Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Tarea 2
Análisis plástico de conexiones y diseño sísmico de marcos a momento.
Autor:
Christian Patricio Picón Mosquera
christian1picon@hotmail.com
Profesor:
Ricardo Herrera Mardones.
Fecha de entrega: 27 de octubre de 2021
Santiago, Chile
-
Lea detenidamente las preguntas planteadas a fin de entender los problemas y realizar las
consultas pertinentes a través del foro de UCursos.
- La fecha límite de entrega de la tarea es el viernes 26 de noviembre de 2021 a las 18 hrs. Al subir
su 1solución en el módulo de Tareas en UCursos, deberá indicar el tiempo efectivamente dedicado
Problema
1 / 20
a resolverla (en minutos). No incluya el tiempo dedicado a revisar las clases, bibliografía, ejercicios
resueltos o al desarrollo de ejercicios de práctica.
Problema
1:
Pregunta 1:
Verifique
la expresión
la capacidad
la placa
de extremo
de conexión
dada
en ladeGuía
de
Verifique
la expresión
para para
la capacidad
de la de
placa
de extremo
de conexión
dada en
la Guía
Diseño
Diseño
N°4
deEsta
la AISC.
Estaseexpresión
se la
muestra
en la Figura 1.
N°4 de la
AISC.
expresión
muestra en
Figura 1.
Figura
Capacidaddedeplaca
placade
deextremo
extremode
deconexión
conexión (Guía
(Guía de
2003)
Figura
1: 1:
Capacidad
dediseño
diseño44AISC,
AISC,
2003)
Resolución:
1/3
Con el fin de verificar la expresión para la capacidad de la placa de extremo de conexión dada
en la Guía de Diseño N° 4 de la AISC, se plantean seguir un análisis de líneas de fluencia mediante
el método de trabajos virtuales.
La figura 1 presenta la geometría de la conexión junto con el patrón de líneas de fluencia que
produce la carga de falla más baja y que controla el diseño.
Para reducir la complejidad de la solución del patrón de líneas de fluencia presentado, se describen las siguientes simplificaciones usadas en la solución y obtenidas de la Guía de Diseño N°4
de la AISC.
No se realiza ningún ajuste en la resistencia de la placa de extremo o de la brida de la columna
para tener en cuenta el material de la placa eliminado por los orificios de los pernos.
El ancho de la viga o el alma de la columna se considera cero en las ecuaciones de las líneas
de fluencia.
El ancho de las soldaduras de filete a lo largo del ala o los refuerzos y el alma no se considera
en las ecuaciones de la línea de fluencia.
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 1
2 / 20
Se desprecia la muy pequeña contribución de resistencia de las líneas de fluencia en la región
de compresión de las conexiones.
El trabajo interno de la conexión es la suma del trabajo interno de cada línea de fluencia que
forma el mecanismo de la figura 1. La cual se describe en la (Ec. I), en base a los componentes
cartesianos (“x” e “y”),
Wi =
N
X
(mp θnx Lnx + mp θny Lny )
(Ec. I)
n=1
donde θnx y θny son las componentes “x” e “y” de la rotación relativa de los segmentos de placa
rígida a lo largo de la línea de fluencia, Lnx y Lny son las componentes “x” e “y” de la longitud de
la línea de fluencia y mp es la resistencia al momento plástico de la placa de extremo por unidad de
longitud, siendo mp igual a la (Ec. II), función del límite elástico mínimo especificado del material
de la placa de extremo y del espesor de la placa de extremo.
1 · t2p
(Ec. II)
mp = Fyp Zp = Fyp
4
Por otro lado, el trabajo externo debido a la rotación virtual de la conexión es dado por la
(Ec. III),
We = Mpl θ
(Ec. III)
donde Mpl es la resistencia a la flexión de la placa de extremo y θ es el desplazamiento virtual
aplicado.
Al mismo tiempo, la figura 2 presenta la identificación de las líneas de fluencia a desarrollar,
en conjunto con vistas en perspectiva de la conexión.
Figura 2: Conexión de placa de extremo extendida no reforzada atornillada, líneas de fluencia y
vista en perspectiva.
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 1
3 / 20
Por consiguiente el trabajo interno viene dado por:
Wi
= bp · α + (bp − tw ) · (α − θ) + (bp − tw ) · (ω + θ) + (bp − tw ) · (β − θ)
| {z } |
{z
} |
{z
} |
{z
}
mp
1
2
3
4
~ · Lb · θ~b
+ (bp − g) · (ω + β) + 2 · (pf i + s) · γ + 2 · ma
~ · La · θ~a + 2 · mb
{z
} |
{z
}
|
{z
} |
{z
} |
5
ma
6
(Ec. IV)
mb
Ahora se calculan los ángulos que se presentan en la figura 2 y la (Ec. IV). Estos ángulos se
calculan en función de los desplazamientos virtuales δb y δa lo que permite dejar la expresión con
las variables de h1 y h0 y simplificar la variable θ cuando se iguale al trabajo externo.
Además de lo anterior, el análisis se desarrolla para pequeñas deformaciones por lo que el ángulo θ se puede considerar pequeño.
Entonces:
α=
δb
pf o
ω=
δa
pf i
β=
δa
s
γ=
2 · δa
g − tw
El trabajo interno se descompone en 5 líneas horizontales, (1-5), 1 línea vertical, (considerando
tw = 0), y 2 líneas diagonales, ma y mb, considerando que se multiplica por 2 debido a la simetría.
Para la línea de fluencia 1, su único trabajo interno es el generado por el ángulo α. El trabajo
interno de la línea de fluencia 4 a simple vista se ve que podría ser el formado por el ángulo β + θ,
pero θ es el trabajo externo y no se considera. Por lo tanto solo se considera β para el trabajo
interno, sin embargo, ya que la deformada de la placa rígida ante la deformación θ produce un
eje diagonal β está considerado sobre este eje diagonal; y en la figura 2 se ha trazado una línea
horizontal para medir la contribución real del trabajo interno, por lo que, como se ve en la figura
2, el ángulo por debajo del eje horizontal es igual a β − θ, teniendo en cuenta que β fue calculado
en base al desplazamiento virtual δa considerando pequeñas deformaciones.
Lo mismo sucede con la línea de fluencia 2, en donde en la figura 2, en la vista en perspectiva
del eje 1 se observa que el trabajo interno bajo el eje horizontal es α − θ, considerando que α se
calculó en base a δb ; por el contrario, se necesita sumarle θ a la línea de fluencia 3 para obtener
el ángulo bajo la línea horizontal, considerando que ω se calculó en base a δa . Si se considera tf
igual a 0, las líneas de fluencia 2 y 3 se convierten en una sola, cuyo trabajo interno está dado por
los ángulos α + ω, que sería lo mismo que sumar los ángulos de las líneas de fluencia 2 y 3.
La línea de fluencia 5 presenta algo similar, la desangulación de un lado se compensa con la
desangulación en el otro sentido del otro lado, dando un trabajo interno de ω + β.
Para el desarrollo de las líneas de fluencia diagonales, se utilizan vectores con sus componentes
en “x” e “y”, como sigue:
s
g − tw
i+
j
ma
~ = ma ·
2 · La
La
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 1
4 / 20
ma = cos(α1 )2 + sin(α2 )2 =
(g − tw )2
s2
+
4 · La2
La2
θ~a = β i + γ j
La multiplicación de ma
~ y θ~a corresponde al producto punto de 2 vectores:
" g−tw # " δa #
(g − tw ) · δa
2 · s · δa
s
2·La
· 2·δa =
+
s
2 · La · s
La · (g − tw )
g−t
La
w
r
s2 +
La =
(g − tw )2
4
Resolviendo ma
~ · La · θ~a se tiene:
2
2
g
−
t
2
·
s
δa (g
−
t
)
s
w
w
+
· ·
2 · ma
~ · La · θ~a =
+
La · 2
2
2
4 · La
La
2·s
g − tw
La
2
g
−
t
2
·
s
1
(g
−
t
)
w
w
2
+
δa 2
2 · ma
~ · La · θ~a = + s
2
w)
4
2·s
g − tw
s2
+(g−t
4
2 · ma
~ · La · θ~a =
g − tw
4·s
+
s
g − tw
δa
~ · Lb · θ~b
Análogamente se resuelve para mb
pf i
g − tw
~
i+
j
mb = mb ·
2 · Lb
Lb
mb = cos(α1 )2 + sin(α2 )2 =
p2f i
(g − tw )2
+
4 · Lb2
Lb2
θ~a = ω i + γ j
~ y θ~b corresponde al producto punto de 2 vectores:
La multiplicación de mb
" g−tw # " δa #
(g − tw ) · δa
2 · p f i · δa
pf i
2·Lb
·
=
+
pf i
2·δa
2 · Lb · pf i
Lb · (g − tw )
Lb
g−tw
r
Lb =
p2f i +
(g − tw )2
4
~ · Lb · θ~b se tiene:
Resolviendo mb
p2f i
(g − tw )2
g − tw
2 · pf i
δa ~
~
+ 2
+
·
· Lb · 2
2 · mb · Lb · θb =
2
4 · Lb
Lb
2 · pf i
g − tw
Lb
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 1
5 / 20
2
1
(g
−
t
)
2
·
p
g
−
t
w
f
i
w
2
~ · Lb · θ~b =
2 · mb
+
δa 2
+ pf i
w
(g−t
)2
2 · pf i
g − tw
4
p2f
i+
4
~ · Lb · θ~b =
2 · mb
g − tw
4 · pf i
+
pf i
g − tw
δa
Ahora se reemplaza, los ángulos obtenidos y las líneas de fluencia diagonales en la (Ec. IV)
del trabajo interno considerando tw = 0:
δb
δa
δa
δa
δa
− θ + bp
+ θ + bp
− θ + (bp − g)
+
pf o
pf i
s
pf i
s
{z
} |
{z
} |
{z
} |
{z
}
4
1
2
3
5
2 · δa
g − tw
4·s
4 · pf i
g − tw
+ 2 · (pf i + s)
+
+
δa +
+
δa
g − tw
s
g − tw
pf i
g − tw
{z
} |
|
{z
} |
{z
}
Wi
δb
= bp
+ bp
mp
pf o
| {z } |
6
ma
mb
Agrupando términos se tiene:
Wi
δb
1
= 2 bp
− b p θ + b p δa
mp
pf o
pf i
2 · δa
g
+ 2 (pf i + s)
+
+
g
s
|
{z
} |
6
1
1
1
+
+ (bp − g) δa
+
s
pf i s
g
4·s
4 · pf i
δa +
+
δa
g
pf i
g
{z
} |
{z
}
ma
mb
δb
1
1
g
g
Wi
= 2 bp
− bp θ + 2 bp
δa + 2 bp δa −
δa − δa
mp
pf o
pf i
s
pf i
s
4 pf i
4s
g
4s
g
4 pf i
+
δa +
δa + δa +
δa +
δa +
δa
g
g
s
g
pf i
g
Wi
1
= 2 bp
δb + 2 b p
mp
pf o
1
1
+
pf i s
8
δa − bp θ + (pf i + s) δa
g
Buscando simplificar los términos δa y δb se resuelven las siguientes igualdades de la geometría:
θ=
δb
h0
δb = θ · h0
θ=
δa
h1
δa = θ · h1
Reemplazando en el trabajo interno:
Wi
1
= 2 bp
h0 θ + 2 bp
mp
pf o
Estructuras de Acero II
1
1
+
pf i s
8
h1 θ − bp θ + (pf i + s) h1 θ
g
CI6202-1
Problema 1
6 / 20
Wi
=
mp
1
1
1
8
2 bp
h0 + 2 bp
+
h1 − bp + (pf i + s) h1 θ
pf o
pf i s
g
Wi
1
1
1
1
8
= 2 bp h1
+
+ h0
−
+ [ h1 (pf i + s)] θ
mp
pf i s
pf o
2
g
En seguida se reemplaza mp por la ecuación (Ec. II):
Wi = Fyp
Wi =
1 · t2p
4
1
1
1
1
8
2 bp h1
+
+ h0
−
+ [ h1 (pf i + s)] θ
pf i s
pf o
2
g
1
1
1
1
2
h1
+
+ h0
−
+ [ h1 (pf i + s)] θ
pf i s
pf o
2
g
Fyp t2p
bp
2
(Ec. V)
Obteniendo finalmente la (Ec. V) que representa el trabajo interno de la conexión.
Igualando el trabajo interno con el externo, resolvemos la ecuación de la resistencia a flexión
de la placa de extremo:
We = Wi
Mpl θ
4.4.4.2
bp
= Fyp t2p
h1
Four Bolt Extended
2
1
1
+
pf i s
+ h0
1
pf o
1
2
−
+ [ h1 (pf i + s)] θ
2
g
Srouji et al.
conducted
(1983b)
a study
onfour bolt extended unstiffened end-plate
1
1
1
1
2
2 bp
M
tp
+
[ h1 (pf i + s)]
h1 The following
+ h0yield line−solution
+ is
(Ec. VI)
pl = Fypconnections.
moment
2
pf i s
pf o
2
g based upon that study with some
minor modifications. Figure 4.4 shows the controlling yield line pattern and defines the
De esta manera se verifica la expresión para la capacidad de la placa de extremo de conegeometric
parameters.
the internal
Wi, 1;
and
externalnowork,
We, results
xión, siendo
la (Ec.
VI) igual aEquating
la expresión
de Yp dework,
la figura
sinthe
embargo,
se aprecian
los in the
paréntesis
y corchetes,
pero laforexpresión
de laofguía
de DiseñoM
esplla
following
expression
the strength
the end-plate
. que se muestra en la figura 3.
 bp
M pl = Fyp t 2p 
 2

  1
 1  1 2
1
 −  + h1 ( p f i + s ) 
+  + h0 
h1 
p  2


  p f i s 
 g
 fo
[
]
(4.7)
Figura
3: Capacidad
de la conexión
2003
(1983).
pl , Summer
solving for
theobtenida
thicknessdeofSrouji
plate,ettpal.
, results
in an
Rearranging
the expression
for MplMand
expression for the required end-plate thickness to develop a desired moment Mfc.
Diferenciando la ecuación de trabajo interno con respecto a “s” e igualando a 0, obtenemos el
valor óptimo de “s” :
M fc
(4.8)
tp =
d
 bp   1

 2


1
1
1
 +(W
+ ds
h0 i) = 0 −  + h1 ( p f i + s ) 
Fyp  h1 


p  2
2
p
s
   f i

 g

 fo
[
]
bp h 1
h1
− 24.4
+and
2 Equations
=0
The unknown dimension, s, in Figure
4.7 and 4.8 is found by differentiating
2s
g
the internal work expression with respect to s and setting the expression equal to zero. This
process
determines
The resulting
Estructuras
de Acero
II the dimension s that results in the minimum internal energy. CI6202-1
expression is:
1
Problema 1
7 / 20
p
bp g
s=
2
Finalmente el momento de rotura del perno, se obtiene mediante una sumatoria de momentos
debido a las fuerzas en los pernos en tracción.
Ahora bien, en modo de verificación se supone una conexión de 2 pernos sin rigidizadores,
como se muestra en la figura 4.
bp
g
δ =1
pt
pf
s
h
h
θ
tw
M1
m p = pl ⋅ t 2p ⋅ Fyp
4
Where Fyp is the yield stress of the end plate and tp is the end plate thickness.
Figura
4:design
Desplazamiento
virtual
en una
de Design
extremo
no rígida
al
rasplate
deand
dos extended
pernos, Godwin
The
procedure
presented
in the
AISC
Guide
16 on
Flush
Fig
3.1
- Virtual
Displacement
a placa
twobolt
flush unstiffened
end
Addiah Arthur (2010).
end plate moment connection employs the above moment prediction equation for the
La única diferencia entre la conexión de 2 pernos y la de 4 pernos es que no se forman las
Considering
two bolt
flush
end
plate configurationThe
in Figure
3.1,moment
the external
work
of the
a two
end
plate
predicted
capacity
of trabajo
líneasdesign
de fluencia
1 y bolt
2 deflush
la figura
2.
Porconfiguration.
lo tanto, si se quitan
esos 2 líneas
de fluencia
del
interno se debiera obtener la capacidad de la conexión de 2 pernos siendo la que se muestra en la
due to flush
the unit
displacement
endvirtual
plate is
given by: is given
figurathe
5.
Mpl
1

small bangles,
We = M plθ = M pl   For
2
p  1 θ 1
M pl = hFyp t p2 (h − pt ) 
+  + ( p f + s )

 2  p f s  g
is the yield moment for the connection and θ is the virtual rotation of the
Figura 5: Capacidad de la conexión de 2 pernos no rigida, Srouji et al. (1983)
connection
Analizando la expresión de trabajo interno, (Ec. I), las líneas de fluencia 1 y 2 contienen los
3.3.2 Four Bolt Flush End Plate Connection
términos pf o y θ y como el desplazamiento virtual en el patín superior de la viga es 1 en ambos
casos se puede quitar estos 2 términos de la (Ec. VI) directamente y comparar.
Srouji (1983) developed equations for the four bolt flush end plate after yield line
3.3 Earlier Moment Prediction Equations
Entonces:
analysis of several possible
mechanisms.
The controlling
failure
yield line mechanism
1
b
1
1
1
2 in a two bolt and
p
2
Extensive
work
has
been
done
for
the
prediction
of
moment
capacity
Mpl4b = Fyp tp
h
+
+ h0
− + [ h1 (pf i + s)]
is shown
in Figure 3.2.2 The1totalpinternal
s energy
g
2
fi
ispf o
four bolt flush end plate configuration. The work of Srouji (1983) and Murray (2002)
Estructuras de Acero II 4m  b 
CI6202-1
h − pt h − pt 2 
 h − pt 
p
p


+ 2( p f + pb + s )
Wi =
+

h  2  p f
u 
 g 
30
Conclusiones
8 / 20
Mpl2b =
Fyp t2p
Mpl2b =
bp
2
Fyp t2p
h1
h1
bp
2
1
1
+
pf i s
1
1
+
pf i s
2
+ [ h1 (pf i + s)]
g
2
+ (pf i + s)
g
Teniendo en cuenta que h1 = h − pt se verifica también la capacidad de la conexión de 2
pernos, siendo de esta manera necesaria la línea de fluencia 1 y la línea de fluencia 2 considerando
la resta del ángulo θ para el trabajo interno, la cual representa el término -1/2 de la (Ec. VI).
Conclusiones:
Se logró verificar que el mecanismo de líneas de fluencia planteado en la figura 1 da efectivamente la capacidad planteada en la guía de diseño para la conexión no rígidizada en estudio,
por lo que el proceso de líneas de fluencia es adecuado para calcular la capacidad de las conexiones.
Sin embargo, la dificultad se centra en obtener el mecanismo de líneas de fluencia que plantee
una capacidad menor, y que obedezca a ensayos experimentales de la capacidad.
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 2
9 / 20
Problema
Pregunta 2: 2:
Pregunta 2:
La Figura
26muestra
elelmodelo
de unun
edificio
habitacional
de bajabaja
altura,
estructurado
en base base
a marcos a
La
Figura
muestra
modelo
edificio
habitacional
altura,
estructurado
La Figura
2 muestra
el modelo
de unde
edificio
habitacional
de bajade
altura, estructurado
en base en
a marcosaa
momento
ubicados
en el perímetro.
El aceroEl
utilizado
es ASTM A36.
La distancia
entre
columnas
es de 7
marcos
a momento
ubicados
en el perímetro.
acero
utilizado
A36.
La
distancia
entre
momento
ubicados en
el perímetro.
El acero utilizado
es ASTM
A36.esLaASTM
distancia
entre
columnas
es
de 7
m y la es
altura
de 3,5dem.piso es de 3,5 m.
columnas
de 7dempiso
y laesaltura
m y la altura de piso es de 3,5 m.
Marco a momento
Marco a momento
Vigas: W14x48
Vigas: W14x48
Columnas: W21x93
Columnas: W21x93
2: Modelo
deedificio
un edificio
en acero
de baja
altura
FiguraFigura
6: Modelo
de un
en acero
de baja
altura.
Figura 2: Modelo de un edificio en acero de baja altura
Las conexiones son del tipo WUF, es decir, las alas de las vigas están soldadas con soldaduras de
LasLas
conexiones
sonson
del del
tipotipo
WUF,
es decir,
las las
alasalas
de laslas
vigas
están
soldadas
con soldaduras
de
conexiones
WUF,
es decir,
vigas
están
penetración
completa
a las alas
de las
columnas
y el de
alma se
conecta
a soldadas
través decon
unasoldaduras
placa de corte
penetración
completa
a las
alasalas
de de
las las
columnas
y el yalma
se conecta
a través
de una
placaplaca
de corte
de
penetración
completa
a las
columnas
el alma
se conecta
a través
de una
de
apernada a la viga y soldada a la columna, como se muestra en la Figura 2.
apernada
a la viga
soldada
a la columna,
como secomo
muestra
la Figura
corte
apernada
a layviga
y soldada
a la columna,
se en
muestra
en 2.
la Figura 7.
Figura 3: Conexión viga-columna
Figura 3: Conexión viga-columna
Figura 7: Conexión viga-columna.
Las cargas gravitacionales sobre cada piso se detallan en la Tabla 1:
Las cargas gravitacionales sobre cada piso se detallan en la Tabla 1:
Las cargas gravitacionales sobre cada piso se detallan en la Tabla 1:
2/3
2/3
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 2
10 / 20
Tabla 1: Cargas gravitacionales por piso
Para este modelo estructural usted
Tabladebe:
1: Cargas gravitacionales por piso.
a. Clasificar las secciones de vigas y columnas según requisitos de ductilidad.
Para este modelo estructural usted debe:
b. Calcular la máxima distancia entre arriostramientos laterales de las vigas, considerando que se
trata de un marco especial a momento, e indicar en la planta la posición de las vigas secundarias
1. Clasificar las secciones de vigas y columnas según requisitos de ductilidad.
para arriostrar adecuadamente las vigas.
2.
máxima
distancia
entre arriostramientos
laterales
de laspisos.
vigas, considerando que
c. Calcular
Verificarla
que
las columnas
no requieren
arriostramiento
lateral entre
trata de un
marcoentre
especial
a momento,
indicar enenlatodos
planta
posición
de las
vigas
d. seDeterminar
la razón
resistencia
de vigas ey columnas
los la
nudos.
Considere
para
la
secundarias
para
arriostrar
adecuadamente
las
vigas.
capacidad de las columnas a flexión la siguiente expresión:
𝑀𝑝𝑐𝑜𝑙 = 𝑍𝑐 (𝐹𝑦𝑐 − 𝑃𝑟 ⁄𝐴𝑔 )
3. Verificar que las columnas no requieren
arriostramiento lateral entre pisos.
Donde: Zc es el módulo plástico de la columna; Fyc es la tensión de fluencia nominal de la
4. Determinar
de vigas
y columnas
en todos los
Considere
columna; Pr la
es razón
la cargaentre
axial resistencia
sobre la columna,
calculada
de la combinación
de nudos.
carga adecuada;
para
la
capacidad
de
las
columnas
a
flexión
la
siguiente
expresión:
Ag es el área de la sección transversal de la columna.
e. Determinar la demanda de momento y corte sobre la conexión viga-columna, de acuerdo a los
criterios para marcos especiales. Mpcol = Zc (Fyc − Pr /Ag )
Donde: Zc es el módulo plástico de la columna; Fyc es la tensión de fluencia nominal de
la columna; Pr es la carga axial sobre la columna, calculada de la combinación de carga
adecuada; Ag es el área de la sección transversal de la columna.
5. Determinar la demanda de momento y corte sobre la conexión viga-columna, de acuerdo a
los criterios para marcos especiales.
Resolución:
Las propiedades del acero ASTM A36 se definen en la tabla 2.
Acero ASTM A36
Módulo de elasticidad
Límite de fluencia
Resistencia a la tracción
Ry (AISC 341)
E = 200 000 MPa
250 MPa
400 MPa
1.5
Tabla 2: Propiedades mecánicas del acero ASTM A36
Además, se define la nomenclatura de los perfiles W según la figura 8.
3/3
Estructuras de Acero II
CI6202-1
Problema 2
11 / 20
Figura 8: Nomenclatura de perfiles W.
Complementariamente, las figuras 9 y 10 presentan las dimensiones de las secciones de vigas
y columnas del edificio de acero.
Figura 9: Perfil W 14x48 para vigas.
Figura 10: Perfil W 21x93 para columnas.
En resumen, las tablas 3 y 4 expresan los valores de las dimensiones y propiedades de la sección
de los perfiles de vigas y columnas respectivamente.
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Problema 2
12 / 20
W 14x48
W 21x93
Dimensiones
Dimensiones
d
351 mm
d
549 mm
bf
204 mm
bf
214 mm
tw
8.6 mm
tw
14.7 mm
tf
15.1 mm
tf
23.6 mm
Área
90.97 cm²
Área
176.13 cm²
Sección
Sección
Zx
1284.75 cm³
Zx
3621.54 cm³
bf/2tf
6.75
bf/2tf
4.53
h/tw
33.60
h/tw
32.3
Tabla 3: Perfil de vigas.
Tabla 4: Perfil de columnas.
1) Clasificar las secciones de vigas y columnas según requisitos de ductilidad:
La clasificación de las vigas y columnas se realiza según criterios de provisiones sísmicas de
la norma AISC 341 en el apartado de la tabla D1.1, la cual especifica los límites de esbeltez para
elementos en compresión para miembros de moderada o alta ductilidad.
La esbeltez para las alas de los perfiles W esta dada por la relación bf/2tf, cuyos límites según
la AISC 341 son los que se muestran en la (Ec. VII), para miembros de ductilidad alta (λhd ) o
ductilidad moderada (λmd ).
s
s
E
E
λmd = 0.4
(Ec. VII)
λhd = 0.32
Ry Fy
Ry Fy
En la tabla 5 se presenta la esbeltez de las alas de las vigas y columnas junto con los límites de
esbeltez de la norma, siendo la esbeltez de los elementos menor al límite de alta ductillidad por lo
que todas las vigas y columnas son elementos de ductilidad alta.
Piso
1
2
3
4
Relación de esbeltez de
Alas b/t.
Columnas.
Vigas.
W21x93
W14x48
4.53
4.53
4.53
4.53
6.75
6.75
6.75
6.75
Límite de esbeltez.
AISC 341-D1.1
λhd
λmd
7.39
7.39
7.39
7.39
9.24
9.24
9.24
9.24
Elementos de ductilidad alta.
Elementos de ductilidad moderada.
Tabla 5: Clasificación de ductilidad de vigas y columnas para la esbeltez de las alas.
Estructuras de Acero II
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Problema 2
13 / 20
De la misma manera se compara la esbeltez del alma con los límites de la norma, la esbeltez
del alma para los perfiles W es igual a h/tw y los límites de esbeltez de acuerdo al AISC 341 se
exponen en la (Ec. VIII).
s
λhd = 1.57
s
E
Ry Fy
λmd = 1.57
E
Ry Fy
(Ec. VIII)
La tabla 6 presenta los valores de los límites, junto con la clasificación de cada elemento.
Piso
1
2
3
4
Relación de esbeltez de
Almas h/tw.
Columnas.
Vigas.
W21x93
W14x48
32.3
32.3
32.3
32.3
33.6
33.6
33.6
33.6
Límite de esbeltez.
AISC 341-D1.1
λhd
λmd
36.26
36.26
36.26
36.26
36.26
36.26
36.26
36.26
Elementos de ductilidad alta.
Elementos de ductilidad moderada.
Tabla 6: Clasificación de ductilidad de vigas y columnas para la esbeltez del alma.
Ademas de lo anterior, la norma también clasifica la esbeltez de los elementos debido a si se
utilizan para vigas o columnas de acuerdo a la carga axial de compresión a la que están sometidas
en base al criterio de la figura 11 considerando si están sometidas a flexión y carga axial combinada.
Figura 11: Límites de esbeltez.
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Problema 2
14 / 20
En donde Pu se obtiene de las diferentes combinaciones de carga cuyos valores se presentan
en la tabla 7.
Ag =
Py =
φc =
17613
6604.875
0.9
Piso
Columnas Internas.
W21x93
Relación de esbeltez
de Almas h/tw.
1
2
3
4
32.3
32.3
32.3
32.3
[mm²]
[kN]
Pu [kN]
1.4 D
1407.3
1054.8
704.5
355.7
Comb 1.
1.2D + 1.6L 1.2D + 1.6Lt
+ 0.5Lt
+ 1.0L
2004.3
1508.4
1015.4
525.15
1767.9
1344.76
924.3
506.3
Comb 2.
Comb 3.
Comb 1.
Comb 2.
Comb 3.
Comb 1.
Comb 2.
Comb 3.
Ca
Ca
Ca
λhd
λhd
λhd
λmd
λmd
λmd
0.237
0.177
0.119
0.060
0.337
0.254
0.171
0.088
0.297
0.226
0.155
0.085
49.654
50.859
52.056
55.658
47.613
49.308
50.993
53.899
48.421
49.867
51.305
54.094
56.105
57.871
59.627
74.816
53.113
55.598
58.069
66.891
54.297
56.418
58.525
67.773
Elementos de ductilidad alta.
Elementos de ductilidad moderada.
Tabla 7: Clasificación de vigas y columnas de acuerdo a la esbeltez del alma.
Entonces de acuerdo a cada combinación se obtiene un límite para alta o moderada ductilidad.
Si se compara con los límites de esbeltez del alma normales este valor sube de 36.26 a 47.6 para
ductilidad alta, lo que en cierta manera implica que más elementos son de alta ductilidad, y mientras mayor es la carga axial menor es el límite y se acerca al límite normal, el que considera solo
efecto de compresión.
En todos los análisis, tanto de la esbeltez de las alas o del alma, los elementos de vigas y columnas son de ductilidad alta.
2) Máxima distancia de arriostramiento lateral de vigas:
Ya que todas las vigas son elementos de alta ductilidad la máxima distancia de arriostramiento
debe ser menor a lo especificado por la norma AISC 341 en su apartado D1.2b, pero si dicha longitud es menor a lo requerido por la por las provisiones generales de la norma AISC 360 se toma
la menor de las 2.
Entonces la máxima distancia de arriostramiento para miembros de alta ductilidad de acuerdo
a AISC 341 se exhibe a continuación:
Lb = 0.095 ry
E
Ry Fy
Por otro lado, AISC 360 establece una distancia máxima entre arriostramiento igual a:
s
E
Lp = 1.76 ry
Fy
En donde ry es el radio de giro igual a 48.5 mm para las vigas. Resolviendo con este valor se
obtiene la máxima distancia de arriostramiento para cada criterio:
Lb = 0.095 ry
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E
200000
= 0.095 · 48.5
= 2457.33mm
Ry Fy
1.5 · 250
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Problema 2
15 / 20
s
Lp = 1.76 ry
E
= 1.76 48.5
Fy
r
200000
= 2414.35mm
1.5 · 250
La longitud máxima de arriostramiento más restrictiva es la del valor de Lp = 2.4m, ya que la
normativa sísmica AISC 341 - D1.2 restringe el pandeo lateral torsionante por lo que no se puede
superar este límite para vigas. La figura 12 muestra en planta la distancia de las vigas secundarias
para arriostrar las vigas principales.
Figura 12: Arriostramiento de las vigas principales.
De acuerdo a las disposiciones sísmica, se debe colocar una viga de arriostramiento en medio
de la luz libre de la viga. En adición, de acuerdo a AISC 358 para el precalificamiento de conexiones tipo WUF, es necesario tener un arriostramiento entre dv y 1.5 dv de la cara de la columna,
por lo que se coloca una viga de arriostre a 1.5 dv de la cara de la columna, como se muestra en
la figura 12, siendo dv el alto de la viga. De esta manera queda una distancia libre de 2.7 m entre
la viga secundaria a 1.5dv y la viga secundaria de la mitad, y como supera la distancia máxima
de arriostramiento de 2.4 m es necesario colocar otra viga más, precisamente a la mitad de estas 2
Estructuras de Acero II
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Problema 2
16 / 20
vigas secundarias.
3) Verificar que las columnas no requieren arriostramiento lateral entre pisos:
Para verificar el arriostramiento lateral de las columnas, se calcula la resistencia de la columna
más solicitada a efectos combinados de compresión y flexión.
La resistencia nominal a compresión de la columnas, Pc , de acuerdo a AISC 341 E3-5 para
marcos especiales es de :
250M P a · 0.0176m2
Fyc Ag
=
= 4892kN
Pc =
α = 0.9
0.9
Por otro lado, Pcr = 2004kN de la máxima combinación de carga, por lo que, Pcr /Pc =
0.41 > 0.3 por lo tanto, la relación de la resistencia de momento de las columnas para la resistencia a momento de las vigas debe ser mayor a 1.0.
Ahora para calcular la resistencia a compresión
de la columna mediante el AISC 360 se calcula
q
E
Lc
el esfuerzo crítico Fcr , cuando r ≤ 4.71 Fy = 12.7 ≤ 133.
Fe =
π2E
π 2 200000
=
= 12238.3M P a
(KL/r)2
(12.7)2
Fy
Fcr = 0.658 F e Fy = 247.9M P a
La resistencia nominal a compresión es:
Pn = Fcr Ag = 247900 kP a · 0.0176 m2 = 4363.04 kN
La resistencia a flexión según AISC 360 se calcula como sigue:
Se calcula el límite de la longitud no arriostrada lateralmente tanto del estado de fluencia como
del pandeo lateral torsionante inelástico:
s
r
E
200000
= 1.76 · 46.7 mm
= 2.324 m
Lp = 1.76 ry
Fy
250
Lr = f (J = 251 cm4 , rts = 56.9 mm, c = 1, ho = 52.58 cm, Sx = 3146.32 cm3 ) = 8.268 m
Por lo tanto con una altura de 3.5 m, se supera el estado límite de fluencia de 2.32 m pero
no se supera el límite de pandeo lateral torsionante, por lo que existe pandeo lateral torsionante
inelástico en la columna, cuya resistencia a flexión es:
Lp < Lb ≤ Lr
Mn = Cb Mp − (Mp − 0.7Fy Sx )
Estructuras de Acero II
Lb − Lp
Lr − Lp
≤ Mp
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Problema 2
17 / 20
Mp = Fy Zx = 250 M P a · 3621.54 cm3 = 905.4 kN m
3.5 − 2.33
Mn = Cb 905.4 kN m − (905.4 kN m − 550.6 kN m)
≤ 905.4 kN m
8.27 − 2.33
Conservativamente con Cb = 1, considerando un diagrama de momentos con carga sísmica.
Mn = 835.515kN m ≤ 905.4 kN m
Se estudia la interacción de flexión y compresión según AISC 360 capítulo H, teniendo la
Pr
2004 kN
relación de
=
= 0.51 ≥ 0.2 lo que corresponde a una resistencia combinada
Pc
0.9 · 4363 kN
que debe de cumplir con:
Pr 8 Mrx Mry
+
+
≤ 1.0
Pc 9 Mcx Mcy
2004 kN
8
271.3 kN m
+
+ 0.0 = 0.831 < 1.0
0.9 · 4363 kN
9 0.9 · 835.515 kN m
Ya que no se supera la resistencia combinada, la columna no requiere soportes laterales intermedios entre pisos.
Cabe destacar que las solicitaciones de carga axial y momento deben ser calculadas con el
factor de sobreresistencia sísmica, pero se asume que esta carga axial y momento generada en la
columna es mayor.
Por otro lado, la máxima demanda que puede recibir la columna puede ser debido al momento
esperado de la viga; en cuyo caso se calcula dicho momento de acuerdo al desarrollo del paso 4:
2Mc − Mpbr − Mpbl = 2Mc − 781.9 kN m − 670.42 kN m
Mc = 726.16 kN m
Comprobando con este valor de momento en la columna se tiene:
8
2004 kN
726.16 kN m
+
+ 0.0 = 1.37 > 1.0
0.9 · 4363 kN
9 0.9 · 835.515 kN m
Entonces con esta demanda máxima la resistencia de la columna no cumple con las solicitaciones y la columna podría llegar a requerir arriostramiento entre piso, sin embargo ni incluso con los
arriostramientos, el momento plástico Mp es capaz de satisfacer las solicitaciones. Por lo que, en
realidad se debiera cambiar de sección, teniendo en cuenta que más adelante tampoco se cumple
el concepto de columna fuerte - viga débil.
4) Razón entre resistencia de vigas y columnas:
La razón de la resistencia de vigas y columnas de los nodos está dada por la (Ec. IX):
Mpc
> 1.0
(Ec. IX)
Mpb
donde Mpc = es la proyección de la resistencia nominal a flexión de las columnas de encima y debajo del nodo al centro de la viga con una reducción de la fuerza axial en la columna,
determinado como sigue según AISC 341:
Estructuras de Acero II
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Problema 2
18 / 20
Mpc = Zc (Fyc − αs Pr /Ag )
Sin embargo en la tarea se pide calcular sin el factor de reducción:
Mpc = Zc (Fyc − Pr /Ag )
A su vez Mpc es la proyección de la resistencia a flexión esperada de las vigas en la ubicación
de la rótula plástica al centro de la columna, calculada como:
Mpb = (Mpr + αs Mv )
Siendo Mpr el momento probable máximo en la ubicación de la rótula plástica en concordancia
de lo establecido en AISC 358 según el tipo de conexión precalificada.
Mv es el momento adicional debido al corte amplificado de la ubicación de la rótula plástica al
centro de la columna basado en la combinación de carga más desfavorable.
Se calcula el momento probable de la viga según los requerimientos de AISC 358 para una
conexión tipo WUF, la cual hace referencia al capítulo 8 de dicha norma. Para ello se utiliza la
(Ec. X):
Mpr = Cpr Ry Fy Ze
(Ec. X)
donde Ze es el módulo de sección plástico efectivo de la sección ubicada en la rótula plástica,
siendo igual a Zx de la viga para una conexión tipo WUF. Cpr es el factor para considerar la
resistencia máxima de la conexión igual a 1.4 para una conexión de tipo WUF. Con estos datos se
calcula en momento probable de la viga existente:
Mpr = Cpr Ry Fy Ze = 1.4 · 1.5 · 250 M P a · 1284.75 cm3 = 674.5 kN m
El momento adicional Mv está dado por el corte sísmico y el corte debido a las cargas gravitacionales; el corte sísmico se calcula como:
2 Mpr
Lh
donde Lh es la distancia entre rótulas plásticas, por lo que es igual a:
VE =
dc
− 2Sh
2
donde L es la distancia entre el centro de las columnas, dc es el alto de la sección de la columna
y Sh es la distancia de la cara de la columna a la ubicación de la rótula plástica igual a 0.0 para una
conexión de tipo WUF; por lo tanto Lh es igual a:
Lh = L − 2
dc
− 2Sh = 7.0 m − 0.549 m − 0.0 = 6.451 m
2
Lo que genera un corte sísmico de:
Lh = L − 2
2 Mpr
2 674.5 kN m
=
= 209.115 kN
Lh
6.451 m
El corte debido a las cargas gravitacionales de la mayor solicitación de las combinaciones de
carga a una distancia dc /2 para la columna exterior del primer piso es de:
VE =
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Problema 2
19 / 20
Vg = 225.6 kN
Entonces el corte en el lado derecho de la viga (donde el corte sísmico está alineado con la
gravedad) es :
Vur = VE + Vg = 209.115 kN + 225.6 kN = 434.713 kN
Y en el lado izquierdo es:
Vul = VE − Vg = 209.115 kN − 225.6 kN = −16.487 kN
La proyección de la resistencia a flexión esperada de las vigas en la ubicación de la rótula
plástica al centro de la columna es:
0.549 m
dc
Mpbr = Mpr +0.9·Vur Sh +
= 674.5 kN m+434.713 kN 0.0 +
= 781.9 kN m
2
2
dc
0.549 m
Mpbl = Mpr + 0.9 · Vul Sh +
= 674.5 kN m + −16.487 kN 0.0 +
=
2
2
670.42 kN m
En cambio, la resistencia nominal a flexión de las columnas es:
2004 kN
Prb
3
= 3621.54 cm 250 M P a −
Mpcb = Zxc Fy −
= 493.3 kN m
Agc
176.13 cm3
1508.4 kN
Prt
3
= 3621.54 cm 250 M P a −
= 595.23 kN m
Mpct = Zxc Fy −
Agc
176.13 cm3
La razón de resistencia de la (Ec. X) para la columna interna del primer piso se tiene un valor
de:
493.3 + 595.23
= 0.75 > 1.0
781.9 + 670.42
Se comprueba que no cumple con lo solicitado por la normativa de disposiciones sísmicas
AISC 341 por lo que se debería aumentar el perfil de las columnas.
Como se tiene una conexión arriostrada y las columnas no son elásticas ya que la razón de
resistencia calculada no supera el valor de 2.0, se tienen columnas inelásticas y es necesario arriostrar ambas alas de la viga en la conexión.
Análogamente, el mismo procedimiento se realiza para calcular las relación de resistencia esperada de las vigas y la resistencia nominal de las columnas en todos los nudos como se presenta
en las tablas 8 y 9.
dc =
Mpr =
VE =
0.549
674.494
209.113
[m]
[kN m]
[kN]
Piso
(nudo)
Vg [kN]
Vur [kN]
Vul [kN]
1
2
3
4
225.6
224.126
222.95
239.47
434.713
433.239
432.063
448.583
-16.487
-15.013
-13.837
-30.357
Zcx = 3621.51 [cm³]
Agc = 176.13 [cm³]
Mpbr Mpbl [kN
Pub [kN] Put [kN]
[kN m]
m]
781.890
781.526
781.235
785.316
670.421
670.785
671.076
666.994
2004.29
1508.4
1015.3
525
1508.4
1015.3
525
0
Mpcb Mpct [kN
ΣMpc/ΣMpb
[kN m]
m]
493.2639 595.2267
595.2267 696.6158
696.6158 797.4292
797.4292
0
0.75
0.89
1.03
0.55
Tabla 8: Relación de resistencia de columnas y vigas de los nudos internos.
Estructuras de Acero II
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Problema 2
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Piso
(nudo)
Vg [kN]
Vur [kN]
Vul [kN]
1
2
3
4
222.035
223.64
224.81
230.55
431.148
432.753
433.923
439.663
0
0
0
0
Mpbr Mpbl [kN
Pub [kN] Put [kN]
[kN m]
m]
781.009
781.406
781.695
783.113
0.000
0.000
0.000
0.000
2004.29
1508.4
1015.3
525
1508.4
1015.3
525
0
Mpcb Mpct [kN
ΣMpc/ΣMpb
[kN m]
m]
493.2639 595.2267
595.2267 696.6158
696.6158 797.4292
797.4292
0
1.39
1.65
1.91
1.02
Tabla 9: Relación de resistencia de columnas y vigas de los nudos externos.
Los nudos internos del piso 1 y 2 no satisfacen la relación requerida para marcos especiales
a momento, por lo que se debería aumentar el perfil de la columna; el nudo del último piso no
necesita cumplir la relación ya que la relación de la carga axial solicitante y la resistencia axial es
menor al 30 %. En cuanto a los nudos externos, se cumple la relación para todos los e inclusive las
columnas de estos nodos no necesitan arriostramiento lateral entre piso.
5) Demanda de momento y corte en la conexión viga-columna:
La demanda de corte y momento en la conexión viga-columna se evalúa en la cara de la columna. Ya que la distancia de la rótula plástica a la cara de la columna es 0, el corte en la conexión
es la suma del corte sísmico más el corte gravitacional; como se calculó con anterioridad es igual
a:
Vucon = VE + Vg = 209.115 kN + 225.6 kN = 434.713 kN
Al mismo tiempo el momento en la conexión es igual al momento en la cara de la columna
y como la longitud de rótula plástica a la cara de la columna es 0, el momento en la conexión es
igual al momento esperado:
Mucon = Mpr + Vucon
7 − 0.549 − 6.451
L − bc − Lh
= 674.5 kN m + 434.713 ·
= 674.5 kN m
2
2
Estructuras de Acero II
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