GEOMETRI Modul I Geometri - KB 2. Geometri Ruang MATERI INFO EXIT PETUNJUK PEMAKAIAN Bentuk gambar MATERI EXIT Kegunaan Memulai pembelajaran (berisi : pembelajaran) : Mengakhiri pembelajaran : Menuju ke peta konsep : Kembali ke materi sebelumnya : Masuk ke materi setelahnya. materi Konsep persekutuan antar objek dalam ruang 1. Persekutuan antara 2 bidang Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Apakah AB termuat pada lebih dari satu bidang? Jawab: Ya, yaitu bidang ABFE dan bidang ABCD. Dengan demikian, π΄π΅ ∈ π΄π΅πΆπ· dan π΄π΅ ∈ π΄π΅πΉπΈ . Kodisi tersebut mengakibatkan: π΄π΅ ∈ (π΄π΅πΆπ·, π΄π΅πΉπΈ). Artinya garis AB merupakan garis persekutuan antara dua bidang ABFE dan ABCD. Hal inilah yang mendasari sifat rusuk, bahwa rusuk merupakan persekutuan dari 2 bidang. Suatu garis π merupakan persekutuan dari dua bidang U dan V jika π terletak pada bidang U dan π terletak pada bidang V, ditulis, π ∈ π ∧ π ∈ π βΉ π ∈ (π, π) Konsep persekutuan antar objek dalam ruang 2. Persekutuan antara 2 garis Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Apakah titik A termuat pada lebih dari satu garis? Jawab: Ya, titik A terletak pada garis AB dan AD. Dengan demikian, titik A merupakan titik persekutuan antara 2 garis, disebut dengan titik potong. Akibatnya kedua garis AB dan AD terletak pada satu bidang, yaitu bidang ABCD. Pada bagian sebelumnya disebutkan bahwa A merupakan titik sudut kubus. lanjutan Konsep persekutuan antar objek dalam ruang Perhatikan bahwa garis AD merupakan persekutuan dari 2 bidang ABCD dan ADHE, dan garis AB merupakan persekutuan antara 2 bidang ABCD dan ABFE. Hal ini membangun silogisma bahwa titik A merupakan persekutuan dari 3 bidang ABFE, ABCD, dan ADHE. Hal inilah yang mendasari sifat dari titik sudut, bahwa sebuah titik sudut merupakan persekutuan dari 3 bidang. Konsep persekutuan antar objek dalam ruang 3. Persekutuan antara garis dan bidang Melukis titik tembus garis pada bidang Pada kondisi suatu garis tidak sejajar dengan suatu bidang, maka garis tersebut memotong bidang tersebut. atau yang lebih sering dikatakan bahwa garis menembus bidang. Titik tembus antara garis dan bidang tersebut meruakan titik persekutuan antara garis an bidang. Konsep persekutuan antar objek dalam ruang • Perhatikan gambar berikut. garis π merupakan garis yang tidak terletak pada bidang π, dimana π menembus bidang π. Melukis titik tembus antara garis π dan bidang π dengan cara sebagai berikut: 1. Lukis bidang pertolongan πmelalui π 2. Lukis garis potong (π,π) (dicari dua titik persekutuan antara π dan π). 3. Titik potong antara π dan (π,π), yaitu titik π , merupakan titik tembus yang dicari. Kesejajaran Pada uraian aturan tentang 1. 2. 3. kesejajaran, akan dipelajari 3 hal, yakni: aturandua garis sejajar; garis sejajar bidang; dan dua bidang sejajar. Kesejajaran 1. Dua garis Sejajar Berikut ini adalah teorema-teorema yang berkait dengan dua garis sejajar. Teorema 7. Jika a β₯ b dan b β₯ c maka a β₯ c Teorema 8. Jika (a β₯ x + memotong l), dan (b β₯ x + memotong l), dan (c β₯ x + memotong l) maka a, b, c dan l pada satu bidang. Teorema 9.Jika (a β₯ b) dan b menembus V maka a menembus V Gambar visual teorema 7 Gambar visual teorema 8 Gambar visual teorema 9 Kesejajaran 2. Garis sejajar bidang Selanjutnya berikut ini adalah aturan tentang kesejajaran antara garis dan bidang. Teorema 10. Jika π β₯ π dan b pada V maka π β₯ π Teorema 11. Jika π β₯ π dan π β₯ π maka (U,V) β₯ a Gambar visual teorema 10 Gambar visual teorema 11 Kesejajaran 3. Dua bidang sejajar Teorema 12. Jika (a β₯ c dan b β₯ d), a dan b berpotongan, c dan d berpotongan maka bidang (a,b) β₯ bidang (c,d). Jika (π, π) βΆ= π dan (π, π) βΆ= π , maka U β₯ V Teorema 13. Jika U β₯ V, ada ο‘ memotong U dan V, maka (ο‘,U) β₯ (ο‘,V) Teorema 14. ο‘ memotong U dan U β₯ V, maka ο‘ memotong V Gambar visual teorema 12 Gambar visual teorema 13 Teorema 15. Jika ο‘ β₯ U dan U β₯ V, maka ο‘ β₯ V Teorema 16. Jika U β₯ ο‘ dan V β₯ ο’, maka (U,V) β₯ (ο‘,ο’) Gambar visual teorema 14 Ketegaklurusan Ada tiga hal yang dikaji pada uraian ketegaklurusan, yaitu: 1. Dua garis tegak lurus; 2. Garis tegak lurus bidang; dan 3. Dua bidang yang saling tegak lurus. Pada dasarnya tegak lurus artinya memiliki ukuran sudut 90o. Jarak dalam Ruang Dalam geometri jarak berarti panjang ruas garis terpendek antara dua objek geometri. Berdasarkan kedudukan objek dalam ruang, kajian dalam jarak dalam ruang terdiri atas: (a) Jarak antara 2 titik dalam ruang; (b) Jarak antara titik dan garis; (c) Jarak antara titik dan bidang; (d) Jarak antara 2 garis sejajar; (e) Jarak antara garis dan bidang; (f) Jarak antara 2 bidang sejajar; dan (g) Jarak antara 2 garis bersilangan. Sudut dalam Ruang Mengkaji sudut dalam ruang artinya akan ada 3 hal yang dipelajari, yaitu: (a) Sudut antar dua garis; (b) Sudut antara garis dan bidang; dan (c) Sudut antara dua bidang atau lebih. Pada kajian tentang sudut dalam ruang berarti ukuran besar sudutnya tidak 90o. Kajian tentang sudut yang besarnya 90o berada pada bagian ketegaklurusan. Bagian ini akan sangat erat dengan kajian tentang persekutuan.