Toshkent axborot tehnologiyalari universiteti Farg’ona filiali Masofaviy ta’lim Kompyuter injinering 810-22 gurux talabasi Yunusov Rasuljon “Aniq integralning tatbiqlari” mavzusida tayyorlagan mustaqil ishi Bajardi: Yunusov Rasuljon Qabul qildi: A. Shokirov Aniq integralning tatbiqlari Reja: 1. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari. 2. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash. 3. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. 4. Aylanma jism hajmini hisoblash. 5. Aniq integralning iqtisodiyotga tatbiqlari. 6. Xulosa. 1.Kattaligi o’zgaruvchan va 𝑓(𝑥) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani [𝑎, 𝑏] kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan 𝐴 ish 𝑏 𝐴=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 formula bilan hisoblanadi. Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning [𝑎, 𝑏] vaqt oralig’ida bosib o’tgan 𝑆 masofasi 𝑆 = 𝑣(𝑏 − 𝑎) formula bilan hisoblanadi. Tezligi har bir 𝑡 vaqtda o’zgaruvchan va 𝑣 = 𝑣(𝑡) funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning [𝑎, 𝑏] vaqt oralig’ida bosib o’tgan 𝑠 masofasi 𝑏 𝑆=∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 𝑎 formula bilan aniqlanadi. Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda 𝑚 massaga ega bo’lgan 𝐴 moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror 𝑙 o’qqacha ( yoki 𝑂 nuqtagacha) bo’lgan masofa 𝑟 ga teng bo’lsin. U holda 𝐽 = 𝑚𝑟 2 miqdor 𝐴 moddiy nuqtaning 𝑙 o’qga (𝑂 nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi. Masalan, tekislikdagi 𝑚 massaga ega bo’lgan 𝐴 = 𝐴(𝑥, 𝑦) moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda 𝐽𝑥 = 𝑚𝑥 2 , 𝐽𝑦 = 𝑚𝑦 2 , 𝐽0 = 𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 ) formulalar orqali hisoblanadi. Masalan, tekislikda har biri mos ravishda 𝑚0 , 𝑚1, … , 𝑚𝑛−1 massaga ega bo’lgan 𝐴0 (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝐴1 (𝑥1 , 𝑦1 ), …, 𝐴𝑛−1 (𝑥𝑛−1 , 𝑦𝑛−1 ) moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda 𝑛−1 (𝑛) 𝐽𝑥 =∑ 𝑛−1 𝑚𝑘 𝑥𝑘2 , (𝑛) 𝐽𝑦 𝑘=𝑜 formulalar orqali ifodalanadi. =∑ 𝑘=𝑜 𝑛−1 (𝑛) 𝑚𝑘 𝑦𝑘2 , 𝐽0 =∑ 𝑘=𝑜 𝑚𝑘 (𝑥𝑘2 +𝑦𝑘2 ) Biror 𝑦 = 𝑓(𝑥) egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari 𝑏 𝐽𝑥 = ∫ 𝑏 𝑥 2 √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥, 𝐽𝑦 = ∫ 𝑎 𝑓 2 (𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 (𝑥 2 + 𝑓 2 (𝑥))√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝐽0 = ∫ 𝑎 formulalar orqali ifodalanadi. 𝑂𝑥𝑦 tekislikda massalari 𝑚1 , 𝑚2 , . . , 𝑚𝑛 bo’lgan 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ), … , 𝑃𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, 𝑥𝑖 𝑚𝑖 va 𝑦𝑖 𝑚𝑖 ko’paytmalar 𝑚𝑖 massaning 𝑜𝑥 va 𝑜𝑦 o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi. Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini 𝑥𝑐 va 𝑦𝑐 lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan 𝑥1 𝑚1 + 𝑥2 𝑚2 + … + 𝑥𝑛 𝑚𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑐 = = 𝑛 ∑𝑖=1 𝑚1 + 𝑚2 + … + 𝑚𝑛 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑦1 𝑚1 + 𝑦2 𝑚2 + … + 𝑦𝑛 𝑚𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑚𝑖 𝑦𝑐 = = 𝑛 ∑𝑖=1 𝑚𝑖 𝑚1 + 𝑚2 + … + 𝑚𝑛 formulalarni yozishimiz mumkin. 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) tenglama bilan berilgan 𝐴𝐵 egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi : 𝑏 𝑥𝑐 = 𝑏 ∫𝑎 𝑏 𝑦𝑐 = 𝑥 𝑑𝑠 ∫𝑎 ∫𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑑𝑠 𝑓(𝑥) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑏 = 𝑥√1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑏 √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑏 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥 ∫𝑎 = ∫𝑎 𝑏 ∫𝑎 √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑓1 (𝑥), 𝑦 = 𝑓2 (𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari 𝑏 𝑥𝑐 = ∫𝑎 𝑏 ∫𝑎 formulalardan topiladi. 2. 3. 𝑥[𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥)]𝑑𝑥 [𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥)]𝑑𝑥 , 1 𝑏 ∫𝑎 𝑦𝑐 = 2 𝑏 ∫𝑎 [𝑓22 (𝑥) − 𝑓12 (𝑥) ]𝑑𝑥 [𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥)]𝑑𝑥 4. 5. 6. Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki aniq integral hayotimizning deyarli barcha jabhalarini qamrab olgan. Jumladan texnikada juda keng qo’llaniladi. Shuningdek iqtisodiy masalalarni yechishda ham keng foydalaniladi. Aniq Integral yordamida fizik masalalar ham juda oson hal etiladi. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Oliy matematika YO. Soatov 2. Oliy matematika 3-jild Yo. Soatov