Microeconomía II
2013
EJERCICIOS
1.
Equilibrio General y Bienestar.
1. Encuentra la demanda (función o correspondencia) para cada una de las siguientes utilidades:
a) U (x1 ; x2 ) = ax1 + bx2
b) U (x1 ; x2 ) = m nfax1 ; bx2 g
c) U (x1 ; x2 ) = xa1 xb2
d ) U (x1 ; x2 ) = (x1 + x2 )
p
e) U (x1 ; x2 ) = x1 + x2
1
f ) U (x1 ; x2 ) = x1 + ln x2
g) U (x1 ; x2 ) = x1 + ln (1 + x2 )
h) U (x1 ; x2 ) =
(x1
a)2
(x2
b)2
2. En una isla del Atlantico existen únicamente dos bienes: trigo (x1 ) y pasas (x2 ), viven dos personas, Bi
y Ka. Ambas personas poseen preferencias homotéticas y sus funciones de utilidad son representadas
por:
UA (x1A ; x2A ) =
1
1
ln x1A + ln x2A
4
4
UB (x1B ; x2B ) = x31B x32B
a) Si ambos contaran en total (es decir, entre ambos) con 100 unidades del bien 1 y 200 unidades
del bien 2. ¿Cuáles serían las asignaciones e…cientes (en el sentido de Pareto) de pasas y trigo?.
Explique y grafíque.
b) Si la asignación (dotación) original de recursos fuera:
Bi Ka
Trigo (x1 ) 90 10
Pasas (x2 ) 20 180
¿Cúal sería el conjunto de asignaciones a las que no se podría llegar a través de un proceso de
negociación voluntario entre Bi y Ka?. Explique y gra…que.
c) Encuentre las demandas netas de trigo y pasas para cada individuo, en función de los precios,
todas asociadas a las dotaciones dadas en (b).
d ) Encuentre el equilibrio (walrasiano) asociado a la dotación descrita en (b). Grafíquelo.
e) Compruebe que la asignación encontrada en (d) es una de las encontradas en (a).
3.
a) Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por
U1 (x1 ; x2 ) = x1 x2
y con dotación inicial ! 1 = (2; 6). El consumidor 2 tiene
U2 (x1 ; x2 ) = m nfx1 ; x2 g
2
y dotación inicial ! 2 = (4; 1). Considerando p 2 R++
:
a. Encuentra la función (correspondencia) de demanda de cada consumidor.
b) Encuentra la función (correspondencia) de exceso de demanda de la economía (Z(p1 ; p2 )).
c) Veri…que si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED
d ) ¿Existe equilibrio en esta economía?.
e) ¿Cuáles son los Óptimos de Pareto?.
4. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera:
(x1 ; x2 )
(x01 ; x02 ) ()
(x1
o
(x1
3)2 < (x01
3)2
3)2 = (x01
3)2 y x2 > x02
y con dotación inicial ! 1 = (2; 6). El consumidor 2 tiene U2 (x1 ; x2 ) = x1 x2 , ! 2 = (4; 0).
2
Considerando p 2 R++
:
a) Encuentra la función (correspondencia) de demanda de cada consumidor.
b) Encuentra la función (correspondencia) de exceso de demanda de la economía (Z(p1 ; p2 )).
c) ¿Es Z homogénea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ(p) = 0?
d ) ¿Qué pasa con Z(pn ) cuando pn tiende a (0; 1)?.
e) ¿Existe equilibrio en esta economía?.
f ) ¿Cuáles son los Óptimos de Pareto?.
Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones iniciales son:
! 1 = (0; 4) y ! 2 = (6; 2).
5. Considere una economía de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a; b > 0):
Consumidor 1: u1 (x1 ; y1 ) = (x1 )a y1 con dotación inicial ! 1 = (1; 0).
Consumidor 2: u2 (x2 ; y2 ) = x2 (y2 )b con dotación inicial ! 2 = (0; 1).
Encuentre los precios (asuma p1 = 1) y la asignación de equilibrio.
6. Suponga que en una isla conviven únicamente dos individuos: Alberto y Belizario. El mundo existe
únicamente para dos periodos. En el periodo 1, Belizario está dotado con 100 unidades de C1 , pero
él no posee nada del bien C2 , que es el bien de consumo para el segundo periodo. En el segundo
periodo, Alberto ha sido dotado con 100 unidades del bien C2 , y nada del bien C1 . Alberto tiene la
función de utilidad por el consumo de dos periodos y dos bienes la cual es expresada de la siguiente
, mientras que Belizario posee la siguiente función de utilidad:
manera: UA (C1 ; C2 ) = ln C1A + ln1+C2A
1
.
UB (C1 ; C2 ) = ln C1B + ln1+C2B
2
a) Derive la expresión matemática de la curva de contrato para el intercambio entre Alberto y
Belizario.
b) Grafíque la curva de contrato para los casos en que: 1 > 2 ; 1 = 2 ; 1 < 2 . ¿Cúal es la
interpretación económica de estos tres casos? (evalue la forma de la curva de contrato para estos
tres casos)
7. En el modelo de Equilibrio General de Intercambio Puro, asuma la existencia de dos agentes y dos
bienes; así como una dotación inicial; y esboce los puntos en los cuales es posible aumentar el bienestar
de ambos agentes y la Curva de Contrato en caso se cumple que:
a) Ambos agentes tienen Curvas de indiferencia estrictamente convexas.
b) Ambos agentes consideran a los bienes como sustitutos perfectos.
c) Ambos agentes consideran a los bienes como complementos perfectos.
2
8. Sea una economía de dos bienes y dos consumidores. El consumidor 1 con preferencias representadas
por
U1 (x1 ; x2 ) = 2x1 + x2
y dotación inicial ! 1 = (3; 5). El consumidor 2 tiene
U2 (x1 ; x2 ) = x31 x62
y dotación inicial ! 2 = (6; 4).
a) Dibuje la caja de Edgeworth identi…cando las dotaciones iniciales, los óptimos de Pareto y el
núcleo de la economía.
9. Considera una economía de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores:
u1 (x; y) = 2x + y
y
w = (2; 3)
u2 (x; y) = xy 3
y
w = (1; 2)
a) Encuentra la demanda de cada consumidor.
b) Encuentra el equilibrio Walrasiano.
c) Determina el conjunto de los óptimos de Pareto.
d ) Dibuja la caja de Edgeworth, ubica los óptimos de Pareto, la curva de contrato y el equilibrio
Walrasiano.
10. Considere una economía de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores:
U1 (x; y) = 2xy y
U2 (x; y) = xy 3
w1 = (2; 3):
y
w2 = (1; 2):
a) Encuentre las funciones de demanda de cada bien, de ambos consumidores.
b) Encuentre la Función de Exceso de Demanda (FEDA) de esta economía (Z(pi ; wji )) y veri…que
el cumplimiento de las propiedades usuales de la misma.
c) Determine si existe o no un sistema de precios relativos de equilibrio; y con ello …nalmente, el
Equilibrio Walrasiano. Interprete a que se deben sus resultados.
d ) Determine la Curva de Pareto y dibuje la Caja de Edgeworth, y ubique en ella la CP, las dotaciones
iniciales, el área de negociación y el Equilibrio Walrasiano (si es que existe).
11. Bajo ciertas restricciones sobre las utilidades (preferencias), en una economía 2x2 todo Óptimo de
Pareto puede ser caracterizado como la solución de:
max
x1 ; x2
sujeto a
U1 (x1 )
U2 (x2 ) k
x1 + x2 = w1 + w2
(1)
Esto es: (x1 ; x2 ) es un OP si y solo si x1 resuelve (1) para cierto k y x1 + x2 = w1 + w2 .
Interpreta geométricamente este resultado usando la Caja de Edgeworth.
12. Imagine una economía de intercambio compuesta por dos (tipos de) individuos, A y B. Las preferencias
de estos dos tipos de individuos se representan por las siguientes funciones de utilidad:
UA (x1A ; x2A )= x
UB (x1B ; x2B )= (x
1=2
1A (x2A )
1=2
x2B
1B )
Las dotaciones (denotadas por ! i = (! 1i ; ! 2i )) de A y B son respectivamente: ! A = (100; 0); ! B =
(0; 150)
3
a) Encuentre y caracterice el conjunto de Pareto o curva de contrato de esta economía.
b) Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía, dadas las dotaciones iniciales indicadas en
el enunciado. Muestre (algebraicamente) que la asignación encontrada pertenece al conjunto de
Pareto (Primer Teorema del Bienestar).
c) Escoja cualquier otro punto del conjunto de Pareto, e indique una forma de llegar a él a tráves
del equilibrio competitivo, proponiendo transferencias entre los individuos que lo hagan posible
(Segundo Teorema del Bienestar).
13. Considere una economía de intercambio (esto es, sin producción) compuesta por dos personas, A y B,
que valoran el consumo de dos bienes, x1 y x2 . A tiene 200 unidades del bien 1 y 600 unidades del bien
2; por otro lado, B tiene 600 unidades del bien 1 y 600 unidades del bien 2. Ambos tienen preferencias
representables por medio de la función de utilidad:
u(x1 ; x2 ) = m nfx1 ; x2 g
a) Encuentre el conjunto de mejoras paretianas respecto de la dotación incial (esto es, el área de
contrato). Ilustre y explique.
b) Encuentre el conjunto de asignaciones e…cientes. Ilustre y explique.
c) De acuerdo al Primer Teorema del Bienestar, ¿Qué asignaciones no se pueden conseguir en un
equilibrio walrasiano?
d ) Encuentre el conjunto de equilibrios walrasianos (Ayuda: son muchos equilibrios, el camino del
razonamiento debiera ser superior al del mero cálculo mecánico). Ilustre y explique.
e) ¿Tiene sentido usar el equilibrio walrasiano como noción de equilibrio en este contexto?
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