O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS
TA`LIM VAZIRLIGI
SHAHRISABIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
PEDAGOGIKA FAKULTETI
VA INFORMATIKA” TA’LIM
YO’NALISHI
“60110600-MATEMATIKA
,,Algebra va Sonlar nazariyasi” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal almashtirishlar.
Bajardi: Omonova Mohichehra
Kurs ishi rahbari :
Shahrisabiz-2023
1
Mundarija
Kirish
I BOB. Chiziqli almashtirishlar
1.1
Chiziqli almashtirishlar
1.2
Almashtirishlar yarim gruppasi
1.3
Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari
II BOB. O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal almashtirishlar.
2.1
O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar
2.2
Unitar almashtirishlar
2.3
Normal almashtirishlar
2.5
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
2
Kirish
Ilm-fan – taraqqiyot asosi. Zamonaviy ilm-fan yutuqlariga, innovatsiyon
g`oyalarga tayanmagan davlatning ham, jamiyatning ham kelajagi yo`q.
Faqat ilm va ma`rifat, intellektual salohiyat,har tomonlama bilimli kadrlar
hisobidan biz O`zbekistonni yangi taraqqiyot bosqichiga olib chiqa olamiz.
Shavkat Mirziyoyev
Bugungi kunda yurtimizda barcha sohalarda yuksalishlar kabi talim tizimiga
ham bir nechta o‘zgartirishlar kiritildi, ko‘zda tutilgan maqsad esa ta‘lim
tizimining samaradorligini oshirish , o‘sib kelayotgan yosh avlodni bugungi kun
zomon talabidagi bilimni mukammal o‘zlashtirishlari va jamiyatimizda o‘z ornini
oson topishlari, kelgusida o‘z mutaxasisliklari bo‘yicha malakali kadir bo‘lib
vatanimiz ravnaqiga o‘z hissalarini qo‘shishlari ko‘zda tutilgan.Ta‘limda uzluksiz
ta‘lim tizimi joriy qilingandan so‘ng, dars jarayonida ilg‘or pedagagik
texnalogiyalaridan foydalanib dars mashg‘ulotlarini olib borish tadbiq qilindi.
Bunga misol qilib umumta‘lim maktablari matematika kursida mavzuni
o‘quvchilar o‘zlashtirishlarini ―tengsizliklarni o’qitishda grafik usullardan
foydalanish‖ mavzusida qaraymiz .
Mamlakatimizda sog’lom va barkamol avlodni tarbiyalash, yoshlarning o’z
ijodi va intellektual salohiyatini ro’yobga chiqarib, mamlakatimiz yigit - qizlarini
XXI asr talablariga to’liq javob beradigan har tomonlama rivojlangan shaxslar etib
voyaga yetkazish uchun shart sharoitlar va imkoniyatlarni yaratish bo’yicha keng
ko’lamli aniq yo’naltirilgan chora tadbirlarni amalga oshirish maqsadida,
shuningdek, O’zbekiston Respublikasida 2010 yilning “Barkamol avlod yili”
davlat dasturi tasdiqlansin. Unda quyidagilar asosiy vazifalar etib belgilansin.
Ta’lim
jarayonida
yangi
axborot
kommunikatsiya
va
pedagogik
texnologiyalarning elektron darsliklari, multimedia vositalarini keng joriy etish
orqali mamlakatimiz maktablari, kasb hunar kollejlari, litseylar va o’quv yurtlarida
3
o’qitish sifatini tubdan yaxshilash ta’lim muassasalari keng laboratoriya bazasini
zamonaviy turdagi o’quv laboratoriya uskunalari, kompyuter texnikalari bilan
mustahkamlash, shuningdek, o’qituvchilar va murabbiylar mehnatini moddiy
hamda ma’naviy rag’batlantirish bo’yicha samarali tizimni yanada rivojlantirish
lozim.
Ilm fanni yanada rivojlantirish, iqtidorli va qobiliyatli yoshlarni ilmiy
faoliyatga keng jalb etish ularning o’z ijodiy va intellektual salohiyatini ro’yobga
chiqarishi uchun sharoit yaratishga doir kompleks chora tadbirlarni ishlab chiqish
kerak.
Ma’lumki, ota bobolarimiz qadimdan bebaho boylik bo’lmish ilmu fan,
ma’rifat , ta’lim tarbiyani inson kamoloti va millat ravnaqining eng asosiy sharti va
garovi deb bilgan.
Albatta ta’lim tarbiya ong mahsuli. Lekin ayni vaqtda ong darajasi va uning
ravnaqini ham belgilaydigan, ya’ni xalq ma’naviyatini shakllantiradigan va
boyitadigan eng muhim omildir. Binobarin ta’lim tarbiya tizimini va shu asosda
ongni
o’zgartirmasdan
turib,
ma’naviyatni
rivojlantirib
bo’lmaydi.
Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladi, boshqacha aytganda xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi,
farzandlarimizning
bugun
qanday
ta’lim
tarbiya
olishiga
bog’liq.
Ta’limni tarbiyadan, tarbiyadan ta’limni ajratib bo’lmaydi bu sharqona
qarash, sharqona hayot falsafasi.
Bu haqda fikr yuritganda men Abdulla Avloniyning “Tarbiya biz uchun yo
hayot, yo mamot, yo najot, yo halokat, yo saodat, yo falokat masalasidir” degan
chuqur ma’noli so’zlarini eslayman.
Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta’limni tarbiya sohasida amalga
oshirgan ko’lami va mohiyatiga ko’ra ulkan ishlarimiz biz ko’zlagan ezgu
niyatlarimizga erishish hech kimdan kam bo’lmaydigan hayot barpo etish,
4
yoshlarimiz butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo’lida mustahkam zamin
yaratdi, desak hech qanday xato bo’lmaydi.
“Diplomga ega bo’lish bu hali tom ma’nodagi ziyoli emas, ziyoli odam
tafakkuri saviyasi pok yuragi, ichki madaniyati bilan mutlaqo bo’lakcha inson
bo’ladi”.
“Har qaysi inson olloh taollo ato etgan noyob qobiliyat va iste’dodni avvalo
o’zi uchun, oilasining, millatining, xalqining, davlatining farovonligi, baxt saodati,
manfaati uchun to’liq baxshida etadi, bunday jamiyat shu qadar kuchli taraqqiyotga
erishadiki, uning jur’at va samarasini hatto tasavvur qilish ham oson emas”.
Biz o’z
iste’dodli
fidoiy bobolarimiz farzandlarimizga bilim va kasb
cho’qqilarini zabt etishi uchun qanot berishimiz kerak. “Ma’rifatga intilish kerak”.
“Ma’rifatga
intilish
xalqimizning
azaliy
fazilatlaridan
biridir”.
Arastu
Umumlashtirilgan holda kadrlar tayyorlash tizimining shakllanishi va faoliyat
ko’rsatishining asosiy tamoyillari, mening nazarimda quyidagi vazifalarni o’z
ichiga oladi:
Barcha xil va turdagi ta’lim muassasalarida yuqori malakali mutaxassislar
tayyorlash uchun uzluksiz ta’lim va fan, ishlab chiqarish salohiyatidan samarali
foydalanish.
Davlat ta’lim standartlarini joriy etish va ularning faoliyat ko’rsatish
mexanizmini ishlab chiqarish.
Ixtisosliklar, malaka darajasiga ko’ra mutaxassislarga bo’lgan umumdavlat va
mintaqaviy talablarning istiqbolini aniqlash.
Ta’lim tizimini tuzilish va mazmun jihatdan isloh qilish uchun o’qituvchilarni
va murabbiylarni qayta tayyorlash.
5
Davlat va ijtimoiy muassalarning kasbga yo’naltirish bo’yicha faoliyatini
takomillashtirish.
Bunda kasb tanlashning bozor ehtiyojlari va imkoniyatlarini e’tiborga olish
zarur, toki har bir shaxs o’ziga mos kasbni egallay olsin.
O’quvchi yoshlarni vatanga sadoqat, yuksak ahloq, ma’naviyat va ma’rifat,
mehnatga vijdonan munosabatda bo’lish ruhida bo’lish ruhida tarbiyalash.
Ta’lim muassasalarini birinchi navbatda umumta’lim maktablarini davlat
tomonidan moliyaviy va moddiy texnikaviy to’liq ta’mirlash me’yorlarini amalga
oshirish va uning mexanizmini takomillashtirish.
Kadrlar tayyorlash va ta’lim sohasida chet el sarmoyalarini, xalqaro donorlik
tashkilotlari va jamiyatlarining mablag’larini jalb etish.
Davlat va jamiyat kadrlar tayyorlash tizimini uzluksiz rivojlantirish va
takomillashtirish kafili bo’lishi lozim.
Ma’lumki, xalq ta’limini asosiy bo’g’inini uzluksiz ta’lim tizimini tashkil
etadi. Shu sababli bu masala alohida diqqat va e’tibor qaratish lozim.
Uzluksiz ta’limni davlat ta’lim standartlari va tegishli ta’lim dasturlari bilan
ta’minlashda avvalo ularning jahon talablari darajasiga javob berishi yuksak
ma’naviyat zamirida qurilganiga asosiy e’tibor berish kerak.
Shuning
uchun
ham
umumta’lim
dasturini
maktabgacha
tarbiya,
boshlang’ich, umumiy ta’lim va maktabdan tashqari ta’lim tarzida tuzsak
maqsadga muvofiq bo’ladi.
Barkamol avlod tarbiyalash insoniyatning eng yorqin orzusi bo’lib kelgan,
biroq dunyo xalqlarining barchasi ham bu haqda o’ylayvermagan. Bunday
orzudagi insonlar azaliy ma’rifatga, ma’naviyatga mansub bo’lgan yurtlarning
donishmandlari, eng mo’tabar ziyolilari, hukmdorlari hisoblangan. Ularning
orasida
O’zbekiston
deb
atalmish
muazzam
zaminimizda
yashayotgan
bobolarimizning o’z o’rni, hurmati bor. Bu jahon hamjamiyati qabul qilingan
6
haqiqatdir. Barkamol avlodni tarbiyalash orzusida o’z tariximizdan juda ko’p
dalillar mujassamlashib kelgan.
7
Kurs ish mavzuning dolzarbligi. O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal
almashtirishlar mavzusini talabalarga oson yo‘l orqali tushuntirish
Tadqiqot obyekti va predmeti. Umumta’lim maktablarda tahsil olayotgan
o’quvchilar uchun bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklar, Chiziqli tengsizliklar
sistemasi
Ishning maqsadi va vazifalari. O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal
almashtirishlar oddiydan murakkabgacha yetarlicha o’rganib, o’quvchiga o’rganish
uchun
qulay bo’lgan qo’llanma yaratish.
Tadqiqot usuli va uslubiyoti. Tahlil qilish, savol-javob, suhbat, kuzatish,
umumlashtirish.
Olingan
asosiy
natijalar.
O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal
almashtirishlar o’rganilgan ularga doir misollar bajarib ko’rsatilgan va mustaqil
yechish uchun misollar ko’rsatilgan.
Natijaning ilmiy yangiligi va amaliy ahamiyati.
Malakaviy ishi
referativ ko’rinishda bo’lib, bitiruv ishida yangilik qilinmagan. Bir nechta
manbalardan mavzuga doir ma’lumotlar to’plangan.
Tadbiq etish darajasi va iqtisodiy samaradorligi. Qo’llanish sohasi. Xulosa
va takliflar: berilgan uslubiy ko’rsatmalar va tavsiya qilingan misollar maktab,
akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida o’qitish va bilimni nazorat qilish
jarayoni samaradorligini oshiradi.
Ishning hajmi va tuzilishi. Kirish qismi, 2 ta bob va xotimalardan iborat.
8
CHIZIQLI ALMASHTIRISHLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR.
Chiziqli operator va uning matritsasi. Chiziqli operatorlar ustida
amallar.
L chiziqli fazoni va uning A almashtirishini yoki operatorini, ya’ni har bir
x є L vektorga shu L fazoning biror-bir y vektorini mos qo’yuvchi qonunni
qaraymiz. Ushbu qonun y = Ax ko’rinishida yoziladi.
Ta’rif. L fazoning har qanday z va z′ vektorlari va ixtiyoriy λ haqiqiy son
uchun A(z+z′)=Az+Az′; A(λz)=λAz tengliklar o’rinli A almashtirishi chiziqli
fazoning chiziqli almashtirishi (yoki operatori) deyiladi.
Agar L fazo n o’lchovli bo’lib, unda e1, e2, …, en bazis tanlangan bo’lsa, u
holda x vektor koordinatalari va uning aksi y vektor koordinatalari orasidagi
bog’liqlik quyidagi sistema ko’rinishida aniqlanadi
 y1  a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n ,
 y  a x  a x  ...  a x ,
 2
21 1
22 2
2n n

... ... ... ... ... ... ...

 y n  a n1x1  a n2 x 2  ...  a nn x n ,
yoki matritsa ko’rinishida Y = AX, bu yerda
 a 11 a 12

a 22
a
A   21
... ...

a
 n1 a n2
... a 1n 

... a 2n 
,
... ... 

... a nn 
 x1 
 
x 
X   2 ,
...
 
x 
 n
 y1 
 
y 
Y   2 .
...
 
y 
 n
i–ustuni tanlangan Aei vektorning koordinatalaridan tuzilgan A matritsaga chiziqli
almashtirish matritsasi deyiladi.
Bazis almashtirilib, dastlabki bazisdan yangi bazisga PT o’tish matritsa
yordamida o’tilsa, chiziqli almashtirishning dastlabki bazisdagi A matritsasiga
yangi bazisda (PT)-1APT matritsa mos keladi. A va (PT)-1APT matritsalar o’zaro
o’xshash matritsalar deyiladi. A matritsadan (PT)-1APT matritsaga o’tish A
matritsani o`xshashlik almashtirishi deyiladi.
Shunday qilib, ayni bir chiziqli almashtirishga turli bazislarda o’xshash
9
matritsalar mos keladi.
Chiziqli almashtirish ustida bajariladigan amallar.
a) Almashtirishlarni
qo’shish.
Ikki
chiziqli
almashtirishlar
matritsa
ko’rinishida berilgan bo’lsin: Y = AX, Z = BX. Chiziqli almashtirishlarning
yig’indisi deb, quyidagicha aniqlanadigan S almashtirishga aytiladi.
Y + Z = (A + B)X = CX .
b) Almashtirishni songa ko’paytirish. Matritsa ko’rinishida Y=AX chiziqli
almashtirish va ixtiyoriy λ haqiqiy son berilgan bo’lsin. Berilgan almashtirishni λ
songa ko’paytmasi deb, quyidagi V almashtirishga aytiladi: Z = (λA)X = BX.
v) Almashtirishlarni ko’paytirish. Ikki ketma-ket chiziqli almashtirishlar
Y = AX va Z = BY berilgan bo’lsin. Y uchun ifodani birinchi formuladan
ikkinchisiga
qo’ysak,
Y = AX
almashtirishning
Z = BY
almashtirishga
ko’paytmasi deb ataladigan quyidagi F almashtirishni olamiz:
Z = B(AX) = (BA)X = FX.
g) Teskari almashtirish. Matritsa shaklida Y=AX chiziqli almashtirish
berilgan bo’lib, A - kvadrat maxsusmas matritsa (detA≠0) bo’lsin. Tenglama
ikkala qismini chapdan teskari A-1 matritsaga ko’paytirib, Y=AX chiziqli
almashtirishning teskari almashtirishi deb ataluvchi X=A-1Y chiziqli almashtirishni
olamiz.
Chiziqli operator xos vektori va xos qiymati
Ta’rif. Agar shunday bir λ son tanlash mumkin bo’lsaki, bunda Ax=λx
tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday nolmas
x vektorga A chiziqli
almashtirishning xos vektori deyiladi. λ sonning o’ziga esa A chiziqli
almashtirishning x xos vektoriga mos keluvchi xos qiymati deyiladi.
Xos vektorlar quyidagi xossalarga ega:
1. Har bir xos vektorga yagona xos qiymat mos keladi;
2. Agar x1, x2 – A chiziqli almashtirishning ayni bir λ xos qiymatga mos
keluvchi xos vektorlari bo’lsa, u holda ularning yig’indisi x1+x2 vektor ham A
chiziqli almashtirishning λ xos qiymatiga mos keluvchi xos vektori bo`ladi.
3. Agar x – A chiziqli almashtirishning λ xos qiymatiga mos xos vektori
10
bo’lsa, x ga kollinear har qanday kx vektor ham A chiziqli almashtirishning o’sha
λ xos qiymatiga mos xos vektori bo’ladi.
Agar Ln fazoda bazis tanlangan bo`lsa, Ax = λx tenglikni matritsa shaklida
yozish mumkin: AX = λX.
Ta’rif. Tenglikni qanoatlantiruvchi har qanday nolmas ustun A matritsaning λ
xos qiymatiga mos xos vektori deyiladi.
AX = λX
<=>
AX = λEX
<=>
(A-λE)X = θ
bo’lib, oxirgi
tenglik
koordinatalarda quyidagicha yoziladi:
(a 11   )x 1  a 12 x 2  ...  a 1n x n  0
a x  (a   )x  ...  a x  0
 21 1
22
2
2n n

...
...
...
 ... ...
a n1 x 1  a n 2 x 2  ...  (a nn   )x n  0
Xos vektorlarni qurish uchun sistemaning nolmas yechimlarini topish zarur.
n ta noma’lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga
faqatgina sistema determinanti nolga teng bo’lgandagina ega bo’ladi, ya’ni
a11  λ
a12
det(A  E) 
a12
...
a1n
a 22  λ ...
a 2n
...
...
...
a n1
a n2
...
0
yoki
... a nn  λ
anλn + an-1λn-1 + … + a1λ + a0 = 0, bu yerda, an = (-1)n, a0 = detA.
Oxirgi yozilgan tenglamalar A matritsaning xarakteristik tenglamalari, uning
ildizlari esa xarakteristik sonlari yoki A matritsaning xos qiymatlari deyiladi.
 4 2
 matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Misol. A  
3
3


Xarakteristik tenglama tuzamiz va uni yechib, A matritsaning xos
qiymatlarini aniqlaymiz:
4
2
3
3
<=> λ2 - 7λ + 6 = 0 <=> λє{1; 6}
λ1=1 xos qiymatga mos xos vektorlardan birini quramiz:
11
3x  2 x 2  0 x 1  2
 3 2   x1   0 
  2
, ya’ni X1   

        1

 3 
 3 2  x 2   0
3x 1  2 x 2  0 x 2  3
λ2=6 xos qiymatga mos xos vektorlardan biri esa:
 2 x 1  2 x 2  0  x 1  1
  2 2   x1   0 
1

       
, X 2    .

1
 3  3  x 2   0 
3x 1  3x 2  0
x 2  1
Matritsaning xarakteristik ko’phadi bazis tanlanishiga bog’liq emas. Ayni bir
chiziqli almashtirishga turli bazislarda o’xshash matritsalar mos kelgani uchun,
o’xshash matritsalarning xarakteristik ko’phadlari tengdir. Agar x1, x2, …, xk xos
vektorlar juft-jufti bilan turli xos qiymatlarga tegishli bo’lsa, ular chiziqli erkli
sistemani tashkil etadi.
12
Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari.
Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi
turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik.
U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish  bo’lsa, u holda  : U  V
ko’rinishda belgilaylik. U vektor fazoning ixtiyoriy x elementiga  akslantirish
yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni y deylik. Bu moslik  : x  y

y ,  x  y , y   (x) ko’rinishlarda belgilanadi.
, x 
Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor
fazoga akslantiruvchi  akslantirish uchun ushbu
 ( x1  x 2 )   ( x1 )   ( x 2 ) ,
(x )  (x )
(  F)
shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi
U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini Hom(U , V ) orqali
belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan operator
deyiladi.
Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning
xususiy holi ekanligi.
Operatorlar f ,  ,... harflar bilan belgilanadi.
Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan
chiziqli operator deyiladi.

chiziqli akslantirish ta’sirida  ( x)  y bo’lsa, u holda y vektor x
vektorning obrazi (tasviri), x vektor esa y vektorning proobrazi (asli) deb
yuritiladi.
13
xU bo’lganda  ( x)  V vektorlar to’plami odatda  akslantirishning obrazi
deb yuritiladi va Jm yoki U orqali belgilanadi.
Misol. Agar  :    akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida chiziqli
operator bo’ladi (Bunda  va  sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).
Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy x1 va x 2 elementlari va U da aniqlangan 
operator uchun  ( x 1  x 2 )   ( x 1 )   ( x 2 ) tenglik bajarilsa, u holda  ga U da
aniqlangan additiv operator deyiladi.
Quyidagi xossalar o’rinli:
10.  0  01 ;
20. (- x)  (x)
30. (r x )  r x
(x  U) ;
(r  Q) ;
40.  ( x 1  x 2 )   ( x 1 )   ( x 2 ) ( x 1 , x 2  U) .
Ta’rif. Agar  ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy x elementi
uchun  ( x)   ( x) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda  ga U da aniqlangan bir jinsli
operator deyiladi.
Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator
deyiladi.
 operator chiziqli operator bo’lishi uchun U fazoning ixtiriy x1 ва x 2
elementlari va 1,  2  F berilganda  (1 x 1   2 x 2 )  1 ( x 1 )   2 ( x 2 ) tenglikning
bajarilishi zarur va etarli.
Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi.
Agar  chiziqli operator bo’lsa, u holda xi U , i  P (i  1, n) uchun ushbu
14
 (1 x1  2 x 2  ...  n x n )  1 ( x1 )  1 ( x 2 )  ...  n ( x n )
(1)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot
qilinadi.
Ta’rif. Agar x U uchun  ( x)  0 tenglik bajarilsa, u holda  operatorga nol
operator deyiladi.
Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).
Ta’rif. Agar x U uchun e(x )  x tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy
(birlik) operator deyiladi.
Ta’rif. Agar x U ,   Р uchun  ( x)   x tenglik bajarilsa, u holda  ga
o’xshashlik operatori deyiladi.
Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki,   0 bo’lsa, o’xshashlik operatorining nol
operator,   1 bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.
Ta’rif. Agar x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) U bo’lib,
(x )  (x 1, x 2 ,..., x n )  (x 1, x 2 ,..., x k )
(1  k  n) bo’lsa, ya’ni  operator n
o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator
bo’lsa, u holda  ga proektsiyalovchi operator deyiladi.
Ta’rif. Agar Un fazoning ixtiyoriy x vektori uchun f ( x)   ( x)   ( x) tenglik
bajarilsa u holda f ga  va  operatorlarning yig’indisi deyiladi va u     f
orqali yoziladi.
Ta’rif.   F,
x  U n uchun ( ) x   ( x) tenglik bajarilsa, u holda 
ga  operatorning  skalyarga ko’paytmasi deyiladi.
15
Ayrim hollarda Un fazoning nolmas vektorini  operator ta’sirida nol
vektorga akslanishi mumkin.
Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsalari
Ta’rif. Un fazoning  operator yordamida nolga akslanuvchi barcha elementlari
to’plamiga  operatorning yadrosi deyiladi va u Ker  orqali belgilanadi.
Teorema.  chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning
qism fazosi bo’ladi.
Bu teoremaning isboti [1, 240-bet]da keltirilgan.
Ta’rif.  chiziqli operator yadrosining o’lchovi shu operatorning defekti
(nuqsoni) deyiladi.
Un fazoda aniqlangan  chiziqli operator berilgan bo’lsin. M to’plamosti Un
ning qism fazosi, ya’ni M U n bo’lsin. Agar  ( x)  y desak, u holda x ning obrazi
y bo’ladi. M to’plamostiga tegishli hamma elementlarning obrazini topaylik. Bu
obrazlar hosil qilgan to’plamni М orqali belgilaylik.
Teorema. Agar M fazoosti bo’lsa, u holda М to’plam ham fazoosti bo’ladi.
Isboti. y 1  M  y 1  (x 1)
 1 x1   2 x 2  M
(x 1  M) va
kelib
 y 2 M  y 2   ( x 2 ) ( x 2  M)
chiqadi.
1 y 1   2 y 2  1 ( x1 )   2 ( x 2 )   (1 x1   2 x 2 ) M
Bu
hosil
bo’ladi.
lardan
vaqtda
Demak,
y 1 M , y 2 M ekanligidan 1 y 1   2 y 2 M kelib chiqdi. U holda М to’plam
fazoosti bo’ladi.
Xususiy holda M=Un bo’lishi mumkin. U holda U n ham fazoosti bo’ladi.
Ta’rif. U n fazoostiga  operatorning obrazi deyiladi.
Ta’rif. U n obrazning o’lchoviga  operatorning rangi deyiladi.
ℱ maydon ustida Vn vektor fazo berilgan bo’lib,
16
e1 , e 2 , ..., e n
(1)
uning bazisi bo’lsin. Agar  operator Vn fazoda aniqlangan chiziqli operator
bo’lsa, u holda  (e1 ),  (e 2 ), ...,  (e n ) Vn vektorlar (1) bazis orqali chiziqli
ifodalanadi, ya’ni
 (e1 )   11 e1   21 e 2  ...   n1 e n ,

 (e 2 )   12 e1   22 e 2  ...   n 2 e n ,

. .
. .
.
.. .
 (e )   e   e  ...   e .
1n 1
2n 2
nn n
 n
(2)
bo’ladi.
Ta’rif. Ushbu
 11  12 ...  1n

  ...  2 n
M( )   21 22
. . . . .

  ... 
nn
 n1 n 2







matritsa  chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi deyiladi.
Invariant qism fazolar.
Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari.
V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lib,  ,  lar shu vektor fazoning
chiziqli operatorlari bo’lsin.  va  chiziqli operatorlar ko’paytmasi quyidagicha
aniqlangan bo’lsin, ya’ni ( )( х )   ( ( х )), х  V .
Lemma. V vektor fazoning ixtiyoriy ikkita chiziqli operatorlari ko’paytmasi
yana shu vektor fazoning chiziqli operatori bo’ladi.
Bizga ma’lumki Hom (V,V) to’plam ℱ maydon ustida vektor fazo tashkil
qiladi.
Ushbu algebrani <Hom (V,V), +,     F,  > algebra V vektor fazoning
chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
17
End V= <Hom (V,V), +,     F,  >
Teorema. Agar V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lsa, u holda End
V algebra ℱ maydon ustida chiziqli algebra tashkil qiladi.
Isboti. EndV algebra chiziqli algebra shartlarini to’liq bajaradi. Haqiqatan,
1. <Hom (V,V), +,     F,  > algebra ℱ maydon ustida vektor
fazo tashkil qiladi;
(   )    ;
 (   )     ;
 ( )  ( )   ( ),  , ,   Hom (V,V), va   F .
Ta’rif. U va U' algebralar ℱ maydon ustidagi chiziqli algebralar va φ:U 
U' akslantirish biektiv akslantirish bo’lib, quyidagi shartlar bajarilsa:
1.  (a  b )   (a )   (b );
2.  (a )   (a );
3.  (a  b )   (a )   (b ), a , b  V    F
u holda φ akslantirishga izomorfizm U va U' chiziqli algebralarga esa izomorf
chiziqli algebralar deyiladi va u U  U' ko’rinishda belgilanadi.
 a  b 


 a, b  R  ;


 b a 

Misol. S = < C, +, {    R},  > - chiziqli algebra, G  
G  G, ,{    R},   - chiziqli algebra bilan izomorf, ya’ni S  G bo’ladi (bunda
a  b
 ).
b a 
 : a  bi  
Agar
ℱ
maydon
ustidagi
matritsalar
algebrasini
М (n, F )  F nxn , , {    F},   ko’rinishda belgilasak, u holda quyidagi teorema
o’rinli bo’ladi:
18
Teorema. V fazo ℱ maydon ustidagi vektor fazo bo’lib, е1 , е2 ,..., еn uning
bazisi, M(φ) matritsa V vektor fazoda aniqlangan φ chiziqli operatorning
е1 , е2 ,..., еn bazisga nisbatan matritsasi va   М ( ) akslantirish mavjud bo’lsa, u
holda End V  M(n, ℱ) munosabat o’rinli bo’ladi.
Isboti. Bizga ma’lumki, End V  M(n, F) akslantirish biektiv akslantirish
bo’ladi.
1. M (   )  M ( )  M ( ).
Isboti. x V  ( x )  1e1  ...   n en ,  ( x )  1e1  ...   n en
(   )( x )   ( x )   ( x )  (1  1 )e1  ...  ( n   n )en
 1   1   1    1 

 
 

M ((   )( x )                    M ( ( x ))  M ( ( x ))  M ((   )( x ))  M ( ( x ))  M ( ( x ))
        
n 
 n
 n   n 
M (   ) M ( x )  [ M ( )  M ( )] M ( x ). M (   )  M ( )  M ( ).
2. M ( )  M ( ).
Isboti. ( ( )( x )  1e1  ...   n en ,
 1 
 1 




M (( )( x ))              M ( ( x )) ,
  
 
 n 
 n 
M ( ) M ( x )  (M ( )) M ( x ).
M ( )  M ( ) .
3. M ()  M ()M () (,   Hom(V , V ),   F
Isboti. M (( )( x ))  M ( ( ( x )))  M ( ) M ( ( x ))  M ( ) M ( ) M ( x ).`
M ( ) M ( x )  [ M ( ) M ( )] M ( x )  M ( )  M ( ) M ( )
Demak, ta’rifga asosan End V  M(n, F) bo’ladi.
19
Invariant qism fazolar.
Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari.
φ:Vn  Vn
Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan Vn vektor fazo va
chiziqli operator berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Ushbu
 ( х )  х (x  Vn , x  0,   F )
(1)
tenglikni qanoatlantiruvchi  songa φ chiziqli operatorning xos qiymati, х vektor
esa  xos qiymatga mos keluvchi xos vektori deyiladi.
Teorema. Kompleks sonlar maydoni ustida qurilgan Vn vektor fazoning har
bir φ chiziqli operatori kamida bitta xos vektorga ega.
Isboti. Vn vektor fazoning
е1 , е2 , ..., еn
(2)
bazisi berilgan bo’lib, х  Vn vektorning bu bazisdagi koordinatasi 1 , 2 , ... n
bo’lsin, ya’ni x  1e1 , ...   n en tenglik o’rinli bo’lsin.  (e1 ),  (e2 ), ... ,  (en ) vektorlar
(2) bazis orqali chiziqli ifodalanadi, ya’ni
 (e1 )  a11e1  a 21e2  ...  a n1en ,
 (e )  a e  a e  ...  a e ,
 2
12 1
22 2
n2 n

                 

 (en )  a1n e1  a 2 n e2  ...  a nn en
(3)
bo’ladi.
 a11 a12 ... a1n 


 a 21 a 22 ... a 2 n 
,
A
 


 a a ... a 
nn 
 n1 n 2
matritsa φ chiziqli operatorning (2) bazisdagi matritsasi. Endi φ( х ) vektorning (2)
bazisdagi koordinatalarini aniqlaymiz.
20
 ( х )  1 (е1 )   2 (е2 )  ...   n (еn )  1 (a11e1  ...  an1en )  ...   n (a1n e1  ...  ann en ) 
 (1a11  ...   n a1n )e1  ...  (1a n1  ...   n a nn )en .
(4)
(1) va (4) ga asosan
х  (1 )е1  ...  ( n )en  (1a11  ...   n a1n )e1  ...  (1an1  ...   n ann )en ,
a111  ...  a1n  n  1 ,
a   ...  a    ,
 21 1
2n
n
2

             
a n11  ...  a nn  n   n ,
(a11   ) 1  ...  a1n n  0,
a   (a   )  ...  a   0,
 21 1
22
2
2n n

                   

a n1 1  a n 2 2  ...  (a nn   ) n  0
(5)
kelib chiqadi.
(5) sistema 1 , 2 , ... n noma’lumli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi.
Bu sistema nolmas echimga ega bo’lishi uchun sistema determinanti nolga teng
bo’lishi kerak, ya’ni
(a11   ) a12 ... a1n
a 21 (a 22   ) ... a 2 n

a11 a12 ... a1n
 0,
a n1 a n 2 ... (a nn   )
a 21 a 22 ... a 2 n

a n1 a n 2 ... a nn
1 0 ... 0

0 1 ... 0

0
0 0 ... 1
A  E  0
(6)
hosil bo’ladi. (6) ga φ chiziqli operatorning xarakteristik tenglamasi deb yuritiladi.
(6) ning chap qismidagi determinant  ga nisbatan n-darajali ko’phadni bildiradi.
Bu ko’phadga φ chiziqli operatorning xarakteristik ko’phadi deb yuritiladi. Bizga
ma’lumki, n-darajali ko’phad kompleks sonlar maydoni ustida n ta ildizga ega
bo’ladi. Bu ildizlar 1 , 2 , ... n bo’lib, ular φ chiziqli operatorning xos qiymatlari
21
bo’ladi. Ќar bir xos sonlarni (5) sistemaga qo’yib, uning nolmas echimlaridan
tuzilgan vektorlar xos sonlarga mos xos vektorlar bo’ladi.
Agar ( А  i E ) matritsaning rangi ri bo’lsa, φ chiziqli operatorning har biri
i xos songa mos keluvchi xos vektorlar soni (n- ri ) ga teng bo’ladi.
Teorema.
φ
chiziqli
operatorning
turli
bazislaridagi
xarakteristik
ko’phadlari teng bo’ladi.
Chiziqli almashtirishga qo‘shma almashtirish.
ℱ maydon ustida Vn vektor fazo berilgan bo’lib,

е1 , е2 ,.., еn
(1)
uning biror bazisi va φ operator berilgan Vn fazoning chiziqli operatori bo’lsin. х
va φ( х ) vektorlarning (1) bazis orqali х  1е1  ...   n en ,  ( х )   1е1  ...   n en
ko’rinishda ifodalansin.
х
va φ( х ) vektorlarning (1) bazisga nisbatan ustun koordinatalarini mos
ravishda ushbu
 1 
 
М ( х )   2 ,
 ... 
 
 n 
 1 
 
M ( ( x ))   2 
 ... 
 
 n 
ko’rinishlarda belgilab, ular orasidagi bog’lanish formulasini keltirib chiqaraylik.
Teorema. Agar φ operator Vn fazoda aniqlangan chiziqli operator bo’lib,
M(φ) shu φ chiziqli operatorning (1) bazisdagi matritsasi bo’lsa, u holda  х ∈Vn
uchun M(φ( х ))=M(φ)M( х ) tenglik bajariladi.
Ta’rif. ℱ maydon ustidagi V chiziqli fazo elementlari uchun quyidagi
aksiomalar bajarilsa,
22
1. х y  V (x , y  V );
2. x(y z)  (x y )z (x , y , z  V );
3. x(y  z)  x y  x z ва (y  z)x  y x  zx (x , y , z  V )
4. (x y )  (x )y  x(y )(  F, x , y  V )
u holda V fazoni ℱ maydon ustidagi chiziqli algebra deyiladi.
Ta’rif. Agar V chiziqli algebrada х  у  у  х (х, у  V ) aksioma bajarilsa, V
kommutativ chiziqli algebra deyiladi.
Ta’rif. V chiziqli algebraning rangi deb V fazoning o’lchoviga aytiladi.
Misol. C={a+bi | a,b∈R, i2=-1} to’plam R maydon ustida rangi ikkiga teng
bo’lgan chiziqli algebra tashkil etadi.
Misol. barcha n-tartibli kvadrat matritsalar to’plami Fnxn, ℱ maydon ustida
rangli n2 bo’lgan chiziqli algebra tashkil etadi. Bunday chiziqli algebrani ℱ
maydon ustidagi to’liq matritsalar algebrasi deyiladi.
Misol. R maydon ustidagi kvaternionlar algebrasi R maydon ustidagi to’rt
o’lchovli V4 vektor fazo bo’lib, e, i , j, k vektorlar V4 fazoning bazisi bo’lsin. V4
fazoda ko’paytirish amali quyidagi qoida asosida kiritiladi:
i 2  j 2  k 2  e, i  j   j  i  k , j  k  k  j  i , k  i  i  k  j,
a  e  e  a, a  { e, i , j, k } . U holda V4 fazo rangi 4 ga teng bo’lgan
kvaternionlar algebrasi bo’ladi.
23
O’z-o’ziga qo’shma va unitar almashtirishlar.
1. Ikkita unitar almashtirishlarning ko‘paytmasi yana unitar almashtirish
bo‘lishini isbotlang.
Yechish. ( AB)( AB)  ( AB)( B* A* )  A( BB* ) A*  AEA*  AA*  E. Xuddi
shu kabi ( AB) ( AB)  E tenglik ham o‘rinli.
2. Xar qanday U unitar almashtirish n o‘lchamli V Yevklid fazosida
skalyar ko‘paytmani saqlashini isbotlang. Va aksincha, skalyar ko‘paytmani
saqlovchi xar qanday U chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘lishini
ko’rsating.
Yechish. Agar U U = E bo‘lsa, u holda
(Ux,Uy) = ( x,U *Uy)  ( x, Ey)  ( x, y).
Agar xar qanday x va y vektorlar uchun (Ux,Uy) = ( x, y) bo‘lsa, u holda
( x, Ey)  ( x, y)  (Ux,Uy)  ( x,U Uy). Bichiziqli formalarning tengligidan

mos almashtirishlar tengligi kelib chiqadi, shuning uchun U U = E , ya’ni U
unitar almashtirish.
3. Unitar almashtirishning xos sonlari moduli nimaga teng?
4. e vektor U unitar chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin.
V1  {x V | ( x, e)  0} to‘plam U almashtirishga nisbatan (n  1) o‘lchamli
invariant qism fazo tashkil qilishini ko’rsating.
5. n o‘lchamli Yevklid fazosidagi U unitar chiziqli almashtirish n ta juftjufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega bo’lishini isbotlang.
6. Berilgan А ortogonal matritsaning В  С1АС shartni qanoatlantiruvchi В
ni kanonik ko’rinishini va С orthogonal matritsalarini toping.
Yechish. Ushbu det(A  E)  0 tenglamani qaraymiz:
24
2

3
2
det(A  E) 
3
1

3

1
3
2

3
2
3
2
3
1

0
3
2

3
Bundan quyidagi tenglamani olamiz:
(λ–1)(λ2–λ+1) = 0
Bu tenglamani uchta λ1 = 1 va 2 , 3 
1
3
i
ildizlarini hosil qilamiz. Bu
2
2
sonlar А matritsaning xos sonlarini tashkil etadi.
Bizga ma’lumki, Yevklid fazosida berilgan ixtiyoriy orthogonal chiziqli
almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda chiziqli
chiziqli almashtirishni quyidagicha yozish mumkin:


0
1
1
B  diag (1, R  )   0

2

3
0 

2


0 
3
2 
1 

2 
Endi ortonormal bazisni topamiz. Buning uchun e1, e2, e3 bazisni ortonormal
f1, f2, f3 bazisga o’tkazuvchi С matritsani topamiz.
λ1 = 1 xos son uchun (A  E)Х  0 bir jinsli tenglamalar sistemasini
yechib Х1  (1, 1, 1) xos vektorni topamiz. Bendan С1  (
3 3 3 T
,
,
) ni hosil
3 3 3
qilamiz. Huddi shunday А matritsaning λ2 va λ3 xos sonlariga mos ravishda
С 2  (
6
6 6 T
2
2
,
, 0) T vektorlarini topamiz.
,
,
) va С 3  (
2
2
6
6 3
Demak
25




С  (C1 , C 2 , C 3 )  




3
3
3
3
3
3
6
6
6

6
6
3


2

2 
2 
.
2 

0 

Bulardan В  С1АС tenglik bajarilishini oson tekshirish mumkin.

Berilgan А matritsaga
В  С1АС shartni
matritsalarni toping.

2  2i 
 3


1 
 2  2i
 5 1

 2 2 
 

 3 2  i


2

i
7


6 4

1 3
 


4i
6  2i 
 4  3i
1


4
i
4

3
i

2

6
i

9 
1 
 6  2i 2  6i
 2 3 1
 0 3 1 


 5 3 1 


26
qanoatlantiruvchi В diagonal va С unitar
XULOSA
Ushbu kurs ishida funksional ketma-ketlik, funksional qatorlar, darajali
qatorlar va ularni xossalari haqida ma’lumot berilgan. Bu kurs ishini berilgan
rejalar asosida yoritib berishga harakat qildim. Berilgan ta’rif va teoremalarni
o’rgandim va misollarga tatbiqini ko’rib chiqdim.
Kurs ishi kirish, 2ta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar tizimidan
iborat.
Birinchi
bob
Chiziqli almashtirishlar Almashtirishlar yarim gruppasi
Chiziqli almashtirishning xos son va xos vektorlari deb nomlanadi. Bunda
funksional ketma-ketliklar, ularning xossalari, misollar va funksional qatorlar va
unga doir misollar keltirilgan.
Ikkinchi bob O‘z-o‘ziga qo‘shma. Unitar va normal almashtirishlar.deb
nomlanadi, xossalari, darajali qatorlar yaqinlashish radiusi va uning xossalari
haqida ma’lumotlar va misollar keltirilgan.
Ushbu nazariyalarni o’rganib chiqish jarayonida , kasb-hunar kollejlar,
litseylar va oliy ta’lim muassasalarida matematik analiz fanidan funksional va
darajali qatorlar nazariyasini o’rganishga oid ma’lumotlar tahlil qilindi.
Mavjud adabiyotlarning tahlili natijasida ko’pgina adabiyotlarda funksional
ketma-ketlik, funksional va darajali qator tushunchalari yaxshi yoritilgani ma’lum
bo’ldi.
27
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and Number theory.
2010. – 523 p.
2.Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006. – 297 p.
3.James J.T. Elementry number thory in nine chapters. 1999. – 417 p.
4. Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. – 433 p.
5. Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. – 584 p.
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. – 386 с.
7.Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное
пособие. 2014. – 52 с.
8.Виноградов И.М. Основы теории чисел. 1948. – 178 c.
9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 1998. – 320 с.
10. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000. – 272
с.
11. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000. –
368 с.
12. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979. –559 с.
13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 2008. – 432 c.
14. Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010. –
480 с.
15. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007. – 416 с.
28
16. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, СанктПетербург, 1999. – 304 с.
17. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент,
«Ўзбекистон», 2001 й.
29
Internet saytlari
1.www.ziyo.net
2.www.arxiv.uz
3.www.edu.uz
4.www.aim.uz
5.www.baho.uz
30