Asset Pricing: An Overview
Asset Pricing Course
Hamilton Galindo
Arizona State University
Cleveland State University
January 2022
Target Students and Course
This lecture is
1. For PhD students, and
2. It is the first class of the Asset Pricing Course
Outline
I. What is Asset Pricing?
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
III. Conclusions
References and Next Class
I. What is Asset Pricing?
What is Asset Pricing?
Equilibrium
What is Asset Pricing?
Asset Pricing Theory aims to describe the equilibrium in
financial markets where agents trade claims (Campbell, 2018).
The payoff of Claims has to characteristics:
1. uncertainty (risk)
2. future (time)
“Risk and Time are the main characteristics in Financial Markets and
then in every theory (model) in asset pricing”
What is Asset Pricing?
Risk and Time
Agents trade in financial markets in order to (Skiadas, 2009)
I transfer funds across time (saving or borrowing)
I transfer funds across states of nature (hedging)
transfer funds across time
- Expansion
transfer funds across
state of nature
t
t+1
- Recession
Therefore, inter-temporal and intra-temporal decisions are relevant to
understand asset prices.
What is Asset Pricing?
Demand vs. Supply
1. In microeconomics, the standard approach to study “prices” in
goods market is the Demand vs Supply
2. In asset pricing, we use a similar approach in studying “prices” in
financial market
Asset Price (P)
Asset
Supply
Asset
Demand
𝑷𝑩
𝑷𝑨
B
A
Asset Quantity (Q)
“almost all models in asset pricing could be understood as asset demand
theories”
What is Asset Pricing?
Summary
- Equilibrium
Asset Pricing
Theory
- Risk vs Time
- Supply/Demand
𝑷𝒂𝒔𝒔𝒆𝒕
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
20 years
10 years
10 years
1950 - 1969
1970 - 1979
1980 - 1999
Static Models
Markowitz's Portfolio Theory
(Markowitz, 1952; Tobin, 1958)
The CAPM
(e.g., Sharpe 1964)
~20 years
2000 - Present
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
20 years
10 years
10 years
1950 - 1969
1970 - 1979
1980 - 1999
Static Models
Golden Age of Dynamic
Models
The ICAPM
Markowitz's Portfolio Theory
(Markowitz, 1952; Tobin, 1958)
The CAPM
(e.g., Sharpe 1964)
(Merton 1973)
The APT and Arbitrage
(Ross, 1976, 1978)
Consumption-based Asset
Pricing Models
(Rubinstein, 1976;
Breeden and Litzenberger, 1978)
~20 years
2000 - Present
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
20 years
10 years
10 years
1950 - 1969
1970 - 1979
1980 - 1999
Static Models
Golden Age of Dynamic
Models
The ICAPM
Markowitz's Portfolio Theory
(Markowitz, 1952; Tobin, 1958)
The CAPM
(e.g., Sharpe 1964)
(Merton 1973)
Production-based Asset
Pricing Models
(Cochrane 1991)
The APT and Arbitrage
(Ross, 1976, 1978)
Heterogeneous Agents
(e.g., Dumas, 1989; Wang 1996)
Consumption-based Asset
Pricing Models
(Rubinstein, 1976;
Breeden and Litzenberger, 1978)
Consumption-based Asset
Pricing Models
(e.g., Mehra and Prescott, 1985)
~20 years
2000 - Present
II. Development of Asset Pricing Theory over Time
20 years
10 years
10 years
1950 - 1969
1970 - 1979
1980 - 1999
Static Models
Golden Age of Dynamic
Models
~20 years
2000 - Present
Production-based Asset
Pricing Models (Belo, 2010)
Heterogeneous Agents
The ICAPM
Markowitz's Portfolio Theory
(Markowitz, 1952; Tobin, 1958)
The CAPM
(e.g., Sharpe 1964)
(Merton 1973)
Production-based Asset
Pricing Models
Consumption-based Asset
Pricing Models
Heterogeneous Agents
(e.g., Bansal and Yaron, 2004)
The APT and Arbitrage
(Ross, 1976, 1978)
(e.g., Chan and Kogan, 2002)
(Cochrane 1991)
(e.g., Dumas, 1989; Wang 1996)
Consumption-based Asset
Pricing Models
(Rubinstein, 1976;
Breeden and Litzenberger, 1978)
A Demand System Approach
Consumption-based Asset
Pricing Models
(e.g., Mehra and Prescott, 1985)
(Koijen and Motohiro, 2019)
Intermediary Asset Pricing
Models (He and Krishnamurthy,
2013)
III. Conclusions
Conclusions
• The goal of asset pricing theories: “understand the determinants of
asset prices”
• We have models based on “Equilibrium or Arbitrage” and
“Representative Agent or Heterogeneous Agents”
• We can interpret the asset pricing models as “demand asset models”
References and Next Class
References and Next Class
• I would suggest reading two surveys
I Campbell J. (2000), Asset Pricing at the Millennium
I Cochrane J. (2017), Macro-Finance
• For the next class, we will still be reviewing these two papers.
Lecture: Asset Pricing at the Millennium
Campbell(JF, 2000)
Hamilton Galindo
Introduction I
1. How to make progress in finance (or any science)?
This process has three steps:
I Theorists develop models with testable predictions.
I Empirical researchers document “puzzles” -stylized facts that fail to
fit established theories-.
I This “puzzles” stimulates the development of new theories.
2. How is the data in AP?
I The data are generated naturally rather than experimentally.
I Implications. Researchers cannot control the quantity of data or the
random shocks that affect the data.
I Are those implications problems? Yes! Why? These shocks are
also the subject matter of AP theory.
I Uncertainty. Key role in both financial theory and its empirical
implementation.
I In every financial model. (i) start point: investors face uncertainty,
(ii) model’s heart: How does the uncertainty affect the investor
behavior and hence asset prices?
3. What is the established paradigm in AP between 1980-2000?
No-Arbitrage Approach. The theoretical and empirical
developments in AP have taken place within this paradigm.
Introduction II
I Assumption. The asset markets do not permit the presence of
arbitrage opportunities.
I Main implication. No arbitrage assumption implies:
I There exists a SDF that relates payoffs to asset prices for ALL assets
in the economy.
I Related to other AP approach: State-Prices approach. It is the
Arrow-Debreu model of GE to financial markets. State prices and
payoffs are used to price assets. More assumptions about the
structure of the economy produce further results:
I If markets are complete, then the SDF is unique.
I If the SDF is linearly related to a set of common shocks, then asset
returns can be described by a linear factor model.
I If the economy has a representative agent with a well-defined utility
function, then the SDF is related to the MgU of aggregate
consumption.
4. Four stages in AP Theory?
4.1 Stage 1: Static AP models: 1952-1969.
I Markowitz’s Portfolio Theory - Markowitz (1952,1959).
I Portfolio Theory with riskless asset - Tobin (1958).
I The CAPM - Sharpe (1964).
4.2 Stage 2: Golden age (of dynamic AP models): 1969-1979.
Introduction III
I
I
I
I
ICAPM - Merton (1973).
The APT - Ross (1976,1978).
Arbitrage Approach of AP - Ross (1976,1978?).
Consumption-based Asset Pricing Models I - Rubinstein (1976),
Breeden and Litzenberger (1978), and Breeden (1979).
The challenge in this decade: What assures the existence of SDF?
The SDF exists. The conditions (no-arbitrage) for the existence of SDF are so
general, then they place almost NO restrictions on financial data.
4.3 Stage 3: 1979-1999.
I Production-based Asset Pricing Models I.
I Consumption-based Asset Pricing Models II.
The challenge now
To understand the economic forces that determine the SDF or -equivalentlythe rewards that investors demand for bearing particular risks.
4.4 Stage 4: 1999-2019.
I Consumption-based Asset Pricing Models III.
I Production-based Asset Pricing Models II.
I Intermediary Asset Pricing Models.
Introduction IV
I A Demand System Approach to Asset Pricing.
I Heterogeneous agents in AP.
The challenge now
Keep being to understand the economic forces that determine the SDF or
-equivalently- the rewards that investors demand for bearing particular risks.
Lecture 1: Preferencias y Aversión al Riesgo
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline
El Rol de la Teorı́a de la utilidad esperada en Asset Pricing
Teorı́a de la utilidad esperada
Fundamentos
Supuestos
Preferencias
Condiciones para que pueda ser representada por una función de utilidad
esperada
Aversión al riesgo
Supuestos
Definiciones
Aversión al riesgo en términos de la función de utilidad
Preliminares I
1. Teorı́a de la utilidad esperada: es el enfoque estándar para
modelar las elecciones del inversor sobre activos riesgosos.
2. Las preferencias del individuo deben safistacer algunas condiciones
para que estas preferencias sean representadas por una función de
utilidad esperada.
3. ¿Cómo se analiza el precio de los activos en este contexto (de
incertidumbre)?
I Mercado de bienes: es usual en economı́a analizar el precio de los
bienes bajo el enfoque de oferta y demanda de dichos bienes. Lo
mismo haremos en asset pricing.
I Mercado de activos: analizaremos el precio de los activos por medio
de la demanda y oferta de ellos. En particular nos concetraremos en
una teorı́a de la demanda de activos.
I (Definición preliminar) ¿Qué es un activo? es un vehı́culo para
ahorrar (tiempo e incertidumbre).
4. La principal diferencia entre activos es la diferencia entre sus futuros
payoffs.
Preliminares II
5. Teorı́a de demanda de activos: para construir esta teorı́a se
necesita especificar las preferencias del individuo sobre diferentes
payoffs inciertos. Nos tenemos que responder a la pregunta:
¿Cómo el inversionista elige entre activos que tienen diferentes
distribución de probabilidades de retornos?
Teorı́a de la demanda de activos I
1era respuesta: Valor esperado de los payoffs
1. El valor esperado de los payoffs fue el primer criterio para “rankear”
las preferencias por diferentes activos riesgosos.
X
Expected Payoffs = E (x̃) =
p i xi
2. Este criterio estuvo vigente hasta 1713 cuando Nicholas Bernoulli
observó una fuerte debilidad de este criterio.
3. Nicholas Bernoulli mostró esta debilidad por medio de un problema
llamado St. Petersburg Paradox.
¿Cuál es el juego?
“Juego”: Tirar una moneda tantas veces sea necesarias hasta obtener la
primera “cara”, el premio (payoff) depende del número de veces que se
ha tirado la moneda: si hemos tirado la moneda “n” veces para obtener
la primera cara, entonces el premio es 2n .
Teorı́a de la demanda de activos II
1era respuesta: Valor esperado de los payoffs
Entonces, el payoff tiene muchos posibles valores: {2, 4, 8, ..., 2n }
con probabilidades {1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2n }.
Valor esperado del payoff =
∞
X
(1/2n )2n = ∞
n=1
¿Cuál es la paradoja?
La paradoja es que el valor esperado de este activo es infinito, pero la
mayorı́a de individuos estaban dispuestos a pagar un monto moderado
(finito) por el (por debajo de 100 unidades monetarias).
4. Solución de la paradoja: Daniel Bernoulli (1738) indicó que en
lugar de considerar el valor esperado de los payoffs es mejor
considerar el valor esperado de la utilidad que brinda cada payoff.
Entonces, el criterio que sugirio Daniel Bernoulli es la utilidad
esperada, en la cual la utilidad sea una función con rendimientos
marginal decrecientes. Esto es considerado como el inicio de la teorı́a
de utlidad esperada.
Teorı́a de la demanda de activos III
1era respuesta: Valor esperado de los payoffs
5. Función de utilidad propuesta por Bernoulli:
U(x) = blog ((α + x)/α)
∂U(x)
= b/(α + x) → decreciente en “x”
∂x
6. Valor esperado del U(payoff ):
∞
∞
X
X
n
n
E (U(payoff )) =
(1/2 )U(2 ) =
(1/2n )blog ((α + 2n )/α) < ∞
n=1
n=1
Teorı́a de la demanda de activos I
2da respuesta: Teorı́a de la utilidad esperada
1. Von Neumann y Morgenstern (1944) fueron los primeros en ofrecer
una “desarrollo axiomático completo” de la teorı́a de la utilidad
esperada; es decir, ellos probaron formalmente que la maximización
de la utilidad esperada es un criterio de elección racional (i.e. es
derivable de un conjuntos de axiomas).
Desarrollo axiomático de la utilidad esperada
Esto significa que ofrecieron condiciones que las preferencias debı́an de
cumplir para que estas sean representadas por una función de utilidad
esperada.
2. Definición (Loterı́a): es una activo que tiene payoffs riesgosos.
3. El inversionista enfrenta un conjunto de loterı́as, sobre las cuales
debe de elegir la “loterı́a óptima”.
4. Supuesto clave: todas las loterı́as tienen posibles payoffs que están
contenidas en un conjunto (finito): x1 , x2 , x3 , ..., xn
5. Una loterı́a puede ser caracterizada como un conjunto ordenado de
probabilidades: p = {p1 , p2 , ..., pn }
Teorı́a de la demanda de activos II
2da respuesta: Teorı́a de la utilidad esperada
6. Otra loterı́a distinta a la anterior es caracterizada por otro conjunto
de probabilidades: p ∗ = {p1∗ , p2∗ , ..., pn∗ }
7. Principal teorema de la teorı́a de la utilidad esperada:
Teorema de Von Neumann-Morgenstern (1944)
Si satisface 5 axiomas (condiciones), entonces dichas preferencias pueden ser representadas por una función de utilidad de valor real
definida sobre las probabilidades de la loterı́a. Es decir, estas pueden
ser representadas por una función de utilidad esperada: V (p1 , p2 , ...pn ).
Teorı́a de la Utilidad Esperada, Aversión al Riesgo y Demanda de Activos
Lecture 1
Preferencias
Teoría de la
Utilidad Esperada
LINK
Aversión al Riesgo
Prima por Riesgo
Elección del
individuo entre
un activo
riesgoso y un
activo libre de
riesgo
Lecture 2
Modelo Base de Teoría
de Portafolio
Part I
Teorı́a de la Utilidad Esperada: Fundamentos
Supuestos I
1. Periodos: modelo con dos periodos (t = 0 y t = 1).
I En t = 0 se toma la decisión de inversión: cuanto se debe de invertir
en los dos activos disponibles (activo riesgoso y libre de riesgo).
I En t = 1 se toma la decisión de consumo: en este caso se consume
todo el ingreso disponible que incluye el rendimiento de la inversión.
Dos periodos
t=0
Decisión de inversión
Cuánto se tiene que invertir
en el activo riesgoso y en el
libre de riesgo.
t=1
Decisión de consumo
Se consume todo el ingreso
disponible, el cual incluye el
rendimiento de la inversión.
2. Incertidumbre:
I Incertidumbre en la economı́a: la incertidumbre es modelada por
medio de “estados de la naturaleza”, los cuales se materializan (o
realizan) en t = 1.
I Estado de la naturaleza: es una completa descripción del ambiente
incierto del periodo t = 0 al periodo t = 1.
Supuestos II
I Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ...ωn } −→ Es la colección de todos los estados de la
naturaleza disponibles.
I En t = 0 el inversionista sabe que el verdadero estado de la
naturaleza está en Ω, pero no sabe cual estado ocurrirá en t = 1.
3. Plan de consumo:
I xω = plan de consumo. Es un vector cuyos elementos representan
unidades de consumo en cada estado de la naturaleza.
I Ejemplo:
𝑥𝜔 =
2
3
1
8
0
Unidades de consumo en el estado de
la naturaleza 1.
Unidades de consumo en el estado de
la naturaleza 5.
I El plan de consumo puede ser visto también como una variable
aleatoria x̃ porque el consumo realizado en el periodo t = 1 es
incierto.
4. Preferencias:
Supuestos III
I El inversor es representado por su relación de preferencias definida en la colección de planes de consumo X .
Conjunto de planes de consumo
𝑋
.
4
𝑥𝜔
1
𝑥𝜔
.
.
.
3
𝑥𝜔
2
𝑥𝜔
.
I La relación de preferencia : es un mecanismo que permite al
individuo comparar diferentes planes de consumo.
I Dos alternativas para representar : función de utilidad y función de
utilidad esperada.
I No todas las relaciones de preferencias tienen una función de utilidad
esperada que las represente.
I En microeconomia hay dos enfoques para que tenga una función
de utilidad esperada que las represente.
Supuestos IV
Function de utilidad esperada
Dos enfoques
Von Neumann
Morgenstern (1953)
Savage (1972)
Probabilidad de los
estados de la
naturaleza: OBJETIVO
Probabilidad de los
estados de la
naturaleza:
SUBJETIVO
I Qué son probabilidades objetivas y subjetivas?
Relación de preferencias
Qué es la relación de preferencias ?
Es una relación binaria transitiva y completa sobre el conjunto X. Esto
permite la comparación de “alternativas” x, y ∈ X .
1. Relación de indiferencia: x es indiferente a y SI x y y y x.
2. Relación de preferencia estricta: x es estrictamente preferida a y
SI x y ∧ y x.
Condiciones para que pueda ser representada por una función de utilidad
esperada
Tres axiomas:
Axioma 1
es una relación de preferencia en P.
Axioma 2: Axioma de sustitución o independencia
∀p, q, r ∈ P y a ∈ (0, 1]
Si p q =⇒ ap + (1 − a)r aq + (1 − a)r
Axioma 3: Axioma arquimediano
∀
p, q, r ∈ P. Si p q r , entonces ∃a, b ∈ (0, 1) tal que:
ap + (1 − a)r q bp + (1 − b)r
Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern I
Un problema y dos posibles soluciones
1. Problema.
Problema
- Para que la teorı́a de la utilidad esperada nos brinde un ordenamiento
de las loterias se debe de asumir que la función de utilidad es acotada (al
menos acotada superiormente).
- Sin embargo, la teorı́a de la utilidad espera NO dice nada con respecto
a dicho acotamiento. Entonces, podrı́amos tener algunas loterias cuyos
valores de utilidad esperada sea infinita y por tanto no podrı́amos
compararlas.
Por ejemplo: dos activos con payoffs X1 y X2
I Activo 1: X1 = 2n con probabilidades p1 = 1/2n (como el juego de
St. Petersburg) → asumimos U(X1 ) = X1 (porque la Teorı́a de la
Utilidad Esperada
nada sobre la forma de U) →
P NO dice P
∞
n n
E (U(X1 )) = ∞
n=1 p1 X1 =
n=1 (1/2 )2 = ∞
Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern II
Un problema y dos posibles soluciones
I Activo 2: X2 = 3n (n es par) y X2 = 0 (n es impar) con
probabilidades p2 = 1/2n (como el juego de St. Petersburg) →
asumimos U(X
P2 ) = X2 →
2
4
E (U(X2 )) = ∞
n=1 p2 X2 = (1.5) + (1.5) + ... = ∞ Why? Esta es
una suma geometrica pero NO convergente (número finito).
I Entonces: naturalment el activo 2 brinda mas Utilidad que el activo
1, pero la Utilidad Esperada de ambos es igual, entonces NO
podemos compararlos! (No podemos decir, Act1 es preferido al
Act2).
I Hay dos caracterı́sticas de la Func de Utilidad:
I U() tiene cualquier forma: U(X1 ) -en nuestro ejemplo- es lineal (No
bounded!). Rendimientos constantes: UMgX1 = 1
I El dominio (i.e. payoffs): X1 es un subconjunto NO acotado:
X1 = {2, 4, 6, ..., ∞}
Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern III
Un problema y dos posibles soluciones
2. Hay dos alternativas para resolver este problema:
- Este problema se resuelve de dos formas: (1) Ω tiene finitos
elementos, o (2) Aversión al riesgo y expectativa finita.
Solución 1: Ω tiene finitos elementos
Cuando Ω tiene finitos elementos, el plan de consumo toma un número
finito de niveles de consumo. Como resultado, el número de niveles de
consumo es a lo mucho igual al número de estados de la naturaleza. Por
tanto, los niveles de consumo son acotados.
Solución 2: Aversión al riesgo y expectativa finita
Se puede obtener una función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern
acotado cuando las preferencias exhiben aversión al riesgo y los planes
de consumo tienen expectativas finitas.
Why? Porque la “aversión al riesgo” implica que la Func Utilidad sea
cóncava, i.e. acotada superiormente (y con UMg decreciente). Good!
Problema con el axioma de independencia y posible solución
1. Axioma de independencia: este axioma usualmente no se cumple
en los experimentos empı́ricos. Un ejemplo: Allais paradox
2. La teorı́a de utilidad esperada se puede defender inclusive cuando el
axioma de independencia no se cumple. Esto se base en el trabajo de
Machina (1982).
3. Machina (1982): la teorı́a de la utilidad esperada se puede usar si
se cumple la siguiente condición:
Condición de Machina
La preferencias pueden ser representadas por una función de utilida H y
H es diferenciable in a certain sense.
Part II
Teorı́a de la Utilidad Esperada: Aversión al Riesgo
Supuestos
1. Individuos son maximizadores de utilidad
2. La función de utilidad es la propuesta por von Neumann-Morgenstern
3. Economı́a con incertidumbre
Definiciones I
Aversión al riesgo
Se dice que un individuo es averso al riesgo si él no está dispuesto
aceptar o está indiferente a una apuesta justa (fair gamble).
Aversión estricta al riesgo
Cuando el individio no está dispuesto aceptar una apuesta justa (fair
gamble).
Fair gamble (apuesta justa)
Una apuesta (gamble) es justa si su payoff esperado es cero.
Ejemplo:
Tenemos una apuesta h̃ con probabilidad “p” de obtener retornos
positivos h1 y con probabilidad “1 − p” de obtener retornos negativos h2 .
Esta apuesta es fair si:
Payoff esperado = ph1 + (1 − p)h2 = 0
Aversión al riesgo en términos de la función de utilidad I
1. De la definición de aversión al riesgo:
u(W0 ) ≥ E [u(W0 + h̃)]
(1)
u(W0 ) ≥ pu(W0 + h1 ) + (1 − p)u(W0 + h2 )
(2)
Es decir:
Donde:
- W0 es la riqueza inicial del individuo
- “>” indica la parte “no está dispuesto aceptar” de la definición de
aversión al riesgo
- “=” indica la parte “indiferente” de la definición de aversión al
riesgo.
- La ecuación 1 es con desigualda estricta > cuando la aversión al
riesgo es estricta.
Aversión al riesgo en términos de la función de utilidad II
2. De la definición de “fair gamble”:
ph1 + (1 − p)h2
=
0
W0 + ph1 + (1 − p)h2
= W0
(pW0 + (1 − p)W0 ) + ph1 + (1 − p)h2
= W0
p(W0 + h1 ) + (1 − p)(W0 + h2 )
= W0
(3)
3. Introduciendo 3 en 2:
u p(W0 + h1 ) + (1 − p)(W0 + h2 ) ≥ pu(W0 +h1 )+(1−p)u(W0 +h2 )
(4)
Esto indica que la función de utilidad u() es concava (estrictamente
concava cuando tenemos aversión estricta al riesgo).
Aversión al riesgo en términos de la función de utilidad III
4. Otra forma de relacionar “aversión al riesgo” y la forma de la “función
de utildad”: Jensen’s inequality
Jensen’s inequality
Si U(·) is cóncava y x̃ es una variable aleatoria, entonces la “desigualdad
de Jensen” dice:
U(E [x̃]) > E [U(x̃)]
Entonces, asumiendo que (·) is cóncava y que x̃ = W0 + h̃, donde
E [h̃] = 0
U(E [x̃]) >
E [U(x̃)]
U(p(W0 + h1 ) + (1 − p)(W0 + h2 )) >
E [U(W0 + h̃)]
U(W0 ) >
E [U(W0 + h̃)]
(5)
Esto es la definición de “aversión al riesgo”! (take a look at equation
(1))
Aversión al riesgo en términos de la función de utilidad IV
Main conclusions
- Risk averse implies that utility function must be concave!
- Strictly risk averse implies that utility function must be strictly concave!
Esto significa que el individuo que es averso al riesgo se siente más
seguro cuando mantiene su riqueza inicial (suguro) que al aceptar una
apuesta justa or fair gamble(riesgoso).
Lecture 2: Teorı́a del Portafolio I - Modelo
Base
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline
Problema de elección del portafolio
Minima prima por riesgo
Implicancias de ARA sobre la demanda de activos financieros
Medidas de aversión al riesgo: RRA
Función de utilidad en finanzas
¿La medida de aversión al riesgo puede ser una medida global?
Extensión a multiples activos
Problema de elección del portafolio I
Modelo Base
1. Problema de elección del portafolio responde a la pregunta: Cuanto
deberı́a de invertir en cada uno de los activos (riesgosos y en el libre
de riesgo)?
2. Dos caracterı́sticas de este problema:
I El inversor es risk-averse
I El inversor prefiere más a menos (implica una función de utilidad
estrictamente creciente)
3. t = 0 (Decisión de Inversión)
I Inversor invierte “a” dólares en el j-ésimo activo riesgoso:
X
aj
Inversión en activos riesgosos =
j
I Inversor invierte su riqueza restante en el activo libre de riesgo:
X
Inversión en el activo libre de riesgo = W0 −
aj
j
Problema de elección del portafolio II
Modelo Base
4. t = 1 (Resultado de la Inversión)
X
X
aj )(1 + rf ) +
aj (1 + r˜j )
W̃ = (W0 −
j
j
Esta expresión puede ser re-escrita como:
X
W̃ = W0 (1 + rf ) +
aj (˜
rj − rf )
j
Donde:
I rf es la tasa de retorno libre de riesgo
I r˜j es la tasa de retorno del activo riesgoso j (esta es una variable
aleatoria porque en t = 0 no sabemos cual será su realización en
t = 1).
I W0 es la riqueza inicial del inversionista
I W̃ es la riqueza final después de la inversión. Es una variable
aleatoria debido a r˜j .
Problema de elección del portafolio III
Modelo Base
5. Problema de elección del inversionista:
max E (u(W̃ ))
{aj }
sujeto a:
W̃ = W0 (1 + rf ) +
X
aj (˜
rj − rf )
j
I Se asume que existe solución
I Dado que “u()” es concava, entonces la CPO necesaria también es
suficiente.
I Introducimos la restricción en la función objetivo y derivamos con
respecto a “aj ”:
∂
= 0 −→ E [u 0 (W̃ ) ∗ (˜
rj − rf )] = 0, ∀j
∂aj
Problema de elección del portafolio IV
Modelo Base
I Nota importante: dado que el consumo se realiza en el periodo 1,
después de obtener el rendimiento de la inversión, entonces TODO el
ingreso final W̃ es consumido: C = W̃ . Formalmente, el inversionista
maximiza la utilidad esperada del consumo, pero dado que esta es
igual a la riqueza final, entonces es lo mismo:
E [u(W̃ )] = E [u(C )]
6. Dos soluciones extremas:
I Invertir toda la riqueza en el activo libre de riesgo: de la CPO,
tenemos:
E [u 0 (W0 (1 + rf ))(˜
rj − rf )] ≤ 0, ∀j
I Invertir toda la riqueza en los activos riesgosos: de la CPO,
tenemos:
E [u 0 (W0 (1 + r˜j ))(˜
rj − rf )] ≥ 0, ∀j
Problema de elección del portafolio V
Modelo Base
7. Dos conclusiones:
Condición para invertir en activos riesgosos
Un inversionista que es averso al riesgo y que prefiere más a menos
invertirá en activos riesgosos si solo si la tasa de retorno de al menos un
activo riesgoso es mayor que la tasa libre de riesgo.
Implicancia de la condición
Si ∃j 0 tal que E [˜
rj 0 − rf ] > 0 → ∃j tal que aj > 0
I (Multiples activos riesgosos) La segunda conclusión indica que
E [˜
rj 0 − rf ] > 0 no necesariamente implica aj > 0
I (Solo hay un activo riesgoso) La segunda conclusión indica que
E [˜
rj 0 − rf ] > 0 implica aj > 0
Minima prima por riesgo I
Pregunta
¿Cuál es la minima prima por riesgo requerida por el inversionista para
que invierta TODA su riqueza en los activos riesgosos?
1. Nota: en lo que queda de esta clase se asume: un solo activo riesgoso
y un solo activo libre de riesgo.
2. Si el inversor invierte TODA su riqueza en el único activo riesgoso,
entonces de la CPO se tiene:
E [u 0 (W0 (1 + r˜))(˜
r − rf )] ≥ 0
(1)
3. Expansión de Taylor:
0
u (W0 (1 + r˜)) |W0 (1+rf )
0
u (W0 (1 + r˜))
0
u (W0 (1 + r˜))[˜
r − rf ]
0
00
0
00
≈
u (W0 (1 + rf )) + u (W0 (1 + rf ))[W0 (1 + r˜) − W0 (1 + rf )] + Op
≈
u (W0 (1 + rf )) + u (W0 (1 + rf ))[W0 (˜
r − rf )] + Op
≈
0
00
u (W0 (1 + rf ))[˜
r − rf ] + u (W0 (1 + rf ))[W0 (˜
r − rf )][˜
r − rf ]
+Op[˜
r − rf ]
0
u (W0 (1 + r˜))[˜
r − rf ]
0
E [u (W0 (1 + r˜))[˜
r − rf ]]
≈
≈
0
00
2
u (W0 (1 + rf ))[˜
r − rf ] + u (W0 (1 + rf ))[˜
r − rf ] + Op[˜
r − rf ]
0
00
2
u (W0 (1 + rf ))E [[˜
r − rf ]] + u (W0 (1 + rf ))E [[˜
r − rf ] ]
OpE [[˜
r − rf ]]
(2)
Minima prima por riesgo II
4. De la ecuación (1):
E [u 0 (W0 (1 + r˜))[˜
r − rf ]]
≥
0
≥
0
De la ecuación (5)
u 0 (W0 (1 + rf ))E [[˜
r − rf ]] + u 00 (W0 (1 + rf ))E [[˜
r − rf ]2 ]
(3)
5. Como resultado se tiene:
u 00 (W0 (1 + rf ))
E {[˜
r − rf ]2 }
E [˜
r − rf ] ≥ − 0
u (W0 (1 + rf ))
|
{z
}
(4)
Medida de aversión al riesgo
00
I RA = − u 0 is conocido como “Absolute Risk Aversion (ARA)”, el
u
cual fue definido por Arrow (1976) y Pratt (1964).
I Para riesgos pequeños, ARA es una medida de la intensidad de la
aversión al riesgo de un individuo.
Minima prima por riesgo III
I De la ecuación (4), la prima por riesgo minima que requiere el
inversionista para invertir TODA su riqueza en el único activo
riesgoso es:
u 00 (W0 (1 + rf ))
= − 0
E {[˜
r − rf ]2 }
u (W0 (1 + rf ))
|
{z
}
prima por riesgo minima
E [˜
r − rf ]
| {z }
(5)
Medida de aversión al riesgo
Esto significa que a medida que el inversionista sea más averso al
riesgo, él requerirá una mayor prima por riesgo minima para invertir.
I ¿Cuándo se dice que el riesgo es pequeño? Cuando E {[˜
r − rf ]2 }
3
es pequeño y los términos que involucran E {[˜
r − rf ] } y de mayor
orden pueden ser ignorados.
I ARA es una medida de la curvatura de la función de utilidad.
I La función de utilidad de Von Neumann-Morgenstern sigue
representando las mismas preferencias cuando sufre una
“transformación afı́n estrictamente positiva” (a+bU).
Minima prima por riesgo IV
I La medida de aversión al riesgo de Arrow-Pratt (ARA) es invariante
ante transformaciones afı́n estrictamente positiva de la función de
utilidad.
U(x) = a + b ∗ V (x),
a, bson constantes
Entonces:
RA,U(x) = RA,V (x)
Recordar: ambas funciones de utilidad -U(x)&V (x)- representan las
preferencias, entonces NO deberı́an de tener una distinta “aversión
absoulta al riesgo”.
Implicancias de ARA sobre la demanda de activos financieros I
ARA es...
A (z)
Decreciente: ∂R∂z
< 0, ∀z →
∂RA (z)
Creciente: ∂z > 0, ∀z →
A (z)
Constante: ∂R∂z
= 0, ∀z →
Demanda de activos
∂a
> 0, ∀W0
∂W0
∂a
< 0, ∀W0
∂W0
∂a
= 0, ∀W0
∂W0
El activo riesgoso es...
Bien Normal
Bien Inferior
Dasset es invariante a W0
1. La función de utilidad puede mostrar más de una de las caracterı́sticas
mencionadas en la tabla sobre diferentes partes de su dominio.
2. En finanzas (en economı́a en general) se requiere que el activo riesgoso
sea un “bien normal”. Entonces estamos interesados en las funciones
de utilidad que muestren ARA decreciente.
Medidas de aversión al riesgo I
Aversión al riesgo relativa (RRA)
1. En el caso de ARA decreciente (activo riesgoso es un bien normal),
surge la siguiente pregunta:
Pregunta sobre “la proporción de W0 que se invierte en activos
riesgosos”
¿Qué pasa con la proporción del ingreso invertido en el activo riesgoso
cuando se incrementa la riqueza inicial W0 ?
2. Sabemos que bajo ARA decreciente, la demanda del activo riesgoso se
incrementa cuando se incrementa W0 . Pero que pasa con la proporción
de W0 invertida en el activo riesgoso? Se incrementa, se reduce, o se
mantiene constante? Por qué es importante saber esto?
3. Otra medida de aversión al riesgo es la llamada: “Relative Risk Averse
(RRA)”, definida como:
RR (z) = z ∗ RA (z)
(6)
Medidas de aversión al riesgo II
Aversión al riesgo relativa (RRA)
4. La utilidad de esta medida de aversión al riesgo es que relaciona “la
aversión al riesgo” y la proporción de W0 invertida en el activo riesgoso
cuando aumenta la riqueza.
5. η = elasticidad riqueza de la demanda del activo riesgoso
η=
∂a W0
∂W0 a
(7)
6. Relación entre RRA y η:
RRA es...
R (z)
Decreciente: ∂R∂z
< 0, ∀z →
∂RR (z)
Creciente: ∂z > 0, ∀z →
R (z)
Constante: ∂R∂z
= 0, ∀z →
η
η>1
η<1
η=1
I Explicación: RRA creciente produce una elasticidad riqueza-demanda
del activo riesgoso menor a 1. Esto significa que aunque la demanda
del activo se incrementa (ARA decreciente), la proporción de la
riqueza (riqueza final: W0 + ∆W0 ) invertida en el activo riesgoso
disminuye. En otras palabras el incremento de la demanda del activo
riesgoso ∆a es menor al incremento de la riqueza ∆W0 .
Función de utilidad en finanzas
Función de utilidad
Cóncava
cuadrática
u(z) = z − b2 z 2 , (b > 0)
Exponencial
negativa
u(z) = −e −bz , (b > 0)
Potencia (simple) u(z) =
1
B
z 1− B , (B > 0)
B−1
Potencia
(extendida)
1
1
u(z) = B−1
(A + Bz)1− B
ARA y RRA
Creciente ARA
Tipo de bien y η
Bien inferior
Constante ARA y RRA
η=1
Decreciente ARA y constante RRA
Bien normal
Decreciente o creciente ARA
Ejercicio: calcular ARA, RRA y η para cada función de utilidad.
¿La medida de aversión al riesgo puede ser una medida global? I
1. Pratt (1964) mostró que ARA es también una medida de aversión al
riesgo en un sentido global:
- Se deja el supuesto que el riesgo es pequeño, i.e. que la varianza del
payoff de h̃ ya no tiende a zero.
- Podemos usar esta medida para comparar la aversión al riesgo entre
individuos.
2. Recordar: estamos en un contexto de dos activos (uno riesgoso y el
otro libre de riesgo).
Proposición 1: Comparación entre dos individuos (aversión al
riesgo)
SI hay dos individuos con :
RAi (z) ≥ RAk (z)
Entonces, el individuo “i” pagará una mayor prima por seguro que el
individuo “k” para asegurse contra las perdidas aleatorias (no
necesariamente pequeñas). Cómo se llega a esta conclusión? Entonces,
“i” es más averso al riesgo que “k”
¿La medida de aversión al riesgo puede ser una medida global? II
Proposición 2: Comparación entre dos individuos (prima por riesgo
requerida)
SI “i” es más averso al riesgo que “k” y ambos tienen la misma riqueza
inicial, Entonces, la prima por riesgo requerida por “i” para invertir toda
su riqueza en el activo riesgoso es mayor que la requerida por “k”.
Arrow-Pratt Global Risk Aversion, Pratt (1964)
Sea u(x) y v (x) dos funciones de utilidad cóncavas para dos
inversionistas.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
1. u(x) es al menos tan averso al riesgo que v (x)
2. RA,u ≥ RA,v
3. πu ≥ πv (prima por riesgo)
4. u(x) = θ(v (x)) donde θ(·)0 ≥ 0 y θ(·)00 ≤ 0
θ(·): función cóncava creciente
u(x) es una transformación cóncava de v (x)
¿La medida de aversión al riesgo puede ser una medida global? III
U(x), V(x)
V(x)
U(x)
Es más cóncava que V(x)
U(x) es mas averso al riesgo que V(x):
La prima por riesgo es mayor para U(x)
Que para V(x):
𝝅𝒖 > 𝝅𝒗
𝝅𝒗
X–h
𝝅𝒖
X
X+h
X
Extensión a multiples activos I
1. No podemos sostener las conclusiones previas -de estática comparativacuando tenemos multiples activos riesgosos.
Ejemplo
Que una RR decreciente implica η > 1 no se puede concluir con multiples
activos riesgosos porque el inversionista podrı́a cambiar su portafolio
incrementando la inversión en un activo riesgoso y disminuyendo en otro.
2. Caso particular: existe un caso en donde sı́ podemos extrapolar las
conclusiones previas del modelo de dos activos (uno riesgoso y otro
libre de riesgo) a un mundo de multiples activos riesgosos:
Caso particular
Cuando el inversor siempre elige mantener el mismo portafolio de activos
riesgosos y el único cambio es en el mix entre dicho portafolio y el
activo libre de riesgo para diferentes niveles de riqueza inicial.
W0
W0,1
W0,2
W0,3
Portafolio óptimo
b0 arf + b1 Portafolio de Activos riesgosos
b2 arf + b3 Portafolio de Activos riesgosos
b4 arf + b5 Portafolio de Activos riesgosos
Extensión a multiples activos II
El portafolio de activos riesgosos es el mismo para cualquier nivel de
riqueza inicial, lo único que cambia en el mix entre el activo libre
de riesgo y este portafolio. En este caso, todo el análisis de estática
comparativa del modelo de 2 activos se puede aplicar en un mundo
multiples activos.
3. En este caso, el portafolio óptimo es una Combinación Lineal de dos
fondos: el activo libre de riesgo y el portafolio (fondo o mutual fund) de
activos riesgosos. Por eso esta estructura de portafolio óptimo recibe
el nombre de Two Fund Monetary Separation.
4. ¿Necesitamos alguna condición para tener Two Fund Monetary Separation y por tanto aplicar todas las conclusiones del modelo de dos
activos al mundo de multiples activos?
Extensión a multiples activos III
Condición de Cass y Stiglitz (1970)
Cass y Stiglitz (1970) brindan una condición necesaria y suficiente sobre
la función de utilidad para obtener Two Fund Monetary Separation.
La condición es la siguiente:
La Utilidad Marginal tiene que ser:
u 0 (z) = (A + Bz)C o u 0 (z) = Ae Bz
5. Tres funciones de utilidad cumplen con la condición de Cass y Stiglitz
(1970):
I Al menos dos funciones de utilidad cumplen con u 0 (z) = (A + Bz)C :
I Potencia (extendida)
u(z) =
1
(A + Bz)C +1 , C 6= −1
(C + 1)B
I Logaritmica
u(z) = ln(A + Bz)
I Al menos una función de utilidad cumple con u 0 (z) = Ae Bz :
I Exponencial
u(z) =
A Bz
e
B
Lecture 3: Teorı́a de la Elección del
Portafolio I (The Mean-Variance Model)
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: Mean-Variance Model
Especificación del modelo
Problema de elección de portafolio: Base Model
Problema de elección de portafolio: Mean-Variance Model
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model”
Distribución arbitraria
Relación de preferencia arbitraria
Solución del problema de elección del portafolio
Condiciones de primer orden
Dos portafolios óptimos especiales
Portafolio óptimo: relación entre E [˜
rp ] y Var (˜
rp )
Problema de elección de portafolio: Base Model
En la clase 2 se definio el problema de elección del portafolio (base model):
max E [u(W̃ )]
{aj }
sujeto a su riqueza final W̃ :
X
X
W̃ =
aj (1 + r˜j ) + (W0 −
aj )(1 + rf )
j
j
En esta economı́a existe multiples activos riesgosos y un activo libre de
riesgo.
Problema de elección de portafolio: Mean-Variance Model I
Qué es?
1. Es un modelo de la “Demanda de Activos” en una economı́a con
multiples activos riesgosos, el cual fue desarrollado por
Markowitz(1952) y Merton (1972).
2. La principal diferencia con el “base model” es que la función de
utilidad esperada es expresada en función de la expectativa del
rendimiento del portafolio y de su varianza.
3. Tiene dos pilares:
I Pilar 1: Este modelo indica que la función de utilidad esperada
puede expresarse en función de dos momentos de la distribución de
la riqueza final: valor esperado de la riqueza y la varianza de la
riqueza. Recordar que la riqueza final es una variable aleatoria
debido a la tasa de retorno de los activos.
E (U) = A ∗ U(E (W̃ )) − B ∗ Var (W̃ )
I Dado que la riqueza final W̃ es una función de la tasa de
rendimiento de los activos, entonces se puede expresar la función de
utilidad esperada como una función de los momentos de la tasa de
rendimiento del portafolio.
Problema de elección de portafolio: Mean-Variance Model II
Qué es?
I Asimismo, la varianza de W̃ es una función lineal de la varianza de la
tasa de rendimiento del portafolio de activos.
I Pilar II: Por dualidad, la maximización de la función de utilidad
esperada es lo mismo que la minimización de la varianza Var (W̃ )
y, por el item previo, esto es igual a minimización de la varianza de
la tasa de rendimiento del portafolio.
Qué es el modelo media-varianza?
El modelo media-varianza obtiene la demanda de activos al suponer que la
función de utilidad esperada puede ser expresada por la media y varianza de la
tasa de rendimiento del portafolio de activos. Por dualidad, el modelo obtiene
la demanda de activos al minimizar la varianza de la tasa de rendimiento del
portafolio.
Problema de elección de portafolio: Mean-Variance Model I
Supuestos
1. Economı́a sin fricciones.
2. Multiples activos riesgosos (N ≥ 2). En este primera versión del
modelo NO se considera el activo libre de riesgo.
3. Short selling es permitido. Esto significa que la inversión en un
activo puede ser negativa; es decir, se vende dicho activo y por tanto
wj (la proporción de la inversión de dicho activo en el ingreso inicial)
es negativa: wj < 0
Short Selling
Significa que el inversionista vende el activo j al precio actual con el
compromiso de comprarlo otra vez al nuevo precio. No short-selling
restriction significa que w ≥ 0.
4. La tasa de retorno de los activos tienen varianza finita y sus
expectativas son distintas:
I Var (rj ) < ∞, ∀j
I E (˜
rj ) 6= E (˜
ri ), ∀j, i
Problema de elección de portafolio: Mean-Variance Model II
Supuestos
5. La tasa de retorno de los activos son Linealmente Independiente
(LI). Esto significa que NO se puede expresar cualquier tasa de
retorno como la combinación lineal del resto de activos:
r˜i 6= α1 r˜1 + α2 r˜2 + α3 r˜3 + ...αn r˜n , ∀i
. Implicaciones de este supuesto:
6. Propiedades de la matriz Var-Cov del rendimiento de los activos V :
I V es no singular (detV 6= 0 y por tanto tiene inversa). Esto se debe
al supuesto de que la tasa de retorno de los activos son LI.
I V es simétrica debido a que Cov (˜
ri , r˜j ) = Cov (˜
rj , r˜i )
I V es definida positiva debido a que la varianza del rendimiento del
portafolio es estrictamente positiva: Var (˜
rp ) = w t Vw > 0
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” I
Expected Utility Function
1. El modelo media-varianza utiliza la expansión de Taylor de la
función de utilidad de la riqueza final u(W̃ ) con respecto a E (W̃ ).
1
u(W̃ )|E (W̃ ) ≈ u[E (W̃ )]+u 0 [E (W̃ )]∗[W̃ −E (W̃ )]+ u 00 [E (W̃ )]∗[W̃ −E (W̃ )]2 +R3
2
(1)
Donde:
R3 =
X 1
u (n) [E (W̃ )] ∗ [W̃ − E (W̃ )]n
n!
n=3
Donde: u (n) es la n-esima derivada de la función de utilidad.
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” II
Expected Utility Function
2. Tomando expectativas y considerando que el término R3 es
insignificante, se tiene:
u(W̃ )
≈
E [u(W̃ )]
≈
E [u(W̃ )]
≈
u[E (W̃ )] + u 0 [E (W̃ )] ∗ [W̃ − E (W̃ )]
1
+ u 00 [E (W̃ )] ∗ [W̃ − E (W̃ )]2 + R3
2
E [u[E (W̃ )]] + u 0 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]
1
+ u 00 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2 + E [R3 ]
2
E [u[E (W̃ )]] + u 0 [E (W̃ )] ∗ [E (W̃ ) − E (W̃ )]
|
{z
}
=0
1
+ u 00 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2 + E [R3 ]
2
| {z }
insignificante
E [u(W̃ )]
≈
1
E [u[E (W̃ )]] + u 00 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2
2
(2)
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” I
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
1. Pesos wj : En este modelo donde toda la riqueza inicial se invierte
en los activos riesgosos, se tiene:
X
aj = W0
j
Cambiamos esta expresión por el “porcentaje invertido de W0 en el
activo j (wj )”:
X
aj
= W0
j
X aj
W0
j
X
wj
=
1
=
1
j
wj también se entiende como el peso del activo j en el portafolio.
Asimismo, el portafolio “p” es representado por un vector cuyos
(3)
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” II
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
elementos indican la proporción de W0 invertida en el activo
correspondiente. Este vector es llamada “peso” (weight)(ver
Ingersoll, 1987).
2. Riqueza final W̃ :
W̃
=
X
aj (1 + r˜j )
j
W̃
= W0
X aj
(1 + r˜j )
W0
j |{z}
= W0
X
=wj
W̃
X
X
wj (1 + r˜j ) = W0 [
wj +
wj r˜j ]
j
j
j
| {z }
=1
W̃
=
W0 + W0
X
wj r˜j = W0 + W0 w t r˜
j
Donde: w t = [w1 , w2 , ..., wj , ..., wn ] y r˜t = [˜
r1 , r˜2 , ..., r˜j , ...˜
rn ]
(4)
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” III
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
3. Varianza de la riqueza final: la expresión (4) la reemplazamos en
la Var (W̃ ):
Var (W̃ )
=
E [W̃ − E (W̃ )]2 = E [W0 w t (˜
r − E (˜
r ))]2
Var (W̃ )
=
W02 E {[w t (˜
r − E (˜
r ))][w t (˜
r − E (˜
r ))]t }
Var (W̃ )
=
W02 E {[w t (˜
r − E (˜
r ))][(˜
r − E (˜
r ))t w ]}
Var (W̃ )
=
W02 w t E [(˜
r − E (˜
r ))(˜
r − E (˜
r ))t ] w
|
{z
}
Var (W̃ )
=
t
Vw}
W02 w
| {z
=V
=σ 2 (˜
rp )
(5)
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” IV
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
4. Expectativa de la riqueza final: tomando expectativas a la
expresión (4):
W̃
= W0 + W0
X
wj r˜j = W0 + W0 w t r˜
j
E [W̃ ]
t
= W0 [1 + w E (˜
r )]
(6)
5. Dado que tenemos la expectativa de la riqueza final en función de la
expectativa del rendimiento del portafolio y la varianza de la riqueza
final en función de la varianza del rendimiento del portafolio,
entonces la función de utilidad esperada aproximada por la
expansión de Taylor puede ser expresa en función de los dos primeros
momentos del rendimiento del portafolio.
1
E (u(W̃ )) = u( E (W̃ ) ) + u 00 ( E (W̃ ) ) Var (W̃ )
| {z }
| {z } | {z }
2
F (E (˜
rp ))
F (E (˜
rp ))
W02 w t Vw
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” V
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
6. Dado que la función de utilidad es cóncava, entonces u 00 () < 0.
Además por dualidad, la maximización de E (u(W̃ )) se puede
expresar como la minimización de:
1 00
u ( E (W̃ ) ) Var (W̃ )
| {z } | {z }
2
F (E (˜
rp ))
W02 w t Vw
Asimismo, podemos prescindir de los coeficientes porque no
modifican la optimización quedando:
min
Dejamos el coeficiente
1
2
1 t
w Vw
2
solo por practicidad para las CPO.
Del “Base Model” al “Mean-Variance Model” VI
Relación entre W̃ y el rendimiento del portafolio r˜p
7. Finalmente, el problema de elección de portafolio quedarı́a:
Problema de elección de portafolio en el modelo de media-varianza
min
{w }
1 t
w Vw
2
sujeto a:
wte
t
w 1
= E (˜
rp )
=
1
(tasa de retorno del portafolio esperada)
(suma de los pesos del portafolio)
Donde: e t = [E (˜
r1 ), E (˜
r2 ), ..., E (˜
rn )]
8. Solución: la solución de este problema de optimización se le conoce
como frontier portfolio.
Frontier portfolio
Un portafolio es frontier portfolio si este tiene la minima varianza entre
los portafolios que tienen la misma tasa de retorno esperada.
Mean-Variance Model: Función de utilidad esperada I
Comentarios
Recordemos:
E [u(W̃ )] ≈ E [u[E (W̃ )]] +
1 00
u [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2 + E (R3 )
2
(7)
Donde:
E (R3 ) =
X 1
u (n) [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]n
{z
}
|
n!
n=3
momentosdeorden“n≥300
1. Derivadas de la función de utilidad reflejan preferencias: Si u(·)
es creciente y estrictamente cóncava entonces: la expresión (7)
sugiere que el individuo tiene preferencias sobre la riqueza esperada
y aversión a la varianza de la riqueza.
2. Momentos de W̃ : Notar que la utilidad esperada E [u(W̃ )] es una
función de muchos momentos de W̃ , no solo de los dos primeros!
Esto significa que la distribución de W̃ es importante para definir la
forma funcional de la función de utilidad esperada.
Mean-Variance Model: Función de utilidad esperada II
Comentarios
3. Notar que la afirmación que la función de utilidad esperada solo
depende de los dos primeros momentos de W̃ implica que los
términos restantes deben ser insignificantes. Entonces:
La representación de E [u(W̃ )] (en función al valor esperado de W̃ y
su varianza) no se mantiene para cualquier distribución de W̃ ni
para cualquier preferencias.
Como resultados de los 3 comentarios previos...
El modelo media-varianza NO es un modelo general de elección de
activos. Su rol central en Finanzas se debe a que es un modelo
analiticamente tratable y tiene muchas predicciones empı́ricas.
Distribución arbitraria de W̃ I
y función de utilidad cuadrática
1. El modelo media-varianza puede ser obtenido cuando consideramos
una “función de utilidad cuadrática” independiente de la función
de distribución de la riqueza W̃ ; es decir, para una distribución
arbitraria.
2. Sea la función de utilidad cuadrática:
u(W̃ ) = W̃ −
b 2
W̃
2
3. Expansión de Taylor de esta función:
1
u(W̃ )|E (W̃ ) ≈ u[E (W̃ )]+u 0 [E (W̃ )]∗[W̃ −E (W̃ )]+ u 00 [E (W̃ )]∗[W̃ −E (W̃ )]2 +R3
2
(8)
Donde:
R3 =
X 1
u (n) [E (W̃ )] ∗ [W̃ − E (W̃ )]n
n!
n=3
y u (n) es la n-esima derivada de la función de utilidad.
Distribución arbitraria de W̃ II
y función de utilidad cuadrática
4. Tomando expectativas:
≈
E [u(W̃ )]
E [u[E (W̃ )]] + u 0 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]
|
{z
}
=0
1
+ u 00 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2 + E [R3 ]
2
5. En particular, para esta función de utilidad:
= E (W̃ ) −
u 0 (E (W̃ ))
=
00
u (E (W̃ ))
000
u (E (W̃ ))
u
b
[E (W̃ )]2
2
1 − bE (W̃ )
u(E (W̃ ))
(n)
(E (W̃ ))
= −b
=
0
=
0, ∀n ≥ 3
(9)
Distribución arbitraria de W̃ III
y función de utilidad cuadrática
6. Introduciendo estas expresiones en la expansión de Taylor -ecuación
(9)-:
E [u(W̃ )]
≈
E [u[E (W̃ )]] + u 0 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]
|
{z
} | {z } |
{z
}
E (W̃ )− b2 [E (W̃ )]2
1−bE (W̃ )
=0
1
+ u 00 [E (W̃ )] ∗ E [W̃ − E (W̃ )]2 + E [R3 ]
2 | {z } |
{z
} | {z }
−b
Var (W̃ )
0
Utilidad esperada cuando la función de utilidad es cuadrática
E [u(W̃ )] = E (W̃ ) −
b
b
[E (W̃ )]2 − Var (W̃ )
2
2
(10)
Distribución arbitraria de W̃ IV
y función de utilidad cuadrática
7. Esta función de utilidad (cuadrática) permite obtener el modelo de
media-varianza para cualquier distribución de W̃ (distribución
arbitraria) debido a que sus derivadas u (n) son ceros para n ≥ 3,
entonces los momentos mayores al segundo no son relevantes para
definir la forma de la función de utilidad esperada.
Conclusión 1
La función de utilidad cuadrática es suficiente para que la elección de
activos sea completamente descrita en términos de la relación de
preferencia sobre la media y varianza de W̃ (y por tanto de r˜p ).
8. Desventajas:
I Saciedad: la función de utilidad cuadrática indica que el individuo es
saciable; es decir, cuando el ingreso se incrementa por encima del
punto de saciedad, la utilidad decrece. Esto es opuesto al supuesto
“mas es mejor que menos”.
I ARA creciente: esto significa que la demanda del activo disminuye
cuando aumenta la riqueza. Entonces el activo es un bien inferior.
Distribución arbitraria de W̃ V
y función de utilidad cuadrática
Conclusión 2
Conclusiones económicas basadas en la función de utilidad cuadrática son
contra intuitivas y estas no representan a un individuo que prefiere mas
que menos (no saciabilidad) y que considera que los activos son bienes
normales.
Relación de preferencias arbitraria I
Distribución normal de los retornos
1. El modelo de media-varianza es obtenido bajo el supuesto que la
tasa de retorno de los activos se distribuyen normalmente (una
distribución normal multivariada).
2. Bajo este supuesto de distribución, la función de utilidad esperada
depende solo de los dos primeros momentos cualquiera que sea la
función de utilidad (independiente de la relación de preferencias).
Esto se debe a que la distribución normal es completamente descrita
por sus dos primero momentos (media y varianza).
3. Ventajas (de la distribución normal):
I El tercer momento y los de mayor orden presentes en E (R3 ) pueden
ser expresados como función de los dos primeros momentos (media y
varianza).
I La función de distribución normal es estable bajo adición: la tasa de
retorno de un portafolio que ha sido formado por activos cuyos
rendimientos están normalmente distribuidos es también
NORMALMENTE DISTRIBUIDA.
4. Desventajas (de la distribución normal):
I La distribución normal es unbounded from below, lo cual es
inconsistente con limited liabilities y con la teorı́a económica.
Solución del problema de elección del portafolio I
Condiciones de primer orden
Recordando: el problema de elección de portafolio del modelo de mediavarianza es el siguiente:
min
{w }
1 t
w Vw
2
sujeto a:
wte
t
w 1
= E (˜
rp )
=
1
(tasa de retorno del portafolio esperada)
(suma de los pesos del portafolio)
Donde: e t = [E (˜
r1 ), E (˜
r2 ), ..., E (˜
rn )]
Pasos de solución:
Paso 1: función de lagrange
L=
1 t
w Vw + λ1 [E (˜
rp ) − w t e] + λ2 [1 − w t 1]
2
(11)
Solución del problema de elección del portafolio II
Condiciones de primer orden
Paso 2: derivada con respecto a w (CPO)
∂L
∂w
1 ∂(w t Vw )
∂(w t e)
∂(w t 1)
+ λ1 [−
] + λ2 [−
]
2
∂w
∂w
∂w
∂Vw ∂w
∂w
1 ∂w t
Vw + w t
− λ1 [e t
] + λ2 [−1t
]
2 ∂w
∂w
∂w
∂w
1 t t ∂w
w V
+ w t V − λ1 [e t ] − λ2 [1t ]
2
∂w
1 t 2w V − λ1 [e t ] − λ2 [1t ]
2 w t V − λ1 [e t ] − λ2 [1t ]
Tomando la ecuación (12) y aplicando transpuesta:
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0 (12)
Solución del problema de elección del portafolio III
Condiciones de primer orden
(w t V )t − λ1 [e t ]t − λ2 [1t ]t
=
0
V t w − λ1 e − λ2 1
=
0,
Vw − λ1 e − λ2 1
=
0
w
=
λ1 V −1 e + λ2 V −1 1
V es simetrica : V = V t
(13)
(14)
Esta es la ecuación del portafolio óptimo. Para terminar de definirlo
tenemos que encontrar λ1 y λ2 .
Paso 3: utilizando las restricciones
- Multiplicando por e t a la ecuación (13):
e t w = λ1 e| t V{z−1 e} +λ2 e| t V{z−1 1} = E [˜
rp ]
B
(15)
A
- Multiplicando por 1t a la ecuación (13):
t −1
t −1
1t w = λ1 1
| V{z e} +λ2 1
| V{z 1} = 1
A
C
(16)
Solución del problema de elección del portafolio IV
Condiciones de primer orden
Paso 4: resolviendo el sistema de ecuaciones
λ1 B + λ2 A
= E [˜
rp ]
λ1 A + λ2 C
=
1
(17)
De la segunda ecuación despejamos λ1 :
1 − λ2 C
A
Esto lo reemplazamos en la primera ecuación y se obtiene λ2 :
λ1 =
λ2 =
B − AE [˜
rp ]
BC − A2
λ1 =
CE [˜
rp ] − A
BC − A2
Finalmente, λ1 quedarı́a:
Solución del problema de elección del portafolio V
Condiciones de primer orden
I Dado que V es definida positiva, entonces:
B
=
e t V −1 e > 0
C
=
1t V −1 1 > 0
Además: D = BC − A2 > 0
Paso 5: obteniendo la solución wp (frontier portfolio):
Reemplazando λ1 y λ2 en la solución (ecuación (13)):
w
=
w
=
λ1 V −1 e + λ2 V −1 1
CE [˜
rp ] − A −1
B − AE [˜
rp ] −1
V e+
V 1
BC − A2
BC − A2
(18)
(19)
Solución del problema de elección del portafolio VI
Condiciones de primer orden
Solución: w
w
=
w
=
BV −1 1 − AV −1 e
CV −1 e − AV −1 1
+
E [˜
rp ]
D
D
{z
}
{z
}
|
|
gnx1
g + hE [˜
rp ]
hnx1
(20)
Cualquier portafolio frontera puede ser representado por (20) o cualquier
portafolio que es representado por (20) es un portafolio frontera.
Dos portafolios óptimos especiales I
1. Portafolio óptimo 1: E [˜
rp ] = 0. Aplicando esta restricción a la
solución -ecuación (20), tenemos:
w0
= g + hE [˜
rp ]
w0
= g
2. Portafolio óptimo 2: E [˜
rp ] = 1. Aplicando esta restricción a la
solución -ecuación (20), tenemos:
w1
= g + hE [˜
rp ]
w1
= g +h
Generación de la frontera de portafolios I
Basado en los dos portafolios óptimos especiales
Afirmación 1: Generación de la frontera de portafolios
La “frontera de portafolios” puede ser generada por medio de la
formación de portafolios basados en los dos particulares portafolios de
frontera: w0 y w1 .
PRUEBA:
1. Sea el siguiente portafolio de frontera:
wq = g + hE [˜
rq ]
2. Consideremos el siguiente portafolio wnew formado en base a:
Portafolio
Peso
w0
1 − E [˜
rq ]
w1
E [˜
rq ]
Entonces:
wnew = (1 − E [˜
rq ])w0 + (E [˜
rq ])w1
Generación de la frontera de portafolios II
Basado en los dos portafolios óptimos especiales
3. Reemplazando la expresión para cada portafolio “especial” w0 y w1 :
wnew
=
(1 − E [˜
rq ])w0 + (E [˜
rq ])w1
wnew
=
(1 − E [˜
rq ])(g ) + (E [˜
rq ])(g + h)
wnew
=
g − E [˜
rq ]g + E [˜
rq ]g + E [˜
rq ]h
wnew
=
g + E [˜
rq ]h
wnew
=
wq
Entonces, cuando formamos uno nuevo portafolio con los dos
especificos portafolios de frontera w0 y w1 con pesos
{1 − E [˜
rq ], E [˜
rq ]}, el portafolio resultante es también un portafolio
de frontera!
Dado que “q” es un portafolio arbitrario entonces la frontera de
portafolios puede ser generado por dos portafolios frontera w0 y w1 .
Generación de la frontera de portafolios I
Basado en cualquier dos portafolios de frontera
Afirmación 2: Generación de la frontera de portafolios
La “frontera de portafolios” puede ser generada por medio de la
formación de portafolios basados en cualquier dos portafolios de frontera
p1 y p2 .
PRUEBA:
1. Consideremos dos portafolios frontera: p1 y p2 con E [˜
rp1 ] 6= E [˜
rp2 ]
2. Elijamos otro portafolio frontera “q”.
3. Dado que E [˜
rp1 ] 6= E [˜
rp2 ], existe un único número real “α” tal que
E [˜
rq ] = αE [˜
rp1 ] + (1 − α)E [˜
rp2 ]
Generación de la frontera de portafolios II
Basado en cualquier dos portafolios de frontera
4. Considerar el siguiente portafolio:
αwp1 + (1 − α)wp2
=
α(g + hE [˜
rp1 ]) + (1 − α)(g + hE [˜
rp2 ])
=
g + h(αE [˜
rp1 ] + (1 − α)E [˜
rp2 ])
=
g + hE [˜
rq ]
| {z }
=
wq es un portafolio de frontera!
wq
Entonces, la formación del “new” portafolio en función de dos
arbitrarios portafolios de frontera es también un portafolio de
frontera!
Solución del problema de elección del portafolio I
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
De la CPO tenemos:
w t V = λ1 [e t ] + λ2 [1t ]
1. Multiplicando por w
wtV
t
w
V w}
| {z
=σ 2 (˜
rp )
2
σ r˜p
= λ1 [e t ] + λ2 [1t ]
= λ1 [e t ]w +λ2 [1t ]w
| {z }
| {z }
=E [˜
rp ]
= λ1 E [˜
rp ] + λ2
=1
Solución del problema de elección del portafolio II
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
2. Reemplazando los valores de λ1 y λ2 :
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
λ1 E [˜
rp ] + λ2
CE [˜
rp ] − A
B − AE [˜
rp ]
E [˜
rp ] +
D
D
2
CE [˜
rp ] − 2AE [˜
rp ] + B
D
En este punto podemos trabajar en dos espacios: E [˜
rp ] − σ 2 (˜
rp ) o
E [˜
rp ] − σ(˜
rp )
Solución del problema de elección del portafolio III
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
3. En el espacio de E [˜
rp ] − σ 2 (˜
rp ):
σ 2 (˜
rp )
2
=
σ (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
CE 2 [˜
rp ] − 2AE [˜
rp ] + B
D/C
E 2 [˜
rp ] − 2(A/C )E [˜
rp ] + B/C + A/C
D/C
2
2
(E [˜
rp ] − A/C ) + B/C − A/C
D/C
2
2
B/C − A/C
(E [˜
rp ] − A/C )
+
D/C
D/C
(E [˜
rp ] − A/C )2
BC − A2
+ 2
D/C
C D/C
2
− A/C
2
Solución del problema de elección del portafolio IV
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
1/C
σ 2 (˜
rp ) (E [˜
rp ] − A/C )2
−
1/C
D/C 2
=
=
D
(E [˜
rp ] − A/C )2
+
D/C
CD
(E [˜
rp ] − A/C )2
1
+
D/C
C
(E [˜
rp ] − A/C )2
+1
D/C 2
1
Esta ecuación (21) es una hipérbola:
(y − y0 )2
(x − x0 )2
−
=1
2
a
b2
(21)
Solución del problema de elección del portafolio V
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
4. En el espacio de E [˜
rp ] − σ˜
rp :
σ 2 (˜
rp ) (E [˜
rp ] − A/C )2
−
1/C
D/C 2
=
1
s
σ(˜
rp )
= ±
La ecuación (22) es una parábola.
1/C +
(E [˜
rp ] − A/C )2
(22)
D/C
Solución del problema de elección del portafolio VI
Portafolio óptimo: relación entre [˜
rp ] y Var (˜
rp )
𝑬[෤𝒓]
Espacio Media-Des.Est.
Hipérbola
Espacio Media-Varianza
Parábola
𝑬[෤𝒓]
𝑨/𝑪
𝟏/𝑪
𝝈(෤𝒓)
1/𝑪
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Lecture 4-5: Teorı́a de la Elección del
Portafolio II (The Mean-Variance Model)
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: Mean-Variance Model
Análisis
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp)
Frontera Eficiente e Ineficiente
Propiedades del Portafolio de Frontera
Conclusiones
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) I
1. El portafolio de mı́nima varianza (pmv) es aquel que tiene la
menor varianza entre TODOS los posibles portafolios.
Espacio Media-Varianza
Parábola
𝑬[෤𝒓]
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Espacio Varianza-Media
Parábola
A/𝑪
1/𝑪
1/𝑪
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Portafolio de minima
varianza
A/𝑪
𝑬[෤𝒓]
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) II
2. De la ecuación que relaciona la tasa de retorno esperado y su
varianza se toma la
derivada
de la varianza con respecto a la tasa de
retorno esperado:
∂σ 2 (˜
rp )
∂E [˜
rp ]
:
rp ] − A/C )2
σ 2 (˜
rp ) (E [˜
−
1/C
D/C 2
tomando derivadas
2
2(E [˜
rp ] − A/C )
∂σ (˜
rp ) 1
−
∂E [˜
rp ] 1/C
D/C 2
∂σ 2 (˜
rp )
∂E [˜
rp ]
∂σ 2 (˜
rp )
∂E [˜
rp ]
E [˜
rp ] − A/C
E [˜
rp ]
=
1
=
0
=
2(E [˜
rp ] − A/C )
D/C
=
=
2(E [˜
rp ] − A/C )
=0
D/C
0
= A/C
(1)
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) III
3. Calculando la varianza del “mvp”: dado que el “mvp” tiene valor
esperado de su tasa de retorno igual a A/C , entonces reemplazando
este valor en la expresión media-varianza:
σ 2 (˜
rp )
−
1/C
(E [˜
rp ] −A/C )2
| {z }
=A/C
D/C 2
σ 2 (˜
rp )
1/C
σ 2 (˜
rp )
=
1
=
1
=
1/C
=
p
1/C
o
σ(˜
rp )
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) IV
4. ¿Cuál es wmvp ?
Dado que “mvp” es un portafolio de frontera, entonces:
wmvp = g + hE [˜
rmvp ] = g + h(A/C )
Dado que g =
BV −1 1−AV −1 e
D
yh=
wmvp =
CV −1 e−AV −1 1
,
D
V −1 1
C
entonces:
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) I
Propiedad importante
Propiedad
Sea “p” un portafolio (no necesariamente en la frontera de portafolios),
entonces se cumple:
Cov (˜
rp , r˜mvp ) = Var (˜
rmvp )
PRUEBA:
Paso 1: Consideremos un portafolio con mı́nima varianza formado en función
a “p” y “mvp” con pesos a y 1 − a respectivamente.
wportafolio = awp + (1 − a)wmvp
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) II
Propiedad importante
Paso 2: Este portafolio tiene mı́nima varianza, entonces es el resultado del
siguiente problema de optimización:
min Var (portafolio) sujeto a: aE (˜
rp ) + (1 − a)E (˜
rmvp ) = E [˜
rportafolio ]
{a}
Donde:
Var (˜
rportafolio )
=
Var a(˜
rp ) + (1 − a)(˜
rmvp )
=
a2 Var (˜
rp ) + (1 − a)2 Var (˜
rmvp )
+2a(1 − a)Cov (˜
rp , r˜mvp )
Nota: observar que exigimos que el nuevo portafolio sea un
portafolio de frontera, pero no el portafolio “p”.
(2)
Portafolio de Mı́nima Varianza (mvp) III
Propiedad importante
Paso 3: CPO: tomando derivada a la ecuación (2) con respecto a “a”:
∂Var (˜
rportafolio )
= 2aVar (˜
rp )−2(1−a)Var (˜
rmvp )+2(1−2a)Cov (˜
rp , r˜mvp ) = 0
∂a
Dado que este portafolio es de mı́nima varianza, entonces tiene
sentido invertir toda la riqueza en el portafolio “mvp”. Como
resultado “a” deberı́a ser igual a cero (a = 0).
Paso 4: Considerando a = 0:
2aVar (˜
rp ) − 2(1 − a)Var (˜
rmvp ) + 2(1 − 2a)Cov (˜
rp , r˜mvp )
=
0
−2Var (˜
rmvp ) + 2Cov (˜
rp , r˜mvp )
=
0
Cov (˜
rp , r˜mvp )
= Var (˜
rmvp )
Esto significa que la covarianza de cualquier portafolio con respecto
al “mvp” es igual a la varianza de “mvp”. Esto se debe a que
cuando se forma un portafolio con “p” (cualquier portafolio) y
“mvp” (portafolio óptimo), el inversionista prefiere invertir todo en
el “mvp”.
Frontera eficiente e ineficiente I
1. Portafolio eficiente: son aquellos portafolios de frontera que tienen
E [˜
r ] estrictamente mayor al de “mvp”:
E [˜
r ] > A/C
2. Portafolio ineficiente: son aquellos portafolios de frontera que no
son ni eficientes ni “mvp”.
3. Relación entre portafolio eficiente e ineficiente: para cada
portafolio eficiente existe un portafolio ineficiente que tiene la misma
varianza pero menor valor esperado de la tasa de retorno.
Frontera eficiente e ineficiente II
Espacio Media-Des.Est.
Hipérbola
𝑬[෤𝒓]
1
2
mvp
p
Frontera
Eficiente
3
Para cada portafolio eficiente
existe uno ineficiente con la misma
varianza pero con menor E[r]
𝑨/𝑪
P’
𝟏/𝑪
4
Frontera
Ineficiente
𝝈(෤𝒓)
Propiedades del Portafolio de Frontera I
Propiedad 1
Cualquier combinación lineal de los portafolios de frontera está en la
frontera.
Notar que antes hemos demostrado dos afirmaciones sobre la generación
de la frontera de portafolios:
I Puede ser generada por DOS portafolios de frontera especı́ficos:
w0 y w1
I Puede ser generada por CUALQUIER DOS portafolios de
frontera
I En ambos casos, la combinación de dichos dos portafolios es lineal.
I Notar que la propiedad 1 es más general que las dos previas: en
este caso NO está limitado a dos portafolios de frontera.
Propiedades del Portafolio de Frontera II
Definición (Combinación Lineal)
Sea x = {x1 , x2 , ...xm } una familia de vectores en V . Una Combinación
Lineal de x1 , ..., xm es un VECTOR de la forma:
y=
m
X
αi xi
i=1
Donde α1 , α2 , ..., αm son escalares.
PRUEBA (propiedad 1):
Paso 1: Sea “m” portafolios de frontera: w1 , w2 , w3 , ..., wm
P
Paso 2: Sea αi para i = 1, 2, 3..., m un número real tal que i αi = 1. Notar
que estamos asumiento que αi es un número real, entonces puede
ser positivo o negativo.
1. Formamos un nuevo portafolio:
wn = α1 w1 + α2 w2 + ... + αm wm =
m
X
i=1
αi wi
Propiedades del Portafolio de Frontera III
2. El retorno esperado de este portafolio es:
E [˜
rn ] =
m
X
αi E [˜
ri ]
i=1
3. Dado que wi (i = 1, ..., m) son portafolios de frontera, entonces
cada uno de ellos puede ser expresado por:
wi = g + hE [˜
ri ]
4. En el nuevo portafolio:
Propiedades del Portafolio de Frontera IV
wn
=
=
=
m
X
i=1
m
X
i=1
m
X
αi wi
αi (g + hE [˜
ri ])
αi g +
i=1
m
X
= g
m
X
αi +h
i=1
i=1
| {z }
|
=1
wn
αi hE [˜
ri ]
i=1
m
X
= g + hE [˜
rn ]
αi E [˜
ri ]
{z
=E [˜
rn ]
}
(3)
Esto indica que el portafolio nuevo wn (formado como combinación
lineal de “m” portafolios de frontera) también es un portafolio de
frontera.
Propiedades del Portafolio de Frontera V
Propiedad 2
Cualquier combinación convexa de portafolios eficientes es un portafolio
eficiente.
Definición (Combinación Convexa)
Sea x = {x1 , x2 , ...xm } una familia de vectores en V . Una Combinación
Convexa de x1 , ..., xm es un VECTOR de la forma:
y=
m
X
αi xi
i=1
con dos restricciones:
[1]
m
X
αi = 1
y
αi ∈ [0, 1]
i=1
PRUEBA:
Paso 1: asumamos que tenemos “m” portafolios eficientes: w1 , w2 , w3 , ..., wm
Propiedades del Portafolio de Frontera VI
Paso2: una propiedad de los portafolios eficientes es:
E [˜
rwi ] ≥
A
←− E [˜
rmvp ]
C
Paso 3: formamos un nuevo portafolio wn como una combinación convexa de
los “m” portafolios eficientes:
wn = α1 w1 + α2 w2 + ... + αm wm =
m
X
αi wi
i=1
Con: αi ∈ [0, 1] y
Pm
i=1
αi = 1.
Paso 4: El valor esperado de la tasa de retorno de este nuevo portafolio es:
E [˜
rwn ] =
m
X
i=1
αi E [˜
rwi ]
Propiedades del Portafolio de Frontera VII
Paso 5: utilizando la propiedad de portafolios eficientes:
E [˜
rwi ] ≥
m
X
αi E [˜
rwi ] ≥
i=1
A
C
m
X
i=1
E [˜
rwn ]
≥
αi
A
C
m
AX
αi
C
i=1
| {z }
=1
E [˜
rwn ]
≥
A
C
(4)
Esto significa que el nuevo portafolio formado por una combinación convexa de portafolios eficientes es también un portafolio eficiente.
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3) I
Propiedad 3
Para cualquier portafolio “p” en la frontera (excepto para “mvp”), existe
un único portafolio de frontera zc(p) el cual tiene cero covarianza con
“p”.
Cov (p, zc(p)) = 0
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3) II
𝑬[෤𝒓]
Espacio Media-Des.Est.
Hipérbola
p
𝑨/𝑪
mvp
𝟏/𝑪
zc(p)
¿ Dónde está este portafolio
que cumple:
Cov(p,zc(p)) = 0
?
𝝈(෤𝒓)
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) I
PRUEBA:
Paso 1: sabemos que la Cov entre dos portafolios de frontera “p” y “q”es:
1
Cov (˜
rp , r˜q ) =
B − A(E [˜
rp ] + E [˜
rq ]) + CE [˜
rp ]E [˜
rq ]
D
Ver la demostración en la carpeta “Covariance”.
Paso 2: Encontrando E [˜
rzc(p) ]: considerando que el portafolio “q” es
“zc(p)”:
−AE [˜
rzc(p) ] + CE [˜
rp ]E [˜
rzc(p) ]
=
1
B − A(E [˜
rp ] + E [˜
rzc(p) ]) + CE [˜
rp ]E [˜
rzc(p) ]
D
AE [˜
rp ] − B
E [˜
rzc(p) ](−A + CE [˜
rp ])
=
AE [˜
rp ] − B
E [˜
rzc(p) ]
=
AE [˜
rp ] − B
CE [˜
rp ] − A
Cov (˜
rp , r˜zc(p) )
=
Pero sabemos que: D = BC − A2 , entonces: B =
D+A2
C
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) II
2
E [˜
rzc(p) ]
=
=
=
=
=
E [˜
rzc(p) ]
=
)
AE [˜
rp ] − (D+A
C
CE [˜
rp ] − A
2 )
rp ] − (D+A
A CE [˜
A
C
CE [˜
rp ] − A
rp ] − DA − A
A CE [˜
C
CE [˜
rp ] − A
A
D/A
1−
C
CE [˜
rp ] − A
A
D/C
−
C
CE [˜
rp ] − A
A
D/C 2
−
C
E [˜
rp ] − A/C
(5)
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) III
Paso 3: Sabemos que los portafolios eficientes tienen mayor valor esperado
de su tasa de retorno que el portafolio “mvp”. En el caso de “p”
(portafolio eficiente):
E [˜
rp ] > A/C
Además, dado que D > 0 y C > 0, se tiene:
D/C 2
>0
E [˜
rp ] − A/C
Entonces:
E [˜
rzc(p) ] =
D/C 2
A
A
−
<
C
E [˜
rp ] − A/C
C
Es decir:
A
C
Esto indica que zc(p) es un portafolio ineficiente!
E [˜
rzc(p) ] <
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) IV
Paso 4: Hasta aquı́ sabemos que zc(p) está en la frontera ineficiente, pero
¿Dónde exactamente está?
I Dado que el portafolio “p” está en la frontera eficiente, entonces
UNA lı́nea tangente pasa por dicho portafolio.
I La pendiente de esta tangente se puede obtener de la relación
media-Varianza del portafolio “p”. Dado que estamos en el espacio
∂E [˜
r ]
media-DesEst, entonces la pendiente es: ∂σ(˜rpp ) .
Paso 5: De la ecuación (??) se obtiene la pendiente:
σ 2 (˜
rp )
=
∂E [˜
rp ]
∂σ(˜
rp )
=
(E [˜
rp ] − A/C )2
D/C
σ(˜
rp )D
CE [˜
rp ] − A
1/C +
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) V
Paso 6: Evaluando en la intersección de esta lı́nea tangente con el eje E [˜
r ]:
σ(˜
rp )D
CE [˜
rp ] − A
=
X
=
E (˜
rp ) − X
σ(˜
rp ) − 0
σ 2 (˜
rp )D
CE [˜
rp ] − A
de la relación
media-varianza
E [˜
rp ] −
1+
X
=
X
=
X
=
E [˜
rp ] −
(E [˜
rp ]−A/C )2
D/C 2
D
C
CE [˜
rp ] − A
D/C 2
A
−
C
E [˜
rp ] − A/C
de la ecuación (5)
E [˜
rzc(p) ]
(6)
Esto significa que E [˜
rzc(p) ] se encuentra en la lı́nea tangente que
pasa por el portafolio “p”. En particular, E [˜
rzc(p) ] es la intersección
de esta lı́nea tangente con el eje E [˜
r ].
Propiedades del Portafolio de Frontera (Propiedad 3: Prueba) VI
𝑬[෤𝒓]
Espacio Media-Des.Est.
Hipérbola
p
𝑨/𝑪
mvp
𝟏/𝑪
zc(p)
Espacio Media-Des.Est.
Hipérbola
𝑬[෤𝒓]
p
¿ Dónde está este portafolio
que cumple:
Cov(p,zc(p)) = 0
?
𝝈(෤𝒓)
𝑨/𝑪
mvp
zc(p)
Aquí está este portafolio
Cov(p,zc(p)) = 0
𝑬[෤𝒓𝒛𝒄(𝒑) ]
𝟏/𝑪
𝝈(෤𝒓)
Portafolios fuera de la frontera
Pregunta 1
Pregunta 1:
Para cualquier portafolio “p” fuera de la frontera, ¿Cuál es el portafolio
de cero covarianza “q” y que a su vez es de mı́nima varianza?
𝑬[෤𝒓]
Portafolio “p” en la Frontera
Esto analizamos anteriormene
𝑬[෤𝒓]
Portafolio “p” FUERA de la Frontera
Esto analizaremos ahora
p
𝑨/𝑪
mvp
𝟏/𝑪
zc(p)
p
¿ Dónde está este portafolio
que cumple:
Cov(p,zc(p)) = 0
?
𝝈(෤𝒓)
𝑨/𝑪
mvp
𝟏/𝑪
q
¿ Dónde está este portafolio
que cumple:
Cov(p,q) = 0
?
𝝈(෤𝒓)
Portafolios fuera de la frontera I
Pregunta 1: Solución
Pasos para encontrar wq :
Paso 1: Dado que “q” es un portafolio de mı́nima varianza, entonces este se
obtiene de la optimización del inversionista:
Problema de optimización para encontrar wq
1
min wqt Vwq
{wq } 2
Sujeto a:
Cov (˜
rq , r˜p )
wqt 1
= wqt Vwp = 0
=
1
Notar que wq no pertenece a la frontera de portafolios a la que
pertenece “p” debido a que la optimización para obtener “q” es parecida
a “p” pero con una restricción distinta. Entonces “q” no pertenece a la
frontera que “p” pertenece!
Portafolios fuera de la frontera II
Pregunta 1: Solución
Paso 2: Lagrande y CPO:
L=
1 t
w Vwq + λ1 (0 − wqt Vwp ) + λ2 (1 − wqt 1)
2 q
La CPO:
∂L
∂wq
wqt V − λ1 wpt V − λ2 1t
wqt V
wqt
=
wqt V − λ1 wpt V − λ2 1t = 0
=
0
=
λ1 wpt V + λ2 1t
=
λ1 wpt + λ2 1t V −1
(7)
Portafolios fuera de la frontera III
Pregunta 1: Solución
Paso 3: Utilizando las restricciones: en la ecuación (7).
Usando la primera restricción:
wqt
=
wqt Vwp
=
λ1 wpt + λ2 1t V −1
restricción de la Cov()
λ1 wpt Vwp +λ2 1t V −1 Vwp = 0
| {z }
| {z }
=σ 2 (˜
rp )
2
λ1 σ (˜
rp ) + λ2
=
0
λ1
=
−
λ2
2
σ (˜
rp )
=1
(8)
Portafolios fuera de la frontera IV
Pregunta 1: Solución
Usando la segunda restricción:
wqt
=
λ1 wpt + λ2 1t V −1
restricción de la suma de pesos
wqt 1
t −1
= λ1 wpt 1 +λ2 1
| V{z 1} = 1
|{z}
=1
λ1 + λ2 C
=
=C
1
λ2
+ λ2 C = 1
σ 2 (˜
rp )
1
λ2 (− 2
+ C) = 1
σ (˜
rp )
−
λ2
=
σ 2 (˜
rp )
2
C σ (˜
rp ) − 1
(9)
Entonces:
σ 2 (˜
rp )
λ2
1
C σ 2 (˜
r )−1
λ1 = − 2
=− 2 p
=− 2
σ (˜
rp )
σ (˜
rp )
C σ (˜
rp ) − 1
(10)
Portafolios fuera de la frontera V
Pregunta 1: Solución
Paso 4: Encontrando wq : dado que tenemos λ1 (ecuación 10) y λ2
(ecuación 9), se reemplaza en (7):
wqt
=
λ1 wpt + λ2 1t V −1
wqt
=
−
=
C σ 2 (˜
rp ) 1t V −1
1
t
w
−
+
p
C σ 2 (˜
rp ) − 1
C σ 2 (˜
rp ) − 1 | {z
C }
=
λ1 wpt
wqt
1
C σ 2 (˜
rp )
−1
wpt +
σ 2 (˜
rp )
1t V −1
C σ 2 (˜
rp ) − 1
t
=wmvp
wqt
t
C λ2 wmvp
(11)
t
wqt = λ1 wpt + C λ2 wmvp
(12)
+
Portafolios fuera de la frontera I
Pregunta 1: Algunas conclusiones
Algunas conclusiones de la ecuación (12):
1. “q” es una combinación lineal del portafolio “p” y del “mvp”.
2. La formación de “q” es por medio de short selling “p” (signo
negativo del coeficiente de wp ) y compra del “mvp” (signo positivo
de wmvp ).
3. ¿Cuál es la expresión para E [˜
rq ]?
E [˜
rq ]
= wqt e
=
t
(λ1 wpt + C λ2 wmvp
)e
t
= λ1 wpt e + C λ2 wmvp
e
E [˜
rq ]
= λ1 E [˜
rp ] + C λ2 E [˜
rmvp ]
Reemplazando λ1 , λ2 y E [˜
rmvp ] = A/C , se tiene:
E [˜
rq ] =
E [˜
rp ] − Aσ 2 (˜
rp )
2
1 − C σ (˜
rp )
(13)
Portafolios fuera de la frontera II
Pregunta 1: Algunas conclusiones
4. Donde está “q”? Cerca a la frontera eficiente o ineficiente de “p”?
E [˜
rq ]
E [˜
rq ]
E [˜
rq ]
=
E [˜
rp ] − Aσ 2 (˜
rp )
2
1 − C σ (˜
rp )
A
A
E [˜
rp ] − Aσ 2 (˜
rp )
− +
2
C
C
1 − C σ (˜
rp )
CE [˜
rp ] − A
= A/C −
C (C σ 2 (˜
rp ) − 1)
|
{z
}
=
(14)
>0
Si “p” es un portafolio fuera de la frontera pero que tiene varianza y
expectativa de la tasa de retorno mayor que los correspondientes al
portafolio “mvp”, entonces E [˜
rq ] < A/C . Dado que “q” es un
portafolio de frontera, entonces este tiene que encontrarse cerca a la
frontera ineficiente de “p”.
Portafolios fuera de la frontera III
Pregunta 1: Algunas conclusiones
5. Evaluemos el intercepto con el eje E [˜
r ] de la lı́nea que une “p” y
“mvp”. Para ello primero calculemos la pendiente como la diferencia
de dos puntos (“p” y “mvp”):
∆E [˜
r]
E [˜
rp ] − E [˜
rmvp ]
= 2
2
2
∆σ (˜
r)
σ (˜
rp ) − σ (˜
rmvp )
La misma pendiente se debe de mantener entre “mvp” y el
intercepto de la lı́nea con el eje E [˜
r ]:
E [˜
rmvp ] − X
E [˜
rp ] − E [˜
rmvp ]
= 2
σ 2 (˜
rp ) − σ 2 (˜
rmvp )
σ (˜
rmvp ) − 0
Dado que: E [˜
rmvp ] = A/C y σ 2 (˜
rmvp ) = 1/C , entonces:
X =
E [˜
rp ] − Aσ 2 (˜
rp )
2
1 − C σ (˜
rp )
{z
}
|
por (14)=E [˜
rq ]
X = E [˜
rq ]
Portafolios fuera de la frontera IV
Pregunta 1: Algunas conclusiones
Esto significa que el intercepto de la linea que une el portafolio fuera
de frontera “p” y el “mvp” es igual a E [˜
rq ], que es el valor esperado
de la tasa de retorno del portafolio de frontera de cero-covarianza
con “p”.
6. Afirmación: la frontera de portafolios generada por dos activos o
portafolios con valores esperados de tasa de retorno distintos pasa
por esos dos activos o portafolios (demostrar!).
7. Dada la afirmación anterior podemos concluir que una frontera de
portafolios es generada por “p” y “mvp” y además dicha frontera
pasa por ambos portafolios. Entonces, “mvp” y “p” son ambos
portafolios frontera.
8. Además, por propiedad, la combinación lineal de dos portafolios
frontera también está en la frontera. Entonces dado que wq es una
combinación lineal de dichos portafolios, entonces “q” está en la
frontera de portafolios generada por “p” y “mvp”.
Portafolios fuera de la frontera V
Pregunta 1: Algunas conclusiones
𝑬[෤𝒓]
Portafolio “p” FUERA de la Frontera
𝑬[෤𝒓]
Portafolio “p” FUERA de la Frontera
p
𝑨/𝑪
mvp q
𝟏/𝑪
p
¿ Dónde está este portafolio
que cumple:
Cov(p,q) = 0
?
𝝈𝟐 (෤𝒓)
𝑨/𝑪
mvp q
𝟏/𝑪
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Portafolios fuera de la frontera
Pregunta 2
Pregunta 2:
¿Cuál es la relación entre un portafolio de frontera “p” y uno “q” que
está FUERA de la frontera?
Esta pregunta es super importante para CAPM!
𝑬[෤𝒓]
Portafolio “p” en la Frontera
y portafolio “q” fuera de la frontera
p
𝑨/𝑪
mvp
𝟏/𝑪
q
¿Cuál es la relacion
entre
ambos
portafolios?
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Portafolios fuera de la frontera I
Pregunta 2
Paso 1: sabemos:
Cov (˜
rp , r˜q ) = wpt Vwq
Donde “p” es portafolio de frontera y “q” no.
Paso 2: dado que “p” es portafolio de frontera, entonces:
wp = g + hE [˜
rp ]
No podemos afirmar los mismo para “q”.
−1
−1
−1
−1
e
1
Recordemos: g = BV 1−AV
y h = CV e−AV
D
D
Paso 3: Juntando las dos ecuaciones previas:
Cov (˜
rp , r˜q ) = wpt Vwq
=
(g + hE [˜
rp ])t Vwq
wpt Vwq
=
(g t + ht E [˜
rp ])Vwq
=
g t Vwq + ht Vwq E [˜
rp ]
=
(
Cov (˜
rp , r˜q )
=
E [˜
rq ]
=
BV −1 1 − AV −1 e t
CV −1 e − AV −1 1 t
) Vwq + (
) Vwq E [˜
rp ]
D
D
B − AE [˜
rq ]
CE [˜
rq ] − A
+
E [˜
rp ]
D
D
DCov (˜
rp , r˜q )
AE [˜
rp ] − B
+
(15)
CE [˜
rp ] − A
CE [˜
rp ] − A
Portafolios fuera de la frontera II
Pregunta 2
La ecuación (15) indica una relación NO LINEAL entre E [˜
rq ] y
E [˜
rp ]. Sin embargo, podemos explotar un poco más la información
que tenemos sobre el portafolio de frontera “p”. En primer lugar,
veamos el primer término:
DCov (˜
rp , r˜q )
CE [˜
rp ] − A
= D
Cov (˜
rp , r˜q ) σ 2 (˜
rp )
2
σ (˜
rp ) CE [˜
rp ] − A
| {z }
βqp
= Dβqp
σ 2 (˜
rp )
CE [˜
rp ] − A
(16)
Sabemos de (??):
σ 2 (˜
rp )
(E [˜
rp ] − A/C )2
−
1/C
D/C 2
=
1
C σ 2 (˜
rp )
=
1+
(E [˜
rp ] − A/C )
(E [˜
rp ] − A/C )(17)
D/C 2
Portafolios fuera de la frontera III
Pregunta 2
Pero, de la ecuación (5):
E [˜
rzc(p) ] =
Se tiene:
A
D/C 2
−
C
E [˜
rp ] − A/C
D/C 2
= A/C − E [˜
rzc(p) ]
E [˜
rp ] − A/C
Entonces, aplicando esta expresión a la ecuación (17), se tiene:
C σ 2 (˜
rp )
=
C σ 2 (˜
rp )
=
σ 2 (˜
rp )
=
En la ecuación (16):
(E [˜
rp ] − A/C )
(E [˜
rp ] − A/C )
D/C 2
1
1+
(E [˜
rp ] − A/C )
A/C − E [˜
rzc(p) ]
1+
E [˜
rp ] − E [˜
rzc(p) ]
A − CE [˜
rzc(p) ]
Portafolios fuera de la frontera IV
Pregunta 2
DCov (˜
rp , r˜q )
CE [˜
rp ] − A
DCov (˜
rp , r˜q )
CE [˜
rp ] − A
= Dβqp
= Dβqp
rp )
σ 2 (˜
CE [˜
rp ] − A
E [˜
rp ]−E [˜
rzc(p) ]
A−CE [˜
rzc(p) ]
CE [˜
rp ] − A
Pero, otra vez, de la ecuación (5):
E [˜
rzc(p) ] =
Tenemos:
D/C 2
A
−
C
E [˜
rp ] − A/C
D
= A − CE [˜
rzc(p) ]
CE [˜
rp ] − A
Entonces en la ecuación (18):
DCov (˜
rp , r˜q )
= βqp E [˜
rp ] − E [˜
rzc(p) ]
CE [˜
rp ] − A
(18)
Portafolios fuera de la frontera V
Pregunta 2
El segundo término:
AE [˜
rp ] − B
CE [˜
rp ] − A
si le sumamos A/C y le restamos A/C , queda igual a:
A
D/C 2
−
C
E [˜
rp ] − A/C
el cual es igual a E [˜
rzc(p) ].
Por tanto, la relación NO LINEAL entre E [˜
rq ] y E [˜
rp ] -ecuación
(15)- se convierte en una relación LINEAL entre tres portafolios:
E [˜
rq ]
=
E [˜
rq ]
=
rp ] − B
DCov (˜
rp , r˜q ) AE [˜
+
CE [˜
rp ] − A
CE [˜
rp ] − A
βqp (E [˜
rp ] − E [˜
rzc(p) ]) + E [˜
rzc(p) ]
(19)
(20)
Portafolios fuera de la frontera VI
Pregunta 2
¿Cuál es la relación entre la tasa de retorno esperada de un
portafolio de frontera “p” y uno fuera de la frontera “q”?
E [˜
rq ] = βqp E [˜
rp ] + (1 − βqp )E [˜
rzc(p) ]
(21)
Esto significa que E [˜
rq ] (rendimiento esperado de un portafolio fuera de
frontera ) es una combinación lineal del rendimiento esperado del
portafolio de frontera “p” y de su portafolio de covarianza cero “zc(p)”
con pesos βqp y 1 − βqp .
1. Otra forma de expresar la relación (21) es considerando que la
propiedad de zc(p):
zc(zc(p)) = p
Entonces, aplicando esta propiedad en (21):
E [˜
rq ]
= βqp E [˜
rp ] + (1 − βqp )E [˜
rzc(p) ]
E [˜
rq ]
= βqzc(p) E [˜
rzc(p) ] + (1 − βqzc(p) )E [˜
rp ]
Portafolios fuera de la frontera VII
Pregunta 2
Al compararar con (21), se concluye:
βqzc(p) = 1 − βqp
Entonces, la ecuación (21) se puede escribir como:
E [˜
rq ] = βqp E [˜
rp ] + βqzc(p) E [˜
rzc(p) ]
(22)
La cual es interesante porque los β’s representan la relación entre
“q” y el portafolio especı́fico. Por ejemplo, βqp es el ratio entre la
Cov entre q y p y la Var de p. De otro lado, βqzc(p) es el ratio entre
la Cov entre q y zc(p) y la Var de zc(p).
Relación entre las tres variables aleatorias: r˜q , r˜p y r˜zc(p) I
1. La relación (22) puede ser escrita sin expectativas de la siguiente
manera:
r˜q = β0 + β1 r˜p + β2 r˜zc(p) + ε̃q
(23)
Donde:
Cov (˜
rp , r˜zc(p) )
=
0
Cov (˜
rq , ε̃q )
=
0
E (ε̃q )
=
0
- La primera restricción obedece a que por definición la Cov de “p”
con su portafolio de cero-cov es igual a cero.
- Los coeficientes β0 , β1 , β2 provienen de una regresión lineal
multivariada.
Relación entre las tres variables aleatorias: r˜q , r˜p y r˜zc(p) II
2. Aplicando expectativas sobre la ecuación (24):
E (˜
rq ) = β0 +β1 E (˜
rp ) + β2 E (˜
rzc(p) ) + E (ε̃q )
|{z}
| {z }
=0
(24)
=0
Entonces: β0 tiene que ser igual a cero y...
β0 = 0
β1 = βqp
β2 = βqzc(p) = 1 − βqp
3. Conclusión: Dado lo anterior, siempre se puede escribir la relación
entre estas tres variables aleatorias (˜
rq , r˜p y r˜zc(p) ) de la siguiente
manera:
r˜q = βqp r˜p + (1 − βqp )˜
rzc(p) + ε̃q
(25)
Relación entre las tres variables aleatorias: r˜q , r˜p y r˜zc(p) III
Donde:
Cov (˜
rp , r˜zc(p) )
=
0
Cov (˜
rq , ε̃q )
=
0
E (ε̃q )
=
0
Conclusiones I
1. El modelo media-varianza es un modelo de demanda de activos
riesgosos principalmente (Markowitz, 1952). Una versión extendida
de este modelo considera el activo libre de riesgo (Tobin, 1958).
2. El modelo media-varianza no es un modelo general. Es obtenido
cuando consideramos una función de utilidad cuadrática o cuando
consideramos una distribución normal multivariada de los retornos.
Cabe mencionar que la función de utilidad cuadrática es no
recomendable debido a que genera ARA creciente (activo riesgoso es
un bien inferior) y supone saciabilidad. El problema con la
distribución normal es que no es acotada inferiormente, lo cual va en
contra con “limited liability”.
3. Dado estos problemas, entonces ¿Por qué usamos este modelo en
finanzas? Porque es analı́ticamente tratable y sus conclusiones son
importantes empı́ricamente. Además, es el fundamento del CAPM.
4. La frontera de portafolios es el conjunto de portafolios que tienen
mı́nima varianza para un nivel dado de tasa de rendimiento
esperado. Un portafolio que pertenece a la “frontera de portafolios”
es obtenido por medio de la optimización del inversionista (también
podemos llamar a este portafolio como “portafolio óptimo”).
Conclusiones II
5. El portafolio óptimo “p” (o wp ) es lineal en su valor esperado de la
tasa de rendimiento:
wp = g + hE [˜
rp ]
6. La frontera de portafolios puede ser generado por dos portafolios de
frontera especı́ficos: w0 y w1 . El primero tiene E [˜
r ] = 0 y el segundo
E [˜
r ] = 1.
7. Es más, la frontera de portafolios puede ser generada por
CUALQUIER dos portafolios de frontera que tienen valores
esperados de sus retornos distintos.
8. Existe un portafolio de mı́nima varianza “mvp” el cual tiene la
menor varianza de todos los portafolios posibles. Naturalmente este
ubicado en la frontera de portafolios. Para obtenerlo hay que derivar
la relación media-varianza (que proviene de la optimización) e
igualar a cero dicha derivada.
Conclusiones III
9. La principal propiedad del “mvp” es que la covarianza de cualquier
portafolio “p” (no necesariamente en la frontera) es igual a la
varianza de “mvp”:
Cov (˜
rp , r˜mvp ) = Var (˜
rmvp )
Esto se debe a que cuando se forma un portafolio que está en la
frontera con “p” y “mvp”, el inversionista prefiere invertir todo en el
“mvp”.
Lecture 6: El Modelo de Media-Varianza
con Activo Libre de Riesgo
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: Mean-Variance Model con Activo Libre de Riesgo
Extensión del modelo de Markowtiz
Definición del problema de elección de portafolio
Solución: portafolio óptimo
Portafolio frontera: 3 casos
Relación entre portafolio de frontera, fuera de frontera, y libre riesgo
Extensión del modelo de Markowtiz
1. Tobin (1958) extendio el modelo de Markowitz (1952) al considerar
la existencia de un activo libre de riesgo.
2. Contribución 1: La frontera eficiente en este caso es la linea recta
que une la tasa de retorno del activo libre de riesgo y la tangente a
la frontera eficiente de Markowitz.
3. Contribución 2: El teorema de separación de Tobin (portfolio
separation theorem). Indica que el inversionista decide su portafolio
óptimo en dos pasos:
I Paso 1. Dada la distribución de los retornos de los activos riesgosos
y del activo libre de riesgo, el inversionista elige un subportafolio de
activos riesgosos
independientemente de su aversión al riesgo y riqueza (Why?).
I Paso 2. Dado el retorno de este subportafolio riesgoso y del activo
libre de riesgo, su aversión al riego y su riqueza, el inversionista divide
su riqueza entre este subportafolio riesgoso y el activo libre de riesgo.
4. Contribución 3: Tobin demostró que para que “la elección de
portafolio basado en media-varianza” sea consistente con la
maximización de la utilidad esperada se tiene que cumplir una de las
dos siguientes condiciones:
I La función de utilidad tiene que ser cuadrática o
I Los retornos tienes que ser normalmente distribuidas
(conjuntamente)
Mean-Variance Model con Activo Libre de Riesgo
Problema de elección de portafolio
Basado en el Modelo de Markowitz (1952) con “n” activos financieros
riesgosos:
Problema de elección de portafolio
1
Min w t Vw
{w } 2
Sujeto a:
w t e + (1 − w t 1)rf = E [˜
rp ]
Donde: e t = [E [˜
r1 ], E [˜
r2 ], ..., E [˜
rn ]]
Algunas observaciones:
I La varianza del portafolio que contiene activos riesgosos y el activo
libre de riesgo es la misma que el portafolio de activos riesgosos.
I Los pesos del portafolio riesgoso w NO suman 1.
I La solución de este problema de optimización es w (portafolio
riesgoso). La proporción de la riqueza que se destina al activo libre
de riesgo es “1 − w t 1”.
Solución: portafolio óptimo I
1. Solución.
Función de Lagrange:
L=
1 t
w Vw + λ E [˜
rp ] − w t e − (1 − w t 1)rf
2
FOC:
∂L
= 0
∂w
∂L
= w t V + λ(−e t + rf 1t )
∂w
w t V + λ(−e t + rf 1t ) = 0
wtV
Vw
= λ(e t − rf 1t )
= λ(e − rf 1)
De la restricción (en el problema de optimización):
(1)
Solución: portafolio óptimo II
w t e + (1 − w t 1)rf
t
t
(e − rf 1 )w
= E [˜
rp ]
= E [˜
rp ] − rf
(2)
Trabajando en la ecuación (1): Queremos hallar λ
Vw
w
(e t − rf 1t )w
= λ(e − rf 1)
= λV −1 (e − rf 1)
= λ(e t − rf 1t )V −1 (e − rf 1)
(3)
Pero, de la ecuación (2):
(e t − rf 1t )w
=
λ(e t − rf 1t )V −1 (e − rf 1)
E [˜
rp ] − rf
=
λ (e t − rf 1t )V −1 (e − rf 1)
|
{z
}
H
λ
=
E [˜
rp ] − rf
H
(4)
Solución: portafolio óptimo III
En la ecuación de FOC: ecuación (1):
Vw
=
λ(e − rf 1)
w
=
V −1 (e − rf 1)
E [˜
rp ] − rf
H
(5)
Por tanto, la solución es:
w = V −1 [e − rf 1]
[E [˜
rp ] − rf ]
H
Donde:
H = (e t − rf 1t )V −1 (e − rf 1)
H puede ser expresado como:
H = Crf2 − 2rf A + B
(6)
Solución: portafolio óptimo IV
2. Relación E [˜
rp ] − σ 2 (˜
rp ). Por definición:
σ 2 (˜
rp ) = w t Vw
Entonces:
σ 2 (˜
rp ) =
[E [˜
rp ] − rf ]2
H
(7)
[E [˜
rp ] − rf ]
√
H
(8)
3. Frontera eficiente vs ineficiente.
σ(˜
rp ) = ±
Entonces:
σ(˜
rp )
σ(˜
rp )
[E [˜
rp ] − rf ]
√
, E [˜
rp ] ≥ rf
H
[E [˜
rp ] − rf ]
√
= −
, E [˜
rp ] < rf
H
=
(9)
(10)
Portafolio frontera: 3 casos I
𝑬[෤𝒓]
Caso 1: 𝒓𝒇 < 𝑨/𝑪
𝑬[෤𝒓]
T
𝒓𝒇
A/C
A/C
𝒓𝒇
𝝈 (෤𝒓)
Caso 2: 𝒓𝒇 > 𝑨/𝑪
T
𝑬[෤𝒓]
Caso 3: 𝒓𝒇 = 𝑨/𝑪
𝒓𝒇 = A/C
𝝈 (෤𝒓)
1. Caso 1: rf < A/C .
1.1 Portafolio tangente: T (eficiente)
1.2 Portfolio T: inversionista invierte toda su riqueza en los activos
riesgosos.
1.3 El inversionista podrı́a elegir un portafolio en la lı́nea Rf − T :
combinación convexa entre el portafolio tangente y libre de riesgo.
𝝈 (෤𝒓)
Portafolio frontera: 3 casos II
1.4 Portafolios por encima de Rf − T : short selling el activo libre de
riesgo.
2. Caso 1: rf > A/C .
2.1 Portafolio tangente: T (ineficiente)
2.2 Cualquier portafolio en la de lı́nea de pendiente positiva implica:
short selling del portafolio “T” y se invierte todo en el activo libre de
riesgo.
3. Caso 1: rf = A/C .
3.1 No existe portafolio tangente
Relación entre portafolio de frontera, fuera de frontera, y libre riesgo I
1. Considerando: q es cualquier portafolio y p es portafolio frontera.
Entonces:
Cov (˜
rq , r˜p )
= wqt Vwp
=
[E [˜
rq ] − rf ][E [˜
rp ] − rf ]
H
(11)
(12)
2. De la expresión de la varianza del portafolio (ecuación (7)):
σ 2 (˜
rp )
=
H
=
[E [˜
rp ] − rf ]2
H
[E [˜
rp ] − rf ]2
σ 2 (˜
rp )
(13)
(14)
Relación entre portafolio de frontera, fuera de frontera, y libre riesgo II
3. Considerando “H” en la ecuación de la Cov:
Cov (˜
rq , r˜p )
=
=
Cov (˜
rq , r˜p )
E [˜
rp ] − rf ]
2
σ (˜
rp )
βqp E [˜
rp ] − rf ]
E [˜
rq ] − rf
[E [˜
rq ] − rf ][E [˜
rp ] − rf ]
H
[E [˜
rq ] − rf ][E [˜
rp ] − rf ]
[E [˜
rp ]−rf ]2
σ 2 (˜
rp )
(15)
(16)
=
[E [˜
rq ] − rf ]
(17)
=
[E [˜
rq ] − rf ]
(18)
= βqp E [˜
rp ] − rf ]
(19)
4. Esta última ecuación se podrı́a expresar:
r˜q = (1 − βqp )rf + βqp r˜p + qp
con Cov (˜
rp , qp ) = E [qp ] = 0 para CUALQUIER portafolio “q” y
portafolio frontera “p” y el activo libre de riesgo.
Lecture 7A: Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: CAPM
Assumptions
Results
CAPM and Zero-Beta CAPM: Theoretical Foundations
Relation between Market Portfolio and other portfolios
Assumptions
1. (Markowitz assumed this for only one investor) All investors are
single period, risk-averse, utility-of-terminal-wealth maximizers who
choose among portfolios solely on the basis of the mean and
variance of expected returns.
2. There are no taxes, transactions costs, or other market imperfections
3. There are a large of perfectly divisible assets, all of which are
marketable.
4. There are numerous fully-informed buyers and sellers, all of whom
are price takers.
5. (Important to obtain equilibrium conditions) All investors have
homogeneous expectations regarding the probability distribution
of security returns.
6. (Tobin (1958): Markowitz + risk-free asset)A risk-free asset exists,
and all investors can borrow and lend unlimited amounts at a given
riskless rate of interest.
7. (Connecting Markowitz’s approach to Expected Utility Theory) All
asset returns are described by a joint normal probability distribution,
so that all portfolios can be described by specifying their means and
variances.
Results
1. (From Markowitz) All investors hold mean-variance efficient
portfolios
2. (With homogeneous expectations assumption) The market
portfolio is mean-variance efficient.
I Remember: convex combination of “n” efficient portfolio produces
other efficient portfolio.
3. From Markowitz with riskfree asset:
E [˜
rq ] − rf = βqp [E [˜
rp ] − rf ]
The question is “What is the portfolio p in equilibrium and under
the previous assumptions?”
4. Answer: p is the “market portfolio”
The CAPM
E [˜
ri ] − rf = βim [E [˜
rm ] − rf ]
For all assets (i = 1, 2, 3, ..., n)
CML vs SML I
𝑬[෤𝒓]
Case 1: 𝒓𝒇 < 𝑨/𝑪
𝑬[෤𝒓]
Security Market Line (SML)
Capital Market Line (CML)
𝑬(𝒓𝒎 )
T
A/C
𝒓𝒇
𝒓𝒇
𝝈 (෤𝒓)
𝜷𝒎 = 𝟏
𝜷𝒊 =
𝑪𝒐𝒗(𝒓𝒊 , 𝒓𝒎 )
𝑽𝒂𝒓(𝒓𝒎 )
Performance I
Sharpe Ratio
Sharpe ratio:
Source: Dybvig and Ross (2003)
Jensen’s alpha & Treynor index
Jensen’s alpha: 𝛼 =
Treynor index:
CAPM and Zero-Beta CAPM: Theoretical Foundations I
1. CAPM: Theoretical model developed by Sharpe (1964), Lintner
(1965), and Mossin (1966). After the publication of CAPM, there
was a wave of some papers seeking to relax the strong assumptions
that underpin the original CAPM:
1.1
1.2
1.3
1.4
Brennan (1970). Taxes
Mayers (1972). The market portfolio includes non-traded assets
Solnik (1974) and Black (1974). International investment
Williams (1977). The assumption of Homogeneous return
expectations is relaxed
2. Zero-beta CAPM: It was developed by Black (1972). CAPM is
adapted when riskless borrowing is not available.
Relation between Market Portfolio and other portfolios I
Main Idea
When
(1) Two fund separation holds, and (2) Markets for risky asset are in
equilibrium
Then, a “simple linear restriction on asset return” emerges.
1. Market Portfolio.
1.1 W0i > 0 : it is the individual i’s initial wealth - in $
1.2 wij : it is the proportion of the initial wealth invested in the j−th
security by individual i - in %
wi = [wi1 , wi2 , ..., wiN ]t
- wi is the portfolio of individual i
- wij is the weights of every security (j = 1, 2, ..., N) in the portfolio
of the individual i
Relation between Market Portfolio and other portfolios II
1.3 The Total Wealth in the economy is
Wm0 =
I
X
W0i
(1)
i=1
I : total number of individuals in the economy
1.4 In Equilibrium, “the total wealth is equal to the total value of
securities.” For security j, the market equilibrium is
I
X
wij W0i = wmj Wm0
(2)
i=1
Where:
P
- Ii=1 wij W0i : the total wealth invested in the security j (for all the
investors).
- wmj : it denotes the proportion of the total wealth contributed by
the total value of the j−th security
Dividing the equation (2) by Wm0
I
X
i=1
wij
W0i
= wmj
Wm0
(3)
Relation between Market Portfolio and other portfolios III
Where wmj is the “market portfolio weight” of security j
(j = 1, 2, 3, ..., N) . The market portfolio is:
wm = [wm1 , wm2 , ..., wmN ]t
(4)
Main Conclusion
In market equilibrium, the market portfolio weights (wmj ) are a convex
combination of the portfolio weights of individuals. Then,
“The market portfolio is a convex combination of individuals’portfolio”
Proof:
wmj
=
I
X
i=1
=
w1j
wij
W0i
Wm0
W01
W2
WI
+w2j 0 + ... + wIj 0
W
Wm0
Wm0
| {zm0}
=α1 <1
wmj
PI
=
w1j α1 + w2j α2 + ... + wIj αI
(5)
Where: i=1 αi = 1 and αi ∈ [0, 1]. Therefore, wmj (j = 1, ..., N) are
a convex combination of the portfolio weights of individuals.
Relation between Market Portfolio and other portfolios IV
2. Claim: If two fund separation holds, the Market Portfolio is a frontier
portfolio.
2.1 If two fund separation holds:
2.1.1 The separating portfolios must be frontier portfolios
2.1.2 The individual always prefers the dominating portfolio (i.e. the linear
combination of those separating portfolios)
2.1.3 The dominating portfolio is a frontier portfolio (remember that linear
combination of two frontier portfolio is a frontier portfolio as well)
2.1.4 Then, the individual always chooses a frontier portfolio (dominating
portfolio)
wi : frontier portfolio, i = 1, 2, 3, ..., I
2.2 Since wi is a frontier portfolio, wm is a frontier portfolio as well. See
equation (5) with its restrictions. So, The Market Portfolio is a
frontier one.
Relation between Market Portfolio and other portfolios V
3. Using the relation between two frontier portfolios -p and zc(p)- and
one that is not q
E [˜
rq ] = (1 − βqp )E [˜
rzc(p) ] + βqp E [˜
rp ]
(6)
Since “the market portfolio m” is a frontier portfolio, we can use it
instead of p:
E [˜
rq ] = (1 − βqm )E [˜
rzc(m) ] + βqm E [˜
rm ]
(7)
Where:
r˜m =
N
X
j=1
wmj r˜j
| βqm =
Cov (˜
rq , r˜m )
Var (˜
rm )
Since “q” is any portfolio, the equation (7) would hold for all
securities j = 1, 2, 3, ..., N. Then,
E [˜
rj ] = (1 − βjm )E [˜
rzc(m) ] + βjm E [˜
rm ]
(8)
This is the “simple linear restriction on asset return” that emerges
from two conditions (1) mutual fund separation and (2) equilibrium
Relation between Market Portfolio and other portfolios VI
in security markets. Additionally, all assumptions of Markowitz’s
model hold.
4. The Security Market Line.
4.1 Rewriting the relation (8):
E [˜
rj ] = E [˜
rzc(m) ] + βjm E [˜
rm ] − E [˜
rzc(m) ]
(9)
4.2 Suppose that the market portfolio is an efficient portfolio, then
E [˜
rm ] − E [˜
rzc(m) ] > 0
(10)
Then, the relation (9) says:
“The equilibrium expected rate of return on a risky asset
depends upon the COVARIABILITY of its rate of return with
the rate of return on the market portfolio”
Relation between Market Portfolio and other portfolios VII
Security Market Line
Security Market Line
Excess Expected Return
Expected Return
𝑬 𝒓෤ 𝒋 − 𝑬[෤𝒓𝒛𝒄(𝒎) ]
𝑬[෤𝒓𝒋 ]
Security Market Line
(assuming that market
portfolio is efficient)
𝑬[෤𝒓𝒛𝒄(𝒎) ]
Slope = 𝑬 𝒓෤ 𝒎 − 𝑬[෤𝒓𝒛𝒄(𝒎) ]
Slope = 𝑬 𝒓෤ 𝒎 − 𝑬[෤𝒓𝒛𝒄(𝒎) ]
0
𝜷𝒋𝒎
0
4.3 The relation (9) along with the restriction (10) are known as the
Zero-Beta CAPM (Black, 1972)
𝜷𝒋𝒎
Relation between Market Portfolio and other portfolios VIII
4.4 CAPM. Now, let’s consider an riskfree asset. From Markowitz
(1952) and Tobin (1958), Sharpe (1964) shows:
E [˜
rj ] = rf + βjm E [˜
rm ] − rf ]
(11)
Where “T” is the tangency portfolio.
- The riskfree asset is the zero-cov of the market portfolio - This is
the case in which rf < A/C
Lecture 7B: Capital Asset Pricing Model
(CAPM): Two Fund Separation
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: CAPM
Two Mutual Fund Separation
Definición
Afirmación 1
Afirmación 2
Two Mutual Fund Separation Theorem I
Definición
Two Mutual Fund Separation Theorem (Tobin, 1958)
Un vector de tasa de retorno de activos (˜
rj )N
j=1 se dice que muestra two
fund separation (separación de dos fondos) SI existe dos fondos α1 y α2
tales que para cualquier portafolio “q” existe un escalar tal que:
E [u(λ˜
rα1 + (1 − λ)˜
rα2 )] ≥ E [u(˜
rq )]
para u(·) cóncava.
1. Un fondo es un portafolio, entonces α1 y α2 son portafolios.
2. No sabemos qué tipo de portafolio son α1 y α2 : frontera? Fuera
de la frontera? Eficiente o ineficiente?
3. Lo que dice este teorema es que EXISTE dos portafolios cuya
combinación lineal es preferible a cualquier otro portafolio “q”.
Notar que “q” es un portafolio factible (puede estar o no en la
frontera).
Two Mutual Fund Separation Theorem II
Definición
4. ¿Esta definición se puede relacionar con alguna definición de
dominancia estocástica?
5. Notar que la definición requiere que u(·) sea cóncava; es decir,
estamos analizando a un individuo averso al riesgo.
6. Dos ventajas si el teorema se cumple (es decir si las condiciones que
el teorema requiere se cumple):
I Será más sencillo o con mejor costo de transacción que el
inversionista compre dos fondos en lugar de comprar individualmente
los “N” activos.
I Las implicaciones para el funcionamiento del mercado de activos
pueden ser derivados y evaluados.
Afirmación 1 I
¿Qué tipo de portafolio deben ser α1 y α2 ?
Afirmación 1
Si los rendimientos exhiben two mutual fund separation, entonces los
fondos separados α1 y α2 tiene que ser portafolios de frontera.
1. Entones, los rendimientos muestran two mutual fund separation si
existe una combinación lineal de dos portafolios de frontera que es
preferible a cualquier otro portafolio “q”.
2. La pregunta que queda es: ¿Son α1 y α2 portafolios eficientes o
ineficientes?
PRUEBA
1. Asumamos que efectivamente existen dos mutual funds que cumplen
con el teorema. Entonces:
E [u(λ˜
rα1 + (1 − λ)˜
rα2 )] ≥ E [u(˜
rq )]
Afirmación 1 II
¿Qué tipo de portafolio deben ser α1 y α2 ?
2. Por definición de ”dominancia estocástica de 2do orden”, se tiene:
Si E [u(˜
rA )] ≥ E [u(˜
rB )] entonces A ≥ B
SSD
3. Aplicando esta definición tenemos:
λ˜
rα1 + (1 − λ)˜
rα2 ≥ r˜q
SSD
4. Asimismo, una propiedad de SSD indica:
A ≥ B
iff
d
r˜B = r˜A + ε̃ con
E [ε̃|˜
rA ] = 0
SSD
5. Entonces:
d
r˜q = λ1 r˜α1 + (1 − λ)˜
rα2 + ε̃
con:
E [ε̃|λ1 r˜α1 + (1 − λ)˜
rα2 ] = 0
Afirmación 1 III
¿Qué tipo de portafolio deben ser α1 y α2 ?
6. Esto implica que:
E [λ1 r˜α1 + (1 − λ)˜
rα2 ]
= E [˜
rq ]
Var [λ1 r˜α1 + (1 − λ)˜
rα2 ] ≤
Var [˜
rq ]
- Esto significa que el portafolio formado por los dos fondos tiene la
misma tasa de retorno esperado pero menor varianza.
- Si uno de los fondos (α1 o α2 ) NO es un portafolio de frontera,
entonces podrı́amos encontrar un portafolio “q0 ” que tenga menor
varianza que la combinación lineal de dichos fondos y por tanto la
relación de SSD ya no se cumple y por tanto el teorema no se
cumple.
- Entonces para que el teorema se cumpla, el portafolio formado
como combinación lineal de dos fondos tiene que ser de frontera. Dado que la combinación lineal de dos portafolios de frontera es
también de frontera, entonces α1 y α2 son de frontera también.
Afirmación 1 IV
¿Qué tipo de portafolio deben ser α1 y α2 ?
𝑬[෤𝒓]
Si el portafolio dominante no está en
la frontera …
𝑬[෤𝒓]
Entonces el portafolio dominante
está en la frontera …
𝛌෤𝒓𝜶𝟏 + (𝟏 − 𝛌)෤𝒓𝜶𝟐
𝛌෤𝒓𝜶𝟏 + (𝟏 − 𝛌)෤𝒓𝜶𝟐
q
q
Habrá algunos portafolios “q” que no cumplirán con la condicion
del teorema! Recordar que el teorema dice ‘Para Todo q’
𝝈𝟐 (෤𝒓)
𝝈𝟐 (෤𝒓)
Afirmación 2 I
Condición necesaria y suficiente
Afirmación 2
La condición necesaria y suficiente para que los rendimientos muestren
two mutual fund separation es:
E [ε̃qp |Q̃βqp ] = 0, ∀q
1. Qué significa esta condición? De donde viene?
2. Notar que solo necesitamos que esta condición se cumpla para que
tengamos two mutual fund separation.
De dónde proviene esta condición?
1. Dado que la combinación lineal de dos fondos (portafolios de
frontera) son preferibles a cualquier portafolio. Entonces podemos
elegir a “p” (distinto del “mvp”) y a su “zc(p)”. Ambos están en la
frontera.
Afirmación 2 II
Condición necesaria y suficiente
2. Sabemos de la clase previa que el rendimiento esperado de cualquier
portafolio puede ser expresado como la combinación lineal del
portafolio “p” y de su “zc(p)” con pesos βqp y 1 − βqp .
E [˜
rq ] = βqp E [˜
rp ] + (1 − βqp )E [˜
rzc(p) ]
3. La cual se puede expresar en tasa de rendimiento:
r˜q = βqp r˜p + (1 − βqp )˜
rzc(p) + ε̃qp
Donde:
βqp = cov (˜
rq , r˜p ) y E [ε̃qp ] = 0
(1)
Afirmación 2 III
Condición necesaria y suficiente
4. Entonces, la tasa de rendimiento del “nuevo portafolio” formado por
los dos fondos Q̃(βqp ) es igual a:
Q̃(βqp ) ≡ βqp r˜p + (1 − βqp )˜
rzc(p)
y por tanto la ecuación (1) se puede reescribir como:
r˜q = Q̃(βqp ) + ε̃qp
con E [ε̃qp ] = 0
Pero, sabemos E [E (Y |X )] = E [Y ], entonces:
E [E [ε̃qp |Q̃(βqp )]] = E [ε̃qp ] = 0
Entonces:
E [E [ε̃qp |Q̃(βqp )]] = 0
{z
}
|
número
Entonces:
Afirmación 2 IV
Condición necesaria y suficiente
E [ε̃qp |Q̃(βqp )] = 0
POR TANTO:
Se cumple “two mutual fund separation”
Lecture 8: Arbitrage Pricing Theory (APT)
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: APT
Papers and Books
No-Arbitrage in Finance
APT: some papers
I. Base case: ˜nj = 0
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT)
III. CAPM from APT
Papers and Books
This class notes is based on
1. Huang and Litzenberger’s 1989-book (Ch 4)
2. Campbell’s 2018-book (Ch 3)
3. Ross(1976)
No-Arbitrage in Finance
Roll&Ross
APT
Empirical Study
Ross
APT
72
73
Ross
Fundamental
Theorem in AP
SDF and Arbitrage
(finite space)
76
78
80
Ross
Fundamental
Theorem in AP
SDF and Arbitrage
(arbitrary space)
(published in 1976 in Risk
and Return in Finance)
Black&Scholes
No-arbitrage
valuation
1st approach in
option valuation
79
Cox&Ross
Risk-Neutral
Pricing
2nd approach in
option valuation
Chen et al
APT
Empirical Study
83
Chamberlain Chamberlain&Rothschild
Pricing Kernel
Cox&Ross&Rubinstein
Binomial Model
Option valuation
Harrsion&Kreps
Risk-Neutral Pricing
As a Martingale Expectation
Option valuation
86
87
Hansen&Richard
Pricing Kernel
Dybvig&Ross
Fundamental
Theorem in AP &
Representation
Theorem
APT: some papers
I. Base case: ˜nj = 0 I
1. Consider a sequence of economies with increasing numbers of assets:
I
I
I
I
Economy 1: it has “1 risky asset and risk-free asset”
Economy 2: it has “2 risky asset and risk-free asset”
...
Economy n: it has “n risky asset and risk-free asset” - This is the
n−th economy.
2. In the n−th economy, suppose the rates of return on risky assets
(j = 1, 2, 3, ..., n) are generated by a K −factor model:
r˜jn = ajn +
K
X
n n
βjk
δ̃k + ˜nj ,
j = 1, 2, 3, ..., n
k=1
Where
E [˜
nj ]
=
0
E [˜
nj ˜ni ]
σ 2 (˜
nj )
=
0 ifj 6= i
≤
σ̄ 2
j = 1, 2, 3, ..., n
j = 1, 2, 3, ..., n
(1)
I. Base case: ˜nj = 0 II
Remark. E [˜
nj ] = E [˜
nj ˜ni ] = 0 implies that Cov (˜
nj , ˜ni ) = 0.
n
Assumption. δ̃k (for k = 1, 2, 3, ..., K ) -returns of K factors- are
rates of return on portfolios:
- δ̃1n is the return of the portfolio 1. The portfolio 1 es the factor 1
- δ̃Kn is the return of the portfolio K. The portfolio K es the factor K
3. In matrix notation:
r˜n = an + B n δ̃ n + ˜n
(2)
Where: an (Nx1 vector), B n (nxK matrix), and δ̃ n (Kx1 vector)
4. Assumption: n > K , we are interested in economies with more than
K risky assets
I. Base case: ˜nj = 0 III
5. Base case:
APT - base case
If ˜nj ≡ 0 ∀j and No-Arbitrage, then
E [˜
r n − rf 1n ] = B n E [δ̃ n − rf 1n ]
“There exists an Exact Linear relation among Expected Rates of
Returns on assets in the n−th economy.”
(3)
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof I
1. Consider a portfolio of the K factors and the riskless asset:
n
n
n
n
yjn = [yj0
, yj1
, yj2
, ..., yjK
]
Remember: every factor is a return on portfolio.
The portfolio yjn has weights:
n
yj0
=
1−
K
X
n
βjk
(4)
k=1
yjkn
=
n
βjk
,
k = 1, 2, 3, ..., K
(5)
n
Where: yj0
is the proportion invested in the riskless asset and yjkn is
the proportion invested in the k−th factor.
Remark. The weights that we are using here to form yjn (portfolio)
are the “betas” of the rate of return of the asset “j” (see the
equation (1))
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof II
2. The rate of return on this portfolio is
r˜ynj = (1 −
K
X
n
βjk
)rf +
k=1
K
X
n n
βjk
δ̃k
(6)
k=1
But, from the rate of return on the asset “j” (equation (1)):
r˜jn
= ajn +
K
X
n n
βjk
δ̃k + ˜nj
|{z}
k=1
=0
K
X
n n
βjk
δ̃k
k=1
Then, in the equation (6):
= r˜jn − ajn
(7)
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof III
r˜ynj
=
(1 −
K
X
n
βjk
)rf +
k=1
K
X
n n
βjk
δ̃k
(8)
k=1
| {z }
=˜
rjn −ajn
r˜ynj
=
(1 −
K
X
n
βjk
)rf − ajn +˜
rjn
(9)
k=1
|
{z
=0 or >0 or <0?
}
PK
n
3. Case1: If (1 − k=1 βjk
)rf − ajn > 0, then r˜ynj > r˜jn
We can take an advantage of this! We can establish a portfolio “p”:
- by investing one dollar in yjn , and
- shorting one dollar’s worth of security “j”
This portfolio costs NOTHING
p = [1, −1]t
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof IV
This is known as “arbitrage portfolio (the sum of weights is zero).”
The return of this portfolio:
rp = r˜ynj − r˜jn = (1 −
K
X
n
βjk
)rf − ajn > 0
k=1
rp is riskless and strictly positive! So, exists arbitrage
opportunities (free lunch).
PK
n
)rf − ajn < 0, then r˜ynj < r˜jn
4. Case2: If (1 − k=1 βjk
In the same way than before, we will have an arbitrage portfolio
p 0 = [−1, 1]t but short in yjn and long in j.
5. Therefore, in both cases (> or <), we have arbitrage opportunities.
To rule out this possibility ,i.e. No-Arbitrage, the condition must
hold with equality:
ajn
= (1 −
K
X
k=1
In the equation (1):
n
βjk
)rf
(10)
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof V
r˜jn
=
ajn +
K
X
n n
δ̃k + ˜nj
βjk
|{z}
k=1
=0
r˜jn
ajn
|{z}
=
=(1−
r˜jn
=
PK
(1 −
k=1
K
X
+
n )r
βjk
f
K
X
k=1
n
βjk
)rf +
k=1
r˜jn
=
rf +
K
X
n n
δ̃k
βjk
K
X
n n
βjk
δ̃k
k=1
n
n
δ̃k − rf
βjk
k=1
E [˜
rjn − rf ]
=
K
X
k=1
In matrix form:
n
βjk
E [δ̃kn − rf ]
(11)
I. Base case: ˜nj = 0 - Proof VI
E [˜
r n − rf 1n ] = B n E [δ̃ n − rf 1n ]
(12)
“There exists an Exact Linear relation among Expected Rates of
Returns on assets in the n−th economy.”
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) I
APT’s main conclusion
If there is no arbitrage opportunity, then a linear relation among expected
asset returns will hold approximately for most of the assets in a large
economy.
Three main definitions:
1. Arbitrage portfolio. In economy “n”, a portfolio of the “n” risky
assets and the riskless asset is an arbitrage portfolio if it costs
nothing.
2. Arbitrage opportunity. It is a costless portfolio (i.e arbitrage
portfolio) in an economy with a large number of assets such that:
2.1 Its expected rate of return is bounded below away from zero
2.2 Its variance is negligible
That is, it is almost a free lunch.
3. Arbitrage opportunity (in the limit). It is a sequence of arbitrage
portfolios such that:
3.1 Their expected rate of return is bounded below away from zero
3.2 Their variances converge to zero
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) II
PROOF.
In order to obtain the APT’s main conclusion, we need to follow two steps:
(1) Prove a claim, and (2) Use that claim.
1. [Step 1] Prove a claim
Claim
We claim that the following expression holds
ajn ≈ (1 −
K
X
n
βjk
)rf
(13)
k=1
for most of the asset in the large economies.
We must prove this first. In order to prove that, we need two steps:
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) III
1.1 Step1. Considering > 0 (but small) and N(n) (the number of asset
in the n-th economy), let’s write the absolute value of two sides of
expression (13) is greater than :
|ajn − (1 −
K
X
βjkn )rf | ≥ ,
j = 1, 2, ..., N(n)
(14)
k=1
Remark1. If we can show that there exists N̄ < ∞ such that
N(n) < N̄ for all “n”, we can conclude that at most N̄ assets satisfy
the condition (14) for arbitrarily large n and can be arbitrarily
small. So, for N(n) − N̄ assets the following expression holds:
|ajn − (1 −
K
X
βjkn )rf | ≤ ,
j = 1, 2, ..., N(n)
(15)
k=1
We can conclude that the expression (13) holds for all assets except
for N̄. Remember: is arbitrarily small.
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) IV
small
ഥ
𝑁
This holds for most of the assets in the large economy
N(n)
small
So, we can
Conclude that ≈
holds for most
of the assets
1.2 Step2. We need to prove that “there exists N̄ < ∞ such that
N(n) < N̄ for all n.” We will do it by contraposition.
1.2.1 Suppose that there does not exist a finite N̄ such that N(n) ≤ N̄ for
all n
1.2.2 Then there must exist a subsequence of economies {nl } with
{n = K + 2, K + 3, ...} such that
N(nl ) → ∞
as
nl → ∞
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) V
1.2.3 We construct a sequence of arbitrage portfolios as follows:
-A. Construct arbitrage portfolios. Construct N(nl ) arbitrage
portfolios that have no factor risk for risky assets j = 1, 2, ..., N(nl ) in
economy nl .
The arbitrage portfolio for risky asset j would be:
n
wj l = [−1, 1]
- (short) Sell one unit of the portfolio of the K factors and the
n
riskless asset yj l :
nl
The portfolio yj
has weights:
n
yj0l
=
1−
K
X
n
βjk
(16)
k=1
n
yjkl
=
n
βjk
,
k = 1, 2, 3, ..., K
- (long) Buy one unit of the asset j
- The rate of return on this arbitrage portfolio is
(17)
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) VI
n
l
r˜arb−port−j
=
=
n
n
r˜j l − r˜yjl
n
aj l +
(18)
K
X
K
X
K
X
n n
n n
n n
βjkl δ̃k l + ˜j l − (1 −
βjkl )rf +
βjkl δ̃k l
|{z}
k=1
k=1
k=1
6=0
=
n
aj l − (1 −
K
X
n
n
βjkl )rf + ˜j l
(19)
k=1
n
l
r˜arb−port−j
=
n
|aj l − (1 −
K
X
n
n
n
βjkl )rf | + sj l ˜j l
(20)
k=1
where:
n
sj l
=
1
n
ifaj l − (1 −
K
X
n
βjkl )rf > 0
(21)
k=1
n
sj l
=
−1
n
ifaj l − (1 −
K
X
n
βjkl )rf < 0
(22)
k=1
Remark1. We have N(nl ) arbitrage portfolio (j = 1, 2, 3, ..., N(nl ))
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) VII
-B. Construct a portfolio of these arbitrage portfolios w nl . Form a
portfolio of these arbitrage portfolios with constant weight, 1/N(nl ),
on each. The resulting portfolio is still an arbitrage portfolio.
nl
=
1
1
1
w1 , ...,
wj , ...
wN(nl )
N(nl )
N(nj )
N(nl )
Its expected rate of return is:
N(nl ) E [˜
rw ]
=
X
j=1
1
N(nl )
N(n
Xl )
1
N(nl )
N(n
Xl )
1
N(nl )
N(n
K
X
Xl ) n
n
n n
βjkl )rf |] + E [sj l ˜j l ]
E [|aj l − (1 −
N(n
K
X
Xl ) 1
n
n
n
n
E [|aj l − (1 −
βjkl )rf |] + sj l E [˜
j l ]
N(nl ) j=1
| {z }
k=1
=
=
=
=
1
nl
E [˜
rarb−port−j
]
N(nl )
n
l
E [˜
rarb−port−j
]
j=1
j=1
j=1
n
E [|aj l − (1 −
K
X
n
n
n
βjkl )rf | + sj l ˜j l ]
k=1
k=1
=0
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) VIII
Therefore,
E [˜
rw ]
=
1
N(nl )
N(n
Xl )
n
E [|aj l − (1 −
j=1
=
1
N(nl )
N(n
Xl )
n
βjkl )rf |]
k=1
{z
|
E [˜
rw ]
K
X
no stochastic
n
|aj l − (1 −
j=1
K
X
}
n
βjkl )rf |
k=1
≥
|{z}
>0
equation(14)
Expected rate of return of a portfolio of N(nl ) arbitrage portfolios
E [˜
rw ] =
1
N(nl )
N(n
Xl )
j=1
n
|aj l − (1 −
K
X
n
βjkl )rf | ≥ > 0
(23)
k=1
Its variance of this portfolio is
N(nl )
X
1
σ̄ 2
n
σ 2 (˜
j l ) ≤
N 2 (nl ) j=1
N(nl )
(24)
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) IX
Important: we are forming one portfolio of arbitrage portfolios for
every economy. So, we have a sequence of these portfolios:
{w 1 , w2 , ..., w nl , ...}
Key conclusions.
1. The expected rate of return of portfolio w nl is positive and
bounded below
2. Its variance is bounded above
3. Since N(nl ) → ∞ as l → ∞, the variances of the sequence of
n
arbitrage portfolios converge to zero. So, E [˜
rwl ] > > 0 and
n
Var (˜
rwl ) → 0, this means that there exists an “arbitrage
opportunities” (A CONTRADICTION!)
Why is it a contradiction? We are assuming that (13) holds which is
based on the assumption of “there is no arbitrage opportunity”.
- Next, we are assuming that this keeps holding when there is not a
N(n) ≤ N̄
- But, we found that under that assumption, we have “an arbitrage
opportunities” - contrary to our first assumption- So, a contradiction!
- As a result, we have shown that “there must exist N(n) ≤ N̄” for
all n
2. [Step 2] Use that claim
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) X
2.1 We proved that for a given > 0, small, there exists AT MOST N̄
risky assets such that
|ajn − (1 −
K
X
βjkn )rf | ≥ (25)
k=1
2.2 That means that for all but at most N̄ assets in any economy, the
following fact holds:
|ajn − (1 −
K
X
βjkn )rf | ≤ (26)
k=1
2.3 Considering in Expectation the equation (1) (K -factor model):
E [˜
rjn ] = ajn +
K
X
βjkn E [δ̃kn ]
(27)
βjkn E [δ̃kn ]
(28)
k=1
From this, ajn is:
ajn = E [˜
rjn ] −
K
X
k=1
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) XI
In equation (26):
|ajn − (1 −
K
X
βjkn )rf |
≤
βjkn )rf |
≤
βjkn E [δ̃kn ] − rf |
≤
k=1
|E [˜
rjn ] −
K
X
βjkn E [δ̃kn ] − (1 −
k=1
K
X
k=1
| E [˜
rjn ] − rf −
K
X
(29)
k=1
{z
|
}
≈0
Therefore,
E [˜
rjn ] − rf −
K
X
βjkn E [δ̃kn ] − rf
≈
E [˜
rjn ] − rf
≈
0
k=1
K
X
k=1
βjkn E [δ̃kn ] − rf
(30)
II. A more complex case: ˜nj 6= 0 (Original APT) XII
APT: Main conclusion
For economies with the number of assets much larger than N̄, a linear relation
among expected asset returns holds approximately for most of the assets. This
relation - equation (30)- is the Arbitrage Pricing Theory (APT).
E [˜
rjn ] − rf ≈
K
X
k=1
βjkn E [δ̃kn ] − rf
III. CAPM from APT I
APT
An alternative approach to derive a “beta pricing relationship” (as the
CAPM) but using Asymptotic no-arbitrage arguments.
Arbitrage Pricing in a single factor model. We need to rule out αi and it
1. Assumption 1. Suppose the following data-generating process:
e
Rite = αi + βim Rmt
+ it
It is called the “market model.”
over the riskless interest rate.
Rite
(31)
is the excess return on asset i
2. Assumption 2. Suppose E [it jt ] = 0 (i 6= j). This means that
errors are not correlated across stocks.
With this assumption we can say that “it ” is the idiosyncratic risk.
Remark1. For the error term it to be called idiosyncratic risk, it
must be uncorrelated across stocks.
3. Implication of assumption 1 and 2.
2
3.1 Implication 1. Cov (Rite , Rjte ) = βim βjm σm
III. CAPM from APT II
3.2 Implication 2. If “N” is large (many assets in the economy) then
|αp | would be very small (No arbitrage arguments).
4. Proof of implication 1. Taking account of the equation (31):
Cov (Rite , Rjte )
e
e
= Cov (αi + βim Rmt
+ it , αj + βjm Rmt
+ jt )
e
e
e
e
= βim βjm Cov (Rmt
, Rmt
) +βim Cov (Rmt
, jt )
, it ) +βjm Cov (Rmt
|
Cov (Rite , Rjte )
{z
2
=σm
}
|
{z
=0
}
|
{z
=0
2
= βim βjm σm
Remark 1. The assumption 2 -E [it jt ] = 0- does not mean that
Cov (Rite , Rjte ) to be zero. Why? Both assets (i, j) have the “same”
systematic factor (“market return”), so it is obvious that both are
correlated.
Remark 2. Expression (32) has implications on the “number of
parameters to be estimated.”
 2

σ1 σ1 σ2 ... σ1 σN
.
...
. 
Var-Cov(R) =  .
(33)
.
.
... σN2
}
III. CAPM from APT III
In order to characterize this matrix we need N(N+1)
parameters.
2
2
However, since Cov (Rite , Rjte ) = βim βjm σm
depends on “betas” and
“market return variance”, so we need:
- β1m, β2m, ..., βNm: N parameters, and
- σ 2 : 1 parameter
Therefore, we need just “N+1” parameters to characterize the
Var-Cov matrix.
5. Proof of implication 2.
5.1 pt → 0
I Forming a portfolio of “N” assets: wp .
wp = (w1 , w2 , ..., wN )
The expected excess rate of return of this portfolio is:
e
Rp,t
= w1 R1,t + w2 R2,t + ... + wN RN,t
But, we know that for every asset j, the data-generating process
-equation (31)- holds:
e
Rite = αi + βim Rmt
+ it ,
e would be:
So, Rp,t
i = 1, 2, 3, ..., N
(34)
III. CAPM from APT IV
e
Rpt
=
=
w1 R1t + w2 R2t + ... + wN RNt
N
X
wi α i + (
i=1
e
Rpt
=
N
X
e
wi βim )Rmt
+
i=1
N
X
wi it
i=1
e
αp + βp Rmt
+ pt
(35)
I The variance of pt
pt =
N
X
i=1
wi it → Var (pt ) =
N
X
i=1
wi2 Var (it )+Cov (., .) +...+Cov (., .)
| {z }
| {z }
=0
=0
(36)
Remember. The Cov between it and jt in cross-section is zero by
assumption 2. Therefore,
Var (pt ) =
N
X
i=1
wi2 Var (it )
(37)
III. CAPM from APT V
I Consider a benchmark case. (i) Portfolio is equally weighted:
wi = 1/N∀i. (ii) All stocks have the same idiosyncratic Var:
Var (it ) = σ 2 , ∀i
Assumption 3. N is large, i.e. the portfolio has enough stocks → a
small weight in each stock.
Implication.
Var (pt ) is negligible :
“Var (pt ) → 000
- This means that “the residual risk -Var (pt )-” is negligible.
- In this case, we would say that the portfolio is well diversified:
1
(1t + 2t + ... + Nt ) : So ↑ N → “pt → 000
N
- So, for this portfolio wp , we can neglect pt :
pt =
e
e
Rpt
= αp + βp Rmt
(38)
At this point, we have ruled out pt . Remember, the main assumption here is that “N
is large.” The next step is to rule out αp .
III. CAPM from APT VI
5.2 αp → 0
5.2.1 What happens if αp 6= 0? The answer is “there would be arbitrage
opportunities!” Suppose, αp > 0.
From the expression (38), we can get αp :
e
e
αp = Rpt
− βp Rmt
(39)
We can form a portfolio:
- (long) Buy 1 unit of portfolio “p”
- (short) Sell βp units of “market portfolio”
- The rate of return of this portfolio is positive = αp > 0 - To rule
out this case, we need no assume “No arbitrage.” Then, αp → 0
5.2.2 Considering αp = 0, the expression (38) becomes:
e
e
Rpt
= βp Rmt
(40)
Taking unconditional expectation:
e
e
E [Rpt
] = βp [Rmt
]
which is the CAPM!
(41)
Lecture 9: State Prices Approach
Asset Pricing Theory
Hamilton Galindo
Outline: State Prices Approach
Papers and Books
I. General Equilibrium with Incomplete Markets (GEI)
II. Security Market
III. Consumption-Portfolio Choice
A. Economy
B. Optimization problem
C. Problem 1
D. Problem 2
IV. General Equilibrium
Papers and Books
This class note is based on
1. LeRoy and Wener, book. Ch. 1
I. General Equilibrium with Incomplete
Markets (GEI)
I. General Equilibrium with Incomplete Markets (GEI)
Main idea
Classical finance is based on General Equilibrium (GE) approach with
uncertainty and complete/incomplete markets considering that exists only
one consumption good (i.e., exchange economy).
A. General Equilibrium (GE)
GE is the analytical framework in the classical finance model:
1. Market structure. Agents treat the market structure as given (agents
are price-takers)
2. Walrasian auctioneer. Who establishes prices? The “Walrasian
auctioneer”
3. Competitive markets. Markets are competitive and free of
transaction costs (except trading restriction costs)
4. Equilibrium. Markets clear instantaneously
5. Information. All agents have the same information
B. Classical Finance
Classical finance is based on GE (the previous 5 characteristics) with two
elements:
1. Uncertainty. It is described by “state of nature”
2. Incomplete markets. It will not be assumed that agents can
purchase any imaginable payoff pattern on securities markets.
Remark. Arrow-Debreu complete market is a special case.
C. A Simplification
Let’s do a simplification:
1. One good. One good is consumed
2. Do not exist production. This implies that we are working with
“Endowment Economy”
II. Security Market
II. Security Market I
1. Security.
1.1 It is a contract for a future delivery of exchange goods, contingent
on the prevailing state.
1.2 Security j is identified by its payoff xj ∈ R s , s : # of state of nature
xj = [xj1 , xj2 , xj3 , ..., xjs ]
1.3 xjs : it is the payoff of security j in state s.
1.4 Payoffs are in units of consumption goods
1.5 There exists a finite number of securities J with payoff: x1 , x2 ,...,xJ
xj ∈ R s ∀j = 1, 2, ..., J
2. Matrix of payoff: X . It is the matrix of payoffs of all securities
(payoff matrix)
II. Security Market II
Payoff of security 1
𝑥1
𝑋 = ..
𝑥𝐽
𝑥11
𝑥21
𝑋= ⋮
𝑥𝐽1
𝐽𝑥𝑆
N of
N of states
securities of nature
State 1
𝑥12
𝑥22
⋱
⋯
State 2
…
…
⋮
⋯
𝑥1𝑆
𝑥2𝑆
⋮
𝑥𝐽𝑆
State S
3. State of nature.S states of nature can occur at date 1. This
represents the uncertainty in the economy.
4. Portfolio. (1) It is a vector: h, (2) A portfolio is composed of
holding of the J securities.
h = [h1 , h2 , ..., hJ ]t
II. Security Market III
I hj is the holding of security 1
I hj could be =, >, < 0. When hj > 0: long position (buy), hj < 0:
short position (sell)
5. The portfolio payoff. It is a vector in which every element is a payoff
in his corresponding state.
z
z
= ht X
(row vector)
 
x1
.

= [h1 , h2 , ..., hJ ]  
.
xJ


x11 x12 ... x1S
 .
.
.
. 

= [h1 , h2 , ..., hJ ] 
 .
.
.
. 
xJ1 xJ2 ... xJS
X
J
J
J
X
X
xj1 ,
xj2 , ...,
xjS
=
j=1
j=1
j=1
1xS
II. Security Market IV
-
PJ
j=1 xj1
= portfolio payoff in the state 1
6. Asset span (M). The set of payoff available via trades in securities
markets.
M = {z ∈ RS : z = ht X for some h ∈ RJ
Remember: z : payoff, h : portfolio
Remarks.
6.1 M includes all payoffs (of portfolios and of assets) because an asset
“k” is a portfolio in which hj = 0 for j 6= k except for this asset
hk 6= 0.
6.2 M is a subspace of RS : M ⊆ RJ
II. Security Market V
𝑅𝑆
𝑀: 𝑎𝑠𝑠𝑒𝑡 𝑠𝑝𝑎𝑛
6.3 (a) If M = RS → Markets are complete
(b) If M ⊂ RS → Markets are incomplete
6.4 Any element of RS is a “date-1 consumption plan” as well
II. Security Market VI
Theorem
Markets are complete iff the payoff matrix “X” has rank “S”: Rank(X)=S
I Remember: Rank(X ) = min{J, S}
I Rank(X)=S → J ≥ S, this means that:
- There exists “S” assets that are LI
- If J > S → there exists “redundant assets”
7. Redundant security.
7.1 A security is redundant if its payoff can be generated as the payoff of
a portfolio of other securities.
7.2 To avoid “redundant securities”, no asset should be a LC of others,
so all “J” assets must be LI.
- So, we can get this when Rank(X) = J
- Then, when we have complete markets and no redundant securities
assets:
Rank(X ) = S = J
We have that the “number of assets” is equal to the “number of
states of nature”
8. Price of security at date-0.
II. Security Market VII
8.1 Price of security at date-0. p is a price vector of all securities
 
p1
p2 

p= 
.
pJ
where p1 is the price of security 1 at date-0, pJ is the price of
security J at date-0
8.2 Price of portfolio “h”.
 
h1
.
t

p h = [p1 , p2 , ..., pJ ]  
.
hJ
pt h =
J
X
i=1
pi hi = number
II. Security Market VIII
8.3 Rate of return on security “j”: Rj .
Rj =
xj
pj
where xj is a payoff of security j (vector), pj is the price of security j
(number), and Rj is the “gross rate of return of security j”
[xj1 , xj2 , xj3 , ..., xjS ]
pj
xj1 xj2
xjS Rj =
,
, ...,
pj pj
pj
Rj =
An Example I
1. Three states of nature: 1,2,3
2. Two securities: 1,2
3. Payoffs:
x1
=
[1, 1, 1]
risk-free asset
x2
=
[1, 2, 2]
risky asset
4. Payoff matrix:
X =
1
1
1
2
1
2
5. Asset Span: M
M = {z ∈ R3 : z = ht X for some h ∈ R2 }
An Example II
6. So,
z = ht X = [h1 , h2 ]
1
1
1
2
1
= (h1 + h2 , h1+ 2h2 , h1+ 2h2 )
2
Then,
z = (z1 , z2 , z3 ) = (h1 + h2 , h1+ 2h2 , h1+ 2h2 )
Then,
z1 = h1 + h2 ,
z2 = z3 = h1+ 2h2
Therefore,
M = {z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 : z1 = h1 + h2 , z2 = z3 for some (h1 , h2 )}
Or
M = {z ∈ R3 : z2 = z3 }
An Example III
7. Considering prices: p1 = 0.8 and p2 = 1.25, securities returns
would be:
7.1 Risk-free asset:
R1 =
[1, 1, 1]
x1
=
= [1.25, 1.25, 1.25]
p1
0.8
7.2 Risky asset:
R2 =
[1, 2, 2]
x2
=
= [0.8, 1.6, 1.6]
p2
1.25
III. Consumption-Portfolio Choice
Economy I
1. Time. One period with two dates.
Date-0 -----------------------------------------PERIOD---------------------------------------- Date-1
Certainty
present
Uncertainty
future
1. Securities are traded
2. Consumption: 𝑐0
1. Securities payoffs are
realized
2. Consumption:
𝑐1 = (𝑐11 , 𝑐12 , … , 𝑐1𝑆 )
Consumption
conditional in state 1
2. Three elements.
2.1 Restrictions on the set of admissible consumption plan:
c0
≥
0
c1
≥
0
Economy II
2.2 Finite number of agents: “I”, the utility function of agent “i” is:
u i = RS+1
→R
+
where: (c0 , (c11 , c12 , ..., c1S )) ∈ RS+1
+
|
{z
}
=c1
2.3 Endowments.
w0i
=
number (date-0)
w1i
=
vector 1xS (date-1)
3. Economy.
GEI
Production
Economy
…
Endowment
Economy
Security Market
Economy
Economy III
A security market economy
It is an economy in which all agents’ endowments lie in the “Asset Span”
(the set of available payoffs).
In this case, we can think of agents as endowed with initial portfolio of
securities.
B. Optimization problem
Table: Consumption-Portfolio choice problem
Problem 1 (with c0 )
Problem 2 (without c0 )
max u(c0 , c1 )
max u(c1 )
{c0 ,c1 ,h}
subject to
{c1 ,h}
subject to
c0
≤
w0 − p t h
pt h
c1
≤
w1 + h t X
c1
Here, we can see the effects of “intertemporal consumption” on optimal portfolio
≤ w0
≤ w1 + h t X
Here, we focus only on “optimal
portfolio” abstracting the effects
of “intertemporal consumption”
C. Problem 1 I
Problem 1 (with c0 )
max u(c0 , c1 )
{c0 ,c1 ,h}
subject to
w0 − p t h
c0
≤
c1
≤ w1 + h t X
1. Lagrange.
L = u(c0 , c1 )
+
λ(w0 − ht p − c0 )
t
+ µ1 (w11 + h X:,1 − c11 )
+ µ2 (w12 + ht X:,2 − c12 )
+ ...
+ µS (w1S + ht X:,S − c1S )
(1)
C. Problem 1 II
2. FOC.
∂L
∂c0
∂L
(c1s ) :
∂c1s
∂L
(h) :
∂h
(c0 ) :
=
0 = uc0 + λ(−1) → λ = uc0
=
0 = uc1s + µs (−1) → µs = uc1s
=
t
t
t
0 = λ(−p t ) + µ1 (X:,1
) + µ2 (X:,2
) + ... + µS (X:,S
)
Working on the last equation: applying “transpose”:
C. Problem 1 III
−λp
+
λp
=
p
=
λ
|{z}
µ1 (X:,1 ) + µ2 (X:,2 ) + ... + µS (X:,S ) = 0
 
µ1
[X:,1 , X:,2 , ..., X:,S ]  . 
µS
X µ,
µ = [µ1 , ..., µS ]t
=uc0 (FOC )
uc0 p
p
= Xµ
µ
= X
uc0
From FOC: µs = uc1s , so:

 

µ1
uc11
µ =  .  =  .  = uc1
µS
uc1S
(2)
C. Problem 1 IV
3. Equation 1. Price vector of securities

p
p

uc11 /uc0
= X . 
uc1S /uc0
uc1
= X
uc0
(3)
where uc1 = [uc11 , uc12 , ..., uc1S ]t (vector), uc0 (number)
4. Equation 2. Price of security j

pj
=
pj
=

uc11 /uc0
(xj1 , xj2 , ..., xjS )  . 
uc1S /uc0
S
X
s=1
xjs
uc1s
uc0
(4)
Main conclusion (equation (4)). The price of security j is the sum
over states of “MRS-weighted payoffs.”
D. Problem 2 I
Problem 2 (without c0 )
max u(c1 )
{c1 ,h}
subject to
pt h
c1
≤ w0
≤ w1 + h t X
1. Lagrange.
L = u(c1 )
+ λ(w0 − ht p)
+ µ1 (w11 + ht X:,1 − c11 )
+ µ2 (w12 + ht X:,2 − c12 )
+ ...
+ µS (w1S + ht X:,S − c1S )
D. Problem 2 II
2. FOC.
∂L
∂c1s
∂L
(h) :
∂h
(c1s ) :
=
0 = uc1s + µs (−1) → µs = uc1s
=
t
t
t
0 = λ(−p t ) + µ1 (X:,1
) + µ2 (X:,2
) + ... + µS (X:,S
)
Working on the last equation: applying “transpose”:
−λp
λp
λp
+ µ1 (X:,1 ) + µ2 (X:,2 ) + ... + µS (X:,S ) = 0
 
µ1
= [X:,1 , X:,2 , ..., X:,S ]  . 
µS
= Xµ
Problem! We do not know “λ”
D. Problem 2 III
3. For every asset:
 
p1
λ .  =
p3
λpj
=

x11
 .
xJ1
S
X
 
. . x1S
µ1
. .
.  . 
. . xJS
µS
xjs µs
(6)
s=1
but from FOC: µs = uc1s , then
λpj
=
S
X
xjs uc1s , ... For asset “j”
s=1
λpi
λ
=
=
S
X
xis uc1s , ...
s=1
PS
s=1 xjs uc1s
pj
(5)
For asset “i”
PS
=
s=1 xis uc1s
pi
D. Problem 2 IV
Main conclusion
We can only say: “the sums over states of marginal-utility-weighted”
payoffs are proportional to securities prices”
IV. General Equilibrium
Definition: equilibrium in security markets
1. An equilibrium in security markets consists of:
1.1 a vector of securities prices “p”
1.2 a portfolio allocation {hi } ∀i = 1, 2, 3, ..., I (N of agents)
1.3 a consumption allocation {c0i , c1i } ∀i = 1, 2, 3, ..., I (N of agents)
2. such that:
2.1 portfolio hi and consumption plan {c0i , c1i } are a solution to agent i’s
choice problem at price “p”
2.2 markets clear
I portfolio market clear condition
X
hi = 0
i
I consumption market clear condition
X
X
c0i ≤ ¯(w )0 ≡
w0i
X
X
c1i ≤ ¯(w )1 ≡
w1i
(7)
Existence and uniqueness of equilibrium I
Theorem (existence)
If
1. each agent’s admissible consumption plan are restricted to be
positive:c0 , c1 ≥ 0
2. utility function is strictly increasing and quasi-concave (includes
concave functions)
3. initial endowment is strictly positive: w0 > 0
4. A portfolio h with positive and nonzero payoff exists:
z h = (z1h , z2h , ..., zSh ) with zih > 0∀i
then “an equilibrium in security markets exists”
Remark. This theorem assures “existence” but NOT “uniqueness.” We
need more assumptions!
Existence and uniqueness of equilibrium II
Theorem (uniqueness)
If
1. utility functions are such that imply “gross substitutability” between
consumption at 6= states and dates (this condition assures
equilibrium)
2. complete markets (this condition assures uniqueness)
then “an equilibrium consumption allocation and prices are UNIQUE”
1. A sufficient condition for “gross substitutability” is that agents have
(1) E (U(.)) strictly concave, (2) common probabilities, and (3)
RRA < 1
Important facts
1. If markets are complete, the vector of marginal rate of substitution
of all agents are the same.
uc11
u2
ui
uI
= c21 = ... = ci 1 == cI 1 , agents:i = {1, 2, 3, ..., I }
1
uc0
uc0
uc0
uc0
2. If markets are incomplete,
ucj 1
uci 1
=
6
, ∀i 6= j( agents )
uci 0
ucj 0
3. Consumption-based asset pricing models: they are models in
exchange economies.
4. Good reference: John Geanakoplos (1990): an introduction to GE
with incomplete asset markets. This is a survey.
Lecture 10: Linear Pricing
Asset Pricing Theory
Hamilton Galindo
Outline: State Prices Approach
Papers and Books
I. Linear Pricing and LOOP
A. The Law of One Price (LOOP)
B. The Payoff Pricing Functional: q(z)
C. LOOP and q(z)
D. Linear Equilibrium Pricing
II. State Prices
A. State Claim (Definition)
B. Complete vs Incomplete Markets
C. Complete Markets: Security payoff and state claims
D. Complete Markets: Pricing
III. Recasting the Optimization Problem
Papers and Books
This class note is based on
1. LeRoy and Wener, book. Ch. 2
I. Linear Pricing and LOOP
A. The Law of One Price (LOOP) I
The Law of One Price (LOOP)
LOOP says that all portfolios with the same payoff have the same price.
t
∗t
t
If h
h = p t h∗
| X =
{zh X} → p
| {z }
payoffs
prices
where:
- Two portfolios: h and h∗ - ht X is payoff of portfolio “h”
- p t h is price of portfolio “h”
Remarks.
1. LOOP as restriction on the set of prices. LOOP can be understood
as a “restriction on set of prices”:
- For instance, for a some asset prices p0 , we can have:
ht X = h∗ t X |{z}
→ p0t h 6= p0t h∗ t
but
- LOOP rules out this kind of prices p0 , so:
A. The Law of One Price (LOOP) II
Set of Prices
𝑝0
Set of Prices with
LOOP
- An example:
I Two assets and two states of nature.
I Two portfolios: h = (1, 1) and h∗ = (3, 0)
A. The Law of One Price (LOOP) III
I Payoff matrix: X
X =
1
2
2
4
Yes, the payoff of the second asset (second row of X) is a LC of
asset 1: incomplete markets, and X must consider all asset (not only
those are LI).
Do these portfolios h and h∗ have the same payoff? Let’s see:
ht X = h∗t X = (3, 6)
The answer is YES: both have the same payoff.
Do these portfolios have the same price? Consider the price vector:
p0t = (1, 3)
1
p0t h = (1, 3)
=4
1
3
p0t h∗ = (1, 3)
=3
0
p0t h 6= p0t h∗
A. The Law of One Price (LOOP) IV
In spite of both portfolios have the same payoffs, for “p0t ” they have
different prices. We want to rule of these prices, so we require that
LOOP holds.
2. No redundant assets → LOOP holds (because all assets are LI).
3. Redundant assets: LOOP may or may not hold depending of
securities prices.
4. LOOP holds iff Single Price Law (SPL) holds
Single Price Law (SPL)
SPL says that “every portfolio with zero payoff has zero price”
If |ht X{z= 0} → p t h = 0
| {z }
payoff
price
B. The Payoff Pricing Functional: q(z) I
1. q(z): It is the price of portfolio with payoff “z”.
2. q(z): It is a functional
q(z)
: M→R
ht X → p t h
3. q(z) is a “correspondence” rather than “a single-valued”: For one
payoff, we can have a set of prices.
B. The Payoff Pricing Functional: q(z) II
Set of prices of portfolios that
generates the payoff ℎ𝑡 𝑋
𝑝𝑡 ℎ
ℎ𝑡 𝑋
Payoff of
portfolio “h”
.
.
.
𝑝𝑡 ℎ′
q(z) is a “correspondence”
4. So, we can have the case: Two portfolios with the same payoff
associated to many prices.
B. The Payoff Pricing Functional: q(z) III
Set of prices of portfolios that
generates the payoff 𝑧
𝑝𝑡 ℎ
𝑝𝑡 ℎ′
𝑡
𝑧 = ℎ𝑡 𝑋 = ℎ′ 𝑋
.
.
.
The same payoff can be
generated by different
portfolios
q(z) is a “correspondence”
5. Therefore, we have:
𝑝𝑡 ℎ
𝑧
Payoff
𝑝𝑡 ℎ′
The same
payoff has
two prices!
B. The Payoff Pricing Functional: q(z) IV
6. q(z) :
q(z) ≡ w : w = p t h for some h such that z = ht X
where p t h is the price of portfolio h, and ht X is its payoff.
C. The Law of One Price (LOOP)
Two main theorems:
Theorem 1. LOOP and single-valued q(z)
If LOOP holds → q(z) is a single-valued.
Theorem 2. LOOP and linear q(z)
If LOOP holds ↔ q(z) is a linear functional on M.
Theorem 1 (LOOP and single-valued q(z)): Proof
t
1. Suppose that for the following payoff ht X = h0 X we have the set
prices: {p t h, p t h0 }
2. LOOP implies:
p t h = p t h0
So:
𝑡
𝑧 = ℎ𝑡 𝑋 = ℎ′ 𝑋
𝑝𝑡 ℎ = 𝑝𝑡 ℎ′
One element
(payoff)
One element
(price)
q(z) is a “single-valued” functional
Theorem 2 (LOOP and linear q(z)): Proof I
1. (→)
1.1 We know: If LOOP holds → q(z) is a single-value functional.
1.2 Proving linearity:
I Pick two payoffs: z, z 0 ∈ M such that
t
z = ht X and z 0 = h0 X
for some portfolios: h and h0
Also, we know:
q(z) = p t h and q(z 0 ) = p t h0
I For arbitrary λ, µ ∈ R:
the payoff:λz + µz 0
=
=
t
λht X + µh0 X
t
0t
(λh + µh )X
{z
}
|
portfoliot
Therefore, the payoff “λz + µz 0 ” corresponds to the portfolio
“λh + µh0 ”
Theorem 2 (LOOP and linear q(z)): Proof II
I What is the price of the payoff “λz + µz 0 ”? Since q(z) is a
single-value functional:
q((λh + µh0 )t X )
=
p t (λh + µh0 )
=
p t (λh) + p t (µh0 )
(1)
=
λ( p t h ) + µ( p t h0 )
|{z}
|{z}
(2)
=q(ht X )
0 t
=q(h0 t X )
t
q((λh + µh ) X )
=
λq(ht X ) + µq(h0 X )
(3)
q(λz + µz 0 )
=
λq(z) + µq(z 0 )
(4)
Therefore, q(z) is linear.
2. (←)
2.1 We know (by assumption): q(z) is linear. So,
for z, z 0 ∈ M and λ, µ ∈ R → q(λz + µz 0 ) = λq(z) + µq(z 0 )
t
with z = ht X and z 0 = h0 X , and q(z) = p t h and q(z 0 ) = p t h0
2.2 We want to prove that “LOOP holds.”
Theorem 2 (LOOP and linear q(z)): Proof III
2.3 By contradiction: Assume that z = z 0 but q(z) 6= q(z 0 ), so:
q(λz + µz 0 )
=
λq(z) + µq(z 0 )
q((λ + µ)z)
=
λq(z) + µq(z 0 )
(λ + µ)q(z)
=
λq(z) + µq(z 0 )
µq(z)
=
µq(z 0 )
q(z)
=
q(z 0 )
But the assumption is: q(z) 6= q(z 0 ), then, ⇒⇐ (contradiction!).
Therefore, z = z 0 → q(z) = q(z 0 ): LOOP holds.
D. Linear Equilibrium Pricing
1. Equilibrium payoff pricing functional:
Equilibrium q(z) = Equilibrium pricing functional q(z) +
Equilibrium securities prices
2. If LOOP holds in equilibrium then, by theorem 1, the equilibrium
payoff pricing functional is Linear (a single-valued function as well).
Two main theorems:
Theorem 3. LOOP and date-0
If the utility function is strictly increasing at date-0 (Uc0 > 0)
then
- LOOP holds in Equilibrium, and
- The equilibrium q(z) is Linear (this is the equilibrium prices).
Theorem 4. LOOP and date-1
If
- The utility function is strictly increasing at date-1 (Uc1 > 0), and
- There exists a portfolio with positive and nonzero payoff (ht X > 0)
then
- LOOP holds in Equilibrium, and
- The equilibrium q(z) is Linear (this is the equilibrium prices).
Theorem 3 (LOOP and date-0): Proof
1.
2.
Theorem 4 (LOOP and date-1): Proof
1.
2.
II. State Prices
A. State Claim (Definition)
B. Complete vs Incomplete Markets
C. Complete Markets: Security payoff and state claims
D. Complete Markets: Pricing
III. Recasting the Optimization Problem
III. Recasting the Optimization Problem
Lecture 11: Arbitrage and Positive Pricing
Hamilton Galindo
Introduction
This class note is based on
1. LeRoy and Werner’s book, Ch. 3
Introduction
1. Main relations. No arbitrage is related with:
a.
b.
c.
d.
e.
Payoff Pricing Functional (+) : q(z)
States Prices (+) : q
Optimal Portfolios : ∃h∗
Equilibrium Pricing : (+)q(z)
LOOP
Introduction
2. 4 Ideas
a. The principle that there cannot exist ”arbitrage opportunities” in
security markets is ONE of the most basic ideas of Financial
Economics.
b. Whether there exists an ”arbitrage opportunity” or not depends on
Security Prices.
c. Exclusion of arbitrage is NECESSARY for the existence of optimal
portfolios for agents with strictly increasing utility functions:
”Equilibrium prices exclude arbitrage opportunities when agents
have strictly increasing utility functions”
d. Exclusion of arbitrage is ”Sufficient” as well when consumption is
restricted to be (+).
I. Arbitrage
I. Arbitrage I
There exists two types of arbitrage: Type I and II.
Arbitrage of Type I
It is a portfolio ”h” such that:
(a) ht X > 0 (Payoff of portfolio “h”)→ vector
(b) pt h ≤ 0 (Price of portfolio ”h”)→ number
1. Remark: hT X > 0
All elements of ht X are nonnegative and at least one element is
strictly (> 0).
2. For example:
 
3
0
T
T

h X >0: 
0 = h X
0
All elements are nonnegative (≥ 0)
At least one element is
strictly (+) (> 0)
I. Arbitrage I
Arbitrage of Type II
It is a portfolio ”h” such that:
(a) hT X ≥ 0
(b) p T h < 0
1. Remark: hT X ≥ 0
All elements of hT X ≥ 0 are nonnegative (≥ 0).
2. For example:
 
0

3

hT X ≥ 0 : 
0
3
≥0
≥0
≥0
≥0
Some Ideas about Arbitrage I and II I
1. Idea 1: Arbitrage type I:
It means: ”Money in the Future”
Why? The price could be zero (today) p T h ≤ 0, but the payoff
always will be strictly (+) (tomorrow) hT X > 0.
2. Idea 2: Arbitrage type II:
It means: ”Money on the Table”
Why? The price always is negative (today), but the payoff always
could be zero (tomorrow) p T h ≥ 0.
3. Idea 3:
-When we talk about Arbitrage, we refer to type I ∧ type II
Arbitrage = type I ∧ type II
-When we talk about “Strong Arbitrage” we refer to type II
Some Ideas about Arbitrage I and II II
Strong Arbitrage = type II
4. Idea 4:
- Type I ∧ type II (Ingersoll’s book)
- Arbitrage ∧ strong arbitrage (Le Roy - Werner’s book).
Example 1 I
Suppose an economy with two assets and two states of nature.
X1
=
(1, 1)
X2
=
(1, 2)
The portfolio h = (−1, 1)T , what type of arbitrage is?
Remember:
:
hT X > 0 ∧ p T h ≤ 0
Arb. type II :
hT X ≥ 0 ∧ p T h < 0
Arb. type I
P1 = P2 = 1
Example 1 II
1. Arb type I:
−1
1
1
1
1
= 0
2
⇒ hT X > 0
(≥ 0
1 = hT X
> 1)
Remember!:
hT X ≥ 0 means that all elements
≥ 0 but at least one > 0 ⇒
>0
Price ?
pT h = 1
−1
1
=0
−1
So: pT h = 0 ≤ 0
∴ pT ≤ 0
So: h = (1, 1)T , is an arbitrage type I.
Example 1 III
2. Arbitrage type II:
We know:
hT X = 0
(≥ 0
1 ≥0
≥ 0)
Price:
p T h = 0, but type II requires p T h < 0.
So: h = (−1, 1)T , is NOT an arbitrage type II.
Example 2 I
h = −1
1
X1
=
(1, 1, 0)
P1 = 1
X2
=
(0, 1, 1)
P2 = 1/2
X3
=
(1, 0, 1)
P3 = 1/2
1 , is ”h” an arbitrage I or II Type.
1. Arb. type I: hT X > 0 ∧ p T h ≤ 0


1 1 0
hT X = −1 1 1 0 1 1 = 0 0 2 > 0
1 0 1
(≥ 0 ≥ 0 ≥ 0)
p T h = −1
 
−1
1/2 1/2  1  = -1+1/2+1/2 = 0 ≤ 0
1
”h” is an
arbitrage
portfolio of
type I
Example 2 II
2. Arb. type II: hT X > 0 ∧ p T h < 0
hT X = 0
0
pT h = 0 ≮ 0
2 ≥0
”h” is an
arbitrage
portfolio of
type II
II. No Arbitrage: Relationship between type I
and II
II. No Arbitrage: Relationship between type I and II I
1. Remember:
Arbitrage type I ⇒ hT X > 0
∧ pT h ≤ 0
Arbitrage type II ⇒ hT X ≥ 0
∧ pT h < 0
2. @ Arbitrage of type I means:
That we rule out portfolios that hT X > 0 ∧ p T h ≤ 0.
As a result, we keep only portfolios that:
We only have
hT X > 0 ∧ p T h > 0 or
these portfolios
hT X ≤ 0 ∧ p T h ≤ 0
II. No Arbitrage: Relationship between type I and II II
3. @ Arbitrage of type II means:
That we rule out portfolios that hT X ≥ 0 ∧ p T h < 0.
As a result, we keep only portfolios that:
hT X ≥ 0 ∧ p T h ≥ 0
and hT X < 0 ∧ p T h < 0
Comment: @ arbitrage of type II does not eliminate arbitrage
portfolios of type I.
For instance:
We still have hT X > 0 ∧ p T h = 0 (which is Arbitrage type I).
Theorem (1)
@ Arbitrage type I 9 @ Arbitrage type II
@ Arbitrage type I 8 @ Arbitrage type II
Details I
hT X > 0 ∧ p T h ≤ 0
1. Arbitrage type I:
@ Arbitrage type I: hT X > 0 ∧ p T h > 0 (nice!)
or
hT X ≤ 0 ∧ p T h ≤ 0 ⇒ hT X = 0 ∧ p T h ≤ 0
So:
@ Arbitrage type I: means that portfolio satisfy:
hT X > 0 ∧ p T h > 0
or
T
h X = 0 ∧ pT X = 0
2. Arbitrage type II:
@ Arbitrage type II:
hT X ≥ 0 ∧ p T h < 0
hT X ≥ 0 ∧ p T h ≥ 0
or
T
h X < 0 ∧ pT h < 0
OK! but no relevant for
us!
Details II
So
@ Arbitrage type II: it means that portfolios satisfy:
hT X ≥ 0 ∧ p T h ≥ 0
3. Comment
@ Arbitrage type I: −→ @ arb.type II?
Let’s see:
@ Arbitrage type I:
NO!
hT X ≥ 0 ∧ p T h ≥ 0 (cond.1)
or
T
h X < 0 ∧ p T h < 0 (cond.2)
So if we have h∗ that satisfies ”cond.1”:
Then, it is not an arbitrage type II ! (nice!).
But, if we have that h∗∗ that satisfies ”cond.2”:
Details III
We cannot say that h∗∗ is NOT an arbitrage type II.
Why?
because, arbitrage type II considers portfolios:
if hT X = 0 →pT h < 0
Conclusion
No arbitrage type I does not imply No arbitrage type II.
More detail:
Remember:
Arbitrage type I
T
h X > 0 ∧ pT h > 0
or
T
h X = 0 ∧ pT X = 0
Details IV
↓
This means that we can have a portfolio with: hT X = 0 and
pT h < 0
But this is a ”Arbitrage Type II”!.
Theorem 2 I
Theorem 2
∃ an asset or
@ arbitrage type + portfolio with strictly (+) ⇒ @ arbitrage type
I
@ payoff arbitrage type
II
∃ (e.g. limited liability)
Proof:
1. @ arbitrage type I:
hT X > 0 ∧ p T h > 0
or
T
h X = 0 ∧ pT X = 0
Theorem 2 II
2. If ”h” is a limited liability portfolio : hT X > 0
So: @ arbitrage type I (+) LL portfolio ⇒ hT X > 0∧ PT h > 0
Which means, by definition of @ arb. type II, that ”h” in NOT an
arbitrage type II.
III. No Arbitrage and LOOP
III. No Arbitrage and LOOP I
Remember:
(a) LOOP: All portfolios with the same payoff have the same prices :
If hT X = h∗T X
same price
⇒ pT h = p T h ∗
same price
(b) SPL (Single Price Low): Every portfolio with zero payoff ha??
zero prices:
If hT X = 0 ⇒ pT h = 0
Theorem 3. I
Theorem 3
LOOP ⇔ SPL
Proof
1. ⇒ Loop holds: if hT X = h∗T X ⇒ p T h = p T h∗
hT X − h∗T X = 0
T
(h − h
∗T
p T (h − h∗ ) = 0
)X = 0
∗ T
p T (h∗∗ ) = 0
(h − h ) X = 0
h
∗∗T
p T h∗∗ = 0
X =0
So: We have a NEW portfolio h∗∗ with zero payoff and price.
So: SPL holds.
Theorem 3. II
2. (⇐) SPL holds: if hT X = 0 ⇒ P T h = 0
We can express
(two 6= portfolios).
(ha - hb )T X = 0 ⇒ P T (hc − hb ) = 0
←−
IF
, ha 6=ha
←−
(⇒)
h = ha - hb
T
(hT
a − hb )X = 0
haT X = hbT X
some payoff for two
portfolios
ha ∧ hb
p T ha − p T hb = 0
p T h0 = p T hb
⇒
same prices!
∴ Loops holds
Theorem 4. I
Theorem 4.
@ arbitrage type I9SPL holds (loop holds)
8
1. (⇒)
By definition of @ arbitrage type I: hT X > 0
or
∧ pT h > 0
h T X = 0 ∧ pT h = 0
but, hT X = 0 with p T h = 0 is ”SPL” ∴ SPL holds (only for a
subset).
Theorem 4. II
2. (8)
If SPL holds ⇒ hT X = 0
∧
pT h = 0
but it’s possible that we can get h∗ sth:
h∗T X > 0 and pT h∗ < 0
|
{z
}
So, h∗ is arbitrage type I
∴ @ type I @type II }
8
SPL
(also, it is arbitrage type II )
Theorem 5. I
Theorem 5
@ arbitrage type II9 SPL (loop)
8 (SPL may be holds but not necessarily)
1. (9)
@ arbitrage type II: hT X ≥ 0
∧ pT h ≥ 0
This means that it’s possible to have a portfolio with hT X > 0
and p T h = 0 which is not supported by SPL.
∴ SPL doesn’t hold.
Theorem 5. II
2. (8)
hT X = 0 ∧
SPL:
pT h = 0
but, it’s posible to get hT X > 0 with p T h < 0 which is an
arbitrage of type II (and I).
From theorem 4:
We said that SPL holds. It’s okay but only for a subset of portfolios.
How do we know that?.
Let me show you:
The correct (broad) definition of arbitrage I is:
hT X > 0
∧
pT h > 0
or
hT X ≤ 0
∧ pT h ≤ 0
So: portfolios with: hT X = 0 ∧ pT X = 0
Theorem 5. III
belong to: hT X ≤ 0
∧
pT X ≤ 0
but, portfolios as hT X = 0 ∧
satisfy LOOP. (or SPL)
p T X < 0 which clearly do not
∴ @ Arb.type I 9 SPL (Loop) holds
Theorem 6
@ arbitrage type I ∧ II 9 SPL (Loop) holds
8
IV. No Arbitrage and q(z) (positivity)
IV. No Arbitrage and q(z) (positivity) I
Theorem 7
Theorem 7
q(Z) is LINEAR and STRICTLY ⇔ @ arbitrage (type I
∧
II )
q(Z): payoff pricing functional
Proof:
1. (⇒) Proving ”necessity Port”
q(Z) is Linear and q(Z ) > 0 : this means that for any value of the
payoff (< 0 = 0 > 0) it’s price is strictly (+).
So: we don’t have portfolios with
price ≤ 0 or just < 0.
∴ @ arbitrage (I ∧ II )
IV. No Arbitrage and q(z) (positivity) II
Theorem 7
2. (⇐)
We know: @ arbitrage (I ∧ II ) → LOOP
LOOP → q(Z ) is single valued
l
q(Z) Linear
And also, we know :
∴ LOOP ←→ q(Z) is Linear .
3. q(Z ) > 0
@ arbitrage (I ∧ II ) :
@ Arb. I:
@ Arb. II:
hT X > 0
hT X ≥ 0
∧
pT h > 0 or hT X ≤ 0
∧ pT h ≥ 0 or hT X < 0
∧
pT h≤ 0
∧ pT h < 0
IV. No Arbitrage and q(z) (positivity) III
Theorem 7
So:
hT X ≥ 0 ∧ pT h ≥ 0 or hT X ≤ 0 ∧ pT h ≤ 0
↓
when: p T h = 0 →h∗T X ≥ 0 or pT h∗ ≤ 0
{z
}
|
hT X = 0
T
T
So: For p h = 0→ h X = 0
and hT X > 0 ∧ p T h > 0 or hT X < 0 ∧ p t h < 0
↓
Z > 0 ⇒ q(Z ) > 0
Z < 0 ⇒ q(Z ) < 0
↓
∴ q(Z ) > 0
∴ @ Arbitrage(I , II ) ⇒ q(Z ) > 0
Theorem 8. I
Theorem 8
q(z) is Linear and (+) ↔ @ arbitrage type II
(≥ 0)
Proof
1. (⇒) q(Z) is linear and q(Z) ≥ 0
So, we have:
Z < 0, q(Z ) = 0 or q(Z ) > 0
Z = 0, q(Z ) = 0 or q(Z ) > 0
Z > 0, q(Z ) = 0 or q(Z ) > 0
(a)
(b)
(c)
(d)
Z
Z
Z
Z
< 0,
< 0,
= 0,
= 0,
q(Z ) = 0
q(Z ) > 0
q(Z ) = 0
q(Z ) > 0
⇒
⇒
⇒
⇒
@ arbitrage (I, II)
@ arbitrage (I, II)
@ arbitrage (I, II)
@ arbitrage (I, II)
Theorem 8. II
(e) Z > 0, q(Z ) = 0 ⇒ ∃ arbitrage I but @ arbitrage II
(f) Z > 0, q(Z ) > 0 ⇒ @ arbitrage (I, II)
∴ We can conclude: @ arbitrage II
2. ⇐ @ Arbitrage Type II:
to prove this post, we need ”The Separating Hyperplane Theorem.”
we will see this later!
V. No Arbitrage and q (state prices)
(positivity)
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) I
Theorem 9
Ross (1976, 1978) ”Fundamental theorem of Finance”
@ Arbitrage (I ∧ II) ⇐⇒ ∃ state prices ”q” strictly (+): q 0
Theorem 10
@ Arbitrage II ⇐⇒ q ≥ 0
Comments:
1. Proof: We are leaving the proof later on.
2. Theorem 9 ∧ 10: They doesn’t depend on whether the market is
complete or not.
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) II
3. Theorem 9: It’s well known as ”Fundamental Theorem of Finance”
4. Proof: It’s in Dybuign Ross (1987).
5. Theorem 9: The proof is much easier in complete market than in
incomplete markets.
We know:
P (security prices), q (state price)
P = Xq
Incomplete Markets: J = S ⇒ Xs x s → Inv(X) exists!
→ since we have proved
that ∃ arbitrage ⇔ q(Z)0
i.e
p0
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) III
→ So
p = Xq → X−1 p = q
Remember : p0
So: X −1 p = q 0
6. Why is this theorem (9) so important?
(a) The existence of state prices ”q” was initially proved by Arrow (1953).
He derived this under 2 conditions:
(1) concavity of preferences (Risk aversion)
(2) Complete Markets
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) IV
(b) Ross (1977, 1978) showed that the existence of state prices does not
depend on ”concativity of %” and ”Complete Market”.
He said: We just need one condition:
@ arbitrage (I,II)
For general framework: Incomplete / Complete Markets
(c) Okay! but again why is it important?
→ since : p = Xq is true in complete/incomplete markets
So, if we know ”q” (state prices), so we can ”price” any security as long
as @ arbitrage (which assumes that ”q” exists)
awesome!
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) V
(d) Problem:
If Markets are complete: ”q” is UNIQUE and we can pice any security
exactly.
If Markets are incomplete: ”q” is NOT UNIQUE.
So, we cannot price any security exactly!.
What can I do?:
In this case, the fundamental Theorem of Finance still works and gives us
a range:
price of security ∈ [ā, a ]
ā : lower bound
a : upper bound
V. No Arbitrage and q (state prices) (positivity) VI
(e) Complete Markets:
We have that ”state prices” are UNIQUE, so we can price any NEW
security added to the economy in terms of the prices of other securities as
long as @ arbitrage.
Example: (Option pricing theory)
If we add a new security : ”Derivatives”.
The fundamental Theorem of Finance (Theorem 9) guarantees that the
derivative can be priced as weighted averages of their payoff:
P
p=
qs Xs
(p = Xq)
The trick of Modern Theory is to find a way to ”complete the market” and
exactly determine the state - prices ”q”.
In this case, the ”option” can be priced in terms of other securities: underlying
and riskless asset.
VI. No Arbitrage and Optimal Portfolios
VI. No Arbitrage and Optimal Portfolios I
Theorem 10.
If
(1) at given security prices, an agent’s optimal portfolio exists
(∃ h∗ ) AND.
(2) u(·) is strictly increasing at date − 0 ∧ increasing at date − 1.
Then @ arbitrage (I ∧ II )
Theorem 11.
If
(1) at given security prices, an agent’s optimal portfolio exists
(∃ h∗ ) AND.
(2) u(·) is strictly increasing at date − 0 ∧ increasing at date − 1.
Then @ arbitrage Type II
VI. No Arbitrage and Optimal Portfolios II
Comment :
In a model in which date - o consumption does not enter in the
u(·) → condition (2) fails → theorem 11 fails → ∃ arbitrage type II in an
Equilibrium (in which we have an optimal h∗ ).
Theorem 12.
If
(1) at given security prices, @ arbitrage ( I ∧ II ) AND.
(2) Consumption is restricted to be positive
→ ∃ an optimal portfolio ( ∃ h∗ )
Comments:
(1) In theorems 10 ∧ 11, @ arbitrage is a necessary condition for existence
of h∗ .
(2) In the theorem 12, @ arbitrage is a sufficient condition.
VI. No Arbitrage and Optimal Portfolios III
VII. No Arbitrage and Positive Equilibrium
q(z)
VII. No Arbitrage and Positive Equilibrium q(z) I
By definition : An equilibrium portfolio is an optimal portfolio.
Theorem 13
If u(·) is strictly increasing
⇒ @ arbitrage (I , II ) at equilibrium
⇒ the Equilibrium q(z) is linear and > 0.
Theorem 14
If uc o > 0 ∧ uc 1 > 0 ⇒ @ arbitrage type II at equilibrium prices
⇓
the Equilibrium q(Z) is LINEAR and ≥ 0.
Note:
Theorem 13 (Extension of Theorem 10)
Theorem 14 (Extension of Theorem 11)
VII. No Arbitrage and Positive Equilibrium q(z) II
Comments:
1. Imposing the requeriment of No Arbitrage makes the analysis consistent
with agents having strictly inscreasing utility functions without explicity
specifying these functions.
Therefore: Even though on Equilibrum model of security markets is
NOT explicity employed, the requeriment of no arbitrage makes the
analysis consistent with on Equilibrium!
2. Equilibrium vs Pricing (Valuation)
2.1 Focus in Economics: ”Equilibrium”
They make explicitly the assumption of ”strictly increasing u(·)”, then in
equilibrium @ arbitrage holds (theorem 10). Therefore, they don’t make
assumption about @ arbitrage.
VII. No Arbitrage and Positive Equilibrium q(z) III
2.2 Focus in Finance: ”Equilibrium” AND ”Valuation” (price of securities).
So, we need to make an assumption about ”strictly increasing u(·)” as
Economics does to study EQUILIBRIUM.
AND
We need to assume @ arbitrage (explicitly) for using it in Valuation.
Lecture 12: Pricing Kernel
Foundations of Asset Pricing
Hamilton Galindo
Outline: Arbitrage and Linear Pricing
Papers and Books
I. Hilbert Space and Inner Product
II. The Expectation Inner Product
III. Orthogonal Vectors
IV. Orthogonal Projections
V. Diagrammatic Methods in Hilbert Space
VI. Riesz Representation Theorem
VII. Construction of the Riesz Kernel (kf )
VIII. The Expectation Kernel
IX. The Pricing Kernel
Papers and Books
This class note is based on
1. LeRoy and Werner’s book, Ch. 17
I. Hilbert Space and Inner Product
I. Hilbert Space and Inner Product I
(a) Hilbert Spaces: ⇒ It’s a vector space H that is equipped (with an
"inner product" and is "complete" (with respect
to the norm induced by it’s inner product).
Completeness:
Any Cauchy sequence of elements of H converges
to an element of that space.
(b) Inner Product ⇒ On vector space H is a function from H x H → R.
x·y
(c) Norm:
The inner product defines a norm of a vector in
the vector space H as:
kX k ≡
√
X ·X
kk : H x H → R
II. The Expectation Inner Product
II. The Expectation Inner Product I
• R s : Space of state-contingent date - 1 consumption plans.
• R s : Is a Hilbert Space.
⇒ 2 Innner products
(a) Euclidean Inner Product:
x · y = ∑ xs ys
(b) Expectations Inner Product:
x · y = E (xy )
Whose:
E (xy ) = ∑ πs xs ys
For a probability measure π on S.
III. Orthogonal Vectors
III. Orthogonal Vectors I
Two vectors are ortogonal: x ⊥ y ⇔ x·y = 0
• Orthogonal System: A collection of vector {Z1 , ..., Zn } is an
"orthogonal" system if:
Zi ⊥ Zj ,
∀ i 6= j
.
• Orthonormal System: A collection of vector {Z1 , ..., Zn } is an
"orthonormal" system if:
Zi ⊥ Zj ,
∀ i 6= j
∧ kZi k = 1, ∀ i
Two properties:
Then (Pythagorean Theorem)
If {Z1 , ...., Zn } is an orthogonal system in a Hilbert Space H, then:
III. Orthogonal Vectors II
2
n
∑ Zi
n
=
i =1
∑ kZi k2
i =1
Proof: {Z1 , ...Zn } is an orthogonal system:
√
k∑ Zi k = ∑ Zi · ∑ Zi
p
= (Z1 + Z2 + ... + Zn ) · (Z1 + Z2 + ... + Zn )
all Zi · ZJ = 0 ∀ i 6= j
=
√
Z1 · Z1 + Z2 · Z2 + .... + Zn · Zn
s
n
=
∑ Zi · Zi
i =1
k∑ Zi k2 =
n
∑ Zi · Zi
n
=
i =1
∑ k Zi k 2
i =1
n
∑ Zi
i =1
2
n
=
∑ kZi k2
i =1
III. Orthogonal Vectors III
Corolary: Any orthogonal System of non Zero vectors is "L I".
(Proof: page 197).
IV. Orthogonal Projections
IV. Orthogonal Projections I
• A vector ”x” ∈ H is orthogonal to a linear subspace Z ⊂ H.
⇔
”x” is orthogonal to every vector z ∈ Z
x ⊥Z ⇔
x·z =0
∀z ∈Z
.
IV. Orthogonal Projections II
• Orthogonal Complement of Z:
Z ⊥ : The set of all vectors orthogonal to a subspace Z. (It’s a
Linear Subspace of H).
IV. Orthogonal Projections III
IV. Orthogonal Projections IV
Theorem: Projection theorem
For any finite-dimensional subspace Z of a Hilbert space H and any
vector x ∈ H,
There exist unique vectors x Z ∈ Z, y ∈ Z ⊥
So that:
x = xZ + y
x Z : Orthogonal projection of x on Z.
IV. Orthogonal Projections V
So: If ”Z ” is a finite - dimensional subspace of H:
The theorem implies that:
H = Z +Z⊥ with Z ∩ Z ⊥ = {0}
IV. Orthogonal Projections VI
• If the projection is taken with respect to "inner product":
⇒ The coefficients of the representation of the orthogonal
projections are:
n
XZ =
X · Zi
∑ Zi · Zi Zi
i =1
• If the projection is taken with respect to "expectations inner
product":
E (XZi )
Zi
2
i =1 E (Zi )
n
XZ =
∑
V. Diagrammatic Methods in Hilbert Space
V. Diagrammatic Methods in Hilbert Space I
1. Hilbert Space: good for diagrammatic representations.
Example:
• Two dimensional Hilbert Space :
Coordinates are expressed in terms of an orthonormal basis ε 1 ∧ ε 2 .
ε 1 = (1, 0)
ε 2 = (0, 1)
• So:
x · y = (x1 , x2 ) · (y1 , y2 )
But: (x1 , x2 ) = x1 (1, 0) + x2 (0, 1) = x1 ε 1 + x2 ε 2
→ x · y = (x1 ε 1 + x2 ε 2 ) · (x1 ε 1 + x2 ε 2 ) (Euclidean Independence).
= x1 y1 (ε 1 .ε 1 ) + x1 y2 (ε 1 .ε 2 ) + x2 y1 (ε 2 .ε 1 ) + x2 y2 (ε 2 .ε 2 )
Since: ε 1 ⊥ε 2 ⇒ ε 1 · ε 2 = 0
V. Diagrammatic Methods in Hilbert Space II
⇒ x · y =x1 y1 kε 1 k2 + x2 y2 kε 2 k2
| {z }
| {z }
=1
=1
x · y = x1 y1 + x2 y2
• Thus, we can represent the Hilbert Space by the Euclidean plane of
ordered pairs of real number with the "natural basis". (1,0) (0,1)
and in which the "inner product" is the "Euclidean inner product".
In Finance:
• The basis vectors are the "state claims".
• They an orthogonal under "Exp Inner Prod"
x · y =E(xy ) = ∑ πs xs ys = 0
V. Diagrammatic Methods in Hilbert Space III
• They do not constitute an orthonormal basis because they do not
have unit norm.
kes k2 = es · es = E (es2 ) = πs 6= 1
|
{z
}
expect inner product
Remember:
E (es2 ) =∑ πs es = π1 02 + π2 02 + ... + πs 12 + ... + πs 02 = πs
⇒ E(es2 ) =πs 6= 1
VI. Riesz Representation Theorem
VI. Riesz Representation Theorem I
Theorem (Riesz Representation Theorem)
If F: H → R is a continuos
"Linear
functional"
|
{z
}
on H
F(α x + β y) = α F(x) + β F(y)
⇒ ∃ unique vector "Kf ”∈ H so that.
F (x ) =
Kf · x
| {z }
,∀x∈H
(Inner product)
Kf : Riesz Kernel corresponding to F. (vector ).
x : vector.
VII. Construction of the Riesz Kernel (kf )
VII. Construction of the Riesz Kernel (kf ) I
• Hilbert Space : Rs = H
→ Finding the Riesz Kernel (Kf ) for a Linear Functional on the Hilbert
Space R S is easy:
(a) With Euclidean inner product:
• k f s = F ( es )
, Kf = (Kf s , .., Kf s )
F (es ) = Kf · es = (Kf 1 Kf 2 .... Kf 3 ... Kf 5
S
• F(X) =Kf · X =
∑ Kf s Xs
s =1
 
0
0
 
.
 

... Kf s )
 .  = Kf s
1
 
0
.
VII. Construction of the Riesz Kernel (kf ) II
(b) With Expectation Inner Product:
F (X ) = Kf ·X =E(Kf X ) = ∑ πs Kf s Xs
(c) General Case: (Z ⊂ H )
Z:
• It’s a complete subspace of Hilbert Space H.
• It’s a Linear Spon of a finite collection of vectors {Z 1, ...., Zn }.
The Kernel ”Kf ” of a Linear Functional F : Z → R can be
constructed as follows:
(S1) wi =
F ( Zi )
| {z }
∀ i = 1, ... n
basic vectors:{Z 1, ...., Zn }
(S2) The Kernel ”Kf ” has to satisfy ”n” equations:
wi = Kf · Zi
∀ i = 1, ..., n
VII. Construction of the Riesz Kernel (kf ) III
because: Kf · Zi = F (Zi )
(S3) because Kf ∈ Z (Reisz Rep. Thrm assumes this) ⇒ we have:
Kf =
∑ aj
zj
because {Z1 , ...., Zn } is a vector basis.
(S4) So:
(S3) in (S2):
Systems of equations:
n
wi =
∑ aj
Zj · Zi
j =1
i = 1, ..., n and Zj , Zi (basis vectors).
With ”n” unknowns ”aj ” that can be solved using standard methods.
Example I
1. Z = spon {(1, 1)} ⊂ R 2
2. Inner product is the inner product expectations.
3. Prob = (1/4, 3/4)
4. F : Z → R ⇒
F (Z ) = 2Z1
{z
}
|
, Z = (Z1 , Z2 ) ∈ Z.
In this we know the function "F(.)"
by (S3) - "kf ∈ Z" :
Kf = a(1, 1) for some scalar ”a”, (1, 1) is a basis of Z.
5. For: F(1, 1) = 2
(1, 1) is vector basis
we can solve for "a":
F (1, 1) = Kf · (1, 1) = 2 (by Riesz representation thrm)
Example II
a (1, 1) · (1, 1) = 2
|
{z
}
Inner Product
1
3
a [ (1)(1) + (1)(1)] = 2
4
4
{z
}
|
=1
a=2
6. Kf = a(1, 1) = (2, 2)
Example III
VIII. The Expectation Kernel
VIII. The Expectation Kernel I
• M ⊂ R s (Hilbert Space).
• M with the expectation inner product is a Hilbert Space:
So: We can apply "The Riesz Represent Theorem" to Linear
functionals defined on M.
2 Linear functionals:
(1) Expectations Functional
(2) Payoff Pricing Functional
1. The Expectation Functional:
E : M −→ R
z 7−→ E(Z )
So: By "Riesz Theorem":
Z : Payoff
E(Z ) : Expectations of Payoff
VIII. The Expectation Kernel II
F: H −→ R
E: M −→ R
E ( Z ) = Ke · Z
→
but we have in M, the "expectations inner product"
E(Z ) =
→
Ke · Z = E(ke Z )
{z
}
|
by Expect Inner Product
∴
E ( Z ) = E ( Ke Z )
∀ z, Ke ∈ M
(Eq 1)
So, ”Ke ” (expectations Kernel) is the unique payoff that satisfies:(Eq 1).
Notice:
(a) (Eq1) is not necessarily valid for contingent claims "OUTSIDE" M.
(b) ”Ke ” can be constructed using (S1) → (S4) with sec payoff {x1 , ..., xn }
VIII. The Expectation Kernel III
(”n assets”) as the basis of M.
(c) If the free-risk payoff is in M
⇒ ”Ke ” is risk - free and equal to 1 in every state
Ke = (1, 1, 1, . . 1)
Prove!
r = (1, 1, ...1)
E(r ) = E(Ke r ) = Ke 1 π1 + Ke 2 π2 + .... + kf n πn
E(r ) = E(Ke r ) ⇒ r = Ke
(d) If the free risk payoff is not in M:
⇒ Ke is the orthogonal projection of the risk - free payoff on M.
Check eq. 17 - 37 (pag. 203).
Example I
Example:
S=3∧J=2
X1 = 1, 1, 0
X2 = 0, 1, 1
(Incomplete Markets)
prob = 1/3 for each state
Find the expectations kernel: → using "expected functional"
1. E(X1 ) = 13 .1 +
E(X2 ) = 31 .0 +
1
3 .1 +
1
3 .1 +
1 .0
3
1 .1
3
=
=
2
3
2
3
Example II
2. by Riesz Rep Theorem:
(
E ( X ) = E ( Ke X )
∀x∈M
E(X )=Ke · X
E ( X ) = E ( Ke X )
E(X1 ) = 2/3 = E(Ke X1 )
E(X2 ) = 2/3 = E(Ke X2 )
{z
|
(2.1)
(2.2)
}
If I try to solve until this step, I get a problem:
2/3 = 1/3(Ke 1 + Ke 2 )
2/3 = 1/3(Ke 2 + Ke 3 )
I have three unknown vars but 2 equations, so i need the next ...
Example III
3. Ke lies in M: so: Ke is LC of ”X 1, X 2”
Ke = h1 X 1 + h2 X2 = h1 (1, 1, 0) + h2 (0, 1, 1)
Ke = (h1 , h1 + h2 , h2 )
4. In 2.1 ∧ 2.2:
2/3 = E(Ke X1 ) = h1 .1.1/3 + (h1 + h2 )1.1/3 + 0
2/3 = E(Ke X2 ) = h1 .0.1/3 + (h1 + h2 )1.1/3 + h2 .1.1/3
Two equations with two variables.
⇒ h1 = h2 = 2/3
So:
Ke = (h1 , h1 + h1 , h1 )
Example IV
2 4 2
Ke = ( , , )
3 3 3
Ke is not the risk - free pay off (by definition (1, 1, 1)) because the
risk - free payoff is not in M.
IX. The Pricing Kernel
IX. The Pricing Kernel I
• Kq : The Riesz Kernel with the payoff pricing functional ”q” on M
(Pay off "Asset Spon").
• ”Kq ” is the "unique" payoff (asumed by Riesz Rep.Thrm) in M
that satisfies:
q (Z ) = Kq · Z = E(Kq Z )
q(z) = E(Kq Z )
. . (1)
• Kq can be constructed using (S1) → (S4) with see payoffs x1 ...x2
as the basis of M.
• We know:
If @ arbitrage ⇒ ∃ state price vector q > 0 so that.
IX. The Pricing Kernel II
q (Z ) =∑ qs Zs
∀Z∈M
q(Z) = ∑ πs · ( πqss )Zs
but:
q(Z) = E( πq Z ) . . (2)
but: in (1) ∧ (2):
q(Z) = E(Kq Z ) by Riesz Rep. Theorem.
q(Z) = E( πq Z ) by Fund. the of Finance.
⇒ E( πq ) − E(Kq Z ) = 0
q
E[( − Kq )Z ] = 0
π
{z
}
|
Inner Product Expectations
∀ Z ∈ M.
IX. The Pricing Kernel III
(
q
π
So,
q
π
- Kq ) · Z = 0
- Kq ⊥ Z
q
π
∀Z∈M
- Kq is orthogonal to M:
IX. The Pricing Kernel IV
Also:
q
π
= ( πq − Kq ) + Kq
IX. The Pricing Kernel V
Then:
Kq is the orthogonal projection of
q
π
on M.
Recall: ⇒ P = Xq if we know "q", we know every XXX!.
IX. The Pricing Kernel VI
Notice:
(a) ”Kq ” is UNIQUE regardless of whether markets are complete or
incomplete.
IX. The Pricing Kernel VII
Incomplete Markets→ ∃ multiple state price vectors → Rescaled by prob
↓
All of the vectors have
the some projection on M.
↓
Complete Markets → unique state price vector (q) −→ UNIQUE "Kq ”
In the case of "Complete Market":
Kq =
q
π
Ke = (1, 1, 1.., 1) = XXXX Price Payoff
Example I
1. Example: X1 = (1, 1, 0)
·
·
P1 = 1
P2 = 43
X2 = (0, 1, 1)
· q(X1 ) = 1 = E(kq X1 )
· q (X2 ) = 1 = E(kq X2 )
|
{z
}
2 equations and 3 variables
Kq lies in M ⇒ Kq = h1 X1 + h2 X2 = (h1 , h1 + h2 , h2 )
So: h1 = 23 ∧ h2 = 53
2 7 5
Kq = ( , , )
3 3 3
Example II
Notes:
(1) Chamberlain (1983) and Chamberlain and Rothschild (83): First
in introducing Hilbert Space Method in Financial Economics.
(2) Stochastic Discount Factor: A representation of the payoff "pricing
functional" (closes to Riesz repre. by the pricing Kernel).
It’s "any contingent" claim "m" ∈ R s so that:
q (Z ) = E(mZ )
∀ Z ∈ "M".
Example III
1. Kq : is a SDF
Example IV
2. If Markets are Incomplete
⇒ ∃ other SDFs than the pricing Kernel.
⇒ All SDFs have the same projection onto the M, and that
projection is the pricing Kernel.