Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
O’ZGARUVCHILARI AJRALGAN VA AJRALADIGAN DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR
Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li, Qodirov Farrux Ergash o’g’li
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali 4-kurs
4
talabasi
ANNOTATSIYA: Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri bo’lgan
Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial
tenglamalar haqida ma’lumotlar keltirildi va mavjud muanmolar qisman hal etildi. Hozirgi
kunda fan-texnika rivojlanib borgan sari matematikani roli ortib bormoqda. Shu jumladan
matematikadan fizika, mexanika va astronomiya hamda iqtisodiy masalalarni yechishda,
biologik jarayonlarni taxlil etishda va boshqa ko’p sohalarda foydalaniladi. Bu sohalardagi
jarayonlarni matematik modeli differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi.Noma’lum
funksiyaning hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.
KALIT SO’ZLAR: Differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar, Hosilaga nisbatan
yechilgan birinchi tartibli tenglamalar. Koshi masalasi, O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan
differensial tenglamalar
lumfunksiyabirargumentlibo’lsa,
Agarnoma’lumfunksiyabirargumentlibo
uholdatenglamaoddiydifferensialtenglama
oddiydifferensialtenglamadeb,
agarnoma’lumfunksiyako’ppo’zgaruvchilibo’lsa,
uholdatenglamaxususiyhosilalidifferensialtenglama
osilalidifferensialtenglamadebaytiladi.
Misol 1: Faraz qilaylik moddiy nuqta OX o’qi bo’ylab xarakat qilsin. Xarakat funksiyasi f(t)
bo’lsin. Bundan tashqari biror t=t0 momentda uning abstsissasi x0 qiymatni qabul qilsin. Shu
moddiy nuqtani xarakat qonunini
onunini toping.
Bu masalaning matematik modeli
dx
= f (t ), x(t 0 ) = x0
dt
ko’rinish bilan ifodalanadi.
MISOL 2: Radiaktiv modda hisoblangan radiyni parchalanish tezligi uning miqdoriga to’g’ri
proportsiolnal. Faraz qilaylik, t momentda R0 g radiy bor bo’lsin. Ixtiyoriy t momentda R g radiy
miqdorini aniqlang.
Agar proportsionallik koeffitsienti c(c>0)ga teng bo’lsa, u holda masala ushbu
differensial tenglamani yechishga keltiriladi.
∂R
= −cl
∂t
Bu tenglamani t=t0da R=R0ga teng bo’ladigan yechimi
240
Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
R=R0e-c(t-t0)
funksiya bilan ifodalanadi. Yuqoridagi masalalardan ko’rinadiki
bitta differensial tenglamani bir necha funksiyalar qanoatlantirishi mumkin, shuning uchun
differensial tenglamalar nazariyasining asosiy maqsadi berilgan tenglamaning barcha
yechimlarini topish va ularning xususiyatlarini o’rganishdan iborat.
Differensial tenglamalarni tartibi tenglamada qatnashgan eng yuqori tartibli hosila tartibi bilan
aniqlanadi.
TA’RIF: 1. Ushbu
F (x,y, y ′ )= 0(1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
TA’RIF 2: Ushbu
∂y
= f ( x; y )
∂x
(2)
ko’rinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial
tenglama deyiladi.
TA’RIF 3: Bitta o’zgarmas songa bog’liq
y = ϕ (x; c) (3)
(1)
tenglamaning yechimlari oilasini ifodalovchi funksiya tenglamaning
umumiy yechimi deyiladi yoki
TA’RIF 4: Agar
 y = w( x, c )
 '
 y = w x ' ( x, c )
munosabatlardan c parametrni yo’qotish mumkin bo’lib, natijada (2)
tenglama hosil bo’lsa, u holda (3) funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
TA’RIF 5: Umumiy (3) yechimdan c parametrni aniq sonli qiymatlari uchun hosil bo’lgan
yechimi xususiy yechim deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan 1 va 2 masalalardagi (t0, x0), (t0,R0) nuqtalardan o’tuvchi yechimlarni
yagonaligi muhim ahamiyatga ega, shuning uchun berilgan (t0,x0) nuqtadan bitta yechim o’tsa
shu nuqtada yagonalik o’rinli deb yuritiladi.
TA’RIF 6: Yagonalik o’rinli bo’lmagan yechim maxsus yechim deyiladi.
MISOL 3: Tenglamani yeching
y' = 2 y
( y ≥ 0)
Bu yerda y≠0 deb olib
y′
= 1 yoki
2 y
( y )′ = 1
241
Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan
umumiy yechimga ega bo’lamiz.
y = x+c
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
(x > −c )
yoki
y = ( x + c )2 ( x ≥ − c )
Bundan tashqari y≡0 ham tenglamaning yechimi, bu maxsus yechim bo’ladi.
y=0 ni , ya’ni OX o’qini ixtiyoriy nuqtasidan
y = ( x − x 0 )2
(x ≥ x0 )
yarim parabolar o’tadi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalardan biri Koshi masalasi deb
yuritiladi.
dy
= f ( x, y )
dx
(4)
ko’rinishidagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi.
Koshi masalasi : (1) tenglamaning
y(x0)=y0
(5)
shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi yoki boshlang’ich
masala deb yuritiladi.
Bunda x0va y0 berilgan sonlar bo’lib f(x,y) funksiya aniqlangan sohaga tegishli bo’ladi. (4)
tenglamaning yechimi bo’lgan y=ϕ(x) yoki oshkormas ko’rinishda ϕ((x,y) funksiyani mos egri
chizig’i (grafigi) integral chiziq deb ataladi. Koshi masalasi, geometrik nuqtaiy-nazardan
qaraganda barcha integral chiziqlar ichidan berilgan (x0,y0) nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni
topish masalasidir.
MISOL: 1. Koshi masalasining yechimi mavjudmi?
x
 ∂y
 =−
y
 ∂x
 y (0) = 0

( x0 = 0, y0 = 0)
ko’rish mumkinki bu Koshi masalasini yechimi mavjud emas.
Demak, Koshi masalasi har doim ham yechimiga ega emas, agar yechim mavjud bo’lsa u yagona
bo’ladimi? kabi savol berilishi tabiiy. Yechimining yagonaligi differensial tenglamalar olingan
jarayonlarda biror qonun mavjud bo’lib boshqa qonun yo’qligini, xarakat yoki jarayon faqat shu
qonun orqali amalga oshishini bildiradi.
MISOL: Quyidagi Koshi masalasining yechimiga yaqinlashuvchi yechimning birinchi
uchta hadini toping.
y′ = x + y 2
y (0 ) = 0
242
Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
Bunda
f ( x, y ) = x + y 2 ,
x0 = 0, y 0 = 0
n=0 da y=0
x
(
)
x
t2
2
n=1 da y1 ( x ) = 0 + ∫ t + 0 dt = ∫ tdt =
2
0
0
x
2
  t
n=2 da y 2 ( x ) = 0 + ∫  t +
2
0
 




x
0
x2
=
2
2
x
 t4 
x 2 x5



dt = ∫  t + 4 dt = 2 + 20

0

x2
x 2 x5
+
Demak, y0 = 0, y1 =
, y2 =
.
2
2 20
Bu yechim teorema shartiga ko’ra faqat x=0 nuqtaning biror atrofida mavjud bo’ladi. f(x,y)
funksiya butun (x,y) tekislikda aniqlangan va uzluksiz bo’lganligi uchun ixtiyoriy D={(x,y): x0a≤x≤x0+a, y0-b≤y≤y0+b} sohani, ya’ni a va b ni olish mumkin.
Unda M = max x + y
2


= a + b 2 bo’ladi.
Yechim esa | x |≤ min  a,

 intervalda mavjud va yagona bo’ladi.
a+b 
b
2
Hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamalarda, agar
f(x,y)=f1(x)d1(y)
ko’rinishdagi funksiya bo’lsa, u holda tenglama
y ′ = f1 ( x )d1 ( y )
(6)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda f1(x) biror J1 intervalda d1(y) esa J2 intervalda aniqlangan
funksiyalardir.
(1) ko’rinishdagi differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
TEOREMA: Agar a≤x≤b, c≤y≤d
c
o’zgarganda f1(x)d1(y) funksiya uzluksiz, hamda d1(y)≠0 bo’lsa,
u holda q={(x,y): a≤x≤
≤b, c≤y≤d} to’g’ri to’rtburchak sohani ixtiyoriy (x0,y0) nuqtasidan
tenglamani bitta va faqat bitta grafigi o’tadi.
dy
= y ′ ekanligidan foydalanib, (6) tenglamani
dx
dy
= f1 ( x )dx
d1 ( y )
ko’rinishda yozib olamiz. So’ngra integrallab K1(y)-F1(x)=C yoki F(x,y)=C ko’rinishdagi
umumiy integral topiladi.
243
Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
MISOL: Tenglamani yeching
1
dy
x
=−
унда f 1 ( x ) = − x, d 1 ( y ) = bo’lib y≠0 ydy= - xdx
dx
y
y
y2
x 2 C1
=− +
ko’rinishda o’zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz, u holda
yoki
2
2
2
y 2 + x 2 = C1 ko’rinishdagi umumiy integralga ega bo’lamiz.
O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar ushbu ko’rinishda ham bo’lishi mumkin.
M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy
dy=0
(7)
bu ko’rinishdagi tenglamani ham (6) ko’rinishga keltiramiz, ya’ni
M (x ) N 1 ( y )
dy
=− 1
dx
M 2 (x ) N 2 ( y )
M 1 (x )
N (y)
= f1 ( x ), − 1
= d 1 ( y ) belgilash kiritsak, (7) tenglama (6) ko’rinishni oladi. Uni
M 2 (x )
N 2 (y)
yuqorida ko’rilgan usulda yechimini topish mumkin.
Agar
ASOSIY ADABIYOTLAR
1.
Тўраев Х., Азизов И., Отақулов С. Комбинаторика ва графлар назарияси. Т.: 2009.
2.
Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968.
3.
Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
4.
Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. - М.:
Наука. -1969.
5.
Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
6.
Семёнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических
вузов. Часть 1. - Пенза: Пензенский гос. ун-т, 2008.
7.
Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач:
учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
8.
Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1987.
9.
Беклемешев Д.В., Петрович А.Ю., Чуберов И.А. Сборник задач по аналитической
геометрии и линейной алгебре. -М.: Наука, 1987.
10.
Бугров Я.С., Николский С.М. Сборник задач по высшей математике, - М.: Наука.
1997.
Qo`shimcha adabiyotlar
11.
Тураев Х.Т., Математик мантик ва дискрет математика. Т.: Укитувчи,2003.
12.
Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. М.: Наука, 1985.
244
Journal of Advanced Research and
nd Stability
Volume: 02 Issue: 01 | 2022
ISSN: 2181-2608
2181
www.
www.sciencebox.uz/
13.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике
и теории алгоритмов. М.: Физ.-мат. литература, 1995.
14.
Partee B., ter Meulen A., Wall R. Mathematical Methods in Linguistics. Dordrecht: Reidel,
1989.
15.
Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. – М.: Наука, 1972.
16.
Дискрет математика ва математик мантиқ(ўқув услубий мажмуа), Т., Университет,
2011
ELEKTRON MANBALAR
1.
http://dimacs.rutgers.edu/
2.
http://epubs.siam.org/sam
http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/toclist/SIDMA
3.
http://www.vsppub.com/journals/jn
http://www.vsppub.com/journals/jn-DisMatApp.html
4.
http://www.math.uu.se/logik/logic
http://www.math.uu.se/logik/logic-server/
5.
http://dmoz.org/Science/Math/Logic/
245