lOMoARcPSD|23687637
אודח םוכיס2 רוזנצ ת- אודח רוזנצ תואצרה םוכיס2׳ב
Calculus 2B (Tel Aviv University)
Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2ת )(104013
מחבר :איתי חזן ❝❖
8בינואר 2014
מבוסס על ההרצאות של האחד והיחיד שאין בלתו ,ד"ר אביב צנזור .הסיכום נכתב בסמסטר בו ההרצאות הוקלטו
ולכן הוא תמידי ורלוונטי לנצח!!
הערות/תיקונים/שגיאות הקלדה וכיוצ"ב ניתן לשלוח אליי במייל ❧✐✳❝❛✳♥♦✐♥❤❝❡.s❡t❛②❤♥❅t✷✳t
1
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
תוכן עניינים
תוכן עניינים
תוכן עניינים
■
וקטורים
1
2
3
4
5
6
7
■■
6
מושגי יסוד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מערכת קרטזית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
כפל וקטור בסקלר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
חיבור וחיסור וקטורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
מכפלה סקלרית ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (❉♦t Pr♦❞✉❝t
2.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (❈r♦ss Pr♦❞✉❝t
)
וקטורית
מכפלה
2.4
מכפלה מעורבת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~a · ~b × ~c
2.5
מישורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משוואת מישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
מרחק מנקודה למישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
מישורים מקבילים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
הזווית בין שני מישורים לא מקבילים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
ישרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משוואת ישר במרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
מרחק נקודה מישר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
חיתוך של ישר עם מישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
חיתוך של שני מישורים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
מצב הדדי בין ישר ומישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ישר מקביל למישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
זוית בין ישר למישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
ישר מאונך למישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
מצב הדדי בין שני ישרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
זוית בין שני ישרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
תנאי לכך שישרים )שאינם מקבילים( יחתכו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
כמה הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משטחים במרחב
8
■■■
9
6
6
7
7
8
9
11
13
14
14
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
20
20
20
20
21
22
משטחים ריבועיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פרבולואיד אליפטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
חרוט אליפטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
אליפסואיד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3
היפרבולואיד חד־יריעתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4
היפרבולואיד דו־יריעתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5
כדור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6
משטחים גליליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7
גליל אליפטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8
גליל פרבולי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9
פרבולואיד היפרבולי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11
מושגים בטופולוגיה של Rn
22
22
22
23
23
24
25
25
26
26
27
27
28
עקום )רציף( במרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
30
lOMoARcPSD|23687637
תוכן עניינים
תוכן עניינים
❱■ פונקציות
❱
31
סדרות ב־ Rk
■❱
10
11
33
34
גבולות של פונקציות
גבולות נשנים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
קואורדינטות פולריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
■■❱ רציפות
■■■❱
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
❳■
24
25
26
27
28
36
36
38
נגזרות
41
חזרה מהירה ־ עקומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דרכי הצגה של עקום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1
משיק לעקום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משוואת המשיק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1
מושג הנגזרת עבור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f : R2 → R
מציאת המועמד למישור המשיק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1
גזירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
כלל השרשרת )גזירה של הרכבה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
סיכום ביניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
נגזרות מכוונות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
נגזרות מסדר גבוה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרלים פרמטריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט הפונקציות הסתומות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט הפונקציות הסתומות עבור מערכת משוואות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מסקנה ־ משפט הפונקציה ההפוכה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.1
פולינומי טיילור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תזכורת ־ הגדרת גזירות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.1
קירוב לינארי של פונקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.2
נוסחת טיילור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.3
הניסוח הכללי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23.4
41
41
42
43
43
44
45
50
52
55
57
60
63
67
68
69
69
69
70
71
72
אינטגרלים
תזכורת מחדו"א 1ת' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרל נפחי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תחום בעל שטח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תחום פשוט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.1
האינטגרל הכפול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הגדרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.1
משפטים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .˜. .
27.3
החלפת משתנים ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תזכורת מחדו"א 1ת' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.1
)∂ (x, y
פענוח היעקוביאן
28.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
)∂ (u, v
משפט החלפת המשתנים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.3.1
3
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
72
72
74
74
76
76
78
80
82
82
84
85
85
lOMoARcPSD|23687637
תוכן עניינים
29
❳
תוכן עניינים
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
דוגמאות . . . . . .
28.3.2
עוד קצת הערות . .
28.3.3
עוד קצת יעקוביאן..
28.3.4
דוגמה מעניינת . .
28.3.5
˝
. . . . . . .
אינטגרלים משולשים
החלפת משתנים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.1
קואורדינטות מעגליות ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R3
29.2
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.3
אינטגרלים קוויים
30
31
32
33
34
35
■❳
36
37
38
39
40
41
85
87
88
89
90
91
91
92
96
תזכורת ־ עקומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אורך עקום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.1
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.1.1
פרמטר אורך קשת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרל קווי מסוג ■ ✮❧❛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (P❛t❤ ■♥t❡❣r
מוטיבציות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.1
הגדרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.3
דוגמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.4
אינטגרל קווי מסוג ■■ )❧❛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (▲✐♥❡ ■♥t❡❣r
הקדמה ־ פונקציות וקטוריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.1
מוטיבציה פיזיקלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.2
הגדרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.3
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.3.1
דוגמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33.3.2
משפט גרין . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
פענוח המילים המפחידות במשפט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.1
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.2
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.3
הוכחה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.4
דוגמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34.5
שדה משמר ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ּR2
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.1
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35.2
אינטגרלים משטחיים
96
96
96
97
97
97
97
98
98
99
99
99
100
100
100
101
101
101
101
103
103
104
108
108
110
פרמטריזציה של משטח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
שטח משטח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.1
הערות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37.2
אינטגרל משטחי מסוג ■ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
אינטגרל משטחי מסוג ■■ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
משפט הדיברגנץ )גאוס( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הדיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40.1
משפט גאוס/משפט הדיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40.2
משפט סטוקס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הרוטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1
משפט סטוקס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2
ניסוח המשפט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.1
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.2
4
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
110
111
112
113
114
115
118
118
119
123
123
124
124
125
lOMoARcPSD|23687637
תוכן עניינים
42
43
■■❳
44
תוכן עניינים
127
129
132
132
132
133
134
135
135
135
הוכחת המשפט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2.3
שדה משמר ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R3
תחום פשוט קשר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.1
דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.1.1
הגדרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.1.2
דוגמה לשימוש במשפט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.2
משמעות הרוטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42.3
תוספות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הרחבה ־ שדה משמר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43.1
משפט גאוס במישור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43.2
~r
43.3
השדה 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F~ = − 3
r
139
חקירת פונקציות
נקודות קיצון 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דוגמאות 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.0.1
הערה חשובה 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.0.2
משפט "פרמה בשני משתנים" 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.0.3
תנאים מספיקים למציאת נקודת קיצון 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.0.4
מבחן הנגזרת השניה 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.1
דוגמה 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.1.1
הכללה עבור פונקציות עם יותר משתנים 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.1.2
אקסטרמום תחת אילוצים 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.2
שיטת כופלי לגרנז' 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.2.1
שיטת כופלי לגרנז' ־ הכללה 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.2.2
5
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
1מושגי יסוד
חלק
■
וקטורים
1מושגי יסוד
הגדרה)וקטור( וקטור הוא גודל שיש לו גם כיוון.
דוגמאות :מהירות ,תאוצה ,כח
הגדרה)סקלר( סקלר הוא גודל ללא כיוון.
דוגמאות :זמן ,טמפרטורה ,מסה
→−−
סימון a = ~a = a = a = AB
אורך הוקטור .|~a| :זהו סקלר.
⇀
→−−
איור :1וקטור a = AB
⇀
שיוויון וקטורים
~a = ~bאמ"מ יש להם אותו אורך ואותו כיוון.
הגדרה)וקטור האפס(
וקטור האפס ־ .~0אורכו ,0וכיוונו לא מוגדר.
הגדרה)וקטור יחידה(
וקטור שאורכו בדיוק .1
הגדרה)וקטורים קולינאריים(
הגדרה)וקטורים קופלנריים(
וקטורים על ישרים מקבילים נקראים קולינאריים.
וקטורים על אותו מישור נקראים קופלנרים.
1.1מערכת קרטזית
הגדרה)וקטורי היחידה של הצירים(
̂.x̂, ŷ, z
מתקיים:
̂ î, ĵ, kהם וקטורי היחידה בכיווני הצירים x, y, zבהתאמה .מסומנים לעיתים:
̂î ⊥ ĵ, ĵ ⊥ k̂, k̂ ⊥ i
î = ĵ = k̂ = 1
משפט)הצגה של וקטור במרחב(
כל וקטור במרחב R3ניתן להצגה יחידה כצירוף ליניארי של וקטורי היחידה:
) ~a = a1 î + a2 ĵ + a3 k̂ = (a1 , a2 , a3
6
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
איור :2הצגה של וקטור במרחב
משפט)אורך של וקטור(
a21 + a22 + a23
משפט)וקטורים קוליניאריים(
α~a = (αa1 , αa2 , αa3 ) .1
q
= ||~a
יהיו ) .~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3אזי מתקיים:
∀α ∈ R
~a + ~b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) .2
~a, ~b .3קולינאריים ⇔קיים λכך ש ־ ai = λbiעבור }.i ∈ {1, 2, 3
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
2.1כפל וקטור בסקלר
הגדרה
m · ~aהוא וקטור בכיוון ) ~aאם .m > 0אם m < 0כיוונו הוא ,(−~aואורכו |.|m| · |~a
איור :3כפל וקטור בסקלר
נרמול וקטור
סימוןâ :
1
· ~a
||~a
הוא וקטור בכיוון ~aובאורך .1זהו וקטור היחידה בכיוון .~a
7
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
2.2חיבור וחיסור וקטורים
איור :4נרמול וקטור
משפט יהיו ) .~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3אזי מתקיים:
~aו־ ~bקוליניאריים ⇒⇐ ∃ζ 6= 0 : ai = ζbi
2.2חיבור וחיסור וקטורים
נחבר ונחסר לפי כלל המקבילית)או כלל המשולש(.
איור :5חיבור וקטורים לפי כללי המקבילית והמשולש
לפי משפט הקוסינוסים:
− 2 |~a| ~b cos α
נגדיר הפרש וקטורים:
2
2
|~a| + ~b
r
= ~a + ~b
~a − ~b , ~a + −~b
כללים:
.1קומוטטיביות ~a + ~b = ~b + ~a
.2אסוציאטיביות
)א( ~a + ~b + ~c = ~a + ~b + ~c
)ב( m (n~a) = n (m~a) = (mn) ~a
.3דיסטריביוטיביות
)א( (m + n) ~a = m~a + n~a
)ב( m ~a + ~b = m~a + m~b
8
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
מכפלה סקלרית )Pr♦❞✉❝t
2.3
משפט
(❉♦t
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
יהיו ) .~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3אזי מתקיים:
~a + ~b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) .1
דוגמה :מצא את הקואורדינטות של וקטור שתחילתו בנקודה ) A (1, 2, −1וסופו בנקודה ).B (0, 1, 5
פתרון:
~ + AB
~ = OB
~
OA
~ = OB
~ − OA
)~ = (0, 1, 5) − (1, 2, −1) = (−1, −1, 6
AB
הגדרה היטל )לעיתים קרוי היטל ניצב\אורתוגונלי( של ~bעל ~aהוא וקטור בכיוון ~aובאורך , ~b cos αכאשר αהיא
הזוית בין מוצאי שני הוקטורים.
הערה :היטל של סכום הוא סכום ההיטלים
→
−
→
−
איור :6הטלה של וקטור Aעל וקטור B
איור :7היטל של סכום כסכום ההיטלים
2.3
מכפלה סקלרית )❉♦t Pr♦❞✉❝t
(
~a · ~b = |~a| ~b cos α
הערות:
9
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
2.3
מכפלה סקלרית )Pr♦❞✉❝t
(❉♦t
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
.1התוצאה היא סקלר.
.2המכפלה הסקלרית שווה למכפלת אורך ~aבאורך ההיטל של ~bעל .~a
.3המכפלה הוקטורית היא אופרטור לינארי.
.4שני וקטורים ניצבים זה לזה ⇔ .~a · ~b = 0
משפט )אי־שיוויון קושי־שוורץ(
~a · ~b ≤ |~a| · ~b
הוכחה |cos α| ≤ 1 :
משפט
.1קומוטטיביות ~a · ~b = ~b · ~a
.2דיסטריביוטיביות ~a · ~b + ~c = ~a · ~b + ~a · ~c
.3אסיציאטיביות לכפל בסקלר ~a · m~b = (m~a) · ~b = m ~a · ~b
2
.4מכפלת וקטור בעצמו |~a · ~a = ~a2 = |~a
.5וקטורי היחידה:
î · ĵ = ĵ · k̂ = k̂ · î = 0
î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
משפט )אי־שיוויון המשולש(
~a + ~b ≤ |~a| + ~b
הוכחה:
≤
משפט
2
2
= ~a + ~b · ~a + ~b = |~a| + 2~a · ~b + ~b
2
2
2
≤ |~a| + 2 |~a| ~b + ~b = |~a| + ~b
2
~a + ~b
יהיו ) .~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3אזי מתקיים:
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
10
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
מכפלה וקטורית )Pr♦❞✉❝t
2.4
(❈r♦ss
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
מכפלה וקטורית )❈r♦ss Pr♦❞✉❝t
(
2.4
הגדרה
~c = ~a × ~b
אורך .|~c| = |~a| ~b sin α :~c
כיוון :~cמאונך למישור שמגדירים ,~a, ~bנקבע לפי כלל יד ימין.
איור :8כלל יד ימין
הערות:
.1מכפלה וקטורית נותנת וקטור.
.2אורך ~a × ~bשווה לשטח המקבילית הבנויה על .~a, ~b
.3וקטורי היחידה:
î × î = î × î = î × î = ~0
̂î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = j
̂ĵ × î = −k̂, k̂ × ĵ = −î, î × k̂ = −j
איור :9מכפלה וקטורית כשטח מקבילית
11
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
2.4
מכפלה וקטורית )Pr♦❞✉❝t
(❈r♦ss
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
משפט
.1אין קומוטטיביות ~a × ~b = −~b × ~a
.2דיסטריביוטיביות ~a × ~b + ~c = ~a × ~b + ~a × ~c
.3אסוציאטיביות לכפל בסקלר m ~a × ~b = (m~a) × ~b = ~a × m~b
.4לא אסוציאטיבית לכפל וקטורים~a × ~b × ~c = ~a × ~b × ~c :
איור :10מכפלה וקטורית אינה קומוטטיבית
משפט
~a × ~b × ~c = (~a · ~c) ~b − ~b · ~c ~a
משפט
יהיו ) .~a = (a1 , a2 , a3 ) , ~b = (b1 , b2 , b3אזי מתקיים:
̂k
a3 = (a2 b3 − a3 b2 ) î−
b3
̂j
a2
b2
̂i
â × b̂ = a1
b1
̂(a1 b3 − a3 b1 ) ĵ + (a1 b2 − a2 b1 ) k
12
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
2.5מכפלה מעורבת ~a · ~b × ~c
2פעולות מתמטיות בין וקטורים וסקלרים
דוגמה
נחשב שטח △ABCכאשרA (1, 2, −1) , B (0, 1, 5) , C (−1, 2, 1) :
ABועל ~
שטח המשולש שווה למחצית שטח המקבילית הבנויה על ~
:AC
~ = (−1, −1, 6) , AC
)~ = (−2, 0, 2
AB
̂k
)6 = (−2, −10, −2
2
√
√1
4 + 100 + 4 = 27
2
̂i
̂j
~ × AC
~ = −1 −1
AB
−2 0
~ 1
= ~
AB × AC
= S△ABC
2
2.5מכפלה מעורבת ~a · ~b × ~c
משפט
a1 a2 a3
~a · ~b × ~c = b1 b2 b3 .1
c1 c2 c3
~a · ~b × ~c = ~c · ~a × ~b = ~b · (~c × ~a) .2
~a · ~b × ~c .3הוא נפח המקבילון הבנוי על .~a, ~b, ~c
.4הוקטורים ~a, ~b, ~cהם קופלנרים ⇔ .~a · ~b × ~c = 0
איור :11מכפלה מעורבת כנפח מקבילון
13
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
3מישורים
מישורים וישרים
3מישורים
3.1משוואת מישור
נמצא את משוואת המישור שעובר דרך הנקודה הנתונה ) M0 (x0 , y0 , z0ובניצב לוקטור הנתון )~ = (A, B, C
.N
נסמן נקודה כללית על המישור ).M (x, y, z
→−−−
הוקטור ) M M0 = (x − x0 , y − y0 , z − z0נמצא על המישור.
~ →−−−
→−−−
~
.M M0 · Nנציב
Nמאונך למישור ,ולכן מאונך לכל וקטור שעובר במישור ,ובפרט ל־ .M M0משום כך= 0 :
ונקבל:
A (x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
זוהי משוואת המישור דרך M0הניצב ל־ ~
)Nנורמל(.
כתיבה חלופית :עבור D = −Ax0 − By0 − Cz0
Ax + By + Cz + D = 0
איור :12מציאת משוואת מישור
14
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
3מישורים
דוגמה
פתרון:
3.2מרחק מנקודה למישור
נמצא משוואת מישור דרך )Q (1, 2, 3) , R (1, 1, 1) , S (−1, 2, 0
→−−
)QR = (0, −1, −2
→−
)QS = (−2, 0, −3
̂k
)−2 = (−3, −4, 2
−3
̂j
−1
0
̂i
0
−2
→−→ −
~ =−
N
= QR × QS
−3 (x − 1) − 4 (y − 2) + 2 (z − 3) = 0
−3x − 4y − 2z + 5 = 0
מקרים מיוחדים:
~ = (A, B, 0) ⇐ C = 0 .1
⇐ Nהמישור מקביל ל־̂ ,kכלומר מאונך למישור .xy
~ = (0, 0, C) ⇐ A = B = 0 .2
⇐ Nהמישור מאונך ל־̂ ,kכלומר מקביל למישור .xy
(ב) מאונך לציר A = B = 0 :z
(א) מקביל לציר C = 0 :z
איור :13מישורים מיוחדים
3.2מרחק מנקודה למישור
) M0 (x0 , y0 , z0נקודה נתונה Ax + By + Cz + D = 0 ,מישור נתון.
→−−−
−על ~
,Nכאשר ) M1 (x1 , y1 , z1היא נקודה כלשהי על המישור.
המרחק המבוקש dשווה לאורך ההיטל של M1 M0
~ →−−−−
M1 M 0 · N
→−−−−
= d = M1 M0 cos α
~
N
✺✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
מישורים3
מישורים מקבילים3.3
:dנמצא ביטוי ל־
−−−−→
M1 M0 = (x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 )
d=
|A (x0 − x1 ) + B (x0 − x1 ) + C (x0 − x1 )|
√
A2 + B 2 + C 2
: ולכן,D = −Ax0 − By0 − Cz0 נזכור שמתקיים
d=
|Ax0 + Bx0 + Cx0 + D|
√
A2 + B 2 + C 2
מרחק מנקודה למישור:14 איור
מישורים מקבילים3.3
~1 = (A1 , B1 , C1 ) k N
~1 = (A2 , B2 , C2 ) אמ"מA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 k A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
.N
B1
C1
A1
=
=
זה קורה אם
.
A2
B2
C2
הזווית בין שני מישורים לא מקבילים3.4
cos α =
~1 · N
~2
N
~1 · N
~2
N
|A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 |
p
=p 2
A1 + B12 + C12 A22 + B22 + C22
16
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
4ישרים
איור :15הזוית בין שני מישורים שאינם מקבילים
4ישרים
4.1משוואת ישר במרחב
) ~a = (ℓ, m, nוקטור נתון M0 (x0 , y0 , z0 ) ,נקודה נתונה .נמצא את משוואת הישר העובר דרך M0ומקביל ל־.~a
→−−−
→−−−
נסמן ) M (x, y, zנקודה כללית על הישר ⇔ ∃α 6= 0 M0 M =α~a ⇔ ~a k M0 M
x − x0 = αℓ
→−−−
. y − y0 = αm
) M0 M = (x − x0 , y − y0 , z − z0ולפיכך:
z − z0 = αn
x = x0 + αℓ
. y = y0 + αmזוהי הצגה פרמטרית של ישר בכיוון ) (ℓ, m, nדרך ) .(x0 , y0 , z0
נקבל:
z = z0 + αn
שקול ℓ (α) = (x0 + αℓ, y0 + αm, z0 + αn) :גם היא הצגה פרמטרית של הישר.
x − x0
y − y0
z − z0
.זוהי משוואה קנונית של ישר.
=
=
שקול:
ℓ
m
n
x − x0
z − z0
.
=
הצגה זו מחייבת .ℓ, m, n 6= 0אם למשל ,m = 0נקבל, y = y0 :
ℓ
n
הערה :ישר דרך שתי נקודות ־ מוצאים וקטור כיוון )המחבר את שתי הנקודות(.
איור :16ישר העובר דרך M0ובמקביל ל־~ℓ
17
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
4ישרים
4.2מרחק נקודה מישר
מצא משוואת ישר העובר דרך ) (1, 2, −3ומקביל ל־).~a = (3, −1, 2
דוגמה
פתרון:
x = 1 + 3α
y = 2 − αבצורה פרמטרית.
z = −3 + 2α
x−1
y−2
z+3
.
=
=
בצורה קנונית:
3
−1
2
4.2מרחק נקודה מישר
x+1
y−2
z−1
=
=
דוגמה מצא את מרחק הנקודה ) M (1, −1, 3מהישר
2
−1
3
פתרון:
→−−−
המרחק dהוא גובה המקבילית הבנויה על הוקטורים .M0 M , ~aלכן:
̂î ĵ k
2 −3 2
2 −1 3
|)|(−7, −2, 4
√
=
√ =
=
||~a
4+1+9
14
r
√
49 + 4 + 16
69
√
=
=
14
14
→−−−
M0 M × ~a
.
=d
4.3חיתוך של ישר עם מישור
נמצא נקודת חיתוך בין הישר ) ℓ (α) = (1 + α, 2α, 3αוהמישור .x + 2y − z = 5
דוגמה
פתרון:
אם ) (x, y, zהיא החיתוך ,היא מקיימת
)⇒ (x, y, z) = (3, 4, 6
x + 2y − z = 5
x = 1 + α
y = 2α
z = 3α
18
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
5מצב הדדי בין ישר ומישור
4.4חיתוך של שני מישורים
איור :17חיתוך של ישר עם מישור
4.4חיתוך של שני מישורים
דוגמה נמצא את משוואת ישר החיתוך בין המישורים x + y − 3z = 0ו־.3x + 2y − z + 2 = 0
ישר החיתוך ניצב לכל אחד מהנורמלים של המישורים ,ולכן נמצא בכיוון הקרוס שלהם.
~1 = (3, 2, −1) ; N
)~2 = (1, −1, 3
N
̂k
)3 = (−5, 10, 5
−1
̂î j
~1 × N
~2 = 1 −1
~a = N
3 2
כעת נותר למצוא נקודה על הישר .נקודה זו (x, y, z) ,היא נקודה המקיימת את שתי משוואות המישורים ,כלומר:
(
3x + 2y − z + 2 = 0
x + y − 3z = 0
מכיוון שבבירור יש דרגת חופש אחת לפחות)שתי משוואות ,שלושה נעלמים( ,נוכל לבחור את מראש את אחד המשתנים,
לדוגמה .z = 0כעת נפתור מערכת פשוטה עבור xו־ .yנקבל.M (4/5, −11/5, 0) :
מהוקטור ) ~a = (−5, 10, 5ומהנקודה ) M (4/5, −11/5, 0נקבל כי משוואת הישר היא:
x − 4/5
y + 11/5
z
=
=
−5
10
5
הערה :המשוואות המייצגות ישר או מישור אינן יחידות.
5מצב הדדי בין ישר ומישור
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
יהיו , Ax + By + Cz + D = 0
ℓ
m
n
מישור וישר בהתאמה.
19
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
6מצב הדדי בין שני ישרים
5.1ישר מקביל למישור
נסמן~ = (A, B, C) :
~a = (ℓ, m, n) ,N
5.1ישר מקביל למישור
~ = (ℓ, m, n) · (A, B, C) = 0 ⇐⇒ ~a ⊥ N
⇒⇐ ~
Aℓ + Bm + Cn = 0ְ⇐⇒ ~a · N
5.2זוית בין ישר למישור
αמוגדרת להיות הזוית בין הישר לבין היטלו על המישור .נקבל:
~
~a · N
Aℓ + Bm + Cn
√
√=
2 + m2 + n2 A2 + B 2 + C 2
~
ℓ
| |~a| |N
= sin α
5.3ישר מאונך למישור
Aℓ + Bm + Cn
⇒⇐ ~
√
⇐⇒ ~a k Nהזוית בין הישר למישור היא = ±1⇐⇒ ±π/2
ℓ 2 + m 2 + n 2 A2 + B 2 + C 2
6מצב הדדי בין שני ישרים
y − y1
z − z1 x − x 0
y − y0
z − z0
x − x1
=
=
יהיו
=
=
,
ℓ1
m1
n1
ℓ
m
n
נסמןa~1 = (ℓ1 , m1 , n1 ),~a = (ℓ, m, n) :
שני ישרים במרחב.
6.1זוית בין שני ישרים
מוגדרת להיות הזוית בין :~a, a~1
~a · a~1
| |~a| |a~1
= cos α
שני ישרים יכולים להיות מקבילים \ נחתכים \ מצטלבים.
6.2תנאי לכך שישרים )שאינם מקבילים( יחתכו
ניקח M1נקודה על L1ו־ M0נקודה על .L0
→−−−−
הישרים נחתכים ⇒⇐ ~a, a~1 , M0 M1קופלנרים
→−−−−
⇒⇐M0 M1 · (~a × a~1 ) = 0
x 1 − x 0 y 1 − y 0 z1 − z 0
ℓ
m
n
⇒⇐= 0
ℓ1
m1
n1
20
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
√
lOMoARcPSD|23687637
7כמה הערות
איור :18התנאי לכך שישרים שאינם מקבילים יחתכו
7כמה הערות
~a · ~b = ~a · ~c
.1
⇓
⇐ ~a · ~b − ~c = 0
)כנ"ל עבור (~a × ~b
:
~b = ~c
~a ⊥ ~b − ~c
~a × ~b .2אינה אסוציאטיבית ,אך כן מקיימת:
~a × ~b × ~c + ~c × ~a × ~b + ~b × (~c + ~a) = 0
תכונה זו קרויה זהות יעקובי )ִ ✐❜♦❝❛❏( .זהו מקרה פרטי של אלגברת ❡✐▲.
.3משפט:
2
2
= |~a| ~b
2
+ ~a · ~b
2
~a × ~b
21
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
8משטחים ריבועיים
חלק
■■
משטחים במרחב
משטח כללי מתואר על־ידי .F (x, y, z) = 0
נתבונן במקרה פרטי חשוב:
8משטחים ריבועיים
8.1פרבולואיד אליפטי
y2
x2
+ 2
2
a
b
עבור
עבור
עבור
עבור
עבור
=z
z = 0נקבל נקודה )ראשית הצירים(.
z = h < 0אין פתרון.
z = h > 0נקבל אליפסה.
x = 0נקבל פרבולה במישור .zy
y = 0נקבל פרבולה במישור .xz
איור :19פרבולואיד אליפטי
8.2חרוט אליפטי
x2
y2
+
a2
b2
= z2
22
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
8משטחים ריבועיים
8.3אליפסואיד
איור :20חרוט אליפטי
8.3אליפסואיד
y2
z2
x2
+
+
=1
a2
b2
c2
איור :21אליפסואיד
8.4היפרבולואיד חד־יריעתי
y2
z2
x2
+
−
=1
a2
b2
c2
23
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
8משטחים ריבועיים
8.5היפרבולואיד דו־יריעתי
איור :22היפרבולואיד חד־יריעתי
8.5היפרבולואיד דו־יריעתי
x2
y2
z2
+
−
= −1
a2
b2
c2
איור :23היפרבולואיד דו־יריעתי
24
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
8.6כדור
8משטחים ריבועיים
איור :24היפרבולואידים
8.6כדור
2
2
2
(x − a) + (y − b) + (z − c) = r2
זהו כדור שמרכזו בנקודה ) (a, b, cורדיוסו .r
איור :25כדור
8.7משטחים גליליים
באופן כללי ,מתקבלים ממשוואות בהן אחד הארגומנטים ) (x, y, zלא משחק תפקיד ,כלומר:
0
0
=
=
)F (x, y
)F (y, z
0
=
)F (z, x
✺✷
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
8.8
8משטחים ריבועיים
8.8גליל אליפטי
y2
x2
+
=1
a2
b2
איור :26גליל אליפטי
8.9גליל פרבולי
y 2 = 2px
OR
x2 = 2py
איור :27גליל פרבולי
✻✷
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
גליל אליפטי
lOMoARcPSD|23687637
8משטחים ריבועיים
8.10פרבולואיד היפרבולי
8.10פרבולואיד היפרבולי
y2
x2
−
a2
b2
=z
איור :28פרבולואיד היפרבולי
8.11הערות
.1הזזה של המשטח :להחליף xב־ x − x0וכו'.
.2כיווץ של המשטח :בעזרת aו־.b
.3סיבוב )במקביל לצירים( :החלפת שמות המשתנים.
27
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
חלק
■■■
מושגים בטופולוגיה של Rn
}Rn = {x = (x1 , x2 , · · · , xn ) : xi ∈ R
זהו Rnכמרחב וקטורי )עם חיבור וכפל בסקלר(.
על Rnמוגדרים גם:
.1מכפלה פנימית:
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn
)הערה :למעט R3אין מכפלה וקטורית(.
.2נורמה ) Rnמרחב נורמי(:
q
√
~x · ~x = x21 + x22 + · · · + x2n
= ||~x
.3מטריקה ) Rnמרחב מטרי(:
2
2
2
) (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + · · · + (xn − yn
q
= | d (~x, ~y ) = |~x − ~y
.4זויות:
~x · ~y
| |~x| |~y
= cos α
Rnעם כל המבנים הנ"ל נקרא המרחב האוקלידי ה־ nממדי.
מההגדרות הנ"ל נובעות כמה מסקנות מיידיות:
.1אי־שיווין המשולש △ =:6
| |~x + ~y | ≤ |~x| + |~y
.2אי־שיוויון קושי־שוורץ :CS
| |~x · ~y | ≤ |~x| |~y
הגדרה
}B (~xo , r) = {~x ∈ Rn | d (~x, ~xo ) < r
זהו כדור ברדיוס rשמרכזו ) .~xo = (xo1 , xo2 , · · · , xon
✽✷
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
הגדרה
יהיו a1 , a2 , · · · , anו־ b1 , b2 , · · · , bnב־.R
} a i ≤ x i ≤ bi
{~x ∈ Rn | ∀i
זוהי תיבה nמימדית ב־ .Rn
הגדרה
ε־סביבה של ~xoזה פשוט ) ,B (~xo , rכלומר:
}{~x | d (~x, ~xo ) < ε
< | .{x | |x − x0
ב־ Rזה בדיוק }ε
q
2
2
ב־ R2זה בדיוק (x − x0 ) + (y − y0 ) < ε
| ). (x, y
הערה :באופן דומה מגדירים ε־סביבה תיבתית.
הערה :בכל סביבה כדורית מוכלת סביבה תיבתית ,ולהיפך.
הגדרה תהא A ⊆ Rnקבוצה.
xo .1נקראת נקודה פנימית של Aאם יש ε־סביבה של xoהמוכלת כולה ב־.A
xo .2נקראת נקודת שפה של Aאם בכל ε־סביבה של xoיש גם נקודות מ־ ,Aוגם נקודות שאינן מ־.A
.3אם כל נקודה xoשל Aהיא נקודה פנימית ,אז Aנקראת קבוצה פתוחה.
.4אם כל נקודות השפה של Aשייכות ל־ ,Aאז היא נקראת קבוצה סגורה.
סימונים
.1הפנים של Aמסומנת .A0
.2השפה של Aמסומנת .∂A
.3הסגור של Aמסומנת .A0 ∩ ∂A = A
דוגמה:
R3 ⊇ A = B (o, r) = x ∈ R3 | d (o, r) < r
}∂A = {x | d (x, o) = r
}A = {x | d (x, o) ≤ r
A0 = A
דוגמה:
A = (x, y) ∈ R2 | y = x2
A0 = φ
∂A = A
A=A
✾✷
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
9
עקום )רציף( במרחב
דוגמה:
A = (x, y) ∈ R2 | 1 < x2 + y 2 ≤ 4
A0 = (x, y) ∈ R2 | 1 < x2 + y 2 < 4
∂A = (x, y) ∈ R2 | 1 = x2 + y 2 ∪ (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4
A = (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
הגדרה
קבוצה Aנקראת חסומה אם קיים כדור שמכיל אותה.
הגדרה
קבוצה סגורה וחסומה ב־ Rnנקראת קבוצה קומפקטית.
9עקום )רציף( במרחב
דוגמה
x = cos t
, 0 ≤ t ≤ 2π
y = sin t
| (x, y) ∈ R2
זהו מעגל היחידה.
דוגמה
זהו Helixהמלופף סביב ציר .z
x = cos t
(x, y, z) ∈ R3 | y = sin t , t ≥ 0
z=t
הגדרה
,α ≤ t ≤ β
)x1 = ϕ1 (t
)x2 = ϕ2 (t
✳
✳
✳
)xn = ϕn (t
) ~x = (x1 , x2 , · · · , xn
נקרא עקום רציף אם כל ה־ ϕiרציפות.
הערה :עקום במרחב הוא , f : R −→ Rnמכיוון שמתקיים:
))f (t) = (ϕ1 (t) , ϕ2 (t) , · · · , ϕn (t
הגדרה
קבוצה Aנקראת קשירה )מסילתית( אם כל x, y ∈ Aניתן לחבר על־ידי עקום רציף שמוכל כולו ב־.A
30
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
חלק
❱■
פונקציות
באופן כללי .f : Rn −→ Rm
נתחיל מ־ f : R2 −→ Rפונקציה סקלרית.
ממש נתחיל מ־ ,ּf : R2 −→ Rאת אלו נדע )בקושי רב( לצייר.
)z = f (x, y
דוגמה
f (x, y) = x2 + y 2
הערה :נשים לב שמעל כל ישר בתחום ההגדרה ,מתקבלת פונקציה במשתנה יחיד.
בדוגמה ־ מעל ,y = 0מקבלים .z = x2
הגדרה עקום ℓבמישור xyנקרא קו־גובה של הפונקציה ) z = f (x, yאם ערך הפונקציה על ℓהוא קבוע .c
דוגמה.f (x, y) = xy :
xy = 0 ⇐⇒ x = 0 OR y = 0
1
= xy = 1 ⇐⇒ y
x
2
= xy = 2 ⇐⇒ y
x
−1
= xy = −1 ⇐⇒ y
x
−2
= xy = −2 ⇐⇒ y
x
איור :29קווי גובה של הפונקציה z = xy
S
פרבולואיד היפרבולי )אוכף( .z = x2 − y 2מעל x = yיושבת הפרבולה ,ומתחת
זהו למעשה סיבוב של T
ל־ x = −yיושבת הפרבולה .
31
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
.c הוא קבועS אם ערך הפונקציה עלf (x, y, z) נקרא משטח גובה )משטח רמה( שלR3 ב־S הגדרה משטח
f (x, y, z) = x2 + y 2 − z :דוגמה
c=0
c=1
c = −1
⇒
⇒
⇒
z = x2 + y 2
z − 1 = x2 + y 2
z + 1 = x2 + y 2
♣❛r❛❜♦❧♦✐❞
♣❛r❛❜♦❧♦✐❞
♣❛r❛❜♦❧♦✐❞
32
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
חלק ❱
סדרות ב־ Rk
תזכורת ־ סדרות ב־ Rנאמר כי xn −→ Lאם לכל ε > 0קיים Nכך שלכל n > Nמתקיים .|xn − L| < ε
∞→n
כעת ניקח סדרה xnשל נקודות במרחב.
הגדרה נאמר כי xn −→ Lאם לכל ε > 0קיים Nכך שלכל n > Nמתקיים .d (xn , L) < ε
∞→n
הערה :נשים לב:
∞
{(xn1 , xn2 , · · · , xnk )}n=1
) (L1 , L2 , · · · , Lk
משפט
=
=
∞
{xn }n=1
L
⇐⇒ xn −→ Lלכל 1 ≤ i ≤ kמתקיים .xni −→ Li
∞→n
∞→n
הוכחה :לצורך פשטות ,נוכיח עבור ,R2כלומר:
) xn −→ L1 AN D yn −→ L2 ⇐⇒ (xn , yn ) −→ (L1 , L2
⇐ :יהי .ε > 0
2
2
(xn − L1 ) + (yn − L2 ) < ε
q
≤ | |xn − L1
⇒ :יהי .ε > 0
2
q
2
≤ ) (xn − L1 ) + (yn − L2
ε ε
|xn − L1 | + |yn − L2 | < + < ε
2 2
=
)d ((xn , yn ) , L
≤
מסקנה התורה של סדרות מ־ Rמאפשרת טיפול בסדרות ב־ .Rkלמשל:
משפט)בולצאנו־ויירשטראס( :לכל סדרה )ב־ (Rkחסומה )מוכלת באיזשהו כדור( יש תת־סדרה מתכנסת.
הערות:
.1קבוצה Aהיא סגורה )מכילה את (∂Aאמ"מ לכל סדרה מתכנסת של נקודות מ־ ,Aגם הגבול שייך ל־.A
.2קבוצה Aהיא קומפקטית )אצלנו ־ סגורה וחסומה( אמ"מ לכל סדרה של נקודות מ־ Aיש תת־סדרה המתכנסת
לנקודה ב־.A
33
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
חלק
■❱
גבולות של פונקציות
תזכורת )ב־(R
lim f (x) = Lאם לכל ε > 0קיים δ > 0כך ש.|f (x) − L| < ε ⇐= 0 < |x − a| < δ :
x→a
הגדרה תהא f : R2 −→ Rמוגדרת בסביבה נקובה של ).(a, b
q
2
2
אם לכל ε > 0קיים δ > 0כך ש⇐= 0 < (x − a) + (y − b) < δ :
lim
נאמר כי f (x, y) = L
)(x,y)→(a,b
.|f (x, y) − L| < ε
הערות:
2
2
.1עבור f : Rk −→ Rבמקום הביטוי (x − a) + (y − b) < δ
q
< 0יופיע .0 < d (x, a) < δ
.2אפשר באופן שקול להגדיר על ידי סביבה תיבתית:
אם לכל ε > 0קיים δ > 0כך ש |x − a| < δ :ו־ |y − b| < δו־
lim
נאמר כי f (x, y) = L
)(x,y)→(a,b
).|f (x, y) − L| < ε⇐= (x, y) 6= (a, b
.3הגדרה שקולה נוספת ־ משפט היינה:
אמ"מ לכל סדרה ) (a, b) 6= (xn , yn ) −→ (a, bמתקייםf (xn , yn ) −→ :
lim
נאמר כי f (x, y) = L
∞→n
)(x,y)→(a,b
∞→n
.L
אתגר :נסה להוכיח שההגדרה בלשון סדרות שקולה להגדרות לעיל.
(
x sin y1 + y sin x1 x 6= 0, y 6= 0
דוגמה 1תהא
0
x = 0 OR y = 0
. limיהי .ε > 0נגדיר ,δ = ε/2ואז עבור |x − 0| < δו־ |y − 0| < δיתקיים:
נראה שמתקיים f (x, y) = 0
= ).f (x, y
)(x,y)→(0,0
∗ 1
1
∗∗ 1
1
+ y sin
≤ x sin + y sin
≤
y
x
y
x
|f (x, y) − 0| ≤ x sin
≤ |x| + |y| = |x − 0| + |y − 0| < ε/2 + ε/2 = ε
* אי שיוויון המשולש
** |sin| ≤ 1
משפט
אם קיים הגבול f (x, y) = L
lim
)(x,y)→(a,b
אז ערך הפונקציה שואף ל־ Lלאורך כל מסלול )עקום( שמתקרב
ל־).(a, b
34
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
מסקנה :אם ל־) f (x, yיש גבולות שונים כאשר ) (x, yשואף ל־) (a, bלאורך מסלולים שונים ,אז אין גבול.
(
xy
)(x, y) 6= (0, 0
2
2
. lim
.f (x, y) = x +yנראה שאין גבול )f (x, y
דוגמה 2תהא
)(x,y)→(0,0
0
)(0, 0
לאורך המסלול ) y = mxקו ישר שעובר דרך הראשית( נקבל:
m
1 + m2
=
2
x · mx
)+ (mx
= )f (x, y) = f (x, mx
x2
√ ,yנקבל כי
הישר = x
נקבל כי לאורך קווים ישרים שונים ,לפונקציה ערך שונה ,כלומר :אם נתקדם לכיוון ) (0, 0על
√
√
8
8
1
1
√
, 1+1ולעומת זאת אם נתקדם לאורך הישר y = x 8נקבל כי הגבול הוא . 1+ 82 = 9לכן אין
הגבול הוא 2 = 2
גבול!
(ב) קווי גובה
(א) גרף הפונקציה
)(x, y) 6= (0, 0
איור :30הפונקציה
)(0, 0
x 6= 0, y 6= 0
דוגמה 3תהא
x = 0 OR y = 0
לאורך כל מסלול y = mxנקבל:
x2 y
x4 +y 2
0
mx
−→ 0
+ m2 x→0
(
x2
xy
x2 +y 2
0
(
= )f (x, y
= ) .f (x, yנראה שאין גבול )f (x, y
=
2
x2 · mx
)+ (mx
x4
)(x,y)→(0,0
= )f (x, y) = f (x, mx
)גם על הצירים הגבול הוא .(0
זה לא אומר שיש גבול!! ואמנם ,על y = x2מתקיים:
1
1
x4
→= −
+ x4
2
2
משפט )יחידות הגבול(
x4
= f (x, y) = f x, x2
אם קיים הגבול אז הוא יחיד.
משפט )אריתמטיקה( נניח f (x, y) = L
lim
)(x,y)→(a,b
ו־g (x, y) = K
lim
)(x,y)→(a,b
lim
.
.אזי:
35
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
11קואורדינטות פולריות
❼ lim (αf + βg) = αL + βK
❼ lim f g = LK
L
f
=
❼
g
K
) limבתנאי ש־ g (x, y) 6= 0ו־(K 6= 0
משפט )סנדויץ'(
אם ) h (x, y) ≤ f (x, y) ≤ g (x, yבסביבה של ) ,(a, bומתקיים:
g (x, y) = L
אז גם f (x, y) = L
lim
)(x,y)→(a,b
lim
)(x,y)→(a,b
= )h (x, y
lim
)(x,y)→(a,b
.
10גבולות נשנים
)lim f (x, y
x→a
lim
y→b
בדרך כלל לא עוזרים ,ומבלבלים .ראו הוזהרתם!
יכול להיות שיש גבול ואין גבולות נשנים ,או שיש גבולות נשנים ואין גבול ,או שקיים גבול נשנה אחד ולא השני.
בדוגמה 2לעיל ,שני הגבולות הנשנים ב־) (0, 0קיימים ושווים ,אבל אין גבול.
בדוגמה 1לעיל ,יש גבול אבל אין גבולות נשנים ב־).(0, 0
משפט
אם קיים הגבול )f (x, y
lim
)(x,y)→(a,b
וגם קיים אחד הגבולות הנשנים ,אז הם שווים.
11קואורדינטות פולריות
תזכורת ־ הגדרה:
p
r = x2 + y 2
θ = arctan xy
(
OR
x = r cos θ
y = r sin θ
(
איור :31קואורדינטות פולריות
36
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
11קואורדינטות פולריות
משפט תהי .f (x, y) : R2 −→ Rנניח כי:
f (r cos θ, r sin θ) = F (r) G (θ) .1
G (θ) .2חסומה
F (r) −→ 0 .3
r→0
אזי מתקיים 0
→−
)(x,y)→(0,0
).f (x, y
הוכחה:
יהי .ε > 0
ε
·M =ε
M
< |)|f (x, y) − 0| = |F (r)| |G (θ
Gחסומה ,כלומר קיים Mכך שמתקיים .G (θ) < M
Fשואפת לאפס ,ולכן |F (r)| < ε/Mעבור rמספיק קטן.
)(x, y) 6= (0, 0
דוגמה תהא
)(0, 0
מתקיים:
x2 y 2
x2 +y 2
0
(
= ).f (x, y
r2 cos2 θr2 sin2 θ
= r2 cos2 θ sin2 θ
r2
= )f (r cos θ, r sin θ
אם נסמן F (r) = r2 , G (θ) = cos2 θ sin2 θנקבל:
)f (r cos θ, r sin θ) = F (r) G (θ
) G (θחסומה
F (r) −→ 0
r→0
ולכן f (x, y) = 0
lim
)(x,y)→(0,0
.
הערות:
.1אפשר לנסח וריאציות למשפט ואף לחזק אותו.
.2בשביל להראות שהגבול לא קיים ,מספיק למצוא 'θ 2ות עבורן יש גבולות שונים כאשר .r → 0
37
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
חלק
■■❱
רציפות
הגדרה
f : R2 −→ Rהיא רציפה בנקודה ) (a, bאם )f (x, y) = f (a, b
lim
)(x,y)→(a,b
.
שקול
ש:
.1לכל ε > 0קיים δ > 0כךq
2
2
|f (x, y) − f (a, b)| < ε ⇐= (x − a) + (y − b) < δ
.2כמו ,1אבל עם סביבה תיבתית ,כלומר |x − a| < δו־.|y − b| < δ
.3לכל סדרה ) (xn , yn ) −→ (a, bמתקיים ).f (xn , yn ) −→ f (a, b
∞→n
∞→n
הגדרה fרציפה בתחום Dאם היא רציפה בכל נקודה בתחום.
(
sin x−sin y
x 6= y
x−y
דוגמה תהא
= ).f (x, y
cos x
x=y
בכל נקודה f , x 6= yרציפה )כי אלמנטרית בסביבת הנקודה(.
ניקח נקודה ) .(x, xנשתמש בהגדרת הרציפות לפי היינה .נבחר סדרה ).(xn , yn ) −→ (x, x
∞→n
עבור תת הסדרה שבה xn = ynמתקיים:
)f (xn , yn ) = f (xn , xn ) = cos xn −→ cos x = f (x, x
∞→n
עבור תת הסדרה המשלימה שלה ,שבה xn 6= ynמתקיים:
n
n
cos xn +y
sin xn −y
sin xn − sin yn
2
2
)−→ cos x = f (x, x
=
xn −yn
∞→n
x n − yn
2
= ) f (xn , yn
מסקנה f :רציפה ב־) (x, xולכן fרציפה בכל המישור.
משפט )ויירשטראס ■( תהי f : D −→ Rרציפה בתחום Dחסום וסגור )קומפקטי( .אזי fחסומה.
משפט )ויירשטראס ■■( תהי f : D −→ Rרציפה בתחום Dחסום וסגור )קומפקטי( .אזי fמקבלת מינימום
ומקסימום.
משפט )הרכבה של רציפות( יהיו ) x (t) , y (tרציפות ב־]) [a, bזה עקום ) γ (tרציף במישור(.
יהי D ⊆ R2תחום )פתוח( המכיל את )) (x (t) , y (tלכל ].t ∈ [a, b
תהי f : D −→ Rרציפה.
נגדיר ))) .ϕ (t) = f (x (t) , y (tאלו ערכי fעל העקום(.
אזי ϕרציפה ב־].[a, b
γ
f
R −→ R2 −→ R
))t 7−→ (x (t) , y (t)) 7−→ f (x (t) , y (t
38
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
משפט )ערך הביניים( יהי D ⊆ R2תחום )פתוח( קשיר ,ותהי f : D −→ Rרציפה .יהיו .(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) ∈ D
אזי לכל ערך z0בין ) f (x2 , y2ל־) f (x1 , y1קיים (x0 , y0 ) ∈ Dכך ש־ .f (x0 , y0 ) = z0
הוכחה:
נחבר את שתי הנקודות ) (x1 , y1 ) , (x2 , y2על־ידי עקום רציף γהמוכל ב־) Dזה אפשרי כי Dקשיר(.
)) γ (t) = (x (t) , y (tעקום עבור .a ≤ t ≤ b
))γ (a) = (x (a) , y (a
))γ (b) = (x (b) , y (b
=
=
) (x1 , y1
) (x2 , y2
מתקיים:
)f (x (a) , y (a)) = ϕ (a
=
) f (x1 , y1
)f (x (b) , y (b)) = ϕ (b
=
) f (x2 , y2
ϕהיא פונקציה רציפה על ]) [a, bמהמשפט הקודם( .לכן לפי משפט ערך הביניים )למשתנה יחיד ,מחדו"א 1ת'( יש
a < t0 < bכך שמתקיים .ϕ (t0 ) = z0
)) z0 = ϕ (t0 ) = f (x (t0 ) , y (t0
נסמן .x0 = x (t0 ) , y0 = y (t0 ) :קיבלנו (x0 , y0 ) ∈ Dכך ש־ .f (x0 , y0 ) = z0
39
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
x2 −y 2
x2 +y 2
(
)(x, y) 6= (0, 0
דוגמה תהא
0
)(0, 0
נסתכל על טבעת בעובי ε/2וברדיוס חיצוני εסביב הראשית.
= ).f (x, y
f (2ε/3, 0) = 1
f (0, 2ε/3) = −1
=
=
) f (P1
) f (P2
fרציפה בטבעת )שהיא קשירה( ,ולכן לפי ערך־הביניים fמקבלת בטבעת כל ערך בין 1ל־ .−1זה נכון בכל סביבה
של ) f ⇐ (0, 0לא רציפה ב־).(0, 0
איור :32טבעת סביב הראשית
40
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
12חזרה מהירה ־ עקומים
חלק
■■■❱
נגזרות
12חזרה מהירה ־ עקומים
12.1דרכי הצגה של עקום
a ≤ t ≤ b .1
)x = x (t
)y = y (t
)z = z (t
~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) .2
~r (t) = x (t) î + y (t) ĵ + z (t) k̂ .3
דוגמאות
0 ≤ t ≤ 2π .1
זהו מעגל.
.2
.3
.4
.5
~r (t) = (cos t, sin t) ,
∞ ≤ ~r (t) = (cos t, sin t, t) , 0 ≤ t
זהו בורג )①✐❧❡❍(.
~r (t) = t, t2 , 0 ≤ t ≤ 1
זו פרמטריזציה של .y = x2
~r (t) = sin t, sin2 t , 0 ≤ t ≤ π/2
אותו עקום ,אותה מגמה.
~r (t) = cos t, cos2 t , 0 ≤ t ≤ π/2
אותו עקום ,מגמה הפוכה.
~r (t) = (t − sin t, 1 − cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π .6
זוהי ציקלואידה.
~r (t) = cos3 t, sin3 t , 0 ≤ t ≤ 2π .7
הצגה פרמטרית של .x2/3 + y 2/3 = 1זוהי היפו־ציקלואידה.
הערות
.1הצגה פרמטרית אינה יחידה!
.2באופן כללי )) (t, f (tהוא גרף של פונקציה במשתנה יחיד המוצג כעקום פרמטרי ב־ .R2
.3עקומים מתקבלים למשל מחיתוך של שני משטחים.
ראינו :ישר כחיתוך של שני מישורים.
קלאסי :חיתוך של חרוט מעגלי עם מישור יכול ליצור :מעגל ,אליפסה ,פרבולה ,היפרבולה.
41
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
13משיק לעקום
13משיק לעקום
בחדו"א 1ת' ,המשיק היה ישר ששיפועו הוא גבול שיפועי המיתרים.
באותו אופן ,משיק לעקום מוגדר גיאומטרית כישר )דרך נקודת ההשקה( שכיוונו הוא גבול כיווני המיתרים.
) ∆~r = ~r (t) − ~r (t0
זהו וקטור בכיוון המיתר.
) ~r (t) − ~r (t0
∆~r
=
∆t
t − t0
גם זה.
) y (t) − y (t0
) z (t) − z (t0
) x (t) − x (t0
î +
ĵ +
̂k
t − t0
t − t0
t − t0
)−→ x′ (t) + y ′ (t) + z ′ (t) = ~r′ (t
=
∆t→0
זהו וקטור בכיוון המשיק לעקום )בתנאי שהגבול קיים ושונה מ־.(0
פיזיקלית ~r′ (t0 ) ,מתאר מהירות רגעית.
הערות:
.1באנגלית מבחינים בין:
) ~r′ (t0הקרוי ②✈❡❧♦❝✐t
לבין |) |~r′ (t0הקרוי ❞❡❡♣.s
) ~r′ (t0
.2לעיתים שימושי להגדיר
|) |~r′ (t0
=ˆ
❚ ,שהוא וקטור יחידה בכיוון המשיק.
.3מינוח :נקודה t0נקראת רגולרית אם γגזירה ב־ t0ומתקיים .~r′ (t0 ) 6= ~0אחרת t0 ,נקראת סינגולריות.
~r′ (t0 ) .4תלוי כמובן בפרמטריזציה ).~r′ (t
עקום γנקרא חלק אם יש לו פרמטריזציה עבורה ~r (t) 6= 0לכל .t
′
דוגמאות:
.~r (t) = (t, t) , −1 ≤ t ≤ 1 .1
) .~r′ (t) = (1, 1זהו עקום חלק.
.~r (t) = t3 , t3 , −1 ≤ t ≤ 1 .2
זהו אותו עקום ,אולם:
,~r′ (t) = 3t2 , 3t2ולכן t = 0נקודה סינגולרית!
נסיק שלעקום חלק יכולה להיות פרמטריזציה "לא טובה".
)|.~r (t) = (t, |t
( , −1 ≤ t ≤ 1 .3
)(1, 1
t>0
t
=
|.~r′ (t) = 1, |t
(1, −1) t > 0
t = 0נקודה סינגולרית )"שפיצים" ,כצפוי ,הם נקודות סינגולריות(.
✷✹
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
14מושג הנגזרת עבור f : R2 → R
13.1משוואת המשיק
13.1משוואת המשיק
בחדו"א 1ת' ,משווואת המשיק הייתה ) .y = f ′ (x0 ) (x − x0 ) + f (x0
משוואת המשיק לעקום :אם ~r′ (t) 6= 0אז המשיק בנקודה ) ~r (t0נתון על ידי:
) ℓ (t) = ~r′ (t0 ) (t − t0 ) + ~r (t0
לדוגמה ,אם העקום נתון על ידי )) ~r (t) = (t, f (tאז )) ,~r′ (t) = (1, f ′ (tולכן:
(
x = 1 (t − t0 ) + t0 = t
= )ℓ (t
) y = f ′ (t0 ) (t − t0 ) + f (t0
באופן שכתבנו ,נקודת ההשקה מתקבלת עבור .t = t0אפשר לכתוב כך:
) y − y (t0
) z − z (t0
) x − x (t0
=
=
) x′ (t0
) y ′ (t0
) z ′ (t0
שבאופן פרמטרי שקול ל:
)) (x (t0 ) + t · x′ (t0 ) , y (t0 ) + t · y ′ (t0 ) , z (t0 ) + t · z ′ (t0
14מושג הנגזרת עבור f : R2 → R
תזכורת
עבור :f : R → R
) f (x0 + h) − f (x0
h
f ′ (x0 ) = lim
h→0
עבור פונקציה בשני משתנים ,נחפש את הנגזרת בנקודה ) .(x0 , y0
נוכל לקבע את xלהיות ,x0ואז נקבל עקום שהוא פונקציה במשתנה יחיד המתאימה לחיתוך של המשטח )f (x, y
עם המישור .x = x0
את הנגזרת של העקום נוכל לחשב באמצעות כלים של חדו"א 1ת' ,ולקבל:
∂f
) f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂y
h
באופן דומה נקבל שאם נקבע את yלהיות ,y0נקבל עקום ששיפועו בנקודה ) (x0 , y0הוא:
) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0
∂f
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
הנגזרות הללו מכונות הנגזרות החלקיות של fלפי ) xאו (yבנקודה ) .(x0 , y0
שני הישרים שאלו שיפועיהם ועוברים דרך הנקודה ) (x0 , y0מגדירים מישור ,שהוא המועמד להיות המישור המשיק.
הערות:
.1נסו להכליל עבור .f : R3 → R
.2חישוב נגזרות חלקיות:
גוזרים לפי המשתנה הרלוונטי ,ומתייחסים למשתנה השני כאל קבוע/פרמטר.
✸✹
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
14מושג הנגזרת עבור f : R2 → R
דוגמה:
)(x, y) 6= (0, 0
תהא
)(x, y) 6= (0, 0
xy
x2 +y 2
0
(
14.1מציאת המועמד למישור המשיק
= ).f (x, y
∂f
)f (h, 0) − f (0, 0
(0, 0) = lim
=0
h→0
∂x
h
באותו אופן:
∂f
(0, 0) = 0
∂y
נחשב נגזרת חלקית לפי xעבור נקודה כללית ):(x0 , y0 ) 6= (0, 0
)y x2 + y 2 − 2x (xy
∂f
y03 − x20 y0
= ) (x0 , y0
=
2
2
∂x
) (x2 + y 2
) (x20 + y02
) (x ,y
0
0
∂f
באותו אופן ניתן למצוא את ) (x0 , y0
∂y
הערה :ראינו שדוגמה זו אינה רציפה ב־).(0, 0
מסקנה :קיום נגזרות חלקיות :רציפות.
.
14.1מציאת המועמד למישור המשיק
נסמן:
∂f
) (x0 , y0
∂x
∂f
) (x0 , y0
∂y
) f (x0 , y0
=
A
=
B
=
z0
נמצא את הישרים שעוברים דרך הנקודה ) (x0 , y0 , z0הנוצרים מהחיתוך של המשטח המייצג את fעם המישורים
x = x0ו־ :y = y0
ישר :1
)⇒ a~1 = (0, 1, B
x = x0
z−z0
B = y − y0
(
⇒
x = x0
z = B (y − y0 ) + z0
(
ישר :2
)⇒ a~2 = (1, 0, A
y = y0
z−z0
A = x − x0
(
⇒
y = y0
z = A (x − x0 ) + z0
משום כך ,נורמל למישור ששני הישרים מגדירים הוא:
)= (A, B, −1
̂k
B
A
̂î j
0 1
1 0
= ~
N
✹✹
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
(
lOMoARcPSD|23687637
15
גזירות
דרך הנקודה )) (x0 , y0 , f (x0 , y0נקבל את משוואת המישור:
A (x − x0 ) + B (y − y0 ) − 1 (z − f (x0 , y0 )) = 0
כלומר:
∂f
∂f
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
) (x0 , y0 ) (y − y0
∂x
∂y
z = f (x0 , y0 ) +
זהו המועמד להיות המישור המשיק.
15גזירות
תזכורת)גזירות במשתנה יחיד(
מוגדרת להיות קיום הגבול
) f (x0 + h) − f (x0
h→0
h
f ′ (x0 ) = lim
משפט ) f (xגזירה ב־ ⇐⇒ x0קיים A ∈ Rכך ש־ ,f (x0 + h) − f (x0 ) = Ah + α (h) · hכאשר מתקיים
.α (h) → 0
h→0
הוכחה:
⇒:
) f (x0 + h) − f (x0
= A + α (h) −→ A
h→0
h
לכן fגזירה ,ומתקיים .f ′ (x0 ) = A
⇐:
נסמן ) .A = f ′ (x0אזי:
) f (x0 + h) − f (x0
−→ A
h→0
h
) f (x0 + h) − f (x0
⇒
− A −→ 0
h→0
h
נסמן − A
) f (x0 +h)−f (x0
h
= ) ,α (hואז מתקיים:
α (h) · h = f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah
✺✹
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
15
הגדרה תהי ) f (x, yמוגדרת בסביבה של הנקודה ) .(x0 , y0
נאמר כי fגזירה בנקודה ) (x0 , y0אם קיימים A, B ∈ Rכך שמתקיים:
p
f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) = Ah + Bk + α (h, k) · h2 + k 2
כאשר 0
→−
)(h,k)→(0,0
)α (h, k
הערה לעיתים נסמן:
) ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0
∆x = h
∆y = k
תנאי שקול
∆f = Ah + Bk + α (h, k) · h + β (h, k) · k
כאשר 0
הערה
→−
)(h,k)→(0,0
)0 ,α (h, k
→−
)(h,k)→(0,0
).β (h, k
גזירות זה בלעז דיפרנציאביליות
אם ) f (x, yגזירה ב־) (x0 , y0אז יש לה נ"ח ב־) .(x0 , y0
משפט
הוכחה:
עבור k = 0נקבל:
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = Ah + α (h, k) · h
נחלק ב־:h
) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0
= A + α (h, k) −→ A
h→0
h
ומשום כך נקבל:
∂f
(x0 , y0 ) = A
∂x
באופן דומה נקבל
∂f
(x0 , y0 ) = B
∂y
46
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
גזירות
lOMoARcPSD|23687637
גזירות
15
.(0, 0) נראה גזירות ב־.f (x, y) =
∂f
(0, 0)
∂x
∂f
(0, 0)
∂y
=
=
(
x2 y
1
(x2 +y 2 ) /2
0
(x, y) 6= (0, 0)
דוגמה תהא
(0, 0)
: נמצא נגזרות חלקיות:■ שלב
f (h, 0) − f (0, 0)
=0
h
f (0, h) − f (0, 0)
lim
=0
h→0
h
lim
h→0
: בהגדרת הנגזרתA, B הצבת:■■ שלב
f (h, k) − f (0, 0) = α (h, k)
p
h2 + k 2
:α → 0 והוכחתα (h, k) הגדרת:■■■ שלב
α (h, k) =
f (h, k) − f (0, 0)
h2 k
√
= 2
h + k2
h2 + k 2
:נראה שאיפה לאפס בעזרת מעבר לקואורדינטות פולאריות
α (r cos θ, r sin θ) =
r2 cos2 θ · r sin θ
= r cos2 θ sin θ
r2
.α → 0 : נקבל כי,r → 0 ומתקיים, חסוםcos2 θ sin θמכיוון ש־
.(x0 , y0 )( אז היא רציפה ב־x0 , y0 ) גזירה ב־f אם
lim
(h,k)→(0,0)
=
lim
(h,k)→(0,0)
משפט
:הוכחה
(f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 )) =
p
Ah + Bk + α (h, k) h2 + k 2 = 0
:ולכן מתקיים
f (x0 + h, y0 + k)
−→
(h,k)→(0,0)
f (x0 , y0 )
.(x0 , y0 ) רציפה בנקודהf כלומר
47
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
15
)(x, y) 6= (0, 0
לדוגמה ,ראינו שהפונקציה
)(0, 0
)אף על פי שיש לה נ"ִח ב־).((0, 0
משפט
xy
x2 +y 2
0
(
= ) f (x, yלא רציפה ב־) ,(0, 0ולכן לא גזירה ב־)(0, 0
אם ל־) f (x, yיש נ"ח רציפות בסביבה של הנקודה ) (x0 , y0אז fגזירה ב־) .(x0 , y0
איור :33תרשים זרימה
הערה בנוגע לאיור :כל גרירה אחרת בין המושגים שגויה! דוגמאות נגדיות:
)x2 + y 2 sin √ 21 2 (x, y) 6= (0, 0
x +y
.1גזירות :נ"ח רציפות בסביבה:
0
)(0, 0
(
= ).f (x, y
.2רציפות :גזירות.f (x, y) = |x| :
.3רציפות :קיום נ"ח.f (x, y) = |x|:
)(x, y) 6= (0, 0
.4קיום נ"ח :רציפות:
)(0, 0
xy
x2 +y 2
0
(
גזירות
= ).f (x, y
48
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
גזירות
15
הוכחה:
= ) ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0
= )) = (f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 + k)) + (f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0
קיבלנו שני איברים )הסוגריים הראשונים והסוגריים השניים( כאשר בכל אחד מהם רק משתנה אחד משתנה .נפעיל
לגרנז' במשתנה יחיד על כל סוגריים ונקבל:
∂f
∂f
(x0 + th, y0 + k) · h +
= (x0 , y0 + sk) · k
∂x
∂y
=
כיוון שהנגזרות החלקיות רציפות )כפונקציות של שני משתנים( ,נוכל להגדיר:
∂f
∂f
(x0 + th, y0 + k) −
) (x0 , y0
→−
0
∂x
∂x
)(h,k)→(0,0
∂f
∂f
(x0 , y0 + sk) −
) (x0 , y0
→−
0
= )β (h, k
∂y
∂y
)(h,k)→(0,0
= )α (h, k
ולכן:
∂f
∂f
(x0 , y0 ) · h + α (h, k) · h +
(x0 , y0 ) · k + β (h, k) · k
∂x
∂y
הערה
עבור ,f : Rn → Rנאמר ש־ fגזירה ב־ ~x0אם:
αi ∆xi
n
X
Ai ∆xi +
i=1
i=1
כאשר ~x0
הגדרה
∂f
∂xi
= ,Aiו־0
→−
~→) (∆x1 ,··· ,∆xn
0
n
X
= ∆f
.∀i, αi
נאמר שמישור πמשיק למשטח Sבנקודה P0אם מתקיים:
.1המישור πעובר דרך P0
.2הזוית בין המיתר P P0למישור πשואפת ל־ 0כאשר Pשואפת ל־ .P0
משפט למשטח ) z = f (x, yקיים מישור משיק )שאינו מקביל לציר (zבנקודה
)) f ⇐⇒ P0 = (x0 , y0 , f (x0 , y0גזירה ב־) .(x0 , y0
✾✹
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
=
lOMoARcPSD|23687637
16כלל השרשרת )גזירה של הרכבה(
16כלל השרשרת )גזירה של הרכבה(
נדבר תחילה על המקרה הפשוט ביותר:
→
R
))7→ f (x (t) , y (t
→
R2
))7→ (x (t) , y (t
R
t
משפט תהי ) f (x, yבעלת נ"ח רציפות בתחום .(f ∈ C 1 ) D
יהיו ) x (t) , y (tפונקציות גזירות בתחום Iכך שלכל t ∈ Iמתקיים .(x (t) , y (t)) ∈ D
נגדיר )) .F (t) = f (x (t) , y (tאזי:
dF
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
דוגמה :נגדיר את הפונקציות הבאות:
f (x, y) = x2 y − y 2
x (t) = t2
y (t) = 2t
לכן נקבל:
2
= (2x (t) y (t)) (2t) + (x (t)) − 2y (t) · 2
=
8t4 + 2t4 − 8t = 10t4 − 8t
=
dF
dt
50
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
( כלל השרשרת )גזירה של הרכבה16
:הוכחה
F (t + ∆t) − F (t)
dF
= lim
=
∆t→0
dt
∆t
f (x (t + ∆t) , y (t + ∆t)) − f (x (t) , y (t))
= lim
=
∆t→0
∆t
:נסמן
∆x
=
∆y
=
x (t + ∆t) − x (t)
y (t + ∆t) − y (t)
:ונקבל
= lim
∆t→0
f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∆t
∆f
= lim
∆t→0 ∆t
: נקבל, גזירהf מכיוון ש־
∆f =
∂f
∂f
∆x +
∆y + α∆x + β∆y
∂x
∂
:∆ ונקבלtנחלק ב־
∂f ∆x ∂f ∆y
∆x
∆y
∆f
=
+
+α
+β
∆t
∂x ∆t
∂y ∆t
∆t
∆t
:מכיוון שמתקיים
dx
∆x
−→
∆t ∆t→0 dt
;
∆y
dy
−→
∆t ∆t→0 dt
;
α, β −→ 0
∆t→0
:נקבל
∂f dx ∂f dy
∆f
=
+
∆t→0 ∆t
∂x dt
∂y dt
lim
51
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
17סיכום ביניים
17סיכום ביניים
איור :34סיכום ביניים
הערות
1
.1ברוב המקרים בהם נעסוק )בקורס הזה( ,פונקציות גזירות יהיו בעצם ב־ .C
.2יש דרכים שונות להגדיר מישור משיק:
)א( אנחנו הגדרנו כמישור שהזוית בינו לבין מיתרים מנקודות על המשטח שואפת לאפס.
)ב( הקירוב הלינארי של המשטח ליד הנקודה.
)ג( המישור שמכיל את המשיקים בנקודה לכל העקומים המוכלים במשטח.
.3אפשר להגדיר גזירות כך:
) f (x, y) − f (x0 , y0 ) − A (x − x0 ) − B (y − y0
q
=0
2
2
) (x − x0 ) + (y − y0
lim
x → x0
y → y0
כלל השרשרת
1
תהי ) f (x, yבעלת נ"ח רציפות בתחום .(f ∈ C ) D
יהיו ) x (t) , y (tפונקציות גזירות בתחום Iכך שלכל t ∈ Iמתקיים .(x (t) , y (t)) ∈ D
נגדיר )) .F (t) = f (x (t) , y (tאזי:
dF
∂f dx ∂f dy
=
+
dt
∂x dt
∂y dt
✷✺
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
17סיכום ביניים
הערה מקובל גם לכתוב:
)F ′ (t) = fx′ · x′ (t) + fy′ · y ′ (t
משפט־תרגילון אם ) f (x, yגזירה ב־) ,(x0 , y0אז המישור ) z = f (x0 , y0 ) + A (x − x0 ) + B (y − y0מכיל את
הישר המשיק לכל עקום המוכל במשטח ) z = f (x, yבנקודה )) .P0 (x0 , y0 , f (x0 , y0
הוכחה
α≤t≤β
;
))~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t
פרמטריזציה של עקום המוכל כולו במשטח ) .z = f (x, yהנקודות על העקום מוכלות במשטח ,ולכן מקיימות:
))z (t) = f (x (t) , y (t
מהו המשיק לעקום? על מנת למצוא משוואת ישר ,נצטרך נקודה על הישר ווקטור כיוון.
נקודה על הישר.P0 :
כיוונו:
))(x′ (t) , y ′ (t) , z ′ (t
x′ , y ′ , fx′ x′ + fy′ y ′
)~r′ (t
=
=
הנורמל למישור הנתון הוא ~ = fx′ , fy′ , −1
,Nולכן מתקיים:
~ · ~r′ = fx′ x′ + fy′ y ′ − fx′ x′ + fy′ y ′ = 0
N
לפיכך ,המשיק מאונך לנורמל ,כלומר מקביל למישור .מכיוון שהוא עובר דרך ,P0שנמצאת על המישור ,הוא מוכל
במישור.
עוד כלל שרשרת תהי )) ,F (u, v) = f (x (u, v) , y (u, vכאשר ) x (u, v) ,f (x, yו־) y (u, vכולן גזירות ברציפות
)כלומר .(C 1
אזי:
∂f ∂x ∂f ∂y
+
∂x ∂u ∂y ∂u
∂f ∂x ∂f ∂y
+
∂x ∂v
∂y ∂v
∂f
∂u
∂f
∂v
=
=
דוגמה
1
v
= )y (u, v
:
uv
√
= )x (u, v
√
2
2
v
2xyex y · √ + x2 ex y · 0
2 u
√
√
uv u
v
· e · √ = eu
2
v
2 u
;
y
=
2
f (x, y) = ex
∂F
∂u
=
✸✺
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
סיכום ביניים17
∂F
∂v
=
=
=
√
u
1
2 x2 y
2xye
· √ +x e
· − 2
v
2 v
√
√
uv u
u
1
· e · √ − uveu 2
2
v
v
2 v
u u u u
e − e =0
v
v
x2 y
54
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
18נגזרות מכוונות
18נגזרות מכוונות
הגדרה יהי ) û = (u1 , u2וקטור יחידה ).(|û| = 1
הביטוי:
∂f
) f (x0 + h · u1 , y0 + h · u2
(x0 , y0 ) = lim
h→0
̂∂ u
h
נקרא )בתנאי שהגבול קיים( הנגזרת המכוונת של fבכיוון ̂ uבנקודה ) .(x0 , y0
הערה
משפט
∂f
. ∂f
עבור ) û = (1, 0נקבל את . ∂xעבור ) û = (0, 1נקבל את ∂y
אם fגזירה ב־) ,(x0 , y0אז הנגזרת המכוונת של fבכיוון ̂ uבנקודה ) (x0 , y0נתונה על־ידי:
∂f
∂f
∂f
= ) (x0 , y0
(x0 , y0 ) · u1 +
(x0 , y0 ) · u2
∂u
∂x
∂y
הוכחה
לפי הנוסחה בהגדרת הגזירות:
f (x0 + hu1 , y0 + hu2 ) − f (x0 , y0 ) = Ahu1 + Bhu2
q
2
2
) +α (hu1 , hu2 ) (hu1 ) + (hu2
לכן:
) f (x0 + h · u1 , y0 + h · u2
= Au1 + Bu2
h
||h
) +α (hu1 , hu2
|
{z
}} |{z
h
→0
❞❡❞♥✉♦❜
∂f
∂f
u1 +
u2
∂x
∂xy
→−
h→0
55
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
18נגזרות מכוונות
דוגמה
פתרון:
חשב את הנגזרת המכוונת של xy 2
u1 u22
p
3
q
3
= ) f (x, yבכיוון ̂ uכלשהו בנקודה ).(0, 0
2
=
) hu1 (hu2
h
q
3
∂f
(0, 0) = lim
h→0
∂u
∂f
. ∂f
; ∂y (0, 0) = 0
ובפרט ∂x (0, 0) = 0
נשים לב שהנוסחה מהמשפט האחרון לא תקפה! זאת משום שתנאי המשפט אינם מתקיימים ,כלומר הפונקציה אינה
גזירה בראשית.
ואמנם:
)(y − 0
∂f
∂y
f (x, y) − f (0, 0) − ∂f
∂x (x − 0) −
q
2
2
)(x − 0) + (y − 0
lim
x→0
y→0
√
3
p
r cos θ sin2 θ
3
= cos θ sin2 θ
= lim
= lim p
2
2
r→0
r
x +y
x→0
y→0
xy 2
p
3
הגבול תלוי ב־ ,θולא כל שכן אינו .0כלומר ־ הפונקציה אינה גזירה ב־).(0, 0
הגדרה וקטור הנגזרות החלקיות של ,fכלומר
→
−
∇ )לעיתים גם ∇ ( קרוי נבלה=❛❧❜❛♥.
∂f ∂f
,
∂x ∂y
נקרא הגרדיאנט של fומסומן ) grad (fאו .∇fהסימון
הערה בסימון הנ"ל נוכל לכתוב את המשפט הקודם באופן הבא:
∂f
.
fגזירה =⇐ ̂= ∇f · u
∂u
מסקנות
.1הנגזרת המכוונת
.2
∂f
∂u
∂f
∂u
∂f
. ∂u
מקבל ערך מקסימלי כאשר ̂ uבכיוון ,∇fואז ערכו | = |∇f | |û| cos θ = |∇f
מקבל ערך מינימלי כאשר ̂ uבכיוון מנוגד ל־ .∇f
= 0 .3
∂f
∂u
כאשר מתקיים ̂ .∇f ⊥ uאינטואיטיבית ,המשמעות היא שהגרדיאנט ניצב לקווי הגובה של .f
הערות
2
.1עבור ,f : R → Rהגרדיאנט
.2
fx′ , fy′
"חי" בתחום ההגדרה במישור .xy
R2
) fx′ (x0 , y0 ) , fy′ (x0 , y0
→
→7
∇f : R2
)(x, y
זו הדוגמה הראשונה שאנחנו רואים לפונקציה וקטורית/שדה וקטורי.
.3עבור ∇f ,f : R3 → Rניצב למשטחי הרמה )נוכיח בהמשך(.
תרגילון תהי ) f (x, yגזירה ב־) .(x0 , y0הראו שיש כיוון שבו הנגזרת המכוונת שווה .0
56
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
נגזרות מסדר גבוה19
נגזרות מסדר גבוה19
סימונים
∂ ∂f
∂y ∂x
∂ ∂f
∂x ∂x
2
=
=
∂ f
= f ”xy = fxy
∂y∂x
∂2f
= f ”xx = fxx
∂x2
.f (x, y, z) = exy + z cos x עבור2 חשבו את כל הנ"ח עד סדר
דוגמה
:פתרון
:1 נחשב תחילה נ"ח מסדר
∂f
= yexy − z sin x
∂x
∂f
= xexy
∂y
∂f
= cos x
∂z
:2 כעת נחשב נ"ח מסדר
∂2f
= y 2 exy − z cos x
∂x2
∂2f
= exy + yxexy
∂y∂x
∂2f
= − sin x
∂z∂x
∂2f
= exy + xyexy
∂x∂y
∂2f
= x2 exy
∂y 2
∂2f
=0
∂z∂y
∂2f
= − sin x
∂x∂z
∂2f
∂2f
=
=0
∂y∂z
∂z 2
! הפוכיםf ”yx ו־
.
∂2
∂x∂y
הסימונים
שימו לב
∂2f
∂2f
=
אזf (x, y) ∈ C 2 אם
∂x∂y
∂y∂x
משפט
הערות
. שוות בהתאמה2 כלומר כל הנגזרות המעורבות מסדר, כנ"לf : Rn → R עבור.1
57
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
נגזרות מסדר גבוה19
. ושויון, ולקבל קיום של השניה, אפשר לחזק את המשפט ולהניח קיום ורציפות רק של אחת הנגזרות המעורבות.2
:הוכחה נגדיר
S (∆x, ∆y)
,
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x, y0 )
−f (x0 , y0 + ∆y) + f (x0 , y0 )
:( קבועy0 ∆ )וכמובןy עבור
g (x) , f (x, y0 + ∆y) − f (x, y0 )
⇒ S (∆x, ∆y) = g (x0 + ∆x) − g (x0 )
כך ש־x ∈ (x0 , x0 + ∆x) קיימת,'לפי לגרנז
g ′ (x) =
g (x0 + ∆x) − g (x0 )
∆x
:ולכן
S (∆x, ∆y)
=
=
′
g (x) ∆x
∂f
∂f
(x, y0 + ∆y) −
(x, y0 ) ∆x0
∂x
∂x
נגדיר
h (y) =
∂f
(x, y)
∂x
כך ש־y ∈ (y0 , y0 + ∆y) לפי לגרנז' יש
∂f
∂x
(x, y0 + ∆y) − ∂f
∂x (x, y0 )
∆y
∂2f
⇒ S (∆x, ∆y) = h′ (y) ∆y∆x =
(x, y) ∆x∆y
∂y∂x
∂2f
S (∆x, ∆y)
⇒
(x, y) =
∂y∂x
∆x∆y
h′ (y) =
:רציפה
∂2f
∂y∂x ש־
כיוון
S (∆x, ∆y)
∂2f
(x0 , y0 ) =
lim
∂y∂x
∆x∆y
∆x → 0
∆y → 0
:אותם חישובים על המשתנים בסדר הפוך נותנים
∂2f
S (∆x, ∆y)
(x0 , y0 ) =
lim
∂x∂y
∆x∆y
∆x → 0
∆y → 0
58
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
19נגזרות מסדר גבוה
הערות
.1לנ"ח מסדר ) 2בפרט( יש שימושים אין־ספור ,בפיזיקה למשל.
.2הוכחת המשפט מיוחסת ללאונרד אוילר )1783־.(1707
המשפט נקרא גם על־שם שוורץ ,הראשון שנתן הוכחה מדויקת בסטנדרטים המקובלים כיום.
2
2
(
xy xx2 −y
)(x, y) 6= (0, 0
+y 2
= ).f (x, y
דוגמה נגדיר
0
)(0, 0
כל הנ"ח מסדר 2קיימות ,אבל לא רציפות ב־) (0, 0ולכן המשפט לא תופס ,ואמנם המעורבות לא שוות.
59
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
20אינטגרלים פרמטריים
20אינטגרלים פרמטריים
משפט )גזירה תחת סימן האינטגרל/כלל לייבניץ( תהי ) f (x, yרציפה במלבן ].[a, b] × [c, d
ˆd
נגדיר .F (x) = f (x, y) dy :אזי Fרציפה ב־].[a, b
אם בנוסף
∂f
∂x
c
רציפה במלבן ,אז Fגזירה ומתקיים:
∂f
(x, y) dy
∂x
ˆd
′
= )F (x
c
כלומר
∂f
(x, y) dy
∂x
ˆd
= f (x, y) dy
ˆd
c
c
דוגמה
sin (xey ) dy
ˆ2
∂
∂x
= ) .F (xנחשב את ).F ′ (x
1
∂f
.
נסמן ) f (x, y) = sin (xeyואז ) = ey cos (xey
∂x
∂fרציפות בכל ,R2ולכן לפי לייבניץ:
fו־ ∂x
2
1
cos tdt
x
ˆxe
xe
ey cos (xey ) dy
=
t = xey
dt = xey dy
ˆ2
=
)F ′ (x
1
1
)sin xe2 − sin (xe
x
xe2
=
xe
1
sin t
x
=
הכללה
)β(y
ˆ
f (x, y) dx
= )F (y
)α(y
רוצים לגזור .מצד אחד ,יודעים את לייבניץ .מצד שני ,יודעים את המשפט היסודי:
)F ′ (y) = f (y
dt
⇒=
)f (t
}|{z
❝♦♥t✐♥✉♦✉s
ובאופן יותר כללי:
)β(y
ˆ
f (t) dt
ˆy
= )F (y
a
= )F (y
)α(y
′
)⇒ F (y) = f (β (y)) β ′ (y) − f (α (y)) α′ (y
60
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
אינטגרלים פרמטריים20
.[c, d] גזירות ב־β (y) ו־α (y) והפונקציות,[a, b] × [c, d] במלבןf (x, y) ∈ C 1 משפט יהיו
β(y)
ˆ
: ומתקיים, גזירהF (y) =
f (x, y) dx אזי
α(y)
′
F (y) =
β(y)
ˆ
∂f
(x, y) dx + f (β (y) , y) β ′ (y) − f (α (y) , y) α′ (y)
∂y
α(y)
:הוכחה נגדיר
Φ (s, t, y) =
ˆt
f (x, y) dx
s
:נשים לב שמתקיים
F (y) = Φ (α (y) , β (y) , y)
: ולשם כך נחשב,נרצה להעזר בכלל השרשרת
∂Φ
= −f (s, y)
∂s
∂Φ
= f (t, y)
∂t
ˆt
∂Φ
∂f
=
(x, y) dx
∂y
∂y
s
:לכן
F ′ (y) =
dF
dy
=
=
∂Φ ∂s ∂Φ ∂t
∂Φ ∂y
+
+
∂s ∂y
∂t ∂y
∂y ∂y
−f (α (y) , y) α′ (y) + f (β (y) , y) β ′ (y)
+
β(y)
ˆ
∂f
(x, y) dx
∂y
α(y)
61
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
20אינטגרלים פרמטריים
xdx
דוגמה נחשב 2
)(1 + 2x
פתרון יצירתי :נגדיר:
ˆ1
0
xdx
2
)(1 + ax
ˆ1
= )F (a
0
הרעיון :למצוא פונקציה ) f (x, aכך ש־
x
∂f
=
2
∂a
)(1 + ax
ואז לפי לייבניץ:
f (x, a) dx
ˆ1
∂f
d
= (x, a) dx
∂a
da
ˆ1
0
= )F (a
0
הערה :צריך להזהר לא להתבלבל בגזירה ובאינטגרציה לפי המשתנים.
x
∂fעושים אינטגרל לא מסוים במשתנה :a
כדי למצוא ) f (x, aכך ש־ ∂a = (1+ax)2
1
)= f (a, x
1 + ax
בדיקת תנאי המשפט :נסתכל ב־]f .[0, 1] × [1, 3
} |{z } |{z
a
∂f
ו־ ∂a
=−
2 da
x
)(1 + ax
ˆ
רציפות כפונקציות של 2משתנים במלבן הזה.
x
ˆ1
dx
d
d 1
x=1
−
=−
= ln (1 + ax)|x=0
2 = da
1 + ax
da a
)(1 + ax
0
)a · 1 − ln (1 + a
)d ln (1 + a
= − 1+a 2
=−
da
a
a
xdx
ˆ1
ומשום כך:
1 ln 3
F (2) = − +
6
4
62
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
0
= )F (a
lOMoARcPSD|23687637
21משפט הפונקציות הסתומות
21משפט הפונקציות הסתומות
מוטיבציה
נתבונן במעגל היחידה .x2 + y 2 = 1 :זהו אינו גרף של פונקציה )לא xכפונקציה של ,yולא yכפונקציה של .(x
לעומת זאת ,אם נתבונן ב־
p
y = − 1 − x2
p
= y
1 − x2
אלו מבטאים את yכפונקציה מפורשת של xבסביבה של כל נקודה ) (x0 , y0על המעגל ,למעט ) (1, 0ו־).(−1, 0
משפט הפונקציות הסתומות יאפשר לנו בתנאים מסוימים)נוחים ,במונחים של נ"ח( להבטיח חילוץ ) y = f (xמתוך
,F (x, y) = 0ואפילו נוסחה לנגזרת.
משפט תהי ) F (x, yמוגדרת בסביבה של ) (x0 , y0כך ש:
F (x0 , y0 ) = 0 .1
F ∈ C 1 .2בסביבת ) (x0 , y0
(x0 , y0 ) 6= 0 .3
∂F
∂y
אזי קיימות סביבות של x0ו־ y0עבורן יש פונקציה יחידה ) y = f (xכך ש:
f (x0 ) = y0 .1
F (x, f (x)) = 0 .2לכל xבסביבת x0
f .3גזירה ברציפות בסביבת x0ומתקיים:
))(x, f (x
))(x, f (x
∂F
∂x
f ′ (x) = − ∂F
∂y
דוגמה נתבונן המשוואה .y 5 + y 3 + y + x = 0
קל לכתוב את xכפונקציה של .yמה לגבי )?y = f (x
לא נוכל למצוא נוסחה מפורשת כי לא יודעים לפתור משוואה ממעלה ) 5לא ניתן ,ע"ע גלואה ואבל(.
נקבע .x0נסתכל על
∀y
y 5 + y 3 + y + x0
5y 4 + 3y 2 + 1 > 0
=
=
)ϕ (y
)ϕ′ (y
⇐ ) ϕ (yמונוטונית עולה ממש.
⇐ ל־) ϕ (yיש שורש יחיד ,נקרא לו .y0
אם נסמן ,F (x, y) = y 5 + y 3 + y + xאז לכל x0קיים y0יחיד כך ש־.F (x0 , y0 ) = 0
למעשה y0נקבע ע"י !x0נוכל לסמן ) ,y = f (xכלומר בכל Rיש פונקציה ,אבל היא סתומה.
63
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
21משפט הפונקציות הסתומות
רעיון הוכחה המשפט:
∂F
.(⋆) ∂Fלפי הנחה ,F ∈ C 1 ,2בפרט
(x
,
y
)
>
ש־0
)בה"כ(
להניח
אפשר
.
(x
,
y
0 0
לפי הנחה 0 0 ) 6= 0 ,3
∂y
∂y
∂Fבסביבה של ) .(x0 , y0לכן לכל x0קבוע F (x0 , y) ,היא פונקציה עולה .לפי הנחה ,F (x0 , y0 ) ,1
רציפה ולכן ∂y > 0
לכן יש y1כך ש־ F (x0 , y1 ) > 0ויש y2כך ש־ .F (x0 , y2 ) < 0
Fרציפה ⇐ לכל xליד x0מתקיים:
∂F
∂y
>
<
0
0
) F (x, y1
) F (x, y2
F (x, y) , ∂Fעולה ממש )כפונקציה של ,(yולכן יש yיחיד כך
אם ניקח xכזה ,אז כיוון שלפי )⋆( מתקיים ∂y > 0
ש־.F (x, y) = 0
הערות
.1אם יש חילוץ ) y = f (xאז הנוסחה בסעיף ג מיידית מכלל השרשרת המופעל על ):(2
(⋆⋆) F (x, f (x)) = 0
∂F dx ∂F ∂y
+
=0
⇒
∂x dx
∂y ∂x
∂F
dy
∂x
= − ∂F
dx
∂y
⇒
∂F
∂y
.2אם יש חילוץ ) ,y = f (xאז )⋆⋆( מתקיים בלי קשר למשפט .לכן אם = 0
גזירה.
אם יש חילוץ ) ,y = f (xאז F (x, f (x)) = 0גם בלי שתנאי המשפט יתקיימו.
לפי כלל השרשרת:
ו־6= 0
∂F
∂x
אז לא יתכן ש־ f
∂F dx ∂F ∂y
+
=0
∂x dx
∂y ∂x
∂F
? ∂F
ומה אם ∂y = 0ו־∂x 6= 0
כלל השרשרת לא נכון .זה יכול לנבוע מכך ש־ Fלא גזירה או מכך ש־ fלא גזירה.
.3לפי ג ,גם אם לא יודעים נוסחה מפורשת ל־) ,y = f (xלפחות בנקודה ) (x0 , y0אפשר לחשב את הנגזרת
) .f ′ (x0
3
דוגמה ) .F (x, y) = (x − yמתי ?F (x, y) = 0
כאשר ,y = xכלומר זה החילוץ.
בדיקה של תנאי המשפט ב־) (0, 0מגלה כי = 0
)(0,0
2
)(0, 0) = 3 (x − y
∂F
∂x
! ∂f
וכנ"ל ∂y
הכללה תהי F (~x, y) ∈ C 1בסביבת נקודה N0 = ~x0 , y0כך שמתקיים:
∂F
(N0 ) 6= 0
∂y
; F (N0 ) = 0
✹✻
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
21משפט הפונקציות הסתומות
אזי קיים חילוץ יחיד ) y = f (~xבסביבה של N0כך ש־ F (~x, f (~x)) = 0 ,f ∈ C 1 ,y0 = f ~x0בסביבה ,ו־
∂F
∂f
i
= − ∂x
∂F
∂xi
∂y
דוגמה
נתונה המשוואה הבאה:
3x2 y − yz 2 − 4xz − 7 = 0
∂y
הראה שבסביבת ) (−1, 2, 2יש פונקציה סתומה ) y = f (x, zומצא את )(−1, 2
. ∂x
פתרון:
נסמן.N0 = (−1, 2, 2) ,F (x, y, z) = 3x2 y − yz 2 − 4xz − 7 :
מתקיים:
C1
0
∈
=
3x2 − z 2
=
3 − 4 = −1 6= 0
=
F
) F (N0
∂F
∂y
∂F
) (N0
∂y
תנאי המשפט מתקיימים ,ולכן יש חילוץ!
החילוץ גזיר ,והנגזרת היא:
∂F
∂f
∂x
= − ∂F
∂x
∂y
∂F
6xy − 4z|N0
∂f
) ∂x (N0
(−1, 2, 2) = − ∂F
= −14
=−
∂x
−1
) ∂y (N0
הערות:
❼ בדוגמה הנ"ל
7+4xz
3x2 −z 2
= ,yוקל לבדוק ש־(−1, 2) = −14
∂y
. ∂x
. ∂F
❼ בדוגמה הנ"ל ניתן לחלץ גם ) z = f (x, yבאופן מפורש ,אבל המשפט לא תופס! כי ∂z (N0 ) = 0
מסקנה ממשפט הפונקציה הסתומה נניח שיש לנו .g (x, y, z) ∈ C 1נניח שבנקודה נתונה .g (x0 , y0 , z0 ) = c0נסמן
ב־ Sאת משטח הרמה .g (x, y, z) = c0בנוסף נניח ,∇g (x0 , y0 , z0 ) 6= 0כלומר לפחות אחת מהנגזרות החלקיות
∂gבנקודה .M0נסתכל על .F (x, y, z) = g (x, y, z) − c0אזי:
אינה ,0למשל ∂z 6= 0
0
=
) F (M0
C1
∈
F
0
=6
∂F
) (M0
∂z
✺✻
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
21משפט הפונקציות הסתומות
לכן ,לפי המשפט ,יש חילוץ יחיד ) z = f (x, yכך ש־ z0 = f (x0 , y0 ) ,f ∈ C 1ו־ F (x, y, f (x, y)) = 0בסביבה
של .M0כלומר .g (x, y, f (x, y)) = c0
במילים אחרות ,בסביבת ,M0משטח הרמה Sהוא גרף של פונקציה ) .f (x, yכיוון ש־ fגזירה ,יש לה מישור
משיק בנקודה .M0משוואתו:
∂f
∂f
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
) (x0 , y0 ) (y − y0
z0 +
}|{z
∂x
∂y
=z
) f (x0 ,y0
לפי המשפט:
) (x0 , y0
) (x0 , y0
) (x0 , y0
) (x0 , y0
∂F
∂x
− ∂F
∂z
∂F
∂y
∂F
∂z
−
=
∂f
) (x0 , y0
∂x
=
∂f
) (x0 , y0
∂y
נציב ונקבל:
) (y − y0
) (x0 , y0
) (x0 , y0
∂g
∂y
∂g
∂z
(x − x0 ) −
) (x0 , y0
) (x0 , y0
∂g
∂x
∂g
∂z
z = z0 −
∂g
∂g
∂g
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 ) +
(x0 , y0 ) (z − z0 ) = 0
∂x
∂y
∂z
⇒
זו משוואת המישור המשיק למשטח הרמה Sשל ) f (x, y, zהנקבע לפי הערך c0בנקודה .M0נוכל לכתוב גם:
∇g · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
משפט אם ∇g (M0 ) 6= 0אז הגרדיאנט ניצב למישור המשיק למשטח הרמה של g (x, y, z) ∈ C 1בנקודה .M0
הוכחה :
הערה :ראינו כבר ש־ ∇fניצב לקווי גובה עבור ).f (x, y
דוגמה נמצא את משוואת המישור המשיק למשטח x2 + y 2 + z 2 = R2בנקודה ).(0, 0, R
נגדיר .F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − R2אזי F ∈ C 1ומתקיים:
)(2x, 2y, 2z
=
(0, 0, 2R) 6= 0
=
∇F
)∇F (0, 0, R
לכן משוואת המישור המשיק היא:
(0, 0, 2R) · (x − 0, y − 0, z − R) = 0
2R (z − R) = 0
z=R
וזו אכן התשובה הצפויה!
66
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
22משפט הפונקציות הסתומות עבור מערכת משוואות
דוגמה ל"גזירה סתומה"
3x2 y − yz 2 − 4xz − 7 = 0
את הנוסחה לנגזרת קיבלנו ע"י הפעלת כלל השרשרת על .F (x, f (x, y) , z) = 0לחלופין אפשר גם לחשב כך ,ישירות:
3x2 f (x, z) − f (x, z) z 2 − 4xz − 7 = 0
נגזור לפי :x
6xf (x, z) + 3x2 fx′ (x, z) − fx′ (x, z) z 2 − 4z = 0
נקבל:
)4z − 6xf (x, z
3x2 − z 2
= )fx′ (x, z
בנקודה ) (−1, 2מתקיים ,f (−1, 2) = 1 :ולכן:
8+6
= −14
3−4
= )fx′ (x, z
22משפט הפונקציות הסתומות עבור מערכת משוואות
F (x , x , · · · , xn , z1 , z2 , · · · , zm ) = 0
1 1 2
F2 (x1 , x2 , · · · , xn , z1 , z2 , · · · , zm ) = 0
נגדיר:
✳
✳
✳
Fm (x1 , x2 , · · · , xn , z1 , z2 , · · · , zm ) = 0
∂F1
∂zm
···
∂Fm
∂zm
···
✳
✳
✳
∂F1
∂z1
✳
✳
✳
∂Fm
∂z1
∆ = det
משפט אם ∆ 6= 0בנקודה ~x0 , ~z0אז בסביבת ~x0 , ~z0יש חילוצים יחידים גזירים ברציפות = zi
) ,f (x1 , · · · , xnואת הנגזרות ניתן לחשב ע"י גזירה סתומה.
67
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
∀1 ≤ i ≤ m
lOMoARcPSD|23687637
22.1מסקנה ־ משפט הפונקציה ההפוכה
22משפט הפונקציות הסתומות עבור מערכת משוואות
דוגמה
xu + yvu2 = 2
xu3 + y 2 v 4 = 2
(
נראה שליד ) (x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1אפשר לכתוב באופן יחיד את uו־ vכפונקציות של .x, y
נגדיר:
xu + yvu2 − 2
xu3 + y 2 v 4 − 2
yu2
4y 2 v 3
x + 2yuv
3xu2
3 1
= 9 6= 0
3 4
=
)F1 (x, y, u, z
=
)F2 (x, y, u, z
=
∂F1
∂v
∂F2
∂v
∂F1
∂u
∂F2
∂u
=∆
= )∆|(1,1,1,1
לפי המשפט יש פונקציות ) u = f1 (x, yו־) v = f2 (x, yואפילו יודעים שהן גזירות ברציפות.
. ∂uנגזור את המערכת המקורית לפי xבעזרת כלל השרשרת:
נחשב את )∂x (1, 1
2
∂f2
∂f1
1
f1 + x ∂f
∂x + y ∂x (f1 ) + yf2 f1 ∂x = 0
3 ∂f2
3
2
2
1
(f1 ) + 3x (f1 ) ∂f
∂x + 4y (f2 ) ∂x = 0
כאשר ) (x, y) = (1, 1מתקיים ) ,(u, v) = (1, 1ונקבל:
(
∂f2
1
3 ∂f
∂x + ∂x = −1
⇒
∂f1
2
3 ∂x + 4 ∂f
∂x = −1
(
∂f2
∂f1
1
1 + ∂f
∂x + ∂x + 2 ∂x = 0
∂f1
∂f2
1 + 3 ∂x + 4 ∂x = 0
קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים ,ולכן:
∂f2
(1, 1) = 0
∂x
1
∂f1
(1, 1) = −
∂x
3
;
22.1מסקנה ־ משפט הפונקציה ההפוכה
נתונה מערכת:
∀i, Fi ∈ C 1
) y1 = f1 (x1 , · · · , xm
✳
✳
✳
) y = f (x , · · · , x
n
n
1
m
מתי נוכל לשכתב את המערכת ולכתוב את ה־ xi־ים כפונקציות של yi־ים.
למשל ,במשתנה יחיד.x = ln y⇐ y = ex :
✽✻
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
(
lOMoARcPSD|23687637
23פולינומי טיילור
נפעיל את המשפט הקודם על:
F (y , · · · , yn , x1 , · · · , xn ) = f1 (x1 , · · · , xn ) − y1 = 0
1 1
✳
✳
✳
F (y , · · · , y , x , · · · , x ) = f (x , · · · , x ) − y = 0
n
1
n
1
n
n
1
n
n
התנאי ∆ 6= 0בסביבת נקודה ~x0הוא:
) ∂ (f1 , · · · , fn
= = J (f ) ~x0
) ∂ (x1 , · · · , xn
∂f1
∂xn
···
∂fn
~ ∂xn
x0
···
✳
✳
✳
∂f1
∂x1
✳
✳
✳
=∆
∂fn
∂x1
זה נקרא יעקוביאן ־ ♥❛✐❜♦❝❛❏.
23פולינומי טיילור
23.1תזכורת ־ הגדרת גזירות
∂f
∂f
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 ) +
∂x
∂y
q
2
2
)∆x , ∆y (∆x) + (∆y
}+α |{z
}|{z
=
) f (x, y) − f (x0 , y0
x−x0 y−y0
כאשר 0
→−
)(∆x,∆y)→(0,0
).α (∆x, ∆y
23.2קירוב לינארי של פונקציה
∂f
∂f
f (x, y) = f (x0 , y0 ) +
(x0 , y0 ) (x − x0 ) +
(x0 , y0 ) (y − y0 ) + R1
∂x
∂y
{z
}
|
P1
כאשר:
q
2
2
)R1 = α (∆x, ∆y) (∆x) + (∆y
P1הוא משוואת המישור המשיק לגרף של fבנקודה ) .(x0 , y0הוא קרוי הקירוב הלינארי של fבקרבת ) .(x0 , y0
נשים לב שבדומה לטיילור במשתנה יחיד R1 ,מקיים:
)R1 (x, y
q
0
→−
2
2
(x − x0 ) + (y − y0 ) x → x0
y → y0
69
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
פולינומי טיילור23
נוסחת טיילור23.3
נוסחת טיילור23.3
:(0 נכתוב את נוסחת מקלורן )טור טיילור סביב,במשתנה יחיד
g (t) = g (0) +
g ′ (0) g ′′ (0)
g (n) (0) n
+
t + ··· +
t + Rn
1!
2!
n!
:( פעמיםn + 1 גזירהf לפי לגרנז' )בהנחה ש־Rn נציג את
Rn =
g (n+1) (c) n+1
t
(n + 1)!
;
0<c<t
. רציפות בסביבהn + 1 נניח שכל הנ"ח מסדר.(0, 0) ונפתח לידf (x, y) עכשיו ניקח
: נמצא פרמטריזציה לישר המחבר נקודה זו עם הראשית.f ( שבתחום ההגדרה שלa, b) ∈ R2 נתבונן בנקודה
g (t) = f (at, bt)
;
t ∈ [0, 1]
:g (t) נחשב פולינום טיילור עבור
g (0)
=
f (0, 0)
g ′ (t)
g ′ (0)
=
=
g ′′ (t)
=
=
fx a + fy b
afx (0, 0) + bfy (0, 0)
d
(afx + bfy )
dt
a (afxx + bfxy ) + b (afyx + bfyy )
=
a2 fxx + 2abfxy + b2 fyy
=
=
a2 fxx (0, 0) + 2abfxy (0, 0) + b2 fyy (0, 0)
a3 fxxx (0, 0) + 3a2 bfxxy (0, 0) + 3ab2 fxyy (0, 0) + b3 fyyy (0, 0)
′′
g (0)
g ′′′ (0)
.'וכו
: נקבל,לפיכך
g (t)
=
f (0, 0) +
+ [afx (0, 0) + bfy (0, 0)] t
1 2
a fxx + 2abfxy + b2 fyy t2
+
2!
1 3
+
a fxxx (0, 0) + 3a2 bfxxy (0, 0) + 3ab2 fxyy (0, 0) + b3 fyyy (0, 0) t3
3!
+ · · · + Rn
: ונקבל,g (t) = f (at, bt) ו־x = at, y = btנזכר ש־
f (x, y)
=
f (0, 0) +
+xfx (0, 0) + yfy (0, 0)
1 2
+
x fxx + 2xyfxy + y 2 fyy
2!
1 3
+
x fxxx (0, 0) + 3x2 yfxxy (0, 0) + 3xy 2 fxyy (0, 0) + y 3 fyyy (0, 0)
3!
+ · · · + Rn
70
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
23פולינומי טיילור
23.4הניסוח הכללי
הערות:
.1בגורם השארית Rnהנ"ח לא יהיו מחושבות ב־) ,(0, 0אלא מחושבות בנקודה שבין ) (0, 0ל־).(x, y
.2עבור ) (x0 , y0במקום ) (0, 0יהיה ) (x − x0במקום xו־) (y − y0במקום .y
.3עבור יותר משתנים יופיעו נגזרות חלקיות לפי כל המשתנים ונגזרות חלקיות מעורבות לפי כל הצירופים.
23.4הניסוח הכללי
n+1
, x0k
· · · x01 , x02 ,
Cבסביבת
תהי f (~x) : Rk → Rשייכת ל
0
~c ∈ Rkעל הקטע המחבר את ~xל־ ,~xכך שמתקיים:
0
= .~xתהי ~xנקודה כלשהי בסביבה זו .אזי קיימת
1
1
1
f (x) = f ~x0 + df ~x0 + d2 f ~x0 + · · · + dn f ~x0 +
dn+1 f ~x0
!2
!n
!)(n + 1
{z
}
|
❘❡♠❛✐♥❞❡r
כאשר:
f
n
∂
∂
∂
dx1 +
dx2 + · · · +
dxk
∂x1
∂x2
∂xk
= dn f
ולמשל:
f
2
∂
∂
∂
dx1 +
dx2 + · · · +
dxk
∂x1
∂x2
∂xk
n X
n
X
∂2
dxi dxj
∂xi ∂xj
i=1 j=1
=
d2
=
והסימון dxi = xi − x0i
71
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
25אינטגרל נפחי
חלק
❳■
אינטגרלים
24תזכורת מחדו"א 1ת'
איור :35אינטרגל רימן
f (ci ) ∆xi = Riemann Sum
n
X
i=1
בגבול נקבל שזה שואף ל־
f (x) dx
ˆb
a
25אינטגרל נפחי
כעת נרצה לחשב את הנפח הכלוא מתחת למשטח ):z = f (x, y
איור :36אינטרגל נפחי
72
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
25אינטגרל נפחי
נצפה לביטוי כזה:
f (x, y) dxdy
¨
= V
D
הערות
.1נכליל כמובן גם ל־.f : Rn → R
.2כמובן שיהיו גם שימושים גיאומטריים נוספים ושלל שימושים בפיסיקה ועוד.
הרעיון
נחלק את תחום ההגדרה למלבנים:
איור :37חלוקת תחום ההגדרה
מעל כל ריבוע נבנה "רב־קומות" ־ תיבה ,כאשר גובה התיבה הוא ) f (Pכאשר ) P (ci , djהיא נקודה כלשהי
בתוך המלבן:
איור :38בניית "רב־קומות"
נסכם את התהליך:
✸✼
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
26תחום בעל שטח
❼ חלוקה שמכסה את D
❼ יצירת סכומי רימן:
f (ci , di ) ∆xi ∆yi
XX
j
i
❼ "בגבול" נקבל את
f (x, y) dxdy
¨
D
26תחום בעל שטח
עבור התחום Dוהחלוקה Pנגדיר:
) S1 (D־ סכום שטחי המלבנים המוכלים ב־.D
) S2 (D־ סכום שטחי המלבנים הנחתכים עם .D
נשים לב שלכל חלוקה מתקיים ) .S2 (D) ≥ S1 (Dיתר על כן,
)inf S2 (D) ≥ sup S1 (D
p
p
הגדרה תחום Dנקרא תחום בעל שטח אם מתקיים )inf p S2 (D) = supp S1 (D
יקרא השטח של .D
)⋆( .במקרה זה ,הערך הנ"ל
הערות
(⋆) .1מתקיים ⇔ לכל ε > 0קיימת חלוקה Pעבורה ∂D ⇔ S2 (D) − S1 (D) < εהיא בעלת שטח .0
)תחום הוא בעל שטח 0אם לכל ε > 0יש לו כיסוי על־ידי מלבנים שסכום שטחיהם > (ε
.2עקום עם פרמטריזציה חלקה הוא בעל שטח .0
בקורס הזה יהיו רק תחומים בעלי שטח.
יתר על כן ,בדר"כ התחומים יהיו פשוטים )תכף נגדיר(.
.3נתבונן בתחום:
}D = {(x, y) | x, y ∈ [0, 1] ∩ Q
Dלא בעלת שטח ∂D :זה כל ]![0, 1] × [0, 1
26.1תחום פשוט
הגדרה
תחום ההגדרה יקרא פשוט אם הוא מהצורה:
})D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, ϕ (x) ≤ y ≤ ψ (x
כאשר ϕ, ψפונקציות רציפות ב־] ,[a, bאו באופן משלים:
})D = {(x, y) | a ≤ y ≤ b, ϕ (y) ≤ x ≤ ψ (y
74
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
26תחום בעל שטח
26.1תחום פשוט
איור :39תחום פשוט
כן נתעסק עם תחומים שאינם פשוטים ,אולם ניתן להציגם כאיחוד של מספר סופי)רצוי קטן( של תחומים פשוטים.
אחרי שנגדיר
משפט
˜
ונראה משפטים על תכונותיו ,נתייחס למשפט הבא )ספוילר!(:
אם ]) D = [a, b] × [c, dמלבן( ו־ fרציפה ,אז:
d
ˆ
f (x, y) dy dx
ˆb
= f (x, y) dxdy
a
c
D
דוגמה תהא ,f (x, y) = xyויהא .D = [1, 2] × π4 , π3אזי:
ˆ2 ˆπ/3
=
xydy dx
1
π/4
dx
dx
x=2
x=1
!
y=π/3
y=π/4
1
1
−
9 16
x2
2
3
7π 2
= ·
2
192
ˆ2
xy 2
2
¨
f (x, y) dxdy
¨
D
=
1
π2
x
2
1
1
−
9 16
1
1
−
9 16
ˆ2
=
1
π2
2
=
π2
2
=
75
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
האינטגרל הכפול27
האינטגרל הכפול27
הגדרה27.1
.D חסומה עלf (x, y) תהי. מלבןD = [a, b] × [c, d] נניח תחילה
סימונים
חלוקהP .1
∆xi = xi+1 − xi .2
Rij =
∆yi = yi+1 − yi .3
x ≤ x ≤ xi+1
(x, y) | i
.4
yi ≤ y ≤ yi+1
λ (P ) = max∆xi ∆yi .5
i,j
Mij = max f (x, y) .6
Rij
mij = min f (x, y) .7
Rij
Rij המלבן:40 איור
:סכומים מתאימים הם
S
=
X
Mij ∆xi ∆yj
i,j
S
=
X
mij ∆xi ∆yj
i,j
SR
=
X
f (si , tj ) ∆xi ∆yj
i,j
( הוא סכום רימןSR , הוא סכום דרבו תחתוןS , הוא סכום דרבו עליוןS)
76
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
27האינטגרל הכפול
27.1הגדרה
איור " :41רבי קומות" מעל החלוקה הנתונה
ברור שלכל ,S ≥ S ,Pולכן .inf S ≥ sup S
P
P
הגדרה
אם inf S = sup Sאז נאמר ש־ fאינטגרבילית לפי רימן במלבן .Dאת הערך המשותף הנ"ל נסמן:
P
P
f (x, y) dxdy
¨
D
הגדרה שקולה נאמר ש־ fאינטגרבילית לפי רימן במלבן Dאם קיים מספר I ∈ Rכך שלכל ε > 0קיים δ > 0כך
שלכל חלוקה Pהמקיימת λ (P ) < δמתקיים:
f (x, y) ∆xi ∆yj − I < ε
X
i,j
לכל בחירה של xi ≤ Si ≤ xi+1ו־ .yj ≤ tj ≤ yj+1
הגדרה יהי D ∈ R2תחום חסום ,בעל שטח .תהי ) f (x, yחסומה על .D
יהי Aמלבן המכיל את .Dנסמן:
(
f (x, y) (x, y) ∈ D
e
= )f (x, y
0
(x, y) ∈ A\D
אזי נגדיר:
fe(x, y) dxdy
¨
= f (x, y) dxdy
A
¨
D
הערה :בתנאי שאגף ימין קיים.
הערה :אגף ימין לא תלוי בבחירת .A
77
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
27האינטגרל הכפול
27.2משפטים
27.2משפטים
.1אם fרציפה ב־ Dאז fאינטגרבילית ב־.D
f .2אינטגרבילית ב־ ⇔ Dקבוצת נקודות האי־רציפות של fהיא בעלת שטח .0
.3אדיטיביות :אם D = D1 ∪ D2ו־ D1 , D2זרים )אם D1 ∩ D2עקום בעל שטח (0אז
¨
D2
.4לינאריות :אם f, gאינטגרביליות ב־ ,Dאז:
¨
βg
αf +
¨
D
= )(αf + βg
D
+
¨
D1
=
¨
.
D
¨
D
¨
¨
.5מונוטוניות f ≤ g :אינטגרביליות ⇐ g
≤f
.
D
D
f, g .6אינטגרביליות ⇐ f gאינטגרבילית.
f .7אינטגרבילית ⇐ | |fאינטגרבילית ומתקיים | |f
¨
D
f .8אינטגרבילית ⇐ )f ≤ M · S (D
¨
≤ f
¨
.
D
≤ )m · S (D
D
כאשרm = min f :
D
M = max f,ו־) S (Dהוא השטח של D) Dתחום בעל שטח(.
D
.9ערך הביניים :אם fרציפה בתחום Dקשיר אזי קיימת נקודה כלשהי (x0 , y0 ) ∈ Dהמקיימת ·) f = f (x0 , y0
¨
D
).S (D
˜
כל המשפטים עד־כה לא מסייעים לחשב .
משפט
אם ]) D = [a, b] × [c, dמלבן( ו־ fרציפה ,אז:
d
ˆ
f (x, y) dy dx
c
´b ´d
ולאינטגרלים , c
a
ˆb
a
= f (x, y) dxdy
¨
D
נקראים אינטגרלים נשנים.
78
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
האינטגרל הכפול27
משפטים27.2
:רעיון ההוכחה
:נכתוב את סכום רימן כך
m
X
j=1
n
X
f (ci , dj ) ∆xi
i=1
!
∆yj
|
{z
}
❤❡r❡ dj ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t
❛♥❞ t❤✐s ✧❣♦❡s t♦✧✿
ˆb
f (xi , dj ) dx
a
.
ˆb
f (xi , dj ) dx = F (dj ) :נסמן
a
:שזה בדיוק
ˆd
F (y) dyזה שואף ל־
a
F (dj ) dy "לכן קיבלו "בגבול
j=1
c
ˆb
m
X
d
ˆ
f (x, y) dy dx
c
: דורשים,בגרסה יותר כללית של המשפט
קיים
הערה
¨
f .1
D
c ≤ y ≤ d קיים לכל
ˆd
a ≤ y ≤ b קיים לכל
ˆb
: רציפה במלבן אזf אם
ˆb ˆd
ˆd ˆb
f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy
a
:אז
c
c
yˆ
2 (x)
¨
¨
D
f (x, y) dxdy =
ˆb
a
f (x, y) dx
a
(מסקנה )משפט פוביני
f אם.D חסומה על תחום פשוטf משפט תהי
D
או
a
f (x, y) dy קיים האינטגרלa ≤ x ≤ b ולכל,קיים
y1 (x)
c
f (x, y) dy .2
yˆ
2 (x)
y1 (x)
f (x, y) dy dx
79
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
האינטגרל הכפול27
דוגמאות27.3
:הוכחה
.R = [a, b] × [c, d] : ונסמנו,R נחסום את התחום הפשוט במלבן
:נגדיר
(
f (x, y) (x, y) ∈ D
g (x, y) =
0
(x, y) ∈ R\D
¨
. שםg = 0 כי
g = 0 :מתקיים
R\D
:לכן
¨
¨
ˆb ˆd
f=
g = f (x, y) dy dx =
D
a
R
c
yˆ
2 (x)
ˆd
ˆb
yˆ1 (x)
f (x, y) dy +
f (x, y) dy dx =
f (x, y) dy +
=
a c
y2 (x)
|
{z
} y1 (x)
{z
}
|
0
0
y
(x)
b
2
ˆ
ˆ
=
f (x, y) dy dx
a
¨
y1 (x)
f (x, y) dxdy =
ˆb
a
D
yˆ
2 (x)
y1 (x)
:y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) עבורg = f מכיוון ש־
f (x, y) dy dx ¨
0≤x≤4
D = (x, y) | x
,
2 ≤y ≤x
D
=
ˆ4
0
=
ˆ4
0
y=x
ˆ
x +y
y= x
2
dy dx =
x4
x4
x4
x +
−
−
4
2
64
4
5 4
=
3
3
47 x
64 5
=
0
ˆ4
y4
x y+
4
0
dx =
y=x
3
ˆ4
y= x
2
!
dx =
47 4
x dx =
64
0
752
5
80
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
דוגמאות27.3
x3 + y 3 dxdy .1
lOMoARcPSD|23687637
האינטגרל הכפול27
דוגמאות27.3
1 דוגמה:42 איור
=
ˆ1
0
D=
0≤x≤1
(x, y) |
x≤y≤1
y=1
ˆ
2
e−y dy dx
y=x
0
ˆ1
=
0
x=0
0
2
2
1
ye−y dy = − e−y
2
1
0
=−
2
,f (x, y) = e−y .2
,לא יודעים לפתור! אולם
ˆ1 x=y
ˆ
ˆ1 2
2
−y
e dx dx =
xe−y
=
1
2
x=y x=0
dy
1
−1
e
.y = 1, x = y 2 , x + 2y + 1¨= 0 : החסום על־ידיD חשב את השטח.3
1 נחשב את השטח על־ידי החישוב של
.
D=
¨
D
1=
ˆ1
−1
2
x=y
ˆ
x=−2y−1
D
1dx dy = · · ·
: נתון.4
I
=
√
√
2
ˆ1 1−ˆ 1−y
ˆ4−y
ˆ1
f (x, y) dx dy +
f (x, y) dx
dy
0
+
0
0
ˆ2
1
√
1+ 1−y
√
2
ˆ4−y
f (x, y) dx
dy
0
81
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
˜
החלפת משתנים ב־28
.D )א( ציירו את התחום
D התחום:43 איור
I=
ˆ2
0
√
y=ˆ 4−x2
y=−x2 +2x
´ ´
.
f (x, y) dy dx כאינטגרלI )ב( כתבו את
f (x, y) dy dx
.D )ג( מצאו את השטח של
S (D)
=
ˆ2
0
√
y=ˆ 4−x2
y=−x2 +2x
=
ˆ2 p
=
ˆ2 p
0
0
=
π+
1dy dx
4 − x2 − −x2 + 2x
4 − x2 dx +
x3
3
2
+ x2
0
dx
2
0
8
−4
3
˜
ˆb
a
f (x) dx =
ˆβ
f (x (t))
החלפת משתנים ב־28
'ת1 תזכורת מחדו"א28.1
dx
dt
dt
α
✽✷
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
28.1תזכורת מחדו"א 1ת'
˜
כאשר ) x (t) ,a = x (α) , b = x (βהפיכה וגזירה.
בשני משתנים מצפים למשהו דומה לזה:
)∂ (x, y
dudv
)∂ (u, v
))f (x (u, v) , y (u, v
¨
= f (x, y) dxdy
E
¨
D
מצפים לנוסחה הנ"ל כאשר:
❼ Eתמונת Dבמישור .uv
❼ ההעתקה ϕשמעבירה את מישור uvלמישור xyהיא הפיכה.
❼ הפונקציות ) x (u, v) , y (u, vשמגדירות את ϕגזירות ברציפות.
הערות
.1
בעצם ,פגשנו כבר העתקה כזו:
ϕ (r, θ) = |r cos
{z θ}, |r sin
}{z θ
y
x
איור ϕ : E → D :44
נשים לב ש־ ,ϕ : R2 → R2ומה שציירנו זה לא הגרף של .ϕ
.2המושגים חח"ע ועל מוגדרים בדיוק כמו בחדו"א 1ת'.
למשל ϕ (r, θ) ,אינה חח"ע :כל r = 0נשלח ל־).(0, 0
.3יודעים מאלגברה ש־ T : R2 → R2לינארית אפשר לייצג על־ידי מטריצה A2×2ו־ Tחח"ע ועל )כלומר הפיכה(
= |.|A
אמ"מ 6 0
83
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
˜
∂ (x, y)
פענוח היעקוביאן28.2
∂ (u, v)
החלפת משתנים ב־28
∂ (x, y)
פענוח היעקוביאן28.2
∂ (u, v)
פענוח היעקוביאן:45 איור
B1
=
(x (u, v) , y (u, v))
B2
=
(x (u + ∆u, v) , y (u + ∆u, v))
B4
=
(x (u, v + ∆v) , y (u, v + ∆v))
(−−−→
B1 B2 = (x (u + ∆u, v) − x (u, v) , y (u + ∆u, v) − y (u, v))
⇒
−−−→
B1 B4 = ((x (u, v + ∆v) − x (u, v) , y (u, v + ∆v) − y (u, v)))
−−−→ B1 B2 ≈ ∂x ∆u, ∂y ∆u
∂u
∂u
⇒
−−→ ∂y
−
B1 B4 ≈ ∂x
∆v,
∂v
∂v ∆v
−−−→ −−−→
B1 B2 × B1 B4
=
=
î
ĵ
k̂
∂y
∂x
det ∂u
∆u ∂u
∆u 0
∂y
∂x
0
∂v ∆v
∂v ∆v
∂x ∂y ∂u
det ∂u
∆u∆v
∂y
∂x
∂v
∂v
84
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
28.3משפט החלפת המשתנים
˜
כלומר,מלבן קטןבמישור ,uvששטחו ,∆u∆vמועתק ל)כמעט( מקבילית קטנה במישור xyששטחה ,|J| ∆u∆v
∂x
∂x
)∂ (x, y
∂v
כאשר
= Jנקרא יעקוביאן.
= det ∂u
∂y
∂y
∂
(u,
)v
∂u
∂v
¨
X
וזה שווה
,ובגבולf (x (u, v) , y (u, v)) |J| dudv :
בסכומי רימן נקבלf (x (u, v) , y (u, v)) |J| ∆u∆v :
E
¨
.
ל־f (x, y) dxdy
D
28.3משפט החלפת המשתנים
יהיו ) x (u, vו־) y (u, vגזירות ברציפות ) (C 1ונניח שהן מגדירות העתקה חח"ע בין התחום Eבמישור u, vלתחום
)∂ (x, y
= Jאינו מתאפס בתחום .Eאזי:
Dבמישור .x, yבנוסף ,נניח שהיעקוביאן
)∂ (u, v
¨
¨
)∂ (x, y
dudv
))f (x (u, v) , y (u, v
= f (x, y) dxdy
)∂ (u, v
E
D
.
28.3.1הערות
❼ כדאי רק אם החישוב ב־ u, vיותר קל )במונחים של fאו של התחום(.
❼ לא חייבים J 6= 0בכל התחום .מספיק ש־ J 6= 0למעט על קבוצה בעלת שטח ) 0למשל עקום יפה(.
בפרט ,בקואורדינטות מעגליות ,אין בעיה של התאפסות היעקוביאן בראשית.
❼ Tלינארית מעבירה ישרים לישרים ,ומעבירה מלבן בדיוק למקבילית )ולא בקירוב ,כמו שעשינו(.
∂y
y ⇐ ∂xמונוטונית ולכן חח"ע.
❼ בחדו"א 1ת'6= 0 ,
אצלנו ,באופן כללי : J 6= 0ההעתקה חח"ע בתחום.
28.3.2דוגמאות
y
arctan dxdy .1
x
¨
כאשר Dהוא:
D
85
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
˜
28.3משפט החלפת המשתנים
איור :46התחום D
התחום Dיעבור למלבן
(
1≤r≤2
π
π
4 ≤θ ≤ 3
במישור .rθלכן:
π
7π 2
}θ|{z
= r dθ dr
192
||J
ˆ3
π
4
ˆ2
y
= arctan dxdy
x
1
¨
D
חישוב עזר :היעקוביאן של החלפה לקואורדינטות פולאריות:
=r
.2
xydxdy
√
¨
−r sin θ
r cos θ
cos θ
sin θ
∂x
∂θ
∂y
∂θ
=
2
∂x
∂r
∂y
∂r
=J
2
כאשר Dחסום על־ידי הפרבולות y = 6x ,y = 3xוההיפרבולות
D
איור :47התחום D
✻✽
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
9
x
=y
4
ו־ x
= .y
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
28.3משפט החלפת המשתנים
˜
נעשה החלפת משתנים נועזת:
v
y = , y 2 = ux
x
(
4≤v≤9
ואז התחום במישור u, vיהיה
3≤u≤6
צריך לכתוב את xו־ yכפונקציה של uו־ ,vולכן:
v
v
=⇒x
x
y
uv
= ux
⇒ y 3 = uv
y
.
=
y
=
y2
u /3 v /3
=
y
u− /3 v /3
=
x
1
1
1
2
כעת נחשב את היעקוביאן:
2 −1/3 −1/3
v
3u
1 1/3 −2/3
u
v
3
− 31 u−4/3 v 2/3
1 −2/3 1/3
v
3u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
∂x
∂u
∂y
∂u
=
1
2
1
− u−1 − u−1 = −
9
9
3u
J 6= 0לכל u, vבתחום ,ולכן נוכל לומר כי:
ˆ9 ˆ6
√ 1
v du dv
3u
3
dv
!
6
3
v
ln u
√
xydxdy
=
√
=
¨
4
ˆ9
1
3
J
D
=
4
vdv
√
ˆ9
ln 2
3
=
4
9
ln 2 2 3/2
· v
3
3
4
2 ln 2
)(27 − 8
9
38
ln 2
9
=
=
=
28.3.3עוד קצת הערות
.1ראינו ש־ J 6= 0בתחום :העתקה חח"ע בתחום.
כן מתקיים שאם J 6= 0בנקודה ,אז ההעתקה היא חח"ע בסביבה של הנקודה )ממשפט הפונקציה ההפוכה(.
.2אם Tלינארית:
)x (u, v
)y (u, v
=
au + bv
cu + dv
=
u
v
b
d
a
c
=
u
v
T
= | .|Aמהו Jבמקרה זה? !J = Aכלומר ,במקרה זה התנאים J 6= 0ו־ Tהפיכה
אז Tהפיכה ⇔6 0
מתלכדים.
87
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
˜
28.3משפט החלפת המשתנים
.3אם J 6= 0אז עקום חלק )) (u (t) , v (tבמישור uvעובר לעקום חלק )))(x (u (t) , v (t)) , y (u (t) , v (t
במישור .xyצריך להראות שאם ) u′ (tו־) v ′ (tלא מתאפסים בו־זמנית אז גם ) x′ (tו־) y ′ (tלא .רכיבים
בהוכחה :כלל השרשרת ,פתרון מערכת משוואות הומוגנית.
28.3.4עוד קצת יעקוביאן..
נניח שיש 2העתקות:
)u = u (r, s
)v = v (r, s
(
)x = x (u, v
)y = y (u, v
;
(
נוכל להרכיבן:
))x = x (u (r, s) , v (r, s
))y = y (u (r, s) , v (r, s
(
ביעקוביאנים )נגזור לפי כלל השרשרת(:
∂x ∂u ∂x ∂v
+
∂u ∂r
∂v ∂r
=
∂x
∂r
✳
✳
✳
···
=
∂y
∂s
קיבלנו:
ur
vr
us
vs
xv
yv
xu
yu
=
xs
ys
xr
yr
כלומר:
)∂ (x, y
)∂ (x, y) ∂ (u, v
=
)∂ (r, s
)∂ (u, v) ∂ (r, s
במקרה הפרטי שבו
)u = u (x, y
)v = v (x, y
(
;
)x = x (u, v
)y = y (u, v
= JJ −1
(
1 0
0 1
)כלומר ההעתקות ההפוכות( נקבל:
=1
כאשר J −1הוא היעקוביאן של ההעתקה ההפוכה .קיבלנו:
1
J
= J −1
ניזכר בחדו"א 1ת' ,במשפט לפיו מתקיים:
dy
1
= dx
dx
dy
✽✽
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
28החלפת משתנים ב־
28.3משפט החלפת המשתנים
כעת נחזור לדוגמה מקודם ,לפיה:
y = xv
y 2 = ux
במקום "להסתבך" בחילוץ ,x, yנחלץ את :u, v
v = yx
y2
x
=u
(
(
לכן:
−3y 2
= −3u
x
=
2y
x
x
∂u
∂y
∂v
∂y
2
−y
x2
=
y
∂u
∂x
∂v
∂x
1
−3u
=
=
J −1
J
⇒
28.3.5דוגמה מעניינת
2
נרצה לחשב את e−x dx
∞ˆ
.לא פתיר בכלים של משתנה יחיד.
∞−
מפתיע ומרגש :נפתור בעזרת
˜
.נגדיר:
dxdy
) +y 2
2
e−( x
¨
= Ia
L
L
הוא סימון יצירתי למעגל יחידה ברדיוס .a
כאשר
נבצע החלפת משתנים לקואורדינטות פולאריות:
ˆ2π ˆa
2
e−r rdr dθ
0
=
Ia
0
ˆ2π
a
1 −r2
− e
dθ
2
0
0
2
−π e−a − 1
2
π 1 − e−a
=
=
=
כעת נחשב את האינטגרל על ⊞ ,כאשר זהו ריבוע סביב ראשית הצירים.2a × 2a ,
¨
ˆa ˆa
2
2
2
2
e−x e−y dx dy
= e−(x +y ) dxdy
2
e−x dx
ˆa
−a
2
2
2
e−y dy
−a
e−x dx
ˆa
−a
⊞
=
−a
ˆa
=
−a
89
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
˜
lOMoARcPSD|23687637
29אינטגרלים משולשים
˝
קיבלנו:
2
2
2
)e−x dx ≤ I2a = π 1 − e−(2a
כאשר ∞ → aמקבליםπ :
√
2
= e−x dx
ˆa
ˆa
= Ia ≤
−a
−a2
π 1−e
. lim
∞→a
−a
הערה :כזכור מאינטגרלים מוכללים ,באופן כללי אסור)!( להתייחס לאינטגרל
∞ˆ
בתור
∞−
זה ,כיוון שהאינטגרנד הוא פונקציה זוגית ,זהו מהלך תקין.
29אינטגרלים משולשים
ˆa
, limאולם במקרה
∞→a
−a
˝
˜
הרעיון דומה ל־ .התחום Vב־ ,R3ועליו מוגדרת ).f (x, y, z
את Vנחלק לתיבות קטנות .סכומי רימן:
f (ci , dj , ek ) ∆xi ∆yj ∆zk
X
Rijk
˚
וע"י עידונים יתכנסו ל־f (x, y, z) dxdydz
.
˜V
הכללים )לינאריות ,מונוטוניות וכו'( כמו ב־ .
איור :48תחום Vכללי
חישוב יהיה אפשרי כשהתחום Vהוא תחום פשוט .תחום פשוט במקרה זה מוגדר להיות )לדוגמה(:
a≤x≤b
)y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x
(x, y, z) ∈ R3
)z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y
במקרה זה ,נקבל:
)z2ˆ(x,y
f dz dy dx
ˆy
)2 (x
)z1 (x,y
)y1 (x
ˆb
a
= f dxdydz
˚
V
90
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
˝
אינטגרלים משולשים29
החלפת משתנים29.1
?
˝
למה צריך:שאלה
:תשובה
❼ צריך
˚
1 נתון על־ידיV ❼ נפח
.
V
.˚ גוף
צפיפות מסה שלρ (x, y, z) ❼
ρ (x, y, z) dxdydz ⇐
. מסת הגוףm =
V
. מומנטים,❼ מרכז כובד
החלפת משתנים29.1
J=
˚
V
f (x, y, z) dxdydz =
xu
yu
zu
∂ (x, y, z)
=
∂ (u, v, w)
˚
xv
yv
zv
xz
yz
zz
f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) |J| dudvdw
W
(... חח"ע,C 1 ,J 6= 0 )כמובן בתנאים של
R3 קואורדינטות מעגליות ב־29.2
: ישR3 ב־,
(
x = r cos θ
y = r sin θ
יש קואורדינטות מעגליותR2 כמו שב־
: קואורדינטות גליליות.1
p
2
2
ρ = x + y
y
θ = arctan x
z=z
- x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z=z
ρ ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π
.ρ = a יהפוך ל־x2 + y 2 = a2 הגליל,למשל
: קואודינטות כדוריות.2
p
ρ = x2 + y 2 + z 2
θ = arccos √ 2x 2
x +y
z = arccos √ 2 z 2
x +y +z 2
- x = ρ cos θ sin ϕ
y = ρ sin θ sin ϕ
z = ρ cos ϕ
ρ ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ ϕ ≤ π
.ρ = a הופך ל־x2 + y 2 + z 2 = a הכדור,לדוגמה
91
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
29אינטגרלים משולשים
˝
29.3דוגמאות
איור :49קואורדינטות כדוריות
29.3דוגמאות
1תהי Vהפירמידה שקודקודיה:
)(0, 0, 0) ; (a, 0, 0) ; (a, a, 0) ; (a, a, a
איור :50הפירמידה
נרצה לחשב:
xyz dxdydz
˚
=I
V
✷✾
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
˝
דוגמאות29.3
V =
I
=
אינטגרלים משולשים29
: הוא תחום פשוטV נשים לב שהתחום
0≤x≤a
0≤y≤x
0≤z≤y
(x, y, z) ∈ R3
.(y = z )צריך להשתכנע שהפאה הנטויה נתונה על־ידי מישור
y=x z=y
ˆ
ˆ
xyz dz dy dx
x=a
ˆ
y=0
z=0
y=0
x=0
x=a
ˆ
y=x
x=0
y=x
ˆ
2 z=y
xyz
=
dy dx
2 z=0
y=0
x=0
y=x
x=a
ˆ
ˆ
3
xy
=
dy dx
2
x=a
ˆ
=
=
xy 4
8
x=0
x=a
ˆ
y=0
!
dx
x5
dx
8
x=0
6
=
a
48
.(x, y, z ≥ 0) .z = h ,z = 2 x2 + y 2 ,z = x2 + y 2 ,y = 2x ,y = x גוף החסום ע"יV יהי
: נחשב תחילה את היעקוביאן. נעבור לקואורדינטות גליליות.V נמצא את הנפח של
J=
xρ
yρ
zρ
xθ
yθ
zθ
xz
yz
zz
cos θ
sin θ
0
=
−ρ sin θ
ρ cos θ
0
0
0
1
=ρ
: יקבע לפיW ,לאחר החלפת המשתנים
sin θ = cos θ
sin θ = 2 cos θ
z = 0
z = h
z = ρ2
z = 2ρ2
⇒ θ = π4
⇒ θ = arctan 2
√
ρ= z
p
ρ = z/2
✾✸
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
2
lOMoARcPSD|23687637
˝
דוגמאות29.3
˚
1dxdydz
˚
=
1ρdρdθdz
W
V
z=h
ˆ
=
z=0
z=h
ˆ
=
z=0
z=h
ˆ
=
z=0
√
ρ=
ˆ z
θ=arctan
2
ˆ
θ=π/4
θ=arctan
2
ˆ
√
ρ=
ρ
2
√
ρ=
θ=π/4
θ=arctan 2
θ|θ=π/4
z/2
√
2 ρ= z
z
2
1
π
arctan 2 −
4
4
=
אינטגרלים משולשים29
−
ρdρ
dθ dz
z/2
dθ dz
z dz
4
z=h
ˆ
zdz
z=0
h2 π
arctan 2 −
8
4
=
נחשב את: נעבור לקואורדינטות כדוריות.x2 + y 2 + z 2 = R2 : משוואת הכדור היא.R נחשב נפח כדור ברדיוס3
:היעקוביאן
J
=
=
=
cos θ sin ϕ
sin θ sin ϕ
cos ϕ
ρ cos θ cos ϕ
ρ sin θ cos ϕ
−ρ sin ϕ
2
2
2
−ρ cos ϕ sin θ sin ϕ cos ϕ + cos θ sin ϕ cos ϕ
−ρ2 sin ϕ cos2 θ sin2 ϕ + sin2 θ sin2 ϕ
∂ (x, y, z)
=
∂ (ρ, θ, ϕ)
−ρ sin θ sin ϕ
ρ cos θ sin ϕ
0
−ρ2 sin ϕ
Vball
=
ˆ2π ˆπ ˆR
ρ2 sin ϕdρ dϕ dθ
0
=
0
··· =
0
3
4πR
3
:הואV כאשר,
˚
V
V =
(x, y, z) ∈ R3
z ≤ x2 + y 2 ≤ 3z
1 ≤ xy ≤ 2
3x ≤ y ≤ 4x
x, y, z > 0
✾✹
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
xy
dxdydz :נחשב את
z
4
lOMoARcPSD|23687637
˝
אינטגרלים משולשים29
דוגמאות29.3
נגדיר
w=
x2 + y 2
y
; v = xy ; u =
x
z
: יעבור לV הגוףu, v, w במישור
W =
J
−1
⇒ |J|
=
=
(u, v, w) ∈ R3
∂ (u, v, w)
=
∂ (x, y, z)
2x
z
2y
z
−y
x2
1
x
y
x
1≤u≤3
1≤v≤2
4≤w≤4
−x
2
+y 2
z
=−
0
0
:נחשב את היעקוביאן של ההעתקה
x2 + y 2 2y
·
z2
z
xz 2
2y (x2 + y 2 )
:נתבונן במכפלת היעקוביאן באינטגרנד
xz 2
1 11
xy
·
= V
z 2y (x2 + y 2 )
2 uw
:לכן
˚
V
xy
dxdydz =
z
ˆ4 ˆ2 ˆ3
3
1
1
v
3
4
dudvdw = · · · = ln 3 ln
2uw
4
3
95
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
30תזכורת ־ עקומים
חלק ❳
אינטגרלים קוויים
30תזכורת ־ עקומים
עקום:
))~r (t) = (x (t) , y (t) , z (t
וקטור בכיוון המשיק לעקום )מהירות רגעית(:
))~r′ (t) = (x′ (t) , y ′ (t) , z ′ (t
קיבלנו את r′כגבול של המיתרים ,כלומר:
∆~r
∆t→0 ∆t
lim
30.1אורך עקום
נתבונן בעקום) ~r (tבין הנקודות ) .r (a) , r (bננסה למצוא את אורך העקום:
"נפרק" את העקום לקטעים ישרים )המכסים אותו בקירוב( ונסכום את אורכיהם:
| |∆~ri
|~r′ (t)| dt
ˆb
a
n
X
i=1
= |) |~r (ti ) − ~r (ti−1
→−
♥❡❤✇✧
❣♥✐❤❝❛♦❛♣♣r
✧t❤❡ ❧✐♠✐t
n
X
=
)length (~r
i=1
n
X
∆~ri
∆ti
∆ti
i=0
=
לכן:
2
2
2
))(x′ (t)) + (y ′ (t)) + (z ′ (t
ˆb q
a
′
= |~r (t)| dt
ˆb
= )L (γ
a
אם γנתון על־ידי ) y = y (xאז מקבלים:
ˆb q
2
= )L (γ
1 + (y ′ (x)) dx
a
את זה פיתחנו בחדו"א 1ת'.
30.1.1דוגמאות
1
) ~r (t) = (cos t, sin tמעגל היחידה.~r′ (t) = (− sin t, cos t) .
ˆ2πq
2
2
(− sin t) + (cos t) dt = 2π
= P❡r✐♠❡t❡r
0
✻✾
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
32אינטגרל קווי מסוג
2
■ ✮❧❛■♥t❡❣r
❤(P❛t
) ~r (t) = (a cos t, b sin tאליפסה.~r′ (t) = (−a sin t, b cos t) .
dt
1/2
ˆ2π
a2 sin2 t + b2 cos2 t
= P❡r✐♠❡t❡r
0
לא פתיר על־ידי אלמנטריות )נקרא אינטגרל אליפטי(.
31פרמטר אורך קשת
נגדיר את הפונקציה הבאה:
2
2
x′ (τ ) + y ′ (τ ) dτ
ˆt q
= )S (t
a
זהו אורך העקום מ־ aועד .τ
לפי המשפט היסודי:
q
2
2
|)x′ (t) + y ′ (t) = |~r′ (t
= )S ′ (t
למעשה קיבלנו פרמטר חדש sשיכולה לבטא את אורך העקום עד נקודה מסוימת:
(
)x = x (s
; 0≤s≤L
)y = y (s
) sלא תלוי בפרמטריזציה המקורית לפי .(t
תרגיל
ˆL
q
2
2
הראו בעזרת כלל השרשרת ש־ ) 1 = x′ (s) + y ′ (sובפרט . ds = L
0
32אינטגרל קווי מסוג ■ ✮❧❛(P❛t❤ ■♥t❡❣r
) f (x, yפונקציה סקלרית γ ,עקום חלק.
fמורכבת על .f (x (t) , y (t)) :γ
נרצה להגדיר אינטגרל של fלאורך .γ
32.1מוטיבציות
גיאומטרית
פיזיקלית
חישוב "שטח הגדר" )שטח מתחת לגרף(.
תיל עם צפיפות מטען ) .f (x, yמטען התיל יקורב על־ידי f (xi , yi ) ∆si
n
X
,ובגבול f (x (s) , y (s)) ds
i=0
32.2הגדרה
f (x (s) , y (s)) ds
ˆL
0
= f ds
ˆ
γ
✼✾
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
ˆL
0
= .Q
lOMoARcPSD|23687637
32אינטגרל קווי מסוג
■ ✮❧❛■♥t❡❣r
❤(P❛t
32.3הערות
נבצע החלפת משתנים ) s = s (tולכן .ds = s′ (t) dtנקבל:
2
2
x′ (t) + y ′ (t) dt
{z
}
~|
|)r ′ (t
q
|
))f (x (t) , y (t
ˆb
=
a
32.3הערות
.1עבור f ≡ 1נקבל את אורך :γ
|~r′ (t)| dt
ˆb
= )L (γ
a
.2לא תלוי בפרמטריזציה.
.3אם γנתון על־ידי ) y = y (xאז:
2
1 + y ′ (x) dx
q
))f (x, y (x
ˆb
= f (x, y) ds
ˆ
γ
a
.4תרגיל :אם γנתון בפרמטריזציה פולארית:
x (θ) = ρ (θ) cos θ
y (θ) = ρ (θ) sin θ
(
ˆ
מצאו את . f ds
γ
32.4דוגמה
0 ≤ t ≤ 2π
;
)~r (t) = (cos t, sin t, t
זהו סיבוב אחד של ①✐❧❡❍.
נחשב את האינטגרל הקווי מסוג ■ של הפונקציה f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2לאורך העקום .~r
)(− sin t, cos t, 1
p
√
sin2 t + cos2 t + 12 = 2
=
=
)~r′ (t
′
|)|~r (t
✽✾
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
33אינטגרל קווי מסוג
■■ )❧❛■♥t❡❣r
❡♥✐▲(
ולכן:
2dt
√
cos2 t + sin2 t + t2
ˆ2π
=
ˆ
f ds
γ
0
2π
ˆ √
2
1 + t2 dt
=
0
2π
t3
2 t+
3 0
√
√
8 2 3
π
2 2π +
3
√
=
=
33אינטגרל קווי מסוג ■■ )❧❛(▲✐♥❡ ■♥t❡❣r
33.1הקדמה ־ פונקציות וקטוריות
) F~ (x, yשדה וקטורי ,כלומר לכל ) (x, yהפונקציה ~ Fמתאימה וקטור.
למשל :כח ,הגרדיאנט של fסקלרית.
̂F~ (x, y) = P (x, y) î + Q (x, y) j
33.2מוטיבציה פיזיקלית
נרצה לחשב את העבודה שכוח מבצע על גוף הנע במסלול מסוים.
❲♦r❦ = ❋♦r❝❡ × ❉✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t
אבל רק רכיב ~ Fבכיוון המשיק לעקום מבצע עבודה .נסמנו ב־ ~) Tמלשון t❛♥❣❡♥t־ משיק( .ונקבל:
F~ · T̂ = F~ cos θ
כאשר ̂ Tהוא וקטור מנורמל בכיוון המשיק ל־ ~.F
סכום רימן המתאים יהיה:
ˆ
X
F~ · T̂ ds
≈ W
” →F~i · T̂i · ∆si ” −
i
γ
נקבל:
ˆb
~r′ (t) ′
F~ · ′
|~r (t)| dt
|)|~r (t
a
F~ · ~r′ (t) dt
ˆb
=
F~ · T̂ ds
ˆ
γ
=
a
✾✾
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
(▲✐♥❡
■♥t❡❣r❛❧) ■■
אינטגרל קווי מסוג33
הגדרה33.3
הגדרה33.3
ˆ
γ
~
F~ · dr
=
ˆb
=
ˆb
=
ˆ
a
F~ (x (t) , y (t)) · ~r′ (t) dt
[P (x (t) , y (t)) x′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y ′ (t)] dt
a
P dx + Qdy
γ
הערות33.3.1
. נותן סימן ־γ במובן שהיפוך מגמה של, לא תלוי )כמעט( בפרמטריזציה.1
ˆ
ˆ
~
~
~
F · dr = − F~ · dr
−γ
γ
: אזy = f (x) נתון על־ידיγ אם.2
ˆ
γ
~ =
F~ · dr
ˆb
(P (x, y (x)) x′ (t) + Q (x, y (x)) y ′ (x)) dx
a
דוגמה33.3.2
: כלומר,Helix נחשב את עבודת השדה על גוף הנע לאורך. שדה וקטוריF~ (x, y, z) = xî + y ĵ + z k̂ יהא
~r (t) = (cos t, sin t, t)
;
0 ≤ t ≤ 2π
: ונקבלF~ נציב ב־
F~ (x (t) , y (t) , z (t)) = (cos t, sin t, t)
:נגזור את הפרמטריזציה של העקום
~r′ (t) = (− sin t, cos t, 1)
:ולכן
F~ · ~r (t) = − sin t cos t + sin t cos t + t = t
′
:נקבל
ˆ
γ
~ =
F~ · dr
ˆ2π
tdt =
0
t2
2
2π
= 2π 2
0
100
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
34משפט גרין
34משפט גרין
משפט יהי Γעקום מישורי ,חלק למקוטעין ,סגור ,פשוט ,עם מגמה חיובית.
יהי Dהתחום הכלוא ב־.Γ
יהי F~ (x, y) ∈ C 1על .Dאזי:
˛
¨
= ~
F~ · dr
(Qx − Py ) dxdy
D
Γ=∂D
34.1פענוח המילים המפחידות במשפט
עקום סגור
עקום γהוא סגור אם ) ,γ (a) = γ (bכאשר a, bהן קצות העקום.
עקום פשוט
עקום חח"ע )כלומר לא חוצה את עצמו(.
עקום פשוט סגור )❞❡❙✐♠♣❧② ❈❧♦s
עקום סגור שהוא חח"ע ,למעט בקצוות הקטע )שם העקום כמובן אינו חח"ׂע(.
(
עקום עם מגמה חיובית עקום סגור ופשוט מגדיר תחום כלשהו במישור .נאמר שהעקום עם מגמה חיובית אם
"כשהולכים לאורך העקום" אז Dמשמאל.
שדה וקטורי ב־ C 1
אם כל אחת מהפונקציות המגדירות אותו היא .C 1
34.2הערות
.1ישמש לחישוב
˜
ע"י
˛
ולהיפך.
Γ
.2נשים לב שזהו משפט "ברוח המשפט היסודי":
)f (x) dx = F (a) − F (b
ˆb
a
´
מוותרים על במחיר מעבר לפונקציה קדומה וחישוב רק על שפת התחום.
[
.3אין מניעה שיתקייםΓi :
= .Γ
i
34.3דוגמאות
x
−y
· î + 2
̂·j
2
+y
x + y2
} | {z
} | {z
x2
)Q(x,y
נחשב את הנגזרות של :P, Q
= )F~ (x, y
)P (x,y
2
)− x2 + y + y (2y
y 2 − x2
∂P
=
=
2
2
∂y
) (x2 + y 2
) (x2 + y 2
y 2 − x2
∂Q
)x2 + y 2 − x (2x
=
=
2
2
∂x
) (x2 + y 2
) (x2 + y 2
=
Py
=
Qx
קיבלנו Py = Qxולכן:
✶✵✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
34.3דוגמאות
34משפט גרין
מסקנה 1
∀D
(Qx − Py ) dxdy = 0
¨
D
מסקנה 2
אם Γמסלול כלשהו שאינו מקיף את הראשית ,נקבל:
¨
= ~
(Qx − Py ) dxdy = 0
F~ · dr
D
˛
Γ
∈ ~ Fעל .D
הראשית אז המשפט לא תקף ,כי / C 1
אם Γמקיפה את ˛
נחשב את ~
F~ · dr
עבור מעגל סביב הראשית באורך .(R cos t, R sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π ,Rולכן:
Γ
ˆ2π
R cos t
−R sin t
(−R
sin
)t
(R
cos
)t
+
dt
} | {z
| {z }
R2
R2
{z
)} x′ (t
|
)| {z } y′ (t
0
))Q(x(t),y(t
=
~
F~ · dr
˛
Γ
))P (x(t),y(t
sin2 t + cos2 t dt = 2π
ˆ2π
=
0
נשים לב שאכן המשפט אינו מתקיים ,משום שאם היינו משתמשים במשפט גרין היינו מקבלים שהאינטגרל מתאפס.
נסתכל על טבעת Dסביב הראשית ,התחומה על־ידי שני מעגלים סביב הראשית ,כאשר המעגל הראשון Γ1ברדיוס
Rוהשני Γ2ברדיוס .r
נגדיר .Γ = Γ1 ∪ Γ2המשפט תקף ,ולכן:
˛
˛
ˆ
~ = + = 2π − 2π = 0
F~ · dr
Γ2
Γ1
Γ
פעלולון :ניקח Γ1כלשהי שכן מקיפה את הראשית .נוסיף Γ2שמקיפה את הראשית בכיוון השעון ,ונגדיר את D
כמו בציור.
איור :51התחום D
✷✵✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
34.4הוכחה
34משפט גרין
מצד אחד ,נקבל:
˛
−2π
=
Γ1
˛
˛
+
Γ2
ˆ
= ~
F~ · dr
Γ1
Γ=Γ1 ∪Γ2
מצד שני ,לפי גרין:
˛
~ =0
F~ · dr
Γ
מסקנה
תרגיל
~ = 2π
F~ · dr
Γ
¸
עבור כל Γשמקיפה את הראשית.
חשבו את האינטגרל ישירות עבור מעוין סביב הראשית.
34.4הוכחה
נניח תחילה שהתחום Dהוא תחום פשוט בשני הכיוונים .נסמן ) ϕ (xלהיות הפונקציה שתוחמת את התחום הפשוט
"מלמטה" ו־) ψ (xלהיות הפונקציה שתוחמת את התחום הפשוט "מלמעלה".
)ˆb y=ψ(x
ˆ
¨
∂P
∂P
dxdy = −
dy dx
−
∂y
∂y
a
)y=ϕ(x
D
ˆb
a
−
(P (x, ψ (x)) − P (x, ϕ (x))) dx
ˆb
−
=
ˆb
=
)y=ψ(x
P (x, y)|y=ϕ(x) dx
P (x, ψ (x)) dx
ˆa
a
P (x, ϕ (x)) dx +
=
a
b
P dx
ˆ
P dx +
Γ2
ˆ
=
Γ1
P dx
ˆ
=
Γ
העקום )).(x, ψ (x
(x,ו־ Γ2הוא ¨
כאשר Γ1הוא העקום ))ˆ ϕ (x
∂Q
,ובסה"כ הוכחנו עבור Dפשוט.
באופן דומה מראים dxdy = Qdy
∂x
Γ
D
כעת ניקח Dכללי )המתאים לתנאי המשפט ,אך אינו פשוט בהכרח( .כל תחום כנ"ל ניתן לחלק לאיחוד של
תחומים פשוטים.
34.5דוגמה
נגדיר
✸✵✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
35שדה משמר ב־ ּR2
= )F~ (x, y
̂j
−y
}î + |{z
x
}|{z
)Q (x, y
)P (x, y
∂Q
∂P
=
−1
∂x = 1
∂y
יהא Γעקום כלשהו המקיים את תנאי משפט גרין .אזי:
¨
1
= −ydx + xdy
2dxdy
2
D
~ =1
F~ · dr
2
ˆ
Γ
ˆ
1
2
Γ=∂D
משפט )מסקנה(
❆r❡❛D = 21
˛
−ydx + xdy
∂D
נחשב שטח של אליפסה ,כאשר פרמטריזציה שלה היא:
0 ≤ t ≤ 2π
)~r (t) = (a cos t, b sin t
;
xdy − ydx
˛
❡❊❧❧✐♣s
sin t) dt
|a cos
{z }tb| sin
{z }t − b| sin
{z }t|(−a{z
}
)x′ (t
)y ′ (t
)y(t
1
2
)x(t
=
S
∂
ˆ2π
1
2
=
0
=
πab
35שדה משמר ב־ ּR2
יהי ~ Fשדה וקטורי רציף על תחום .D
הגדרה
~ Fיקרא שדה משמר אם ~ = 0
F~ · dr
˛
לכל Γמסלול סגור המוכל ב־.D
Γ
הערה
משפט
−y
x
x2 +y 2 , x2 +y 2
~ Fמשמר ⇔ ~
F~ · dr
= ) F~ (x, yמשמר בתחום Dשאינו מקיף את הראשית.
ˆ
לא תלוי במסלול המחבר את Aעם .B
AB
ˆ
ˆ
ˆ
הוכחה ⇐ F~ :משמר ,ולכן ~ = 0
F~ · dr
כאשר ) = 0⇐ Γ = Γ1 ∪ (−Γ2
⇐ +
Γ
⇒ :בהנתן Γנבחר Aו־ Bואז
ˆ
Γ2
=
ˆ
Γ1
ולכן = 0
ˆ
Γ2
−
ˆ
Γ1
=
ˆ
+
−Γ2
ˆ
Γ1
=
ˆ−Γ
2
Γ1
.
Γ
104
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
ˆ
Γ2
=
ˆ
.
Γ1
lOMoARcPSD|23687637
ּR2 שדה משמר ב־35
. פונקציה סקלריתφ(x, y) תהי
הגדרה
→
−
∂φ ∂φ
~
~
.F תקרא הפוטנציאל שלφ אזי.F (x, y) = ∇φ = ∂x , ∂y נגדיר
→
−
אזF~ = ∇φ אם
ˆ
משפט
~ = φ (B) − φ (A)
F~ · dr
AB
( משמרF~ )ובפרט
הוכחה
ˆ
~
F~ · dr
=
ˆt=b
[P (x (t) , y (t)) x′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y ′ (t)] dt
t=a
AB
=
ˆb ∂φ dx ∂φ dy
+
∂x dt
∂y dt
a
✭❝❤❛✐♥ r✉❧❡✮
F~
◆❡✇t♦♥
▲❡✐❜♥✐③
=
=
→
−
∇φ =
−
=
ˆb
dt
d
φ (x (t) , y (t)) dt
dt
a
t=b
=
φ (x (t) , y (t))|t=a
=
φ (B) − φ (A)
∂φ ∂φ ∂φ
,
,
∂x ∂y ∂z
x
(x2 + y 2 + z 2 )
3/2
φ (x, y, z) = p
,−
y
(x2 + y 2 + z 2 )
. למשל שדה הגרביטציה,
1
|~r|
2
3/2
,−
1
x2
z
(x2 + y 2 + z 2 )
3/2
+ y2 + z2
דוגמה
!
וגודלו−~r הוא בכיווןF~ ~ ואזr = (x, y, z) מסמנים
~r
F~ = − 3
|~r|
:התנאים הבאים שקולים
.(
˛
משפט
~ = 0 משמר )כלומרF~ .1
F~ · dr
Γ
.AB לא תלוי במסלול
ˆ
AB
105
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
~ .2
F~ · dr
lOMoARcPSD|23687637
35שדה משמר ב־ ּR2
−
→ = ~) Fואז )~ = φ (B) − φ (A
F~ · dr
∇φ .3
ˆ
(.
AB
→
−
הערה :אם קיימת φכך ש־ F~ = ∇φאז אומרים ש־" P dx + Qdyדיפרנציאל מדויק".
להראות ).(3)⇐ (2
הוכחה נותר ˆ
נתון~ :
F~ · dr
לא תלוי במסלול.
AB
→
−
.ֵF
צ"ל :קיימת φכך ש־ֵ ~ = ∇φ
נראה על־ידי בנייה מפורשת של .φנבחר ,(x0 , y0 ) ∈ Dונגדיר:
~
F~ · dr
)(x,y
ˆ
= )φ (x, y
) (x0 ,y0
הבחנות:
φ .1מוגדרת היטב כי לא תלוי במסלול
φ .2יחידה עד כדי קבוע ,כלומר אם בוחרים ) (x1 , y1אז נסמן:
)(x,y
ˆ
~
F~ · dr
= )φ1 (x, y
~
F~ · dr
;
)(x,y
ˆ
= )φ0 (x, y
) (x0 ,y0
) (x1 ,y1
) (xˆ1 ,y1
~ =c
F~ · dr
= ⇒ φ0 − φ1
) (x0 ,y0
עלינו להוכיח = Q
∂φ
∂y
. ∂φ
∂x = P,
)(x+∆x,y+∆y
ˆ
= )φ (x + ∆x, y + ∆y
) (x0 ,y0
)(x+∆x,y+∆y
ˆ
+
)(x,y
ˆ
=
) (x0 ,y0
)(x,y
נקבל:
)(x+∆x,y+∆y
ˆ
~
F~ · dr
= )φ (x + ∆x, y + ∆y) − φ (x, y
)(x,y
נחבר את שתי הנקודות )שבתחום האינטגרל( בישר .פרמטריזציה עבורו תהיה:
(
x (t) = x + t∆x
; 0≤t≤1
y (t) = y + t∆y
106
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
35שדה משמר ב־ ּR2
ואז נקבל:
(P (x (t) , y (t)) ∆x + Q (x (t) , y (t)) ∆y) dt
ˆ1
=
0
נניח .∆y = 0נקבל:
P (x (t) , y (t)) dt
ˆ1
0
φ (x + ∆x, y + ∆y) − φ (x, y) = ∆x
ולכן:
P (x (t) , y (t)) dt
ˆ1
)φ (x + ∆x, y + ∆y) − φ (x, y
=
∆x
0
לפי ערך הביניים האינטגרלי,
)P (x⋆ , y
)φ (x + ∆x, y + ∆y) − φ (x, y
lim
)= P (x, y
∆x→0
∆x
=
=
∂φ
∂x
⇒
באופן דומה נקבל
∂φ
=Q
∂y
הגדרה
חורים(.
תחום Dיקרא פשוט־קשר אם לכל Γפשוט וסגור ב־ Dגם הפנים של Dמוכל ב־) Dבמישור ־ אין ב־D
משפט
אם F~ ∈ C 1ואם Dפשוט־קשר ,אז קיים תנאי שקול נוסף:
Q x = Py
107
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
35שדה משמר ב־ ּR2
35.1דוגמאות
הוכחה ):(4) ⇐ (3
→
−
∂φ
∂φ
.
= Q,
נניח .F~ = ∇φכלומר = P
∂y
∂x
∂ ∂φ
= Qx
∂x ∂y
הערה :זה נכון גם עבור Dאינו פשוט־קשר.
) :(3) ⇐ (4יודעים .Qx = Pyצ"ל~ = 0 :
F~ · dr
˛
=
↑
F~ ∈ C 1
∂φ
∂x
∂
= ⇒ Py
∂y
.
Γ
ואמנם ,לפי גרין:
(Qx − Py ) dxdy = 0
¨
= ~
F~ · dr
˛
Γ
S
כאשר Sהוא התחום הכלוא ב־) Γמוכל ב־ Dכי Dפשוט־קשר(.
זה נכון עבור Γ־ות גריניות .קל להכליל לכל Γסגורה.
35.1דוגמאות
דוגמה F~ ∈ C 1 .F~ = exy î + ex+y ĵ 1על .R2
⇐ Py = xexy 6= ex+y = Qxלא משמר.
דוגמה F~ ∈ C 1 .F~ = 2x cos y î − x2 sin y ĵ 2על .R2
משמר.
⇐
Py = −2x sin y = −2x sin y = Qx
נמצא את ) φ (x, yכך ש־)= (P, Q
∂φ ∂φ
∂x , ∂y
= .∇φ
P = 2x cos y
ˆ
2x cos ydx
)x2 cos y + g (y
∂φ
)= −x2 sin y + g ′ (y
∂y
0
c
=
∂φ
∂x
=
)φ (x, y
=
=
Q
=
=
)⇒ g ′ (y
)⇒ g (y
ולכן
φ (x, y) = x2 cos y
35.2הערות
̂−y î + xj
.1פשוט־קשר הכרחי עבור ) .(1) ⇐ (4ראינו
x2 + y 2
מקיים Qx = Pyאבל לא משמר )ראינו(.
108
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
35שדה משמר ב־ ּR2
35.2הערות
.2אמנם השדה הנ"ל לא משמר בתחום שמקיף את הראשית ,אבל ראינו כי ש־~ = 2π
F~ · dr
ˆ
לכל Γשמקיפה
Γ
את הראשית .באותו רעיון )בו השתמשנו כדי להוכיח את הטענה הנ"ל( ניתן להשתמש כדי להוכיח:
יהי F~ ∈ C 1בתחום ) D) D = R2ˆ\ (0, 0אינו פשוט־קשר( ,כך ש־ .Qx = Pyאם קיים עקום γהמקיף את
הראשית עבורו ~ = 0
F~ · dr
אז ~ Fמשמר ב־.D
γ
הערה :נסו להכליל.
∂φ
y
. ∂φ
.3למחשבה :נגדיר .φ (x, y) = arctan xמצאו ∂x , ∂y
109
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
36
פרמטריזציה של משטח
חלק
■❳
אינטגרלים משטחיים
36פרמטריזציה של משטח
באופן מפורש ) .z = f (x, yבאופן סתום .F (x, y, z) = 0
באופן פרמטרי:
))~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v
כאשר .(u, v) ∈ D ⊆ R2
הערה :זו העתקה .R → R3
p
דוגמה נתבונן במשטח ,z = x2 + y 2זהו חלקו העליון של חרוט מעגלי.
נמצא לו פרמטריזציה כלשהי:
2
0 ≤ v ≤ 2π
0≤r≤1
)(u cos v, u sin v, u
עבור v0קבוע ~r (u, v0 ) ,זה עקום בפרמטר .uבכל נקודה יש לו משיק שכיוונו
∂~r
∂x ∂y ∂z
′
= ~ru
=
,
,
∂u
∂u ∂u ∂u
עבור u0קבוע ~r (u0 , v) ,זה עקום בפרמטר .vבכל נקודה יש לו משיק שכיוונו
∂x ∂y ∂z
∂~r
=
,
,
= ~rv′
∂v
∂v ∂v ∂v
~ruו־ ~rvפורשים מישור המשיק למשטח בנקודה ) .(u0 , v0הנורמל למישור הוא:
̂k
zu
zv
̂j
yu
yv
̂i
xu
xv
= ~n = ~ru × ~rv
הערות
.1עבור משטח סגור ,נהוג לבחור נורמל כלפי חוץ.
.2בקורס הזה נעסוק רק במשטחים דו־צדדיים.
הגדרה משטח נקרא חלק אם יש לו פרמטריזציה C 1כך ש־ ~ru × ~rv 6= 0בכל נקודה) .במקרה זה יש לו מישור
משיק בכל נקודה(.
~ru × ~rv
| |~ru × ~rv
= ~n
✵✶✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
37שטח משטח
הערה
אם המשטח הוא פונקציה של שני משתנים ,כלומר )) ,~r (x, y) = (x, y, f (x, yנקבל:
) ~rv = (0, 1, fy
) ~rx = (1, 0, fx
;
ואז נקבל:
)= (−fx , −fy , 1
̂k
fx
fy
̂î j
1 0
0 1
= ~n = ~rx × ~ry
זה בהלימה למה שידענו :אם ) z = f (x, yאז הגרף הוא רמה )עבור (c = 0של ) ,F (x, y, z) = z − f (x, yונורמלו
→
−
הוא , ∇Fכלומר.(−fx , −fy , 1) :
37שטח משטח
נתבונן בתחום .D ⊆ R2נתבונן במלבנצ'יק המצויר .שטחו ־ .∆u∆v
איור :52המלבן בתחום D
המלבן הנ"ל מועתק למקבילית )בערך (..על המשטח.
איור :53המשטח ~r
נחפש את שטחה .קודקודי המקבילית הם ) .~r (u, v) , ~r (u + ∆u, v) , ~r (u, v + ∆v) , ~r (u + ∆u, v + ∆vולכן,
✶✶✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
דוגמאות37.1
שטח משטח37
:שני הוקטורים )שבערך( יוצרים את המקבילית הם
−−→
∆u r = ~r (u + ∆u, v) − ~r (u, v)
−−→
∆v r = ~r (u, v + ∆v) − ~r (u, v)
:נקבל כי שטח המקבילית הוא בערך
S
≈
≈
−−→ −−→
−−→ −−→
∆ u r ∆v r
∆u r × ∆v r =
×
∆u∆v
∆u
∆v
−
−
|→
r ×→
r | ∆u∆v = |~n| ∆u∆v
u
v
:"מהשיקולים הנ"ל נקבל כי "בגבול
A = ❆r❡❛ ♦❢ t❤❡ ❙✉r❢❛❝❡ =
¨
|~n| dudv =
D
¨
−
−
|→
ru × →
rv | dudv
D
. לא תלוי בפרמטריזציה:הערה
דוגמאות37.1
:ניקח פרמטריזציה לחציו העליון של חרוט מעגלי
1 דוגמה
0 ≤ v ≤ 2π
0≤r≤1
~r = (u cos v, u sin v, u)
:נחפש את שטח החרוט
~ru
=
(cos v, sin v, 1)
~rv = (−u sin v, u cos v, 0)
~n = ~ru × ~rv
î
cos v
−u sin v
=
=
|~n|
k̂
1
0
(−u cos v, −u sin v, u)
p
√
u2 cos2 v + u2 sin2 v + u2 = u 2
=
A=
ĵ
sin v
u cos v
ˆ2πˆ1 √
0
2ududv =
0
:ולכן
√ 1
√
2 · 2π = π 2
2
.x2 + y 2 + z 2 = R2 : נחשב את שטח הפנים של כדור2 דוגמה
:פרמטריזציה של הכדור
~r (θ, ϕ) = (R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ)
0≤θ≤π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
✶✶✷
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
הערות37.2
שטח משטח37
:~n נחשב את
~n
= ~rθ × ~rϕ
î
−R sin θ sin ϕ
R cos θ cos ϕ
=
=
|~n|
=
=
=
−R2
ĵ
R sin θ cos ϕ
R sin ϕ cos θ
k̂
0
−R sin θ
cos ϕ sin2 θ, sin ϕ sin2 θ, sin θ cos θ
q
cos2 ϕ sin4 θ + sin2 ϕ sin4 θ + sin2 θ cos2 θ
p
R2 sin4 θ + sin2 θ cos2 θ
R2 sin θ
:|~n| נחשב את
R2
: שטח מעטפת הכדור הוא,ולכן
A =
ˆ2πˆπ
R2 sin θdθdϕ
0
0
2
ˆ2π
=
R
=
4πR2
0
π
( − cos θ|0 ) dϕ
הערות37.2
: כלומר, אם המשטח הוא מישור אופקי.1
x = x (u, v)
y = y (u, v)
z = ❝♦♥st✳
: במקרה זה נקבל.זו בעצם החלפת משתנים מוסווית
|~n| =
xu
xv
yu
yv
k̂ = |J|
:ואז השטח יהיה
A=
¨
D
|~n| dudv =
¨
|J| dudv
D
.(J ~ מכליל אתn ,)במובן הזה
: אזz = f (x, y) אם המשטח נתון על־ידי.2
~r (x, y) = (x, y, f (x, y))
✶✶✸
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
38אינטגרל משטחי מסוג
■
כאשר Dהוא תחום ההגדרה של .fנקבל:
̂î ĵ k
)1 0 fx = (−fx , −fy , 1
0 1 fy
q
fx2 + fy2 + 1
ולכן שטח המשטח הוא:
= ~n
=
||~n
¨ q
=A
fx2 + fy2 + 1dxdy
D
.3אם Sנתון על־ידי ,F (x, y, z) = 0אז לפי משפט הפונקציות הסתומות )בהנחה שניתן להשתמש בו( יש
) z = f (x, yומתקיים:
Fy
Fz
fy′ = −
;
Fx
Fz
fx′ = −
ואז נקבל:
1
Fx Fy
,
= ,1
) (Fx , Fy , Fz
Fz Fz
Fz
q
→p
−
Fx2 + Fy2 + Fz2
∇F
=
| |Fz
| |Fz
= ~n
=
||~n
ולכן:
→¨ p
−
∇F
=A
dxdy
| |Fz
D
38אינטגרל משטחי מסוג
הגדרה
■
) φ (x, y, zפונקציה סקלרית S .משטח נתון על־ידי:
(u, v) ∈ D ⊆ R2
~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ,
אזי:
φ (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) |~n| dudv
¨
= φ (x, y, z) ds
D
משמעות )פיזיקלית( מסת Sבהנתן צפיפות מסה ).φ (x, y, z
114
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
¨
S
lOMoARcPSD|23687637
39אינטגרל משטחי מסוג
הערה לא תלוי בפרמטריזציה.
p
דוגמה Sחלק מחרוט z = x2 + y 2שנמצא מעל העיגול .x2 + y 2 ≤ 2x
φ (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
פתרון:
נפשט את משוואת העיגול:
0
1
1
x2 − 2x + y 2
≤
2
≤
≤
2
x − 2x + 1 + y
2
(x − 1) + y 2
לכן המשטח Sהוא כדלקמן:
פרמטריזציה של החרוט:
)(ρ cos θ, ρ sin θ, ρ
נקודות מעל העיגול מקיימות:
π
2
2 cos θ
≤θ
√
לפי חישוב קודם ,גודל הנורמל הוא .|~n| = ρ 2
2 cos θ
ˆ
√
2ρ2 2ρdρ dθ
0
≤
≤
ˆπ/2
=
φ (x, y, z) ds
¨
S
−π/2
√
· · · = 3 2π
39אינטגרל משטחי מסוג
π
2
ρ
−
=
■■
̂ F~ (x, y, z) = P (x, y, z) î + Q (x, y, z) ĵ + R (x, y, z) kשדה וקטורי S .משטח נתון על־ידי:
(u, v) ∈ D ⊆ R2
~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ,
115
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
■■
lOMoARcPSD|23687637
39אינטגרל משטחי מסוג
■■
מוטיבציה פיזיקלית מהו השטף של השדה ~ Fדרך משטח ?S
נתבונן ב"מקבילית" קטנה על המשטח ,Sששטחה הוא .|~n| ∆u∆vרק רכיב ~ Fבכיוון הנורמל לאלמנט השטח
)"המקבילית"( תורם לשטף ,ולכן השטף דרך המקבילית הקטנה הוא .F~ · n̂∆sנסכום )לפי רימן( ונקבל:
¨
F~ · n̂ ds
= ①✉✢
S
~n
· ~F
· |~n| dudv
||~n
F~ · ~n dudv
¨
=
¨
=
D
D
נשים לב שזה מוגדר דרך אינטגרל משטחי מסוג ■.
נחשב את :F~ · ~n
) F~ · (~ru × ~rv
P Q R
x u y u zu
x v y v zv
)∂ (z, x
)∂ (x, y
)∂ (y, z
+Q
+R
)∂ (u, v
)∂ (u, v
)∂ (u, v
=
F~ · ~n
=
=
P
הגדרה
¨
=
¨
=
F~ · ~ndudv
dudv
~
F~ · ds
D
)∂ (y, z
)∂ (z, x
)∂ (x, y
P
+Q
+R
)∂ (u, v
)∂ (u, v
)∂ (u, v
S
D
P dydz + Qdzdx + Rdxdy
¨
=
S
הערות
.1לא תלוי בפרמטריזציה )כמעט( .כן תלוי בכיוון הנורמל:
¨
F~ · ~n
F~ · ~n = −
−S
¨
S
˜
.2הרבה פעמים מחשבים את ,F~ · ~nורק אז מציבים ב־ .
.3תרגיל:
→
−
~
∇f · ds
¨
S
∂f
= ds
∂n
¨
¨
S
✻✶✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
■■
אינטגרל משטחי מסוג39
: אזz = f (x, y) נתון על ידיS אם המשטח.4
¨
~ =
F~ · ds
¨
(P, Q, R) · (−fx , −fy , 1) dxdy
D
S
נחשב את.F~ (x, y, z) = 4xî − 2y 2 ĵ + z 2 k̂ יהא.0 ≤ z ≤ 3 ; x2 + y 2 = 4:( גליל סגור )כולל המכסיםS דוגמה
.Sהשטף היוצא מ־
. ־ יתר המעטפתS3 , ־ המכסה התחתוןS2 , ־ "המכסה" העליוןS1 : נסמן:פתרון
I=
¨
~ =
F~ · ds
¨
+
S2
S1
S
¨
+
¨
S3
:נחשב בנפרד את שלושת האינטגרלים
I1
¨
=
~ =
F~ · ds
S1
I2
=
=
I3
=
¨
D={x2 +y 2 ≤4}
2
4x, −2y 2 , p · (0, 0, 1) dxdy
9π (2) = 36π
0
¨
~
F~ · ds
S2
: ניתן על־ידי הגלילS3 המשטח
x = 2 cos ϕ
y = 2 sin ϕ
z=z
F~ · ~n =
8 cos ϕ
−2 sin ϕ
0
0≤z≤3
0 ≤ ϕ ≤ 2π
:F~ · ~n נחשב את
−8 sin2 ϕ
2 cos ϕ
0
z2
0
1
= 16 cos2 ϕ − 16 sin3 ϕ
:ולכן נקבל
I3 = 16
ˆ2πˆ3
0
0
cos2 ϕ − sin3 ϕ dzdϕ = · · · = 48π
✶✶✼
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
40משפט הדיברגנץ )גאוס(
40משפט הדיברגנץ )גאוס(
40.1הדיברגנץ
הגדרה
יהא ) F~ (x, y, z) = (P, Q, Rשדה וקטורי .C 1נגדיר את הדיברגנץ להיות:
∂P
∂Q ∂R
= ~❞✐✈ F
+
+
∂x
∂y
∂z
→
~ −
סימון נוסף∇ · F :
הערות
→
−
∇ .1היא אופרטור
∂
∂
∂
∂x , ∂y , ∂z
→
→ −
−
,ובסימון בלבד מתקבל ~. ∇f , ∇ · F
.2הדיברגנץ של פונקציה וקטורית הוא פונקציה סקלרית.
הגרדיאנט של פונקציה סקלרית הוא פונקציה וקטורית.
תרגילים
הוכח את הזהויות הבאות:
.1לינאריות:
→
~ −
~ −
→
~ −
→~ = α
∇ · αF + β G
∇ · F + β∇ · G
" .2מעין נגזרת של מכפלה":
→
−
−
→
→ ~ −
~∇ · f F = ∇f · F~ + f ∇ · F
אינטואיציה למשמעות פיזיקלית של הדיברגנץ
הנקודות הבאות:
נתבונן)במרחב( בתיבה קטנה מקבילה לצירים שמוגדרת על ידי
)(x, y, z) ; (x + ∆x, y, z) ; (x, y + ∆y, z) ; (x, y, z + ∆z
)(x + ∆x, y + ∆y, z) ; (x + ∆x, y, z + ∆z) ; (x, y + ∆y, z + ∆z
)(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z
נחפש ביטוי לשטף של שדה וקטורי ~ Fדרך התיבה הקטנה הנ"ל.
השטף במקביל לציר yשווה ל"כמות השדה" שיוצאת לתיבה פחות "כמות השדה" שנכנסת ממנה ,כלומר:
)Q (x, y + ∆y, z) − Q (x, y, z
∆x∆y∆z
∆y
באופן דומה נקבל את השטף במקביל לשני הצירים הנוספים .בסך־הכל נקבל כי השטף דרך התיבה הוא:
→
−
∂Q ∂R
∂P
∆x∆y∆z = ∇ · F~ ∆x∆y∆z
+
+
∂x
∂y
∂z
על־ידי סכומי רימן וגבול נקבל:
→
~ −
∇ · F dxdydz
˚
V
זהו השטף שיוצא מהגוף .V
118
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
40משפט הדיברגנץ )גאוס(
40.2משפט גאוס/משפט הדיברגנץ
איך יכול להיות שהשטף הוא לא ?0למען נוחות ההסבר ,נתייחס בדיון הנ"ל לנהר ,ואנו מציבים בו מעין תיבה
קטנה .אנו מודדים את שטף המים באותה נקודה בנהר בתור הפרש בין כמות המים היוצאים מהתיבה לכמות המים
הנכנסים לתיבה .אין יתכן שטף שאינו ?0האם יתכן שמים נעלמים או נוצרים יש־מאין?
→
~ −
יתכן יותר שטף יוצא מנכנס אם לשדה יש מקורות בתחום .Vשדה שמקיים ∇ · F = 0נקרא חסר־מקורות ,או
❧❛❞✐♦♥❡❧♦) sכמו מים בצינור ,אין מקורות ) (s♦✉r❝❡sואין ניקוז או בורות ).((s✐♥❦s
40.2משפט גאוס/משפט הדיברגנץ
המשפט יהי Sמשטח חלק למקוטעין וסגור)עם נורמל כלפי חוץ( התוחם גוף .Vיהי F~ = (P, Q, R) ∈ C 1בתחום
שמכיל את ̄.V
אזי:
˚
‹
→
~ −
= ~
∇ · F dxdydz
F~ · ds
V
S
הערה :כמו גרין ,זהו משפט "ברוח המשפט היסודי".
הוכחה) :מאוד דומה לגרין(
נוכיח רק עבור גוף Vשהוא איחוד סופי של פשוטים.
נניח תחילה ש־ Vפשוט.
צ"ל:
˚
(Px + Qy + Rz ) dxdydz
= P î + Qĵ + Rk̂ · n̂ds
V
נראה שמתקיים:
∂R
dxdydz
∂z
˚
= Rk̂ · n̂ds
V
¨
S
)באופן דומה רכיבי .(P, Q
Vפשוט ,ובפרט פשוט ביחס לציר :z
119
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
‹
S=∂V
lOMoARcPSD|23687637
( משפט הדיברגנץ )גאוס40
˚
משפט הדיברגנץ/ משפט גאוס40.2
Rz dxdydz
=
V
¨
Dxy
=
¨
z2ˆ(x,y)
z1 (x,y)
∂R
dz dxdy
∂z
(R (x, y, z2 (x, y)) − R (x, y, z1 (x, y))) dxdy
Dxy
=
¨
R (x, y, z2 (x, y)) dxdy −
¨
✉♣♣❡r s✐❞❡
=
¨
R (x, y, z1 (x, y)) dxdy
Dxy
Dxy
=
¨
~ +
Rk̂ · ds
¨
❧♦✇❡r s✐❞❡
~ +0
Rk̂ · ds
~
Rk̂ · ds
S
120
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
40.2משפט גאוס/משפט הדיברגנץ
40משפט הדיברגנץ )גאוס(
דוגמה
נחשב את ~
F~ · ds
‚
S
4x, −y 2 , z 2
(x, y, z) ∈ R3
x2 + y 2 ≤ 4
0≤z≤3
=
~F
=
S
בעזרת גאוס.
→
−
❞✐✈ F~ = ∇ · F~ = 4 − 4y + 2z
(4 − 4y + 2z) dxdydz
˚
= ~
F~ · ds
‹
V
S
מכאן זה אינטגרל משולש .נבצע החלפת משתנים )לא פרמטריזציה!( לגליליות:
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z=z
ונקבל:
(4 − 4ρ sin ϕ + 2z) ρdϕdρdz
dρdz
ϕ=2π
ϕ=0
ˆ3 ˆ2 ˆ2π
=
ˆ3 ˆ2
=
0
4ρϕ + 4ρ2 cos ϕ + 2ρzϕ
0
0
(8ρπ + 4ρπz) dρdz
dz
3
= 80π
0
z2
2
!
16πz + 8π
0
0
ˆ3 ˆ2
=
ˆ3
=
0
2
0
ρ2
ρ2
8π + 4πz
2
2
0
0
= (16π + 8πz) dz
ˆ3
=
0
הערות
→
~ −
.1לעיתים ~ Fמכוער בטירוף אבל ∇ · Fבונבון )ואפילו ,(0ואז לא כדאי לחשב
˜
s
✶✷✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
משטחי.
lOMoARcPSD|23687637
40.2משפט גאוס/משפט הדיברגנץ
.2עבור
x y z
3, 3, 3
40משפט הדיברגנץ )גאוס(
→
−
= ~ Fמתקיים . ∇ · F~ = 1לכן:
˚
‹
= ~
= dxdydz
F~ · ds
=
) ❱♦❧✉♠❡ (V
V
∂V =S
xdydz + ydzdx + zdxdy
‹
1
3
=
S
חידה :מצאו נוסחה)ות( יותר פשוטה.
→
−
.3הגדרנו ~ ∇ · Fתוך שימוש במערכת הצירים .x, y, zמשפט גאוס נותן פתח להגדרה חלופית ,שאינה תלויה
בצירים .בהנתן נקודה ,Pניקח כדור ברדיוס rשמרכזו ב־ .Pנסמנו ,Vrואת שפתו נסמן .Sr
˚
‹
→
−
→
~ −
~
~
) ∇ · F dxdydz = ∇ · F~ (Q) ❱♦❧ (Vr
= F · ds
Vr
Sr
הגדרה חלופית עבור הדיברגנץ:
~
F~ · ds
‹
Sr
1
) ❱♦❧ (Vr
→
~ −
∇ · F (P ) = lim
r→0
זה לא תלוי במערכת הצירים ,ויתר על כן לא מחייב ,F~ ∈ C 1מספיק ~ Fרציף.
.4בקואורדינטות גליליות/כדוריות ,הביטוי לדיברגנץ נראה אחרת .למשל בגליליות ):(r, θ, z
∂ 1
∂
∂
❞✐✈ F~ = 1r ∂r
(rFr ) +
(rFθ ) +
) (rFz
r ∂θ
∂z
כאשר Fr , Fθ , Fzהם רכיבי Fבגליליות )ולא נ"ח!(
הגדרה
→
→ −
−
∂2f
∂2f
∂2f
= ∇ · ∇f = ∇2 f = ∆f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
נקרא לפלסיאן )של פונקציה fסקלרית(.
תרגיל
הגדרה
הראו כי ∇2 f = 0עבור
1
x2 +y 2 +z 2
√=f
fנקראת הרמונית אם .∆f = 0
דוגמה תהי fהרמונית .נראה:
∂f
ds = 0
∂n
‹
S
→
−
∂f
. ∂nלכן:
אמנם ̂= ∇f · n
‹
‹
→
−
→
−
~
∇f · ds
= ∇f + n̂ ds
S
=
S
˚
→
→ −
−
∇ · ∇f dxdydz = 0
∂f
ds
∂n
‹
S
=
V
122
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
משפט סטוקס41
משפט סטוקס41
הרוטור41.1
: נגדיר. שדה וקטוריF~ = P î + Qĵ + Rk̂ ∈ C 1 יהא
r♦t F~
=
=
→
−
∇ × F~ =
î
ĵ
k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q
R
הגדרה
(Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py )
.x, y, z ההגדרה הנ"ל תלויה במערכת הצירים:הערה
תכונות
.1
−
→
−
→
−
~ =→
~
∇ × F~ + ∇ × G
∇ × F~ + G
.2
→
−
∇ × f F~
→
→
− −
= f · ∇ × F~ + ∇f × F~
:F~ ∈ C 2 עבור.3
→
−
− →
❞✐✈ r♦tF~ = ∇ · ∇ × F~ = 0
:f ∈ C 2 עבור.4
→
− →
− r♦t (❣r❛❞f ) = ∇ × ∇f = 0
:3 נוכיח לדוגמה את סעיף
−
→
− →
∇ · ∇ × F~
=
=
∂
∂
∂
(Ry − Qz ) +
(Pz − Rx ) +
(Qx − Py )
∂x
∂y
∂z
Ryx − Qzx + Pzy − Rxy + Qxz − Pyz = 0
. שוות2 כי הנ"ח המעורבות מסדר
✶✷✸
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
41.2משפט סטוקס
41משפט סטוקס
41.2משפט סטוקס
41.2.1ניסוח המשפט
3
יהי Sמשטח חלק למקוטעין )אוריינטבילי ,עם נורמל (~nב־ Rעם שפה Γחלקה למקוטעין ,פשוטה וסגורה ,בכיוון
החיובי.
יהי ) C 1 ∋ F~ = (P, Q, Rבתחום המכיל את .S
אזי:
¨
˛
→
−
~
= ~
∇ × F~ · ds
F~ · dr
S
Γ=∂S
הערות
.1משפט גרין הוא מקרה פרטי :אם Sתחום במישור ,xyו־) ,F~ = (P, Q, 0אז
→
−
∇ × F~ · ~n = Qx − Py
ולכן:
¨
(Qx − Py ) dxdy
˛
= ~
F~ · dr
Γ
D
.2התמונה כולה:
)א( המשפט היסודי+ניוטון לייבניץ:
ˆ
)f ′ (x) dx = f (b) − f (a
][a,b
)ב( משפט גרין:
(Qx − Py ) dxdy
¨
= ~
F~ · dr
D
˛
Γ=∂D
)ג( משפט סטוקס:
¨
→
−
~
= ~
∇ × F~ · ds
F~ · dr
S
˛
Γ=∂S
)ד( משפט גאוס:
→
~ −
∇ · F dxdydz
˚
V
= ~
F~ · ds
‹
S=∂V
✹✷✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
משפט סטוקס41.2
משפט סטוקס41
דוגמאות41.2.2
1 דוגמה
.C 1 ∋ F~ (x, y, z) = y 2 , z 2 , x2
: כאשר,A → B → C → A הוא המסלול בין הנקודותΓ העקום
A (1, 0, 0) ; B (0, 0, 1) ; C (0, 1, 0)
.לפי סטוקס
˛
~ נחשב את
F~ · dr
Γ
→
−
∇ × F~ =
î
ĵ
k̂
∂
∂x
2
∂
∂y
2
∂
∂z
2
y
z
x
= (−2z, −2x, −2y)
: לכן.~n = (−1, −1, −1) עם נורמל,x + y + z = 1 להיות החלק המשולש של מישורS ניקח את
¨ ˛
→
−
~
~
∇ × F~ ds
F · dr =
S
Γ
=
¨
(−2z, −2x, −2y) · (−1, −1, −1) dxdy
D
=
2
¨
dxdy = 2 · ❆r❡❛ (D) = 1
D
2
2 דוגמה
.C 1 שדהF~ (x, y, z)
=
x
+
y
−
4,
3xy,
2xz
+
z
2
2
z =4−x −y
. משטחS = (x, y, z) ∈ R3
z≥0
¨ →
−
~
~
∇ × F · ds דרכים שונות את3נחשב ב־
.
S
→
−
∇ × F~
=
î
ĵ
k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x + y − 4 3xy
2xz + z 2
= (0, −2z, 3y − 1)
.(פתרון א חישוב ישיר של אינטגרל משטחי )לפי הגדרה
:( היא )למשלS ~ שלr (ρ, θ) הצגה פרמטרית
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
z = 4 − ρ2
;
0 ≤ θ ≤ 2π
0≤ρ≤2
:לכן
~n
= ~rρ′ × ~rθ′ =
=
î
cos θ
−ρ sin θ
2ρ2 cos θ, 2ρ2 sin θ, ρ
✶✷✺
ĵ
sin θ
ρ cos θ
k̂
−2ρ
0
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
41.2משפט סטוקס
41משפט סטוקס
ולכן:
0, 2ρ2 − 8, 3ρ sin θ − 1 · 2ρ2 cos θ, 2ρ2 sin θ, ρ dρdθ
=
ˆ2πˆ2
=
0
4ρ4 sin θ − 16ρ2 sin θ + 3ρ2 sin θ − ρ dρdθ
ρdρdθ = −4π
ˆ2πˆ2
0
ˆ2πˆ2
0
0
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
0
S
0
−
=
פתרון ב נשתמש במשפט גאוס.
תחילה נסגור את המשטח )כי גאוס מדבר על משטח סגור( ,תוך הוספת העיגול:
S1 = (x, y) | x2 + y 2 ≤ 4
נסגור את Sונקבל משטח סגור S ∪ S1עם נורמל כלפי חוץ.
˚
‹
→
−
→
→ −
−
= ~
∇ × F~ · ds
∇ · ∇ × F~ dxdydz = 0
|
{z
}
V
S∪S
1
~ ∈C 2
0 ∀F
מסקנה:
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
−
→
−
∇ × F~ · (0, 0, −1) dxdy
=
S1
¨
−
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
S
=
x2 +y 2 ≤4
¨
(3y − 1) dxdy
=
x2 +y 2 ≤4
(3r sin θ − 1) rdrdθ
−rdrdθ = −4π
ˆ2πˆ2
0
0
ˆ2πˆ2
0
=
=
0
הערה :אם Sסגור אז לכל F~ ∈ C 2מתקיים:
‹
→
−
~ =0
∇ × F~ · ds
S
לב לסימן .(±
ולכן )כמו בפתרון הנ"ל( ניתן להחליף את Sבכל S1עם אותה שפה )רק לשים ˛
~
ל־. F~ · dr
את אותה מסקנה ניתן להסיק מסטוקס .שניהם שווים ,עד כדי סימן,
Γ
✻✷✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
41.2משפט סטוקס
פתרון ג
41משפט סטוקס
נשתמש במשפט סטוקס.
˛
~
F~ · dr
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
=
S
Γ=∂S
Γהוא המעגל .x2 + y 2 = 4פרמטריזציתו:
; )(2 cos θ, 2 sin θ, 0
)(−2 sin θ, 2 cos θ, 0
=
=
) (2 cos θ + 2 sin θ − 4, 12 cos θ sin θ,
ˆ2π
sin2 θ + sin θ cos θ − 2 sin θ − 6 cos2 θ sin θ dθ
−4
=
)~r (θ
)~r′ (θ
~F
0 ≤ θ ≤ 2π
=
~
F~ · dr
0
1 − cos 2θ
dθ = −4π
2
ˆ2π
0
sin2 θdθ = −4
ˆ2π
0
−4
˛
Γ
=
41.2.3הוכחת המשפט
) F~ = (P, Q, Rשדה וקטורי .C 1נניח )הנחה מקלה( כי Sהוא גרף של פונקציה z = f (x, y) ∈ C 2עבור
.(x, y) ∈ D
נסמן Γ :־ שפת המשטח γ ,S־ שפת התחום ) Dהיטל Γעל מישור .(xy
איור :54המשטח Sוהתחום D
נוכיח בשלושה שלבים:
.1הרכיבים שתלויים ב־ Pבאגף ימין שווים לרכיבים שתלויים ב־ Pבאגף שמאל.
127
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
41.2משפט סטוקס
41משפט סטוקס
.2הרכיבים שתלויים ב־ Qבאגף ימין שווים לרכיבים שתלויים ב־ Qבאגף שמאל.
.3הרכיבים שתלויים ב־ Rבאגף ימין שווים לרכיבים שתלויים ב־ Rבאגף שמאל.
שלב ראשון ) :(Pנגדיר:
))P (x, y, f (x, y
=
0
=
)Pe (x, y
)e (x, y
Q
נתחיל מאגף שמאל של הנוסחה במשפט :
P (x (t) , y (t) , f (x (t) , y (t))) x′ (t) dt
ˆb
=
ˆb
=
˛
P (x, y, z) dx
a
Pe (x (t) , y (t)) x′ (t) dt
−Pey dxdy
(Py + Pz fy ) dxdy
Γ
a
¨
=
✮♥❡❡✭●r
D
¨
=
−
D
כעת נעבור לאגף ימין של המשפט:
(0, Pz , −Py ) · (−fx , −fy , 1) dxdy
¨
=
D
(Py + Pz fy ) dxdy
¨
−
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
S
=
D
וקיבלנו שהם שווים.
שלב שני ) :(Qשיקולים זהים ל־ .P
שלב שלישי ):(R
נתחיל מאגף ימין של הנוסחה במשפט:
(Ry , −Rx , 0) · (−fx , −fy , 1) dxdy
¨
(Rx fy − fx Ry ) dxdy
D
¨
=
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
S
=
D
נעבור לאגף שמאל של הנוסחה במשפט:
בהסתמך על:
))f (x (t) , y (t
=
)fx x′ (t) + fy y ′ (t
=
)z (t
′
)z (t
נקבל:
✽✷✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
R3 שדה משמר ב־42
˛
Rdz
=
ˆb
=
ˆb
R (x (t) , y (t) , f (x (t) , y (t))) z ′ (t) dt
a
Γ
a
(R (x (t) , y (t) , f (x (t) , y (t))) fx x′ (t) + R (· · · ) fy y ′ (t)) dt
:הפעם נסמן
Pe
e
Q
=
=
R (x (t) , y (t) , f (x (t) , y (t))) fx
=
R (x (t) , y (t) , f (x (t) , y (t))) fy
:ונקבל
ˆb a
=
✭●r❡❡♥✮
e (x (t) , y (t)) y ′ (t) dt
Pe (x (t) , y (t)) x′ (t) + Q
¨ D
Pey
ex
Q
e x − Pey dxdy
Q
=
(Ry + Rz fy ) fx + Rfxy
=
(Rx + Rz fx ) fy + Rfyx
e x ואתPey נחשב את
:Q
: נציב באינטגרל שקיבלנו למעלה ונקבל.fxy = fyx נקבל ש־f ∈ C 2 בהסתמך על כך ש־
¨ ¨
e
e
Qx − Py dxdy =
(Rx fy − fx Ry ) dxdy
D
D
R3 שדה משמר ב־42
: מימדים ראינו2ב־
: אז התנאים הבאים שקולים,D ⊆ R2 רציף ב־F~ = (P, Q) משפט
˛
~ = 0 .1
F~ · dr
.D סגור ב־Γ לכל
Γ
.B ל־A לא תלוי במסלול בין
ˆ
AB
129
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
~ .2
F~ · dr
lOMoARcPSD|23687637
42שדה משמר ב־ R3
−
→ = ~) Fואז )~ = φ (B) − φ (A
F~ · dr
∇φ .3
ˆ
(.
AB
.4אם בנוסף F~ ∈ C 1פשוט קשר אז מתקיים.Qx = Py :
תזכורת בזק של עיקרי ההוכחה
) :(3) ⇐ (2הגדרנו
P dx + Qdy
)(x,y
ˆ
= )φ (x, y
) (x0 ,y0
):(2) ⇐ (3
(φx x′ (t) + φy y ′ (t)) dt
ˆb
=
a
d
)(φ) dt = φ (B) − φ (A
dt
ˆb
ˆ
~
F~ · dr
AB
=
a
כדי להוכיח את השקילויות ל־) ,(4השתמשנו בגרין.
ובשלושה מימדים:
משפט ) F~ = (P, Q, Rרציף ב־ ,V ⊆ R3אז התנאים הבאים שקולים:
˛
~ = 0 .1
F~ · dr
לכל Γסגור ב־ .V
Γ
~ .2
F~ · dr
ˆ
לא תלוי במסלול בין Aל־.B
AB
−
→ = ~) Fואז )~ = φ (B) − φ (A
F~ · dr
∇φ .3
ˆ
(.
AB
.4אם בנוסף F~ ∈ C 1פשוט קשר אז מתקיים? :
→
−
→
−
→
−
→
−
הערה :אם F~ ∈ C 1משמר )כלומר (F~ = ∇φאז ) ∇ × F~ = 0כי מתקיים .( ∇ × ∇φ = 0
→
−
האם ההיפך נכון? האם F~ ⇐ ∇ × F~ = 0משמר?
עיקרי ההוכחה של השקילויות )(1) ⇔ (2) ⇔ (3
) :(3) ⇐ (2הגדרנו
P dx + Qdy + Rdz
)(x,y,z
ˆ
= )φ (x, y, z
) (x0 ,y0 ,z0
130
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
42שדה משמר ב־ R3
):(2) ⇐ (3
(φx x′ (t) + φy y ′ (t) + φz z ′ (t)) dt
ˆb
=
a
d
)(φ) dt = φ (B) − φ (A
dt
) :(4) ⇐ (3ראינו בהערה.
):(3) ⇐ (4
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
ˆb
AB
=
a
⋆
= ~
F~ · dr
S
~
F~ · dr
ˆ
˛
Γ
כאשר המעבר ⋆ מתאפשר לפי סטוקס ,אך זהו לא תנאי מספיק .צריך תנאי נוסף שיבטיח שקיים Sב־ Vכך
ש־ .Γ = ∂Sאם תנאי זה מתקיים ,קוראים ל־ Vתחום פשוט קשר.
→
−
לכן תנאי ) ,(4תחת התנאים המתאימים ,הוא. ∇ × F~ = 0 :
.1אם בנוסף F~ ∈ C 1פשוט קשר אז מתקיים:
131
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
42שדה משמר ב־ R3
42.1תחום פשוט קשר
42.1תחום פשוט קשר
42.1.1דוגמאות
איור :55דוגמאות
42.1.2הגדרה
תחום V ⊆ R3יקרא פשוט־קשר אם לכל עקום סגור ופשוט Γניתן לבנות משטח S ⊆ Vכך ש־.Γ = ∂S
הערה :עקום פשוט במרחב הוא עקום שלא חותך את עצמו ולא קשר.
איור :56דוגמה לקשר
✷✸✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
R3 שדה משמר ב־42
דוגמה לשימוש במשפט
42.2
דוגמה לשימוש במשפט42.2
F~ = (ayz + x, 2xz, bxy + z)
a, b ∈ R
→
−
: ∇ × F~ נחשב את.1
→
−
∇ × F~
î
ĵ
k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ayz + x
2xz
bxy + z
=
=
(bx − 2x, −by + ay, 2z − az)
?R3 משמר בכלF~ השדהa, b עבור אילו.2
a=b=2
⇔
→
−
∇ × F~ = 0
: נמצא פונקצית פוטנציאל.3
F~ = (2yz + x, 2xz, 2xy + z)
→
−
.F~ = ∇φ : כך שמתקייםφ (x, y, z) מחפשים
⇒
φ=
ˆ
φy
=
2xz
2xzdy = 2xzy + f (x, z)
φx
=
2yz + fx = 2yz + x
φ
=
2xyz +
φz
=
2xy + g ′ = 2xy + z
⇒
fx = x
⇒
g=
⇒
f=
x2
+ g (z)
2
x2
+ g (z)
2
z2
2
:ולכן
φ (x, y, z) = 2xyz +
x2
z2
+
2
2
הוא קטע המעגלC כאשר
ˆ
~ נחשב את.4
F~ · dr
C
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 1
, בגלל שהשדה משמר.( בכיוון המנוגד לכיוון השעון אם מסתכלים מלמעלה1, 0, 1) ( לנקודה0, 1, 1) מהנקודה
:נקבל
ˆ
~ = φ (1, 0, 1) − φ (0, 1, 1) = 1 − 1 = 1
F~ · dr
2
2
C
133
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
42שדה משמר ב־ R3
42.3משמעות הרוטור
42.3משמעות הרוטור
הגודל ~
F~ · dr
˛
נקרא הצירקולציה של ~ Fלאורך .Γ
Γ
איור :57מערבולות
איור :58צירקולציה
−
→ )תחת ההנחות המתאימות; ,C 1פשוט קשר וכו'( אז ~ = 0
F~ · dr
ראינו שאם ∇ × F~ = 0
˛
Γ
→
−
עם ∇ × F~ = 0נקרא חסר מערבולות.
✹✸✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
לכל Γסגור .שדה
lOMoARcPSD|23687637
43תוספות
הגדרה חלופית לרוטור
¨
→
−
~
∇ × F~ · ds
=
~
F~ · dr
˛
Γr
S
¨r
→
−
∇ × F~ · n̂ds
=
✮✳❢❡❞ ②❜✭
Sr
→
−
)∇ × F~ · n̂ (Q) · A (S
❡✭✐♥t❡r♠❡❞✐❛t
=
✮♠❡✈❛❧✉❡ t❤❡♦r
ולכן נקבל:
~
F~ · dr
Γr
) A (Sr
→
−
∇ × F~ · n̂ = lim
¸
r→0
→
−
הגדרה זו לא תלויה במערכת הצירים ובהיות .F~ ∈ C 1חושבים על ~ ∇ × Fכעל "צפיפות הצירקולציה" .הכיוון של
→
−
~ ∇ × Fנקרא ציר הערבול.
43תוספות
43.1הרחבה ־ שדה משמר
משפט יהי F~ ∈ C 1בתחום }) V ) V = R3 \ {(0, 0, zאינו פשוט קשר( ונניח .r♦t F~ = ~0
˛
אם קיים עקום סגור γהמקיף את ציר zכך ש־~ = 0
F~ · dr
אז ~ Fמשמר ב־ .V
γ
הוכחה :נסו לבד! רעיון ההוכחה דומה מאוד עבור }).D = R2 \ {(0, 0
הערה :אפשר לנסח עבור Vיותר כללי.
43.2משפט גאוס במישור
תזכורת ־ גאוס במרחב
~
F~ · ds
˚
‹
˚
→
~ −
= ∇ · F dxdydz
= (Px + Qy + Rz ) dxdydz
V
S=∂V
האינטגרל ~
F~ · ds
‹
V
הוא משטחי סוג ,2אך הוא מוגדר על־ידי משטחי סוג ראשון:
S=∂V
F~ · n̂ ds
הרחבה
‹
= ~
F~ · ds
S
‹
S=∂V
אם נגדיר עבור ) F~ (x, y) = (P, Qאת הדיברגנץ ע"י .❞✐✈ F~ = Px + Qy
F~ · n̂ dr
˛
= (Px + Qy ) dxdy
¨
D
Γ=∂D
כאשר נגדיר את ̂) nהנורמל לעקום( בתור הנורמל למשיק לעקום.
✺✸✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
~r
F~ = − 3 השדה43.3
r
תוספות43
:Γ פרמטריזציה של
~r (t) =
~r′ (t) =
~r′ · ~n =
~n (t)
|~n (t)|
=
=
⇒ n̂ (t)
=
(x (t) , y (t)) ;
(x′ (t) , y ′ (t))
0
a≤t≤b
(y ′ (t) , −x′ (t))
|~r′ (t)|
~n (t)
|~r′ (t)|
:הוכחת גאוס במישור
˛ Γ
F~ · n̂ dr
=
ˆb =
ˆb
a
a
(y ′ (t) , −x′ (t))
F~ (x (t) , y (t)) ·
|~r′ (t)|
|~r′ (t)| dt
(P (x (t) , y (t)) y ′ (t) − Q (x (t) , y (t)) x′ (t)) dt
: ונקבלJ~ = (−Q, P ) :נגדיר שדה חדש
=
✭●r❡❡♥✮
=
=
˛
~
J~ · dr
Γ
¨
D
¨
(Px − (−Qy )) dxdy
(Px + Qy ) dxdy
D
~r
F~ = − 3 השדה43.3
r
סימונים
~r
=
r
=
(x, y, z)
p
|~r| = x2 + y 2 + z 2
: מיוצג על ידי הביטויF~ , ברישום מלא,לכן
−xî − y ĵ − z k̂
F~ (x, y, z) =
3/2
(x2 + y 2 + z 2 )
136
Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il)
lOMoARcPSD|23687637
~r
43.3השדה F~ = − 3
r
43תוספות
הרחבה זה נקרא שדה מרכזי .למשל ,שדה הכובד )ללא הקבועים (G, M, mהוא שדה מרכזי.
1
כיוונו לראשית ,וגודלו . 2
r
ראינו:
→
−
F~ = ∇φ
כאשר:
1
r
=
1
z2
+
y2
x2
+
כלומר F~ ,משמר בכל }).R3 \ {(0, 0, 0
φ (x, y, z) = p
הרוטור של ~F
̂k
̂j
̂i
∂/∂z
∂/∂y
−y
r3
∂/∂x
−z
r3
→
−
= ~∇ × F
−x
r3
נחשב רק את הנגזרת הראשונה שצריך לחשב ,ומשיקולי סימטריה נסיק עבור השאר:
לכן:
3z 1
3yz
2y
p
= 5
4
2
2
2
r z x +y +z
r
=
∂r
∂y
· − (−z) · 3r2
r6
=
−z
r3
r♦t F~ = ~0
הדיברגנץ של ~F
−z
r3
∂
∂z
+
−y
r3
∂
∂y
+
−x
r3
∂
∂x
=
→
~ −
∇ ·F
נחשב רק את הנגזרת הראשונה שצריך לחשב ,ומשיקולי סימטריה נסיק עבור השאר:
−1 · r3 + x · 3r2 xr
∂ −x
3x2 − r2
=
=
∂x r3
r6
r5
ולכן:
❞✐✈ F~ = 0
מסקנות
❞✐✈ F~ = 0 .1ב־}) .R3 \ {(0, 0, 0כלומר ~ Fחסר מקורות.
r♦t F~ = ~0 .2ב־}) .R3 \ {(0, 0, 0כלומר ~ Fחסר מערבולות.
F~ .3משמר ב־}).R3 \ {(0, 0, 0
137
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
∂
∂y
lOMoARcPSD|23687637
~r
43.3השדה F~ = − 3
r
43תוספות
תרגיל נגדיר:
~r
F~α = − α
r
לאילו ערכי αנקבל כי F~αהוא:
❼ חסר מקורות?
❼ חסר מערבולות?
❼ משמר?
דוגמה
נחשב )עבור ~ Fהמדובר( את ~
F~ · ds
‹
כאשר Sספירת היחידה:
S
S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1
∈ ~ Fב־ ) Vהכדור ש־ Vשפתו(.
אסור להשתמש‚בגאוס .גאוס לא תקף כי / C 1
נראה שאכן Sאינו ,0כפי שהיה נותן גאוס אם היינו משתמשים בו.
נחשב ,אפוא ,לפי הגדרה:
פרמטריזציה של :S
0≤θ≤π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
;
)(cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ
=
)r (ϕ, θ
בדוגמאות קודמות חישבנו את ,~nוקיבלנו:
~n = − cos ϕ sin2 θ, − sin ϕ sin2 θ, − sin θ cos θ
ולכן:
F~ · ~n = − cos2 ϕ sin3 θ + sin2 ϕ sin3 θ + sin θ cos2 θ = sin θ
ולכן:
‹
ˆπ ˆ2π
~ = sin θdϕ dθ = 4π 6= 0
F~ · ds
0
0
S
138
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
איור :59הנגזרת מתאפסת
חלק
■■❳
חקירת פונקציות
44נקודות קיצון
הגדרה נאמר כי ) (x0 , y0היא נקודת מינימום )מקסימום( מקומי של ) f (x, yאם מתקיים )f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y
)≥( לכל ) (x, yבסביבה של ) .(x0 , y0
תזכורת במשתנה יחיד ,אם fגזירה אז תנאי הכרחי )אך לא מספיק( לכך ש־ x0תהיה קיצון)אקסטרמום( מקומי היה
) f ′ (x0 ) = 0משפט פרמה(.
הערה יתכן גם אוכף )כמו פרבולואיד היפרבולי ,למשל .(z = xy
בנוסף ,קיימת צורה נוספת הידועה בכינוי :אוכף קוף
משוואתו של אוכף קוף כזה היא למשל:
z = x3 − 3xy 2
44.0.1דוגמאות
.1ניקח .f (x, y) = x4 + y 4אין מקסימום (0, 0) ,מינימום גלובלי.
.2ניקח .f (x, y) = x4 − y 4אין מינימום ואין מקסימום.
44.0.2הערה חשובה
מרגע זה ואילך ,לכל אורך הדיון ,נניח קיום נ"ח.
✾✸✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
איור :60אוכף קוף
44.0.3משפט "פרמה בשני משתנים"
תנאי הכרחי לקיום קיצון מקומי בנקודה ) (x0 , y0הוא:
∂f
∂f
= ) (x0 , y0
) (x0 , y0
∂x
∂y
=0
הוכחה:
אם ל־ fיש מקסימום מקומי ב־) (x0 , y0אז נגדיר ) g (x) = f (x, y0ול־ gיש מקסימום מקומי ב־ .x0לפי
.0 = g ′ (x) = ∂f
פרמה )במשתנה יחיד( ) ∂x (x0 , y0
.0 = ∂f
באופן דומה ) ∂y (x0 , y0
הערה למעשה בכל כיוון ̂ uבו יש נ"ח ,מתקיים . ∂∂fû (x0 , y0 ) = 0
44.0.4תנאים מספיקים למציאת נקודת קיצון
כדי למצוא תנאים מספיקים ולמיין נקודות קיצון נעזר בטיילור.
נבדוק ,למשל ,את הנקודה ) .(0, 0לפי טיילור:
)xfx (0, 0) + yfy (0, 0
1 2
+
x fxx + 2xyfxy + y 2 fyy
!2
+ · · · + Rn
=
)f (x, y) − f (0, 0
אם )(0, 0חשודה באקסטרמום ,אז ,fx = fy = 0ולכן:
1 2
x fxx + 2xyfxy + y 2 fyy + · · · + Rn
!2
= )f (x, y) − f (0, 0
140
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
אם ) (0, 0מינימום ,אז f (x, y) − f (0, 0) ≥ 0לכל x, yבסביבה .ההיפך עבור מקסימום.
הגורמים ב־" · · ·" הם ממעלה 3ומעלה .אם נסתכל על x, yקרובים מאוד ל־) ,(0, 0נקבל כי אלו זניחים לעומת
היא
לא במסגרת קורס זה( 2.
הגורם הריבועי )לאמירה זו יש הוכחה אפסילונאוטית ,אך
1
!. 2
לכן נטען כי f (x, y) − f (0, 0) ≥ 0אם מתקיים x fxx + 2xyfxy + y 2 fyy ≥ 0
נסמן:
)fxx (0, 0
)fxy (0, 0) = fyx (0, 0
= A
= B
)fyy (0, 0
C
הביטוי x2 fxx + 2xyfxy + y 2 fyy
בסביבת ).(0, 0
נניח :A 6= 0
"
#
2
B2
C
B
2
A x+ y +y
− 2
A
A
A
"
2
#
2
CA
−
B
B
A x + y + y2
A
A2
1
!2
=
קרוי תבנית ריבועית .נרצה לדעת האם היא חיובית או שלילית לכל x, y
=
Ax2 + 2Bxy + Cy 2
=
.1אם ⇐ A > 0 ,AC − B 2 > 0מינימום.
.2אם ⇐ A < 0 ,AC − B 2 > 0מקסימום.
.3אם ⇐ AC − B 2 < 0על y = 0הביטוי חיובי ,ועל = 0
.4אם AC − B 2 = 0אז על = 0
כבר לא "זניח" ,ולכן אין מסקנה.
B
Ay
B
Ay
x +הביטוי שלילי⇐אוכף.
x +התבנית הריבועית מתאפסת .לכן הגורם "הזניח" )ממעלה 3ומעלה(
נניח :A = 0צורת התבנית היא .2Bxy + Cy 2
⇐ B = C = 0 .1אין מסקנה.
⇐ B 6= C = 0 .2התבנית היא מהצורה ,2Bxyכלומר אוכף.
⇐ 0 = B 6= C .3מתאפס על ,y = 0ולכן אין מסקנה.
i
2
2
−B
x
⇐ B 6= 0, C 6= 0 .4ניתן לכתוב את התבנית בצורה
C2
הערה
2
B
Cx
y+
h
⇐ Cאוכף.
נשים לב כי ארבעת המקרים האחרונים העליונים למעשה "נופלים" תחת ארבעת המקרים מעליהם:
.1אם B = C = 0אז זה למעשה נכלל בדיון על ,AC − B 2 = 0ולכן אין מסקנה.
.2אם B 6= C = 0אז ,AC − B 2 < 0כלומר אוכף.
.3אם B = 0, C 6= 0אז אין מסקנה )כי על y = 0נקבל .(AC − B 2 = 0
.4אם B 6= 0, C 6= 0אז )משום ש־ Aמתאפס( AC − B 2 < 0ואז נקבל אוכף.
141
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.1מבחן הנגזרת השניה
44.1מבחן הנגזרת השניה
משפט נניח f (x, y) ∈ C 2בסביבת ) (x0 , y0ונניח כי .fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
נסמן
) fxx (x0 , y0
=
A
) fxy (x0 , y0
) fyy (x0 , y0
=
=
B
C
אזי:
⇐ AC − B 2 > 0 .1יש קיצון מקומי:
)א( A > 0מינימום
)ב( A < 0מקסימום
⇐ AC − B 2 < 0 .2אין קיצון מקומי )אוכף(
⇐ AC − B 2 = 0 .3אין מסקנה.
44.1.1דוגמה
נחפש נקודות מינימום ומקסימום של .f (x, y) = x2 y + xy 2 − xy
נמצא נקודות חשודות:
y (2x + y − 1) = 0
x (x + 2y − 1) = 0
(
⇒
fx = 2xy + y 2 − y = 0
fy = x2 + 2xy − x = 0
(
פתרונות אפשריים:
1 1
,
3 3
(0, 0) , (1, 0) , (0, 1) ,
כעת ,נבדוק מינימום ומקסימום לפי מבחן הנגזרת השניה .נחשב תחילה את נ"ח מסדר :2
2y
=
fxx
2x + 2y − 1
2x
=
=
fxy
fyy
נבדוק אתת הנקודות החשודות:
fxx = 0, fxy = 1, fyy = 0 :(0, 0) .1כלומר ⇐ AC − B 2 = −1 < 0לא קיצון.
fxx = 2, fxy = 1, fyy = 0 :(1, 0) .2כלומר ⇐ AC − B 2 = −1 < 0לא קיצון.
:(0, 1) .3לא קיצון.
= 13 , fyy = 32 : 13 , 31 .4
fxx = 32 , fxyכלומר ⇐ A > 0, AC − B 2 > 0מינימום.
142
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44.1מבחן הנגזרת השניה
44נקודות קיצון
44.1.2הכללה עבור פונקציות עם יותר משתנים
עד כה התבוננו בתבנית הריבועית .נכתוב אותה באופן מעט שונה:
המטריצה
B
C
A
B
x
y
B
C
A
B
y
= Ax2 + 2Bxy + Cy 2
x
= Mהיא מטריצה סימטרית ,כלומר .M = M T
A B
אנחנו הסתכלנו על הסימנים של Aושל
B C
באופן כללי ,לתבנית ריבועית סימטרית ) (mij = mji
m11 m12 · · · m1n
x1
✳✳ x
✳✳
2
✳
m21
✳
✳✳
✳✳
✳✳
✳✳
✳
✳
✳
✳
xn
mn1 · · · · · · mnn
כדי לקבוע את חיוביות התבנית.
ב־ nמשתנים מתאימה מטריצה סימטרית:
xn
···
x2
x1
· · · m11 x21 + 2m12 x1 x2 +
n
n X
X
mij xi xj
=
=
=
i=1 j=1
השאלה היא מתי התבנית הנ"ל היא חיובית )ללא תלות ב־ ··· x1,2,שנציב(.
הגדרה ) Mסימטרית וממשית( נקראת חיובית לחלוטין אם ~xt M~x > 0לכל .~x
הערה :באנגלית ❡.♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t
הערה :יש כל מיני אפיונים ,למשל ערכים־עצמיים חיוביים.
הגדרה
מינור ראשי הוא מינור "שמאלי עליון" של מטריצה ,כלומר:
m11
m12
m22
m13
m23
m33
m11
m21
m12
m22
m32
m11
m21
m31
וכו'.
משפט )סילבסטר(
M .1חיובית לחלוטין ⇔ כל המינורים הראשיים חיוביים.
M .2שלילית לחלוטין ⇔ סימני המינוריים הראשיים מתחלפים ומתחילים מ־ ,−כלומר:
· · · −, +, −, +, −, +,
✸✹✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
t
~x M~x
lOMoARcPSD|23687637
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
המטריצה
fxy
fyy
fxx
fxy
44נקודות קיצון
,ובאופן כללי המטריצה:
∂2f
∂x1 ∂xn
✳
✳
✳
∂2f
∂2f
∂x2
1
✳
✳
✳
∂2f
∂xn ∂x1
···
✳
✳
✳
···
∂x2n
נקראת ההסיאן של fומסומנת ,H (f ) (~x) :או לעיתים )כאשר fברורה מההקשר( ).H (~x
→
−
הכללה של מבחן הנגזרת השניה תהי f ∈ C 2עם ∇f = ~0ב־ .~x0אזי:
.1אם ) H (~x0חיובית לחלוטין אז ל־ fיש מינימום ב־ .~x0
.2אם ) H (~x0שלילית לחלוטין אז ל־ fיש מקסימום ב־ .~x0
.3אם ל־) H (~x0יש ע"ע חיוביים וגם שליליים אז ~x0אוכף.
.4אם יש ע"ע 0ויתר הע"ע בעלי אותו סימן ־ לא יודעים.
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
אם מחפשים ערך מינימום או מקסימום של ) f (x, yבתחום ,Dיתכן שהוא מתקבל על .∂D
את העקום שמהווה את ∂Dנוכל לתאר ע"י פונקציה )בד"כ סתומה( .g (x, y) = 0
הבעיה :למצוא ) max f (x, yתחת האילוץ .g (x, y) = 0נקרא ל־ fפונקצית המטרה ,ול־ gפונקצית האילוץ.
דוגמאות
דוגמה 1
נמצא קיצון של f (x, y) = x2 + y 2עם האילוץ .x + y = 1
פתרון :נרשום y = 1 − xואז ) f (x, yעל האילוץ תהיה:
2
f (x, 1 − x) = x2 + (1 − x) = 2x2 − 2x + 1
4x − 2 = 0
1 1
1
,
= )x = ⇒ min f (x, y
2
2 2
=
=
)ψ (x
)ψ ′ (x
הערה :אם לא יודעים לכתוב את ) g (x, yכפונקציה מפורשת של ) y = y (xאז לא נוכל לפתור כך.
2
2
דוגמה ,f (x, y) = x2 + y 2 :2אילוץ . xa2 + yb2 = 1
)מחפשים נקודותעל האליפסה שמרחקן מהראשית מינימלי/מקסימלי(.
2
נרשום y 2 = b2 1 − xa2 :ונציב ב־):f (x, y
x2
1− 2
a
2
2
x +b
b2
b2
2x − 2x 2 = 2x 1 − 2
a
a
)0 ⇒ x = 0 ⇒ (0, b) , (0, −b
=
)ψ (x
′
=
)ψ (x
=
)ψ ′ (x
רגע! לא מצאנו את ) !(−a, 0) , (a, 0מצאנו רק נקודות xבהן ,ψ ′ (x) = 0לא בדקנו את קצוות הקטע ] [−a, aשבו
מוגבל .x
מסקנה :זהירות.
144
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
44נקודות קיצון
44.2.1שיטת כופלי לגרנז'
משפט )מנוסח עבור ) f (x, yעם אילוץ (1
תהי .f (x, y) ∈ C 1תהי ) (x0 , y0נקודת קיצון של fתחת האילוץ ,g (x, y) = 0כאשר גם g ∈ C 1ו־
→
−
. ∇g (x0 , y0 ) 6= 0
אזי קיים ) λכופל לגרנז'( כל שמתקיים:
→
−
∇ (f + λg) = ~0
הערות:
→
−
.1לפעמים מופיע ־ בנוסחה ,כלומר. ∇ (f − λg) = ~0 :
.2זה תנאי הכרחי בלבד.
→
−
∂f
. ∇f = ∂fהתנאי בנוסחה:
השיטה כזכור,
,
∂x ∂y
fx (x, y) + λgx (x, y) = 0
fy (x, y) + λgy (x, y) = 0
g (x, y) = 0
זוהי מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים) ,(x, y, λשפתרונה ייתן נקודות חשודות כקיצון.
דוגמה 1יהיו .a > b > c > 0מצאו את ערכי המינימום והמקסימום של f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2תחת האילוץ
2
2
2
. xa2 + yb2 + zc2 = 1
נפתור בשיטת כופלי לגרנז'.
פונקצית האילוץ:
y2
z2
x2
+ 2 + 2 −1
2
a
b
c
= )g (x, y, z
לכן מערכת המשוואות:
2x + λ 2x
a2 = 0
fx + λgx = 0
f + λg = 0
2y + λ 2y = 0
y
y
b2
⇒
fz + λgz = 0
2z + λ 2z
c2 = 0
x2
y2
z2
g (x, y, z) = 0
a 2 + b2 + c 2 − 1 = 0
2x 1 + aλ2 = 0
(0, 0, ±c) → min
2y 1 + λ = 0
b2
⇒
)⇒ (0, ±b, 0
λ
2z 1 + c2 = 0
(±a, 0, 0) → max
2
y2
x
z2
+
+
−
1
=
0
2
2
2
a
b
c
דוגמה 2נמצא קיצון של f (x, y) = x2 + y 2 − xy − x − yבתחום ,Dכאשר Dהוא התחום במישור xyהחסום
על־ידי הישר x + y = 3והצירים.
ראשית D ,סגור וחסום ,ולכן לפי ויירשטראס ,יש מינימום ומקסימום.
נפתור על־ידי:
.1מציאת קיצון בפנים של .D
✺✹✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
.2מציאת קיצון על )∂Dהפינות ושלושת קטעי הישר(.
בפנים :D
2x − y − 1 = 0
2y − x − 1 = 0
=
fx
=
fy
נפתור את המערכת ,ונקבל את הנקודה .(1, 1) ∈ D
על :∂Dנגדיר .g (x, y) = x + y − 3
fx + λgx = 2x − y − 1 + λ = 0
2x − y = 1 − λ
⇒
fy + λgy = 2y − x − 1 + λ = 0
2y − x = 1 − λ
g (x, y) = x + y − 3 = 0
x+y =3
3 3
,
⇒ ⇒ 2x − y = 2y − x ⇒ y = x
2 2
על ,x = 0נקבל:
1
2
0,
⇒ f (0, y) = y 2 − y
על ,y = 0נקבל )משיקולי סימטריה של :(f
ולסיום ,הפינות:
1
2, 0
)ψ (x
=
.
)(0, 0) , (0, 3) , (3, 0
3 3
2, 2
− 43
)(1, 1
1־
)(0, 3
6
0, 12
− 41
)(3, 0
6
1
2, 0
− 41
)(0, 0
0
)(x, y
)f (x, y
ולכן יש שתי נקודות מקסימום גלובלי (0, 3) ,ו־) ,(3, 0ונקודת מינימום גלובלי יחידה ).(1, 1
רעיון ההוכחה .g (x, y) = 0מהאילוץ ניתן להוציא את ) y (xכפונקציה סתומה.
מחפשים מינימום/מקסימום של )) f (x, y (xלכן:
∂f
∂f ′
·1+
y (x) = 0
∂x
∂y
fx
=−
fy
=
⇒0
))df (x, y (x
dx
)⇒ y ′ (x
מצד שני ,לפי משפט הפונקציות הסתומות:
gx
y ′ (x) = −
gy
נשווה ונקבל:
fx
fy
fy
=λ
gy
0
=
=
=
gx
gy
fx
⇒
gy
→
−
)⇒ ∇ (f + λg
146
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
∂g
הוכחה מלאה נניח (x0 , y0 ) 6= 0
∂y
לפי משפט הפונקציות הסתומות עבור ,gיש חילוץ גזיר ) .y = y (xלפי הנתון (x0 , y0 ) ,היא נקודת קיצון של
,fנניח מקסימום .לכן )) max f (x, y (xמתקבל ב־ .x0
.
) ❛t (x0 , y0
⇒ fx · 1 + fy · y ′ (x) = 0
לפי משפט הפונקציות הסתומות:
gx
gy
y ′ (x) = −
נציב את המשוואה השניה בראשונה ,ונקבל בנקודה ) :(x0 , y0
gx
=0
fx + fy −
gy
fy
נסמן
gy
λ = −ונקבל:
fy + λgy = 0
fx + λgx = 0
(
ובסך־הכל קיבלנו:
→
−
∇ (f + λg) = 0
דוגמה נמצא max x2 y 2 z 2כאשר .x2 + y 2 + z 2 = a2
נסמן f (x, y, z) = x2 y 2 z 2ו־ .g (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − a2
fx + λgx = 2xy 2 z 2 + λ2x = 0
f + λg = 2yx2 z 2 + λ2y = 0
y
y
fz + λgz = 2zx2 y 2 + λ2z = 0
g (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0
2x y 2 z 2 + λ = 0
2y x2 z 2 + λ = 0
2z x2 y 2 + λ = 0
2
x + y 2 + z 2 − a2 = 0
147
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
אם x = 0או y = 0או z = 0נקבל ,f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 = 0:וזה מינימום ולא מקסימום.
לכן ,נניח :x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0
−λ = y 2 z 2 = x2 z 2 = x2 y 2
כיוון שהמשתנים אינם ,0נוכל לצמצם ולהסיק:
x2 = y 2 = z 2
לפי האילוץ
a2
3
= x2 = y 2 = z 2
לכן:
3
מסקנה חביבה
3
a2
3
a2
3
= max f
≤ x2 y 2 z 2עבור .x2 + y 2 + z 2 = a2נציב ונקבל:
3
x2 + y 2 + z 2
3
x2 + y 2 + z 2
3
≤
2 2 2
x y z
≤
x2 y 2 z 2
p
3
נסמן ,A = x2 , B = y 2 , C = z 2ונקבל:
A+B+C
3
= ABC
√
3
וזהו מקרה פרטי של אי שיוויון הממוצעים.
44.2.2שיטת כופלי לגרנז' ־ הכללה
תהי ,f (x, y, z) ∈ C 1ותהי ) (x0 , y0 , z0נקודת קיצון של fבכפוף לאילוצים g (x, y, z) = 0ו־.h (x, y, z) = 0
→
→ −
−
נניח כי g, h ∈ C 1ו־ ∇g, ∇hב־) (x0 , y0 , z0בת"ל )באופן כללי ,עבור אילוצים g1 , g2 , · · · , gkצריך לדרוש
→
−
→
−
→
−
∇g1 , ∇g2 , · · · , ∇gkבת"ל ב־ .(~x0
אזי קיימים λ, µכך ש־
→
−
∇ (f + λg + µh) (x0 , y0 , z0 ) = ~0
148
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
דוגמה
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
f (x, y, z) = x + y + zפונקצית מטרה .נמצא נקודות קיצון בכפוף לאילוצים
x2 + y 2 − 2 = 0
x+z−1=0
=
)g (x, y, z
=
)h (x, y, z
)(2x, 2y, 0
=
)(1, 0, 1
=
→
−
∇g
→
−
∇h
→
→ −
−
∇g, ∇hבת"ל.
fx + λgx + µhx = 0
fy + λgy + µhy = 0
fz + λgz + µhz = 0
g (x, y, z) = 0
h (x, y, z) = 0
)1 + λ2x + µ = 0 (i
)(ii
1 + λ2y = 0
1+µ=0
)(iii
2
2
)x + y − 2 = 0 (iv
x + z − 1 = 0
)(v
.(λ
מ־) (iiiנקבל .µ = −1נציב ב־).2λx = 0 :(i
√
λ 6= 0כי זה סותר את ) (iiולכן .x = 0לפי ) (vנקבל z = 1ולפי )) y = ± 2 (ivלא צריך להמשיך למציאת
הנקודות הקריטיות הן:
√
0, 2, 1
√
0, − 2, 1
=
P1
=
P2
התחום שמכתיבים האילוצים הוא עקום חיתוך של גליל ומישור ולכן חסום וסגור ,ולכן לפי ויירשטראס fמקבלת
עליו מינימום ומקסימום כי היא רציפה.
על־ידי הצבת P1ו־ P2ב־ fמקבלים ש־
√
①❛♠ 2 + 1
= ) f (P1
√
♥✐♠ f (P2 ) = − 2 + 1
הערות
.1פענוח האילוצים ו/או החיתוך שלהם לא תמיד קל.
.2באופן כללי ,שיטת כופלי לגרנז' דורשת אילוץ .C 1
✾✹✶
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
דוגמה נמצא נקודות הכי קרובות/רחוקות ל/מהראשית על העקום הנוצר מחיתוך החרוט z 2 = x2 + y 2והמישור
.x + y − z = −2
נגדיר את פונקצית המטרה .f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
האילוצים.h (x, y, z) = x + y − z + 2 ,g (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 = :
נשים לב כי:
→
−
)∇g = (2x, 2y, −2z
→
−
)∇h = (1, 1, −1
תלוים לינארית עבור .x = y = zנקודה מהצורה ) (x, x, xמקיימת g = 0אמ"מ x = 0ואז היא לא מקיימת
.h = 0
2x + λ2x + µ = 0
2y + λ2y + µ = 0
2z − λ2z − µ = 0
x2 + y 2 − z 2 = 0
x + y − z + 2 = 0
)(i
)(ii
)(iii
)(iv
)(v
ממשוואות ) (i) , (iiנקבל:
=
=
W
2y + λ2y
0
x=y
2x + λ2x
)2 (1 + λ) (x − y
λ = −1
אם ,λ = −1לפי ) ,µ = 0 (iלפי ) ,z = 0 (iiiולפי ) ,x = y = 0 (ivאבל ) (0, 0, 0לא מקיימת את ).(iv
אם x = yלפי ) (ivו־):(v
(
2x2 − z = 0
2x − z + 2 = 0 ⇒ z = 2x + 2
2
2x2 − (2x + 2) = 0
2x2 + 8x + 4 = 0
√
x1,2 = −2 ± 2
נקודות חשודות:
√
2, −2 + 2 2
√
√
√
−2 − 2, −2 − 2, −2 − 2 2
√
2, −2 +
√
−2 +
=
P1
=
P2
√ 2
√ 2
√ 2
√
2 + −2 + 2 + −2 + 2 2 = 24 − 16 2
√ 2
√ 2
√
√ 2
−2 − 2 + −2 − 2 + −2 − 2 2 = 24 + 16 2
−2 +
150
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il
=
) f (P1
=
) f (P2
lOMoARcPSD|23687637
44נקודות קיצון
44.2אקסטרמום תחת אילוצים
קיבלנו ) ,f (P1 ) < f (P2ולכן P2מקסימום ו־ P1מינימום.
אבל זה לא נכון! אז למה ההצבה לא עבדה?
ניסינו להסתמך בעקיפין על ויירשטראס ,שקובע שאם התחום הוא סגור וחסום ,אז הפונקציה מקבלת מינימום
ומקסימום בתחום .אבל ,בעצם ,תנאי המשפט לא מתקיימים.
האילוצים הם חיתוך כלשהו של חרוט עם מישור .אם חתך החרוט הוא פרבולה או היפרבולה ,אז אין נקודה
שמרחקה מהראשית מקסימלי .נשים לב של־ P1יש רכיב zחיובי ול־ P2יש רכיב zשלילי .לפיכך ,מדובר בהיפרבולה,
שהיא עקום לא סגור ולא חסום ,ולכן אי אפשר להניח מראש שמתקבלים גם מינימום וגם מקסימום לפונקציה.
לסיכום P1 ,היא באמת הנקודה שמרחקה מהראשית מינימלי ,ו־ P2היא מינימום מקומי )ובוודאי לא מקסימום(.
151
)Downloaded by Shiri Simons (shiri.simons@mail.huji.ac.il