1.Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema.
Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo’lsin.Sistemaning
ixtiyoriy M k nuqtasiga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning
e
i
teng ta’sir etuvchilari mos ravishda Fk , Fk bo’lsin. U holda sistema nuqtalari
harakatining differensial tenglamalari quyidagicha yoziladi:



e
i
d
mk k  F k  F k , k  1, N
dt

(21.14) tenglamalar sustemasini qo’shamiz:
e
i
d
mk k   F k   F k

dt
Bunda
m 
k
k
K
-sistemaning harakat
miqdori ;  F
e
k
R
e
-tashqi kuchlarning
bosh vektiri.Ichki kuchlarning xossasiga ko’ra
F
i
k
0
Natijada (21.15)ni quyidagicha yozish mumkin :
e
dK
R
dt
(21.16) tenglama sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremani
ifodalaydi:sistema
harakat
miqdorining vaqt bo’yicha birinchi
hosilasi
sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlarning bosh vektoriga teng.
(21.16) ni
Dekart koordinatalar o’qlariga proeksiyalab , sistema harakat
miqdorining o’zgarishi haqidagi teoremani skalyar ko’rinishda yozamiz:
dK x
 Rxe
dt
dK y
dt
 Rye
(21.17)
dK z
 Rze
dt
Ya’ni,sistema harakat miqdorining biror
o’qdagi proeksiyasidan
vaqt
bo’yicha olingan hosila sistemaga ta’sir etuvchi kuchlar bosh vektorining
mazkur o’qdagi proeksiyasiga teng.
Sistema harakat midorining chekli
vaqt ichida o’zgarishini aniqlash
uchun (21.16) ni dt ga ko’paytirib integrallaymiz:
i
K  K 0   R dt
e
0
yoki
(21.18)
K  K0  S
Bunda
K0
bilan
t 0
e
boshlang’ich
paytdagi ,
bilan ixtiyoriy
K
t
t
vaqtdagi sistemasning harakat miqdori belgilangan : S   R dt  t vaqt ichida
e
e
0
sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining impulsi.
(21.18) ifoda Chekli vaqt ichida sistema harakat miqdorining o’zgarishi
haqidagi teoremani ifodalaydi : sistema harakat miqdorining chekli vaqt ichida
o’zgarishi sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar bosh vektorining shu vaqt
ichidagi impulsiga teng.
(21.18) ni Dekart koordinatalar o’qlariga proeksiyalab quyidagini yozamiz:
K x  K 0 x  S xe
K y  K0 y  S ye
(21.19)
K z  K 0 z  S ze ,
,
,
Sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi teorema bilan sistema
massalar markazining
harakati haqidagi teoremalar
orasidagi munosabatni
aniqlaymiz.
e
d
( M c )  R
dt
yoki
M wc  R
Bu
munosabat
sistema
massalar
e
markzi
harakati
haqidagi teoremani
ifodalashi bizga ma’lum.
Shunday qilib, umuman olganda ,
sistema massalar
markazining
harakati haqidagi teorema va sistema harakat miqdorining o’zgarishi haqidagi
teorema bitta teoremaning ikki xil ko’rinishini ifodalaydi.
2.Sistema kinetic momentning o’zgarishi haqidagi teorema.
Mexanik sistema N ta nuqtadan tashkil topgan bo’lsin. Sistemaning biror
ixtiyoriy M k nuqtasini olib ,unga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar hamda ichki
kuchlar teng ta’sir etuvchilari mos ravishda
e
i
Fk,Fk
bilan belgilaymiz.
Moddiy nuqta uchun chiqarilgan harakat miqdori momentining o’zgarishi
haqidagi teoremani
mexanik sistemaning har bir nuqtasi uchun
qo’llab
quyidagiga ega bo’amiz:
 
 
e
i
dl ok
 M 0 F k  M 0 F k ,  k  1, 2,..., N  ,
dt
Bu yerda
l 0k  r  mk k - nuqta harakat miqdorining O
momenti.Bu ifodalarni qo’shamiz:
 
 
e
i
d
M 0 Fk  M 0 Fk

dt
Ichki kuchlarning xossasiga ko’ra
markaziga nisbatan
M
0
F   0
i
k
U holda
 
e
d L0
 M 0 Fk
dt
yoki
(21.48)
e
d L0
 M 0,
dt
 
Bu yerda M 0   M 0 F k   rk  F k - sustema nuqtalariga ta’sir etuvchi tashqi
e
e
e
O
kuchlarning O markazga nisbatan bosh momenti.
(21.48) ifoda sistema
teoremani
ifodalaydi:
kinetic
momentining
mexanik sistemaning
biror
o’zgarishi
qo’zg’almas
haqidagi
markazga
nisbatan kinetik momentning vaqt bo’yicha hosilasi sistema nuqtalariga ta’sir
etuvchi tashqi kuchlarning shu markazga nisbatan bosh momentiga teng.
(21.48) ifodaning har ikkala tomonini x, y, z o’qlariga proeksiyalaymiz:
 
e
dLx
 Mx Fk
dt
dLy
dt
 
 My Fk
e
 
e
dLz
 Mz Fk
dt
Demak, mexanik
sistema biror qo’zg’almas o’qqa nisbatan
kinetik
momentidan vaqt bo’yicha olingan hosila sistema nuqtalariga ta’sir etuvchi
tashqi kuchlarning shu o’qqa nisbatan momentlarining yig’indisiga teng.
Sitema kinetik momentining o’zgarishi haqidagi teoremadan qattiq jismning
aylanma harakatini o’rganishda, giroskoplar nazariyasida keng foydalaniladi.
Bu
teoremaning
afzalligi
shundaki,
sistema
o’zgarishiga oid teoremadagidek,oldindan noma’lum
harakat
miqdorining
bolgan ichki kuchlar
qatnashmaydi.
3.Sistema kinetic energiyasining o’zgarishi haqidagi teorema.
Mexanik
sistema
N
ta moddiy
nuqtalardan
tashkil
topgan
bo’lsin.Sistemaning har bir nuqtasiga aktiv kuchlardan tashqari , bog’lanish
reaksiya kuchlarini ham qo’yamiz va sistema nuqtalariga qo’yilgan kuchlarni
ichki va tashqi kuchlardan iborat ikki guruhga ajratamiz.Sistemaning M k
nuqtasiga ta’sir etayotgan tashqi kuchlar hamda ichki kuchlarning teng ta’sir
e
i
e
i
etuvchilari mos ravishda F k , F k bo’lsin. U holda har bir nuqtasini F k va F k
kuchlar ta’sirida erkin nuqta deb qarash mumkin.Sistemaning har bir nuqtasi
kinetik energiyasining o’zgarishi haqidagi teoremaning differensialli ifodasi
quyidagicha yoziladi:
 mk k2 
e
i
d
  dAk  dAk ,
 2 
 k  1, 2,..., N  ,
Adabiyotlar
1. Deformasiyalanuvchi muhit kinematikasi. Ma’ruzalar matni. Xudoynazarov X.,
Amirqulova F. – Samarqand: SamDU nashri, 2003.
2. Механика сплошной среды. Седов Л.И. - М.: Наука, 1973 г. В 2-х томах.
3. «Механика сплошной среды в примерах и задачах». Учебное пособие.
У.Г.У. Свердловск, 1979 г.
4. Тензорное исчисление. М.А.Акивес, В.В. Гольдберг. -М.:Изд. Наука.1972.
5. Задачи и упражнения по механики сплошной среды. Ильюшин А.А.,
Ломакин В.А., Шмаков А.П. - М. : Изд. МГУ, 1973 г.
6. Туташ муҳитлар механикаси элементлари. Голубева О., Ҳамидов А.А.,
Шахайдарова П. - Тошкент: ЎзМУ нашри, 1998.