Ecuaţia de gradul doi

http://variante-mate.ro
at
e.
ro
Formule de algebră
Ecuaţia ax  bx  c  0 .Se calculează   b  4ac
 Dacă   0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula
2
2
x1 , x2 
b  
2a
  0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula
b
x1  x2  
2a
 Dacă   0 atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula
Dacă
x1 , x2 
2
 ax  bx  c  a ( x  x1 )( x  x2 )
-m

b  i 
2a
ria
nt
e
 Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi ax 2  bx  c  0 :
b

S

x

x


1
2

a

 P  x1  x2  c

a
 Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi:
x12  x22  S 2  2 P
x13  x23  S 3  3SP
f : R R
va
Funcţia de gradul doi
f ( x )  ax 2  bx  c
://
 
 b
Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul V   ,   .
 2a 4a 

4a


4a
Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este f min  
tp
Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este f max
Progresii aritmetice
Formula termenului general:
ht

an  a1  (n  1)  r

http://variante-mate.ro
n(a1  an )
2
Sn 

at
e.
ro
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este:
Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:
ac
b
2
Progresii geometrice

Formula termenului general:
bn  b1  q n 1

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:
-m
b1 ( q n  1)
Sn 
q 1

Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:
Numere complexe
ria
nt
e
b2  a  c
z  a  bi este forma algebrică a unui număr complex
z  r  cos  i sin   este forma trigonometrică a unui număr complex unde:

r  a2  b2 este modulul numărului complex

  [0,2 ) este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţia tg 
i 2  1
a  bi  a 2  b2
z  a  bi
va
Formula lui Moivre
 cos  i sin  
n
b
a
  cos n  i sin n 
Elemente de combinatorică
://
n !  1  2  3  ....  n
Pn  n !
n!
Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.
( n  k )!
n!
Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.
Cnk 
k !( n  k )!
ht
tp
Ank 
Binomul lui Newton:
http://variante-mate.ro
Formula termenului general din binomul lui Newton este Tk 1  Cn a
k
Formule cu logaritmi
log a b există dacă a  0, a  1, b  0
log a b  c  a c  b
at
e.
ro
( a  b) n  Cn0a n  Cn1a n 1b  Cn2a n 2b 2  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
n k
bk
Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm
log a 1  0
log a a  1
-m
ln1  0
ln e  1
ria
nt
e
lg1  0
lg10  1
log a A  log a B  log a ( A  B )
 A
log a A  log a B  log a  
B
log a An  n  log a A
log a b 
log c b
log c a
log a b 
1
log b a
va
Probabilitatea unui eveniment
Se calculează cu formula:
P( E ) 
nr. cazuri favorabile
nr. total cazuri posibile
://
Legi de compoziţie
Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.
Legea * este asociativă dacă
tp

x, y, z  M
x y  yx
x, y  M
Legea * este comutativă dacă
Legea * are element neutru e dacă
x e  e  x  x
x  M
Un element x  M se numeşte simetrizabil dacă x M astfel incât x  x  x  x  e
ht



 x  y  z  x  y  z
http://variante-mate.ro
Dacă ax 3  bx 2  cx  d  0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 atunci avem:
b

 x1  x2  x3   a

c

 x1  x2  x1  x3  x2  x3 
a

d

 x1  x2  x3   a
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul patru
at
e.
ro
Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul trei
ht
tp
://
va
ria
nt
e
b

 x1  x2  x3  x4   a

x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  c
2
3
2
4
3
4
 1 2 1 3 1 4
a

 x1  x2  x3  x1  x2  x4  x1  x3  x4  x2  x3  x4   d

a

e
 x1  x2  x3  x4 
a

-m
Dacă ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0 are rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 atunci avem: