Ultimo test di prova
1. Sia A un sottoinsieme di R. Una funzione f : A → R e’ limitata inferiormente se e solo se
(a) il dominio A e’ limitato inferiormente
(b) l’immagine f (A) e’ limitata inferiormente
(c) f (x) ammette limite per x → −∞
(d) f (x) ammette limite finito per x → −∞
(e) f (x) ammette minimo
2. Sia f (x) = sin x − |x|. Allora
(a) f −1 ({0}) = {0}
(b) f −1 ({0}) = {x ∈ R : sin x = 0}
(c) f −1 ({0}) = ∅
(d) f −1 ({0}) = 0
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3. Dati gli insiemi A = {z ∈ C : |z − 4i| = 2} e B = {z ∈ C : z 4 = 16}, allora A ∩ B e’ costituito da
(a) nessun elemento
(b) un elemento
(c) 2 elementi
(d) 3 elementi
(e) 4 elementi
4. Sia f : R → R una funzione continua, con f (3) = −1. Allora possiamo dire che
(a) f (x) < 0 in ogni intorno di x = −1
(b) f (x) < 0 in qualche intorno di x = −1
(c) f (x) < 0 in ogni intorno di x = 3
(d) f (x) < 0 in qualche intorno di x = 3
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
√
5. Il limite lim
x→0
x+1−1
√
vale
3
e x−1
(a) 1
(b) +∞
(c) −∞
(d) 0
(e)
1
2
1
6. Sia f : R → R una funzione che non soddisfa f (x) = o(1) per x → +∞. Allora possiamo dire che
(a) esiste > 0 tale che per ogni K > 0 esiste x > K per cui |g(x)| > (b) esiste > 0 tale che per ogni K > 0 esiste x > K per cui |g(x)| < (c) per ogni > 0 esiste x > 0 per cui |g(x)| < (d) per ogni > 0 esiste x > 0 per cui |g(x)| > (e) esiste > 0 tale che per ogni x > 0, risulta |g(x)| > √
(−1)n n + 1
7. La successione an =
n! + sin n
(a) e’ monotona
(b) e’ crescente
(c) e’ infinitesima
(d) e’ indeterminata
(e) e’ divergente
8. La derivata della funzione f (x) = x2 log |x| e’ data da
(a) f 0 (x) = 2x log |x|
(b) f 0 (x) = 2x log |x| + 2
(c) f 0 (x) = 2x log x + 2
(d) f 0 (x) = 2x log |x| + x
(e) f 0 (x) = 2x log x + x
1
9. Si consideri la funzione f definita da f (x) = x sin per x 6= 0 e f (0) = 0. Il suo rapporto incrementale
x
nel punto x0 = 0 vale
1
x
1
x sin
x
1
1
− 2 cos
x
x
1
sin
x
nessuna delle altre risposte e’ corretta
(a) − cos
(b)
(c)
(d)
(e)
10. La funzione f (x) = |x − 4|a , dove a e’ un parametro positivo, e’ derivabile due volte in R se e solo se
(a) a > 2
(b) a ≥ 2
(c) a ≥ 1
(d) a > 1
(e) a > 0
2
11. Sia f (x) = x + 3x2 + x3 per x → 0 e g(x) = sin(f (x)). Allora per x → 0 risulta
(a) g(x) = x + 3x2 + 56 x3 + o(x3 )
(b) g(x) = x + 3x2 + 16 x3 + o(x3 )
(c) g(x) = x + 3x2 + x3 + o(x3 )
(d) g(x) = x + 3x2 − 56 x3 + o(x3 )
(e) g(x) = x + 3x2 + o(x3 )
12. Sia f (x) = o(x3 ) per x → 0. Allora, sempre per x → 0,
(a) sin x + f (x) ∼ x
(b)
f (x)
sin x
∼ x2
(c) la funzione
(d) la funzione
(e) la funzione
f (x)
sin x3 tende a 1
f (x)
x3 cos x3 tende a
3
3
x cos x
f (x)
1
e’ limitata in un intorno destro di x = 0
13. Per ogni valore di a ∈ R, possiamo dire che il grafico della funzione f (x) = arctan((arctan x)3 + x5 )
interseca la retta di equazione y = a
(a) in almeno un punto
(b) in al piu’ un punto
(c) in piu’ di un punto
(d) in nessun punto
(e) esattamente in un punto
14. Sia f : R → R una funzione derivabile tale che f (−2) = 0, f (2) = 4. Allora nell’intervallo (−2, 2) la
derivata f 0 (x)
(a) assume il valore 2 in almeno un punto
(b) assume il valore 0 in almeno un punto
(c) assume il valore 1 in almeno un punto
(d) assume il valore 4 in almeno un punto
(e) assume il valore 1 in piu’ di un punto
15. Se per x → +∞, f (x) =
π
2
+ x1 + o x1 , allora la funzione g(x) = cos(f (x)) verifica (sempre per x → +∞)
(a) g(x) = − x1 + o x1
(b) g(x) = − x12 + o x12
(c) g(x) = 1 − 2x1 2 + o x12
(d) g(x) = 1 − x1 + o x1
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
3
16. Una primitiva della funzione f (x) =
√
√
x sin(x x) su (0, +∞) e’ data da
√
(a) − 23 sin( x)
√
(b) 23 cos( x)
√
(c) − 23 cos(x x)
√
(d) 23 cos(x x)
(e) nessuna delle altre risposte e’ corretta
17. La funzione f (x) =
Rx −1
arctan t3 +
√
5
t dt
(a) e’ crescente
(b) si annulla in x = 1
(c) ha una cuspide in x = 0
(d) si annulla in x = 0
(e) e’ sempre strettamente positiva
18. La media integrale della funzione mantissa sull’intervallo [−1, 0] vale
(a) 1
(b) −1
(c) − 21
(d)
1
2
(e) non si puo’ calcolare perche’ la funzione mantissa non e’ continua su tale intervallo
19. Se f : R → R e’ una funzione continua, soddisfacente f (x) = 3x3 + x5 + o(x5 ) per x → 0 allora l’integrale
Z 1
f (x) sin x
dx
improprio
xα
0
(a) converge per ogni α < 1
(b) converge per ogni α < 5
(c) converge per ogni α > 1
(d) converge per ogni α > 5
(e) e’ indeterminato per ogni α
20. L’equazione differenziale y 0 − 5 log x cos y = 0
(a) e’ a variabili separabili
(b) e’ lineare
(c) ammette soluzioni costanti definite su tutto R
(d) ammette la soluzione costante y(x) = 1 in (0, +∞)
(e) non ammette soluzioni costanti
Soluzioni
1 b, 2 a, 3 b, 4 d, 5 d, 6 a, 7 c, 8 d, 9 d, 10 b, 11 a, 12 a, 13 b, 14 c, 15 a, 16 c, 17 b, 18 d, 19 b, 20 a.
4