Bài tập tuần 1
[CSC14001‑20KHMT] Automata và ngôn ngữ hình thức
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 1
Mục lục
Thông tin chung:
2
Giải bài tập:
Bài 5: . .
Bài 6: . .
Bài 12: . .
Bài 13: . .
3
3
5
6
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 2
Thông tin chung:
• Họ và tên: Hoàng Phước Nguyên
• MSSV: 20127258
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 3
Giải bài tập:
Bài 5:
Đề bài: Sử dụng quy nạp toán học, chứng minh rằng : ∀𝑛 ∈ ℕ
𝑛
∑
𝑖=1
𝑛
1
=
𝑖(𝑖 − 1)
𝑛+1
(Nếu 𝑛 = 0 thì vế trái của đẳng thức theo định nghĩa sẽ là 0).
Bài làm:
• Chứng minh: Gọi 𝑆(𝑛) là phát biểu:
𝑛
∑
𝑖=1
1
𝑛
=
, ∀𝑛 ∈ ℕ
𝑖(𝑖 + 1)
𝑛+1
• Bước cơ sở: Cho 𝑛0 = 0. Rõ ràng, 𝑆(0) là đúng khi vế trái của phát biểu theo đề bài định nghĩa
0
là 0, vế phải của phát biểu là 0+1
= 0.
• Bước quy nạp: Giả thiết quy nạp cho rằng 𝑆(𝑘) đúng với giá trị 𝑘(∈ ℕ) tùy ý và 𝑘 ≥ 𝑛0 . Điều này
nghĩa là:
𝑘
1
𝑘
∑
=
𝑖(𝑖 + 1)
𝑘+1
𝑖=1
Ta bắt đầu chứng minh 𝑆(𝑘 + 1) đúng hay
𝑘+1
∑
𝑖=1
1
𝑘+1
=
𝑖(𝑖 + 1)
𝑘+2
Đi từ vế trái, ta có
𝑘+1
𝑘
1
1
1
=∑
+
∑
𝑖(𝑖
+
1)
𝑖(𝑖
+
1)
(𝑘
+
1)(𝑘
+ 2)
𝑖=1
𝑖=1
𝑘
1
+
(Áp dụng giả định quy nạp)
𝑘 + 1 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑘(𝑘 + 2) + 1
𝑘2 + 2𝑘 + 1
(𝑘 + 1)2
=
=
=
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑘+1
=
𝑘+2
=
.
• Ta có vế trái bằng vế phải, từ đây, có thể khẳng định được phát biểu 𝑆(𝑛) đúng cho mọi số tự
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 4
nhiên 𝑛.
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 5
Bài 6:
Đề bài: Sử dụng qui nạp toán học, chứng minh rằng: ∀𝑛 ∈ ℤ+
𝑛
∑
𝑖=1
2
1
=1− 𝑛
𝑖
3
3
Bài làm:
• Chứng minh: Gọi 𝑆(𝑛) là phát biểu:
𝑛
∑
𝑖=1
2
1
= 1 − 𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℤ+
𝑖
3
3
1
• Bước cơ sở: Cho 𝑛0 = 1. Rõ ràng, 𝑆(1) đúng khi vế trái của phát biểu ∑𝑖=1 32𝑖 = 32 và vế phải là
1 − 311 = 32 .
• Bước qui nạp: Giả thiết qui nạp cho rằng 𝑆(𝑘) đúng với giá trị 𝑘(∈ ℤ+ ) tùy ý và 𝑘 ≥ 𝑛0 . Điều này
có nghĩa là:
𝑘
1
2
∑ 𝑖 =1− 𝑘
3
3
𝑖=1
Ta cần chứng minh 𝑆(𝑘 + 1) đúng hay
𝑘+1
∑
𝑖=1
2
1
= 1 − 𝑘+1
𝑖
3
3
Đi từ vế trái, ta có:
𝑘+1
∑
𝑖=1
𝑘
2
2
2
∑
=
+ 𝑘+1
𝑖
𝑖
3
3
3
𝑖=1
1
2
+ 𝑘+1
(Dựa vào giả thiết qui nạp)
𝑘
3
3
3
2
= 1 − 𝑘+1 + 𝑘+1
3
3
1
2
2
= 1 − 𝑘+1 − 𝑘+1 + 𝑘+1
3
3
3
1
= 1 − 𝑘+1
3
=1−
Ta có kết quả của vế trái bằng với vế phải. Từ đây, có thể khẳng định được phát biểu 𝑆(𝑛) đúng
cho mọi số nguyên dương.
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20
Bài tập tuần 1
Page 6
Bài 12:
Đề bài: Gọi ℒ = {𝑤 ∈ {𝑎, 𝑏}∗ ∶ |𝑤| ≡3 0}. Liệt kê 10 chuỗi đầu tiên theo thứ tự chuẩn tắc của ngôn
ngữ ℒ.
Bài làm: ℒ = {𝜀, 𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑎, 𝑎𝑏𝑏, 𝑏𝑎𝑎, 𝑏𝑎𝑏, 𝑏𝑏𝑏, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏, … }
Bài 13:
Đề bài: Cho bảng chữ cái Σ = {𝑎, 𝑏}. Hãy đưa ra lời mô tả ngắn gọn, súc tích cho mỗi ngôn ngữ ℒ
(được định nghĩa trên Σ) sau đây:
20127258 ‑ Hoàng Phước Nguyên
2023‑06‑20