Corrigé du Devoir sur table
Lundi 11 janvier 2021
Premières 1-2-6-7-9-10
Spé ialité Mathématiques
(6 points)
Exer i e 1
Partie A
1. Arbre pondéré :
3.
T
0, 3
T
0, 1
T
0, 9
T
M
0, 2
0, 8
2.
0, 7
M
M et M̄ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, on a :
P (T ) = P (T ∩ M ) + P (T ∩ M̄ ) = P (M ) × PM (T ) + P (M̄ ) × PM̄ (T ) = 0, 2 × 0, 7 + 0, 8 × 0, 1 = 0, 22.
Ainsi P (T ) = 0, 22.
P (T ∩ M )
0, 2 × 0, 7
PT (M ) =
=
≈ 0, 636.
P (T )
0, 22
La probabilité que l'animal soit malade sa hant que son test est positif est d'environ 0,636.
Partie B
1. On a : PT (M ) = P (TP (T∩ )M ) = xP×(T0,)7 . On al ule P (T ) ave la formule des probabilités totales :
2.
P (T ) = P (T ∩ M ) + P (T ∩ M̄ ) = P (M ) × PM (T ) + P (M̄ ) × PM̄ (T ) = 0, 7 × x + 0, 1 × (1 − x) = 0, 6x + 0, 1.
Ainsi PM (T ) = 0,x6x×+0,0,7 1 .
Ainsi, en multipliant par 10 le numérateur et le dénominateur, on peut on lure que la probabilité que l'animal
7x
soit malade sa hant que son test est positif est 6x + 1.
7x
On onsidère la fon tion f , dénie sur [0 ; 1], par f (x) = 6x + 1.
a) Sur [0 ; 1], on a :
7x
− 0, 9 > 0
f (x) > 0, 9 ⇐⇒
6x + 1
7x − 0, 9(6x + 1)
⇐⇒
>0
6x + 1
1, 6x − 0, 9
⇐⇒
>0
6x + 1
• Sur [0 ; 1], 6x + 1 > 0.
• x 7−→ 1, 6x − 0, 9 est une fon tion ane dont le oe ient de x est positif (1, 6).
1, 6x − 0, 9 = 0 ⇐⇒ x = 0, 5625
Ainsi, sur [0 ; 0, 5625], 1, 6x − 0, 9 6 0 et sur [0, 5625 ; 1], 1, 6x − 0, 9 > 0.
On en déduit le tableau de signes suivant :
x
9
16
0
1, 6x − 0, 9
−
6x + 1
+
1, 6x − 0, 9
6x + 1
−
0
1
+
+
0
+
Ainsi l'ensemble solution est [0, 5625 ; 1] ou
"
#
9
;1 .
16
9
b) Lorsque la proportion d'animaux malades dans le heptel est supérieure ou égale à 16, la probabilité que
l'animal soit malade sa hant que son test est positif est d'au moins 0, 9.
(5 points)
1. 0, 61 × 1 000 + 3, 6 = 613, 6. La température du four après une heure de refroidissement est 613, 6C.
2. Tn+1 = 0, 61Tn + 3, 6.
3. 0, 61 × 613, 6 + 3, 6 = 377, 896
Exer i e 2
0, 61 × 377, 896 + 3, 6 = 234, 11656
0, 61 × 234, 11656 + 3, 6 ≈ 146
La température du four après 4 heures de refroidissement est d'environ 146C.
4. a) Le nom de la fon tion est froid.
b) La fon tion temperature est appelée à la ligne 3.
) La bou le while se termine lorsque la température en degré el ius du four est stri tement inférieure à
70C.
n
0
1
2
3
4
5
6
5. a)
temperature(n)
1000
613, 6
377, 90 234, 12 146, 41
92, 91
60, 28
temperature(n)>= 70
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Vrai
Faux
b) Le four peut être ouvert sans risque pour les éramiques au bout de 6 heures.
(2,5 points)
Exer i e 3
1.
2.
3.
4.
5.
Réponse a
Réponse b
Réponse b
Réponse b
Réponse a
(6,5 points)
Exer i e 4
1. Soit f la fon tion dénie sur [0; +∞[ par f (x) = −x + 10x + 1.
f (x) = ax2 + bx + c ave a = −1, b = 10 et c = 1 don f est une fon tion polynme du se ond degré.
b
− = 5 et a < 0 don f est roissante sur [0; 5] et dé roissante sur [5; +∞[.
2a
On a wn = f (n) don (wn ) est dé roissante à partir du rang 5.
2
2. On onsidère la suite (un ) dénie par
a) Sur R\{−2}, on a :
1, 5n
un =
n+1
pour tout n ∈ N.
3x + 3 − 2x − 4
3x + 3
> 1 ⇐⇒
>0
2x + 4
2x + 4
x−1
⇐⇒
>0
2x + 4
• x 7−→ x − 1 et x 7−→ 2x + 4 sont deux fon tions
• x − 1 = 0 ⇐⇒ x = 1 et 2x + 4 = 0 ⇐⇒ x = −2
anes dont le oe ient de x est positif .
On en déduit le tableau de signes suivant :
x
−∞
−2
x−1
−
2x + 4
−
x−1
2x + 4
+
−
0
+∞
1
0
+
−
+
+
0
+
Ainsi l'ensemble solution est ] − ∞; −2[∪[1; +∞[.
b)
)
n∈N
1, 5n
>0
n+1
don
Soit n ∈ N. n+1
soit un > 0.
un+1 1, 5
1, 5n
1, 5n × 1, 5 n + 1 1, 5(n + 1) 1, 5(n + 1) × 2 3n + 3
.
÷
=
×
=
=
=
=
un
n+2
n+1
n+2
1, 5n
n+2
(n + 2) × 2
2n + 4
3n + 3
u
Don un+1 = 2n + 4
n
u
Pour tout n ∈ N on a un > 0 et, d'après la question pré édente, si n > 1 alors un+1 > 1.
n
roissante à partir du rang 1.
Don
(un )
est
n2 + 1
vn =
.
n−1
3. Soit (vn ) la suite dénie par
a) • Commençons par étudier le signe du trinme x2 − x − 2.
1−3
= −1
∆ = 1 − 4 × 1 × (−2) = 9. ∆ > 0 don le trinme admet 2 ra ines réelles distin tes : x1 =
2
1+3
et x2 = 2 = 2. Le signe du oe ient de x2 est positif don x2 − x − 2 > 0 sur ] − ∞; −1[∪]2; +∞[
et x2 − x − 2 < 0 sur ] − 1; 2[.
• Etudions maintenant le signe du trinme x(x − 1). Il admet 2 ra ines réelles distin tes 0 et 1. Le
oe ient de x2 est positif don x(x − 1) > 0 sur ] − ∞; 0[∪]1; +∞[ et x(x − 1) < 0 sur ]0; 1[.
On en déduit le signe de A dans le tableau de signes qui suit.
x
−∞
−1
x2 − x − 2
+
x(x − 1)
+
x2 − x − 2
x(x − 1)
+
0
0
−
+
0
−
1
−
0
−
+
−
0
+∞
2
0
+
−
+
+
0
+
b) (vn ) est dénie à partir du rang 2.
) Soit n un entier stri tement supérieur à 1.
(n + 1)2 + 1 n2 + 1 (n2 + 2n + 2)(n − 1) − (n2 + 1)n
−
=
n
n−1
n(n − 1
n3 + 2n2 + 2n − n2 − 2n − 2 − n3 − n
Soit : vn+1 − vn =
n(n − 1)
n2 − n − 2
Don vn+1 − vn = n(n − 1) .
La question a permet d'armer que lorsque n > 2, on a vn+1 − vn > 0 don (vn )
vn+1 − vn =
d)
rang 2.
est roissante à partir du