Universidad Andrés Bello - Facultad Ciencias Exactas - Departamento de Matemáticas.
PRUEBA SOLEMNE N 3 / ESTADISTICA I (FMSP 310).
Primer Semestre 2018.
NOMBRE
RUT
INSTRUCCIONES:
La duración es de 80 minutos.
Debe Desarrollar cada pregunta en la hoja correpondiente, no se aceptan hojas anexas.
Debe resolver los ejercicios utilizando los contenidos vistos en clases, de lo contrario sera evaluado con el puntaje
mínimo.
Justi…que todas sus respuestas. Ponga por escrito todo el desarrollo que utilice en los problemas.
Apague el celular, si es sorprendido con este en alguna instancia durante la evaluación, el profesor o ayudante
cali…cara con nota 1,0.
Se permite el uso de Calculadora. El Formulario es de uso personal.
No hay consultas.
Pregunta 1
Pregunta 2
Pregunta 3
Ptje Total
NOTA
Puntaje
Corrección
______________________________________________________________________
NOMBRE
RUT
ASIGNATURA
EVALUACION
DECLARO HABER REVISADO LA EVALUACIÓN Y ESTAR DE ACUERDO CON LA CALIFICACIÓN.
Día
Mes
Año
NOTA
Firma Estudiante.
1
1. El tiempo que demora en secar una pintura sintética, en minutos, es una variable aleatoria con distribución uniforme.
Se sabe que esta pintura demora como mínimo 45 minutos en secar con una varianza de 75 minutos2 .
(a) Encuentre el tiempo máximo que demora en secar esta pintura.
(b) Si se aplica esta pintura y ya se ha esperado más de 50 minutos para que se seque, ¿Cuál es la probabilidad
que se deba esperar más del tiempo promedio de secado?
(c) Si consideramos 8 aplicaciones de esta pintura, ¿Cuál es la probabilidad que en 5 de ellas se deba esperar más
de 51 minutos para que esté seca?
Solución:
x: Tiempo de demora en secar una pintura.
x
U (45; b)
a. V (x) =
(b 45)2
12
= 75 ! b = 75
El tiempo máximo de secado es de 75 minutos.
b. E (x) =
45+75
2
= 60
P (x > E (x) =x > 50) = P (x > 60=x > 50) =
P (x>60)
P (x>50)
=
75
R
60
75
R
50
1
30 dx
=
1
30 dx
15
25
= 0:6
El 60% de las pinturas que se demora más de 50 minutos, se demorarán más de 60 minutos.
c. y: aplicaciones de la píntura que se debe esperar más de 51 minutos para secar
y
bin (8; pex )
pex = P (x > 51) =
R75
51
P (y = 5) =
8
5
1
30 dx
=
75 51
30
= 0:8
0:55 0:23 = 0:1468
El 14,68% de los grupos de 8 aplicaciones, se encontrarán 5 que se demoren más de 51 minutos en secar.
2
2. La distancia que diariamente recorre un taxi en la ciudad de Santiago es una variable con distribución normal con
= 80 kilómetros y 2 = 400 kilómetros2 .
(a) Determine la probabilidad que un día cualquiera el taxi recorra más de 100 kilómetros.
(b) Si consideramos una muestra de 20 días, ¿Cuál es la probabilidad que el promedio diario de kilómetros recorridos
sea menor a 75?
(c) Si se consideran 120 días, ¿Cuál es la probabilidad que en al menos 48 de ellos el taxi haya recorrido entre 70
y 95 kilómetros?
Solución:
x: distancia que recorre diariamente un taxi.
x
N (80; 400)
a. P (x > 100) = 1
P (x
100) = 1
P (z
1) = 1
0:84134 = 0:15866
En el 15,87% de los días, los taxis recorreran más de 100 kilómetros.
b. x
N 80; 400
20 = 20
P (x < 75) = P (z <
1:12) = 0:13136
En el 13.14% de los grupos de 20 días, un taxi en promedio recorrerá menos de 75 kilómetros.
c. y: Días donde el taxi recorre entre 70 y 95 kilómetros
y
Bin (120; pex )
pex = P (70 < x < 95) = P (x < 95)
= 0:77337
y
P (x < 70) = P (z < 0:75)
P (x <
0:5)
0:30854 = 0:46483
N (120 0:46483 = 55:78; 120 0:46483 0:53517 = 29:85)
P (y < 48) = P (z <
1:42) = 0:07780
En el 7,78% de los grupos de 120 días se encontrarán a lo más 48 días donde el taxi recorrera entre 70 y 95
kilómetros.
3
3. En una empresa hay dos líneas telefónicas, A y B. El tiempo que duran las llamadas telefónicas que se hacen a
través de la línea A siguen una distribución exponencial y duran en promedio 10 minutos. Las llamadas que se
hacen a través de la línea B tienen un tiempo de duración que distribuye normal con un promedio de 8 minutos con
una varianza de 16 minutos2 .
(a) Si una llamada dura más de 12 minutos, ¿Por cuál de las dos líneas tiene mayor probabilidad de haber sido
efectuada?
(b) Determine para cada línea el tiempo a partir del cual se encuentra el 5% de las llamadas más largas.
(c) Se sabe que en promedio se realizan 4 llamadas cada 15 minutos por la línea A. ¿Cuál es la probabilidad que
en media hora se realicen 6 llamadas por esta línea?
Solución:
x: tiempo de llamada de la línea A
x
1
10
Exp
y: tiempo de llamada de la línea B
y
N (8; 16)
a. P (x > 12) = 1
P (x
12) = 1
R12
0
P (y > 12) = 1
P (y
12) = 1
1
10 e
P (z
1
10 x
dx = 1
1) = 1
1+e
12
10
= 0:3012
0:84134 = 0:15866
Es más probable que la llamada se haya realizado en la línea A
b. P (x > c) = 0:05 ! P (x
!e
c
10
= 0:05 !
c
10
=
P (y > c) = 0:05 ! P (y
c) = 0:95 !
Rc
0
1
10 x
1
10 e
dx = 0:95 ! 1
e
c
10
= 0:95
ln 0:05 ! c = 29:96
c) = 0:95 ! Z0:95 = 1:64 =
c 8
4
! c = 14:56
En la línea A el 5% de las llamadas dura más de 29.96 minutos y en la línea B el 5% de las llamadas dura más
de 14.56 minutos.
c. w: Llamadas realizadas en 15 minutos
w
P (4)
T iempo
15
4
30
2
2 =8
P (w = 6) =
e
8
6!
86
= 0:1221
En el 12,21% de las medias horas se reciben 6 llamadas ne la línea A
4