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Chapitre III : Modèle classique de l’atome
I)- Spectre de radiations électromagnétiques
Le spectre électromagnétique et la répartition de l’ensemble des ondes électromagnétiques en
fonction de leur longueur d'onde et de leur fréquence. Ce spectre s’étend de zéro à l’infini en
fréquence ou en longueur d’onde de façon continue. Selon leur longueur et leur fréquence, les
ondes électromagnétiques se classent en différentes catégories. Celles qui sont les plus connues
sont celles de la lumière visible puisqu'elles sont perceptibles par l'œil, mais il existe aussi
d’autres formes de rayonnements que l'œil ne peut pas percevoir et sont représenté comme suit :
II)-Spectre de l’atome d’hydrogène
Expérimentalement, le spectre de l’atome d’hydrogène est obtenu en excitent les atomes
d’hydrogène, par une décharge électrique, lors du retour des atomes excité vers des états
d’énergie inferieurs, il y a émission de rayonnement électromagnétique, conduisant à un spectre
de raies, classé en séries (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund).
Chaque raie est caractérisée par une fréquence , un nombre d’onde  et une longueur d’onde
.
L’examen des valeurs mesurées de  conduit à la relation suivante (dite la relation de Balmer) :
𝟏

= 𝑹𝑯 (
𝟏
𝟏
− 𝟐)
𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟐
n1  n2 et sont des nombres entiers (1,2,3,4…….)
RH : constante de Rydberg est égale à 1.097 107 m-1
(n1= 1, Lyman ; n1= 2, Balmer ; n1= 3, Paschen, n1 = 4, Brackett, n1 = 5, Pfund )
Sachant que Planck énonce que l’énergie d’un système vibratoire est proportionnelle à la
fréquence de la vibration :
𝑬 = 𝒉𝝂 =
 E : Energie (J).
ν: Fréquence en (s-1).
𝒉𝑪

=hc
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 : nombre d’onde (m-1)
h : Constante de Planck (J. s) h = 6.626 ×10-34 J.s
 : Longueur d’onde (m)
et que les atomes d’hydrogène sont portés à des états de haute énergie et qu’ils reviennent à leur
état de plus basse énergie en une ou plusieurs étapes, ce qui permet d’émettre un ou plusieurs
photons. Les fréquences de ceux-ci prouvent que l’énergie d’un atome d’hydrogène ne peut pas
varier de façon quelconque et que les seules variations possibles sont données par la relation
suivante :
1
1
1
[ = 𝑅𝐻 (𝑛2 − 𝑛2 )]ℎ𝑐
1
ℎ𝑐

= ℎ𝑐𝑅𝐻 (
2
1
1
2 − 2)
𝑛1 𝑛2
𝑬 = 𝒉𝒄𝑹𝑯 (
III)
𝟏
𝟏
−
)
𝒏𝟐𝟏 𝒏𝟐𝟐
Le modèle atomique de Bohr :
Bohr suppose que l’électron de l’atome d’hydrogène décrivant autour du noyau des orbites
circulaire et permettant d’expliquer les raies de l’atome d’hydrogène.
a) -Hypothèses
On considère un atome d’hydrogène et on admet que l’électron de charge qe = -e et de masse m
tourne avec une vitesse linéaire v autours du proton mp >> m. (modèle planétaire)
➢ Système :
L’électron soumis à la force d’interaction de coulomb :
𝟏
Fint =𝟒𝝅𝜺₀
|𝒒𝒆 𝒒𝒑 |
𝒓𝟐
L’électron est soumis à une force centrifuge
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𝑭𝒄 = 𝒎𝒂 = 𝒎
𝒗𝟐
𝒓
➢ D’après le deuxième principe de Newton :
⃗ =𝟎
∑𝑭
En remplaçant :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒊𝒏𝒕 + ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒄 = 𝟎
𝑭𝒊𝒏𝒕 − 𝑭𝒄 = 𝟎
𝟏 |𝒒𝒆 𝒒𝒑 |
𝒗𝟐
=𝒎
𝟒𝝅𝜺₀ 𝒓𝟐
𝒓
𝟏 𝒆𝟐
𝒗𝟐
=
𝒎
𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒓𝟐
𝒓
𝒆𝟐
𝟏
𝒓=
𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑲 =
𝟐
𝟒𝝅𝜺₀𝒎𝒗
𝟒𝝅𝜺₀
𝒓=
𝑲𝒆𝟐
𝒎𝒗𝟐
(𝟏)
𝑲𝒆𝟐
𝒎𝒗 =
𝒓
𝟐
Conclusion : D’après la théorie classique, tous les rayons sont permis car il n’existe aucune
condition limitant les valeurs possibles de v.
III-1) Postulat n°1 : postulat des orbites :
Sans émission de rayonnement, les électrons ne peuvent graviter autour du noyau que sur
certaines orbites permises. Celles-ci sont déterminées par la condition de quantification
suivante :
𝒉
𝒎𝒗𝒏 𝒓𝒏 = 𝒏
𝟐𝝅
Avec :
n : nombre quantique principal, n𝜖{1; 2; 3; … . . }.
m : masse de l’électron.
rn : rayon de l’orbite de l’électron autours du noyau.
vn : vitesse linéaire de l’électron sur son orbite.
h: constante de Planck.
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III-2) Postulat n° 2 : postulat des émissions et absorptions d’énergie
A chaque orbite permise correspond un niveau énergétique déterminé. Les transitions
électroniques d’une orbite vers une autre se font par saut et sont accompagnées de l’émission
ou l’absorption d’un photon d’énergie :
𝑬 = |𝑬𝒇 − 𝑬𝒊 | = 𝒉𝝂.
Avec :
Ei : énergie qui correspond à l’orbite de départ.
Ef : énergie qui correspond à l’orbite de l’arrivée.
ν : fréquence du rayonnement émis ou absorbé.
III-3) Etude des orbites selon le modèle de Bohr :
D’après le 1er postulat de Bohr, seules les orbites dont les rayons sont définis par :
𝒉
𝒎𝒗𝒆 𝒓𝒆 = 𝒏
𝟐𝝅
permettent à l’électron de graviter sans émission de rayonnement autour du proton. Les vitesses
possibles sont :
𝒗𝒆 =
𝒉𝒏
𝟐𝝅𝒎𝒓𝒆
(2)
En remplaçant le carré de l’expression (2) dans l’expression (1) on trouve :
𝒉𝟐
𝒓𝒆 =
𝒏𝟐
𝟒 𝟐 𝒎 𝟐 𝒆 𝟐
Conclusion :
➢ En tenant compte du 1er postulat de Bohr, on constate que re ne peut pas prendre
n’importe quelle valeur. Les orbites permises sont situées sur des couches sphériques et
concentriques (Schalen) de rayons discrets : r1 ; r2 ; r3 ; etc. autour du noyau. Pour cette
raison, le modèle de Bohr est encore appelé « le modèle des couches » (Schalenmodell).
n=1
couche K.
n=2
couche L.
n=3
couche M.
➢ L’orbite la plus proche du proton est celle de la couche K (n=1) : r1.
𝒉𝟐
𝒓𝟏 = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟗. 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝒎.
𝟒 𝒎 𝒆
➢ Le rayon de Bohr
𝒓𝒂 = 𝒓𝟏 𝒏 𝟐
III-4)
Etude énergétique de l’atome H selon le modèle Bohr :
a) Energie potentielle du système proton – électron
Considérons le système formé par l’atome d’H (proton et électron).
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𝒓
𝑲 𝒆𝟐
𝒅𝒓
𝟐
∞ 𝒓
𝑬𝒑 = ∫
𝟏
𝟏 𝟏
𝑬𝒑 = 𝑲𝒆𝟐 ⌈− ⌉ = −𝑲𝒆𝟐 ( − )
𝒓
𝒓 ∞
𝟐
𝒆
𝑬𝒑 = −𝑲
𝒓
b) Energie cinétique
La masse du proton est si grande, comparée à celle de l’e-, que le proton est considéré immobile.
Toute l’énergie cinétique est ainsi attribuée au mouvement de l’e- autour du proton.
𝟏
𝑬𝒄 = 𝒎𝒗𝟐
𝟐
𝒆𝟐
𝒎𝒗𝟐 = 𝑲
𝒓
𝟏 𝒆𝟐
𝑬𝒄 = 𝑲
𝟐 𝒓
c) Energie totale :
ET = Ec + Ep
𝟏 𝒆𝟐
𝒆𝟐
𝑬𝑻 = 𝑲 + (−𝑲 )
𝟐 𝒓
𝒓
𝟏 𝒆𝟐
𝑬𝑻 = − 𝑲
𝟐 𝒓
𝟏
𝒆𝟐
𝑬𝑻 = − 𝑲
𝟐 𝒓𝟏 𝒏𝟐
En remplaçant r1 par son expression dans l’expression ET, on aura :
𝑬𝑻 = −
𝟐𝟐 𝒎 𝑲𝟐 𝒆𝟒
𝒉𝟐 𝒏𝟐
= -13.6 ev
pour n=1
IV)- Théorie de Bohr appliquée aux hydrogénoïdes
On appelle hydrogénoïde, un ion monoatomique (un cation) qui ne posséde qu'un seul
électron.
𝑿+(𝒛−𝟏)
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Exemple ; (He +, Li 2+, U 91+...)
-Le rayon de l’orbite :
𝒓𝒏 =
𝒏𝟐 𝒉𝟐
𝒏𝟐
𝒏𝟐
=
𝒓
=
𝟎.
𝟓𝟐𝟗
𝟏
𝒁𝟒𝟐 𝒎𝟐 𝒆𝟐
𝒁
𝒁
Avec r1 est le rayon de Bohr.
-L’énergie totale pour un niveau n :
𝑬𝒏 = −
𝟐𝟐 𝒎 𝑲𝟐 𝒆𝟒 𝒁𝟐
𝒉𝟐 𝒏𝟐
=𝑬𝑯
𝒁𝟐
𝒁𝟐
𝒏
𝒏𝟐
= −𝟏𝟑. 𝟔
𝟐
V)- Transition électronique d’un niveau initial (ni) à un niveau final (nf)
Lorsque l'électron passe d'un niveau d'énergie à un autre (d'une orbite à une autre), il émet ou
absorbe de l'énergie sous forme de lumière. Il fait alors un saut quantique. Lorsque par exemple
n passe de 1 à 2, il y a absorption d’énergie ; lorsque n passe de 2 à 1, il y a émission d'énergie.
La différence d'énergie entre les deux niveaux peut être calculée avec l'équation suivante.
𝟏
𝟏
𝒇
𝒊
𝑬 = 𝑬𝒏𝒇 − 𝑬𝒏𝒊 = 𝑬𝑯 𝒁𝟐 (𝒏𝟐 − 𝒏𝟐 )
𝑬𝒏 = 𝑬𝑯
Sachant que
𝒁𝟐
𝒏𝟐
Où Enf et Eni sont respectivement l'énergie de l'électron à son état final et l'énergie de
l'électron à son état initial.
Comme la lumière est caractérisée par un flux de photons, ses sauts quantiques se
traduisent par l'absorption ou l'émission de photons. On peut aussi calculer la
différence d'énergie avec l'équation de Planck.
𝑬 = 𝒉 =
𝒉𝒄

Où :
•
•
•
•
h est la constante de Planck et est égal à 6,626 x 10-34 J.s.
c est la vitesse de la lumière = 3108 m/s.
l est la longueur d'onde du photon émis ou absorbé, exprimée en m.
 est la fréquence de la lumière émise ou absorbée en s-1.
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Il ne faut pas oublier que l'énergie de l'électron est quantifiée. Donc, seuls les photons
possédant une énergie égale à la différence d'énergie entre deux niveaux peuvent être
absorbés.
On peut finalement écrire : 𝑬 = 𝑬𝒏𝒇 − 𝑬𝒏𝒊 = 𝑬𝑯 𝒁𝟐 (𝒏𝟏𝟐 − 𝒏𝟏𝟐 ) = 𝒉 =
𝒇
𝒊
𝒉𝒄

Si E > 0, l'électron a absorbé de l'énergie. Il a passé d'un niveau d'énergie inférieur
à un niveau supérieur.
Si E < 0, l'électron a émis de l'énergie. Il a passé d'un niveau d'énergie supérieur à
un niveau inférieur.
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a)-Energie d’ionisation
L’énergie d’ionisation, également appelée potentiel d’ionisation, est l’énergie nécessaire
pour arracher un électron d’un atome neutre à l’état gazeux.
X + → X+ + e –
où X est un atome ou une molécule capable d’être ionisé, X + est cet atome ou cette molécule
avec un électron arraché (ion positif) et e – est l’électron arraché.
L’énergie d’ionisation à partir d’un niveau (n) correspond à une transition électronique de n à
l’infini (n
+ ∞)
𝑬 = 𝑬𝒏𝒇 − 𝑬𝒏𝒊
𝟐
𝟏
𝒁
= 𝑬 𝑯 𝒁 ( 𝟐 − 𝟐 ) = −𝑬𝑯 𝟐

𝒏
𝒏
𝟐
𝟏
Pour une ionisation à partir de l’état fondamental (1
+∞)
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𝑬 = 𝑬𝒏𝒇 − 𝑬𝒏𝒊 = 𝑬𝑯 𝒁𝟐 (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
) = −𝑬𝑯 𝒁
𝟐
𝟏
VI)- Le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
En se basant sur la relation de Balmer (Vu plus haut)
𝟏

= 𝑹𝑯 𝒁𝟐 (
𝟏
𝟏
− 𝟐)
𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟐
Pour l’hydrogène Z=1 donc
𝟏

= 𝑹𝑯 (
𝟏
𝟏
− 𝟐)
𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟐
n1  n2 et sont des nombres entiers (1,2,3,4…….)
RH : constante de Rydberg est égale à 1.097 107 m-1
(n1= 1, Lyman ; n1= 2, Balmer ; n1= 3, Paschen, n1 = 4, Brackett, n1 = 5, Pfund )
Chaque onde absorbée ou émise correspond une raie
Dans le cas d’une émission : Raie → onde → transition électronique (n2→n1)
-Pour la première raie
1ère raie de Lyman correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : 2→ 1
1ère raie de Balmer correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : 3→ 2
1ère raie de Paschen correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : 4→ 3
1ère raie de Brackett correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : 5→ 4
En comparant les transitions électroniques de la première raie, de toutes les séries, on peut
généraliser ces transitions de (n1+1 →n1).
𝟏
𝑳
= 𝑹𝑯 (
𝟏
𝟏
−
)
𝟐
𝒏𝟏 (𝒏𝟏 + 𝟏)𝟐
En simplifiant cette relation, on aura
𝟏
𝑳
= 𝑹𝑯 (
𝟐𝒏𝟏 + 𝟏
)
(𝒏𝟏 + 𝟏)𝟐 𝒏𝟐𝟏
𝑳 : La longueur d’onde de la première raie
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-Pour la raie limite
1ère raie de Lyman correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : + ∞ → 1
1ère raie de Balmer correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : + ∞ → 2
1ère raie de Paschen correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : + ∞ → 3
1ère raie de Brackett correspond à la transition (dans le cas d’une émission) : : + ∞ → 4
En comparant les transitions électroniques de la première raie, de toutes les séries, on peut
généraliser ces transitions de (+ ∞→ n1).
𝟏
𝑳
= 𝑹𝑯 (
𝟏
𝟏
− 𝟐)
𝟐
+∞
𝒏𝟏
En simplifiant cette relation, on aura
𝟏
∞
= 𝑹𝑯 (−
𝟏
)
𝒏𝟐𝟏
∞ : La longueur d’onde de la raie limite
Raie limite n2 = + ∞
La série de Lyman : n1 = 1 ; n2 >1
➢
➢
La première raie : n1 = 1 ; n2 = 2
La raie limite : n1 =1 ; n2 = + ∞
λ 1→2 = 1216 Å
λ 1→∞ = 912 Å
La série de Balmer : n1 = 2 ; n2 >2
➢ La première raie : n1 = 2 ; n2 = 3
➢ La raie limite : n1 = 2 ; n2 = + ∞
λ 2→3 = 6563 Å
λ 2→∞ = 3647 Å
La série de Paschen:
➢ La première raie : n1 = 3 ; n2 = 4
➢ La raie limite : n1 = 3 ; n2 = + ∞
λ 3→4 = 18760 Å.
λ 3→∞ = 8206 Å.
La série Brackett :
➢ La première raie : n1 = 4 ; n2 = 5
➢ La raie limite : n1 = 4 ; n2 = + ∞
λ 4→5 = 40520 Å.
λ 4→∞ = 14580 Å
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VI)- Les Insuffisances de la théorie de Bohr
Le modèle de Bohr permet de prédire correctement les niveaux énergétiques de l’atome
d’hydrogène et d’autres systèmes à un seul électron et confirme les idées de Planck sur la
quantification de l’énergie. Toutefois ce modèle ne peut pas être appliquée à des atomes plus
lourds. La mécanique classique s’avère donc insuffisante pour décrire et étudier les atomes à
plusieurs électrons. Une nouvelle conception de l’atome est devenue nécessaire.
VII/-L’effet photoélectrique
VII-1) Définition de l’effet photoélectrique
L'effet photoélectrique est une extraction d'électrons de la matière par un rayonnement
électromagnétique.
VII-2) Hypothèse d’Einstein
L'énergie d'un faisceau de lumière monochromatique arrive par paquets d'énergie (𝑬 = 𝒉𝝂 =
𝑾) qui est transmis en totalité à un électron
E : Energie (J).
ν: Fréquence en (s-1).
h : Constante de Planck (J. s) h = 6.626 ×10-34 J.s
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VII-3) le seuil photoélectrique
Pour un métal pur, l’émission photoélectrique ne peut se produire que si énergie Wext
correspondant à la lumière excitatrice est au moins être égale à l'énergie d'extraction W0 de
l'électron du métal.
𝒘₀ = 𝒉𝝂₀ = 𝒉
𝒄
𝝀₀
λ₀ : La longueur d’onde seuil est propre au métal et ne dépend pas de la puissance de la lumière
excitatrice. Exemple : λ₀ (cuivre) = 0.29 μm ; λ₀ (calcium) = 0.45 μm.
On déduit qu’il y a émission photo électrique si :
Winc ≥W0 ; ou νinc ≥ ν0 ; ou λinc ≤ λ0.
VII-4) Energie cinétique de l’électron (Principe de conservation de l’énergie) :
Pour qu'un électron puisse être extrait sous l'action d'une radiation convenable il doit absorber
une énergie. Cette énergie doit au moins être égale à l'énergie d'extraction W0 de l'électron du
métal.
Si Wext est supérieur à W0, l'électron extrait quitte le métal avec une énergie cinétique Ec.
Wext > W0 : 𝑬𝒄 = 𝑾𝒊𝒏𝒄 −𝑾𝟎
𝟏
𝒎 𝒗𝟐 = 𝑾𝒊𝒏𝒄 − 𝑾𝟎
𝟐 𝒆− 𝒆−
𝑬𝒄 = 𝒉𝝂 − 𝒉𝝂𝟎 = 𝒉(𝝂 − 𝝂𝟎 )
𝑬𝒄 =
VII-5) Evaluation expérimentale de l’énergie cinétique d’un électron :
Une plaque métallique (P) est éclairée par une source de lumière et est soumise à une différence
de potentiel causée par une pile.
V : Potentiel d’arrêt ou potentiel retardateur.
e : la charge de l’électron (1.6 10-19C)
𝑬𝒄 = 𝒆 𝑽
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