Mavzu: Trigonometrik tengsizliklar
Reja:
• Cosx>a Tengsizlik
• Sinx >a Tengsizlik
• Tg x > a Tengsizlik
• Ctgx > a Tengsizlik
• Trigonometrik tengsizliklarni yechishning
ayrim usullari.
www.arxiv.uz
Cos>a Tengsizlik.
y=cosx davri 2π ga teng bo’lgan funksiya
bo’lgani uchun cosx>a tengsizlikni uzunligi 2п
gat eng biror kesmada yechish kifoya.cosx>a
tengsizlikning barcha yechimlari esa topilgan bu
yechimlarga 2πn, n=0< ±1 …sonlarini qo’shish
bilan hosil qilinadi.Odatda, y=cosx funksiya
uchun uzunligi 2π bo’lgan(-π;π) kesma asosiy
kesma deb olinadi.
www.arxiv.uz
-
1-masala .cosx> tengsizlikni yeching.
y=cosx funksiyaning (-π;π) kesmadagi grafigini
qaraylik va unda y= to’g’ri chiziq o’tkazaylik
(rasmga qaralsin). y=1/2 to’g’ri chiziq y=cosx x
funksiya grafigini absissalari x1=- x2= bo’lgan
A va B nuqtalarda kesib o’tadi, x E(-;π) kesmadagi
yechimlari – <x<
tengsizliklar bilan
ifodalanishi quyidagi rasmdan ravshan ko’rinib
turibdi.
U holda cosx> tengsizlikning barcha yechimlari
- +2πn <x<+2πn,.n -Е Zbo’ladi.
Javob:-+2πn <x<+2πn.
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
-
• M1 nuqta P(1;0) nuqtani – burchakka va
shuningdek ,- +2n(n=1,2…)
• burchaklarga burishdan hosil bo’ladi.
• Birlik aylana yoyining M1 vaM2
to’g’richiziqdan o’ngda yotuvchi barcha M
nuqtalari dan katta absissaga ega bo’ladi.
Shunday qilib ,cos> tengsizlikning yechimi <x< oraliqdagi barcha x sonlaridir.
• Berilgan tengsizlikni barcha yechimlari esa
•
- +2πn<x< +2πn, n E Z.
• oraliqlar to’plamidan iborat.
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
• Sinx >a Tengsizlik
• y=sinx funksiya ham y=cosx funksiya kabi 2п
davrli trigonometrik funksiyadir.
• Shuning uchun sin x>a tengsizlikni uzunligi 2п
bo’lgan kesmada yechish kifoya.
• Sin x >a tengsizlikning barcha yechimlari esa
topilgan yechimlarga
• 2пn, n=0,
qilinadi.
sonlarni qo’shish bilan hosil
www.arxiv.uz
• Masala: Sinx >
tengsizlikni yeching.
•
y=sinx va y= funksiyalar grfiklarini bitta kordinatalar
sistemasida chizamiz
• (rasmga qaralsin).
• Berilgan tengsizlikning yechimini , avvaliga uzunligi 2π
gat eng (-π;π) kesmada topib olamiz.Bu kesmada sin x=
tenglama ikkita ildizga ega:
•
va
• Rasmdan sin x > tengsizlikning (-π;π) kesmadagi
yechimlari (
oraliqda yotuvchi barcha sonlar
ekanligi ravshan, y=sinx 2π davrli funksiya bo’lgani
uchun
• sin x > tengsizlikning barcha yechimlari
•
Z.
• oraliqlardan olingan barcha x sonlardan iborat bo’ladi.
• Javob:
+2πn, n E Z
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
• Tg x > a Tengsizlik.
• y=tg x π davrli trigonometrik funsiya bo’lgani
uchun tg x > a tengsizlikning
• barcha yechimlarini uzunligi π ga teng bo’lgan
biror oraliqda
• toppish kifoya, chunki boshqa hamma
yechimlar topilgan yechimlarga
• πn, n=0,±1…. sonlarni qo’shish bilan hosil
qilinadi.
• Odatda , y=tg x funksiya uchun uzunligi π
bo’lgan oraliq asosiy oraliq
• deb olinadi.
www.arxiv.uz
• Masala: tg x > 1 tengsizlikni yeching.
• y=tg x va y=1 funksiyalar grafiklarini bitta koordinatalar
sistemasida qaraylik (rasmga qaralsin).
• Uzunligi π ga teng bo’lgan – oraliqda tg x=1 tenglama
bitta x=
• ildizga ega.
• Rasmdan tg x> 1 tengsizlikning ; oraliqdagi
yechimlari
• oraliqdagi barcha x sonlar ekanligi ayon .
• y=tg x funksiyaning dayri π bo’lgani uchun tg x >1
tengsizlikning
• barcha yechimlari
nEZ
• oraliqdan iborat.
•
Javob:
EZ
www.arxiv.uz
www.arxiv.uz
-
• Trigonometrik tengsizliklarni yechish.
• Berilgan tengsizlikni yechish uchun uni ayniy almashtirishlar
yordamida sodda trigonometrik tengsizlik ko’rinishiga olib
kelinadi.
• Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullarini masalalarni
yechish jarayonida hal qilaylik.
• 1-masala. sin6x+cos6x < tengsizlikni yeching.
• Quyidagi ayniy almashtirishlarni bajaramiz;
•
x)(
=(sin2x+cos2x)2• .
• =1=1• Shunday qolib, berilgan tengsizlikni yechish
tengsizlikni yechishga keldi.Bundan:
• bu tengsizlikning
• yechimlari esa arccos
E Z oraliqlardan
• iborat.
• Javob:
<x< www.arxiv.uz
n E Z.