lOMoARcPSD|26299721
DS N1 2SMAet B 2021-2022
Calculus (University of the People)
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Contrôle N01
2ème SMA / B
Exercice 1 (1 point)
1pt
Durée 2h
Soit f une fonction continue sur [0; 3] tel que f (3) >
Montrer que (∃c ∈]0; 3[) :
f (c) =
1
c
26/11/2021
1
3
Exercice 2 (3 points) Soit f la fonction définie sur I =] − ∞; 1] par f (x) =
1pt
1) Étudier la dérivabilité de f à gauche en 1 et interpréter géométriquement le résultat
1pt
1) Montrer que f est une bijection de I vers un intervalle J à déterminer
1pt
2) Calculer f −1 (x) pour tout et x ∈ J
√
3
1 − x3 − 1
Exercice 3 (11.5 points)
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) =
√
−π
+ x arctan( x)
3
1pt
1) Montrer que f est dérivable à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat
1.5pt
2) a) Montrer que f est dérivable sur ]0; +∞[ , et calculer f ′ (x) pour tout x ∈]0; +∞[
1.5pt
1pt
1.5pt
b) En déduire que f est strictement croissante sur [0; +∞[ et dresser son tableau de variation
3) a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α dans[0; +∞[
4) On pose f −1
1.5pt
1pt
1pt
1.5pt
√
√
π
3 et que arctan( α) =
3α
la fonction réciproque de f définie sur f (I)
b) Montrer que 1 < α <
3α(2 + 2α)
√
2π + α(3 α + 2π)
arctan(x)
=1
4) a) En utilisant le théorème des accroissements fins , montrer que lim
x→0
x
( )
1
π
b) Montrer que (∀t > 0) :
arctan(t) + arctan
=
t
2
π
f (x)
et montrer que lim f (x) − x = −∞
c)Calculer lim
x→+∞
x→+∞ x
2
Montrer que f −1 est dérivable en 0 et que (f −1 )′ (0) =
arctan(x)
x2 + 1
1) Montrer que f est continue sur R puis calculer lim f (x) et lim f (x)
x→−∞
x→+∞
(
)
(π)
−π


]
[
g
=g
=0

−π π
2 ]
2
(
[)
par :
2) Soit la fonction g définie sur
;
−π π

2 2

: g(x) = f (tan(x))
;
 ∀x ∈
2 [)2
(
]
−π π
a) En justifiant votre réponse , montrer que
: g ′ (c) = 0
∃c ∈
;
2 2
Exercice 4 (4.5 points) Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
1.5pt
2pt
1pt
b) En déduire (∃α ∈ R) :
f ′ (α) = 0
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