东海衍生产品小组·期权组课题之六 波动率研究 一 波动率的定 分类 度量 1 波动率的定 波动率是用来 述标的资产 格 动的 确定性，是衡量标的资产 格 动快慢的尺度 或者 格 动幅度的指标 通常用资产收益率的标准差来衡量，比如股票的波动率可 用股 票的收益率标准差来度量 资产收益率分 百分比收益率和 数收益率 理论 假设资产收益率服从 态分 ，所 从统计学来讲，波动率是一个在理论 显示 格可能走势的钟形曲线的标准差 2 波动率的分类 波动率的类型 要 历史波动率 含波动率 预期波动率 未来波动率等 历史波动 率和 含波动率是在实际中 用最多的两种波动率 历史波动率 历史波动率是基于过去的统计分析得 的， 假定未来是过去的延伸，通过计算标的资 产在过去一段时间的标准差而来 通常是指标的资产的 收益率在过去一段时间内的 化标 准差，过去一段时间可 是最 的 30 90 或 他合适的 数 含波动率 含波动率是 据期 的 格反推 来的，是 场 交易的期 格所 含的波动率 标的资产 格 无风险利率 期股息率 期 执行 格 期 到期 和波动率是影响期 格的 6 个因素，可 利用期 定 模型，将期 场 格 及除波动率外的 他参数 入 期 定 公式 推 波动率，由 得 含波动率 预期波动率 预期波动率是指交易者 据 场情况 历史数据 未来 格波动率做 的一种预测，理 论 格是 用预期波动率计算 来的 未来波动率 未来波动率也 实际波动率，是指未来特定期间内的 收益率的 化标准差 利用模型 计算期 的理论 格时，实际 需要的是未来的波动率，但由于 波动率无法获 ，实际 用中通常用 述 他波动率来替 总的来说，历史波动率和 含波动率 于期 来说比较 要，历史波动率是基于过去的 统计分析得到的，计算相 简 含波动率反映了期 场参 者 于标的资产在期 效期内的预期，是 多投资者相互竞争的结果 3 波动率的度量 资产收益率度量方法 计算波动率是建立在资产 格收益率的基础 ，所 首先确定资产收益率的计算方法是 很 要的 据 格 化假设的 ，可 分两种 百分比 格 动法 数 格 动法 百分比 格 动法假设 格是固定的 连续的间隔 化 Si+1 − Si Ri = Si 1/9 中R i 是资产回 率，Si+1 是 资产 格，Si 是昨 资产 格 数 格 动法假设 格是连续的 化 Si+1 R i = ln( ) Si 中R i 是资产回 率，Si+1 是 资产 格，Si 是昨 资产 格 在经 的Ｂ 模型中，假设 格 动是连续的，因而 数收益法在确定波动率的公式中 更 合适 历史波动率的计算 波动率的标准定 是方差的 方 方差的定 Ｎ Ri − ｓ ＝ Ｎ ｉ＝ 式中，R i 从 本的 均收益率 Ｎ 数收益率 本规模 本方差得到总体方差的估计，需要做一 转换， Ｎ 2 但由于 Jensen N = s2 = N−1 N−1 等式的影响，直接在方差 开 方所得到的波动率估计 是 偏的， s2 < E s =E 可 ｉ＝ Ri − 们知道， 着 表示 2 E s2 = 本容量的增大，总体标准差 = 本标准差之间的偏差 小，偏差程度 s = b(N) 式中 b N = 2 N N ( ) 2 N −1 ) ( 2 所 ，s/b 就是总体标准差的无偏估计 通常， 了得到更准确的结果，会使用更多的 本数据 行估计， 量减小抽 误差 带来的影响 但是， 本量过多， 本中更可能掺 前 场状态无 的数据 所 一般 两种方法解决抽 误差的问题，一是可 通过使用更高频率的估计量， 是使用没 完全 剔除收盘 外所 数据的估计量 述的计算都是基于收盘 -收盘 的 系， 了得到 更好的估计量，需要引入更多的数据信息，从而得到 四种估计量 Parkinson 估计量 = 1 4N ln 2 N i=1 hi (ln )2 li 式中 hi 是交易时段的最高 li 是交易时段的最 Garman-Klass 估计量 = 1 N N i=1 1 1 hi (ln )2 − N 2 li N i=1 Rogers-Satchell 估计量 2/9 2 ln 2 − 1 (ln ci 2 ) ci − 1 1 N = N i=1 hi hi li li (ln )(ln ) + (ln )(ln ) ci oi ci oi Yang-Zhang 估计量 = o 式中 2 = 1 N i=1 ln N−1 c rs 2 = o 1 N−1 2 2 +k 1 = N−1 估计量 收盘 -收盘 估计量 Parkinson 估计量 Garman-Klass 估计量 Rogers-Satchell 估计量 Yang-Zhang 估计量 2 2 oi c i −1 + (1 − k) N ln i=1 hi hi N i=1(ln c )(ln o ) + i k= 在，总结一 各估计量的 c rs ci oi − 1 2 l l ci oi 2 (ln i )(ln i ) i 0.34 N+1 1+ N−1 缺点，如 表所示 点 1 抽 特性很容易理解 2 偏差容易纠 3 可 简 转换 带 回 项的公式形式 使用 内极差构 波动率 估计很 意 ， 而 相比基于 时间的抽 方法， 供了更全 面的额外信息 缺点 没 充分利用已 数据的 信息，并 收敛 度很慢 1 只适用于估计几何 朗 动过程中的波动率， 尤 能 处理 格 势和 格跳空 2 系统性地 估波动率 1 效率要比收盘 -收盘 估 计量高 8 倍 2 充分利用常用的 格信息 比 Parkinson 估计量的偏 差更大 允许 格 势效 的存在 无法处理 格跳空 1 它是 最小估计误差的 波动率估计 2 能够 时处理 格漂移和 格跳空 3 在可用数据的使用 最 效 格过程 跳空 时， 性能会较 到和收盘 -收 盘 估计量差 多 综 所述，无法 从数学角度 各估计量 行好坏判断，没 任何一个估计量一定是更 好的 们更 考虑 些 的估计量到 传达了一些什 信息， 及如何 据 些标准 做 决定 前面讲过，使用更高频率的的数据 能改善估计的质量， 过一 使用了高频数据， 便会丧失解读真实 格的能力 比如，由于买 差的存在，会使波动率的估计 偏差 并 ，高频数据 存储空间 计算机性能 了很高的要求 使用高频数据时另一个需要考 虑的问题是周期性因素的影响，包括隔夜收益率 真实波动率在一 内的巨大 化 在较短 时间周期 ，波动率预测的 精准性几乎完全是由路 依赖效 的 所 ，在使用高频 3/9 数据时，需要认真 些微 结构的问题 历史波动率通常 化表示， 波动率等于每交易 波动率 每 交易 乘 —— 波动率 = 波动率 × 交易 数 方 的 数 估计的历史波动率 实际波动率存在 一 ， 要是由于 选择的时间长度 是 型 的波动率时间长度，可能比 常波动率更高或更 由于整个时期内的系列数据是非连续 的和 化的，存在异方差性 统计 的 本估计问题， 需要多少 本才能得 合理的估 计是一门艺术 含波动率的计算 含波动率是利用期 格从期 定 模型中推 来的，是期 格中 含的波动率 信息，也是衡量期 场 于标的资产 确定性的一个指标 由于期 格的影响因素如 所示 期 格 = f(标的资产 格 执行 格 到期 利率 股息率 标的波动率) 中，标的资产 格 执行 格 到期 利率 股息率都可 从 场 察到，唯一 未知的就是波动率 通过将期 格和除波动率外的参数 入选用的期 定 模型，就可 求 含波动率的大小 由于期 定 模型一般较 复 ，难 直接反推 含波动率的解析解，所 一般采用 试错法 行计算 引入 本波动率数值，通过 断 入波动率来计算期 格，直 计算 的期 场期 格一 比如用 分法 找 含波动率的 骤如 选择最高 最 的波动率 h 和 l ， 可 从历史波动率中找到 用期 定 模型计算 h 和 l 的期 格Ch 和Cl 入公式 = l + C0 − Cl × h − l ÷ (Ch − Cl )，计算新的波动率，C0 期 场 格 用 计算 理论期 格 C 若 C − C0 ≤ δ ，则 就是要找的 含波动率 否则， 若C > C0 ，则 的 骤 h = ，若 C < C0 ，则 l= ， 复 一个期 格 于一个 含波动率，到期 相 执行 格 的期 ，计算 来的 含波动率 一 ， 了 场 统一的判断，可 用综合 含波动率来替 计算综合 含波动率 要 利用 交量数据 行加 ， 交量 大的期 所占的 大，但在盘中可能无法准 确得到 交量的 细数据，实时性较差 通过利用标的物 格 期 执行 的距离 虚值 实值的程度 来加 ， 要是降 深度实值和深度虚值期 的数据影响， 些期 波动率的敏感性较 通过期 的波动率敏感指标 Vega 来加 由于每 的行情会 到突发因素和 机因素的 扰，从而波动 机性， 采用 含波动率的 均值来 滑 机因素的 扰 波动率的预测 波动率通常 均值回复的特性，会在一定的范围内波动，所 ， 波动率 行预测， 相比 标的资产 格 行预测更简 可行 预测波动率的数学方法 很多，大 包括 1 历史波动率估计法 个方法假设未来 N 的波动率水 和过去 N 相 ， 时 之 滑动窗口法 moving window method 也就是使用之前 述的各种波动率估计量，设定时间窗口 ， 行计算得 到预测值 方法存在一个明显的问题， 标的资产 格的大幅 动会在波动率估计量的序 列中保留 N 突然消失， 波动率预测产生较大的偏差 4/9 了解决滑动窗口法的缺点，标准方法是使用指数加 移动 均模型 EWMA ，表达式 如 2 = )r2 t−1 + (1 − 中 是 于 0 到 1 之间的参数， 据经验，通常 0.9—0.99 模型是通过 一期的收益率的 方 前一期的方差 行加 均得到 2 t 前一期的 方差 小意味着 早期的波动率 前波动率的影响 小，而 期的波动 前波动 率的影响 大 个方法的 点是简 易用，便于理解，缺点是 够灵敏 如果一 情确 实一个异常 ，比如业绩公告之类的，如果在未来预测期内确定没 类似的 情发生，那 最好将它从数据集中剔除 方法另一问题在于它并没 考虑最 的波动率估计量所处的 场 境，比如波动率的均值回复特性 2 广 自回 异方差 GARCH 模型族 由于 类模型引入了预期回复的长期 均方差水 项，所 如果 前方差水 处于高 ， 们会期 它在短期内维持高 ，但最终 是会回 到 常水 GARCH(1,1)模型表达式如 2 2 = V+ t−1 + α rt−1 式中，V 是长期方差水 项， + α + = 1 所 GARCH(1,1)模型表达式一般可表示 2 2 2 t =ω + t−1 + α rt−1 2 t 所 ，V = ω 1−α − 于是便可得到 GARCH(p,q)模型的表达式 2 t =ω + 2 t−1 1 通过迭 法可 得到 + ⋯+ q 2 t−q 2 2 + α 1 rt−1 + ⋯ + α p rt−p −V = α + E 2t+ −1 − V 2 E 2t+ = V + α + t −V 通过 个公式可 推 波动率预测的期限结构，但 GARCH 模型只能得到 指数形式收敛 长期均值的期限结构，但无法得到 场 常 的那种 峰的波动率期限结构 实 ， GARCH 发挥作用最好的领域是预测短期波动率， 于长期波动率的预测， 模型并 是很 用，而长期波动率的预测 是波动率交易者所感 趣的 管如 ，GARCH 模型族 是给投 资者 交易员 供了波动率很好的参考和理解 E 2 t+ 3 含波动率估计法 含波动率是期 场 标的物在期 生存期内 将 的统计波动率的猜测，也可 说是 场 交易者计算的波动率 个概念的假设是 执行 格接 目前标的资产 格的 期 及交易量相 较大的期 ， 场的定 是合理的 每一种 体标的资产的每一个 交的期 都可 通过迭 试算法计算 的 含波动率，那 ， 标的资产 了若 个 的波动率 如果交易者 据交易量 及 实值或虚值的距离来加 如 式所示 ， 那 ，就可 标的资产得 一的波动率 个波动率是 标的资产在既定的一 中所考 察期 的收盘 基础的 含波动率 交易量加 系数 距离加 系数 交易量加 系数 距离加 系数 含波动率 交易量加 系数很容易计算 每个期 的系数只是期 的 交易量被所 的总期 交易量所除 离执行 格的距离加 系数满足如 系 5/9 标的资产期 xa 2 距离加 系数 a 2 , 若x a 0, 若x a 中 x 是标的资产 格 执行 格之间距离的百分率，a 是模型所使用的最大百分率距 离 譬如，a=0.25 ，超过 个距离，使用模型的交易者就 再会给期 的 含波动率加 种计算波动率的方法相 准确，它 标的资产波动率的 化也很敏感 外，在 间 动中，标的资产的 格波动可能会大于交易者想要看到的 通过计算最 20 或 30 的 含波动率移动 均值或几何移动 均值 达到 滑的效果 另一种 需要存储 多过去数 据的方法是在 含波动率的基础 行动量计算 譬如， 的最终波动率可 通过将 含波动率的 5%加 95%的前 最终波动率计算 来 个方法虽然只需要存储一则信息， 前一 的最终波动率，但 是保留了一种 滑 的效果 4 波动率分 的预测—波动率锥 除了 GARCH 模型族外， 许多 他 时间序列 行预测的方法， 中常 的 神经网 遗传算法 类人工智能算法 及诸如 ARMA 模型等经 的计量经济学方法 诸如人工智 能算法较 业， 没 足够的证据表明 些方法 精准的预测性，最大的问题在于 类 方法容易 过度拟合问题，因 容易被误用 述方法都是 波动率的点估计，然而在 实中， 们真 需要的是 波动率分 的预 测 举例来说，如果 们预测一个 波动率 12%，那 20%的水 含波动率看似 是个好 意 然而若 们了解到一个 波动率的范围大 在 11%—35%之间，那 个策略就 未必好了 波动率预测本身并 是那 必要，更 要的是得 波动率的 化 间(波动率的 分 ) 实 一目的的简 方法就是波动率锥，波动率锥就是阐明在 的交易 间内， 波动率 间是如何 化的 通常而言， 们最好将波动率的预测放在波动率锥的背景 行 考察，比如将 含波动率 波动率锥给 的历史波动率 行 比，如果发 一个 含波动 率水 已经达到了过去 2 中一个 波动率的 90 分 数，那 在 35%的水 一个 含波动率，就可 构建比较明智的交易计划 如果 GARCH 模型预测 来的已实 波动率是 20%，而 35% 含波动率就显得 考虑了 5 模型参数的估计—极大似然法 于点估计预测方法的各种模型，参数设定是个让人头疼的问题 参数设定既可 利用 人 经验，也可 利用历史数据 行估计 但无论如何， 中都 艺术的 分，既要规避 过度拟合的问题，又要面 参数合理性的问题 极大似然估计(MLE)是用来 概率分 的参数 行估计的方法， 个方法是指 在参数 可能 值的范围内，选 一个参数，使得最终 察到的 本所 的概率最大 GARCH(1,1)模型的似然函数如 t 1 2π i=1 exp 2 i −ri2 2 2i 通常 们使用相 的 数似然形式 t i=1 − ln 2 i 6/9 − ri2 2 i 通过 式 行最大化，便可得到 GARCH 模型的参数 但 个方法的问题在于， 参数 的 化范围比较大时，似然值可能仅仅发生很小的 化 个问题可 通过方差定 (variance targeting)的方法来解决， 实就是把ω 表示 V(1 − α − )，然 仅仅估计α 和 很多原因都会使模型数据拟合的效果 好， 些原因可能是 数据 足 通常需要 少 1000 个数据点 参数初始值设置的 好 数据 持续的季节性 在使用 内数据时， 是个较 常 的问题 模型的错误 数据和所选择的模型 配 在拟合时 6 总结 在 行期 交易时， 波动率的估计和预测都是必 可少的 预测更像是一门艺术，而 估计量 采用频率和预测方法的选择 都需要依靠经验 的方法均 各自适 的 场 境，在适 的 场 境中，一些方法的效果要好于 他方法 然而， 几点是在实际 中经常需要考虑的 用 的方法估计波动率，记 每种方法的 劣 数据点 多会包含无 的时间段，而数据点 少则会使 误差 大， 本 间的选 择需要 衡 两方面的影响 将预测放在使用波动率锥的 境 使用 在判断 含波动率是处于极端水 是 场 常水 时，需要把整个 场的 状考虑 去 含波动率的动态结构 通常，波动率是会 着行 到期时间的 而 化的，所 ，波动率存在着 规律 的移动轨迹，从而形 了著 的波动率曲面 预测波动率 已实 波动率 含波动率等各 种类型的波动率都 动态结构 由于实际交易中， 含波动率是最 要的一个波动率估 计量，所 着 研究一 含波动率的动态结构 在实际交易中，波动率形状的 化是最 要的，所 判定波动率的移动轨迹规律显得非 常 要 判定 的移动轨迹相 要性的一种方法是 分分析法(PCA)，PCA 是数学 处理降维的一种方法 经过研究，波动率整体方差中最 要的是 含波动率微笑曲线的 行 移动 倾斜度 化和曲率 化，分别占到了 65%—80% 5%—15% 5% 个结论告诉 们， 最 要的是了解波动率总体水 的 动，然 才是曲线的斜率 动 1 波动率水 的动态结构 波动率水 动态结构 波动率值的 动轨迹及规律 通过 期 的已实 波动率 含波动率的研究发 ，波动率 动在大 一个范围 间内 标的资产波动幅度 值的大 小呈 相 向 的波动比向 波动 得多 均值回复的特性 所 ，波动率水 的 动轨迹最 要的特性就是均值回复，虽然针 的资产标的，表 方式 相 ，但基 本都遵守 的特点 基于 ，使得交易波动率 可能 波动率均值回复是经常被 及但很少给 明确定 的一点 ，大 种定 非 式定 一个时间序列在最高点 降，在到达最 点 升时，那 它就是均值回复的 相 式的定 如果一个时间序列回 的 机误差项间存在负自相 性，那 它就是均值回复的 自 回 模型可表示 7/9 R t = ρ Rt−1 − + + Zt ρ 是自回 系数 是 均回 式中，R t 时刻的回 是回 的波动率 Z 服 从标准 态分 交易员的定 如果时间序列是均值回复的，那 就可 假设 化 势会反转而 是持续 通过 个 交易方法可 来获利 个定 的 心思想很 要， 含波动率的大幅 动 会反转，在 们开仓 行期 交易时需要牢牢记 一点 2 波动率微笑的动态结构 波动率微笑就是波动率 行 化而 化的一种规律 在 大多数标的的期 中，都 可 察到极度实值 极度虚值的 含波动率大于 值期 的 含波动率，从而形 一 微 笑的曲线，由 得 含波动率微笑 象 波动率微笑的 含分 相 于 数 态 分 更高的峰值 更肥的 部，呈 尖峰肥 象 理论 ，波动率微笑形 的相 解释大 如 点 资产 格非 态分 说 标准 BS 模型假设标的资产 格服从 数 态分 ，收益率 服从 态分 但实际 ，金融标的资产的收益率呈尖峰肥 特 ，所 BS 模型 估了期 转 深度实值或深度虚值的概率，也就是 估了 格 资产 格跳跃说 标准 BS 模型采用风险中性定 ， 假设资产 格服从带漂移的 朗 动，但没 考虑到 场资产 格存在跳跃的 象，如果期 接 到期时标的资产 格发 生跳跃， 空方 据 化 的 格调整标的资产头 并持 到期，到期时复制的组合 期 值可能会存在较大偏离， 时期 空方将面临额外风险， 风险无法分散化，因而空 方将要求相 的补偿，从而 期 场 格 理论 格的溢 gamma 风险和 vega 风险说 期 空方的 delta 套期保值在保持 delta 中性之外， 面临着 gamma 风险 vega 风险，gamma 大，delta 标的资产 动 敏感，从而使得复制 组合偏离理论期 值 容易 期 空方因 格 本无法连续调整标的资产头 时， 风险 可避免 vega 是期 格 标的资产波动率的一阶 数，由于实际波动率并 是模型所 假设的常数，而是一个 量， 他 时，vega 大，期 值 容易发生 化， 复制组合的 值也 容易 之产生偏差，从而 vega 风险 由于空方存在额外风险，因 而将要求相 的补偿，从而 期 场 格 理论 格的溢 针 的标的资产期 ，波动率微笑表 形式及原因都 相 例如，外汇期 场中由于央行的 预，汇率波动率并非常数， 跳跃性， 些特 性使得汇率更 频繁地 化 极端情形，因而虚值或实值期 的 格比理论 的期 格高 外， 着时间的增长，非常数波动率 期 格 化影响的程度 来 大，但 含波动 率 化影响的程度 来 小 着期限的增加，跳跃性 于期 格 化 及 含波动率 化的影响 来 小 股票期 存在波动率倾斜， 含波动率是 于执行 格的递减函数， 也就是说，执行 格较 的期 的 含波动率要 高于执行 格较高的期 表示 突发性的大幅 涨相比， 场 于 格大幅 跌更 敏感 一种解释是 杆效 ，股票 格 跌时，公司 值 降，而公司债务没 化，从而 公司 杆增加，意味着股票风险增 大 另一种解释是投资者 于股票 场暴跌的恐惧，因而希望 标的资产 格 降 供保 ， 也愿意付 较高的 格 3 波动率期限结构 波动率期限结构 述的是 含波动率会 期 剩余期限的 8/9 所 化 期 的波 动率 期 剩余期限之间的 系是 短期波动率非常 时，波动率函数是期 剩余期限时 间的增函数 短期波动率较高时，波动率函数是期 剩余期限时间的减函数 波动率 均值回复 从长期来看，波动率大多表 均值回 ， 到期 接 时， 含波动率 化较剧烈， 着到期 的延长， 含波动率将逐渐向历史波动率的均值靠 波动率微笑的形状也 到期 剩余期限的影响 通常来说，期 剩余期限 短，波动率 微笑就 显著 期 剩余期限 长， 执行 的期 的 含波动率差异 小， 接 于常 数 波动率曲面是将波动率期限结构和波动率微笑结合在一起产生的结果，可用于 执 行 格 及 期限的期 行定 波动率期限结构形 的解释大 种 格 动过程并非 稳说 效期内基本面的 化会引起标的资产 格预期分 的 永久性改 倘若 场预期标的资产将在某一时期发生 大 化，那 发生 的期 含波动率将 一 波动率非均匀说 实际波动率在 期内预期是 一 的，特别是 要 发生 他 差异更 明显 因而波动率 是期 效期内发生的时间数量及 要程度的函 数 波动率均值回 说 在一个给定的 场，波动率 能长期保持在极端的水 ，而是会 回到 长期均衡的水 也可 认 实际波动率从长期来看是一个相 稳定的水 波动 率水 超过均衡水 时，波动率会回到 常水 ，而 是持续维持 种差异 因 ， 期 效期限很长时，波动率 可能无限增加，就像枪 射程一 ，只 在射程范围内才可能 中目标，如果靶子超过射程 多，射 水 再高也 可能 中目标 但标准的定 模型并没 反映 一点，所 模型推 的 含波动率 着时间增加而 降 9/9