- Razones y Proporciones Material
Dr.
Juan Pérezde
Lectura
Este material de lectura tiene la finalidad desarrollar la clase de
Razones y Proporciones, contiene información básica y
desarrollo de ejemplos particulares. La misma debe ser
complementada con los textos disponibles en el programa de
estudios de la asignatura.
Curso Preparatorio de Admisión
Facultad Politécnica UNA
Facultad Politécnica
Universidad Nacional de Asunción
Índice de contenido
ÍNDICE DE CONTENIDO .......................................................................................................................... 2
1.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................. 3
1.2 RAZÓN ARITMÉTICA ................................................................................................................. 3
1.3 RAZÓN GEOMÉTRICA ................................................................................................................ 4
2.1 DEFINICIÓN ............................................................................................................................. 4
2.2 PROPORCIÓN ARITMÉTICA ......................................................................................................... 4
2.2.1 CLASES DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS ................................................................................... 5
2.2.2 MEDIA DIFERENCIAL O MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................ 5
2.2.3 TERCERA DIFERENCIAL ............................................................................................................ 5
2.2.4 PROPIEDADES DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS .......................................................................... 5
2.3 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA. ....................................................................................................... 6
2.3.1 CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS ................................................................................. 6
2.3.2 CUARTA PROPORCIONAL ........................................................................................................ 6
2.3.3 MEDIA PROPORCIONAL .......................................................................................................... 6
2.3.4 TERCERA PROPORCIONAL........................................................................................................ 7
2.3.5 PROPIEDADES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS ........................................................................ 7
3.1 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. .......................................................................... 9
3.2 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD. ........................................................................................ 11
3.3 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ......................................................................... 11
4.1 LA REGLA DE TRES SIMPLE ........................................................................................................ 13
4.1.1 REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA............................................................................................. 13
4.1.2 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA............................................................................................. 14
4.1.3 LA REGLA DE TRES COMPUESTA.............................................................................................. 14
5.1 HALLAR EL TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO ........................................................................... 17
5.2 EL PORCENTAJE COMO FRACCIÓN.............................................................................................. 18
5.3 LA FRACCIÓN COMO PORCENTAJE ............................................................................................. 18
5.4 HALLAR UN NÚMERO CUANDO SE CONOCE UN TANTO POR CIENTO DE ÉL ......................................... 18
5.5 DADOS DOS NÚMEROS S Y X AVERIGUAR QUÉ PORCENTAJE DE S ES X.............................................. 18
5.6 TANTO POR CIENTO MÁS ......................................................................................................... 18
5.7 TANTO POR CIENTO MENOS ..................................................................................................... 19
6.1 REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO ........................................................................................... 20
6.2 REPARTO PROPORCIONAL INVERSO ........................................................................................... 20
6.3 REPARTOS MIXTOS ................................................................................................................. 21
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Razon o relacion
A
B
24 m
6m
Nos piden “comparar” la altura de los árboles. Con un cálculo muy simple podemos
establecer que la altura del primero (A), sobrepasa a la del segundo (B) en 18 m
haciendo:
24  6  18 …………………. (1)
Pero también podemos afirmar que la altura del primero es 4 veces la del segundo:
24
 4 ……………………….. (2)
6
En ambos casos estamos comparando dos cantidades, en (1) mediante una resta y en
(2) mediante una división.
1.1 Definición
Se llama razón (o Relación) a la comparación de dos cantidades; esta "comparación" se
puede hacer de dos maneras: Aritmética (por diferencia) o Geométrica (por división).
1.2 Razón Aritmética
La razón aritmética es el resultado de comparar dos cantidades mediante una resta.
Indica en cuanto sobre pasa una cantidad a otra. Consta de las siguientes partes: El
antecedente (minuendo), el consecuente (sustraendo) y el valor de la razón (diferencia).
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con sec uente  2º 

A  B  r  valor de la razón

antecedente 1º 
1.3 Razón Geométrica
La razón geométrica es el resultado de comparar dos cantidades por división. Indica
cuántas veces contiene una cantidad a la otra. Consta de las siguientes partes: El
antecedente (dividendo), el consecuente (divisor), y el valor de la razón (cociente).
antecedente (1º)  A
 r  valor de la razón
con sec uente (2º)  B
Proporción
2.1 Definición
Cuando dos razones son iguales, se dice que las cuatro cantidades que la componen
(esto es los antecedentes y consecuentes) son proporcionales. A la igualdad de razones
se lo denomina proporción.
La proporción puede ser: Aritmética o Geométrica según que las razones sean
aritméticas o geométricas respectivamente.
2.2 Proporción aritmética
También denominado equidiferencia, es la proporción que resulta de la igualdad entre
dos razones aritméticas. Una equidiferencia se escribe de dos maneras:
a  b  c  d o a.b :: c.d y se lee "a es a b como c es a d" . Los términos primero y cuarto
a y d se llaman extremos de la proporción aritmética, los términos segundo y tercero b
y c se llaman medios de la proporción aritmética.
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2.2.1 Clases de proporciones aritméticas
Proporción aritmética discreta: Es aquella proporción aritmética cuyos medios no
son iguales. Ejemplo: 5 . 2:: 6 . 3
Proporción aritmética continua: Es aquella proporción aritmética donde los
medios son iguales. Tiene la forma a.b :: b . c
2.2.2 Media diferencial o media aritmética
Cuando estamos ante una proporción aritmética continua, los medios reciben un
nombre particular: Media diferencial o aritmética. En la proporción a . b :: b . c , la media
aritmética es: b 
ac
.
2
Para deducirlo, basta con observar que a . b :: b . c es equivalente a la igualdad
a  b  b  c , de esta igualdad se tiene a  c  b  b  2b  a  c  b 
ac
.
2
2.2.3 Tercera diferencial
Es el primero o cuarto término de una proporción aritmética continua, es decir; si se
tiene la proporción aritmética continua a  b  b  c , las terceras diferenciales son:
a y c.
2.2.4 Propiedades de proporciones aritméticas
a) En toda proporción aritmética (sea continua o discreta) la suma de los extremos
es igual a la suma de los medios. Esta es la propiedad fundamental de las
proporciones aritméticas. Se deduce fácilmente, en efecto, consideremos una
progresión aritmética cualquiera a  b  c  d , entonces aplicando propiedades
aritméticas se tiene a  d  b  c .
b) En toda proporción aritmética, un extremo desconocido es igual a la suma de los
medios, menos el extremo conocido.
Ejemplo: En 8  5  7  x se tiene que x  5  7  8  4 .
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c) En toda proporción aritmética, un medio desconocido es igual a la suma de los
extremos, menos el medio conocido.
Ejemplo: En 9  x  7  3 se tiene que x  9  3  7  5 .
2.3 Proporción geométrica.
Es la proporción que resulta de la igualdad entre dos razones geométricas. Una
proporción geométrica se escribe de dos maneras:
a c
 o a : b :: c : d y se lee “a es a b
b d
como c es a d”. Los términos primero y cuarto a y d se llaman extremos de la progresión
geométrica, los términos segundo y tercero b y c se llaman medios de la progresión
geométrica.
2.3.1 Clases de proporciones geométricas
Proporción geométrica discreta: Es aquella donde los medios no son iguales.
Ejemplo: 8 : 4 : :12 : 6
Proporción geométrica continua: Es aquella progresión geométrica en donde
los medios son iguales. Tiene la forma a : b :: b : c
2.3.2 Cuarta proporcional
Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica
discreta respecto de los otros tres.
2.3.3 Media proporcional
En una progresión geométrica continua los términos medios se denominan media
proporcional o media geométrica.
Si se tiene la progresión geométrica continua a : b :: b : c entonces;
a b
  a. c  b2  b  a.c es la media proporcional entre los números a y c.
b c
6
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2.3.4 Tercera proporcional
Tercera proporcional de dos números es el primero o cuarto término de una proporción
geométrica continua.
Ejemplo 1: Hallar una tercera proporcional entre 6 y 3.
6 : 3 : : 3 : x , entonces
x
3 3 3

6
2
Ejemplo 2: La tercera proporcional entre los números 28 y m es igual a la media
aritmética entre los números 5 y 9. Hallar el valor de m.
Solución
Sea M la tercera proporcional de 28 y m entonces se puede generar una progresión
geométrica continua 28 : m :: m : M . Por otro lado M es igual a la media aritmética entre
5 y 9, entonces M 
59
 M  7 . Así tenemos la progresión geométrica continua cuyo
2
medio es igual a m ; 28 : m :: m : 7 , entonces
28 m
 , vemos que m es por definición la
m 7
media geométrica entre 28 y 7 entonces m  28.7  196  14 .
2.3.5 Propiedades de proporciones geométricas
a) Toda proporción se puede escribir de ocho maneras distintas. Sea
a c

una
b d
proporción, la cual se puede escribir así:
1. Originalmente:
a c

b d
2. Cambiando medios:
3. Invirtiendo:
a b

c d
b d

a c
4. Invirtiendo y cambiando medios:
5. Permutando términos:
c d

a b
c a

d b
7
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6. Permutando términos y cambiando medios:
7. Permutando términos e invirtiendo:
8. Cambiando extremos:
b a

d c
d b

c a
d c

b a
b) En toda proporción geométrica se cumple que la suma o diferencia del
antecedente con su consecuente es a la suma o diferencia del otro antecedente con su
consecuente, como los antecedentes entre si y los consecuentes son también entre sí.
Es decir; se cumple:
a b ab
 
.
c d cd
c) En toda proporción geométrica se cumple que la suma de un antecedente con su
consecuente es a su diferencia como la suma del otro antecedente con su consecuente,
es también a su diferencia. Es decir:
m p mn pq
 

.
n q
mn pq
d) En toda proporción se cumple que la suma o diferencia de los antecedentes es a
la suma o diferencia de los consecuentes, como cada antecedente es a su respectivo
consecuente. Es decir;
p r pr
 
.
q s qs
e) En toda proporción se cumple que la suma de antecedentes es a su diferencia
como la suma de consecuentes es también a su diferencia. Es decir, se cumple:
p r
pr qs
 

.
q s
pr qs
f) Si a ambos términos de una proporción se Ie eleva a un mismo exponente o se les
extrae la raíz del mismo índice, se obtiene siempre la misma proporción. Es decir:
p r
pn r n n p n r
  n  n

.
q s q
s nq ns
g) En toda proporción geométrica, un extremo desconocido es igual al producto de
los medios, dividido por el extremo conocido.
Ejemplo:
20 15
4  15

3
de donde x 
4
x
20
h) En toda proporción geométrica, un medio desconocido es igual al producto de
los extremos, dividido por el medio conocido.
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Ejemplo:
12 9
12  3

4
de donde x 
x 3
9
i) En toda proporción geométrica continua, la media proporcional es igual a la raíz
cuadrada del producto de los extremos.
Ejemplo:
8 x

de donde x  8  2  16  4
x 2
Magnitudes Proporcionales
Las magnitudes proporcionales son aquellas magnitudes que se corresponden por su
igual tendencia a crecer ambas o a decrecer ambas guardando proporción. Se clasifican
en: Directamente proporcionales e Inversamente proporcionales.
3.1 Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al hacerse los valores de una
de ellas 2, 3,4,5, ..., n veces mayor o menor, los valores correspondientes de la otra,
con la que está relacionada, se hacen respectivamente mayores o menores el mismo
numera de veces. Dicho de otra forma; dos magnitudes son directamente
proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por algún valor, la otra magnitud
también queda multiplicada o dividida por ese valor.
Ejemplo 1: Si un kilo de azúcar cuesta 5.000 Gs, podemos establecer la siguiente
relación:
Magnitudes
Valores correspondientes
Peso
1 kg
2 kg
3 kg
4 kg
Precio
5.000 Gs.
10.000 Gs.
15.000 Gs.
20.000 Gs.
Las magnitudes del peso y precio del azúcar son directamente proporcionales pues
cuando uno aumenta (el peso) el otro también aumenta (el precio) y además la razón
geométrica (cociente de los valores de cada magnitud) permanece constante:
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5.000 10.000 15.000 20.000
1
2
3
4






o también
.
5.000 10.000 15.000 20.000
1
2
3
4
Ejemplo 2: ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente
proporcionales? Justifica la respuesta
a) La velocidad de un automóvil y el tiempo que tarda en realizar un mismo recorrido.
b) La distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado, manteniendo la misma
velocidad.
c) La longitud del lado de un cuadrado y la superficie del mismo.
d) La edad de un niño y su estatura.
Solución:
a) No son directamente proporcionales. Si la velocidad se hace doble, triple…, el
tiempo necesario para hacer el mismo recorrido no es doble, triple…
b) Sí son directamente proporcionales. Si la distancia se hace doble, triple…, el tiempo
deberá ser doble, triple…
c)
No son directamente proporcionales. Si la longitud se hace doble, triple…, la
superficie no es doble, triple…
d)
No son directamente proporcionales. Si la edad se hace doble, triple…, la estatura
no es doble, triple…
Observación
 Otras magnitudes directamente proporcionales que se presentan en
Matemática, en otras ciencias y en la vida diaria son:
 El número de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compra y el precio a pagar.
 En un cuadrado, la longitud de un lado y la medida del perímetro.
 El número de obreros y la cantidad de trabajo realizado.
 Trabajando a destajo, el número de horas trabajadas y el salario percibido.
 La participación en el capital y la participación en las ganancias.
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 En un momento dado, las alturas de los objetos y las longitudes de las sombras
que proyectan bajo el sol.
 Las cantidades de los ingredientes de una receta y el número de comensales.
3.2 Constante de proporcionalidad
Como se observa en el Ejemplo 1 de magnitudes directamente proporcionales; si dos
magnitudes, A y B, son directamente proporcionales; existirá un número real “r” tal que
y = r x siendo x un valor de A e y su correspondiente valor de la magnitud B. Esta
constante “r” será la misma cualquiera sea el par de valores x e y de las magnitudes A y
B que se correspondan. El número “r” se denomina constante o razón de
proporcionalidad.
3.3
Magnitudes inversamente proporcionales
Consideremos el siguiente ejemplo:
Un autobús recorre un itinerario de 180 km en 3 horas a una velocidad constante de 60
km por hora, Si acelera su marcha a unos 90 Km por hora, tardará solo 2 horas en
recorrer los 180 km, si por el contrario baja su velocidad a 30 km por hora, tardará 6
horas en recorrerlo. De este ejemplo podemos construir la definición de magnitudes
inversamente proporcionales:
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al hacerse los valores de una
de ellas 2, 3, 4, … o n veces más grande, los valores de la otra magnitud se hacen 2, 3,
4,… o n veces más pequeña. Es decir; cuando uno crece el otro disminuye… Esto se
puede ver en el ejemplo del autobús mediante la tabla:
Magnitudes
Valores correspondientes
Tiempo
1 hora
2 horas
3 horas
6 horas
Velocidad
180 km/h
90 km/h
60 km/h
30 km/h
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Vemos que, a mayor velocidad empleada, menos tiempo tarda en recorrer el itinerario
y si por el contrario baja su velocidad empleada; aumentará el tiempo que necesitará
para recorrer el itinerario.
Al igual que en la proporción directa, en la proporción inversa es posible establecer
igualdades de razones; en el ejemplo anterior se tiene:
1
1
180

2
3
6
180 90 60 30


ó



ó 1  180  2  90  3  60  6  30
1
1
1
1
1
1
1
90
60
30
1
2
3
6
La última igualdad nos da una definición alternativa para magnitudes inversamente
proporcionales: Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de
sus valores correspondientes, nos da una cantidad constante.
En Resumen…
Sean las magnitudes A y B cuyos valores son respectivamente a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,..., an y
b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 ,..., bn .

A es directamente proporcional a B sí y sólo sí

A es inversamente proporcional a B si y sólo sí
a1 a2 a3
a
   ...  n .
b1 b2 b3
bn
a
a1
a
a
 2  3  ...  n
1
1
1
1
b1
b2
b3
bn
Ejemplo: Son magnitudes inversamente proporcionales;
1. El número de obreros y el tiempo que emplean en ejecutar un trabajo dado.
2. La velocidad (constante) de un tren y el tiempo empleado para recorrer un espacio
dado.
3. El radio de una rueda y la cantidad de vueltas que da en un determinado tiempo.
4. La distancia entre una persona y la estufa y la intensidad de calor percibida por la
persona (es decir a menos distancia mayor percibimiento de calor).
5. El tiempo de uso del celular y el rendimiento de la batería.
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Regla de tres simple y compuesta
La regla de tres es un método matemático que permite hallar uno de los valores de una
proporción conociendo los otros valores.
4.1 La regla de tres simple
Permite hallar un cuarto valor cuando se conoce otros tres valores, correspondientes a
dos magnitudes. La regla de tres simple puede ser directa o inversa.
4.1.1 Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa es aquella en la que las magnitudes involucradas son
directamente proporcionales.
En la práctica, para resolver una regla de tres simple directa, el valor de la incógnita se
obtiene al multiplicar los valores que están en la misma "diagonal" y este producto se
divide por la tercera cantidad.
Ejemplo: En un supermercado, la harina a granel cuesta 4.000 Gs. el kilo, al llenar una
bolsa de plástico con esta harina obtengo un peso de 3,75 Kg ¿Cuántos Gs. costará la
bolsa con harina?
Solución
Son dos las magnitudes involucradas; el peso y el precio. Cuando el peso aumenta es
evidente que el precio aumentará, por lo tanto las magnitudes serán directamente
proporcionales. Para fines prácticos el problema lo podemos expresar como sigue:
1 kg
__________________ 4.000 Gs
3,75 kg __________________
x Gs
x
3,75 kg  4.000 Gs
 x  15.000 Gs. Así, la bolsa con harina costará 15.000 Gs.
1 kg
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4.1.2 Regla de tres simple inversa
La regla de tres simples inversa es aquella en la cual las magnitudes involucradas son
inversamente proporcionales.
En la práctica, para resolver una regla de tres simple inversa, el valor de la incógnita se
puede obtener multiplicando los valores que están en la misma "horizontal" y dividiendo
este producto por la tercera cantidad.
Ejemplo: 30 albañiles debían terminar una obra en 20 días; habían trabajado 5 días
cuando 5 de ellos se retiraron. ¿Cuánto duró la construcción de la obra?
Solución
Las magnitudes involucradas son la cantidad de albañiles y el tiempo para terminar la
obra. Si aumenta la cantidad de obreros, es evidente que el tiempo de finalización de la
obra disminuirá, por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. Del problema
vemos que los primeros 5 días trabajaron los 30 albañiles, si se mantenía la cantidad de
albañiles, la obra finalizaría 15 días después, pero como se retiraron 5 albañiles,
quedaron 25 albañiles para terminar la obra, entonces tenemos la regla de tres simple
inversa
30albañiles _________________ 15 días
25albañiles _________________ x días
Así x 
30albañiles  15días
 x  18días . Como ya se estuvo trabajando en la obra
25albañiles
durante 5 días, en total, la obra de construcción duró 18+5 días, es decir; 23 días.
4.1.3 La regla de tres compuesta
Permite hallar también un valor de una magnitud conociendo los otros valores, pero se
utiliza cuando intervienen más de dos magnitudes. En este caso una magnitud puede
ser directamente proporcional a una e inversamente proporcional a otra.
Un método muy utilizado para resolver una regla de tres compuesta se denomina “Ley
de los signos” y se explica a continuación:
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Se coloca los valores correspondientes a la misma magnitud, uno debajo del otro; a
continuación, se compara las magnitudes que intervienen para saber si son directa o
inversamente proporcionales con la incógnita y se sigue la siguiente regla:
Arriba
Abajo
Si son directamente
proporcionales
+
Si son inversamente
proporcionales
+
-
El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el producto de
todas las cantidades asignadas con signo (+) y cuyo denominador es el producto de todas
las cantidades asignadas con signo (-). En todos los problemas, sin excepción el valor
numérico que es de la misma especie que la incógnita llevara signo (+).
Veamos el método en un ejemplo:
Ejemplo 1: 500 obreros del ferrocarril, trabajando 10 horas diarias, han colocado ya
2300 metros de vía en 28 días. 425 obreros trabajando 8 horas diarias ¿cuántos metros
de vía colocaran en 42 días?
Solución
Hay varias magnitudes involucradas, por tanto, se trata de una regla de tres compuesta,
ordenamos de la siguiente manera: cantidad de obreros, horas diarias de trabajo,
longitud de vías colocadas, días en que se tardó la colocación (estas son las magnitudes
involucradas)
500 obreros ___10 h / d ___2300m de vía ___28 días
425obreros ___ 8 h / d ___ x m de vía ___ 42 días
La incógnita es uno de los valores de la magnitud longitud de vías, el valor numérico de
esa magnitud llevará el signo (+).
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Si aumenta la cantidad de obreros, aumentará la cantidad de metros de vías colocadas,
por lo tanto, son magnitudes directamente proporcionales,
Si aumenta la cantidad de horas trabajadas en el día, aumentará la cantidad de metros
de vías colocadas, por tanto, son magnitudes directamente proporcionales,
Si aumenta la cantidad de días de trabajo, aumentará la cantidad de metros de vías
colocadas, por lo tanto, son magnitudes directamente proporcionales,
Entonces tenemos
-
-
+
+
+
-
500 obreros ___10 h / d ___2300m de vía ___28 días
425obreros ___ 8 h / d ___ x m de vía ___ 42 días
x
+
425  8  2300  42
 2346
500  10  28
Los 425 obreros podrán colocar unos 2346 metros de vía.
Ejemplo 2: Una cuadrilla de 40 obreros ha hecho 400 metros de carretera durante cierto
número de días a razón de 8 horas diarias. Otra cuadrilla de 60 hombres ha hecho 675
metros de la misma obra trabajando 6 horas diarias. Si el tiempo que han demorado las
dos cuadrillas en hacer sus obras suma 25 días. Halla el tiempo que emplea cada
cuadrilla en hacer su obra.
Solución
Supongamos que la primera cuadrilla ha hecho su parte en M días y que la segunda
cuadrilla ha hecho su parte en N días, entonces M+N=25.
Vemos que las incógnitas son la cantidad de días que emplean en hacer sus obras, a fin
de aplicar la Ley de los signos; colocamos el primer signo (+) así:
+
40 obreros ___ 400mcarretera ___ M días ___8 h / d
60obreros ___675m carretera ___ N días ___6 h / d
Ahora, si aumenta la cantidad de obreros, disminuirá el tiempo de culminación de la
obra, por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales,
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si aumenta los metros de carretera a construir, aumentará el tiempo de culminación de
la obra, por tanto, las magnitudes son directamente proporcionales,
si aumenta las horas de trabajo diario, disminuirá el tiempo de culminación de la obra,
por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales,
Entonces queda la regla de tres compuesta:
+
-
+
+
40 obreros ___ 400mcarretera ___ M días ___8 h / d
60obreros ___675m carretera ___ N días ___6 h / d
-
Luego, N 
+
-
40  675  M  8
3
3
 N  M . Pero como M  N  25 entonces M  M  25
60  400  6
2
2
5
M  25  M  10 y N  15 . La primera cuadrilla hizo su parte en 10 días y la segunda
2
cuadrilla lo hizo en 15 días.
Porcentaje
Se llama tanto por ciento o porcentaje al número de unidades que se toma en cuenta
de cada 100 unidades. El término se deriva del latín per centum, que significa “por
ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento
significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %, símbolo que surgió
como una corrupción de la abreviatura de ciento (cto.). Los cálculos de porcentajes se
utilizan a menudo en la industria y las finanzas, y en el mundo científico para evaluar
resultados.
5.1 Hallar el tanto por ciento de un número
El porcentaje de un número se puede calcular mediante una regla de tres simple directa,
considerando que dicho número es el 100% (el total).
Ejemplo: Hallar el 37% del número 2700.
2700 _______100%
Entonces el 37% de 2700 es x = 999.
x ________37%
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5.2 El porcentaje como fracción
El porcentaje puede expresarse como una fracción de denominador 100. Así
considerando un número N se tiene:
25 % de N equivale a decir 25% / 100%=1/4 de N
75 % de N equivale a decir 75% / 100%=3/4 de N
20 de N equivale a decir 20% / 100%=1/5 de N
5.3 La fracción como porcentaje
Para transformar una fracción a un porcentaje se le multiplica por 100%. Así
considerando el número N se tiene;
1/4 de N = (1/4).100% de N = 25% de N
3/4 de N = (3/4).100 % de N = 75% de N
1/5 de N = (1/5).100 % de N = 20% de N
5.4 Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él
Supongamos que tenemos un número N y queremos saber de qué número X es N el n%.
Recurrimos a la regla de tres simple directa:
N _______ n%
N  100%
entonces X 
X _______100%
n%
5.5 Dados dos números S y X averiguar qué porcentaje de S es X
Similar al caso anterior. Tenemos que S es el 100%:
S _______100%
X
entonces n%   100%
X _______ n%
S
5.6 Tanto por ciento más
Se trata de hallar un número sabiendo el % que otro número es más que él.
Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6 % más?
18
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265_____106%
265  100%
 250 .
entonces el número buscado es x 
x _____ 100%
106%
5.7 Tanto por ciento menos
Se trata de hallar un número sabiendo el tanto por ciento que otro número es menos
que él.
Ejemplo: ¿De qué número es 168 el 4 % menos?
168 ______96%
168  100%
 175 .
entonces el número buscado es x 
x ______100%
96%
Observación: Como hemos visto, el cálculo del porcentaje no es más que una regla de
tres simple y directa, pero por lo general los problemas van acompañados de una serie
de situaciones que exigen razonamiento riguroso.
Reparto Proporcional
El reparto proporcional es una operación que consiste en dividir un número en partes
iguales proporcionales a otros números dados.
Al número “N” se lo dividen en números proporcionales a los índices “a” “b” “c”.
Denominamos “x” a la parte de “N” que es proporcional a “a”; “y” a la parte
proporcional “b” y “z” a la parte proporcional “c”, respectivamente
Aplicando una de las propiedades de las razones geométricas:
Pero:
x
, entonces
aN
bN
cN
; y
; z
abc
abc
abc
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6.1 Reparto Proporcional Directo
En el reparto proporcional directo, las partes que se buscan son directamente
proporcionales a los números dados.
Ejemplo
Tres personas A, B y C compraron un departamento en 40 cuotas. A pagó el 30% de las
cuotas, B pagó el 25% y C el 45% de las cuotas. Cuando decidieron venderlo,
obtuvieron
$ 80.000. ¿De qué forma deben repartirse el dinero de la venta para que sea
proporcional a las cuotas pagadas por cada uno?
a) A=20000, B=50000 y C=10000
b) A=24000, B=20000 y C=36000
c) A=35000, B=25000 y C=20000
Desarrollo
d) A=20000, B=24000 y C=36000
e) A=40000, B=15000 y C=25000
Sean A, B y C las cantidades ganadas por la venta del departamento por cada una de
las tres personas, entonces
Si sumamos todos los antecedentes entre
sí y los consecuentes entre sí, formamos una fracción que es proporcional a las demás
La ganancia de la persona A, resulta de resolver la igualdad
La ganancia de la persona B, resulta de resolver la igualdad
La ganancia de la persona C, resulta de resolver la igualdad
 Opción B
6.2 Reparto proporcional inverso
En este reparto, las partes que se buscan son proporcionales a los recíprocos de los
números dados.
Ejemplo
La profesora repartió actividades de un cuadernillo de matemáticas 65 páginas en
forma inversamente proporcional al puntaje que habían obtenido José, Gustavo y
Andrés en un trabajo. Si José obtuvo 8 puntos; Gustavo 4 puntos y Andrés obtuvo 6
puntos, ¿cuántas páginas de actividades le correspondió a cada uno?
20
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a) J=20, G=30 y A=15
b) J=24, G=25 y A=16
c) J=35, G=25 y A=5
Desarrollo
d) J=22, G=28 y A=15
e) J=15, G=30 y A=20
Sean J, G y A la cantidad de páginas que corresponden respectivamente a José;
Gustavo y Andrés, como esta cantidad de páginas es inversamente proporcional a los
puntos que cada uno obtuvo en un trabajo, tenemos
.
Si sumamos todos los antecedentes entre sí y los consecuentes entre sí, formamos una
fracción que es proporcional a las demás
La cantidad de páginas que corresponde a José, resulta de resolver la igualdad
La cantidad de páginas que corresponde a Gustavo, resulta de resolver la igualdad
La cantidad de páginas que corresponde a Andrés, resulta de resolver la igualdad
 Opción E
6.3 Repartos mixtos
En algunos casos se presentan elementos inversos con elementos directos
Ejemplo
Se reparte 26 en dos partes proporcionales a 3 y 4 e inversamente proporcional a 6 y 5.
¿Cuál es la parte mayor?
A)12
B)10
C)16
D)13
E)11
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 La parte mayor es 16 que corresponde a la opción C
Ejercicios Resueltos
Razones y proporciones
1) Si en una razón aritmética aumentamos una unidad su consecuente, ¿Qué ocurre
con la razón?
Solución
Consideremos la razón aritmética A  B  r ,aumentemos una unidad el consecuente y
calculemos la nueva razón; A  (B  1)  A  B  1  (A  B)  1  r  1 . Entonces la razón
queda disminuida una unidad.
2) Si en una razón geométrica dividimos el antecedente por un valor x ¿Qué ocurre
con la razón?
Solución
Consideremos la razón geométrica
A
 r , dividamos el antecedente por el número x y
B
calculemos la nueva razón;
A
Ax
A A 1
1 r
 x
 .  r.  . Luego, la razón queda dividida por dicho número.
B
B B.x B x
x x
3) Una proporción aritmética continua, cuyos términos son enteros y mayores que
2, se convierte en geométrica del mismo tipo cuando a sus términos medios se le
disminuye dos unidades. Calcule el mayor de los términos, si todos son los menores
posibles.
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Solución
Consideremos la proporción aritmética continua a  b  b  c , donde a, b y c son enteros
mayores que 2, si al término medio b le disminuimos 2 unidades, la proporción se
convierte en geométrica del mismo tipo, es decir; continua, y tenemos lo siguiente;
a
b2

, usando la definición de media aritmética y media geométrica resulta:
b2
c
b
ac
ac
 2  a.c ,
y b  2  a.c , de aquí resulta
2
2
ac4
 a.c  a  c  4  2 a.c ,
2
 a  c
2

a c
2

2
 4  2 a. c 
 a
2
 2 a. c 
 c
2
 4 , Factorizamos y queda:
 22  a  c  2 , como a y c son los menores posibles y son enteros, las
raíces son exactas, además son mayores que 2, buscamos enteros mayores que dos que
sean los menores posibles y tal que la diferencia de sus raíces cuadradas sea 2;
Esos enteros son a = 16 y c = 4, y el valor de b es la media aritmética de 16 y 4, es decir
10.
Así el mayor de los términos es a = 16.
4) En una proporción geométrica la suma de los términos extremos es 20 y su
diferencia 16 ¿Cuál es su media proporcional?
Solución
Como nos menciona la media proporcional, estamos ante una proporción geométrica
continua, es decir tiene la forma
a b
 . Del dato se deduce que a  c  20 y a  c  16 y
b c
al resolver ese sistema de ecuaciones:
a  c  20.....(1)
, hacemos (1)+(2)  2a  36  a  18 y c  2 , como b es la media

a  c  16.....(2)
proporcional de la proporción b  a.c  18.2  6 .
5) En una proporción geométrica continua, el producto de los cuatro términos es
1.048.576. El cuarto término es el doble de la suma de los medios. Halla la proporción.
23
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Solución
Consideremos la proporción geométrica continua
a b
 , del dato se tiene que
b c
a  b  b  c  1.048.576  a  b2  c  1.048.576 , pero por tratarse de una proporción
geométrica continua, la media proporcional es b  a  c  b2  a  c , entonces:
b2  b2  1.048.576  b4  1.048.576  b  4 1.048.576  b  32 . Además, el cuarto
término es el doble de la suma de los medios, es decir; c  2(b  b)  2(2b)  4b , entonces
c  128 . Como b2  a  c  322  a  128 , despejamos el valor del primer término a  8
Finalmente la proporción buscada es
8
32

.
32 128
Regla de tres simple y compuesta
1) Una zanja de 20 metros de profundidad puede ser acabada en 12 días por 10
obreros. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la profundidad en 10
metros para lo cual se contrata 5 obreros más, terminándose la obra a los 15 días de
empezada. ¿A los cuantos días se aumentó el personal?
Solución
Vemos que la obra se terminó 3 días después del plazo inicial. Es decir, los 15 obreros
trabajaron juntos los últimos 3 días.
Veamos cuánto de profundidad trabajaron los 15 obreros juntos:
-
+
-
10 obreros ____20mprofundidad ____12 días
15  20  3
 x  7,5m .
; x
15obreros ____ x m profundidad ____ 3 días
10  12
+
+
Así en los últimos 3 días de trabajo los obreros (incluyendo los que se acoplaron) hicieron
7,5 metros de profundidad. Pero recordemos que se decidió aumentar la profundidad
después de cierto tiempo a 30 metros de profundidad, es decir que los primeros 12 días
en total se debió ejecutar ya los 30 m  7,5 m  22,5 m de profundidad.
Teniendo en cuenta que los 20 m, los 10 obreros iniciales los terminarían en 12 días,
entonces 2,5 m de profundidad restantes los habían hecho los 5 obreros acoplados en
A días (todo esto ocurre en los primeros 12 días). Así tenemos otra regla de tres
compuesta:
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+
-
+
10 obreros ____20m profundidad ____ 12 días
10  2,5  12
 A  3 días
; A
5 obreros ____2,5mprofundidad ____ A días
5  20
+
-
Dentro de los 12 días, 3 días bastaron a los 5 obreros acoplados para terminar los 2,5
metros de profundidad, es decir que 9 días trabajaron solo los 10 obreros, dicho de otra
forma: los obreros se acoplaron después de 9 días de haber iniciado la obra, es decir; en
el décimo día.
2) Cuatro hombres se comprometen a hacer una obra en 18 días. Si después de 3
días llega uno más. ¿Cuántos días antes terminarán la obra?
Solución
Como llega uno más después de 3 días, significa que los primeros tres días los cuatros
hombres trabajaron y desarrollaron una parte de la obra, entonces la comparación se
debe realizar con los días restantes, es decir; con 15 días:
4hom bres __________15 días
4  15
 12 días , así el resto de la obra se terminó
; x
5hom bres __________ x días
5
en 12 días, en total la obra fue finalizada en 15 días (los 12 días en que trabajaron los 5
hombres más los 3 días iniciales en que solo trabajaron los 4 hombres).
La obra fue terminada 3 días antes de los estipulados.
3) 10 bombillos consumen $5.000 en 1 mes, estando encendidos 8 horas al día
¿Cuánto consumirán 16 bombillos en 5 meses encendidos 10 horas diarias?
Solución
-
+
-
-
+
+
10 bombillos ____$5.000 consumo ____ 1 mes ____ 8 h / d
16  5.000  5  10
; x
10  1  8
16 bombillos ____ x consumo ____ 5 meses ____10 h / d
+
x  $50.000 es el consumo de los 16 bombillos.
4) Ocho hombres construyen 8 casas en un tiempo de 8 años trabajando con un
cierto esfuerzo. ¿Cuántos hombres de la misma habilidad que los anteriores pero que
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trabajen con el doble de esfuerzo se necesitarán para construir el doble de casas en un
tiempo 50% menor que el anterior?
Solución
Asignemos por R al esfuerzo realizado por los primeros ocho hombres, entonces el
esfuerzo de los otros hombres será de 2R, entonces se tiene:
+
+
+
8 hom bres ___ 8 casas ___8 años ___ R esfuerzo
8  16  8  R
 x  16
; x
x hom bres ___16 casas ___ 4 años ___2R esfuerzo
8 4 2R
+
-
-
Se necesitarán 16 hombres.
5) Si 24 motocicletas repartidoras de pizzas gastan $27.360 en gasolina durante 30
días trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto dinero se deberá pagar por concepto de
gasolina para 18 motocicletas que trabajan 10 horas diarias durante 6 meses? (considera
meses de 30 días)
Solución
-
+
-
-
+
+
24 motocicletas ___$27.360 gasolina ___ 1 mes ___8 h / d
, todos son directamente
18 motocicletas ___$ x gasolina ___6 meses ___10 h / d
+
18  27.360  6  10
 x  $153.900 .
proporcionales a la incógnita. Entonces x 
24  1  8
Porcentaje
1) Una tienda de aparatos electrónicos decide dar 30% de descuento en toda su
mercancía; si el precio normal de un televisor es de $6 000, ¿cuánto se pagará en caja?
Solución
Como se trata de un descuento del 30%, el precio final costará el 70% del precio original,
entonces hallamos el 70% de $6.000:
x
70%
 $6.000  $4.200 . Así se pagará en caja $4.200 por el televisor.
100%
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2) En una caja hay 6 canicas azules, 5 rojas y 7 verdes, ¿cuál es el porcentaje de
canicas azules?
Solución
En total hay 6  5  7  18 canicas, entonces mediante una regla de tres simple podemos
obtener el porcentaje deseado:
18 _________100%
6  100%
 x  33,3% es el porcentaje de canicas azules.
,x 
6 _________ x %
18
3) Antes de ir de compras tenía $72.080; ahora que regreso de efectuar mis
compras, solo me queda $ 4.324,8 ¿Qué porcentaje de lo que tenía antes de ir de
compras tengo ahora?.
Solución
4.324,8
 100%  6% . El porcentaje que tengo ahora es del 6%.
72.080
4) El precio de costo de una programable es $150 ¿Qué precio se fijó para su venta
al público?, sabiendo que si al venderlo se hace 2 descuentos sucesivos de 15% y 20%
todavía se estará ganando el 44% del 20% del precio de costo.
Solución
Consideremos a $PV como el precio de venta, si se vende con dichos descuentos,
calculamos ese precio con descuento:
85
PV
100
.
80 85
17
segundo descuento 20%  precio reducidoa
PV  PV
100 100
25
primer descunto 15%  precio reducido a
El precio de venta con los dos descuentos es
17
PV
25
y además se ganará
44% 20%

 150  $13,2 , entonces la ganancia será igual a la diferencia entre el
100% 100%
precio de venta y el precio de costo, es decir;
27
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$13,2 
17
17
25
PV  $150  PV  $13,2  $150  $163,2  PV  $163,2  $240 . Se fijó
25
25
17
inicialmente para su venta al público $240.
5) Una persona va a comprar un automóvil por 10.500 dólares por el cual le harán
un descuento del 5%. Cuando va a cancelar descubre que este no es su precio, por lo
cual solamente paga 9.595 dólares ¿Cuantos dólares menos era su precio?.
Solución
Como el descuento era del 5% la persona solo pagó el 95% del precio inicial del auto:
9.595_______95%
9.595  100
 x  10.100 . El precio inicial del auto era de unos
; x
x _______100%
95
10.100 dólares, así que pagó por él 400 dólares menos.
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Bibliografía
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 Caicedo, A., Wagner, G., & Méndez, R. M. (2010). Principios Básicos de
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