A PARAITRE : 2017
CALCUL
DIFFERENTIEL
COURS
et
EXERCICES AVEC SOLUTIONS
Auteurs :
Abdelkader INTISSAR1,3
Jean-Karim INTISSAR2,3
(1)
Equipe d’Analyse Spectrale, Faculté des Sciences et Techniques
Université de Corté, 20250 Corté, France
Tél: 00 33 (0) 4 95 45 00 33 - Fax: 00 33 04 95 45 00 33
intissar@univ-corse.fr
(2)
Ecole Centrale Paris, Université Paris-Saclay
Grande Voie des Vignes, 92290 Châtenay-Malabry, France
jean-karim.intissar@student.ecp.fr
(3)
Le Prador, 129, rue du commandant Rolland, 13008 Marseille, France
Tous droits de reproduction, de traduction et d’adaptation réservés.
(*)
Cépaduès-éditions
Janvier
2017
AVANT-PROPOS
Cet ouvrage est destiné à tous ceux qui désirent s’initier aux fondements du
calcul différentiel et ses applications. En particulier, il s’adresse aux étudiants
de troisième année universitaire en mathématiques, à ceux qui préparent l’agrégation
et aux élèves des grandes écoles, tout comme aux étudiants de master première
année et deuxième année.
L’accent y est mis sur la notion de dérivée au sens de Fréchet sur les espaces
normés de dimension infinie, car la notion de dérivée ne fait pas intervenir la
dimension.Toutes les notions de dérivée au sens de Gateaux ou au sens de
Hadamard sont abordées et des applications originales de ces notions sont
données.
Le théorème de Hahn-Banach nous permet de démontrer le théorème des
accroissements finis dans un cadre général. En combinant ce dernier avec
le théorème des applications contractantes, on démontre celui de l’inversion
locale. Ce dernier est utilisé dans la démonstration de certains théorèmes
d’existence de solutions pour les équations intégrales non linéaires à noyau ou
pour les équations différentielles non linéaires , tout comme pour la démonstration
du théorème des fonctions implicites. Une application originale de ce dernier
est le théorème de Kato-Rellich sur le problème des perturbations des valeurs
propres.
L’introduction de la notion de dérivée d’ordre supérieur nous conduit à la
formule de Taylor. La démonstration en dimension infinie de cette formule
repose aussi sur le théorème de Hahn-Banach.
Pour certains problèmes aux limites concrets, l’approximation au premier
ordre dans la formule de Taylor donne des opérateurs linéaires parfois non
bornés et non auto-adjoints dont l’étude spectrale est la base de la résolution
de plusieurs problèmes physiques.
En dimension finie, les systèmes différentiels linéaires ou non linéaires modélisent
des problèmes assez variés, de la météorologie aux mouvements des moteurs
à courant continu ou pas à pas, voire à la plupart des modèles physiques
présentés dans les deux premières années de l’enseignement supérieur.
La recherche des points d’équilibre et l’étude de leur stabilité ou instabilité
par exemple est fondamentale.
Après les démonstrations du théorème de Cauchy-Lipschitz et du théorème
de Péano, on présente la notion de stabilité au sens de Liapunov pour l’appliquer
aux systèmes dynamiques de Lorenz et de Gribov; le premier modélise des
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phénomènes météorologiques et le second des interactions entre hadrons en
théorie des champs de Reggeons. L’étude de ces deux modèles est une bonne
initiation à la recherche en analyse fonctionnelle et à la théorie du chaos pour
les silletèmes dynamiques.
La première originalité de cet ouvrage réside dans le fait que :
- Tous les théorèmes sont démontrés en détail, y compris les théorèmes classiques vus lors des premières années post-bac comme le théorème des valeurs
intermédiaires, le théorème de Rolle ou encore la formule de Taylor sur R.
- Tous les théorèmes fondamentaux liés aux espaces vectoriels normés
(théorème de la meilleure approximation, lemme de Riesz, théorème d’ArzelaAscoli) ou aux espaces de Hilbert (théorème de projection, théorème de représentation
de Fréchet-Riesz) sont démontrés en détail.
- Des espaces fonctionnels intéressants sont introduits, par exemple certains espaces de Sobolev et l’espace de Bargmann.
La seconde originalité de cet ouvrage, et probablement la plus importante,
réside dans le fait que :
- Tous les exercices parmi lesquels plusieurs problèmes originaux sont donnés
avec leurs solutions détaillées.
- Tous les exercices ont été proposés pendant plusieurs années en troisième
année universitaire et en préparation aux concours.
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TABLE DES MATIERES
Chapitre 1
Différentielle et dérivée au sens de Fréchet
§ 1 Notions fondamentales ........................................................... 7
§ 2 Applications linéaires .......................................................... . 22
§ 3 Dérivée au sens de Fréchet ................................................... 26
§ 4 Théorèmes fondamentaux ...................................................... 28
§ 5 Dérivée au sens de Gateaux .................................................. 36
§ 6 Exercices avec solutions .......................................................... 42
Chapitre 2
Théorème d’inversion locale et applications
§ 1 Principe des applications contractantes ............................... 88
§ 2 Théorème d’inversion locale .................................................... 92
§ 3 Applications et méthode de Newton ..................................... 98
§ 4 Exercices avec solutions ........................................................... 104
§ 5 Exemple de devoir surveillé sur les chapitres 1 et 2 .......... 138
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Chapitre 3
Formule de Taylor
§ 1 Démonstrations de certains théorèmes classiques sur R ........ 147
§ 2 Dérivée d’ordre supérieur et lemme de Schwarz .................... 152
§ 3 Formule de Taylor .......................................................................... 163
§ 4 Exercices avec solutions ................................................................ 166
Chapitre 4
Théorème des fonctions implicites et applications
§ 1 Théorème des fonctions implicites ............................................. 183
§ 2 Analyse spectrale et théorème de Kato-Rellich ......................... 186
§ 3 Exercices avec solutions ................................................................. 191
§ 4 Exemple de devoir surveillé sur les chapitres 3 et 4 .................... 195
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Chapitre 5
Problème de Cauchy et notions élémentaires sur
quelques systèmes dynamiques chaotiques
§ 1 Généralités et problème de Cauchy .............................................. 216
§ 2 Méthode de Picard et théorème d’existence ............................ 223
§ 3 Lemme de Gronwall et théorème d’unicité ............................... 227
§ 4 Sur les systèmes dynamiques de Gribov et de Lorenz............. 244
§ 5 Exemple du moteur en régime chaotique; lois de commande de
stabilité .................................................................................................. 262
§ 6 Exercices avec solutions ................................................................. 292
Références
§ 1 Références citées dans le texte ...................................................... 313
[1] Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P., On Devaney’s
Definition of Chaos. The American Mathematical Monthly, Vol. 99, no. 4
(1992), p.332-334
[2] Brézis H., Analyse fonctionnelle - Théorie et applications” Edition Masson (1983).
[3] Ciafaloni M., Instanton contributions in Reggeons Quantum Mechanics,
Nuclear Physics, B 146 (1978) p. 427- 444.
[4] Coppel W. A., Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, Heath, Boston, (1965).
[5] Dubourdieu J. M., Comptes Rendus de l’Académie des Sciences Paris,
Tome 206 (1938), p.303-305, p.556-557.
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[6] Epreuve spécifique - filière PC, Mathématiques 1, concours communs
Polytechniques session-France (2014)
[7] Fielder M., irreductibility of compound matrices, Commun, Math. Univ.
carol. 20 (1979) p. 737-743.
[8] Intissar A. and Intissar J-K., On Chaoticity of the Sum of Chaotic
Shifts with Teir Adjoints in Hilbert Space and Applications to Some Weighted
Shifts Acting on Some Fock-Bargmann spaces, Complex Analysis and Operator Theory, Springer International Publishing (2016) DOI 10.1007/s11785-016-0554-3
[9] Intissar A., Analyse Fonctionnelle et Théorie Spectrale pour les Opérateurs
Compacts Non-Auto-Adjoints et Exercices avec Solutions, Editions Cépaduès,
(1997).
[10] Intissar A., Sur une méthode de perturbations, Comptes Rendus de
l’Académie des Sciences Paris, Tome 304, (1987) p. 95-98
[11] Krasnosel’skii M. A., Topological methods in the theory of Non Integral Equations, Macmillan, New York, (1964).
[12] Li M. Y. and Wang L., A Criterion for Stability of Matrices,Journal
of Mathematical analysis and applications 225, (1998) p. 249-264.
[13] Li, Z. , Park J. B., Joo Y. H., Zhang B. and Chen C., Bifurcations
and chaos in a permanent-magnet synchronous motor. IEEE Trans. Circuits
Syst. I. 49 (3) (2002) p. 383-387)
[14] Locker J., Spectral Theory of Non-Self-Adjoint Two-Point Differential
Operators, American Mathematical Sociuety. V. 73, (2000).
[15] Ma T. and S. Wang, Bifurcation of nonlinear equations I Steady state
bifurcation, Methods and Applications of Analysis, Vol. 11, no 2, (2004) p.155178
[16] Muldowney J. S., Compound matrices and ordinary differential equations, Rocky Mountain J. Math. 20 (1990), p. 857-872.
[17] Rabinowitz P. H., A global theorem for nonlinear eigenvalue problems
and applications, Contributions to Nonlinear Functional Analysis, Academic,
New York, (1971) p.11-36.
[18] Rudin W., Analyse réelle et complexe: cours et exercices, Edition Dunod
(1998).
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[19] Samuelides M. et Touzillier L., Analyse Fonctionnelle, Cours et Exercices, Editions Cépaduès, (1989).
[20] Wieland H., Mathematical Works, vol. 2, de Gruyter, Berlin, (1996)
dans B. Huppert, H. Schneider (Eds).
§ 2 Références supplémentaires ............................................................ 314
[1] Arnold V., Equations différentielles, Chapitres supplémentaires, Mir Editions (1980).
[2] Belmann R., Stability theory of differential equations, McGraw-Hill, NewYork (1953).
[3] Cartan H., Cours de Calcul différentiel, Hermann, Paris (1977).
[4] Dieudonné, J., Eléments d’analyse, Gauthier-Villars, Paris, (1968).
[5] El Mabsout B., Calcul différentiel, Exercices, Editions Masson (1984).
[6] Fredholm I., Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de
Dirichlet, Kong. Vetenskaps-Akademiens Forth, Stockholm, (1900) p. 39-45.
[7] Gantmacher F.R., Applications of the theory of matrices, Interscience
Publishers, Inc (1959).
[8] Gribov, V., J.E.T.P. Sov. Phys. 26, (1968).
[9] Intissar, A., Etude spectrale d’une famille d’opérateurs non-symériques
intervenant dans la théorie des champs de Reggeons. Commun. Math. Phys.
113, (1987).
[10] Intissar, A., Analyse de scattering dun opeérateur cubique de Heun dans
l’espace de Bargmann, Commun. Math. Phys. 199, (1998).
[11] Intissar, A., Spectral Analysis of Non-self-adjoint Jacobi-Gribov Operator and Asymptotic Analysis of Its Generalized Eigenvectors, Advances in
Mathematics (China), Vol.44, No.3, (2015) doi: 10.11845/sxjz.2013117b.
[12] Intissar, A., On spectral approximation of unbounded Gribov-Intissar
operators in Bargmann space, Advances in Mathematics (China), Vol 47, No.
1, (2017).
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[13] Kato T., On the convergence of the perturbation method, Journ. Fac.
Sci. Tokyo, 6, (1951).
[14] Nagy B.Sz., Perturbations des transformations linéaires fermées, Acta.
Sci. Math. Szged, 14, (1951) p. 125-137.
[15] Pétrovsky I., Théorie des équations différentielles ordinaitres et des
équations intégrales, Mir Edition (1988).
[16] Riesz F. and Nagy S., Lecons
d’analyse fonctionnelle, Paris (1968).
s
[17] Rellich F., Perturbation theory of eigenvalue problems, Notes on mathematics and its applications, Gordon and Breach (1969.)
[18] Rideau F., Exercices de Calcul différentiel, Hermann, (1979).
[19] Schwartz L., Analyse mathématique. Cours professé à l’Ecole polytechnique, Hermann, Paris, (1967).
[20] Schwartz L., Analyse II, Calcul différentiel et équations différentielles,
Editions Hermann (1997).
[21] Todjihounde L., Calcul différentiel, Editions Cépaduès, (2015).
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