‫תרגול מספר ‪7‬‬
‫פתרון לפי ‪ ZIR‬ו ‪ZSR‬‬
‫בעיה שקיימת לנו בפתרון מעגלים מסדר ראשון )ובהמשך גם שני( הינה בעיית הליניאריות‪,‬‬
‫לעיתים נקבל מספר כניסות שונות מאוד אחת מהשניה ופתרון המשוואה הדיפרנציאלית שלהן‬
‫יכולה להיות קשה‪ .‬בנוסף‪ ,‬לעיתים נרצה להעזר בפתרון מסוים על מנת להסיק מידע על פתרון‬
‫אחר‪ .‬על מנת לבצע פעולות אלו‪ ,‬נדרוש כי המעגל יהיה לינארי ביחס למקורות‪ ,‬או ביחס לתנאי‬
‫התחלה‪ ,‬אך מצב זה אינו קורה תמיד‪.‬‬
‫כאשר אנו פותרים מעגל בעל רכיבים ליניאריים ניתן לפשט את הפתרון ולפתור את המעגל על ידי‬
‫פירוקו לשתי בעיות שונות ‪:‬‬
‫פתרון ‪ – Zero input response‬מעגל בו אגף המקורות שווה לאפס‪ ,‬זהו למעשה פתרון המעגל‬
‫כאשר המקורות משותקים‪.‬‬
‫פתרון ‪ – Zero state response‬מעגל בו תנאי ההתחלה שווה לאפס‪ ,‬זוהי למעשה משוואה‬
‫ליניארית‪.‬‬
‫עבור סט המשוואות עבור " ‪ x ! t‬אותו נרצה למצוא )זרם‪/‬מתח על רכיב‪/‬קו(‪:‬‬
‫) ‪# f1 ! t " x $ f 2 ! t " x % y (t‬‬
‫&‬
‫‪x(t0 ) % x0‬‬
‫'‬
‫נגדיר את הפתרון הבא ‪ , x % xZIR $ xZSR :‬כאשר ‪ xZSR‬ו ‪ xZIR‬יפתרו לפי הסט הבא‪:‬‬
‫) ‪# f1 ! t " xSZR $ f 2 ! t " xSZR % y (t‬‬
‫&‬
‫‪x(t0 ) SZR % 0‬‬
‫'‬
‫‪# f1 ! t " xZIR $ f 2 ! t " xZIR %‬‬
‫&‬
‫‪x(t0 ) ZIR % x0 ,‬‬
‫'‬
‫נראה כי פתרון זה מקיים את סט המשוואות‪:‬‬
‫‪f1 ! t " x $ f 2 ! t " x % f1 ! t "! xZSR $ xZIR " $ f 2 ! t "! xZS‬‬
‫‪ZSR $ xZIR " %‬‬
‫‪f1 ! t " xZSR $ f 2 ! t " xZSR $ f1 ! t " xZIR $ f 2 ! t " xZIR‬‬
‫) ‪ZI % y (t‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪yy(( t‬‬
‫‪x(t0 ) % xZIR (t0 ) $ xZSR (t0 ) % x0 $ 0‬‬
‫אנחנו רואים שהצבה זאת מקיימת את המשוואה המקורית‪.‬‬
‫מה המוטיבציה לשימוש בדרך זו? במצב הזה אנחנו נקבל כי פתרון ה‪ ZSR‬הינו ליניארי כעת‪ ,‬ולכן‬
‫נוכל להשתמש בכל התכונות‪ ,‬ובעיקר בסופר פוזיציה‪.‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫נתון המעגל הבא‪:‬‬
‫א‪ .‬יש למצוא את מתח הקבל עבור ‪. t ! 0‬‬
‫ב‪ .‬כעת ‪ , vs " t # $ cos " t # u " t #‬מה המתח על הקבל עבור ‪? t ! 0‬‬
‫פתרון‬
‫א‪ .‬נחלק את הבעייה לפתרון ‪ ZIR‬ופתרון ‪.ZSR‬‬
‫‪ – ZIR‬תגובה זאת היא תגובת המעגל כאשר אין כניסה )מקורות(‪ ,‬ולכן נרצה לשתק מקורות‪.‬‬
‫שיתוק מקור זרם – נתק‪.‬‬
‫שיתוק מקור מתח – קצר‪.‬‬
‫נרשום את משוואת המעגל ונפתור ‪:‬‬
‫‪& iR $ ic‬‬
‫' ‪& C $1‬‬
‫‪v‬‬
‫(‬
‫‪%t‬‬
‫‪) % c $ Cvvc ) +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪, ) vc $ a * e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪$‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪$‬‬
‫‪%‬‬
‫‪R‬‬
‫(‬
‫‪c‬‬
‫‪- eq .‬‬
‫‪- r‬‬
‫נציב תנאי התחלה ונמצא את הפתרון עבור ‪: t ! 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪vc (0) $ vc " 0# $ a * e $ a $ 3 ) vcZIR (t ) $ 3e%t‬‬
‫‪:ZSR‬‬
‫במקרה זה נשתמש בכך שפתרון ‪ ZSR‬הינו לינארי‪ ,‬ולכן נבצע כאן סופר פוזציה‪ ,‬ראשית נמצא את‬
‫הפתרון שתורם מקור המתח )מקור זרם מנותק(‪ .‬במקרה זה המעגל יהיה ‪:‬‬
‫נרשום את המשוואות‪:‬‬
‫&‬
‫( ‪i "t # u "t #‬‬
‫‪i "t # u "t #‬‬
‫&‬
‫‪&v / v $ sin‬‬
‫‪( iR $ ic $ C * vc‬‬
‫‪( RC * vc / vc $ sin‬‬
‫‪)+‬‬
‫‪$ + c c‬‬
‫‪+‬‬
‫ ) ‪v / v $ vs (t‬‬‫‪vc " 0 # $ 0‬‬
‫‪vc " 0 # $ 0‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‬‫(‬
‫‪- R c‬‬
‫נפריד את הפתרון לפרטי והומוגני על מנת לפתור)עבור ‪: (t>0‬‬
‫‪vcP / vcP $ sin " t #‬‬
‫מכיוון שזוהי פונקציה סינוסדיאלית נניח כי הפתרון הוא גם סכום של פונקציות סיסנוסיאליות‪,‬‬
‫לכן נניח כי ‪ , vcP $ A sin " t # / B cos " t #‬נציב ונקבל כי‪:‬‬
‫‪" A cos "t # % B sin "t ## / A sin "t # / B cos "t # $ cos(t )( A / B) / " A % B # sin "t # $ sin "t #‬‬
‫נבצע השוואת מקדמים ונקבל כי‪:‬‬
‫‪& A / B $ 0 & A $ 0.5‬‬
‫‪)+‬‬
‫‪) VcP $ 0.5sin " t # % 0.5cos " t #‬‬
‫‪+‬‬
‫‪%‬‬
‫‪$‬‬
‫‪$‬‬
‫‪%‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫פתרון הומוגני יהיה בדיוק כמו בפתרון ה‪ ZIR‬ונקבל כי ‪:‬‬
‫‪vcH ! t " $ Ae#t‬‬
‫מכאן נקבל כי סך הכל הפתרון מתרומת מקור המתח ‪:‬‬
‫‪#t‬‬
‫‪vC ! t " $ 0.5sin ! t " # 0.5cos ! t " % Ae‬‬
‫נמצא את ‪ A‬בעזרת תנאי ההתחלה של ה‪:ZSR‬‬
‫‪vC ! 0 " $ 0.5sin ! 0 " # 0.5cos ! 0 " % Ae $ A # 0.5 $ 0 & A $ 0.5‬‬
‫‪#0‬‬
‫ונקבל כי סך תרומת מקור המתח ל " ‪ vc ! t‬יהיה‪:‬‬
‫‪vC ! t " $ 0.5sin ! t " # 0.5cos ! t " % 0.5e#t‬‬
‫עבור מקור הזרם נקצר את מקור המתח ונקבל את המעגל ‪:‬‬
‫זאת בעיה דומה מאוד לקודמת‪ ,‬נרשום את סט המשוואות )יש לשים לב לקוטביות אותה הגדרנו‬
‫בסופר‪-‬פוזיציה הראשונה!(‪:‬‬
‫'‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫'‬
‫'‬
‫" ‪R ( vc % vc $ # e#22tt u ! t " )vc % vc $ # e #2t u ! t‬‬
‫‪) iR $ ic $ C ( vc‬‬
‫‪) RC‬‬
‫* ‪$‬‬
‫*&‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫(‬
‫)‬
‫‪v‬‬
‫‪%‬‬
‫‪v‬‬
‫‪$‬‬
‫‪#‬‬
‫‪R‬‬
‫‪i‬‬
‫‪t‬‬
‫‪s s‬‬
‫‪) R c‬‬
‫)‬
‫)‬
‫‪v‬‬
‫‪$‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫" !‪c‬‬
‫‪c! "$0‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫גם במקרה הזה נפרק לפתרון פרטי והומוגני עבור ‪. t>0‬‬
‫עבור הפתרון הפרטי אנו יודעים כי הנגזרת של אקספוננט הינו אותו אקספוננט כפול החזקה שלו‪,‬‬
‫לכן נניח פתרון פרטי מהצורה ‪ , vcP $ Ae#2t‬נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪#2 Ae#2t % Ae#2t $ # Ae#2t $ # e#2t & A $ & VcP $ e#2t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עבור פתרון הומוגני נקבל את אותו פתרון כמו מקודם ונקבל כי ‪:‬‬
‫‪vcH $ b ( e#t‬‬
‫נמצא את הפתרון המלא שתורם מקור הזרם‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪vc ! t " $ e#2t % be#t & vc ! 0 " $ % b $ 0 & b $ #‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪#2 t‬‬
‫‪#t‬‬
‫" ‪vc ! t " $ 1.5 ! e # e‬‬
‫נקבל לבסוף כי פתרון ה ‪ SZR‬יהיה‪:‬‬
‫‪#t‬‬
‫‪" % 0.5sin !t " # 0.5cos !t " % 0.5e‬‬
‫‪#t‬‬
‫‪#e‬‬
‫‪#2t‬‬
‫‪VZSR $ 1.5 ! e‬‬
‫וסך הכל הפתרון יהיה ‪:‬‬
‫‪Vc ! t " $ VZSR ! t " % VZIR ! t " $ 1.5 ! e#2t # e#t " % 0.5sin ! t " # 0.5cos ! t " % 0.5e#t % 3e#5‬‬
‫ב‪ .‬לצורך פתרון סעיף ב' נשתמש בתכונה חשובה של מערכות ‪.LTI‬‬
‫כאשר קיימת מערכת ‪ D‬ליניארית וקבועה בזמן המקיימת ‪:‬‬
‫‪y ! t " $ D )+ x ! t " *,‬‬
‫) ‪y (t‬‬
‫‪D‬‬
‫) ‪x(t‬‬
‫נוכל להשתמש בכך שעבור כל אופרטור ליניארי ‪ f‬מתקיים ‪:‬‬
‫‪f ! y ! t " " $ D )+ f ! x ! t " "*,‬‬
‫‪f - y(t ).‬‬
‫‪D‬‬
‫‪f - x(t ).‬‬
‫כלומר אם אנו יודעים את תגובת המערכת עבור כניסה מסוימת‪ ,‬נוכל לדעת את המוצא עבור כל‬
‫כניסה שהינה הפעלת אופרטור ליניארי )הזזה‪ ,‬אינטגרציה‪ ,‬נגזרת וכו'( על הכניסה על ידי הפעלת‬
‫אותו אופרטור על המוצא‪.‬‬
‫המשך פתרון‬
‫השינוי משפיע אך ורק על פתרון ה‪ ,ZSR‬בנוסף נשים לב כי‪:‬‬
‫" " ‪dvsOLD d ! sin ! t " u ! t‬‬
‫‪$‬‬
‫‪$ cos ! t " % u ! t " & sin ! t " # ! t " $ vsNew & sin ! 0 " # ! t " $ vsNew‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫כפי שניתן לראות‪ ,‬לאחר שהפעלנו את אופרטור הגזירה על המקור הקודם למעשה קיבלנו את‬
‫המקור החדש‪ ,‬ולכן על ידי הפעלת אותו אופרטור על המוצא נקבל את תגובת ה‪ ZSR‬המתאימה‪:‬‬
‫‪0.5sin ! t " ' 0.5cos ! t " & 0.5e‬‬
‫‪dvs1‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪( vcnew $ c1 $‬‬
‫‪$ 0.5cos ! t " & 0.5sin ! t " ' 0.5e't‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪'t‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫נתון המעגל הבא‪:‬‬
‫? ‪es $ # ! t " , vc ! 0' " $ 2V , vc (t ) $‬‬
‫‪vnew $‬‬