Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
1
1.
Κουντουριώτου 16, Χίος
1ος όροφος
Τηλ:6937215522
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[1]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
Εσωτερικό γινόμενο:
2Εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α , β λέγεται η
παράσταση α  β
που είναι ίση με
β
φ
αβ  |α||β|
  cos φ .[1]
Για τα Μοναδιαία διανύσματα των αξόνων ισχύει: i  j =jk=ik=0
2
2
και
α
2
i =j =k 1
Προσοχή!!! Το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός και όχι διάνυσμα
ˆ και
Αν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων α,β δηλαδή α  α x ˆi  α ψˆj  α z k,
β  β x ˆi  β ψ ˆj  β z kˆ τότε το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να υπολογιστεί και από την σχέση:
αβ  α xβ x  α ψβ ψ  α zβ z [2]
Ο διπλός ορισμός (σχ 1,2 ) του εσωτερικού γινομένου συνήθως χρησιμοποιείται για τον
προσδιορισμό γωνιών ανάμεσα σε δυο διανύσματα.
Εξωτερικό γινόμενο:
Το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων  ,  συμβολίζεται ως    και ορίζει ένα νέο
διάνυσμα c το οποίο:

Έχει μέτρο c  a  sin  όπου φ η γωνία που σχηματίζει το α με το β

Κατεύθυνση αυτή που προκύπτει από τον αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν η
παλάμη περιστρέφεται από το επίπεδο του α προς αυτό του β
Για την εύρεση του εξωτερικού γινομένου rxF των διανυσμάτων r  xiˆ  yjˆ  zkˆ με το
F  F iˆ  F ˆj  F kˆ συνήθως χρησιμοποιούμε είτε
x
y
z
Α) την ανάπτυξη της ορίζουσας:
i
j
rxF  x
y
k
z   yFz  zFy  i   xFz  zFx  j   xFy  yFx  k
Fx Fy Fz
Β) την μεταθετική ιδιότητα των μαθηματικών. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να
θυμόμαστε ότι το εξωτερικό γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων ακολουθεί συγκεκριμένο
κανόνα:
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[2]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
Ροπή Δύναμης σε δυο διαστάσεις:
Ροπή δύναμης F που ασκείται σε ένα σημείο Α ενός στερεού σώματος ορίζουμε το
3
διανυσματικό μέγεθος που:

Εκφράζει την ικανότητα της δύναμης να περιστρέψει ένα σώμα.

Ορίζεται ως  O  r  F με μέτρο  O  r  F  r F sin  rF 

Έχει διεύθυνση τον άξονα περιστροφής και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα
του δεξιού χεριού (τη φορά του αντίχειρα όταν τα υπόλοιπα δάκτυλα δείχνουν την
φορά περιστροφής που προκαλεί η συγκεκριμένη δύναμη)
https://www.seilias.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=353&Itemid=55
Μεθοδολογία υπολογισμού ροπής σε δυο διαστάσεις:
Αρχικά αναλύουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα σε άξονες χ,y ώστε οι φορείς
όλων των δυνάμεων να βρίσκονται σε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων το οποίο θα έχει
αρχή το σημείο ως προς το οποίο ζητείται ο υπολογισμός της ροπής.
Για τον προσδιορισμό της ροπής:

Για την κατεύθυνση της ροπής: Ορίζουμε θετική φορά περιστροφής (συνήθως αυτή
αντίθετη από την φορά των δεικτών του ρολογιού). Για τον προσδιορισμό της φοράς
περιστροφής που προκαλεί μια δύναμη χρησιμοποιούμε το στυλό μας τον οποίο
τοποθετούμε έτσι ώστε να ενώνει το σημείο στο οποίο ασκείται η δύναμη και το σημείο
στο οποίο ζητάμε να υπολογίσουμε την ροπή διατηρώντας ακίνητο το σημείο στο οποίο
ψάχνουμε να βρούμε τη ροπή. Ασκούμε με το χέρι μας τη δύναμη στο στυλό και
ανάλογα με την φορά περιστροφής που προκαλεί ορίζουμε το ανάλογο πρόσημο για την
αλγεβρική τιμή της ροπής.

Για το μέτρο της ροπής:Από το σημείο που ψάχνουμε την ροπή φέρνουμε άξονες
παράλληλους και κάθετούς με την δύναμη. Αν στο πρόβλημα εμπλέκονται πολλές
δυνάμεις, αφού έχει προηγηθεί η ανάλυση όλων των δυνάμεων σε ένα σύστημα αξόνων
χψ, στο σημείο που ψάχνω την ροπή φέρω αυτό το σύστημα αξόνων.
o Αν η δύναμη τέμνει τους άξονες αυτούς τότε το μέτρο της ροπής της είναι ίσο με το
γινόμενο της δύναμης επί το μήκος του άξονα από το σημείο που ψάχνω την ροπή
μέχρι το σημείο που έκοψε τους άξονες.
o Αν η δύναμη δεν τέμνει τους άξονες τότε προεκτείνω τον φορέα της μέχρι να κόψει
κάποιον από τους δύο άξονες. Τότε το μέτρο της ροπής της είναι ίσο με το γινόμενο
της δύναμης επί το μήκος του κομμένου τμήματος του άξονα από το σημείο που
ψάχνω την ροπή μέχρι το σημείο που έκοψε τους άξονες.
o Μνημονικά να θυμάστε ότι αν η δύναμη έχει φορέα:
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[3]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
4
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23

Τον άξονα χ μας ενδιαφέρει το μήκος του τμήματος που κόβει τον ψ

Τον άξονα ψ μας ενδιαφέρει το μήκος του τμήματος που κόβει τον χ
o
Μεθοδολογία υπολογισμού ροπής σε προβλήματα τριών διαστάσεων:
Αναπτύσσουμε την ορίζουσα: MO  r  F
όπου r είναι ο μοχλοβραχίονας δηλαδή το διάνυσμα με αρχή το σημείο περιστροφής (εκεί
που ψάχνουμε ροπή) και πέρας το σημείο που ασκείται η δύναμη)
i
j
k
M O  M xi  M y j  M zk  x
y
z   yFz  zFy  i   xFz  zFx  j   xFy  yFx  k
Fx
Fy
Fz
Για τον προσδιορισμό της ροπής μιας δύναμης ως προς κάποιο άξονα Βρίσκουμε πρώτα τη
ροπή ως προς ένα σημείο του ζητούμενου άξονα και στην συνέχεια κάνουμε εσωτερικό
γινόμενο της ροπής που βρήκαμε με το συντελεστή διεύθυνσης του άξονα που ζητάτε.
Επιπλέον ερωτήματα σε προβλήματα 3 Διαστάσεων:
Εύρεση Γωνίας ανάμεσα σε δυο διανύσματα σε προβλήματα τριών διαστάσεων:
Από τον διπλό ορισμό του εσωτερικού γινομένου μπορούμε να υπολογίζουμε γωνίες
ανάμεσα σε δύο διανύσματα δηλαδή
αβ  |α||β|
  cos φ και αβ  α xβ x  α ψβ ψ  α zβ z
cos φ 
α x β x  α ψβ ψ  α z β z
|α||β|
Εύρεση προβολής διανύσματος ως προς τον άξονα ΟΒ:
Η προβολή ενός διανύσματος πάνω σε μια ευθεία είναι το εσωτερικό γινόμενο του
διανύσματος με το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας
Εύρεση Γωνίας διανύσματος με τους άξονες χψz σε προβλήματα τριών διαστάσεων:
Για τον προσδιορισμό των γωνιών που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τους άξονες χψz
χρησιμοποιω τον ορισμό του συντελεστη διεύθυνσης σύμφωνα με τον οποίο
n̂  cos θ x i  cos θ y j  cos θ z k

ˆ 
n
AB

AB

(β χ  α χ )

AB
ˆι 
(β ψ  α ψ ) ˆ (β Z  α Z ) ˆ
j
k


AB
AB
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[4]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
2.1.
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
Να προσδιορίσετε την συνολική ροπή ως προς άξονα που
5περνάει από το σημείο Ο. Δίνεται F=40N
0  195m
2.2.
Η δύναμη που απαιτείται για να διατηρήσει την δοκό σε αυτή τη θέση έχει μέγιστη
τιμή 2400Ν και ασκεί ροπή 960Νm ως προς D. Να βρείτε την
ελάχιστη απόσταση d.
d  0,517 m
2.3.
Πριν ο κορμός ενός μεγάλου δέντρου πέσει στο
έδαφος τα καλώδια ΑΒ και BC τον συγκρατούν όπως
φαίνεται στο σχήμα. Γνωρίζοντας ότι η δύναμη στα
καλώδια ΑΒ και ΒC είναι 555Ν και 660Ν αντίστοιχα
προσδιορίστε τη ροπή της συνισταμένης των δυνάμεων
από τα καλώδια στο σημείο Β ως προς το σημείο Ο.

 FRo  3708 Nm
  156 ,  67,66 ,  85,98
2.4.
1)Να προσδιοριστεί η εφελκυστική δύναμη Τ ως
διάνυσμα.
2)Να
προσδιοριστούν
οι
γωνίες
που
σχηματίζει η Τ με τους άξονες χψζ.3)Να προσδιοριστεί η
ροπή της Τ ως προς το σημείο Ο4)Να προσδιοριστεί η
ροπή της Τ ως προς τον άξονα ΟΒ5)Να προσδιοριστεί η
προβολή
της
Τ
ως
προς
τον
άξονα
ΟΒ6)Να
προσδιοριστεί η γωνία που σχηματίζει η Τ με τον άξονα ΟΒ 7)Να προσδιοριστεί η προβολή
της Τα ως προς το επίπεδο ΧΨ
2.5.
Για
να
ανοίξει
η
πόρτα
του
σχήματος
χρησιμοποιούνται δυο αλυσίδες ΑΒ και CD. Αν οι τάσεις των
αλυσίδων έχουν μέτρα 300Ν και 250Ν αντίστοιχα α) να
εκφραστούν οι δυνάμεις αυτές ως διανύσματα.β) Να βρείτε
την γωνία που σχηματίζει η Δύναμη Fc με την δύναμη Fa; γ)
Να βρείτε το μέγεθος
της προβολής της Fa στην ευθεία
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[5]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
CDδ)Να γραφεί η παραπάνω προβολή ως διάνυσμα:ε)Να προσδιορίσετε τις γωνίες που
6σχηματίζει η δύναμη Fc με τους άξονες χψζ
2.6.
Να προσδιοριστεί η ροπή της δύναμης F ως προς τον
άξονα χχ΄
2.7.
Να προσδιοριστεί η ροπή της δύναμης F ως προς τον
άξονα χχ΄Σε μια προσπάθεια κοπής του κλαδιού του
δέντρου ο δασοκόμος έχει πριονίσει το κλαδί στο σημείο C
ενώ ταυτόχρονα έχει δέσει στο σημείο Α μια θηλιά και
εξασκεί με το σχοινί του σχήματος μια δύναμη 400Ν. Να
καθοριστεί: α) η ροπή που αναπτύσσεται γύρω από το
σημείο C καθώς και το μέτρο της και β)η ροπή που ασκεί η
ίδια δύναμη γύρω από τον άξονα Οz.
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[6]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
Ζεύγος δυνάμεων
Ζεύγος δυνάμεων αποτελούν δυο δυνάμεις που έχουν ίσα μέτρα αντίθετη φορά και
7
στρέφουν ένα σώμα κατά την ίδια φορά. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων ορίζεται ως το
διανυσματικό μέγεθος που έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δυνάμεων φορά που
βρίσκεται από το κανόνα του δεξιού χεριού και μέτρου   Fd όπου F το μέτρο των
δυνάμεων και d η απόσταση των φορέων των δυνάμεων που συγκροτούν το ζεύγος.
Η ροπή ενός ζεύγους είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους
είτε αυτό βρίσκεται μεταξύ των δυνάμεων είτε βρίσκεται έξω από αυτές. Για το λόγο αυτό τα
ζεύγη των δυνάμεων μπορεί να αναπαρασταθούν από το μηχανικό αποτέλεσμα τους
δηλαδή τη ροπή που προκαλούν ανεξάρτητο από το (τα ζεύγη δυνάμεων δεν συνεισφέρουν
στη συνισταμένη δύναμη αφού έχουν συνισταμένη μηδέν)
Αναγωγή συστήματος δυνάμεων σε ισοδύναμο:
Για να αναγάγουμε ένα σύστημα δυνάμεων σε ισοδύναμο θα πρέπει το ισοδύναμο να έχει
το ίδιο μηχανικό αποτέλεσμα με το αρχικό σύστημα. Ίδιο μηχανικό αποτέλεσμα σημαίνει:

Ίσου μέτρου και κατεύθυνσης συνισταμένη δύναμη

Ίσου μέτρου και κατεύθυνσης συνολική ροπή ως προς κάθε άξονα
περιστροφή
Παράδειγμα 1.1. Στο παρακάτω σχήμα να δημιουργήσετε ένα ισοδύναμο σύστημα: α)
δύναμης – ζεύγους στο σημείο Α , Β)στο σημείο Β , γ)σε ισοδύναμο σύστημα μοναδικής
δύναμης σε τυχαίο σημείο της δοκού
R  150 j  600 j  100 j  250 j  600 j
Α)
   600 1, 6 Nm  100 2.8 Nm  250 4.8 Nm  1880 Nm
Άρα το Σύστημα αναγάγετε σε ισοδύναμο δύναμης και ζεύγους αν στο σημείο Α ασκηθεί
δύναμη 600Ν με φορά προς τον αρνητικό άξονα τον ψ και το ζεύγος να προκαλεί ροπή
1880Νm σύμφωνη με την φορά των δεικτών του ρολογιού στο σημείο Α
R  150 j  600 j  100 j  250 j  600 j
Β)
   600 3.2 Nm  100 2 Nm  150 4.8 Nm  1000 Nm
Άρα το Σύστημα αναγάγετε σε ισοδύναμο δύναμης και ζεύγους αν στο σημείο Β ασκηθεί
δύναμη 600Ν με φορά προς τον αρνητικό άξονα τον ψ και το ζεύγος να προκαλεί ροπή 100
0Νm αντίθετη με την φορά των δεικτών του ρολογιού στο σημείο Α
R  150 j  600 j  100 j  250 j  600 j
Γ)
 
    Rx  x 
 3.13m
R
Άρα θα ασκηθεί μοναδική δύναμη 600Ν προς τα κάτω στην θέση Χ=3,13m
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[7]
Κέντρο Φυσικών Επιστημών
| Ροπή σε 2 & 3 Διαστάσεις |
Μαϊ-23
Παράδειγμα 1.2. Να αναχθεί το σύστημα του σχήματος σε ένα ισοδύναμο δύναμης και
8
ζεύγους στο σημείο Α.

Έστω

  
F1  0i  3 j (kN )
F2  1.5sin 30i  1.5cos 30 j  0.75i  1.299 j (kN )
4
3
F3  2.5cos  i  2.5sin  j  2.5 i  2.5 j  2i  1.5 j
5
5
FR  1.25i  5.799 j άρα FR  (1.25) 2   5.799   5,93kN
2
  tan 1
FRy
FRx
 tan 1
5.799
 77.8o
1.25
Έστω
 F1 A   F1  ( AB)  3  8  24kNm
 F2 A   F2 xA   F2 y A   F2 y  ( A)  1, 299  6  7, 794kNm
 F3 A   F3 xA   F3 y A   F3 y  ( A )  1,5  2  3kNm
 RA  24kNm  7, 794kNm  3kNm  34.8k m
Παράδειγμα 1.3. Να βρείτε την τιμή της F ώστε η συνολική ροπή των ζευγών να είναι
200Νm με φορά αυτή των δεικτών του ρολογιου
4
3
M c1  F     2  F     2  2.8 F
5
5
M c1  150  cos 30  4  150  sin 30  4  819.62 Nm
M R  200 Nm
2.8F  819.62 Nm  200 Nm
F  221N
Παράδειγμα 1.4. Να αντικαταστήσετε την δύναμη που δρά στο σημείο Β της ράβδου ΑΒ
μήκους 220mm με ένα ισοδύναμο ζεύγος και μια μοναδική δύναμη στο σημείο Ο.
F  0i  110sin15 j  110 cos15k  0i  28.5 j  106.3k ( N )
OB  0.22  cos 35i  0.15 j  0.22sin 35k  0.180213i  0.15 j  0.126187k (m)
i
j
k
  0.180213 0.15 0.126187  12.3487i  19.1566 j  5.1361k ( Nm)
0
 28.5
106.3
| Θωμάς Μπατάς | Κουντουριώτου 16 | τηλ:6937215522 | @: thomasmpatas@gmail.com[8]