4. ANALISI DELLO STATO DI TENSIONE E DEFORMAZIONE
4.1 Analisi dello stato di tensione
Classificazione delle forze:
1) Forze attrattive (esercitate a distanza).
Es. forze gravitazionali, Forze elettriche
2) Forze di contatto esterne.
Es. contatto tra corpi, spinte idrauliche. Sono azioni locali per definizione
3) Forze di contatto interne.
Vengono esercitate tra le varie parti del corpo (attraverso il materiale)
La caratterizzazione di 3) ha richiesto molti anni, dovuto soprattutto all’opera di
Eulero (1707-1783) e Cauchy (1789-1857)
4.1
1) Assioma di Eulero:
L’azione esercitata su una parte di un corpo dalla restante parte è completamente descritta da
forze di contatto.
Osservazione: equivale a dire che si trascurano le forze attrattive
2) Principio di Cauchy (della tensione)
Le forze di contatto sono riconducibili a forze per unità di superficie, rappresentabili con un
vettore ⃗ (vettore tensione) che dipende dal punto della superficie e dalla normale ⃗ alla
superficie in tale punto.
Ci sono varie conseguenze da questo assioma/principio.
4.2
A)
Consideriamo
due
sottocorpi,
con
superfici di taglio tangenti in P, e
quindi con la stessa normale ⃗.
Le forze di contatto in P sono le
stesse per i due sottocorpi.
B) Le azioni di contatto sono forze per unità di superficie. Non ci sono microcoppie.
Ci sono modelli più sofisticati, come i continui di Cosserat, che le contemplano.
4.3
Consideriamo un sottocorpo ed un intorno del punto P sulla superficie di taglio di normale ⃗,
versore dell’asse Non ci sono microcoppie per il principio di
Cauchy.
La risultante delle forze che agiscono sull’areola
= nell’intorno di P, puo’ essere
scomposta nelle tre componenti ,
,
.
Osservazione: il 1º indice delle componenti indica che sto considerando una faccia normale
all’asse , il 2º indice la direzione della componente
Faccio il limite per ΔA → 0 e definisco:
= lim→
= lim→
= lim→
:
tensione normale.
, : tensioni tangenziali.
Agisce ortogonalmente alla superficie di taglio.
Agiscono parallelamente alla superficie di taglio.
4.4
Analogamente, considerando superficie di taglio di normale "⃗ posso definire le tensioni:
= lim→
= lim→
= lim→
= 4.5
Stessa cosa per superfici di normale #⃗ . Definisco
= lim→ = lim→
= lim→
= 4.6
Consideriamo un sottocorpo “schiacciato”, a forma di “lastra”.
Supponiamo che le facce più grandi abbiano normale ⃗.
Supponiamo che:
Facendo tendere a zero , , , le aree e risulteranno essere infinitesimi di
ordine superiore rispetto a Δy Δz. Pertanto la risultante delle pressioni di contatto che agisce su
e può essere trascurata, nel limite, rispetto a quella che agisce su .
4.7
Siano ,
,
,
le componenti della risultante della forza di contatto che agisce sull’area
di normale esterna -i.
Dagli equilibri alla traslazione si ha:
↑+
Δ
⋰ +
Δ
→
+
Δ
Δ +
Δ +
Δ +
( Δ
( Δ
( Δ
Δ =0 
Δ =0 
Δ =0 
= −
= −
= −
(
(
(
Analogamente, considerando “lastre” ortogonali agli assi y e z, posso dimostrare che
= −
= −
(
(
,
= −
(
= −
= −
(
(
,
= −
(
A parole, le azioni che agiscono su due facce parallele adiacenti, ma di normale opposta, sono
anch’esse opposte.
Facendo il limite per ΔAo0, posso quindi passare alle tensioni.
4.8
Se considero un parallelepipedo infinitesimo di lati Δx, Δy e Δz, le componenti di tensione sulle 6
facce sono come rappresentato in figura:
Sulle facce di normali −⃗, −"⃗ e −#⃗, le
tensioni sono opposte a quelle sulle facce di
normale ⃗, "⃗, #⃗, rispettivamente
4.9
Stati piani di tensione
Le componenti di tensione ortogonali al piano
sono nulle.
Esempio:
= = = 0
Se ne può dare una conveniente rappresentazione nel piano
Le tensioni che agiscono sulle facce di
normale
−⃗
e
−"⃗ , sono opposte a
quelle che agiscono sulle facce di
normale ⃗ e "⃗
4.10
In generale le tensioni varieranno da punto a punto, ovvero:
= (, ), = (, ), = (, ), = (, )
Consideriamo un
parallelepipedo elementare di
lati , , .
Sviluppando in serie di Taylor ottengo
( + Δ, ) = (, ) +
./ (,)
( + Δ, ) = (, ) +
.
Δ + 0(Δ)
.1 (,)
.
Δ + 0(Δ)
( + Δ, ) = (, ) +
./ (,)
(, + Δ ) = (, ) +
.
Δ + 0(Δ )
2 (, )
Δ + 0(Δ )
2
4.11
Scriviamo l’equilibrio alla rotazione intorno ad un asse parallelo a z e passante per il centro C
della faccia 34 (, ) +
− 34 (, ) +
.1 (,)
.
.1 (,)
.
Δ5 Δ Δ + (, )Δ Δ 6
Δ 5 ΔΔ + (, )ΔΔ 6
7
7
+
=0
Facendo tendere a zero , , , e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al 3°, ottengo
− = 0
Reciprocità delle tensioni tangenziali
Scriviamo l’equazione alla traslazione lungo l’asse x.
3− + 4 +
./(,)
.
Δ56 Δ Δ + 3− + 4 +
.1
.
Δ 56 ΔΔ = 0 
Scriviamo l’equilibrio alla traslazione lungo l’asse y
3− + 4 +
./ (,)
.
Δ 56 ΔΔ + 3− + 4 +
.1
.
Δ56 Δ Δ = 0 
./
+
.1
=0
.1
+
./
=0
.
.
.
.
4.12
Ricapitolando:
Le equazioni di equilibrio a cui devono soddisfare le componenti di tensione sono
./
.
+
.1
.
= 0,
.1
.
= +
./
.
=0
Equilibri alla traslazione
Equilibrio alla rotazione
4.13
Teorema di Cauchy
Componenti di tensione
Consideriamo un elemento in stato piano di sforzo a forma di prisma triangolare
8 Δ ;;;;;
9: − ΔyΔ cos ? − Δ Δ sin ? − ΔΔ cos ? − Δ Δ sin ? = 0
 8 = cos 7 ? + 2 sin ? cos ? + sin7 ?
4.14
88 Δ ;;;;;
9: + ΔyΔ sin ? − ΔyΔ cos ? + ΔxΔ sin ? − Δ Δ cos ? = 0
 88 = − sin ? cos ? + Bcos2 ? − sin2 ?C + sin ? cos ? =
Rappresentazione di Mohr
Ponendo: sin ? cos ? =
Ottengo:
DEF 7G
7
,
cos 7 ? =
HIcos 2?
7
,
sin7 ? =
/ (/
7
sin 2? + cos 2?
H(cos 2?
7
+ − +
cos 2? + sin 2?
⎧8 =
2
2
⎪
+ − 8 =
−
cos 2? − sin 2?N
2
2
⎨
− ⎪
sin 2? + cos 2?
⎩ 88 = −
2
4.15
Circonferenza di Mohr
Viene disegnata nel piano (, ).
Ha come diametro i punti X=( , − ), Y=( , )
O≡4
/ I/
7
, 05 ,
/ (/ 7
Q = R4
7
7
5 + Se ruoto il diametro XY di 2θ attorno al centro,
ottengo il diametro X’Y’
Si ha che X’=( 8 , −′ 88 ), Y’=( 8 , 88 )
4.16
Le quantità 8 , 8 , 88 sono le componenti di tensione sull’elemento materiale ruotato di θ.
Osservazione: il diametro deve ruotare dell’angolo doppio rispetto all’elemento.
Tracciamento pratico del cerchio di Mohr.
Convenzione sui segni
> 0 se di trazione
> 0 se produce rotazione oraria rispetto alla
materia
Punto X: rappresentazione dello stato di tensione con segno sula faccia di normale X
Punto Y: stato di tensione con segno sulla faccia di normale Y
Punto X’(Y’): stato di tensione con segno sulla faccia di normale X’(Y’).
4.17
Esempio
U = (19WX, −29WX) , Y = (39WX, +29WX)
U = (19WX, +39WX) , Y = (−29WX, −39WX)
(X,Y) è un diametro della circonferenza di Mohr. Il centro e il raggio si trovano graficamente.
Ruotando il diametro XY di 2θ, ottengo il diametro X’Y’, rappresentativo dello stato di tensione
sull’elemento ruotato di θ.
4.18
Esempio
Trovare lo stato di tensione sull’elemento definito da:
quando viene ruotato di
[
S
.
U = (2, −4)9WX , Y = (−4, 4)9WX
O = (−1, 0)9WX , Q = √37 + 47 = 5 9WX
tan 2a = , sin 2a = , cos 2a =
[
[
b
c
U 8 = ( 8 , 8 )
b
c
d
8 = 3−1 + Q cos( − 2a) 6 9WX = (−1 + 5 sin 2a)9WX =
2
= 4−1 + 5 ⋅ 5 9WX = 3 9WX
[
c
8 = Q sin( 7 − 2a) = (5 cos 2a )9WX = 5 ⋅ c 9WX = 39WX
f
b
4.
Y 8 = ( 8 ′, 88 )
88 = 3−1 − Q cos( 7 − 2a) 6 9WX = 4−1 − 5 ⋅ c5 9WX = −59WX
f
88 = − 8 = −39WX
[
Esistono due direzioni privilegiate che corrispondono al caso in cui il diametro della
circonferenza di Mohr risulta orizzontale
Tra tutte le possibili orientazioni, le direzioni
X* e Y* sono le uniche per le quali:
- La tensione normale e’ massima o minima
- La tensione tangenziale e’ nulla
Tali direzioni sono le DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE e le corrispondenti tensioni sono le
TENSIONI PRINCIPALI
4.20
Consideriamo un generico stato di tensione
O≡4
/ I/
7
, 05 ,
/ (/ 7
Q = R4
7
7
5 + 71
tan 2? ∗ = /
(/
∗
∗
=
=
/ I/
7
/ I/
7
/ (/ 7
+ R4
7
7
5 + / (/ 7
− R4
7
7
5 + 4.21
Per uno stato di sforzo generico caratterizzato da tutte e 6 le componenti del tensore degli sforzi,
, , , = , = , = E’ possibile dimostrare che esiste almeno una terna di direzioni principali, mutuamente
ortogonali tra loro, per le quali:
• le tensioni tangenziali sono nulle
• le tensioni normali attingono dei valori estremi (massimi e minimi)
Rispetto a tali direzioni lo stato di tensione e’ caratterizzato solo dalle tre componenti principali di
tensione che indichiamo con H , 7 , b

4.22
La rappresentazione completa si ottiene tracciando tre circonferenze di Mohr aventi diametri i
cui estremi sono posti alle ascisse: H ÷ 7 , H ÷ b , 7 ÷ b
La regione compresa tra la circonferenza esterna e le due circonferenze interne viene chiamata
ARBELO di Mohr
4.23
Consideriamo uno stato di tensione generico.
Prendiamo la faccia di normale ′′ e definiamo le componenti di tensione:
= 88
= R7ii ii + 7ii ii
rappresenta la tensione tangenziale risultante (complessiva) sulla
faccia
Si può dimostrare che il punto di coordinate (, ) nel piano di Mohr appartiene sempre alla
regione definita dall’arbelo di Mohr
In conclusione:
• Ogni stato di tensione e’ rappresentabile con 3 circonferenze di Mohr
• Comunque si prenda la giacitura della faccia che sto considerando, il
punto rappresentato dalla tensione normale e dalla risultante delle
tensioni tangenziali, (, ), appartiene all’arbelo di Mohr
4.24
4.2 Analisi dello stato di deformazione
Definiamo le traslazioni e rotazioni rigide: sono moti che non cambiano le distanze relative tra
due punti qualsiasi del corpo
⃗
Vettore spostamento: jk
⃗ = k ⃗ + l "⃗ + m #
Consideriamo ad esempio una circonferenza
disegnata su una lastra di un materiale deformabile.
Dopo la deformazione della lastra la circonferenza si
e’ trasformata in un’altra figura
E’ possibile osservare che:
• Cambiano le lunghezze dei segmenti
• Cambiano gli angoli tra i segmenti
La misura di questi cambiamenti tra lo stato in deformato e quello deformato e’ fornita dalle
componenti di deformazione o componenti di strain.
• In particolare, i cambiamenti di lunghezza sono identificati dalle componenti normali di
deformazione o DILATAZIONI
• I cambiamenti di angolo sono descritti dalle componenti tangenziali di deformazione, o
SCORRIMENTI ANGOLARI
4.25
Componenti normali di deformazione: n , n , n
Proviamo ad interpretarne il significato geometrico
Consideriamo una fibra di lunghezza Δ posta lungo la direzione del sistema di riferimento.
Dopo la deformazione questa fibra ipotizziamo abbia lunghezza Δ 8 .
Si definisce:
(allungamento
per
unita’
di
allungamento specifico in direzione x)
lunghezza
Analogamente introduciamo Δ e Δ 8 , Δ e Δ
o
8
Si definiscono:
(allungamenti per unita’ di lunghezza o allungamenti
specifici in direzione y e z)
n = lim →
i (
n = lim →
i (
n = lim →
i (
4.26
Componenti tangenziali di deformazione: o , o , o
Consideriamo due fibre ortogonali tra loro, Δ, Δ inizialmente parallele agli assi cartesiani ed
. Dopo la deformazione le due fibre, in un caso generico, formeranno un angolo p .
Si definisce:
E in modo analogo definiamo
o = lim → 4 7 − p 5
→
f
o = lim → 4 − p 5
→
f
7
o = lim → 4 7 − p 5
→
f
Nel caso di deformazione piana esiste un sistema di riferimento rispetto al quale
n = o = o = 0
(e’ analogo al caso dello stato di tensione piana per lo stato tensionale)
4.27
Si consideri un caso piano come rappresentato in figura.
Le fibre OC ed OE, hanno inizialmente lunghezza Δ, Δ
Per effetto della deformazione:
O  O’
C  C’
D  D’
E  E’
Lo spostamento del generico punto (, ) e’ dato da: jk
⃗(, ) = k(, ) ⃗ + l(, ) "⃗
Indichiamo con una virgola l’operazione di
derivazione rispetto ad una generica coordinata
seguita dal simbolo della coordinata stessa:
.q(,)
.
= k,
,
.q(,)
.
= k,
4.
Per definizione
n = lim →
ri si ( rs
n = lim →
ri yi ( ry
rs
ry
w
=
=
RtIx, Iu()v Itq, Iu()v (
7
= R1 + 2k, + k,
+ l,7 − 1
w
→
w
7
= R1 + 2l, + l,7 + k,
−1
o = lim → 4 7 − p 5 =
f
w
RtIq, Iu()v Itx, Iu()v (
= lim → z − { − atan
f
→ 7
= atan
x,
HIq,
f
7
+ atan
q,
=
=
x, Iu()
Iq, Iu()
− atan
q, Iu()
|} =
Ix, Iu( )
HIx,
Le espressioni ottenute sono complicate ma si possono semplificare notevolmente facendo
l’ipotesi che le deformazioni siano piccole (ipotesi di PICCOLE DEFORMAZIONI)
4.29
Consideriamo come quantità infinitesime i gradienti di spostamento, ovvero:
k, ≪ 1, k, ≪ 1, l, ≪ 1, l, ≪ 1
Ricordando le espansioni in serie di Taylor della radice quadrata di una quantità di valore circa
unitario: 1 + € = 1 + € + 0(€)
H
Inoltre:
H
HI
7
= 1 − € + 0(€),
atan € = € + 0(€) (qui € e’ un angolo espresso in radianti)
Le espressioni precedenti diventano:
7
n = R1 + 2k, + k,
+ l,7 − 1 ≅ 1 + k, − 1 = k,
7
n = R1 + 2l, + l,7 + k,
− 1 ≅ 1 + l, − 1 = l,
o = atan
x,
HIq,
+ atan
q,
HIx,
≅
x,
HIq,
+
q,
HIx,
≅ l, B1 − k, C + k, B1 − l, C ≅ l, + k,
4.30
Quindi si può scrivere nel caso di piccoli spostamenti:
n = k,
n = l,
o = l, + k,
Vediamo cosa accade se consideriamo due fibre
inizialmente orientate secondo due direzioni ( 8 ,
jk
⃗(′, ′) = k′(′, ′) ⃗8 + l′(′, ′) "′⃗
8
) generiche
Ragionando come in precedenza:
n8 = k′,8
n8 = l′,8
o88 = l′,8 + k′,8
4.
Essendo
= 8 cos a −
= 8 sin a +
8
8
sin a
cos a
,8 = cos a
,8
= sin a
k′ = k cos a + l sin a
l 8 = −k sin a + l cos a
Quindi:
8
8
n i = k8 , i = k,
,8 + k,
,8
= (k cos a + l sin a ), cos a + (k cos a + l sin a ), sin a =
= k, cos 7 a + l, sin7 a + Bl, + k, C sin a cos a =
= n cos 7 a + n sin7 a + o sin a cos a
Analogamente:
n i = l 8 , i = l,8 ,8 + l,8
ƒii
7
=
qi ,i Ix i ,i
7
=
,8
= n sin7 a + n cos 7 a − o sin a cos a
i Iqi 5I4x i Ix i 5
4q,
, ,i
, ,i
, ,i
,i
= (n − n ) sin a cos a +
ƒ
7
7
=
(cos 7 a − sin7 a)
4.32
Le formule ottenute sono identiche a quelle di trasformazione delle tensioni,
8 = cos 7 ? + 2 sin ? cos ? + sin7 ?,
88 = − sin ? cos ? + Bcos2 ? − sin2 ?C + sin ? cos ?
ovviamente con le opportune sostituzioni,
→ n ,
→ n ,
→
Ora, sostituendo: cos 7 a =
‡ I‡
‡ (‡
ƒ
7
HI„ D 7†
7
, sin7 a =
ƒ
⎧n i = 7 + 7 cos 2a + 7 sin 2a
⎪
‡ I‡
‡ (‡
ƒ
n i =
−
cos 2a −
sin 2a N
7
7
7
⎨ƒ
‡
(‡
ƒ
⎪ ii = − sin 2a + cos 2a
⎩ 7
7
7
H(„ D 7†
7
,
sin a cos a =
DEF 7†
7
4.33
Rappresentazione grafica di Mohr per le deformazioni
n > 0 se la fibra si allunga
Convenzione sui segni:
o > 0 se la rotazione e’ oraria rispetto all’altra fibra
________________________________________
Consideriamo i punti:
U ≡ 4n , 5 , n strain della fibra // x
2
o
o scorrimento angolare (con segno) della fibra // x
Y ≡ 4n , 5 , n strain della fibra // y
2
o
o scorrimento angolare (con segno) della fibra // y
Il cerchio di Mohr delle deformazioni e’ quello che ha per diametro i punti X,Y.
Le componenti di strain per la fibre 8 ,
8
, ruotate di a rispetto ad , , si ottengono ruotando il diametro XY di
un angolo 2a (angolo doppio) nello stesso verso, in modo da ottenere il diametro U 8 , Y′.
4.34
Esempio
Sia lo stato deformazione definito dalle componenti: n = −200 ⋅ 10(ˆ , n = 1000 ⋅ 10(ˆ , o = 900 ⋅ 10(ˆ
Determinare le componenti di
deformazione per le fibre 8 ,
ruotate di
f
ˆ
8
in senso orario
p = 7 − o , o > 0  p Š
f
U ≡ (−200, −
900
2
) ⋅ 10−6 ,
o Š 0 per fibra x
f
7
Y ≡ (1000, +
900
2
) ⋅ 10−6
o > 0 per fibra y
4.
Centro del cerchio: O ≡ (400, 0 ) ⋅ 10−6
Raggio: Q = 10−6 √6007 + 4507 = 750 ⋅ 10−6
2? ∗ = atan ˆ = 36.8° , 2a ∗ = 60° − 36.8° = 23.2°
[c
U′ ≡ (n i , 7 )
ƒ8
n i = (400 − 750 cos 2a ∗ ) ⋅ 10(ˆ = −290 ⋅ 10(ˆ
ƒ8
7
= 750 sin 2a ∗ = 295 ⋅ 10(ˆ  o 8 = o88 = 590 ⋅ 10(ˆ
ni = (400 + 750 cos 2a ∗ ) ⋅ 10(ˆ = 1090 ⋅ 10(ˆ
U ≡ 4n , −
In generale:
o
o
5 , Y ≡ 4n , + 2 5, o88 Š 0  p88 >
2
7
f
Anche in questo caso si può dimostrare l’esistenza di due direzioni,
le DIREZIONI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE, tali che:
• I corrispondenti scorrimenti angolari sono nulli
• Le dilatazioni corrispondenti (DILATAZIONI PRINCIPALI) sono massime e minime
4.
In 3 dimensioni:
⃗
jk
⃗ = k(, , ) ⃗ + l(, , ) "⃗ + m(, , ) #
Si avrà:
n = k, , n = l, , n = m,
vettore spostamento
o = l, + k, ,
o = l, + m, ,
o = l, + m,
Anche in questo caso si può dimostrare l’esistenza di tre direzioni principali di deformazione ∗ ,
corrispondenti dilatazioni principali, n ∗ , n ∗ , n ∗
∗
,
∗
e delle
Graficamente si costruisce la rappresentazione
con 3 circonferenze di Mohr.
Il punto rappresentativo delle dilatazioni e dello
scorrimento angolare di una qualsiasi fibra si
trova sempre all’interno dell’arbelo di Mohr
4.37
Rosetta estensimetrica
Per caratterizzare compiutamente lo stato di deformazione di una regione piana (teoricamente puntiforme) di
un corpo, sono sufficienti i 3 parametri n , n , o .
Dovrò quindi eseguire tre misure indipendenti.
Un estensimetro e’ uno strumento che consente di misurare la dilatazione in una direzione.
Una rosetta estensimetrica e’ composta da 3 estensimetri opportunamente disposti nel piano.
Rosette rettangolari – i tre estensimetri sono disposti a 45 º.
Siano nH , n7 , nb le tre letture effettuate.
Si ha: nH = n ,
n7 = n ,
 o = 2nb − (nH + n7 )
nb = n + Q cos 2‘ =
‡ I‡
7
+
cos 2‘ =
ƒ /7
“
ƒ
7
Graficamente
La costruzione si effettua notando che CX, CX’ e CY’ sono
raggi del cerchio di Mohr, quindi X’H=CK.
4.38
Le rosette possono anche essere costruite con tre estensimetri posti a 60º l’uno dall’altro
Siano nH , n7 , nb le tre letture effettuate.
Si ha: nH = n ,
n7 =
‡
[
o =
nb =
+ [ n − o
b
7√b
b
(nb − n7 )
‡
√b
,
[
[
+ [ n + o
b
√b
,
[
nb − n7 = o
√b
7

n = 4nb − n − √3 o = 4nb − nH − 2(nb − n7 ) = −nH + 2n7 + 2nb
4.39