RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Materi Pelajaran
Kelas/ Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Indikator
I.
: Matematika
: XI / 4
: 1,2,3
: 11 x 45 menit
: Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah
: Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
: a. Konsep vektor dan ruang lingkupnya dideskripsikan menurut
ciri- cirinya
b. Operasi pada vektor diselesaikan dengan rumus yang sesuai
Tujuan
a. Siswa mampu menjelaskan pengertian vektor pada bidang datar
b. Siswa mampu mendiskripsikan konsep vektor dan ruang lingkup vektor menurut
ciri-cirinya
c. Siswa mampu menyelesaikan operasi pada vektor
d. Siswa mampu menerapkan konsep vektor pada program keahlian
II.
Materi Ajar
A. Vektor pada bidang datar
1. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
2. Lingkup Vektor

Vektor pada bangun datar ( dimensi dua ) ditandai dengan sumbu X dan
sumbu Y yang saling berpotongan.

Modulus atau besar vektor atau panjang vektor
Jika diketahui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) maka komponen vektor
 x 2  x1 
 sedangkan modulusnya : AB = ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
AB = 
 y 2  y1 

Vektor posisi
Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut vektor posisi titik
 x
P dan ditulis OP =  
 y

Kesamaan dua vektor
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama

Vektor negatif
Vektor negatif dari AB adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor
AB tetapi arahnya berlawanan, dan ditulis ( - AB )

Vektor Nol
Adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu.

Vektor Satuan
Adalah vektor yang memunyai panjang atau besar satu satuan.
Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut
dengan besar /panjang vektor semula, ditulis e =
a
a
3. Operasi pada vektor
o Perkalian Vektor dengan skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali
vektor a dengan skalar k yang arahnya sama.
a 
 k .a 
Jika a =  1  maka k. a =  1 
 a2 
 k .a 2 
o Penjumlahan dua vektor
a. Secara geometris
1) Dengan aturan segitiga
maka
a
b
a
b
a +b
2) Dengan aturan jajaran genjang
b.Secara analitis
b 
Jika vektor a = dan vektor b =  1  maka a + b =
 b2 
 a1  a2 


 b1  b2 
o Selisih dua vektor
Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif
vektor kedua, ditulis a - b = a + ( - b )
a. Secara geometris
b.Secara analitis
a 
Jika vektor a =  1  dan vektor b =
 a2 
III.
 b1 
  maka a - b =
 b2 
 a1  a 2 


 b1  b2 
Metode Pembelajaran
A. Ceramah
B. Diskusi informasi
C. Tanya jawab
IV.
Langkah-langkah Pembelajaran
A. Kegiatan Awal
1. Pretest tentang vektor berupa tanya jawab
2. Mengadakan tanya jawab dengan siswa seputar ruang lingkup vektor
3. Pretest penjumlahan dan pengurangan vektor
B. Kegiatan Inti
1. Siswa memahami pengertian vektor pada bidang datar dan mampu
menjelaskannya
2. Siswa memahami ruang lingkup vektor
3. Siswa melanjutkan memahami ruang lingkup vektor : vektor negatif, vektor nol
dan vektor satuan
4. Siswa membuat contoh-contoh jenis vektor pada ruang lingkup vektor
5. Siswa mempelajari operasi penjumlahan pada vektor
6. Siswa mempelajari operasi pengurangan pada vektor
7. Siswa menyelesaikan beberapa soal tentang operasi penjumlahan dan
pengurangan vektor
C. Kegiatan akhir
1. Siswa membuat rangkuman dengan bimbingan guru
2. Guru memberi tugas untuk dikerjakan di rumah
V.
Alat / Bahan / Sumber Belajar
A. Alat dan bahan : penggaris dan kertas /buku berpetak
B. Sumber Belajar : Modul tentang Konsep Vektor dan buku lain yang berhubungan
VI.
Penilaian
A. Pengamatan/observasi
B. Tes Lisan
C. Tugas individu/berkelompok
D. Tes tertulis
SOAL TES TERTULIS
Selesaikan soal-soal berikut ini dengan teliti dan benar !
1. Diketahui titik P (0,1) dan titik Q (1,2). Tentukan panjang vektor PQ !
2. Diketahui r = (1,1). Tentukan panjang vektor r !
3. Tentukan panjang vektor satuan dari vektor a = (2,4) !
 1 
4. Dikatahui vektor a =   , vektor b =
  2
Tentukan : a). a + b
1
  dan vektor c =
1
 2
 
 3
c). a + b + c
b). b + c
5. Diketahui vektor m = (2,1), vektor n = (1, -1), dan vektor p = (-5,1)
Tentukan : a). m - n
c). m - n
b). m - p
d). m - p
JAWAB :
1. PQ = (1  0) 2  (2  1) 2 =
2. r = 12  12 =
3. a =
2
4  16 =
22  42 =
 2
4 
,
 =
e = 
 20 20 
 1 
4. a). a + b =   +
  2
1
b). b + c =   +
1
 2
  =
 3
1
  +
1
7 2  02 =
2
 
 1
 3
 
 4
 2
  =
 3
 2 1 

 =
1  (1) 
  5
  =
 1 
c). m - n = 12  2 2 =
d). m - p =
 11 

 =
  2  1
1  2 

 =
1  3 
1
  =
 1
 2
b). m - p =   1
20 = 2 5
 1 2 

,

 5 5
1
  =
1
 1 
c). a + b + c =   +
  2
 2
5. a). m - n =   1
2
 11 2 

 =
  2  1  3
 4
 
 2
1
 
 2
 2  (5) 

 =
 11 
7
 
0
5
49  0 = 7
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Materi Pelajaran
Kelas/ Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
: Matematika
: XI / 4
: 1,2,3,4,5,6,7
: 14 x 45 menit
: Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah
: Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
Indikator
: a. Konsep vektor dan ruang lingkupnya dideskripsikan menurut
ciri- cirinya
b. Operasi pada vektor diselesaikan dengan rumus yang sesuai
I. Tujuan
b. Siswa mampu menjelaskan pengertian vektor pada bangun ruang
c. Siswa mampu mendiskripsikan konsep vektor pada bangun ruang dan ruang
lingkupnya menurut ciri-cirinya
d. Siswa mampu menyelesaikan operasi pada vektor pada bangun ruang
e. Siswa mampu menerapkan konsep vektor pada program keahlian
II. Materi Ajar
A. Vektor pada ruang (dimensi 3)
 Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x, y dan z
yang saling tegak lurus. Perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal
perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat ditulis sebagai :
i. p = (x, y, z)
 x
 
ii. p =  y 
z
 

dan iii. p = xi + yj + zk
( kombinasi linear vektor satuan i, j, k)
Modulus vektor/ besar vektor/ panjang vektor
Jika titik A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2) maka modulus vektor AB dapat
dinyatakan sebagai jarak titik A dan B yaitu :
AB =
( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
Jika ditulis dalam bentuk kombinasi linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus
vektor a adalah : a =
 Vektor posisi
a1  a 2  a3
2
2
2
Suatu vektor a yang titik awalnya O (0,0,0) dan titik ujungnya A (a1,a2,a3)
 a1 
 
disebut vektor posisi dari titik A dan ditulis OA =  a 2 
a 
 3
 Kesamaan vektor
Dua vektor sama jika besar dan arahnya sama
 Vektor negatif
Vektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya
berlawanan ditulis - a
 Vektor nol
Vektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol dan arahnya tak tentu
 Vektor satuan
Adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan.
Vektor satuan dari a sama dengan vektor a tersebut dibagi dengan besar vektor
a itu sediri, dan dinotasikan : e =
a
a
B. Operasi vektor pada ruang (dimensi 3)
Jika
 a1 
 b1 
 
 
a =  a 2  dan vektor b =  b2  maka
a 
b 
 3
 3
 a1  b1 


1. Jumlah dan selisih vektor a , b ,adalah: a  b =  a 2  b2 
a b 
3
 3
 k .a1 


2. Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah k. a =  k .a 2 
 k .a 
 3
3. Hasil kali skalar dua vektor a dan b adalah :
a . b = a . b cos α (jika α diketahui)
a . b = a1.b1+ a2.b2+ a3.b3 (jika α tidak diketahui)
4. Sudut antara dua vektor
Cos α =
a .b
a1b1  a 2 b2  a3 b3
=
a1  a 2  a3 . b1  b2  b3
2
a b
2
2
2
2
2
5.Hasil kali vektor dari dua vektor
a x b = ( a . b sin α ). s
i
j
k
a x b = a1
b1
a2
a3
b2
b3
III. Metode Pembelajaran
A. Ceramah
B. Diskusi informasi
C. Tanya jawab
IV. Langkah-langkah pembelajaran
A. Kegiatan awal
1. Tanya jawab untuk menjajaki siswa tentang perkalian vektor
2. Siswa mencari kasus penerapan vektor pada kehidupan sehari-hari
3. Pretest vektor pada ruang (dimensi 3)
4. Pretest tentang ruang lingkup vektor
5. Pretest tentang ruang lingkup vektor
6. Pretest tentang operasi pada vektor
7. Pretest tentang perkalian vektor
8. Siswa mencari kasus-kasus penerapan konsep vektor ruang
B. Kegiatan inti
1. Siswa mempelari perkalian vektor dengan skalar
2. Siswa mempelari perkalian skalar dua vektor
3. Siswa mempelari perkalian dua vektor
4. Guru menyajikan kasus-kasus penerapan vektor pada kehidupan sehari-hari
5. Siswa menyelesaikan kasus-kasus vektor pada penerapannya
6. Siswa mempelaari pengertiaan vektor pada ruang
7. Siswa membuat contoh-contoh vektor pada ruang
8. Siswa mempelajari modulus vektor pada ruang
9. Siswa mempelajari vektor posisi pada ruang
10. Siswa mempelaari kesamaan dua vektor
11. Siswa mempelajari vektor negatif, vektor nol, dan vektor satuan
12. Siswa menyelesaikan soal tentang vektor negatif, vektor satuan, dan vektor nol
13. Siswa mempelajari penjumlahan dan pengurangan vektor pada ruang
14. Siswa menyelesaikan soal tentang penjumlahan dan pengurangan
15. Siswa mempelajari perkalian vektor dengan skalar dan perkalian skalar dua
vektor
16. Siswa menyelesaikan soal tentang perkalian vektor dengan skalar dan perkalian
skalar dua vektor
C. Kegiatan akhir
1. Siswa membuat rangkuman yang dibimbing guru
2. Guru memberi tugas untuk dikerjakan siswa di rumah
V. Alat/ Bahan/ Sumber Belajar
A. Alat dan bahan : penggaris dan kertas / buku berpetak
B. Sumber Belajar : modul konsep vektor dan sumber lain yang berhubungan
VI. Penilaian
A. Pengamatan / observasi
B. Tes lisan
C. Tugas individu dan kelompok
D. Test tertulis
SOAL TES TERTULIS
Selesaikan soal-soal berikut ini dengan teliti dan benar !
 1 
1
 
 
1. Diketahui vektor a =  1  , vektor b =  0  dan vektor c =
1
  2
 
 
Tentukan : a). a + b + c
2
 
  1
3
 
b). 2a + b + 2c
2. Diketahui vektor a = (2,-3, 6) dan vektor b = ( 8, 2,-3)
Tentukan : a). panjang vektor a dan vektor b
b). jarak kedua ujung vektor tersebut
3. Diketahui vektor p = 3i + 4j + mk dan vektor q = 2i – 3j +5k
Jika p . q = 4 maka tentukan nilai m dari vektor p !
4. Jika sudut antara vektor a = (2, 1,-3) dan vektor b = ( -1, 3,-2) adalah α , maka
tentukan besarnya sudut α tersebut !
5. Diketahui vektor a = 4i + 5j – 2k dan vektor b = 2i + 3j + 10k
Tentukan nilai dari a . b !
JAWAB :
 11 2 


1. a). a + b + c = 1  0  (1)  =
  2 1 3 


 4
 
 0  maka a + b + c =
 2
 
=
 2 
 
b). 2 a + b + 2 c =  2  +
  4
 
maka 2a + b + 2c =
1
 
0 +
1
 
 4 
 
  2 =
 6 
 
7 2  0 2  32 =
2. a). panjang vektor a =
2 2  (3) 2  6 2 =
panjang vektor b =
8 2  2 2  (3) 2 =
42  02  22
20 = 2 5
 2 1 4 


 2  0  (2)  =
  4 1 6 


49  9 =
7
 
0
 3
 
58
4  9  36 = 49 = 7
64  4  9 = 77
b). jarak kedua ujung vektor a dan b =
=
(8  2) 2  (2  (3) 2  (3  6) 2
36  25  81 = 142
3. p . q = 4 berarti (3.2) + (4. (-3)) + m.5 = 4
6 + (-12) + 5.m = 4
5.m = 4 – 6 + 12
5.m = 10
m=2
4. vektor a = 4i + 5j – 2k dan b = 2i + 3j + 10k
a =
2 2  12  (3) 2 = 14
b =
(1) 2  3 2  (2) 2 = 14
a . b = 2.(-1) + 1.3 + (-3).(-2) = -2 + 3 + 6 = 7
Cos α =
a .b
=
a b
7
14 . 14
=
7
1
= = 0,5
14
2
α = arc cos 0,5
α = 60o
5. a = 4i + 5j – 2k dan b = 2i + 3j + 10k maka :
a . b = ( 4. 2 ) + ( 5. 3 ) + (-2. 10 )
= 8 + 15 + (-20 )
=3