAMITE
L'OSSERVAZIONE DEL MODELLO DEL SUO OUTPUT
IN F. DEL TEMPO
m
1
sono vicini + SONO INFLUENZATI,
ma se tè grande i valori sono
DAMPED OSCILLATION
00
ROOT MEAN SQUARE OF INÉE E = It,
Ian
PERIOD = 2T/cud
PSEUDO
È UN SEGNALE CON PERIOD
è UN NARROW BAND PROCESS
UN ES.
1
>
La significato DELLA
DECADENZA COL TEMPO
DELLA AUTOCORRELATION è
CHE Più I VALORI MOLTIPLICATI
è}
quando
Cud t = 2 TI
conto è} cont (G- 'coscldt)-3 sin (ndt))
la periodicità per cui
=
cioè con
t-Td
con Ta
a
⇒ la
Cid = cum
con = cod + ad S"
4T?
i Ct) = 0?
1- 32
↳ con =
ad
1- 32
✗a
✗2
'3 posso scrivere come
sin (ndt + e)
= -} conta = ftp• 2T
= 8
3- Fes