1. La columna del tanque de agua que se muestra en la figura tiene 300 pies de
altura y es de concreto reforzado con una sección transversal tubular de 8 pies
de diámetro interno y de 10 pies de diámetro externo. El tanque pesa 6 x 10 5 lb
cuando está lleno de agua. Ignorando la masa de la columna y suponiendo el
módulo de Young del concreto reforzado como 4 x 10 6 lb/pulg2, determine lo
siguiente:
a. La frecuencia natural y el periodo natural de la vibración transversal del
tanque de agua.
b. La respuesta de vibración del tanque de agua debido a un desplazamiento
transversal inicial de 10 pulg.
c. Los valores máximos de la velocidad y aceleración experimentadas por el
tanque de agua.
a) La rigidez de la viga (columna del tanque) está dada por
P 3 EI
k= = 3
δ
l
I=
π
( d o4 −d i 4 )= π ( 1204 −96 4 )=600.9554∗10 4 pulg 4
64
64
3(4∗10 6)(600.9554∗10 4)
k=
=1545.6672 lb / pulg
3600 3
Wn=
Tn=
k
1545.6672∗386.4
=
=0.9977 rad /s
m
6∗105
√ √
2π
2π
=
=6.2977 sec
Wn 0.9977
b) Utilizando el desplazamiento inicial de X0 = 10 plg y la velocidad inicial
del tanque de agua como cero, la respuesta armónica del tanque de
agua puede expresarse como:
X ( t )= Ao sen(Wnt+ φo)
2 1
2
Ẋo
Ao= X o +
Wn
[ ( )]
2
=Xo=10 plg
π
=
( XoWn
0 ) 2
π
X ( t )=10 sen ( 0.9977 t + ) =10 cos 0.9977 t pulg
2
φo=tan −1
c) La velocidad del tanque de agua se determina diferenciando la ecuación
como:
(
Ẋ ( t )=10 ( 0.9977 ) cos 0.9977 t +
π
2
)
Ẋmax = AoWn=10 ( 0.9977 )=9.977 pulg /s
La aceleración del tanque de agua se determina diferenciando la ecuación
como:
(
Ẍ ( t )=−10 ( 0.9977 )2 sen 0.9977 t +
2
2
π
2
)
2
Ẍ max= AoW n =10 ( 0.9977 ) =9.954 pulg / s
2. El cubo de un camión de bomberos se encuentra en el extremo de una
pluma telescópica, como se muestra en la figura. El cubo, junto con el
bombero, pesa 2000 N. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cubo
en la dirección vertical.
Datos: Módulo de Young del material: E = 2.1 x 1011 N/m2; longitudes: l1 = l2 =
l3 = 3 m; áreas de sección transversal: A1 = 20 cm2, A2 = 10 cm2; A3 = 5 cm2.
Para determinar la frecuencia natural de vibración del sistema, encontramos la
rigidez equivalente de la pluma en la dirección vertical.
Como la fuerza inducida en cualquier sección transversal O1O2 es igual a la
carga axial aplicada en el extremo de la pluma, como se muestra en la figura
(b), la rigidez axial de la pluma (kb) está dada por:
1
1
1
1
=
+
+
Kb Kb 1 Kb2 Kb 3
Donde kbi simboliza la rigidez axial del iésimo segmento de la pluma:
AiEi
Kbi=
li
Con los datos conocidos: Módulo de Young del material: E = 2.1 x 1011 N/m2;
longitudes: l1 = l2 = l3 = 3 m; áreas de sección transversal: A1 = 20 cm2, A2 =
10 cm2; A3 = 5 cm2.
Kb 1=
Kb 2=
( 20∗10−4 ) ( 2.1∗1011 )
3
( 10∗10−4 ) ( 2.1∗1011 )
=14∗107
=7∗107
N
m
N
m
3
( 5∗10 ) ( 2.1∗1011 )
N
Kb 3=
=3.5∗107
3
m
Por lo tanto:
−4
1
1
1
1
1
=
+
+
=
7
7
7
Kb 14∗10 7∗10 3.5∗10 2∗10 7
Kb=2∗107
N
m
La rigidez, k, de la pluma telescópica en la dirección vertical es
N
K= Kbcos 2 45° =107
m
La frecuencia de la vibración natural del cubo en la dirección vertical está dada
por:
(107 )(9.81)
k
Wn=
=
=221.4723 rad /s
m
2000
√ √