Mathematics (mil) 142
Tutorial 2
1. Find the limits, if they exist
sin x
lim 0
x
2x
a.
x cos x + e − x
lim 0
x
x2
i.
x −1 − 2
x 2 − 25
j.
x
lim 0
arcsin 2 x
arcsin x
sin x − x
tan x − x
k.
lim ∞
x
x2 +1
arctan x
lim 0+
cot x
ln x
l.
x
lim + ∞
x ln x
x + ln x
m.
x
x 100
ex
n.
x
lim +∞ x − ln x 2 + 1
1 + sin x
2
2 cos x
o.
x
lim 0+
b.
x
c.
lim 0
x
d.
x
e.
x
f.
lim +∞
x
g.
x
h.
lim 0
x
lim 5
lim π
lim + ∞ xe − x
1

lim 0  csc x − 
x

[
)]
(
cot x
cot 2 x
e x − e − x − 2 sin x
x sin x
2. Determine
x
lim ∞
f ( x)
g ( x)
if
x
f ( x) = ∫ e t dt
2
0
and
g ( x) = e x
3. Show that for any positive integer n
a.
lim + ∞
x
xn
=0
ex
b.
lim + ∞
x
ex
= +∞
xn
2
4. Find the limits if they exist :
a.
1
 1
− 
lim 0  x
x
 e −1 x 
b.
lim ∞ x 2 − 1 e − x
x
c.
x
(
lim ∞ x sin
)
1
2
1
x
 1
d. x lim ∞ 1 + 
x

e.
lim ∞ x x
x
f.
 x2
x2 


lim
−
x
∞
 x − 1 x + 1
ln x
g.
x
h.
x
5x
lim1− (1 − x )
 1
1
lim 0 
− 
2
 x +1 x 
5. Sketch the graph of the function f defined by f )( x) = x x , x > 0.
Hints :
find the limits as x → ∞ and as x → 0
Use derivative to determine the turning point.
ANSWERS
1.
a. ½
b. 1/40
c. –1/2
d. -∞
e. +∞
f. 0
g. ∞
h. 0
i. not exist
j. 2
k. ∞
l. 0
m. 0
n. +∞
o. 2
2.
0
4.
a. –1/2
b. 0
c. 1
d. e5
e. 1
f. 2
g. 1
h. not exist
5
To be discussed in class.