Iـ قيمة السرعة اللحظية ـ متجهة التسارع.
1ـ معلمة نقطة مادية Mمن متحرك :متجهة الموضع.
نعتبر معلما متعامدا وممنظما o, i , j , k مرتبطا بالجسم المرجعي ونحدد
موضع النقطة Mمن الجسم عند لحظة معينة tبالمتجهة
. OM
نكتب متجهة الموضع. OM xi yj zk :
: z, y, xاإلحداثيات الديكارتية للنقطة Mفي المعلم.
x f t
y g t
z h t
z, y, xعبارة عن دوال تتعلق بالزمن ،وتمثل
المعادالت الزمنية لحركة النقطة . M
الشكل 1
OM x 2 y 2 z 2
منظم متجهة الموضع هو:
2ـ متجهة السرعة Vecteur vitesse:
أ ـ السرعة المتوسطةVitesse moyenne :
نعتبر الموضعين M1و M2عند اللحظتين t1و t2للنقطة المتحركة M
نعرف السرعة المتوسطة ب:
الشكل 2
MM
OM 2 OM 1
Vm 1 2
t2 t1
t2 t1
ب ـ السرعة اللحظيةVitesse instantanée :
تعريف:
السرعة اللحظية للنقطة المتحركة Mعند اللحظة tiتساوي تقريبا سرعتها المتوسطة بين اللحظتين ti+1و ti-1جد متقاربتين
تؤطران اللحظة M M : ti
V i i 1 i 1
ti 1 ti 1
OM 2 OM1
رياضيا :تعرف متجهة السرعة اللحظية V t ب:
t2 t1
im
t1 t2
M 1M 2
2 t1
im t
t1 t2
V t
متجهة السرعة عند اللحظة tتساوي مشتقة متجهة الموضع OM
في نفس اللحظة
إحداثيات متجهة السرعة في المعلم الديكارتي.
نعتبر معلما مرتبطا بالجسم المرجعي OM xi y j zk : R O, i, j , k
d OM
dt
V t
dOM
متجهة السرعة:
dt
dx dy
dz
V t i
j k
dt
dt
dt
dx
Vy، Vxو Vzاإلحداثيات
Vx
x
dt
الديكارتية لمتجهة السرعة
dy
V t Vy
y
dt
dz
Vz
z
dt
V t
V t Vx i Vy j Vz k
منظم متجهة السرعة:
V Vx2 Vy2 Vz2
BOUADDI & ELFAKIR
1
3ـ متجهة التسارعVecteur accélération :
أ ـ تعريف:
بالنسبة للزمنdV :
تساوي متجهة التسارع aمشتقة متجهة السرعة V
a
dt
d OM
d 2 OM
a t هي المشتقة الثانية لمتجة الموضع.
V t فإن:
بما أن
dt
dt 2
-2
2
وحدة التسارع aفي النظام العالمي (m/s ) :أو ) .(m.s
ب ـ إحداثيات متجهة التسارع aفي المعلم الديكارتي O, i, j, k
dV
dt
a
V Vx i Vy j Vz k
V xi y j z k
dV
dVx
dV
i y j z k
dt
dt
dt
a
إذن ay ، ax a axi ay j az k :و : azإحداثيات a
منظم متجهة التسارع a
:
2
z
a a a
2
y
2
x
a
في المعلم الديكارتي.
2
2
2ـ إحداثيات :V
dx
x 1
dt
V
dy
Vy
y 4t
dt
3ـ سرعة النقطة المتحركة:
2
x y z
تمرين تطبيقي:
نعتبر المعادلتين الزمنيتين لنقطة متحركة Mفي المعلم O, i, j
1ـ ما مسار هذه النقطة المتحركة؟
2ـ حدد إحداثيات متجهة السرعة ومتجهة التسارع عند اللحظة . t
3ـ استنتج سرعة وتسارع النقطة المتحركة.
األجوبة:
2
1ـ OM xi y j OM (t 1)i (2t 1) j
Vx
dVx
x
dt
dV
a ay y y
dt
dVz
az
z
dt
ax
a
t 0
x t 1
y 2t 2 1
dVx
إحداثيات x 0 : a
dt
a
dV
ay y y 4
dt
ax
V Vx2 Vy2 1 16t 2
تسارع النقطة المتحركةa ax2 a y2 0 16 4m.s 2 :
ج ـ إحداثيات متجهة التسارع في أساس فريني )(base Frenet
تعريف:
M
,
u
,
n
حيث ينطبق أصله في كل لحظة مع المتحرك ،Mومتجهته الواحدية
معلم فريني هو معلم متعامد ممنظم
n
uمماسية للمسار وموجهة في منحى الحركة ،أما المتجهة الواحدية فتكون متعامدة مع uوموجهة نحو تقعر المسار.
a a a
T
N
: aTمتجهة التسارع المماسي.
: a N a aT u a N nمتجهة التسارع المنظمي.
:ρشعاع انحناء المسار في الموضع . M
a aT 2 aN 2
في حالة الحركة الدائرية فإن ρ = R
dV
V2
aN
: R aT شعاع المسار الدائري.
dt
الشكل 3
BOUADDI & ELFAKIR
2
التعيين العملي لمتجهة التسارع a i
عند الموضع : Mi
V V
V V
ai i 1 i 1 i 1 i 1
ti 1 ti 1
2
مثال عند الموضع :M3
V4 V2
V V
a3 4 2
2
2
a3
a3و :V4 V2لهما نفس االتجاه والمنحى.
ملحوظة:
الجداء المتجهيV .a :
a aT aN
0
V . aT aN V .aT V .aN
V .a V aT
: V .a 0تكون الحركة متسارعة
: V .a 0تكون الحركة متباطئة.
: V .a 0تكون الحركة منتظمة.
IIـ قوانين نيوتن.
1ـ القوى الداخلية والقوى الخارجية:
بعد تحديد المجموعة المدروسة .
نسمي القوى الداخلية ،كل قوة مطبقة من طرف جسم ينتمي إلى المجموعة المدروسة على جسم آخر ينتمي إلى المجموعة
نفسها.
ونسمي القوى الخارجية كل قوة مطبقة من طرف جسم ال ينتمي إلى المجموعة على جسم ينتمي إليها.
ملحوظة:
إذا كانت المجموعة ال تخضع إلى أي تأثير خارجي نقول إنها معزولة ميكانيكيا.
2ـ القانون األول لنيوتن.
في معلم غاليلي ،إذا كان مجموع القوى الخارجية المطبقة على جسم صلب منعدم ،فإن متجهة سرعة مركز قصوره تكون
ثابتة:
te
VG C F 0
ملحوظة:
يعتبر معلم كوبيرنيك أفضل معلم غاليلي (أصله الشمس ومحاوره الثالثة موجهة نحو ثالثة نجوم ثابتة) .ويستعمل في علم
الفلك لدراسة حركة الكواكب.
وكل معلم في حركة مستقيمية منتظمة بالنسبة لمعلم كوبيرنيك يعتبر معلما غاليليا ،وبذلك ال يمكن اعتبار المعالم األرضية
غاليلية إال بالنسبة لمدد زمنية قصيرة.
3ـ القانون الثاني لنيوتن (العالقة األساسية للديناميك).
أ ـ نص القانون:
في معلم غاليلي ،مجموع متجهات القوى المطبقة على جسم صلب يساوي في كل لحظة ،جداء كتلة الجسم ومتجهة تسارع
مركز قصوره:
F m.aG
BOUADDI & ELFAKIR
3
ب ـ التحقق التجريبي من القانون الثاني لنيوتن
نستعمل المنضدة الهوائية في الوضع األفقي وننجز التركيب التالي:
نسلط على الحامل الذاتي بواسطة خيط قوة شدتها T = 1Nثم نحرر المجموعة ونسجل مواضع مركز قصور الحامل
الذاتي في مدد زمنية متتالية ومتساوية . τ = 40ms
G7G8= 3,4cm ;G6G7= 3cm ;G5G6= 2,6cm ;G4G5= 2,2cm ;G3G4= 1,8cm ;G2G3= 1,4cm ;G1G2= 1cm
1ـ اجرد القوى المطبقة على الحامل الذاتي.
2ـ أثبت أن مجموع متجهات القوى المطبقة على الحامل الذاتي أثناء حركته يكافئ القوة T.
3ـ أوجد باستغالل التسجيل قيمة ΔVتغير سرعة Gفي الحاالت التالية:
د) بين G2و . G6ماذا تستنتج؟
ج) بين G2وG5
أ) بين G2و G3ب) بين G2و G4
4ـ مثل منحنى تغيرات ΔVGبداللة Δtالمدة الزمنية الموافقة.
5ـ ما المدلول الفيزيائي للمعامل الموجه للمنحنى المحصل؟ قارن قيمة هذا المعامل وخارج القسمة
الحامل الذاتي . m = 400gثم تحقق من العالقة F. m.aG
األجوبة:
: Tتأثير الخيط
1ـ
: R
T
m
: m ،كتلة
تأثير المنضدة الهوائية
: Pوزن الحامل الذاتي
2ـ في البداية الحامل الذاتي في حالة سكون تحت تأثير قوتين Pو ، Rهذه األخيرة عمودية على سطح التماس ألن
االحتكاكات مهملة وبالتاليP R 0 :
خالل الحركة أصبح:
F P R T
وبما أن P R 0فإن:
F T
3ـ لدينا:
=V6-V2
4τ
G1G3
2
G2G4
2
G3G5
2
G4G6
2
G5G7
2
ms 1
V2
ms 1
V3
ms 1
ms 1
ms 1
=V5-V2
3τ
=V4-V2
2τ
=V3-V2
V4
V5
V6
)ΔV (m.s-1
)Δt (s
τ
4ـ تمثيل المنحنىΔV = f(t) :
المنحنى خطي يمر من أصل المعلم.
BOUADDI & ELFAKIR
4
المعامل الموجه:
5ـ m.s-2
ms 2
= aتمثل تسارع الحامل الذاتي.
T 1N
لدينا 2,5ms 2 :
m 0, 4
وبما أن F T :
V
t
a
T
ومنه فإن a :
m
فإنF m.aG :
4ـ القانون الثالث لنيوتن (مبدأ التأثيرات المتبادلة).
أ ـ نص القانون:
عندما يتم تأثير متبادل بين جسمين Aو ، Bفإن F A/ Bالتي يطبقها الجسم Aعلى ، Bوالقوة
Bعلى ، Aتحققان دائما العالقة المتجهيةF A/ B F B / A :
F B / Aالتي يطبقها الجسم
،وذلك كيفما كانت حالة الحركة أو السكون للجسمين.
ب ـ مثال:
التأثير التجاذبي الكوني بين األرض والقمر.
IIIـ تطبيق :حركة جسم صلب على مستوى مائل.
1ـ الحركة تتم بدون احتكاك.
نطلق بدون سرعة بدئية جسما صلبا ) (Sكتلته m = 80Kgفوق مستوى مائل بزاوية α = 12°
بالنسبة للخط األفقي ،فينزلق الجسم ) (Sبدون احتكاك وفق المستقيم األكبر ميال.
بتطبيق القانون الثاني لنيوتن أوجد aGتسارع الجسم ) (Sوشدة القوة المطبقة من طرف سطح
التماس .نعطي . g = 10N/Kg
المجموعة المدروسة { :الجسم } S
القوى الخارجية المطبقة على : S
: Rتأثير المستوى المائل
: Pوزن الجسم . S
لديناP R m.a :
G
إسقاط على ) -Pz + Rz = 0 : (o, k
على المحور ) (o, kليست هناك حركة للنقطة . G
Px = ma
إسقاط على ) : (o, i
وبالتاليaG g sin :
R = Rz = mgcosα
mgsinα = ma
نستنتج أن حركة Gمركز قصور الجسم مستقيمية متغيرة بانتظام ،تسارعها ال يتعلق بكتلة الجسم ،ومعادلتها الزمنية:
1 2
at V0t x0
2
x
: V0السرعة البدئية؛
: x0أصل األفاصيل.
2ـ الحركة تتم باحتكاك.
نجر جسما صلبا كتلته m =80Kgفوق مستوى مائل بزاوية α=12°بواسطة حبل يطبق عليه قوة Fأنظرالشكل أسفله:
1ـ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن أوجد قيمة شدة المركبة المماسية لتأثير
سطح التماس RTثم استنتج قيمة شدة .RN
2ـ احسب شدة القوة .F
3ـ اكتب بداللة الزمن المعادلة ) x(tلحركة مركز قصور الجسم )(S
باعتبار النقطة oهي موضع Gعند اللحظة t = 0وسرعته
البدئية منعدمة .نعطي . g = 9.8m/s2
BOUADDI & ELFAKIR
5