INVERSORES
Son convertidores que reciben tensión continua en la entrada y entregan a la salida
una tensión alterna con la magnitud y frecuencia requeridos en la carga. Entre sus
aplicaciones más importantes se encuentran las siguientes:
1. Fuentes de alimentación de emergencia.
2. Fuentes de alimentación ininterrumpida (U.P.S.).
3. Variadores de velocidad para máquinas de corriente alterna.
4. Calentamiento por inducción.
5. Filtros activos
6. Dispositivos FACTS (Sistemas flexibles en corriente alterna)
Por lo general se requiere controlar el voltaje de salida, la frecuencia o ambos. La
necesidad de controlar el voltaje surge de la obligación de garantizar la regulación
en el equipo conectado en el lado de la carga con la tensión alterna, o para
mantener el flujo constante en motores de corriente alterna operando a velocidad
variable mediante la variación de su frecuencia de alimentación. Si la entrada de
tensión continua es controlable, entonces un inversor con una relación fija entre la
entrada y la salida alterna será suficiente. Si la entrada es constante, entonces el
control del voltaje de salida será obtenido mediante algunas técnicas entre las que
se destaca la modulación por ancho de pulsos (P.W.M.).
La forma de la tensión de salida en un inversor es una onda no sinusoidal, y en la
mayoría de las aplicaciones los armónicos de la tensión pueden afectar en forma
considerable el comportamiento de la carga. Estos armónicos se pueden reducir al
precio de incrementar la complejidad del inversor, y por tanto una decisión
Inversores.
económica debe ser tomada.
En la figura 7.1 se muestra la estructura general de un convertidor de tensión
continua a alterna. Dicho convertidor está conformado por el inversor, el filtro de
salida, el sistema de control y la fuente de alimentación.
El inversor es el elemento a analizar en este capitulo. El circuito de control es el
encargado de suministrar los pulsos de encendido y apagado a los dispositivos que
lo conforman para que de esta manera se obtenga la forma de onda deseada en la
carga. Otra función del circuito de control es la de monitorear el estado a la salida
del inversor en cuanto a sobrecargas o cortocircuitos en la carga o dentro de él, de
tal manera que inhiba la conducción de los dispositivos cuando esto se presente.
La fuente de alimentación suministra la tensión continua a la entrada del inversor y
dependiendo del tipo de control que se esté realizando para obtener la onda en la
carga puede estar conformada por una o varias etapas que a su vez pueden ser o
no manejadas por el circuito de control.
Fuente
Inversor
Filtro
Carga
Control
Figura 1. Estructura general del convertidor de continua a alterna
Los inversores se pueden considerar, desde un punto de vista general como no
autónomos y autónomos. Los primeros son aquellos que requieren estar
conectados a la tensión alterna de la red para su operación. Es el caso de los
rectificadores trabajando con un ángulo de conducción mayor a noventa grados, en
donde se produce un flujo de potencia desde la parte continua hacia la alterna. Sin
embargo este tipo de inversor tiene el enorme inconveniente, aparte de tener que
estar sincronizado con la red alterna, que la frecuencia de operación es de 50 o 60
ciclos. En el caso de los inversores autónomos, se puede operar a la frecuencia
que se quiera y en el caso que deban interconectarse a la red eléctrica de corriente
alterna es necesario que se sincronicen con ella.
El estudio de los inversores se puede realizar teniendo en cuenta los siguientes
aspectos:
Inversores.
1. Configuración del circuito de potencia.
2. Operación como fuente de tensión o de corriente.
3. Conformación de la onda a la salida.
El análisis se hace de manera general, sin especificar el dispositivo usado, para
que las consideraciones realizadas sean también válidas para cualquier otro
dispositivo de potencia de estado sólido (BJT, FET, IGBT, GTO). La escogencia de
cual dispositivo utilizar depende de factores tales como la frecuencia de operación,
la sencillez o complejidad de los circuitos de encendido y apagado, y la potencia a
entregar.
Los dispositivos se consideran ideales, esto es, en bloqueo no presentan fugas y
en conducción su caída de tensión es cero; además los tiempos de encendido y
apagado se consideran también cero; en otras palabras son interruptores ideales.
Los inversores de acuerdo al principio de operación que los rige se pueden
clasificar como fuente de tensión (VSI) y fuente de corriente (CSI), siendo los
primeros los más utilizados en las diferentes aplicaciones.
7.1 Configuración del circuito de potencia.
Es la disposición adoptada para el circuito de potencia del inversor, e incluye la
fuente de alimentación, y la carga, sin tener en cuenta los circuitos de excitación y
bloqueo. De acuerdo a lo definido, los inversores se clasifican como:
1. Transformador de toma media.
2. Batería de toma media.
3. Tipo puente.
Cada una de estas configuraciones tiene sus ventajas e inconvenientes,
independiente de los dispositivos utilizados en su implementación. La configuración
tipo puente es la más utilizada a potencias grandes y puede presentar
modificaciones en su topología para obtener tensiones de varios niveles en la
carga.
7.1.1 Inversor con transformador de toma media.
En la figura 7.2 se muestra la configuración para este circuito y las formas de onda
Inversores.
más importantes. Se observa que la fuente de alimentación VBB está conectada al
punto medio del devanado primario del transformador y que en sus extremos se
conectan los dispositivos activos. La carga está conectada al devanado
secundario. Para simplificar el análisis del circuito se considera que el
transformador es ideal, o sea que tiene corriente de magnetización, resistencia en
los devanados y reactancia de dispersión nulas.
El terminal negativo de la batería se utiliza como la referencia del circuito primario,
la cual se conecta a los terminales A y B del primario a través de los interruptores
Q1 y Q2, cuyo funcionamiento se muestra en la figura 7.2.
Para mostrar como funciona el circuito se supone inicialmente que la relación de
espiras entre todos los devanados es 1:1, y que la carga conectada en el
secundario es puramente resistiva. Una vez esto es definido se analiza su
funcionamiento.
i1(t)
i1(t)
Q1
A
i0(t)
180º
360º
i2(t)
VBB
wt
v0(t)
i2(t)
Q2
VB(t)
wt
VA(t)
wt
v0(t)
wt
B
A
i0(t)
VBB
v0(t)
Q2
B
wt
Figura 7.2 Inversor 1f con transformador de toma media
Cuando el dispositivo Q1 es activado, El voltaje de la fuente de alimentación VBB
aparece entre los terminales A - N del primario del transformador, por lo que se
Inversores.
induce en ambos devanados del primario y en el secundario un voltaje con la
polaridad mostrada en la figura 7.2. El voltaje en el secundario es Vs = VBB durante
todo éste primer intervalo. De acuerdo a la polaridad del voltaje que aparece en los
devanados primarios del transformador, el dispositivo que permanece bloqueado
está sometido a un voltaje que es dos veces el de la fuente de alimentación.
En el siguiente intervalo conduce el dispositivo Q2 y se bloquea Q1, por lo que el
sentido de circulación de la corriente en el devanado secundario cambia y también
la polaridad del voltaje inducido en los restantes devanados del transformador, por
tanto el voltaje en la carga conectada al secundario es vs = -VBB. La frecuencia del
voltaje que aparece en la carga depende de la frecuencia de los pulsos de
encendido y apagado aplicados a los interruptores Q1 y Q2.
Los dispositivos de ésta configuración en realidad están sometidos a un voltaje
mayor que 2VBB debido a las inductancias parásitas que presenta el sistema, por lo
que no se recomienda para trabajar con tensiones de alimentación altas.
De otra parte el transformador de toma media tiene un bajo grado de utilización en
el primario, debido a que sólo se utiliza un devanado primario por semi ciclo, por lo
que esta configuración tampoco es recomendable para manejar potencias altas,
sino solamente hasta unos pocos KVA.
v0(t)
Carga
Filtro
A
Q1
D1
B
D2
Q2
VBB
Figura 7.3 Inversor
Otro aspecto que justifica la utilización de este esquema con fuentes de
alimentación de bajo voltaje es el que durante cada semi ciclo aparece un
dispositivo en serie con la fuente por lo que los efectos debido a ello son mínimos.
Inversores.
En la figura 7.3 se muestra un esquema más real del inversor monofásico con
transformador de toma media. Se observa que entre la salida del inversor y la
carga se ha conectado un filtro para eliminar gran parte de los armónicos presentes
en la onda de salida del inversor.
Aparecen también conectados en antiparalelo con cada transistor un diodo, cuya
función es la de permitir la circulación de la corriente en el circuito cuando la carga
contiene elementos almacenadores de energía (inductancias y/o capacidades).
Durante el primer semiperiodo conduce el transistor Q1, permitiendo la circulación
de corriente en la carga con la polaridad mostrada e induciendo voltajes de
magnitud igual a VBB en ambos devanados del primario. Cuando el transistor Q1 es
apagado y Q2 es encendido, este no comienza a conducir en forma inmediata
debido a que la carga tiene inductancia, la corriente no puede cambiar de sentido
en forma instantánea por lo que se induce en los devanados primarios una fuerza
contra electromotriz de sentido contrario que supera en magnitud la de la fuente
de alimentación, polarizando directamente al diodo D2 y permitiendo la circulación
de la corriente de carga en dicho periodo hasta que la energía almacenada en la
inductancia sea devuelta a la fuente y la corriente se extinga. Una vez eso sucede
entra ahora sí en conducción el transistor Q2 para el siguiente semiperiodo
presentándose la misma situación descrita cuando es apagado.
7.1.2 Inversor de medio puente (Batería de toma media)
La figura 7.4 muestra la configuración básica de un inversor monofásico de medio
puente. Los transistores usados permiten tanto el encendido como el apagado por
el terminal de control (base). Por simplicidad se asume que cada transistor
conduce durante el tiempo que exista el pulso en la base y permanece apagado
cuando desaparece. La secuencia de disparo y la tensión obtenida en la carga son
mostrados en la figura 7.4b, donde la frecuencia angular de salida está dada por
w = 2π / T
En el intervalo 0 < t < T/2 conduce Q1 y la carga es sometida a la tensión V/2. En t
= T/2, Q1 es apagado y el Q2 encendido. En el intervalo T/2 < t < T T2 conduce Q2
y la carga es sometida a la tensión -V/2. Por tanto la forma de onda en la carga es
una tensión alterna rectangular de frecuencia 1/T. Variando el periodo T se puede
controlar la frecuencia de salida del inversor.
Si la carga es resistiva pura, el circuito con solamente los transistores es necesario;
pero la carga puede ser inductiva o capacitiva; o siendo más exactos, una carga
resistiva contiene algo de capacidad o de inductancia. Entonces para cualquier tipo
de carga, la corriente i0 no tiene que invertirse necesariamente en el mismo
instante que el voltaje. Los diodos D1 y D2 de corriente circulatoria, conectados en
Inversores.
antiparalelo con cada tiristor, permiten la operación con cualquier tipo de carga.
Q1
Q1
D1
+
i0
v0
T
Q2
Vs/2
wt
V0
Carga
+V/2
Q2
wt
i0
D2
Vs/2
wt
-V/2
Figura 7.4. Inversor de medio puente.
La tensión que soportan los dispositivos es igual la de la fuente de alimentación
mas las sobretensiones que se produzcan durante el funcionamiento del circuito.
Esta configuración es adecuada para valores elevados de la fuente de tensión
continua, pero tiene el inconveniente de que la tensión en la carga es sólo la mitad
de la total presente en la fuente de alimentación.
Una seria desventaja de éste circuito es que necesita alimentación continua de tres
hilos, por lo que se utiliza mejor una configuración del tipo puente.
El valor medio de la corriente a través de cada dispositivo es
I 0Q
1
=
2π
π −ϕ
∫
I p sen ( wt ) d ( wt ) =
0
Ip
1 − cos (π − ϕ ) 
2π 
La corriente media a través de cada diodo es
I0D
1
=
2π
π
∫
π −ϕ
I p sen ( wt ) d ( wt ) =
Ip
2π
(1 − cos ϕ )
Siendo Ip el valor pico de la corriente a través de la carga.
La corriente media entregada al circuito por cada mitad de la alimentación es igual
a la que circula por los transistores menos la que circula a través de los diodos, o
sea
I0S =
Ip
 cos ϕ − cos (π − ϕ ) 
2π 
Inversores.
La tensión eficaz en la carga es
2
VoR =
T
T /2
∫
0
Vs2
V
d ( wt ) = s
4
2
La tensión en la carga en este caso puede expresarse en forma general como
v0 ( wt ) =
∞
2Vs
sen ( nwt ) )
n =1,3,5,.. nπ
∑
Cuando n = 1 se obtiene el valor eficaz de la componente fundamental de la
tensión en la carga como:
V01R =
2Vs
= 0.45Vs
2π
Si se considera que la carga es del tipo R-L-C, entonces la corriente instantánea en
la carga será
i0 ( wt ) =
∞
2Vs
sen ( nwt − ϕ n )
π
n
Z
n =1,3,5,..
n
∑
donde
1 

Z n = R 2 +  nwL −

nwC 

1

−
nwL

nwC
ϕ n = Tg −1 
R


2





La potencia útil entregada a la carga por la componente fundamental es
P01 = V01R I 01R cos ϕ1 = ( I 01R ) R
2
Ejemplo: Para un circuito inversor con batería de toma media el valor de Vs = 48
Voltios y la carga es resistiva pura con R = 2.4 ohmios. Calcular:
a) La tensión eficaz de la componente fundamental aplicada a la carga V01R
b) La potencia útil entregada a la carga por la fundamental
c) La corriente media y máxima en cada transistor
e) La distorsión armónica (THD) total
f) El factor de distorsión (DF)
g) El factor armónico y el factor de distorsión del armónico de menor orden
Solución: El valor eficaz de la componente fundamental de la tensión es
V01R = ( 0.45 )( 48 ) = 21.6 Voltios
Inversores.
La tensión RMS en la carga es
V0 R =
Vs 48
=
= 24 Voltios
2
2
b) La potencia útil entregada a la carga es
V02R ( 24 )
P0 R =
=
= 240 Vatios
R
2.4
2
c) La corriente máxima que conduce cada transistor es
I pQ =
Vs 24
=
= 10 Amperios
R 2.4
cada transistor conduce durante el 50% de cada ciclo, por lo que la corriente media
circulando a través de cada transistor es
I Q = ( 0.5 )(10 ) = 5 Amperios
d) La tensión inversa pico aplicada a cada transistor es
VQ = ( 2 )( 24 ) = 48 Voltios
e) La distorsión armónica total está dada por
1
2
1  ∞
1
2 
THD =
V
VoR2 − V012 R
 ∑ on  =
V01  n =1,3,5,.. 
V01
por lo que
THD =
1
( 21.6 )
( 24 ) − ( 21.6 )
2
2
= 48.34%
f) La tensión eficaz del conjunto de armónicos exceptuando la fundamental es VH
 ∞ (V0 n )2
VH =  ∑
 n =1,3,5,.. n

1
 2  V  2  V  2  V 2 
 =  03  +  05  +  07  + ..

 3   5   7 


Para la componente fundamental
V01 = ( 0.45 ) Vs
y
V0 n =
( 0.45 ) Vs
n
La tensión eficaz de las componentes armónicas será entonces
357
Inversores.
VH = Vs



( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0.45
3
3
2
+
0.45
5
3
2
+
0.45
7
3
2
+
0.45
9
3
2
+
0.45
3
11
1
2

2
+ ... ≈ 0.01712Vs

El factor de distorsión es
DF =
VH
= 3.804%
V01
g) El armónico de orden más bajo es el tercero (el que produce mayor distorsión)
V03 =
V01
3
y
V03 R =
21.6
= 7.2 Voltios
3
El factor armónico para el componente de orden 3 es
 V01 
V03  3  1
HF3 =
=
= = 33.33%
V01
V01
3
El factor de distorsión del tercer armónico es
 V03   V01 
 2   2  1
3  3 
DF3 = 
=
=
= 3.704%
V01
V01
27
7.1.3 Inversor tipo puente monofásico
La topología de este circuito esta conformada por dos ramas cada una de ellas
conteniendo dos dispositivos semiconductores de potencia, tal como se muestra en
la figura 7.5. El inversor tipo puente monofásico es utilizado cuando se desea
obtener tensión alterna monofásica en la carga a partir de una fuente de tensión
continua única.
Los transistores Q1 y Q2 se encienden en el semi ciclo positivo, garantizando que
la tensión en la carga es la de la fuente de alimentación. En el semi ciclo negativo
se encienden los transistores Q3 y Q4, permaneciendo apagados los otros dos, lo
cual permite que la tensión en la carga en este caso sea igual a -V.
Debe tenerse en cuenta que los dos semiconductores de una misma rama no
Inversores.
pueden encenderse ni conducir en forma simultánea porque se produce un
cortocircuito de la fuente de alimentación, el cual daña los transistores. Igualmente,
para que el circuito pueda funcionar con cualquier tipo de carga es necesaria la
inclusión de los diodos de corriente circulatoria en antiparalelo con cada uno de los
transistores que configuran el puente monofásico. Su función es transportar la
corriente debida los elementos almacenadores de energía en la carga.
Q1
D1 Q3
D3
+v0 Vs
Q4
D4
Q2
D2
Inversor tipo puente 1f
En la figura 7.6 se muestran las formas de onda obtenidas y la secuencia de
funcionamiento de los dispositivos cuando la corriente en la carga se encuentra en
atraso con respecto a la tensión. En el primer intervalo, aunque se están aplicando
las señales de encendido a los transistores Q1 y Q2, no se presentan conducción
en ellos debido a que por la energía almacenada en los elementos reactivos de la
carga la corriente no puede cambiar en forma instantánea, por lo que esta busca
camino a través de los diodos de corriente circulatoria D1 y D2. Una vez la corriente
en la carga es cero, Q1 y Q2 entran en conducción y permanecen así hasta que se
encienden Q3 y Q4 y Q1 y Q2 son apagados. De nuevo, Q3 y Q4 no conducen de
forma inmediata debido a que por efecto de los elementos almacenadores de
energía en la carga, la corriente es diferente de cero, por lo que al apagarse Q1 y
Q2 esta sigue circulando por los diodos D3 y D4.
Debe tenerse en cuenta que la expresiones para la corriente media en cada
transistor y diodo son similares a las del medio puente, pero la corriente entregada
por la fuente de alimentación es el doble e igual a
IS =
IP
cos ϕ − cos (π − ϕ ) 
π 
La tensión eficaz en la carga para este caso es
Inversores.
2
VoR =
T
T /2
∫V
2
s
d ( wt ) = Vs
0
Figura 7.6. Formas de onda para corriente en atraso
La tensión instantánea en la carga se expresa ahora como
v0 ( wt ) =
∞
4Vs
sen ( nwt ) )
n =1,3,5,.. nπ
∑
El valor eficaz de la componente fundamental se obtiene haciendo n = 1, y:
V01R =
4Vs
= 0.9Vs
π 2
La corriente cuando la carga es R-L-C está dada por
i0 ( wt ) =
∞
4Vs
sen ( nwt − ϕ n )
n =1,3,5,.. nπ Z n
∑
donde
1 

Z n = R 2 +  nwL −

nwC 

2
1

nwL −

nwC
ϕn = Tg −1 
R







Ejemplo: Para un puente inversor monofásico basado en transistores la tensión de
Inversores.
alimentación continua es Vs = 48 voltios, y la carga R = 2.4 Ohmios. Se pide
calcular:
a) El valor eficaz de la componente fundamental en la carga
b) La potencia media en la carga
c) La corriente media y máxima en cada transistor
d) La tensión inversa máxima que soporta cada transistor
e) La distorsión armónica total (THD)
f) El factor de distorsión (DF)
Solución:
a) El valor eficaz de la componente fundamental está dado por
V01R = ( 0.9 )( 48 ) = 43.2 Voltios
b) La potencia útil entregada a la carga es
V 2 ( 48 )
P0 R = s =
= 960 Vatios
R
2.4
2
c) La corriente máxima que conduce cada transistor es
I pQ =
Vs 48
=
= 20 Amperios
R 2.4
cada transistor conduce durante el 50% de cada ciclo, por lo que la corriente media
circulando a través de cada transistor es
I Q = ( 0.5 )( 20 ) = 10 Amperios
d) La tensión inversa pico aplicada a cada transistor es
VQ = 48 Voltios
e) Si se quiere conocer la tensión de rizado aportada por los armónicos, entonces
V0R = 48 Voltios y V01R = 43.2 Voltios, por lo que la tensión de rizado es
VRI = 482 − 43.2 2 = 20.92 Voltios
La distorsión armónica total es
THD =
1
2
1 
1
2 
VoR2 − V012 R
 ∑ Von  =
V01  n =1,3,5,.. 
V01
por lo que
∞
Inversores.
1
48 2 − 43.2 2 = 48.43%
43.2
THD ==
La tensión inversa aplicada a cada transistor es la tensión de la fuente de
alimentación.
Ejemplo: Para un puente inversor monofásico con transistores la tensión continua
de alimentación es Vs = 200 Voltios, R = 30 Ohmios, L = 0.16 H y T = 12.5 ms. Se
pide calcular:
a) El valor máximo de la corriente en la carga
b) El tiempo de conducción de los diodos
c) El tiempo de conducción de los transistores
d) La corriente media entregada por la fuente de alimentación
e) La potencia media aplicada a la carga
Solución:
a) La constante de tiempo para el circuito es
τ=
L 0.16
=
= 5.33 ms
R
30
La corriente en la carga se expresa como
V
i0 ( wt ) = s
R
t
−

τ
1 − e

t
−

τ
 + ke

Si se asume que la corriente máxima es I0 entonces la corriente en la carga queda
V
i0 ( wt ) = s
R
t
−

τ
1 − e

t
−

τ
 − I 0e

por tanto, la corriente máxima en la carga está dada por
T
−

2τ
V 1− e
I0 = s 
T
−
R 
2τ
 1+ e
0.0125
−


2( 0.00533)
 =  200   1 − e
0.0125
  30  
−

2( 0.00533)


1+ e
b) El tiempo de conducción de cada diodo es
ϕ = Tg
−1
( )
wL
R
entonces
= Tg
−1
 2π ( 0.16 )  = 69.54º


 ( 0.0125 ) ( 30 ) 


 = 3.51 Amperios


Inversores.
tD =
( 69.54 )(12.5 ) = 2.41 ms
360
c) El tiempo de conducción de cada transistor es
tQ = 6.25 − 2.41 = 3.84 ms
La corriente media en los diodos y transistores están dadas por
I0
3.51
(1 − cos ϕ ) =
(1 − cos 69.54º ) = 0.36 Amperios
2π
2π
I
3.51
I Q = 0 1 − cos (π − ϕ ) =
1 − cos (180º −69.54º )  = 0.75 Amperios
2π
2π 
ID =
La corriente media que entrega la fuente de alimentación para cada semi ciclo es
igual a la que circula por los transistores menos la que circula por los diodos. En
este caso
I s = 2 ( I Q − I D ) = 2 ( 0.75 − 0.36 ) = 0.78 Amperios
e) La potencia media entregada a la carga es
Po = I sVs = ( 0.78 )( 220 ) = 171.6 Vatios
Ejercicio: Un puente inversor monofásico tiene una carga RLC con R = 10 Ohmios,
L = 31.5 mH, y C = 112 : F. La frecuencia de la tensión alterna en la carga es 60 Hz
y la tensión continua de la fuente de alimentación es Vs = 220 Voltios. Se pide
encontrar:
Q1
D1 Q3
D3
+v0 RLC
Vs
Q4
D4
Q2
D2
a) La corriente instantánea en la carga expresada mediante series de Fourier
Inversores.
b) El valor eficaz de la corriente en la carga y del primer armónico
c) La distorsión total de la corriente en la carga
d) Potencia útil aplicada a la carga y debida a la componente fundamental
e) Corriente media en la fuente de alimentación
f) Corriente media y máxima en cada transistor.
Solución:
a) Inicialmente se calcula la impedancia al primer armónico y se divide la tensión
instantánea en series de Fourier por el valor obtenido
10


+  ( 377 )( 0.0315 ) −
( 377 )(112 ) 

6
Z1 =
10
2
2
= 15.4 Ω
El ángulo de fase de la componente fundamental es
6

10

377
0.0315
−
(
)(
)

( 377 )(112 )  
−1

ϕ1 = Tg 
= −49.7º
10






El valor de la componente fundamental de la tensión a partir de la expresión en
series de Fourier es
V01 =
( 4 )( 220 ) sen
π
( 377t ) = 280.1sen ( 377t )
La componente fundamental de la corriente es entonces
I 01 =
V01 280.1
=
sen ( 377t + 49.7º ) = 18.1( 377t + 49.7º ) Amperios
Z1
15.4
Se calcula el valor de la corriente armónica para n = 3 y n = 5, asumiendo que los
efectos de los restantes son despreciables
V03 = 93.4 sen ( 3 ( 377t ) ) Z 3 = 29.43Ω ϕ 3 = 70.17º
El tercer armónico de corriente
I 03 = 3.17 sen ( 3 ( 377t ) − 70.17º )
Para el quinto armónico
V05 = 56 sen ( 5 ( 377t ) ) Z 3 = 55.5Ω ϕ 3 = 79.63º
El quinto armónico de corriente
I 05 = 1sen ( 5 ( 377t ) − 79.63º )
Inversores.
La expresión general para la corriente en la carga es entonces
i0 ( wt ) = 18.1sen ( ( 377 t ) − 49.7º ) + 3.17 sen ( 3 ( 377 t ) − 70.17º ) + sen ( 5 ( 377 t ) − 79.63º )
b) El valor eficaz de la componente fundamental de la corriente es
I 01R =
I 01 18.1
=
= 12.8 Amperios
2
2
Teniendo en cuenta los armónicos calculados, la corriente máxima en la carga será
I 0 = 18.12 + 3.17 2 + 12 = 18.4 Amperios
El valor eficaz de la corriente en la carga es entonces
I0R =
I 0 18.4
=
= 13.01
2
2
c) La distorsión armónica total para la corriente se calcula de la misma manera que
se hizo con la tensión, por lo que
THD =
1
2
1 
1
2 
2
I oR
− I 012 R
 ∑ I on  =
I 01  n =1,3,5,.. 
I 01
∞
por tanto
THD ==
1
18.4 2 − 18.12 = 18.28%
18.1
d) Las potencias pedidas son
P0 = I 02R R = (13.01) (10 ) = 1692.6
2
P01 = I 012 R R = (12.8 ) (10 ) = 1638.0
2
f) De acuerdo al numeral (b) la corriente máxima por los transistores es
I Qp = 18.4 Amperios
Como cada rama conduce durante la mitad del periodo, se tiene
I 0Q =
7.69
= 3.845 Amperios
2
7.1.4 Análisis del inversor tipo puente trifásico
Inversores.
En la figura 7.7 se muestra el circuito de un inversor tipo puente trifásico para el
cual la carga es conectada a los terminales A, B y C. Las señales de control
requeridas para producir el voltaje de salida trifásico se muestran en la figura 7.7b,
como también los voltaje linea - linea aplicados a la carga. Se observa que con la
componente fundamental de éstos voltajes se obtiene un voltaje trifásico
balanceado. Los diodos conectados en antiparalelo con cada dispositivo permiten
que fluya la corriente que está desfasada con respecto a esos voltajes.
Q1
D1
Q3
D3
Q5
D5
+
V
iA
-
Q4
D4
iB
A
Q6
i
B
D6
Q2
c
C
D2
Figura Inversor tipo puente 3f con SCR
Se analiza a continuación el funcionamiento del circuito de potencia del inversor
trifásico para diferentes condiciones de operación de los dispositivos que lo
conforman, luego se considera la manera de calcular sus valores. El diseño del
circuito de conmutación depende del dispositivo utilizado como interruptor de
potencia.
7.1.5 Análisis de ondas del inversor trifásico
Un voltaje trifásico puede obtenerse a partir de una fuente de tensión continua
Q1
D1 Q3
Q4
D4
D3
Q5
D5
V
Va
Q6
D6
Q2
Vb
Figura 7.7 Inversor trifásico con BJT
D2
Vc
Inversores.
utilizando tres inversores monofásicos y programando las señales de puerta para
los tiristores o elementos que los conforman de tal manera que exista un desfase
de 120° entre los voltajes de salida. Esas salidas suelen llevarse a los devanados
primarios de un transformador. Dependiendo de las características exigidas para el
voltaje de salida ellos pueden conectarse en delta o en Y. La conmutación, control
del voltaje y la reducción de armónicos pueden obtenerse mediante alguno de los
métodos analizados. Esta opción es costosa porque requiere de 12 dispositivos de
potencia mientras que con el puente trifásico se requieren solo 6 y las señales de
encendido se controlan de acuerdo al siguiente análisis.
Para los inversores trifásicos existen dos posibles patrones para las señales de
control de los dispositivos interruptores de potencia, los cuales son:
1. Tres interruptores encendidos en todo momento; lo que origina voltajes de salida
que son definidos para cualquier condición en la carga.
2. Dos interruptores encendidos en todo momento; lo que resulta en voltajes de
salida no definidos para algunas condiciones en la carga.
Cualquiera que sea el patrón de pulsos usado, es necesario que las señales sean
aplicadas y removidas a intervalos de 60° del voltaje de salida, por lo que hay 6
periodos diferentes de operación en un ciclo. Los transistores para el circuito de la
figura 7.7 son numerados en una secuencia tal que de acuerdo a las señales de
encendido aplicadas se tienen voltajes con secuencia positiva a la salida , esto es
A, B y C.
Cuando cualquier transistor es encendido, éste y el diodo conectado en
antiparalelo actúan como un interruptor cerrado. Entonces cuando el transistor Q1
es encendido, el terminal de salida A es conectado al potencial positivo de la
fuente. Asimismo, cuando Q4 es encendido, el terminal A es conectado al potencial
negativo de la fuente. Las mismas consideraciones se hacen para encontrar los
potenciales de los terminales B y C.
7.1.7 Tres dispositivos encendidos
En la figura 7.8 se muestran las formas de onda obtenidas cuando cada
conmutador conduce durante un periodo B, y las señales de encendido se aplican
cada B/3 con duración de B radianes. Mirando los pulsos de control existen 6
conmutaciones por ciclo, y por tanto un periodo de operación del inversor se divide
en seis intervalos. Durante cada intervalo los dispositivos conducen de acuerdo a
los siguientes patrones:
Inversores.
Intervalo
Dispositivos conduciendo
I
1, 5, 6
II
1, 2, 6
III
1, 2, 3
IV
2, 4, 3
V
5, 4, 3
VI
5, 4, 6
Por lo que tres dispositivos conducen al tiempo en cada intervalo.
iB1
T
iB2
t
t
iB3
t
iB4
T/2
iB5
t
t
iB6
t
VAB
t
VBC
V
t
-V
VCA
V
t
-V
Figura 7.8 Inversor con cada dispositivo conduciendo 180º.
Inversores.
Las tensiones de linea pueden expresarse mediante la serie:
VAB =
4V
π
 nπ 

cos 
 sen  wt + 
6
 6 

n =1,3,5.. nπ
VBC =
4V
 nπ
cos 
 6
n =1,3,5.. nπ
VCA =
4V
5π 
 nπ 

cos 
 sen  wt −

6 
 6 

n =1,3,5.. nπ
∞
∑
∞
∑
(7.45)
π


 sen  wt − 
2


(7.46
∞
∑
+
A
+
B
+
C
V
V
V
(7.47)
-
A +
+
-
N
-
V
B
-
+
V
-
2V / 3
+
N
C
a ) Ca rg a
b ) I n ter va l o I
+
2V / 3
-
B
-
V/ 3
+
C
-
V/ 3
+
A
-
V/ 3
c ) I n ter v a l o I I
A
+
N
V
-
B
C
+
V/ 3
-
- 2V / 3 +
N
d ) I n te r v a l o I II
Figura 7.9 Circuitos equivalentes del inversor
Estas ecuaciones muestran que los armónicos de orden tres (n = 3, 6, 9, ..) son
cero para los voltajes de línea. Estas tensiones fueron bien definidas durante los
seis intervalos, por lo que su forma es independiente de la carga usada, ya sea
lineal o no lineal, balanceada o desbalanceada o cualquier combinación de
resistencia, inductancia o capacidad. Si la carga es conectada en delta, las
corrientes de linea y de fase se pueden calcular usando las ecuaciones (7.45),
(7.46) y (7.47). Si la carga es conectada en estrella, se puede aplicar el teorema de
Inversores.
superposición para obtener los voltajes y corrientes de fase.
Puesto que en la figura 7.8 se obtuvieron los voltajes de línea para una carga
conectada en estrella entre los terminales ABC, el voltaje de fase puede obtenerse
considerando los circuitos equivalentes del inversor y la carga para cada uno de los
seis intervalos.
En la figura 7.8 se analizaron las formas de onda para los intervalos I, II y III, de
donde se deduce:
Periodo I 0 < wt < B/3
Q1, Q5 y Q6 encendidos, por tanto:
VAn = V/3
VCn = V/3
VBn = -2V/3
Periodo II B/3 < wt < 2B/3
Q1, Q6 y Q2 encendidos, por lo que:
VAn = 2V/3
VBn = -V/3
VCn = -V/3
Van
2V/3
V/3
t
T/2
T
Figura 7.10. Tensión de fase inversor 3f
El circuito de conmutación es tal que cuando Q2 es encendido, éste se encarga de
apagar a Q5.
Periodo III
Q1, Q3 y Q2 conducen, por tanto:
Inversores.
VAn = V/3
VBn = V/3
VCn = -2V/3
El valor RMS de la tensión de línea es
1
=
π
VLRMS
2π / 3
∫
0

V 2 d ( wt ) 

1/ 2
=
2
V
3
De las expresiones generales obtenidas para las tensiones de línea puede
obtenerse el valor RMS de la componente n de dicha tensión
4V
 nπ 
cos 

2nπ
 6 
VLn =
la cual, cuando n=1 entrega el valor RMS de la componente fundamental
4V
π 
cos   = 0.779V
2π
6
VL1 =
El valor RMS de las tensiones de fase se puede obtener a partir de las tensiones
de línea,
Vf =
VL
=
3
2V
= 0.4714V
3
Para una carga conectada en Y, la tensión de fase es la de línea dividida por la raíz
cuadrada de tres con un retraso de 30º. Usando una de las expresiones generales
para las tensiones de línea, se obtiene la correspondiente corriente de línea que en
es te caso es
ia =
 4V
 nπ  
cos 

 sen ( nwt − θ n )
6
n
π
Z
3


n =1,3,5 
n
α
∑
siendo
 nwL 
θ n = Tg −1 

 R 
y
2
Z n =  R 2 + ( wL ) 


1/ 2
Ejemplo: Para un inversor trifásico con carga R-L conectada en Y y conducción de
180º se tiene que R = 5 Ohmios y L = 23 mH. La frecuencia es de 60 ciclos y la
tensión continua de alimentación es de 220 voltios. a) Exprese la tensión
instantánea de línea vAB(t) y la corriente de línea ia(t) en término de sus
Inversores.
componentes de Fourier. b) Calcule la tensión RMS de línea; c) la tensión RMS de
fase; d) el valor RMS de la componente fundamental de la tensión de línea; e) el
valor RMS de la componente fundamental de la tensión de fase; f) la distorsión
armónica total; g) la potencia útil entregada a la carga; h) la corriente media ID
circulando por cada dispositivo; y la corriente RMS IR circulando por cada
dispositivo.
Solución: a) Utilizando la expresión general para la tensión de línea y
desarrollando términos, se obtiene
vab ( wt ) = 242.58 sen ( wt + 30º ) − 48.52 sen5 ( wt + 30º ) − 34.66 sen 7 ( wt + 30º ) +
22.05sen11( wt + 30º ) + 18.66 sen13 ( wt + 30º )
(
Z = 52 + ( 8.67n )
)
2 1/ 2
 8.67 n 
Tg 1 

 5 
La corriente instantánea está dada por
ia ( wt ) = 14 sen ( wt − 60º ) − 0.64 sen ( 5wt − 83.4º ) − 0.33sen ( 7 wt − 85.3º ) +
0.13sen (11wt − 87º ) + 0.1sen (13wt − 88º )
El valor RMS de la tensión de línea es
VLR = 0.8165 ( 220 ) = 179.63
El valor RMS de la tensión de fase es
V f RMS = 0.4714 ( 220 ) = 103.7
d) El valor RMS de la componente fundamental de la tensión es
VL1R = 0.7797 ( 220 ) = 171.53
e)
V f 1R = VL1R / 3 = 99.03
f)
 α
2 
 ∑ VLn 
 n =5,7,11,.. 
1/ 2
= (VL2 − VL21 ) = 0.24236V
g) Para cargas conectadas en estrella, la corriente de línea es la misma corriente
de fase, y el valor RMS de la corriente de línea es
IL
(14
=
2
+ 0.642 + 0.332 + 0.132 + 0.12 )
1/ 2
2
La potencia útil entregada a la carga es
= 9.91 Amperios
Inversores.
P = 3 I L2 R = 3 ( 9.91) ( 5 ) = 1473 Vatios
2
h)La
corriente
promedio
entregada
por
I S = P / V = 1473 / 220 = 6.7 Amperios,
transistor es
la
fuente
de
alimentación
es
y la corriente promedio por cada
I OQ = 6.7 / 3 = 2.23 Amperios.
7.1.8 Dos dispositivos encendidos
En la figura 7.11 se muestran las formas de onda obtenidas de acuerdo a un patrón
de pulsos de encendido tal que cada transistor conduce durante 2B/3 radianes.
iB1
T
iB2
t
t
iB3
t
iB4
T/2
iB5
t
t
iB6
t
VAN
t
V/2
-V/2
V
VAB
t
V/2
t
-V/2
-V
Figura 7.11. Dispositivos conduciendo 120º
Como en el caso anterior, la duración de cada pulso de control indica el periodo de
conducción de cada dispositivo. Se requieren de seis conmutaciones por ciclo,
Inversores.
donde cada periodo del inversor es dividido en seis intervalos. En cada intervalo los
transistores conducen de acuerdo al siguiente patrón:
Intervalo Transistores conduciendo
I
1, 6
II
2, 1
III
3, 2
IV
4, 3
V
5, 4
VI
6, 5
+
A
+
B
+
C
V
V
V
-
A +
+
-
N
-
V
-
+
V
-
+
B
-
C
-
V/ 2
+
N
b ) I n ter v a l o I
-
+
+
A
+
+
V/ 2
V/ 2
C
a ) Ca rg a
A
-
B
-
V/ 2
N
V
-
B
C
-
+
V/ 2
-
V/ 2
+
N
+
c ) I n ter v a l o I I
d ) I n te r v a l o I I I
Figura 7.12. Circuito equivalente por tramos del inversor 3f
Por lo que para éste patrón de encendido, dos transistores conducen en cada
intervalo, y dos de los terminales de carga son conectados a los terminales de
alimentación con tensión continua permaneciendo el tercero flotante durante
cualquiera de los seis intervalos del ciclo. Los potenciales de los terminales
conectados a la fuente quedan bien definidos, pero el del terminal flotante depende
de la naturaleza de la carga y no será constante durante la duración del intervalo.
Inversores.
Sin embargo, las formas del voltaje en la carga están bien definidas para una carga
resistiva conectada en estrella y puede obtenerse a partir de los circuitos
equivalentes del inversor y la carga para cada intervalo. Por ejemplo, los circuitos
equivalentes para los intervalos I, II y III son mostrados en la figura 7.24. De allí se
obtiene:
Intervalo
Voltaje de fase
I 0 < wt < B/3
II B/3< wt < 2B/3
III 2B/3< wt < B
vAn = V/2
vAn = V/2
vAn = 0
Voltaje de linea
vAB = V
vAB = V/2
vAB = -V/2
El mismo análisis se realiza para encontrar los voltajes de las otras fases.
Examinando los patrones de encendido para los dos casos analizados se observa
que para el primero cuando cada transistor conduce 180°, el encendido de
cualquiera de los elementos de una rama se realiza después de la conmutación del
otro de la misma rama, por lo que si no se deja el intervalo de tiempo suficiente
entre el apagado de uno y el encendido del otro se corre el riesgo de dejar dicha
rama en cortocircuito debido a la conducción simultánea.
El segundo caso la situación es diferente ya que existe un intervalo de B/3 entre el
tiristor de una rama que se apaga y el que se enciende de la misma. Ese intervalo
es más que suficiente para que el tiristor que se apaga lo haga sin ningún riesgo,
por lo que la conmutación es más confiable para éste caso y la posibilidad de
conducción de dos transistores por la misma rama disminuye en forma
considerable.
El segundo punto de comparación importante es en relación a la utilización de los
tiristores. La comparación de los dos esquemas se hace usando un parámetro
llamado factor de utilización (F.U.), el cual es definido como:
P0
F.U. = ----(7.48)
PT
Donde P0 es la potencia útil entregada por el inversor a la carga, y PT es la
capacidad total de manejo de potencia de todos los transistores usados, y es
definida como:
PT = NVDRM IRMS
(7.49)
Inversores.
Siendo:
N = número de tiristores.
VDRM El voltaje de pico repetitivo directo.
IRMS La corriente R.M.S. nominal.
Es usual calcular el factor de utilidad para cargas resistivas ideales con el fin de
tener un punto de comparación para los dos esquemas de control.
Inversor con 180° de conducción: Si la resistencia por fase es R, entonces para
una carga conectada en estrella se tiene:
 1 π VAn
 2V 2
P0 = 3  ∫
d ( wt )  =
π
R
 0
 3R
(7.50)
El valor de la corriente de un dispositivo se escoge tal que la corriente fluyendo a
través de él sea el valor eficaz (RMS) nominal de la carga. Durante un ciclo, la
corriente de cualquier fase está circulando a través de dos transistores en serie, por
ejemplo para la fase A, Q1 transporta la corriente de carga durante el semiciclo
positivo y Q4 durante el negativo. Por tanto el valor R.M.S. de la corriente de carga
por fase para la carga nominal está dada por
1/ 2
 P 
IR = 

 3R 
=
2V
3R
La potencia útil puede ser escrita como
P = 3 RI R2
De las ecuaciones (7.52) y (7.53)se obtiene
IRMS = V/3R
(7.54)
El voltaje directo de pico repetitivo que el dispositivo debe tener para ésta carga es
VDRM = V, entonces
V
2V 2
Pt = 6V
=
3R
R
De las ecuaciones (7.48), (7.50), y (7.52) se encuentra:
(7.55)
Inversores.
P0 1
= = 33.33%
Pt 3
F .U . =
(7.56)
Lo que indica que la potencia nominal entregada por el inversor es sólo el 33.33 de
la potencia máxima combinada de los seis tiristores.
Inversor con 120° de conducción: Para una carga conectada en estrella con una
resistencia por fase R, P0 estará dada por la ecuación
3
P0 =
π
2π / 3
∫
0
2
1 V 
V2
d
(
wt
)
=
 
R 2 
2R
(7.57)
La corriente IRMS será
1/ 2
 P 
IR = 

 3R 
=
1 V
6R
y
PT = 6V
1 V
V2
= 3
R
2 3R
De donde el factor de utilización encontrado es
F .U . =
1
2 3
= 28.9%
(7.60)
En éste caso la potencia útil del inversor es el 28.9% de la potencia máxima
combinada de los seis transistores.
Comparando las ecuaciones (7.56) y (7.60) se observa que el factor de utilización
es menor en el caso de conducción del tiristor de 120°.
Ejercicio: Un inversor trifásico tipo puente con transistores se alimenta con una
tensión continua de V = 200 Voltios. Si la carga tiene un valor de R = 10 ohmios y
está conectada en estrella, encuentre la corriente eficaz en la carga, en cada uno
de los transistores y la potencia entregada a la carga cuando:
a) El ángulo de conducción es de 120º
b) El ángulo de conducción es de 180º
Solución: Se toman los datos tomados en el análisis para del circuito en cada
Inversores.
caso.
a) cuando el ángulo de conducción es de 120º se tiene
VCn = 0
VAn = VBn =
V
2
De acuerdo a esto, se tienen dos intensidades de fase iguales en magnitud aunque
de diferente sentido, y la tercera es cero. Por tanto
I a = Ib =
V
200
=
= 10 Amperios
2 R ( 2 )(10 )
Por tanto la corriente eficaz en cada fase se puede considerar como la media
geométrica de las tres corrientes máximas de cada fase, por lo que
I 0 RMS =
I a2 + I b2 + I c2
102 + 102 + 02
=
= 8.16 Amperios
3
3
A partir de este dato se puede obtener la corriente eficaz en cada transistor de la
siguiente forma
I QRMS =
I 0 RMS 10
=
= 5.77 Amperios
3
3
La potencia útil entregada a la carga es
P0 = 3( I 0 RMS ) 2 R = ( 3 )( 8.16 ) (10 ) = 2000 Vatios
2
b) Al igual que en el caso anterior se toman los valores correspondientes de
acuerdo al análisis para un ángulo de conducción de 180º.
VAn = VCn =
V
3
VBn =
2V
3
Por tanto las corrientes de fase serán
Ib =
2V
= 13.33
3R
Ia = Ic =
V
= 6.67 Amperios
3R
La corriente eficaz por fase será la media geométrica de las máximas que conduce
cada transistor
I a2 + I b2 + I c2
6.67 2 + 13.332 + 6.67 2
=
= 9.43 Amperios
3
3
Como conducen tres transistores por cada tramo, la corriente eficaz en cada uno
de ellos es
Inversores.
I fase ( RMS )
2
=
9.43
= 6.67 Amperios
2
La potencia útil entregada a la carga es
P0 = 3( I fase ( RMS ) ) 2 R = ( 3 )( 9.43 ) (10 ) = 2668 Vatios
2
Por los resultados se deduce que tanto los voltajes como las corrientes son
mayores para un inversor trifásico con un ángulo de conducción de 180º que para
uno con 120º.
7.2.1 Circuito de potencia
Si la carga de éste circuito es RLC serie al cual una onda de voltaje rectangular de
amplitud V y período T es aplicada, entonces el sistema se puede representar
mediante el circuito de la figura 7.7a, donde:
vs = V
vs = -V
0 < t < T/2 Seg.
T/2 < t < T
Seg.
(7.2)
Figura 13 . Circuito equivalente del inversor tipo puente.
Cuando varios ciclos de la fuente de alimentación continua vs han transcurrido, la
variación de la corriente en el tiempo ha alcanzado una forma periódica tal que
379
Inversores.
i0 = I01
t = T/2 Seg.
i0 = -I01
t = 0, T Seg.
(7.3)
Para el circuito de la figura 7.13, durante el intervalo 0 < t < T/2 segundos se
encuentra:
v0 = V = vR + vL + vC Voltios
(7.4)
ó
t
di 1
V = Ri0 + L + ∫ i0 dt + VC 0
dt C 0
(7.5)
Donde Vc0 es el voltaje a través del condensador en t=0. Derivando la ecuación
anterior queda:
d 2i0 R di0
1
+
+
i0 = 0
2
dt
L dt LC
(7.6)
Figura 7.13b. Formas de onda para el puente 1N con diferentes cargas.
380
Inversores.
La solución a ésta ecuación usando las condiciones iniciales de las ecuaciones
(7.3) entrega una expresión general que describe la corriente de carga i0 como una
función del tiempo. Sin embargo, como el voltaje en la carga v0 es definido, los
valores de corriente necesarios para especificar los dispositivos en el circuito
inversor pueden ser obtenidos del análisis de Fourier. Por tanto la obtención de una
expresión analítica para i0 en cualquier caso particular es innecesaria. Una manera
de conocer como varía i0 es útil de todas maneras, y las posibles formas de onda
son mostradas en las figura 7.13b.
La corriente en la carga para los casos RL, RLC subamortiguada y
sobreamortiguada son mostradas en la figura 7.13b. En ella se señalan los
dispositivos que conducen durante cada intervalo.
En el caso de carga RL y carga RLC sobreamortiguada, los transistores están
conduciendo corriente en el momento de la conmutación y por lo tanto solamente
pueden ser conmutados mediante conmutación forzada. Para la carga RLC
subamortiguada, la corriente de carga, que es la misma que fluye a través de los
transistores, se hace cero antes de que finalice el semiciclo por lo que este deja de
conducir y la corriente de carga es transportada por los diodos.
La corriente i0 tiende a ser negativa en t = tx, y
tq = T/2 - tx > tOFF
(7.7)
Donde tOFF es el tiempo de apagado de cada tiristor.
Si el tiempo durante el cual conducen los diodos es mayor que el de apagado de
los transistores, ellos se apagarán solos y no se necesita ningún circuito adicional
para hacerlo. Este método de conmutación es conocido como auto conmutado o
conmutación por la carga y es utilizado en inversores que se utilizan para
calentamiento por inducción.
El voltaje en la carga v0, puede ser descrito mediante la serie de Fourier:
v0 =
∞
 4V

n =1,3,5,..  nπ
∑

sen ( nwt ) (7.8)

La corriente en la carga i0 se expresa mediante la serie
i0 =
 4V

n =1,3,5,..  nπ Z n
∞
∑

sen ( nwt − ϕ n ) (7.9)

donde
381
Inversores.
1
2

1   (7.10)

Z n =  R 2 +  nwL −
 
nwC  


1 

nwL −

nwC  (7.11)
ϕn = Tg −1 

R




2
La corriente en la carga en el instante de conmutación, puede obtenerse
sustituyendo wt = B en la ecuación de la corriente, dando
i0 = I01 Amp.
wt = B Rad.
(7.12)
Si I01 > 0, deberá usarse la conmutación forzada. Si I01 < 0, entonces puede ser
posible la conmutación por la carga de los tiristores.
7.2 Control de la tensión de salida
En la mayoría de aplicaciones de los inversores, el control de la relación entre el
voltaje en la carga y el de la fuente de alimentación es requerido. Ejemplos típicos
de tales casos son:
1. Un inversor empleando una batería como la fuente de continua y que debe
entregar un voltaje alterno en la carga, debe ser capaz de eliminar el efecto que
produce la variación la variación de tensión en ella.
2. Un inversor que maneja un motor de alterna debe mantener una relación
aproximadamente constante entre el voltaje y la frecuencia de salida para evitar la
saturación del núcleo del motor.
Los métodos de control de la tensión más usados son:
a. Control de la tensión continua de entrada colocando un equipo regulador de
continua entre los terminales de entrada del inversor y la fuente de alimentación.
b. Introducción de un controlador de voltaje alterno entre los terminales de salida
del inversor y la carga.
c. Regulación interna en el propio inversor.
7.2.1 Control de la tensión continua de alimentación
382
Inversores.
Las formas más comunes para variar la tensión de entrada al inversor utilizan un
troceador cuando la fuente de alimentación disponible es continua, o también de un
rectificador totalmente controlado o uno no controlado seguido por un troceador; y
cuando la fuente es alterna de un regulador de tensión alterna seguido por un
rectificador no controlado.
El troceador tiene la ventaja frente al rectificador controlado de que, como el
número de conmutaciones es mucho más elevado, se pueden conseguir
variaciones del voltaje de salida mucho más rápidas. Si el propósito es mantener
constante el voltaje de salida frente a variaciones de la carga o de la fuente de
alimentación también el troceador puede efectuar las correcciones más
rápidamente, obteniendose mejor respuesta dinámica a la salida.
Las ventajas que se obtienen de éstas configuraciones son las siguientes:
1. La forma de onda a la salida del inversor y su contenido armónico no cambian en
forma apreciable
2. Si la tensión continua de entrada al inversor es variada para compensar las
fluctuaciones de voltaje de la fuente, el inversor puede diseñarse para un rango de
voltaje limitado. Tal inversor es más eficiente, en términos de pérdidas de potencia
y de utilización de componentes.
Tensión continua
constante
Tensión alterna
constante
Tensión alterna
constante
Tensión alterna
constante
Troceador
Convertidor
controlado
Convertidor
no controlado
Controlador de
tensión alterna
Tensión continua
variable
Filtro
Inversor
Tensión continua
variable
Filtro
Inversor
Troceador
Convertidor
no controlado
Tensión continua
variable
Filtro
Inversor
Tensión continua
variable
Filtro
Inversor
Figura 7.14 Control de la tensión a la entrada del inversor
383
Inversores.
Sin embargo éstos métodos de control del voltaje tienen las siguientes desventajas:
1. La potencia entregada por el inversor es manejada por dos o tres convertidores.
Un mayor número de etapas de conversión hacen el control más costoso, se
incrementan las pérdidas y se reduce la eficiencia.
2. Se requieren circuitos de filtrado para obtener una tensión continua con un nivel
de rizado aceptable. El uso de esos filtros incrementa el costo, tamaño, peso del
equipo además de reducir la eficiencia y hacer la respuesta transitoria lenta.
3. El control de la tensión continua de entrada no es deseable cuando se necesita
una variación grande en el voltaje de salida y cuando una elevada corriente de
carga es requerida a voltaje de salida reducido.
7.2.2 Control de la tensión entregada por el inversor
La tensión de salida entregada por el inversor puede controlarse introduciendo un
regulador de tensión alterna entre la salida del inversor y la carga. Este método es
evitado ya que provoca un contenido elevado de armónicos a bajos valores del
voltaje de carga, aunque puede llegarse a usar en aplicaciones de muy baja
potencia.
I n v er so r
I
V
01
Vo l ta je
V
D.C.
V
I n v er so r
II
0
02
Figura 7.15Arreglo de inversores
El uso de varios inversores puede llegar a ser una manera efectiva de controlar el
voltaje de salida cuando se trabaja con potencias elevadas. El voltaje de salida de
dos o más inversores que tienen ondas similares desplazadas en fase una
respecto a la otra pueden combinarse por medio de transformadores para producir
una onda de voltaje con un contenido armónico menor que el de los inversores
individuales. El esquema se muestra en la figura 7.15.
384
Inversores.
En la figura 7.16 se muestran dos ondas de voltaje similares para dos inversores
con un desfase de B/3 radianes, y la onda resultante cuando se han combinado por
medio de transformadores de relación 1:1.
Los dos inversores generan una tensión de salida de la misma frecuencia y
desplazadas por el ángulo de fase " . La tensión resultante es máxima cuando " =
0° y cero cuando " =180°.
V0 1
V
π
-V
V
wt
2π
V0 2
wt
-V
V
2V
0
α
π
π +α
2π + α
wt
- 2V
7.16 Formas de onda para el arreglo
Los voltajes de salida de cada inversor pueden expresarse mediante las series:
v01 = a1sen ( wt ) + a3 sen3 ( wt ) + a5 sen ( 5wt ) + ...
(7.13)
π
π
π



v02 = a1sen  wt −  + a3 sen3  wt −  + a5 sen5  wt −  + ... (7.14)
3
3
3



Obteniendose a la salida del transformador:
π
π


v0 = v01 + v02 = 3a1 sen  wt −  + 3a5 sen5  wt −  + ... (7.15)
6
6


Por tanto los armónicos de orden tres son eliminados. Lo anterior muestra también
que éste método no solamente sirve para controlar el voltaje de salida del inversor,
385
Inversores.
sino también para reducir su contenido armónico, aún para bajos voltajes.
7.2.3 Control de la tensión de salida mediante métodos de regulación
internos.
La regulación del voltaje de salida dentro del inversor puede hacerse de varias
maneras, todas ellas relacionadas con la forma de onda obtenida a la salida y su
contenido armónico. El mejor método de regulación del voltaje es aquél que
permite la variación de la relación entre el voltaje de salida alterno, y el de entrada
continuo, por lo que éste será el analizado.
Las variantes de éste método se diferencian solamente por el contenido armónico
que producen en el voltaje de salida del inversor, siendo éste el factor que
determina la escogencia de una u otra.
Las ventajas que este método de control trae son:
1. Es posible controlar el voltaje de salida sin tener que añadir componentes al
circuito de potencia del inversor.
2. Los armónicos de bajo orden, los cuales presentan la mayor amplitud, se pueden
reducir en forma considerable, o eliminar. Los armónicos de orden superior
requieren para su eliminación de filtros de menor tamaño y costo, y en algunos
casos la inductancia propia de la carga es suficiente para eliminar sus efectos.
El método más usado se conoce como modulación por ancho de pulsos (P.W.M.) y
tiene las siguiente variantes:
1. Modulación por pulso único.
2. Modulación por múltiples pulsos.
3. Modulación por anchura de pulsos sinusoidal.
3.1. Técnicas de muestreo natural.
3.2. Muestreo regular.
3.3. P.W.M. óptimo.
3.4 PWM sobremodulado
4. Modulación vectorial
7.3.1 Modulación por pulso único
Inversores.
Para este tipo de control existe sólo un pulso por cada semiciclo y la tensión se
controla variando su ancho. La tensión aplicada en la carga para este tipo de
modulación es mostrada en la figura. Para efectos de análisis se asume que el
comienzo de cada de pulso de tensión es retardado y el fin adelantado en un
intervalo igual, resultando en la variación del ancho del pulso * sobre el rango 0 < *
< B radianes.
Ac
Am
wt
δ
G1
π
G2
2π wt
δ
Vs
wt
π
π
wt
Figura 7.17. Modulación de pulso único
La expresión para la tensión de salida v0 de la figura 7.17 puede describirse
mediante la serie:
v0 =
∞
∑
n =1,3,5,..
an sen ( nwt ) +
∞
∑
n =1,3,5,..
bn cos ( nwt )
(7.16)
Con
an =
y
2V
π
(π + δ ) / 2
∫
( π −δ ) / 2
sen ( nwt ) d ( wt ) =
4V
 nδ 
sen 

nπ
 2 
(7.17)
Inversores.
2V
bn =
π
(π +δ ) / 2
∫
cos ( nwt ) d ( wt ) = 0
(7.18)
( π −δ ) / 2
Por lo que
V0 =
4V
 nδ
sen 
 2
n =1,3,5,.. nπ
∞
∑

 sen ( nwt )

(7.19)
Figura 7.18. Curvas de amplitud de los armónicos y la fundamental contra * .
El máximo valor de la componente fundamental v1 ocurre cuando el ancho del
pulso * =B, en cuyo caso v0 es una onda cuadrada.
En la figura 7.18 se muestran las curvas de la relación an/a1max contra * para
n = 1, 3 , 5 y 7, donde a1max es la amplitud de la componente fundamental de la
onda rectangular obtenida cuando * = B. De estas curvas puede verse que cuando
Inversores.
* es disminuido, el contenido armónico del voltaje de salida se incrementa hasta
un valor en el que la amplitud de la componente fundamental es reducida al 20%
de su valor máximo y las amplitudes de los armónicos ilustrados son muy cercanas
al de la fundamental.
Este es el método P.W.M. más sencillo, ya que requiere de sólo dos
conmutaciones por semiciclo, por lo que ella ofrece las menores pérdidas por
conmutación. Generalmente se usa en aplicaciones industriales de pequeña y
mediana potencia. Su elevado contenido armónico lo hace poco atractivo para el
control de máquinas de corriente alterna.
Las señales de control de los dispositivos de estado sólido que conforman el
inversor se obtienen por la comparación de una onda triangular, la cual se llama la
señal portadora, y una tensión constante llamada la tensión de referencia.
Para aplicaciones que involucren al microprocesador ésta técnica no es fácil de
implementar, debido a la dificultad para calcular el ancho de los pulsos de la
ecuación (7.17). Una mejor alternativa es usar tablas con los valores almacenados,
aunque el tamaño de memoria requerido puede ser muy grande cuando se desea
controlar el voltaje y la frecuencia.
Variando la amplitud de la referencia Ar entre cero y su valor máximo se puede
controlar el ancho del pulso * y con este la tensión eficaz entregada a la carga. La
relación entre la amplitud de la referencia Ar y la de la portadora AC se le denomina
como índice de modulación; esto es
m=
Ar
AC
La tensión R.M.S. en la carga está dada por
V0 RMS

1
= 
π


δ

V d ( wt )  = V
∫
π
π −δ

2
π +δ
2
2
La distorsión armónica total (T.H.D.) Es
1
THD =
V1
V32 + V52 + V72 + ...
∑ V =
V1
n = 3,5,7..
α
2
n
Ejemplo: Un inversor monofásico tipo puente utiliza un fuente de alimentación
continua de 100 voltios y alimenta una carga resistiva de 2.5 S . La frecuencia del
Inversores.
inversor es 60 ciclos. Se debe controlar la tensión en la carga usando modulación
por pulso único por semi ciclo con un índice de modulación m = 0.6. Calcular:
a) La tensión eficaz en la carga y la potencia entregada a la carga
b) La distorsión armónica si se consideran los armónicos tercero y quinto
Solución: En la modulación PWM por pulso único se comparan la señal portadora
triangular con la moduladora. Si se asume que la amplitud de la onda triangular es
de 5 voltios se tiene entonces
m=
Ar
AC
Ar = mAC = ( 0.6 )( 5 ) = 3 Voltios
Para encontrar el ancho del pulso * , se aplica la siguiente relación: Si para m=1 el
ancho del pulso es 180º, entonces para m=0.6 será
1
0.6
por tanto
=
180° δ
* = 108º
Para poder producir un pulso por semi ciclo se requiere que la relación de
frecuencias entre la portadora y la moduladora sea de 2, es decir que la frecuencia
de la portadora es de 120 Hz.
La tensión eficaz en la carga es
V0 RMS

1
= 
π


108
δ

V 2 d ( wt )  = V
= 100
= 77.45 Voltios
∫
180
π
π −δ

2
π +δ
2
La potencia entregada a la carga es
V02RMS ( 77.45 )
P0 =
=
= 2402.5 Vatios
R
2.5
2
b) Para poder encontrar la distorsión armónica total es necesario calcular la
amplitud de la fundamental y de los armónicos tercero y quinto.
La amplitud de la fundamental es
V1 =
4V
δ 
sen   = 103.007 Voltios
π
2
El valor del armónico 3 es
390
Inversores.
V3 =
4V
 3δ
sen 
3π
 2

 = 13.115

El valor del armónico 5 es
V5 =
4V
 5δ 
sen   = −25.46
5π
 2 
El valor de la distorsión armónica total considerando los armónicos 3 y 5 es
V32 + V52
THD =
=
V1
(13.115 )
2
+ ( −25.46 )
103.007
2
= 27.8%
Ejemplo: Un inversor monofásico tipo puente es alimentado con una tensión
continua de 250 Voltios usa modulación PWM de pulso único con una portadora
triangular de 5 Voltios. Si la tensión RMS alterna aplicada a la carga varía entre 180
y 230 voltios calcule:
a) La variación del ancho del pulso *
b) La variación del índice de modulación
c) La variación de la señal de referencia
Solución:
a) Para calcular el ancho del pulso * para cada condición es necesario despejar de
la fórmula obtenida para la tensión RMS en la carga
V0 RMS
δ
=V
π
2
V

δ =  0 RMS  π
 V 
2
2
2
2
Cuando V0RMS = 180 Voltios, entonces
V

 180 
δ =  0 RMS  π = 
 π = 93.12º
 250 
 V 
Cuando V0RMS = 230 Voltios, entonces
V

 230 
δ =  0 RMS  π = 
 π = 152.35º
 250 
 V 
b) La relación para encontrar el índice de modulación en cada caso es:
1
m
= , por lo tanto
180° δ
Inversores.
para * = 93.312º, entonces
m=
93.312
δ
=
= 0.5184
180
180
para * = 152.35º, entonces
m=
δ
152.35
=
= 0.84638
180
180
c) Puesto que el índice de modulación está dado por
m=
Ar
AC
, la señal de referencia debe variar entre
Ar = (0.5184)(5) = 2.92 Voltios. Y
Ar = (0.84638)(5) = 4.2319 Voltios
7..3.2 Modulación por pulsos múltiples
Tt
Vt
Vref
t
Vref
Vh
Vs
t
αm
δ
π
αm + π
Figura 7.19 Modulación por pulsos múltiples
El contenido armónico a voltajes bajos de salida puede ser reducido en forma
Inversores.
considerable usando varios pulsos en cada semiciclo, obteniendo un voltaje de
salida como el que aparece en la figura 7.19. El número de pulsos por semiciclo es:
N=
fp
=
2f
mf
(7.20)
2
Donde fp es la frecuencia de los pulsos por segundo, y f=1/T es la frecuencia de la
tensión de salida y
fc
f
mf =
es conocida como la proporción de la frecuencia de modulación
Para variar la tensión de salida desde cero hasta su valor máximo V, el ancho del
pulso * * debe variar en el rango o < * * < B/N.
Este tipo de modulación es realizado comparando una señal de control continua
(Vref) de magnitud variable A, con una onda triangular (Vt) de magnitud Am; cuando
Vref $ Vt entonces la salida es un pulso de amplitud V y duración * , de otro modo la
tensión de salida es cero. El ancho del pulso es variado cambiando la magnitud de
la señal de control. Los pulsos de encendido que se generan en los puntos de
intersección de las dos ondas, son usados para encender los dispositivos activos
de potencia que conforman al inversor de tal manera que la tensión de salida del
inversor presenta un ancho pulso * cuya duración depende del intervalo en que la
magnitud de la señal de control excede la de la onda triangular.
Si * * es el ancho de cada pulso entonces la tensión eficaz sobre la carga es
V0( RMS )
2N
=
2π
∫
π
+δ
N
2
π
−δ
N
2
V 2 d ( wt ) = V
Nδ
π
Las expresiones para las amplitudes de los coeficientes an para los diferentes
armónicos de la tensión de salida son obtenidas derivando una expresión para un
par general de pulsos situados en wt = " k y wt = " k + B, y combinando los efectos
de tales pares durante el ciclo. Además, éste es el método a ser empleado cuando
se programan los cálculos para un computador digital. Entonces para éste par
general de pulsos el voltaje de salida puede expresarse como:
v0 =
∞
∑
n =1,3,5,..
ank sen ( nwt ) +
∞
∑
n =1,3,5,..
bnk cos ( nwt )
393
(7.21)
Inversores.
con
a =
nk
b
nk
=
2V
π
2V
π
(π +δ ) / 2
∫
sen ( nwt ) d ( wt ) =
( π −δ ) / 2
(π +δ ) / 2
∫
( π −δ ) / 2
cos ( nwt ) d ( wt ) =
2V
nπ
2V
nπ
 cos n

 s en

( ) ( )
α +
δ
k
− cos n α −
2
=
2
( ( )) ( ( ))
n αk +
δ
− sen
n αk
2
Si existen M pulsos situados en " 1, " 2, .....," k, .., "
(7.22) y (7.23) se tiene:
an =
δ
k
−
δ
2
M
4V
nπ
=
sen
( )
nδ
sen ( nα
)
k
2
( )
nδ
4V
cos
nπ
cos ( nα
k
entonces de las ecuaciones
4V
4V
 nδ  M
 nδ  M
sen 
sen
n
α
b
cos
=
(
)
k
n
∑

 ∑ sen ( nα k ) (7.24)
nπ
nπ
 2  k =1
 2  k =1
Figura 7.20. Contenido armónico para la modulación por múltiples pulsos.
En la figura 7.20 aparecen las curvas de las relaciones an/a1max para n = 3, 5, 7
como función de * * para las relaciones de frecuencia N = 3 y N = 10. Puede verse
que para N = 10, las amplitudes de los armónicos tercero y quinto se aproximan a
los valores existentes en la onda rectangular no modulada. Para N = 3, la variación
394
)
2
Inversores.
de la amplitud armónica con * * es mayor que para N = 10. Para N=10 se presenta
una reducción sustancial en los armónicos 3,5 y 7 en el rango completo de la
tensión de salida. Por supuesto las amplitudes de algunos armónicos serán
significativamente mayores para los valores más grandes de N, pero tales
armónicos producen corriente despreciable en una carga inductiva y son filtrados
fácilmente por una carga con poca inductancia.
La ventaja de éste método de control del voltaje sobre el de pulso único es que el
control de voltaje se realiza de manera simultanea con la eliminación de los
armónicos de bajo orden. Sin embargo la desventaja es que al existir un mayor
número de pulsos por semiciclo, se requiere encendidos y apagados más
frecuentes de los tiristores, incrementando las pérdidas por conmutación razón por
la cual los tiristores requeridos deben ser más rápidos y de por sí más costosos.
Ejemplo: Un puente inversor monofásico tiene una resistencia de carga de 2.5
Ohmios y está alimentado por una fuente de tensión continua de 100 Voltios. Si se
usa modulación por múltiples pulsos con cinco pulsos por semi ciclo y un índice de
modulación de 0.6 calcule:
a) El ancho del cada pulso para estas condiciones
b) La tensión eficaz en la carga
Solución: Para obtener los cinco pulsos por semi ciclo es necesario comparar una
señal portadora con una frecuencia de 10 veces la de la moduladora que es de f =
60 Hz. En este caso la frecuencia de la portadora triangular es fC = 10f = 600 Hz.
a) El ancho del pulso encuentra aplicando la relación
1
m
=
 180°  δ


 N 
entonces para N = 5 y m = 0.6 se obtiene
 180° 
 180° 
δ = m
 = 0.6 
 = 21.6º
 N 
 5 
b) El valor de la tensión eficaz aplicada a la carga es
V0( RMS ) = V
Nδ
= 100
π
( 5 )( 21.6º )
180º
= 77.45 Voltios
Inversores.
7.3.3 Modulación por pulsos múltiples con eliminación selectiva de armónicos
El principio de éste método se basa en seleccionar las posiciones de M pulsos por
cuarto de ciclo para eliminar M armónicos y obtener la variación del voltaje de
salida controlando el ancho del pulso * simétricamente. La anchura de los pulsos
se arreglan para que todas sean iguales. B1, B2, ....., BM indican la posición del
pulso en un cuarto de ciclo. Debido a que la onda tiene simetría de cuarto de onda,
bn será cero para la expresión general del voltaje por lo que:
M
an = ∑
k =1
an =
4V
π
Bk +
∫
Bk −
δ
2
sen ( nwt )d ( wt ) =
δ
4V
π

∑ cos n  B
M
k =1
k
−
δ
δ 

 − cos n  Bk +  
2
2 

2
8V
 nδ  M
sen 
 ∑ sen ( nBk )
nπ
 2  k =1
Siendo la amplitud del n - ésimo armónico dada por
 8V
V0 n = 
 nπ

 nδ  M
sen


 ∑ sen ( nBk )

 2  k =1
(7.26)
Y la componente fundamental por
 8V
V1 = 
 π

δ  M
sen

  ∑ sen ( Bk )

 2  k =1
(7.27)
Siendo n el número del armónico y M el total de armónicos a ser eliminados.
M armónicos pueden eliminarse igualando la ecuación (7.26) a cero, por lo que:
M
∑ sen ( nB ) = 0
k =1
k
(7.28)
La ecuación (7.28) origina M ecuaciones algebraicas no lineales, con M incógnitas
que deben ser resueltas para B1, B2, ...., BM.
A manera de ejemplo se ilustra el procedimiento para la eliminación del tercero,
quinto, y séptimo armónico.
Como se van a eliminar tres armónicos, entonces se utilizan tres pulsos por cuarto
de ciclo. Se supone que los pulsos están situados en B1, B2, y B3. De la ecuación
(7.26) se obtiene:
v0 =
8V
 nδ
sen 
nπ
 2

  sen ( nB1 ) + sen ( nB2 ) + sen ( nB3 ) 

(7.29)
Para eliminar los armónicos tercero, quinto y séptimo, se hace n = 3, 5 y 7 en la
Inversores.
ecuación (7.29) respectivamente, por lo que se llega a:
sen 3B1 + sen 3B2 + sen 3B3 = 0
(7.30)
sen 5B1 + sen 5B2 + sen 5B3 = 0
(7.31)
sen 7B1 + sen 7B2 + sen 7B3 = 0
(7.32)
Este conjunto de ecuaciones no lineales se resuelven usando el método numérico
de NEWTON - RAPHSON. La solución encontrada es:
B1 = 33° , B2 = 62°, B3 = 78°
La tabla muestra los valores obtenidos para diferentes armónicos
Armónicos a eliminar
Valor de Bk
5
B1=36°
5,7
B1=33°, B2=69°
5, 7, 11
B1=17°, B2=36°, B1=52°
3
B1=60°
3,5
B1=42°, B2=78°
3,5,7
B1=33°, B2=62°, B3=78°
La ventaja de éste método es que algunos de los armónicos de bajo orden son
eliminados totalmente en vez de reducir sus amplitudes. Las desventaja son las
mismas planteadas para el caso anterior.
7.3.4 Modulación de pulsos sinusoidal
La función del PWM sinusoidal es la obtener un patrón de pulsos en donde el
ancho de cada pulso es proporcional a la amplitud de la onda que se quiere
obtener. Esto se hace con el fin de reducir el contenido armónico de la corriente
alterna obtenida.
La forma del voltaje de salida para éste tipo de P.W.M. se muestra en la figura
7.21, en la que el ancho del pulso es una función sinusoidal de la posición angular
en el ciclo de cada pulso. Una manera de determinar las posiciones y los anchos
de los pulsos aparece en la figura 7.15b y corresponde cercanamente a las
Inversores.
técnicas actuales empleadas en los circuitos que controlan el encendido y apagado
de los tiristores.
El índice de modulación establece la relación entre la amplitud de la moduladora o
señal sinusoidal que se desea obtener, con respecto a la de la señal portadora.
La función de control consiste de una onda sinusoidal de amplitud variable A y
frecuencia f = 1/T y una onda triangular de amplitud fija 2Ap y frecuencia fp con una
componente media Ap. Esta onda triangular es invertida en polaridad al final de
cada semi ciclo del voltaje de salida. Si N es el número de pulsos de voltaje por
semi ciclo, entonces
N=
fp
2 fm
= Entero
Siendo fp la frecuencia de la onda portadora (triangular) y fm la de la moduladora
(sinusoidal).
Vh
Vs
Vt
Tt
Vt
Vs
t
Vh
t
7.21 P.W.M. sinusoidal.
Los ángulos para encendido y apagado de los tiristores son determinados por las
intersecciones de éstas dos ondas. El voltaje de salida es controlado variando la
amplitud A sobre el rango 0 < A < AMAX, donde AMAX > 2Ap. Si AMAX es muy grande,
entonces en el límite, la variación en el tiempo de v0 se aproxima a la onda
rectangular.
Los ángulos para encendido y apagado de los tiristores son determinados por las
Inversores.
intersecciones de éstas dos ondas. El voltaje de salida es controlado variando la
amplitud A sobre el rango 0 < A < AMAX, donde AMAX > 2Ap . Si AMAX es muy grande,
entonces en el límite, la variación en el tiempo de v0 se aproxima a la onda
rectangular.
De nuevo, la determinación de las amplitudes de los armónicos es relativamente
complicada, siendo necesaria la integración sobre N intervalos angulares. Si éstas
amplitudes son calculadas, se encuentra que para 0 < A/Ap < 2 todos los armónicos
de orden n<2N son eliminados. Para A/Ap > 2, aparecen los armónicos de mayor
orden, ya que el ancho del pulso ya no es más una función de la posición angular
del pulso. En la figura 7.22 se muestran las curvas de la relación an/a 1max como una
función de A/Ap para n = 3, 5, 7 con N = 10.
Figura 7.22. Variación de los armónicos para la modulación por pulsos sinusoidal.
Si se considera que * m es el ancho del k - esimo pulso, el cual varía al modificar el
índice de modulación y modificando este se altera la tensión eficaz de salida
entonces la tensión eficaz es
Inversores.
V0 R = Vs
δm
K
∑π
k =1
Este tipo de modulación reduce en forma considerable el factor de distorsión,
eliminando todos los armónicos menores o iguales a 2k -1. Por ejemplo, para K = 5
(cinco pulsos por semi ciclo) el armónico de menor orden es el noveno.
El PWM sinusoidal introduce armónicos en un rango alto de frecuencias alrededor
de la frecuencia portadora fp y sus múltiplos, o sea, alrededor de los armónicos mf ,
2mf, 3mf, ..... La frecuencia a la que se producen estos armónicos viene dada por:
f n = ( jm f ± k ) f p
siendo k el flanco de bajada del armónico n en el instante j para la relación
frecuencia - modulación mf .
n = jm f ± k = 2 jp ± k
Para j = 1, 2, 2, ....
K = 1, 3, 5, ....
El valor pico de la componente fundamental de la tensión viene dado por
V01 = mVs
para 0 # m # 1
para m = 1 la ecuación anterior tiene la máxima amplitud pico de la componente
fundamental:
V01max = Vs
Pero de la ecuación:
v0 ( wt ) =
∞
4Vs
sen ( nwt )
n =1,3,5,... nπ
∑
se tiene un valor máximo de:
4Vs
= 1.278Vs
π
para una onda cuadrada
Si se desea aumentar el valor de la componente fundamental se puede
incrementar el valor del índice de modulación m por encima de uno, y esto es lo
que se conoce como sobre modulación. El valor de m en el que se cumple que
V01max = 1.278Vs
depende del número de pulsos por semi ciclo y es aproximadamente tres para m =
Inversores.
7.
La sobre modulación se emplea para trabajar con ondas cuadradas e inyecta más
armónicos que la modulación lineal ( m # 1), razón por la cual esta se evita en
aplicaciones que exijan una distorsión baja.
7.3.5 P.W.M. mediante muestreo natural
La mayoría de los esquemas de control utilizan la técnicas de muestreo natural. La
implementación práctica de éste método es mostrada en la figura. De ella se
observa que la onda portadora, una señal triangular, es comparada directamente
con una onda moduladora sinusoidal, para determinar los instantes de
conmutación, y por lo tanto los anchos de pulso resultantes .
T
Portadora
Referencia
t1
t2
tp
Figura 7.23 Muestreo natural
Es importante notar que el ancho del pulso resultante es proporcional a la amplitud
de la onda moduladora en el instante en que la conmutación ocurre. Esto tiene dos
consecuencias importantes; la primera es que los centros de los pulsos en la onda
P.W.M. resultante no son equidistantes o uniformemente espaciados, y segundo,
no es facil definir el ancho de los pulsos usando expresiones analíticas.
Sin embargo, es posible mostrar que el ancho de los pulsos puede ser solamente
definido usando una ecuación trascendental de la forma:
tp =
T M

1
+
sen
w
t
+
sen
w
t
(
)
(
)
(
)
m
1
m
2

2 
2
(7.34)
Con base en esto se puede demostrar que el ancho de los pulsos modulados
pueden ser solamente definidos en términos de una serie de funciones de Bessel.
401
Inversores.
Para construir un modelo de computador del proceso de muestreo natural, se
requiere el proceso análogo mostrado en la figura 7.23 para ser simulado
directamente en aquel, y los instantes de conmutación determinados mediante
métodos numéricos ( GAUSS-SEIDEL o NEWTON -RAPSON).
Sin embargo estos métodos no pueden ser usados directamente en
microprocesadores que no tengan una potente capacidad aritmética
(coprocesadores aritméticos especializados). Otra posibilidad sería el uso de un
paquete de software y un computador para el cálculo de los instantes de
conmutación, pero esto requiere de gran capacidad de memoria para almacenar el
valor de los anchos de pulso que determinan el voltaje de salida, para diferentes
rangos de voltaje y frecuencia. Como se muestra en la figura 7.24, las formas de
onda son conmutadas entre dos niveles de voltaje +1 y -1,a esto se le denomina
P.W.M. de dos niveles. Esta forma de onda es típica en inversores que utilizan
fuentes C.C. de tres hilos, y como se muestra incluye los armónicos de la
frecuencia portadora.
Figura 7.24 P.W.M. por muestreo natural de 3 niveles.
Se puede producir P.W.M. de tres niveles, combinando dos ondas de dos niveles,
Inversores.
o generarlo directamente como se muestra en la figura 7.24. Como se observa de
la figura 7.24, los pulsos cambian de polaridad cada semi ciclo y por lo tanto ese
ancho de pulso es requerido para ser modulado con el semi ciclo positivo de la
onda moduladora. El discriminador de polaridad representa la función de disparo
lógica que es necesaria cuando se aplica correctamente la secuencia de disparo a
los dispositivos de conmutación en los circuitos inversores.
Como se observa de la figura 7.24, los pulsos cambian de polaridad cada semi
ciclo y por lo tanto ese ancho de pulso es requerido para ser modulado con el semi
ciclo positivo de la onda moduladora. El discriminador de polaridad representa la
función de disparo lógica que es necesaria cuando se aplica correctamente la
secuencia de disparo a los dispositivos de conmutación en los circuitos inversores.
Algunos autores han obtenido los modelos en computador para el muestreo natural
de 2 y 3 niveles, y estos pueden usarse como bloques básicos para implementar
una gran variedad de sistemas de inversores con P.W.M. monofásicos y
polifásicos.
7.3.6 Muestreo regular o uniforme
T
Referencia
Portadora
tp
tk
tk+1
Figura 7.25 Muestreo regular simétrico
Este método para el control de inversores tiene amplias ventajas, cuando se
implementa usando técnicas digitales para implementar en sistemas inteligentes
(DSP o : P). Una implementación práctica de éste método para aplicaciones
generales es mostrada en la figura 7.25.
Inversores.
En éste modo de control, la amplitud de la señal moduladora o referencia en el
instante de muestreo tk es almacenada por un circuito de muestreo y retención
(operado a la frecuencia portadora) y es mantenido a un nivel constante en el
intervalo entre muestras tk y tk+1 hasta que la siguiente muestra es tomada. Esto
produce una versión muestreada o modulada en amplitud de la señal moduladora.
La comparación de la referencia con la portadora define los puntos de intersección
usados para determinar los instantes de conmutación, de la modulación por ancho
de pulsos.
Como resultado de éste proceso, la onda modulada tiene una amplitud constante,
mientras cada muestra es tomada y por lo tanto los anchos de los pulsos son
proporcionales a la amplitud de la onda moduladora a intervalos de muestreo
uniformemente espaciados, de allí el término de muestreo regular o uniforme.
Es una característica del muestreo regular que las posiciones de muestreo y los
valores muestreados pueden ser definidos sin ambigüedad, ya que los pulsos
producidos son predecibles tanto en anchura como en posición. Como se ha visto
esa no es la situación cuando se emplea muestreo natural.
Figura 7.26 Muestreo regular de dos niveles.
Inversores.
Es una característica del muestreo regular que las posiciones de muestreo y los
valores muestreados pueden ser definidos sin ambigüedad, ya que los pulsos
producidos son predecibles tanto en anchura como en posición. Como se ha visto
esa no es la situación cuando se emplea muestreo natural.
Debido a esta habilidad para definir con precisión la configuración del pulso, es
posible ahora derivar una función trigonométrica simple para calcular el ancho del
pulso.
T
Referencia
Portadora
tp
ti
ti+1
Muestreo regular asimétrico
Observando la figura 7.25, el ancho del pulso puede ser definido en términos del
valor muestreado de la señal moduladora tomado en el instante t1. Entonces:
tp =
T
1 + Msen ( wmt1 ) 
2
(7.35)
Con
T Periodo de la portadora.
M Indice de modulación.
El primer término en ésta ecuación corresponde al ancho del pulso de la portadora
no modulada, y el segundo a la modulación sinusoidal requerida en t1 . Esta
ecuación puede usarse para calcular el ancho de los pulsos directamente.
Inversores.
Como se muestra en la figura 7.25, el grado de modulación de cada pulso depende
de la regularidad de espaciamiento de la posición de ellos . Este tipo de
modulación es usualmente denominada como modulación simétrica. Es posible
también modular cada pulso por un índice o cantidad diferente como se muestra en
la figura 7.27. En éste caso los flancos de cada pulso son determinados usando
dos muestras diferentes de la señal moduladora, tomados en los instantes t1 y t2
respectivamente.El ancho del pulso resultante modulado de manera asimétrica
puede estar definido es términos de los tiempos de muestreo; por lo tanto
tp =
T
2
 M

1 + 2 ( sen ( wm t1 ) + sen ( wm t3 ) ) 
(7.36)
Es interesante notar que mayor información acerca de la señal moduladora es
contenida en la onda P.W.M. asimétrica, pues su espectro armónico es superior
que el producido usando modulación simétrica. Debe tenerse en cuenta sin
embargo, que el número de cálculos requerido para generar P.W.M. asimétrico es
el doble que el requerido para el simétrico. Esto puede extender en forma
considerable el tiempo de cálculo requerido si un cálculo basado en un programa
para : P es utilizado para generar el P.W.M. en el inversor y por lo tanto al trabajar
en tiempo real se reduce la frecuencia máxima de salida del inversor.
7.3.7
P.W.M. optimizado
Es altamente ventajoso el uso del P.W.M. optimizado particularmente a relaciones
bajas de frecuencia (frecuencia de portadora / frecuencia de moduladora), pero es
solamente un resultado del desarrollo en la tecnología de alta escala de integración
en semiconductores, y gracias a esto la posibilidad de implementar éstas
estrategias es posible.
Ha sido usual generar P.W.M. optimizado definiendo una forma general en
términos de un conjunto de ángulos de conmutación, para calcularlos usando
métodos numéricos; sin embargo ésta técnica presenta algunas dificultades en su
implementación práctica, las cuales se han superado con el advenimiento de la
tecnología de microprocesadores.
Basados en los ángulos de conmutación definidos en ésta figura, es posible definir
el espectro armónico de cada una de las formas de P.W.M.. Por ejemplo, si se
asume simetría impar de cuarto de onda, entonces sólo los armónicos impares
existen y pueden ser definidos por la ecuación:
4
vn =
nπ
m


k
1 + 2∑ ( −1) cos ( nα k ) 

k =1

(7.37)
Inversores.
Para P.W.M. de dos niveles, y
4
vn =
nπ
m
∑ ( −1)
k =1
k +1
cos ( nα k )
(7.38)
Para P.W.M. de 3 niveles, donde n corresponde al orden del armónico, y m es igual
al número de ángulos de conmutación por cuarto de ciclo de la onda P.W.M.
Estas expresiones pueden usarse de diferentes maneras para producir el P.W.M.
optimizado con respecto a un criterio particular de funcionamiento; por ejemplo, la
eliminación de armónicos de baja frecuencia, o la minimización de la distorsión
armónica de corriente. Usando criterios de comportamiento de éste tipo resultan un
conjunto de ecuaciones no lineales en términos de ángulos de conmutación
desconocidos. Estas ecuaciones se pueden resolver usando técnicas numéricas de
minimización para determinar los ángulos óptimos de conmutación. Dichos ángulos
pueden luego almacenarse en la memoria del microcomputador y ser usados para
generar la onda P.W.M. en tiempo real.
7.4 Reducción de los armónicos en la tensión de salida
Un parámetro utilizado para medir el contenido armónico de la corriente a la salida
de un inversor es el factor de distorsión armónica KI, definido como
KI =
I RI
I1
(7.39)
Siendo I1 el valor r.m.s. de la componente fundamental de la corriente de salida, e
IRI el valor r.m.s. de los componentes armónicos, el cual puede definirse como
(7.40)
Con InR el valor r.m.s. de n-ésimo armónico.
Existen algunas aplicaciones donde el factor KI debe ser muy bajo, por lo que se
usa un filtro para remover los componentes armónicos. Pero, entre más baja sean
las frecuencias de los armónicos a eliminar, mayores serán los elementos del filtro
y por lo tanto su peso y tamaño global. De manera que si existe una manera
diferente de eliminar los armónicos de más bajo orden, el tamaño y costo del filtro
se reducen, aparte de que se mejora la velocidad de respuesta a los cambios del
sistema.
7.4.1 Reducción de armónicos por P.W.M.
Inversores.
Un método de modulación que puede ser usado para semi puentes y puentes
inversores es el llamado: Eliminación de armónicos usando conmutaciones extras
por ciclo. Este método se utiliza para eliminar dos armónicos de bajo orden no
deseados, y utiliza cuatro conmutaciones adicionales por ciclo. Debido a la simetría
de cuarto de onda, Bn = 0 y el voltaje de salida puede expresarse mediante la serie:
(7.41)
siendo
(7.42)
(7.43)
Puesto que el tercer y quinto armónicos tienen la frecuencia más baja y la mayor
magnitud de entre los presentes para esa forma de onda, deben ser eliminados.
Para que eso se garantice:
a3 = 0 y a5 = 0
De la ecuación anterior para n = 3 y n = 5 se obtiene:
(7.44)
La solución simultánea de éstas dos ecuaciones permite encontrar los valores de
" 1 y " 2, con las siguientes restricciones:
0° < " 1 < 90°; 0° < " 2 < 90°; " 1 < "
2
siendo: " 1 = 23.62° y " 2 = 33.6°
El análisis armónico de la forma de onda obtenida para éstos valores de " 1 y " 2,
indican que el séptimo, noveno y undécimo armónicos son respectivamente 29.6,
48.6 36.4 por ciento de la fundamental, estando los armónicos tercero y quinto
eliminados. La fundamental aparece reducida al 83.9 por ciento de la magnitud de
la fundamental de la onda rectangular no modulada. Dicha reducción provoca la
disminución de la potencia del inversor en 16%. Además las conmutaciones por
ciclo adicionales incrementan las pérdidas por conmutación del circuito.
Inversores.
7.4.2 Reducción de armónicos por síntesis de onda
En la figura 7.23 se muestra el diagrama de un inversor de dos etapas para obtener
a la salida una onda de varios escalones que garantice la reducción de un
determinado número de armónicos. Consiste básicamente de dos inversores
alimentados desde la misma fuente C.C. El inversor I trabaja mediante la
modulación de pulso único.
I n v er so r I
Vo l ta je
V
02
1:1
V
D.C.
I n v e r so r I I
3V
V
0
Ca rg a
01
1:3
V0 1
wt
V
V0 2
wt
4V
V
0
90
180
wt
Figura 7.28 Inversor por síntesis de onda
Para ese tipo de modulación el voltaje de salida tiene solamente dos niveles de
voltaje por semiciclo, positivo y cero durante el positivo y negativo y cero durante el
negativo. El inversor II trabaja con modulación por múltiples pulsos de tres niveles,
ya que durante cada semiciclo el voltaje es positivo, cero y negativo. Los dos
inversores son conectados a la carga a través de dos transformadores con
relaciones de espiras 1:3 y 1:1 respectivamente. Los secundarios son conectados
de tal manera que el voltaje de salida tiene 4 escalones por semiciclo, por lo que
los armónicos de orden tres desaparecen. Los armónicos quinto, séptimo y
undécimo son el 2.4, 4.04 y 2.5 por ciento de la fundamental, siendo la distorsión
armónica total de 11.75%. Con éste método es posible usar un mayor número de
etapas para reducir más el contenido armónico del voltaje de salida.