XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
KHAI TRIỂN TAYLOR
f ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) +
2
f ( x0 ) = a0
f ' ( x0 ) = a1
f '' ( x0 )
f '' ( x0 ) = 2!a2  a2 =
2!
f
( n)
( x0 ) = n!an  an =
f
n
( x0 )
n!
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• Ý tưởng: Tìm đa thức nội suy theo cách
xây dựng khai triển Taylor của hàm số
f ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) ( x − x1 ) +
f ( x0 ) = a0  a0 = y0
y1 − y0
f ( x1 ) = a0 + a1 ( x1 − x0 ) = y1  a1 =
 f ' ( x0 )
x1 − x0
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• Tỷ hiệu
f ( x1 ) − f ( x0 )
f  x0 , x1  :=
x1 − x0
f  x1, x2  − f  x0 , x1 
f  x0 , x1, x2  :=
x2 − x0
f  x1,..., xk  − f  x0 ,..., xk −1 
f  x0 , x1,..., xk  :=
xk − x0
NỘI SUY NEWTON TIẾN
• Xây dựng đa thức nội suy Newton theo
quy nạp các mốc theo thứ tự tăng dần
f ( x ) − y0
f x, x =

0

x − x0
 f ( x ) = y0 + f  x, x0  ( x − x0 )
f  x, x0  − f  x0 , x1 
f  x, x0 , x1  =
x − x1
 f  x, x0  = f  x0 , x1  + f  x, x0 , x1  ( x − x1 )
 f ( x ) = y0 + f  x0 , x1  ( x − x0 ) + f  x, x0 , x1  ( x − x0 ) ( x − x1 )
NỘI SUY NEWTON LÙI
• Xây dựng đa thức nội suy Newton theo
quy nạp các mốc theo thứ tự giảm dần
f ( x ) − yn
f x, x =

n

x − xn
 f ( x ) = yn + f  x, xn  ( x − xn )
f  x, xn  − f  xn , xn−1 
f  x, xn , xn−1  =
x − xn−1
 f  x, xn  = f  xn , xn−1  + f  x, xn , xn−1  ( x − xn−1 )
 f ( x ) = yn + f  xn , xn−1  ( x − xn ) + f  x, xn , xn−1  ( x − xn )( x − xn−1 )
ĐTNS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
• Sai phân xk = x0 + kh
yk = yk +1 − yk = yk +1
(
=  (
 yk =  
l −1
 yk
l −1
l
l
)
y )
yk
k
 y0  yk
f  x0 ,..., xk  =
=
k
k
k !h
k !h
k
k
ĐTNS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
Pn ( x ) = Pn ( x0 + th )
y0  2 y0
= y0 +
t+
t ( t − 1) +
1!
2!
= Pn ( xn + th )
 n y0
+
t ( t − 1)
n!
(t − n + 1)
y n  2 y n
= yn +
t+
t ( t + 1) +
1!
2!
 n yn
+
t ( t + 1)
n!
(t + n − 1)
ĐÁNH GIÁ SAI SỐ
f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x )
M n+1
Rn ( x ) 
w n+1 ( x )
( n + 1)!
n
w n+1 ( x ) =  ( x − xi ) , M n+1 = sup | f
i =0
x[a ,b ]
( n+1)
( x) |