PAUTA Certamen 3 - MAT060
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Pregunta (1)
a) [20 Pts] Sea p(x) = 3x4 − 5ax3 + 7bx2 − 1. Determine a, b ∈ R de modo que 1 sea raı́z de p(x) y al dividir
p(x) por x + 1 el resto sea 10.
√ 20
1
.
b) [15 Pts] Usando el teorema del binomio, encontrar el coeficiente del término independiente de x en
+23x
2x
Exprese su resultado como un producto de números primos. (No calcule dicho producto).
Solución:
a) Para que 1 sea raı́z, se debe tener 3 − 5a + 7b − 1 = 0 o, equivalentemente, 5a − 7b = 2.
Dividamos p(x) por x + 1 usando división sintética:
−5a
−3
−5a − 3
3
−1
3
de donde
5a + 7b + 2 = 10
Resolviendo el sistema:
⇒
a=1
7b
5a + 3
5a + 7b + 3
0
−5a − 7b − 3
−5a − 7b − 3
−1
5a + 7b + 3
5a + 7b + 2
5a + 7b = 8.
3
y b= .
7
Observación: Alternativamente, es posible utilizar el algoritmo de la división:
3x4 − 5ax3 + 7bx2 − 1 : x + 1 = 3x3 − (5a + 3)x2 + (7b + 5a + 3)x − (7b + 5a + 3)
−(3x4 + 3x3 )
(−5a − 3)x3 + 7bx2 − 1
−((−5a − 3)x3 − (5a + 3)x2 )
(7b + 5a + 3)x2 − 1
−((7b + 5a + 3)x2 + (7b + 5a + 3)x)
− (7b + 5a + 3)x − 1
−(−(7b + 5a + 3)x − (7b + 5a + 3))
7b + 5a + 2
O, también, evaluar p en −1 : p(−1) = 3 + 5a + 7b − 1 = 5a + 7b + 2 = 10 ⇒ 5a + 7b = 8.
b) Por el teorema del binomio:
√
1
+23x
2x
20
=
20−k
20 20 X
√ k X
20
1
20 k−(20−k) k/3
23x =
2
x
k
2x
k
k=0
k=0
k
3
Se busca el término independiente de x, de donde
− (20 − k) = 0 ⇒ k = 15.
Por lo tanto, el término independiente de x es:
t16
3
10
>· 17 · 16 · 20 10 2
0 · 19 · 18
15!
=
2 =
2 = 19 · 17 · 3 · 214
15
5 · 4 · 3 · 2 ·
15!
1
−(20−k)
PAUTA Certamen 3 - MAT060
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Pregunta (2)
a) [20 Pts] Calcule el valor de la suma
35
X
√
√
5
3
3
+ 3k − 3k + 3
k
2
k=7
b) [15 Pts] Los dos primeros términos de una progresión aritmética son a1 = (s − t)2 y a2 = (s + t)2 . Hallar
la diferencia de la progresión y determine la suma de los veinte primeros términos.
Solución:
a) Notamos que:
35 √
35
35
X
X
X
√
√
√
5
5
3
3
3
3
+
+
3k
−
3k
+
3
=
3k
−
3k
+
3
2k
2k
k=7
k=7
k=7
35
X
1
2k
k=7
| {z }
= 5·
suma geométrica
+
35 √
X
3
3k −
p
3
3(k + 1)
k=7
|
{z
suma telescópica
}
1
√
√
1 1 − 229
3
3
= 5· 7
+ 21 − 108
1
2
1−
2 √
√
1
1
3
3
= 5 · 6 1 − 29 + 21 − 108
2
2
Observación: La suma telescópica también se puede calcular como:
35 √
X
3
3k −
p
3
35 √
√ X
√ √
√
√
3
3
3
3
3
3
3(k + 1) = 3
k− k+1 = 3·
7 − 36
k=7
k=7
b) Como a1 y a2 son los primeros términos de una PA, entonces la diferencia de la PA es
(s + t)2 − (s − t)2 = 4st.
d = a2 − a1 =
Luego, la suma de los 20 primeros términos es:
S20 =
20(2a1 + (20 − 1)d)
= 10(2a1 + (19)d) = 10(2(s − t)2 + 19 · 4st) = 20s2 + 20t2 + 720st
2
Observación: También puede calcular a20 = a1 + 19d = (s − t)2 + 19 · 4st = s2 + t2 + 74st Y calcular la
suma usando
20(a1 + a20 )
S20 =
= 10((s − t)2 + s2 + t2 + 74st) = 20s2 + 20t2 + 720st
2
2
PAUTA Certamen 3 - MAT060
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Pregunta (3)
[30 Pts] Demuestre, usando inducción, que 10n + 4n − 2 es divisible por 3, para todo n ∈ N.
Solución:
Sea p(n) : 10n + 4n − 2 = 3k para algún k ∈ Z.
(O, equivalentemente, p(n) : 10n + 4n − 2 es divisible por 3.
Entonces:
p(1) : 101 + 41 − 2 = 12, que es divisible por 3, de donde p(1) es V.
Veamos ahora que p(n) ⇒ p(n + 1) :
Suponemos que
10n + 4n − 2 = 3k para algún k ∈ Z
10n+1 + 4n+1 − 2 = 3`
(H.I.), y queremos probar que
para algún ` ∈ Z (T.I.)
Notamos que:
10n+1 + 4n+1 − 2
=
10 · 10n + 4 · 4n − 2
=
4 · (10n + 4n − 2) + 6 · 10n + 6
{z
}
|
=3k
= 3 · (4k) + 3 · (2 · 10n + 2)
= 3` ,
` = 4k + 2 · 10n + 2 ∈ Z
Luego, se tiene que 10n + 4n − 2 es divisible por 3, para todo n ∈ N.
3