да —а зам шу тенгламанинг илдизи булади- Шунинг учун иккала
системадан бирини ечиш етарлидир.
•
Мисол. х2 — |л| = 6 тенгламани ечинг.
Ечиш. 1-усул. х2 — |х| = 6 о [(г* — х — 6 = 0 Ах > >0)У (х2 + х — 6
= О Дjc < 0)] о [(х2 — х — 6 — 0 Ах > > 0 =- (х — 3 А х > 0) V (х ~ —
2 А х > 0)) V (х2 + х — 6 = = 0Ах<0=у(х = — 3 Ах < 0)V (х = 2 Ах <
0))] о> <о> [ (х о 3 А х > 0) V (х = — 3 А х < 0)] о-А = (х|х = 3; х — —
_____ 3} — { _ 3; 3}.
2- у с у л. х2 — |х| = 6 «• |хр — |х| =д 6 =}- }|х| = 3 V |х[#= ф — 2)
о-|х| о 3; А = {— 3; 3} III. fx, а, Ь, - - . , с)| о ф (х, а, Ь, . . . с).
Бу золда (ж, а, Ь, . . . , с)| о ф (х, а, b -.. с) о
7(х, а, Ь, . . . , с) == ф (х, а, . . . с), fix, а, ... , с) > 0,
.ф (х, а, ... , с) > 0.
< (x, а, b, . . . , с) = — ц>х, а, . . . , с), /(х, а, . . , , с) < 0, ф(х, а, . . ,
, с) > 0,
Мисоллар. 1- |9 — Зх| о \4 — 5х| + |2х + 5| тенгламани ечингЕчиш. -а + Ь| о . |а! + [Ы о> аЬ > 0 га асосан
|9 — 3x1 о |4 — 5 х| + |2 л + 5| о (4 — 5 х) (2х + 5) S* 0 '«■ о — 2,5 <
х < 0,8Демак, ечимлар туплами: А = {х|—2,5 < х < 0,8}2- |9 — Зх| <14 — 5 х| + |2 х + 5| тенгсизликни ечингЕчиш. 9 — ■ Зх о 4 — 5л + 2л + 5 булиб, [а + Ь- < < |а| + ]Ь[ о> ab
с 0 га асосан
(4 — 5|х) (2 х(+|5) < 0 о (х < — 2,5 V х > 0,8)Жавоби. х£(—<ю; —2,5) U (0,8; +<»).
3- |х + 2 а| + |х — а| < 3 х тенгсизликни ечингЕчиш. Агар а > 0 булса, у золда — 2 аса булади; агар а с 0 булса, у
холда а < — 2 а булади: |х+ 2а|+ |х — а| < Зх о> [(х+2аS* 0 Ах — а>
0 Ах + 2а +
4х — а < Зх) У (х + 2а <0 Ах — а >0 А — х — 2а + х — —
а<3х)У'(х4~22>0Ах — а<0ЛА4- 2а — х-}- а с ^Зх-/(х + 2 а < 0 Ах —
асО А х+2а+х — а > 3 х)] о «>[(х > — 2 а Ах > а Ах > а)У (х < — 2 а
Ах > а Ах>
213
www.ziyouz.com kutubxonasi
> — a)V(x 2 a f\x < a \x > а)Ч (x < — 2a/\x<
<
>—f)]'
Жавоби. Агар a < 0 булса, у 5<олда х£[2а; + <); агар а = 0 булса,
у холда х£(0; + оо); агар а>0 булса, у холда х£(а; + оо).
Мустакил ечиш учун мисол ва масалалар
Куйидаги тенгламаларни ечинг:
1. а) х(х~ 15) = 3 (108 — 5л:);
б) (х-7)(х + 3) + (х—1)(х + 5) = 102
в) (3 л — 8)2 — (4 х — 6)2 + (5 х — 2) (5 х -f 2) = 96;
г)
Эх^-1^ +Т4-2^
8 12
д) 5 л + 7
2 д + 21
л—2
8—.
х -+ 2
3
2. а) х2 + 12х = — 35;
б) л2 — 7х + 12 : = 0;
= 0;
в) 3 х2 — 5 л - 2 = 0;
г) 5 х2 — 8 л + 3
д) 4
—л- — 17х- — 15 = 0.
3 . а)
30
г)
X+1
X2 — X + 1
13
х3 + 1
л+ 36
в) .
х’ -
х: — 1
5
4
2 х2 — 16
1
х2 — 2 х
-Ь
■
-х+ 16
7—5х,
х2 — 4 х + 4 ’
-4 - 0;
х'2 + 2 х ’
*-
1 __________ 4
х3—х2--х—1
.
х+ 1 ’
+ х +1
20 л + 1 х
4х+8
2
’
1
1
х2 — 4
.
х» + 1
17х+ 10
х+6
’
2х— 1
5 х2 — 5 х -- 5
х3 — 1
4. а)
б)
7 +18 х
’ ' х3 — 1
хГ + х + 1
2
б)
в)
13
ха — 1
_ х2 + 10 х 4ха + 21
х + 1 ~ х* — 1 л--f х2 + х + 1 j
ч 5 __________ 8
_
2 ______________ 20
х2 — 4
л2— 1 _ х2 — Зх + 2 _ *2 + 3х-+2 '
214
www.ziyouz.com kutubxonasi
.
_L_ + _1_х + 2 х + 20
х+4 х+8’ 1
1 + 1
б)
х — 6 ' х—4 х + 2
5. а)
,1
.
.1111
в) ------------ = ------------- ;
’ V— 8 х — 2 х— 11 х — 10
1_
л + 18
г)
1
х —10
/уйидаги тенгсизликларни ечинг:
б) 6x2 — 7х+2> 0;
г) 8 л'2 +.10 х — 3 > 0;
е) 49x2 — 28х + 4 < 0; з)
4 х2 — 4 л: + 15 < 0.
6. а) х2—х— 90 < 0;
в) — х2 — 2 х+48 <0;
35 л
4 + 10 х — 6 х2
25 л—21 -13
2
2х — - _ х + 4
1
2- + 5 х- 12
yV
х + 2 - Х--—1 >
Зл+ 1 - х — 2
'
х+4
1
+
у — 1>1
л+9
х2 — Зх — 10
2
—
+7
х+ 15
х2 — 25
.
2х — 3 ’
<6;
У2 — 9
1
">х+2 ’
д) 215x22 — 10 л + 1 > 0;
ж) —х2 — 12х — 100 <0;
0;
7. а)
б)
В)
г)
8.
Тенгламани ечинг:
(х2 + х + 1) + (х2 + 2х + 3) + (х2 + Зх + 5) + . . . +
+ (х2+ 20 х + 39) = 45009.
а нинг кандай цийматида 9x2 — 2 х + а = 6 — ах
215
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенгламанинг илдизлари тенг булади?
10. т нинг кандай цийматларида л2 — х + m2 — 0 тенглама хзцикий цар хил, цациций бир хил илдизларга эга булади?
($
11. k нинг кандай цийматида (k — 12) л2 + 2 (k — 12) х +
+ 2 = 0 тенглама ха+ций илдизга эга булмайди?
12. Берилган х, — F
1
1
-у— са л» = ---- - —■= илдиз-
10-/72
“
10 + 6/2
ларига кура квадрат тенглама тузинг.
13. а нинг цандай цийматида х2 + ах+а+2—0 тенглама
илдизларининг нисбати 2 га тенг ■ булади?
14. -------------------------------------------------------- а
нинг
кандай
цийматларида л2 ----------------------- — х + а = 0
216
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенгламанинг илдизлари х! о х- муносабатни заноатлантиради?
15- а нинг зандай зийматида х2 — ах — 1 о 0 ва х2 —
— х + а о 0 тенгламалар умумий ечимга эга булади?
16- 2х2 — 3 ах — 2 о 0 тенгламанинг илдизлари х! ва х2
булса, х“3 — х2 ни зисобланг17- т нинг зандай цийматларида (т — 4) х2 — 2 тх —
— 2 т — 6 < 0 тенгсизликнинг ечими R булади?
• 18. /г га нис&тан зузидаги
ечими
буладиган ва булмайдиган орализларни урганинг,
а) (6—1)х2 —(6 — 1)х + Г+ 1 >0; б) (Г — 2)х2 + 8х + 4- Г —
4 < 0;
в) х2 — Гх — Г > 0;
г) Гх2 — 4 х + 3 Г — 1 < 0;
2
2
д) х — 6Гх+2 — 2Г+9Г <— е) (Г — 3)x2—3x—k+1 >019- Куйидаги тенглама.ларни ечинг:
а)
б)
в)
г)
д)
|х — 2| У- |х — 31 — |2 х — 8| о 9;
Цх — 11 — \2х — 3| — |х — 2| о 0;
| — Ц — |х — 2| — \х — 3| о 4;
|х — 11 —(х — 2| - |2 х — 51 — 13— х| о — 3;
||Цх1 —2|-1| — 21 о 220- Куйндаги параметрлн тенгламаларни ечинг: 21х
2 21х
а'; г)—
!х —
а) — al — ]х — 2 а) о=3 а; б) х о
а\ 3—а)2—|х1х
— — а\ о 2
в)
2 а2 „
' х—L ..4.
а; е)х — ^Н
а ------- о 0;
X
X
рт + а|
д)
^2— а2| о (х — 3а)2;
Модулли тенгламаларни ечинг:
21- (2 х — х2— 1'о 2 х — х2 — 1
22- (5х — х2 — 6 .о х2 — 5х — 6К,уДадaга тенгсазлакларна аналитик усулда ечинг:.
2х — 7' —|3х — 5| >0.
232425а6.
27282930217 3132-
www.ziyouz.com kutubxonasi
2х — 5'— |Зх — 7'< 0-
— |2х — 6' <3.
— |х — 3 > 2.
— |х — 2 — |х — 31 > 4.
5) < 3
2,5.
218
www.ziyouz.com kutubxonasi
33. \5х — х2 — 6! > х2 — 5л + 6.
34. |Х — Зх+2\>Зх — х2 — 2.
35. !л2 + 6 л + 5| > г* — 8 л + 16.
36.
Х2 — 5 х + 4|
< 1 х-
2— 4 I <
37. If2—3£^| > 1
I х2 + 3 х + 2 I
38. — — |а| —
6
39. ——1
>|л + 1|. |х-1|1
х—2
'
3- §. ЮЦОРИ ДАРАЖАЛИ ТЕНГЛАМА ВА ТЕНГСИЗЛИКЛАР
95-таъриф. Ушбу
ао? + aixn '+...+ an_xx + ап = 0 (< 0), а0Ф О (1) тенглама
(тенгсизлик) ю^ори даражали тенглама (тенгсизлик)
дейилади.
Мисо л. 2X6 + 6X4 — ЗХ3+2Х2 4_7Х + 6 = 0 бешин- чи даражали
тенгламадир.
Агар (1) да а0, alt . . . , an£Z булса, у золда (1) ни бутун
коэффициентли юкрри даражали тенглама дейи- лади. Агар
а0— 1 булса, у золда (1) ни келтирилган тенглама дейилади.
108те орем а. Агар
х + fljx"-1 + . . . + ап_хх + ап = 0
(2)
бутун коэффициентли тенглама бутун ечимга эга булса, у
холда бу ечим озод хаднинг булувчиси булади.
И с бот и. Теореманинг шартига кура (2) бутун коэффициентли булиб, бутун х = k ечимга эга, яъни kn + alkn~ljr + •••
+an_xk +ап — 0 булиб, бундан ап = k( — kn~ — — axkn~2— . . . —
ап-1) булади. Х^осил цилинган натижа- нинг унг томони иккита
бутун соннинг купайтмаси булган- лиги учун an-k булади.
Теорема исбот булди.
Купинча fix) = апхп + лл_1хп_1 + . . . + а1х + а0 куп- задни х
— а икки задга булишда булинма ва цолдикнинг
коэффициентларини цуйидагича топилади: изланаётган булинманинг булувчига купайтмаси билан /(а) нинг йигиндиси / (л) га
тенг булиши керак, яъни f (х) = (л — a) g (х) + К; К = f (а). Бундан
= ап, ал_! = Ьп_2 — а Ьп_{, ... ёки Ьп-\ = ап' Ь-2 = an-1 + « bn-V Ьп-3 = ап-2
+а
;
К, = а0 + а Ьо булади. Бу натижани ауйидаги жадвал кури- нишида
ёзамиз.
217
www.ziyouz.com kutubxonasi
-1
ап
а
ап—2
ап
ао
Ьп — 2 = = а Ьп-3 = = ап.2 + + а Ьп-2
Л— 1 + “ Ьп-
Ьп-1 = ап
К, = ао + а
Ьо
1
Бу схема Горнер схемаси дейилади.
109те о рем а. Агар б у тун коэффициентли (1) тенглама — , (р, q) = 1, рационал илдизга эга булса, у холда я
р озод хаднинг булувчиси, q бош %ад коэффициента а0 нинг
булувчиси булади.
И с бот и. Теореманинг шаргига кура—, (р, q) = 1, q
(1) нинг илдизи булгани учун
а0(—j + Й! 1<-)
• J- + an =
булиб, бундан
ар + a1pn~'q + . . . + «„_] pqn~ + anqn = 0
цосил булади. Бу (3') дан
$
ап П
=
Р
(—
оРП~' —
а
«1
0
(3)
(3'>
<
РП~^Ч — a2pn~3q2 —
an_xqn^}
(4)
Эосил булиб, бундан ап нинг р га булиниши куриниб ту- рибди.
Худди шунга ухшаш, (3') дан а0 нинг q га булини- шини курсатиш
мумкин. Шу билан теорема исбот цилинди.
96-таъриф. Ушбу
а<&+ + ар?п + . . . + anXn+ + X апхп + А3ап_- хп _1 + + . . .
+a0X2n+1 =0,
й()Х + арх -- а2хп
(5>
... -- арх Ч- ао = 0 (6)
куринишидаги тенгламалар цайтма тенгламалар дейилади.
‘
Мисол. 2х5 --Зх* — 2х3 — 6 х2 + 81 л: + 486 = 0 (А = 3); 4хе
+ 5х& — 3х*+ 11х» + 6л2 + 20 л — 32 = 0 (h = — 2) па х4 + 5
х3 + 2 х2 + 5 х + 1 = 0 (X. — 1) цайтма тенгламалардир.
2+
218
www.ziyouz.com kutubxonasi
110-
-еорема.
Ток Заражали кайтма
= — X илдизга эга булади.
тенглама х
Исботи. Теореманинг шартига кура (5) ни оламиз ва уни
цуйидагича алмаштирамиз:
ао(х2,ьЬ1 + Ц"+ь) + a^x*- + Х2"-1) + ....+
+ апхп(х + Х) = 0.
(7)
Натижада х = — X ни алмаштирсак, у холда (7) нинг чап томони
нолга тенг булади. Шу билан теорема исбот ки- линди.
111- теорема. Даражаси 2п буллан кайтма тенглама С
сонлар майдонида у — х+ — ллмаштириш орцлии —
■
X
Заражали тенгламага келтирилиб, п та квадрат тенгла- ма
хосил булади.
Исботи. Теореманинг шартига кура
аох -- ахх2" 1 4- . . , Ч- йпХ’П Ч- X ап_рс 1 -- к2ап_2х
4+ . . . + Хпао = 0
(8)
п
fl
г
1
тенгламани х фО га буламиз, натижада aоX +a1x ’- + . . . + +
an_ix + an + an_, — + . . . +
X
булади. Сунгра, гуруцлашдан сунг
+ P0 — =0 *осил
X
X
+ ••• + а- = 0
“-Р+?)
+
тенгламада у = х + — бглгилашни киритамиз. Бу ерда X
хт Ч- —, т£.V йиаинди у r;i нисбтат f(у) ни хосил кил-т
лиши трълумеир. Энди m га нисбиран математик индукция i X
усулини татбик киламиз: т = 1 булсин, у холда у = х -
- , № Х_ булиб, талаб 6РЖРРИЛРДИ. т = 2 булганда х~ -- — = =
у2 — 2Х булади. т — k + 1| булганда x*+l Ч~
= fk-n-(y) булсин деб, т = k + 2 учун
КУРСИТРМИЗ.
хX+
xk+[
эканидан
219
www.ziyouz.com kutubxonasi
+ 75
=/.+,</)
Зосил булиб, у у га иисбатан п-даражали тенглама булади. Бу
тенглама С да «та ечимга эга эканлиги- дан уни ylt у2, . . . уп
орцали ифодаласак,
= х + —;
• ; Уп — ~ -
кдадрат тенгламаларни хо**
V сил циламиз. Бу
тенгламаларнинг ечимлари (8) нинг ечимларидан иборат булади. Шу билан теорема исбОтланди.
Мисол. х7 — 2л;6+3х8—л4—л3+Зх2 — 2х + 1 = 0 (9)
тенгламани ечинг.
Ечиш. 110- теоремага асосан (9) « (х + 1) (х6 — 3 хъ + + 6х4—
7 х3 + 6 х2 — 3 х+ 1) = 0 булиб, бундан х + + 1 =0 ёки (х3 + +
6^+ 1)— 7 = 0
ларни аосил киламиз. у = х —- белгиланишига кура X
у;
х2 + — = у2 — 2, х3 + — = у3 — 3 у эканлиги у3 — 3 у2 + + 3 у —
1= 0 ёки (у —1)3 = 0 тенгламани беради. Бундан х + — = 1 га
кура хг = — 1, х2 — хз — х4 =
1
. .Уз
1
.уз
= ~2 ‘ 1 ~2~' ХЬ~ хб — хт — ~2 —1
натижаларни оламиз. Демак, С да ечим |— 1; -g ± х трЦ булади.
Энди
П
х
L.
куринишидаги икки задли тенгламани ечишни
(10)
куриб чицай- лик. Бунда ушбу доллар булиши мумкин:
2m_I
1) п =Ут — 1 булсин, н ^улда д= x
функция х£( — оо ; —
-ох) да моногон усувчи булганлиги учун х2т_1 — b тенгламанинг
ечими: а) агар b > 0 булса,
б) агар b — 0 булса, х — 0;
в) агар b < 0 булса, х = — 2п'
г) п —2 т булсин, у золда у = хт
булади.
функция А= (0; +оо) да катъийд
монотон усади, В т (—о’; 0] да цатъий монотон камаяди. Шунине
учун х2т = b тенгламани А да
220
www.ziyouz.com kutubxonasi
ва В да ало^ида ечамиз. А оралиеда: агар b >0 булса, xi
=2Гу'
Ь;Ь
— 0 булса, х=0; Ь<0 булса, ечимга эга эмас. В оралицда эса: b >
0 булса, х2 = — b ; Ь < 0 булса, ечим йу^. Демак, хп = b тенглама
учун:
x^~ = b
b> 0
b=0
2m—1,— X — V b
Zj = 0
= X—
jm = b
*2 = — T
b< 0
Xt=—
x =0
Vb
ечим йуц
хп = 1 куринишдаги тенгламани С да ечиш учун соннинг
тригонометрик шаклидан фойдаланамиз, яъни 1 = cos 2 k л +
4- isin 2kn дан x, = j/cos 2 k л + i sin 2 k я = cos + n
,..
2kя
-f- i sin --- топилади.
n
„
,
2я,
Бундан e0 = 1; er = cos -------- Ь
n
+ i sin ----; . . , k = 0, (n — 1) ; e„_ . = cos — -------- +
,..
n
2 (n — 1)
.
n
—■ i sin—-— - л ; Xt == 0O; х=»,.. . nn== en_r
Бу маълумотларга таянган ^олда ах22 + bxn + с = 0; аф 0,
тенгламани ечиш мумкин.
Х,а^икий сопли майдонда берилган Р{х) куп^ад учун Р (х) >0;
Р (х) > 0 куринишдаги хамда Р (х) ва Q (х) лар Р (х)
учун —— > 0 о Р (х) Q (х) >0 куринишдаги тенгсизликлар Q (*)
берилган булсин. Бундай куринишдаги тенгсизликларни ечиш
учун Р{х) ёки Q(x) ни купайтувчиларга ажратамиз, яъни Р[х) учун
Р (х) = а (х — xj“* (х — х2)О* . . . (х — xfk (х2 —- ррх + + q—
. . . (х2 + ртх + qm) уринли булсин. Бу ерда х2 + р.х + q:, i = 1,
m; \-x£R-.x2 + px + q. >0, i = 1, m булса, у холда, PX) >0o>a(x
— xj^x — x2r . . . (x — x*)a* >0
(1)
булади.
221
www.ziyouz.coi
Фараз килайлик, Р{х) купхаднинг ^ацикий илдизлари *!< х2<
. . . схк тартибда жойлашган булсин. У цолда />х) нинг ишораси
(—со; Xj); (хх; х2); . . . ; (хА;
купайтувчиларнинг ва а нинг
Хусусий холда «j = а2= . .
цаноатлантирадиган оралицни
мумкин:
+ оо) лар- нинг хар бирида
ишорасига кораб аникланади.
. = ak = 1 булганда (1) ни
цуйидаги жад- ВРЛДР куриш
(—ю; *,)
X — хх
х — х2
—
—
(*о *«)
+
(*«; •>
+
—
+
—
—
■■■
x-xk
—
а > 0, k = 2 п
+
—
.4-
а > 0, k = 2n+ 1
—
+
—
а< 0 k = 2 п
—
+
а<0k=2пг1
+
—
...
V й.
—
+
Юцори даражали тенгсизликларни бу ечиш усули интервал- лар
усу ли деб аталйб, натижани тез аницлаш учун цулай- дир.
Мисол ва масалалар ечиш
1- ми’сол. 1. х3 — 2х* — х+'2 >0 тенгсизликни ечинг.
Ечиш. Р (х) = х3 — 2 х2 — х + 2 > 0 о (х + 1(х — — 1) (х —
2) > 0. Р (х) = 0 буладиган кийматлар туплами: {— 1; 1; 2}. Энди
Р(х) нинг ишорасини мос оралицларда аницлаймиз:
222
www.ziyouz.com kutubxonasi
(—«о; —11
(—1: 1)
(1; 2)
—
+
+
+
л— 1
—
—
+
+
х—2
—
—
—
+
Р(х)
—
+
—
+
Х
-|-
1
|
(2; +
О°)
Демак, берилган тенгсизликни цаноатлантирадиган циймат- лар
туплами: А = (— 1; 1) U (2; + оо).
п
.,х—4
х—2
2- мисо л. 14 ------ > ------ тенгсизликни ечинг.
х—3х—1
х—2
,.х—4
х—2
—
Е ч ч ш. 11 ------ > ------ <о 1 -| ------------- > 0 о
т
,,х—4
х—3
~
(х — 11 (х—3)
х—1
х—3
(х2-
> 0 <=(х — 1) (х — 3)
х—1
4х + 1) >0;
(х — 1) (х — 3) (х2 — 4 х + 1) = 0 буладиган кийматлар:
хг = 2 — У 3; л2= 1; х3 = 3; х4 = 2 -- У 3 .
Р М)
Энди —— нинг ишорасини аниклаимиз:
о
( 0 * *t) (Xil хг)
(Хг.
X|)
(Xsl Xt) (X< +oo)
X — Хх
—
+
+
х — хг
—
—
+
+
+
Х — Х3
—
—
—
+
+
X — х±
—
—
—
—
+
+
—
+
—
+
Рх)
QX)
+
+
Демак, -------- - — >0 ни каноатлантирадиган цииматлар
(х — 1) (х — 3)
туплами:
А = (—оо; 2 — /3)и11; 3)'U(2 + /3; + «,).
3- мисол. Ушбу тенгламани ечинг:
х4 + 2х2 + 5—х2+ 4х —12 = 0.
223
www.ziyouz.com kutubxonasi
Ечиш. Биринчи усу л. Бу тенгламада ап= 1 ва о>= — —12
булгани учун а^ нинг ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 булувчиларини
ёзиб оламиз, сунгра Горнер схе- маси буйича тенгламанинг
илдизлари тупламини ани^лай- миз:
1
2
5
4
1
1
3
8
12
—2
1
1
6
0
— 12
0
Демак, тенгламанинг илдизлар туплами R да {1; —2). Сунгра
х4 + 2 х8 + 5 %2 + 4 х— 12 = (х — 1)(х+2)(х2 + х + 6) = 0.
Бундан
’х2 + х + 6 = 0
х — 1 = 0 -х +
2=О
х
— 1± i У 23
= ----- 2 ---
<=>
X=1
х = — 2.
Демак, тенгламанинг илдизлар туплами С да {1;_2;±дрх^.
И к к и н ч и усул (купайтувчиларга ажратиш усули):
х4 + 2 х3 + 5 х2 + 4 х — 12 = (х4 + 2 х3) +
+ (5х2,+ 10х) —(6х+ 12) = (х + 2)(х* + 5х — 6) =
— (х — 1) (х —- 2 (х2 + х + 6) =0.
Бундан, тенгламанинг илдизлар туплами |—2; 1; ——
Учннчи усул (номаълум коэффидиентларни киритиш усули):
берилган тенгламани х4 + 2 х3 + 5 х2 + 4 х — 12 = = (х2 + ах 4b) (х2 + сх —- d) куринишида ёзиб олиб, кавс- ларни очиб
чицамиз, сунгра куп^аднинг куп^адга тенглик шартини ^исобга
олган ^олда а — 1, b = 2, с = 1, d = 6 ни аниклаймиз.
■
4- ми с о л. (х2 + х + 1)2—Зх2 — Зх—1=0 тенгламани янги
узгарувчи киритиш усули билан ечинг.
Ечиш. (х2 + х + 1)2 — 3 х2 — 3 х — 1 = 0
(х2 + х +
о
+ 1)= - <1= + х + 1) + 2 —п о {?-*2‘+1=° *
=
V=
х2
vK
+х+1V=
х2
=
2,
+ хЧ-1
о М 2 + X "- 1 = 1 о
|х2 + x — 1 = 2
224
www.ziyouz.com kutubxonasi
х=—1
_
— i-/5" Х =
х=0 _
«К + * = ?
~
[х2 + х — 1 =0
------- з ---
—1—V5
х-
з
Тенгламанинг илдизлар туплами: |о;
19 — х {
_
19 — х\ о.
5-мисол. х- ---- хН ------- = 84 тенгламани систеX -г 1 \ ‘ X + 1/
мага келтириш усули билан ечинг.
19 —
Е чиш.
19 — х\ = 84 о>
х+ 1 /
л:
—Т 1
ху (х + у) = 84,
ху (х + у) = 84, ху + (х — у) =
19 — х
19,
х+1
У — ——-; х + 1 Ф О
if =——,
д + 1Ф 0
*+1
uv = 84, и = ху,
о> и + v = 19, v = х— у,
(и — 7 Av — 12,
и = ху, v = х + у,
У = —— , х + 1Ф 0
у = —-; Х4- 1у=о
*+1
U = 12 До = 7,
. х+ 1
х + у = 12, ху = 7,
и = ху, v = х + у, .
19 — * х 4- 1 ф
У = —г;
0
х+у = 7,
ху= 12,
у
X + 1Ф0
19 — х V
У = Т +Г
х —- 1 Ф О
~х = 3
х=4
19 — х
= х+Г’
V
х = 6 — /19
_х = 6 4- /29 .
Демак, берилган тенгламанинг ечимлари туплами:
6 + /^}.
{3;4;6 —/9);
6-мисол. =уйидаги параметрли тенгламани ечинг:
г—а
х +■ b _ 2
х—Ьх—Ь
х + ах + b = 2
Е ч и ш. ---- г 4 -------х-’-Ь х — а
2
15—2823
www.ziyouz.com kutubxonasi
225
www.ziyouz.com kutubxonasi