ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CHƯƠNG
4
GIỚI HẠN
Mục lục
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ................................................................................................. 1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 2
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................... 3
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN..................................................................................................... 22
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 25
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................. 25
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................. 26
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN..................................................................................................... 70
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ...................................................................................................... 113
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................ 113
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ........................................................................................... 114
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN................................................................................................... 138
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................................................. 139
A. BÀI TẬP .......................................................................................................................... 139
B. LỜI GIẢI.......................................................................................................................... 145
1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0 ). Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → + .
n →+
Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a ). Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là số thực a nếu lim ( un − a ) = 0 . Khi
đó ta viết lim un = a hay lim un = a hay un → a khi n → + . Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là
n →+
dãy số có giới hạn hữu hạn.
Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).
1. Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn là + khi n → + nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu: lim un = + hay un → + khi n → + .
2. Dãy số ( un ) có giới hạn là − khi n → + nếu lim ( −un ) = + .
Ký hiệu: lim un = − hay un → − khi n → + .
GIỚI HẠN HỮU HẠN
Các giới hạn đặc biệt
Các giới hạn đặc biệt
(
)
•
1
= 0, k  * .
k
n
lim q n = 0, ( q  1) .
•
lim C = C , ( C 
•
lim
lim ( un  vn ) = a  b .
u
a
lim n =
(b  0) .
vn b
•
•
lim nk = + , k 
•
lim q n = 0, ( q  1) .
*
).
Định lí 2.
•
lim ( un  vn ) = a  b .
•
(
•
)
Định lí 1. Nếu lim un = a và lim vn = b thì
•
GIỚI HẠN VÔ CỰC
Nếu lim un = a và lim vn =  thì
lim
•
Nếu un  0, n và lim un = a thì a  0
và lim un = a .
un
=0.
vn
Nếu lim un = a  0 và lim vn = 0 và
vn  0, n thì lim
•
un
= + .
vn
Nếu lim un = + và lim vn = a  0 thì
lim ( un  vn ) = + .
Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) , ( wn ) . Lúc đó, nếu un  vn  wn , n và
lim un = lim wn = a , ( a 
)
thì lim vn = a .
Định nghĩa 4. Cấp số nhân ( un ) có công bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu q  1 .
Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) có công bội q . Với mỗi n 
đó: lim Sn =
u1
1− q
*
, đặt S = u1 + u2 + ... + un . Lúc
( 4.1)
Định nghĩa 5. Giới hạn ( 4.1) được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) và được ký hiệu là
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
S = u1 + u2 + ... + un
Như vậy:
S = lim Sn =
u1
, ( q  1)
1− q
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn L = lim
P (n)
với P ( n ) , Q ( n ) là các đa thức.
Q (n)
Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức:
• lim nk = + ( k 
c
• lim k = 0, ( k  * , c  ) .
•
•
n
lim un = +
 lim ( un  vn ) = + .

lim vn = a  0
lim un = +
 lim ( un  vn ) = − .

lim vn = a  0
*
).
•
lim un = −
 lim ( un  vn ) = − .

lim vn = a  0
•
lim un = −
 lim ( un  vn ) = + .

lim vn = a  0
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L
4n 2 n 1
lim
.
3 2n 2
ĐS: L = 2
Lời giải
1 1

n2  4 − − 2
n n
Ta có L = lim 
3


n2  2 + 2 
n


1 1
4− − 2

 = lim
n n = 4−0−0 = 2.
3
0+2
+2
2
n
Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) bằng bậc mẫu Q ( n ) thì lim
P (n)
Q (n)
= (Hệ số bậc cao nhất của tử) 
(Hệ số bậc cao nhất của mẫu).
Ví dụ 2. Tính giới hạn L
lim
2n 2
n
5
20n6 2n 2
4n 1
n 1
4
4
.
ĐS: L =
128
5
Lời giải
5
 2
1   
2 
n  2 − n  n  4 − n 

  

Ta có L = lim 
4
3 1 
6  2
20n  n  2 − + 2  
n n 
 
4
3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5
4
5
4
1
2
1 
2



n  2 −  n4  4 − 
5
4
2−  4− 
2 − 0 ) ( 4 − 0 ) 128
(
n
n
n 
n



= lim
= lim
= lim
=
4
4
4
5
20 ( 2 − 0 + 0 )
3 1
3 1

6 8
20n n  2 − + 2 
20  2 − + 2 
n n 
n n 


10
Nhận xét: Với bài toán có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau
đó áp dụng công thức ( a.b ) = a n .b n và tính toán như các bài trước.
n
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim
n2 − n + 3
.
n 3 + 2n
ĐS: L = 0
Lời giải
 1 3
1 3

n 2 1 − + 2 
 1 1 − n + n2
n n 

= lim  .
Ta có L = lim
2
3
 n 1 + 22
n 1 + 2 
n

 n 


1− 0 + 0
=0
 = 0.
1+ 0


Nhận xét: Nếu bậc tử P ( n ) nhỏ hơn bậc mẫu Q ( n ) thì L = lim
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = lim
P(n)
=0
Q(n)
2n3 − 11n + 1
.
n2 − 2
ĐS: L = +
Lời giải
 11 1 
11 1

n3  2 − + 3 
2− + 3

n
n
 = lim n.
n n
L = lim 

2
2



1− 2
n 2 1 − 2 
n

 n 
11 1

 2 − n + n3
(vì lim n = + và lim 
 1 − 22
n



 = +




 = 2  0 ).


Nhận xét: - Nếu bậc tử P ( n ) lớn hơn bậc mẫu Q ( n ) thì L = lim
P(n)
=  .
Q(n)
- Để biết là + hay − ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng
dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thông thường, sẽ để dấu =  và xét dấu
sẽ điền vào sau.
- Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
1 + 3 + 5 + 7 + (2n + 1)
1
.
ĐS: L =
2
3n + 4
3
Lời giải
Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9,..., 2n + 1 có số hạng đầu tiên u1 = 1 công sai d = 2 và số hạng cuối
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = lim
cùng là um = 2n + 1 ta có:
u1 + (m − 1)d = 2n + 1  1 + 2(m − 1) = 2n + 1  m = n + 1.
4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Vậy cấp số cộng có n + 1 số hạng. Suy ra tổng
m
n +1
S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 2n + 1 = (u1 + um ) =
(1 + 2n + 1) = n2 + 2n + 1
2
2
Vì thế L
2
n
n2 1
n 2 2n 1
lim
3n 2 4
lim
n2 3
1
n2
2
n
1
lim
4
n2
1
n2
4
n2
3
1 0 0
3 0
1
.
3
Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng:
uk +1 − uk = d , với d là công sai.
un = u1 + ( n − 1) d , với d là công sai.
uk
Sn
uk
1
1
u1
u2
2uk , k
un
2.
n
u1
2
 1
1
1
1
Ví dụ 6. Tính giới hạn L = lim  +
+
+
+
1.2 2.3 3.4 4.5
un .
+
1 
.
n ( n + 1) 
ĐS: L = 1
Lời giải
Số hạng tổng quát
1
1
1
= −
; ( k = 1, 2,..., n ) do đó
k (k + 1) k k + 1
1
1 
 1 1 1 1 1 1
L = lim 1 − + − + − + − + −

n n +1 
 2 2 3 3 4 4
1 
1
1

 n 
= lim 1 −
=1
 = lim 
 = lim 1 =
1
+
0
 n +1 
 n +1 
1+
n
Nhận xét: Phân tích
1
a
b
1
1
= +
= 1; b =
= −1 .
với a =
k ( k + 1) k k + 1
k + 1 k =0
k k =−1
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính giới hạn sau:
3n 2 n 5
;
2n 2 1
a) L
lim
c) L
6n 3 2n 1
lim 3
;
5n n n 2 n 1
e) L
lim
2n 1
4n
2
2
b) L
3 4n3
3
2 n
2
;
d) L
f) L
lim
lim
lim
n3
2n 3
n 3
;
3n3 1
2n 4
1
2
n17
3n 2 1
2n 4
3
4
n
2
9
;
1
2
2n
5
9n
4
2n 3
1 2n 2
7
;
5
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
g) L
Bài 2.
n2
lim
n 1 2n 2
3
2
.
7 n 3 + 2n 2 + 1
;
n4 + 5n3 + n
b) L = lim
7n + 3
;
2n + 3n3 + 4
n2 + 4n − 5
;
3n3 + n2 + 7
d) L = lim
−2n3 + 3n2 + 4
;
n 4 + 4n 3 + n
n3 − 5n + 3
;
3n2 + n − 1
b) L = lim
5n4 − n3 + 5n2 + 3
;
n2 − 3n3 − 1
3n4 + 2n2 − 1
;
n 3 + 2n + 9
d) L = lim
3n5 − 2n4 + 2n + 7
;
−6n4 + 2n3 + n2 − 1
c) L = lim
e) L = lim
2
−2n2 + n + 2
.
3n4 + 5
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
c) L = lim
Bài 4.
3
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
Bài 3.
2 n 1
Tính giới hạn sau:
a) L = lim
1 + 2 + 3 + ... + n
;
3n2 + 1
b) L = lim
1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1)
;
n2 + 3n + 1
1 + 2 + 3 + ... + n
;
2n2 − n + 9
d) L = lim
5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3)
;
3n2 + 5n − 1
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n
;
2n + 1
f) L = lim [
c) L = lim
e) L = lim
g) L = lim [
1
1
1
1
+
+
+ ... +
];
1.3 3.5 5.7
( 2n − 1)( 2n + 1)
h) L = lim [
1
1
1
1
+
+
+ ... +
].
1.3 3.5 5.7
( 2n − 1)( 2n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
];
1.3 2.4 3.5
n ( n + 2)
 LỜI GIẢI
n2 3
2
Bài 1.
a) L
lim
3n n 5
2n 2 1
lim
n2 2
1
n
5
n2
1
n2
1
n
3
lim
2
5
n2
1
n2
3 0 0
2 0
3
.
2
6
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3
b) L
c) L
d) L
n
lim 2
2n
lim
n 3
3n3 1
6n
5n
3
1
n
17
n
2
n
n3
2n 1
n n2 n 1
2n 4
lim
lim
3
2
1
n2
n3 1
3
3
6n
lim 3
4n
1
n4
lim
1
1
lim
2n 1
n2 n
n8 2
9
2
3
n3
1
n3
17
n
1
1
n2
2
n
3
3
n3
1
n3
1
.
3
2
n2
lim
1
n3 4
n
1
n3
1
n2
n3 6
2
2
n
n9 1
9
1
n4
2
lim
1
n17
2
n2
lim
1
4
n
6
1
2
2
n
1
1
n3
1
n2
3
.
2
9
1
n17
(2 + 0)2 .(1 + 0)9
= lim
= 4.
1+ 0
2
2
1
1  3

 3



n  2 −  n3  3 − 4 
 2 −   3 − 4
( 2n − 1) ( 3 − 4n3 )
n
n n
n
 = lim 

e) L = lim
= lim 
3
2
3
2
3
2
2
1
2 
1
( 4n + 2 ) ( 2 − n )



n3  4 +  n 2  2 − 
4
+
2
−

 

n
n
n 
n



2
2
lim
2
2 0
4
0
0 4
3
(3n
f) L = lim
2 0
1
.
4
2
− 1) ( 2n + 5) ( 9n + 4 )
3
2
( 2n − 4 )
4
2
( 2n
3
+ 1)( 2n 2 − 7 )
3
2
 2
1   
5  
4
1 
5 
4

3− 2   2 +  9 + 
n  3 − n2  n  2 + n  n  9 + n 
n  
n 
n

  
 

= lim 
L = lim 
4
4
4 
1 
7
4
1 
7 



n 4  2 −  n3  2 + 3  n 2  2 − 2 
 2 −   2 + 3  2 − 2 
n
n  
n 
n 
n 
n 



lim
3 0
3
2 0
4
2
2
0
9
0
2
0 2 0
3
243
.
16
3
(n
g) L = lim
2
+ 2 ) ( n − 1)
3
( n + 1) ( 2n2 + 3)
lim
1 0 1 0
1 0 2
0
3
2
2
2
3
2   1
2  1 


n  1 + 2  n3  1 − 
1 + 2 1 − 
n   n
n  n 
= lim 
= lim 
2
2
3
3
 1 4
 1 
n 1 +  n  2 + 2 
1 +  2 + 2 
n 
n 
 n 
 n 
2
1
.
4
7
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 1

2 1

n3  7 + + 3 
7+ + 3

1
7 n + 2n + 1
n
n
 = lim .
n n
= lim 
a) L = lim 4

5
5
1
n
n + 5n3 + n


 1 + + 13
n 4 1 + + 3 
n n

 n n 
3
Bài 2.
b) L
lim
2
n
5
n
7
1
n
(Vì lim
2
0; và lim
1
7n
2n 2
1
(Vì lim 2
n
lim
4
2
n
n
3
3
n
7
0 và lim
7 ).
3
n
n 7
3
3n3
1
n3
1
n3
2
n
3
4
n3
1
lim 2 .
n 2
n
3
n
7
3
0
4
n3
7
).
3
4
n3
3


= 0


 4 5 
4 5

n 2 1 + − 2 
1+ − 2

n + 4n − 5
1
n
n
 = lim . n n
= lim 
c) L = lim 3 2

1
7
3n + n + 7


 n 3 + 1 + 73
n3  3 + + 3 
n n

n n 

2


=0


4 5
1+ − 2
1
1
(Vì lim = 0 và lim n n = ).
1 7
n
3+ + 3 3
n n
3 4

n3  −2 + + 3 
−2n + 3n + 4
n n 
= lim 
d) L = lim 4
3
 4 1
n + 4n + n
n 4 1 + + 3 
 n n 
3
2
3 4
2
1
n n3
lim .
n 1 4 1
n n3
1
0 (Vì lim
n
2
0 và lim
1
3 4
n n3
4 1
n n3
2 ).
1 2

1 2

n 2  −2 + + 2 
−2 + + 2

1
−2n + n + 2
n n 
n n
= lim 
= lim  2 .
e) L = lim
4
5
5


3n + 5
n
3+ 4
n4  3 + 4 
n

n 

2
(Vì lim
1
n2
2
0 và lim
3
1
n
5
n4
2
n2


 = 0.


2
).
3
8
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5 3

5 3

n3  1 − 2 + 3 
1− 2 + 3

n − 5n + 3
n
n
 = lim n. n n
= lim 
a) L = lim 2

1
1
3n + n − 1


 3 + 1 − 12
n2  3 + − 2 
n n

n n 

3
Bài 3.


 = +


5 3
+ 3
2
1
(Vì lim n = + và lim n n = ).
1 1
3+ − 2 3
n n
1−
1 5 3

1 5 3

n4  5 − + 2 + 4 
5− + 2 + 4

5n − n + 5n + 3
n n n 
n n n
= lim 
= lim  n.
b) L = lim
2
3
1
1
1
n − 3n − 1
31

−3− 3
n  −3− 3 
n
n

n 
n
4
3
2


 = − .


1 5 3
5− + 2 + 4
5
(Vì lim n = + và lim n n n = − ).
1
1
3
−3− 3
n
n
2 1 

2 1

n4  3 + 2 − 4 
3+ 2 − 4

3n + 2n − 1
n n 
n n
= lim 
= lim  n.
c) L = lim 3
2 9
n + 2n + 9

 1 + 22 + 93
n3  1 + 2 + 3 
n n

 n n 
4
2


 = + .


2 1
− 4
2
n
n = 3 ).
(Vì lim n = + và lim
2 9
1+ 2 + 3
n n
3+
2 2 7

2 2 7

n5  3 − + 4 + 5 
3− + 4 + 5

3n − 2n + 2n + 7
n n n 

n n n
= lim
= lim  n.
d) L = lim
4
3
2
2
1
1
−6n + 2n + n − 1


 −6 + 2 + 12 − 14
n 4  −6 + + 2 − 4 
n n n

n n n 

5
4


 = − .


2 2 7
3+ + 4 + 5
n n n = − 1 ).
(Vì lim n = + và lim
2 1 1
2
−6 + + 2 − 4
n n n
Bài 4.
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 2 + 3 + ... + n =
n ( n + 1) n2 + n
=
2
2
2
1+ 2
1 + 2 + 3 + ... + n
n2 + 2
n =1.
= lim 2
= lim
Do đó L = lim
2
2
3n + 1
6n + 2
6+ 2 6
n
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1) =
(1 + ( 2n −1) ) n = n
2
2
9
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Do đó L = lim
1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n − 1)
n2
1
=
lim
= lim
= 1.
2
2
3 1
n + 3n + 1
n + 3n + 1
1+ + 2
n n
c) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1 + 2 + 3 + ... + n =
Do đó L = lim
n ( n + 1) n2 + n
=
2
2
1+
1
n
1 + 2 + 3 + ... + n
n +n
1
= lim 2
= lim
= .
2
2 18
2n − n + 9
4n − 2n + 18
4− + 2 4
n n
2
d) Xét cấp số cộng với u1 = 5; d = 4
 un−1 = 5 + ( n − 2 ) 4 = 4n − 3  5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3) =
( 5 + 4n − 3)( n − 1) = 2n2 − n −1
2
1 1
2− − 2
2
5 + 9 + 13 + ... + ( 4n − 3)
2n − n − 1
n n =2.
= lim 2
= lim
Do đó L = lim
2
5 1
3n + 5n − 1
3n + 5n − 1
3+ − 2 3
n n
e) Ta có
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n = (1 − 2 ) + ( 3 − 4 ) + ... + ( ( 2n − 1) − 2n ) = ( −1) + ( −1) + ... + ( −1) = − n
Do đó L = lim
f) Ta có
1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n
−n
−1
1
= lim
= lim
=− .
1
2n + 1
2n + 1
2
2+
n
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1 
+
+
+ ... +
=  − + − + ... + −

1.3 2.4 3.5
n ( n + 2) 2  1 3 2 4
n n+2
1 1
1
1  3
1
1
= 1 + −
−
−
= −
2  2 n + 1 n + 2  4 2n + 2 2n + 4
Do đó L = lim [
1
1
1
1
1
1  3
3
+
+
+ ... +
]=lim  −
−
= .
1.3 2.4 3.5
n ( n + 2)
 4 2n + 2 2n + 4  4
g) Ta có
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1  1
1 
+
+
+ ... +
=  − + − + ... +
−
 = 1 −

1.3 3.5 5.7
2n − 1 2n + 1  2  2n + 1 
( 2n − 1)( 2n + 1) 2  1 3 3 5
Do đó L = lim [
h) Ta có
1
1
1
1
1
1  1
+
+
+ ... +
]= lim [ 1 −
] = .
1.3 3.5 5.7
2  2n + 1  2
( 2n − 1)( 2n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
( 3n − 2)( 3n + 1)
1 1 1 1 1 1
1
1  1
1 
= 1 − + − + − + ... +
+
 = 1 −
.
3  4 4 7 7 10
3n − 2 3n + 1  3  3n + 1 
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
10
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim
P ( n)
với P ( n ) , Q ( n ) là các hàm mũ a n .
Q ( n)
Phương pháp giải:
Áp dụng lim q n = 0 với q  1 .
Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả và mẫu cho a n với a là cơ số lớn nhất.
Công thức mũ cần nhớ
a
m+ n
= a .a và a
m
n
m−n
am
= n .
a
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L = lim
1 − 3n + 4.5n+ 2
.
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
ĐS: L = 20
Lời giải
n
Chia cả tử và mẫu cho 5 , ta có
n
n
1  3
1 3n
− n + 100
  −   + 100 0 − 0 + 100
n
5
5
5
5
L = lim
= lim   n   n
=
= 20.
n
n
2
3
0+0+5
2
3




2. n + 9. n + 5
2.   + 9.   + 5
5
5
5
5
Nhận xét: Ta chia cho a n với a là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt
đối nhỏ hơn 1 để áp dụng công thức lim q n = 0 với q  1 .
Ví dụ 2. Tính giới hạn L = lim
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
.
5.2n + 1
ĐS: L =
2
5
Lời giải
Xét cấp số nhân 1, 2, 2 , 2 ,..., 2 có số hạng đầu tiên u1 = 1 , công bội q = 2 và có số hạng tổng
2
3
n
quát
um = 2n  u1q m−1 = 2n  m − 1 = n  m = n + 1 .
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là:
Sm = u1
q m − 1 2n +1 − 1 n+1
=
= 2 −1.
q −1
2 −1
Suy ra
n
1
2− 
n +1
2 −1
 2 = 2−0 = 2.
L = lim n
= lim
n
5.2 + 1
5+0 5
1
5+ 
2
Nhận xét: Các công thức cần nhớ về cấp số nhân
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
11
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.
uk +1
= q ( q là công bội).
uk
2. Sn = u1 + u2 + ... + un = u1.
qn −1
.
q −1
4. uk +1.uk −1 = uk2 với k  2 .
3. un = u1q n−1 .
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
4.3n + 5n+1
.
a) L = lim
3.2n + 5n
c) L = lim
Bài 2.
2n − 3n−2 + 3.5n+2
.
2n−1 + 3n+2 + 5n+1
n
e)
( −3)
L = lim
n
g)
( −1)
L = lim
− 4.5n +1
.
2.4n + 3.5n
.25 n +1
35 n + 2
ĐS: L = 5.
4n+ 2 + 6n+1
.
b) L = lim n−1
5 + 2.6n+3
ĐS: L = 15 .
d) L = lim
20
ĐS: L = − .
3
f) L = lim
ĐS: L =
2n − 3n + 5n+ 2
.
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
2n + ( −5)
n
2.3 + 3. ( −5)
n
n
.
1
.
72
ĐS: L = 5 .
1
ĐS: L = .
3
ĐS: L = 0 .
.
Tính các giới hạn sau:
a) L = lim
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n
.
1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n
ĐS: L = 0 .
1 1
1
1 + + + ... + n
2 .
b) L = lim 2 4
1 1
1
1 + + + ... + n
3 9
3
ĐS: L =
4
.
3
 LỜI GIẢI
n
Bài 1.
a) L = lim
4.3n + 5n+1
3.2n + 5n
3
4.   + 5
0+5
5
= lim   n
=
= 5.
0 +1
2
3.   + 1
5
n
b) L = lim
4n+ 2 + 6n+1
5n−1 + 2.6n+3
2
16.   + 6
0+6
1
3
.
= lim
=
=
n
0 + 432 72
1 5
.   + 432
5 6
n
2n − 3n −2 + 3.5n + 2
c) L = lim n−1 n+ 2 n+1
2 +3 +5
Fb: ThayTrongDGL
n
 2 1 3
  − .   + 75 0 − 0 + 75
5
9 5
= lim   n   n
=
= 15 .
0+0+5
1 2
3
.   + 9.   + 5
2 5
5
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
12
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n
n
 2 3
  −   + 25
0 − 0 + 25
5
5
= lim   n   n
=
= 5.
0+0+5
2
3
2.   + 9.   + 5
5
5
2n − 3n + 5n + 2
d) L = lim n +1 n + 2 n +1
2 +3 +5
n
e) L = lim
f) L
( −3)
 3
 −  − 20 0 − 20
20
5
= lim 
=
=− .
n
0+3
3
4
2.   + 3
5
− 4.5n+1
2.4n + 3.5n
n
2n
lim
5
n
2.3
3.
2
5
lim
3
2.
5
n
n
5
n
1
n
g)
Bài 2.
( −1)
L = lim
n
.25 n +1
35 n + 2
0 1
0 3
n
3
1
.
3
n
 1 
 32 
−
 .2. 

243 
 243  = 0 = 0 .
= lim 
9
9
a) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n =
1 + 3 + 32 + 33 + ... + 3n =
2n+1 − 1 n+1
= 2 −1
2 −1
3n+1 − 1 3n+1 − 1
=
3 −1
2
n
n
 2 1
2.   −  
n +1
n
2 −1
2.2 − 1
0−0
3
3
= 2.lim n
= 2.lim   n  = 2.
= 0.
Do đó L = lim n +1
3 −1
3.3 − 1
3−0
1
3− 
2
3
b) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có
n +1
1
−1
 1  1 n 
1 1
1  2 
1 + + + ... + n =
= ( −2 )  .   − 1
1
2 4
2
 2  2 

−1
2
n +1
1
−1
n

1 1
1  3 
 3  1  1 
1 + + + ... + n =
=  −   .   − 1
1
3 9
3
 2   3  3 

−1
3
 1  1 n 
1
( −2 )  .   − 1
.0 − 1
4
 2  2 
 4 2
=
.
= .
Do đó L = lim
n
 3 1 .0 − 1 3
 3  1  1 
−
.
−
1



  
3
 2   3  3 

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
13
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim n k =  .
Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng +.0 ) là sau khi rút n có mũ cao trong căn và nhóm thừa
số, xuất hiện số 0 . Chẳng hạn:
- Tính giới hạn dãy un = n 2 + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có n 2 là lũy thừa cao nhất và
ta quan tâm đến nó, những hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem un = n 2 − n = n − n = 0
nên cần liên hợp.
- Tính giới hạn dãy un = 2n 2 + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có 2n 2 là lũy thừa cao nhất
nên nháp
2n 2 − n = n 2 − n = n
(
)
2 −1  0 nên ta không cần liên hợp mà rút ra
2 − 1 , có
giải trực tiếp.
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L = lim
(
)
2n2 + 3n + 5 − n .
ĐS: L = + .
Lời giải





 2n + 3n + 5  
3 5
3 5

−
n
Ta có: L = lim  n 2 
=
lim
n
2
+
+
−
n
=
lim
n
2
+
+
−
1








n2
n n2
n n2


 






3 5
Vì lim n = + và lim  2 + + 2 − 1 = 2 − 1  0 nên L
.


n
n


2
Ví dụ 2. Tính giới hạn L = lim
(
)
9n2 + 3n − 4 − 3n + 20 .
ĐS: L =
41
.
2
Lời giải
Ta có: L
lim 20
lim
4
n
4
n2
n 3
20
lim
3
n
n 9
20
3 0
9 0 0
3
9n 2
3n 4
3n 4
20 lim
3n
4
n
3 4
n n2
9n 2
3n 4
3n
3
20
3n
lim
9
3
41
.
2
( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2
Cần nhớ : Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào HĐT 
.
2
2
3
3
a

b
a
ab
+
b
=
a

b
(
)

(
➢
a− b=
➢
a −b =
Fb: ThayTrongDGL
a −b
.
a+ b
a − b2
.
a +b
3
3
a+3b=
a −b =
a+b
3
a 2 − 3 ab + 3 b2
a − b3
3
)
a 2 + 3 ab + b 2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
.
.
14
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
➢
3
a −b
a− b=
3
3
.
a 2 + 3 ab + 3 b2
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim
(
3
a + b3
a +b =
3
3
a 2 − 3 ab + b 2
.
)
n+2 − 3 n
ĐS: L = 0 .
Lời giải
Ta có: L
n
lim
3
2
n
2 n
3
2
n
3
2
3
n
2
lim
2
2
n
2
n
n1
3
n1
3
2
n
3
n
3
2
n
2
3
2
lim
lim
2
3
n2
Cần nhớ:
3
3
2
n
1
3
a−3b=
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = lim
2
n
1
1
(
a + 3 ab + 3 b2
2
3
2
n
1
3
a −b
3
0
3
n2
2
3
2
n
1
0.
1
.
)
8n3 + 3n2 − 2 + 5 − 2n .
ĐS: L =
21
.
4
Lời giải
Ta có: L
5
lim
lim
3
8n
3
3
8n3
3n
3n2
2
2
2
5 2n
lim5 lim
3
5
3n 2
lim
n3 8
3
n
2
n3
3n2
2
3n2
3
2
2
2n
2 8n3
8n3
3n2
2 2n
4n 2
2
n3 8
lim
3
n
2
.2n
n3
2
n2
3
Cần nhớ:
8n3
3n2
2
3
5
8n3
8n3
5 lim
2n
3
5
2
3
n
3
8
3
a −b =
2
n2
3
8
3
n
a − b3
3
a2 + 3 a  b + b2
2
2
n3
4n 2
4
3
4
4
21
.
4
4
. Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất:
➢ lim ( un + vn ) = lim un + lim vn .
➢ limC = C với C là hằng số C 
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = lim
Fb: ThayTrongDGL
(
.
)
n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
ĐS: L =
1
.
6
15
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
Ta có:
L = lim
= lim 

= lim
= lim
= lim
(
(
(
n 2 + n + 1 − 3 n3 + n 2
)
) (
)
n 2 + n + 1 − n + n − 3 n3 + n 2 

)
(
n2 + n + 1 − n + lim n − 3 n3 + n2
n2 + n + 1 − n2
n2 + n + 1 + n
n +1
n2 + n + 1 + n
)
(
n3 − n3 + n 2
+ lim
n 2 + n 3 n3 + n 2 +
−n 2
+ lim
n 2 + n 3 n3 + n 2 +
)
(
3
n3 + n 2
)
(
3
n3 + n 2
)
2
2
1
−1
1 1 1
n
=
+ lim
= − = .
2
2 3 6
1 1


1
1
1+ + 2 +1
3
3 1+
1
+
+
1
+


n n
n 
n
1+
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
a) L
lim
b) L
lim
9n 2 n 1
.
4n 2
4n 2
n 1 n
9n 2
lim
2n 4
2n 2
d) L
lim
2n 1
n
4n 5
e) L
lim
3n 2
.
n 3
4n 2 1
16n
3
lim
g) L = lim
Bài 2.
n6
3
4
ĐS:
1
3
3n
c) L
f) L
.
ĐS:
2
3
3
.
8n3
4n
7n3 5n
n 2
2n 2
4
n
8
4
3
.
2
2
ĐS:
2 1
2
ĐS: L
1
1+ 4 + 7 ++ ( 3n + 1 )
4
3
ĐS: L
.
2n 2 + n 4 + 2n + 1
ĐS:
.
ĐS: L = 0
Tính các giới hạn sau:
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
16
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 3.
Bài 4.
ĐS:
a) L
lim
4n 2
n 1 9n .
b) L
lim
9n 2
2n 1
c) L
lim
4n 2
n
d) L
lim
n2
n 1 n 10
e) L
lim
n2
3n
f) L
lim n2
g) L
lim 3n 5
h) L
lim n
4n 2
n4
9n2
n2
1
4
ĐS:
21
2
25 .
ĐS:
53
2
3n 1 .
ĐS: L
2019
ĐS: L
5
ĐS: L
1
2
2 .
n
2019
1 .
n2
1
ĐS:
ĐS:
4n 2
5
1 .
2 .
Tính các giới hạn sau:
a) L
lim
3
n
3
b) L
lim
3
8n3
c) L
lim
3
2n n 3
d) L
lim
3
n n3
e) L
lim
3
n3
2n2
f) L
lim
n4
n2
g) L
lim
n2
n 1
4
ĐS: L
0
ĐS: L
25
4
n 1.
ĐS: L
1
2 .
ĐS: L
n 1.
ĐS: L
n6
ĐS: L
1
2
ĐS: L
1
6
ĐS: L
1
2
ĐS: L
1
6
n 1 .
3n2
4
n
3
3
6 .
2n
1 .
n3
n2 .
2
5
3
Tính các giới hạn sau:
f) L
lim
n4
n2
g) L
lim
n2
n 1
Fb: ThayTrongDGL
3
n6
3
1 .
n3
n2 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
17
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 LỜI GIẢI
1 1 

n2  9 − + 2 
n
n n 
9n − n + 1

a) L = lim
= lim
= lim
2
4n − 2

n4 − 
n

2
Bài 1.
1
n
9
lim
1
n2
9 0 0
4 0
2
n
4
4n 2 − n + 1 − n
b) L = lim
9n 2 + 3n
1 1
+
n n2
2

n 4 − 
n

9−
3
.
4
4−
= lim
1 1
+
−1
4 − 0 + 0 −1 1
n n2
=
= .
3
9+0
3
9+
n
3 2
3 2
2+ 3 − 4
− 4
3
2n + 3n − 2
n n = 2+0−0 = 2 .
n n = lim
c) L = lim
= lim
2
1 3
1 3 
2−0+0
2
2n − n + 3

2− + 2
n2  2 − + 2 
n n
n n 

n2 2 +
4

1
3
1
3
n  2 + − 1+ 
2
+
−
1
+
n
n
2n + 1 − n + 3
n
n =

= lim
= lim
d) L = lim
4n − 5
5
5
n. 4 −
4−
n
n
2 −1
2 .
1 

 2 3
n 2  4 − 2  + 3 n3  8 + − 3 
n 
4n − 1 + 8n + 2n − 3

 n n 
= lim
e) L = lim
4
1
16n 2 + 4n − 4 n 4 +1


n 2 16 +  − 4 n 4 1 + 4 
n

 n 
3
2
3
2
1
2 3
1
2 3
+n3 8+ − 3
4− 2 + 3 8+ − 3
2
2+2 4
n
n n = lim
n
n n
=
= .
4
−
1
3
4
1
4
1
n 16 + − n 4 1 + 4
16 + − 4 1 + 4
n
n
n
n
n 4−
= lim
7 5 8 

7 5 8
n6 1 − 3 − 5 + 6 
n2 . 3 1 − 3 − 5 + 6
n
n
n
n − 7n − 5n + 8


n n n
= lim
f) L = lim
= lim
n+2
n+2
 2
n. 1 + 
 n
3
6
3
1−
= lim n.
Fb: ThayTrongDGL
3
3
7 5 8
7 5 8
3 1−
− 5+ 6
− +
3
n n n =+ (Vì lim n = + và lim
n3 n5 n6 = 1 ).
2
2
1+
1+
n
n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
18
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1+ 4 + 7 ++ ( 3n + 1 )
g) L = lim
2n 2 + n 4 + 2n + 1
= lim
( n + 1 )( 3n + 2 )
(
2 2n 2 + n 4 + 2n + 1
)
 3 5 2
n4  2 + 3 + 4 
3n + 5n + 2
n n n 
= lim
= lim
2 1 
2 2n 2 + 2 n 4 + 2n + 1

2 2n 2 + 2 n 4  1 + 3 + 4 
 n n 
2
3
n2
n2
lim
2 2n
Bài 2.
a) L = lim
(
2
5
n3
2n
2
2
n4
2
n3
1
(
lim
1
n4
2 2
5
n3
2
n4
2
1
3
n
n4
2 1
0
0.
3 2




1 1 
1 1

4n2 + n + 1 − 9n = lim  n 2  4 + + 2  − 9n  = lim  n 4 + + 2 − 9n 


n n 
n n





)



1 1
lim n.  4 + + 2 − 9 
n n


b) L = lim
3
n2
1

1
(Vì lim n = + và lim  4 + + 2 − 9  = −7  0 ).
n n


)

2 1
1
9n2 + 2n − 1 − 4n2 + 1 = lim n  9 + − 2 − 4 + 2
n n
n



 = +

2 1
1 
− 4 + 2  = 1  0 ).
2
n n
n 
(Vì lim n = + và lim  9 + −

c) L = lim
4+
10
e) L
4n + n − 4n + 2
1−
= lim
d) L
(
2
2
2
n
1
2
+ 4+ 2
n
n
lim
lim
lim
Fb: ThayTrongDGL
n2
)
n2
3n
+ n ) − ( 4n 2 + 2 )
4 n + n + 4n + 2
2
2
= lim
lim10
lim
1
n
1 1
n n2
n2
10
n
5
n−2
4n + n + 4n 2 + 2
2
n 1 n
1
n 1
n 1
2
1− 0
1
= .
4+0 + 4+0 4
=
n 1 n 10
n2
( 4n
= lim
lim
1
n
25
lim 25 lim
1 0
1 0 0
10
1
n2
3n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
5
1
10
1
2
21
.
2
n
19
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n2
25 lim
n2
3n
lim n2
2019
n
2019
2019
n4
n4
2
lim
1
3n
9n 2
1
n
Bài 3.
9n2
9n 2
lim
n2
2
a) L = lim
(
3
n2
2019
1
n
n2
1
1
n2
1
2
n
1
n4
2
n4
9n 2
3n 1
1
2019 .
2019 0
lim5
5.
0 5
lim5
9n 2
1
3n 1
0 0
1 0 0
1
lim
n
lim n2
1
3n
25
5
3n 1
lim
lim 3n
lim
lim5
3n
5
n
3 5
n n2
3
5
lim2019
n 3n 1
3 1
n n2
2019
3
1
1
n3 n 4
9n 2
n n2
3n 1
4
lim
lim n
25 lim
3n 1
lim 3n 5
h) L
3n
n
1
1
g) L
5
53
.
2
n4
lim
n2
5
3 0
1 0 0
25
f) L
3n
1
2
2
n
lim
n
2
)
2
1
n
1
lim
2
2
1
1
n2
1
1
.
2
2
n2
3
n + 4 − 3 n + 1 = lim
3
( n + 4)
2
+ 3 ( n + 4 ) . ( n +1) + 3 ( n +1)
2
3
= lim
2
2
 4
 4  1
 1
n . 1 +  + 3 n 2 . 1 +  . 1 +  − 3 n 2 . 1 + 
 n
 n  n
 n
3
= lim
= 0.
2 
  4 2
 4  1
 1
3 2
n  3 1 +  + 3 1 +  . 1 +  + 3 1 +  
 n  n
 n  
  n 
3
b) L
6
2
3
lim
3
lim
8n3
8n3
3n2
3n2
4
4
2n
2n
6
6
lim
6
lim
3
Fb: ThayTrongDGL
8
3
n
4
n3
8n3
4
n2
2
2. 3 8
3n 2
6
3
n
3n2
4
lim
3
3
8n3
3
4
n3
1
4
4
2
2n
6
3n 2
4
2n. 3 8n3
3n 2
4
4n 2
25
.
4
4
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
20
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
c) L = lim
(
3
lim
2
( 2n − n )
3
3
2
n n3
3
lim
3
n
n3
2n2
n3
2n
5
.
3
a) L
lim
n4
n2
lim
n4
n2
n2
n4
n2
n4
n2
n
b) L
lim
lim
2
lim
3
2
n n3
4
n
n. n
n
n 1
2
3
n
lim
n. 3 2n3 2n 2
n6
3
3
lim
n6
1 n2
n6
3
n 1
n 1
n
3
n6
n3
1
1
2
n 2 3 n6
1
2
n2
n 1
1
n
1 1
n n2
n2
Fb: ThayTrongDGL
n
1
n
2 0
2
1
n2
1
3
n 1
1
1
n2
n2
n2
1
n4
2.
1 1
3
lim
n3
2n 2
n
2
3
2
n
1
3
n6
lim
n2 3 n6
n3
n 3 n3
2
3
1
2
n
1
1 n2
1
n2
n4
n 1 n
1
1
1
n2
n
3
0
1
n3
1
.
2
n2
n2
3
n3
n2
3
n3
n2
2
n2
n
n2
n 3 n3
1
1
n n3
= −1 + 0 =−1 .
n6
lim
n3
n2
3
lim
n2
n6
n 1
n2
2
1
n 1 n2
n2
lim
2n2
n4
1
lim
2
2
2
3
n3
)
2
 2

3
 2 −1  − 3 2 −1 + 1
n
 n

2
3
2n − n 3 + n
3
1 lim
lim
n2
n
2 2
lim
n4
n2
lim
n2
n
(
2
n
2 lim
3
3
n2
lim
3
2n 2
2
3
lim
− n 2n − 2n + n
3 2
n
3
Bài 4.
= − 1 + lim
3
n
1 lim
1
)
2n − n3 + n − 1 = −1 + lim
3
n
lim
e) L
(
2n
= −1 + lim
d) L
)
2n − n3 + n − 1 = lim
3
n2
1
2
1 1
3
1
1
n
3
1
1
n
1
2
2
1
3
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
.
6
21
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) lim
2n2 − 3n + 1
2
. ĐS: .
2
5n + 3
5
2) lim
5n2 − n + 3
5
. ĐS: .
2
2n + 3n − 1
2
3) lim
n3 − n + 3
1
. ĐS: .
2
3
2n + 3n − 1
3
4) lim
8n3 − 2n2 + 1
. ĐS: 4 .
1 − 3n2 + 2n3
6n 3 − 2 n + 1
5) lim 3
. ĐS: 6 .
2n − n ( n2 + n − 1)
( 2n − 1) ( 3 − 4n3 )
7) lim
. ĐS:
3
2
( 4n + 2 ) ( 2 − n )
2
(n
9) lim
2
+ 2 ) ( n − 1)
1
− .
4
2
( n + 1)( 2n + 3)
3
1
. ĐS: .
8
( n + 2 ) ( 3 − n ) . ĐS:
11) lim
( 3n2 + 2 ) ( 5 − n )2
3
1
− .
3
1 
 1
13) lim  2
− 2
 . ĐS: 0 .
 n + 2n 2n + 3 
Bài 2.
( n + 2 ) ( 3 − n ) + 2n
6) lim
(3n + 2) (5 − n )
2
3
2
( 2n
8) lim
4
+ 1) ( n + 2 )
2
n17 + 1
1
. ĐS: − .
3
9
. ĐS: 4 .
4n 4 − n 2 + 1
10) lim
. ĐS: −2 .
( 2n + 1)( 3 − n ) ( n2 + 2 )
( n + 2) (3 − n )
1
12) lim
. ĐS: − .
3
2
2
27
( 3n + 2n + 1) ( 5 − n )
3
5
 n3
n2 
1
−
14) lim  2
 . ĐS: .
4
 2n − 1 2n + 1 
Tính các giới hạn sau
2n + 4n
1) lim n n . ĐS: 1 .
4 −3
3.2n − 5n
1
2) lim n
. ĐS: − .
n
5.4 + 6.5
6
3) lim
4n + 2.3n
. ĐS: + .
5 + 3n
4) lim
1 + 2.3n
. ĐS: 2 .
5 + 3n
5) lim
4.3n + 5n +1
. ĐS: 5 .
3.2n + 5n
6) lim
1
4n+ 2 + 6n+1
. ĐS:
.
n −1
n +3
72
5 + 2.6
8) lim
2n − 3n + 4.5n+ 2
. ĐS: 20 .
2n+1 + 3n+ 2 + 5n+1
7)
( −3)
lim
− 4.5n +1
−20
. ĐS:
.
n
n
2.4 + 3.5
3
n
2n − 3n + 5n+ 2
9) lim n+1 n+ 2 n+1 . ĐS: 5 .
2 +3 +5
11) lim
9n + 1
. ĐS: 1 .
3n − 1
Fb: ThayTrongDGL
10) lim
12) lim
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
2n + ( −5)
n
2.3n + 3. ( −5)
n
. ĐS:
1
.
3
n + n2 + 1
. ĐS: 0 .
n.3n
22
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
13)
( −1)
lim
n
.25 n +1
( −5) + 4n . ĐS: 0 .
14) lim
n +1
( −7 ) + 4n+1
n
. ĐS: 0 .
35 n + 2
−1
4n + 2.22 n +1
15) lim 2( n +1) n . ĐS:
.
4
5.2
+3
−1
3 − 2n + 5n
16) lim n
. ĐS:
.
n
2
3 − 2.5
2n + 3n − 4n
1
17) lim n n+1 n+1 . ĐS: .
2 +3 +4
4
4 + 2.3n−1 − 4n−2
1
18) lim n n +1 n +1 .ĐS: − .
2 +3 +4
64
( −3) − 5n . ĐS:
19) lim
n−2
( −3) + 5n+1 + 2
20) lim
3n.2n−1 + 3n+ 2
1
. ĐS:
.
n+2
n +1
3 +6
12
2) lim
2n 1
n
4n 5
n
Bài 3.
Tính các giới hạn sau:
4n 2
1) lim
n 1 n
9n 2
16n 2
3n2
5) lim
. ĐS:
1
.
3
2n 2
3
3n
4n 2 1
3) lim
Bài 4.
−1
.
5
n
3
8n3
4
4n
n4
. ĐS:
1
n . ĐS:
5
4
.
3
.
n2
4) lim
4
3
6) lim
3
n
8n3
16n 4
n2
3
n3
2 1
.
2
. ĐS:
3n
. ĐS: 1 .
1
n 2
n . ĐS:
.
Tính các giới hạn sau:
)
1) lim
(
n2 + n + 1 − n . ĐS:
3) lim
(
n2 + 3n + 5 − n . ĐS:
1
.
2
)
3
.
2
5) lim n ( n + 1 − n ) . ĐS: + .

(
4n2 + n − 4n2 + 2 . ĐS:
4) lim
(
4n2 + 3n − 2n . ĐS:
)

6) lim  n

)
8) lim
7) lim
(
n2 + 2n − n + 3 . ĐS: 4 .
9) lim
(
9n2 + 3n − 4 − 3n + 2 . ĐS:
)
11) lim
(
3
n + 2 − 3 n . ĐS: 0 .
13) lim
(
3
n − n3 + n + 2 . ĐS: 2 .
15) lim
(
3
n3 − 2n2 − n − 1 . ĐS:
5
.
2
)
)
Fb: ThayTrongDGL
)
2) lim
)
−5
.
3
(
1
.
4
3
.
4
)
−1
n2 + 1 − n2 + 2  . ĐS:
.

2
)
(
4n2 + 3n + 1 − 2n + 1 . ĐS:
7
.
4
)
(
10) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1 . ĐS: 1 .
)
12) lim
(
3
n3 + 3n2 − n . ĐS: 1 .
14) lim
(
3
2n − n3 + n − 1 . ĐS: −1 .
16) lim
(
3
8n3 + 4n2 + 2 − 2n + 3 . ĐS:
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
)
)
10
.
3
23
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 5.
Tính các giới hạn sau:
1) lim
2
1 4
2) lim
3) lim
4) lim
5 8
4n 2
1
7
2n 2
2
3n 1
3n 1
n4
4
3.2n
Fb: ThayTrongDGL
ĐS: 0 .
.
ĐS:
.
1
1 2
1
2 1
3
.
8
2n 1
2n
1
ĐS:
.
2 3
1
3 2
n n 1
n 1
n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
.
2
.
3
ĐS: 1.
24
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).
Giả sử ( a ; b ) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp
( a ; b ) \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu
với mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp ( a ; b ) \  x0  mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0 .
x→ x
0
Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; + ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực
L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số
( xn )
trong khoảng
( a ; + )
mà lim xn = + ta đều có
lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → + .
x →+
GIỚI HẠN HỮA HẠN
Giới hạn đặc biệt
Giới hạn đặc biệt
1) lim x = x0 .
k
1) lim x = + .
x → x0
2) lim c = c
x → x0
GIỚI HẠN VÔ CỰC
x →+
(c  ) .
3) lim−
x →0
1
= − .
x
c
=0.
x → x k
1
4) lim+ = + .
x →0 x
2) lim

+ khi k 2 ( k  0 )
5) lim x k = 
x →−

− khi k  2
Định lí
Định lí 1
Nếu lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M thì
Nếu lim f ( x ) = L  0 và lim f ( x ) =  thì
1) lim  f ( x )  g ( x )  = L  M .
x → x0
+ khi L. lim g ( x )  0
x → x0

lim  f ( x ) .g ( x )  = 
.
x → x0
g ( x)  0
− khi L. xlim
→ x0
x → x0
x → x0
2) lim  f ( x ) .g ( x )  = L.M .
x → x0
3) lim
x → x0
x → x0
Nếu f ( x )  0 và lim f ( x ) = L thì
x → x0
lim f ( x ) = L và lim
x → x0
x→ x0
Nếu lim g ( x ) = 0 thì
f ( x) L
=
với M  0 .
g ( x) M
x → x0
x → x0
lim
x → x0
f ( x) 
+ khi L.g ( x )  0
.
=
g ( x) 
− khi L.g ( x )  0
f ( x) = L .
Giới hạn một bên
lim f ( x ) = L  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L .
x → x0
x → x0
Fb: ThayTrongDGL
x → x0
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
25
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng
0
, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.
0
Phương pháp giải:
Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng
chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.
 VÍ DỤ
2 x 2 + 3x − 14
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim
.
x →2
x2 − 4
Đs: A =
11
.
4
Lời giải
7
2(x − 2)(x + )
2 x + 3x − 14
2 = lim 2 x + 7 = 11
= lim
Ta có A = lim
2
x →2
x
→
2
x −4
(x − 2)(x + 2) x→2 x + 2
4
2
! Cần nhớ: f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 . Học sinh thường quên nhân thêm a .
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim 3
.
x →2 4 x − 13x 2 + 4 x − 3
Đs: A =
11
.
17
Đs: A =
49
.
24
Lời giải
( x − 3) ( 2 x2 + x + 1)
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
2 x 2 + x + 1 11
=
lim
=
lim
=
x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
x →3 x − 3 4 x 2 − x + 1
( )(
) x→3 4 x2 − x + 1 17
A = lim
Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau:
3
2
Phân tích 2 x − 5 x − 2 x − 3 thành tích số:
 2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3) ( 2 x 2 + x + 1)
3
2
Phân tích 4 x − 13x + 4 x − 3 thành tích số:
 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3 = ( x − 3) ( 4 x 2 − x + 1) .
x100 − 2 x + 1
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim 50
.
x →1 x − 2 x + 1
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
26
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x ( x99 − 1) − ( x − 1)
x100 − 2 x + 1
( x100 − x) − ( x − 1)
Ta có A = lim 50
= lim 50
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 ( x − x) − ( x − 1)
x →1 x x 49 − 1 − x − 1
(
) ( )
= lim
x →1
x ( x − 1) ( x98 + x97 + x96 + .... + x + 1) − ( x − 1)
x ( x − 1) ( x 48 + x 47 + x 46 + .... + x + 1) − ( x − 1)
( x − 1) ( x99 + x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)
= lim
x →1 x − 1 x 49 + x 48 + x 47 + .... + x 2 + x − 1
( )(
)
(x
= lim
(x
x →1
+ x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)
99
+ x + x + .... + x + x − 1)
49
48
47
2
=
98 49
=
48 24
n
n −1
n−2
2
!Cần nhớ: Hằng đẳng thức x − 1 = ( x − 1) ( x + x + .... + x + x + 1) .
Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, x, x 2 , x3 ,...., x n−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x.
Khi đó
Sn = 1 + x + x 2 + ... + x n−1 = u1
qn −1
xn −1
= 1.
 x n − 1 = ( x − 1) (1 + x + x 2 + ... + x n−1 ) .
q −1
x −1
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
1
x 2 − 3x + 2
. ĐS: A = .
2
4
x −4
2) A = lim
2
x2 −1
. ĐS: A = .
2
5
x + 3x − 4
3) A = lim
1
x 2 − 7 x + 12
A
=
−
.
ĐS:
.
6
x2 − 9
4) A = lim
1
x 2 − 9 x + 20
A
=
.
ĐS:
.
5
x2 − 5x
3x 2 − 10 x + 3
. ĐS: A = 8 .
x →3 x 2 − 5 x + 6
6) A = lim
4
x2 + 2 x − 3
. ĐS: A = .
2
3
2x − x −1
x 4 − 16
. ĐS: A = −16 .
x →−2 x 2 + 6 x + 8
8) A = lim
4
x −2 x −3
.ĐS: A = − .
3
x −5 x + 4
x →2
x →3
5) A = lim
7) A = lim
9) A = lim
x →2
Bài 2.
x3 − 8
. ĐS: A = 12 .
x 2 − 3x + 2
x →1
x →5
x →1
x →1
12
x3 + 8
. ĐS: A = .
2
x →−2 x + 11x + 18
7
10) A = lim
Tính các giới hạn sau:
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
1) A = lim
. ĐS: A = −1 .
x →1
x2 − 1
1
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
. ĐS: A = .
3
2
x →−1
2
x + x − x −1
3) A = lim
Fb: ThayTrongDGL
1
x3 − 3x + 2
2) A = lim 4
. ĐS: A = .
x →1 x − 4 x + 3
2
4) A = lim
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
x →1
3
x 4 − x3 − x + 1
. ĐS: A = − .
3
2
2
x − 5x + 7 x − 3
27
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
5) A = lim
.
x →− 3
3 − x2
6) A = lim
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
. ĐS: A = 0 .
x4 − 8x2 − 9
7) A = lim
3
1 − x3
. ĐS: A = .
4
2
4
x − 4x + 3
x →3
x →1
ĐS: A =
1
12 
 1
− 3
8) A = lim 
 . ĐS: A = 2 .
x →2 x − 2
x −8 

1
1


+ 2
9) A = lim  2
.
x →2 x − 3x − 2
x − 5x − 6 

1
1 

− 3  .
10) A = lim  2
x →1 x + x − 2
x −1 

Bài 3.
18 + 19 3
.
6
ĐS: A = −2 .
ĐS: A =
1
.
9
Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x →1
3) A = lim
8
x 20 − 2 x + 1
. ĐS: A = .
30
14
x − 2x +1
x n − nx + n − 1
( x − 1)
x →1
4) A = lim
2
(Với n là số nguyên).
x n +1 − ( n + 1) x + n
x →1
( x − 1)
2
.
2) A = lim
x →1
x50 − 1
. ĐS: A = −50 .
x 2 − 3x + 2
ĐS: A =
n2 − n
.
2
ĐS: A =
n ( n + 1)
.
2
n ( n + 1)
x + x 2 + x3 + ... + x n − n
m
,
n
A
=
5) A = lim
(
là
số
nguyên)
.
ĐS:
.
x →1 x + x 2 + x3 + ... + x m − m
m ( m + 1)
n 
 m
−
6) A = lim 
 .
x →1 1 − x m
1 − xn 

ĐS: A =
m−n
.
2
 LỜI GIẢI
Bài 1.
1) Ta có A = lim
( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 1 = 1
x 2 − 3x + 2
= lim
.
2
x →2 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2 x + 2
x −4
4
2) Ta có A = lim
( x − 1)( x + 1) = lim x + 1 = 2
x2 − 1
= lim
.
2
x + 3x − 4 x→1 ( x − 1)( x + 4 ) x→1 x + 4 5
3) Ta có A = lim
( x − 3)( x − 4 ) = lim x − 4 = − 1
x 2 − 7 x + 12
= lim
.
2
x →3 ( x − 3)( x + 3)
x →3 x + 3
x −9
6
4) Ta có A = lim
( x − 4 )( x − 5) = lim x − 4 = 1
x 2 − 9 x + 20
= lim
.
2
x →5
x →5
x − 5x
x ( x − 5)
x
5
x →2
x →1
x →3
x →5
( 3x − 1)( x − 3) = lim 3x − 1 = 8
3x 2 − 10 x + 3
= lim
.
2
x →3 x − 5 x + 6
x →3 ( x − 2 )( x − 3)
x →3 x − 2
5) Ta có A = lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
28
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
6) Ta có A = lim
x →1
( x − 1)( x + 3) = lim x + 3 = 4
x2 + 2x − 3
= lim
.
2
2 x − x − 1 x→1 ( x − 1)( 2 x + 1) x→1 2 x + 1 3
( x − 2)( x + 2) ( x 2 + 4 )
( x − 2) ( x2 + 4)
x 4 − 16
7) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= −16 .
x →−2 x + 6 x + 8
x →−2
x →−2
( x + 2 )( x + 4 )
( x + 4)
8) Ta có A = lim
x →1
x −2 x −3
= lim
x − 5 x + 4 x→1
(
(
)(
x − 1)(
x −1
) = lim (
x − 4)
(
x +3
x →1
) =−4 .
3
x − 4)
x +3
x2 + 2x + 4)
( x − 2) ( x2 + 2 x + 4)
(
x3 − 8
9) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= 12 .
x →2 x − 3 x + 2
x →2
x →2
( x − 2 )( x − 1)
( x − 1)
3
3
2
2
3
3
2
2
! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) và a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) .
x 2 − 2 x + 4 ) 12
( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
(
x3 + 8
10) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= .
x →−2 x + 11x + 18
x →−2
x →−2
7
( x + 2 )( x + 9 )
( x + 9)
Bài 2.
( x − 1) ( 2 x2 − 3x − 1)
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
2 x 2 − 3x − 1
1) A = lim
=
lim
=
lim
= −1 .
x →1
x →1
x →1
x2 − 1
x +1
( x − 1)( x + 1)
( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 1
x3 − 3x + 2
= lim
2) A = lim 4
.
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1
( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) x→1 x 2 + 2 x + 3 2
2
( x + 1) ( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 1 .
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
3) A = lim
= lim
2
3
2
x →−1
x →−1
x + x − x −1
( x + 1) ( x − 1) x→−1 x − 1 2
2
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x 4 − x3 − x + 1
x2 + x + 1
3
=
lim
=
lim
=− .
4) A = lim
2
3
2
x →1 x − 5 x + 7 x − 3
x →1
x →1
x −3
2
( x − 1) ( x − 3)
2
)(
(
(
)
)
 x + 3 2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3 
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3

= lim  −
5) Ta có A = lim
2


x →− 3
x
→−
3
3− x
x+ 3
3−x



(
(
)(
)
)
 2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3 
 = 18 + 19 3 .
= lim  −
x →− 3 

6
3−x


( x − 1)( x − 3)
( x − 1)( x − 3) = 0 .
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
=
lim
=
lim
6) Ta có A = lim
x →3
x →3 x − 3
x4 − 8x2 − 9
( )( x + 3) ( x2 + 1) x→3 ( x + 3) ( x2 + 1)
2
− x 2 − x − 1)
( x − 1) ( − x2 − x − 1)
(
1 − x3
3
= lim
=
lim
=
7) Ta có A = lim 4
.
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1 x − 1 x 3 + x 2 − 3x − 3
( )(
) x→1 ( x3 + x2 − 3x − 3) 4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
29
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
12 
x3 − 12 x + 16
 1
− 3
=
lim
8) Ta có A = lim 

x →2 x − 2
x − 8  x →2 ( x − 2 ) ( x 3 − 8 )

( x + 4 )( x − 2 ) = lim x + 4 = 1
= lim
.
2
x →2
( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x →2 x 2 + 2 x + 4 2
2
1
1
x 2 − 5 x − 6 + x 2 − 3x − 2


+ 2
9) Ta có A = lim  2
 = lim
x →2 x − 3x − 2
x − 5 x − 6  x→2 ( x 2 − 3x − 2 )( x 2 − 5 x − 6 )

= lim
x →2
2 ( x − 2)
2
( x − 2) ( x − 3)( x − 1)
2
= lim
x →2
2
( x − 3)( x − 1)
= −2 .
1
1 
x3 − 1 − x 2 − x + 2
x3 − x 2 − x + 1

10) Ta có A = lim  2
− 3  = lim 2
=
lim
x →1 x + x − 2
x − 1  x→1 ( x + x − 2 )( x3 − 1) x→1 ( x 2 + x − 2 )( x3 − 1)

( x − 1) ( x + 1)
x +1
1
= lim
= lim
= .
2
2
2
x →1
( x − 1) ( x + 2 ) ( x + x + 1) x→1 ( x + 2 ) ( x + x + 1) 9
2
Bài 3.
x ( x19 − 1) − ( x − 1)
x 20 − x − ( x − 1)
x 20 − 2 x + 1
1) Ta có A = lim 30
= lim 30
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 x − x − ( x − 1)
x →1 x x 29 − 1 − x − 1
(
) ( )
x ( x − 1) ( x18 + x17 + ... + x + 1) − ( x − 1)
( x − 1) ( x19 + x18 + ... + x − 1)
= lim
= lim
x →1 x x − 1 x 28 + x 27 + ... + x + 1 − x − 1
( )(
) ( ) x→1 ( x − 1) ( x29 + x28 + ... + x − 1)
(x
= lim
(x
19
x →1
29
+ x18 + ... + x − 1)
+ x + ... + x − 1)
28
2) Ta có A = lim
x →1
3) Ta có A = lim
=
18 9
.
=
28 24
( x − 1) ( x49 + x48 + ... + x + 1)
x50 − 1
x 49 + x 48 + ... + x + 1
=
lim
=
lim
= −50
x →1
x 2 − 3x + 2 x→1
x−2
( x − 1)( x − 2 )
x n − nx + n − 1
n
− 1) − n ( x − 1)
( x − 1)
( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
= lim
2
x →1
( x − 1)
x →1
( x − 1)
(x
= lim
2
x →1
2
( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n )
x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n
= lim
=
lim
2
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
= lim
x →1
= lim
x n−1 − 1 + x n−2 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
x −1
( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−3 + x n−4 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
x →1
x −1
n2 − n
n−2
n −3
n −3
n−4


= lim ( x + x + ... + x + 1) + ( x + x + ... + x + 1) + ... + 1 = ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
x →1
2
.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
30
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
4) Ta có A = lim
x n+1 − ( n + 1) x + n
n +1
− x ) − n ( x − 1)
= lim
x ( x n − 1) − n ( x − 1)
x →1
( x − 1)
( x − 1)
x ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
( x − 1) ( xn + xn−1 + ... + x− n )
= lim
= lim
2
2
x →1
x →1
( x − 1)
( x − 1)
x →1
( x − 1)
(x
= lim
2
2
x →1
2
x n + x n−1 + ... + x 2 + x − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
= lim
= lim
x →1
x →1
x −1
x −1
n −1
n−2
n−2
( x − 1) ( x + x + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
= lim
x →1
x −1
n −1
n−2
n−2
n −3
= lim ( x + x + ... + x + 1) + ( x + x + ... + x + 1) + ... + 1
x →1
n ( n + 1)
.
= n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
2
x + x 2 + x3 + ... + x n − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
=
lim
x →1 x + x 2 + x3 + ... + x m − m
x →1 x m − 1 + x m −1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
( x − 1) ( xn−1 + xn−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
5) Ta có A = lim
= lim
x →1
( x − 1) ( xm−1 + xm−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( xm−2 + xm−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
(x
= lim
(x
x →1
n −1
m −1
+ x n−2 + ... + x + 1) + ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + 1
+ x m−2 + ... + x + 1) + ( x m−2 + x m−3 + ... + x + 1) + ... + 1
n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1
n ( n + 1)
=
.
x →1 m + ( m − 1) + ( m − 2 ) + ... + 1
m ( m + 1)
= lim
n 
 m
1   n
1 
 m
−
= lim 
−
−
−
6) Ta có A = lim 



m
n
m
n
x →1 1 − x
1 − x  x →1  1 − x
1 − x   1 − x 1 − x  

1 
1 
 m
 n
= lim 
−
− lim 
−


m
n
x →1 1 − x
1 − x  x→1  1 − x 1 − x 

m − (1 + x + x 2 + ... + x m −1 )
(1 − x ) + (1 − x 2 ) + ... + (1 − x m−1 )
1 
 m
−
= lim
Và lim

 = lim
x →1 1 − x m
x →1
1 − x  x →1
1 − xm
1− xm

(1 − x ) 1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m−2 )
= lim
x →1
(1 − x ) (1 + x + x 2 + ... + x m−1 )
1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m− 2 ) 1 + 2 + 3 + ... + m − 1
= lim
x →1
1 + x + x + ... + x
2
m −1
=
m
=
m −1
2
1  n −1
 n
−
Tương tự ta có lim

=
x →1 1 − x n
1− x 
2

n  m −1 n −1 m − n
 m
−
−
=
Vậy lim 
.
=
m
x →1 1 − x
1 − xn 
2
2
2

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
31
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng
0
, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.
0
Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.
 VÍ DỤ
3− x +3
.
x →6
x−6
1
Đs: B = − .
6
Ví dụ 1. Tính giới hạn B = lim
Lời giải
(
)(
3− x +3 3+ x +3
3− x +3
= lim
x →6
x →6
x−6
( x − 6) 3 + x + 3
Ta có: B = lim
= lim
x →6
9 − ( x + 3)
( x − 6) (3 +
x+3
Ví dụ 2. Tính giới hạn E = lim
x →2
)
= lim
x →6
(
)
6− x
( x − 6) (3 +
x+3
)
)
−1
−1
1
=
=−
x →6 3 +
6
x +3 3+ 6+3
= lim
3x + 2 − 5 x − 6
.
x−2
3
Đs: E = −1 .
Lời giải
3
Ta có E
3x
2
2
lim
x
2
5x 6
3
lim
x 2
2
x
2
3x 2 2
x 2
lim
x
2
2
A
3
A
lim
x
2
3x 2 2
x 2
B
2
3
x 2
lim
x
2
2
3x
2
2
2
2
5x 6
x 2
x 2
3
3x
2
lim
x
2
x
2 2
Suy ra E
A
5x 6
B
1
4
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = xlim
→−1
5
4
3
B
8
2
2. 3 3x
2
4
3
lim
2. 3 3x
5
lim
x
x
2
3 x 2
lim
x
3x
lim
4
2
x
4
5x 6
x 2 2
2 3
3x
x
2
2
2
5 2
lim
5x 6
5x 6
x 2
x 2 2
2. 3 3x
2
4
1
4
x
5x 6
5
4
1.
5x − 3 + 2
.
x +1
Đs: L =
5
.
12
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
32
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3
Ta có: L
lim
x
1
5x 3 2
x 1
x
1
3
x 1
5 x 1
lim
x
5x 3
lim
1
3
x 1
2
5x 3
Ví dụ 4. Tính giới hạn E = lim
x →2
5x 3
8
2
2. 3 5 x 3
5
lim
2. 3 5 x 3
x
4
4
1 3
2
5x 3
2. 3 5 x 3
4
5
.
12
3x + 2 − 3x − 2
.
x−2
3
Đs: E =
−1
.
2
Đs: F =
7
.
3
Lời giải
3
Ta có E
3x
x
x
3
2
3x
2
x
3
2
3x
2 3
3x
2
2
3
2
x
3x 2 2
x 2
2
3x
lim
2. 3 3x
2
x
4
2
2
2
2
8
2
2
2
lim
2
x
2
2. 3 3x
2
lim
2. 3 3x
2
x
4
x
4
2
2
3
3x 2
lim
x
2
2
4
3x
2
2
2
2
x
2
3x
1
4
2
3
4
1
.
2
1 + 2x.3 1 + 4x −1
.
x
Ví dụ 5. Tính giới hạn F = lim
x →0
3x 2 2
x 2
3 x 2
lim
3
lim
x
2
3 x
lim
x
3x
x
3x
2
2
2
lim
x
2
lim
Lời giải
1 2x. 3 1 4 x 1
1 2x.3 1 4 x 1
lim
x 0
x
F
lim
x
x
0
x
3
1 4x
0
0 3
2
3
1 4x
2
3
1 4x
x
1
lim
1 4x
1 2x 1
lim
4. 1 2 x
lim
x
x
1 2x. 1 4x 1
lim
x
1 2x 1
x
lim
x
0
x
0
1 2x. 3 1 4x 1
lim
1
1 2x 1
x
0
0
x
1 2x 1
2
1 2x 1
4
3
1
7
.
3
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
33
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 2.
lim
3) B
2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6
5) B
lim
7) B
lim
9) B
lim
x
x
x
2
3x 2
. Đs: B
x 4
x
2x
2
2
2x
1
2 2
. Đs: B
x 10
8
4
lim
x
1
x x2
x 1
2
4) B
lim
3
16
6) B
lim
x 3
. Đs: B
9 x x2
lim
7 2x x
x2 1
8) B
. Đs: B
x
x
2
9
x
. Đs: B
x 2 2
. Đs: B
x2 4
1
4
1
36
2x2 x
3x 2
5
x2
2) B
. Đs: B
2
2
x
x
6
1
2
1
4
1
16
1
54
. Đs: B
1
3
5
2
Tính các giới hạn sau:
1) B
lim
3x 1
x 3
. Đs: B
x 8 3
3
2) B
lim
x 3 2
4x 5
3x
3) B
lim
x 2
x 1
1
4
4) B
lim
x 1
2x 3
6) B
lim
5) B
7) B
Bài 3.
x 8
. Đs: B
8 3
x 1
1) B
x 1
x
2
x2
lim
x
x
x 2
1 x
. Đs: B
4
x
x
1
lim
2x
. Đs: B
3 x
2 x2
1
2x
x2
1
x
2
5
. Đs: B
3
x 1
x
3
4
0
x 1
6
. Đs: B
3x 5
. Đs: B
x 6
4x 3 1
. Đs: B
x 1
3
2
3
1
2 5
3
Tính các giới hạn sau:
1) L
lim
2) L
lim
3) L
lim
4) L
lim
5) L
lim
x
x
9
x 16
2
5x
x 1
4
5
2 x
6
2x
x 3
2
8
x
x
3
2x x 1 x2
2
x 2
6
Fb: ThayTrongDGL
5x 4
8
2x 3
x 6
Đs: B
7
24
.
Đs: B
4
3
.
Đs: L
5
6
.
2x
x 1
x
7
x
0
.
x 84
.
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Đs: L
8
Đs: L
74
3
34
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
6) L
lim
7) L
lim
8) L
lim
9) L
lim
x
x
1 4x 1 6x 1
.
x
Đs: L
4x 3
2 x 1 3x 1
.
2x 1
Đs: L
5
2
4 x 3 2 2x 1
.
x2 2 x 1
Đs: L
17
16
Đs: L
5
12
x
0
2
3x 7
x 1
x
10) L
Bài 4.
0
4x
4
9 6x
x
0
6x
lim
2x2
3
x 1
5
2
5x
2
x 1
.
11
6
Đs: L
.
Tính các giới hạn sau:
3
1) L
x
Đs: L
1
3
2) L
lim
Đs: L
1
2
4) L
lim
Đs: L
5
12
6) L
lim
3
2
8) L
lim
.
Đs: L
1
4
.
Đs: L
11
12
4x 2
.
x 2
lim
2
3
3) L
x2 1 2
lim
.
x 3
x 3
5) L
lim
7) L
lim
3
x
x
1
3
9) L
x
2x
8
3
lim
lim
x
x3
12) L
lim
x
2 x2
2
x
0
5
.
x 1
. Đs: L
2
7
x2
x 1
3
3
8
x
x
3
lim
9
2 1 x
0
11) L
2
10 2 x3
x 2 3x
x 1
10) L
Bài 5.
5
4
4 x 11
x2 4
x . 3 8 3x
x2 x
x
4
.
7
.
x
3
1
0
3
x
3
x 1 3
3
Đs: L
2
7
2
x 1
x 1
x
1 x
.
x
.
x 1
.
x 2 1
Đs: L
1
3
Đs: L
1
6
Đs: L 1
8 x 11
x 7
. Đs: L
2
x 3x 2
7
54
5
72
Đs: L 1
Tính các giới hạn sau:
n
1) F
lim
x
0
Fb: ThayTrongDGL
1 ax 1
.
x
Đs:
a
n
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
35
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n
2) F
lim
3) F
lim m
4) F
lim
x
0
n
x
1 bx
.
Đs:
a
n
0).
Đs:
am
bn
x
0
n
x
m
1 ax
0
1 ax 1
(ab
1 bx 1
1 ax m 1 bx
.
1 x 1
b
m
a
n
Đs: 2
b
m
 LỜI GIẢI
Bài 1.
1) B
x
x 8 3
lim
x
2) B
x
4
x
1
3) B
4) B
2 x 3
2x
x
x 2 x
lim
x
2
2
2
Fb: ThayTrongDGL
1
3
x 1
x
x
3
3x
2
2x
2
x2
2
2
4
2
2
3x
2
x
2x2
2x2
x 1
x2
2
x
2
2
2
2
3x
2
x
2 2
4 2
x
2
x
x
2
1
.
4
2
1
.
16
2
3x 2
3x
x
2
3
x
4
2
2
lim
x2
1
x
1
x
x
2
1
.
4
x
x
lim
x
3x
lim
3x 2
2
3x
2
x
x
lim
x2
x2
x
x
lim
x
x
x
x
2
2
2 2
4
2x 6
x
x
4
4
lim
lim
2
3 2
x 2 x
9
8
x x 1
2x2
x
2
x 1
x
2
3x
2
x2
x
lim
2
3x 2
x 4
lim
x 1
6.
lim
x
x 2 2
x2 4
x
x 1
1
x x 3
2
x
x 1
lim
4
x
x
5) B
3
8
x
2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6
lim
2
x 1 3
4
2
x2
lim
x
x
x
4
lim
3
3
lim
x2
x
x 1
x 8 3
lim
8
x x2
x 1
1
lim
x
x
4
lim
x 1
lim
x 1
8
8
x
x 8 3
x 8
8 3
x 1
lim
2 2
3x 2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
2
4
x2
3x
4 2
2
3x
2
3
.
16
36
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
6) B
x
7) B
x
lim
x
2x
2
x
1
9) B
9x
x
x
1
1
2 x2
x2
3x
1
2 2x
1) B
lim
2) B
lim
4x
x 1
lim
x
4) B
x
2
1
2
lim
x
3
2
lim
x
lim
x
x
1
Fb: ThayTrongDGL
2
x 1
x2
x
2x
x
x
2
5
5
x
3
x
1
2
2
x2
2
x
1
1
.
36
2
2x
3
7 2x
2
x
1
.
3
x
2 x2
x
5
2 x2
2 2x
x
8
x
8
x 1 2 x 17
1
x 1 x
2 2x
2x2
5
x
8
5
.
2
8
x
8
3
2
lim
x 1
3x 1
x
4x
5
x 1
3
3x
x
8
3
3x 1
x
x 1
3 x
3
3
6
lim
6
3x 5
x 6
x
1
.
54
1
lim
7 2x
3x
8
x 1
x 1
2x 3
9
2
lim
x 1
2x
3 x
x2
x
2
2x
1
x
3 x
2 x 1
x 2
x 1
x 1
3
1
1
lim
3
lim
6
3
x
2
x 2
7 2x
x
lim
2 x2
5
3x
x 3 2
2x
x
2
lim
x
2 x2
x 3 2
4x 5
3x
x 1
3) B
1
8
3x 1
x 3
x 8 3
x 1
lim
7 2x
2
5
5
x 9
x
19 x 17
2 2x
9
lim
5
2 x 17
x
x
3
x 2 2x
x
2x2 x
3x 2
5
x2
lim
x
x
lim
2x
x 9
lim
2
x 2
2
7 2x
x
x
3
lim
x 1 x 1
lim
lim
5) B
9
x
x 1 3 x
lim
x
x
2 2
x 10
2
3
lim
7 2x x 2
lim
x
1
x2 1
8) B
Bài 2.
x
x 3
9 9x
x2
lim
x 1
x 1
x
3
2
3
.
2
x
2
x
x 1
3 x
lim
x
2
2 x 2
lim
x
2 3 x
x 3
3
x
2
2x
lim
x
2x
3
x
x 1
2
2
x
2
2x
1
.
4
6
3x 5
6
3x 5
x 2
1 x
4
x
x
3.
lim
x
1
x2
x x 1 x2
x
x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
2
2
1 x
x2
x
2
1 x
37
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
lim
x
2
x 1
1
x x 1 x2
x
x2
2
x 1
lim
x
2
x
1 x
1
x x2
x
x2
2
x
2
1 x
0.
4
6) B
lim
x 1
4x 3 1
x 1
x 1 4
lim
x
Bài 3.
1) L
x
2x
x2
1
x
1
2 x2
x
lim
1
x
3
2x
5
lim
x
x
x 9
7
4
2
2 x 1
2x
2
x 1
5x 4 5
x 1
5 x 1
2
5x
x 1
lim
x
3
2 x
2
x 6
4
3
Fb: ThayTrongDGL
x
x
4
x2
2x2
2
2
2x 2
2
9
3
2
4
4x 3 1
1
1
x
3
2x
5
x
1
x 9
0
3
2x
2
4
3
5
2x
2
2
2 x
6
6
lim
5x
2x
4
2
3
4
.
3
2
x 3
3
2
3
5x
2
lim
lim
4
7
.
24
x
x 1
x
4
1
x 16
2
lim
x
9
x
0
x 1
6
3
4x 3
lim
x
2x 2 8
x 3
x 3
x 6 9
2x 2 4
2
x 6 3
2x 2 2
lim
x 3
x 3
lim
2x
x2
lim
x
2x
2
x
x
x 16
3
4
2 5
.
3
x
x 1
3) L
3
4x 3 1
2x2
5
x 16
0
lim
lim
4x 3
1.
4
3
x
9
0
2) L
4
x 1
2
4x 3
1
2
lim
4
2 x2
x2
2
2
3
4x 3
7) B
x
x 1
4
lim
lim
4 x 1
lim
x 3
x 3
2
x 6 3
2x 2 2
x 3
5
.
6
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
38
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2x x 1 x2
lim
x 2
x 2
4) L
4 x 4 x2
x
lim 2 x 1 x
x
2
lim
x
5) L
x
x
2
4
x
x
0
x
0
7) L
x
24 x
x
x 1
2x 1
1
2x 1
lim
x 1
8) L
2
3x 7
lim
x 1
16 x
48
x
7
x 1
x
x
7
Fb: ThayTrongDGL
4
2 x 6
16 x 96
16 x 6
2x 3 3
x 6
x
x 1
2x
2x
2x 1
x 1
2
x 1
2x 1
4x 3
24 x 2
lim
x
0
10 x 1 1
24 x 2
x
10 x 1 1
5.
10 x 1 1
lim
4x 3
x
2
2x 1
x 1
2
2
2x 1
5
.
2
4 2x 1
3
10 x 1 1
x
24 x 2
4 x
3
x 7
2 2x 1 2x
lim
x 1
x 1
4 x2
x 1
2 2x 1
x
7
2
2
4 x
4 x 1
3
lim
2
x 1
4
3
2
2x 3 3 5x
24 x 10
0
4x 3
x 1
1
4 x
4
6
0
lim
lim
lim
x
x 2 14 x 49
x 1
2
x 6
24 x 2
lim
4 x 3 2 2x 1
x2 2 x 1
4 x
2 x
74
.
3
4
4x 3 2x 1
x
2 x
x
x
6
x
2x 1 x2
x 1
2 x 1
5x 4
2 x 1 3x 1
2x 1
2
2
2
lim
10 x 1 1
4x 3
lim
lim
x 1
2
x
5x
16 x 6
x 24 x 10
lim
2
lim
x
1 4x 1 6x 1
x
lim
4
8.
x 84
3
10 x 8
16
2x 3 3
6
6) L
2
2 x2
2
x 6
6
lim
x
x
x
2x 3
lim
2
lim
2x 3
x 6
6
5x
2 x
2 x
x
5x 4
x
2
2
2
2 x 1
lim
x
x
lim
x
2 x
x2
2x x 1
8
2 2x 1
x 1
2x
2
2 2x 1
2
17
.
16
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
39
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
9) L
x
x
10) L
1
4x
2
x 1
2 x 1
lim
x
2) L
2
lim
x
3
0
lim
x
4x 2
x 2
1
3
3) L
3
3
1 x
x
x
x2 1
3
3
4) L
lim
2
x 1
x
lim
x 1 3
x
2
7
0
x1
9 6x
x 3
2
3
2
x 1
2
2
6x 3
2
x 1
lim
x 1
x
2
3
3
x
x 3
2 3 4x
x2 1
x
2
1 x
0
1
.
3
4
1
3
1
1 x
3
1 x
2
1
.
3
9
2
2 3 x2 1
4
23 x
4
1
.
2
4
x 1
lim
x 1
.
x 1
1
7
3
16 x 2
lim
x2
3
2 3
x
4
1 x
1 x
4
lim
2 3 4x
lim
x 1
23 x
2 x 1
1
2 3 x2 1
7
6x
x 1
16 x 2
lim
3
2
x
x 1
3
x 2
x
3
x
4x 8
2
2
x2
11
.
6
lim
x
x2
4x
0
2x 1
x 1
2
x2 1 2
x 3
lim
x
1
3 x
6x
3
1) L
lim
2
2 x2
3 x2 4 x 4
6x 3 x 2
2
x 1
x 1
x 1
x 3
5x
x 3
5
.
12
6x
2
lim
lim 2
x
9 6x
x 1
9 6x
x
lim
2
2x2
2
x2
9 6x x2 6x 9
9 6x x 3
4
3
x
0
1
6x
lim
4
lim
x
x
0
4x
5
x2
0
lim
Bài 4.
9 6x
4 x2 4x 4
4x 4 x 2
lim
x
4
0
4x
x
4x
lim
3
x
7
2
7
1
.
6
4
x 8
3
5) L
lim
x
8
Fb: ThayTrongDGL
2x
x
2
9
3
5
lim
x
8
x2
23 x 4
2 x 16
2x 9 5
2x
lim
x
8
2
3
x2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
9
23 x
5
4
5
.
12
40
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x 1
3
x 1
lim 3
x 1
x 2 1
6) L
3
lim
10
2x
3 2
x
x 1 x
2
10
2x
x
1
3
2x
x 1 x
2
10
2x
2 10
x
1
3
8) L
lim
x
2
x 1 x
2
3
3
x 1
3
9) L
lim
3
8 x 11
8 x 11
x3
3
4
lim
x 1
x 1
x
3
3
7
3
.
2
x
8 x 11 3
x 2 3x 2
2
lim
x
2
x 1
x 1
x
3
x2
lim
3
x3
Fb: ThayTrongDGL
7
2
3
3 3 8 x 11
3 3 8 x 11
2
7
2
3
2 x
3
lim
x 1
x
9
x
9
2
2 x
3
x3 7 2
x 1
7
x 1
4
7
x 1
4
2
4
7 3
3x 2
x
x 1
x
2
3
7 9
x 1 x 2
x
7
3
x
8
27
7
1
7
3
7
.
54
x2 3 2
x 1
3 4
lim
x 1
x2
x2
x 1
3
2
3
2
x2 1
x2
x 1
x 1
lim
7
x
x 1
lim
3
x
2
1
lim
3
x 1
2 3 x3
2
lim
x3 1
lim
2
3
lim
7
x2 3
x 1
x3 7 8
x 1
1.
1
x 1
lim
2
x
4
8
2
3
4
8 x 11 27
2
x 1
2
2
lim
x
2x
8 x 11
x 7
2
x 3x 2
lim
x
2 x3
x2
x 2 1
1
3
lim
x
3
x 1
3 2
3
3
x 1
2 10
2 x2
1
x 1 x
1
x 1
3
lim
lim
2
2
x 2
x 1
x
10
3
1
x 1
2x
3 2
3
lim
x
2 10
2 x 1 x2
3
2
2
2
3
1
x
x 1
2
2 x3
lim
x
x 1
3
10 2 x3
lim
x
1
x 2 3x
3
3
3
x 1
3
7) L
x
2
2
1
4
1
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
.
4
41
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
10) L
lim
x
x
0
x 2 1 x
lim
x
x
2
x
2
x2
4
2 x2
3
8 x
x2
4
2x2
3
x
2
1
24
12) L
3
x.
lim
x
0
0
2
4
3
x x 1
x 1
1
2
1) F
3
lim
x
0
7
0 n
4
3
lim
2x2
4 x 11 3
x 7 3
lim
x
2
x 4
x2 4
x
4 x 11 9
4
2
x
2
x
2
x
4 x 11 9
4
2
4
3 3 2x2
4 x 11
9
x
4
7
3
x
7
3
1
lim
x
7 9
x 2
lim
3 3 2x2
2
x
lim
3 3 2 x2
2
11
.
12
2
2
4
x.
3
8 3x
lim
x
2
2
x2
0
x
2
x
7
3
2 4
x
4
x
2 4 x 4
0
x2 x
x . 8 3x 8
8 3x
8 3x
2
2 3 8 3x
x
4)
x .3
2
2 4
x
4
x x 1
4
x
x
2
lim
0
2 3 8 3x
x
4
0
2
2
lim
x 1
4
1 ax 1
lim
x
0
x
n
1 ax
n 1
n
1 ax
a
1 ax
n
2) F
x
1 ax 1
x
lim
x
1
12
1.
n
Bài 5.
4
lim
4
0
1
2
2
x
lim
x
4 x 11
8 3x
lim
x
x
x . 3 8 3x 4
x2 x
4
0
4
x
23 8 x
2
2
5
72
lim
x
x
4 x 11 27
4 x 11
2 x2
3
x
x
0
1
2
2 x
2
x
23 8
x
2 x2
8
lim
x 8
2
x
2 x 2 x
2
1
9
8
3
2
1
lim
x
3
4 x 11
lim
x
x
4 x 11
x2 4
3
2
0
0 3
lim
x
8
lim
2 x2
3
2 1 x
0
x
lim
lim
2
4
0 2 1
x
11) L
x
x
4
lim
x
8
x
0
41 x
lim
3
2 1 x
lim
x
0
Fb: ThayTrongDGL
n 1
n
1 ax
m
1 ax
x
1 bx
n 2
...
n
lim
x
0
n
1 ax
...
n
1 ax
1
a
.
n
1
m
1 ax 1
n 2
1 bx 1
x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
42
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
n
lim
x
0
m
1 ax 1
1 bx 1
lim
x
0
x
x
n
3) F
lim m
x
0
n
Xét A
lim
x
0
lim
x
1 ax 1
x
a 1
.
n b
m
F
n
1 ax 1
1 bx 1
0
a
n
1 ax 1
1
.m
x
1 bx 1
x
m
a
; B
n
lim
x
n
1 ax m 1 bx
lim
x 0
1 x 1
n
lim
x
0
n
0
n
m
lim
x
F
x
m
1 ax 1
lim
1
0
0
m
1 ax 1
x
.
x
1 x 1
Ta có A
B
b
m
1 bx 1
x 1
m
1 ax 1
1 bx 1
lim
1 x 1 x 0 1 x 1
lim
x
0
1 bx 1
x
am
.
bn
n
4) F
b
.
m
lim
x
0
1 ax 1
x
1 bx 1
x
a
.2
n
b
.2
m
b
C
m
2
a
n
lim
x
0
1 bx 1
x
.
x
1 x 1
a
n
lim
x
0
x
1 x 1
x
lim
x
0
1
1
x
x 1
1
lim
x
0
1
x
1
2
b
.
m
Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x →  .
Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +
k
1. lim x = +
x →+
 + khi k = 2l
2. lim x k = 
x →−
− khi k = 2l + 1
c
3. lim k = 0 (c hằng số)
x →+ x
- Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử
và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.
- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài
căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân
biệt khi x → + hoặc x → −
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
43
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 VÍ DỤ
(
)
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim − x3 − 6 x2 + 9 x + 1 .
x →+
Đs:
.
Lời giải
A
lim x3
1
x
Ví dụ 2. Tính giới hạn B
6
x
9
x2
1
x3
3
(vì lim x
và lim
x
x
1
6
x
9
x2
x3
3x 1
.
2 6 x 2 6 x3
lim
x
1
x3
Đs:
1 ).
1
.
6
Lời giải
3
x2
x3 1
B
lim
x
x3
2
x3
Ví dụ 2. Tính giới hạn C
1
x3
6
x
lim
x
6
lim
x
3
x2
1
x2
2
x3
1
x3
6
x
x 1
6
1 0 0
0 0 6
1
.
6
Đs:
2x .
.
Lời giải




 1 1
 1 1
C = lim  x 2 1 + + 2  + 2 x  = lim  x 1 + + 2  + 2 x 
x →−
x →−
 x x 
 x x 






 
1 1
 1 1 
= lim  − x 1 + + 2  + 2 x  = lim  x  2 − 1 + + 2
x →−
x x
 x x 

 x→−  
(Vì xlim x
và lim 2
x
1
1
x
1
x2

  = −
 
2 1 1 0 ).
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) A
3) A
5) A
Bài 2.
lim x3
3x 2
2 . Đs:
.
2) A
lim x4
2 x2
1 . Đs:
.
4) A
x
x
lim
x
x4
x2
6 . Đs:
lim
x3
3x2 1 . Đs:
lim
x4
2x2
x
x
3 . Đs:
.
.
.
Tính các giới hạn sau:
1) B
2) B
lim
1 8x
.
2x 1
Đs: B
lim
x 2
.
x 1
Đs: B 1 .
x
x
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
4.
44
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3) B
lim
6) B
7) B
8) B
9) B
x
lim
x
x3
3x
x
2
lim
3
3
2
2x 3
lim
x
2x 1
2x
20
3x
Đs: B 8 .
.
2
30
.
50
3x 2 x 3
.
x 4
2 x3
x
2x
5 x
3
2
.
9
Đs: B
4
7
1 2x
lim
2.
Đs: B 0 .
x2
.
3x 2
4
4x
x
x
Đs: B
3x 2 x 7
.
2 x3 1
lim
lim
Đs: B 2 .
2 x3 3x 4
.
x3 x 2 1
lim
10) B
Bài 3.
7 x3 15
.
x4 1
x
4) B
5) B
2 x4
.
3
2
Đs: B
30
.
Đs: B
.
Đs: B
.
Tính các giới hạn sau:
1) C
2) C
3) C
4) C
5) C
6) C
7) C
8) C
lim
x2
lim
2 x4 x2 1
.
1 2x
lim
4x2
lim
x2
lim
2 x2
1
x .
lim
x2
4x
x
lim
x2
x
x2
x
x
x
x
x
x
x
lim
x
Fb: ThayTrongDGL
3x
x 10 .
4x 1
x
2x
x2
2
x
3
x
Đs:
17
.
2
Đs:
2 x 13 .
5 .
.
Đs: 14.
Đs:
9
.
2
Đs:
2021 .
1 .
.
.
Đs: 2019 .
Đs:
1
.
2
Đs: -2.
5
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
45
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
9) C
10) C
11) C
12) C
13) C
14) C
15) C
16) C
17) C
18) C
19) C
Bài 4.
4 x4
lim
x
3x 2
1 2 x2
.
Đs:
3
.
4
lim
x2 x 2x
.
2x 3
Đs:
1
.
2
lim
x2
Đs:
3
.
2
x
x
lim
x 1 .
x2 x
.
x 10
x
x
4x2
lim
x
lim
x 1
Đs:
4x2
9 x 21
4 x2 x
3x 2
7x 1
2
2 x 1 . x2
3x
lim
4x2
2x
lim
x 1
lim
16 x 2
x
x
x
x
lim x
x
4x 1
7 x 13 .
4x
3.
5.
Đs: 4
Đs: -1
Đs:
2 x3 x
.
x5 x 2 3
Đs:
x2
Đs:
lim x 3
x
1
2
Đs: 1.
.
3 x
.
5 3x x3
3x
Đs:
2.
x 1 .
43
8
2
5
2
Tính các giới hạn sau:
2 x3 x
.
x5 x 2 3
1) lim x.
x
2) xlim
3) lim
2x
x
5
x2
x
2
x
4x2
2 x4
x
Fb: ThayTrongDGL
2.
Đs: 2.
.
2
x
4) lim
3
Đs:
3x 1
Đs: 4.
.
1 1 x
x2 x x2
x 5 2x
3
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Đs:
2 1
.
2
46
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x 1 3 4 x2
5) lim
x
1 3x
6) lim
x
x
x
3
x
4x2
3x 1
9 x2
x
3 5x 3
x
10) xlim
2
x
x2
8x
3
4x2
6x
x2
11) lim
x2
x
x
12) xlim
8
.
3
x
x
1 7x
3x
2
.
Đs:
2
.
5
Đs:
1
4
Đs: 1.
.
3
1
.
6
Đs:
.
2x 1
9) xlim
Đs:
x 10
1 8 x3
.
9
2x 1 x2
x 5x2
8) lim
.
3
3 x2 1
6x
7) lim
Bài 5.
2 9x
x 5
2
Đs: 2.
.
2
5x
.
Đs:
1.
3
2 1 2x
.
1 x
Đs: 1 .
Tính các giới hạn sau:
Đs:
1) lim
x2
x
2) lim
x2
4x
3) lim
x
4) lim
x2
x
5) lim
x2
4x 1
x 2 .
Đs: 0.
6) lim
x2
3x
x 1 .
Đs:
x
x
x
x
x
x
7) lim
x
3
2
27 x3
8) lim 2 x
x
Fb: ThayTrongDGL
x .
x .
Đs:
x
Đs: 0.
2 .
x2
5
x2
4 x2
.
1 .
2.
1
.
2
Đs:
5
.
2
3x .
Đs:
1
.
27
2x 1 .
Đs:
1
.
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
47
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
4 x2
9) lim 2 x 3
x
10) lim
4 x4
3x 2
11) lim
4 x2
3x 1 2 x
12) lim
4 x2
4x 1
x
x
x
3
x
13) lim
x
2x
14) lim
3
x
x3
4 x2
3x
4.
Đs:
3
.
4
4 .
Đs:
19
.
4
3 .
Đs: 4 .
1 2 x2 .
4 x2
8 x3
Đs:
3 .
4x
2x
Đs:
.
16
.
9
Đs: 1 .
1 2x 1 .
 LỜI GIẢI
Bài 1.
1) A
2) A
3) A
4) A
5) A
Bài 2.
1) B
2) B
3) B
3
x
lim x3 1
x
lim x3
2
x3
3
x
1
x
2
x2
lim x 4 1
x
, (vì xlim x3
1
x3
, vì lim x 3
x
1
x4
và xlim 1
3
x
2
x3
và lim
1
3
x
x
, vì lim x 4
x
1
0 ).
1
x3
1
và lim 1
2
x2
1
x4
1
x
0 .
0 .
lim x 4
1
2
x2
3
x4
, vì lim x 4
và lim
1
2
x2
3
x4
1
0 .
lim x 4
1
1
x2
6
x4
, vì lim x 4
và lim
1
1
x2
6
x4
1
0 .
x
x
lim
x
lim
x
Fb: ThayTrongDGL
2x
2
x
lim
x
1
x1
x
7x
x
x 2
1
x
x1
x 2
lim
x
x 1
4
8
lim
x
4
3
1
15
x
x
1
x
x
1 8x
2x 1
x
1
8
lim x
x
1
2
x
2
x
lim
x
1
1
x
1
x4 2
lim
x
4
x 1
7
x
15
x4
1
x4
x
0 8
2 0
4.
1 0
1.
1 0
7
x
2
lim
x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
15
x4
1
x4
2
0 0
1 0
2.
48
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x3 2
3
4) B
2 x 3x 4
x3 x 2 1
lim
x
lim
x
x
6) B
3x x 7
2 x3 1
lim
x
x3
lim
3x
x
2
x
7) B
8) B
9) B
4x
lim
3
x
2
2x 3
lim
x
lim
x
7
x3
3
x 2
lim
3
x
3
2x 1
2x
20
4
2
x
4
3
x
30
lim
50
x2 3
x 3
x 4
lim
x
1
x
3
x2
2
x
lim x.
1
x
10) B
lim
x
2x
3
2x
5 x
2
3
2
x
x3
5
x
1
x
3
lim
x
vì lim x 2
x
và lim
x
0
4
8.
7
3 0
0
50
3
x2
3
x2
lim x 2 .
2
3
2
x
x3
5
1
x
2
3
2
x
x3
5
1
x
2 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
3
2
30
.
3 .
2
x
30
,
4
1
x
x3 2
2
Fb: ThayTrongDGL
1
x
4
1
x
x
20
2
x
và lim
x
0
2 0
50
3
vì lim x
2
30
3
4
x1
x
3
2
3
2
0
7
1
x
0.
2
9
4
20
x
2
1
x3
4
1
x
2
3
x
0 0 0
2 0
2.
2
3
3
x
2 0 0
1 0 0
7
x3
2 0
3 0 3 0
2
2
4
x3
1
x3
1
x2
2
4 3x
4
3
x2
3
x2
1
1
x
3
x
lim
x2 2 x
lim
2
x
x
x
3x
lim
4
x
4
7
2
1
x3
3x 2
x
lim
2
x
1 2x
3x
1
x2
2
4
3
x2
x3 3
x
4
x
x3 2
lim
lim
x2
3x 2
4
4
x3
1
x3
3
x
x3
2
5) B
3
3
x2
1
1
x
,
49
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 3.
1) C
x2
lim
x
10
lim
3x
3x
2
3x
2
x2
x
3
x
2
x
2
x2
4
2
3
10
lim
x
1
2) C
2
10
10
lim
1
3) C
13
4x2
lim
lim
4 x2
1
x
x
4x
4x 1
13
x
4
x
4
1
x
1
x2
4
13
lim
x
4
x
4
4) C
lim
x
x2
x
x
1
x
1
1
x
lim x
x
1
Fb: ThayTrongDGL
x
1
x2
2
lim x
4 x2
lim
x
1
x4
1
x
2
4x 1
2x
,
4x 1
x
4
x
1
x2
2x
1
x
1
x2
x 4
13
x
0
lim
lim
x
2x
x
4
x
4
2x
14
2
5
5
lim
x
1 1
5
2
x
x2 4
1
x
1
x2
lim
x
2
1
x4
13
4x 1 2x
x 4
3x
2
2
2
13
2
2
1
x4
2 x 13
4x 1 4x2
2
1
x
x
1
x2
x
x
1
x2
lim
và lim
x
x2 2
x
2
vì lim x
17
.
2
3x
3x
x2
3
2
1
x2
lim
x
x
x
10
2x
x
1 2x
lim
x
x 10
5
x 1
1
lim
x
1
1
1
x
1
x
x
5
lim x 1
x
1
1
x
9
.
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
50
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
5) C
2 x2
lim
x
x
lim
1
x2
2
x
x2
lim
x
1
4x
2
x
1
x2
x 2
x
vì lim 1
6) C
1
2021
2021
7) C
x
x2
lim
x
x2
x
1
x 1
x
1
1
x
1
1
1
1
x
x2
lim x 1
lim
x
2x
lim
x2
x
4 x4
lim
x
3
x2
3
4
x2
4
lim x 2
x
10) C
lim
x
lim
x
Fb: ThayTrongDGL
x2
x
lim
x 1
2x
lim
x2
1
x 1
1
x 1
x
1
x2
x
x 1
3x 2
1 2 x2
1
4
x4
1
2
x4
1
2021
4
2
2x
x
3
x
x
lim
5
x2
x
1
lim x 2 4
x
3
x2
1
x2
3
1
2
x
x4
1
x4
3
lim
x
4
lim x
x
1
4
x
1
2019 .
1
x
5
x2
2 0
1 0 0
2.
2 x2
3
.
4
2
1
2x
x
2x 3
x 1
lim
x
1
2
x
3
2
x
1
lim
3
1
x
x
5
1
2
x
3
x 2
x
2021
x 1
x
x2 x 2x
2x 3
x
x
1
2
3
x
4
x
4
4
1
1
x
x
,
.
x
lim
lim
1
x2
x 1
9) C
1
x 1
lim
x
8) C
2021
1
x2
2
x
x
4
1
x
4
1
1
x
lim x
lim x 1
0 và lim x
1
2021
x
1 2
2
1
.
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
51
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
11) C
1
x2
lim
x
lim x
1
x
1
x
x 1
x 1
1
1
1
1
x
1 1
x x2
lim
x
1
12) C
13) C
4x2
lim
x
4
lim x
x
4
14) C
lim
x3
lim
9 21
x x2
9 21
x x2
x 2
lim
4 x2
x
x
x
4
lim
x
Fb: ThayTrongDGL
x 1
lim
2
9
x
x
4
1 1
1
10
1
x
9
x
x 4
x
lim
1
x
1
21
x2
2.
x 4
34
x
21
x2
4
7
x
13
x2
2
1
.
2
2
7
x
13
x2
2
7x 1
3x
1
x3
4
x
2x
7
x2
3
1
. 1
x
3
lim
x
2
lim
x
4
4
x
4
22.1
3
x
x 4
4
3
1
x3
2
2
1
x2
1
x2
3
x
x
3
x
1
4x
x
lim
4x 1
4
x
7 x 13
7 13
x x2
7 13
4
x x2
7
x2
4 4
lim x
4x2
x
4
3x 2
3
x
x
lim x
1
x
x 1
x 10
x
2 x 1 . x2
1
.
x
2
15) C
16) C
lim
2
4x
x
3
.
2
x
2
x
3
1
9 x 21
4 x2 x
x
lim x
1
2
1
x
x
x 10
x
x
1 1
1
x x2
1 1
1
1
x x2
x
2
x
lim
x
1
x2
1
1
x2
1
1
1
x
lim x 1
1
x
1
x2
4
x
1
x2
3
2
1
2x
4
4
4.
3 x
5 3x x3
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
52
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1
x
lim x 1
x
17) C
5
x
3
1
x
5
3
3
x
x2
2
lim
1
16 x 2
3x
4x
3
x
4x
5
3
16
x
3
16
4
x
5
lim
x
lim x 16
x
lim x
x
18) C
2x
lim x
x
x
19) C
5
3
lim x
x
x
3
lim x 1
x
1
x
1
1
x
x
lim x
x
lim
x
1
5
4
x 1
x 1
3
3
4
4
1
x2
1
x3
5
3
8
43
.
8
1.
lim x
2
lim
3
x5
x 1
x
5
x
1
x
1
1
x3
1
x2
3
x5
2.
1
x2
1 1
x x2
1 1
1
x x2
1 1
1
x2
3
lim x
x
1
1
3
3
3
16
x
lim
3
1
1
x
0 1
0 0 1
4
x3 2
x2
lim x 3
3
x
16
x
x
2
1.
5
16
5
1
x
1
x
3
1
x
5 3
1
x2 x
1
2
3
1
x2
5
.
2
Bài 4.
2x
1) lim x.
x
x
2) lim
x
3
5
x
2x
x
2
x
2
3
3
x
lim
5
Fb: ThayTrongDGL
x
lim x.
x
x
2
2x
x
x 1
.
2x
x
5
2x
x
x
2
3
lim
5
x2
1.
x
x
3
x
2
3
1
x
3
lim
x
1
1
x
5
x2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
x2
1
x
3
x4
2.
2 .
53
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x2
3) lim
x
4x2
x
2x
4) lim
4
2x 1 3 4x
5) lim
1 3x
6) lim
3 x
2
x
2 9x
2
1
6x
x
8) lim
x
3 5x 3
2x 1
x
x
8x
6x
4x
x2
x2
x
x
3
1 7x
3x
2
2 1 2x
1 x
Fb: ThayTrongDGL
5x
lim
lim
3
x
x 1
1
x2
1 x
2
x
2 9
1 1
1
x
1
x2
3
x
1
4
lim
x
9
lim
x
1
lim
x
6
7x
1
x
1
x
1
1
x
4
3
x
1
x
2
lim
x
5x
3
1 2
1
x2
x 1
2
x
1
1
x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
x3
3
x
3
x2
8
8
.
3
1
.
6
1
x2
5
3
x
1
.
4
1.
2.
3
x2
1
x2
3
x
5
x2
10
x2
2
.
5
2
2
1
x
1
1
x
1
x
9
x
5
5x 3
3
x2
lim
x
3
6
8
2
x2
1
x
lim
1
x2
1
x
1
x2
3 4
4.
2 1
.
2
2
1
x
x
1
x
3
x
1
2
3 1
2
3
1
x 4
x
x
x 2x
x
1
x
x 1
3
8
8x
6x
lim
x
lim
3
x
3
x2
2x 1
1
x 1
x 1
x
x
2
5
x2
10
x2
x
x 4
x 9
lim
1 3
2 1
1
1
x
1
x2
5
x
2
2
2
x
lim
x
3
x
1
lim
x
3
2
x
lim
2
2x 9
x
x 5x
x
x
x
x
lim
9x2
11) lim
12) lim
2x 1
3x 1
10) lim
x
lim
x
4
1
x
3
1
x2
x
1
x
1
x
1
1
x 3
2
x
x
6x 9
3x 1
2
x2
x
lim
1 3x
lim
2
x
3
3
5
x
x2
1
x
1
3
x
x2 1
2 x 1 3x 4
x 10
4x2
x
lim
x 5
x
2
1
x2
x2 2
3
1 8x
9
2x 1 x
x 5x2
9) lim
x
x 4
x
3
2
3x 1
x2
1
1 x
x2
x
2
2
2
7) lim
lim
1 1 x
x
x x
x 5 2x
1
x
x 1
3x 1
2
x
x
2
7
2
x2
2
x
5
3
x
1.
1.
54
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 5.
x2
1) lim
x
x
x
Vì lim x
x
x
3) lim
2
4x
x
x
4
x
Vì lim
x
4) lim
x
x
4x
x
2
x
x
lim
x
1
4x 1
2
x
x
1
x
2
4
x
1
x2
3x
5
lim
x
1
3
x
5
1
x
2
x
2
x 2
.
1
2.
1
4
lim
x 2
x
x
1
2
x
0.
2
1
x
1
.
2
2
x
x
4x
4
x 1
x
lim
x
x
x2
x
1
x
1
x
x2
4x
lim
x2
x
2
x
1
x
2
lim
x
1
x 1
x 1
1
x 1
x
1
x2
1
.
2
1
x2
x 2
lim
x2
x
4x 1
x
2
x
2
2
4x 1
x
5
x 1
3
lim
x
2
x 1
4
x
1
x2
x
2
0.
1
2
x
x 1
4
x
5
1
1
2
x
x
Fb: ThayTrongDGL
lim x
2.
1
3
lim
x
x
1
1
x
1
x
2
2
2
x
1
1
x
lim
x
x
6) lim
x2
0 và lim
lim
x
1
x
x 2
1
5) lim
x
2
1
x
1
x
1
x
x 1
x
và lim
x
2) lim
lim
lim
x
x2
3x
x2
3x
5
2
x 1
5x
lim
x
x 1
3
x
4
5
x2
x 1
5
.
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
55
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3
7) lim
x
27 x3
x2
3x
x
3
27 x3
lim
3
x
2
lim
x
4
2x 1
4x
x
16 x
lim
2
4x
3
4 x4
3x 2
1 2 x2
3
lim
x
4
11) lim
4x
x
2
19
lim
x
4
3
x
4x
2
4x2
2x 1
2x
4 x2
2x 1
x
2
15
x
1
2
x2
4x 1
2x 3
2
1
x
1
x
3 3 27
9
2x 1
2
x 4
x
lim
x
2x
4 x2
4x 3
4 x2
4x
6
x
4
4
x
3
x2
2x 3
x
3
x2
1
x2
16 x
lim
x
3
6
4x2
2x 3
4x
3
3
x
2
lim
x
4
4 x4
3x 2
1 4 x4
4 x4
3x 2
1
4 x2
3x 1
lim
2 x2
x
x2
3x 2
3
4
x2
1
1
x4
2x2
3
.
4
3x 1 2 x
Fb: ThayTrongDGL
27
4x2
lim
x 4
1
x2
3
1
2
x
x4
1
.
27
16
2x 3
x
1
3
lim
6
4
x
10) lim
9x2
1
.
2
x
12) lim
x
x2
2
9 x2
lim
1
x
2 1
x x2
9) lim 2 x 3
3x 3 27 x3
x
1
x
3x 2 3 27
4 x2
8) lim 2 x
2
1
x
27
27 x3
lim
2
x2
x2
2
x2
x2
x
x
27 x3
lim
4
x
2x
4
lim
x
4 x2
3x 1
2x 4
2
19 x 15
lim
x
2x 4
x 4
3
x
1
x2
2x 4
19
.
4
3
lim
x
4 x2
4x
4x 1
2
2x
3
2
4x 1 2x 3
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
16 x 8
lim
x
x 4
4
x
1
x2
2x 3
56
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
8
x
16
lim
x
4
x
4
3
x
13) lim
x
2x
4
lim .
x
3
14) xlim
x3
4x2
3x
2
4
lim
x
x3 4 x 2 x3
.
4 x 2 4 x 2 3x x 2
3
x
1
3
3
3
8x
4
1
x
1 2x 1
2
8 x3
4
1
x
3
2
lim
3
8 x3
1
3x
3
x3
2x 1
2
1
2x 1
2
4x2
x3
2
3
8 x3
3
1
lim
2 x 1 3 8 x3
1
x 3 4x2
8 x3
x
6x
4x2
2x
16
.
9
2
12 x
3
4.
3
x
2
4x2
lim
x
1
x2
1
2x 1
2
12
6
x
2
1
x
2
x2
2
x
2
2x 1
3
8
1
x3
3
8
1
x3
2
1
x
2
1.
Dạng 4. Giới hạn một bên x → x0+ hoặc x → x0− .
Phương pháp giải:
- Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số
Chú ý: x → x0+  x  x0  x − x0  0
x → x0−  x  x0  x − x0  0
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim+
x →1
2x − 3
.
x −1
Đs: −.
Lời giải
lim 2 x 3
1
0
x 1
Vì lim x 1
0
A
x 1
x
1
lim
x 1
x
1
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim+
x →2
x 1
2x 3
x 1
.
0
x − 15
.
x−2
Đs: −.
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
57
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
lim x 15
x
Vì lim x
x
x
13
0
2
2
0
A
2
2
lim
x
x
2
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim−
x →3
x
2
2
x 15
x 2
.
0
2− x
.
3− x
Đs: −.
Lời giải
 lim− ( 2 − x ) = −1  0
 x →3
2− x
 A = lim−
= − .
Vì  lim− ( 3 − x ) = 0
x →3 3 − x
 x →3 −
 x → 3  x  3  3 − x  0
Ví dụ 4. Tính giới hạn A = lim+
x →2
x +1
.
2x − 4
Đs: +.
Lời giải
 lim+ ( x + 1) = 3  0
 x →2
x +1
 A = lim+
= + .
Vì  lim+ ( 2 x − 4 ) = 0
x →2
x →2 2 x − 4

 x → 2+  x  2  2 x − 4  0
Ví dụ 5. Tính giới hạn A = lim−
x →4
x −5
( x − 4)
2
Đs: −.
.
Lời giải
 lim− ( x − 5 ) = −1  0
 x →4
x −5
2

 A = lim−
= − .
Vì  lim− ( x − 4 ) = 0
2
x →4
x →4
x
−
4
(
)

 x → 4−  ( x − 4 )2  0
Ví dụ 6. Tính giới hạn A = lim−
x →3
3x − 8
(3 − x )
2
Đs: +.
.
Lời giải
 lim− ( 3x − 8 ) = 1  0
 x →3
3x − 8
2

 A = lim−
= + .
Vì  lim− ( 3 − x ) = 0
2
x →3 3 − x
(
)
 x →3
 x → 3−  ( 3 − x )2  0
Ví dụ 7. Tính giới hạn A = lim +
x →( −3)
2 x2 + 5x − 3
( x + 3)
2
Đs: −.
.
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
58
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có lim +
2 x2 + 5x − 3
( x + 3)
x →( −3)
2
= lim +
x →( −3)
( 2 x − 1)( x + 3) = lim
2
x →( −3)
( x + 3)
2x −1
+
x+3
 lim ( 2 x − 1) = −7  0
 x →( −3)+
2 x2 + 5x − 3

 A = lim +
= − .
Vì  lim + ( x + 3) = 0
2
x →( −3)
x →( −3)
x
+
3
(
)

 x → ( −3)+  x  −3  x + 3  0

1 
 1
− 2
Ví dụ 8. Tính giới hạn A = lim− 
.
x →2  x − 2
x −4
Đs: −.
Lời giải
1 
x +1
 1
− 2
Ta có: A = lim− 
 = xlim
−
x →2  x − 2
→
2
x −4
( x − 2 )( x + 2 )
 lim− ( x + 1) = 3  0
 x →2
1 

 1
 A = lim− 
− 2
Vì  lim− ( x − 2 )( x + 2 )  = 0
 = − .
x →2
x →2  x − 2
x −4

−

 x → 2  x  2  ( x − 2 )( x + 2 )  0
Ví dụ 9. Tính giới hạn B = lim−
x →2
2− x
.
2 x − 5x + 2
1
Đs: − .
3
2
Lời giải
Vì x → 2−  x  2  2 − x = 2 − x
Do đó B = lim
x →2
−
2− x
−1
1
= lim−
=− .
( x − 2 )( 2 x − 1) x→2 2 x − 1 3
Ví dụ 10. Tính giới hạn B = lim+
x →3
x −3
.
5 x − 15
Đs:
1
.
5
Lời giải
Vì x → 3+  x  3  x − 3 = x − 3
Do đó B = lim
−
x →3
x −3
1 1
= lim− = .
5 ( x − 3) x→3 5 5
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x −1
.
2x + x − 3
Đs: − .
2) B = lim
x−2
.
x−2
Đs: Không tồn tại.
−
x →1
x →2
Fb: ThayTrongDGL
3
1
7
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
59
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3) C = lim
x →3
Bài 2.
x2 − 9
x−3
Đs: Không tồn tại.
.
Tính các giới hạn sau:
2 x2 − 2 x + x −1 x + 3
.
x →1−
x2 − 2 x + 1
1) C = lim
2) C = lim
x →2
−
3) D = lim
x →3−
4) D = lim
x→2
−
5) D = lim
x →1−
x−2
x −1 −1
4− x
x →1
2
x 2 − x3
Đs:
.
Đs:
.
1 − x + x −1
6) D = lim (1 − x )
+
2
x2 − 5x + 6
x+5
.
x + 2 x2 − 3
1
.
2
Đs: 0.
3
Đs:
3
.
3
4
2

5 x − 6 x − x khi x  1
f ( x ) với f ( x ) =  3
.
1) Tính giới hạn C = lim
x →1
khi x  1

 x − 3x

x − 3
f ( x ) với f ( x ) = 
2) Tính giới hạn C = lim
x →1
2

1 − 7 x + 2
 3x − 2

f ( x ) với f ( x ) =  x + 1
3) Tính giới hạn C = xlim
→−2
 x + 10
Bài 4.
1
.
6
Đs: 1.
.
x3 − 3x + 2
.
7) D = lim− 2
x →1
x − 5x + 4
Bài 3.
7
.
4
Đs: −2.
.
x 2 − 7 x + 12
9− x
Đs:
 x3 + 1

Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + 1
mx 2 − x + m2

Đs: −2
khi x  1
.
khi x  1
khi x  −2
Đs: −2 .
Đs: 8 .
.
khi x  −2
khi x  −1
có giới hạn tại x = −1.
khi x  −1
Đs: m = 1 hoặc m = −2 .
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
60
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 LỜI GIẢI
Bài 1.
x −1
.
3
x →1− 2 x + x − 3
1) A = lim
Vì x → 1−  x  1  x − 1 = − ( x − 1) .
Do đó A = lim
−
x →1
− ( x − 1)
( x − 1) ( 2 x
2
+ 2 x + 3)
= lim−
x →1
−1
1
=− .
2x + 2x + 3
7
2
x−2
.
x−2
2) B = lim
x →2
+) Vì x → 2−  x  2  x − 2 = − ( x − 2 ) nên lim
x →2
+) Vì x → 2+  x  2  x − 2 = x − 2 nên lim
x →2
Suy ra lim
x →2
−
x−3
x →3
Ta có C = lim
x →3
x2 − 9
+) lim
x −3
+
x →3
x −3
x →3−
x −3 . x +3
. Do đó:
x −3
= lim+
( x − 3) . x + 3
x −3
= lim−
x →3
= lim+ x + 3 = 6.
x →3
− ( x − 3) . x + 3
= lim− ( − x + 3 ) = −6.
x →3
x −3
Suy ra giới hạn của C = lim
x →3
Bài 2.
x−2
= lim 1 = 1 .
x − 2 x→2−
.
x →3
x2 − 9
+) lim
− ( x − 2)
= lim− ( −1) = −1 .
x →2
x−2
x−2
x−2
x−2
nên không tồn tại giới hạn của B = lim
 lim+
.
x →2 x − 2
x − 2 x →2 x − 2
x2 − 9
3) C = lim
−
−
x2 − 9
x −3
không tồn tại.
2 x2 − 2 x + x −1 x + 3
.
1) C = lim−
x →1
x2 − 2 x + 1
−
Vì x → 1  x − 1  0  x − 1 = − ( x − 1) . Do đó
C = lim−
2 x ( x − 1) − ( x − 1) x + 3
x →1
= lim−
x →1
( x − 1)
2
2x − x + 3
4x2 − x − 3
= lim−
= lim−
x →1
x →1
x −1
( x − 1) 2 x + x + 3
(
)
( x − 1)( 4 x + 3) = lim 4 x + 3 = 7 .
( x − 1) ( 2 x + x + 3 ) x→1 2 x + x + 3 4
−
2) C = lim
x → 2−
Fb: ThayTrongDGL
x−2
x −1 −1
.
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
61
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Vì x → 2−  x − 2  0  x − 2 = − ( x − 2 ) . Do đó:
C = lim−
− ( x − 2)
(
) = lim −
x −1 +1
( x − 1) − 1
x →2
x → 2−
x 2 − 7 x + 12
3) D = lim
x →3−
( x − 3)( x − 4 )
= lim
( 3 − x )( 3 + x ) x→3
Ta có D = lim
−
−
x →3
x2 − 5x + 6
x → 2−
4 − x2
x →2
−
−
1 − x + x −1
5) D = lim
x →1−
x 2 − x3
Ta có D = lim
3 − x. 4 − x
4− x
1
= lim−
=
.
3 − x . 3 + x x→3 3 + x
6
2 − x. 3 − x
3− x 1
= lim−
= .
2 − x . 2 + x x →2 2 + x 2
.
1 − x − (1 − x )
x (1 − x )
x →1−
)
x − 1 + 1  = −2 .

.
( x − 2 )( x − 3)
= lim
( 2 − x )( 2 + x ) x→2
Ta có D = lim
(
.
9 − x2
4) D = lim

= lim−
x 1− x
x →1
2
(1 − x )
1− x −
2
= lim−
x →1
6) D = lim (1 − x )
x+5
.
x + 2 x2 − 3

Ta có D = lim+  −
x →1 

( x − 1) ( x + 5)  = lim − ( x − 1)( x + 5)  = 0.


x 2 + 3x + 3 
( x − 1) ( x 2 + 3x + 3)  x→1 
+
x →1
3
2
+
x3 − 3x + 2
.
x2 − 5x + 4
7) D = lim
x →1−
( x − 1) ( x + 2 )
(1 − x ) x + 2 = lim
= lim
( x − 1)( x − 4 ) x→1 ( x − 1)( x − 4 ) x→1
2
Ta có D = lim
−
x →1
Bài 3.
1− 1− x
= 1.
x
−
−
x+2
3
=
.
4− x
3
1) Ta có:
+) lim f ( x ) = lim ( x3 − 3x ) = −2.
x →1−
x →1−
+) lim f ( x ) = lim (5x4 − 6 x2 − x ) = 5 − 6 −1 = −2.
x →1+
x →1+
+) Vì lim f ( x ) = lim f ( x ) = −2 nên hàm số f ( x ) có giới hạn tại x = 1 và
x →1−
x →1+
lim f ( x ) = −2.
x →1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
62
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2) Ta có:
+) lim f ( x ) = lim ( x − 3) = −2.
x →1−
x →1−
)
(
+) lim f ( x ) = lim 1 − 7 x 2 + 2 = −2.
x →1+
x →1+
f ( x ) = −2.
+) Vì lim f ( x ) = lim f ( x ) = −2 nên C = lim
x →1
x →1−
x →1+
3) Ta có:
+) lim f ( x ) = lim
x →( −2 )
−
x →( −2 )
−
3x − 2
= 8.
x +1
+) lim f ( x ) = lim ( x + 10 ) = 8.
x →( −2)
+
x →( −2)
+
f ( x ) = 8.
+)Vì lim f ( x ) = lim f ( x ) = 8 nên C = xlim
→−2
x →( −2)
Bài 4.
−
x →( −2)
+
Ta có:
+) lim f ( x ) = lim
x →( −1)
−
x →( −1)
−
x3 + 1
= lim ( x 2 − x + 1) = 3.
x + 1 x →( −1)−
+) lim f ( x ) = lim ( mx 2 − x + m2 ) = m2 + m + 1.
x →( −1)
+
x →( −1)
+
+) Để hàm số có giới hạn tại x = −1 thì
m = 1
3 = m2 + m + 1  m2 + m − 2 = 0  
.
 m = −2
Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
- Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số
- Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác
sin x
1
- Lưu ý: lim
x 0
x
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim
x→
6
2sin x − 1
.
4cos 2 x − 3
1
Đs: A = − .
2
Lời giải
Ta có: A = lim
x→
6
2sin x − 1
2sin x − 1
2sin x − 1
−1
1
= lim
= lim
= lim
=− .
2
2
2
4cos x − 3 x→ 4 (1 − sin x ) − 3 x→ 1 − 4sin x x→ 1 + 2sin x
2
6
6
6
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim
x→
Fb: ThayTrongDGL
4
2 sin x − 1
.
2cos 2 x − 1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
1
Đs: A = − .
2
63
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
Ta có: A = lim
x→
4
2 sin x − 1
2 sin x − 1
2 sin x − 1
−1
1
= lim
= lim
= lim
=− .
2
2
2
2cos x − 1 x→ 2 (1 − sin x ) − 1 x→ 1 − 2sin x x→ 1 + 2 sin x
2
4
4
4
cos 4 x − 1
.
x →0
sin 4 x
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim
Đs: A = 0.
Lời giải
cos 4 x − 1
cos 2 2 x − sin 2 2 x − cos 2 2 x − sin 2 2 x
= lim
x →0
x →0
sin 4 x
2sin 2 x cos 2 x
−2sin 2 2 x
− sin 2 x
= lim
= lim
= 0.
x →0 2sin 2 x cos 2 x
x →0 cos 2 x
Ta có: A = lim
1 − sin 2 x − cos 2 x
.
x →0 1 + sin 2 x − cos 2 x
Ví dụ 4. Tính giới hạn A = lim
Đs: A = −1.
Lời giải
1 − 2sin x cos x − ( cos 2 x − sin 2 x )
1 − sin 2 x − cos 2 x
= lim
.
Ta có: A = lim
x →0 1 + sin 2 x − cos 2 x
x →0 1 + 2sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x
(
)
2sin x ( sin x − cos x )
2sin 2 x − 2sin x cos x
sin x − cos x
= lim
= lim
= −1.
2
x →0 2sin x + 2sin x cos x
x →0 2sin x ( sin x + cos x )
x →0 sin x + cos x
= lim
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
1 + sin 2 x − cos 2 x
. Đs: A = −1.
x →0 1 − sin 2 x − cos 2 x
2) A = lim
sin 7 x − sin 5 x
.
x →0
sin x
Đs: A = 2.
4) A = lim
1 − cos x
.
x →0
sin x
Đs: A = 0.
sin 2 x
. Đs: A = −1.
x →0 1 − sin 2 x − cos 2 x
1) A = lim
3) A = lim
5) A = lim
6) A = lim
x→
3
7) A = lim
x→
Bài 2.
2
sin 5 x − sin 3x
.
x →0
sin x
Đs: A = 2.
sin 5x
.
x →0
x
Đs: B = 5.
2 3
cos 3x + 2cos 2 x + 2
.
. Đs: A =
3
sin 3x
1 + sin 2 x + cos 2 x
. Đs: A = 2.
cos x
Tính các giới hạn sau:
1 − cos ax
1) B = lim
.
x →0 1 − cos bx
Fb: ThayTrongDGL
2
a
Đs: B =   .
b
2) B = lim
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
64
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 − cosa x
.
x →0
x2
Đs: B =
sin x − tan x
.
x →0
x3
Đs: B = − .
1 − cos5 x
.
x →0 1 − cos3 x
Đs: B =
6) B = lim
1 − cos2 2 x
.
x →0
x sin x
Đs: B = 4 .
tan x − sin x
.
x →0
sin 3 x
Đs: B =
7) B = lim
9) B = lim
25
.
9
1
.
2
1
2
8) B = lim
a2
.
2
1
2
1 − cos3 x
.
x →0 x sin x
Đs: B =
3
.
2
1− 2x +1
.
x →0
sin 2 x
Đs: B =
−1
.
2
1 − 3 cos x
.
x →0
tan 2 x
Đs: B = .
10) B = lim
Tính các giới hạn sau:
(
1) B = lim
)
cos8 x − 1 sin 2 3 x
x →0
3.x
4
1 − cos cos 2 x
.
x →0
x2
3) B = lim
5) B = lim
x→
4
tanx − 1
.
2sin 2 x − 1
3
. Đs: B = −48 .
Đs: B =
3
.
2
2) B = lim
1
3
Đs: B = .
1
1 + tan x − 1 + sin x
. Đs: B = .
3
4
x
7) B = lim
8) B = lim
1 + x 2 − cos x
.
x2
9) B = lim
x →0
10) B = lim
x →0
1
6
4) B = lim
6) B = lim
x →0
Bài 4.
Đs: B = .
4) B = lim
5) B = lim
Bài 3.
1 − cos x
.
x →0
x2
sin 5x.sin 3x.sin x
1
. Đs: B = .
3
x →0
45x
3
3) B = lim
Đs: B = 1 .
x →0
1 − cos x
(1 −
1− x
)
2
.
Đs: B = 2 .
1 − 2 x + 1 + sin x
. Đs: B = 0 .
x →0
3x + 4 − 2 − x
2 x + 1 − 3 x2 + 1
. Đs: 1.
sin x
Tính các giới hạn sau:



1) C = lim  tan 2 x tan  − x   .
4
x→
4
2) C = lim
x →


1 + cos x
(x − )
2

.
Đs: C =
1
2
Đs: C =
1
2
−1
.
2
3) C = lim
sin ( x − 1)
.
x2 − 4 x + 3
Đs: C =
4) C = lim
sin x − sin a
.
x−a
Đs: C = cos a.
x →
x →a
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
65
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 LỜI GIẢI
Bài 1.
1 + 2sin x cos x − ( cos 2 x − sin 2 x )
1 + sin 2 x − cos 2 x
1) A = lim
= lim
.
x →0 1 − sin 2 x − cos 2 x
x →0 1 − 2sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x
(
)
2sin x ( sin x + cos x )
2sin 2 x + 2sin x cos x
sin x + cos x
= lim
= lim
= −1.
2
x →0 2sin x − 2sin x cos x
x →0 2sin x ( sin x − cos x )
x →0 sin x − cos x
= lim
sin 2 x
2sin x cos x
= lim
.
x →0 1 − sin 2 x − cos 2 x
x →0 1 − 2sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x
(
)
2) A = lim
2sin x cos x
2sin x cos x
cos x
= lim
= lim
= −1.
x →0 2sin x − 2sin x cos x
x →0 2sin x ( sin x − cos x )
x →0 sin x − cos x
= lim
2
sin 7 x − sin 5x
2cos 6 x.sin x
= lim
= lim 2cos 6 x = 2 .
x →0
x →0
x →0
sin x
sin x
3) A = lim
sin 5x − sin 3x
2cos 4 x.sin x
= lim
= lim 2cos 4 x = 2 .
x →0
x →0
x →0
sin x
sin x
4) A = lim
x
1 − cos x
2 = 0.
5) A = lim
= lim
= lim
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
sin x
2sin .cos
cos
2
2
2
2sin 2
x
2
sin
4cos3 x − 3cos x + 2 ( cos 2 x − sin 2 x ) + 2
cos3x + 2cos 2 x + 2
6) A = lim
= lim
sin 3x
3sin x − 4sin 3 x
x→
x→
3
3
cos x ( 4cos 2 x − 3 + 4cos x )
4cos3 x − 3cos x + 4cos 2 x
= lim
= lim
2


sin
x
3
−
4sin
x
x→
x→
sin x 3 − 4 (1 − cos 2 x )
(
)
3
3
2
cos x ( 2 cos x + 1) − 4 

 = lim cos x ( 2 cos x + 3)( 2 cos x − 1) = lim cos x ( 2 cos x + 3) = 2 3 .
= lim



3
sin x  4 cos 2 x − 1
x→
x → sin x ( 2 cos x − 1)( 2 cos x + 1)
x → sin x ( 2 cos x + 1)
3
3
3
7) A = lim
x→
= lim
x→

2
2
1 + sin 2 x + cos 2 x
2cos 2 x + 2sin x cos x
= lim

cos x
cos x
x→
2
2 cos x ( cos x + sin x )
= lim 2 ( cos x + sin x ) = 2.

cos x
x→
2
2
ax
ax bx 

2sin
sin

  a 2
1 − cos ax
a
2
2
2
= lim
= lim  .
.
=
.
1) A = lim
x →0 1 − cos bx
x →0
x →0 b
ax
bx   b 
2 bx

2sin
sin 
2

2
2 
2
Bài 2.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
66
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
ax
bx
2 = 1 và lim 2 = 1 ).
(Vì lim
x →0
x →0
ax
bx
sin
2
2
sin
2) B = lim
x →0
sin 5 x
sin 5 x
 sin 5 x 
= lim  5.
= 1 ).
 = 5 . (Vì lim
x
→
0
x
→
0
x
5x 
5x

sin 5 x.sin 3x.sin x
 sin 5 x sin 3 x sin x 1  1
= lim 
.
.
. =
3
x →0
x →0
45 x
3x
x 3 3
 5x
3) B = lim
(Vì lim
x →0
sin 5 x
sin 3x
sin x
= 1, lim
= 1 , lim
= 1 ).
x
→
0
x
→
0
5x
3x
x
x
x
2sin 2
sin 2
1 − cos x
1
2 = , (vì lim
2 =1.
4) B = lim
= lim
2
2
2
x →0
x
→
0
x
→
0
x
2
 x
 x
  .4
 
2
2
 2 5 x  3x 2

5x
. 
 sin

2sin
1 − cos 5 x
2  2  25  25
2 = lim 
5) B = lim
= lim
.
=
2
x →0 1 − cos 3 x
x →0
x →0 

9
9
2 3x
5
x
3
x


2
2sin
   .sin

2
2
 2 

2
2
 3x 
5x
sin
 
2 = 1 và lim  2  = 1 ).
(Vì lim
2
x →0
x →0
3x
 5x 
sin 2
 
2
 2 
2


ax
ax
 2sin 2
sin 2
2
2
1 − cosa x
2 = 1 ).
2 . a  = a , (vì lim
6) B = lim
= lim 
2
2
2
x
→
0
x →0
x
→
0
  ax 
x
4 2
 ax 
  

 
 2 
  2 

sin 2 2 x
4sin 2 x.cos 2 x
sinx
 sin x

= lim
= lim 
.4cos 2 x  = 4 , (vì lim
= 1 ).
x →0 x.sin x
x →0
x →0
x →0
x.sin x
x
 x

7) B = lim
sin x − tan x
= lim
8) B = lim
x →0
x →0
x3
sin x
cos x = lim sin x.cos x − sin x
3
x →0
x
x3 cos x
sin x −


2 x


sin
− sin x (1 − cos x )
2 . −2  = −1 .
 −2sin x .
= lim
=
lim
2
x →0
x →0 
x3 cos x
x
 x  4cos x  2


 
2


Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
67
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x
sin 2  
sinx
 2  = 1 ).
(vì lim
= 1 và lim
2
x →0
x →0
x
x
 
2
sin x
− sin x
tan x − sin x
sin x − sin x.cos x
cos
x
= lim
= lim
9) B = lim
3
3
x →0
x
→
0
x
→
0
sin x
sin x
sin 3 x cos x
x
2sin 2
1 − cos x
2
= lim 2
= lim
= lim
x →0 sin x .cos x
x →0
x →0
2 x
2 x
4.sin .cos .cos x
cos 2
2
2
10) B = lim
(1 − cos x ) (1 + cos x + cos 2 x )
x →0
= lim
2sin 2
x →0
x sin x
1
1
=
x
.cos x 2
2
x
(1 + cos x + cos2 x )
2
x
x
2 x.sin .cos
2
2
x
x


sin
 sin 2 1 + cos x + cos 2 x  3
2 = 1 ).
= lim 
.
 = , (vì lim
x →0
x →0
x
x
x
2


2 cos
 2
2

2
Bài 3.
(
1) B = lim
)
cos8 x − 1 sin 2 3x
3x 4
x →0
cos8 x − 1) sin 2 3 x
(
−2sin 2 4 x sin 2 3 x
= lim
= lim
x →0
3x 4
(
)
cos8 x + 1
x →0
3x 4
(
)
cos8 x + 1
 sin 4 x 2  sin 3x 2

−96
 = −48
 .
 .
cos8 x + 1
 4 x   3x 
= lim 
x →0
1− 2x +1
−1
1
 2x

= lim 
.
=−

x →0
x →0 sin 2 x 1 + 2 x + 1
sin 2 x
2


2) B = lim
1 − cos 2 (1 − 2sin 2 x )
1 − cos x cos 2 x
1 − cos 2 x cos 2 x
= lim 2
= lim 2
3) B = lim
x →0
x →0
x →0
x2
x 1 + cos x cos 2 x
x 1 + cos x cos 2 x
(
= lim
sin 2 x + cos 2 x − cos 2 x (1 − 2sin 2 x )
(
x 2 1 + cos x cos 2 x
x →0
)
)
= lim
x →0
(
)
sin 2 x + 2sin 2 x cos 2 x
(
x 2 1 + cos x cos 2 x
)
 sinx 2
1 + 2cos 2 x  3
= lim 
.
= .

x →0
 x  1 + cos x cos 2 x  2
1 − 3 cos x
1 − cos x
= lim
2
2
x →0
x →0 sin x
tan x
1 + 3 cos x + 3 cos 2 x
2
cos x
4) B = lim
Fb: ThayTrongDGL
(
)
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
68
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
= lim
x →0
4sin 2
(
x
cos 2 x
2
x
x
2sin 2 cos 2 1 + 3 cos x + 3 cos 2 x
x
2
5) B = lim
x→
4
= lim
)
x →0
(
cos 2 x
x
2 cos 2 1 + 3 cos x + 3 cos 2 x
2
)
1
= .
6
tanx − 1
tan x − 1
= lim
2

2sin x − 1 x → ( sin 2 x − cos 2 x ) 3 tan 2 x + 3 tan x + 1
4
3
)
(
sin x − cos x
1
1
cos x
= lim
= lim
= .
3
2
2
x→
tan 2 x + 3 tan x + 1 x→ 4 cos x ( sin x + cos x ) 3 tan 2 x + 3 tan x + 1 3
4 ( sin x − cos x )
)
(
1 + tan x − 1 + sin x
= lim 3
x →0
x3
x
6) B = lim
x →0
= lim
x →0
sin x − sin x cos x
x3 cos x
(
1 + tan x + 1 + sin x
2

x

sin
 sin x 
2 .
= lim 
.

x →0
 x  x  4

 2 
7) B = lim
x →0
1 − cos x
(1 −
1− x
)
= lim
x →0
tan x − sin x
1 + tan x + 1 + sin x
)
2sin x sin 2
x
2
x3 cos x
(
1 + tan x + 1 + sin x
)

 1
2
=
1 + tan x + 1 + sin x  4

(
)
(
x
2sin
1+ 1− x
2
= lim
x →0
x2
2
2
)
(
)
(
)
2
2

x
 sin  2 1 + 1 − x
2 .
= lim 

x →0
x
4


 2 
(
1 + x 2 − cos x
1 + x 2 − cos 2 x
x 2 + sin 2 x
=
lim
=
lim
x →0 2
x →0 2
x2
x
1 + x 2 + cos x
x
1 + x 2 + cos x
8) B = lim
(
x →0
)
(
)
2


 = 2.


)
 sin 2 x
 1 1
1
1
= lim  2 .
+
 = + = 1.
2
2
x →0
x
1
+
x
+
cos
x
1
+
x
+
cos
x

 2 2
1 − 2 x + 1 + sin x
1− 2x +1
sin x
= lim
+ lim
x →0
x →0
3x + 4 − 2 − x
3 x + 4 − 2 − x x →0 3 x + 4 − 2 − x
9) B = lim
) + lim sin x ( 3x + 4 + 2 + x )
− x ( x + 1)
( − x − x ) (1 + 2 x + 1 )
−2 ( 3x + 4 + 2 + x )
 sin x 3x + 4 + 2 + x 
= lim
+ lim 
.

− x −1
( − x − 1) (1 + 2 x + 1 )
 x

= lim
−2 x
x →0
(
3x + 4 + 2 + x
2
x →0
x →0
x →0
= 4 − 4 = 0.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
69
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
10) B = lim
x →0
= lim
x →0
Bài 4.
2x
(
sin x
2x + 1 − 3 x2 + 1
2x + 1 −1 + 1 − 3 x2 + 1
2 x + 1 −1
1 − 3 x2 + 1
= lim
= lim
+ lim
x →0
x →0
x →0
sin x
sin x
sin x
sin x
+ lim
)
2x +1 +1
x →0
− x2
2 

sin x 1 + 3 x 2 + 1 + 3 ( x 2 + 1) 


= 1.


− x 
4


1) C = lim  tan 2 x tan 
x→

4

Đặt t = x −
4
, vì x →

4
 t → 0. Khi đó:
 


cos 2t 1
C = lim  tan  2t +  (−1) tan t  = lim ( cot 2t tan t ) = lim
= .
t →0
t
→
0
t
→
0
2
2 cos 2 t 2
 

2) C = lim
x →
1 + cos x
(x − )
2
Đặt t = x −  , vì x →   t → 0. Khi đó:
1 − cos t
C = lim
= lim
t →0
t →0
t2
3) C = lim
x →
2sin 2
t2
t
2 = 1.
2
sin ( x − 1)
x2 − 4 x + 3
Đặt t = x −  , vì x → 1  t → 0. Khi đó:
C = lim
x →
sin ( x − 1)
sin ( x − 1)
sint
1
=
lim
= lim
=− .
2
x
→

t
→
0
x − 4x + 3
t (t − 2)
2
( x − 1)( x − 3)
4) C = lim
x →a
sin x − sin a
x−a
Đặt t = x − a . vì x → a  t → 0. Khi đó:
t + 2a
t
2 cos
.sin
sin ( t + a ) − sin a
2
2 = cos a .
C = lim
= lim
t →0
t →0
t
t
2.
2
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Tính các giới hạn sau:
x −3
1. lim 2
.
x →3 x − x − 6
x+3
2
x →−3 x + 2 x − 3
3. lim
Fb: ThayTrongDGL
1
ĐS:
5
ĐS:
1
4
x 2 + 2 x − 15
2. lim
.
x →3
x −3
4. lim
x →2
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
ĐS : 8
ĐS:
1
.
4
70
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x 2 + 3x + 2
.
x →−2
4 − x2
ĐS:
−1
4
6. lim
x 2 − 7 x + 12
.
x2 − 9
ĐS: − .
x2 −1
.
x 2 + 3x − 4
ĐS:
2
5
8. lim
x2 + x − 6
.
x2 − 4
ĐS:
ĐS:
11
.
4
10. l im
ĐS:
11
.
7
12. lim
5. lim
7. lim
x →1
2 x 2 + 3x − 14
.
x →2
x2 − 4
9. lim
3x 2 − x − 10
.
x →2 4 x 2 + x − 18
11. lim
4 − x2
13. lim 2
.
x →2 2 x − 10 x + 12
15. lim
x →3
x →2
ĐS:
3x 2 − 10 x + 3
17. lim 2
.
x →3 x − 5 x + 6
x2 − 9
.
x →3 x 2 − 4 x + 3
x →5
1
.
3
16. lim
x →5
ĐS: 8
( x + 1)
26. lim
x →0
ĐS: 3.
ĐS: 27.
x 4 − 27 x
28. lim 2
.
x →3 2 x − 3 x − 9
x
29. lim
x3 − 5x 2 + 10 x − 8
.
x−2
ĐS: 2.
30. lim
31. lim
x3 − 2 x − 4
.
x2 − 4
ĐS:
5
.
2
32. lim
x →2
2 x 2 − x − 10
.
x →−2 x 3 − x + 6
33. lim
35. lim
x →2
37. lim
x →1
x2 − 4
.
x3 − 3x − 2
x 2 + 3x − 4
2x + x − 3
3
Fb: ThayTrongDGL
2
.
ĐS: 4
3 2
ĐS: −
.
2
x3 + 2 2
25. lim
.
x →− 2
x2 − 2
x →2
1
.
5
ĐS: 12.
1
2
.
ĐS:
x3 − 8
24. lim 2
.
x →2 x − 3 x + 2
x2 − x − 2 + 2
.
23. lim
x→ 2
x3 − 2 2
x
−4
.
7
2 2 −1
ĐS:
.
6
ĐS: 12
x →0
ĐS:
ĐS:
8 − x3
.
x2 − 5x + 6
27.
1
.
2
8 + x3
.
x →−2 x 2 + 11x + 18
21. lim
− 27
ĐS:
22. lim
20. lim
3
ĐS: 3
ĐS: −16.
ĐS: − .
( x + 1)
lim
x 2 − 9 x + 20
.
x2 − 5x
5
.
4
x 4 − 16
.
x →−2 x 2 + 6 x + 8
x3 − 5 x 2 + 6 x
.
9 − x2
x →2
x2 − 5x
.
x2 − 25
x2 + 2x − 3
18. lim 2
.
x →3 2 x − x − 1
19. lim
x →3
1
6
4 − x2
14. lim 2
.
x →2 2 x − x − 6
ĐS: 2
x2 − 5x + 6
.
x 2 − 3x
x →3
ĐS: −
9
.
11
3
−1
.
12
.
7
ĐS: 9.
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
.
x →1
x2 −1
ĐS: −1.
x3 + 3x 2 + 2 x
.
x →−2
x2 − x − 6
ĐS: − .
2
5
34. lim
x3 − x 2 − x + 1
.
x2 − 2 x + 1
ĐS: 2.
x3 − 2 x 2 − x + 2
.
x2 − 4
ĐS:
x →1
ĐS:
4
.
9
36. lim
ĐS:
5
8
38. lim
x →2
3x3 − 4 x 2 − 2 x + 3
.
x →1
3x 2 − 2 x − 1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
3
.
4
ĐS: −
1
4
71
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
39. lim
x →2
x3 + x 2 − 5 x − 2
x 2 − 3x + 2
ĐS: 11
x2 − 2 x − 8
x →−2 3 x 3 + 4 x 2 − x + 6
ĐS: −
41. lim
6
.
19
x 3 − 5 x 2 + 3x + 9
x4 − 8x2 − 9
ĐS: 0 .
45. lim
x + 2 x −3
x −5 x + 4
ĐS: − .
47. lim
x5 − 2 x 4 + x − 2
x2 − 4
43. lim
x →3
2 x3 − 5 x + 3
x →1 x 2 − 3 x + 2
40. lim
ĐS: -1
42. lim
1 − x3
x4 − 4x2 + 3
ĐS:
3
.
4
44. lim1
6 x3 − 5 x 2 + 4 x − 1
9 x4 + 8x2 −1
ĐS:
2
.
5
1
.
2
x →1
x→
3
4
3
46. lim
x3 − 3x + 2
x4 − 4 x + 3
ĐS:
ĐS:
17
.
4
48. lim
x 4 − x3 − x + 1
x3 − 5 x 2 + 7 x − 3
ĐS: − .
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x →3 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3
ĐS:
11
.
17
50. lim
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x →3 4 x3 − 12 x 2 + 4 x − 12
ĐS:
11
.
20
52. lim
x →1
x →2
49. lim
51. lim
2 x 4 + 8 x3 + 7 x 2 − 4 x − 4
7
53. lim
ĐS: − .
3
2
x →−2
3x + 14 x + 20 x + 8
4
55. lim
x →1
x 4 − 5 x3 + 9 x 2 − 7 x + 2
ĐS: 0 .
x 4 − 3x 3 + x 2 + 3x − 2
x →1
x →1
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
x →−1
x3 + x 2 − x − 1
3
x →1
x2 − 2 3 x + 1
( x − 1)2
3
2
ĐS:
1
.
2
ĐS:
1
.
9
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
7 3
54. lim
ĐS:
2
x →− 3
3− x
6
56. lim
x →1
x5 + x 4 + x3 + x 2 + x − 5
15
ĐS: .
2
x −1
2

57. lim 
− 2  ĐS: .
x →1 x − 1
x −1 
2


58. lim 
− 3
 ĐS: .
x→2 x − 2
x −8 
2


59. lim  2
+ 2
 ĐS: −2 .
x →2 x − 3x + 2
x − 5x + 6 


60. lim 
−
 ĐS: .
2
x →−2
2
 x+2 4− x 

61. lim  2
− 3  ĐS: .
x →1 x + x − 2
x −1 
9

62. lim
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2x − 3
12
x − 26
1
7
(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3x) − 1
ĐS: 6 .
x →0
x
63. lim
n
xn −1
ĐS: .
m
m
x −1
64. lim
x n − nx + n − 1
(n − 2)(n − 1)
ĐS:
.
2
( x − 1)
2
65. lim
x100 − 2 x + 1
ĐS: 2 .
x50 − 2 x + 1
66. lim
x + x 2 + ... + x n − n
n(n + 1)
ĐS:
.
x −1
2
x →1
x →1
x →1
x →1
Lời giải
1. lim
x −3
x −3
1
1
= lim
= lim
= .
x
→
3
x
→
3
x − x−6
x+2 5
( x + 2 )( x − 3)
2. lim
( x − 3)( x + 5) = lim x + 5 = 8
x 2 + 2 x − 15
= lim
( )
x →3
x →3
x −3
x −3
x →3
x →3
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
72
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x+3
x+3
= lim
x →−3 ( x + 3)( x − 1)
x →−3 x + 2 x − 3
3. lim
4. lim
x →2
2
( x − 1)( x − 2 )
x 2 − 3x + 2
1
1
x −1 1
= lim
= lim
= . = lim
= .
2
x
→
2
x −4
( x − 2 )( x + 2 ) x→−3 x − 1 4 x→2 x + 2 4
( x + 1)( x + 2 ) = lim x + 1 = − 1 .
x 2 + 3x + 2
= lim
2
x →−2
x →−2 ( 2 − x )( 2 + x )
x →−2 2 − x
4− x
4
5. lim
6. lim
( x − 3)( x − 4 ) = lim x − 4 = − 1 .
x 2 − 7 x + 12
= lim
2
x →3 ( x − 3)( x + 3)
x →3 x + 3
x −9
6
7. lim
( x − 1)( x + 1) = lim x + 1 = 2
x2 −1
= lim
2
x + 3x − 4 x→1 ( x − 1)( x + 4 ) x→1 x + 4 5
x →3
x →1
( x − 2 )( x + 3) = lim x + 3 = 5 .
x2 + x − 6
8. lim 2
= lim
x →2
x →2 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2 x + 2
x −4
4
( x − 2 )( 2 x + 7 ) = lim 2 x + 7 = 11 .
2 x 2 + 3x − 14
= lim
2
x →2
x →2 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2 x + 2
x −4
4
9. lim
( x − 3)( x + 3) = lim x + 3 = 3.
x2 − 9
= lim
2
x →3 x − 4 x + 3
x →3 ( x − 3)( x − 1)
x →3 x − 1
10. l im
( x − 2 )( 3x + 5) = lim 3x + 5 = 11 .
3x 2 − x − 10
11. lim 2
= lim
x →2 4 x + x − 18
x →2 ( x − 2 )( 4 x + 9 )
x →2 4 x + 9
17
12. lim
x →5
x ( x − 5)
x2 − 5x
x
1
= lim
= lim
= .
2
x
→
5
x
→
5
x − 25
x+5 2
( x − 5)( x + 5)
( 2 − x )( 2 + x ) = lim − x − 2 = 2.
4 − x2
= lim
2
x →2 2 x − 10 x + 12
x →2 2 ( x − 2 )( x − 3)
x →2 2 ( x − 3 )
13. lim
( 2 − x )( 2 + x ) = lim − x − 2 = −4 .
4 − x2
= lim
2
x →2 2 x − x − 6
x →2 ( x − 2 )( 2 x + 3)
x →2 2 x + 3
7
14. lim
( x − 2 )( x − 3) = lim x − 2 = 1 .
x2 − 5x + 6
15. lim 2
= lim
x →3
x
→
3
x →3
x − 3x
x ( x − 2)
2
3
16. lim
( x − 4 )( x − 5) = lim x − 4 = 1 .
x 2 − 9 x + 20
= lim
2
x →5
x →5
x − 5x
x ( x − 5)
x
5
17. lim
( x − 3)( 3x − 1) = lim 3x − 1 = 8.
x2 − 5x + 6
= lim
2
x →3 ( x − 2 )( x − 3)
x →3 x − 2
x − 3x
18. lim
( x − 1)( x + 3) = lim x + 3 = 4.
x2 + 2 x − 3
= lim
2
2 x − x − 1 x→3 ( x − 1)( 2 x − 1) x→3 2 x − 1
x →5
x →3
x →3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
73
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
19. lim
x →3
x ( x − 2 )( x − 3)
x ( x − 2)
x3 − 5 x 2 + 6 x
1
= lim
= lim
=−
2
x →3 ( 3 − x )( 3 + x )
x →3 − x − 3
9− x
2
x 2 + 4 ) ( x − 2 )( x + 2 )
x2 + 4) ( x − 2)
(
(
x 4 − 16
20. lim 2
= lim
= lim
= −16
x →−2 x + 6 x + 8
x →−2
x →−2
x+4
( x + 2)( 4 + x )
( 2 − x) ( 4 + 2x + x
8 − x3
21. lim 2
= lim
x →2 x − 5 x + 6
x →2
( x − 2)( x − 3)
2
)
− ( x2 + 2x + 4)
( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
8 + x3
= lim
= 12.
22. lim 2
= lim
x→2
x →−2 x + 11x + 18
x →−2
x−3
( x + 2 )( x + 9 )
x 2 − 2 x + 4 12
= lim
= .
x →−2
x+9
7
23. lim
x→ 2
24. lim
x →2
(
)(
)(
)
x − 2 x −1 + 2
x2 − x − 2 + 2
x −1 + 2
2 2 −1
=
lim
= lim 2
=
.
3
2
x→ 2
6
x −2 2
x − 2 x + 2 x + 2 x→ 2 x + 2 x + 2
(
)
( x − 2) ( x2 + 2x + 4)
x3 − 8
x2 + 2 x + 4
= lim
= lim
= 12.
x →2
x 2 − 3x + 2 x→2 ( x − 1)( x − 2 )
x −1
(
)(
)
x − 2 x2 − 2x + 2
x3 + 2 2
x2 − 2 x + 2
3 2
=
lim
=
lim
=−
.
25. lim
2
x →− 2
x →− 2
x →− 2
x −2
2
x− 2
x− 2 x+ 2
26. lim
( x + 1)
x →0
3
= lim
x →0
x
( x + 1)
27. lim
3
x →0
−1
x
− 27
(
)(
)
x3 + 3x 2 + 3x
= lim ( x 2 + 3 x + 3) = 3.
x →0
x
2
x ( x + 3 ) + 3 ( x + 3 ) + 9 
 = lim  x + 3 2 + 3 x + 3 + 9 = 27.
= lim 
( ) ( ) 
x →0
x →0 
x
x ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 )
x ( x 2 + 3x + 9 )
x 4 − 27 x
=
lim
=
lim
= 9.
x →3 2 x 2 − 3x − 9
x →3
x →3
2x + 3
( x − 3)( 2 x + 3)
28. lim
( x − 2 ) ( x 2 − 3x + 4 )
x3 − 5 x 2 + 10 x − 8
= lim
= lim ( x 2 − 3 x + 4 ) = 2.
29. lim
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
( x − 1) ( 2 x2 − 3x − 1)
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
2 x 2 − 3x − 1
=
lim
=
lim
= −1.
x →1
x →1
x →1
x2 −1
x +1
( x − 1)( x + 1)
30 lim
( x − 2) ( x2 + 2x + 2)
x3 − 2 x − 4
x2 + 2x + 2 5
31. lim
=
lim
=
lim
= .
x →2
x →2
x →2
x2 − 4
x+2
2
( x − 2)( x + 2 )
x ( x + 1)( x + 2 )
x ( x + 1)
x3 + 3x 2 + 2 x
2
32. lim
=
lim
=
lim
=− .
2
x →−2
x
→−
2
x
→−
2
x − x−6
x −3
5
( x + 2 )( x − 3)
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
74
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
( x + 2 )( 2 x − 5) = lim 2 x + 5 = − 9 .
2 x 2 − x − 10
= lim
3
x →−2 x − x + 6
x →−2 x + 2
(
) ( x 2 − 2 x + 3) x→−2 x 2 − 2 x + 3 11
33. lim
( x − 1) ( x + 1) = lim x + 1 = 2.
x3 − x 2 − x + 1
34. lim 2
. = lim
( )
2
x →1
x →1
x →1
x − 2x +1
( x − 1)
2
( x − 2 )( x + 2 ) = lim x + 2 = 4 .
x2 − 4
35. lim 3
= lim
2
2
x →2 x − 3 x − 2
x →2
( x − 2 )( x + 1) x→2 ( x + 1) 9
( x − 2) ( x2 − 1)
x3 − 2 x 2 − x + 2
x2 −1 3
36. lim
= lim
= lim
= .
x →2
x →2 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2 x + 2
x2 − 4
4
x 2 + 3x − 4
( x − 1)( x + 4)
x+4
5
= lim
= lim 2
=
x →1 2 x3 + x 2 − 3
x →1 ( x − 1)(2 x 2 + 3 x + 3)
x →1 2 x + 3 x + 3
8
37. lim
3x3 − 4 x 2 − 2 x + 3
( x − 1)(3x 2 − x − 3)
3x 2 − x − 3
1
=
lim
=
lim
=−
2
x →1
x →1
x →1
3x − 2 x − 1
( x − 1)(3x + 1)
3x + 1
4
38 lim
39. lim
x →2
x3 + x 2 − 5 x − 2
( x − 2)( x 2 + 3x + 1)
x 2 + 3x + 1
=
lim
=
lim
= 11 .
x →2
x →2
x 2 − 3x + 2
( x − 2)( x − 1)
x −1
2 x3 − 5 x + 3
( x − 1)(2 x 2 + 2 x − 3)
2 x2 + 2 x − 3
=
lim
=
lim
= −1 .
x →1 x 2 − 3x + 2
x →1
x →1
( x − 2)( x − 1)
x−2
40. lim
x2 − 2x − 8
( x + 2)( x − 4)
x−4
6
= lim
= lim 2
=− .
3
2
2
x →−2 3x + 4 x − x + 6
x →−2 ( x + 2)(3x − 2 x + 3)
x →−2 3x − 2 x + 3
19
41. lim
42. lim
1 − x3
( x − 1)(− x 2 − x − 1)
− x2 − x −1
3
=
lim
=
lim
= .
4
2
3
2
3
2
x − 4 x + 3 x→1 ( x − 1)( x + x − 3x − 3) x→1 x + x − 3x − 3 4
43. lim
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
( x − 3)( x 2 − 2 x − 3)
x2 − 2 x − 3
=
lim
=
lim
=0.
x →3 ( x − 3)( x 3 + 3 x 2 + x + 3)
x →3 x 3 + 3 x 2 + x + 3
x4 − 8x2 − 9
x →1
x →3
6 x3 − 5 x 2 + 4 x − 1
(3x − 1)(2 x 2 − x + 1)
2x2 − x + 1
2
= lim
= lim 3
= .
44. lim
4
2
3
2
2
1
1
1
9 x + 8x − 1
5
x→
x → (3 x − 1)(3 x + x + 3 x + 1)
x → 3x + x + 3x + 1
3
45. lim
x →1
3
3
x + 2 x −3
( x − 1)( x + 3)
x +3
4
= lim
= lim
=− .
3
x − 5 x + 4 x→1 ( x − 1)( x − 4) x→1 x − 4
x3 − 3x + 2
( x + 2)( x 2 − 2 x + 1)
x+2
1
= lim 2
= lim 2
= .
46. lim 4
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1 ( x − 2 x + 1)( x + 2 x + 3)
x →1 x + 2 x + 3
2
47. lim
x5 − 2 x 4 + x − 2
( x − 2)( x 4 + 1)
x 4 + 1 17
=
lim
=
lim
= .
x →2 ( x − 2)( x + 2)
x →2 x + 2
x2 − 4
4
48. lim
x 4 − x3 − x + 1
( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + x + 1)
x2 + x + 1
3
=
lim
=
lim
=− .
3
2
2
x →1
x − 5 x + 7 x − 3 x→1 ( x − 2 x + 1)( x − 3)
x −3
2
x →2
x →1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
75
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
( x − 3)(2 x 2 + x + 1)
2 x 2 + x + 1 11
=
lim
=
lim
= .
x →3 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3
x →3 ( x − 3)(4 x 2 − x + 1)
x →3 4 x 2 − x + 1
17
49. lim
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
(2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1)
2x +1 1
=
lim
= lim
= .
3
2
2
x →−1
x →−1 ( x − 1)( x + 2 x + 1)
x →−1 x − 1
x + x − x −1
2
50. lim
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
( x − 3)(2 x 2 + x + 1)
2 x 2 + x + 1 11
=
lim
=
lim
= .
x →3 4 x3 − 12 x 2 + 4 x − 12
x →3
x →3 4( x 2 + 1)
4( x − 3)( x 2 + 1)
20
51. lim
3
52. lim
x →1
x2 − 2 3 x + 1
( 3 x − 1)2
1
1
=
lim
= lim
= .
2
3
3
2
2
2
2
2
x →1 3
x →1
( x − 1)
9
( x − 1) ( x + 3 x + 1)
( x + 3 x + 1)
2 x 4 + 8 x3 + 7 x 2 − 4 x − 4
(2 x 2 − 1)( x 2 + 4 x + 4)
2x2 −1
7
=
lim
=
lim
=− .
3
2
2
x →−2
x →−2 (3 x + 2)( x + 4 x + 4)
x →−2 3 x + 2
3x + 14 x + 20 x + 8
4
53. lim
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
( x + 3)(2 x 2 − (3 − 2 3) x + 7 − 3 3)
=
lim
3
x →− 3
3 − x2
( 3 − x)( 3 + x)
54. lim
x →−
= lim
x →−
2 x 2 − (3 − 2 3) x + 7 − 3 3 7 3
=
3
6
3−x
55. lim
x 4 − 5 x3 + 9 x 2 − 7 x + 2
( x − 1)3 ( x − 2)
x −1
=
lim
= lim
= 0.
4
3
2
2
x
→
1
x
→
1
x − 3x + x + 3x − 2
( x − 1) ( x − 2)( x + 1)
x +1
56. lim
x5 + x 4 + x3 + x 2 + x − 5
( x − 1)( x 4 + 2 x3 + 3x 2 + 4 x + 5)
=
lim
x →1
x2 −1
( x − 1)( x + 1)
x →1
x →1
= lim
x →1
x 4 + 2 x3 + 3x 2 + 4 x + 5 15
= .
x +1
2
2 
x −1
1
1
 1
57. lim 
− 2  = lim
= lim
= .
x →1 x − 1
x
→
1
x
→
1
x −1 
( x − 1)( x + 1)
x +1 2

12 
( x − 2)( x + 4)
x+4
1
 1
58. lim 
− 3
= lim 2
= .
 = lim
2
x →2 x − 2
x
→
2
x
→
2
x −8 
( x − 2)( x + 2 x + 4)
x + 2x + 4 2

1
1
2( x − 2)
2


59. lim  2
+ 2
= lim
= −2 .
 = lim
x →2 x − 3x + 2
x
→
2
x
→
2
x − 5x + 6 
( x − 2)( x − 3)( x − 1)
( x − 3)( x − 1)

2( x − 5)( x + 2)
2( x − 5) 7
 2 x − 3 x − 26 
60. lim 
−
= lim
= lim
= .
2 
x →−2
x
→−
2
x
→−
2
( x − 2)( x + 2)
x−2
2
 x+2 4− x 
1
1 
( x − 1)( x + 1)
x +1
2

61. lim  2
− 3  = lim
= lim
= .
2
2
x →1 x + x − 2
x − 1  x→1 ( x − 1)( x + 2)( x + x + 1) x→1 ( x + 2)( x + x + 1) 9

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3x) − 1
x(6 x 2 + 11x + 6)
62. lim
= lim
= lim ( 6 x 2 + 11x + 6 ) = 6 .
x →0
x
→
0
x →0
x
x
63. lim
x →1
xn −1
( x − 1)( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1)
x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 n
=
lim
=
lim
= .
x m − 1 x→1 ( x − 1)( x m−1 + x m−2 + ... + x + 1) x→1 x m−1 + x m−2 + ... + x + 1 m
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
76
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
64. lim
x →1
x n − nx + n − 1
( x − 1)( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n( x − 1)
=
lim
x →1
( x − 1)2
( x − 1)2
( x n−1 − 1) + ( x n−2 − 1) + ... + ( x 2 − 1) + ( x − 1)
x →1
x −1
n−2
n −3
= lim ( ( x + x + ... + x + 1) + ( xn−3 + xn−4 + ... + x + 1) + ... + 1)
= lim
x→1
= (n − 2) + (n − 3) + ... + 2 + 1 =
65. lim
x →1
(n − 2)(n − 1)
2
( x − 1)( x99 + x98 + ... + x + 1) − ( x − 1)
x100 − 2 x + 1
x99 + x98 + ... + x 49
.
=
lim
=
lim
=
x →1 ( x − 1)( x 49 + x 48 + ... + x + 1) − ( x − 1)
x →1 x 49 + x 48 + ... + x
x50 − 2 x + 1
24
x + x 2 + ... + x n − n
( x − 1) + ( x 2 − 1) + ... + ( x n − 1)
66. lim
= lim
x →1
x →1
x −1
x −1
n −1
( x − 1) + ( x − 1)( x + 1) + ... + ( x − 1)( x + x n−2 + ... + x + 1)
= lim
x →1
x −1
= lim(1 + ( x + 1) + ... + ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1)) = 1 + 2 + 3 + ... + n =
x →1
Bài 2.
n(n + 1)
2
Tính các giới hạn sau:
1. lim
x →1
x+3 −2
x −1
3− x +3
x →6
x−6
3. lim
ĐS:
1
.
4
2. lim
x →−2
4. lim
6. lim
4 + x + x2 − 2
x +1
1
ĐS: − .
4
7. lim
x+2 −2
x2 − 4
ĐS:
9. lim
x2 − 9
x +1 − 2
ĐS: 24.
10. lim
ĐS: −56 .
12. lim
x→2
x →3
x 2 − 49
x →7 2 −
x −3
11. lim
1
.
16
x →3
2 − 3x − 2
x→2
x2 − 4
3
.
16
x −3
x →9 9 x − x 2
ĐS: −
1
.
54
2x − x + 3
x →1
x2 −1
ĐS:
2
.
9
14. lim
15. lim
4x +1 − 3
x2 − 2x
ĐS:
1
.
3
16. lim
3x − 3 − 3
x2 − 4x
x+2 −2
x → 2 2 x 2 + x − 10
ĐS:
1
.
4
18. lim
x 2 − 3x + 2
x −1 −1
Fb: ThayTrongDGL
1
.
4
ĐS: −
ĐS:
17. lim
ĐS:
8. lim
x − 3 + 2x
x 2 − 3x
x →2
ĐS: −6 .
x 2 − 3x − x
2x − 6
13. lim
x →3
ĐS: 2
x −8
x →8 3 − x + 1
1
ĐS: − .
6
5. lim
x →−1
x+2
x + 3 −1
x →1
x →4
x →2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
x2 − x
2 x − x2 −1
7
.
8
ĐS:  .
ĐS:
1
.
8
ĐS: 2 .
77
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
19. lim
x 2 − 3x − 4
x +5 −3
ĐS: 30 .
20. lim
21. lim
x −1
2
x −1
ĐS:
1
.
4
22. lim
x →4
x →1
x →1
x3 + 1 − 1
x2 + x
ĐS: 0 .
24. lim
25. lim
2x − x2 −1
x2 − x
ĐS: 0 .
26. lim
27. lim
x2 − x
2x + 7 + x − 4
ĐS:
3
.
4
28. lim
2 x + 5 − 2 x2 + x + 8
5
ĐS: .
2
x →−1
x + 3x + 2
2
30. lim
x →1
x →1
x+2
1
.
4
ĐS: −12 .
1
ĐS: − .
2
1 − x3 − 3
x →−2
2x + 5 + x − 5
x2 − 2 x
ĐS:
2
.
3
x − 2 + 7 − 2x
x →−1
x2 −1
ĐS:
1
.
6
x→2
29. lim
3x + 3
31. lim
x →−1 3 + 2 x −
x+2
ĐS:
3x 2 − 3( x + 1)
x →2 3 − 4 x + 1
23. lim
x →0
3x + 1 − 2
x2 + x − 2
5x − 6 − x + 2
x−2
x →2
ĐS: 1 .
x2 − 2 x + 6 − x2 + 2x − 6
1
32. lim
ĐS: − .
2
x →3
x − 4x + 3
3
ĐS: 6 .
33. lim
x2 + x + 2 − 1 − x
x4 + 4
ĐS: 0 .
34. lim
35. lim
3− x
x−5 −2
2
ĐS: − .
3
36. lim
3x + 1 − x + 3
x +8 −3
ĐS: 3 .
37. lim
x + 2 − 2x
x −1 − 3 − x
1
ĐS: − .
4
38. lim
x+3 −2
4 x + 5 − 3x + 6
ĐS:
3
.
2
39. lim
x + 1 − 3x − 5
2x + 3 − x + 6
ĐS: −3 .
40. lim
ĐS:
2 5
.
3
41. lim
x −1
x + 3 + x 2 − 3x
4
ĐS: − .
3
42. lim
x →−1
x →9
x→2
x →3
x →1
x − 1 + x 4 − 3x3 + x 2 + 3
43. lim
x→2
2x − 2
x→2
2− x+2
x+7 −3
x →1
x →1
2x2 + 1 − 2 x + 5
x2 + 1 − x + 3
x→2
4
x →1
3
ĐS: − .
2
4x + 3 −1
x −1
ĐS: 1 .
ĐS: 1 .
Lời giải
1. Ta có lim
x+3 −2
( x + 3 − 2)( x + 3 + 2)
1
1
= lim
= lim
= .
x →1
x →1
x −1
( x − 1)( x + 3 + 2)
x+3 +2 4
2. Ta có lim
x+2
( x + 2)( x + 3 + 1)
= lim
= lim ( x + 3 + 1) = 2 .
x
→−
2
x + 3 −1
( x + 3 − 1)( x + 3 + 1) x→−2
x →1
x →−2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
78
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3. Ta có lim
x →6
3− x +3
(3 − x + 3)(3 + x + 3)
−1
1
= lim
= lim
=−
x
→
6
x
→
6
x−6
6
( x − 6)(3 + x + 3)
3+ x +3
x −8
( x − 8)(3 + x + 1)
3 + x +1
= lim
= lim
= −6 .
x →8 3 −
−1
x + 1 x→8 (3 − x + 1)(3 + x + 1) x→8
4. Ta có lim
5. Ta có lim
4 + x + x2 − 2
x( x + 1)
x
1
= lim
= lim
=− .
x →−1
x +1
4
( x + 1)( 4 + x + x 2 − 2) x→−1 4 + x + x 2 − 2
6. Ta có lim
2 x 2 − 3x − x
( 2 x 2 − 3x − x)( 2 x 2 − 3x + x)
= lim
x →3
2x − 6
(2 x − 6)( 2 x 2 − 3x + x)
x →−1
x →3
= lim
x →3
x( x − 3)
2( x − 3)( 2 x 2 − 3x + x)
7. Ta có lim
x →2
= lim
x →3
x
2( 2 x 2 − 3x + x)
=
1
.
4
2+ x −2
x−2
1
1
= lim
= lim
= .
2
x
→
2
x
→
2
x −4
( x − 2)( x + 2)( 2 + x − 2)
( x + 2)( 2 + x − 2) 16
2 − 3x − 2
3(2 − x)
3
3
= lim
= lim
=− .
2
x →2
x →2 ( x − 2)( x + 2)(2 + 3 x − 2)
x →2 ( x + 2)(2 + 3 x − 2)
x −4
16
8. Ta có lim
9. Ta có lim
x2 − 9
( x + 3)( x − 3)( x + 1 + 2)
= lim
= lim ( x + 3)( x + 1 + 2)  = 24 .
x + 1 − 2 x→3 ( x + 1 − 2)( x + 1 + 2) x→3 
10. Ta có lim
x −3
x −9
−1
1
= lim
= lim
=− .
2
x
→
9
x
→
9
9x − x
54
x(9 − x)( x + 3)
x( x + 3)
x →3
x →9
x 2 − 49
( x − 7)( x + 7)(2 + x − 3)
= lim
x →7 2 −
x − 3 x→7 (2 − x − 3)(2 + x − 3)
11. Ta có lim
( x − 7)( x + 7)(2 + x − 3)
= − lim( x + 7)(2 + x − 3) = −56
x →7
x →7
7−x
= lim
2x − x + 3
4x2 − x − 3
4x + 3
7
=
lim
= lim
= .
2
x →1
x →1 ( x − 1)( x + 1)(2 x +
x −1
x + 3) x→1 ( x + 1)(2 x + x + 3) 8
12. Ta có lim
13. Ta có lim
x →3
14. Ta có lim
x →1
x − 3 + 2x
x2 − 2x − 3
x +1
2
=
lim
= lim
= .
2
x →3 x( x − 3)( x + 3 + 2 x )
x →3 x( x + 3 + 2 x )
x − 3x
9
x2 − x
2 x − x2 −1
= lim
x →1
x( x − 1)( 2 x − x 2 + 1)
x( 2 x − x 2 + 1)
=
lim
= .
x →1
− x2 + 2x −1
−( x − 1)
15. Ta có lim
4x +1 − 3
4( x − 2)
4
1
= lim
= lim
= .
2
x
→
2
x
→
2
x − 2x
x( x − 2)( 4 x + 1 + 3)
x( 4 x + 1 + 3) 3
16. Ta có lim
3x − 3 − 3
3( x − 4)
3
1
= lim
= lim
= .
2
x →4 x( x − 4)( 3 x − 3 + 3)
x →4 x( 3 x − 3 + 3)
x − 4x
8
x →2
x →4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
79
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
17. Ta có lim
x →2
= lim
x →2
x+2 −2
( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)
x−2
= lim
= lim
2
x
→
2
x
→
2
2 x + x − 10
( x − 2)(2 x − 5)( x + 2 + 2)
(2 x − 5)( x − 2)( x + 2 + 2)
1
1
=−
4
(2 x − 5)( x + 2 + 2)
18. Ta có lim
x 2 − 3x + 2
( x − 1)( x − 2)( x − 1 + 1)
= lim
= lim( x − 1)( x − 1 + 1) = 2 .
x − 1 − 1 x→2 ( x − 1 − 1)( x − 1 + 1) x→2
19. Ta có lim
x 2 − 3x − 4
( x + 1)( x − 4)( x + 5 + 3)
= lim
= lim( x + 1)( x + 5 + 3) = 30 .
x →4
x−4
x + 5 − 3 x →4
20. Ta có lim
3x + 1 − 2
3( x − 1)
3
1
= lim
= lim
= .
2
x
→
1
x
→
1
x + x−2
( x − 1)( x + 2)( 3x + 1 + 2)
( x + 2)( 3x + 1 + 2) 4
21. Ta có lim
x −1
x −1
1
1
= lim
= lim
= .
x − 1 x→1 ( x + 1)( x − 1)( x + 1) x→1 ( x + 1)( x + 1) 4
x →2
x →4
x →1
x →1
2
3x 2 − 4( x + 1)
( x − 2)(3x + 2)(3 + 4 x + 1)
( x − 2)(3 x + 2)(3 + 4 x + 1)
= lim
= lim
x →2
x →2 3 − 4 x + 1
x →2 (3 − 4 x + 1)(3 + 4 x + 1)
4(2 − x)
22. Ta có lim
(3x + 2)(3 + 4 x + 1)
= −12 .
x →2
4
= lim
23. Ta có lim
x →0
24. Ta có lim
x →−2
x3 + 1 − 1
x3
x2
=
lim
=
lim
=0
x →0
x2 + x
x( x + 1)( x3 + 1 + 1) x→0 ( x + 1)( x3 + 1 + 1)
.
x+2
1 − x3 − 3
( x + 2)( 1 − x3 + 3)
1 − x3 + 3
1
=
lim
= .
2
2
x →−2 −( x + 2)( x − 2 x + 4)
x →−2 −( x − 2 x + 4)
2
= lim
25. Ta có lim
2x − x2 −1
−( x − 1)2
−( x − 1)
=
lim
= lim
=0
2
x →1
x −x
x( x − 1)( 2 x − x 2 + 1) x→1 x( 2 x − x 2 + 1)
26. Ta có lim
2x + 5 + x − 5
− x 2 + 12 x − 20
=
lim
x →2 x( x − 2)( 2 x + 5 − ( x + 5))
x2 − 2 x
x →1
x →2
= lim
x →2
−( x − 2)( x − 10)
−( x − 10)
2
= lim
=
x( x − 2)( 2 x + 5 − ( x + 5)) x →2 x( 2 x + 5 − ( x + 5)) 3
27. Ta có lim
x →1
x2 − x
x( x − 1)( 2 x + 7 − ( x − 4)
x( 2 x + 7 − ( x − 4) 3
= lim
= lim
=
2
x
→
1
x
→
1
− x + 10 x − 9
−( x − 9)
4
2x + 7 + x − 4
x − 2 + 7 − 2x
x2 − 2x − 3
=
lim
x →−1
x →−1 ( x − 1)( x + 1)(( x − 2) − 7 − 2 x )
x2 −1
28. Ta có lim
x+3
1
=
x →−1 ( x − 1)(( x − 2) − 7 − 2 x )
6
= lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
80
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x + 5 − 2 x2 + x + 8
2 x + 17
5
= lim
=
2
x →−1
x →−1
x + 3x + 2
( x + 2)((2 x + 5) + 2 x 2 + x + 8) 2
29. Ta có lim
30. Ta có lim
5x − 6 − x + 2
4( x − 2)
4
= lim
= lim
= 1.
x →2 ( x − 2)( 5 x − 6 +
x−2
x + 2) x→2 ( 5 x − 6 + x + 2)
31. Ta có lim
3x + 3
3( x + 1)( 3 + 2 x + x + 2)
= lim
= lim 3( 3 + 2 x + x + 2) = 6 .
x
→−
1
x →−1
x +1
3 + 2x − x + 2
32. Ta có lim
x2 − 2 x + 6 − x2 + 2x − 6
−4
1
= lim
= .
2
x →3
x − 4x + 3
( x − 1)( x 2 − 2 x + 6 + x 2 + 2 x − 6) 3
33. Ta có lim
x2 + x + 2 − 1 − x
x +1
= lim
= 0.
4
2
x →−1
x +x
x( x − x + 1)( x 2 + x + 2 + 1 − x )
x →2
x →−1
x →3
x →−1
2− x+2
x+7 +3
3
= − lim
=− .
x →2
x →2 2 +
2
x+7 −3
x+2
34. Ta có lim
35. Ta có lim
3− x
x −5 + 2
2
= − lim
=− .
x
→
9
3
x −5 −2
3+ x
36. Ta có lim
3x + 1 − x + 3
2( x + 8 + 3)
= lim
= 3.
x →1
x +8 −3
3x + 1 + x + 3
37. Ta có lim
x + 2 − 2x
x −1 + 3 − x
1
= lim
=− .
x
→
2
4
x −1 − 3 − x
x + 2 + 2x
38. Ta có lim
x+3 −2
4 x + 5 + 3x + 6 3
= lim
= .
2
4 x + 5 − 3x + 6 x →1
x+3 +2
39. Ta có lim
x + 1 − 3x + 5
2x + 3 + x + 6
= −2 lim
= −3 .
x
→
3
2x + 3 − x + 6
x + 1 + 3x + 5
x →9
x →1
x →2
x →1
x →3
2 x2 + 1 − 2 x + 5
40. Ta có lim
x2 + 1 − x + 3
x→2
= lim 2
x→2
x2 + 1 + x + 3
2 x2 + 1 + 2 x + 5
=
2 5
.
3
x −1
x + 3 − ( x 2 − 3x)
4
=
lim
=− .
3
2
2
3
x + 3 + x − 3x x→1 − x + 5 x − 4 x − 3
41. Ta có lim
x →1
42. Ta có lim
4x − 3 −1
4
= lim
= 1.
3
x
→
1
4
x −1
(4 x − 3) + 4 (4 x − 3)2 + 4 4 x − 3 + 1
43. Ta có lim
x − 1 + x 4 − 3x3 + x 2 + 3
= 1.
2x − 2
4
x →1
x→2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
81
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 3.
Tính các giới hạn sau:
3
1. lim
x →2
4x − 2
.
x−2
1− 3 1− x
x →0
x2 + x
3. lim
x −3
5. lim
x →3 3
x −1 − 2
2
2. lim
1
ĐS: .
3
4. lim
ĐS: 2 .
6. lim
5x − 4 − x
2 x2 − x −1
x →1
9. lim
x →3
x 3 − 27
x + 1 − 4 x + 28
3
2
x →−1
x −1
x →1 1 + 3 x − 2
ĐS: 3 .
x −1
x −1
ĐS: 3 .
ĐS: 54 .
10. lim
x+5 −2
x + x − 30
ĐS:
1
.
336
ĐS:
2
.
3
x →1
3
x →3
3
.
2
12. lim
13. lim
x −1
.
x+7 −2
ĐS: 6 .
14. lim
15. lim
2x −1 − 3 x
.
x −1
ĐS:
2
.
3
16. lim
17. lim
x −1
.
4x + 4 − 2
ĐS: 1 .
x + 9 + 3 2x − 6
.
x3 + 1
ĐS:
1+ x − 3 1− x
.
x2 − 4 x
1
ĐS: − .
6
22. lim
3x + 2 − x
.
3x − 2 − 2
ĐS: −1 .
24. lim
3
x →1
3
19. lim
x →1
3
21. lim
x →0
3
23. lim
x→2
1
.
12
3
3
x −1
x + +3 − 2
x →1
2
x2 + 3 − 2
3
ĐS: − .
3
2
x +1
x →−1
3
x −1
ĐS: 1 .
x − 2 +1
x →1
3
x →1 3
5
.
12
8. lim 3
ĐS:
ĐS:
x →1 3
5
.
12
ĐS: −
10 + 2 x3 + x − 1
.
x 2 + 3x + 2
x →−1
ĐS:
2 − 3 5x + 3
x →1
x −1
11. lim
3
5x − 3 + 2
x +1
2
.
9
3
7. lim
3
1
.
3
ĐS:
2
3
x+2+ 3 x
x2 −1
3
19 − x3 + 2
4x − 3 − 3
ĐS: −
3
2x −1 −1
x3 − 1
ĐS:
2
.
9
x +1 −1
2x +1 −1
ĐS:
2
.
3
18. lim
x →−1
20. lim
x →3
x →1
3
x →0 4
1
ĐS: − .
3
27
.
8
Lời giải
3
4x − 2
4
1
= lim
= .
x →2 3
x−2
16 x 2 + 2 3 4 x + 4 3
3
5x − 3 + 2
5
5
= lim
= .
2
x →−1 3
x +1
( 5 x − 3) − 2 3 5 x − 3 + 4 12
1) Ta có lim
x →2
2) Ta có lim
x →−1
1− 3 1− x
1
1
= lim
= .
2
x →0
x →0
2
x +x
3
( x + 1) 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x )
3) Ta có lim
Fb: ThayTrongDGL
(
)
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
82
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 − 3 5x + 3
−5
5
= lim
=− .
2
x →1
x
→
1
x −1
12
4 + 2 3 5 x + 3 + 3 ( 5 x + 3)
4) Ta có lim
x −3
5) Ta có lim
x2 −1 − 2
x →3 3
3
= lim
(x
2
− 1) + 2 3 x 2 − 1 + 4
2
x+3
x →3
(
= 2.
)
x −1
2
= lim 1 − 3 x − 2 + 3 ( x − 2 ) = 3.
3
x →1 1 +
x − 2 x→1
6) Ta có lim
5x − 4 − x
= lim
2 x 2 − x − 1 x→1 ( 2 x + 1)
− x2 − x + 4
(
(
)
3
7) Ta có lim
x →1
8) Ta có lim 3
x →1
9) Ta có lim
x →3
x −1
= lim
x − 1 x→1
3
3
( 5x − 4)
2
2
= .
9
+ 3 5x − 4 + 4
)
x 2 + 3 x + 1 = 3.
x 3 − 27
x + 1 − 3 4 x 2 + 28
( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) ( x + 1) + ( x + 1) 3 4 x 2 + 28 + 3 ( 4 x 2 + 28)
2
= lim

x →3
= lim
(x
x →3
2
( x − 3) ( x 2 + 2 x + 9 )
2


2
2

+ 3x + 9 ) ( x + 1) + ( x + 1) 3 4 x 2 + 28 + 3 ( 4 x 2 + 28 ) 

 = 72.
2
x + 2x + 9
x+5 −2
1
1
= lim
=
.
x + x − 30 x→3 x 2 + 3x + 10  3 x + 5 2 + 3 x + 5 + 4 336
(
)  ( )

3
10) Ta có lim
x →3
3
3
11) Ta có lim
x →−1
10 + 2 x3 + x − 1
= lim
x →−1
x 2 + 3x + 2
3x3 − 3x 2 + 3x + 9
( x + 1)( x + 2 )  3 (10 + 2 x3 )

= lim
x →−1
2
2
+ ( x − 1) 3 10 + 2 x3 + ( x − 1) 

3x − 6 x + 9
2
( x + 2 )  3 (10 + 2 x

3
12) Ta có lim
x →1
x −1
x +3 −2
2
)
3 2
3
= .
2
2
+ ( x − 1) 3 10 + 2 x3 + ( x − 1) 

= lim
x →1
x2 + 3 + 2
( x + 1) (
3
2
= .
x + 3 x +1 3
2
)
3
( x + 7) + 2 3 x + 7 + 4
x −1
= lim
= 6.
13) Ta có lim 3
x →1
x + 7 − 2 x→1
x +1
2
14) Ta có lim
x →−1
Fb: ThayTrongDGL
(
)
( x − 1) 3 x 2 − 3 x + 1
x2 + 3 − 2
3
= lim
=− .
3
x →−1
2
x +1
x2 + 3 + 2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
83
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2x −1 − 3 x
= lim
x →1
x −1
3
15) Ta có lim
x →1
x +1
2
= .
3
( 2 x − 1) + 3 x ( 2 x − 1) + 3 x 2 3
2
3
( x − 2) − 3 x − 2 + 1
x −1
16) Ta có lim 3
= lim
= 1.
3 2
x →1
x − 2 + 1 x→1
x + 3 x +1
2
3
3
( 4x + 4) + 2 3 4x + 4 + 4
x −1
= lim
= 1.
17) Ta có lim 3
x →1
4 x + 4 − 2 x→1
4 3 x2 + 3 x + 1
2
3
)
(
3
x+2 + 3 x
2
1
= lim
=− .
2
x →−1
2
x −1
( x − 1)  3 ( x + 2 ) − 3 x ( x + 2 ) + 3 x 2  3


3
x + 9 + 3 2x − 6
x3 + 1
18) Ta có lim
x →−1
19) Ta có lim
x →−1
= lim
x →−1
3
(x
2
− x + 1)  3 ( x + 9 )

2
1
= .
2
− 3 ( x + 9 )( 2 x − 6 ) + 3 ( 2 x + 6 )  2

(
)
( 9 − 3x + x 2 ) 4 x − 3 + 3
19 − x3 + 2
27
= lim
=− .
20) Ta có lim
x →3
8
4 x − 3 − 3 x →3 −4  3 19 − x3 2 − 2 3 19 − x3 + 4 
)
 (

3
3
1+ x − 3 1− x
2
1
= lim
=− .
2
x
→
0
2
2
x − 4x
( x − 4 )  3 (1 + x ) + 3 1 − x 2 + 3 (1 − x )  6


3
2x −1 −1
2
2
= lim
= .
3
x →1
x −1
( x2 + x + 1)  3 ( 2 x −1)2 + 3 2 x −1 + 1 9
21) Ta có lim
x →0
22) Ta có lim
x →1
(
)
− ( x + 1)
3x − 2 + 2
3x + 2 − x
23) Ta có lim
= lim
= −1.
x →2
3 x − 2 − 2 x →2 3  3 ( 3 x + 2 ) 2 + x 3 3 x + 2 + x 2 


2
3
(
)(
)
4
2x +1 +1 2x +1 +1 2
x + 1 −1
24) Ta có lim 4
= lim
= .
x →0
2 x + 1 − 1 x→0 2  3 ( x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 3


3
Bài 4.
Tính các giới hạn sau:
1) lim
x + 9 + x + 16 − 7
7
. ĐS:
x
24
2) lim
3) lim
2 x + 6 + 2x − 2 − 8
5
. ĐS:
x −3
6
4) lim
x →0
x →3
Fb: ThayTrongDGL
2 x + 2 + 5x + 4 − 5
4
. ĐS:
x −1
3
x →1
x →0
2 x +1 + x + 4 − 4
5
. ĐS:
x
4
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
84
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x x+2 + x+7 −7
8
5) lim
. ĐS:
x →2
x−2
3
7) lim
(5x − 4)
x →6
3
9) lim
x →1
2x x −1 + x2 − 8
6) lim
. ĐS: 8
x →2
x−2
2 x − 3 + x − 84
74
. ĐS:
3
x−6
8) lim
x →0
x3 + 7 − x 2 + 3
1
. ĐS: −
x −1
4
3
10) lim
x →2
3
x →1
3
15) lim
x →2
7
8 x + 11 − x + 7
. ĐS:
2
54
x − 3x + 2
3x 2 + 5 − x + 3
1
12) lim
. ĐS:
x →1
x −1
4
2 1+ x − 3 8 − x
13
11) lim
. ĐS:
x →0
x
12
13) lim
1 + 2 x − 3 1 + 3x
. ĐS: 0
x
3
x + 7 − 5 − x2
7
. ĐS:
x −1
12
14) lim
3x + 2 − 5 x − 6
. ĐS: −1
x−2
16) lim
3
3x + 2 − 3x − 2
1
. ĐS: −
x−2
2
3
2 x 2 + 4 x + 11 − x + 7
5
. ĐS: .
2
72
x −4
x →2
x →2
5 − x3 − 3 x 2 + 7
11
17) lim
. ĐS: −
2
x →1
x −1
24
3 3 4 x3 − 24 + x + 2 − 8 2 x − 3
17
18) lim
. ĐS: −
2
x →2
16
4− x
3x − 2 − 3 4 x 2 − x − 2
5
. ĐS:
2
x − 3x + 2
6
20) lim
21) lim
1 + x2 − 4 1 − 2 x
1
. ĐS:
2
x +x
2
22) lim
13
x + 6 − 4 7x + 2
. ĐS: −
96
x−2
23) lim
1 + 4x. 1 + 6x −1
. ĐS: 5
x
24) lim
1 + 2x.3 1 + 4x −1
7
. ĐS:
x
3
25) lim
3x + 1. 3 2 − x − 2
1
. ĐS:
x −1
12
26) lim
4 + x . 3 8 + 3x − 4
. ĐS: 1
x2 + x
27) lim
5
4x + 4 + 9 − 6x − 5
. ĐS: −
2
12
x
28) lim
1 + 2 x − 3 1 + 3x
1
. ĐS:
2
x
2
30) lim
4 x − 3 + 2 x − 1 − 3x + 1
5
. ĐS: − .
2
x − 2x +1
2
19) lim
x →1
3
x →0
x →0
x →1
x →0
6 x + 3 + 2 x2 − 5x
29) lim
( x − 1)
x →1
2
. ĐS:
x →1
3
x →2
x →0
x →0
x →0
11
6
x →1
17
−3x − 7 + 4 x + 3 + 2 2 x − 1
. ĐS: −
2
x →1
16
x − 2x +1
32) lim
31) lim
6 x2 + 2 − 2 x
1
. ĐS:
33) lim 3
x →1 x − x 2 − x + 1
8
x →2
3
35) lim
x →0
1 + 2 x − 3 1 + 3x
1
. ĐS:
2
x
2
Fb: ThayTrongDGL
x 2 x − 1 + 3 3x − 2 − 2
3
. ĐS:
2
x −1
2
34) lim
x2 − 4x + 4
2x + 8 − 2 2x − 3 + x − 4
2
2 x 2 − 6 x + 5 − 3 3x 2 − 9 x + 7
( x − 2)
x →2
36) lim
x →0
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
2
ĐS:
. ĐS:
8
9
1
2
1+ 4x − 3 1+ 6x
. ĐS: 2
x2
85
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
x + 9 + x + 16 − 7
.
x →0
x
 x +9 −3
x + 16 − 4 
Ta có I = lim 
+

x →0 
x
x


 x +9 −3
x+9 +3
x + 16 − 4
x + 16 + 4 


= lim
+
x →0 

x x+9 +3
x x + 16 + 4





x +9−9
x + 16 − 16 
x
= lim 
+
= lim 
+
x →0 
x →0 
x x + 9 + 3 x x + 16 + 4 
x x+9 +3 x



1
1
1 1 7


= lim 
+
= + = .

x →0
6 8 24
x + 16 + 4 
 x+9 +3
1) I = lim
(
)(
(
(
) (
)
(
) (
)(
)
)
)
(
) (
2x + 2 + 5x + 4 − 5
.
x →1
x −1
 2x + 2 − 2
5x + 4 − 3 
Ta có I = lim 
+

x →1 
x −1
x − 1 

 2x + 2 − 2
2x + 2 + 2
5x + 4 − 3 5x + 4 + 3
= lim 
+
x →1 
( x − 1) 2 x + 2 + 2
( x − 1) 5 x + 4 + 3



2x + 2 − 4
5x + 4 − 9


= lim
+
x →1 
x − 1) 2 x + 2 + 2 ( x − 1) 5 x + 4 + 3 
(



2 ( x − 1)
5 ( x − 1)

= lim 
+
x →1 
x − 1) 2 x + 2 + 2 ( x − 1) 5 x + 4 + 3 
(


2
5

 2 5 4
= lim 
+
 = + = .
x →1
5x + 4 + 3  4 6 3
 2x + 2 + 2


x + 16 + 4 

x
)
2) I = lim
(
(
)(
)
) (
)(
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
2 x + 6 + 2x − 2 − 8
.
x →3
x −3
 2 x+6 −6
2x − 2 − 2 
Ta có I = lim 
+

x →3 
x −3
x − 3 

2 x + 6 −3
x+6 +3
2x − 2 − 2
2x − 2 + 2
= lim 
+
x →3 
x − 3) x + 6 + 3
( x − 3) 2 x − 2 + 2
 (


2 ( x + 6 − 9)
2x − 2 − 4


= lim
+
x →3 
x − 3) x + 6 + 3 ( x − 3) 2 x − 2 + 2 
(

) 


3) I = lim
(
(
(
Fb: ThayTrongDGL
)(
)
)
) (
(
(
)(
)
) 


)
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
86
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

2 ( x − 3)
2 ( x − 3)
= lim 
+
x →3 
x − 3) x + 6 + 3 ( x − 3) 2 x − 2 + 2
(
2
2

 2 2 5
= lim 
+
= + = .
x →3
2x − 2 + 2  6 4 6
 x+6 +3
(
)
(
)




2 x +1 + x + 4 − 4
.
x →0
x
 2 x +1 − 2
x+4 −2
Ta có I = lim 
+


x →0
x
x


 2 x +1 −1
x +1 +1
x+4 −2
x+4 +2
= lim 
+
x →0 
x x +1 +1
x x+4+2

 2 x +1 −1

(
)
x+4−4 
2


= lim
+
= lim 
+
x →0 
x
→
0
x x +1 +1 x x + 4 + 2 
 x +1 +1


4) I = lim
(
(
(
)(
) (
)
) (
(
)(
)
)
) 


1
2 1 5

 = 2+4= 4
x+4 +2
x x+2 + x+7 −7
.
x−2

( x − 2) x + 2 + 2 x + 2 − 4 + x + 7 − 3
2 x+2 −4
x +7 −3
Ta có I = lim
= lim  x + 2 +
+

x →2
x →2
x−2
x−2
x − 2 

5) I = lim
x →2
(
)(
) (
)(
)
2 x + 2 − 2
x+2 +2
x +7 −3
x+7 +3 


= 2 + lim
+
x →2 
x − 2) x + 2 + 2
( x − 2 ) x + 7 + 3 
 (
2
1
2 1 8


= 2 + lim 
+
= 2 + 4 + 6 = 3.
x→2
x+7 +3
 x+2+2
2 x x −1 + x2 − 8
6) I = lim
.
x →2
x−2

2 ( x − 2) x −1 + 4 x −1 − 4 + x2 − 4
4 x − 1 − 4 x2 − 4 
Ta có I = lim
= lim  2 x − 1 +
+

x →2
x →2
x−2
x−2
x − 2 

 4 x −1 −1


x − 1 + 1 ( x − 2 )( x + 2 ) 
4 ( x − 1 − 1)



= 2 + lim
+
= 2 + lim
+ x + 2
x →2 
x →2 


x
−
2
x − 2) x + 1 + 1
x − 2) x + 1 + 1
 (

(

4
4


= 2 + lim 
+ x + 2  = 2 + + 4 = 8.
x →2
2
 x −1 +1

(
(
(
)
)(
)
(
)
)
(
)
(5x − 4)
2 x − 3 + x − 84
.
x →6
x−6
( 5x − 30) 2 x − 3 + 26 2 x − 3 − 78 + x − 6
Ta có I = lim
x →6
x−6
7) I = lim
 5 x − 6 2 x − 3 26
(
)
= lim 
+
x →6 
x−6

Fb: ThayTrongDGL
(
2x − 3 − 3
x−6
) + x − 6 
x − 6

Tài liệu biên soạn và sưu tầm
87
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
(
)(
)


26 2 x − 3 − 3
2x − 3 + 3
= lim 5 2 x − 3 +
+ 1
x →6 

( x − 6) 2x − 3 + 3


26 ( 2 x − 3 − 9 )
26.2 ( x − 6 )
= 15 + lim
+ 1 = 15 + lim
+1
x →6
x →6
( x − 6) 2 x − 3 + 3
( x − 6) 2x − 3 + 3
(
(
)
)
(
= 15 + lim
52
52
74
+ 1= 15 + + 1 = .
6
3
2x − 3 + 3
8) I = lim
1 + 2 x − 3 1 + 3x
.
x
x →6
x →0
)
 1 + 2 x − 1 1 − 3 1 + 3x 
1 + 2 x − 1 + 1 − 3 1 + 3x
= lim 
+

x →0
x
x
x


Ta có I = lim
x →0
) (
)(
)
2 

3
3
3
1
−
1
+
3
x
1
+
1
+
3
x
+
1
+
3
x
(
)
1
+
2
x
−
1
1
+
2
x
+
1


= lim 
+

x →0
2
x 1+ 2x +1
x 1 + 3 1 + 3x + 3 (1 + 3x )







1 − (1 + 3x )
 1+ 2x −1

2
−3

= lim 
+
+
 = lim
x →0
x
→
0
2
 1 + 2 x + 1 1 + 3 1 + 3x + 3 1 + 3x 2
(
)
 x 1 + 2 x + 1 x 1 + 3 1 + 3x + 3 (1 + 3x ) 



2 −3
= +
= 0.
2 3
(
(
)(
(
9) I = lim
)
3
x →1
(
(
)
)
x3 + 7 − x 2 + 3
.
x −1
Ta có I = lim
x →1
(
)
3
 3 x3 + 7 − 2 2 − x 2 + 3 
x3 + 7 − 2 + 2 − x 2 + 3
= lim 
+

x →1 

x −1
x
−
1
x
−
1


)
2
 3 3
3 3

3 3
2
2
 x + 7 − 2  ( x + 7) + 2 x + 7 + 4  2 − x + 3 2 + x + 3


= lim 
+
x →1
 ( x − 1)  3 x3 + 7 2 + 2 3 x3 + 7 + 4 
( x − 1) 2 + x 2 + 3
(
)







2
3


4 − ( x + 3)
x + 7 −8

= lim 
+
x →1
 ( x − 1)  3 x3 + 7 2 + 2 3 x 3 + 7 + 4  ( x − 1) 2 + x 2 + 3 
)
 (







3
2


x −1
1− x

= lim 
+
x →1
 ( x − 1)  3 x3 + 7 2 + 2 3 x 3 + 7 + 4  ( x − 1) 2 + x 2 + 3 
)
 (







x2 + x + 1
x +1  3 2
1

= lim 
−
= − =− .

2
2
x →1
12 4
4
3 3
3
 3 ( x + 7 ) + 2 x + 7 + 4 2 + x + 3 
Fb: ThayTrongDGL
(
(
)(
(
)
(
)
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
)
)





88
Chúc các em học tốt !




ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
10) I = lim
3
x →2
8 x + 11 − x + 7
.
x 2 − 3x + 2
Ta có I = lim
3
x →2
 3 8 x + 11 − 3 3 − x + 7 
8 x + 11 − 3 + 3 − x + 7
=
lim
+ 2


x →2  x 2 − 3 x + 2
x 2 − 3x + 2
x − 3x + 2 

)(
(
)
)
(
)
(
)
(
 3 8 x + 11 − 3 3 8 x + 11 2 + 3 3 8 x + 11 + 9

(
)
3− x + 7 3+ x + 7 

= lim 
+ 2

x →2
2
( x − 3x + 2 ) 3 + x + 7 
 ( x 2 − 3x + 2 ) 3 ( 8 x + 11) + 3 3 8 x + 11 + 9




9 − ( x + 7)


8 x + 11 − 27
= lim 
+ 2

x →2
2
 ( x 2 − 3x + 2 ) 3 (8 x + 11) + 3 3 8 x + 11 + 9 ( x − 3x + 2 ) 3 + x + 7 




8 ( x − 2)


2− x
= lim 
+

x →2
2
 ( x − 1)( x − 2 ) 3 ( 8 x + 11) + 3 3 8 x + 11 + 9 ( x − 1)( x − 2 ) 3 + x + 7 





 8 1 7
8
1
= lim 
−
− = .
=
x →2
2
 ( x − 1) 3 ( 8 x + 11) + 3 3 8 x + 11 + 9 ( x − 1) 3 + x + 7  27 6 54


(
)
(
)(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
2 1+ x − 3 8 − x
11) I = lim
.
x →0
x
 2 1+ x − 2 2 − 3 8 − x 
2 1+ x − 2 + 2 − 3 8 − x
= lim 
+

x →0
x →0
x
x
x


Ta có I = lim
) (
)(
2

3
3
3
2
−
8
−
x
4
+
2
8
−
x
+
8
−
x
(
)
2
1
+
x
−
1
1
+
x
+
1

= lim 
+
x →0
2
x 1+ x +1
x 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x )




8 − (8 − x )
 2 (1 + x − 1)

= lim 
+

x →0
2
 x 1 + x + 1 x 4 + 2 3 8 − x + 3 (8 − x ) 




2
1

 = 2 + 1 = 13 .
= lim
+
2
x →0  1 + x + 1
4 + 2 3 8 − x + 3 ( 8 − x )  2 12 12

(
(
(
12) I = lim
x →1
Fb: ThayTrongDGL
)(
)
3
)
(
(
)
) 


)
3x 2 + 5 − x + 3
.
x −1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
89
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có I = lim
3
x →1


= lim 
x →1


(
3
 3 3x 2 + 5 − 2 2 − x + 3 
3x 2 + 5 − 2 + 2 − x + 3
= lim 
+

x →1 

x −1
x
−
1
x
−
1


)
2


3x 2 + 5 − 2  3 ( 3x 2 + 5 ) + 2 3 3x 2 + 5 + 4  2 − x + 3 2 + x + 3

+
2
( x − 1) 2 + x + 3
( x − 1)  3 ( 3x 2 + 5) + 2 3 3x 2 + 5 + 4 


(
(


4 − ( x + 3)
3x 2 + 5 − 8
= lim 
+
x →1
 ( x − 1)  3 3x 2 + 5 2 + 2 3 3 x 2 + 5 + 4  ( x − 1) 2 + x + 3
)
 (




(


3 ( x 2 − 1)
1− x

= lim
+
x →1
2
 ( x − 1)  3 3x 2 + 5 + 2 3 3 x 2 + 5 + 4  ( x − 1) 2 + x + 3
)
 (




(
)
)
)(
)
)

















3 ( x + 1)
1

 6 1 1
= lim 
−
= − = .
2
x →1
3
2
2 + x + 3  12 4 4
3 3x 2 + 5
+
2
3
x
+
5
+
4
)
 (

13) I = lim
x + 7 − 5 − x2
.
x −1
3
x →1
Ta có I = lim
3
x →1
(
 3 x + 7 − 2 2 − 5 − x2
x + 7 − 2 + 2 − 5 − x2
= lim 
+
x →1 
x −1
x
−
1
x −1

)(
) (
)(




 3 x + 7 − 2 3 x + 7 2 + 23 x + 7 + 4
(
)
2 − 5 − x2 2 + 5 − x2

= lim 
+
x →1
2
3
3
( x − 1) 2 + 5 − x 2
 ( x − 1) ( x + 7 ) + 2 x + 7 + 4



4 − (5 − x2 )


x + 7 −8
= lim 
+

x →1
2
2
 ( x − 1) 3 ( x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4 ( x − 1) 2 + 5 − x 






x −1
x2 −1
= lim 
+

x →1
2
2
 ( x − 1) 3 ( x + 7 ) + 2 3 x + 7 + 4 ( x − 1) 2 + 5 − x 




1
x +1  1 2 7

= lim
+
= + = .
2
x →1  3
3
2 + 5 − x 2  12 4 12
x
+
7
+
2
x
+
7
+
4
(
)


(
14) I = lim
x →2
Fb: ThayTrongDGL
3
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
) 



3x + 2 − 3x − 2
.
x−2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
90
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có I = lim
3
x →2


= lim 
x →2


(
3
 3 3x + 2 − 2 2 − 3x − 2 
3x + 2 − 2 + 2 − 3x − 2
= lim 
+

x →2
x−2
x−2
x − 2 

3x + 2 − 2
(
)(
3
( 3x + 2 )
( x − 2 ) 3 ( 3x + 2 )


= lim 
x →2
 ( x − 2)

(
2
2
+ 2 3 3x + 2 + 4
+ 2 3 3x + 2 + 4
( 3x + 2 )
2

3x − 2 2 + 3x − 2 

( x − 2 ) 2 + 3x − 2 

(
)(
)
)


+

+ 2 3 3x + 2 + 4 ( x − 2 ) 2 + 3x − 2 

3x + 2 − 8
3
)
) + (2 −
4 − ( 3x − 2 )
)
(
)


3( x − 2)


6 − 3x
= lim 
+

x →2
2
 ( x − 2 ) 3 ( 3x + 2 ) + 2 3 3x + 2 + 4 ( x − 2 ) 2 + 3x − 2 




3
3

 = 3 + −3 = − 1 .
= lim
−
2
x →2  3
3
2
2 + 3x − 2  12 4
 ( 3x + 2 ) + 2 3x + 2 + 4

(
15) I = lim
3
x →2
)
(
)
3x + 2 − 5 x − 6
.
x−2
Ta có I = lim
3
x →2
(
 3 3x + 2 − 2 2 − 5 x − 6 
3x + 2 − 2 + 2 − 5 x − 6
= lim 
+

x →2
x−2
x
−
2
x − 2 

)(
)
 3 3x + 2 − 2 3 3x + 2 2 + 2 3 3x + 2 + 4
(
)
2 − 5x − 6 2 + 5x − 6

= lim 
+
x →2
2
( x − 2) 2 + 5x − 6
 ( x − 2 ) 3 ( 3x + 2 ) + 2 3 3x + 2 + 4



4
−
5
x
−
6


(
)
3x + 2 − 8
= lim 
+

x →2
2
 ( x − 2 ) 3 ( 3x + 2 ) + 2 3 3x + 2 + 4 ( x − 2 ) 2 + 5 x − 6 




3( x − 2)


10 − 5 x
= lim 
+

x →2
2
 ( x − 2 ) 3 ( 3x + 2 ) + 2 3 3x + 2 + 4 ( x − 2 ) 2 + 5 x − 6 




3
5
 = 3 + −5 = −1.
= lim 
−
2
x →2  3
3
2 + 5 x − 6  12 4
 ( 3x + 2 ) + 2 3x + 2 + 4

(
16) I = lim
x →2
3
)
(
(
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
) 



2 x 2 + 4 x + 11 − x + 7
.
x2 − 4
 3 2 x 2 + 4 x + 11 − 3 3 − x + 7 
2 x 2 + 4 x + 11 − 3 + 3 − x + 7
Ta có I = lim
= lim 
+

x →2
x →2 
x2 − 4
x2 − 4
x 2 − 4 

3
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
91
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


= lim 
x →2


(
3
)
2


2 x 2 + 4 x + 11 − 3  3 ( 2 x 2 + 4 x + 11) + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9  3 − x + 7 3 + x + 7

+
2
( x2 − 4) 3 + x + 7
( x2 − 4 )  3 ( 2 x2 + 4 x + 11) + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9 
(
(


9 − ( x + 7)
2 x 2 + 4 x + 11 − 27
= lim 
+ 2
x →2
 x 2 − 4  3 2 x 2 + 4 x + 11 2 + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9  ( x − 4 ) 3 + x + 7
)  (
)

 (

(


2 x 2 + 4 x − 16
2− x
= lim 
+ 2
x →2
 x 2 − 4  3 2 x 2 + 4 x + 11 2 + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9  ( x − 4 ) 3 + x + 7
)  (
)

 (



2 ( x − 2 )( x + 4 )
2− x
= lim 
+ 2
x →2
 x 2 − 4  3 2 x 2 + 4 x + 11 2 + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9  ( x − 4 ) 3 + x + 7
)  (
)

 (

)
(
)
(
)


2 ( x + 4)
1
= lim 
−
x →2
 ( x + 2 )  3 2 x 2 + 4 x + 11 2 + 3 3 2 x 2 + 4 x + 11 + 9  ( x + 2 ) 3 + x + 7
)
 (




(
)
)(
)

) 


















 12 −1 5
=
+
= .
 108 24 72

5 − x3 − 3 x 2 + 7
17) I = lim
.
x →1
x2 −1
 5 − x3 − 2 2 − 3 x 2 + 7 
5 − x3 − 2 + 2 − 3 x 2 + 7
=
lim
+


2
2
x →1 

x2 −1
x
−
1
x
−
1


Ta có I = lim
x →1
) (
)
2 


3
2 − 3 x2 + 7  4 + 2 3 x2 + 7 + 3 ( x2 + 7 )  
5 − x3 + 2
 5− x −2


= lim 
+
x →1
2
2
3
 ( x − 1) 5 − x + 2
( x 2 − 1)  4 + 2 3 x 2 + 7 + 3 ( x 2 + 7 )  




2
3


8
−
x
+
7
(
)
5− x −4

= lim 
+
x →1
2 

3 2
2
2
 ( x 2 − 1) 5 − x3 + 2
( x − 1)  4 + 2 x + 7 + 3 ( x + 7 )  


(
(
(
Fb: ThayTrongDGL
)(
)
)
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
92
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC




1 − x3
1 − x2

= lim 
+
x →1
2 

3 2
2
2
 ( x 2 − 1) 5 − x3 + 2
( x − 1)  4 + 2 x + 7 + 3 ( x + 7 )  




2
−1
3 −1
11
 − ( x + x + 1)

= lim 
+
=− + =− .

2
x →1
3
8 12
24
3 2
2
 ( x + 1) 5 − x + 2 4 + 2 x + 7 + 3 ( x + 7 ) 
)
(
)
(
3 3 4 x3 − 24 + x + 2 − 8 2 x − 3
18) I = lim
.
x →2
4 − x2
3 3 4 x3 − 24 − 6 + x + 2 − 2 + 8 − 8 2 x − 3
x →2
4 − x2
Ta có I = lim
3 3 4 x3 − 24 − 6
x+2 −2
8 − 8 2x − 3
+ lim
+ lim
2
2
x →2
x →2
x →2
4− x
4− x
4 − x2
= lim
I1
I2
3 4 x − 24 − 6
= lim
x →2
x →2
4 − x2
I1 = lim
= lim
x →2
= lim
x →2
= lim
x →2
3
3
( 4 − x2 ) 
(
( 4 − x )  (
2
I3
3
(
3
3 ( 4 x3 − 24 − 8)
3
4 x3 − 24
)+
2
3

4 x3 − 24.2 + 22 

3.4 ( x3 − 8)
3
4 x3 − 24
)+
2
3

4 x3 − 24.2 + 22 

12 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )
( 2 − x )( 2 + x )  ( 3 4 x3 − 24 )
2

= lim
x →2
( 2 + x )  ( 3 4 x3 − 24 )
I 2 = lim
x →2
x →

+ 3 4 x3 − 24.2 + 22 

−12 ( x 2 + 2 x + 4 )

= lim
)
2
4 x3 − 24 − 2  3 4 x3 − 24 + 3 4 x3 − 24.2 + 22 


2
( 4 − x2 )  3 4 x3 − 24 + 3 4 x3 − 24.2 + 22 
x+2 −2
= lim
x →2
4 − x2
(2 + x) (
Fb: ThayTrongDGL
−1
x+2 +2
)
(
2

+ 3 4 x3 − 24.2 + 22 

x+2 −2
(4 − x )(
2
=−
)(
=−
x+2 +2
x+2 +2
)
144
= −3 .
48
) = lim
( x + 2 − 4)
x →2
( 2 − x )( 2 + x ) ( x + 2 + 2 )
1
16
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
93
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
(
)(
8 1− 2x − 3 1+ 2x − 3
8 − 8 2x − 3
=
lim
x →2
x →2
4 − x2
( 4 − x2 ) 1 + 2 x − 3
I 3 = lim
= lim
x →2
8.2 ( 2 − x )
( 2 − x )( 2 + x ) (1 +
I = −3 −
Bài 5.
2x + 3
(
)
= lim
x →2
)
)
= lim
x →2
16
( 2 + x ) (1 +
8 (1 − ( 2 x − 3) )
1+ 2x − 3
)
( 2 + x )( 2 − x )
=
16
=2
8
1
17
+2 =− .
16
16
Tính các giới hạn sau:
1 lim ( 2 x3 − 3x ) ĐS: +
2. lim ( x3 − 3x2 + 2 ) ĐS: −
3. lim ( − x3 − 6 x2 + 9 x + 1) ĐS: −
4. lim ( − x3 + 3x − 1) ĐS: +
5. lim ( x4 − 2 x2 + 1) ĐS: +
6. lim ( x4 − 8x2 + 10 ) ĐS: +
7. lim ( − x4 + 2 x2 + 3) ĐS: −
8. lim ( − x4 − x2 + 6) ĐS: −
9. lim x 2 − 3x + 4 ĐS: +
10. lim
x →+
x →−
x →+
x →+
x →+
x →
x →−
x →−
x →−
(
12. lim (
x →−
)
11. lim
(
x 2 + x + 1 + 2 x ĐS: −
13. lim
(
x + 1 − 9 x + 1 ĐS: −
14. lim
(
16 x + 7 + 9 x + 3 ĐS: không tồn tại giới hạn
x →−
x →+
x →−
x →+
)
2 x 2 + 1 + x ĐS: +
)
4 x 2 + x + 1 − x ĐS: +
)
)
Lời giải
(
1. I = lim 2 x3 − 3x
x →+
)
3
3


Ta có I = lim 2 x3 − 3x = lim x3  2 − 2  = + . (vì lim x3 = + và lim  2 − 2  = 2  0 )
x →+
x →+
x →+
x →+
x 
x 


(
)
(
)
2. I = lim x3 − 3x2 + 2 .
x →−
 3 2
Ta có I = lim x3 − 3x2 + 2 = lim x3 1 − + 3  = − . (vì lim x3 = − và
x →−
x →−
x →−
 x x 
 3 2
lim 1 − + 3  = 1 ).
x →−
 x x 
(
)
(
)
3. I = lim − x3 − 6 x2 + 9 x + 1 .
x →+
6 9 1

Ta có I = lim x3  −1 − + 2 + 3  = − .
x →+
x x
x 

6 9 1

(vì lim x3 = + và lim  −1 − + 2 + 3  = −1  0 ).
x →+
x →+
x x
x 

(
)
4. I = lim − x3 + 3x − 1
x →−
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
94
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3 1
3 1


Ta có I = lim x3  −1 + 2 − 3  = + . (vì lim x3 = − và lim  −1 + 2 − 3  = −1  0 ).
x →−
x →−
x →−
x
x 
x
x 


(
)
5. I = lim x4 − 2 x2 + 1
x →+
2 1 
2 1 


Ta có I = lim x 4 1 − 2 + 4  = + . (vì lim x 4 = + và lim 1 − 2 + 4  = 1  0 ).
x →+
x →+
x →+
x 
x 
 x
 x
(
6. I = lim x4 − 8x2 + 10
x →−
)
8 10 
8 10 


Ta có I = lim x 4 1 − 2 + 4  = 1  0 (vì lim x 4 = + và lim 1 − 2 + 4  = 1  0 )
x →−
x →−
x →−
x 
x 
 x
 x
(
)
7. I = lim − x4 + 2 x2 + 3
x →+
2 3
2 3


Ta có I = lim x 4  −1 + 2 + 4  = − . ( vì lim x 4 = + và lim  −1 + 2 + 4  = −1  0 ).
x →+
x →+
x →+
x
x 
x
x 


(
8. I = lim − x 4 − x 2 + 6
x →−
)
1 6 
1
6 


Ta có I = lim x 4  −1 − 2 + 4  = − . (vì lim x 4 = + và lim  −1 − 2 + 4  = −1 )
x →−
x →−
x →−
x
x 
x
x 


9. I = lim
x →
x 2 − 3x + 4 .
 3 4
 3 4
x 2 1 − + 2  = lim x 1 − + 2  = + .
x
→
 x x 
 x x 
Ta có I = lim
x →
 3 4
(vì lim x = + và lim 1 − + 2  = 1  0 ).
x →
x →
 x x 
10. I = lim
x →−
(
Ta có I = lim
x →−
2 x2 + 1 + x
(
)
)


1
2 x 2 + 1 + x = lim x  − 2 + 2 + 1 = + .
x →−
x




1
(vì lim x = − và lim  − 2 + 2 + 1 = − 2 + 1  0 ).

x →−
x →− 
x


11. I = lim
x →−
(
)


1 1
x 2 + x + 1 + 2 x = lim x  − 1 + + 2 + 2  = − .
x →−
x x




1 1
(vì lim x = − , lim  − 1 + + 2 + 2  = 1  0 ).


x →−
x →−
x x


12. I = lim
x →+
(
)


1 1
4 x 2 + x + 1 − x = lim x  4 + + 2 − 1 = +
x →+
x x




1 1
(vì lim x = + , = lim  4 + + 2 − 1 = 1  0 ).

x →+
x →+ 
x x


13. I = lim
x →+
(vì lim
x →+
(
)
x + 1 − 9 x + 1 = lim
x = + , = lim
Fb: ThayTrongDGL
x →+
x →+

1
1
x  1 + − 9 +  = − .
x
x


1
1
x  1 + − 9 +  = − ).
x
x

Tài liệu biên soạn và sưu tầm
95
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
14. I = lim
x →−
(
16 x + 7 + 9 x + 3
)
 1

Tập xác định của hàm số f ( x ) = 16 x + 7 + 9 x + 3 là D =  − ; +  .
 3

Ta có khi x → − hàm số f ( x ) = 16 x + 7 + 9 x + 3 không xác định. Do đó
lim
x →−
Bài 6.
(
)
16 x + 7 + 9 x + 3 không tồn tại.
Tính các giới hạn sau:
x+2
1. lim
. ĐS: 1
x →+ x − 1
1− x
1
3. lim
.ĐS: −
x →+ 2 x − 1
2
2x
. ĐS: 2
x →− x + 1
3x − 2
4. lim
. ĐS: 3
x →− x + 1
2. lim
2 x3 + 3x − 4
5. lim 3 2
. ĐS: −2
x →+ − x − x + 1
6. lim
2 x 4 + 7 x3 − 15
. ĐS: 2
x →−
x4 + 1
8. lim
x →+
2
2
( 5x − 1) ( x
x →+
25
81
 x3
x2 
2
−
13. lim  2
 . ĐS:
x →− 3 x − 4
3x + 2 
9

14. lim
2
2
x3 + 2 x + 2
15. lim 4
ĐS: 0
x →+ 2 x + x + 3
17. lim
( 4x
2
+ 1) ( 2 x + 3)
ĐS: −
x2 − 6 x + 1
x →−
x 4 + 2 x3 + x + 2
19. lim
ĐS: −
x →−
2 x3 + x + 3
x →+
x →+
( x + 2 ) (1 − x ) . ĐS:
5
x →−
(1 − 2 x ) x2
3
−
4
−
1
4
1
32
3x 2 − x + 7
.ĐS: 0
x →−
2 x3 − 1
( 4 x + 1) ( 7 x −1)
lim
( 2 x −1) ( x + 3)
2
16.
x →+
3
ĐS: 0
x3 + 2 x + 2
ĐS: +
x →+ 2 x 2 + x + 3
18. lim
x 4 + 2 x3 + x + 2
20. lim
ĐS: −
x →+
2 x 2 − x3
22. lim
x4 − x
ĐS: +
1− 2x
24. lim
2 x5 + x3 − 1
ĐS: 1
( 2 x2 −1)( x3 + x )
x3 + x + 1
ĐS: 1
2x +1
26. lim
3
25. lim
3
2 x4 + x2 −1
ĐS: +
1 − 2x
x 4 − x3 + 11
21. lim
ĐS: +
x →+
2x − 7
23. lim
3
4
2
x →−
6
5
( x + 1) (1 − 2 x ) .ĐS:
10. lim
5
x →−
( 2 x + 2 ) ( x 2 + 3)
12. lim
11.
+ 2x)
. ĐS:
( 4 x + 1) ( 7 x −1) . ĐS: 0
( 2 x −1) ( x + 3)
( x + 2) ( x + 2) . ĐS: −
lim
( 2 x + 1) (1 − x )
2
2
2
7. lim
( x − 1) ( 5x + 2 ) . ĐS:
9. lim
4
x →−
( 3x + 1)
3x ( 2 x 2 − 1)
Fb: ThayTrongDGL
x →+
x →+
x →+
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
3
2 x4 + x2 −1
ĐS: −
1 − 2x
96
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
 2
 2
x 1 + 
1 + 
x+2
x
x

=1.
= lim
= lim 
1. I = lim
x →+ 
x →+ x − 1
1  x →+  1 
x 1 − 
1 − 
 x
 x
2
2x
2x
= lim
= 2.
lim
x →− x + 1 x →− 
1  x →− 1
1+
x 1 + 
x
 x
2. I = lim
1 
1
x  − 1
−1
1
1− x
x 

x
= lim
3. I = lim
= lim
=− .
x
→+
x →+
x →+ 2 x − 1
1
1

2
2−
x2 − 
x
x

2
2


x3− 
3− 

3x − 2
x
x
= lim 
= lim 
4. I = lim
= 3.
x →−
x
→−
x →− x + 1
 1
 1
x 1 + 
1 + 
 x
 x
3 4
3 4


x3  2 + 2 − 3 
2+ 2 − 3 

2 x + 3x − 4
x
x 
x
x 
= lim 
lim 
= −2 .
5. I = lim
x →+
x
→+
x →+ − x 3 − x 2 + 1
1
1
1
1


3
x  −1 − + 3 
 −1 − + 3 
x x 
x x 


3
1 
1 


3 x.x 2  2 − 2 
3 2 − 2 
6
x 
x 


= lim
= .
6. I = lim
x →+ 
1   2  x →+ 
1  2  5
x  5 −  x 2 1 + 
 5 −  1 + 
x  x
x  x 


7 15 
7 15 


x4  2 + − 4 
2+ − 4 

2 x + 7 x − 15
x x 
x x 
= lim 
= lim 
=2.
7. I = lim
4
x →−
x →−
x →−
1 
1 

x +1
4
x 1 + 4 
1 + 4 
 x 
 x 
4
3

1  
1
1  
1

4 + 2  x7 − 
x  
x
= lim 
= 0.
x →+ 
1   3
 2 − 3  x 1 + 
x
x   x

x 4 +  x7 − 
4 x + 1) ( 7 x − 1)
(
x  
x
= lim 
8. I = lim
1   3

( 2 x −1) ( x + 3)
x  2 −  x 1 + 
2
2
x →+
2
x →+
3
3

x3  
2
( x − 1) ( 5x + 2 )
I = lim
4
x →−
( 3x + 1)
2
9.
2
2
 1

x 1 −  x 2  5 + 
x
x

= lim 
4
x →−
1

x4  3 + 
x

2
2
4
2
2
 1 
1 −   5 + 
25
x 
x
.
= lim 
=
4
x →−
81
1

3+ 
x

2
3
4
3
 1
1

 1 1

x 1 +  x3  − 2 
1+   − 2
4
3

x
+
1
1
−
2
x
( ) (
)
x
x
 = lim  x   x
 =−1 .
10. I = lim
= lim 
5
5
5
2
x →−
x →−
x →−
4
2
3
2 
3
( 2 x + 2 ) ( x + 3)



x5  2 +  x 2 1 + 2 
 2 +  1 + 2 
x
x  x 

 x 

4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
97
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2
2
2   2
2   2


x. 1 + 2  1 + 
x 1 + 2  x 1 + 
x2 + 2) ( x + 2)
(
 x   x  = lim  x   x  = −
11. I = lim
2 = lim
2
2
2
x →−
x →−
x →−
1  1 
1  1 


( 2 x + 1) (1 − x )
2
+
−
1
x 2  2 + 2  x 2  − 1



x 2  x 
x  x 


4
2
2
2   2

1 + 2  1 +  1
x   x
(vì lim x = − , lim 
=  0 ).
2
x →−
x →−
2
1  1 

 2 + 2  − 1
x  x 

3
( x + 2 ) (1 − x )
I = lim
5
x →−
(1 − 2 x ) x2
3
12.
4
4
3
4
 2
1 
 2 1 
x  1 +  x 4  − 1
 1 +   − 1
1
x
x 
x  x 


= lim
= lim 
=− .
5
5
x →−
x →−
32
1

1

x 5  − 2  .x 2
 − 2
x

x

3
 x3
x2 
−
13. I = lim  2
.
x →− 3 x − 4
3x + 2 

x3 ( 3x + 2 ) − x 2 ( 3x 2 − 4 )
 x3
x2 
2 x3 + 4 x 2
−
=
lim
Ta có I = lim  2
=
lim

x →− 3 x − 4
x →− 3 x 2 − 4 3 x + 2
3 x + 2  x→−
)
(
)(
( 3x 2 − 4 ) ( 3x + 2 )

4
4


x3  2 + 
2+ 
2
x
x


= lim
= lim
= .
x →−
4 
2  x →− 
4 
2 9

x2  3 −  x  3 + 
 3 −  3 + 
x 
x
x 
x


3 1 7 
3 1 7 
x2  − + 2 
 − + 2
3x − x + 7
x x x 
x x x 

= lim
lim 
= 0.
14. I = lim
3
x
→−
x
→−
x →−
1
1

2x −1
3
x 2− 3 
2− 3 
x 
x 


2
Bài 7.
Tính các giới hạn sau:
2x − 3
. ĐS: −
x →1 x − 1
2− x
3. lim−
. ĐS: +
x →3 3 − x
x − 15
. ĐS: −
x →2 x − 2
x −5
4. lim−
. ĐS: −
2
x →4
( x − 4)
1. lim+
2. lim+
−3x + 1
. ĐS: +
x →2
x−2
6 − 5x
7. lim+
. ĐS: −
x →2 4 x − 8
3x − 1
. ĐS: −
x →1 x − 1
x +1
8. lim+
. ĐS: +
x →2 2 x − 4
5. lim−
9. lim+
x →3
6. lim−
x −3
1
. ĐS:
5x − 15
5
11. lim−
x →2
10. lim −
x →( −3)
2− x
1
. ĐS:
2 x − 5x + 2
3
2
x −1
1
13. lim− 3
. ĐS: −
x →1 2 x + x − 3
7
Fb: ThayTrongDGL
12. lim+
x →1
14. lim+
x→2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
7 x −1
.ĐS: −
x+3
x −1
1
. ĐS:
2x + x − 3
7
3
x 2 − 3x + 2
x−2
.ĐS: 1
98
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
15. lim
x2 − 9
x −3
x →3
x−2
17. lim−
x −1 −1
x →2
19. lim−
x →2
21. lim+
x →3
x−2
3
x −1 −1
3x − 8
(3 − x )
ĐS: −3
20. lim−
27. lim +
x →( −1)
x +1 − x −1
x →2
33. lim+ (1 − x )
x →1
3
x
ĐS: 0
x −4
2
x+5
ĐS: 0
x + 2x − 3
2
x − 4 −1
x + 25 − 3
1
ĐS:
2
x −x−2
81
24. lim+
x+ x
ĐS: −1
x− x
26. lim+
x+2 x
ĐS: −2
x− x
x →0
4
5
ĐS: −30
22. lim
x →0
x2 − 4 x + 3
ĐS: −
− x2 + 6 x − 5
31. lim+ ( x − 2 )
x 2 − 25
x→2
ĐS: 1
ĐS: −
5 x − 11 − 2
3
ĐS: +
( x + 2 )( x + 1)
x −3
x →5
4 − x2
ĐS: 0
2− x
x →2
x−4
ĐS: không tồn tại
x + x − 20
2
x →3
ĐS: +
2
25. lim+
x →4
18. lim−
4 x − 16
x→2
x →1
2
16. lim
ĐS: 2
3x + 2
23. lim+
29. lim−
ĐS: không tồn tại
x2 − 6 x + 9
1
28. lim−
ĐS: −
2
x →3
x −9
6
30. lim +
x 2 + 3x + 2
(
)
)
32. lim + x3 + 1
x →( −1
34. lim−
x →1
ĐS: 0
x5 + x 4
x →( −1)
x
ĐS: 0
x −1
2
x 1− x
1
ĐS:
2
2 1− x +1− x

1− x 
35. lim+  2 x
 ĐS: 0
x →0 
x


36. lim +
1 
 1
37. lim− 
− 2
 ĐS: −
x →2  x − 2
x −4
x3 − 3x + 2
3
38. lim− 2
ĐS: −
x →1 x − 5 x + 4
5
x →( −3)
2 x2 + 5x − 3
( x + 3)
2
ĐS: −
Lời giải
 lim+ ( 2 x − 3) = −1
 x →1
2x − 3
1 lim+
= − vì  lim+ ( x − 1) = 0 .
x →1 x − 1
 x →1
 x − 1  0, x → 1+
 lim+ ( x − 15 ) = −13
 x →2
x − 15
2. lim+
.
= − vì  lim+ ( x − 2 ) = 0
x→2
x →2 x − 2

 x − 2  0, x → 2+
 lim− ( 2 − x ) = −1
 x →3
2− x
3. lim−
.
= + vì  lim− ( 3 − x ) = 0
x →3
x →3 3 − x

3 − x  0, x → 3−
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
99
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 lim− ( x − 5 ) = −1
 x →4
2
x −5

4. lim−
.
= − vì  lim− ( x − 4 ) = 0
2
x →4
x →4
( x − 4)

( x − 4 )2  0, x → 4−
 lim− ( −3 x + 1) = −5
 x →2
−3x + 1
5. lim−
.
= + vì  lim− ( x − 2 ) = 0
x →2
x−2
 x→2
 x − 2  0, x → 2−
 lim− ( 3 x − 1) = 2
 x →1
3x − 1
6. lim−
= − vì  lim− ( x − 1) = 0 .
x →1 x − 1
 x →1
 x − 1  0, x → 1−
 lim+ ( 6 − 5 x ) = −4
 x →2
6 − 5x
7. lim+
.
= − vì  lim+ ( 4 x − 8 ) = 0
x →2 4 x − 8
 x→2
4 x − 8  0, x → 2+
 lim+ ( x + 1) = 3
 x →2
x +1
8. lim+
.
= + vì  lim+ ( 2 x − 4 ) = 0
x→2
x →2 2 x − 4

 2 x − 4  0, x → 2+
x −3
x −3
1 1
9. Do x → 3+ nên x − 3 = x − 3 suy ra lim+
= lim+
= lim+ = .
x →3 5 x − 15
x →3 5 x − 15
x →3 5
5
 lim ( 7 x − 1) = −22
 x →( −3)−
7 x −1

= − vì  lim − x + 3 = 0
10. lim −
.
x →( −3) x + 3
 x →( −3)
 x + 3  0, x → ( −3)−

11. Do x → 2− nên 2 − x = 2 − x suy ra lim−
x →2
= lim−
x →2
1
1
= .
2x −1 3
12. Do x → 1+ nên x − 1 = x − 1 suy ra lim+
x →1
lim+
x →1
1
1
= .
2x + 2x + 3 7
2− x
2− x
= lim−
x
→
2
2 x − 5x + 2
( 2 x − 1)( x − 2 )
2
x −1
x −1
= lim+
2 x + x − 3 x→1 ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 3)
3
2
13. Do x → 1− nên x − 1 = 1 − x suy ra lim−
x →1
x −1
1− x
= lim−
2 x + x − 3 x→1 ( x − 1) ( 2 x 2 + 2 x + 3)
3
−1
1
=− .
x →1 2 x + 2 x + 3
7
2
14. Ta có x − 3x + 2 = ( x − 1)( x − 2 ) , do x → 2+ nên x 2 − 3x + 2  0 , suy ra
lim−
lim+
x →2
2
x 2 − 3x + 2
x−2
Fb: ThayTrongDGL
= lim+
x →2
( x − 1)( x − 2 ) = lim
x−2
x → 2+
( x − 1) = 1 .
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
100
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x2 − 9
15. Ta có lim
= lim
x −3
x →3
( x + 3)( x − 3)
x −3
x →3
x −9
2
TH1: x  3 ta có lim+
x →3
= lim+
x −3
x2 − 9
x →3
( x + 3)( x − 3) = lim
x −3
x →3+
( x + 3) = 6 .
− ( x + 3)( x − 3)
= lim− ( − x − 3) = −6 .
x →3
x →3
x − 3 x →3
x −3
2
2
2
x −9
x −9
x −9
 lim−
Do lim+
nên không tồn tại lim
.
x →3 x − 3
x →3
x − 3 x →3 x − 3
x−4
x−4
16. Ta có lim 2
= lim
x →4 x + x − 20
x →4 ( x − 4 )( x + 5 )
TH2: x  3 ta có lim−
= lim−
TH1: x  4 , ta có lim+
x−4
x−4
1
1
= lim+
= lim+
=
x + x − 20 x→4 ( x − 4 )( x + 5) x→4 x + 5 9
TH2: x  4 , ta có lim+
x−4
x−4
−1
−1
= lim−
= lim−
=
x + x − 20 x→4 ( 4 − x )( x + 5) x→4 x + 5 9
x →4
x →4
2
2
x−4
x−4
x−4
 lim− 2
nên không tồn tại lim 2
.
x
→
4
x
→
4
x + x − 20
x + x − 20
x + x − 20
Do lim+
2
x →4
x−2
17. Do x → 2− nên x − 2 = 2 − x suy ra lim−
x −1 −1
x →2
lim
x → 2−
(
)
)
x −1 +1
x −1 −1
x →2
x −3
5 x − 11 − 2
x →3
−
(
5 x − 11 + 2
x →3
5
) =−4.
((
= lim− −
3
= lim−
(3 − x ) (
x →2
))
2
x−2
3
x −1 −1
= lim−
(2 − x)
5 x − 11 + 2
(
3
2
x −1 −1
x →2
20. Ta có x − 25 = ( x − 5 )( x + 5 ) , do x → 5 nên x − 25  0 , suy ra lim−
−
( 25 − x ) (
2
x →5
)
x −1 + 3 x −1 + 1
x − 1 + 3 x − 1 + 1 = −3 .
2
= lim−
)
5 x − 11 − 4
x →3
5
19. Do x → 2− nên x − 2 = 2 − x suy ra lim−
x →2
( x − 2) (
x −1 + 1 = 2 .
18. Do x → 3− nên x − 2 = 3 − x suy ra lim−
= lim−
= lim−
3
2
) = lim ( − (5 + x))
x − 4 + 3 x − 4 +1
x − 4 −1
−
x →5
x 2 − 25
2
x →5
(
3
2
3
x − 4 −1
)
x − 4 + 3 x − 4 + 1 = −30 .
 lim+ ( 3 x − 8 ) = 1
 x →3
2
3x − 8

21. lim+
.
= + , vì  lim+ ( 3 − x ) = 0
2
x →3
x →3
(3 − x )

( 3 − x )2  0, x → 3+
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
101
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3
x→2
= lim
x →2
( x + 1)
(
x + 25 − 27
x + 25 − 3
= lim
2
2
x
→
2
x −x−2
( x − 2 )( x + 1) 3 x + 25 + 3 3 x + 25 + 9
(
22. Ta có lim
1
2
x + 25 + 3 3 x + 25 + 9
3
)
=
1
.
81
 lim+ ( 3x + 2 ) = 8
 x →2
3x + 2

.
= + , vì  lim+ 4 x 2 − 16 = 0
x →2
4 x 2 − 16

 4 x 2 − 16  0, x → 2+

23. lim+
x→2
(
x(
) = lim
x − 1)
x +1
24. lim+
x+ x
= lim
x − x x → 0+
25. lim+
( 2 − x )( 2 + x ) = lim 2 − x 2 + x = 0 .
4 − x2
= lim+
(
)
x → 2+
2 − x x →2
2− x
26. lim+
x+2 x
= lim
x − x x → 0+
x →0
x →2
x →0
)
x
(
x(
x
x2 − 6 x + 9 =
= lim +
x →( −1)
( x − 3)
2
x2 − 6 x + 9
= lim−
x →3
x2 − 9
lim−
x →3
x +2
= −2 .
x −1
x →0+
x +1 − x −1
x →( −1)
28. Ta có
) = lim
x − 1)
x +2
( x + 2 )( x + 1)
27. Ta có lim +
x +1
= −1 .
x −1
x → 0+
x + 2 x +1
(
x +1 1− x +1
)
= lim +
= x − 3 , do x → 3− nên
x →( −1)
x+2
= 1.
1− x +1
x 2 − 6 x + 9 = 3 − x , suy ra
x2 − 6 x + 9
3− x
−1
1
= lim−
= lim−
=− .
2
x →3 ( x − 3)( x + 3)
x →3 x + 3
x −9
6
29. Do x → 1− nên x −1  0 , từ đó ta có
( x − 1)( x − 3)
1− x 3 − x
x2 − 4 x + 3
3− x
= lim−
= lim−
lim− 2
= lim−
x
→
1
x
→
1
x →1 − x + 6 x − 5
− ( x − 1)( x − 5 ) x→1 1 − x ( x − 5 )
− ( x − 1)( x − 5 )
 1
3− x 
= lim− 
.
 = − .
x →1
 1− x x − 5 
3− x
2
 1 
=−
vì lim−
và lim− 
 = + .
x →1
x →1
x −5
4
 1− x 
30.
lim +
x 2 + 3x + 2
x +x
x →( −1)
5
31. lim+ ( x − 2 )
x →2
4
= lim +
x →( −1)
( x + 1)( x + 2 )
x
2
x +1
x
= lim ( x − 2 )
2
x − 4 x → 2+
(
)
)
32. Ta có lim + x3 + 1
x →( −1
= lim +
x →( −1)
x
( x − 2 )( x + 2 )
x + 1 ( x + 2)
=0.
x2
= lim+
x →2
x
= lim + ( x + 1) ( x 2 − x + 1)
x − 1 x→( −1)
2
x ( x − 2)
= 0.
x+2
x
( x − 1)( x + 1)
x ( x + 1)
=0.
x →( −1)
x −1
33. Do x → 1+ nên 1 − x  0 , vì thế ta có
= lim + ( x 2 − x + 1)
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
102
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 ( x + 5 )( x − 1)2
x+5
lim (1 − x ) 2
= lim 
x →1+
x + 2 x − 3 x→1+  ( x − 1)( x + 3)

x 1− x
x 1− x
34. lim−
= lim−
x →1 2 1 − x + 1 − x
x →1
1− x 2 + 1− x
(
)


 = lim 
 x→1+ 


= lim−
x →1
( x + 5)( x − 1)  = 0 .


x+3
x
1
= .
2 + 1− x 2
 x 2 (1 − x ) 

1− x 
 = lim+ 2 x (1 − x ) = 0 .
=
lim
35. lim+  2 x
 x→0+  2
x →0 

 x →0
x
x




2
( 2 x − 1)( x + 3) = lim 2 x − 1 = − .
2 x + 5x − 3
36. lim +
= lim +
2
2
+
x →( −3)
x →( −3)
x →( −3) x + 3
( x + 3)
( x + 3)
 x + 2 −1 
1 
 1
 x +1 1 
37. lim− 
= lim− 
.
− 2
= lim− 

 = − .

x →2  x − 2
x − 4  x→2  ( x − 2 )( x + 2 )  x →2  x + 2 x − 2 
38. Do x → 1− nên x −1  0 , suy ra
x3 − 3x + 2
= lim−
lim 2
x →1
x →1− x − 5 x + 4
Bài 8.
( x + 2 )( x − 1)
( x − 1)( x + 4 )
( x − 1)
2
2
= lim−
x →1
= x − 1 = 1 − x nên ta có
(1 − x ) x + 2
( x − 1)( x + 4 )
= lim−
x →1
− x+2
3
.
=−
x+4
5
Tính các giới hạn sau:
sin 5x
. ĐS: 5
x →0
x
2) lim
tan 2 x
2
. ĐS:
x →0
3x
3
1 − cos x
1
. ĐS:
2
x →0
x
2
4) lim
1 − cos5x
x →0 1 − cos3x
6) lim
x sin ax
2
a  0 ) . ĐS:
(
x →0 1 − cos ax
a
8) lim
a2
1 − cos x
ĐS:
; ( a  0)
x →0
2
x2
10) lim
sin x − tan x
1
ĐS: −
3
x
2
11) lim
tan x − sin x
1
. ĐS:
3
sin x
2
12) lim
sin x − sin a
. ĐS: cos a
x−a
13) lim
cos x − cos b
ĐS: − sin b
x −b
14) lim
−1
1− 2x +1
ĐS:
2
sin 2 x
cos ( a + x ) − cos ( a − x )
ĐS: −2sin a
x →0
x
16) lim
tan x − tan c
1
ĐS:
x−c
cos 2 c
1 − cos3 x
3
ĐS:
x →0 x sin x
2
18) lim
1) lim
sin 5x.sin 3x.sin x
1
. ĐS:
3
x →0
45x
3
3) lim
1 − cos2 2 x
. ĐS: 4
x →0
x.sin x
5) lim
7) lim
9) lim
x →0
x →b
15) lim
a2
1 − cos ax
. ĐS: 2
x →0 1 − cos bx
b
x →0
x →a
x →0
x →c
sin 2 x − sin 2 a
sin 2a
ĐS:
2
2
x →a
x −a
2a
17) lim
 2 − 2
cos  x − cos  x
ĐS:
x →0
2
x2
19) lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
x3 + 8
ĐS:12
x →−2 tan ( x + 2 )
20) lim
103
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
sin ( a + 2 x ) − 2sin ( a + x ) + sin a
1 − cos x cos 2 x cos3x
. ĐS: − sin ( )
. ĐS:1422) lim
x →0
x →0
x2
1 − cos x
21) lim
23) lim
x →0
sin ax + tan bx
;(a + b  0) ĐS: 1
( a + b) x
b2 − a 2 − c 2
cos ax − cos bx cos cx
. ĐS:
x →0
2
1 − cos x
25) lim
2 x + 1 − 3 x2 + 1
. ĐS: 1
sin x
27) lim
x →0
29) lim
x →−
2
cos x
x+

. ĐS: 1
33
cos3x − cos5 x cos 7 x
ĐS: −
2
2
x
24) lim
x →0
sin ( a + x ) − sin ( a − x )
ĐS: cos3 a
x →0 tan( a + x) − tan( a − x)
26) lim
sin 2 2 x − sin x sin 4 x
ĐS: 6
x →0
x4
28) lim
sin x − sin 2 x
ĐS: -1

2 x
x 1 − sin 
2

30) lim
x →0
2
1 + x 2 − cos x
. ĐS: 1
x2
32) lim
37
1 − cos5 x cos 7 x
. ĐS:
2
x →0
121
sin 11x
34) lim
x+3 −2
1
ĐS:
tan( x − 1)
4
36) lim
sin( x − 1)
1
ĐS: −
2
x − 4x + 3
2
38) lim
1 − cos x cos 2 x
3
ĐS:
2
x
2
31) lim
x →0
33) lim
35) lim
x →
1 + cos x
( x − )
2
. ĐS:
1
2
1 + tan x − 1 + sin x
1
ĐS:
3
x
4
x →0
x →1
x →1
x 2 + 1 − cos 2 x
5
37) lim
. ĐS:
2
x →0
x
2
x →0
Lời giải.
1) lim
sin 5 x
 sin 5 x 
= lim  5
 = 5.
x
→
0
x
5x 

2) lim
tan 2 x
 2 tan 2 x  2
= lim  
= .
x
→
0
3x
 3 2x  3
x →0
x →0
2


 x
x 

2sin 2   
sin


  1
1 − cos x
1
2

2


= lim
= lim 2  
3) lim
 = .
x →0
x →0
x2
x2

 x →0  4  x   2



 2  



sin 5 x sin 3 x sin x
 1 sin 5 x sin 3 x sin x  1
= lim  


= .
3
x →0
x →0 3
45 x
5x
3x
x  3

4) lim
2
2

5x
5x 

 3x  
2sin
sin 


1 − cos 5 x
2 = lim  25  
2  4   2   = 25 .
= lim
5) lim
x →0 1 − cos 3 x
x →0
3 x x →0  4  5 x  9 
3x 


 sin   9
2sin 2

2
 2 

2  

2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
104
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 − cos2 2 x
sin 2 2 x
4sin x cos 2 x
sin x 

= lim
= lim
= lim  4cos 2 x 
 = 4.
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x sin x
x sin x
x
x 

6) lim
2

 ax  
1
x sin ax
x sin ax
sin ax 4  2   2
= .
= lim
= lim   a 
 2 
7) lim
x →0 1 − cos ax
x →0
x →0 2
ax   a
ax
a
2 ax

 sin 
2sin

2

2  

2
2

ax
ax 

 bx  
2sin
2
 2 sin  4 

1 − cos ax
2 = lim  a  
2  
2  = a .
= lim
8) lim
2
x →0 1 − cos bx
x →0
bx x →0  4  ax  b 2 
bx 


 sin   b
2sin 2

2
 2 

2  

2
1 − cos ax
= lim
x →0
x →0
x2
9) lim
2

ax
ax  

sin
2
2


2 = lim  2  a  
2  = a .


x →0
x2
 4  ax   2

 2  

2sin 2
sin x ( cos x − 1)
sin x − tan x
= lim
3
x →0
x →0
x
x3 cos x
10) Ta có lim
2

x
x 

−2sin x sin
sin  

2 = lim  − 2  sin x  1  
2  = −1.
= lim


3
x →0
x →0
x cos x
2
 cos x x 4  x  



2



2

 1
sin x (1 − cos x )
tan x − sin x
1
= lim
= lim 
= .
3
2
x →0
x →0 cos x sin x 1 − cos x
sin x
(
) x→0  cos x (1 + cos x )  2
11) lim
sin x − sin a
= lim
12) Ta có lim
x →a
x−a
x→a
cos x − cos b
= lim
13) Ta có lim
x →b
x →b
x −b
14) Ta có
2 cos
x−a 
x+a
x−a

sin
sin

x
+
a
2  = cos a.
2
2 = lim cos


x →a
x−a 
x−a
2



2

−2sin
x−b 
x+b
x −b

sin
sin

x
+
b
2  = − sin b.
2
2 = lim − sin


x →b
x −b 
x −b
2



2

1
2x 
1
1− 2x +1
1 − 2x −1

= lim  −

=− .
= lim

x →0
x →0
x →0
2
sin 2 x
 1 + 2 x + 1 sin 2 x 
sin 2 x 1 + 2 x + 1
lim
(
cos(a + x) − cos(a − x)
= lim
15) Ta có lim
x →0
x →0
x
)
−2sin
a+x+a−x
a+ x−a+ x
sin
2
2
x
sin x 

= lim  −2sin a 
 = −2sin a.
x →0
x 

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
105
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
16) lim
x →c
17)
= lim
sin ( x − c )
 sin ( x − c )

tan x − tan c
1
1
= lim
= lim 

=
x
→
c
x
→
c
x−c
cos x cos c  cos 2 c.
( x − c ) cos x cos c
 x −c
(1 − cos x ) (1 + cos x + cos 2 x )
1 − cos3 x
lim
= lim
x →0 x sin x
x →0
x sin x
Ta có
2sin 2
x →0
x
x

1 + cos x + cos 2 x )
sin 
2
(

1
+
cos
x
+
cos
x
1
2
2 = 3.
= lim 
 

x →0
x
x
x
2 x  2

2 x sin cos
cos
2
2

2
2 
sin 2 x − sin 2 a
18) Ta có lim
= lim
x →a
x →a
x2 − a2
1 − cos 2 x 1 − cos 2a
−
2
2
x
−
a
x
+
a
(
)(
)
−2sin ( a + x ) sin ( a − x )
cos 2a − cos 2 x
= lim
x →a 2( x − a )( x + a )
x →a
2( x − a)( x + a)
= lim
 sin(a + x) sin(a − x)  sin 2a
= lim 

.
=
x →a
a−x 
2a
 x+a
19) Ta có
lim
x →0
cos  x − cos  x
= lim
x →0
x2
−2sin
( +  ) x sin ( −  ) x
2
2
x2

( +  ) x
( −  ) x 
sin

  2 − 2
 +  sin

−

2
2
= lim  −2 



.
=
x →0
2
2
2
( +  ) x
( −  ) x 




2
2

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)

( x + 2)  = 12.
x3 + 8
20) Ta có lim
= lim
= lim  ( x 2 − 2 x + 4 ) 

x →−2 tan ( x + 2 )
x →−2
x →−2
tan( x + 2)
tan( x + 2) 

1 − cos x cos 2 x cos3x
1 − cos x + cos x(1 − cos 2 x) + cos x cos 2 x(1 − cos3x)
= lim
x →0
x →0
1 − cos x
1 − cos x
21) Ta có lim
3x 

2sin 2

2sin 2 x
2 
= lim 1 + cos x
+ cos x cos 2 x
x →0
x
x 

2sin 2
2sin 2 

2
2 
2
2
2

3x   x  
 x 

2
sin



 sin x   2 
2   2   = 1 + 4 + 9 = 14.
= lim 1 + 4 cos x 
+ 9 cos x cos 2 x 






x →0
3x
x

 x   sin x 
 sin   sin  


2

2  
2  

sin ( a + 2 x ) − 2sin(a + x) + sin a
2sin ( a + x ) cos x − 2sin ( a + x )
= lim
2
x →0
x →0
x
x2
22) Ta có lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
106
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x
−4sin ( a + x ) sin 2
2sin(a + x)(cos x − 1)
2
= lim
= lim
2
2
x →0
x
→
0
x
x
2

x 

sin  


1
2  = − sin a.
= lim  −4sin ( a + x )   

x →0
4  x  


 2  

sin ax + tan bx
23) Ta có lim
= lim
x →0
x →0
( a + b) x
ax 
sin ax
tan bx
sin ax tan bx
+ bx 
a
b
ax
bx = lim
ax
bx = a + b = 1.
x →0
( a + b) x
a +b
a +b
cos3x − cos5 x cos 7 x
cos3x − cos5 x + cos5 x − cos5 x cos 7 x
= lim
2
x →0
x →0
x
x2
24) Ta có lim
= lim
x →0
2sin 4 x sin x + cos 5 x(1 − cos 7 x)
= lim
x →0
x2
2sin 4 x sin x − 2 cos 5 x sin 2
7x
2
x2
2

7x  

 sin 4 x sin x
 sin 2  
49
49
33
= lim  8 

− 2   cos 5 x  
=− .
  =8−
x →0
7
x
4x
x
4
2
2


 


 2  

25) Ta có lim
x →0
= lim
x →0
2sin
cos ax − cos bx cos cx
cos ax − cos bx + cos bx − cos bx cos cx
= lim
2
x
→
0
x
x2
( b − a ) x + cos bx(1 − cos cx)
( b − a ) x − 2cos bx sin 2 cx
( a + b) x
( a + b) x
sin
2sin
sin
2
2
2
2
2
= lim
x →0
x2
x2
2

b − a) x
(
( a + b) x
cx  

sin
 b 2 − a 2 sin
 sin 2   b 2 − a 2 c 2 b 2 − a 2 − c 2
c2
2
2
=
= lim  2 


− 2   cos bx  
− =
.
x →0
( a + b) x
cx  
4
4
2
2
2
(b − a ) x




2
 2  
2

26) Ta có lim
x →0
sin(a + x) − sin(a − x)
= lim
tan ( a + x ) − tan ( a − x ) x →0
2 cos a sin x
sin 2 x
cos ( a + x ) cos ( a − x )
cos a cos ( a + x ) cos ( a − x )
= cos3 a
x →0
cos x
= lim
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
107
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2x + 1 − 3 x2 + 1
2x + 1 −1 + 1 − 3 x2 + 1
= lim
x →0
x →0
cos x
sin x
2
2x
−x
+
2
2 x + 1 + 1 1 + 3 x2 + 1 + 3 x2 + 1
lim
27) Ta có
)
(
= lim
x →0
sin x
2x
x
−
2 x + 1 + 1 1 + 3 x2 + 1 +
= lim
(
3
x2 + 1
sin x
x
x →0
)
2
= 1.
sin 2 x ( sin 2 x − 2sin x cos 2 x )
sin 2 2 x − sin x  sin 4 x
= lim
4
x →0
x →0
x
x4
28) Ta có lim
3x
x
4sin 2 x sin x sin sin
2sin 2 x sin x ( cos x − cos 2 x )
2
2
= lim
= lim
x →0
x →0
x4
x4
3x
x

 3 sin 2 x sin x sin 2 sin 2 
= lim  4  



= 6.
x →0
3x
x 
2
2
x
x



2
2 


sin  x + 
cos x
2

29) lim
= lim
= 1.


 x→−

x →−
x
+
x
+
2
2
2
2
30) lim
x →0
sin x (1 − 2cos x )
sin x − sin 2 x
 sin x 1 − 2cos x 
= lim
= lim 

 = −1 .
x →0
x →0
x cos x
x
cos x 

2 x

x 1 − 2sin 
2

 1 + x 2 − 1 1 − cos x 
1 + x 2 − cos x
1 + x 2 − 1 + 1 − cos x
=
lim
=
lim
+


2
2
x →0
x →0 

x2
x2
x
x


31) Ta có lim
x →0
2

x 


2 x 
sin  
2sin 

 1 + x2 −1
1
1 
1 1
2
2 = lim 
+

= lim 
+
 x   = + =1 .
 x →0
2
2
x →0
2
2
x
 1+ x +1 2 
1+ x +1
  2 2
x


 2  



)
(
32) lim
x →0
= lim
x →0
1 + tan x − 1 + sin x
1 + tan x − 1 − sin x
= lim 3
3
x →0
x
x 1 + tan x + 1 + sin x
(
sin x (1 − cos x )
x3 cos x
Fb: ThayTrongDGL
(
1 + tan x + 1 + sin x
)
= lim
x →0
)
2sin x sin 2
x3 cos x
(
x
2
1 + tan x + 1 + sin x
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
)
108
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


= lim 
x →0
 cos x


(
x

sin 
2
sin x 1 
2

 

x
x 4 
1 + tan x + 1 + sin x

 2 
)
2

 1
= .
 4



2 5x
2 7x 
 2sin 2 2 cos 5 x sin 2 
1 − cos5 x + cos5 x (1 − cos 7 x )
1 − cos5 x cos 7 x
= lim 
+
33) lim
= lim

2
x →0
x →0
x →0
sin
11
x
sin 2 11x
sin 2 11x
sin 2 11x




2
2


5x 
7x 


2
2
sin
 25  sin   11x 

49
2
2    11x   = 25 + 49 = 37 .
= lim 
+
cos 5 x 




x →0 242
5x
7 x   sin11x   242 242 121


  sin11x  242





2


2



34) lim
x →1

x+3 −2
x +3− 4
1
x −1  1
= lim
= lim 

 = .
x →1
tan ( x − 1) x →1 tan ( x − 1) x + 3 + 2
tan
x
−
1
(
)
x
+
3
+
2

 4
(
)
    − x  2 
2  − x 
x
2sin 
  sin 
2 cos

  1
1
1 + cos x
2 
2


 = .
2

= lim
= lim  
35) lim
= lim
2
2
2
x →  2
x →
  −x   2
( x −  ) x→ ( x −  ) x→ ( x −  )
 
 
2
 
 
2
36) lim
x →1
37) lim
x →0
sin ( x − 1)
sin ( x − 1)
 sin ( x − 1) 1 
1
= lim
= lim 
.
=− .
2
x
→
1
x
→
1
x − 4x + 3
x −3
2
( x − 1)( x − 3)
 x −1
x 2 + 1 − cos 2 x
x 2 + 1 − 1 + 1 − cos 2 x
=
lim
x →0
x2
x2


 x 2 + 1 − 1 1 − cos 2 x 
x2 + 1 −1
2sin 2 x 

= lim 
+
+
 = lim 
2
2
x →0 
 x →0 x 2 x 2 + 1 + 1
x
x
x 2 





)
(
2

1
5
 sin x   1
= lim 
+ 2
= +2= .


2
x →0 
2
 x   2
 x +1 +1
(
1 − cos x + cos x 1 − cos 2 x
1 − cos x cos 2 x
=
lim
x →0
x →0
x2
x2
38) lim
(

1 − cos x cos x 1 − cos 2 x
= lim 
+
x →0 
x2
x2

Fb: ThayTrongDGL

x

2 + cos x (1 − cos 2 x ) 

x2
x 2 1 + cos 2 x 

)  = lim  2sin


x →0



)
2
(
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
)
109
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 
x
sin
1 
2
= lim    2
x →0 2
  x 1 + cos 2 x
 
(
Bài 9.
)
2
 

x


2
sin



1 
2   sin x    = 1 + 1 = 3

=
lim

 x →0


 
2
 2  1 + cos 2 x  x    2

 





Tính các giới hạn sau:
cos3x − cos x
1
ĐS:
x →0 cos5 x − cos x
3
1) lim
3) lim

x→
2
5) lim
x→
4
7) lim
x→

3
9) lim

x→
3
2) lim

x→
sin 7 x − sin 5 x
ĐS: 2
x →0
sin x
1 + sin 2 x + cos 2 x
ĐS:
cos x
2 − 2 cos x
ĐS:


sin  x − 
4

6
1 − 2sin x
1
ĐS:
2
4 cos x − 3
2
24) lim
1 − 3 cos x
1
ĐS:
x →0
sin x
6
2
6) lim
sin x − 3 cos x
2
ĐS: −
sin 3x
3



8) lim  tan 2 x.tan  − x   ĐS: 1

x→ 
4

4
2 3
cos 3x + 2cos 2 x + 2
ĐS:
3
sin 3x
10) lim
1
tan x − 1
ĐS: −
2
12
2sin x − 1
3
x→

3
Lời giải
sin x
cos 3x − cos x
−2sin 2 x sin x
sin x
1
x
1) lim
= lim
= lim
= lim
= .
x →0 cos 5 x − cos x
x →0 −2sin 3 x sin 2 x
x →0 sin 3 x
x →0
sin 3x 3
3
3x
2) lim

x→
6
1 − 2sin x
1 − 2sin x
1
1
= lim
= lim
= .
2
2
4cos x − 3 x→ 1 − 4sin x x→ 1 + 2sin x 2
6
6
1 + sin 2 x + cos 2 x
2cos 2 x + sin 2 x
= lim
= lim ( 2cos x + 2sin x ) = 2 .



cos x
cos x
x→
x→
x→
3) lim
2
2
2
sin 7 x − sin 5x
2cos 6 x sin x
= lim
= lim 2cos 6 x = 2 .
x →0
x →0
x →0
sin x
sin x
4) lim
 2




2
− cos x 
2  cos − cos x 
2
2 − 2 cos x
4
 = lim 

= lim 
5) lim


  x→





x→
x→
4 sin  x −
4
4
sin  x − 
sin  x − 

4
4
4



 x   x
 x 
−4sin  +  sin  − 
2sin  + 
 8 2   8 2  = lim
 8 2 = 2
= lim

x 
x 
x 
x→
4 2sin 
−  cos  −  x → 4 cos  − 
2 8
2 8
2 8
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
110
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 − cos x )  cos 2 x
(
1 − 3 cos x
6) lim
= lim
x →0
x →0
tan 2 x
sin 2 x  1 + 3 cos x + 3 cos 2 x 


= lim
x →0
cos 2 x
(1 + cos x )  1 + 3 cos x + 3 cos 2 x 

=
1
6

 
 
2sin 3  x −  
3 
 
 
 


sin 3  x −  
2sin  x − 
3 
sin x − 3 cos x
2
3

 
=
lim
=
lim
=
lim
=
−
7) lim
.



 
   
sin 3x
3
 


x→
x → sin ( 3 x −  +  )
x→

x → − −sin 3 x −  
3
3
3
3 3
sin 3  x −  
  3 
3 
 
−3 


3 x − 
3


2 tan x


 2 tan x 1 − tan x 

= lim
= 1.
8) lim  tan 2 x  tan  − x   = lim 
2
2




4
x→ 
x → 1 − tan x 1 + tan x 
x → (1 + tan x )



4
4
4
9) lim
x→

3
cos 3x + 2 cos 2 x + 2
4 cos3 x − 3cos x + 4 cos 2 x
= lim

sin 3x
3sin x − 4sin 3 x
x→
3


cos x − cos  ( 2cos x + 3) cos x

( 2cos x − 1)( 2cos x + 3) cos x = lim 
3
= lim
3
x→
2sin x + 3 2sin x − 3 sin x x→3
3
(
)(
)
x 
− sin  +  ( 2 cos x + 3) cos x
2 3
2 6
= lim
=
3
x 
x→
3 cos 
+  2sin x + 3 sin x
2 6
(
)
( tan x − 1) cos2 x
tan x − 1
=
lim
2


2
 3 tan x 2 + 3 tan x + 1
x → 2sin x − 1
x→
4
4 (1 − tan x ) .


3
10) lim
= lim
x→
Bài 10.
4
(
− cos 2 x
(1 + tan x ) ( 3 tan x )
2

+ 3 tan x + 1

)
=−
1
.
12
Tính các giới hạn sau:
1) lim
cos 4 x − 1
ĐS: 0
sin 4 x
2) lim
1 + sin 2 x − cos 2 x
ĐS: −1
1 − sin 2 x − cos 2 x
3) lim
sin 2 x
ĐS: −1
1 − sin 2 x − cos 2 x
4) lim
1 − cos x
ĐS: 0
sin x
x →0
x →0
x →0
sin 5x − sin 3x
ĐS: 2
x →0
sin x
5) lim
Fb: ThayTrongDGL
x →0
1 
 1
6) lim 
−
 ĐS: 0
x →0 sin x
tan x 

Tài liệu biên soạn và sưu tầm
111
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
7) lim
x→

4
2
2 sin x − 1
ĐS: −
2
4
2cos x − 1


sin  − x 
4

 ĐS:
9) lim

x → 1 − 2 sin x
4
Fb: ThayTrongDGL
2


sin  − x 
6

 ĐS: 2 3
8) lim
 1 − 2sin x
3
x→
6
 2

10) lim 
− cot x  ĐS: 0
x → 0 sin 2 x


Tài liệu biên soạn và sưu tầm
112
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
– Giả sử hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và x0  ( a; b ) . Hàm số y = f ( x ) gọi là liên
tục tại điểm x0 nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0
– Hàm số không liên tục tại điểm x0 gọi là gián đoạn tại x0 .
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( a; b ) . Ta nói rằng hàm số y = f ( x ) liên tục trên
khoảng ( a; b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
– Hàm số y = f ( x ) gọi là liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng ( a; b ) và
lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) .
x →a +
x →b
Nhận xét:
– Nếu hai hàm f ( x ) và g ( x ) liên tục tại điểm x0 thì các hàm số f ( x )  g ( x ) , f ( x ) .g ( x ) ,
c. f ( x ) (với c là hằng số) đều liên tục tại điểm x0 .
– Hàm số đa thức liên tục trên
xác định của chúng.
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng
3. Tính chất của hàm số liên tục
– Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  . Nếu f ( a )  f ( b ) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f ( a ) , f ( b ) tồn tại ít nhất một điểm c  ( a; b ) thoả mãn f ( c ) = M .
– Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  và M là một số thực nằm giữa f ( a ) , f ( b )
thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại ít nhất một điểm có hoành độ c  ( a; b ) .
– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  và f ( a ) . f ( b )  0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c  ( a; b ) sao cho f ( c ) = 0 . Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và
f ( a ) . f ( b )  0 thì phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) ”.
 a; b  và
f ( x ) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c  ( a; b )
+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn
f ( a ) . f ( b )  0 thì đồ thị của hàm số y =
”.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
113
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x0 khi f ( x0 ) = lim f ( x ) hoặc f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x )
x → x0
x → x0
x → x0
 VÍ DỤ
 x 2 − 3x + 2
khi x  2

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x − 2
tại điểm x0 = 2 .
4 x − 7
khi x = 2

ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có f ( x0 ) = f (2) = 4.2 − 7 = 1
x 2 − 3x + 2
( x − 2)( x − 1)
lim f ( x) = lim
= lim
=1
x →2
x →2
x
→
2
x−2
x−2
Suy ra f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 2.
x→2
 x+3 −2
khi x  1

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x − 1
tại điểm x0 = 1 .
1

khi x = 1
 3
ĐS: Không liên tục
Lời giải
1
Ta có f ( x0 ) = f (1) = .
3
lim f ( x) = lim
x →1
x →1
x+3 −2
x −1
1
1
= lim
= lim
=
x
→
1
x
→
1
x −1
( x − 1)( x + 3 + 2)
x+3 +2 4
Suy ra f (1)  lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục tại điểm x0 = 1 (hay gián đoạn tại
x →1
điểm x0 = 1 ).
 x 2 − 3x + 3 khi x  2

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 1 − 2 x − 3
tại điểm x0 = 2
khi x  2

 2− x
ĐS: Liên tục
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
114
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Lời giải
Ta có f ( x0 ) = f (2) = 22 − 3.2 + 3 = 1
lim f ( x) = lim− ( x 2 − 3x + 3) = 1
x → 2−
x →2
lim+ f ( x) = lim+
x →2
x →2
1− 2x − 3
1− 2x + 3
2
= lim+
= lim+
=1
x → 2 (2 − x )(1 + 2 x − 3)
x →2 1 + 2 x − 3
2− x
Suy ra f (2) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 2 .
x→2
x→2
 x2 − 9

Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x + 1 − 2
2 x + 12

khi x  3
tại điểm x0 = 3 .
khi x  3
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có f ( x0 ) = f (3) = 18
lim− f ( x) = lim− (2 x + 12) = 18 lim+ f ( x) = lim+
x →3
x →3
x →3
x →3
x2 − 9
( x − 3)( x + 3)( x + 1 + 2)
= lim+
x −3
x + 1 − 2 x →3
= lim(
x + 3)( x + 1 + 2) = 24
+
x →3
Suy ra f (3) = lim− f ( x)  lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục tại điểm x0 = 3 .
x →3
x →3
 x +1− x + 3

x −1

3
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 
4
 3x3 − 6 x 2 − 3x + 6

2
 3x − 14 x + 11
khi x  1
khi x = 1 tại điểm x0 = 1 .
khi x  1
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có f ( x0 ) = f (1) =
lim− f ( x) = lim−
x →1
x →1
3
4
3x3 − 6 x 2 − 3x + 6
( x − 1)(3x 2 − 3x − 6)
3x 2 − 3x − 6 3
=
lim
=
lim
=
x →1−
x →1−
3x 2 − 14 x + 11
( x − 1)(3x − 11)
3x − 11
4
x +1− x + 3
( x − 1)2 − ( x + 3)
x+2
3
lim+ f ( x) = lim+
= lim+
= lim+
=
x →1
x →1
x →1 ( x − 1)( x + 1 +
x −1
x + 3) x→1 x + 1 + x + 3 4
Suy ra f (1) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 1.
x →1
Fb: ThayTrongDGL
x →1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
115
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 2 cos 5 x.cos 3 x − cos8 x − 1

Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 
x4 + x2
2
khi x  0
khi x = 0
tại điểm x0 = 0 .
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có f ( x0 ) = f (0) = 2
2cos5x.cos3x − cos8 x −1
cos8 x + cos 2 x − cos8 x −1
= lim
4
2
x
→
0
x +x
x4 + x2
 sinx 2 −2 
cos 2 x − 1
−2sin 2 x
= lim 4
=
lim
=
lim

 . 2  = −2
x →0 x + x 2
x →0 x 2 ( x 2 + 1)
x →0
 x  x + 1
lim f ( x) = lim
x →0
x →0
Suy ra f (0)  lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục tại điểm x0 = 0 (hay gián đoạn tại
x →0
điểm x 0 = 0 ).
 x3 + 2 x 2 − 5 x − 6

x3 − 4 x
Ví dụ 7. Tìm a để hàm số f ( x) = 
 1 (a + x)
 8
khi x  2
liên tục tại điểm x0 = 2.
khi x = 2
ĐS: a = 13
Lời giải
1
Ta có f (2) = (a + 2)
8
x3 + 2 x 2 − 5 x − 6
( x − 2)( x 2 + 4 x + 3)
x 2 + 4 x + 3 15
lim f ( x) = lim
= lim
= lim
=
x →2
x →2
x →2
x →2 x( x + 2)
x3 − 4 x
x( x − 2)( x + 2)
8
1
15
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 2  f (2) = lim f ( x)  (a + 2) =  a = 13.
x →2
8
8
 2( x 2 − 4)

Ví dụ 8. Tìm m để hàm số f ( x) =  x + 2 − x
 m + 2 + m − 10 x

khi x  2
liên tục tại điểm x0 = 2 .
khi x  2
ĐS: m = 2
Lời giải
Ta có f (2) = m + 2 + m − 20
3( x 2 − 4)
3( x − 2)( x + 2)( x + 2 + x)
lim+ = lim+
= lim+
x →2
x →2
x + 2 − x2
x + 2 − x x →2
= lim+
x →2
3( x − 2)( x + 2)( x + 2 + x)
3( x + 2)( x + 2 + x)
= lim+
= −16
x
→
2
−( x + 1)( x − 2)
−( x + 1)
lim = lim(
m + 2 + m −10 x) = m + 2 + m − 20
−
x →2−
x →2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
116
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Hàm số f ( x) liên tục tại điểm
x0 = 2  lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2)  m + 2 + m − 20 = −16
x →2
x →2
m  4
m  4
 m+2 = 4−m   2

m=2
m = 2  m = 7
m − 9m + 14 = 0
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
 x2 − 3 −1

1. f ( x) =  x − 2
2 x − 2

khi x  2
Bài 2.
khi x  2
tại điểm x0 = 2 . Đs: Liên tục
khi x = 2
khi x  −1
tại điểm x0 = −1 .
Đs: Liên tục
khi x = −1
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:
 3x 2 − 2 x − 1

1. f ( x) = 
x −1
2 x + 2

Bài 3.
Đs: Liên tục
khi x = 2
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3

2. f ( x) =  x 2 − 3x + 2
1

 x 2 + 3x + 2

3. f ( x) =  − x − 1
 x2 + 2 x

tại điểm x0 = 2 .
khi x  1
tại điểm x0 = 1 .
Đs: Liên tục
khi x  1
 x2 + 2 x − 3
 x 2 + x − 2 khi x  1
2. y = f ( x) = 
tại điểm x0 = 1 .
 x + 1 + 7 khi x  1

3
Đs: Không liên tục
 x3 − 3x − 4

3. f ( x) =  x + 5 − 3
−4 x + 46

Đs: Liên tục
khi x  4
tại điểm x0 = 4 .
khi x  4
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra:
 x3 − 5 x 2 + 7 x − 3

1. f ( x) = 
x2 −1
 2m + 1

Fb: ThayTrongDGL
khi x  1
tại điểm x0 = 1 .
khi x = 1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Đs: m = −
1
2
117
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 4.
 1+ x − 1− x
khi x  0

x
2. f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 0 .
4
−
x
−5m +
khi x = 0
x+2

Đs: m =
1
5
3 6+ x −2
khi x  2

3. f ( x ) =  x − 2
liên tục tại điểm x0 = 2 .
2 x − m
khi x = 2

Đs: m =
47
12
 3 12 x − 4 − 2
khi x  1

4. f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 1 .
x −1
 2 2
 m x + 8 + 2mx khi x = 1
Đs: m = −1
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra:
 x3 − 8

1. f ( x) =  2 x 2 − x − 6
mx + 10

khi x  2
Đs: m = −
29
7
 2x −1 −1
khi x  1

2. f ( x ) =  x 2 + 2 x − 3
liên tục tại điểm x0 = 1 .
x + m
khi x  1

Đs: m = −
3
4
 2 x2 − 7 x + 6

khi x  2

x−2
3. m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 2 .
1
−
x
m +
khi x  2

x+2
Đs: m = −
3
4
 3x − 3 + x − 1 5 x 2 + 4

khi x  1

x2 − 2 x + 1
4. f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 1 .
m2 + 1 x − 3m
khi x  1

3

Đs: m = 1 hoặc m = 2
 7 − 3x − 4
khi x  −3

2
−
1
−
x
5. f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = −3 .
3
m2 − 2mx − khi x  −3

2
Đs: m = 0 hoặc m = 6
3− x

khi x  3

2
5
−
x
+
16
6. f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 3 .
m
 ( x + m + 1) khi x  3
 3
Đs: m = −5 hoặc m = 1
tại điểm x0 = 2 .
khi x  2
 3 ( x2 − 4)

khi x  2
7. f ( x ) =  x + 2 − x
liên tục tại điểm x0 = 2 .

 m + 2 + m − 10 x khi x  2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
Đs: m = 2
118
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
LỜI GIẢI
Bài 1.
 x2 − 3 −1

1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x − 2
2 x − 2

Ta có f ( x0 ) = f (2) = 2
tại điểm x0 = 2 .
khi x = 2
x2 − 3 −1
x2 − 4
x+2
= lim
= lim
=2
2
x →2
x−2
( x − 2)( x − 3 + 1) x→2 x 2 − 3 + 1
lim f ( x) = lim
x →2
khi x  2
x →2
Suy ra f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 2.
x→2
 2 − 7 x + 5 x 2 − x3

2. Xét tinh liên tục của hàm số f ( x) =  x 2 − 3x + 2
1

Ta có f ( x0 ) = f (2) = 1
khi x  2
tại điểm x0 = 2 .
khi x = 2
2 − 7 x + 5 x 2 − x3
( x − 2)(− x 2 + 3x − 1)
− x 2 + 3x − 1
lim f ( x) = lim
= lim
= lim
=1
x →2
x →2
x →2
x →2
x 2 − 3x + 2
( x − 2)( x − 1)
x −1
Suy ra f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 2 .
x→2
 x 2 + 3x + 2
khi x  −1

3. Xét tinh liên tục của hàm số f ( x) =  − x − 1
tại điểm x0 = −1 .
2
x + 2x
khi x = −1

Ta có f ( x0 ) = f (−1) = −1
x 2 + 3x + 2
( x + 1)( x + 2)
x+2
= lim
= lim
= −1
x →−1
x
→−
1
x
→−
1
− x −1
−( x + 1)
−1
lim f ( x) = lim
x →−1
Suy ra f (−1) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = −1 .
x →−1
Bài 2.
 x3 − 3x − 4

1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x + 5 − 3
−4 x + 46

khi x  4
tại điểm x0 = 4 .
khi x  4
Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30
lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30
x → 4−
x →4
lim+ f ( x) = lim+
x →4
x →4
x 2 − 3x − 4
( x − 4)( x + 1)( x + 5 + 3)
= lim+
= lim+ ( x + 1)( x + 5 + 3) = 30
x →4
x−4
x + 5 − 3 x →4
Suy ra f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 4 .
x→4
x→4
 3x 2 − 2 x − 1

2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 
x −1
2 x + 2

Fb: ThayTrongDGL
khi x  1
tại điểm x0 = 1 .
khi x  1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
119
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có f ( x0 ) = f (1) = 4
lim+ f ( x) = lim(2
x + 2) = 4 lim− f ( x) = lim−
+
x →1
x →1
x →1
x →1
3x 2 − 2 x − 1
( x − 1)(3x + 1)
= lim−
= lim(3
x + 1) = 4
x
→
1
x →1−
x −1
x −1
Suy ra f (1) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 1 .
x →1
x →1
 x2 + 2 x − 3
 x 2 + x − 2 khi x  1
3. Xét tính liên tục của hàm số y = f ( x) = 
tại điểm x0 = 1 .
x
+
1
+
7

khi x  1

3
Ta có f ( x0 ) = f (1) =
2 +7
3
x +1 + 7
2 +7
=
x →1
x →1
3
3
2
x + 2x − 3
( x − 1)( x + 3)
x+3 4
lim+ f ( x) = lim+ 2
= lim+
= lim+
=
x →1
x →1 x + x − 2
x →1 ( x − 1)( x + 2)
x →1 x + 2
3
lim− f ( x) = lim−
Suy ra f (1) = lim− f ( x)  lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục tại điểm x0 = 1 .
x →1
x →1
 x3 − 3x − 4

4. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =  x + 5 − 3
−4 x + 46

khi x  4
tại điểm x0 = 4 .
khi x  4
Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30
lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30
x → 4−
x →4
lim+ f ( x) = lim+
x →4
x →4
x 2 − 3x − 4
( x − 4)( x + 1)( x + 5 + 3)
= lim+
= lim+ ( x + 1)( x + 5 + 3) = 30
x →4
x−4
x + 5 − 3 x →4
Suy ra f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 4 .
x→4
Bài 3.
x→4
 x3 − 5 x 2 + 7 x − 3

1. Tìm m để hàm số f ( x) = 
x2 −1
 2m + 1

khi x  1
tại điểm x0 = 1 .
khi x = 1
Ta có f ( x0 ) = f (1) = 2m + 1
lim f ( x) = lim
x →1
x →1
x3 − 5 x 2 + 7 x − 3
( x − 1)2 (x − 3)
( x − 1)( x + 3)
=
lim
= lim
=0
2
x →1 ( x − 1)(x + 1)
x →1
x −1
x +1
1
Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x0 = 1  lim f ( x) = f (1)  2m + 1 = 0  m = − .
x →1
2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
120
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 1+ x − 1− x
khi x  0

x
2. Tìm m để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 0 .
4
−
x
−5m +
khi x = 0
x+2

Ta có: f ( 0 ) = −5m + 2
1+ x − 1− x
= lim
x →0
x
x
lim f ( x ) = lim
x →0
x →0
2x
(
1+ x + 1− x
)
= lim
x →0
2
=1
1+ x + 1− x
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 0 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 0 )  −5m + 2 = 1  m =
x →0
Vậy m =
1
5
1
.
5
3 6+ x −2
khi x  2

3. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 2
liên tục tại điểm x0 = 2 .
2 x − m
khi x = 2

Ta có f ( 2 ) = 4 − m
lim f ( x ) = lim
x →2
3
x →2
6+ x −2
= lim
x →2
x−2
( x − 2)
(
x−2
3
(6 + x)
2
+ 23 6 + x + 4
)
= lim
1
x →2 3
(6 + x)
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 2 )  4 − m =
x →2
Vậy m =
2
+ 23 6 + x + 4
=
1
47
m=
12
12
47
.
12
 3 12 x − 4 − 2
khi x  1

4. Tìm m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 1 .
x −1
 2 2
 m x + 8 + 2mx khi x = 1
Ta có f (1) = m2 + 8 + 2m
lim f ( x ) = lim
x →1
= lim
x →1 3
3
x →1
12 x − 4 − 2
= lim
x →1
x −1
( x − 1)
12
(12 x − 4)
2
+ 2 3 12 x − 4 + 4
12 ( x − 1)
( (12x − 4) + 2 12x − 4 + 4)
2
3
3
=1
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1)  m2 + 8 + 2m = 1
x →1
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
121
Chúc các em học tốt !
1
12
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1 − 2m  0
 2
2
m + 8 = (1 − 2m )

1

m

1
2


m 

   m = −1  m = −1
2
−3m2 + 4m + 7 = 0

7

m =
3

Vậy m = −1 .
Bài 4.
 x3 − 8

1. Tìm m để hàm số f ( x) =  2 x 2 − x − 6
mx + 10

khi x  2
tại điểm x0 = 2 .
khi x  2
Ta có f ( x0 ) = f (2) = 2m + 10
lim f ( x) = lim− (m x + 10) = 2m + 10
x → 2−
x →2
lim+ f ( x) = lim+
x →2
x →2
x3 − 8
( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)
x 2 + 2 x + 4 12
=
lim
=
lim
=
x → 2+
2 x 2 − x − 6 x→2+ ( x − 2)(2 x + 3)
2x + 3
7
Hàm số f ( x) liên tục tại điểm
x0 = 2  lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2)  2m + 10 =
x →2
x →2
12
29
m=−
7
7
 2x −1 −1
khi x  1

2. Tìm m để f ( x ) =  x 2 + 2 x − 3
liên tục tại điểm x0 = 1 .
x + m
khi x  1

Ta có f (1) = 1 + m
lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
2 ( x − 1)
2x −1 −1
2
1
=
lim
= lim+
=
2
+
x
→
1
x
→
1
x + 2x − 3
( x − 1)( x + 3) 2 x − 1 + 1
( x + 3) 2 x − 1 + 1 4
(
)
(
)
lim f ( x ) = lim− ( x + m ) = 1 + m
x →1−
x →1
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 khi và chỉ khi
lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  1 + m =
x →1+
x →1
1
3
m=−
4
4
3
Vậy m = − .
4
 2 x2 − 7 x + 6

khi x  2

x−2
3. Tìm m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 2 .
1
−
x
m +
khi x  2

x+2

1
Ta có f ( 2 ) = m −
4
1− x 
1

lim+ f ( x ) = lim+  m +
= m−

x →2
x →2 
x+2
4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
122
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
lim− f ( x ) = lim−
2 x2 − 7 x + 6
x−2
= lim− ( −2 x + 3) = −1
x →2
x →2
= lim−
( x − 2 )( 2 x − 3)
x →2
x−2
= lim−
x →2
− ( x − 2 )( 2 x − 3)
x−2
x →2
Hàm số liên tục tại điểm x0 = −3 khi và chỉ khi
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )  m −
x →2
x →2
1
3
= −1  m = −
4
4
3
Vậy m = − .
4
 3x − 3 + x − 1 5 x 2 + 4

khi x  1

x2 − 2 x + 1
4. Tìm m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 1 .
m2 + 1 x − 3m
khi x  1

3

1
Ta có f (1) = m2 + − 3m
3
1
1


lim f ( x ) = lim+  m 2 + x − 3m  = m 2 + − 3m
x →1 
3
3

x →1+
(
( x − 1) 3 − 5x2 + 4
3x − 3 + x − 1 5 x 2 + 4
lim f ( x ) = lim−
= lim−
2
x →1−
x →1
x →1
x2 − 2 x + 1
( x − 1)
= lim−
( x − 1) ( 3 −
( x − 1)
x →1
= lim−
x →1
5x2 + 4
2
x →1−
−5 ( x − 1)( x + 1)
( x − 1) ( 3 +
) = lim 3 −
5x + 4
2
)
= lim−
x →1
)
5x2 + 4
x −1
−5 ( x + 1)
3 + 5x + 4
2
=−
5
3
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 1 khi và chỉ khi
m = 1
1
5
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1)  m 2 + − 3m = −  m 2 − 3m + 2 = 0  
x →1
x →1
3
3
m = 2
Vậy m = 1 hoặc m = 2 .
 7 − 3x − 4
khi x  −3

2
−
1
−
x
5. Tìm m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = −3 .
m2 − 2mx − 3 khi x  −3

2
3
Ta có f ( −3) = m2 + 6m −
2
3
3

lim f ( x ) = lim−  m2 − 2mx −  = m 2 + 6m −
x →−3 
2
2
x →−3−
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
123
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x →−3
(
)
)
(
)
−3 ( x + 3) 2 + 1 − x
−3 2 + 1 − x
7 − 3x − 4
3
= lim+
= lim+
=−
x →−3
2
2 − 1− x
( x + 3) 7 − 3x + 4 x→−3 7 − 3x + 4
lim+ f ( x ) = lim+
(
x →−3
Hàm số liên tục tại điểm x0 = −3 khi và chỉ khi
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( −3)  m 2 + 6m −
x →−3
x →−3
m = 0
3
3
= −  m 2 + 6m = 0  
2
2
 m = −6
Vậy m = 0 hoặc m = −6 .
3− x

khi x  3

2
5
−
x
+
16
6. Tìm m để f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 3 .
 m ( x + m + 1) khi x  3
 3
m
Ta có f ( 3) = ( 4 + m ) .
3
lim− f ( x ) = lim−
x →3
x →3
lim f ( x ) = lim+
x →3+
x →3
m
m
( x + m + 1) = ( 4 + m) .
3
3
( 3 − x ) ( 5 + x 2 + 16 )
5 + x 2 + 16 5
= lim
= lim
= .
x →3
3+ x
3
( 3 − x )( 3 + x )
x 2 + 16 x →3
3− x
+
5−
+
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 3 khi và chỉ khi
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 3) 
x →3
x →3
m = 1
m
5
( 4 + m ) =  m 2 + 4m − 5 = 0  
3
3
 m = −5
Vậy m = −5 hoặc m = 1.
 3 ( x2 − 4)

khi x  2
7. Tìm m để f ( x ) =  x + 2 − x
liên tục tại điểm x0 = 2 .

 m + 2 + m − 10 x khi x  2
Ta có f ( 2 ) = m + 2 + m − 20 .
lim f ( x ) = lim−
x → 2−
x →2
lim+ f ( x ) = lim+
x →2
= lim+
x →2
3( x + 2)
x→2
(
(
)
m + 2 + m − 10 x = m + 2 + m − 20 .
3( x2 − 4)
x+2 −x
x+2+x
− ( x + 1)
= lim+
3 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2
) = −16 .
(
x+2+ x
− ( x − 2 )( x + 1)
)
Hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 khi và chỉ khi

4 − m  0
lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 )  m + 2 = 4 − m  
2
x →2
x →2

m + 2 = ( 4 − m )
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
124
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
m  4
m  4

 2
 m = 2  m = 2 .
m − 9m + 14 = 0   m = 7

Vậy m = 2 .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
 x3 + 27
khi x  −3
 2
Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2 x + 5 x − 3
tại điểm x0 = −3 . ĐS: K liên tục.
4
+
x

khi x = −3
 5
Bài 2.
 −2 x 2 + 8

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  1 − 4 x − 3
5 x − 2

khi x  −2
tại điểm x0 = −2 . ĐS: Liên tục.
khi x  −2
Bài 3.
 x2 − 9
khi x  3

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x + 1 − 2
tại điểm x0 = 3 . ĐS: Không liên tục.
2 x + 12
khi x  3

Bài 4.
 x2 − 4
khi x  2

x
−
7
x
−
10
Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
tại điểm x0 = 2 . ĐS: Liên tục.
8
x
−
hi x = 2
 3
Bài 5.
( x − 5)2 + 3

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 5

 2x −1 − 3
Bài 6.
 x 2 + x − 12
 x − 3
Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2
x +5
 x − 1
Bài 7.
 4x + 5 − 5

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 5
 2x
 25
khi x  5
khi x  5
tại điểm x0 = 5 . ĐS: Liên tục.
khi x  3
tại điểm x0 = 3 . ĐS: Liên tục.
khi x = 3
khi x  5
tại điểm x0 = 5 . ĐS: Liên tục.
khi x  5
Bài 8.
 3x + 1 − 5 − x
khi x  1

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  −2 x3 + 3x 2 − x
tại điểm x0 = 1 . ĐS: Liên tục.
−2 x + 1
khi x  1

Bài 9.
 x 2 − x − 4 khi x  2
 2
 x − 5x + 6
khi x  2 tại điểm x0 = 2 . ĐS: Liên tục.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
 x+2 −2
−4
khi x = 2

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
125
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 x 2 − 3x + 2

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x + 8 − 3
x 1− x − 6

Bài 10.
khi x  1
tại điểm x0 = 1 . ĐS: Liên tục.
khi x  1
Bài 11.
 2 x3 + x − 3
khi x  1
 x3 − 1

Tìm m để hàm số f ( x ) =  2
liên tục tại điểm x0 = 1 . ĐS: m = 2 .
2
 ( m − 1) x + 4
khi x  1

x+2
Bài 12.
 x 4 − 6 x 2 − 27
khi x  −3

10
Tìm m để hàm số f ( x ) =  x 3 + 3 x 2 + x + 3
liên tục tại điểm x0 = −3 . ĐS: m = .
3
mx + 3
khi x = −3

Bài 13.
 x 3 − 27

Tìm m để hàm số f ( x ) =  2 x 2 − 4 x − 6
mx + 8

 x−2

Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + 2 − 2
 x + 2m

Bài 14.
khi x  3
liên tục tại điểm x0 = 3 . ĐS: m = −
khi x  3
khi x  2
37
.
24
liên tục tại điểm x0 = 2 . ĐS: m = 2 .
khi x = 2
 x 2 − 25
khi x  5
15
 2
Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 4 x − 5
liên tục tại điểm x0 = 5 . ĐS: m =
.
3
( x − 5)2 + m2 khi x  5

Bài 15.
_DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x0 khi f ( x0 ) = lim f ( x ) hoặc f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x )
x → x0
x → x0
x → x0
 VÍ DỤ
 2 x3 + x + 3

3
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x + 1
7
 3
khi x  −1
trên
.
khi x = −1
ĐS: Liên tục trên
.
Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D =
Fb: ThayTrongDGL
.
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
126
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x3 + x + 3
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng
x3 + 1
mà nó xác định.
+ Xét x  −1 thì f ( x ) =
( − ; − 1) và ( −1; +  )
+ Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) tại x = −1
( x + 1) ( 2 x2 − 2 x + 3)
2 x3 + x + 3
2x2 − 2x + 3 7
Ta có lim f ( x ) = lim
= lim
= lim
= .
x →−1
x →−1
x →−1
x3 + 1
( x + 1) ( x 2 − x + 1) x→−1 x 2 − x + 1 3
7
f ( −1) = .
3
Suy ra lim f ( x ) = f ( −1) nên hàm số đã cho liên tục tại x0 = −1 .
x →−1
+ Vậy hàm số đã cho liên tục trên
.
 x2 − 4 x + 3
khi x  1

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 1
trên
− 5 − x
khi x  1

.
ĐS: Liên tục trên
.
Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D =
.
+ Với mọi x0  (1; +  ) , lim f ( x ) = lim
x → x0
x → x0
x2 − 4 x + 3
= f ( x0 ) Suy ra hàm số đã cho liên tục trên
x −1
.
khoảng (1; +  ) .
(
)
+ Với mọi x0  ( − ;1) , ta có lim f ( x ) = lim − 5 − x = − 5 − x0 = f ( x0 ) Suy ra hàm số đã
x → x0
x → x0
.
cho liên tục trên khoảng ( − ;1) .
+ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1
f (1) = − 5 − 1 = 2 .
(
)
- lim− f ( x ) = lim− − −5 − x = −2 .
x →1
x →1
- lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
( x − 1)( x − 3) = lim
x −1
x →1+
( x − 3) = −2 .
Suy ra lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) nên hàm số đã cho liên tục tại x = 1 .
x →1
x →1
Vậy hàm số đã cho liên tục trên
Fb: ThayTrongDGL
.
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
127
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x2 + x − 6

Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f ( x ) =  x + 2 − 3x − 2
 2x − 3 2 + a
)
(
khi x  2
liên tục trên
ĐS: a = −11 .
.
khi x  2
Lời giải
Với x  ( − ; 2 ) ta có:
- f ( x0 ) =
x02 + x0 − 6
.
x0 + 2 − 3 x0 − 2
2
2
- lim f ( x ) = lim ( 2 x − 3) + a  = ( 2 x0 − 3) + a .


x → x0
x → x0
Suy ra lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục trên khoảng ( − ; 2 ) .
x → x0
Với x  ( 2; +  ) ta có
- f ( x0 ) = ( 2 x0 − 3) + a .
2
2
2
- lim f ( x ) = lim ( 2 x − 3) + a  = ( 2 x0 − 3) + a .

x → x0
x → x0 
Suy ra lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục trên khoảng ( 2; +  ) .
x → x0
Lại có:
- f ( 2) = 1 + a .
- lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
x2 + x − 6
= −10 .
x + 2 − 3x − 2
2
- lim− f ( x ) = lim− ( 2 x − 3) + a  = 1 + a .

x →2
x →2 
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )  −10 = 1 + a .
x → 2+
x →2
Suy ra a = −11 là giá trị cần tìm.
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
 2 x3 + 6 x 2 + x + 3
khi x  −3

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
trên
x+3
19
khi x = −3

.
Lời giải
Tập xác định của hàm số là D =
Fb: ThayTrongDGL
.
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
128
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x3 + 6 x 2 + x + 3
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng
x+3
( − ; − 3) và ( −3; +  ) mà nó xác định.
- Xét x  −3 thì f ( x ) =
- Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) tại x = −3
( x + 3) ( 2 x 2 + 1)
2 x3 + 6 x 2 + x + 3
lim f ( x ) = lim
= lim
= lim ( 2 x 2 + 1) = 19 .
x →( −3)
x →( −3)
x
→
−
3
x → ( −3 )
(
)
x −3
x+3
Suy ra lim f ( x ) = f ( −3) nên hàm số đã cho liên tục tại x = −3 .
x →( −3)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên
Bài 2.
.
 x2 − 5x + 6
khi x  2

Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2 x 3 − 16
trên
2 − x
khi x  2

.
Lời giải
Tập xác định D =
.
- Với mọi x0  ( −; 2 ) , lim f ( x ) = lim
x → x0
x → x0
x2 − 5x + 6
= f ( x0 ) .
2 x3 − 16
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng ( − ; 2 ) .
- Với mọi x0  ( 2; +  ) , lim f ( x ) = lim ( 2 − x ) = 2 − x0 = f ( x0 ) .
x → x0
x → x0
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng ( 2; +  ) .
- Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2
f ( 2) = 0 .
lim− f ( x ) = lim−
x →2
x →2
( x − 2 )( x − 3) = lim
x2 − 5x + 6
x −3
1
= lim−
=
−
3
x →2 2 ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 4
2 x − 16
(
) x→2− 2 ( x2 + 2 x + 4 ) 24
lim f ( x ) = lim+ ( 2 − x ) = 0 .
x → 2+
x →2
Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2 .
Bài 3.
 2 x2 − x − 3
khi x  −1

Tìm a để f ( x ) =  x3 + x 2 + x + 1
liên tục trên
3
a
khi x = −1

.
Lời giải
2 x2 − x − 3
là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng
x3 + x 2 + x + 1
khoảng mà nó xác định. Lại có
Ta có với x  1 thif f ( x ) =
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
129
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
- f ( −1) = a 3 .
( x + 1)( 2 x − 3) = lim 2 x − 3 = − 5 .
2 x2 − x − 3
= lim
3
2
x →−1 x + x + x + 1
x →−1 x + 1 x 2 + 1
( )(
) x→−1 x2 + +1 2
- lim f ( x ) = lim
x →−1
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi
5
lim f ( x ) = f ( −1)  a3 == − .
2
x →−1
Suy ra a = 3 −
5
là giá trị cần tìm.
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
 3 x −1
khi x  1

 x −1
Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
liên tục trên
 1− x + 2
 x + 2 khi x  1
Bài 2.
 x2 + 5x
khi x  0

Tìm m để f ( x ) =  x − 1 − 1
liên tục trên
m + 2
khi x  0

Bài 3.

x2 − 1
khi x  −1
 3
Tìm m để f ( x ) =  x + x 2 + x + 1
liên tục trên
cos m
khi x = −1

Bài 4.
 3 x − 2 + 2x −1
khi x  1

Tìm m để f ( x ) = 
liên tục trên
x −1
3m − 2
khi x = 1

Bài 5.
 x +1 −1
khi x  0

Tìm m để f ( x ) = 
liên tục trên
x
2 x 2 + 3m + 1 khi x  0

.
.
.
.
.
_DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số
f ( x ) liên tục trên D và có hai số a , b  D sao cho f ( a ) . f ( b )  0 .
- Để chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có k nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục
trên D và tồn tại k khoảng rời nhau
( ai ; ai +1 )
với i = 1;2;...; k nằm trong D sao cho
f ( ai ) . f ( ai +1 )  0 .
Chú ý: Hàm số đã thức liên tục trên
Fb: ThayTrongDGL
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
130
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
từng khoảng xác định của chúng.
Khi hàm số đã liên tục trên
rồi, sẽ lieent ục trên mỗi khoảng ( ai ; ai +1 ) mà ta cần tìm.
 VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình 4 x3 − 8 x 2 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( −1; 2 ) .
Lời giải
- Đặt f ( x ) = 4 x3 − 8 x 2 + 1 và f ( x ) là hàm đa thức nên liên tục trên
, suy ra liên tục trên
 −1; 2 .

 f ( −1) = −11
- Ta có 
 f ( −1) . f ( 2 ) = −11  0  x0  ( −1; 2 ) : f ( x0 ) = 0 ,
f
2
=
1
(
)


Nghĩa là phương trnhf f ( x ) = 4 x3 − 8 x 2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( −1; 2 ) .
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình x3 − 3x + 1 có đúng ba nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đặt f ( x ) = x3 − 3x + 1 và f ( x ) là hàm đa thức nên liên tục trên
, suy ra hàm số liên tục trên
các đoạn  −2;0 ;  0;1 ; 1; 2 .

 f ( −1) = −1
- Ta có 
 f ( −2 ) . f ( 0 ) = −1  0  phương trình f ( x ) = x3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất

 f ( 0) = 1
một nghiệm thuộc khoảng ( −2;0 ) . (1)

 f ( 0) = 1
- Ta có 
 f ( 0 ) . f (1) = −1  0  phương trình f ( x ) = x3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất một

 f (1) = −1
nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) . (2)

 f (1) = −1
- Ta có 
 f (1) . f ( 2 ) = −3  0  phương trình f ( x ) = x3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất

 f ( 2) = 3
một nghiệm thuộc khoảng (1; 2 ) . (3)
Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) suy ra phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( −2; 0 ) ,
( 0;1) , (1; 2 ) . Mà f ( x ) là đa thức bậc ba nên phương trình f ( x ) = 0
có tối đa ba nghiệm. Suy
ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.
Chú ý: Với sự hỗ trợ của chức năng mode 7 trong casio, ta dễ dàng tìm được các khoảng
( −2; 0 ) , ( 0;1) , (1; 2 ) như trên. Công việc còn lại là trình bày sao cho đúng ngôn ngữ.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn −1 .
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
131
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Đặt f ( x ) = x3 + x + 1 , vì f ( x ) là hàm đa thức nên liên tục trên
, suy ra hàm số liên tục trên
đoạn  −1; 0 .

 f ( −1) = −1
Ta có 
 f ( −1) . f ( 0 ) = −1  0  phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm

 f ( 0) = 1
thuộc khoảng ( −1;0 ) .
Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn −1 .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình x3 + 5 x 2 − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Lời giải
Đặt f ( x ) = x3 + 5 x 2 − 2 , f ( x ) là hàm đa thức trên
, suy ra hàm số liên tục trên đoạn  −1; 0
;  0;1

 f ( −1) = 2
- Ta có 
 f ( −1) . f ( 0 ) = −4  0  phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm

 f ( 0 ) = −2
thuộc khoảng ( −1;0 ) . (1)

 f ( 0 ) = −2
- Tương tự 
 f ( −1) . f ( 0 ) = −8  0  phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một
f
1
=
4
(
)


nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) . (2)
Từ (1) và ( 2 ) ta suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 4 x 4 + 2 x3 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Lời giải
Đặt f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 3 − x − 3 , f ( x ) là hàm đa thức trên
, suy ra hàm số liên tục trên đoạn
 −1; 0 ,  0;1 .

 f ( −1) = 4
- Ta có 
 f ( −1) . f ( 0 ) = −12  0  phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm

 f ( 0 ) = −3
thuộc khoảng ( −1;0 ) . (1)

 f ( 0 ) = −3
- Tương tự 
 f ( −1) . f ( 0 ) = −6  0  phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một
f
1
=
2
(
)


nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) . (2)
Từ (1) và ( 2 ) ta suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình (1 − m 2 ) x5 − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m .
Lời giải
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
132
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Đặt f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3x − 1 và f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
 f ( x ) liên tục trên
đoạn  −1; 0 .
2

 f ( −1) = m + 1
Ta có 
 f ( −1) . f ( 0 )  0  x0  ( −1;0 ) : f ( x0 ) = 0 .
f
0
=
−
1
(
)


Do đó phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm với mọi m (đpcm).
Chú ý: Đối với bài toán chứa tham số m , ta chọn khoảng ( a ; b ) sao cho tại vị trí a và b triệt
tiêu đi m hoặc là biểu thức luôn dương hoặc luôn âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán.
Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức
ax 2 + bx + c  0, x 
a  0

.
  0
ax 2 + bx + c  0, x 
a  0

.
  0
Ví dụ 7. Chứng minh rằng phương trình x 4 + mx 2 − 2mx − 1 = 0 có nghiệm với mọi m .
Lời giải
Đặt f ( x ) = x 4 + mx 2 − 2mx − 1 và f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
 f ( x ) liên tục trên
đoạn  0; 2 .

 f ( 0 ) = −1
Ta có 
 f ( −1) . f ( 2 ) = −15  phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm với mọi m .
f
2
=
15
(
)


Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình m ( x − 2 )( x − 3) + 2m − 5 = 0 có nghiệm với mọi m .
Lời giải
Đặt f ( x ) = m ( x − 2 )( x − 3) 2 x − 5 và f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
 f ( x ) liên tục
trên đoạn  2;3 .

 f ( 2 ) = −1
Ta có 
 f ( 2 ) . f ( 3) = −1  phương trình f ( x ) = 0 luôn có nghiệm với mọi m .
f
3
=
1
(
)


Ví dụ 9. Chứng minh phương trình
( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0
có ít nhất một
nghiệm với mọi số thực a , b , c .
Lời giải
Đặt f ( x ) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) . Vì f ( x ) là hàm đa thức nên sẽ liên
tục trên . Không mất tính tổng quát, có thể giả sử a  b  c .
- Nếu a = b hoặc b = c thì f ( b ) = ( b − a )( b − c ) , suy ra phương trình có nghiệm x = b.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
133
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

 f ( a ) = ( a − b )( a − c )  0
- Nếu a  b  c thì 
 f ( a ) . f ( b )  0 . Do đó phương trình có ít
f
b
=
b
−
a
b
−
c

0
(
)
(
)(
)


nhất một nghiệm trong khoảng ( a ; b ) .
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm (đpcm).
Ví dụ 10. Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình
ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
Lời giải
Đặt f ( x ) = ax 2 + bx + c và f ( x ) là hàm đa thức nên liên tục trên
.
2a + 3b + 6c = 0

- Ta có f ( 0 ) = c và có   2  4
2
2
c
c.
 f  3  = 9 a + 3 b + c = 3 ( 2a + 3b + 6c ) − 3 = − 3
  
2
2
- Nếu c = 0 thì f   = 0 , suy ra phương trình có nghiệm x =  ( 0;1) .
3
3
c
2
- Nếu c  0 thì ta có f ( 0 ) . f   = −  0
3
3
 2
 f ( x ) = 0 có nghiệm x = a   0;   ( 0;1) .
 3
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
2
Ví dụ 11. Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x 2 − 1 . Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x0  ( 3; 4 ) . Không
tính f
(
5
)
(
)
36 và f 1 + 5 36 , chứng minh rằng x0  1 + 5 36 .
Lời giải
Ta có:
f ( 3) = 33 − 3.32 − 1 = −1

  f ( 3) . f ( 4 ) = −15  0 .
3
2
f ( 4 ) = 4 − 3.4 − 1 = 15

Suy ra phương trình có nghiệm x0  ( 3; 4 ) .
Ta có f ( x ) = x3 − 3x 2 − 1 = ( x − 1) − 3 ( x − 1) − 3 .
3
Vì x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 nên ta có f ( x0 ) = 0
 ( x0 − 1) − 3 ( x0 − 1) − 3 = 0 .
3
Đặt  = x0 − 1 và x0  ( 3; 4 )    ( 2;3) . Khi đó, ta có
 3 − 3 − 3 = 0   3 = 3 + 3  2. 9 = 6    6  36   5  36    5 36 .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3 = 3   = 1 ( 2;3) .
Do đó, dấu “ = ” không xảy ra, tức là ta luôn có   5 36  x0 − 1  5 36  x0  1 + 5 36.
Suy ra điều phải chứng minh.
 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Chứng minh phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
134
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 2.
Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 + 9mx 2 − 16 x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 3.
Chứng minh phương trình ( m 2 − m + 3) x 2 n − 2 x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm với mọi m .
Bài 4.
Chứng minh phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = 0 có nghiệm với mọi m .
Bài 5.
Chứng minh phương trình m3 − 1 x 2001 − 1 ( x + 2 )
Bài 6.
Chứng minh phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 7.
Chứng minh rằng phương trình m ( x − 1) ( x 3 − 4 x ) + x 3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.
Bài 8.
Cho  và  thỏa mãn 0     . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm
(
sin10 x − x =
Bài 9.
)(
)
2002
+ 2 x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m .
 sin 2  +  sin10  −  2 −  2
.
 +
a b c
+ + = 0 , ( k  n  m  0 ) và km  n2 thì phương trình
k n m
2
ax + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) .
Chứng minh rằng nếu
LỜI GIẢI
Bài 1.
Đặt f ( x ) = ( m 2 + 1) x 3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 , f ( x ) liên tục với mọi x  .
Có:
f ( −3) = ( m2 + 1) . ( −3) − 2m2 . ( −3) − 4. ( −3) + m2 + 1 = −44m2 − 14  0 ;
3
2
f ( 0 ) = ( m 2 + 1) .03 − 2m 2 .02 − 4.0 + m2 + 1 = m2 + 1  0 ;
f (1) = ( m 2 + 1) .13 − 2m 2 .12 − 4.1 + m 2 + 1 = −2  0 ;
f ( 2 ) = ( m 2 + 1) .23 − 2m 2 .22 − 4.2 + m 2 + 1 = m 2 + 1  0 .
Ta
(m
thấy
2
f ( −3) . f ( 0 )  0 ;
f ( 0 ) . f (1)  0 ;
f (1) . f ( 2 )  0
nên
phương
trình
+ 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( −3; 0 ) , ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng ( 0;1) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2 ) .
Vậy phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2.
Đặt f ( x ) = (1 − m ) x5 + 9mx 2 − 16 x − m , f ( x ) liên tục trên
.
Trường hợp 1: m = 0 , ta có phương trình x5 − 16 x = 0 có nghiệm x  0; 2 .
Vậy với m = 0 thì phương trình (1 − m ) x5 + 9mx 2 − 16 x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: m  0 , ta có:
f ( −2 ) = (1 − m )( −2 ) + 9m ( −2 ) − 16. ( −2 ) − m = 67m ;
5
2
f ( 0 ) = (1 − m ) .05 + 9m.02 − 16.0 − m = −m ;
f ( 2 ) = (1 − m ) .25 + 9m.22 − 16.2 − m = −3m .
Ta thấy f ( −2 ) . f ( 0 ) = −67m 2  0 , f ( 0 ) . f ( 2 ) = −3m2  0 với mọi m  0 .
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
135
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra phương trình (1 − m ) x5 + 9mx 2 − 16 x − m = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) ,
ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( 0; 2 ) .
Vậy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx 2 − 16 x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Bài 3.
Đặt f ( x ) = ( m 2 − m + 3) x 2 n − 2 x − 4 , f ( x ) liên tục trên
(
)
(
.
)
Xét f ( −2 ) = m2 − m + 3 ( −2 ) − 2. ( −2 ) − 4 = m2 − m + 3 .4n  0 .
2n
Xét f ( 0 ) = ( m 2 − m + 3) .02 n − 2.0 − 4 = −4  0 .
Ta thấy f ( −2 ) . f ( 0 )  0 với mọi m  0 .
Suy ra phương trình ( m 2 − m + 3) x 2 n − 2 x − 4 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) .
Vậy phương trình ( m 2 − m + 3) x 2 n − 2 x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 4.
Trường hợp 1: m = 0 , ta có phương trình x3 − x = 0 luôn có nghiệm x = 0 ; x = 1 .
Trường hợp 2: m  0 .
Đặt f ( x ) = ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m , f ( x ) liên tục với mọi x  .
Có:
f ( −1) = ( 4m + 1)( −1) − ( m + 1)( −1) + m = −2m ;
3
f ( 0 ) = ( 4m + 1) .03 − ( m + 1) .0 + m = m .
Ta thấy f ( −1) . f ( 0 ) = −2m 2  0 nên phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = 0 có ít nhất 1
nghiệm trong khoảng ( −1;0 ) .
Vậy phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = 0 có nghiệm với mọi m .
Bài 5.
(
+ 2 x + 3 , f ( x ) liên tục với mọi x 
)(
)
f ( −2 ) = ( m − 1) ( −2 ) − 1 ( −2 ) + 2 + 2. ( −2 ) + 3 = −1 .


f (1) = ( m − 1)(1 − 1) (1 + 2 ) + 2.1 + 3 = 5 .
Đặt f ( x ) = m3 − 1 x 2001 − 1 ( x + 2 )
Xét
Xét
2002
2002
2001
3
3
.
2002
2001
Ta thấy f ( −2 ) . f (1) = −1.5 = −5  0 với mọi m .
(
)(
)
Suy ra phương trình m3 − 1 x 2001 − 1 ( x + 2 )
2002
+ 2 x + 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
( −2;1) .
(
)(
)
Vậy phương trình m3 − 1 x 2001 − 1 ( x + 2 )
Bài 6.
2002
+ 2 x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m .
Đặt f ( x ) = ( m 2 + 1) x 3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 , f ( x ) liên tục với mọi x  .
Có:
f ( −3) = ( m2 + 1) . ( −3) − 2m2 . ( −3) − 4. ( −3) + m2 + 1 = −44m2 − 14  0 ;
3
2
f ( 0 ) = ( m 2 + 1) .03 − 2m 2 .02 − 4.0 + m2 + 1 = m2 + 1  0 ;
f (1) = ( m 2 + 1) .13 − 2m 2 .12 − 4.1 + m 2 + 1 = −2  0 ;
f ( 2 ) = ( m 2 + 1) .23 − 2m 2 .22 − 4.2 + m 2 + 1 = m 2 + 1  0 .
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
136
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta
(m
thấy
2
f ( −3) . f ( 0 )  0 ,
f ( 0 ) . f (1)  0 ,
f (1) . f ( 2 )  0 .
Suy
ra
phương
trình
+ 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( −3; 0 ) , ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng ( 0;1) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2 ) .
Vậy phương trình ( m 2 + 1) x3 − 2m 2 x 2 − 4 x + m 2 + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 7.
Đặt f ( x ) = m ( x − 1) ( x3 − 4 x ) + x3 − 3x + 1 , f ( x ) liên tục với mọi x  .
Có:
f ( −2 ) = m ( −2 − 1) ( −2 ) − 4. ( −2 ) + ( −2 ) − 3. ( −2 ) + 1 = −1 ;


3
3
f ( 0 ) = m ( 0 − 1) ( 03 − 4.0 ) + 03 − 3.0 + 1 = 1 ;
f (1) = m (1 − 1) (13 − 4.1) + 13 − 3.1 + 1 = −1 ;
f ( 2 ) = m ( 2 − 1) ( 23 − 4.2 ) + 23 − 3.2 + 1 = 1 .
Ta
thấy
f ( −2 ) . f ( 0 )  0 ,
f ( 0 ) . f (1)  0 ,
f (1) . f ( 2 )  0
nên
phương
trình
m ( x − 1) ( x 3 − 4 x ) + x 3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( −2; 0 ) , ít nhất 1 nghiệm
trong khoảng ( 0;1) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2 ) .
Vậy phương trình m ( x − 1) ( x 3 − 4 x ) + x 3 − 3x + 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.
Bài 8.
 sin 2  +  sin10  −  2 −  2
Đặt f ( x ) = sin x − x −
, hàm số f ( x ) liên tục trên
 +
10
.
Ta có lim f ( x ) = + nên tồn tại m  0 sao cho f ( m )  0 .
x →−
Mà lim f ( x ) = − nên tồn tại M  0 sao cho f ( M )  0 .
x →+
Do đó, hàm số f ( x ) liên tục trên  m ; M  và f ( m ) . f ( M )  0 nên phương trình f ( x ) = 0 có
nghiệm.
Bài 9.
Xét phương trình ax 2 + bx + c = 0 (1) .
Đặt f ( x ) = ax 2 + bx + c thì f ( x ) liên tục trên
.
n2
n
n
Ta có f ( 0 ) = c ; f   = a. 2 + b. + c .
k
k
k
 n2  a b c   n2   2  n2 
a b c
n
Suy ra f ( 0 ) . f   = c   + +  + c 1 −
  = c 1 −
 (do + + = 0 ).
k n m
k
 km 
 k  k n m   km  
Vì c 2  0 ; n2  km  0 
n2
 1 , do đó f ( 0 ) . f
km
n2 
n 2
=
c
1
−

0.
 
k
 km 
- Với c = 0 phương trình đã cho trở thành ax 2 + bx = 0 . Suy ra x = 0 hoặc ax + b = 0 ( 2 ) .
a b c
+ + = 0 suy ra b = 0 . Khi đó phương trình ( 2 )
k n m
, suy ra phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) .
+ Nếu a = 0 thì từ c = a = 0 và điều kiện
có nghiệm là x 
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
137
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
a b c
+ + = 0 suy ra a = 0 ), suy ra
k n m
b
a b c
phương trình ( 2 ) có nghiệm x = − . Khi đó từ điều kiện + + = 0 ; k  n  m  0 và
a
k n m
b n
c = 0 suy ra x = − =  ( 0;1) . Do đó phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) .
a k
2
n
n
n
- Với 1 −
= 0  f   = 0  là nghiệm thuộc ( 0;1) .
k
km
k
+ Nếu a  0 thì b  0 (vì nếu b = 0 , c = 0 thì từ điều kiện
- Với c  0 và 1 −
n2
 0  f ( 0). f
km
n
   0 thì f ( x ) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
k
 n
 0;  . Mà
 k
n
 n
 0;   ( 0;1) (vì 0   1 ) nên phương trình (1) có nghiệm x  ( 0;1) .
k
 k
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm x  ( 0;1) .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1.
Bài 2.
Chứng minh rằng phương trình x 4 − x3 − 2 x 2 − 15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất
một nghiệm dương.
ĐS: ( −1;0 ) ; ( 3; 4 ) .
Chứng minh rằng phương trình x3 + 4 x 2 − 2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng ( −4;1) .
7 
1 1 

ĐS:  −4; −  ;  −1; −  ;  ;1 .
2 
2 2 

Bài 3.
Chứng minh rằng phương trình x5 − 5x3 + 4 x − 1 = 0 có đúng năm nghiệm.
3  3
1 1 

 
ĐS:  −2; −  ;  − ; −1 ;  −1;  ;  ;1 ; (1;3 ) .
2  2
2 2 

 
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
138
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. BÀI TẬP
Bài 1.
(HKII - THPT Lương Văn Can)
1) Tính các giới hạn sau
x+2 −2
a) lim
.
x→2
x2 − 4
b) lim
x →+
 3x 2 − 2 x − 1

2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
x −1
2 x + 2

Bài 2.
khi x  1
tại x0 = 1 .
khi x  1
(HKII - THPT Sương Nguyệt Anh)
1) Tính các giới hạn sau
2 x 2 − x − 10
.
x →−2 x3 − x + 6
a) lim
)
(
b) lim 3x + x 2 − 2 x + 3 .
x →−
 x2 − 3 −1

2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 2
2 x − 2

Bài 3.
4 x 2 + 3x + 1
.
x −1
khi x  2
tại x0 = 2 .
khi x = 2
(HKII – THPT Bùi Thị Xuân)
1. Tính các giới hạn sau
6 x3 − 5 x 2 + 4 x − 1
2
. ĐS: .
4
2
1
9 x + 8x −1
5
x→
a) lim
b) lim
x →−
(
)
9 x 2 + 3x + 1 + 3x + 1 ĐS:
3
1
.
2
khi x = 1
a + b

 2 x2 + 5x − 7
khi x  1 liên tục tại x0 = 1 . ĐS: a = −10, b = 19
2. Tìm a, b để hàm số f ( x ) = 
x −1

 x 2 + 2bx + 3a khi x  1

3. Chứng minh rằng phương trình ( m 2 − 3m + 2 )( x 2 − 3x + 2 ) + ( 3 − 2 x )( 3 − 2m ) = 0 có nghiệm
với mọi m
Bài 4.
.
(HKII – THPT Nguyễn Hữu Huân)
1. Tính các giới hạn sau
a) lim
x →1
x3 + 3x 2 + 2 x
−2
ĐS:
.
2
x →−2
x − x−6
5
x −1
1
. ĐS: .
2
x −1
4
b) lim
 x 2 − 3x + 2
khi x  1

2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 1
tại x0 = 1 . ĐS: liên tục
−1
khi x = 1

Bài 5.
(HKII – THPT Hermann Gmeiner)
1. Tính các giới hạn sau
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
139
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
a) lim
x →1
c) lim−
x →4
x3 − x 2 − x + 1
. ĐS: 2 .
x2 − 2x + 1
x −5
( x − 4)
2
1 − x3 − 3
ĐS: −2 .
x+2
b) lim
x →−2
. ĐS: − .
d) lim
x →−
(
)
1
x 2 + x + 1 + x ĐS: − .
2
x

1 − 1 − x khi x  0
2. Tìm a để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại x0 = 0 . ĐS: a = 3 .
4
−
x
a − 5 +
khi x  0
x +1

Bài 6.
(HKII – THPT Hoàng Hoa Thám)
x 2 + 2 x + 3x
1. Tính giới hạn sau lim
4x +1 − x + 2
x →−
2
. ĐS:
−2
.
3
ax 2 + 2 x khi x  1

2. Tìm a để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại x0 = 1 . ĐS: a = −1 .
4− x
khi x  1
a − 5 +
x +1

3. Chứng minh rằng phương trình x 4 − x3 − 2 x 2 − 15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm dương và
một nghiệm âm.
Bài 7.
(HKII – THPT Hàn Thuyên)
1. Tính các giới hạn sau
x −3
1
a) lim 2
. ĐS: .
x →3 x + 2 x − 15
8
b)
( 3x + 1)
lim
x →−
2 x2 − 3
ĐS:
−3x 2 + x
2.
 x −1
khi x  1

3
7
−
7
x
2. Tìm m để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại x0 = 1 . ĐS: m = .
7
m − x khi x  1

2
Bài 8.
(HKII – THPT Hùng Vương)
4 x3 − 7 x 2 + 19 x − 16
17
. ĐS:
.
2
x →1
5x − 8x + 3
2
1. Tính giới hạn sau lim
 4 − x2
khi x  2

2. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x + 2 − 1
liên tục tại x0 = 2 . ĐS: m = 4 .
2 x − m
khi x  2

3. Chứng minh rằng phương trình ( m 2 − m + 4 ) x 2015 − 2 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm với
mọi giá trị của tham số m .
Bài 9.
(HKII – THPT Hưng Đạo)
1. Tính các giới hạn sau
5 − 6x
. ĐS: −3 .
x →+ 3 + 2 x
a). lim
Fb: ThayTrongDGL
b). lim+
x →2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
x −3
. ĐS: − .
x−2
140
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
(
)
c). lim 3x − 2 x3 ĐS: + .
x →−
 x 2 + 3x − 4
khi x  1
5

2. Tìm m để hàm số f ( x ) =  x 3 − 1
liên tục tại x0 = 1 . ĐS: m = .
3
m
khi x = 1

Bài 10.
(HKII – THPT Bà Điểm)
1) Tính các giới hạn sau
a) lim
x →2
x 2 − 3x + 2
1
. ĐS:
2
x −4
4
b) lim
x →+
(
)
x 2 + x − x 2 − x . ĐS: 1
( x − 5)2 + 3 khi x  5

2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 5
tại điểm x0 = 5 ĐS: liên tục.
khi
x

5

 2x −1 − 3
 x2 − 5x + 6
khi x  3

3) Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 3
liên tục tại điểm x0 = 3 .
2mx + 1
khi x = 3

Bài 11.
(HKII-THPT Bình Tân)
 x+2 −2
khi x  2

x
−
2
1) Tìm m để hàm số f ( x ) = 
.
mx + 1
khi x  2

4
2) Chứng minh rằng phương trình (1 − m 2 ) x5 − 3x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị
của tham số m .
Bài 12.
(HKII-THPT Củ Chi)
1) Tính các giới hạn sau
3n2 − n + 9
3
a) lim
. ĐS: −
2
1 − 2n
2
b) lim
(1 − 3n )
(n
2
3n7 − 2
)
(
3
+ 1)
2
. ĐS: −9
5
x →−
2
2
 x −4
khi x  2

x
−
7
x
−
10
2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
tại điểm x0 = 2 . ĐS: liên tục
 −8 x
khi x = 2
 3
c) lim x − 3 + x 2 − x + 1 . ĐS: −
3) Chứng minh rằng phương trình 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 13.
(HKII-THPT Đinh Thiện Lý)
1) Tính các giới hạn sau
3n + 2
a) A = lim 4
. ĐS: 0
n + 2n3 − 5n + 2
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
11
c) C = lim
ĐS:
2
x →3
x −9
3
Fb: ThayTrongDGL
3n − 6n
b) B = lim n
. ĐS: −
4 +3
d) D = lim
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
x →+
(
)
4 x 2 + x + 1 − 2 x ĐS:
1
4
141
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 2− x
khi x  2

2) Cho hàm số f ( x ) =  x + 7 − 3
.
2ax + 3
khi x  2

a) Khi a = 1 , xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 . ĐS: Không liên tục
9
b) Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 2 . ĐS: a = −
4
5
4
3) Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
Bài 14.
(HKII- THPT Lý Tự Trọng)
1) Tính các giới hạn sau
a) lim
x →5
x −5
. ĐS: 0
x− 5
x2 + 5 − 3
2
. ĐS: −
x+2
3
b) lim
x →−2
 x2 − 4x + 3
khi x  3

7
2) Tìm a để hàm số f ( x ) =  3 − x
liên tục tại điểm x0 = 3 . ĐS: a = −
12
4ax + 5
khi x = 3

3) Chứng minh rằng phương trình 5x5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 15.
(HKII-THPT Lê Quý Đôn)
 x+3 −2
27
khi x  1

1) Tìm giá trị của a để hàm số f ( x ) =  2 x 2 − 3x + 1
liên tục tại x0 = 1 . ĐS: a =
8
−2a + 7
khi x  1

2) Chứng minh phương trình ( m 2 − 3m + 3) x3 + 2 x − 3 = 0 có nghiệm với mọi m .
Bài 16.
(HKII – THPT Chuyên Nguyễn Thượng Hiền)
1) Tính giới hạn sau
a) lim
x →−
(
)
x 2 + x − x 2 + 1 . ĐS: −
1
2
tan x − sin x
1
. ĐS:
3
x →0
4x
8
b) lim
 1− x
khi x  1

2) Tìm tham số m để hàm số f ( x ) =  x + 8 − 3
liên tục tại x0 = 1 . ĐS: m = −1 và
m2 x 2 + 7m khi m  1

m = −6
3) Chứng minh phương trình mx14 − ( 3m 2 + 7 ) x15 − 5 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi
m.
Bài 17.
(HKII – THPT An Lạc)
 Tính các giới hạn sau
a) lim
x→2
4 x 2 + 5 x − 26
x − x2 + x − 2
. ĐS: −84
b) lim
x →−
(
)
4 x 2 − x + 2 x − 1 . ĐS: −
3
4
 x3 − x 2 + 2 x − 2
khi x  1

 Tìm m để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại điểm x0 = 1 . ĐS: m = −2
1 − x3
4mx 2 + 6 x + 1 khi x = 1

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
142
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 18.
(HKII – THPT Nam Kỳ Khỏi Nghĩa)
 Tính các giới hạn sau
a) lim
x →3
x 3 − 5 x 2 + 3x + 9
. ĐS: 0
x4 − 8x2 − 9
b) lim
x →−
x2 + 1 − 4 x2 + 1
. ĐS: −1
3− x
 x3 − 4 x + 3
khi x  1
 2
 Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 4 x + 3
liên tục tại điểm x0 = 1 ĐS: m = 2
1
 mx
khi x = 1
 4
Bài 19.
(HKII – THPT Nguyễn Chí Thanh).
 Tính các giới hạn sau
x3 − 3x 2 − 9 x + 2
a) lim
. ĐS: 3
x →−2
x3 − 7 x − 6
)
(
b) lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3 . ĐS: 0
x →+
 x2 − 5x + 6
khi x  3

 Tìm a để hàm số f ( x ) =  x + 6 − 3
liên tục tại điểm x0 = 3 . ĐS: a = 1
ax + 3
khi x  3

Bài 20.
(HKII – THPT Nguyễn An Ninh).
 Tính các giới hạn sau
2 x3 + 3x 2 − 8 x − 12
4
. ĐS: −
2
x →−2
x − x−6
5
a) lim
)
(
b) lim 2 x + 4 x 2 + x + 5 . ĐS: −
x →−
1
4
 x2 + 7 − 4
9

khi x  3
 Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 3
liên tục tại điểm x0 = 3 . ĐS: m =
8
 x − 2m
khi x = 3

Bài 21.
(HKII – THPT Nguyễn Du).
 Tính các giới hạn sau
a) lim
x →2
x2 − 5x + 6
1
. ĐS: −
3
2
x − 3x + 7 x − 10
7
b) lim  x
x →− 

(
)
1
x 2 + 1 + x  . ĐS: −

2
 x2 + 3 − 2
khi x  1

 Tìm m để hàm số f ( x ) =  x − 1
liên tục tại điểm x0 = 1 . ĐS: m = 1
1
m2 x −
khi x = 1

2
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
143
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 22.
(HKII – THPT Mạc ĐĨnh Chi).
 Tính các giới hạn sau
 2.3n − 3.7 n + 4 
a) lim 
 . ĐS: −
n
 3.2 + 4 
 x2 − x + 4 − 2 
1
b) lim 
 . ĐS: −
2
x →0 

x +x
4


)
(
c) lim 3x + 1 + 9 x 2 + 3x + 4 . ĐS:
x →−
1
2
 4x + 5 − 5
khi x  5

x
−
5
 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
tại x0 = 5 . ĐS: liên tục
 2x
khi x  5
 25
Bài 23.
(HKII – THPT Gia Định).
 Tính các giới hạn sau
55
2 x 4 − 6 x3 + x − 3
. ĐS:
2
x →3
13
4 x − 11x − 3
a) lim
 7 x + 8. 3 9 x − 28 − 12 
17
b) lim 
. ĐS:

3
2

x →4 
54
 x − 4x + 2x − 8 
3
12 x + 4 − 3 36 x + 8
c) lim
. ĐS: −
3
2
x →0
16
2 x − 12 x
d) lim
x →+
(
3
)
64 x3 − 4 x 2 − 4 x + 1 . ĐS:
11
12
 x +1− x + 3
khi x  1

x −1

3
khi x = 1 tại x0 = 1 . ĐS: liên tục
 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
4
 3x3 − 6 x 2 − 3x + 6
khi x  1

2
3
x
−
14
x
+
11

Bài 24.
(HKII – Nguyễn Hiền).
 Tính các giới hạn sau
80
9 x 4 − 82 x 2 + 9
. ĐS:
3
x →3
9
2 x − 54
a) lim
b)
Fb: ThayTrongDGL
2 x + 3) x 2 + 4
(
. ĐS:
lim
2
x →−
( 2 x + 5)
−
1
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
144
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 3x + 1 − 5 − x
khi x  1

 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  −2 x3 + 3x 2 − x
tại điểm x0 = 1 . ĐS: liên
−2 x + 1
khi x  1

tục
Bài 25.
(HKII – THPT Nguyễn Hữu Cảnh).
 Tính các giới hạn sau
2 x 2 − 3x + 1
1
. ĐS: −
2
x →1 4 − 3x − x
5
a) lim
x− 6− x
5
. ĐS: −
2
x →2 − x + 3 x − 2
4
b) lim
 x +1 − 2
khi x  3

 x −3
 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = 
tại điểm x0 = 3 . ĐS: liên tục
x
−
2

khi x  3
 4
Bài 26.
(HKII – THPT Nguyễn Thái Bình).
 x 2 + x − 12
 x − 3 khi x  3
 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  2
tại điểm x = 3 . ĐS: liên tục
x +5
khi x = 3
 x − 1
 Chứng minh phương trình ( m 2 + m + 3) ( x − 2 ) + x 2 + 2 x − 4 = 0 có nghiệm m .
Bài 27.
(HKII – THPT Tây Hạnh).
 Tính các giới hạn sau
a) lim
x3 − 5 x 2 + 6 x
1
. ĐS: −
2
9− x
2
b) lim
(
x →3
x →−
)
4 x 2 − x + 2 x . ĐS:
1
4
 m ( m 2 − 3)
khi x = 2

 Tìm m để hàm số f ( x ) = 
liên tục tại x0 = 2 .ĐS: m = 1 và
x−2
khi
x

2

 5 − 2x − 3 − x
m = −2
 Chứng minh phương trình 5x 4 + 3x3 − 6 x 2 − x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng
( −1;1) .
B. LỜI GIẢI
Bài 1.
1)
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
145
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x+2 −2
1
1
= lim
= .
2
x
→
2
x −4
( x + 2 ) x + 2 + 2 16
a) Ta có lim
(
x →2
b) Ta có lim
x →+
4 x 2 + 3x + 1
= lim
x →+
x −1
)
3 1
+
x x2 = 2 .
 1
x 1 − 
 x
x 4+
2) Ta có:
+) f (1) = 4 .
+) lim+ f ( x ) = lim+ ( 2 x + 2 ) = 4 .
x →1
x →1
3x 2 − 2 x − 1
= lim− ( 3x + 1) = 4 .
x →1
x →1
x →1
x −1
Suy ra lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) , nên hàm số đã cho liên tục tại x0 = 1 .
+) lim− f ( x ) = lim−
x →1
Bài 2.
x →1
1) Tính:
( x + 2 )( 2 x − 5) = lim 2 x − 5 = − 9 .
2 x 2 − x − 10
= lim
3
x →−2 x − x + 6
x →−2 x + 2
(
) ( x 2 − 2 x + 3) x→−2 x 2 − 2 x + 3 11
a) lim
)
(
b) lim 3x + x 2 − 2 x + 3 = lim
x →−
x →−
8x2 + 2 x − 3
3x − x 2 − 2 x + 3
2 3

x2  8 + − 2 
x x 

= lim
= − .
x →− 
2 3 
x  3 + 1− + 2 
x x 

2. Ta có
- f ( 2) = 2 .
x2 − 3 −1
x+2
= lim
= 2.
x→2
x−2
x2 − 3 + 1
- lim f ( x ) = lim
x→2
Bài 3.
x→2
1.
( 3x − 1) ( 2 x2 − x + 1)
6 x3 − 5 x 2 + 4 x − 1
2x2 − x + 1
2
a ) Ta có lim1
=
lim
=
lim
=

4
2
3
2
3
2
1
1
9 x + 8x −1
5
x→
x → ( 3 x − 1) ( 3 x + x + 3 x + 1)
x→ 3x + x + 3x + 1
3
b) Ta có lim
x →−
= lim
x →−
(
3
)
3
9 x 2 + 3x + 1 + 3x + 1 = lim
x →−
−3x

3 1
1
x− 9 + + 2 −3− 
x x
x

−3
1
= 
3 1
1 2
− 9+ + 2 −3−
x x
x
2. Ta có f (1) = a + b .
(
)
- lim− f ( x ) = lim− x2 + 2bx + 3a = 3a + 2b + 1 .
x→1
Fb: ThayTrongDGL
x→1
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
146
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
2 x2 + 5x − 7
= lim+ ( 2 x + 7 ) = 9 .
x →1
x →1
x →1
x −1
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi
- lim+ f ( x ) = lim+
3a + 2b + 1 = 9
a = −10
lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1)  

x →1
x →1
a + b = 9
b = 19 
3. Ta có hàm số f ( x ) = ( m 2 − 3m + 2 )( x 2 − 3x + 2 ) + ( 3 − 2 x )( 3 − 2m ) liên tục trên
.
Mặt khác f (1)  f ( 2 ) = ( 3 − 2m )( 2m − 3) = − ( 2m − 3) .
2
- Nếu m =
3
thì f (1)  f ( 2 ) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1; x = 2 .
2
3
thì f (1)  f ( 2 )  0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm
2
thuộc khoảng (1; 2 ) .
- Nếu m 
Vây phương trình ( m 2 − 3m + 2 )( x 2 − 3x + 2 ) + ( 3 − 2 x )( 3 − 2m ) = 0 luôn có nghiệm
với mọi m
Bài 4.
1. a) Ta có lim
x →1
.
x −1
= lim
x − 1 x →1
2
(
1
)
x + 1 ( x + 1)
=
1
.
4
x ( x + 1)( x + 2 )
x ( x + 1)
x3 + 3x 2 + 2 x
2
= lim
= lim
=− .
2
x →−2
x
→−
2
x
→−
2
x − x−6
x −3
5
( x + 2 )( x − 3)
b) Ta có lim
2. Ta có
- f (1) = −1 .
- lim f ( x ) = lim
x →1
x →1
x 2 − 3x + 2
= lim ( x − 2 ) = −1 .
x →1
x −1
Suy ra lim f ( x ) = f (1) nên hàm số đã cho liên tục tại x0 = 1 .
x →1
( x − 1) ( x + 1) = lim x + 1 = 2 .
x3 − x 2 − x + 1
1. a) Ta có lim 2
= lim
( )
2
x →1
x
→
1
x →1
x − 2x +1
( x − 1)
2
Bài 5.
− ( x3 + 8)
− ( x2 − 2x + 4)
1 − x3 − 3
b) Ta có lim
= lim
= lim
= −2 .
x →−2
x →−2
x+2
( x + 2) 1 − x3 + 3 x→−2 1 − x3 + 3
(
)
 lim− ( x − 5 ) = −1  0
 x →4
x −5
2

 lim−
= − .
c) Ta có  lim− ( x − 4 ) = 0
2
x →4
( x − 4)
 x →4 2
( x − 4 )  0 khi x  4
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
147
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
d) Ta có lim
x →−
(
)
x 2 + x + 1 + x = lim
x →−
1 
x  + 1
1
x +1
x 
= lim
=− 
2
1 
x 2 + x + 1 − x x →− 
x  − x + 1 + − 1
x 

2) Ta có
- f ( 0) = a −1.
- lim− f ( x ) = lim−
x →0
x →0
(
)
x 1+ 1− x
x
= lim−
= 2.
x
1 − 1 − x x →0
4− x

- lim+ f ( x ) = lim+  a − 5 +
 = a −1 .
x →0
x →0 
x +1 
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi.
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 0 )  a − 1 = 2  a = 3 .
x →0−
Bài 6.
1. Ta có lim
x →−
x →0


2
x
−
1
+
+
3


x
x 2 + 2 x + 3x

 =−2.
= lim
3
1
2
4 x 2 + 1 − x + 2 x →− 
x  − 4 + 2 −1+ 
x
x

2. Ta có
- f (1) = 1 .
(
)
- lim− f ( x ) = lim− ax 2 + 2 x = a + 2 .
x →1
x →1
- lim+ f ( x ) = lim+ cos ( x − 1) = 1.
x →1
x →1
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi.
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1)  a + 2 = 1  a = −1 .
x →1−
x →1
3. Ta có hàm số f ( x ) = x 4 − x3 − 2 x 2 − 15 x − 25 liên tục trên
.
Mặt khác f ( 0 ) = −25  0 .
lim ( x4 − x3 − 2 x2 − 15x − 25) = + .
x →−
lim ( x4 − x3 − 2 x2 − 15x − 25) = + .
x →+
Vậy phương trình x 4 − x3 − 2 x 2 − 15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng
( −;0 ) và có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 0; + ) .
Do đó phương trình x 4 − x3 − 2 x 2 − 15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm dương và một
nghiệm âm.
Bài 7.
1) a) Ta có lim
Fb: ThayTrongDGL
x →3
x −3
x −3
1
1
= lim
= lim
= .
x
→
3
x
→
3
x + 2 x − 15
x+5 8
( x − 3)( x + 5)
2
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
148
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 
3 
1 
3 


x
3
+
−
x
2
−
3
+
−
2
−








x 
x2 
x 
x2 
3x + 1) 2 x 2 − 3


(
= lim
= lim
= 2.
b) Ta có lim
x →−
x →−
x →−
1
1
−3x 2 + x

2
x  −3 + 
 −3 + 
x
x


2) Ta có
1
- f (1) = m − .
2
- lim f ( x ) = lim
x →1
x →1
7
(
−1
)
x +1
=−
1
14
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi.
lim f ( x ) = f (1)  m −
x →1
Bài 8.
1
1
−3
.
=− m=
2
14
7
( x − 1) ( 4 x2 − 3x + 16 )
4 x3 − 7 x 2 + 19 x − 16
4 x 2 − 3x + 16 17
1. Ta có lim
=
lim
=
lim
= .
x →1
x →−
x →−
5x2 − 8x + 3
5x − 3
2
( x − 1)( 5x − 3)
2. Ta có
- f ( 2) = 4 − m .
- lim− f ( x ) = lim− ( 2 x − m ) = 4 − m .
x →2
x →2
4 − x2
- lim+ f ( x ) = lim+
= 0.
x →2
x →2
x + 2 −1
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 2 khi và chỉ khi.
lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 )  4 − m = 0  m = 4 .
x → 2−
x →2
3. Ta có hàm số f ( x ) = x 4 − x3 − 2 x 2 − 15 x − 25 liên tục trên
.
Mặt khác f ( 0 ) = 1  0 .
2
1 

lim f ( x ) = lim x 2015  m2 − m + 4 − 2014 x + 2015  = − . (Vì m2 − m + 4  0 với mọi
x →−
x →−
x
x 

m )
lim ( x4 − x3 − 2 x2 − 15x − 25) = + .
x →+
Vậy phương trình ( m 2 − m + 4 ) x 2015 − 2 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng
( −;0 )
Bài 9.
(nghiệm âm) với mọi giá trị của tham số m .
5

x − 6
5 − 6x
x
 = −3 .
= lim 
1) a. Ta có lim
x →+ 3 + 2 x
x →+  3

x + 2
x

Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
149
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
 lim+ ( x − 3) = −1  0
 x →2
x −3
b. Ta có lim+
.
= − vì  lim+ ( x − 2 ) = 0
x→2
x →2 x − 2

 x − 2  0 khi x  2
 3

c. Ta có lim ( 3x − 2 x3 ) = lim x3  2 − 2  = + .
x →−
x →−
x

2) Ta có: f (1) = m
lim f ( x ) = lim
x →1
x →1
( x − 1)( x + 4 ) = lim x + 4 = 5 .
x 2 + 3x − 4
= lim
3
x →1 x − 1 x 2 + x + 1
x −1
( )(
) x→1 x2 + x + 1 3
5
Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f (1)  m = .
x →1
3
Bài 10.
1) a. Ta có lim
x →2
b. Ta có lim \
x →+
( x − 2)( x − 1) = lim x − 1 = 1 .
x 2 − 3x + 2
= lim
2
x →2 ( x − 2 )( x + 2 )
x →2 x + 2
x −4
4
(
)
2x
x 2 + x − x 2 − x = lim
x2 + x + x2 − x
x →+
= lim
x →+
2x

1
1
x  1+ + 1− 
x
x

= 1.
2) Ta có
f ( 5 ) = 3 , lim− f ( x ) = lim−
x →5
lim+ f ( x ) = lim+
x →5
x →5
x →5
( ( x − 5 ) + 3) = 3 ,
2
(
)
( x − 5) 2 x − 1 + 3
x −5
= lim+
= 3.
2 ( x − 5)
2 x − 1 − 3 x →5
Suy ra lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 5) nên hàm số đã cho liên tục tại x0 = 5 .
x →5
x →5
3) Ta có: f ( 3) = 6m + 1 , lim f ( x ) = lim
x →3
x →3
( x − 3)( x − 2) = 1.
x2 − 5x + 6
= lim
x →3
x −3
x −3
Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 3 khi và chỉ khi lim f ( x ) = f ( 3)  6m + 1 = 1  m = 0 .
x →3
Bài 11.
x+2 −2
1
1) Ta có f ( 2 ) = 2m + ; lim+ f ( x ) = lim+
=
x→2
4 x→2
( x − 2) x + 2 + 2
(
lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
x+2 −2
( x − 2) (
x+2 +2
)
= lim+
x →2
)
1
1
= .
x+2+2 4
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 2 khi 2m +
1 1
=  m = 0.
4 4
2) Đặt f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3x − 1 . Ta có, f ( 0 ) = −1, f ( −1) = m 2 + 1 .
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
150
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra, f ( 0 ) . f ( −1) = −m2 − 1  0, m . Mặt khác, vì f ( x ) là hàm số đa thức liên tục trên
nên f ( x ) liên tục trên  −1;0 . Do đó, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng
( −1; 0 ) với mọi giá trị của
Bài 12.
m . Vậy ta có đpcm.
1) Tính các giới hạn
3n 2 − n + 9
a) lim
= lim
1 − 2n 2
b) lim
(1 − 3n )
3
(n
2
+ 1)
3n7 − 2
(
2
1 9
3− + 2
n n = 3−0+ 0 = − 3 .
1
0−2
2
2
n −2
1

 − 3
n

= lim 
x →−
2
1 

3
2
1 + 2 
 n  = ( 0 − 3) (1 + 0 ) = −9 .
2
3−0
3− 7
n
)
c) lim x − 3 + x − x + 1 = lim
2
3
x →−
( x − 3)
2
− ( x 2 − x + 1)
x − 3 − x2 − x + 1
−5 x + 8
x →−
1 1
x − 3 − x 1− + 2
x x
8
−5 +
5
x
= lim
=− .
x →−
2
3
1 1
1− + 1− + 2
x
x x
16
2) Ta có f ( 2 ) = − .
3
= lim
(
)
(
)
( x + 2 ) x + 7 x − 10
( x2 − 4 ) x + 7 x − 10
x2 − 4
16
lim
= lim
=
lim
=− .
2
x → 2 x − 7 x − 10
x →2
x →2
x − 7 x + 10
x −5
3
Ta thấy f ( 2 ) = lim f ( x ) . Vậy hàm số đã cho liên tục tại x0 = 2 .
x →2
3) Đặt f ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − x − 3 . Ta có, f ( −1) = 4, f ( 0 ) = −3, f (1) = 2 .
Suy ra, f ( −1) . f ( 0 ) = −12  0, f ( 0 ) . f (1) = −6  0 .
Vì f ( x ) là hàm số đa thức liên tục trên
nên f ( x ) liên tục trên các đoạn  −1;0 và  0;1 .
Do đó, phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ( −1; 0 ) và (1; 0 ) .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm.
Bài 13.
1) Tính các giới hạn
3 2
+
3n + 2
n3 n 4
=
lim
=0.
a) A = lim 4
2 5 2
n + 2n3 − 5n + 2
1+ − 3 + 4
n n n
n
1
  −1
n
n
3 −6
2
b) B = lim n
= lim  n
= − .
4 +3
3
2
  + n
3 6
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
151
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
( x − 3) ( 2 x2 + x + 1)
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
2 x 2 + x + 1 11
c) C = lim
=
lim
=
lim
= .
x →3
x →3
x →3
x2 − 9
x+3
3
( x − 3)( x + 3)
d) D = lim
x →+
(
)
4 x 2 + x + 1 − 2 x = lim
x →+
4 x2 + x + 1 − 4 x2
4 x2 + x + 1 + 2 x
= lim
x →+
1
1
x
= .
4
1 1
4+ + 2 +2
x x
1+
 2− x
khi x  2

2) y = f ( x ) =  x + 7 − 3
.
2ax + 3
khi x  2

 2− x
khi x  2

a) Khi a = 1 , ta được y = f ( x ) =  x + 7 − 3
.
2 x + 3
khi x  2

Ta thấy f ( 2 ) = 7 .
lim f ( x ) = lim− ( 2 x + 3) = 7 .
x → 2−
x →2
lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
(
)
(2 − x) x + 7 + 3
2− x
= lim+
= lim+ − x + 7 − 3 = −6 .
x →2
x +7−9
x + 7 − 3 x →2
(
)
Vì lim− f ( x )  lim+ f ( x ) nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 2 .
x →2
x →2
b) Ta có f ( 2 ) = lim− f ( x ) = 4a + 3 .
x →2
lim f ( x ) = −6 .
x → 2+
9
Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 2 khi 4a + 3 = −6  a = − .
4
5
4
3) Đặt f ( x ) = x − 3x + 5 x − 2 . Ta có, f ( 0 ) = −2, f (1) = 1, f ( 2 ) = −8, f ( 3) = 13 .
Suy ra, f ( 0 ) . f (1) = −2  0, f (1) . f ( 2 ) = −8  0, f ( 2 ) . f ( 3) = −104  0 .
Mặt khác, vì f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
0;1 , 1; 2 ,  2,3 .Do đó, phương trình f ( x ) = 0
( 0;1) , (1; 2 ) , ( 2;3) .
nên f ( x ) liên tục trên các đoạn
có ít nhất một nghiệm trên các khoảng
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm.
Bài 14.
1) Tìm các giới hạn
x −5
a) lim
=0.
x →5 x − 5
b) lim
x →−2
x2 + 5 − 3
x2 + 5 − 9
x−2
2
= lim
= lim
=− .
2
x →−2
x+2
( x + 2 ) x 2 + 5 + 3 x→−2 x + 5 + 3 3
(
)
2) Ta có f ( 3) = 12a + 5 .
( x − 3)( x − 1) = lim − x + 1 = −2 .
x2 − 4x + 3
lim f ( x ) = lim
= lim
(
)
x →3
x →3
x →3
x →3
3− x
3− x
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 3 khi 12a + 5 = −2  a = −
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
7
.
12
152
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3) Đặt f ( x ) = x5 − 3x 4 + 4 x 3 − 5 . Ta có, f ( 0 ) = −5, f (1) = 1 .
Suy ra, f ( 0 ) . f (1) = −5  0 .
nên f ( x ) liên tục trên các đoạn  0;1 .Do
Mặt khác, vì f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
đó, phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trên các khoảng ( 0;1) .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 0;1) . Vậy ta có dpcm.
Bài 15.
 Ta có
f (1) = −2a + 7
lim f ( x ) = lim+ ( −2a + 7 ) = −2a + 7
x →1+
x →1
lim f ( x ) = lim−
x →1−
x →1
x+3 −2
x +3− 4
1
1
− lim−
= lim−
= .
2
x
→
1
x
→
1
2 x − 3x + 1
( x − 2 )( 2 x − 1) x + 3 + 2
( 2 x − 1) x + 3 + 2 4
(
Hàm số đã cho liên tục tại x0 = 1 khi −2a + 7 =
)
(
)
1
27
27
. Vậy a =
là giá trị cần tìm.
a=
4
8
8
 Đặt f ( x ) = ( m 2 − 3m + 3) x 3 + 2 x − 3 = 0 .
2
3

Ta có f ( 0 ) = −3 , f ( 2 ) = 8m − 24m + 25 = 8  m −  + 7  0 m . Suy ra f ( 0 ) f ( 2 )  0 m .
2

2
Mặt khác, vì f ( x ) là hàm đa thức liên tục trên
nên f ( x ) liên tục trên đoạn  0; 2  .
Do đó phương trình f ( x ) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 0; 2 ) với mọi m .
Vậy ta có đpcm.
Bài 16.
 Tính các giới hạn
a) lim
x →−
(
)
x 2 + x − x 2 + 1 = lim
1−
x →−
x2 + x − x2 − 1
x2 + x + x2 + 1
x −1
= lim
x →−
x 1+
1
1
+ x 1+ 2
x
x
1
x
1
=− .
x →−
2
1
1
− 1+ − 1+ 2
x
x
= lim
sin x
2 x
− sin x
sin
x
.2sin
sin
x
1
−
cos
x
(
) = lim
tan x − sin x
2
= lim cos x 3
= lim
b) lim
3
3
3
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
4x
4x
cos x.4 x
cos x.4 x

x

sin 2 
1
sin x
2=1
= lim 
.
.
x →0  8cos x
x  x 2  8

  
2 

 Ta có
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
153
Chúc các em học tốt !
ĐS&GT_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
f (1) = m 2 + 7 m
lim f ( x ) = lim− ( m2 x2 + 7mx ) = m2 + 7m
x →1−
x →1
lim+ f ( x ) = lim+
x →1
x →1
(
)
(1 − x ) x + 8 + 3
1− x
= lim+
= lim+ − x + 8 − 3 = −6
x →1
x +8−9
x + 8 − 3 x→1
(
)
 m = −1
Do đó, hàm số đã cho liên tục tại x0 = 1 khi m2 + 7m = −6  m2 + 7m + 6 = 0  
.
 m = −6
Vậy m = −1, m = −6 là các giá trị cần tìm.
 Đặt f ( x ) = mx14 − ( 3m 2 + 7 ) x15 − 5 .
2
1 7

Ta có f ( 0 ) = −5, f ( −1) = 3m + m + 2 = 2m +  m +  +  0 m . Suy ra
2 4

f ( −1) f ( 0 )  0 m .
2
2
Mặt khác, vì f ( x ) là hàm số đa thức liên tục trên
nên liên tục trên đoạn  −1;0 .
Do đó phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( −1; 0 ) .
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm với mọi m .
Fb: ThayTrongDGL
Tài liệu biên soạn và sưu tầm
154
Chúc các em học tốt !