Precálculo I
Capítulo 3: Funciones polinómicas y
funciones racionales
• Sección 3.4: Ceros racionales y
funciones polinómicas
Contenido
Ceros
racionales y
funciones
polinómicas
2
Algoritmo de la división
Sección 3.4
Recordar: Función polinomial
𝑝 𝑥 = 𝑥 ! − 𝑥 " − 14𝑥 + 24
Forma expandida
𝑝 𝑥 = (𝑥 − 𝟐)(𝑥 − 𝟑)(𝑥 + 𝟒)
Forma factorizada
Ceros de P = {2, 3, -4}
3
Teorema de los ceros racionales
𝑥=
! (#ú%&'!%() *+ ,! )
. (#ú%&'!%() *+ ," )
Sección 3.4
es un cero racional de 𝑓(𝑥)
4
Sección 3.4
Guía para hallar los ceros racionales de un polinomio
5
Sección 3.4
Ceros racionales de un polinomio
Ejemplo: Hacer una lista de todos los posibles ceros racionales dados por el Teorema de
Ceros Racionales 𝑝 𝑥 = 6𝑥 # − 𝑥 $ + 2𝑥 + 12
𝑎% = 12
Factores de 𝑎% = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
𝑎# = 6
Factores de 𝑎# = ±1, ±2, ± 3, ±6
Posibles ceros
& ((ú*+,&*-. /0 1 )
𝑥 = 3 ((ú*+,&*-. /0 1 ! ) =
"
±5,±$, ±7,±#,±8,±5$
±5,±$, ±7,±8
5
5
5
$
7
#
= ±1, ± $, ± 7 , ± 8, ±2, ± 7, ±3, ± $, ±4, ± 7,
±6, ±12
6
Ceros racionales y funciones polinómicas
Ejemplo: Encontrar todos los ceros reales de
𝑝 𝑥 = 𝑥 ! − 3𝑥 + 2
𝑎" = 2
Sección 3.4
Se hace división sintética para comprobar cuáles
de estos posibles ceros son en realidad ceros
1
Factores de 𝑎" = ±1, ±2
1
1
0
-3
2
1
1
-2
1
-2
0
𝑎! = 1
El residuo es 0 por lo que 1 es un cero
Factores de 𝑎! = ±1
𝑞 𝑥 = 𝑥 $ + 𝑥 − 2 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
Posibles ceros
𝑥+2=0
𝑥 = −2
𝑥−1=0
𝑥=1
𝑥=
𝑝 (𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎" ) ±1, ±2
=
= ±1, ±2
𝑞 (𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎# )
±1
𝒄 es un cero del polinomio si y solamente si el
residuo al dividir 𝒙 − 𝒄 es cero
Los ceros de 𝑝 𝑥 = 𝑥 ! − 3𝑥 + 2 son 1
(multiplicidad 2) y -2 (multiplicidad 1)
7
Ceros racionales y funciones polinómicas
Ejemplo (continuación): Encontrar todos los ceros
reales de 𝑝 𝑥 = 𝑥 # − 3𝑥 + 2
Sección 3.4
𝑝 −2 = (−2)7 −3 −2 + 2
= −8 + 6 + 2 = −8 + 8 = 0 𝐒𝐈
Otra forma: Usando el Teorema del Residuo
Posibles ceros
𝑥 = ±1, ±2
𝑝 2 = (2)7 −3 2 + 2
= 8 − 6 + 2 = 10 − 6 = 4 ≠ 0. NO
𝑝 −1 = (−1)# −3 −1 + 2
= −1 + 3 + 2 = −1 + 5 = 4 ≠ 0 NO
𝑝 1 = (1)# −3 1 + 2
= 1 − 3 + 2 = 3 − 3 = 0 SI
Los ceros de 𝑝 𝑥 = 𝑥 7 − 3𝑥 + 2 son 1 y -2
Con este método no se puede determinar la
multiplicidad de los ceros reales del
polinomio
8
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo: Encontrar todos los ceros reales de 𝑝 𝑥 = 2𝑥 7 + 𝑥 $ − 13𝑥 + 6
𝑎% = 6
Factores de 𝑎% = ±1, ±2, ±3, ±6
𝑎7 = 2
Factores de 𝑎7 = ±1, ±2
Posibles ceros
𝑥=
) (+ú-./)-01 23 4! )
6 (+ú-./)-01 23 4" )
=
±7,±",±!,±8
±7,±"
7
"
!
"
= ±1, ± , ±2 , ±3, ± , ±6
RECUERDE: 𝑐 es un cero del polinomio si y solamente si
el residuo al dividir 𝑥 − 𝑐 es cero
9
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo (continuación): Encontrar todos los ceros reales de 𝑝 𝑥 = 2𝑥 7 + 𝑥 $ − 13𝑥 + 6
5
7
Posibles ceros = ±1, ± $ , ±2 , ±3, ± $ , ±6
Se hace división sintética para comprobar cuáles de estos posibles ceros son en realidad
ceros
Probar con 1 como cero
1
2
2
1
-13
6
2
3
-10
3
-10
-4
El residuo es −4 ≠ 0, 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜
Probar con 2 como cero
2
2
2
1
-13
6
4
10
-6
5
-3
0
El residuo es 0, 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜
10
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo (continuación): Encontrar todos los ceros reales de 𝑝 𝑥 = 2𝑥 ! + 𝑥 $ − 13𝑥 + 6
El residuo es 0, 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜
2
2
2
1
-13
6
4
10
-6
5
-3
0
𝑞 𝑥 = 2𝑥 $ + 5𝑥 − 3
Factorizar
𝑞 𝑥 = 2𝑥 $ + 5𝑥 − 3 = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
DIBUJAR LA GRÁFICA DE 𝒑(𝒙)
p 𝑥 = (𝑥 − 2) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑥−2=0
𝑥=2
2𝑥 − 1 = 0
𝑥=
𝑥+3=0
𝑥 = −3
%
$
5
Ceros de p = {2, $, −3}
11
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo: Hallar las raíces enteras de la ecuación 17𝑥 7 − 14𝑥 $ − 37𝑥 − 6 = 0
𝑎% = 6
Factores de 𝑎% = ±1, ±2, ±3, ±6
𝑎7 = 17
Factores de 𝑎7 = ±1, ±17
Posibles ceros
𝑥=
) (+ú-./)-01 23 4! )
6 (+ú-./)-01 23 4" )
=
±7,±",±!,±8
±7,±79
= ±1, ±
7
, ±2
79
,±
"
, ±3,
79
±
!
79
, ±6, ±
8
79
RECUERDE: 𝑐 es un cero del polinomio si y solamente si el
residuo al dividir 𝑥 − 𝑐 es cero
12
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo (continuación): Hallar las raíces enteras de la ecuación
17𝑥 7 − 14𝑥 $ − 37𝑥 − 6 = 0
Aplicando el Teorema del residuo
𝑓 1 = 17(1)7 − 14 1
$
− 37 1 − 6 = 17 − 14 − 37 − 6 = −40 ≠ 0
𝑥 − 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑓 −1 = 17(−1)7 − 14 −1
$
− 37 −1 − 6 = −17 − 14 + 37 − 6 = 0
𝑥 + 1 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
13
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo (continuación): Hallar las raíces enteras de la ecuación
17𝑥 7 − 14𝑥 $ − 37𝑥 − 6 = 0
-1
17
17
-14
-37
-6
-17
31
6
-31
-6
0
𝑞 𝑥 = 17𝑥 $ − 31𝑥 − 6
Factorizar
17𝑥 $ − 31𝑥 − 6 = (17𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
𝑥 + 1 17𝑥 + 3 𝑥 − 2 =0
𝑥+1=0
𝑥 = −1
17𝑥 + 3 = 0
𝑥 = − 59
𝑥−2=0
𝑥=2
7
Las raíces enteras son 𝑥 = −1 y 𝑥 = 2
14
Ceros racionales y funciones polinómicas
Sección 3.4
Ejemplo: Hallar un polinomio de grado 4 cuyos ceros racionales son −1, 1, 3 y 5
Por el teorema del factor:
𝑝 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
𝑎 es una constante diferente de cero
Como se pide un polinomio en particular, tomemos 𝑎 = 1 (podría ser cualquier
valor real distinto de cero)
𝑝 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 − 3)(𝑥 − 5)
EJERCICIO: EXPANDIR EL POLINOMIO
15
Ejercicios
Sección 3.4
• Sección 3.4: Pág. 302, ejercicios 3.16, 3.17, 3.19, 3.20-3.24
• Resolver los ejemplos de la sección 3.4
16
Lectura
recomendada
• Sección 3.4 del Capítulo 3
del libro texto del curso
17