Il mio libro di matematica e Fisica Aprile2022

Il Mio Libro di Fisica Il Mio Libro di Matematica SOMMARIO MATHEMATICAL HORROR STORY 7 PRODOTTI NOTEVOLI 8 GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO 9 LA RETTA ANALITICA NEL PIANO CARTESIANO o La Forma Implicita Ed Esplicita Della Retta o “LA FORMULA PER TROVARE LA RETTA” 10 10 11 FUNZIONI 15 DOMINIO DI FUNZIONI FUNZIONI PARI E DISPARI Regole per capire se una Funzione è Pari o Dispari 16 17 17 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI 18 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI FATTORIZZATE CON A DESTRA LO ZERO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI BINOMIE CON ESPONENTE PARI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI BINOMIE CON VALORI ASSOLUTI 19 20 21 22 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI (CON RADICE QUADRATA) 23 GONIOMETRIA 24 L’ANGOLO 𝜶 IN RADIANTI LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE FORMULE GONIOMETRICHE o Formule di Addizione e sottrazione o Formule di Duplicazione EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE o EQUAZIONI e DISEQUAZIONE CON IL SENO o EQUAZIONI e DISEQUAZIONI CON IL COSENO o EQUAZIONI e DISEQUAZIONE CON LA TANGENTE 25 26 27 28 29 29 29 30 30 31 32 TRIGONOMETRIA 33 SENO COSENO TANGENTE IN TRIGONOMETRIA I TEOREMI DELL’AREA, DEL SENO E DEL COSENO IN TRIGONOMETRIA 34 35 ESPONENZIALI E LOGARITMI 36 FUNZIONI ESPONENZIALI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI IMMEDIATE FUNZIONI LOGARITMICHE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE IMMEDIATE PROPRIETÀ CON ESPONENZIALI & LOGARITMI 37 38 39 40 41 NUMERI COMPLESSI 42 IL PIANO DI GAUSS LE DIVERSE FORME DEI NUMERI COMPLESSI 42 43 2 ESEMPI DI NUMERI COMPLESSI NELLE VARIE FORME OPERAZIONI POSSIBILI CON I NUMERI COMPLESSI 44 45 I LIMITI 46 MINORANTI, MAGGIORANTI; ESTREMI INFERIORE E SUPERIORE, MINIMO E MASSIMO DAI LIMITI AL GRAFICO ASINTOTI: LA DEFINIZIONE CON I LIMITI IL CONCETTO DI INTORNO LE 7 FORME INDETERMINATE ALGEBRA DEI LIMITI LIMITI NOTEVOLI CON CONFRONTI ASINTOTICI o POTENZE o GONIOMETRICHE o ESPONENZIALI o LOGARITMI INFINITESIMI E INFINITI 47 48 49 50 51 51 53 53 53 53 53 54 DERIVATE 55 DEFINIZIONE OPERATIVA DI DERIVATA DELLA FUNZIONE CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO o Continuità di una funzione in un punto: o Derivabilità di una funzione in un punto: o Continuità e derivabilità PUNTI DI NON DERIVABILITA’ Definizione Come si trovano i punti non derivabilità? Classificazione dei punti di non derivabilità REGOLE DI DERIVAZIONE FURBATE – DERIVATE IMMEDIATE DERIVATA DELLA POTENZA DI FUNZIONI DERIVATA DI FUNZIONI ESPONENZIALI DERIVATA DI FUNZIONI LOGARITMICHE DERIVATA DI FUNZIONI GONIOMETRICHE 56 57 57 57 57 58 58 58 58 60 60 60 60 60 60 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 61 SOLUZIONI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI UTILI PER LA FISICA Andamenti Esponenziali con Tempi Caratteristici 62 63 CALCOLO COMBINATORIO 65 PERMUTAZIONI COMBINAZIONI SEMPLICI DISPOSIZIONI SEMPLICI IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA È FATTO DA COMBINAZIONI SEMPLICI! BINOMIO DI NEWTON 65 65 65 66 67 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 69 PROPRIETÀ CON LE POTENZE DEL 10 LE POTENZE DEL DIECI CON LETTERE RELATIVE LA FORMA DELLA NOTAZIONE SCIENTIFICA COME SCRIVERE UN NUMERO IN NOTAZIONE SCIENTIFICA L’ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO 70 71 72 73 74 3 OPERAZIONI CON NUMERI SCRITTI IN NOTAZIONE SCIENTIFICA 75 LE 7 GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI 76 EQUIVALENZE o EQUIVALENZE CON LE GRANDEZZE TEMPORALI LA DENSITA’ 77 78 79 GRAFICI IN FISICA 81 COME SI LEGGE UN GRAFICO? COME SI COSTRUISCE UN GRAFICO? INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE 81 81 81 LEGGI DI PROPORZIONALITA’ 82 I VETTORI 84 GRANDEZZE FISICHE: SCALARI VS VETTORIALI SCOMPOSIZIONE E RICOMPOSIZIONE VETTORIALE o SCOMPOSIZIONE VETTORIALE o RICOMPOSIZIONE VETTORIALE OPERAZIONI CON I VETTORI 85 86 87 89 91 FLUIDOSTATICA 93 DEFINIZIONE DI PRESSIONE PRESSIONE DI STEVINO SPINTA DI ARCHIMEDE 94 94 94 LA LUCE E L’OTTICA GEOMETRICA LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO OTTICA GEOMETRICA LA RIFLESSIONE o SPECCHI PIANI o SPECCHI SFERICI o SCHEMA DELLO SPECCHIO SFERICO CONCAVO o SCHEMA DELLO SPECCHIO SFERICO CONVESSO LA RIFRAZIONE o LENTI SOTTILI o SCHEMA DELLA LENTE CONVERGENTE o SCHEMA DELLA LENTE DIVERGENTE TEMPERATURA E CALORE CALORIMETRIA o IL CALORE SENSIBILE I PASSAGGI DI STATO o IL CALORE LATENTE: LA FORMULA LE FORZE LA FORZA DI ATTRITO FORZE IN UN PIANO INCLINATO I MOTI IL MOTO RETTILINEO UNIFORME 95 97 98 99 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 108 108 108 111 112 115 118 119 4 IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME L’ENERGIA LE DIVERSE FORME DI ENERGIE o ENERGIA CINETICA o ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE o ENERGIA POTENZIALE ELASTICA o ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA IL LAVORO DI UNA FORZA o COME CALCOLARE IL LAVORO DI UNA FORZA CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA LA QUANTITA’ DI MOTO o Tabella di confronto TRASLAZIONE - ROTAZIONE LE ONDE DESCRIZIONE E CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE o L’EQUAZIONE DELL’ONDA ARMONICA o LE GRANDEZZE FONDAMENTALI LA VELOCITA’ DIPENDE DAL MEZZO… o a) Onde ElettroMagnetiche o b) Onde Sonore o c) Onde lungo una corda tesa …LA FREQUENZA DIPENDE DALLA SORGENTE o Onde ElettroMagnetiche o Onde sonore o Onde lungo una Corda Tesa →vedi Onde Stazionarie INTERFERENZA NEL TEMPO INTERFERENZA NELLO SPAZIO 122 125 128 129 130 131 132 133 134 135 136 138 140 142 143 145 145 146 146 146 146 146 146 146 146 147 148 IL SUONO 149 LA LUCE 150 DIFFRAZIONE 151 L’ELETTRICITÀ 152 LA FORZA DI COULOMB E LA FORZA DI ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE IL CAMPO ELETTROSTATICO CAMPI ELETTRICI DI DISTRIBUZIONI DI CARICA CONDENSATORE A FACCE PIANE E PARALLELE CONDENSATORI IN SERIE E PARALLELO IL CAMPO MAGNETOSTATICO GENERATORI DI CAMPO MAGNETOSTATICO CHI SENTE IL CAMPO MAGNETICO? CURIOSITA’ SUL CAMPO MAGNETICO TERRESTRE APPLICAZIONI CON CAMPO MAGNETICO o Selettore di Velocità 153 154 155 156 157 158 159 160 161 161 161 5 o Spettrometro di Massa 161 DIPOLO ELETTRICO E MAGNETICO 162 CONFRONTO TRA CAMPO ELETTROSTATICO E MAGNETOSTATICO 163 LA LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ 164 IN CHE MODI SI PUÒ FORMARE UNA CORRENTE INDOTTA? 166 ELEMENTI CIRCUITALI 167 LE 4 EQUAZIONI DI MAXWELL NEL CASO GENERALE 168 RELATIVITÀ 169 RELATIVITÀ GALILEIANA LA CRISI DELLA FISICA CLASSICA RELATIVITÀ SPECIALE (O RISTRETTA) 𝐋𝐞𝐠𝐚𝐦𝐢 𝐭𝐫𝐚 𝐮, 𝛃, 𝛄 GRAFICO DEL FATTORE RELATIVISTICO LE CONSEGUENZE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ LA SIMULTANEITA’ LA DILATAZIONE DEI TEMPI (PROPRI) LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE (PROPRIE) L’ESEMPIO DEI MUONI RELATIVISTICI LA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ L’INTERVALLO 𝝈 RELATIVISTICO 169 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 IL MIO QUADERNO DEL LABORATORIO DI FISICA 185 STRUMENTAZIONE: 185 ERRORI DURANTE LA MISURA: 185 SERIE DI MISURE DIRETTE: 185 ACCURATEZZA E SENSIBILITÀ LE MISURE INDIRETTE LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI 185 186 186 6 Mathematical Horror Story Esercizio 1⋅𝑥 6∶3 107 2 1 −1 + 2 − 1 2 2 𝑥⋅𝑥 𝑥+𝑥 √6 3𝑎 + 𝑏 3 Risultato Corretto 𝑥 2 5 ⋅ 106 1 Risultato Sbagliato 1 3 103.5 −2 −1 − −1 1 4 𝑥2 2𝑥 √6 𝑏 𝑎+ 3 Esercizio 𝑥2 = 9 𝑥2 < 9 𝑥 2 ≥ −9 Risultato Corretto 𝑥 = ±3 −3 < 𝑥 < 3 SEMPRE Risultato Sbagliato 𝑥=3 𝑥 < ±3 MAI 2𝑥 𝑥2 3 𝑎+𝑏 7 PRODOTTI NOTEVOLI Prodotto Notevole Quadrato di binomio Formula Esempio (𝑨 + 𝑩)𝟐 = (𝑨)𝟐 + (𝑩)𝟐 + 𝟐(𝑨)(𝑩) 1 2 1 (2𝑥 − ) = 4𝑥 2 + − 2𝑥 2 4 (−𝑥 − 1)2 = 𝑥 2 + 1 + 2𝑥 (−3𝑥 3 + 1)2 = 9𝑥 6 + 1 − 6𝑥 3 (𝑨)𝟐 − (𝑩)𝟐 = (𝑨 + 𝑩) ⋅ (𝑨 − 𝑩) (𝑥 2 − 9) = (𝑥 + 3) ⋅ (𝑥 − 3) (𝑥 6 − 1) = (𝑥 3 + 1) ⋅ (𝑥 3 − 1) (𝑥 2 − 𝑦 2 ) = (𝑥 + 𝑦) ⋅ (𝑥 − 𝑦) (1 − 𝑥 2 ) = (1 + 𝑥) ⋅ (1 − 𝑥) Cubo di binomio (𝑨 + 𝑩)𝟑 = (𝑨)𝟑 + (𝑩)𝟑 + 𝟑(𝑨)𝟐 (𝑩) + 𝟑(𝑨)(𝑩)𝟐 (𝑥 − 1)3 = 𝑥 3 − 1 − 3𝑥 2 + 3𝑥 (𝑥 + 2)3 = 𝑥 3 + 8 + 6𝑥 2 + 12𝑥 1 3 1 𝑥 − 𝑥2 − (−𝑥 − ) = −𝑥 3 − 3 27 3 Somma e Differenza di cubi (𝑨)𝟑 ± (𝑩)𝟑 = (𝑨 ± 𝑩) ⋅ [(𝑨)𝟐 + (𝑩)𝟐 ∓ (𝑨)(𝑩)] (𝑥 3 − 8) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 4 + 2𝑥) (𝑥 3 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1 − 𝑥) (𝑥 6 − 27) = (𝑥 2 − 3)(𝑥 4 + 9 + 3𝑥 2 ) Quadrato di trinomio (𝑨 + 𝑩 + 𝑪)𝟐 = (𝑨)𝟐 + (𝑩)𝟐 + (𝑪)𝟐 + 𝟐(𝑨)(𝑩) + 𝟐(𝑨)(𝑪) + 𝟐(𝑩)(𝑪) (𝑥 + 2𝑦 − 1)2 = 𝑥 2 + 4𝑦 2 + 1 + 4𝑥𝑦 − 4𝑦 − 2𝑥 Differenza di quadrati GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO LA RETTA ANALITICA NEL PIANO CARTESIANO o La Forma Implicita Ed Esplicita Della Retta 𝒂,𝒃,𝒄 (Forma implicita) o 𝒎 e 𝒒 (Forma esplicita) Forma Implicita (sposto tutto a sinistra, a destra c’è lo 0) Forma Esplicita (Solo la y a sinistra, quindi devo trovarla) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒒 10 Se ho 2 punti 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) 𝑒 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ) posso trovare : ELEMENTO FORMULA VISIONE GRAFICA ESEMPIO CON 𝐴(−3; 1) 𝑒 𝐵(0; 2) Il punto medio 𝑴𝑨𝑩 del segmento AB 𝑥𝐴 +𝑥𝐵 𝑦𝐴 +𝑦𝐵 𝑀𝐴𝐵 = ( 2 ; 2 ) 𝑩 La retta 𝒓 passante per A e B 𝑦 − 𝑦𝐴 𝑥 − 𝑥𝐴 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑩 Il coefficiente angolare 𝑚𝐴𝐵 della retta passante per A e B La lunghezza del segmento AB 𝑚𝐴𝐵 = −3 3 𝑴𝑨𝑩 𝑀𝐴𝐵 = ( 2 ; 2) 𝑨 𝒓 𝑨 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 1 𝑦 = 𝑥+2 3 𝑚𝐴𝐵 = 𝑩 𝑨 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = √10 o “LA FORMULA PER TROVARE LA RETTA” Come trovare la retta conoscendo un punto 𝑨(𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ) ed il coefficiente angolare 𝒎 : 𝑦 − 𝑦𝐴 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝐴 ) 1 3 Se ho un punto 𝑨(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) ed una retta 𝒓 posso: AZIONE FORMULA VISIONE GRAFICA ESEMPIO CON ESEMPIO CON 𝐴(−3; 1)𝑒 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 1 Verificare se il punto appartiene alla retta: Sostituire le coordinate del punto nell’equazione della retta. Trovare la distanza tra punto e retta (scritta in forma implicita 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎) Trovare la retta 𝒔 passante per un punto e parallela ad una retta data Trovare la retta 𝒔 passante per un punto e perpendicolare ad una retta data Se risulta una cosa vera → 𝑨 𝜖 𝒓 Risulta: 1 = −5 → 𝑨 ∉ 𝒓 Se risulta una cosa falsa → 𝑨 ∉ 𝒓 𝑑𝑨−𝒓 = |𝒂𝒙𝑨 + 𝒃𝒚𝑨 + 𝒄| √𝒂2 + 𝒃2 Formula generale delle rette 𝑠: 𝑦 − 𝒚𝑨 = 𝒎𝒓 (𝑥 − 𝒙𝑨 ) Formula generale delle rette 1 𝑠: 𝑦 − 𝒚𝑨 = − (𝑥 − 𝒙𝑨 ) 𝒎𝒓 𝑑𝑨−𝒓 = 6 √5 𝑦 = 2𝑥 + 7 1 1 𝑦=− 𝑥− 2 2 12 Date due rette 𝒓 e 𝒔 INFORMAZIONI Sono COINCIDENTI se hanno lo stesso coefficiente angolare e stessa intercetta COINCIDENTI SE: 𝒎𝒓 = 𝒎𝒔 ; 𝒒𝒓 = 𝒒𝒔 Sono PARALLELE se hanno lo stesso coefficiente angolare e diversa intercetta 𝒎𝒓 = 𝒎𝒔 ; 𝒒𝒓 ≠ 𝒒𝒔 𝒓: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 Sono INCIDENTI se hanno diverso coefficiente angolare 𝒎𝒓 ≠ 𝒎𝒔 𝒓: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔: 𝒚 = −𝟑𝒙 Sono PERPENDICOLARI se sono incidenti e un coefficiente angolare è l’antireciproco dell’altro 𝟏 𝒎𝒓 = − 𝒎𝒔 Trovo le BISETTRICI degli angoli che si formano tra le due rette (scritte in forma implicita) FORMULA / 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 √𝒂2 + 𝒃2 =± 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 VISIONE GRAFICA ESEMPI 𝒓: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒓: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟏 𝒔: 𝒚 = − 𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒓: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒔: 𝒚 = −𝟑𝒙 √𝒂2 + 𝒃2 13 ESERCIZI e DOMANDE            Come si fa a capire se un punto appartiene ad una retta? Se hai due rette, come fai a trovare il punto di intersezione? Quanto vale il prodotto dei coefficienti angolari di due rette perpendicolari tra di loro? Quale è il significato geometrico del coefficiente angolare e del termine noto? Come fai a capire se tre punti dati sono allineati? Come si trova l’asse di un segmento di cui si conoscono gli estremi? Quale è l’equazione dell’asse x? Quale è l’equazione dell’asse y? Quanto vale il coefficiente angolare della retta y=3? Quanto vale il coefficiente angolare della retta x=2? Quale è la particolarità del punto di intersezione tra due rette? FUNZIONI 15 DOMINIO DI FUNZIONI Nome della funzione Funzione Per trovare il dominio impongo: Esempio di funzione Nell’esempio impongo: Denominatore 𝑁𝑈𝑀 𝑫𝑬𝑵 𝑫𝑬𝑵 ≠ 0 3𝑥 − 1 𝒙𝟐 − 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟑 ≠ 0 Radici di ordine pari 𝑃𝐴𝑅𝐼 √𝑨𝑹𝑮 𝑃𝐴𝑅𝐼 𝑨𝑹𝑮 ≥ 0 √𝟑 − 𝒙 𝟑−𝒙≥0 Logaritmo log 𝑩𝑨𝑺𝑬 (𝑨𝑹𝑮) 𝑩𝑨𝑺𝑬 > 0 {𝑩𝑨𝑺𝑬 ≠ 1 𝑨𝑹𝑮 > 0 Esponenziale 𝑩𝑨𝑺𝑬 𝐸𝑆𝑃(𝑥) 𝑩𝑨𝑺𝑬 > 0 { 𝑩𝑨𝑺𝑬 ≠ 1 (𝒙 + 𝟐)2𝑥 𝒙+𝟐>0 { 𝒙+𝟐 ≠1 Arcoseno Arcocoseno 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑨𝑹𝑮) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑨𝑹𝑮) 𝑨𝑹𝑮 ≤ 1 { 𝑨𝑹𝑮 ≥ −1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝟑 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 { 𝟑 − 𝒙𝟐 ≤ 1 𝟑 − 𝒙 ≥ −1 Tutte le altre funzioni Numeri Potenze Esponenziali con base numerica Radici di ordine dispari Valori assoluti log 𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟒) 𝒙𝟐 − 𝟒 > 0 3 𝑥2 2 𝐷=𝑅 𝑒 𝑥 −1 5 √3𝑥 + 1 |𝑥 + 3| 3 1 𝑥+4 1 √𝒙 − 𝟏 √3𝑥 + 1 𝒙+𝟐 𝐶𝑜𝑛 𝑝𝑖ù 𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖: 𝑓(𝑥) = 𝟐 +2 +| 𝟐 +3 |− 2 𝒙 −𝟏 𝒙 +𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟑 √𝒙 + 𝟑 𝐷=𝑅 𝒙𝟐 − 𝟏 ≠ 0 𝒙−𝟏≥0 → 𝒙𝟐+ 𝟐 ≠ 0 𝒙 +𝒙≠0 𝒙𝟐 − 𝟑 > 0 { 𝒙+𝟑≠0 FUNZIONI PARI e DISPARI PARI DISPARI Legame tra 𝒇(𝒙) e 𝒇(−𝒙) 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙) Cosa significa geometricamente? Se ho un punto 𝑨(𝟑; −𝟐) allora esiste anche il simmetrico punto B di coordinate (−𝟑, −𝟐) (−𝟑, 𝟐) Simmetria rispetto ALL’ASSE Y ALL’ORIGINE 𝒙𝑷𝑨𝑹𝑰 |𝒙| 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒙𝑫𝑰𝑺𝑷𝑨𝑹𝑰 𝒔𝒊𝒏(𝒙) ; 𝒔𝒊𝒏−𝟏 (𝒙) 𝒕𝒂𝒏(𝒙); 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙) Esempio grafico Esempi di Funzioni simmetriche Regole per capire se una Funzione è Pari o Dispari1 PARI ± PARI PARI DISPARI ± DISPARI DISPARI ∅ DISPARI ± PARI PARI ± DISPARI ∅ PARI ∙/ PARI PARI DISPARI ∙/ DISPARI PARI PARI ∙/ DISPARI DISPARI NOTA BENE!  Tutti i numeri sono funzioni PARI: (Graficamente 𝒚 = 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 è una retta orizzontale, e quindi simmetrica rispetto all’asse 𝒚, è quindi pari!).  Una funzione può essere né pari né dispari Pagina scritta da Carlotta Fummi - Settembre 2021 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Disequazioni di Secondo grado → 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 >< 0  Se 𝑎 < 0 → Cambiare segno e verso e tenere come buono il verso cambiato Δ≥0 Posso trovare: 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑙 Δ 𝑥1 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑙 − 𝑒 𝑥2 ( 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑙 +) 𝑥 < 𝑥1 ∨ 𝑥 > 𝑥2 𝑠𝑒 𝑐 ′ è > Valori Esterni 𝑠𝑒 𝑐 ′ è < 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 Valori Interni Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Ogni valore di x Δ<0 𝑠𝑒 𝑐 ′ è > Sempre Nessun valore di x Mai 𝑠𝑒 𝑐 ′ è < Equazioni e Disequazioni Fattorizzate con a Destra lo Zero Tipologia EQUAZIONI DISEQUAZIONI ESEMPIO FORMALE: 𝒇⋅𝒈 =0 𝒉⋅𝒛 𝒇⋅𝒈 >< 0 𝒉⋅𝒛 𝒇>𝟎 𝒈>𝟎 𝒉>𝟎 𝒛>𝟎 𝒇=𝟎 ∨ 𝒈=𝟎 𝒉≠𝟎 𝒛≠𝟎 IMPOSTAZIONE: { SI RISOLVE CON: TABELLA DELLE LINEE TABELLA DEI SEGNI (𝒙 − 𝟑) ⋅ (𝒙𝟐 − 𝟒) =0 𝟔 ⋅ (𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒙=𝟐 ∨ 𝒙=𝟑 (𝒙 − 𝟑) ⋅ (𝒙𝟐 − 𝟒) ≤0 𝟔 ⋅ (𝟐𝒙 + 𝟒) 𝟐≤𝒙≤𝟑 Esercizio Soluzione Esercizio 20 Equazioni e Disequazioni Binomie con Esponente Pari (Se esponente è dispari si applica a dx e sx la radice) Esempio Formale Procedimento 𝑭𝒏 = 𝑷𝑶𝑺 𝑭 = ± √𝑷𝑶𝑺 𝑭𝒏 > 𝑷𝑶𝑺 𝑭𝒏 < 𝑷𝑶𝑺 𝑭𝒏 = 0 𝑭𝒏 > 0 𝑭𝒏 ≥ 0 𝑭𝒏 < 0 𝑭𝒏 ≤ 0 𝑭𝒏 = 𝑵𝑬𝑮 𝑭𝒏 > 𝑵𝑬𝑮 𝑭𝒏 < 𝑵𝑬𝑮 𝒏 𝒏 𝒏 𝑭 < − √𝑷𝑶𝑺 𝑣 𝑭 > + √𝑷𝑶𝑺 𝒏 𝒏 − √𝑷𝑶𝑺 < 𝑭 < + √𝑷𝑶𝑺 𝑭=0 𝑭≠0 SEMPRE MAI 𝑭=0 MAI SEMPRE MAI Esempio Procedimento (𝒙 + 𝟏)𝟒 = 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟏 = ±2 𝒙𝟐 > 𝟗 𝒙 < −3 𝑣 𝒙 > 3 (𝒙 + 𝟏)𝟐 < 𝟗 𝒙𝟔 = 0 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 > 0 𝒙𝟒 ≥ 0 𝒙𝟐 < 0 𝒙𝟐 ≤ 0 𝒙𝟒 = −𝟑 𝒙𝟐 > −𝟏 𝒙𝟐 < 𝟏 − √𝟑 −3 < 𝒙 + 𝟏 < +3 𝒙=0 𝟐𝒙 + 𝟏 ≠ 0 SEMPRE MAI 𝒙=0 MAI SEMPRE MAI 21 Equazioni e Disequazioni Binomie con Valori Assoluti Esempio Formale Procedimento Esempio Procedimento |𝑭| = 𝑷𝑶𝑺 𝑭 = ±𝑷𝑶𝑺 |𝒙 + 𝟏| = 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟏 = ±𝟏𝟔 |𝒙| > 𝟗 𝒙 < −𝟗 𝑣 𝒙 > +𝟗 |𝟐𝒙 + 𝟏| < 𝟗 |𝟐𝒙 + 𝟏| = 0 |𝟐𝒙 + 𝟏| > 0 |𝒙 − 𝟏| ≥ 0 |𝒙 + 𝟐| < 0 |𝒙 − 𝟑| ≤ 0 |𝒙𝟐 − 𝟏| = −𝟑 |𝒙 + 𝟐| > −𝟏 |𝒙| < 𝟏 − √𝟑 −𝟗 < 𝟐𝒙 + 𝟏 < +𝟗 𝟐𝒙 + 𝟏 = 0 𝟐𝒙 + 𝟏 ≠ 0 SEMPRE MAI 𝒙−𝟑=0 MAI SEMPRE MAI |𝑭| > 𝑷𝑶𝑺 |𝑭| < 𝑷𝑶𝑺 |𝑭| = 0 |𝑭| > 0 |𝑭| ≥ 0 |𝑭| < 0 |𝑭| ≤ 0 |𝑭| = 𝑵𝑬𝑮 |𝑭| > 𝑵𝑬𝑮 |𝑭| < 𝑵𝑬𝑮 𝑭 < −𝑷𝑶𝑺 𝑣 𝑭 > +𝑷𝑶𝑺 −𝑷𝑶𝑺 < 𝑭 < +𝑷𝑶𝑺 𝑭=0 𝑭≠0 SEMPRE MAI 𝑭=0 MAI SEMPRE MAI 22 Equazioni e Disequazioni Irrazionali (Con radice Quadrata) EQUAZIONI IRRAZIONALI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI √𝑭 = 𝑮 √𝑭 < 𝑮 𝑭≥0 𝑭≥0 √𝑭 > 𝑮 𝑮<0 𝑮≥0 {𝑭 = 𝑮2 𝑮>0 {𝑭 < 𝑮2 { 𝑮≥0 𝑣 { 𝑭≥0 𝑭 > 𝑮2 23 GONIOMETRIA L’ANGOLO 𝜶 IN RADIANTI LA FORMULA 𝑨𝒓𝒄𝒐 𝜶= 𝒓 𝛂(𝒓𝒂𝒅) → 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝒊𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒊 𝒓 (𝒎) → 𝒓𝒂𝒈𝒈𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒛𝒂 ddd 25 LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA 26 SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO Gradi Radianti Coseno Seno Tangente 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝟎 𝝅/𝟔 𝝅/𝟒 𝝅/𝟑 𝝅/𝟐 𝟏 √𝟑/𝟐 √𝟐/𝟐 𝟏/𝟐 𝟎 𝟎 𝟏/𝟐 𝟎 √𝟑/𝟑 𝟏 √𝟐/𝟐 √𝟑/𝟐 𝟏 √𝟑 →∞ SIMULAZIONE (PHET) PER LEGGERE SENO, COSENO E TANGENTE DALLA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA 27 FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE 2 Funzione diretta 𝑓(𝑥) Dominio e codominio della funzione diretta Funzione Inversa 𝑓 −1 (𝑥) Dominio e codominio della funzione inversa 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝐷=𝑅 𝐶 = [−1, +1] 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧(𝒙) o 𝒔𝒊𝒏−𝟏 (𝒙) 𝐷 = [−1, +1] 𝜋 𝜋 𝐶 = [− , + ] 2 2 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐷=𝑅 𝐶 = [−1, +1] 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬(𝒙) o 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝒙) 𝐷 = [−1, + 1] 𝐶 = [0, 𝜋] 𝑘𝜋 𝐷 =𝑅−{ } 2 𝐶 = (−∞, +∞) 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒙) o 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (𝒙) 𝐷 = (−∞, +∞) 𝜋 𝜋 C = [− , + ] 2 2 𝐭𝐚𝐧(𝒙) 2 Pagina creata da Gravaghi Sophie,Novembre 2021 Grafico AGGIUNGERE FORMULE DI TRASLAZIONE INTERE E SEMINTERE FORMULE GONIOMETRICHE o Formule di Addizione e sottrazione sin(𝛼 ± 𝛽 ) = sin(𝛼 ) cos(𝛽 ) ± cos(𝛼 ) sin(𝛽 ) cos(𝛼 ± 𝛽 ) = cos(𝛼 ) cos(𝛽 ) ∓ sin(𝛼 ) sin(𝛽 ) sin(𝛼 ± 𝛽 ) tan(𝛼 ) ± tan(𝛽) = tan(𝛼 ± 𝛽 ) = cos(𝛼 ± 𝛽 ) 1 ∓ tan(𝛼 ) tan(𝛽 ) o Formule di Duplicazione sin(2𝛼 ) = 2sin(𝛼 ) cos(𝛼 ) cos(2𝛼 ) = cos2 (𝛼 ) − sin2 (𝛼 ) = 2 cos2 (𝛼 ) − 1 = 1 − 2 sin2 (𝛼) sin(2𝛼) 2tan(𝛼) = tan(2𝛼 ) = cos(2𝛼) 1 − tan2 (𝛼) EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE o EQUAZIONI e DISEQUAZIONE CON IL SENO 𝐬𝐢𝐧(𝜶) > 𝒏 𝑛=1 𝐬𝐢𝐧(𝜶) = 𝒏 𝛼1 = sin−1 (𝑛) + 2𝑘𝜋 𝛼2 = π − sin−1 (𝑛) + 2𝑘𝜋 𝑛=0 𝐬𝐢𝐧(𝜶) < 𝒏 𝑛 = −1 30 o EQUAZIONI e DISEQUAZIONI CON IL COSENO 𝐜𝐨𝐬(𝜶) = 𝒏 𝛼1 = + cos−1 (𝑛) + 2𝑘𝜋 𝐜𝐨𝐬(𝜶) > 𝒏 𝐜𝐨𝐬(𝜶) < 𝒏 𝛼2 = − 𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑛) + 2𝑘𝜋 𝑛 = −1 𝑛=0 𝑛 = +1 31 o EQUAZIONI e DISEQUAZIONE CON LA TANGENTE 𝑛 → +∞ 𝜋 𝐭𝐚𝐧(𝜶) > 𝒏 +2 𝑛=0 𝛼1 = tan−1 (𝑛) + 𝑘𝜋 𝜋 −2 𝐭𝐚𝐧(𝛂) < 𝒏 𝐭𝐚𝐧(𝜶) = 𝒏 𝑛 → −∞ 32 TRIGONOMETRIA 33 SENO COSENO TANGENTE IN TRIGONOMETRIA Le tre formule valgono SOLO per i Triangoli Rettangoli 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑎 𝜃) 𝐼𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑎 𝜃) 𝐼𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑎 𝜃) 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑎 𝜃) 34 I TEOREMI DELL’AREA, DEL SENO E DEL COSENO IN TRIGONOMETRIA Le tre formule valgono per Triangoli Qualsiasi: C 𝜸 b 𝜶 A a 𝜷 c B 1) Area A di un triangolo conoscendo due lati 𝒍𝟏 𝒆 𝒍𝟐 e l’angolo𝛉 compreso tra i due lati 𝐴= 1 𝑙 𝑙 𝑠𝑒𝑛(θ) 2 12 2) Teorema del Seno: il rapporto tra lato e seno dell’angolo opposto è costante 𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 ) 𝑠𝑒𝑛(𝛾 ) 3) Teorema del Coseno: Teorema di Pitagora generalizzato. Permette di trovare un terzo lato conoscendo gli altri due lati e l’angolo compreso. Permette di trovare anche il valore degli angoli conoscendo tre lati. (𝑙3 )2 = (𝑙1 )2 + (𝑙2 )2 − 2𝑙1 𝑙2 cos(𝜃) 35 ESPONENZIALI e LOGARITMI 36 FUNZIONI ESPONENZIALI 𝑦 = 𝑎 𝑥 (Esponenziali Elementari) 𝐵𝐴𝑆𝐸 ANDAMENTO L’esponenziale, per esistere, deve avere 𝑎 > 0 𝑎≤0 0<𝑎<1 𝑎=1 𝑎>1 Non Esiste Decrescente Costante 𝑦 = 1 Crescente DOMINIO Se 𝑎 > 0 il dominio è R Nessuna x CODOMINIO Se 𝑎 > 0, il codominio è 𝑅+ , perchè gli esponenziali sono sempre positivi! Nessun valore 𝑹 𝑹+ 𝑦 = 𝑎 𝑓(𝑥) 𝐵𝐴𝑆𝐸 ANDAMENTO L’esponenziale, per esistere, deve avere 𝑎 > 0 𝑎≤0 0<𝑎<1 𝑎=1 𝑎>1 Non Esiste Decres se 𝑓(𝑥) Cresc, Cresc se 𝑓(𝑥) Decres Costante 𝑦 = 1 Decres se 𝑓(𝑥) Decres, Cresc se 𝑓(𝑥) Cresc DOMINIO CODOMINIO Se 𝑎 > 0 Se 𝑎 > 0, il codominio è 𝑓(𝑥) sottoinsieme di 𝑅+ , il dominio di 𝑎 è il perchè gli esponenziali sono dominio di 𝑓(𝑥) sempre positivi! Nessuna x Nessuna y Dominio di 𝑓(𝑥) Codominio ⊆ 𝑅+ 37 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI IMMEDIATE 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛 𝑛 𝑛≤0 𝑛>0 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) Procedimento e risultato ∄𝑥 ∈ 𝑅 (Gli esponenziali sono sempre positivi!) Se 𝑛 si può scrivere in base 𝑎, l’uguale prende l’ascensore e si eguagliano gli esponenti In ogni caso, si può applicare il logaritmo ad entrambi i membri e risulta: 𝑓 (𝑥 ) = log 𝑎 (𝑛) 𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑛 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) 𝑛 𝑛≤0 𝑛>0 Procedimento e risultato ⩝ 𝑥 ∈ 𝑅 (Gli esponenziali sono sempre positivi!) 𝑆𝑒 0 < 𝑎 < 1 (CAMBIO VERSO) 𝑆𝑒 𝑎 > 1 (RESTA VERSO) Se 𝑛 si può scrivere in base 𝑎, il Se 𝑛 si può scrivere in base 𝑎, il maggiore prende l’ascensore e maggiore prende l’ascensore e diventa minore. resta maggiore. Si può sempre applicare il logaritmo ad In ogni caso, si può applicare il logaritmo entrambi i membri e risulta: ad entrambi i membri e risulta: 𝑓(𝑥 ) < log 𝑎 (𝑛) 𝑓 (𝑥 ) > log 𝑎 (𝑛) 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑛 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) 𝑛 𝑛≤0 𝑛>0 Procedimento e risultato ∄𝑥 ∈ 𝑅 ( Gli esponenziali sono sempre positivi!) 𝑆𝑒 0 < 𝑎 < 1 (CAMBIO VERSO) 𝑆𝑒 𝑎 > 1 (RESTA VERSO) Se 𝑛 si può scrivere in base 𝑎, il minore Se 𝑛 si può scrivere in base 𝑎, il minore prende l’ascensore e diventa maggiore. prende l’ascensore e resta minore. Si può sempre applicare il logaritmo ad Si può sempre applicare il logaritmo ad entrambi i membri e risulta: entrambi i membri e risulta: 𝑓(𝑥 ) > log 𝑎 (𝑛) 𝑓 (𝑥 ) < log 𝑎 (𝑛) 38 FUNZIONI LOGARITMICHE 𝑦 = log 𝑎 (𝑥) (Logaritmi Elementari) 𝐵𝐴𝑆𝐸 ANDAMENTO Il logaritmo, per esistere, deve avere 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 𝑎 ≤0v𝑎 =1 0<𝑎<1 𝑎>1 DOMINIO Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 il dominio è + CODOMINIO 𝑎 >0𝑒𝑎 ≠1 il codominio è Nessuna x Nessun valore 𝑹+ 𝑹 𝑹 Non Esiste Decrescente Crescente 𝑹 𝑦 = log 𝑎 (𝑓(𝑥 )) 𝐵𝐴𝑆𝐸 ANDAMENTO Il logaritmo, per esistere, deve avere 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 𝑎 ≤0v𝑎 =1 0<𝑎<1 𝑎>1 Non Esiste Decres se 𝑓(𝑥) Cresc, Cresc se 𝑓(𝑥) Decres Decres se 𝑓(𝑥) Decres, Cresc se 𝑓(𝑥) Cresc DOMINIO Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 il dominio di log 𝑎 (𝑓(𝑥)) è il sistema tra : dominio di 𝑓(𝑥) { 𝑓(𝑥) > 0 Nessuna x CODOMINIO Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 il codominio è sottoinsieme di 𝑹 Dominio: dominio di 𝑓(𝑥) { 𝑓(𝑥) > 0 Codominio ⊆ 𝑹 Nessuna y 39 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE IMMEDIATE log 𝑎 (𝑓 (𝑥 )) = 𝑛 𝑛 Qualsiasi valore di 𝑛 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) Procedimento e risultato L’esercizio comprende la valutazione del dominio e l’ultima riga, dove applico l’esponenziale in base a destra e a sinistra, log (𝑓(𝑥)) sfruttando la regola 𝑎 𝑎 = 𝑓(𝑥) 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑓 (𝑥 ) 𝑓 (𝑥 ) > 0 { 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑛 log 𝑎 (𝑓(𝑥 )) >< 𝑛 (𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1) 𝑛 Qualsiasi valore di 𝑛 Procedimento e risultato 𝑆𝑒 0 < 𝑎 < 1 (CAMBIO VERSO) 𝑆𝑒 𝑎 > 1 (RESTA VERSO) Il verso CAMBIA nel momento in Il verso RESTA nel momento in cui applico l’esponenziale in base cui applico l’esponenziale in base 𝑎 e si crea il sistema: 𝑎 e si crea il sistema: 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑓 (𝑥 ) 𝑓 (𝑥 ) > 0 { 𝑓 (𝑥 ) <> 𝑎𝑛 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑓 (𝑥 ) 𝑓 (𝑥 ) > 0 { 𝑓 (𝑥 ) >< 𝑎𝑛 40 PROPRIETÀ CON ESPONENZIALI & LOGARITMI Proprietà Serve per: Esempio con passaggi risolutivi 𝑎log𝑎(𝑏) = 𝑏 Uccidere i logaritmi applicando a destra e a sinistra l’esponenziale log 2 (𝑥 ) = 5 2log2 (𝑥) = 25 𝑥 = 32 Uccidere gli esponenziali applicando a destra e a sinistra il logaritmo 2𝑥 = 5 log 2 (2𝑥 ) = log 2 (5) 𝑥 = log 2 (5) log 𝑎 (𝑎 𝑏) =𝑏 Proprietà degli Esponenziali Proprietà dei Logaritmi 𝑎𝑏 ⋅ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 log 𝑎 (𝑏) + log 𝑎 (𝑐 ) = log 𝑎 (𝑏 ⋅ 𝑐 ) 𝑎𝑏 𝑏−𝑐 = 𝑎 𝑎𝑐 𝑏 log 𝑎 (𝑏) − log 𝑎 (𝑐 ) = log 𝑎 ( ) 𝑐 𝑐 𝑏 (𝑎 ) = 𝑎𝑏⋅𝑐 log 𝑎 (𝑏 𝑐 ) = 𝑐 ⋅ log 𝑎 (𝑏) log 𝑐 (𝑏) log 𝑎 (𝑏) = log 𝑐 (𝑎) Cambiamento di base 41 NUMERI COMPLESSI IL PIANO DI GAUSS LE DIVERSE FORME DEI NUMERI COMPLESSI 43 Esempi di Numeri Complessi nelle varie forme Forma cartesiana 𝒛 = 𝒂 + 𝑖𝒃 Parte reale 𝒂 = 𝑹𝒆(𝒛) 𝟏 𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 Parte immaginaria 𝒃 = 𝑰𝒎(𝒛) 𝟎 |𝒛| = 𝑴𝒐𝒅(𝒛) 𝟏 𝑨𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝛉 = 𝐀𝐫𝐠(𝐳) 𝟎 𝑧1 1 𝑧2 𝑖 𝟎 𝟏 𝟏 𝛑/𝟐 𝑧3 −1 −𝟏 𝟎 𝟏 𝛑 𝑧4 −𝑖 𝟎 −𝟏 𝟏 −𝛑/𝟐 𝑧5 1+𝑖 𝟏 𝟏 √𝟐 𝛑/𝟒 𝑧6 −1 − √3𝑖 −𝟏 −√𝟑 𝟐 𝟒𝛑/𝟑 𝑧7 −√3 + 𝑖 −√𝟑 𝟏 𝟐 𝟓𝛑/𝟔 𝑧8 1−𝑖 𝟏 −𝟏 √𝟐 −𝛑/𝟒 Forma Goniometrica 𝒛 = |𝒛|[𝒄𝒐𝒔(𝛉) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝛉)] Forma Esponenziale 𝒛 = |𝒛|𝒆𝒊𝛉 𝒄𝒐𝒔(𝟎) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟎) 𝛑 𝛑 𝒄𝒐𝒔 ( ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝛑) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝛑) 𝛑 𝛑 𝒄𝒐𝒔 (− ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 (− ) 𝟐 𝟐 𝛑 𝛑 √𝟐 [𝒄𝒐𝒔 ( ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 ( )] 𝟒 𝟒 𝟒𝛑 𝟒𝛑 𝟐 [𝒄𝒐𝒔 ( ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 ( )] 𝟑 𝟑 𝟓𝛑 𝟓𝛑 𝟐 [𝒄𝒐𝒔 ( ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 ( )] 𝟔 𝟔 𝛑 𝛑 √𝟐 [𝒄𝒐𝒔 (− ) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 (− )] 𝟒 𝟒 𝒆𝒊𝟎 𝒆 𝒊 𝛑 𝟐 𝒆𝒊𝛑 𝒆 −𝒊 𝛑 𝟐 √𝟐𝒆 𝒊 𝛑 𝟒 𝟐𝒆 𝒊 𝟒𝛑 𝟑 𝟐𝒆 𝒊 𝟓𝛑 𝟔 √𝟐𝒆 −𝒊 44 𝛑 𝟒 Operazioni Possibili con i numeri Complessi Coordinate Cartesiane Coordinate polari 𝒂 ;𝒃 |𝒛| ; 𝛉 Somma e sottrazione Reale con reale, Immaginario con Immaginario NO Prodotto Algebra Ricorda che 𝑖 2 = −1 Razionalizza con il coniugato del denominatore Solo le potenze semplici e quelle qualunque di i Modulo Pitagora tra reale e immaginario I moduli si moltiplicano Gli angoli si sommano I moduli si dividono Gli angoli si sottraggono I moduli si elevano alla n Gli angoli si moltiplicano per n Al modulo si applica la radice n-esima Nascono n angoli, dividendo l’angolo di partenza (con periodicità) per n Si legge Coniugato La 𝑖 diventa −𝑖 La 𝑖 diventa −𝑖 Divisione Elevamento a potenza Radice NO 45 I LIMITI Minoranti, Maggioranti; Estremi Inferiore e Superiore, Minimo e Massimo Nell’insieme 𝑅 ∗ = 𝑅 ∪ {±∞} in un insieme A (sottoinsieme di 𝑅 ∗ )possono essere definiti: INSIEME DEI MINORANTI INSIEME DEI MAGGIORANTI MINIMO SIMBOLO DEFINIZIONE DELLE STRUTTURE 𝒎(𝑨) Insieme dei numeri minori o uguali a TUTTI i numeri dell’insieme A 𝑴(𝑨) Insieme dei numeri maggiori o uguali a TUTTI i numeri dell’insieme A (−∞, +∞) {−∞} {+∞} NON ESISTE {−∞} [−3, +∞) ∪ {+∞} {−∞} MASSIMO ESTREMO INFERIORE ESTREMO SUPERIORE 𝑰𝒏𝒇(𝑨) Massimo dei minoranti di A 𝑺𝒖𝒑(𝑨) Minimo dei maggioranti di A NON ESISTE −∞ +∞ NON ESISTE NON ESISTE −∞ −3 [−3, +∞) ∪ {+∞} NON ESISTE −3 −∞ −3 {−∞} ∪ (−∞, 5] {+∞} NON ESISTE NON ESISTE 5 +∞ {−∞} ∪ (−∞, 5] {+∞} 5 NON ESISTE 5 +∞ {−∞} ∪ (−∞, −5] [−2, +∞) ∪ {+∞} NON ESISTE NON ESISTE −5 −2 {−∞} ∪ (−∞, −5] [−2, +∞) ∪ {+∞} −5 −2 −5 −2 {−∞} ∪ (−∞, −5] [−2, +∞) ∪ {+∞} −5 NON ESISTE −5 −2 {−∞} ∪ (−∞, −5] [−2, +∞) ∪ {+∞} NON ESISTE −2 −5 −2 {+∞} NON ESISTE NON ESISTE −∞ +∞ 𝒎𝒊𝒏(𝑨) 𝑴𝒂𝒙(𝑨) Elemento di A e Elemento di A e minorante di A (non maggiorante di A è detto esista) (non è detto esista) ILLIMITATO (−∞, −3) ILLIMITATO INFERIORMENTE (−∞, −3] ILLIMITATO INFERIORMENTE (5, +∞) ILLIMITATO SUPERIORMENTE [5, +∞) ILLIMITATO SUPERIORMENTE (−5, −2) LIMITATO [−5, −2] LIMITATO [−5, −2) LIMITATO (−5, −2] LIMITATO (−∞, 1) ∪ [4, +∞) ILLIMITATO {−∞} DAI LIMITI AL GRAFICO lim 𝑓(𝑥) = 𝒍 𝑥→𝒙𝟎          𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒍 𝒍 𝑭𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒍−  𝒙𝟎 𝑭𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 −∞ +∞         −∞      +∞     𝒙− 𝒐  𝒙+ 𝒐  𝒙𝟎 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒍+    𝑷. 𝒕𝒐 𝒅𝒊 𝑨𝒄𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒙𝟎  𝒍 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 48 ASINTOTI: La definizione con i limiti ETIMOLOGIA: a-syn-piptein (che non si incontra) TIPO DI ASINTOTO ORIZZONTALE VERTICALE OBLIQUO lim 𝑓 (𝑥 ) = ∞ 𝑥→∞ Esiste quando: (con 𝒙𝟎 punto di accumulazione sulle 𝒙 e con 𝒍 limite sulle 𝒚) lim 𝑓(𝑥) = 𝒍 𝑥→∞ 𝑓(𝑥 ) 𝒎 = lim 𝑥→∞ 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝒎 𝐹𝐼𝑁𝐼𝑇𝑂 lim 𝑓(𝑥) = ∞ 𝑥→𝒙𝟎 𝒒 = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 ) − 𝒎𝑥 𝑥→∞ { Equazione dell’ Asintoto Esempio Grafico di funzione con asintoto 𝑦=𝒍 𝑥 = 𝒙𝟎 𝑐𝑜𝑛 𝒒 𝐹𝐼𝑁𝐼𝑇𝑂 𝑦 = 𝒎𝑥 + 𝒒 49 IL CONCETTO DI INTORNO 𝐶𝑜𝑛 𝛿 > 0 𝑒 𝑀 > 0 Tipo di intorno Intorno completo di 𝑥0 Intorno sinistro di 𝑥0 Notazione Scrittura ad intervallo Scrittura con la x 𝐼𝐶 (𝑥0) (𝑥0 − 𝛿1 , 𝑥0 + 𝛿2) 𝑥0 − 𝛿 1 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 2 𝐼𝑆 (𝑥0) (𝑥0 − 𝛿 , 𝑥0) 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 Visione grafica 𝑥0 𝑥0 Intorno destro di 𝑥0 𝐼𝐷(𝑥0) (𝑥0, 𝑥0 + 𝛿) 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 Intorno di meno Infinito 𝐼(−∞) (−∞, −𝑀) 𝑥 < −𝑀 Intorno di più Infinito 𝐼(+∞) (M,+∞) 𝑥>𝑀 Intorno di Infinito 𝐼(∞) (−∞, −𝑀1) ∪ (𝑀2, +∞) 𝑥 < −𝑀1 𝑣 𝑥 > 𝑀2 𝑥0 50 Le 7 FORME INDETERMINATE 0 0 ∞ ∞ +∞−∞ 00 0⋅∞ ALGEBRA DEI LIMITI 𝒏 0 +∞ 𝒎+𝒏 𝒎 +∞ 𝟎 +∞ +∞ 𝑆𝑜𝑚𝑚𝑎 𝒎 𝟎 +∞ −∞ Prodotto = 𝒏 ⋅ 𝒅 𝒅 𝟎 1∞ −∞ −∞ −∞ 𝑰𝑵𝑫 −∞ ∞ n e d non tendono a 0 𝒏 𝒏⋅𝒅 𝟎 ∞ 𝟎 𝟎 𝑰𝑵𝑫 ∞ ∞ “Con il Prodotto 0 𝑒 ∞ impongono il loro valore” 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 = 𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆 𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆 n e d non tendono a 0 𝒅 𝟎 ∞ 𝒏 𝒏/𝒅 ∞ 𝟎 𝟎 𝟎 𝑰𝑵𝑫 𝟎 ∞ ∞ ∞ 𝑰𝑵𝑫 𝑫𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆 𝑵𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆 “ Se a Numeratore, 0 𝑒 ∞ impongono il loro valore, se a Denominatore impongono l’uno l’altro” ∞0 𝐸𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 ∶ 𝒃𝒆𝒙𝒑 exp(Esponente) 𝒏 𝟎 +∞ −∞ 1 1 1 𝑰𝑵𝑫 𝑰𝑵𝑫 𝑏>1 𝒃𝒏 𝟏 +∞ 𝟎+ 0+ 𝟎+ 𝑰𝑵𝑫 𝟎+ +∞ +∞ +∞ 𝑰𝑵𝑫 +∞ 𝟎+ 𝒃 (Base) 𝑠𝑒 0 < 𝑏 < 1 [ 1 𝑥 ( 2) → 2−𝑥 ] 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜: log 𝒃 (𝑨𝑹𝑮) ARG(Argomento) −∞ 𝒃 (Base) 𝟎− 𝑵𝑶𝑵 𝑵𝑶𝑵 𝑬𝑺𝑰𝑺𝑻𝑬 𝑬𝑺𝑰𝑺𝑻𝑬 𝒃>𝟏 𝟎+ −∞ 𝟏 𝟎 +∞ +∞ 𝒔𝒆 𝟎 < 𝒃 < 𝟏 [ 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙) → − 𝐥𝐨𝐠 (𝒙) ] 𝟐 𝟐 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 sin(∞) → −1 ≤ 𝑙 ≤ 1 → 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑁𝑂𝑁 𝐸𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸 cos(∞) → −1 ≤ 𝑙 ≤ 1 → 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑡𝑜 𝑁𝑂𝑁 𝐸𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸 𝜋− tan ( + 𝑘𝜋) → 2 𝜋+ tan ( + 𝑘𝜋) → 2 +∞ 𝜋+ arctan(−∞) → − 2 −∞ 𝜋− arctan(+∞) → 2 52 LIMITI NOTEVOLI CON CONFRONTI ASINTOTICI FUNZIONI INFINITESIME DI ⎕INFINITESIMI 𝑐𝑜𝑛 ⎕ → 0 (N.B. solo se ⎕ è un infinitesimo) o POTENZE 𝑛 (1 + ⎕) − 1 ≈ 𝑛 ⋅ ⎕ o GONIOMETRICHE sin(⎕) ≈ ⎕ arcsin(⎕) ≈ ⎕ tan(⎕) ≈ ⎕ arctan(⎕) ≈ ⎕ 1 − cos(⎕) ≈ ⎕ 2 2 o ESPONENZIALI 𝑎⎕ − 1 ≈ ⎕ ⋅ ln(𝑎) 𝑒⎕ − 1 ≈ ⎕ o LOGARITMI log 𝑎 (1 + ⎕) ≈ ⎕ ⋅ log 𝑎 (𝑒) 𝑙𝑛(1 + ⎕) ≈ ⎕ 53 INFINITESIMI e INFINITI Una funzione 𝑓 , per x che tende al punto di accumulazione 𝑥0 : INFINITESIMI è un Infinitesimo se: lim 𝑓(𝑥) = 0 INFINITI è un Infinito se: lim 𝑓(𝑥) = ∞ Con 𝑡 → 0 𝜶 Con 𝑡 → ∞ 𝜶 con 𝛽 ≠ 0 𝛼>0 con 𝛽 ≠ 0 𝛼>0 INFINITESIMO INFINITESIME INFINITO INFINITE 𝛽1 𝑡 𝛼1 lim = 𝑡→0 𝛽2 𝑡 𝛼2 𝛽1 𝑡 𝛼1 lim = 𝑡→∞ 𝛽2 𝑡 𝛼2 𝑥→𝑥𝑜 Attraverso una sostituzione (in t) è possibile approssimare la funzione alla PARTE PRINCIPALE Dove 𝛼 è l’ordine di IL LIMITE RAPPORTO TRA DUE FUNZIONI NELLA SOMMA ALGEBRICA TRA FUNZIONI INFINITESIME / INFINITE LA PARTE PRINCIPALE DIVENTA QUELLO CON L’ORDINE : 𝜷⋅𝒕 0 𝛽1 { 𝛽2 ∞ 𝑠𝑒 𝛼1 > 𝛼2 𝑠𝑒 𝛼1 = 𝛼2 𝑠𝑒 𝛼1 > 𝛼2 MINORE 𝑥→𝑥𝑜 𝜷⋅𝒕 ∞ 𝛽1 { 𝛽2 0 𝑠𝑒 𝛼1 > 𝛼2 𝑠𝑒 𝛼1 = 𝛼2 𝑠𝑒 𝛼1 > 𝛼2 MAGGIORE 54 DERIVATE 55 DEFINIZIONE OPERATIVA DI DERIVATA DELLA FUNZIONE 𝒇′(𝑥) ≝      𝑑𝒇 𝑑𝑥 ≝ 𝑙𝑖𝑚 𝒇(𝑥 + ℎ) − 𝒇(𝑥) ℎ→0 ℎ 𝒇′ (𝑥) è la derivata di 𝒇(𝑥) 𝒇(𝑥 + ℎ) è l’immagine di 𝑥 + ℎ 𝒇(𝑥) è l’immagine di 𝑥 𝑑𝑥 è pari a ℎ solo se ℎ → 0, in questo caso è l’incremento infinitesimo lungo le x 𝑑𝒇 è pari a 𝒇(𝑥 + ℎ) − 𝒇(𝑥) 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 ℎ → 0, è l’incremento infinitesima della funzione, in seguito alla variazione infinitesima della x LA DERIVATA di 𝒇 Infinitesimi Rapporto tra incrementi: Definizione matematica Valutazione della funzione in Visione geometrica: il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta Esempio grafico Visione fisica: se la funzione f(x) è la legge oraria s(t)… … Il rapporto degli incrementi corrisponde 𝒇′ = 𝑑𝒇 𝒇(𝑥 + ℎ) − 𝒇(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑥 ℎ→0 ℎ Finiti Δ𝒇 𝒇(𝑥𝐵 ) − 𝒇(𝑥𝐴 ) = Δ𝑥 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 1 punto di ascissa x 2 punti di ascissa 𝑥𝐴 𝑒 𝑥𝐵 Tangente alla funzione in x Secante la funzione in 𝑥𝐴 𝑒 𝑥𝐵 𝑣𝐼𝑆𝑇 (𝑡) = 𝒔′ = 𝑑𝒔 𝒔(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝒔(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 𝑑𝑡 ℎ→0 𝑑𝑡 Alla Velocità istantanea all’istante t 𝑣𝑀 = Δ𝒔 𝒔(𝑡𝐵 ) − 𝒔(𝑡𝐴 ) = Δ𝑡 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 Alla Velocità media tra gli istanti 𝑡𝐴 𝑒 𝑡𝐵 56 CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO La funzione deve essere definita almeno in un intorno di 𝒙𝟎 o Continuità di una funzione in un punto: Una funzione è continua in 𝒙𝟎 se lim 𝒇(𝑥) = 𝒇(𝒙𝟎 ) o in modo equivalente se lim 𝒇(𝒙𝟎 + ℎ) = 𝒇(𝒙𝟎 ) e quindi lim [𝒇(𝒙𝟎 ℎ→0 ℎ→0 𝑥→𝒙𝟎 + ℎ) − 𝒇(𝒙𝟎 )] = 0 o Derivabilità di una funzione in un punto: Una funzione è derivabile in 𝒙𝟎 se il limite: [𝒇(𝒙𝟎 + ℎ) − 𝒇(𝒙𝟎 )] 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑑 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜. ℎ→0 ℎ lim   Se il limite esiste deve essere unico, quindi in un punto non possono esserci due rette tangenti nello stesso punto Se il limite è finito, la tangente non può essere verticale o Continuità e derivabilità    Se una funzione è continua in un punto non è detto sia derivabile in quel punto (vedi valore assoluto) Se una funzione è derivabile in un punto è SEMPRE continua in quel punto Se una funzione non è continua in un punto NON E’ MAI derivabile in quel punto (Contronominale della precedente affermazione)Se una funzione non è derivabile in un punto potrebbe essere continua in quel punto (in questo caso si classificano i punti di non derivabilità) oppure no (quindi ho punti di discontinuità/singolarità e non ha senso classificare i punti di non derivabilità). 57 PUNTI DI NON DERIVABILITA’ Definizione  UN PUNTO DI NON DERIVABILITA’ è un PUNTO DI CONTINUITA’ in cui la funzione NON E’ DERIVABILE (cioè dove derivata destra e sinistra sono diverse tra loro o non sono finite, o in modo equivalente non esiste una tangente unica o, se esiste unica, è verticale nel punto studiato). Quindi un punto di discontinuità/singolarità non deve essere discusso come punto di non derivabilità. Come si trovano i punti non derivabilità? Si studiano i punti che non appartengono al dominio della derivata che però sono di continuità per 𝑓(𝑥). Se la funzione è definita a tratti (quasi sempre), si studiano ANCHE i ponti di raccordo. Se questi punti sono di continuità, si procede per studiare la loro derivabilità (o meno, e quindi classificandoli) Classificazione dei punti di non derivabilità Una volta calcolate la derivata destra e sinistra in 𝑥0 , esse risultano: Dal punto di vista della tangente : Punto Angoloso Cuspide Flesso a tangente verticale Diverse tra loro dove almeno una delle due è finita Entrambe infinite discordi Entrambe infinite concordi Le tangenti sx e dx sono diverse, quindi si può calcolare l’angolo tra di loro, non esiste una tangente nel punto La tangente esiste unica ma è verticale La tangente esiste unica ma è verticale 58 Esempi Analitici di funzioni continue e non derivabili in 𝑥0 = 2 Punto Angoloso Cuspide Flesso a tangente orizzontale 𝑓(𝑥 ) = |𝑥 − 2| 𝑓(𝑥 ) = √|𝑥 − 2| 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 − 2 3 Esempi Grafici corrispondenti agli esempi analitici  59 REGOLE DI DERIVAZIONE NOTA BENE: (ricorda le parentesi,𝒇𝑒 𝒈 sono funzioni derivabili e 𝒄, 𝒎, 𝒒, 𝒂, 𝒏 sono numeri reali) (𝒇 ± 𝒈)′ = (𝒇)′ ± (𝒈)′ DERIVATA DELLA SOMMA (𝒇 ⋅ 𝒈)′ = (𝒇)′ (𝒈) + (𝒇)(𝒈)′ DERIVATA DEL PRODOTTO 𝒇 ′ ( ) = 𝒈 (𝒇)′ (𝒈)−(𝒇)(𝒈)′ (𝒈)𝟐 DERIVATA DEL QUOZIENTE FURBATE – DERIVATE IMMEDIATE (𝒄𝒇)′ = 𝒄(𝒇)′ DERIVATA TRA COSTANTE MOLTIPLICATIVA E FUNZIONE 𝒙′ = 𝟏 LA DERIVATA DI x E’ UGUALE A UNO 𝒄′ = 𝟎 LA DERIVATA DI UNA COSTANTE E’ UGUALE A ZERO (𝒎𝒙 + 𝒒)′ = 𝒎 LA DERIVATA DI UNA RETTA E’ IL SUO COEFFICIENTE ANGOLARE DERIVATA DELLA POTENZA DI FUNZIONI (ricorda le potenze negative e le radici…) [(𝒇)𝒏 ]′ = 𝒏 ⋅ (𝒇)𝒏−𝟏 ⋅ (𝒇)′ DERIVATA DI FUNZIONI ESPONENZIALI (𝒂𝒇 )′ = 𝒂𝒇 ⋅ 𝒍𝒏 (𝒂) ⋅ (𝒇)′ (𝒆𝒇 )′ = 𝒆𝒇 ⋅ (𝒇)′ DERIVATA DI FUNZIONI LOGARITMICHE 𝒇′ ′ (𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒇)) = ⋅ 𝒍𝒐𝒈𝒂 (𝒆) (𝒍𝒏(𝒇)) = 𝒇 ′ 𝒇′ 𝒇 DERIVATA DI FUNZIONI GONIOMETRICHE ′ ′ (𝒔𝒊𝒏(𝒇)) = 𝒄𝒐𝒔(𝒇) ⋅ (𝒇)′ (𝒕𝒂𝒏(𝒇))′ = (𝒄𝒐𝒔(𝒇)) = −𝒔𝒊𝒏(𝒇) ⋅ (𝒇)′ (𝒇)′ 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝒇) (𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒇))′ = − (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒇))′ = (𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏(𝒇))′ = (𝒇)′ 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝒇) (𝒇)′ = −(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒇))′ 𝟏 + 𝒇𝟐 (𝒇)′ √𝟏 − 𝒇 𝟐 = −(𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒇)) ′ EQUAZIONI DIFFERENZIALI 61 SOLUZIONI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI UTILI PER LA FISICA Tipo di Equazione Differenziale EQUAZIONE DIFFERENZIALE (da mettere in questa forma) SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE APPLICAZIONI IN FISICA 1°ORDINE 𝑑𝑓 −𝑡/𝝉 + 𝑓𝐿𝐼𝑀 (1 − 𝑒 −𝑡/𝝉 ) 𝝉 + 𝑓 = 𝑓𝐿𝐼𝑀 𝑓(𝑡) = 𝑓0 𝑒 𝑑𝑡 Circuiti RL, RC, Velocità limite, Sbarretta in movimento in campo magnetico 2°ORDINE 𝑑2 𝑓 2 + 𝜔 𝑓=0 𝑑𝑡 2 Sistemi oscillanti: Sistema Massa-molla Circuito LC 𝑓(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) Andamenti Esponenziali con Tempi Caratteristici 𝑓(𝑡) = 𝑓0 ⋅ 𝑒 − 𝑡 𝜏 Unità di tempo in tempi caratteristici (𝜏) 0𝜏 1𝜏 2𝜏 3𝜏 4𝜏 5𝜏 6𝜏 7𝜏 8𝜏 9𝜏 10 𝜏 →∞𝜏 Percentuale del valore iniziale 𝑓0 100% 36.8% 13.5% 5.0% 1.8% 0.67% 0.25% 0.09% 0.034% 0.012% 0.0045% → 0+ 63 𝑓 (𝑡) = 𝑓𝐿𝐼𝑀 (1 − 𝑒 − 𝑡 𝜏 ) Unità di tempo in tempi caratteristici (𝜏) Percentuale del valore limite finale 𝑓𝐿𝐼𝑀 0𝜏 1𝜏 2𝜏 3𝜏 4𝜏 5𝜏 0% 63.2% 86.5% 95.0% 98.1% 99.3% 6𝜏 7𝜏 8𝜏 9𝜏 10 𝜏 99.75% 99.91% 99.966% 99.988% 99.995% →∞𝜏 → 100% 64 Calcolo Combinatorio NOTA BENE: 0! = 1 (𝑛0 ) = 1 (1𝑛 ) = 𝑛 (𝑛𝑛 ) = 1 Permutazioni Combinazioni semplici Disposizioni semplici (anagrammi) ( gli elementi non si ripetono) (gli elementi non si ripetere) Simbolo 𝑃𝑛 𝐶𝒏,𝒌 𝐷𝒏,𝒌 Formula 𝑛! 𝑟1 ! ⋅ 𝑟2 ! ⋅ 𝑟3 ! ì Cosa contano? Il numero di anagrammi di n elementi dove ogni elemento è presente r volte. Anagrammi della parola Occhio Esempio 6! = 60 2! 2! 1! 1! (𝒏𝒌 ) 𝒏! = 𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝒏! (𝒏 − 𝒌)! Il numero di gruppi di 𝒌 elementi con Il numero di gruppi di 𝒌 elementi con 𝒏 elementi disponibili. n elementi disponibili. All’interno di ogni gruppo All’interno di ogni gruppo NON CONTA l’ordine. CONTA l’ordine Numero di foto di coppia di una classe con 26 studenti 𝐶26,2 = (26 2 )= 26! = 325 2! 24! Numero di podii con 5 concorrenti 𝐷5,3 = 5! = 60 2! 65 Il triangolo di Tartaglia è fatto da Combinazioni semplici! 𝐶𝒏,𝒌 0 1 2 3 4 𝒏 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 3 4 𝒌 5 6 7 1 4 1 10 5 1 20 15 6 1 35 35 21 7 1 56 70 56 28 8 84 126 126 84 36 120 210 252 210 120 8 9 10 1 1 1 9 45 1 10 1 66 Binomio di Newton (𝑥 + 𝑦)10 = 𝑥 10 + 𝑦10 (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦)3 = 1𝑥 3 ⋅ 𝑦 0 + 3𝑥 2 ⋅ 𝑦1 + 3𝑥 1 ⋅ 𝑦 2 + 1𝑦 3 𝒌=𝒏 (𝒙 + 𝒚)𝒏 = ∑ 𝐶𝒏,𝒌 (𝒙)𝒌 (𝒚)𝒏−𝒌 𝒌=0 Esempio 𝑘=5 (𝑥 − 2)5 = ∑ 𝐶5,𝑘 (𝑥 )𝑘 (−2)5−𝑘 𝑘=0 𝑥→𝑥 𝑦 → −2 𝑛→5 𝐶5,0 (𝑥)0 (−2)5−0 + 𝐶5,1 (𝑥)1 (−2)5−1 + 𝐶5,2 (𝑥)2 (−2)5−2 + 𝐶5,3 (𝑥)3 (−2)5−3 + 𝐶5,4 (𝑥)4 (−2)5−4 + 𝐶5,5 (𝑥)5 (−2)5−5 (1)(1)(−32) −32 + (5)(𝑥)(16) + 80𝑥 + (10)(𝑥 2 )(−8) − 80𝑥 2 + (10)(𝑥)3 (+4) + + 40𝑥 3 5 𝑥 4 (−1) − 5𝑥 4 + 1 (𝑥 5 )(1) + 𝑥5 67 FISICA LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 69 PROPRIETÀ CON LE POTENZE DEL 10 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑂𝑇𝑇𝑂 𝐷𝐼 𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑍𝐸 → 𝑆𝑂𝑀𝑀𝐴 𝐷𝐸𝐺𝐿𝐼 𝐸𝑆𝑃𝑂𝑁𝐸𝑁𝑇𝐼 → 10𝒂 ⋅ 10𝑏 = 10𝒂+𝑏 𝑄𝑈𝑂𝑍𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝐼 𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑍𝐸 → 𝐷𝐼𝐹𝐹𝐸𝑅𝐸𝑁𝑍𝐴 𝑇𝑅𝐴 𝐺𝐿𝐼 𝐸𝑆𝑃𝑂𝑁𝐸𝑁𝑇𝐼 10𝒂 𝒂−𝒃 = 10 10𝒃 𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑍𝐴 𝐷𝐼 𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑍𝐴 → 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑂𝑇𝑇𝑂 𝑇𝑅𝐴 𝐺𝐿𝐼 𝐸𝑆𝑃𝑂𝑁𝐸𝑁𝑇𝐼 (10𝒂 )𝒃 = 10𝒂⋅𝒃  NOTA BENE! 10−3 10−9 = 106  100 = 1  102 ⋅ 103 = 105    10−3 10−9 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑎 10−6 70 LE POTENZE DEL DIECI CON LETTERE RELATIVE Lettera 𝒀 𝒁 𝑬 𝑷 𝑻 𝑮 Significato 𝒀𝑶𝑻𝑻𝑨 𝒁𝑬𝑻𝑻𝑨 𝑬𝑿𝑨 𝑷𝑬𝑻𝑨 𝑻𝑬𝑹𝑨 𝑮𝑰𝑮𝑨 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟐𝟏 𝟏𝟎𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟗 𝟏𝟎𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝒕𝒓𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒐 𝒃𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒐 𝒎𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒆 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒊𝒆𝒄𝒊 𝒖𝒏𝒐 Ordine di grandezza Valore 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒐 𝑴 𝑲 𝒉 𝒅𝒂 𝑴𝑬𝑮𝑨 𝑪𝑯𝑰𝑳𝑶 𝑬𝑻𝑻𝑶 𝑫𝑬𝑪𝑨 Lettera 𝒅 𝒄 𝒎 𝝁 𝒏 𝒑 𝒇 𝒂 𝒛 𝒚 Significato 𝑫𝑬𝑪𝑰 𝑪𝑬𝑵𝑻𝑰 𝑴𝑰𝑳𝑳𝑰 𝑴𝑰𝑪𝑹𝑶 𝑵𝑨𝑵𝑶 𝑷𝑰𝑪𝑶 𝑭𝑬𝑴𝑻𝑶 𝑨𝑻𝑻𝑶 𝒁𝑬𝑷𝑻𝑶 𝒀𝑶𝑪𝑻𝑶 Ordine di grandezza Valore 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎−𝟏 𝟏𝟎−𝟐 𝟏𝟎−𝟑 𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟎−𝟗 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝟏𝟎−𝟏𝟓 𝟏𝟎−𝟏𝟖 𝟏𝟎−𝟐𝟏 𝒖𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒎𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒎𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒃𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 DALL’INFINITAMENTE PICCOLO ALL’INFINITAMENTE GRANDE! ESERCIZI 𝒕𝒓𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒕𝒓𝒊𝒍𝒊𝒂𝒓𝒅𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒊𝒍𝒊𝒐𝒏𝒆 − 𝒔𝒊𝒎𝒐 LA FORMA DELLA NOTAZIONE SCIENTIFICA Modo semplice per scrivere numeri molto piccoli e molto grandi con una notazione comune, usando le potenze del dieci. La forma è la seguente: ± 𝒎 ⋅ 10𝒏 𝒎 è 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 𝟏 ≤ 𝒎 < 10 NOTA BENE! 𝒏 è 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝒏 può essere positivo, negativo o nullo  -3.57⋅ 10−3 è scritto in notazione scientificacon 𝑚 = 3.57 e 𝑛 = −2  m è un numero positivo   1 non è un numero scritto in notazione scientifica, sarebbe 1 ⋅ 100   COME SCRIVERE UN NUMERO IN NOTAZIONE SCIENTIFICA PROCEDIMENTO 𝒏 è positivo 1b) Se il numero è piccolo (rispetto all’unità) → l’esponente 𝒏 è negativo 2) 𝒏 è uguale al numero di salti che devo fare partendo dalla virgola per ottenere un numero con la forma di 𝒎, cioè compreso tra 1 e 10. 3) Conoscendo il segno di 𝒏,i valori di 𝒏 e 𝒎 → scrivo il numero in 1a) Se il numero è grande (rispetto all’unità) → l’esponente notazione scientifica NOTA BENE! VideoLezione 73 L’ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO L’ordine di grandezza è la potenza del dieci che meglio approssima un numero. PROCEDIMENTO 1) Scrivo il numero in forma scientifica: ± 𝒎 ⋅ 10𝒏 10𝒏 𝑠𝑒 1 ≤ 𝒎 < 5 10𝒏+𝟏 𝑠𝑒 5 ≤ 𝒎 < 10 2) L’ordine di grandezza è VideoLezione Esercizi 74 OPERAZIONI CON NUMERI SCRITTI IN NOTAZIONE SCIENTIFICA NOTA BENE!  Con il prodotto e la divisione si usano le proprietà delle potenze.  Con somma e differenza si trasformano le potenze più grandi nella potenza del 10 più piccola (nel video la mela)  Con la somma e la differenza non esistono proprietà delle potenze  Fino a quando non ho un solo numeratore e un solo denominatore non posso semplificare tra i numeratori e i denominatori!  VideoLezione (Parte 1) VideoLezione (Parte 2) ESERCIZI 75 LE 7 GRANDEZZE FISICHE FONDAMENTALI NOME GRANDEZZA FISICA NOTAZIONE UNITA’ DI MISURA NOME UNITA’ DI MISURA MASSA LUNGHEZZA TEMPO MOLE INTENSITA’ LUMINOSA CORRENTE TEMPERATURA Kg m s mol cd A K Chilogrammo Metro Secondo Mole Candela Ampere Kelvin NOTA BENE!  La massa ed il peso sono due grandezze fisiche diverse. La massa indica la quantità di materia di cui è costituita un corpo. Il peso è una forza che indica con quanta intensità il corpo è attratto verso il centro del pianeta in cui si trova. La massa quindi, sulla Terra, sulla Luna e nello spazio aperto è la stessa, mentre il peso è maggiore sulla Terra rispetto al peso sulla Luna; nello spazio i corpi non hanno peso (e infatti levitano)  Il tempo, dal punto di vista delle equivalenze, va trattato in modo diverso rispetto alle normali equivalenze con le potenze del dieci  Le moli indicano la quantità di particelle. Una mole corrisponde a 6.02 ⋅ 1023 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒.  La corrente indica il flusso di cariche che attraversa un filo.  L’unità di misura corretta per la temperatura non sono i gradi Celsius, bensì i Kelvin. Per passare ai Kelvin si usa la seguente relazione: 𝑇(𝐾) = 𝑇(°𝐶) + 273.15. La particolarità dei Kelvin è che non esistono temperature negative e la temperatura 𝑇 = 0 𝐾 è irraggiungibile. 76 EQUIVALENZE PROCEDIMENTO 1)Traduco le lettere in una potenza del dieci sia a Dx sia a Sx 2)Se le unità di misura sono elevate alla seconda l’esponente va moltiplicato per 2, se le unità di misura sono elevate alla terza bisogna moltiplicare l’esponente del dieci per tre. 3)Il numero a Sx lo riscrivo a Dx 4)Vicino al numero appena messo moltiplico per dieci alla ??? 5) L’esponente da dare al dieci è negativo se l’esponente a Sx è più piccolo dell’esponente a dx, viceversa è positivo. 6) L’esponente da dare al 10 è il numero di salti per andare dal primo esponente al secondo 7) Scrivi il risultato in notazione scientifica FARE VIDEO SPIEGAZIONE ERRORI FATTI IN VERIFICA 106 𝑔 𝑖𝑛 𝑘𝑔 76 𝑐𝑚 𝑘𝑚 𝑖𝑛 𝑠 ℎ 10 𝑛𝑠 𝑖𝑛 𝑚𝑠 0.045 𝑙 𝑖𝑛 𝑚𝑚3 ESERCIZI SOLUZIONI 77 o EQUIVALENZE CON LE GRANDEZZE TEMPORALI Se per i sottomultipli del secondo si usano le solite regole, per i multipli invece: 𝑎 → 𝐴𝑁𝑁𝑂 𝑑 → 𝐺𝐼𝑂𝑅𝑁𝑂 1𝑎 = 365𝑑 ℎ → 𝑂𝑅𝐴 1𝑑 = 24ℎ 𝑚𝑖𝑛 → 𝑀𝐼𝑁𝑈𝑇𝑂 1ℎ = 60𝑚𝑖𝑛 𝑠 → 𝑆𝐸𝐶𝑂𝑁𝐷𝑂 1𝑚𝑖𝑛 = 60𝑠 78 LA DENSITA’ PREREQUISITI    Saper fare le equivalenze Saper scrivere i numeri in notazione scientifica Saper calcolare il volume di figure geometriche QUANDO SI APPLICA? Quando viene chiesta espressamente la densità di un corpo Quando si chiede se un corpo galleggia in un fluido Quando si conosce il tipo di materiale e si conosce o la massa o il suo volume LA FORMULA 𝐾𝑔 𝑑 ( 3 ) → 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à 𝑚 𝑚 (𝐾𝑔) → 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑉 (𝑚3 ) → 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 PROCEDIMENTO NOTA BENE! 𝑚 𝑑= 𝑉 1. Converto tutte le quantità nel SI (faccio le equivalenze) 2. Se conosco il materiale, posso calcolare la sua densità 3. Se conosco la forma del materiale, posso calcolare il suo volume 𝑔  Molte volte le densità sono espresse in 𝑐𝑚3 (FARE EQUIVALENZA)  Se il volume è espresso in litri ricorda che 1𝑙 = 1 𝑑𝑚3  In base al principio di Archimede sappiamo che se un corpo è meno denso del fluido in cui è immerso → il corpo galleggia! (invece se il corpo è più denso del fluido in cui esso è immerso…affonda!)  La densità dei corpi dipende da temperatura e da pressione 79 ESERCIZI e DOMANDE VIDEO APPLICAZIONI ESPERIMENTI 𝑃𝑒𝑠𝑎 𝑑𝑖 𝑝𝑖ù 𝑢𝑛 𝑚3 𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑔𝑙𝑖𝑎 𝑜 1 𝑑𝑚3 𝑑𝑖 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜? o INTRODUZIONE DENSITA’, COME SI MISURA MASSA E VOLUME? o IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE o GIOCA CON LA DENSITA’ (PHET) o o COSTANTI DENSITA’ MATERIALE 𝑲𝒈 ( 𝟑) 𝒎 SOLIDI Alluminio Tutti i valori di densità sono Argento misurati a 𝑇 = 0 °𝐶, 𝑃 = 1 𝑎𝑡𝑚 Cemento Ferro Ghiaccio Legno (valore medio) Legno di cedro Legno d'ebano Legno d'olmo Legno di pino bianco Legno di quercia Nichel Oro Alluminio Argento Cemento DENSITA’ MATERIALE 𝑲𝒈 ) 𝒎𝟑 ( LIQUIDI 2700 10490 2700-3000 7960 920 750 310-490 980 540-600 350-500 600-900 8800 19300 2700 10490 2700-3000 Acqua Acqua di mare Alcool (etilico) Benzina Glicerina Mercurio Olio d'oliva Olio di paraffina 1000 1025 806 680 1261 13600 920 800 GAS Acetilene Aria Ammoniaca Diossido di carbonio Monossido di carbonio Elio Idrogeno Ossigeno Ozono 1.17 1.29 0.77 1.98 1.25 0.18 0.09 1.43 2.14 80 GRAFICI IN FISICA COME SI LEGGE UN GRAFICO? COME SI COSTRUISCE UN GRAFICO? INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE Cose da fare : abbellire con un grafico 81 LEGGI DI PROPORZIONALITA’ PROPORZIONALITA’ LEGGE (Relazione tra 𝒙 e 𝒚) In un piano cartesiano la LEGGE è rappresentata da: Proporzionalità Proporzionalità DIRETTA INVERSA 𝒚=𝒌𝒙 RETTA CRESCENTE PASSANTE PER L’ORIGINE 𝒚= 𝒌 𝒙 IPERBOLE EQUILATERA Dipendenza LINEARE Proporzionalità QUADRATICA 𝒚=𝒎𝒙+𝒒 𝒚 = 𝒌 𝒙𝟐 RETTA QUALSIASI PARABOLA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Come si trovano le costanti? Per ogni punto k deve sempre rimanere costante Cosa hanno in comune le 𝒙 e le 𝒚? 𝒚𝑷 𝒌= 𝒙𝑷 Il RAPPORTO tra 𝒚 e 𝒙 rimane COSTANTE e uguale a k 𝒌 = 𝒙𝑷 𝒚𝑷 𝒎= 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨 𝒒 = 𝒚𝑷 − 𝒎𝒙𝑷 Il PRODOTTO tra 𝒚 e 𝒙 rimane 𝒌= 𝒚𝑷 (𝒙𝑷 )𝟐 Il RAPPORTO tra 𝒚 e 𝒙𝟐 rimane COSTANTE COSTANTE VIDEO TEORIA VIDEO VIDEO VIDEO VIDEO VIDEO ESEMPIO VIDEO VIDEO VIDEO VIDEO ESEMPIO FISICO 𝒎 = 𝒅𝑽 𝑷= 𝒏𝑹𝑻 𝑽 𝒔 = 𝒗 𝒕 + 𝒔𝟎 𝑯= 𝒈 𝟐 𝒕 𝟐 82 Domande e chiarimenti 1) Definizione di Proporzionalità Diretta Proporzionalità diretta non significa che al crescere della x cresce la y Proporzionalità diretta significa che il RAPPORTO tra la y e la sua x rimane costante (ed uguale al valore k). La proporzionalità si dice Diretta perché al raddoppiarsi della x la y si raddoppia, al dimezzarsi della x la y si dimezza In prop. Diretta la retta passa per l’origine perché per x=0, la y=0. 2) Definizione di Proporzionalità Inversa Proporzionalità inversa non significa che al crescere della x diminuisce la y Proporzionalità inversa significa che il PRODOTTO tra la y e la sua x rimane costante! (ed uguale a k). Si chiama Inversa perché al raddoppiare della x, la y si dimezza, al dimezzarsi della x la y si raddoppia, al triplicarsi della x la y si divide per tre. 3) Rappresentazione grafica della prop.inversa La curva della prop. inversa non è una parabola La curva della prop. inversa è un ramo d’iperbole equilatera. All’aumentare di k le iperboli si allontanano dall’origine. In un cilindro di volume fisso, al raddoppiare dell’altezza, si dimezza l’area di base e NON il raggio e NON il diametro. 4) Il coefficiente angolare m nella Dipendenza Lineare Il coefficiente angolare NON E’ uguale alle y diviso le x (altrimenti sarebbe il valore di k in una proporzionalità Diretta!). Il coefficiente angolare si ottiene calcolando il rapporto tra la variazione delle y e la variazione delle x. In una dipendenza lineare il coefficiente angolare, cioè il rapporto incrementale tra le y e le x rimane costante. Due rette con lo stesso m sono parallele Il coefficiente angolare rappresenta la pendenza, l’inclinazione della retta. Il coefficiente angolare rappresenta l’aumento delle y quando la x aumenta di 1. Quando m è positivo la retta è crescente, quando m è negativo la retta è decrescente. 5) Il valore di q nella dipendenza lineare q è il valore della y quando x=0. Quindi graficamente q è l’intercetta della retta con l’asse delle y 83 I VETTORI 84 GRANDEZZE FISICHE: SCALARI vs VETTORIALI GRANDEZZA 1. Numero con segno: INDIVIDUATA DA: ⃗ VETTORE𝒗 SCALARE s 1. Punto di applicazione: Esprime il valore numerico Rappresenta il punto in cui viene applicato il vettore, della grandezza fisica. ad esempio per la forza peso il punto di applicazione è Può avere valore positivo, il baricentro del corpo. negativo o nullo. 2. Direzione: Un esempio è la carica Indica l’inclinazione del vettore: elettrica: per un protone la è strettamente connessa all’angolo acuto 𝜶 carica è positiva, mentre per il che il vettore forma con l’asse orizzontale. neutrone è nulla mentre per 3.Verso: l’elettrone la carica è negativa Esprime dove si sta dirigendo il vettore. Determina il segno delle componenti del vettore secondo il seguente 2. Unità di misura: schema dettato dai versori𝑥̂, 𝑦̂ e 𝑧̂ Le unità di riferimento sono +𝑦̂ quelle del S.I. Esistono anche −𝑧̂ + 𝑧̂ −𝑥̂ + 𝑥̂ grandezze fisiche che non hanno unità di misura esi −𝑦̂ parla di numeri puri. Un 4.Modulo: esempio è il coefficiente Esprime l’intensità del vettore: è un numero positivo o d’attrito. nullo con unità di misura. ⃗| ⃗ si indica con |𝒗 Il modulo del vettore𝒗 x |𝒗 ⃗| DISEGNO NESSUNO |𝒗 ⃗| ⃗ 𝒗 ⃗ 𝒗 𝜶 ESEMPI COME SI SCRIVE LA GRANDEZZA ESEMPIO DI COME SI SCRIVE UN RISULTATO Massa, Lunghezza, Tempo, Temperatura, Densità… Con il numero e l’unità di misura. Esempio di un istante temporale t espresso in secondi: 𝑡 = 𝟓𝑠 𝜶 Spostamento, Velocità, Accelerazione, Forza, Quantità di moto, Momento di una forza… 1° MODO) In una parentesi graffa inserisco il valore delle componenti 𝒗𝒙 , 𝒗𝒚 ed eventualmente 𝒗𝒛 . 2° METODO) Scrivo il vettore con le componenti e i ̂ ,𝒚 ̂ ed eventualmente 𝒛̂ versori 𝒙 Esempio di una velocità in metri al secondo: 𝒗𝒙 = − 𝟒 𝒎/𝒔 ⃗ ∶{ 𝒗 𝒗𝒚 = +𝟏𝟔 𝒎/𝒔 oppure ⃗ = (−𝟒 𝒙 ̂ + 𝟏𝟔 𝒚 ̂) 𝒎/𝒔 𝒗 85 SCOMPOSIZIONE E RICOMPOSIZIONE VETTORIALE La SCOMPOSIZIONE vettoriale permette di trovare le componenti cartesiane di un vettore che giace sul piano x-y conoscendo modulo, angolo acuto rispetto all’orizzontale e disegno del vettore. La RICOMPOSIZIONE vettoriale permette invece di trovare modulo e angolo acuto rispetto all’orizzontale conoscendo il valore delle componenti cartesiane. 𝑆𝐶𝑂𝑀𝑃𝑂𝑆𝐼𝑍𝐼𝑂𝑁𝐸 |𝒗 ⃗ |, 𝜶 𝒗𝒙 , 𝒗𝒚 𝑅𝐼𝐶𝑂𝑀𝑃𝑂𝑆𝐼𝑍𝐼𝑂𝑁𝐸 86 o SCOMPOSIZIONE VETTORIALE PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA?    Sapere la differenza tra grandezze vettoriale e scalari Sapere che le componenti hanno segno e unità di misura Sapere il significato geometrico di seno e coseno   Ogni volta che vengono chieste le componenti di un vettore Quando devo fare operazioni tra vettori (somma, differenza, prodotto scalare) LA FORMULA ⃗ | ⋅ cos(𝜶) 𝑣𝑥 = ±|𝒗 𝑣∶{ ⃗ | ⋅ sen(𝜶) 𝑣𝑦 = ±|𝒗 𝛼 → 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑐ℎ𝑒 𝑖𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 ± → 𝑠𝑖 𝑠𝑐𝑒𝑔𝑙𝑖𝑒 𝑖𝑙 𝑝𝑖ù 𝑜 𝑖𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 |𝑣| → 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 (𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎, 𝑚𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 𝑣 → 𝑖𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑣𝑥 → 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 (ℎ𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎!) 𝑣𝑦 → 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 (ℎ𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎!) PROCEDIMENTO ⃗ |del vettore 𝑣 lo devo calcolare con una 1) Se non conosco il modulo|𝒗 determinata formula fisica. 2) Disegno le componenti proiettando il vettore sull’asse x e y 3) Capisco il segno delle componenti (scelgo tra il + ed il −) 4) Capisco il valore di 𝛼 leggendo l’angolo acuto tra vettore e asse x 5) Calcolo 𝒗𝒙 e 𝒗𝒚 usando la formula scritta qui sopra senza dimenticare segno e unità di misura 87 NOTA BENE!  Non dimenticare il segno delle componenti!  L’angolo corretto è quello acuto tra il vettore e l’asse orizzontale  Ricorda di mettere le unità di misura nelle componenti      ESERCIZI e DOMANDE    Per quale angolo la componente orizzontale è uguale al modulo del suo vettore? Per quale angolo la componente verticale è uguale al modulo del suo vettore? Per quali angoli la componente orizzontale è uguale a quella verticale? APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI o 𝑠𝑒𝑛(0°) = 0 𝑠𝑒𝑛(90°) = 1 cos(0°) = 1 cos(90°) = 0 88 o RICOMPOSIZIONE VETTORIALE PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA? LA FORMULA Saper fare la scomposizione vettoriale Sapere se la calcolatrice esprime gli angoli in gradi(D) o radianti(R) Ogni volta che devo calcolare modulo e/o angolo di un vettore Quando devo calcolare l’angolo di impatto in un moto parabolico |𝒗 ⃗ | = √(𝑣𝑥 )2 + (𝑣𝑦 ) 𝑣∶ 𝑣𝑦 −1 𝜶 = tan ( ) { 𝑣𝑥 2 𝛼 → 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑡𝑜 𝑐ℎ𝑒 𝑖𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 |𝑣| → 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 (𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎, 𝑚𝑎𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜) 𝑣 → 𝑖𝑙 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑣𝑥 → 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑧𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 (ℎ𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎!) 𝑣𝑦 → 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 (ℎ𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑢𝑟𝑎!) PROCEDIMENTO 1) Disegno il vettore a partire dalle componenti (con segno) che già conosco lungo la diagonale che si viene a creare. 2) Individuo il corretto angolo 𝜶 , angolo acuto tra vettore e asse x ⃗ |e 𝜶 con la formula scritta sopra. Se l’angolo viene 3) Calcolo |𝒗 negativo, lo si legge senza segno. 89 NOTA BENE!     Non dimenticare il segno delle componenti! L’angolo corretto è quello acuto tra il vettore e l’asse orizzontale Ricorda di mettere le unità di misura nelle componenti Se la componente orizzontale è nulla, la calcolatrice dà errore. In questo caso, essendoci solo la componente verticale:𝜶 = 𝟗𝟎°  ESERCIZI e DOMANDE APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI Dimostra che se le componenti sono uguali il modulo è uguale ad una componente moltiplicata per √2 Dimostra che se le componenti sono uguali l’angolo 𝜶 = 45° Dimostra che se una componente è nulla. Il modulo è uguale al valore assoluto dell’altra componente. o o o o o 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟎) = 𝟎° 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟏) = 𝟒𝟓° 90 OPERAZIONI CON I VETTORI Operazione Prodotto 𝑝 tra Scalare k e Vettore 𝑎 Somma vettoriale Prodotto scalare Prodotto Vettoriale Notazione 𝑝 = 𝑘⋅𝑎 𝑠 = 𝑎 + 𝑏⃗ Scalare o Vettore? VETTORE Direzione: la stessa di 𝑎 Verso: se 𝑘 > 0, lo stesso di 𝑎, se 𝑘 < 0, l’opposto di 𝑎 Modulo: |𝑝| = |𝑘||𝑎| VETTORE Direzione: la stessa solo se i vettori hanno la stessa direzione Verso: lo stesso solo se i vettori hanno lo stesso verso Modulo: |𝑠| ≠ |𝑎| + |𝑏⃗| (a meno che i due vettori abbiano lo stesso verso) Come si trova? 𝑝= { 𝑠= { 𝑝𝑥 = 𝑘𝑎𝑥 𝑝𝑦 = 𝑘𝑎𝑦 𝑠𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 𝑠𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 Esempio Forza di Gravità 𝑃⃗ 𝑃⃗ = 𝑚𝑔 Forza Elettrica ⃗⃗⃗⃗⃗𝑒𝑙 = 𝑞𝐸⃗ 𝐹 NOTA BENE!  Il vettore non è una retta, non è un segmento perché retta e segmento non hanno un VERSO.  Il vettore ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ed il vettore ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴 hanno la stessa DIREZIONE ( inclinazione, è legata al coefficiente angolare di una retta) ma VERSO OPPOSTO.  Il vettore spostamento è una grandezza geometrica che porta da un punto iniziale ad un punto finale. Tutti i versori sono vettori? Tutti i vettori sono versori? Punto di applicazione Direzione Verso Versore (generale) Modulo 1 Versore x Orizzontale Destra (Est) 1 Versore y Verticale Alto (Nord) 1 Uguale Uguale Uguale Due vettori paralleli Uguale Uguale Due vettori antiparalleli Uguale Opposto Due vettori opposti Uguale Opposto Due vettori equipollenti Diverso Uguale Disegno FLUIDOSTATICA 93 PREREQUISITI    Sapere la definizione della densità Conoscere le forze Saper calcolare il volume dei solidi DEFINIZIONE DI PRESSIONE LA FORMULA 𝑷= 𝑭 𝑺 𝑷(𝑷𝒂) → pressione esercitata dalla forza sulla superficie 𝑭(𝑵) → forza premente perpendicolare alla superficie 𝑺(𝒎𝟐 ) → superficie premuta PRESSIONE DI STEVINO 𝑷𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 = 𝒅𝒇 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝒉 LA FORMULA 𝑷(𝑷𝒂) → pressione esercitata dal fluido a profondità h 𝑲𝒈 𝒅 ( 𝟑 ) → densità del fluido 𝒎 𝒎 𝒈 ( 𝟐) → accelerazione di gravità 𝒔 𝒉(𝒎) → profondità SPINTA DI ARCHIMEDE 𝑭𝒂 = 𝒅𝒇 ⋅ 𝒈 ⋅ 𝑽𝒊𝒎𝒎 LA FORMULA 𝑭𝒂 (𝑵) 𝒅( 𝑲𝒈 𝒎𝟑 𝒎 𝒈 ( 𝟐) 𝒔 → Forza esercitata verso l’alto dal fluido sul corpo ) → densità del fluido → accelerazione di gravità 𝑽𝒊𝒎𝒎 (𝒎𝟑 ) → Volume del corpo immerso nel fluido COSTANTI 𝒅𝑯𝟐 𝑶 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑 𝒅𝑯𝒈 = 𝟏𝟑𝟔𝟎𝟎 𝑲𝒈/𝒎𝟑 𝒈 = 𝟗. 𝟖𝟏 𝒎/𝒔𝟐 𝑷𝒂𝒕𝒎 = 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷𝒂 94 LA LUCE e L’OTTICA GEOMETRICA 95 LA LUCE COME ONDA ELETTROMAGNETICA LA FORMULA 𝒗=𝝀⋅𝒇 𝒎 𝒗 ( ) → 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒕à 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒍𝒖𝒄𝒆 𝒔 Nel vuoto la velocità della luce vale 𝑐 ≈ 3 ⋅ 108 𝑚/𝑠 In un mezzo la velocità diminuisce e diventa 𝑣 Dove 𝑛 è l’indice della rifrazione del materiale 𝑐 =𝑛 𝝀(𝒎) → 𝒍𝒖𝒏𝒈𝒉𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒅′ 𝒐𝒏𝒅𝒂 𝒇(𝑯𝒛) → 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒛𝒂 La frequenza dipende SOLO dalla sorgente. Il cervello interpreta le diverse frequenze nel visibile come “colori” COSTANTI Materiale n (indice di rifrazione) Elio 1.000036 Aria In Condizioni Normali 1.000292 Anidride Carbonica 1.00045 Ghiaccio 1.31 Acqua (20 °C) 1.333 Etanolo 1.36 Glicerina 1.473 Sale 1.516 Bromo 1.661 Vetro 1.5 -1.9 Diamante 2.419 Silicio 3.4 Fosfuro Di Gallio 3.5 Visione dei colori Luce e Materia: come possono interagire tra di loro? 96 LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO Colore 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒛𝒂 𝒇 𝑳𝒖𝒏𝒈𝒉𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒅′𝒐𝒏𝒅𝒂 𝝀 Violetto 668-789 THz 380-435 nm Indaco 631-668 THz 435-500 nm Blu 606-631 THz 500-520 nm Verde 526-606 THz 520-565 nm Giallo 508-526 THz 565-590 nm Arancione 484-508 THz 590-625 nm Rosso 400-484 THz 625-740 nm 97 OTTICA GEOMETRICA L’ottica geometrica studia il percorso dei raggi di luce e la formazione delle immagini nei punti di focalizzazione quando questi incontrano: 1. Una superficie riflettente 2. Una superficie scabra 3. Una superficie di separazione tra due superfici trasparenti (RIFLESSIONE) (DIFFUSIONE) (RIFRAZIONE) LA RIFLESSIONE  Le due leggi della Riflessione o SPECCHI PIANI  Introduzione  Esercizio e Creazione di Immagini Multiple  Simulazione specchi piani  IMMAGINI : DRITTA, UGUALE DIMENSIONE, VIRTUALE 99 o SPECCHI SFERICI  Concetto di Fuoco  Costruzione geometrica delle immagini  Legge dei punti coniugati e Ingrandimento  Specchio concavo,Esercizio  Specchio convesso,Esercizio  Simulazione specchi sferici  𝟏 𝒑 𝟏 𝟏 𝒒 𝒇 + = 𝒑 𝒒 𝒇 DISTANZA TRA VERTICE E : OGGETTO IMMAGINE FUOCO SEGNO e VALORE 𝐩>𝟎 𝐪 > 𝟎 Immagine Reale 𝐟 = +𝑹/𝟐 Specchio Concavo 𝒒 < 𝟎 Immagine Virtuale 𝐟 = −𝑹/𝟐 Specchio Convesso {𝒉𝑰𝑴𝑴 𝒉𝑶𝑮𝑮 =𝑮=− 𝒒 𝒑 100 o SCHEMA DELLO SPECCHIO SFERICO CONCAVO 𝑪 𝑭 101 o SCHEMA DELLO SPECCHIO SFERICO CONVESSO 𝑭 𝑪 102 LA RIFRAZIONE       Si salverà il bambino? Introduzione alla Rifrazione Le due leggi della Rifrazione La Riflessione Totale Simulazione Phet Lenti Convergenti e Divergenti Lente Convergente come Lente d’Ingrandimento 103 o LENTI SOTTILI 𝟏 𝒑 𝟏 𝟏 𝒒 𝒇 + = 𝒑 𝒒 𝒇 DISTANZA TRA VERTICE E : OGGETTO IMMAGINE FUOCO SEGNO e VALORE 𝐩>𝟎 𝐪 > 𝟎 Immagine Reale 𝐟 > 𝟎 Lente convergente 𝐪 < 𝟎 Immagine Virtuale 𝐟 < 𝟎 Lente divergente {𝒉𝑰𝑴𝑴 𝒉𝑶𝑮𝑮 =𝑮=− 𝒒 𝒑 104 o SCHEMA DELLA LENTE CONVERGENTE 𝑪 𝑭 105 o SCHEMA DELLA LENTE DIVERGENTE 𝑭 𝑪 106 TEMPERATURA E CALORE La Temperatura in Celsius e Kelvin 𝑻(𝑲) = 𝟐𝟕𝟑. 𝟏𝟓 + 𝑻(°𝑪) La Differenza di Temperatura, l’Errore da Pollo 𝚫𝑻(𝑲) = 𝚫𝑻(°𝑪) La Dilatazione Termica 𝚫𝒍 = 𝒍𝟎 𝝀 𝚫𝑻 𝚫𝑺 = 𝑺𝟎 𝝈 𝚫𝑻 𝚫𝑽 = 𝑽𝟎 𝜶 𝚫𝑻 Per i solidi 𝝈 = 𝟐𝝀, 𝜶 = 𝟑𝝀 SOLIDI Materiale Acciaio Alluminio puro Argento Ferro Ghisa Nichel Oro Ottone FLUIDI Materiale Mercurio Glicerina Acqua Gas Perfetto 𝝀 (𝟏𝟎−𝟔 𝟏 ) °𝑪 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟗 𝟏𝟐 𝟏𝟎. 𝟕 𝟏𝟑 𝟏𝟒. 𝟑𝟐 𝟏𝟗 𝜶 (𝟏𝟎−𝟒 𝟏 ) °𝑪 1.82 5 2.1 36.63 Materiale Piombo Platino Pyrex Quarzo fuso Rame Silicio Tungsteno Vetro Materiale Alcol Etere Latte 𝝀 (𝟏𝟎−𝟔 𝟏 ) °𝑪 𝟐𝟗 𝟗 𝟒 𝟎. 𝟓𝟗 𝟏𝟕 𝟑 𝟓 𝟖 𝜶 (𝟏𝟎−𝟒 10 15 8 𝟏 ) °𝑪 CALORIMETRIA o IL CALORE SENSIBILE 𝑸 = 𝒄 𝒎 𝚫𝑻 La Caloria 𝟏 𝒄𝒂𝒍 = 𝟒. 𝟏𝟖𝟔 𝑱 La Capacità Termica e lo Scambio Termico: Teoria ed Esercizio Capacità Termica 𝑪 = 𝒄𝒎 Scambio termico ∑ 𝑸𝒊 = 𝟎 Temperatura 𝑻𝒆𝒒 = 𝑪𝟏 𝑻𝟏 +𝑪𝟐 𝑻𝟐 +⋯+𝑪𝑵 𝑻𝑵 𝑪𝟏 +𝑪𝟐 +⋯+𝑪𝑵 di equilibrio I PASSAGGI DI STATO o IL CALORE LATENTE: LA FORMULA 108 CHIARIMENTI La temperatura si misura con il Termometro. La Temperatura NON è l’indicazione di quanto un corpo è caldo o freddo perché la concezione di caldo e freddo è soggettiva. La Temperatura è un indicatore dell’energia interna di un corpo, cioè stima la velocità media con cui le molecole di solidi, liquidi e gas si stanno muovendo. Per i solidi ovviamente la temperatura indica la velocità con cui gli atomi /molecole vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio. Se la velocità (e quindi la temperatura) supera un valore critico, il solido fonde. Il calore NON è un’energia che il corpo possiede, ma è solo un’energia che è in transito, da un corpo ad un altro, che passa spontaneamente da un corpo a temperatura maggiore ad un corpo a temperatura minore Due corpi ad una temperatura uguale altissima si scambiano calore? NO. La temperatura in Celsius nasce prendendo due misurazioni dell’altezza del mercurio in un termometro per la creazione di due temperature: 0° C (miscela di acqua e ghiaccio) e 100°C (miscela di acqua e vapore acqueo). I Celsius sono riferiti all’acqua, Problema aggiuntivo : esistono i valori negativi. Se la temperatura aumenta di 20°C -> la temperatura aumenta di 20 K, non di 293!!! La temperatura massima dell’universo non esiste. Dilatazione Termica: Se un corpo riceve calore e la sua temperatura aumenta, le sue dimensioni aumentano ed il corpo si dilata. Questo succede perché aumentando la temperatura, aumenta l’energia cinetica delle particelle, cioè mediamente si muovono ciascuna in uno spazio maggiore, quindi dal punto di vista macroscopico le dimensioni del corpo aumentano. Al contrario se il corpo cede calore, le sue dimensioni diminuiscono. Questa cosa vale per sistemi in 1 (lineare),2(superficiale),3 Dimensioni(volumica). Da cosa dipenderà l’allungamento:   Dalla differenza (aumento o diminuzione) di Temperatura Dal materiale (ogni materiale è caratterizzato da un coefficiente di dilatazione) 109  Dalle dimensioni iniziali del corpo. Δl non è la lunghezza iniziale ma è l’allungamento ed esso si misura in metri. Positivo se il corpo si dilata, negativo se il corpo si contrae. Il segno di Δl è deciso dal segno di Δ𝑇. 𝑙0 lunghezza alla temperatura iniziale. Numero positivo 𝜆 è un coefficiente di dilatazione lineare, ogni materiale ha il proprio. Numero positivo Δ𝑇 è espressa o in Celsius o in Kelvin, tanto risulta lo stesso valore. Numero positivo se la temperatura aumenta, è negativo se la temperatura diminuisce (se vado da 10 K a 2 K Δ𝑇 = −8 𝐾 La dilatazione lineare ha senso quando due dimensioni sono trascurabili rispetto alle altre due. Calore Sensibile: Cosa succede se due corpi con massa diversa e di materiale diverso con la Stessa temperatura vengono messi a contatto? Nulla, non si scambiano energia sotto forma di calore. Il calore sensibile è quella energia trasferita da un corpo più caldo a quello più freddo, affinchè il corpo più freddo, assorbendo calore si scaldi e affinchè il corpo più caldo, cedendo calore si raffreddi. Alla fine cosa succede? I due corpi raggiungono dopo un certo periodo di tempo la stessa temperatura. Se un corpo a 20°C viene a contatto con un corpo a 60°C -> la temperatura che raggiungono insieme e la media tra 20°C e 60°C ? Assolutamente NO! Perché la temperatura di equilibrio dipenderà non solo dalle 2 temperature, ma dalla massa e dal materiale (attraverso il calore specifico). La temperatura sarà minore della temperatura maggiore e maggiore della temperatura minore. Se risultasse una temperatura maggiore della temperatura più grande andremmo contro il principio di conservazione dell’energia!!! Quando è che si può fare la media: quando ho lo stesso materiale e la stessa massa. Esempio se mescolo 1 litro di acqua a 20°C e un litro di acqua a 40°C, la temperatura di equilibrio sarà di 30°C. Nella formula del calore sensibile con un corpo di massa m e calore specifico c, Q rappresenta il calore che viene assorbito dal corpo (Q>0) o che viene ceduto dal corpo (Q<0) e si misura in Joule. Se più corpi a temperature diverse vengono messi a contatto, raggiungeranno di equilibrio e la somma dei calori (assorbiti e ceduti) dovrà sempre fare ZERO, a causa del principio di conservazione dell’energia! Il calore specifico di una sostanza corrisponde all’energia necessaria per scaldare di un grado un chilogrammo di questa sostanza. 1 caloria (4.186 J) è l’energia per scaldare un grammo di acqua di un grado. 110 LE FORZE 111 LA FORZA DI ATTRITO PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA?   Sapere che cos’è la reazione vincolare Conoscere le forze presenti in un piano inclinato  Quando è presente nel testo l’indicazione della presenza di attrito Si usa sia negli esercizi di cinematica, sia in quelli di dinamica  LA FORMULA La forza di attrito radente è di due tipi: finché il corpo è fermo rispetto al piano è presente la forza di attrito statico mentre se il corpo si muove rispetto al piano, è presente la forza di attrito dinamico 𝑺𝑻𝑨𝑻𝑰𝑪𝑶 𝑴𝑨𝑿 𝑭𝑨,𝑺 = 𝝁 𝒔 𝑹𝑽 𝑫𝑰𝑵𝑨𝑴𝑰𝑪𝑶 𝑭𝑨,𝑫 = 𝝁𝑫 𝑹𝑽 𝑴𝑨𝑿 (𝑁) → 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑭𝑨,𝑺 𝝁𝒔 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑭𝑨,𝑫 (𝑁) → 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜 𝝁𝑫 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑅𝑉 (𝑁) → 𝑟𝑒𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 PROCEDIMENTO Disegnare la forza di attrito nel diagramma delle forze stando molto attenti al suo verso. (vd NOTA BENE) 112 NOTA BENE!  La forza di attrito statico applicata è sempre minore o uguale della forza di attrito statico  Se il corpo è fermo (problema di STATICA) la direzione della forza di attrito è opposta alla direzione del moto che si avrebbe se non ci fosse l’attrito.  Se il corpo si muove, si deve usare la forza di attrito dinamico   La forza di attrito statico non è quella applicata, ma è quella massima che il piano può creare per far restare fermo il corpo  ESERCIZI e DOMANDE   Trova la formula della forza di attrito dinamico in un piano inclinato Dimostra che il coefficiente di attrito minimo per cui un corpo in un piano inclinato stia fermo è la tangente dell’angolo di inclinazione del piano APPLICAZIONI ESPERIMENTI 113 COSTANTI Coefficiente di attrito Statico Coefficiente di attrito Dinamico 𝝁𝑺 𝝁𝑫 Acciaio su acciaio 0.74 0.57 Acciaio su acciaio lubrificato 0.11 0.05 Alluminio su acciaio 0.61 0.47 Rame su acciaio 0.53 0.36 Ottone su acciaio 0.51 0.44 Vetro su vetro 0.94 0.40 Rame su vetro 0.68 0.53 Teflon su teflon 0.04 0.04 Teflon su acciaio 0.04 0.04 Acciaio su aria 0.001 0.001 Acciaio su ghiaccio 0.027 0.014 Legno su pietra 0.7 0.3 Gomma su cemento asciutto 0.65 0.5 Gomma su cemento bagnato 0.4 0.35 Materiale 114 FORZE IN UN PIANO INCLINATO PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA?      Sapere la definizione di seno, coseno e tangente La forza peso La forza elastica La forza d’attrito Saper applicare il secondo principio della dinamica   Quando si è ovviamente in presenza di un piano inclinato Quando si chiede l’accelerazione in presenza o non della forza di attrito lungo un piano inclinato Quando sono presenti più corpi per lo studio dell’accelerazione del sistema di corpi, quando almeno un corpo è su un piano inclinato  LA FORMULA, 𝑹𝑽 IL DISEGNO 𝐏\\ = 𝑷 𝒔𝒆𝒏 (𝜶) 𝐏⊥ = 𝑷 𝒄𝒐𝒔 (𝜶) 𝑭𝑨 = 𝝁 𝑹 𝑽 𝐇 𝐋 𝐁 𝜶 𝑷 (𝑁) 𝐏\\ (𝑁) 𝐏⊥ (𝑁) 𝑹𝑽 (𝑁) 𝑭𝑨 (𝑁) 𝜶 (𝑟𝑎𝑑) 𝝁 𝑩(𝑚) 𝑯(𝑚) 𝑳(𝑚) 𝑭𝑨 𝐏\\ 𝐏⊥ 𝜶 → 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑜 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑜 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑜 → 𝑟𝑒𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 → 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜, 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜 → 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜, 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜 → 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜 → 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜 → 𝑙𝑢𝑛𝑔ℎ𝑒𝑧𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜 115 PROCEDIMENTO 1) Disegnare tutte le forze presenti, capendo se è presente l’attrito 2) Capire se il corpo è in equilibrio (caso a), si muove a velocità costante (caso b) oppure sta accelerando (caso c) 3a) Se il corpo è fermo bisogna controbilanciare tra di loro le forze con direzione uguale e verso opposto. In presenza di forza di attrito, quest’ultima è di tipo statico ed ha il verso opposto al moto che si avrebbe se non ci fosse la forza di attrito. 3b) Se il corpo si muove a velocità costante, bisogna controbilanciare tra di loro le forze con direzione uguale e verso opposto. In presenza di forza di attrito, quest’ultima è di tipo dinamico ed ha verso opposto al moto 3c) Se il corpo si muove con accelerazione costante, bisogna controbilanciare tra di loro solo le forze perpendicolari al moto come nel caso dell’equilibrio, mentre lungo la direzione parallela al moto bisogna usare il secondo principio della dinamica. In presenza di forza di attrito, quest’ultimo è dinamico ed ha verso opposto al moto NOTA BENE!  Disegna sempre le due componenti della forza peso  Attenzione al verso della forza di attrito, potrebbe non essere noto a priori. In tal caso si osserva cosa accadrebbe senza attrito e si reagisce di conseguenza.  La reazione vincolare controbilancia 𝐏⊥solo se non sono presenti altre forze perpendicolari alla direzione del moto.  La reazione vincolare e la forza di attrito sono applicate nel punto di contatto tra il corpo e il piano.   Mai disegnare la forza peso verticale, è inutile  L’angolo di riferimento non è mai l’angolo acuto adiacente ad H   116 ESERCIZI e DOMANDE     APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI Perché se il corpo viaggia a velocità costante, bisogna comunque controbilanciare tra di loro le forze parallele al moto? Calcola l’intervallo di valori che può assumere il coefficiente di attrito statico (in funzione di 𝜶 per garantire l’equilibrio in un piano inclinato. Se il corpo è fermo stanno comunque agendo delle forze? Dimostra le formule delle componenti della forza peso nel piano inclinato usando la scomposizione vettoriale. o o o 117 I MOTI 118 IL MOTO RETTILINEO UNIFORME PREREQUISITI       QUANDO SI APPLICA?    Conoscere la differenza tra spazio e posizione Conoscere la differenza tra tempo trascorso e istante temporale Sapere fare le equivalenze, soprattutto saper convertire le posizioni in metri, i tempi in secondi e le velocità in metri al secondo. Saper eseguire le equazioni di primo grado (a differenza delle equazioni in matematica, le incognite potrebbero non chiamarsi x) Saper leggere gli assi e le coordinate dei punti da un grafico Saper dare il giusto segno alle quantità vettoriali, anche se si sta lavorando in una sola dimensione. Quando viene richiesta la posizione di un corpo che viaggia a velocità costante conoscendo il tempo, o viceversa. Quando vengono richiesti posizione e istante in cui due corpi (che viaggiano a velocità costante) si incontrano. Quando si ha un grafico spazio-tempo e viene richiesta una velocità media LA FORMULA 𝑳𝑬𝑮𝑮𝑬 𝑶𝑹𝑨𝑹𝑰𝑨 (Esprime il legame tra la posizione s e l’istante t, sapendo che al tempo t0 la posizione è s0 e che la velocità v0 rimane costante) 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) 𝑠 (𝑚) → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡) 𝑠0 (𝑚) → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡0 ) 𝑣0 (𝑚/𝑠) → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑡0 (𝑠) → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑡 (𝑠) → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 119 LA FORMULA 𝑽𝑬𝑳𝑶𝑪𝑰𝑻𝑨′ 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑨(Esprime la velocità che avrebbe un corpo che si muove di moto rettilineo, anche non uniforme, se avesse tenuto sempre la stessa velocità avendo percorso un certo spazio Δ𝑠 in un tempo Δ𝑡) 𝒗𝒎 = 𝚫𝒔 𝐬𝐅 − 𝒔𝑰 = 𝚫𝒕 𝐭 𝐅 − 𝒕𝑰 Δ𝑠 (𝑚) → 𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 : differenza tra due posizioni Δ𝑡 (𝑠) → 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 : differenza tra due istanti PROCEDIMENTO NOTA BENE! 1. 2. 3. 4. Disegnare l’origine e l’asse di riferimento (di solito asse x) Capire dal testo quanti sono corpi in moto (di solito uno o due) Convertire le grandezze presenti nel testo nel S.I. Scrivere la legge oraria e inserire i dati; fissando origine e cronometro, riesco a “battezzare” 𝑠0 𝑒 𝑡0  La quantità 𝒔è una posizione   La velocità media vm non è la media aritmetica delle velocità!  La quantità s non è lo spazio percorso  ESERCIZI e DOMANDE    Dimostra come, partendo dalla definizione di legge oraria, nel moto rettilineo uniforme la velocità v0 coincida con la velocità media. Quale è la differenza tra legge oraria e traiettoria? Scrivi le leggi orarie ed esprimi in un grafico spazio-tempo le leggi orarie di due corpi. All’inizio tra il corpo A viaggia verso destra con velocità 3.6 km/h mentre il corpo B, che si trova dieci metri a destra di A parte tre secondi dopo in direzione opposta 120 APPLICAZIONI ESPERIMENTI o Costo della spesa telefonica nel tempo COSTANTI 121 IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA? Prerequisiti del moto rettilineo uniforme Concetto di forza peso e di accelerazione di gravità Saper risolvere le equazioni di secondo grado Quando viene richiesta la posizione di un corpo che viaggia ad accelerazione costante. Quando si studia il moto di un oggetto in caduta libera, cioè soggetto solo alla forza peso Quando si studia il moto lungo un piano inclinato Quando si ha un grafico velocità-tempo e vengono richiesti una accelerazione media o uno spazio percorso. LA FORMULA 𝑳𝑬𝑮𝑮𝑬 𝑶𝑹𝑨𝑹𝑰𝑨 La prima riga del sistema è la legge oraria ed esprime il legame tra la posizione s e l’istante 𝒕, sapendo che all’ istante 𝒕𝟎 la posizione è 𝒔𝟎 e la velocità è 𝒗𝟎 . L’accelerazione 𝒂 rimane costante. Inoltre la seconda riga mostra il legame tra la velocità 𝒗 e l‘istante 𝒕. 𝟏 𝒔 = 𝒔𝟎 + 𝒗𝟎 (𝒕 − 𝒕𝟎 ) + 𝒂 (𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟐 { 𝟐 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎 ) 𝑠 (𝑚) → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡) 𝑠0 (𝑚) → 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡0 ) (𝑠) 𝑡0 → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑡 (𝑠) → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑣0 (𝑚/𝑠) → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡0 ) 𝑣 (𝑚/𝑠) → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 (𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡) 𝑎 (𝑚/𝑠 2 ) → 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒, 𝑐ℎ𝑒 𝑟𝑖𝑚𝑎𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 122 LA FORMULA 𝑨𝑪𝑪𝑬𝑳𝑬𝑹𝑨𝒁𝑰𝑶𝑵𝑬 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑨 Esprime l’accelerazione che avrebbe un corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, se avesse tenuto sempre la stessa accelerazione avendo cambiato la velocità di una quantità 𝚫𝒗 in un tempo 𝚫𝒕 𝒂𝒎 = 𝚫𝒗 𝒗𝑭 − 𝒗𝑰 = 𝚫𝒕 𝐭 𝐅 − 𝒕𝑰 Δ𝑣 (𝑚) → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à : differenza tra due velocità Δ𝑡 (𝑠) → 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜𝑟𝑠𝑜 : differenza tra due istanti PROCEDIMENTO NOTA BENE! 1. 2. 3. 4. Disegnare l’origine e l’asse di riferimento (di solito asse x) Capire dal testo quanti sono corpi in moto (di solito uno o due) Convertire le grandezze presenti nel testo nel S.I. Scrivere il sistema e inserire i dati; fissando origine e cronometro, riesco a “battezzare” s0 e t0 5. Il sistema permette di trovare sempre due incognite, se le incognite sono di meno o di più il problema è mal posto. Quando un corpo in caduta libera sta salendo, la sua accelerazione è comunque negativa! Quando un corpo in caduta libera raggiunge la sua altezza massima, la componente verticale della velocità è nulla. Quando un corpo tocca terra la sua velocità non è zero! La velocità infatti è quella misurata appena prima di toccare terra 123 ESERCIZI e DOMANDE    APPLICAZIONI ESPERIMENTI Dimostra come, partendo dalla definizione di legge oraria nel MRUA, è possibile ottenere il legame tra velocità e tempo (2° riga del sistema) Perché se un corpo sale l’accelerazione rimane negativa? Se un corpo raggiunge l’altezza massima, quanto vale la sua velocità e la sua accelerazione? Velocità e accelerazione sullo shuttle! COSTANTI Accelerazioni di gravità g dei pianeti del sistema solare: Pianeta 𝑚 𝐠 ( 2) 𝑠 Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano Nettuno 3.70 8.87 9.81 3.71 23.12 8.96 8.69 11.00 124 IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA? LA FORMULA    Saper convertire i gradi in radianti Saper la differenza tra vettore e modulo di un vettore Sapere la formula della circonferenza Quando un corpo percorre una circonferenza (o un tratto di circonferenza) a velocità costante 𝑳𝑬𝑮𝑮𝑬 𝑶𝑹𝑨𝑹𝑰𝑨 𝑰𝑵 𝑪𝑶𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑻𝑬 𝑷𝑶𝑳𝑨𝑹𝑰(Esprime l’angolo all’istante 𝑡 di un corpo che all’istante t0 si trova all’angolo 𝜙0 ) 𝝓 = 𝝓𝟎 + 𝝎(𝒕 − 𝒕𝟎 ) 𝑳𝑬𝑮𝑮𝑬 𝑶𝑹𝑨𝑹𝑰𝑨 𝑰𝑵 𝑪𝑶𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑻𝑬 𝑪𝑨𝑹𝑻𝑬𝑺𝑰𝑨𝑵𝑬 (Esprime le coordinate x e y al tempo t, sapendo che il corpo percorre una circonferenza di raggio R con centro l’origine a velocità angolare costante) { 𝒙 = 𝑹 ⋅ 𝒄𝒐𝒔(𝝓) 𝒚 = 𝑹 ⋅ 𝒔𝒆𝒏(𝝓) 𝝓 (𝒓𝒂𝒅) → 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝒂𝒍𝒍′ 𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕 𝜙0 (𝑟𝑎𝑑) → 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 (𝑓𝑎𝑠𝑒)𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑡0 (𝑠) → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑡 (𝑠) → 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒 𝜔 (𝑟𝑎𝑑/𝑠) → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑥 (𝑚) → 𝑎𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 𝑦 (𝑚) → 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡 125 NOTA BENE! Gli angoli vanno SEMPRE messi in radianti LA FORMULA 𝑳𝑬 𝑮𝑹𝑨𝑵𝑫𝑬𝒁𝒁𝑬 𝑭𝑰𝑺𝑰𝑪𝑯𝑬 𝑭𝑶𝑵𝑫𝑨𝑴𝑬𝑵𝑻𝑨𝑳𝑰 𝑵𝑬𝑳 𝑴𝑶𝑻𝑶 𝑪𝑰𝑹𝑪𝑶𝑳𝑨𝑹𝑬 𝑼𝑵𝑰𝑭𝑶𝑹𝑴𝑬 VELOCITA’ TANGENZIALE 𝒗𝑻 VELOCITA’ ANGOLARE 𝝎 FREQUENZA 𝒇 ACCELERAZIONE CENTRIPETA 𝚫𝒔 𝟐𝝅𝑹 = 𝒗𝑻 = 𝚫𝒕 𝐓 𝚫𝝓 𝟐𝝅 =𝝎= 𝚫𝒕 𝐓 𝐧° 𝐠𝐢𝐫𝐢 𝟏 =𝒇= 𝚫𝒕 𝐓 𝒗𝟐 𝒂𝑪 = 𝑹 126 PROCEDIMENTO ESERCIZI e DOMANDE    APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI  Perché nel MCU è presente un’accelerazione anche se la velocità rimane costante in modulo? Calcola la velocità angolare della lancetta dei minuti Calcola la velocità tangenziale con cui ruota la Terra attorno al Sole informandoti sul valore della distanza media Terra-Sole. Nonostante i pianeti percorrano orbite ellittiche a velocità non costante si assume, per facilitare i calcoli, che i pianeti si muovano di moto circolare uniforme (approssimazione valida se l’eccentricità dell’orbita è prossima allo zero. 𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝑆𝐼𝑂𝑁𝐸 𝐷𝐴𝐼 𝐺𝑅𝐴𝐷𝐼 𝐴𝐼 𝑅𝐴𝐷𝐼𝐴𝑁𝑇𝐼 360° ↔ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 127 L’ENERGIA 128 LE DIVERSE FORME DI ENERGIE TIPO DI ENERGIA FORMULA FORZA CONSERVATIVA ASSOCIATA ENERGIA CINETICA ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE ENERGIA POTENZIALE ELASTICA ENERGIAPOTENZIALE ELETTROSTATICA 𝑲 𝑼𝒈 𝑼𝒆𝒍 𝑼𝒆𝒍𝒆 𝒎𝒈𝒉 𝟏 𝒌(𝚫𝒔)𝟐 𝟐 𝒒𝑽 FORZA GRAVITAZIONALE FORZA ELASTICA ⃗⃗⃗⃗⃗𝒈 = 𝒎𝒈 ⃗⃗ 𝑭 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝒆𝒍 = −𝒌𝚫𝒔 𝑭 𝟏 𝒎𝒗𝟐 𝟐 FORZA ELETTROSTATICA ⃗𝑭𝒆𝒍𝒆 = 𝒒𝑬 ⃗ 1. Le energie potenziali esistono per il fatto che è possibile associare ad un certo punto un valore di energia. Ciò è possibile se, percorrendo una qualsiasi linea chiusa che inizia e finisce nel punto dove voglio associare l’energia, non ho né aggiunto né sottratto energia al punto: se così non fosse, l’energia dovuta al percorso chiuso (LAVORO PRODOTTO DALLA FORZA) andrebbe a cambiare quel valore di energia. In questo modo l’energia dipende solo dalla posizione in cui si trova il corpo, e non dipende dal modo in cui siamo giunti a quel punto. (cioè voglio costruire una FUNZIONE DI STATO). Le forze che producono lavoro nullo in un qualsiasi percorso chiuso (CIRCUITAZIONE NULLA) si dicono CONSERVATIVE. Ad ogni forza conservativa è possibile associare un’energia potenziale. 2. Le energie potenziali hanno formule simili alle relative forze conservative in quanto il legame matematico tra loro è l’integrale: infatti se la forza è direzionata lungo una sola dimensione,l’energia potenziale 𝑼(𝒙) in funzione della posizione 𝒙si trova nel seguente modo: 𝒙 ⃗ 𝑼(𝒙) − 𝑼(𝒂) = − ∫ ⃗𝑭𝑪𝑶𝑵𝑺 ⋅ 𝒅𝒙 𝒂 Dove a è un punto in cui conosco o impongo il valore dell’energia 𝑈(𝑎). Risolvendo questo integrale, partendo quindi dalla forza conservativa e integrandola, trovo le formule delle varie energie potenziali. 3. Il fatto che l’energia potenziale sia l’integrale della forza, porta al fatto che il massimo e il minimo dell’energia potenziale coincidano con i punti in cui la forza è nulla. Quindi se il corpo è fermo in quel punto, si trova in equilibrio. Se l’energia è massima, si parla di EQUILIBRIO INSTABILE, in quanto basta una piccola perturbazione e il corpo perde per sempre quell’equilibrio. Se l’energia è minima l’EQUILIBRIO E’STABILE e il corpo, se perturbato, oscillerà attorno alla posizione di equilibrio stabile. 129 o ENERGIA CINETICA LA FORMULA 𝑲= 𝟏 𝒎𝒗𝟐 𝟐 𝒎 (𝒌𝒈) → 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒗 ( ) → 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒕à 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒔 NOTA BENE! La velocità dipende dall’osservatore che misura la velocità di un corpo, quindi osservatori in moto relativo tra di loro sperimentano un’energia cinetica del corpo diversa. La quantità 𝒗 è un modulo quindi in generale, se il corpo si muove in 3 dimensioni: → 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 . La formula è valida fino a quando la velocità non è prossima a quella della luce nel vuoto 𝑐 = 3 ⋅ 108 𝑚/𝑠. Nel caso più generale, in relatività ristretta l’energia cinetica vale 𝐾 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐 2 , con 𝛾 fattore relativistico. 130 o ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE LA FORMULA 𝑼𝒈 = 𝒎𝒈𝒉 𝒎(𝒌𝒈) → 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂𝒅𝒆𝒍𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒈 ( 𝟐 ) → 𝒂𝒄𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆𝒅𝒊𝒈𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕à 𝒔 𝒉(𝒎) → 𝒂𝒍𝒕𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒓𝒊𝒔𝒑𝒆𝒕𝒕𝒐 𝒂𝒅 𝒖𝒏 𝒑𝒂𝒗𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 (𝒍𝒊𝒗𝒆𝒍𝒍𝒐 𝒛𝒆𝒓𝒐) NOTA BENE! La scelta della posizione del pavimento è arbitraria, l’importante è sceglierne uno e restare fedeli alla propria scelta fino alla fine dell’esercizio. La formula è valida solo se il corpo si trova nei pressi della superficie del pianeta. Se il corpo si trova lontano dalla superficie dobbiamo usare la formula più generale dell’energia gravitazionale: 𝑼𝒈 = −𝒎 𝒎(𝒌𝒈) 𝑵𝒎𝟐 𝑮 ( 𝑲𝒈𝟐 ) → 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 → 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆 (Vedi costanti fisiche) 𝑴 (𝑲𝒈) 𝒅 (𝒎) COSTANTI Pianeta 𝑚 𝐠 ( 2) 𝑠 𝑮𝑴 𝒅 → 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒊𝒂𝒏𝒆𝒕𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐 𝒄𝒖𝒊 è 𝒊𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 → 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒕𝒓𝒂 𝒊𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒆 𝒊𝒍 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒊𝒂𝒏𝒆𝒕𝒂 Accelerazioni di gravitàg dei pianeti del sistema solare: Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Urano 3.70 8.87 9.81 3.71 23.12 8.96 8.69 Nettuno 11.00 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑮𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆 𝑼𝒏𝒊𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍𝒆: 𝑵𝒎𝟐 −𝟏𝟏 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 ⋅ 𝟏𝟎 𝑲𝒈𝟐 131 o ENERGIA POTENZIALE ELASTICA LA FORMULA 𝟏 𝑼𝒆𝒍 = 𝒌(𝚫𝒔)𝟐 𝟐 𝑵 𝒌 ( ) → 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒍𝒍𝒂 𝒎 𝚫𝒔(𝐦) → 𝒂𝒍𝒍𝒖𝒏𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒐 𝒂𝒄𝒄𝒐𝒓𝒄𝒊𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒍𝒍𝒂 𝒓𝒊𝒔𝒑𝒆𝒕𝒕𝒐 𝒂𝒍𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒊 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 NOTA BENE! APPLICAZIONI ESPERIMENTI L’unica cosa veramente importante da ripetere è che la quantità 𝚫𝐬 non rappresenta la lunghezza della molla. La quantità Δ𝑠 rappresenta invece l’allungamento o l’accorciamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio, cioè rispetto a quella posizione in cui il corpo attaccato alla molla si trovava in equilibrio stabile. Per trovare la posizione di equilibrio e la frequenza propria di oscillazione (frequenza di risonanza) di un corpo attorno al punto di equilibrio stabile bisogna seguire 3 steps: 1) Si trova il minimo dell’energia potenziale studiando il segno della derivata dell’energia potenziale rispetto alla posizione 2) Si calcola il valore della derivata seconda in quel punto perché rappresenta il valore della costante elastica 𝑘 di un molla virtuale (nel senso che il corpo oscilla come se fosse attaccato ad una molla che oscilla attorno al punto di equilibrio) 3) La frequenza di oscillazione di una molla vale 𝑓𝑅𝐼𝑆𝑂𝑁𝐴𝑁𝑍𝐴 1 𝑘 √ = 2𝜋 𝑚 dove 𝑘 è la costante elastica appena trovata e 𝑚 la massa del corpo che oscilla 132 o ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA LA FORMULA 𝑼𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓 = 𝒒 ⋅ 𝑽 𝒒 (𝑪) → 𝒄𝒂𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒍𝒍𝒂 𝑽(𝑽𝒐𝒍𝒕) → 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓𝒐𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒊𝒏 𝒄𝒖𝒊 𝒔𝒊 𝒕𝒓𝒐𝒗𝒂 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒊𝒄𝒂 NOTA BENE!    L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche si ottiene come somma delle energie potenziali elettrostatiche di coppia (Vedi Campo Elettrostatico) Il potenziale elettrostatico è creato da tutti i generatori di campo elettrico tranne la carica q ed è calcolato nel punto in cui si trova la carica q. Il potenziale è una quantità scalare. 133 IL LAVORO DI UNA FORZA Il lavoro di una forza si misura in Joule ed è l’energia spesa dalla forza durante lo spostamento di un corpo da un punto A ad un punto B. LA FORMULA Lo spostamento non è necessariamente rettilineo e la forza non è necessariamente costante in modulo, direzione e verso in ogni punto Il lavoro di una forza lungo una linea qualsiasiche parte dal punto A e termina nel punto B è: 𝑩 𝑩 𝑳𝑨→𝑩 = ∫ ⃗𝑭 ⋅ ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 = ∫ 𝑭 𝒅𝒍 𝒄𝒐𝒔(𝜶) 𝑨 𝑨 𝑨 𝑩 𝑳(𝑱) ⃗𝑭( 𝑵 ) ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍(𝒎) → 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 → 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 → 𝒍𝒂𝒗𝒐𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂 𝒍𝒖𝒏𝒈𝒐 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒅𝒂 𝑨 𝒂 𝑩 → 𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒍𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒏𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑨 𝒄𝒐𝒏 𝑩. → 𝒗𝒆𝒕𝒕𝒐𝒓𝒆 𝒊𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒆𝒔𝒊𝒎𝒐 𝒐𝒕𝒕𝒆𝒏𝒖𝒕𝒐 𝒔𝒆𝒛𝒊𝒐𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒄𝒉𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒏𝒏𝒆𝒕𝒕𝒆 𝒊𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 𝒂𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩 ⃗ 𝒆 𝒊𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒊𝒏𝒐 ⃗⃗⃗⃗ 𝜶(𝒓𝒂𝒅) → 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝒕𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂 𝑭 𝒅𝒍 PROCEDIMENTO Vediamo come si lavora mentalmente per eseguire un integrale: ⃗⃗⃗ 1) Divido la linea orientata 𝑙 in infiniti segmentini molto piccoli 𝑑𝑙 2) Il vettore infinitesimo ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 è talmente piccolo che la forza 𝐹 lungo un ⃗⃗⃗ segmentino orientato 𝑑𝑙 è costante (praticamente valutata in un punto). 3) Valuto all’interno di questo segmentino ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 il prodotto scalare 𝒅𝑳 = ⃗𝑭 ⋅ ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝑭 𝒅𝒍 𝒄𝒐𝒔(𝜶) corrispondente al contributo infinitesimo di lavoro della forza lungo il ⃗⃗⃗⃗ . segmentino 𝒅𝒍 ⃗⃗⃗ che ho creato dividendo 4) Ripeto il punto 3) per tutti i segmentini 𝒅𝒍 la linea ottenendo infiniti valori infinitesimi di lavoro𝒅𝑳 5) Per ottenere il lavoro sommo (facendo l’integrale) tutti i contributi infinitesimi di lavoro𝒅𝑳 ottenendo il lavoro della forza lungo tutta la 𝑩 linea dal punto iniziale A al punto finale B: 𝑳𝑨→𝑩 = ∫𝑨 𝒅𝑳 134 o COME CALCOLARE IL LAVORO DI UNA FORZA In base al tipo di forza è possibile calcolare il lavoro di una forza da un punto A ad un punto B in modi diversi: 1) Forza costante in modulo che mantiene sempre la stessa orientazione (angolo 𝛼 costante) rispetto alla linea (quindi la linea non deve essere necessariamente dritta). Esempi: Forza peso, Forza di attrito, Reazione vincolare, Tensione. LA FORMULA 𝑳𝑨→𝑩 = 𝑭 ⋅ 𝚫𝒔 ⋅ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) 𝑭 (𝑵) → 𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂 𝒂𝒑𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒕𝒂 𝚫𝒔(𝒎) → 𝒍𝒖𝒏𝒈𝒉𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒅𝒂 𝑨 𝒂 𝑩 𝜶 (𝒓𝒂𝒅) → 𝒂𝒏𝒈𝒐𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒆𝒓 𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒔𝒊 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒕𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒛𝒂 𝑭 𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒆𝒓 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 2) Forza conservativa Esempi: Forza gravitazionale, Forza elastica, Forza elettrostatica LA FORMULA 𝑳𝑨→𝑩 = 𝑼𝑨 − 𝑼𝑩 𝑼𝑨 ( 𝑱 ) 𝑼𝑩 ( 𝑱 ) → 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒏𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 → 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒏𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩 3)Si conosce il grafico della forza in funzione della posizione, e si conosce l’angolo tra forza e spostamento, generalmente 𝜶 = 𝟎 se non specificato. Il lavoro risulta uguale all’area sottesa dal grafico sull’asse x delle posizioni. Il motivo è insito nel concetto di integrale. Se l’angolo non è nullo, bisogna moltiplicare l’area per cos(𝛼) 𝑭(𝑵) 𝑶 𝑨 𝑩 𝒙(𝒎) 135 CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA PREREQUISITI     QUANDO SI APPLICA?    LA FORMULA PROCEDIMENTO NOTA BENE! Sapere le formule e i concetti delle diverse energie Saper calcolare il lavoro di una forza Saper la differenza tra forza conservativa e forza non conservativa Saper usare le leggi della cinematica (moto uniformemente accelerato in 1 e 2 dimensioni) e della dinamica (2° principio) Quando vengono richieste informazioni che hanno a che con l’energia e si hanno informazioni su due o più istanti di tempo diversi. (così valuto l’energia meccanica iniziale e quella finale) In presenza di un urto elastico Ogni volta che si conserva l’energia o si hanno informazioni sulle forze non conservative presenti 𝐸𝑖 + 𝐿𝑁.𝐶. = 𝐸𝑓 1) Faccio il disegno della configurazione iniziale e finale 2) Scrivo la formula e scrivo le due energie meccaniche come somma delle quattro energie iniziali (cinetica + 3 potenziali) e finali. In tutto le quantità energetiche sono 9. Il lavoro della reazione vincolare e della forza centrifuga è sempre nullo! NON SI PERDE IL QUADRATO SULLA VELOCITA’ NELL’ENERGIA CINETICA! Il lavoro della forza di attrito non è 𝑢𝑅𝑣 , questa è la forza di attrito 136 ESERCIZI e DOMANDE APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI 137 LA QUANTITA’ DI MOTO Teorema dell’Impulso ⃗ = 𝐈 = ∫ ⃗𝑭 ⋅ 𝐝𝐭 𝚫𝐩 Conservazione della Quantità di Moto ⃗⃗⃗⃗𝑰 = 𝐩 ⃗⃗⃗⃗𝑭 𝐩 Classificazione: Esplosioni e Urti FENOMENO ESPLOSIONE COEFFICIENTE DI ELASTICITA’ NEGLI URTI 𝒗 − 𝒗𝟏𝑭 𝝐 = − 𝒗𝟐𝑭 𝟐𝑰 − 𝒗𝟏𝑰 URTO 𝝐=𝟎 𝟎<𝜖<1 𝝐=𝟏 Completamente Anelastico Parzialmente Anelastico Elastico ENERGIA CINETICA AUMENTA 𝑲𝑰 < 𝑲𝑭 DIMINUISCE 𝑲𝑰 >> 𝑲𝑭 DIMINUISCE 𝑲𝑰 > 𝑲𝑭 SI CONSERVA 𝑲𝑰 = 𝑲𝑭 DESCRIZIONE Un corpo si divide in due o più corpi I corpi si uniscono in un unico corpo VIDEO CON ESERCIZIO VIDEO VIDEO TIPO DI URTO I corpi rimangono I corpi rimangono separati separati NON dissipando dissipando energia energia nell’urto nell’urto VIDEO VIDEO 138 Il Centro di Massa ∑ 𝒙𝒊 𝒎𝒊 ∑ 𝒚𝒊 𝒎𝒊 ∑ 𝒛𝒊 𝒎𝒊 𝑪𝑴 = ( ; ; ) ∑ 𝒎𝒊 ∑ 𝒎𝒊 ∑ 𝒎𝒊 La Velocità del Centro di Massa Esercizi teorici sugli Urti: Urto Elastico contro un Corpo Fermo La Donna Cannone Curiosità Effetto Compton come urto elastico Gioca con gli urti! 139 o Tabella di confronto TRASLAZIONE - ROTAZIONE TRASLAZIONE QUANTITA’ FORMULA FORMULA DI PASSAGGIO 𝑠 = 𝜃𝑅 𝑣𝑇 = 𝜔𝑅 𝑠 Posizione Velocità Tangenziale Accelerazione Tangenziale Δ𝑠 𝑣= Δ𝑡 Δ𝑣 𝑎= Δ𝑡 Leggi Orarie 𝑡0 = 0 1 2 𝑠 = 𝑠 + 𝑣 𝑡 + 𝑎𝑡 0 𝑜 { 2 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 Massa 𝑚 𝑎 𝑇 = 𝛼𝑅 ROTAZIONE FORMULA QUANTITA’ 𝜃 Δθ Δ𝑡 Δω 𝛼= Δ𝑡 𝜔= 1 2 {𝜃 = 𝜃0 + 𝜔𝑜 𝑡 + 2 𝛼𝑡 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 TABELLA ⃗⃗ = 𝑟 𝑥 𝐹 𝑀 Angolo Velocità Angolare Accelerazione Angolare 𝐼 Leggi orarie 𝑡0 = 0 Momento Di Inerzia ⃗⃗ 𝑀 Momento di una Forza Forza 𝐹 Forza Risultante ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 ⃗⃗ = 𝐼𝛼 ∑𝑀 Momento Risultante Equilibrio Traslazionale ∑𝐹 = 0 ⃗⃗ = 0 ∑𝑀 Equilibrio Rotazionale 𝑝 = 𝑚𝑣 Quantità di moto Legame tra 𝐹 𝑒 𝑝 Conservazione Quantità di Moto ⃗ =𝑟𝑥𝑝 𝐿 ∑𝐹 = Δ𝑝 Δ𝑡 ⃗⃗ = ∑𝑀 𝐾𝑇𝑅𝐴𝑆 = Regola segni −𝑥̂ 1 𝑚𝑣 2 2 + 𝑥̂ ⃗ Δ𝐿 Δ𝑡 ⃗𝐼 = 𝐿 ⃗𝐹 𝐿 ⃗⃗ 𝐸𝑋𝑇 = 0 Se ∑ 𝑀 𝑝𝐼 = 𝑝𝐹 Se ∑ 𝐹𝐸𝑋𝑇 = 0 Energia Traslazionale ⃗ = 𝐼𝜔 𝐿 ⃗ 𝐾𝑅𝑂𝑇 = +𝑦̂ −𝑧̂ −𝑦̂ X 1 𝐼𝜔2 2 Momento Angolare ⃗⃗ 𝑒 𝐿 ⃗ Legame tra 𝑀 Conservazione Momento Angolare Energia Rotazionale + 𝑧̂ Regola segni 140 ESERCIZI DI DINAMICA ROTAZIONALE QUALE DELLE DUE REAZIONI SOSTIENE DI PIU’ L’ASTA? IL FILO REGGERA’ L’INSEGNA? UNA STRANA COPPIA! LA BALLERINA ROTANTE con Conservazione Momento Angolare CORRO SULLA GIOSTRA! LA SFERA CHE ROTOLA DAL PIANO! 141 LE ONDE 142 DESCRIZIONE E CLASSIFICAZIONE DELLE ONDE Le onde sono perturbazioni generate da una sorgente che si propagano nel tempo e nello spazio. L’ampiezza𝑦 di oscillazione, soluzione dell’equazione differenziale tipica delle onde, è infatti funzione di due variabili: il tempo e lo spazio. 1) La prima classificazione riguarda la possibilità o meno di poter viaggiare nel vuoto e della necessità o meno di un mezzo elastico in cui poter viaggiare: ONDE MECCANICHE ONDE ELETTRO-MAGNETICHE La loro propagazione è dovuta al moto oscillatorio delle particelle di materia e alla loro continua trasmissione di energia alle particelle contigue. (Teorizzate da Maxwell nel 1873 e verificate sperimentalmente da Hertz nel 1887) Un’onda meccanica è il suono, che si può propagare grazie alla compressione e alla rarefazione delle particelle di aria; altri esempi sono le onde sismiche o le onde presenti in una corda vibrante. Queste onde non possono quindi viaggiare nel vuoto, in quanto mancherebbe il sostegno per la loro trasmissione. Chiudendo ad esempio una campanella in un contenitore in cui si fa il vuoto, non sentiremmo nulla. La loro propagazione è dovuta alla continua creazione di campo elettrico e campo magnetico dovuta alla variazione nel tempo dei campi elettrici e magnetici stessi. In altre parole il campo elettromagnetico, una volta generato da una sorgente, come il Sole, si autosostiene. Queste onde non hanno quindi bisogno di un mezzo per propagarsi e possono viaggiare nel vuoto alla velocità della luce. Possono comunque viaggiare in un mezzo ma la loro velocità diminuisce rispetto al valore della velocità nel vuoto. ONDE GRAVITAZIONALI (Teorizzate da Einstein nel 1916, verificate sperimentalmente nel 2015 da LIGO/VIRGO) Le onde gravitazionali hanno caratteristiche simili sia alle onde meccaniche, sia a quelle elettromagnetiche. Come le onde elettromagnetiche, possono viaggiare nel vuoto alla velocità della luce ma come le onde meccaniche nascono in quanto lo spazio-tempo, trattato alla stregua di un mezzo, può comprimersi e rarefarsi oscillando come un mezzo elastico. La sorgente di un’onda gravitazionale può ad esempio essere la collisione tra due buchi neri. Gli intervalli di frequenze delle onde gravitazionali sono compatibili con quelli delle frequenze del suono: le onde gravitazionali, opportunamente amplificate, possono essere “ascoltate”. 143 2) La seconda classificazione riguarda la relazione reciproca tra la direzione di oscillazione, che è la direzione in cui oscillano le particelle di materia e la direzione di propagazione, che è la direzione verso cui si dirige l’energia trasportata. La velocità dell’onda ha la stessa direzione della direzione di propagazione. ONDE TRASVERSALI ONDE LONGITUDINALI La direzione di oscillazione è perpendicolare alla direzione di propagazione. La direzione di oscillazione è parallela alla direzione di propagazione. Un esempio sono le onde che si generano in una corda vibrante. Un esempio è l’onda sonora, in cui le molecole di aria oscillano avanti e indietro, parallelamente alla direzione del suono. Anche le onde elettromagnetiche sono speciali onde trasversali, in quanto le quantità che oscillano non sono particelle di materia ma campo elettrico e magnetico, entrambi perpendicolari tra di loro e alla direzione di propagazione dell’onda. ONDE MISTE Esiste un tipo di onde in cui le particelle oscillano contemporaneamente sia in direzione parallela sia in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione, e quindi percorrono una circonferenza! Un esempio è il caso delle onde marine superficiali. APPLICAZIONI ESPERIMENTI Onde Trasversali, Longitudinali E Miste Onde in acqua, Sonore ed Elettromagnetiche 144 o L’EQUAZIONE DELL’ONDA ARMONICA LA FORMULA 2𝜋 2𝜋 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑨 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑡 + 𝜽𝟎 ) 𝝀 𝑻 (𝒎) 𝒚 𝑨(𝒎) 𝝀(𝒎) → 𝑨𝒎𝒑𝒊𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒅𝒊 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒍𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 → 𝑨𝒎𝒑𝒊𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒊 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒍𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 → 𝑳𝒖𝒏𝒈𝒉𝒆𝒛𝒛𝒂 𝒅′ 𝒐𝒏𝒅𝒂 (𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒂 𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒊 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊 𝒊𝒏 𝒖𝒏 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒇𝒊𝒔𝒔𝒂𝒕𝒐) 𝑻(𝒔) → 𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 (𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒂 𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒊 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊 𝒊𝒏 𝒖𝒏 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐 𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒇𝒊𝒔𝒔𝒂𝒕𝒂) 𝜃0 (𝒓𝒂𝒅) → 𝑭𝒂𝒔𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 o LE GRANDEZZE FONDAMENTALI LA FORMULA 𝝀 𝒗= 𝑻 𝟐𝝅 𝟏 𝝎= 𝒇= 𝑻 𝑻 𝒗 (𝒎/𝒔) → 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒕à 𝒅𝒊 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒂𝒈𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍′𝒐𝒏𝒅𝒂 𝒓𝒂𝒅 𝝎( ) → 𝑷𝒖𝒍𝒔𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍′𝒐𝒏𝒅𝒂 𝒔 𝒇(𝑯𝒛) → 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖𝒆𝒏𝒛𝒂 (numero di creste che giungono ogni secondo) APPLICAZIONI Le onde esistono? Scopriamolo con ESPERIMENTI 145 LA VELOCITA’ DIPENDE DAL MEZZO… Tipologie di onde: o a) Onde ElettroMagnetiche o b) Onde Sonore o c) Onde lungo una corda tesa LA FORMULA 𝑻 𝒗= √ 𝝆 𝒗(𝒎/𝒔) → 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒕à 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒍𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒕𝒆𝒔𝒂 𝑻(𝑵) → 𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝝆(𝒌𝒈/𝒎) → 𝐃𝐞𝐧𝐬𝐢𝐭à 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐞, 𝐑𝐚𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭𝐨 𝐌𝐚𝐬𝐬𝐚/𝐋𝐮𝐧𝐠𝐡𝐞𝐳𝐳𝐚 𝐝𝐞𝐥𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐫𝐝𝐚 …LA FREQUENZA DIPENDE DALLA SORGENTE o Onde ElettroMagnetiche o Onde sonore o Onde lungo una Corda Tesa →vedi Onde Stazionarie 146 INTERFERENZA NEL TEMPO 147 INTERFERENZA NELLO SPAZIO 148 IL SUONO Acoustic Levitation Cymatics, Standing Waves 149 LA LUCE Grandezze Radiometriche e Fotometriche Tipo di grandezza Legata a: RADIOMETRICA FOTOMETRICA Sorgente POTENZA RADIANTE (𝑾) 𝑷𝑹 FLUSSO LUMINOSO (𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏) 𝚽𝑳 Area (𝐴) IRRADIAMENTO (𝑾/𝒎𝟐 ) 𝑷𝑹 𝑺𝒐𝒓𝒈.𝑷𝒖𝒏𝒕. 𝑷𝑹 𝑺 𝑬𝑹 = → 𝑨 𝟒𝝅𝒓𝟐 ILLUMINAMENTO (𝒍𝒖𝒙) 𝚽𝑳 𝑺𝒐𝒓𝒈.𝑷𝒖𝒏𝒕. 𝚽𝑳𝑺 𝑬𝑳 = → 𝑨 𝟒𝝅𝒓𝟐 Angolo (Ω) INTENSITA’ DI RADIAZIONE (𝑾/𝒔𝒓) 𝑷𝑹 𝑺𝒐𝒓𝒈.𝑷𝒖𝒏𝒕. 𝑷𝑹 𝑺 𝑰𝑹 = → 𝛀 𝟒𝝅 INTENSITA’ LUMINOSA (𝒄𝒅) 𝚽𝑳 𝑺𝒐𝒓𝒈.𝑷𝒖𝒏𝒕. 𝚽𝑳𝑺 𝑰𝑳 = → 𝛀 𝟒𝝅 150 DIFFRAZIONE Introduzione La Formula che salva la vita 𝒚 𝒏𝝀 ~𝒔𝒊𝒏 (𝛉) = 𝑳 𝒅 N° FENDITURE UNA Larghezza Fenditura DUE o PIU’ Distanza tra due Fenditure MASSIMI (FRANGE CHIARE) individuati da: 𝒏 𝑺𝑬𝑴𝑰 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑰 𝒏 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑰 (𝟏. 𝟓, 𝟐. 𝟓, 𝟑. 𝟓 … ) (𝟏, 𝟐, 𝟑 … ) MINIMI (FRANGE SCURE) individuati da: 𝒏 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑰 𝒏 𝑺𝑬𝑴𝑰 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑰 (𝟏, 𝟐, 𝟑 … ) (𝟎. 𝟓, 𝟏. 𝟓, 𝟐. 𝟓 … ) 𝒅 ESERCIZI Diffrazione attraverso UNA FENDITURA Diffrazione attraverso DUE o PIU’ FENDITURE VIDEO GENERALE (e bellissimo) SULLE ONDE 151 L’Elettricità Personaggio Benjamin Franklin Pieter van Musschenbroek Charles Augustin de Coulomb Luigi Galvani Periodo 1752 1746 1826 Esperimento / Invenzione Aquilone con fulmine, parafulmine Invenzione del primo condensatore rudimentale: La Bottiglia di Leyda Esperimento bilancia-torsione Legge di Coulomb Contrazioni muscolari di una rana a contatto con metallo Invenzione della Pila Elettrica Dimostra il funzionamento della lampada ad arco in aria atmosferica Relazione tra corrente elettrica e fenomeni magnetici Leggi dell'Elettromagnetismo 1826 1831 Le due Leggi di Ohm Induzione Elettromagnetica 1785-1791 1791-1794 Alessandro Volta Humphrey Davy 1799 1802 Hans Christian Ørsted André-Marie Ampère Georg Simon Ohm Michael Faraday 1820 Etimologia Elektròn(da cui Elettrone ed Elettrico): Ambra Tribos(da cui TriboElettricità: Strofinio/Attrito 152 LA FORZA DI COULOMB e la FORZA di attrazione Gravitazionale Forza Scrittura vettoriale Costanti Andamento in funzione della distanza Elettrica Gravitazionale 153 IL CAMPO ELETTROSTATICO 154 Campi elettrici di Distribuzioni di Carica Distribuzione di Quantità carica costante Carica Puntiforme 𝑸 Filo infinito con densità lineare 𝝀 di carica uniforme Piano infinito con densità superficiale 𝝈 di carica uniforme Sfera Metallica di Raggio 𝑹 con carica Totale 𝑸 Sfera Isolante di Raggio 𝑹 con densità volumica 𝝆 di carica Modulo del campo elettrico |𝐸⃗ | Grafico spaziale in 2D |𝑸| 4𝜋𝜖𝑑 2 𝑸 𝝀= 𝑸 𝒍 |𝝀| 2𝜋𝜖𝑑 𝝈= 𝑸 𝑺 |𝝈| 2𝜖 𝑸 𝝆= Andamento di |𝐸⃗ | in funzione della distanza 𝒅 dal generatore 𝑸 𝑽 0 𝑑<𝑹 { |𝑸| 4𝜋𝜖𝑑2 𝑑≥𝑹 𝝆 𝑑 3𝜖 𝑑<𝑹 |𝑸| {4𝜋𝜖𝑑2 𝑑≥𝑹 𝑑=𝑹 𝑑=𝑹 155 CONDENSATORE A FACCE PIANE E PARALLELE A d GRANDEZZA Densità superficiale di carica Campo Elettrico Differenza di potenziale Simbolo e unità di misura 𝝈[ 𝐶 ] 𝑚2 𝑉 𝑬[ ] 𝑚 𝚫𝑽[𝑉] Definizione Grandezza 𝝈= 𝑸 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 Dal Teorema di Gauss E’ un integrale 𝚫𝑽 = − ∫ 𝑬 𝑑𝑙 cos(𝛼) Grandezza PER CONDENSATORE a FACCE PIANE E PARALLELE 𝑸 𝐴 0 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝝈= |𝑬| = { 𝜎 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝜖 |𝚫𝑽| = |𝑬| ⋅ 𝑑 Esempio Numerico Con |𝑄| = 10 𝑛𝐶 ; 𝜖 = 3 𝐴 = 100𝑚𝑚2 ; 𝑑 = 1𝑚𝑚 𝐶 𝝈 = 10−4 2 𝑚 0 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 |𝑬| = { 3.77 ⋅ 106 𝑉 𝑎𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑚 |𝚫𝑽| = 𝟑𝟕𝟕𝟎 𝑽 E’ un integrale Capacità elettrica 𝑪[𝐹] Energia elettrostatica 𝑈[𝐽] Densità di energia elettrostatica 𝐽 𝑤𝐸 [ 3 ] 𝑚 |𝑸| 𝑪= |𝚫𝑽| 𝑈 = 𝐿 = ∫ 𝑽(𝒒) 𝑑𝑞 E’ un integrale 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑤𝐸 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑪= 𝑈= 𝜖⋅𝐴 𝑑 1 𝐶 ⋅ 𝚫𝑽2 2 1 𝑤𝐸 = 𝜖𝑬2 2 𝑪 = 2.66 ⋅ 10−12 𝐹 𝑈 = 1.89 ⋅ 10−5 𝐽 𝑤𝐸 = 189 𝐽 𝑚3 CONDENSATORI IN SERIE E PARALLELO Due o più condensatori, collegati tra loro, hanno la stessa La capacità equivalente vale : Esempio con 3 Condensatori di Capacità: C; 2C e 4C La capacità equivalente ha come Q La capacità equivalente ha come Δ𝑉 IN PARALLELO Differenza di potenziale 𝚫𝑽 𝐶// = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + … La capacità parallelo è la somma delle capacità 𝐶// = 7𝐶 La somma delle Q dei condensatori La stessa 𝚫𝑽 dei condensatori IN SERIE Carica 𝑸 1 1 1 1 = + + +… 𝐶s 𝐶1 𝐶2 𝐶3 Il reciproco della capacità serie è la somma dei reciproci delle capacità 4 𝐶s = 𝐶 7 La stessa 𝐐 dei condensatori La somma delle Δ𝑉 dei condensatori Passaggio per risoluzione circuiti 157 IL CAMPO MAGNETOSTATICO PREREQUISITI Versori in 3D Prodotto vettoriale La regola del cacciavite GENERATORI DI CAMPO MAGNETOSTATICO GENERATORE DI CAMPO MAGNETICO: CONDUTTORE PERCORSO DA CORRENTE 𝑰 LINEA DI CAMPO CAMPO MAGNETICO CONDUTTORE VISTI DI LATO FILO RETTILINEO di Lunghezza Infinita SPIRA CIRCOLARE di Raggio R SOLENOIDE di Lunghezza Infinita FORMA DELLE LINEE DI CAMPO MAGNETICO (SEMPRE CHIUSE e PRESENTI OVUNQUE ) CIRCOLARI CONCENTRICHE attorno al FILO Una linea segue L’ASSE DELLA SPIRA, le altre linee sono CHIUSE ma NON CIRCOLARI Le linee sono SOLO DENTRO il Solenoide e sono rette PARALLELE ALL’ASSE DEL SOLENOIDE VERSO DELLE LINEE DI CAMPO MAGNETICO REGOLA CACCIAVITE: mano destra Il pollice segue la corrente, le dita che si chiudono creano il verso delle linee REGOLA CACCIAVITE: mano destra dita si chiudono come la corrente, il pollice dà il verso della linea lungo l’asse della spira REGOLA CACCIAVITE: mano destra dita si chiudono come la corrente, il pollice dà il verso della linea lungo l’asse del solenoide OVUNQUE LUNGO L’ASSE DELLA SPIRA OVUNQUE 𝝁𝑰 𝑩= 𝟐𝝅𝒅 𝟑 𝝁𝑰 𝑹 𝑩= ( ) 𝟐𝑹 √𝑹𝟐 + 𝒛𝟐 𝒅: distanza tra il punto in cui valuto il 𝒛: quota lungo l’asse della spira a partire LINEA DI CAMPO CAMPO MAGNETICO CONDUTTORE VISTI DALL’ALTO DOVE RISULTA FACILMENTE CALCOLABILE IL MODULO DEL CAMPO MAGNETICO? MODULO DEL CAMPO MAGNETICO 𝝁𝟎 = 𝑵 𝟒𝝅 ⋅ 𝟏𝟎−𝟕 𝟐 𝑨 campo ed il filo dal centro della spira 𝑩=𝝁𝑰𝒏 𝑩= 𝟎 (all’interno) (all’esterno) 𝒏 = 𝑵/𝑳 densità lineare di spire. (numero spire 𝑵 su lunghezza 𝑳) Chi sente il campo? CHI SENTE IL CAMPO MAGNETICO? Cosa sente? Cosa succede? ⃗ La carica ruota attorno al campo magnetico 𝐵 (le cui linee diventano asse di rotazione) TRE CASI: Forza di Lorentz Carica 𝒒 in moto con ⃗ velocità 𝒗 ⃗ ⃗ 𝑥𝐵 𝐹 =𝒒⋅𝒗 ⃗ 𝑣 // 𝐵 ⃗ b) 𝑣 ⊥ 𝐵 a) c) Nessuno dei precedenti Filo lungo 𝒍 percorso da corrente 𝒊 Spira di momento ⃗⃗⃗ di dipolo 𝒎 Forza di Faraday ⃗ 𝐹 =𝒊⋅𝒍𝑥𝐵 Momento torcente ⃗⃗ = 𝒎 ⃗ ⃗⃗⃗ 𝑥 𝐵 𝑀 Il filo accelera di MRUA nella direzione della forza 𝐹 ⃗⃗ La spira ruota attorno al Vettore Momento 𝑀 160 CURIOSITA’ SUL CAMPO MAGNETICO TERRESTRE Perché il campo magnetico si inverte? Perché il campo magnetico terrestre si sta spostando? Il campo magnetico si sta indebolendo? Quando la Terra fu sul punto di perdere il campo magnetico! Cosa accadrebbe se il campo magnetico si spegnesse? APPLICAZIONI CON CAMPO MAGNETICO o Selettore di Velocità o Spettrometro di Massa DIPOLO ELETTRICO E MAGNETICO DIPOLO ELETTRICO MAGNETICO Un dipolo è formato da: Due monopoli elettrici di segno opposto, ognuno di carica 𝑸 e a distanza 𝒅 Spira di area 𝑺, con 𝑵 avvolgimenti percorsa da una corrente 𝒊 + Vettore momento di dipolo Modulo Direzione Verso Il Campo generato dal dipolo a grande distanza r è  direttamente proporzionale al momento di dipolo  inversamente al cubo della distanza dal dipolo Momento torcente sul dipolo immerso in campo L’effetto è una rotazione del dipolo per allineare il proprio momento di dipolo al campo esterno Energia potenziale ⃗⃗⃗ 𝒎 ⃗ 𝒑 ⃗ 𝒑 |𝑝| = 𝑑 ⋅ 𝑄 La congiungente delle due cariche Dalla carica negativa a quella positiva 𝐸⃗𝐷𝐼𝑃 ∝ ⃗ 𝒑 𝑟3 ⃗⃗⃗ 𝒎 |𝑚 ⃗⃗ | = 𝑁 ⋅ 𝑖 ⋅ 𝑆 La normale alla spira Dalla regola del cacciavite partendo dal verso della corrente ⃗ 𝐷𝐼𝑃 ∝ 𝐵 ⃗⃗⃗ 𝒎 𝑟3 ⃗⃗ = 𝒑 ⃗ 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝐸𝐸𝑋𝑇 ⃗⃗ = 𝒎 ⃗⃗⃗ 𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀 𝐵𝐸𝑋𝑇 ⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 = −𝒑 𝐸𝐸𝑋𝑇 ⃗⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑈 = −𝒎 𝐵𝐸𝑋𝑇 a) Condizione di equilibrio Stabile 𝑀 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑜, 𝑈 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 ∶ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 b) Condizione di equilibrio Instabile 𝑀 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑜, 𝑈 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑎 ∶ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 c) Condizione di Non equilibrio 𝑀 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑜: 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 162 Confronto tra Campo Elettrostatico e Magnetostatico CAMPO SORGENTI LINEE DI CAMPO FORZA (sentita da una carica in campo esterno) LINEE DI FORZA DIREZIONE VERSO FLUSSO 𝚽 DI CAMPO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA 𝛀 CIRCUITAZIONE 𝚪 DI CAMPO LUNGO IL CIRCUITO 𝜸 ELETTROSTATICO ⃗𝑬 CARICHE APERTE MAGNETOSTATICO ⃗𝑩 ⃗ CORRENTI STAZIONARIE E MAGNETI CHIUSE (esistono i monopoli elettrici positivi e negativi) (non esiste il monopolo magnetico) ⃗𝑭 = 𝒒 ⋅ ⃗𝑬 ⃗𝑭 = 𝒒 ⋅ 𝒗 ⃗ ⃗ 𝒙 ⃗𝑩 PARALLELA a ⃗𝑬 ⃗ PERPENDICOLARE a ⃗𝑩 ⃗ PERPENDICOLARE a 𝒗 ⃗⃗ se 𝒒 > 𝟎 CONCORDE a 𝑬 ⃗⃗ se 𝒒 < 𝟎 DISCORDE a 𝑬 REGOLA DELLA MANO DESTRA 𝑸𝑰𝑵𝑻𝜴 ⃗ )= 𝜱𝜴 (𝑬 𝝐 ⃗⃗ ) = 𝟎 𝜱𝜴 (𝑩 ⃗ )=𝟎 𝜞𝜸 (𝑬 ⃗⃗ ) = 𝝁 𝜮𝒊𝑪𝑶𝑵𝑪 𝜞𝜸 (𝑩 𝜸 LE 4 EQUAZIONI DI MAXWELL NEL CASO STATICO 163 LA LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ La Terza Equazione di Maxwell (nel caso non statico) Γγ (𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 ) = − ⃗ )] 𝑑 [Φ𝑆𝛾 (𝐵 𝑑𝑡 Preso un circuito metallico FISICO ⃗: In presenza di linee di campo magnetico 𝐵 Si prende un circuito orientato γ che coincide con il circuito FISICO il cui verso si trova con la regola del cacciavite, posizionando il pollice ⃗ come 𝐵 Si prende la superficie APERTA 𝑆𝛾 che ha come ̂ il sostegno il circuito 𝛾 e come normale 𝒏 versore con il verso dettato dal verso di rotazione di γ attraverso la regola del cacciavite Si calcola il flusso del campo magnetico che attraversa la superficie APERTA 𝑆𝛾 ⃗ ) = ∫|𝐵 ⃗ | ⋅ |𝑑𝑆| ⋅ cos(𝜃) Φ𝑆𝛾 (𝐵 ⃗ ̂e𝐵 Dove 𝜃 è l’angolo tra 𝒏 Se il flusso del campo magnetico attraverso 𝑆𝛾 cambia nel tempo, nasce un campo elettrico indotto 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 con le seguenti caratteristiche : 164 1) Le sue linee sono chiuse e circolari attorno alle linee di campo magnetico. Per questo motivo:  Il flusso del campo elettrico indotto attraverso una superficie chiusa è nullo  la circuitazione del campo elettrico indotto non è nulla e pari a ⃗⃗ )] 𝒅 [𝚽𝑺𝜸 (𝑩 ⃗ 𝒊𝒏𝒅 ) = − 𝚪𝛄 (𝑬 𝒅𝒕 2) Il campo elettrico indotto 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 è un campo reale (esperibile con un sensore), quindi sentito dalle cariche presenti sul filo metallico. Per questo motivo: ⃗ 𝑖𝑛𝑑 ) diventa una differenza di potenziale tra due punti coincidenti, come se ci fosse una  Γγ (𝐸 pila tra questi due punti → esiste una pila virtuale con ⃗ 𝒊𝒏𝒅 ) 𝒇. 𝒆. 𝒎. = 𝚫𝑽𝒑𝒊𝒍𝒂 𝒗𝒊𝒓𝒕𝒖𝒂𝒍𝒆 = 𝚪𝛄 (𝑬  Le cariche presenti sul filo, spinte da questo campo elettrico indotto, cominciano a muoversi e ruotare lungo il circuito metallico → nasce una corrente indotta 𝑖𝑖𝑛𝑑 . Se il filo ha resistenza R, la corrente 𝑖𝑖𝑛𝑑 si trova dalla 1° legge di Ohm : 𝒇. 𝒆. 𝒎. = 𝑹 ⋅ 𝒊𝒊𝒏𝒅  3) Il campo elettrico indotto 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 e la corrente 𝑖𝑖𝑛𝑑 hanno lo stesso verso di percorrenza, ma quale? Il meno presente nella terza equazione di Maxwell ha un significato FISICO molto importante: Se il flusso di campo magnetico nel tempo… ⃗⃗ )] 𝒅[𝚽𝑺𝜸 (𝑩 … la quantità è: 𝒅𝒕 Quindi la circuitazione Γγ (𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 ) è Quindi il campo elettrico indotto 𝐸⃗𝑖𝑛𝑑 è: Quindi se è presente un circuito FISICO la corrente è Cioè la corrente circola, rispetto a 𝛾, in verso La corrente indotta crea un campo magnetico, rispetto al verso del campo magnetico iniziale CASO 1 aumenta CASO 2 diminuisce CASO 3 non cambia POSITIVA NEGATIVA NULLA NEGATIVA POSITIVA NULLA DISCORDE A 𝛾. NEGATIVA CONCORDE A 𝛾 POSITIVA NULLO NULLA DISCORDE DISCORDE CONCORDE CONCORDE NULLA NULLO QUINDI: Lungo un circuito metallico all’interno del quale il flusso del campo magnetico cambia nel tempo, si crea una corrente indotta che crea un campo magnetico che si OPPONE ALLA VARIAZIONE di tale flusso magnetico. 165 In che modi si può formare una corrente indotta? Quando il flusso del campo magnetico cambia nel tempo! 𝑓. 𝑒. 𝑚. = 𝑅 ⋅ 𝒊𝒊𝒏𝒅 Il flusso magnetico cambia nel tempo se cambia nel tempo: Esempio fisico Tipo di moto ⃗ | ⋅ |𝑑𝑆⃗ | ⋅ cos(𝜃)] 𝑑[∫|𝐵 =− 𝑑𝑡 Il modulo del campo magnetico L’area del circuito L’angolo tra campo e normale 𝐵(𝑡) 𝑆(𝑡) 𝜃(𝑡) Calamita che si avvicina/allontana al circuito o viceversa Movimento traslatorio relativo tra circuito e campo magnetico Sbarretta mobile lunga 𝒍 immersa in campo magnetico La sbarretta si muove con legge oraria 𝒙(𝒕) di moto qualsiasi Calamita che ruota attorno a circuito o viceversa (DINAMO) Il campo “letto” dal circuito varia in modo lineare (anche a tratti) nel tempo: L’area del circuito cambia nel tempo La rotazione relativa avviene a velocità angolare 𝝎 costante (MCU) 𝐵(𝑡) = 𝐵0 + 𝒎 𝑡  𝒎 è la velocità con cui 𝐵 𝑆(𝑡) = 𝒍 ⋅ 𝑥(𝑡) 𝜃(𝑡) = θ0 + 𝝎 𝑡  𝝎 è la velocità con cui 𝜃 cambia Movimento rotatorio relativo tra circuito e campo magnetico Disegno: Descrizione fisico/matematico della quantità di interesse in funzione del tempo Considerazioni sulla formula cambia nel tempo: in un grafico B in funzione del tempo t; 𝒎 è il COEFFICIENTE ANGOLARE  𝐵0 è il valore del campo magnetico al tempo zero nel tempo: in un grafico dell’angolo in funzione del tempo t, 𝝎 è il COEFFICIENTE ANGOLARE  θ0 è l’angolo iniziale tra il campo magnetico e la normale al circuito Visto che non 𝑑(𝐵0 + 𝒎 𝑡) 𝑑(cos(θ0 + 𝝎 𝑡)) 𝑑(𝑙 ⋅ 𝑥(𝑡)) = = = sappiamo fare la 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 derivata, si informa sui = −𝝎 𝑠𝑖𝑛 (θ0 + 𝝎 𝑡) =𝒎 = 𝑙 ⋅ 𝑣(𝑡) risultati delle seguenti derivate: Quindi la 𝑓. 𝑒. 𝑚. risulta −𝒎 ⋅ 𝑆 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝐵𝑙𝑣 ⋅ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) +𝐵𝑆𝝎 𝑠𝑖𝑛 (𝜃0 + 𝝎 𝑡) uguale a : Considerazioni sulla Se sul circuito ci sono N avvolgimenti, il flusso e quindi la f.e.m. vanno moltiplicati per N formula finale 166 ELEMENTI CIRCUITALI Elementi Grandezza Unità di misura Formula Geometrica (2° legge di OHM generalizzata) Energia Tipologia RESISTORE RESISTENZA R Ohm (𝛀) CONDENSATORE CAPACITA’ C Farad (𝑭) SOLENOIDE INDUTTANZA L Henry (𝑯) 𝒍 𝑹=𝝆 𝑺 𝑺 𝑪=𝝐 𝒅 𝑵𝟐 𝑺 𝑳=𝝁 𝒍 𝑬 = ∫ 𝑹𝒊 𝒅𝒕 𝟏 𝑸𝟐 𝑬= 𝟐 𝑪 Dissipata per effetto Joule Immagazzinata nel campo Elettrico 𝟐 𝟏 𝒘𝑬 = 𝝐𝑬𝟐 𝟐 Densità di Energia Caduta di Tensione 𝚫𝐕 con la Corrente Caduta di Tensione 𝚫𝐕 con la Carica Visione “Fasoriale” dell’impedenza Schema vettoriale (o piano di Gauss) per le Impedenze per correnti alternate 𝟏 𝟐 𝑳𝑰 𝟐 Immagazzinata nel campo Magnetico 𝒘𝑩 𝟏 𝑩𝟐 = 𝟐 𝝁 −𝑹𝒊 𝟏 − ∫ 𝒊 𝒅𝒕 𝑪 −𝑳 𝒅𝒕 𝒅𝑸 −𝑹 𝒅𝒕 𝑸 − 𝑪 𝒅𝟐 𝑸 −𝑳 𝟐 𝒅𝒕 𝒁𝑹 = 𝑹 ‫𝟎ے‬ 𝟏 𝝅 𝒁𝑪 = ‫ے‬− 𝝎𝑪 𝟐 𝝅 𝒁𝑳 = 𝝎𝑳 ‫ ے‬+ 𝟐 La corrente è in La corrente è in anticipo fase rispetto a 𝑽𝑹 di un quarto di periodo rispetto a 𝑽𝑪 A frequenza nulla (in continua) A frequenza infinita 𝑬= 𝒅𝒊 La corrente è in ritardo di un quarto di periodo rispetto a 𝑽𝑳 Non cambia Circuito aperto Cortocircuito Non cambia Cortocircuito Circuito aperto 𝒁𝑳 𝒁𝑹 𝒁𝑪 167 LE 4 EQUAZIONI DI MAXWELL NEL CASO GENERALE Flusso 𝚽 attraverso una Superficie CHIUSA 𝛀 𝑸𝑰𝑵𝑻𝜴 ⃗ 𝑺𝑻𝑨 + ⃗𝑬 ⃗ 𝑰𝑵𝑫 ) = 𝜱𝜴 ( ⃗𝑬 +𝟎 𝝐 ⃗⃗ 𝑺𝑻𝑨 + 𝑩 ⃗⃗ 𝑰𝑵𝑫 ) = 𝟎 + 𝟎 𝜱𝜴 (𝑩 Circuitazione 𝚪 lungo il circuito 𝜸; 𝐒𝛄 è una Superficie APERTA che ha 𝜸 come Sostegno ⃗ 𝑺𝑻𝑨 + ⃗𝑬 ⃗ 𝑰𝑵𝑫 ) = 𝟎 + (− 𝜞𝜸 (𝑬 ⃗⃗ ) 𝒅𝜱𝑺𝜸 (𝑩 𝒅𝒕 ) ⃗⃗ 𝑺𝑻𝑨 + ⃗𝑩 ⃗ 𝑰𝑵𝑫 ) = 𝝁 ( 𝜮𝒊𝑪𝑶𝑵𝑪 + 𝝐 𝜞𝜸 (𝑩 𝜸 ⃗⃗ ) 𝒅𝜱𝑺𝜸 (𝑬 𝒅𝒕 ⃗⃗ 𝑺𝑻𝑨 𝑬 ⃗⃗ 𝑰𝑵𝑫 𝑬 ⃗𝑩 ⃗ 𝑺𝑻𝑨 ⃗𝑩 ⃗ 𝑰𝑵𝑫 Generatori Cariche elettriche Variazione di flusso di campo magnetico Correnti elettriche Variazione di flusso di campo elettrico (corrente di spostamento) Conservativo? LINEE SI APERTE NO CHIUSE NO CHIUSE NO CHIUSE Campi ) Relatività Relatività Galileiana Sistemi di riferimento: Sistema Spazio-Temporale in cui ogni evento è caratterizzato da Coordinate Spaziali x e Temporali t Definizione SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE (SRI): Sistema di riferimento in cui ogni corpo, nel caso sia sottoposto ad una forza risultante nulla e muovendosi quindi di moto rettilineo uniforme (MRU), persevera nel suo stato di MRU. Non devono quindi essere presenti forze apparenti. SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE (SRNI) Sistema di riferimento in cui i corpi sono sottoposti a forze anche apparenti, dovuti alla non inerzialità del SRNI. Conseguenza Fissato un SRI, esistono infiniti SRI: infatti tutti i sistemi Un corpo soggetto ad una risultante nulla della di riferimento che si muovono di MRU rispetto al potrebbe magicamente accelerare e non definizione primo sono Inerziali. perseverare nel suo stato di moto. Esempi Pianeta Terra (trascurando le forze apparenti Un treno che frena, una giostra rotante, una centrifughe dovute alla rotazione e alla rivoluzione), la macchina che accelera, un autobus che percorre nostra aula, un treno o una nave che viaggiano a una rotonda. velocità costante rispetto alla superficie terrestre, una navicella spaziale che non frena e che non accelera, Il Sole e le stelle “fisse”. 169 Notazione per due SRI (O e O’) ognuno con una coordinata spaziale ed una coordinata temporale. IPOTESI: 1. O e O’ si incontrano nelle loro origini al tempo 𝑡 = 𝑡’ = 0. 2. Ogni evento che avviene all’istante t per O, avviene all’istante 𝑡’ = 𝑡 per O’ (Punto Debole della Rel.Gal.) 3. O’ si sta muovendo rispetto ad O di MRU con una velocità pari a 𝑣𝑂′ ,𝑂 = 𝑢 (velocità di trascinamento). Quindi O si sta muovendo rispetto ad O’ con una velocità 𝑣0,0’ 4. P è un oggetto che si muove rispetto ad O e a O’ di un moto qualsiasi. Quantità conosciute in funzione del SRI di O Notazione estesa 𝑥𝑃,𝑂 Notazione contratta 𝑥 𝑣𝑃,𝑂 𝑣 Posizione di P rispetto a O Legge oraria qualsiasi di P rispetto ad O. Velocità di P rispetto a O 𝑎𝑃,𝑂 𝑎 Accelerazione di P rispetto a O 𝑣𝑂′,𝑂 𝑥𝑂′ ,𝑂 𝑢 Velocità di Trascinamento costante. Posizione di O’ rispetto a O. Legge oraria di MRU di O’ rispetto ad O. Accelerazione di O’ rispetto a O: deve essere nulla, altrimenti O’ non sarebbe un SRI: moltiplicata per la massa di P essa sarebbe la forza apparente. 𝑎𝑂′,𝑂 Significato Relazione con le quantità precedenti 𝑑𝑥𝑃,𝑂 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑃,𝑂 𝑑 2 𝑥𝑃,𝑂 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑣𝑃,𝑂 = 𝑎𝑃,𝑂 𝑥𝑂′,𝑂 = 𝑢 ⋅ 𝑡 𝑎𝑂′,𝑂 = 0 170 Quantità conosciute in funzione del SRI O’ Notazione Notazione estesa contratta 𝑥𝑃,𝑂′ 𝑣𝑃,𝑂′ 𝑎𝑃,𝑂′ 𝑥′ 𝑣′ 𝑎′ Significato Posizione di P rispetto a O’ Legge oraria qualsiasi di P rispetto ad O’. 1) Questa relazione si trova con il metodo punta-coda 2) Questa relazione si trova modificando 𝑥𝑂,𝑂′ : 𝑥𝑂,𝑂′ = 𝑣𝑂,𝑂′ 𝑡 ′ = −𝑢𝑡 Velocità di P rispetto a O’ Derivando la 1) rispetto al tempo si ottiene la 3) ovvero la legge di composizione delle velocità Accelerazione di P rispetto a O’. Derivando la 3) ottengo la 4). Poiché l’accelerazione è collegata alle forze attraverso la massa, la 4) esprime in pieno il principio di relatività. Relazione con le quantità precedenti 1) 𝑥𝑃,𝑂′ = 𝑥𝑃,𝑂 + 𝑥𝑂,𝑂′ 2) 𝑥𝑃,𝑂′ = 𝑥𝑃,𝑂 − 𝑢 ⋅ 𝑡 3) 𝑣𝑃,𝑂′ 𝑑𝑥𝑃,𝑂′ 𝑑𝑡 ′ = 𝑣𝑃,𝑂 + 𝑣𝑂,𝑂′ 4) 𝑎𝑃,𝑂′ 𝑑𝑣𝑃,𝑂′ = = 𝑎𝑃,𝑂 𝑑𝑡 ′ 𝑣𝑃,𝑂′ = 171 Relatività Galileiana in Sintesi: Risultati e Concetti Spiegazione Concetti 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑢𝑡 𝑡′ = 𝑡 Trasformazioni di Galileo per passare da O a O’ Δ𝑥 ′ = Δ𝑥 − 𝑢Δ𝑡 { Δ𝑡 ′ = Δ𝑡 Distanza Spazio-Temporale tra due eventi che avvengono per O ad una distanza spaziale pari a Δ𝑥 e una distanza temporale pari a Δ𝑡. La seconda riga può essere pensata come un postulato per Galileo. { 𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑣𝑃,𝑂 + 𝑣𝑂,𝑂′ 𝑎𝑃,𝑂′ = 𝑎𝑃,𝑂 Principio di relatività Composizione delle Velocità Le accelerazioni e dunque la dinamica dei corpi è uguale per ogni SRI. Tutte le leggi fisiche della Meccanica sono le stesse per tutti i SRI, ovvero sono invarianti per Trasformazioni di Galileo. Nel passaggio da un SRI ad un SRNI non vale questo principio infatti la dinamica viene modificata per la nascita di forze apparenti. 172 La crisi della Fisica Classica è causata dalle equazioni di Maxwell. (1865) Le leggi dell'elettromagnetismo non sono invarianti per Trasformazioni di Galileo quindi... ...Le leggi dell’Elettromagnetismo non rispettano il principio di Relatività ed esiste un sistema privilegiato (l’Etere) in cui la velocità della Luce vale c(mentre negli altri SRI risulta minore o maggiore di c in base alla composizione delle velocità) ma... (1887)...l’esperimento di Michelson-Morley mostra che la velocità della luce è uguale in tutte le direzioni e quindi è indifferente al vento d’etere quindi... ...non esiste nessun sistema di riferimento privilegiato per le leggi dell'elettromagnetismo quindi... ...il principio di Relatività potrebbe valere anche per le leggi dell’Elettromagnetismo ma… 173 Relatività Speciale (o Ristretta) (1905) Einstein: Le leggi dell'elettromagnetismo non sono invarianti per Trasformazioni di Galileo quindi: trovo delle Trasformazioni invarianti sia per la Meccanica, Elettromagnetismo e l'Ottica! Risultati e Concetti 1°Assioma Principio di relatività 2°Assioma Principio di invarianza ′ 𝑥 = 𝜸(𝑥 − 𝑢𝑡) 𝑢𝑥 { ′ 𝑡 = 𝜸 (𝑡 − 2 ) 𝑐 Spiegazione Concetti Tutte le leggi fisiche della Meccanica, dell’Elettromagnetismo e dell’Ottica sono le stesse per tutti i SRI, ovvero sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz. Come Conseguenza del primo Assioma la velocità della luce nel vuoto 1 è uguale per ogni SRI e pari a 𝑐 = ≈ 3 ⋅ 108 𝑚/𝑠 √𝜖0 𝜇0 Trasformazioni di Lorentz per passare da O a O’ relative ad un evento avvenuto in O in posizione x e all’istante t e avvenuto in O’ in posizione x’ e all’istante t’ 1 𝑢 Fattore relativistico 𝜸 = con 𝛽 = 2 √1−𝛽 Δ𝑥 ′ = 𝛾 (Δ𝑥 − 𝑢Δ𝑡) 𝑢Δ𝑥 { ′ Δ𝑡 = 𝛾 (Δ𝑡 − 2 ) 𝑐 𝑣𝑃,𝑂 + 𝑣𝑂,𝑂′ 𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑣𝑃,𝑂 ⋅ 𝑣𝑂,𝑂′ 1+ 2 𝑐 𝑐 Trasformazioni Differenziali per passare da O a O’ Relativo alla distanza Spaziale (Δ𝑥) e Temporale (Δ𝑡) tra due eventi per O E alla distanza Spazio Δ𝑥′-Temporale Δ𝑡′ tra gli stessi due eventi per O’ Composizione delle Velocità 𝑑𝑥𝑃,𝑂′ 𝑑𝑥𝑃,𝑂 𝑣𝑃,𝑂 = 𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑣𝑂,𝑂′ = −𝑣𝑂′ ,𝑂 = −𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡′ 174 𝐋𝐞𝐠𝐚𝐦𝐢 𝐭𝐫𝐚 𝐮, 𝛃, 𝛄 (𝛾β)2 = 𝛾 2 − 1 𝛾 1 Per 𝛽 ≪ 1 (𝑣 ≪ 𝑐) : 𝛾 ≈ 1 + 𝛽 2 𝛾𝛽 1 2 Esempi 𝑢(𝑚/𝑠) 𝛽 = 𝑢/𝑐 Velocità di una macchina 30 10−7 Velocità del suono in aria 300 10−6 Oggetto artificiale più veloce 105 3 ⋅ 107 1.5 ⋅ 108 2.7 ⋅ 108 2.97 ⋅ 108 2.9976 ⋅ 108 <≈ 3 ⋅ 108 3 ⋅ 108 > 3 ⋅ 108 3.33 ⋅ 10−4 0.1 0.5 0.9 0.99 0.9992 0.999999991 1 >1 Muoni atmosferici Protoni in LHC Luce Tachioni 𝛾 = 1/√1 − 𝛽 2 1 1 + ⋅ 10−14 2 1.000000000000005 1 1 + ⋅ 10−12 2 1.0000000000005 1.000000056 1.005 1.1547 2.294 7.0888 25 7453.56 ∞ Immaginario 175 Grafico del Fattore Relativistico 𝜸(𝜷) Per 𝛽 ≪ 1 1 𝛾 ≈ 1 + 𝛽2 2 𝜷 176 Le conseguenze delle Trasformazioni di Lorentz 177 La Simultaneita’ Due eventi sono Simultanei se avvengono nello stesso istante di tempo. La Simultaneità di due eventi è Relativa o Assoluta? IPOTESI: Si prendono due eventi simultanei per O (Δ𝑡 = 0) che avvengono a distanza Δ𝑥. I due eventi Sono simultanei anche per O’? Einstein Δ𝑡 ′ = 𝛾 (Δ𝑡 − Simultaneità Locale Δ𝑡 = 0 Δ𝑥 = 0 Simultaneità a Distanza Δ𝑡 = 0 Δ𝑥 ≠ 0 𝑢Δ𝑥 ) 𝑐2 Δ𝑡′ = 0 SI La Simultaneità Locale Rimane Assoluta 𝑢Δ𝑥 ′ Δ𝑡 = − 2 ≠ 0 𝑐 NO La Simultaneità a Distanza diventa Relativa Galileo Δ𝑡 ′ = Δ𝑡 Δ𝑡′ = 0 SI Δ𝑡′ = 0 SI 178 La dilatazione dei Tempi (propri) Tempo proprio 𝜏 → Durata tra due eventi che avvengono nella stessa posizione (Co-Spaziali). Il tempo di vita di una persona o di una particella è per se stessa un tempo proprio La durata temporale tra due eventi è Relativa o Assoluta? IPOTESI: Si prendono due eventi co-Spaziali per O’ (Δ𝑥′ = 0) che distano temporalmente una durata chiamata tempo proprio 𝝉 → Δ𝑡 ′ = 𝜏 Tra i due Eventi co-spaziali per O’ passa lo stesso tempo 𝝉 per un osservatore non solidale ad O’? Einstein Δ𝑥 = 𝛾(Δ𝑥 − 𝑢Δ𝑡) 𝑢Δ𝑥 { ′ Δ𝑡 = 𝛾 (Δ𝑡 − 2 ) 𝑐 Galileo ′ Tempo proprio tra due eventi Co-Spaziali Δ𝑡′ = 𝜏 Δ𝑥′ = 0 Δ𝑡 = 𝛾𝜏 NO Una durata temporale è Relativa: Un tempo non proprio è maggiore di un tempo proprio del fattore 𝛾 Δ𝑡 ′ = Δ𝑡 Δ𝑡 = 𝜏 SI Prova Sperimentale: La dilatazione del tempo di vita dei muoni atmosferici 179 La contrazione delle Lunghezze (proprie) Lunghezza propria 𝐿 → Lunghezza di un’oggetto solidale (fermo) rispetto ad un osservatore. In generale la lunghezza di un corpo è pari alla distanza spaziale tra due eventi simultanei a distanza: un evento è la misura della posizione di un estremo simultanea alla misura della posizione dell’altro estremo. La Lunghezza di un oggetto è Relativa o Assoluta? IPOTESI: Si prende un oggetto fermo rispetto ad O di lunghezza chiamata lunghezza propria L. O’ misura la lunghezza dello stesso oggetto prendendo i due eventi di misurazione simultanei per lui. Per O’ la lunghezza dell’oggetto sarà pari a L? Einstein Galileo Δ𝑥 ′ = 𝛾(Δ𝑥 − 𝑢Δ𝑡) 𝑢Δ𝑥 { ′ Δ𝑡 = 𝛾 (Δ𝑡 − 2 ) 𝑐 Misurazione simultanea per O’ (Δ𝑡′ = 0) della posizione degli estremi di un oggetto fermo rispetto ad O (Δ𝑥 = 𝐿) { Δ𝑥 ′ = 𝐿′ = 𝐿/𝛾 NO La lunghezza dei corpi (solo nella direzione del moto relativo) è Relativa: la lunghezza non propria è minore della lunghezza propria di un fattore 𝛾 Cambia la velocità b e fai passare il tempo Δ𝑥 ′ = Δ𝑥 − 𝑢Δ𝑡 Δ𝑡 ′ = Δ𝑡 Δ𝑥′ = 𝐿 SI T con e osserva la contrazione della lunghezza propria L 180 L’esempio dei Muoni Relativistici (𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑖 𝑣𝑖𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑎 2.2 𝜇𝑠) 1° Evento: Il muone si genera quando incontra il culmine dell’atmosfera 2°Evento: il muone colpisce la superficie terrestre e viene misurato Velocità dell’altro sistema di riferimento Fattore relativistico 𝛾 Distanza spaziale tra i due eventi Distanza temporale tra i due eventi Altezza dell’atmosfera Cosa sperimentano “di strano” i due osservatori che si pensano fermi rispetto a se stessi? Perché muone e superficie terrestre riescono ad incontrarsi? O (Terra e atmosfera) O’ (Muoni) 𝑣𝑂′ ,𝑂 = −0.9992 𝑐 𝑣𝑂,𝑂′ = + 0.9992 𝑐 𝛾 = 25 𝛾 = 25 Δ𝑥 = 15 𝑘𝑚 Δ𝑥′ = 0 𝑘𝑚 Δ𝑡 = 𝛾𝜏 = 50 𝜇𝑠 DILATAZIONE TEMPORALE 𝐿 = 15 𝑘𝑚 LUNGHEZZA PROPRIA Δ𝑡 ′ = 𝜏 = 2 𝜇𝑠 TEMPO PROPRIO 𝐿’ = 𝐿/𝛾 = 600 𝑚 CONTRAZIONE SPAZIALE Un osservatore fermo rispetto alla Terra sperimenta la dilatazione temporale del tempo proprio del muone. Un osservatore fermo rispetto al muone sperimenta la contrazione della lunghezza propria dell’altezza dell’atmosfera. Il muone riesce a percorrere i 15 km perché la sua vita si è allungata di 25 volte! La Terra riesce a raggiungere il muone perché l’atmosfera è alta solo 600 metri! (Il tempo di vita del muone per la Terra diventa di 55𝜇𝑠) (Il muone morirebbe spontaneamente all’impatto se l’atmosfera fosse alta 660 metri) 181 La composizione delle velocità IPOTESI: Un oggetto si sta muovendo rispetto ad O con velocità 𝑣𝑃,𝑂 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 ; mentre O si sta muovendo rispetto ad O’ a velocità 𝑣𝑂,𝑂′ . La velocità dell’oggetto per O’ (𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑑𝑥 ′ /𝑑𝑡 ′ ) risulta semplicemente la somma delle precedenti? La velocità della luce è superabile? Einstein Galileo d𝑥 ′ = 𝛾(d𝑥 − 𝑢d𝑡) 𝑢d𝑥 { ′ d𝑡 = 𝛾 (d𝑡 − 2 ) 𝑐 Velocità di un oggetto per O’ Se O spara un raggio di luce verso O’ e O si sta muovendo a velocità 𝑣𝑂,𝑂′ rispetto a O’ quale è la velocità del raggio laser per O’? Due raggi di luce si stanno incontrando, quale è la velocità di uno rispetto all’altro? 𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑣𝑃,𝑂 + 𝑣𝑂,𝑂′ 1+ 𝑣𝑃,𝑂 ⋅𝑣𝑂,𝑂′ d𝑥 ′ = d𝑥 − 𝑢d𝑡 { d𝑡 ′ = d𝑡 𝑣𝑃,𝑂′ = 𝑣𝑃,𝑂 + 𝑣𝑂,𝑂′ 𝑐2 NO SI 𝑣𝐿𝑈𝐶𝐸,𝑂′ = 𝑐 La velocità della luce è invariante 𝑣𝐿𝑈𝐶𝐸,𝑂′ = 𝑐 + 𝑣𝑂,𝑂′ NO SI 𝑣𝐿𝑈𝐶𝐸,𝑂′ = 𝑐 La velocità della luce è invariante NO 𝑣𝐿𝑈𝐶𝐸,𝑂′ = 2𝑐 SI 182 L’intervallo 𝝈 relativistico L’intervallo 𝜎 relativistico tra due eventi è la distanza Spazio-Temporale tra i due eventi ed è invariante per ogni osservatore! 𝜎 2 = 𝑐 2 Δ𝑡 2 − Δ𝑥 2 = 𝑐 2 Δ𝑡′2 − Δ𝑥′2 Eventi di Tipo: Valore di 𝜎 2 Tempo Luce Spazio 𝜎 2 > 0 |𝑐Δ𝑡| > |Δ𝑥| 𝜎 2 = 0 |𝑐Δ𝑡| = |Δ𝑥| 𝜎 2 < 0 |𝑐Δ𝑡| < |Δ𝑥| ct ctc t Esempio Grafico ct x x x Gli eventi stanno tra di loro: Possono essere simultanei per un certo osservato? Se si, a quale velocità deve muoversi questo osservatore? Questo osservatore misura tra i due eventi: Dentro i rispettivi coni di luce Lungo i rispettivi coni di luce Fuori dai rispettivi coni di luce NO SOLO PER LA LUCE Possono essere co-spaziali per un certo osservatore? Se si, a quale velocità deve muoversi questo osservatore? Questo osservatore misura tra i due eventi: SI SI 𝑐Δ𝑡 𝛽= Δx Una lunghezza propria L: 𝐿 = √−𝜎 2 NO Gli eventi potrebbero essere causalmente connessi? Un evento accadere prima, insieme o dopo l’altro? 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑐𝑒! Δx 𝑐Δ𝑡 Un tempo proprio 𝜏: 𝑐𝜏 = √𝜎 2 𝛽= SI NO SOLO PER LA LUCE 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑐𝑒! SI NO NO SI 183 C D B A Coppie eventi Eventi tipo: Z-A Z-B Z-C Spazio Luce Tempo Z-D A-B A-C Spazio Spazio Luce A-D B-C B-D Tempo Tempo Spazio C-D Spazio Z C 184 IL MIO QUADERNO DEL LABORATORIO DI FISICA Strumentazione: Portata E Sensibilità Errori durante la misura: TIPO DI ERRORI CASUALI SISTEMATICI DI LETTURA DOVUTI A: Fluttuazioni, variazioni di grandezze fisiche difficilmente governabili Errori umani, problema all’interno dello strumento di misura Errore umano di lettura, di mancato allineamento (errore di parallasse) I VALORI MISURATI SONO SEMPRE: SIA in DIFETTO SIA in ECCESSO SEMPRE in DIFETTO o SEMPRE in ECCESSO SEMPRE in DIFETTO o SEMPRE in ECCESSO PRECISIONE ACCURATEZZA ACCURATEZZA NO SI SI LA LORO PRESENZA CAUSA UNA DIMINUZIONE DI: SONO ELIMINABILI? Serie di misure dirette: Valore Medio, Errore Assoluto, Intervallo di Confidenza, Errore relativo ed errore percentuale Accuratezza e sensibilità Le Misure Indirette La Propagazione degli Errori FORMULA con: SOMME O SOTTRAZIONI Esempio di formula 𝑿=𝒂+𝒃−𝒄 Valore Medio 𝑽𝑴 Il Valore Medio segue La formula indiretta Esempio 𝑽𝑴 (𝑿) = 𝑽𝑴 (𝒂) + 𝑽𝑴 (𝒃) − 𝑽𝑴 (𝒄) Errore Assoluto 𝝐𝑨 L’Errore Assoluto è la Somma degli Errori Assoluti Si calcola solo dopo aver calcolato l’Errore Relativo Esempio 𝝐𝑨 (𝑿) = 𝝐𝑨 (𝒂) + 𝝐𝑨 (𝒃) + 𝝐𝑨 (𝒄) 𝝐𝑨 (𝒀) = 𝝐𝑹 (𝒀) ⋅ 𝑽𝑴 (𝒀) Errore Relativo 𝝐𝑹 Si calcola solo dopo aver calcolato l’Errore Assoluto L’Errore Relativo è la Somma degli Errori Relativi Esempio 𝝐𝑹 (𝑿) = 𝝐𝑨 (𝑿) 𝑽𝑴 (𝑿) PRODOTTI O DIVISIONI 𝒀=𝒔⋅ 𝒕 𝒏 Il Valore Medio segue La formula indiretta 𝑽𝑴 (𝒀) = 𝑽𝑴 (𝒔) ⋅ 𝑽𝑴 (𝒕) 𝑽𝑴 (𝒏) 𝝐𝑹 (𝒀) = 𝝐𝑹 (𝒔) + 𝝐𝑹 (𝒕) + 𝝐𝑹 (𝒏) Esercizi: Propagazione con somma e sottrazione: Es. Facile Propagazione con somma e sottrazione: Es. Facile e Medio Propagazione con prodotto e divisione: Es. Facile, Medio e Difficile Come calcolare l’Intervallo di Confidenza Globaledi una Quantità a partire da singoli intervalli di confidenza della stessa Quantità? 186 FAC SIMILE PREREQUISITI QUANDO SI APPLICA? LA FORMULA PROCEDIMENTO 1) 2) 3) 4) 5) NOTA BENE! 187 ESERCIZI e DOMANDE APPLICAZIONI ESPERIMENTI COSTANTI LEGENDA : Filmato Esercizi LINK ELETTRICO MAGNETICO RELATIVITA’ https://www.youtube.com/watch?v=1TKSfAkWWN0 CADUTA CERTEZZE https://www.youtube.com/watch?v=gO1t5d18ce8 A VUOTO https://www.youtube.com/watch?v=TVcXzUxlbVs Simboli matematici pi -> 180° 188 Relazione fondamentale x^2=9-> x=+-3BINOMIE Angolo Aggiunto Nota bene, nella scrittura di equazioni e disequazioni. Prodotti notevoli Coefficiente angolare nelle rette Inserire grafici negli esponenziali con sviluppo limiti Funzioni base Probabilità FARE KAHOOT entrata Un numero elevato alla seconda è sempre maggiore del numero stesso. Il negativo di 5^(-3) fa 5^3 ? Uno diviso zero fa zero Zero diviso zero fa uno. 5^0 fa zero Saper fare i calcoli a mente 1+1/2 Differenza tra -3^2 e (-3)^2 x+x quanto fa? Sqrt(6)=3? 189

Il mio libro di matematica e Fisica Aprile2022

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