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Guía para el Análisis de Estructuras de Mampostería
Chapter · September 2012
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1 author:
José Luis Rangel
Metropolitan Autonomous University
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Guía para el Análisis
de Estructuras de Mampostería
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Comité de Mampostería
Editor
Juan José Pérez Gavilán E.
i
AUTORES EN ORDEN ALFABETICO
Sergio Alcocer Martínez de Castro
Javier Cesín Farah
Leonardo Flores Corona
Raúl Granados Granados
Oscar Hernández Basilio
Raúl Jean Perrilliat
Juan José Pérez‐Gavilán E.
Alvaro Pérez Gómez
José Luis Rangel Núñez
Manuel Antonio Taveras
Amador Terán Gilmore
Oscar Zúñiga Cuevas
Instituto de Ingeniería
Consultor
Centro Nal. de Prev. de Desastres (CENAPRED)
Consultor
Consultor
Consultor
Instituto de Ingeniería
Grupo GEO
Universidad Autónoma Metropolitana (UAM)
Ex alumno del Posgrado en estructuras (II UNAM)
Universidad Autónoma Metropolitana (UAM)
Estudiante de doctorado UAM
INSTITUCIONES INVOLUCRADAS
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Instituto de Ingeniería de la UNAM
Universidad Autónoma Metropolitana
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Centro Nacional para la Prevención de Desastres
PATROCINADORES
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT)
Fondo Sectorial de la Comisión Nacional para el Fomento de la Vivienda (CONAFOVI)
ii
Prefacio
La Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural (SMIE), en diciembre del 2004 integró
el Comité de Mampostería, con la participación de especialistas de distintas instituciones
de investigación y docencia así como distinguidos profesionales relacionados con el análi‐
sis, diseño y construcción de estructuras de mampostería. Los miembros del comité parti‐
ciparon de manera desinteresada con el respaldo de las instituciones de su adscripción. La
primera tarea del comité fue la de generar un compendio de recomendaciones para el
análisis de estructuras de mampostería, consistentes con los criterios de diseño reconoci‐
dos, en especial los establecidos en las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño
y Construcción de Estructuras de Mampostería, del Reglamento de Construcciones del
Distrito Federal del 2004.
Para obtener información sobre algunos aspectos de modelación, se hicieron estu‐
dios de tipo analítico y se desarrolló un estudio experimental para comparar los resultados
de los modelos con evidencia experimental, ambos con financiamiento del fondo sectorial
para el desarrollo de vivienda CONAVI‐CONACYT. Aun hoy se siguen obteniendo resulta‐
dos de dicho estudio experimental.
Esta es la primera edición de la Guía para el Análisis de Estructuras de Mamposter‐
ía, que consta de tres partes: La primera cubre aspectos preliminares que tienen que ver
con las propiedades de los materiales y las configuraciones arquitectónicas, en la segunda
se dan lineamientos para la modelación con columna ancha, elementos finitos y diagonal
equivalente y se revisan algunos métodos para el análisis incluyendo el análisis por torsión
y por temperatura. En la tercera parte se tratan temas especiales como es la interacción
suelo estructura y una propuesta novedosa para el análisis no lineal de este tipo de estruc‐
turas.
Un reconocimiento a todos los autores por sus aportaciones y discusión de los dis‐
tintos temas.
Un reconocimiento a la SMIE que con los años ha tomado un papel más activo en
todos los aspectos que tienen que ver con mejorar la profesión de la Ingeniería Estructu‐
ral. La iniciativa de generar esta Guía es un buen ejemplo de ese ímpetu.
Juan José Pérez Gavilán E.
Presidente del comité de mampostería de la SMIE
Investigador del Instituto de Ingeniería de la UNAM
marzo del 2012
iii
CONTENIDO
PARTE I Preliminares
1
MATERIALES .................................................................................................................................... 1
1.1 CEMENTO ............................................................................................................................................. 1
1.2 CAL ........................................................................................................................................................ 2
1.3 AGREGADO FINO .................................................................................................................................. 2
1.4 MORTERO ............................................................................................................................................. 2
1.4.1
Mezcla del Mortero por medios manuales ................................................................................. 3
1.4.2
Mezcla del Mortero por medios mecánicos ................................................................................ 4
1.4.3
Proporcionamiento de mortero................................................................................................... 4
1.5 PIEZAS DE MAMPOSTERÍA .................................................................................................................... 5
1.5.1
Tipos de piezas de mampostería: ................................................................................................ 5
1.5.2
Resistencia mínima de piezas de mampostería: ......................................................................... 6
1.5.3
Peso volumétrico mínimo de piezas en estado seco: .................................................................. 6
1.5.4
Absorción DE AGUA..................................................................................................................... 6
1.5.5
Piezas macizas y huecas .............................................................................................................. 7
Piezas macizas: ....................................................................................................................................................... 7
Piezas huecas: ........................................................................................................................................................ 7
1.5.6
Resistencia a compresión de piezas de mampostería ................................................................. 8
1.6 MUROS DE MAMPOSTERÍA................................................................................................................... 8
1.6.1
Módulo de elasticidad ................................................................................................................. 9
1.6.2
Resistencia a compresión ............................................................................................................ 9
1.7 REFUERZO .............................................................................................................................................. 11
1.7.1
Aceros de alta resistencia estirados en frio............................................................................... 11
1.7.2
Varillas de refuerzo de alta resistencia ..................................................................................... 11
1.7.3
Escalerilla .................................................................................................................................. 13
1.7.4
Castillos electrosoldados ........................................................................................................... 13
2
PROYECTO ARQUITECTÓNICO ........................................................................................................ 15
2.1
2.2
PROBLEMAS DE IRREGULARIDADES EN PLANTA ............................................................................................... 15
PROBLMAS DE IRREGULARIDAD VERTICAL ...................................................................................................... 16
Parte II Análisis
3
DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS.................................................................................. 20
3.1 MÉTODO SIMPLIFICADO............................................................................................................................ 22
3.1.1
Requisitos .................................................................................................................................. 22
3.1.2
Revisión por entrepiso ............................................................................................................... 23
El cortante de entrepiso de diseño ...................................................................................................................... 23
La resistencia de entrepiso .................................................................................................................................. 23
3.2 EL MÉTODO ESTÁTICO ............................................................................................................................... 24
3.2.1
Ejemplo de periodo ................................................................................................................... 26
3.2.2
Respuesta de diseño.................................................................................................................. 27
3.2.3
Factor de comportamiento sísmico Q’ ...................................................................................... 28
3.2.4
Efectos bidireccionales y de torsión .......................................................................................... 28
3.2.5
Revisión de desplazamientos .................................................................................................... 29
3.3 ANÁLISIS DINÁMICO ................................................................................................................................. 29
4
ANÁLISIS Y MODELACIÓN............................................................................................................... 31
4.1
CRITERIO GENERAL ................................................................................................................................... 31
v
4.2 SECCION AGRIETADA................................................................................................................................. 31
4.3 MÉTODO SIMPLIFICADO NTCM ................................................................................................................. 33
4.3.1
Fundamentos teóricos ............................................................................................................... 33
4.3.2
Ejemplo ...................................................................................................................................... 35
4.4 COLUMNA ANCHA .................................................................................................................................... 36
4.4.1
Propiedades de la sección transversal ....................................................................................... 38
Área de cortante.................................................................................................................................................. 38
Área de cortante en el sentido transversal ......................................................................................................... 38
Inercia fuera del plano......................................................................................................................................... 38
Constante de torsión de Saint Venant (J) ............................................................................................................ 38
4.4.2
Modelación................................................................................................................................ 38
Anchos efectivos de vigas .................................................................................................................................... 38
Cambio de posición del eje del muro .................................................................................................................. 39
Muros bajo ventanas (pretiles)............................................................................................................................ 39
Muros en ‘T’ o ‘L’ ................................................................................................................................................. 40
Murete en esquina .............................................................................................................................................. 40
Muros Largos ....................................................................................................................................................... 41
Acerca del detalle de la modelación .................................................................................................................... 43
4.4.3
Ejemplo ...................................................................................................................................... 43
4.5 ELEMENTO FINITO ................................................................................................................................... 45
4.5.1
Relación de aspecto ................................................................................................................... 45
4.5.2
Tipos de elementos .................................................................................................................... 45
4.5.3
Momentos fuera del plano ........................................................................................................ 45
4.5.4
Modelo de castillos con barras .................................................................................................. 45
4.5.5
Recuperación de resultados ...................................................................................................... 47
4.6 MODELOS SIN CASTILLOS ........................................................................................................................... 47
4.7 DIAFRAGMA ........................................................................................................................................... 47
4.8 MUROS DIAFRAGMA (DIAGONAL EQUIVALENTE) ............................................................................................ 47
4.8.1
Comportamiento ....................................................................................................................... 48
4.8.2
Modelo de análisis..................................................................................................................... 50
4.8.3
Revisión de los elementos del marco ......................................................................................... 51
5
DISEÑO POR TORSIÓN SÍSMICA ...................................................................................................... 53
5.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 53
5.2 ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA ........................................................................................................... 54
5.3 TORSIÓN SÍSMICA ............................................................................................................................... 54
5.4 TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA ....................................................................................................................... 54
5.5 DISTRIBUCIÓN DEL CORTANTE POR TORSIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS RESISTENTES ................................................. 55
5.5.1
Excentricidad de piso. ................................................................................................................ 55
5.5.2
Excentricidad de entrepiso ........................................................................................................ 56
5.6 PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO DE DISEÑO POR TORSIÓN, PSD ........................................................................ 57
5.7 EJEMPLOS ........................................................................................................................................... 58
5.7.1
Modelo simplificado .................................................................................................................. 58
5.8 CASA HABITACIÓN DE DOS PISOS ................................................................................................................. 59
5.9 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .............................................................................................. 63
6
ANÁLISIS POR TEMPERATURA......................................................................................................... 65
6.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 65
6.2 DESCRIPCIÓN DEL MODELO ................................................................................................................ 66
6.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS................................................................................................................... 67
6.4 INCREMENTO DE TEMPERATURA EN LA LOSA DE AZOTEA................................................................................... 67
6.5 MAMPOSTERÍA TIPO 1 ........................................................................................................................ 69
6.5.1
Sin Refuerzo Horizontal ............................................................................................................. 69
6.5.2
Con refuerzo Horizontal Mínimo ............................................................................................... 70
vi
6.6 MAMPOSTERÍA TIPO 2 ........................................................................................................................ 70
6.6.1
Sin Refuerzo Horizontal ............................................................................................................. 70
6.6.2
Con refuerzo Horizontal Mínimo ............................................................................................... 70
6.7 INCREMENTO DE TEMPERATURA ................................................................................................................. 71
6.8 CONCLUSIONES .................................................................................................................................. 76
Parte III Temas especiales
7
INTERACCIÓN SUELO‐ESTRUCTURA ................................................................................................ 77
7.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 77
7.2 CONCEPTOS BÁSICOS ................................................................................................................................ 78
7.2.1
Soluciones Cerradas .................................................................................................................. 79
7.2.2
Método Matricial de las Rigideces (MMR) ................................................................................ 81
7.2.3
Módulo de reacción ............................................................................................................... 82
7.2.4
Ventajas y desventajas ......................................................................................................... 85
7.2.5
Métodos alternos ................................................................................................................... 85
7.2.6
Método de Elementos Finitos (MEF) ......................................................................................... 86
Principios. ............................................................................................................................................................. 86
7.2.7
Aplicación al análisis de interacción.......................................................................................... 87
7.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN ........................................................................................................................... 88
7.3.1
Condiciones estratigráficas. ...................................................................................................... 88
7.3.2
Resultados. ................................................................................................................................ 91
7.3.3
Mediciones y observaciones de campo. .................................................................................... 94
7.3.4
Conclusiones.............................................................................................................................. 95
8
ANÁLISIS NO LINEAL....................................................................................................................... 96
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
9
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................. 96
DEGRADACIÓN DE RIGIDEZ......................................................................................................................... 98
MODELO MODIFICADO DE LA COLUMNA ANCHA............................................................................................. 99
ANALISIS NO LINEAL DE EDIFICACIONES DE MAMPOSTERÍA CONFINADA ....................................................... 101
DETERMINACIÓN DEL GRADO DE DAÑO EN LA MAMPOSTERÍA ......................................................................... 105
SISTEMA EQUIVALENTE DE UN GRADO DE LIBERTAD ..................................................................................... 106
CONCLUSIONES ................................................................................................................................ 109
REFERENCIAS ............................................................................................................................... 110
vii
PARTE I
Preliminares
1
MATERIALES
Sin intentar profundizar en la descripción y características de los materiales, que es un
tema ampliamente tratado en otras publicaciones, sí es de gran interés hacer comentarios
en cuanto a la influencia del material seleccionado para el proyecto dentro del modelo de
análisis. Se hará énfasis en las diferencias de comportamiento de piezas huecas contra
macizas, la selección de la modalidad de refuerzo (simple, confinada reforzada, con re‐
fuerzo horizontal, con malla y mortero, o muros de concreto).
En especial se hablará de la selección de los módulos de elasticidad y rigidez que son fun‐
damentales para el análisis estructural, así como de la recomendación de realizar ensayes
de materiales en laboratorios acreditados.
1.1
CEMENTO
Norma: (NMX‐C‐414‐ONNCCE‐2010, 2010)
El cemento hidráulico es un material inorgánico finamente pulverizado, comúnmente co‐
nocido como cemento. Al agregarle agua al cemento, ya sea solo o mezclado con arena,
grava u otros materiales similares, tiene la propiedad de fraguar y endurecer, incluso bajo
el agua. Esto es en virtud de reacciones químicas durante la hidratación. Una vez endure‐
cido, conservará su resistencia y estabilidad. Los tipos de cemento mas comunes y su de‐
nominación aparecen en la Tabla 1‐1.
Tabla 1‐1 Tipos de cemento
tipo
denominación
descripción
CPO
Cemento Portland ordinario
Cemento producido a base de la molienda del clinker Por‐
tland y usualmente sulfato de calcio
CPP
Cemento Portland puzolánico
Resulta de la molienda conjunta del clinker Portland, mate‐
riales puzolánicos y usualmente, sulfato de calcio.
CPEG
Cemento Portland con escoria Resulta de la molienda conjunta del clinker Portland, esco‐
granulada de alto horno
ria de alto horno y usualmente, sulfato de calcio.
CPC
Cemento Portland compuesto Resulta de la molienda conjunta del clinker Portland, sulfa‐
to de calcio y una mezcla de materiales puzolánicos, escoria
de alto horno y caliza. En el caso de la caliza, este puede ser
el único componente.
CPS
Cemento Portland con humo Resulta de la molienda conjunta del clinker Portland, humo
de sílice
de sílice y usualmente, sulfato de calcio.
1
CEG
1.2
Cemento con escoria granula‐ Resulta de la molienda conjunta del clinker Portland y ma‐
da de alto horno
yoritariamente escoria granulada de alto horno y sulfato de
calcio.
CAL
Norma: (NMX‐C‐003‐ONNCCE‐2010, 2010)
La cal es el producto que se obtiene calcinando la piedra caliza por debajo de la tempera‐
tura de descomposición del óxido de calcio. En ese estado se denomina cal viva (CaO) y si
se “apaga” sometiéndola al tratamiento de agua, se le llama cal apagada (hidróxido de
calcio).
Se conoce con este nombre comercial a la especie química de hidróxido de calcio, la cual
es una base fuerte formada por el metal calcio unido a dos grupos hidróxidos. Debe con‐
tener un mínimo de 80% de óxido de calcio y un máximo de 5% de óxido de magnesio.
Se conoce como cal hidráulica a la cal compuesta principalmente de hidróxido de calcio,
sílica (SiO2) y alúminica (AI2O3) o mezclas sintéticas de composición similar. Tiene la pro‐
piedad de fraguar y endurecer debajo del agua.
1.3
AGREGADO FINO
Norma: (NMX‐C‐111‐ONNCCE‐2004, 2004)
El agregado fino es conocido como arena. Debe tener una composición granulométrica
con un módulo de finura entre 2.30 y 3.10.
El módulo de finura se obtiene sumando los porcentajes retenidos acumulados en seis
cribas (no. 4, 8, 16, 30,50 y 100) y dividiendo entre 100. El retenido parcial en cualquier
tamiz no debe ser mayor del 45%. En la Figura 1.1 se muestra un ejemplo de una curva
granulométrica, la curva corresponde a los datos de la Tabla 1‐2
Se aprecia que, entre más “grueso” el material, mayor es el módulo de finura. Esta es una
propiedad fundamental de la arena, que se usa en el diseño de mezclas, para determinar
en la cantidad de cemento y agua que debe adicionarse. Límites máximos de sustancias
nocivas son los que se indican en la Tabla 1‐3. La prueba para la determinación de impure‐
zas orgánicas se especifica en la norma (NMX‐C‐088‐1997‐ONNCCE, 1997)
1.4
MORTERO
El mortero es una mezcla de agregado fino, generalmente arena y uno o varios aglutinan‐
tes y agua. Como aglutinantes se puede emplear cemento, cemento blanco y/o calhidra.
La lechada se diferencia del mortero en que no emplea agregado fino.
De acuerdo al (NTCM, 2004), el mortero se clasifica en tipo I,II y III con base en su resis‐
tencia, la cual debe ser al menos 125, 75 y 40 kg/cm2, respectivamente
2
120%
retenido mínimo
100%
retenido máximo
80%
ejemplo
60%
40%
20%
0%
9.5 (3/8")
4.75 (4)
2.36 (8)
1.18 (16)
0.600 (30)
0.300 (50)
0.150 (100)
charola
-20%
Figura 1.1 Curvas granulométricas
CRIBA
Charola
0.150 (100)
0.300 (50)
0.600 (30)
1.18 (16)
2.36 (8)
4.75 (4)
9.5 (3/8”)
Tabla 1‐2 Ejemplo de granulometría
Retenido
Retenido
mínimo
máximo
100%
100%
90%
98%
70%
90%
40%
75%
15%
50%
0%
20%
0%
5%
0%
0%
Ejemplo
100%
92%
76%
58%
39%
19%
1%
0%
Tabla 1‐3 Agregado sustancias nocivas
Sustancia nociva
Máximo % en masa de la muestra total
Grumos de arcilla y partículas deleznables
3.0
Materiales finos que pasan la criba F0.075 (200)
En concreto sujeto a abrasión
En otros concretos
Carbón y lignito
En concreto aparente
En otros concretos
3.0
5.0
0.5
1.0
1.4.1 MEZCLA DEL MORTERO POR MEDIOS MANUALES
ƒ
Se mezclan en seco la arena y el o los aglutinantes hasta alcanzar una mezcla
homogénea.
3
ƒ
Se agrega el agua hasta lograr la consistencia deseada, cuidando la dosificación
(entre el 35% y 45% del agregado fino).
1.4.2 MEZCLA DEL MORTERO POR MEDIOS MECÁNICOS
ƒ
Se introducen en la revolvedora todos los componentes en seco y se revuelven
hasta alcanzar una mezcla homogénea.
ƒ
Se agrega el agua en la proporción especificada y se continúa un minuto más
1.4.3 PROPORCIONAMIENTO DE MORTERO
El proporcionamiento por volumen del mortero se debe llevar a cabo de acuerdo a la Ta‐
bla 1‐4.
Tipo
I
I
II
II
III
III
Tabla 1‐4 Proporcionamiento por volumen de mortero
Prop.
F*j
Cem
Cal
Arena
2
Vol.
Kg/cm
L
L
L
1:1/4:2.8
125
294
74
827
1:1/4:3.8
125
250
63
939
1:1/2:3.4
75
244
122
824
1:1/2:4.5
75
208
104
936
1:1:4.5
40
189
189
852
1:1:6
40
160
160
963
Agua
L
310
264
321
274
310
263
Pueden hacerse las siguientes observaciones
ƒ
El empleo de arena muy fina, aumenta la contracción.
ƒ
Debe verificarse el módulo de finura.
ƒ
La cal hidratada mejora la adherencia, aumenta la impermeabilidad, logra una
mezcla más plástica, retarda ligeramente el fraguado, pero reduce la resistencia.
ƒ
Debe prepararse el mortero sobre una superficie no absorbente, para evitar la
pérdida de agua y la contaminación del mismo.
ƒ
Es importante que se diseñe la mezcla con la cantidad mínima de agua para hacer‐
lo trabajable.
ƒ
Las NTCM. 9.2.1.2, indican además que si el mortero empieza a endurecerse, podrá
remezclarse hasta que vuelva a tomar la consistencia deseada agregándole un po‐
co de agua si es necesario. Sólo se aceptará un remezclado.
ƒ
Además que los morteros a base de cemento portland ordinario deberán usarse
dentro del lapso de 2.5 h a partir del mezclado inicial.
4
1.5
PIEZAS DE MAMPOSTERÍA
1.5.1 TIPOS DE PIEZAS DE MAMPOSTERÍA:
Norma: (NMX‐C‐404‐ONNCCE‐2005, 2005)
En la Figura 1.2 se muestran algunas piezas de mampostería y en la Tabla 1‐5 algunas de
sus dimensiones típicas. El bloque es una pieza cuyo largo nominal es 400 mm o mayor en
módulos de 100 mm y cuya altura nominal es de 200 mm, (incluyendo la junta de albañi‐
lería). Generalmente se fabrica de concreto y puede ser macizo, multiperforado o hueco.
El tabique tradicional contaba con dimensiones 7x14x28 cm, pero en la actualidad los ta‐
maños se aproximan a 6x12x24 cm, aunque en la industria está teniendo éxito la pieza de
12x12x24, debido a la mayor velocidad que se consigue en la construcción.
Cabe aclarar que México es el único país en donde se conoce como tabique a una pieza de
mampostería. En otros países de habla hispana, el tabique es un “muro de relleno sin fun‐
ción estructural” (de ahí el tabique nasal) y el ladrillo es lo que aquí conocemos como ta‐
bique. Los requisitos de resistencia varían para cada tipo de pieza y la absorción mínima y
máxima.
Figura 1.2 Piezas típicas para uso en mampostería (NMX‐C‐404‐ONNCCE)
Pieza
Ladrillo
Tabique
Bloque
Tabicón
Tabla 1‐5 Dimensiones de piezas típicas
Dimensiones
pieza paralelepípeda de dimensiones teóricas de 2.5x7x28 cm
Pieza de arcilla de 7x14x28 cm. Mínimo: 5x10x19 cm
Pieza de concreto o de otros materiales. Mínimo 10x20x40 cm (incluyendo la junta
de mortero)
Pieza de concreto o de otros materiales. Mínimo 6x10x24 cm
5
1.5.2 RESISTENCIA MÍNIMA DE PIEZAS DE MAMPOSTERÍA:
Norma: (NMX‐C‐404‐ONNCCE‐2005, 2005), (NMX‐C‐036‐‐ONNCCE‐2004, 2004) (método
de prueba). En la Tabla 1‐6 se muestra la resistencia mínima a compresión de las piezas.
Como se observa, se exige más a un tabicón que a un bloque, respecto de su resistencia
mínima.
Tabla 1‐6 Resistencia mínima a la compresión de piezas
(kg/cm2)
Tipo de pieza
Bloques
60
Tabique (ladrillo) recocido
60
60 (hueco horizontal)
Tabique (ladrillo) extraído
100 (hueco vertical)
Tabicones
100
1.5.3 PESO VOLUMÉTRICO MÍNIMO DE PIEZAS EN ESTADO SECO:
En la Tabla 1‐7 se presenta el peso volumétrico mínimo de piezas en estado seco. Se busca
limitar el empleo de arenas muy ligeras (tipo tepojal) en la fabricación de piezas.
Tabla 1‐7 Peso volumétrico mínimo de piezas en estado seco
Tipo de pieza
Valores en kN/m³ (kg/m³)
Tabique de barro recocido
13 (1300)
Tabique de barro con huecos vertica‐
17 (1700)
les
Bloque de concreto
17 (1700)
Tabique de concreto (tabicón)
15 (1500)
1.5.4 ABSORCIÓN DE AGUA
Norma: Absorción máxima y absorción inicial (NMX‐C‐404‐ONNCCE‐2005, 2005), (NMX‐C‐
037‐ONNCCE‐2005, 2005) (método de prueba)
En la Tabla 1‐8 se presentan los valores para la absorción de agua máxima.
Se pueden hacer las siguientes observaciones:
ƒ
La absorción de agua, se verifica bajo tres aspectos: absorción máxima, mínima e
inicial.
ƒ
Las tres juegan un papel diferente. Una pieza que es muy absorbente tiende a se‐
car una mezcla. Si se emplea saturada puede aportar una gran cantidad de agua al
mortero, haciéndolo inservible.
ƒ
La absorción inicial tiene un efecto directo sobre la fabricación y la cantidad de
humedad que deben tener las piezas al ser colocadas.
ƒ
La absorción mínima, es necesaria para la integración química del mortero con la
pieza. Véase por ejemplo el caso de los bloques de vidrio, estos deben tener una
forma especial debido a su nula absorción.
6
Tabla 1‐8 Absorción inicial máxima de agua de piezas
muros expuestos muros interiores o Absorción total en
Tipo de material
al exterior
con recubrimiento
24 h
(g/min)
(g/min)
en porcentaje
Concreto
5
7.5
12
Arcilla artesanal
‐
‐
23
Arcilla extruida o prensa‐
5
7.5
19
da
1.5.5 PIEZAS MACIZAS Y HUECAS
Las NTCM y la NMX‐C‐404‐ONNCCE hacen una distinción desde el punto de vista del com‐
portamiento de las piezas en macizas y huecas:
Piezas macizas: aquéllas que tienen en su sección transversal más desfavorable un área
neta de por lo menos 75 por ciento del área bruta, y cuyas paredes exteriores no tienen
espesores menores de 20 mm.
Piezas huecas: son las que tienen, en su sección transversal más desfavorable, un área
neta de por lo menos 50 por ciento del área bruta; además, el espesor de sus paredes ex‐
teriores no es menor que 15 mm. Para piezas huecas con dos hasta cuatro celdas, el espe‐
sor mínimo de las paredes interiores deberá ser de 13 mm. Para piezas multiperforadas,
cuyas perforaciones sean de las mismas dimensiones y con distribución uniforme, el espe‐
sor mínimo de las paredes interiores será de 7 mm. Se entiende como piezas multiperfo‐
radas aquéllas con más de siete perforaciones o alvéolos. Sólo se permite usar piezas hue‐
cas con celdas o perforaciones ortogonales a la cara de apoyo.
La importancia de esta distinción se debe a su forma de comportamiento.
Ante carga lateral, debido a una mayor resistencia de una pieza maciza, las fisuras que se
presentan tienden a seguir el mortero y por lo tanto, generan trayectorias más largas y un
mejor comportamiento. En cambio, las piezas huecas son fácilmente atravesadas por las
fisuras y conllevan a un comportamiento más frágil. En efecto, cuando un muro ha queda‐
do ya agrietado, las piezas macizas mantienen cierta integridad friccionando a través de
las superficies de sus grietas, triturándose y pulverizándose pero disipando energía; en
cambio las piezas huecas tienden a perder las paredes rápidamente después de que el
muro se agrieta por lo que su capacidad de mantener la carga y disipar energía en la etapa
inelástica (tras el agrietamiento) es menor. De ahí, que el coeficiente de ductilidad depen‐
da del tipo de pieza que se esté empleando.
Comentarios adicionales sobre los tipos de piezas:
ƒ
La selección de una pieza no sólo impacta el costo, sino también el comportamien‐
to estructural y la velocidad de construcción, así como el detallado en planos.
ƒ
Por ejemplo, seleccionar piezas de bajo espesor tipo tabique, permite un manejo
más cómodo para el albañil, pero eleva la cantidad de mortero y el número de
hiladas. Emplear en cambio una pieza de mayor peso, por ejemplo un bloque, exi‐
ge un mortero más seco y mayor control de humedad, pues el propio peso de la
pieza tiende a desplazar el mortero hacia fuera.
7
ƒ
El ritmo de obra debe ser calibrado pues, considerando tanto las características del
mortero y las piezas a emplearse.
ƒ
Por otro lado, el empleo de piezas de alta resistencia, debe estar acompañado de
morteros de resistencia mayor o similar, ya que es el conjunto pieza‐mortero la
que resistirá las acciones de la naturaleza.
1.5.6 RESISTENCIA A COMPRESIÓN DE PIEZAS DE MAMPOSTERÍA
Norma: (NMX‐C‐036‐‐ONNCCE‐2004, 2004)
El valor de la resistencia, , es medida sobre el área bruta y debe ser alcanzado por lo
menos por el 98 por ciento de las piezas producidas.
1
2.5
Donde media de la resistencia a compresión de las piezas, referida al área bruta; cp co‐
eficiente de variación de la resistencia a compresión de las piezas. No se tomará menor
que 0.20 para piezas provenientes de plantas mecanizadas que evidencien un sistema de
control de calidad como el requerido en la norma NMX‐C‐404‐ONNCCE, ni que 0.30 para
piezas de fabricación mecanizada, pero que no cuenten con un sistema de control de cali‐
dad, ni que 0.35 para piezas de producción artesanal.
La resistencia mínima a compresión de las piezas de la Norma Mexicana NMX‐C‐404‐
ONNCCE corresponde a la resistencia .
1.6
MUROS DE MAMPOSTERÍA
Se distinguen varios tipos de muros de mampostería:
a) Muros de mampostería confinada. En este tipo se construye primero el muro con
piezas macizas o huecas (típicamente multiperforadas) de mampostería. Los muros
pueden o no llevar refuerzo horizontal en las juntas y posteriormente se constru‐
yen castillos y dalas que son pequeños elementos de concreto reforzado, verticales
y horizontales respectivamente que sirven como elementos de confinamiento del
muro. El refuerzo horizontal si lo hay debe anclarse en los castillos. (NTCM 5)
b) Muros con refuerzo interior. En este tipo de muros se construye con piezas piezas
de mampostería huecas. En algunas de las cavidades dejadas por las piezas se co‐
loca refuerzo vertical y luego se rellena la cavidad con concreto. El refuerzo en los
bordes de los muros debe ser tal que cumpla las funciones de un elemento de con‐
finamiento. En las juntas horizontales también puede disponerse acero de refuer‐
zo. (NTCM 6)
c) Muros diafragma. Estos muros se construyen para cerrar una crujía de un marco
de concreto o acero. Distingue a estos muros respecto a los confinados, que se
construyen en un tiempo posterior al marco y los elementos de borde: trabes y co‐
lumnas, son robustos en comparación al muro, lo que evita que se deformen junto
8
con él, de modo que suele presentarse una separación entre el muro y dichos ele‐
mentos ante acciones de diseño.
Los muros suelen alojar diversos elementos sin resistencia estructural, pero que pueden
alterar el comportamiento del muro, tales como vanos de puertas, ventanas y ductos así
como instalaciones hidráulicas y eléctricas.
El acabado del muro carece de importancia para fines del comportamiento, a menos que
se trate de una capa armada adecuadamente y con un material resistente como puede ser
concreto reforzado con malla o fibra de carbono.
Las propiedades índices de un muro de mampostería son:
: resistencia a compresión
: resistencia a compresión diagonal
: módulo de elasticidad de la mampostería
: módulo de cortante.
Tradicionalmente se ha hecho énfasis en la resistencia a compresión, sin embargo, la re‐
sistencia a compresión diagonal es el parámetro principal en la determinación de la resis‐
tencia ante carga lateral. Los módulos de elasticidad varían con la resistencia a compre‐
sión de la mampostería.
1.6.1 MÓDULO DE ELASTICIDAD
Para mampostería de tabiques y bloques de concreto:
800
350
para cargas de corta duración
para cargas sostenidas
Para mampostería de tabique de barro y otras piezas, excepto las de concreto:
= 600
para cargas de corta duración
350
para cargas sostenidas
El módulo de cortante de la mampostería se puede tomar como
0.4
(NTCM
2.7.5.2). Como se puede apreciar, una mayor velocidad de carga implica un mayor módulo
de elasticidad. Diversos estudios han mostrado que los valor del módulo de cortante de la
mampostería está en el rango [0.1 , a 0.3 ]. Estos valores reflejan que el material es
ortotrópico. Dichos valores en un material homogéneo elástico no pueden especificarse ya
que dan lugar a valor del coeficiente de Poisson mayor a 0.5.
1.6.2 RESISTENCIA A COMPRESIÓN
Norma: (NMX‐C‐464‐ONNCCE‐2010, 2010)
En las NTCM 2.7.11 la resistencia a compresión
(sobre el área bruta) se determina a
través de pilas formadas por una pieza de base y un mínimo de tres piezas de altura y con
una relación altura a espesor comprendida entre dos y cinco (ver Figura 1.3), sometidas a
9
Figura 1.3 Pila de prueba de resistencia a la compresión (NTCM Figura 2.2)
Tabla 1‐9 Resistencia de diseño a compresión de la mampostería de piezas de concreto (NTCM Tabla 2.6)
, MPa (kg/cm²)
MPa (kg/cm²)
Mortero I
Mortero II
Mortero III
10 (100)
5 (50)
4.5 (45)
4 (40)
15 (150)
7.5 (75)
6 (60)
6 (60)
≥ 20 (200)
10 (100)
9 (90)
8 (80)
carga axial hasta la falla; la norma específica una corrección por esbeltez. Se presentan
algunos valores indicativos en la Tabla 1‐9. La resistencia de una pila es menor que la de
una sola pieza, por lo tanto:
Las pilas se deben ensayar a los 28 días y debe tenerse cuidado en el manejo dado su pe‐
so, por lo que es recomendable que en lo posible, se realicen en el lugar de ensayo. De los
ensayes de pilas se calcula la media y la desviación estándar y, con estos datos, se estima
el valor de diseño a compresión de la mampostería como
1
2.5
media de la resistencia a compresión de las pilas, referida al área bruta y cm el
Donde
coeficiente de variación que se tomará menor que 0.15.
Las NTCM proporciona alternativas para la determinación de la resistencia de diseño con
base en las piezas y el mortero a emplear, sin embargo, es conveniente la realización de
esta prueba al inicio de obra para certificar que se cumpla con lo establecido en el proyec‐
to.
Para la determinación del esfuerzo cortante resistente de la mampostería se ha adoptado
el ensaye de un murete cuadrado de pequeñas dimensiones probado ante compresión a
lo largo de una de sus diagonales, como se muestra en la Figura 1.4. El esfuerzo calculado
sobre la diagonal se toma para fines de diseño como el esfuerzo cortante resistente.
En la norma NMX‐C‐464‐ONNCCE se especifica el método de ensayo de las pilas sometidas
a compresión, los muretes ensayados a compresión diagonal así como la determinación
experimental de los módulos de elasticidad y de cortante para pilas y muretes, respecti‐
vamente.
10
Figura 1.4 Murete para prueba de resistencia a compresión diagonal (NMX‐C‐464‐ONNCCE)
1.7
REFUERZO
En la construcción de estructuras de concreto el acero de refuerzo que normalmente se
utiliza es la varilla corrugada grado 42 fabricada bajo la norma (NMX‐407‐ONNCCE‐2001,
2001), pero en estructuras de mampostería además de este tipo de acero se utiliza refuer‐
zo de alta resistencia estirado en frio, cuyas presentación es en varillas ó en elementos
electrosoldados con formas especificas para eliminar el proceso de habilitado en sitio co‐
mo los castillos. Las NTCM permiten el uso de este tipo de aceros para el refuerzo de mu‐
ros de mampostería.
1.7.1 ACEROS DE ALTA RESISTENCIA ESTIRADOS EN FRIO
Estos aceros son producto de estirar por procesos mecánicos en frio alambrones de un
diámetro mayor, que al ir reduciendo su diámetro se va incrementando su resistencia a la
tensión. El corrugado de estas varillas también se logra en frio en donde al final del proce‐
so de estiramiento, un conjunto de mordazas “muerden” las varillas formando el corruga‐
do que le da la adherencia con el concreto, a este proceso se le conoce como “trefilado”.
Las varillas ó alambres que se producen bajo este proceso deben cumplir con la norma
igual a 6000 kg/cm2.
(NMX‐B‐072‐CANACERO‐2006, 2006) con un esfuerzo de fluencia
Cuando las varillas ó alambres van a formar parte de una malla electrosoldada, un castillo
ó de cualquier elemento electrosoldado, su fabricación se rige bajo la norma (NMX‐B‐253‐
CANACERO‐2006, 2006) y en este caso el esfuerzo de fluencia de las varillas
es igual
2
5000 kg/cm y su diámetro se expresa en calibres como en los alambres. Solamente cuan‐
do la varilla ó alambre forma parte de un elemento electrosoldado se permite que su su‐
perficie sea lisa.
1.7.2 VARILLAS DE REFUERZO DE ALTA RESISTENCIA
Las varillas de alta resistencia estiradas en frio se conocen como varillas Grado 60 por te‐
ner un esfuerzo de fluencia mínimo de 6000 kg/cm2. Como se puede ver en la Tabla 1‐10
los diámetros de estas varillas son pequeños y se expresan comercialmente en una
11
Tabla 1‐10 Varillas corrugadas de alta resistencia grado 60
Ø alambre
Área
peso
número
mm
pulg.
cm2
kg/m
2.5
7.93
5/16 "
0.49
0.387
2
6.35
1/4 "
0.32
0.248
1.5
4.76
3/16 "
0.18
0.140
1.25
3.97
5/32 "
0.12
0.097
Figura 1.3 Comparativa de la grafica esfuerzo deformación de las varillas convencionales
grado 42 con varillas de alta resistencia grado 60
fracción de pulgada. Las varilla con diámetros menores como 5/32” (3.97 mm) y 3/16”
(4.76 mm) son las varillas recomendadas para utilizarse como refuerzo horizontal en los
muros de mampostería, ya que por tener un diámetro pequeño, pueden alojarse dentro
de la junta horizontal del mortero (la cual normalmente es de 10 mm) dejando el recubri‐
miento mínimo que las normas establecen y en las intersecciones de los muros reforzados
interiormente se evita que las juntas se engruesen cuando se crucen dos alambres para
amarrarse en el castillo de la intersección. (ver Figura 1.5)
Las varillas con diámetros mayores como son ¼” (6.35mm) y 5/16” (7.93mm) se emplean
como refuerzo vertical en muros reforzados interiormente de 10 y 12cm de espesor, ya
que sus áreas de acero permiten cumplir con un margen adecuado con los requisitos de
cuantías mínimas que establecen las NTCM para este tipo de muros con los espesores se‐
ñalados.
Este tipo de acero no tiene un esfuerzo de fluencia definido y su valor de obtiene como un
porcentaje de la resistencia última (ver Figura 1.3)
Las varillas cuando se usan como refuerzo horizontal para incrementar la resistencia de los
muros a cargas laterales, deben anclarse en los castillos extremos ó intermedios y nunca
traslaparse, ya que el mortero de junteo donde están alojadas, no logra anclar los trasla‐
pes de este refuerzo.
Las varillas utilizadas como refuerzo vertical en muros reforzados interiormente deben
traspalarse por lo menos 50 diámetros cuando se alojan en los huecos de las piezas
12
(NTCM, 2004) a diferencia de los 40 diámetros establecidos como norma en la varilla gra‐
do 42.
1.7.3 ESCALERILLA
La escalerilla es un refuerzo que se coloca en las juntas horizontales de un muro de mam‐
postería y está formado por dos alambres longitudinales de calibre 9 ó 10 separados por
alambres trasversales unidos por el proceso de electrosoldado. Se fabrica bajo la norma
(NMX‐B‐500‐CANACERO‐2008, 2008), con alambres transversales rectos y en zig‐zag.
Las (NTCM, 2004)no permiten el uso de escalerillas para resistir fuerza cortante inducida
por sismo en los muros, esto derivado de pruebas experimentales sobre muros sometidos
a cargas cíclicas en donde se observó que los alambres longitudinales de la escalerilla se
rompen cerca de las uniones soldadas antes de alcanzar su máxima elongación, en su lu‐
gar las NTCM recomiendan utilizar alambres sueltos anclados en sus extremos y sin trasla‐
pe.
La escalerilla es muy utilizada en la práctica norteamericana como refuerzo horizontal en
los muros para tomar los esfuerzos derivados de las contracciones y expansiones a los que
se ven sujetos por las variaciones de temperatura que pueden darse a lo largo del día en
zonas con climas cálidos, principalmente para muros de mampostería a base de bloques
de concreto, tampoco en la normativa americana se utiliza la escalerilla como refuerzo
estructural.
1.7.4 CASTILLOS ELECTROSOLDADOS
Los armados prefabricados denominados castillos electrosoldados son muy utilizados co‐
mo el refuerzo para castillos y cadenas de los muros confinados en construcciones de
mampostería de uno y dos niveles en donde el acero de refuerzo de dichos elementos es
suficiente para cumplir con los requisitos de acero mínimo para muros confinados que las
NTCM establecen y con el acero que se requiere cuando los muros se diseñan a flexocom‐
presión en zonas de bajo y moderado riesgo sísmico. (Tabla 1‐11)
tipo
10x20 ‐ 4
12x12 ‐ 3
12x12 ‐ 4
12x20 ‐ 4
15x10 ‐ 4
15x15 ‐ 3
15x15 ‐ 4
15x20 ‐ 4
15x25 ‐ 4
15x30 ‐ 4
Tabla 1‐11 Secciones tipo de Castillos electrosoldados
sección
Ø alambre
estribos
cm
pulg.
calibre
6 x 16
1/4 "
8 @ 15.8
8x8
1/4"
8 @ 15.8
8x8
1/4"
8 @ 15.8
8 x 16
1/4"
8 @ 15.8
11 x 6
1/4"
8 @ 15.8
11 x 11
1/4"
8 @ 15.8
11 x 11
1/4"
8 @ 15.8
11 x 16
1/4"
8 @ 15.8
11 x 21
1/4"
8 @ 15.8
11 x 26
1/4"
8 @ 15.8
13
peso
kg/m
1.34
1.00
1.30
1.37
1.31
0.98
1.31
1.38
1.44
1.48
Los castillos electrosoldados normalmente se especificación como BxH‐N, donde B es el
ancho de la sección bruta del castillo de concreto y H el peralte, N es el número de varillas
longitudinales del que está formado el castillo y estas pueden ser 2,3 y 4. La sección real
del castillo resulta de considerar un recubrimiento libre de 2cm en el largo y ancho de la
sección, por ejemplo un castillo 12x20‐4 tiene una sección real de 8x16cm. Las varillas
longitudinales son varillas corrugadas de ¼” (6.4mm) y los estribos son varillas lisas ó co‐
rrugadas calibre 8 (4.11 mm) con una separación estándar de 15.8 cm (ver Tabla 1‐11 y
Figura 1.6) . La fabricación de estos elementos se rige con las normas (NMX‐B‐072‐
CANACERO‐2006, 2006), (NMX‐B‐253‐CANACERO‐2006, 2006)y (NMX‐456‐CANACERO‐
2007, 2007).
Figura 1.5 Varillas de alta resistencia
Figura 1.6 Castillos electrosoldados
14
2
PROYECTO ARQUITECTÓNICO
En el caso especial de las estructuras para vivienda, la estructuración queda definida al
establecer la geometría y posición de los elementos divisorios (muros) así como de sus
aberturas y otros detalles especiales que se definen en el proyecto arquitectónico. Aun‐
que en muchos casos el despacho de diseño debe partir de proyectos geométricos ya ela‐
borados, es ventajoso hacer conciencia del buen o mal comportamiento que se obtendrá
dependiendo de ciertas configuraciones arquitectónicas. Esto permitiría al encargado del
análisis proponer modificaciones que mejoren el buen desempeño estructural sin restar
funcionalidad y estética al proyecto.
En la ciudad de México y en gran parte del territorio nacional el arreglo de la estructura de
una casa o de un edificio de mampostería debe estar definido por la necesidad de generar
una buena respuesta ante los sismos. La forma en planta y en elevación así como la distri‐
bución de los muros juegan un papel muy importante en el comportamiento bajo la ac‐
ción sísmica. En la actualidad la necesidad de resolver el problema de demanda de vivien‐
da ha provocado el aumento desmedido de los edificios de departamentos que en mu‐
chos casos se resuelven con estructura de muros de mampostería. Esto ha generado pro‐
yectos en los que se ha olvidado el concepto de regularidad que se manifiesta en una dis‐
tribución de espacios en planta que obedece a la idea de aprovechar al máximo el área del
terreno que con mucha frecuencia es irregular. El resultado es un proyecto con un arreglo
estructural fuertemente irregular y asimétrico, tanto en planta como en elevación. El
problema se agrava en aquellos proyectos que requieren ubicar el estacionamiento de
autos bajo los departamentos, dando lugar a uno de los conceptos más riesgosos de con‐
figuración que es el llamado “piso blando” o “piso débil”.
Si bien las Normas Técnicas para Sismo dedican un espacio al concepto de regularidad
(NTCS, 2004) Cap 6 e imponen castigos a las estructuras que no cumplen con determina‐
dos requisitos, esto no ha sido suficiente, pues cada vez es mayor el número de edificios
muy irregulares, destacando en particular los de planta baja con piso débil.
A continuación se muestran los casos más comunes de irregularidad en los edificios de
mampostería.
2.1
PROBLEMAS DE IRREGULARIDADES EN PLANTA
Los casos más comunes de irregularidad en planta corresponden a edificios que tienen
alguna de las siguientes características:
ƒ
Asimetría en una o dos direcciones. La asimetría puede ser de la forma o de la dis‐
tribución de la masa
ƒ
Formas en L, T, U, V, Z y en general, con esquinas entrantes pronunciadas
ƒ
Plantas muy alargadas
ƒ
Plantas rectangulares con huecos asimétricos
15
Los edificios con irregularidad en planta tendrán un comportamiento errático bajo la ac‐
ción de un sismo como consecuencia de la torsión producida por la excentricidad de la
masa con respecto al centro de rigidez d la estructura. Se muestran el caso en ‘L’ y en ‘U’
en la Figura 2.1 y el caso de planta alargada en la Figura 2.2.
Figura 2.1 Irregularidades en planta
Figura 2.2 Planta alargada
2.2
PROBLMAS DE IRREGULARIDAD VERTICAL
En este grupo se tienen los siguientes casos:
ƒ
Formas asimétricas en elevación. Aunque en realidad todos los edificios son asimé‐
tricos en elevación, destacan en especial aquellos con forma de L donde el número
de pisos es mayor en un extremo y en general formas escalonadas.
ƒ
Formas piramidales asimétricas o invertidas
ƒ
Formas de ‘T’ en elevación
ƒ
Edificios con cambios abruptos de resistencia y rigidez (piso blando).
En estos edificios los cambios bruscos de masa, resistencia y rigidez modifican las hipótesis
de comportamiento sísmico de la estructura. Los cambios bruscos en la resistencia y en la
rigidez de una estructura se reflejan en problemas cuya importancia se resume en los
términos siguientes: las fuerzas sísmicas se transmiten a través de la estructura de acuer‐
do con su rigidez; cuando existen cambios abruptos, se crean zonas de peligro y las hipó‐
16
tesis de distribución de las fuerzas a lo largo de la altura se modifican drásticamente aun
cuando la estructura permanezca elástica, provocando cambios significativos en la res‐
puesta sísmica; el problema se agrava cuando la estructura incursiona en el rango inelásti‐
co.
En una estructura donde exista un piso muy flexible con respecto a los otros, la energía del
sismo se concentrará en el ese piso. En las estructuras de mampostería uno de los casos
más comunes corresponde al llamado piso blando o piso débil, creado en la planta baja
del edificio en función de las necesidades de espacios abiertos requeridos para ubicar el
estacionamiento. La estructura se transforma en este nivel en una de marcos, cuya rigidez
es considerablemente menor que la de los pisos superiores consistente en muros de
mampostería. Las demandas sísmicas de deformación en el primer piso exigen una estruc‐
tura dúctil en exceso, complementada en muchos casos con muros de concreto. Adicio‐
nalmente la estructura requerirá también trabes y losas de gran peralte pare soportar el
peso de los pisos superiores que se interrumpen en el primer nivel.
Las consecuencias de este problema se han manifestado en todos los sismos ocurridos en
México y en otros países; desafortunadamente la lección de 1985 no ha sido asimilada por
los arquitectos e ingenieros mexicanos que siguen proponiendo unos y aceptando los
otros proyectos arquitectónicos con este tipo de irregularidad sin considerar, en el análi‐
sis, en el diseño y en el detallado de la estructura las implicaciones estructurales provoca‐
das por este problema.
De la Figura 2.3 a la Figura 2.7 se ilustran y se enuncian algunos casos que pueden servir al
estructurista para distinguir estructuras fuertemente irregulares.
Figura 2.3 Piso débil
Figura 2.4 Variación de rigideces de las columnas
17
a) Casa muy irregular
b) Casa regular
Figura 2.5 Localización de aberturas
a) Planta alargada
b) Planta proporcionada
Figura 2.6 Longitud de la estructura
a) Insuficientes muros en dirección corta
b) Buena distribución de muros
Figura 2.7 Cantidad y distribución de muros
18
a) Asimetría pronunciada
a) Simetría ideal
Figura 2.8 Simetría
a) Muros disconnuos
a) Muros alineados
Figura 2.9 Muros en elevación
a) Disconnuidad de muros
b) Muros alineados
Figura 2.10 Discontinuidad vertical de muros
19
PARTE II
ANÁLISIS
Existe una diferencia entre lo que las (NTCM, 2004) y las (NTCS, 2004) establecen como
métodos de análisis. En el caso de la NTCS los métodos de análisis son procedimientos
para calcular las fuerzas sísmicas a que se verá sujeta la estructura, mientras que en el
caso de las NTCM son procedimientos que sirven para distribuir las fuerzas sísmicas entre
los distintos elementos resistentes. La distinción no siempre es útil ya que algunos méto‐
dos para la obtención de las fuerzas sísmicas, como el análisis modal, sirven también para
distribuir las fuerzas en los elementos. El nombre de método simplificado, para referirse a
un método para la obtención de fuerzas laterales en las NTCS y para distribuir las fuerzas
laterales entre los elementos en NTCM genera cierta confusión; más aún, el método sim‐
plificado en las NTCS pide una revisión global de la estructura, mientras que el método
simplificado de las NTCM implica una revisión muro por muro.
En el primer capítulo de esta parte, se revisarán los métodos para obtener las fuerzas late‐
rales; el análisis por torsión se incluye en un capítulo por separado.
así como el tema de la interacción suelo estructura se incluyen en capítulos separados. En
la parte de la distribución de las fuerzas en los elementos, se presentan capítulos en los
que se revisa el criterio general contenido en las NTCM y su aplicabilidad; el método sim‐
plificado de las NTCM, y algunos aspectos de modelación con columna ancha y elementos
finitos para analizar con la ayuda de un programa de análisis comercial. Se revisa el méto‐
do de la diagonal equivalente para muros diafragma y un método innovador para el análi‐
sis no lineal.
3
DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS
Para determinar las fuerzas sísmicas en la estructura, las NTCS establecen cuatro procedi‐
mientos: 1) El método simplificado, 2) El método estático, 3) El método dinámico y 4) El
método paso a paso. El último de los cuales no revisaremos en esta Guía. Los métodos
listados están en orden en cuanto a la simplicidad de su aplicación y en orden inverso a su
generalidad.
Las NTCS establecen cuándo es aplicable cada método. Para dar un panorama completo
de los requisitos de cada método y de los cálculos que implica cada uno de ellos se pre‐
senta la Figura 3.1. En la Figura 3.1 se presentan, en un diagrama de flujo, los pasos nece‐
sarios para decidir qué método usar y luego qué cálculos deben realizarse en cada méto‐
do. En el diagrama de flujo se asume que el ingeniero quiere usar el método más simple
en cada caso, obviamente es solo para organizar el diagrama.
20
Selección del tipo de análisis (NTCS)
Inicio
Use el método sim‐
plificado de análisis
NTCS 7
si
Se requiere un análi‐
sis dinámico modal
espectral NTCS 9
La estructura
cumple los
requisitos
NTCS 2.1
no
NTCS 9 Análisis dinámico
si
h≤30 m o
Zona I y
H≤30 m
∑
La estructura
es regular
según NTCS 6
∑
0.9
0.8
Se puede usar el
método estático de
las NTCS 8 o bien
Apéndice A con ISE
si
NTCS 7 Método Simplificado
∑
∑
1.1
∑
·∑
forma modal ‐ésimo modo
no
si
fin
pa: piezas macizas
pm: piezas multiperforadas
ph: piezas huecas
rh: refuerzo horizontal
ri: refuerzo interior
mc: mampostería confinada
md: muros diafragma
ce: castillos exteriores
NTCS A, Zonas II y III Efectos de
sitio e interacción suelo estruc‐
tura (ISE)
NTCS 8 Método Estático
0.3
1.1
∑
NTCS 8.1
de Tabla 7.1
Grupo A,
1.5
no
H≤20 m o
zona I y
h≤30 m
∑
,
·∑
NTCS 8.1
NTCS 3 con
2
∑
∑
,
1 NTCS ec.4.1
[1,0.7] factor de reducción por irregu‐
laridad según NTCS 6
2 pa | pm, rh, ce
1.5
ph
1
Grupo A,
1.5
md
0.006
mc,
pa, rh
0.0035
Δ Q/H
0.0025 mc, pa | mc, ph, rh
0.002
mc, ph, ri
NTCM .3.2.3.2
fin
21
dirección de análisis
dirección perpendicular
entrepiso
número de niveles
desplazamiento del nivel
relativo a la base
altura del nivel desde la
base
altura total
peso del nivel
Cortante resistente del
muro en la Dir. de análisis,
entrepiso
cortante en la base
peso modal efectivo
factor de amplificación
por torsión ver Cap 9
NTCS A Efectos de sitio
Se pueden usar Met Estático y Dinámico
NTCS 8,9
,
con ec.A.1 reducida por ’ y
periodo del terreno de figura A.1
’
de ec.A.7
como en cuadro NTCS 8
sobreresistencia de ec.A.8
Grupo A,
1.5
0.03
0.05
Δ
/
1
1
0.006
0.005
0.004
0.002
md
mc, pa, rh
mc, pa | mc, ph, rh
mc, ph, ri
NTCS A Interacción suelo estructura
Se pueden despreciar los efectos si
2.5
Periodo con base rígida
profundidad de los depósitos firmes de
figura A.2
altura efectiva de la estructura
un nivel
0.7
análisis estático
∑
análisis
dinámico
∑
es la amplitud del desplazamiento
modal del ésimo nivel sobre el desplante
De lo contrario
Calcular el cortante basal corregido por ISE
NTCS ec.A.13
Figura 3.1 Selección del método de análisis para la determinación de las fuerzas sísmicas
3.1
MÉTODO SIMPLIFICADO
El método simplificado para obtener las fuerzas sísmicas en la estructura se describe en
las NTCS 7. El método ignora los desplazamientos laterales, los efectos de torsión y el vol‐
teo. Para utilizar el método deben cumplirse los requisitos NTCS 2.1.
3.1.1 REQUISITOS
ƒ
ƒ
“En cada planta, al menos el 75 por ciento de las cargas verticales estarán soporta‐
das por muros ligados entre sí mediante losas monolíticas u otros sistemas de piso
suficientemente resistentes y rígidos al corte.”
0.1
(3‐1)
donde
∑
∑
1
133
L
CC
1.33
1.33
dir. análisis
22
y es la altura del entrepiso. El factor
debe entenderse como un factor de co‐
rrección de la rigidez lateral de un muro cuando este es esbelto, para tomar en
cuenta las deformaciones por flexión.
ƒ
ƒ
ƒ
/
/
2
1.5
13 m
donde es la altura total del edificio
3.1.2 REVISIÓN POR ENTREPISO
El método especifica solo una revisión por entrepiso
es la resistencia del muro en la dirección de análisis del entrepiso . Esta resis‐
donde
tencia es de acuerdo a las NTCM como veremos más adelante.
El cortante de entrepiso de diseño
es la fuerza cortante de diseño en el entrepiso . Dicha fuerza se calcula de acuerdo a
las NTCS 8.1
(3‐2)
∑
·
∑
(3‐3)
donde es la fuerza sísmica en el nivel , es el número de niveles de la estructura,
es el peso del nivel y es la altura del ésimo nivel medida desde la base de la estructu‐
ra. La base de la estructura es desde donde inician los desplazamientos laterales aprecia‐
bles de la estructura. Si la cimentación de la estructura es un cajón muy rígido no es nece‐
sario considerar la base desde el desplante de la estructura, puede considerarse desde
donde salen los muros de la cimentación.
El coeficiente sísmico debe obtenerse de la Tabla 7.1 de las NTCS; está en función del
tipo de pieza y de la altura de la estructura; parámetros asociados a la ductilidad y el pe‐
riodo de la estructura, respectivamente. Esto es el coeficiente de la Tabla 7.1 ya incluye
en forma indirecta las reducciones por ductilidad y el periodo de la estructura. Un error
común al aplicar este método es el intentar definir el factor de comportamiento sísmico
; no es necesario ni adecuado.
Si la estructura es del grupo A según el Artículo 139 del RCDF entonces el coeficiente
sísmico debe multiplicarse por 1.5 (
1.5 .
La resistencia de entrepiso
La resistencia se calcula como la suma de las resistencias de los muros en la dirección de
análisis. La resistencia de un muro está dada por la contribución de la mampostería más la
contribución del refuerzo horizontal o refuerzo dispuesto en malla
23
La contribución a la resistencia de la mampostería está dada por la Ec (5.7) de las NTCM.
0.5
0.3
1.5
(3‐4)
donde
es la resistencia a cortante de diseño de la mampostería y es la carga axial en
0.7 el factor de reducción de la resistencia. Para efectos de este análisis, se
el muro y
admite estimar la carga axial del muro como
∑
La resistencia debida al acero de refuerzo horizontal está dada por la Ec. 5.9 de las NTCM
(3‐5)
La sección 5.4.1 de las NTCM especifica que cuando se use el método simplificado de las
NTCM debe usarse el área efectiva en la fórmula 5.7 de dichas normas, que es como se
presenta arriba en la Ec. (3‐4) y así mismo en la Ec. 5.9 de las NTCM como se presenta en
la Ec. (3‐5). En donde
0.7, es un factor de eficiencia, que se reduce cuando la
cuantía de refuerzo crece;
es el esfuerzo de fluencia del refuerzo,
es el área trans‐
el factor de área efectiva.
versal total del muro incluyendo los castillos extremos y
Esta especificación, al incluir el área efectiva para el cálculo de la resistencia de los muros
reduce la resistencia nominal de los muros esbeltos, cuando se usa el método simplifica‐
do. La norma no parece tener el debido sustento teórico y genera confusión, ya que como
hemos mencionado
es un factor que corrige la rigidez lateral para tomar en cuenta las
deformaciones por flexión en muros esbeltos, teóricamente no tiene relación con la resis‐
tencia.
En este método no es necesario hacer una revisión por desplazamientos laterales
3.2
EL MÉTODO ESTÁTICO
Este método es menos restrictivo que el método simplificado. La generalidad la obtiene al
definir con más precisión el factor de comportamiento sísmico en función del tipo de pieza
y de si la estructura tiene refuerzo o no. Otro aspecto importante que se toma en cuenta
es el periodo de la estructura, que a su vez depende de la distribución de masas por nivel
y las rigideces de entrepiso; el cálculo del periodo se hace en forma aproximada. Con el
periodo se determina la ordenada espectral con la que se obtienen las fuerzas sísmicas. El
método incrementa las acciones en caso de que la estructura presente irregularidades
Finalmente el método requiere que se tomen en cuenta los efectos de torsión que equiva‐
le a agregar un momento torsional debido a la excentricidad entre el centro de cortante y
de rigideces.
El método estático a diferencia del método simplificado, no define cómo hacer la revisión
de la resistencia. La fuerza sísmica debe repartirse entre los muros y la revisión debe
hacerse por muro.
24
El método tiene como hipótesis fundamental que la respuesta dinámica de la estructura
puede representase con suficiente aproximación de la siguiente forma
(3‐6)
donde es un vector de forma independiente del tiempo y
es un factor escalar de‐
pendiente del tiempo, que puede interpretarse como el desplazamiento de azotea. A esta
hipótesis se le conoce como la hipótesis del primer modo. A medida que más modos parti‐
cipan en la respuesta de la estructura, las aproximaciones del método son menos válidas,
por ejemplo en estructuras más altas. Otra hipótesis del método, es que se trata de una
estructura de cortante. Esto significa que para caracterizar a la estructura basta considerar
la rigidez lateral de cada nivel. En el caso de un marco esto implica que las trabes son rígi‐
das. La hipótesis se aplica razonablemente a estructuras hechas a base de muros como en
el caso de estructuras de mampostería. La hipótesis da lugar a una matriz de rigideces
tridiagonal (Chopra, 2007).
Los valores
son desplazamientos laterales normalizados del nivel , y
es un factor
escalar dependiente del tiempo que suele definirse como el desplazamiento de azotea.
Sustituyendo esta aproximación en las ecuaciones de equilibrio
(3‐7)
Y premultiplicando por
, se obtiene una ecuación con un solo grado de libertad
(3‐8)
;
,
(3‐9)
donde
es una matriz diagonal con las masas
por nivel, es una matriz tridiagonal
que representa la rigidez lateral del sistema, es la rigidez del entrepiso , ℓ en esta pre‐
es la excitación en la base de
sentación es un vector con 1 en todas sus componentes y
la estructura. De la forma homogénea de la Ec. (3‐8) se puede deducir la aproximación al
periodo fundamental, con
2 / ,
/ , sustituyendo
y
∑
, para obtener la Ec.8.2 de NTCS
2
∑
∑
donde
es el peso del nivel ,
/ ,
es la aceleración de la gravedad y
fuerza sísmica en el nivel . La respuesta de la estructura puede obtenerse como
es la
(3‐10)
donde es la pseudoaceleración. Ahora ya puede calcularse el desplazamiento de cada
nivel con la ec.(3‐6) y los cortantes como
con
0 y la fuerzas con
con
0 o alternativamente, una vez calculados los desplazamientos
las fuerzas pueden calcularse como
.
25
El vector puede asumir varias formas, por ejemplo puede suponerse linealmente cre‐
ciente con la altura esto es
/ donde es altura del nivel medida desde la base.
Utilizando esta definición pueden obtenerse las fuerzas de acuerdo a las NTCS
(3‐11)
∑
donde
es el cortante basal de la estructura.
El método estático no establece el cálculo del momento de volteo, por lo que esta implíci‐
ta la hipótesis de que la base de la estructura no es muy alargada ni la estructura es muy
esbelta, lo que produciría elevadas fuerzas axiales debidas al volteo. Otras especificacio‐
nes con métodos estáticos similares al de las NTCM si lo consideran, tal es el caso del
código de Nueva Zelanda (NZS, 2004). Usando esta simple teoría podría calcularse el vol‐
teo con
∑
∑
donde
(3‐12)
es una altura característica de la estructura.
3.2.1 EJEMPLO DE PERIODO
Figura 3.2 Marco de concreto
El periodo puede calcularse usando la siguiente tabla
Tabla 3‐1 Cálculo del periodo
Niv
5
4
3
2
1
∑
m
20
16
12
8
4
t
18
18
18
18
18
90
t∙m
360
288
216
144
72
1080
t
t
30
24
18
12
6
Δ es el desplazamiento relativo de entrepiso Δ
30
54
72
84
90
/
26
t/m
2910
2910
2910
2910
2910
Δ
m
0.010
0.019
0.025
0.029
0.031
m
0.113
0.103
0.085
0.060
0.031
t∙m
3.402
2.474
1.522
0.718
0.186
8.301
t∙m2
0.231
0.191
0.129
0.064
0.017
0.633
2
0.633
9.81 8.301
0.554 s
Las fuerzas se calcularon de acuerdo a la Ec.(3‐5) sin el coeficiente sísmico; esto no tiene
un efecto en el cálculo del periodo.
3.2.2 RESPUESTA DE DISEÑO
La respuesta máxima de una estructura de un solo grado de libertad con un cierto grado
de amortiguamiento está dada por los espectros de diseño de pseudo‐aceleración dividida
entre la aceleración de la gravedad, propuestos por las NTCS 3. La forma del espectro esta
dada por la Ec.(3‐13.
(3‐13)
donde
/
,
Es la pseudo‐aceleración máxima probable dividida entre la aceleración de la
gravedad.
Aceleración del terreno
Coeficiente sísmico (meseta del espectro)
Periodos característicos en segundos.
Exponente de la rama descendente del espectro
La ordenada espectral deberá multiplicarse por 1.5 en caso de que se trate de una estruc‐
tura del grupo A. La Tabla 3‐2 muestra los parámetros del espectro de diseño de acuerdo a
las NTCS
Tabla 3‐2 Espectros de diseño de las NTCS
(s)
(s)
Zona
I
0.16
0.04
0.2
1.35
1
II
0.32
0.08
0.2
1.35
1.33
IIIa
0.4
0.1
0.53
1.8
2
IIIb
0.45
0.11
0.85
3
2
IIIc
0.4
0.1
1.25
4.2
2
IIId
0.3
0.1
0.85
4.2
2
Las zonas sísmicas en que se divide el Distrito Federal se definen en la Figura 1.1 de dichas
normas.
Una vez que se conoce la ordenada espectral usando la aproximación del periodo fun‐
damental con en la Ec.(3‐13) es posible calcular las fuerzas sísmicas en la dirección de
análisis de acuerdo a la Ec. (3‐14)
27
∑
∑
∑
(3‐14)
El subíndice en las fuerzas se utiliza para indicar que son fuerzas calculadas en la direc‐
ción de análisis. La ordenada espectral debe reducirse por que es el factor de compor‐
tamiento sísmico en función del periodo y reducido por irregularidad.
3.2.3 FACTOR DE COMPORTAMIENTO SÍSMICO Q’
El factor de comportamiento sísmico debe calcularse de acuerdo a la Ec.
1
(3‐15)
1
El valor de recomendado para la mampostería depende del tipo de pieza y de si los mu‐
ros tienen refuerzo horizontal o no (ver las NTCM 5)
Muros de piezas macizas o de piezas multi‐perforadas
con refuerzo horizontal con al menos la cuantía mínima y
los muros estén confinados con castillos exteriores
Muros de de piezas huecas independiente‐mente del
refuerzo en los muros y del tipo de castillo
2
1.5
1
Para el resto de los muros
Adicionalmente el factor de comportamiento sísmico deberá multiplicarse por un factor
para tomar en cuenta el grado de irregularidad de la estructura:
1
Si la estructura es regular según las NTCS 6
0.9
Cuando no se cumpla alguno de los requisi‐
tos 1 al 11 de las NTCS 6.1
Cuando la estructura no cumpla con dos o
más requisitos
Cuan la estructura sea fuertemente irre‐
gular
0.8
0.7
3.2.4 EFECTOS BIDIRECCIONALES Y DE TORSIÓN
Para obtener las fuerzas de diseño, deben combinarse con las debidas a la dirección de
análisis en el sentido perpendicular e incluir los efectos de torsión, causador por la excen‐
tricidad de el centro de cortante y el centro de rigideces.
0.3
1.1
28
(3‐16)
son las fuerzas obtenidas para la dirección perpendicular a la dirección de análisis. El
factor de carga es de 1.1 y
es el factor que incrementa las fuerzas laterales para to‐
mar en cuenta la torsión de la planta. El cálculo de este factor se detalla en el Capítulo 8.
3.2.5 REVISIÓN DE DESPLAZAMIENTOS
A diferencia del método simplificado, cuando se usa el método estático o el método
dinámico deben revisarse las distorsiones en los muros. Las distorsiones obtenidas con las
cargas de diseño deberán multiplicarse por , a menos que se consideren secciones agrie‐
tadas en el análisis.
Δ 0.006
Δ 0.0035
3.3
Δ
0.0025
Δ
Δ
0.002
0.0015
Muros diafragma
Muros de mampostería confinada de piezas macizas con re‐
fuerzo horizontal o mallas (NTCS 5)
a) Mampostería confinada e piezas macizas
b) Mampostería confinada de piezas huecas y refuerzo hori‐
zontal o con malla
Muros de piezas huecas con refuerzo horizontal
Muros de mampostería no confinada
ANÁLISIS DINÁMICO
Este tipo de análisis puede utilizarse para cualquier tipo de estructura, no tiene requisitos
específicos para su aplicación. Para llevar a cabo este análisis se utiliza, normalmente, un
programa de cómputo comercial; se modela la estructura, se asignan propiedades a los
elementos, cargas y masas. El análisis por lo general será tridimensional. En estos modelos
suele imponerse la condición de diafragma rígido imponiendo restricciones cinemáticas a
los nudos. Estas restricciones consisten en prevenir el desplazamiento relativo de los nu‐
dos en el plano del diafragma. Esta modelación reduce a tres los grados de libertad en el
plano del diafragma, El resto de los grados de libertad: desplazamiento fuera del plano y
giros respecto a ejes en el plano del diafragma se conservan para todos los nudos de la
estructura. (Chopra, 2007)
Un aspecto importante de estos modelos es que la excentricidad estática se considera en
el análisis dinámico en forma implícita, lo que puede generar torsiones importantes en la
estructura; no se considera la excentricidad accidental, esta debe tomarse en cuenta me‐
diante un análisis por torsión por separado.
Las NTCS especifican el número de modos que deben incluirse para el cálculo de la res‐
puesta: “…deberá incluirse el efecto de los modos naturales que, ordenados según valores
decrecientes de sus periodos de vibración, sean necesarios para que la suma de los pesos
efectivos en cada dirección de análisis sea mayor o igual a 90 por ciento del peso total de
, se determinan como
la estructura. Los pesos modales efectivos,
(3‐17)
29
Donde es el vector de amplitudes del –ésimo modo natural de vibrar de la estructura,
la matriz de pesos de las masas de la estructura y un vector formado con ‘unos’ en las
posiciones correspondientes a los grados de libertad de traslación en la dirección de análi‐
sis y ‘ceros’ en las otras posiciones.” Los pesos modales los reportan, normalmente, los
programas de análisis.
Adicionalmente las NTCS limitan la reducción del cortante basal obtenido con este tipo de
análisis a al menos el 80% del cortante basal calculado con el método estático
0.8
(3‐18)
La revisión de los desplazamientos debe hacerse de acuerdo lo dicho para el método está‐
tico.
30
4
4.1
ANÁLISIS Y MODELACIÓN
CRITERIO GENERAL
El criterio general de análisis que se establece en las NTCM sec 3.2.1 se refiere a cómo
deben repartirse las fuerzas sísmicas en los elementos resistentes
La determinación de las fuerzas y momentos internos en los muros se hará, en general, por me‐
dio de un análisis elástico de primer orden. En la determinación de las propiedades elásticas de
los muros deberá considerarse que la mampostería no resiste tensiones en dirección normal a las
juntas y emplear, por tanto, las propiedades de las secciones agrietadas y transformadas cuando
dichas tensiones aparezcan.
Este criterio general implica un proceso iterativo. Es necesario hacer una primer análi‐
sis con secciones no agrietadas, con los elementos mecánicos obtenidos es necesario
determinar las propiedades de la sección agrietada de los elementos que tengan ten‐
siones y realizar nuevamente el análisis. Este procedimiento es en cierta forma un aná‐
lisis no‐lineal hecho en forma manual, que rara vez se hace en la práctica profesional.
En el Capítulo 11 se verá como realizar un análisis no‐lineal en forma más formal utili‐
zando un programa de cómputo comercial.
Por lo pronto se revisará cómo calcular una sección agrietada y cuándo es que puede
esperarse que la sección esta agrietada.
4.2
SECCION AGRIETADA
Para determinar la sección agrietada es necesario contar con hipótesis acerca de la ci‐
nemática de la sección y las curvas esfuerzo deformación a compresión de los materiales:
concreto de los castillos, mampostería y acero de refuerzo. Las NTC nos dan la pauta en
su sección 3.1.6 que habla de las hipótesis para la obtención de resistencias de diseño a
flexión. Estas hipótesis permiten hacer el equilibrio
a) La mampostería se comporta como un material homogéneo.
b) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un ele‐
mento es plana.
c) Los esfuerzos de tensión son resistidos por el acero de refuerzo únicamente.
d) Existe adherencia perfecta entre el acero de refuerzo vertical y el concreto o mortero de relle‐
no que lo rodea.
e) La sección falla cuando se alcanza, en la mampostería, la deformación unitaria máxima a com‐
presión que se tomará igual a 0.003
f) A menos que ensayes en pilas permitan obtener una mejor determinación de la curva esfuer‐
zo–deformación de la mampostería, ésta se supondrá lineal hasta la falla.
Para efecto del cálculo de la sección agrietada se sugieren las siguientes curvas esfuer‐
zo deformación de los materiales donde los módulos de elasticidad son los recomen‐
dados por las NTCM. Haciendo el equilibrio de la sección para distintos valores de de‐
formación unitaria de la fibra extrema a compresión y profundidad del eje neutro, se
obtienen los valores de momento y carga axial correspondientes.
31
0.6
0.6
0.003
a)
0.003
b)
0.002
c)
Figura 4.1 Curvas esfuerzo deformación que podrían usarse para el cálculo de la sección agrietada:
a) mampostería, b) concreto y c) acero de refuerzo
Figura 4.2 Profundidad del eje neutro de una sección de muro con castillos vs. Deformación unitaria de la
fibra extrema a compresión.
Haciendo curvas de contorno de igual momento e igual carga axial puede construirse la
Figura 4.2
Dado el momento y la carga axial en la sección se calcula la excentricidad y se divide por
longitud efectiva, y la carga axial se divide entre la resistencia nominal, con dichos valores
se seleccionan las curvas roja y azul correspondientes y desde donde se interceptan se
traza una línea vertical para leer sobre el eje de las abscisas la profundidad del eje neutro
normalizada con la longitud efectiva. Si el valor es menor a 1, la sección esta agrietada. El
0.5 la sección ya esta agrietada, espe‐
diagrama refleja que para excentricidades /
cialmente para niveles bajos de carga axial.
Una vez conocida la profundidad del eje neutro pueden calcularse las propiedades de la
sección agrietada considerando para el área y la inercia solo la parte de la sección que
permanece en compresión.
32
4.3
MÉTODO SIMPLIFICADO NTCM
El método simplificado de las NTCM, a diferencia del método simplificado de las NTCS que
es un método para el cálculo de las fuerzas laterales, es un método para repartir las fuer‐
zas laterales en los elementos resistentes.
Para la aplicación del método deben cumplirse los mismos requisitos que los requeridos
para el método simplificado de las NTCS ver sec 3.1.1. El método propone que la fuerza
cortante en la dirección de análisis debe repartirse entre los muros paralelos a dicha di‐
rección en proporción a su rigidez lateral, que para efectos del método se considerará
proporcional al área transversal efectiva del muro. El área es el área total sin transformar
definido en la sec 3.1.1. Conviene re‐
incluyendo castillos y, multiplicada por el factor
visar que tan adecuada esta esta distribución de fuerzas.
4.3.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Si la estructura es simétrica con respecto a un eje que es paralelo a la dirección de análisis,
la carga esta uniformemente distribuida y los muros están unidos por una losa muy rígida
en su plano, entonces el desplazamiento de todos los puntos de la losa de un nivel deter‐
minado debido a una carga de inercia en dicha dirección de análisis será el mismo. En ese
caso hipotético, la fuerza cortante que tomará cada uno de los muros será proporcional a
su rigidez lateral relativa. (ver Figura 4.3)
∑
Figura 4.3 Planta de estructura de un nivel mostrando muros solo en la dirección de análisis
La rigidez lateral de un muro está dada por
4
3
12
(4‐1)
donde es la altura del muro, el módulo de elasticidad del material, el momento de
inercia de la sección respecto al eje centroidal transversal a la dirección de análisis, el
factor de forma de cortante y es un valor que define la condición de frontera del muro
0 indica que el muro esta en voladizo y
1, indica que el muro tiene totalmente
restringido el giro de su extremo superior. En el método simplificado se considera que la
deformación lateral de los muros está dominada por la deformación a corte, esto es, que
33
la rigidez a flexión es muy grande comparada a la de corte. Conviene separar las rigideces
a flexión ( ) y cortante ( ) en la Ec.(4‐1) para que sea mas claro
,
12
4 3
,
(4‐2)
Que corresponde a un modelo de resortes en paralelo como se muestra en la Figura 4.4.
1
1
1
;
Figura 4.4 Modelo de rigidez de un muro
Cuando un muro es crece en longitud su inercia crece con el cubo de su longitud mientras
que el área solo crece linealmente con ella. De modo que la rigidez a flexión crece muy
rápidamente, los desplazamientos debidos flexión se reduce en proporción inversa. En la
Figura 4.5 se presenta la contribución al desplazamiento debido a una fuerza lateral debi‐
do a flexión y cortante. Las cantidades
/ y
/ pueden interpretarse como la frac‐
ción del desplazamiento debido a flexión y cortante respectivamente, como puede dedu‐
cirse de la Figura 4.4 sustituyendo la primera expresión en la segunda. Estas cantidades
depende de la relación de aspecto / , del factor de forma de cortante y de la relación
entre el módulo de cortante y el de elasticidad / , estas últimas dos cantidades se asu‐
men 1.2 y 0.4 respectivamente.
Figura 4.5 Desplazamientos debidos a flexión y cortante, mostrando la corrección de las NTCM
Las NTCM utilizan como rigidez lateral del muro al área total del mismo cuando
/
4/3 y para /
4/3 utilizan una área efectiva que es el área total de la sección
34
multiplicada por el factor
1.0. En la Figura 4.5 también se muestra
/
que
sería el desplazamiento del resorte de cortante modificado según las NTCM como fracción
del desplazamiento teórico.
Con el método simplificado, al tomar la rigidez lateral proporcional al área de los muros en
vez de la rigidez elástica teórica, equivale a despreciar las deformaciones por flexión. Eso
resulta en que las rigideces de los muros largos son adecuadas, pero a medida que los
muros son mas esbeltos, la rigidez de estos se exagera grandemente. Por ejemplo, para un
muro con /
0.34 la rigidez se exagera en solo 15% que podría considerarse despre‐
ciable, sin embargo para un muro con /
4/3 la rigidez que usa las NTCM es 3.36 ve‐
ces mayor a la teórica. A partir de /
4/3 en adelante las NTCDF introducen un factor
de reducción para el área de la sección que evita que se siga exagerando la rigidez de los
muros esbeltos.
4.3.2 EJEMPLO
Aplicando el método simplificado a la estructura simplificada de la Figura 4.3, consideran‐
do una altura de entrepiso
2.5 m, un espesor de muros constante igual a
12 cm y
un cortante en la dirección de análisis, unitario, se obtiene el cortante en cada muros
según las NTCM. Si adicionalmente calculamos la rigidez lateral teórica
, suponiendo
que
1,
0.4,
1.2 y
0, pueden obtenerse los cortantes teóricos. En la Ta‐
bla 4‐1 se muestran los resultados y la comparación entre los cortantes de las NTCM y
/
; se observa que las NTCM sobreestiman el cortante en los muros cor‐
teóricos
tos y subestiman el cortante en los largos.
Tabla 4‐1 Ejemplo del método simplificado
/
Muro
1
2
3
4
5
m
1.5
3
5
1.5
3
1.67
0.83
0.50
1.67
0.83
0.64
1.00
1.00
0.64
1.00
m2
0.18
0.36
0.6
0.18
0.36
m2
0.115
0.360
0.600
0.115
0.360
1.549
0.074
0.232
0.387
0.074
0.232
1.000
m4
0.034
0.270
1.250
0.034
0.270
Figura 4.6 Condiciones de frontera de muros
35
0.005
0.025
0.060
0.005
0.025
0.120
0.043
0.208
0.500
0.043
0.208
1.000
1.74
1.12
0.77
1.74
1.12
El método simplificado no toma en cuenta las deformaciones por flexión, como ya se
mencionó, esto implica que tampoco puede tomar en cuenta la condición de frontera de
los muros. Esto puede ser importante ya que al tener restricción al giro la rigidez a flexión
de los muros se incrementa, lo que “atare” mas cortante hacia ellos, como es el caso típi‐
co de los muros de fachada en donde los muros bajo ventana pueden fungir como vigas de
acoplamiento (ver Figura 4.6).
4.4
COLUMNA ANCHA
El método de la columna ancha es uno de los métodos de modelación de muros más sen‐
cillos de usar, y es bastante preciso con algunas limitaciones que aquí discutiremos.
Las NTCDF se refieren al método en su sección
secc 3.2.3.2 ...
En estructuras de mampostería confinada o reforzada interiormente, los muros y segmentos
sin aberturas se pueden modelar como columnas anchas (fig. 3.3), con momentos de inercia y
áreas de cortante iguales a las del muro o segmento real....
En la Figura 4.7 se muestra el modelo de la columna ancha, del que pueden hacerse las
siguientes precisiones
1. Los muros o segmentos de muro se modelarán con elementos tipo barra que in‐
cluyan deformaciones por cortante.
2. La sección transversal del elemento será la sección transversal del muro incluyen‐
do las secciones transformadas de los castillos. Los castillos, en caso de que sean
aledaños a dos o más segmentos de muro que se modelen en forma separada, su
sección solo deberá incluir en uno de estos segmentos de muros aledaños. Ver el
ejemplo más sencillo en la Figura 4.8
3. Es suficiente localizar el elemento al centro del muro. Esta posición, en general
será, diferente al centroide de la sección, en aquellos elementos que incluyan un
castillo en uno de sus bordes pero no en el borde opuesto.
4. Las propiedades de la sección deben ser siempre las centroidales, aun cuando haya
diferencias entre el eje centroidal y la posición del eje del muro.
5. Para modelar el ancho del muro de modo que otros elementos puedan conectarse
al borde del mismo deben utilizarse elementos rígidos que salen perpendiculares al
eje del muro hasta llegar al borde. Este artificio reproduce la hipótesis de sección
plana antes y después de deformación y a la vez, permite que elementos que no
conectan en el eje del muro, generen los momentos que corresponde. Para hacer
este modelo, en muchos programas comerciales es posible establecer una restric‐
ción cinemática a un grupo de nudos. La restricción consiste en establecer que el
grupo de nudos, en este caso, el nudo sobre el eje de la columna ancha y el nudo
extremo de la viga infinitamente rígida, se comportan como si estuvieran unidos
por un cuerpo rígido en el plano del elemento. En la Figura 4.9 se presenta el caso
general (normalmente
0 , en el que los desplazamientos del nudo del borde
( ) están determinados por los desplazamientos del nudo en el eje del muro ( .
36
Figura 4.7 Modelo de columna ancha
Figura 4.8 El castillo central se incluye en el muro derecho. Al incluir solo un castillo en el segmento del
lado izquierdo, se genera una excentricidad ‘e’ entre el centroide y la posición media donde se recomien‐
da localizar el eje del elemento prismático.
Figura 4.9 Restricción cinemática para modelar un elemento rígido
6. En caso de usar un programa que no tenga este tipo de ayudas, puede definirse
una sección transversal de la viga que tenga como peralte la altura de entrepiso y
deberá definirse utilizarse un material que tenga un módulo de elasticidad mucho
mayor al de la mampostería: dígase 1000 veces mayor. Esta elección de sección y
material, garantizarán en general, la simulación de un elemento infinitamente rígi‐
do. Se previene al analista de utilizar módulos de elasticidad mucho más grandes,
que pueden generar inestabilidad numérica en la matriz de rigideces de la estruc‐
tura.
37
4.4.1 PROPIEDADES DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
En la Figura 4.7 se muestra un muro aislado modelado con columna ancha. En dicha figura
se indica el cálculo del área transversal y la inercia. En un análisis tridimensional, los pro‐
gramas requieren, adicionalmente, de las áreas de cortante en ambas direcciones parale‐
las a los lados de la sección, la inercia respecto a un eje en el plano del muro y la constan‐
te de torsión de Saint Venant.
Área de cortante
El área de cortante de una sección, hecha de un solo material, suele expresarse en térmi‐
nos de un factor de forma:
/
(4‐3)
donde es el área transversal de la sección. El factor de forma como su nombre lo indica,
es una propiedad geométrica y su valor depende sólo de la forma de la sección, siendo 1.2
(6/5) para secciones transversales rectangulares. Para tomar en cuenta que los castillos
son de concreto (Taveras, 2008), propuso la expresión
6
5
∑
⁄ donde ∑
donde
longitud total del muro;
/
6
5 2
1
0
1
2
0.2
6
(4‐4)
es la suma de las longitudes de los castillos y
es la relación modular.
es la
Área de cortante en el sentido transversal
En el sentido transversal el área de cortante puede tomarse
formada.
1.2 sobre el área tras‐
Inercia fuera del plano
Con relación a la inercia en el sentido transversal (respecto a un eje paralelo a la longitud
del muro), las NTC mencionan que la mampostería no debe tomar flexión fuera de su pla‐
no, por lo que la inercia debe reducirse a la inercia de los castillos.
Constante de torsión de Saint Venant (J)
La forma aproximada para calcular esta propiedad es suponer que se trata de una sección
abierta de pared delgada, esto es
/3
(4‐5)
4.4.2 MODELACIÓN
Se presentan a continuación recomendaciones de modelación de algunos casos típicos.
Anchos efectivos de vigas
Cuando el acoplamiento de dos muros es a nivel de la losa, esta debe modelarse poniendo
un elemento cuya sección tiene el espesor de la losa y su ancho es tres veces dicho espe‐
sor, o bien si existe una dala esta debe modelarse con un elemento de sección ‘T’ donde el
patín, tiene un ancho efectivo igual a 8 ·
donde es el espesor de la losa y el ancho
de la dala, ver la Figura 4.10.a.
38
Cambio de posición del eje del muro
En la Figura 4.10.c se muestra el caso, muy común, en que los muros interiores, tienen
aberturas para puertas, que dan lugar a cambios en la posición del eje del muro. Esta va‐
riación de la posición del eje debe reflejarse en el modelo.
Muros bajo ventanas (pretiles)
A este respecto las NTCM mencionan
secc 3.2.3.2 ...
Para el caso de muros que contengan aberturas, éstos podrán modelarse como columnas anchas
equivalentes,
solamente si el patrón de aberturas es regular en elevación (fig. 3.3), en cuyo caso los segmentos
sólidos del muro se modelarán como columnas anchas y éstas se acoplarán por vigas conforme se
establece anteriormente.
En la Figura 4.10.b, se muestra la modelación de los muros bajo las ventanas. En el primer
nivel, debe modelarse con una columna ancha y elementos rígidos, pero estos últimos
deben estar articulados en sus extremos. En los niveles superiores, debe usarse la reco‐
mendación de las NTCM en la que la sección del muro bajo la ventana debe incluirse en la
sección de la trabe. Dicha trabe es continua.
Figura 4.10 a) Modelo de columna ancha b) Muros bajo ventanas, c) con el eje del muro desalineado,
39
Muros en ‘T’ o ‘L’
Cuando los análisis eran predominantemente realizados utilizando marcos planos, era
necesario tomar en cuenta elementos perpendiculares a la dirección de análisis para esti‐
mar la rigidez lateral de muros. Las NTCM establecen anchos efectivos de dichos elemen‐
tos perpendiculares, que deben incluirse en la sección del muro (ver Figura 4.11). Cuando
el modelo es tridimensional, los elementos en el sentido perpendicular a la dirección de
análisis afectan la rigidez lateral de los muros en el sentido del análisis, por lo que no es
necesario tomar en cuenta anchos efectivos. Un ejemplo de un modelo tridimensional se
muestra en la Figura 4.12.a. En los modelos en 3D debe tenerse cuidado de no incluir los
castillos en más de una sección transversal. Este modelo sin embargo, no es el ideal, ya
que, no funciona bien en ambas direcciones de análisis. En la dirección de análisis paralela
al alma, el efecto de poner elementos rígidos que unen a los segmentos del patín con el
alma, equivale a incluir toda el área del patín en la sección del muro del alma; eso contra‐
dice a las NTCM.
Murete en esquina
En la Figura 4.12.b se muestra el caso de un muro bajo ventana en esquina. El murete no
puede dejarse sin ligar al muro perpendicular, de lo contrario esos elementos suelen ge‐
nerar problemas en el análisis dinámico.
Figura 4.11 Anchos efectivos de elementos perpendiculares a la dirección de análisis. (Fig 3.5 de las NTC)
Figura 4.12 Modelo de columna ancha en un modelo tridimensional
40
Muros Largos
El problema de modelar los muros largos consiste en decidir si es adecuado dividir el muro
para modelarlo con dos columnas anchas o más. Si el muro es más bien esbelto, al dividir‐
lo se afectara notablemente su rigidez a flexión, si por el contrario, un muro largo se mo‐
dela con un solo elemento, los efectos locales, en distintas partes del muro, no pueden
capturarse. Las NTCM solo apuntan e problema:
secc 3.2.3.2..
En muros largos, como aquéllos con castillos intermedios, se deberá evaluar el comportamiento
esperado para decidir si, para fines de análisis, el muro se divide en segmentos, a cada uno de los
cuales se les asignará el momento de inercia y el área de cortante correspondiente.
Existe una inquietud entre los analistas en cuanto a la validez de modelar los muros largos
de dos y tres paneles como una serie de segmentos, columnas) anchas unidos por elemen‐
tos rígidos, dado que la suma de las inercias de los segmentos es mucho menor que la del
muro. Esta preocupación es solo parcialmente correcta siempre que la rigidez de los ele‐
mentos de acoplamiento sea suficiente.
solo se desarrolla
si los segmentos
estan acoplados
a)
Muros acoplados
b)
Muros desacoplados
Suma de cortantes
en las vigas
c)
Figura 4.13 a) Inercia de segmentos = Inercia de muro largo, siempre que exista acoplamiento perfecto. La
componente de la inercia que se desarrolla debido al acoplamiento alcanza el 75% de la inercia total. B)
Reacciones en segmentos si están acoplados, c) si no están acoplados
41
Figura 4.15 Modelo de una y dos barras
Tabla 4‐2 Relación de aspecto L/H mínima requeri‐
da al segmentar un muro para efectos de modela‐
ción, y tener un error menor de 20% en la rigidez
lateral.
Figura 4.14 Error por modelar a un muro en dos
segmentos. Línea negra, muro en cantiliver, línea
roja muro empotrado en el extremo; líneas pun‐
teadas usando
. .
G=0.4 E
G=0.2 E
Articulado
1.632
1.155
Empotrado
1.915
1.354
La rigidez lateral del muro modelado con una y dos barras, considerando deformación por
cortante (ver Figura 4.15), es:
5
20
6
15
(4‐6)
5
35
6
15
donde
/ ,
y
0, 1 indica que el extremo de la barra está articulada,
empotrada respectivamente. La comparación de ambas rigideces puede hacerse conside‐
rando el error que se comete al segmentar un muro
1
35
15
6
15
(4‐7)
En la Figura 4.14 se presentan los errores en función de la relación de aspecto, conside‐
rando dos condiciones de frontera: articulado y empotrado en el extremo y para dos casos
del valor del módulo de cortante
0.2 y 0.4 .
Aceptando como máximo error por la modelación del 20%, las relaciones de aspecto
mínimas a partir de las cuales es aceptable segmentar el muro se muestran en la Tabla
4‐2.
Normalmente los muros tendrán una cierta restricción al giro debida principalmente a
otros muros en el sentido perpendicular y/o a vigas en el plano del muro. Haciendo esta
consideración, la recomendación de modelado puede resumirse asi: cuando el analista
requiera dividir los muros, porque la carga axial varíe sustancialmente o cuando el tener
segmentos permita un diseño más racional, el analista podrá hacerlo sin cometer un error
significativo si /
1.7 y use el valor reglamentario de
0.4 . Normalmente no es
posible usar en los programas comerciales un valor de
0.2 .
42
El acoplamiento se pierde rápidamente a medida que la barra de acoplamiento es más
flexible, hasta el punto en que la barra de acoplamiento esta biarticulada. En ese caso la
rigidez lateral solo depende de las inercias de los segmentos y el término de acoplamiento
es cero.
Acerca del detalle de la modelación
De los experimentos numéricos realizados para esta Guía se hizo evidente que el modelo
con columna ancha es un modelo que puede generar resultados que pueden representar
el comportamiento de los muros, pero no debe intentarse detallar en exceso. Por ejemplo
los segmentos de muro a lado de ventanas, en general no producen resultados acepta‐
bles.
4.4.3 EJEMPLO
Se presenta en la Figura 4.16 la planta de un edificio de mampostería y en la Figura 4.17 se
muestra en detalle la modelación con columna ancha.
Figura 4.16 Ejemplo, Planta simétrica respecto a un eje vertical.
43
Figura 4.17 Modelación con columna ancha de una estructura de 5 niveles cuya planta se muestra en la Figura 4.16
44
4.5
ELEMENTO FINITO
El método de análisis con elementos finitos (EF) da, en general, muy buenos resultados
(Zienkiewicz & Cheung, 1970), cuando tanto castillos como la mampostería se modelan
con EF, sin embargo, usar elementos finitos para modelas los castillos no es práctico como
veremos más adelante. El método no impone hipótesis adicionales a las de un modelo
elástico lineal como es el caso de la hipótesis de sección plana en el método de columna
ancha. No es necesario calcular propiedades geométricas de las secciones y no es necesa‐
rio tomar decisiones con relación a si se deben dividir los muros. Modelar en 3D, sin em‐
bargo, demanda al ingeniero un tiempo considerable, ya que los nudos de los distintos
elementos deben hacerse coincidir para lograra la continuidad del modelo. La recupera‐
ción de resultados, aun con los programas de computadora modernos, requiere también
de un esfuerzo importante.
4.5.1 RELACIÓN DE ASPECTO
Uno de los pocos requerimientos del MEF es que la relación de aspecto de los elementos
sea similar a la unidad, en ningún caso debe ser mayor que 2, y que los ángulos internos
de un elemento cuadrilátero sean cercanos a 90o, menos de 135o y más de 45o. Así mismo,
como ya hemos mencionado, dos elementos contiguos deben compartir los nudos. (ver
Figura 4.18), para garantizar la compatibilidad de desplazamientos.
4.5.2 TIPOS DE ELEMENTOS
Los tipos de elementos finitos más comunes son los elementos membrana, que solo to‐
man fuerzas en su plano y que siempre son planos, y los elementos tipo cascarón que
pueden tomar fuerzas y momentos y pueden adoptar las forma de superficies curvas en el
espacio. Ambos elementos pueden utilizarse para modelar los muros. En caso de utilizar el
elemento membrana es necesario asegurarse que el programa de cómputo que se esté
utilizando, implemente dicho elemento con una formulación reciente de modos incompa‐
tibles, que se ha demostrado puede representar adecuadamente problemas de flexión.
4.5.3 MOMENTOS FUERA DEL PLANO
Las NTCM especifican que debe considerarse que los muros de mampostería no son capa‐
ces de resistir momento fuera de su plano, para fines de análisis. Si se usan elementos
cascarón deben liberarse los grados de libertad correspondientes a dichos giros. Si el ana‐
lista no toma este cuidado, se producirán momentos fuera del plano del muro que, en
general, son muy pequeños, dada la sección del muro, y no generan cambios sustantivos
en el análisis. El ingeniero debe asegurarse de que ese sea el caso.
4.5.4 MODELO DE CASTILLOS CON BARRAS
Para lograr la relación de aspecto en los castillos se requieren elementos de dimensiones
máximas cercanas a la longitud del castillo y por consiguiente los elementos para modelar
45
el muro tendrán dimensiones similares. El resultado es un gran número de elementos, que
en general, hacen impráctico el modelado toda la estructura con EF.
Para evitar el tamaño pequeño de los elementos en los castillos se ha propuesto modelar
los castillos con elementos barra y solo el interior de los muros con EF. Un modelo típico
se muestra en la Figura 4.19. Experimentos numéricos demostraron que la discretización
mas adecuada, utilizando este modelo, es aquella que ocupa el menor número de elemen‐
tos finitos por panel, pero cumpliendo los requisitos de la Figura 4.18. Un panel en este
contexto es un muro de mampostería limitado por castillos y dalas.
Las barras y los elementos solo son compatibles en desplazamientos en los nudos, pero no
a lo largo de los elementos. Esta limitante tiene un efecto en la exactitud de los resulta‐
dos. Por ejemplo, se ha observado que si se subdividen, progresivamente, los elementos
barra y los elementos finitos, la solución eventualmente converge, pero a una solución
errónea aproximadamente en un 10%.
Figura 4.18 Elementos finitos a) relación de aspecto .
2.0, b) ángulos internos
Los nudos en elementos contiguos deben coincidir.
Figura 4.19 Modelo recomendado con elementos finitos
46
135, c)
4.5.5 RECUPERACIÓN DE RESULTADOS
Una de las principales razones que retrasaron el uso de los EF para el análisis fue que los
programas arrojaban esfuerzos cortantes en los elementos, y no fuerzas. Si se tenía que
calcular el cortante total en un muro, su fuerza axial y el momento flexionante, se tenían
que integrar dichos esfuerzos para obtener las resultantes deseadas Esa limitación ya ha
desaparecido. Sin embargo, todavía es necesario especificar los nudos y elementos de las
secciones donde se requiere la resultante, para que el programa pueda realizar la integra‐
ción. Si bien dicha información es fácil de ingresar en los programas esto puede resultar
engorroso.
4.6
MODELOS SIN CASTILLOS
¿Cuál es el efecto de no modelar los castillos?. Esta es una pregunta válida ya que mode‐
larlos debidamente toma tiempo. De experimentos numéricos realizados con un número
limitado de estructuras, se pudo confirmar que el no modelar los castillos da como resul‐
tado una estructura más flexible y por lo tanto el periodo dominante calculado es mayor al
que podría esperarse y los desplazamientos son considerablemente mayores. Sin embargo
considerando que los castillos se distribuyen en los muros de manera más o menos uni‐
forme, las rigideces relativas de los muros no se alteran considerablemente. Lo anterior
implica que el cortante se distribuye en forma similar con y sin castillos. Por otro lado al
aumentar el periodo de la estructura las fuerzas sísmicas serán mayores dado que, en ge‐
neral, una estructura de mampostería de pocos niveles se encuentra en la parte ascen‐
dente del espectro. Todo esto puede resumirse en que nuestro modelo será conservador.
No se tiene información disponible suficiente como para establecer, que tanto más con‐
servador.
4.7
DIAFRAGMA
Normalmente, se desea modelar la condición de que el diafragma es rígido en su plano.
Como en el caso de los elementos rígidos, el diafragma se implanta imponiendo una res‐
tricción cinemática al conjunto de nudos que conforman la losa. En caso de plantas alar‐
gas, sin embargo, debe modelarse la losa. El modelo puede hacerse con elementos finitos.
4.8
MUROS DIAFRAGMA (DIAGONAL EQUIVALENTE)
En edificios construidos a base de marcos de concreto o de acero, es común el uso de mu‐
ros de mampostería para aislar áreas de habitación, dividir los espacios o para cerrar mar‐
cos perimetrales en las colindancias del predio. Cuando estos muros rellenan totalmente
el espacio de una crujía dentro de los elementos del marco (columnas y trabes) y están en
contacto con los mismos, aportarán una restricción muy importante contra los desplaza‐
mientos laterales y de esta forma modificarán la respuesta ante solicitaciones sísmicas.
A este tipo de muros se le conoce como muro diafragma, y se considera como tal cuando
los elementos del marco que lo rodea son lo suficientemente robustos. Si estos muros,
dentro de marcos robustos de concreto o de acero, están reforzados con castillos y dalas o
47
cadenas (mampostería confinada) estos últimos deben considerarse como parte del muro
diafragma de mampostería.
La experiencia de la evaluación en eventos sísmicos sugiere que dichos elementos, aunque
no hayan tenido un diseño formal, a menudo proporcionan la mayor parte de la resisten‐
cia lateral y han evitado el colapso de estructuras de marcos relativamente débiles ante
efectos laterales. Sin embargo, la naturaleza de los materiales de estos muros les confiere
un comportamiento relativamente frágil una vez que se ha alcanzado su resistencia, lo
que puede llevar a irregularidades en resistencia y rigidez de la estructura que conduzca a
comportamientos desfavorables como la formación de un entrepiso flexible o torsiones de
planta. Más aun, ya que muchas veces estos muros no son incluidos en el análisis estruc‐
tural, la contribución de rigidez y resistencia que proporcionan pueden invalidar el análisis
así como el diseño y detallado de los marcos.
Para evitar que estos muros influyan en el comportamiento del edificio deberán estar des‐
ligados de la estructura, pero evitando otro tipo de fallas como el volteo fuera de su plano.
En caso contrario se deben incluir al realizar el modelado, diseño y detallado del sistema
estructural.
4.8.1 COMPORTAMIENTO
Ante bajas demandas laterales, el muro y el marco trabajan como una sola unidad, como
una columna ancha (sección I) en la que las columnas (patines) proporcionan casi toda la
rigidez a la flexión, mientras que el muro (alma) toma la fuerza cortante. Sin embargo,
bastan desplazamientos laterales relativamente pequeños para que el muro se separe del
marco en esquinas opuestas debido a las diferente deformabilidad de ambos sistemas, en
cuyo caso el marco se apoyará contra el muro según se esquematiza en la Figura 4.20.
En el muro aparecen esfuerzos de compresión apreciables en las esquinas en contacto con
el marco; la compresión sobre la diagonal que une dichas esquinas genera esfuerzos de
tensión en dirección de la diagonal hacia las esquinas que se separan, produciéndose el
agrietamiento. La distribución de esfuerzos en columnas y trabes, debido a la cercanía a
los nudos no producen momentos flexionantes de importancia; sin embargo, las concen‐
traciones de fuerzas cortantes sí son de consideración (Bazán & Meli, 1998).
En la Figura 4.21 se muestran los diagramas de los elementos mecánicos generados en las
columnas y vigas del marco circundante. Nótese la concentración de momento flexionante
y, en especial, de fuerza cortante en el extremo de columnas y vigas.
Dependiendo de las características de los materiales, de la geometría del muro, así como
las secciones y armado de vigas y columnas se podrán presentar uno de los tres modos de
falla principales (después de la separación de las esquinas):
1) Por tensión diagonal (Figura 4.22.a). Se presenta con agrietamientos inclinados, ya
sea que atraviesen las piezas y juntas o con grietas que siguen las juntas siguiendo
una trayectoria como escalera.
2) Por aplastamiento de la mampostería (Figura 4.22.b). Generalmente se da en las
esquinas a compresión del panel, pero puede ocurrir también en la parte central
48
del muro.
3) Por deslizamiento a lo largo de las juntas horizontales (Figura 4.22.c). Generalmen‐
te se presenta en muros largos (la longitud horizontal excede la altura).
4) Una combinación de las anteriores, que puede iniciar, por ejemplo, con el agrieta‐
miento por tensión diagonal o por deslizamiento, pero donde finalmente pierde
resistencia al aplastarse partes de la mampostería en las esquinas de apoyo o a lo
largo de las grietas.
Figura 4.20 Deformación de marco y muro diafragma y modelo con diagonal equivalente
Figura 4.21 a) Distribución de esfuerzos principales en el panel al separarse las esquinas a tensión, b) Dia‐
gramas de elementos mecánicos en los elementos del marco (Crisafulli, 1997)
Figura 4.22 Modos de falla de los muros diafragma: a) Tensión diagonal, b) Aplastamiento, c) Deslizamien‐
to con cortante por fricción (Crisafulli, 1997)
49
4.8.2 MODELO DE ANÁLISIS
El método de la diagonal equivalente se basa en el comportamiento observado de los mu‐
ros diafragma en que el muro queda apoyado únicamente en dos esquinas opuestas
transmitiendo la fuerza lateral a lo largo de la diagonal del muro así definida.
Esta diagonal se considera articulada en sus extremos para proporcionar únicamente rigi‐
dez axial. Los muros sólo participarán en su diagonal a compresión debido a que en la otra
diagonal se generan esfuerzos de tensión que hacen que se separen las respectivas esqui‐
nas del panel por lo que dicha diagonal no trabajará. En el caso de que se consideren las
fuerzas en la otra dirección se propondrá otra diagonal de compresión y dejará de ser
efectiva la primera.
En la Figura 4.23 se muestran las características geométricas que se toman para el mode‐
lado del muro diafragma como diagonal equivalente. En este ejemplo se presenta una
única diagonal que se puede modelar como conectada a la unión de los elementos barra
para vigas y columnas.
El módulo de elasticidad axial de la diagonal se toma como el de la mampostería, a pesar
de que éste generalmente se obtiene para deformaciones de compresión normal a las
juntas, mientras que aquí el eje de la diagonal está inclinado con respecto a las mismas.
Asimismo, se calcula el área de la diagonal mediante el producto del espesor del muro, t, y
una anchura equivalente w.
Se han propuesto varios criterios para el cálculo de la anchura, w, de esta diagonal. Hol‐
mes propone un valor de la anchura de
/3. Stafford Smith, basándose en resultados de
pruebas en modelos a escala encontró que la anchura w de la diagonal equivalente varia‐
ba entre 0.24
para relaciones de aspecto
1 hasta 0.09
para α
5. Mainstone
presenta expresiones que dan por resultado anchuras entre 0.06
y 0.07 .
Figura 4.23 Geometría considerada para el modelo de diagonal equivalente
Bazán, estudió también la modelación con diagonal equivalente mediante análisis de ele‐
mento finito donde se simuló la separación entre mampostería y marco (Bazan, 1980),
(Bazán & Meli, 1998). Para la anchura de la diagonal equivalente propuso:
50
0.35
0.022
(4‐8)
λ es un parámetro que expresa las rigideces relativas entre muro y marco y está dado por
(4‐9)
donde
módulo de elasticidad del concreto,
módulo de rigidez a cortante de la mampostería,
área de una columna
área del muro
Con el uso de una diagonal uniendo entre los nudos de conexión de vigas y columnas se
simplifica enormemente el modelado de muros diafragma, y se predice aceptablemente la
deformabilidad de los marcos en su conjunto. Sin embargo, no se reproduce la verdadera
distribución de elementos mecánicos en los elementos del marco, ya que en dicha mode‐
lación (Figura 4.23), se generan esencialmente fuerzas axiales en vigas y columnas aseme‐
jando al trabajo de una armadura, cuando en realidad se producen concentraciones de
momentos y fuerzas cortantes en los elementos del marco (Figura 4.21).
Para tomar en cuenta esta situación deberán revisarse los extremos de las columnas y
trabes con la componente horizontal y vertical, respectivamente, de la fuerza axial en la
diagonal (Figura 4.24 (NTCM, 2004). Una alternativa consiste en realizar un modelo lige‐
ramente más refinado mediante el uso de múltiples diagonales (Crisafulli, 1997).
4.8.3 REVISIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL MARCO
Tal como se discutió en las secciones anteriores, la transmisión de la carga entre muro y
marco se realiza sobre longitudes reducidas de las columnas cerca de las esquinas de apo‐
yo de cada diagonal de compresión. Si el modelado seleccionado es la diagonal sencilla,
que conecta los nudos viga‐columna, entonces deberán revisarse y detallarse los extremos
de las columnas y vigas para el 50% de la componente horizontal y vertical, respectiva‐
mente, de la fuerza axial resultante de la diagonal equivalente. Las columnas se revisan
con la mitad de la fuerza horizontal ya que se considera que el otro 50% se transmite por
fricción a lo largo de las trabes en la zona de contacto; análogamente se realiza la revisión
de las vigas.
Como criterio simplificado, se pueden revisar los cortantes en las columnas con el 50% de
la resistencia a cortante calculada en el muro diafragma según la sección anterior. Nótese
que para esta revisión, si el muro contiene refuerzo horizontal, deberá tomarse el factor
de eficiencia como unitario η
1.
51
¼H
H
VR,columna
Carga
VR,columna
¼H
VR,columna ≥½Carga
Figura 4.24 Revisión de los extremos de los elementos del marco (NTCM, 2004)
Solución 2
Solución 1
elementos
para evitar
el volteo
CORTE
castillos o refuerzo interior
Figura 4.25 Opciones para evitar la falla fuera del plano del muro diafragma (NTCM, 2004)
52
5
5.1
DISEÑO POR TORSIÓN SÍSMICA
INTRODUCCIÓN
A pesar de que existen recomendaciones explícitas al respecto, el análisis de estructuras
de mampostería y en general, de estructuras sometidas a torsión sísmica puede ser un
aspecto que algunos ingenieros llegan a manejar intuitivamente (Damy, 1988), con todas
las desventajas que esta práctica puede implicar. Para evitar lo anterior, se han propuesto
métodos que simplifican este tipo de análisis.
Debido a sus características, el análisis por torsión de estructuras se simplificó de ser un
problema dinámico a uno estático. Aún más, debido a lo laborioso que era el análisis del
modelo tridimensional de una estructura, la simplificación se enfocó al análisis de estruc‐
turas planas. En la actualidad, la proliferación de programas comerciales para análisis es‐
tructural permite llevarlos a cabo en modelos tridimensionales de edificios de mamposter‐
ía “sin mayor complicación”. Sin embargo, este aspecto no ha facilitado el análisis por tor‐
sión de edificios.
Uno de los factores fundamentales que complican el análisis es la llamada torsión acciden‐
tal, ocasionada por la excentricidad accidental causada por diversas incertidumbres in‐
herentes tanto en el movimiento del suelo, como en las propiedades y características que
conforman a los materiales y elementos que integran a las estructuras.
De seguirse al pie de la letra las recomendaciones de los reglamentos para incluir explíci‐
tamente la torsión accidental en los análisis estructurales de modelos tridimensionales de
edificios, la cantidad de cálculos por hacer sería muy grande, a pesar de que se realizaran
con la ayuda de una computadora. Una forma de resolver este problema consiste en ela‐
borar programas de análisis de edificios que incluyan este aspecto automáticamente. Una
manera más práctica consiste en desarrollar técnicas que, utilizando programas de análisis
estructural existentes, permitan incluir estos efectos.
Actualmente existen diferentes propuestas que buscan reducir lo laborioso del proceso
del análisis por computadora de modelos tridimensionales de estructuras sometidas a
torsión (Ávila, 1991), (Goel & Chopra, 1992), (Escobar et al., 2002) (Escobar et al., 2004a)
(Escobar et al., 2004b) (Escobar et al., 2008).
En el presente trabajo se aplica el Procedimiento Simplificado de Diseño, PSD (Escobar er
al., 2002, 2004a, 2004b, 2008), al análisis por torsión de estructuras de mampostería. El
objetivo es proporcionar un método práctico para calcular las fuerzas debido a la torsión
sísmica. Así, el PSD, sin perder precisión en los cálculos, simplifica notablemente este tipo
de análisis ya que basta un solo análisis de la estructura tridimensional, en cada una de sus
dos direcciones ortogonales en planta, para calcular las fuerzas de diseño en todos los
elementos estructurales.
Se analizan diversas estructuras de mampostería considerando el efecto de torsión sísmi‐
ca. Se demuestra que al incluir este efecto es posible que la resistencia nominal de alguno
de los elementos estructurales se exceda poniéndose en riesgo la estabilidad del sistema.
53
Esto a pesar de que se cumpla con la recomendación de las actuales Normas Técnicas
Complementarias para Diseño por Sismo (NTCS, 2004). En las que se establece que, para
estructuras de mampostería con altura menor que 13 m, no es necesario analizar por tor‐
sión.
5.2
ESTRUCTURAS DE MAMPOSTERÍA
Debido al gran número de estructuras de mampostería existentes y por construirse, el
estudio de su comportamiento, particularmente sometidas a cargas sísmicas, ha generado
una gran cantidad de investigaciones. En México, a partir de los años 60 se han realizado
ensayes del comportamiento de los diferentes tipos de mampostería, tanto en condicio‐
nes estáticas, pseudoestáticas o dinámicas.
(Esteva, 1966) estudió el comportamiento de la mampostería diafragma frente a cargas
cíclicas laterales. Posteriormente, (Meli, 1975), realizó estudios donde se determinó el
comportamiento originado en la mampostería ante acciones sísmicas. (Hernández & Meli,
1976), proporcionaron criterios para la disposición del refuerzo en la mampostería con el
fin de mejorar su comportamiento sísmico.
(Alcocer et al., 1999), han dedicado gran parte de sus investigaciones a analizar, modelar y
tratar de comprender el comportamiento de la mampostería ante excitación sísmica antes
y después de repararla (Trujillo et al., 2007).
5.3
TORSIÓN SÍSMICA
Las estructuras sometidas a sismos intensos deben ser capaces de resistir desplazamientos
significativos conservando su capacidad de carga. En el caso de edificios asimétricos estos
desplazamientos provienen de la traslación y rotación de sus entrepisos. Por lo tanto, en
su diseño se deberá considerar que, además de soportar los desplazamientos laterales,
tienen que resistir los adicionales debido a torsión.
5.4
TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA
Al igual que otros reglamentos de diseño por torsión, el RCDF permite llevar a cabo un
análisis estático de las estructuras de edificios, considerando que las fuerzas sísmicas act‐
úan en el centro de masas de cada uno de sus entrepisos, y que los momentos de torsión
correspondientes son distribuidos entre los elementos resistentes. Sin embargo, las solici‐
taciones que se obtienen de este análisis son diferentes a las que resultan de un análisis
dinámico tridimensional. Para tomar en cuenta este aspecto se utiliza un factor de ampli‐
ficación de la excentricidad estática, que la corrige dentro de ciertos límites.
Por otro lado, los momentos de torsión en edificios reales difieren de los obtenidos en un
análisis dinámico debido a factores no considerados explícitamente (Rosenbleuth, 1979).
Por una parte se pueden atribuir a las torsiones inducidas por el componente rotacional
del terreno y a la diferencia en la llegada de las ondas sísmicas a los apoyos de las estruc‐
turas. Por la otra, a la diferencia entre las propiedades reales y las calculadas de las mis‐
mas. Por esto último, debido a las incertidumbres inherentes en las propiedades estructu‐
54
rales, aun las estructuras nominalmente simétricas pueden ser afectadas por torsión
(Pekau & Guimond, 1988), , (De la Llera & Chopra, 1994), (De la LLera & Chopra, 1994b),
(Escobar, 1994), (Escobar, 1996), (Escobar & Ayala, 1998). En la actualidad, resulta prácti‐
camente imposible estimar con precisión esta torsión denominada accidental, la manera
usual de considerarla en el diseño sísmico de estructuras es incluyendo un momento de
torsión adicional, que se obtiene de suponer que la fuerza cortante que actúa en el entre‐
piso se desplaza de su posición original. A este desplazamiento de la fuerza cortante se le
denomina excentricidad accidental y se expresa como un porcentaje de la dimensión
máxima de la planta de la estructura que es perpendicular a la dirección del sismo.
5.5
DISTRIBUCIÓN
RESISTENTES
DEL
CORTANTE
POR
TORSIÓN
ENTRE
LOS
ELEMENTOS
El cortante total
en el ‐ésimo elemento resistente del j‐ésimo entrepiso del edificio
será la suma algebraica del cortante directo
, y el cortante por torsión
, esto es
(5‐1)
donde
(5‐2)
∑
en esta ecuación es el cortante en el j‐ésimo entrepiso. El cortante por torsión para la
dirección X en el ‐ésimo elemento resistente será
(5‐3)
∑
∑
Donde
, es la rigidez torsional del entrepiso, , es la distancia a
un punto de referencia, . es el momento torsionante de entrepiso calculado como el
producto del cortante de entrepiso y la excentricidad estructural o estática . En edificios
de varios pisos, el momento por torsión se puede calcular utilizando dos definiciones de
excentricidad estática (Cheung V & Tso, 1986), (Tso, 1990), como se discute a continua‐
ción.
5.5.1 EXCENTRICIDAD DE PISO.
Es la distancia entre el centro de masas,
, y el centro de torsión, C correspondiente
para cada una de las direcciones y de la estructura, esto es (Escobar et al., 2004a):
;
Las coordenadas
,
del C
(5‐4)
del j‐ésimo piso se calculan como:
∑
∑
∑
∑
;
Donde son las cargas verticales en el piso, y
de referencia.
55
,
(5‐5)
sus coordenadas respecto a un punto
Para calcular las coordenadas
,
del C del piso, se pueden utilizar los cortantes di‐
rectos. Estos pueden obtenerse al aplicar las fuerzas sísmicas laterales
y
, calcula‐
das con un análisis sísmico estático, en los
correspondientes, permitiendo únicamente
la traslación pura de los pisos. Así, las coordenadas del
se calculan con las ecuaciones
siguientes:
∑
,
,
;
∑
,
,
(5‐6)
donde
,
, y
, son los cortantes directos del ‐ésimo elemento resistente; y
son sus coordenadas respecto a un punto de referencia en las direcciones y en el en‐
trepiso , respectivamente.
Por lo que el momento de torsión del ‐ésimo piso para cada una de las direcciones
de la estructura será:
;
y
(5‐7)
El momento de torsión de entrepiso se obtiene sumando los momentos torsionantes de
todos los pisos que se encuentran sobre éste. Así, el momento torsionante del ‐ésimo
entrepiso, para cada una de las direcciones y está dado por:
(5‐8)
donde
es el número de entrepisos.
5.5.2 EXCENTRICIDAD DE ENTREPISO
Es la distancia entre el centro de cortantes,
, y el centro de rigideces,
de las direcciones y de los entrepisos. Esto es:
, de cada una
;
Las coordenadas
y
del
(5‐9)
del j‐ésimo entrepiso se calculan como:
∑
;
∑
y
, son las fuerzas sísmicas laterales aplicadas en
Donde
cortantes del entrepiso en las direcciones y , respectivamente.
Las coordenadas
sigue:
,
del
(5‐10)
;
y
son los
se pueden calcular utilizando los cortantes directos como
∑
;
∑
o mediante las rigideces de los elementos resistentes como:
∑
∑
;
∑
∑
56
(5‐11)
(5‐12)
Con esta definición, el momento de torsión de entrepiso se obtiene directamente como el
producto de la fuerza cortante y la excentricidad de entrepiso. Así, el momento torsionan‐
te del ‐ésimo entrepiso para cada una de las direcciones ortogonales y será:
(5‐13)
5.6
PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO DE DISEÑO POR TORSIÓN, PSD
El Procedimiento Simplificado de Diseño por torsión sísmica estática, PSD, utilizando fac‐
tores de amplificación por torsión es una nueva opción para llevar a cabo el diseño por
torsión sísmica. Consta de los siguientes pasos (Escobar et al., 2004a):
1. A partir de un análisis sísmico estático, calcular las fuerzas cortantes de entrepiso
considerando un sistema de fuerzas equivalentes obtenidas de un espectro de di‐
seño sísmico.
2. Calcular las fuerzas en los elementos estructurales (momentos flexionantes, fuer‐
zas axiales, cortantes, etc.) producidas por los cortantes directos aplicando estáti‐
camente las fuerzas calculadas en el paso anterior, en algún punto de cada uno de
los pisos de un modelo tridimensional de la estructura e impidiendo su giro alre‐
dedor de un eje vertical.
3. Calcular las coordenadas de los
y
de cada uno de los entrepisos con los cor‐
tantes directos, utilizando las ecuaciones (5‐10) y (5‐11), respectivamente.
4. Con las coordenadas del
y del
de cada uno de los entrepisos, con la ecua‐
ción (9) calcular la excentricidad estructural, . Con estos datos, clasificar a los
elementos resistentes como flexibles si se encuentran del mismo lado del
con
respecto al , y como rígidos en caso contrario.
5. Calcular los Factores de Amplificación por Torsión,
, de los elementos resisten‐
tes flexibles y rígidos, respectivamente, con las ecuaciones siguientes, que para el
caso del RCDF serán:
ζ
1
1
0.1
ζ
1.5
0.1
0.1
1
(5‐14)
0.1
/ ;ζ
/ ; es la distancia del ‐ésimo elemento
En estas ecuaciones
estructural al
; es la dimensión máxima de la estructura perpendicular a la di‐
rección de aplicación del sismo. El radio de giro normalizado se puede determi‐
nar con los cortantes directos y los desplazamientos de entrepiso obtenidos del
análisis estructural realizado en el paso 2. Así, el radio de giro normalizado,
y
, para cada uno de los ejes ortogonales, y , del ‐ésimo entrepiso de la es‐
tructura se puede obtener como:
57
1
∑
∑
⁄
∑
(5‐15)
1
∑
∑
⁄
∑
donde
y
son las dimensiones máximas en planta del entrepiso, perpendicu‐
lares a la dirección de excitación sísmica; y
,
y
,
son los cortantes
directos del ‐ésimo elemento resistente y los desplazamiento relativos de entrepi‐
so correspondientes, obtenidos del análisis estructural realizado en el paso 2.
Calcular las fuerzas de diseño en los elementos estructurales. Para esto, las fuerzas
en los elementos estructurales (momentos flexionantes, fuerzas axiales, cortantes,
etc.) producidas por los cortantes directos calculados en el paso 2, se multiplican
por los correspondientes FAT calculados en el paso 5. Esto es:
;
5.7
(5‐16)
EJEMPLOS
5.7.1 MODELO SIMPLIFICADO
Con el objetivo de evaluar la influencia de la excentricidad estática en el fenómeno de la
torsión sísmica se analizó el modelo simplificado de la Figura 4.3. Para ello, la posición del
muro m3 se desplazó hacia la derecha produciéndose una variación en la posición del
y, en consecuencia, de la excentricidad dentro del intervalo 0
0.2. Con esto, se cu‐
bren los valores permisibles del NTCS para
0.1 para el método simplificado y el de
0.2 para el método estático.
Para cada uno de los valores de excentricidad se aplicó una fuerza sísmica unitaria en di‐
para las diferentes
rección . En la Figura 5.1 se presenta la variación del valor del
posiciones normalizada de los elementos resistentes. Se observa que para elementos
0.4,
1. Sin embargo, como se verá más adelante, para el mismo intervalo
con
FAT > 1.
Por otro lado, para elementos localizados dentro del intervalo 0.4
0.7, el incre‐
mento del valor del
muestra una tendencia ascendente sin relacionarse con la clasifi‐
cación de los elementos (Figura 5.1).
En la Figura 5.2 se presenta la variación del valor del
excentricidad normalizada e para los distintos muros.
debido a diferentes valores de la
Para los elementos flexibles (los más desfavorables ante los efectos de la torsión ya que
son los que están más alejados del
), se puede observar que el valor del
es 1.9
para
0.1 y llega hasta 2.5 para
0.2.
En los elementos rígidos el mayor valor del
es 1.34 para
0 y, al aumentar has‐
nun‐
ta 0.1, el
disminuye hasta 1 tal y como se establece en el paso 5 del PSD, el
58
ca debe ser menor que la unidad. Esto significa que los efectos del cortante de diseño,
; nunca serán menores que los del cortante directo,
.
Figura 5.1 Variación del
para diferentes posiciones de los elementos resistentes.
2.4
2
flex
1.6
ible
s
m1,m2
m4,m5
m3
rígido
1.2
s
0.8
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
e/b
Figura 5.2 Variación del FAT para diferentes valores de excentricidad normalizada.
El método simplificado se basa en la hipótesis de asignar una fuerza cortante a cada ele‐
mento muro proporcional a su área transversal e ignorar la torsión sísmica para estructu‐
ras con
0.1. Sin embargo, en el caso que se estudia, los valores del
mayores que
la unidad para ese intervalo de excentricidad, muestran que este proceder puede conducir
a decisiones que podrían poner en riesgo la estabilidad de construcciones diseñadas úni‐
camente con este método.
5.8
CASA HABITACIÓN DE DOS PISOS
Estructura de una casa habitación de mampostería (Rascón & Brito, 1988) de dos pisos
(Figura 5.3). Se ubica en la Zona IIIa del Distrito Federal. La planta baja mide 4 m de altura
y el primer piso 3 m. Los muros de mampostería son de barro rojo recocido de 0.14 m de
espesor y las losas de concreto reforzado de 0.12 m. Para el concreto se consideró una
resistencia a compresión
25 MPa, un peso volumétrico de 22 kN/m3 y módulo de
elasticidad
22 000 MPa.
59
De acuerdo con las NTCM, la mampostería de tabique de barro recocido con mortero tipo
III tiene una resistencia a compresión
=1.5 MPa; peso volumétrico 13 kN/m3, módulo
de elasticidad
600
900 MPa y módulo de cortante
0.4
360 MPa.
Con las características de los materiales se calcularon los pesos totales de los entrepisos
considerando el peso de todos los elementos estructurales además de la carga viva ins‐
tantánea. Así, se obtuvo para la planta baja 781.5 kN y para el primer piso 668.3 kN.
1.5. Los
Para el análisis sísmico se consideró un factor de comportamiento sísmico
coeficientes sísmicos para el método simplificado se obtuvieron de la Tabla 7.1 de las
NTCS.
Ya que la estructura tiene una altura de 7 m, se pueden utilizar dos valores para el coefi‐
ciente sísmico: 0.19 y 0.4; que corresponden al método simplificado y al estático respecti‐
vamente.
1Y
3Y
2Y
4.5
3
5Y
4Y
1
3.5
4
4X
2
3X
4
2X
Y
1X
X
Figura 5.3 Planta típica de la casa habitación estudiada (cotas en m).
Tabla 5‐1 Fuerzas y cortantes en la casa habitación (kN).
c=0.40
Piso
c=0.19
Entrepiso
Fxi=Fyi
Vxj=Vyj
Fxi=Fyi
Vxj=Vyj
2
137.6
289.7
2
137.6
289.7
1
91.9
193.6
1
229.6
483.3
Además, se consideró el periodo fundamental de vibración de la estructura para encontrar
que el factor de comportamiento sísmico reducido es ’ 1.2. Así, al aplicar el análisis
sísmico de acuerdo con las NTCS, se obtuvieron las fuerzas laterales que se presentan en
60
la Tabla 5‐1. De acuerdo con las NTCM, se revisó que la distorsión lateral, multiplicada por
el factor de comportamiento sísmico, no excediera 0.0025, valor estipulado para muros de
carga de mampostería confinada de piezas macizas.
Con los datos anteriores se construyó un modelo tridimensional de la estructura y se le
aplicaron estáticamente las fuerzas sísmicas de la Tabla 5‐1 en los diafragmas rígidos, res‐
tringiendo los giros de las losas alrededor de un eje vertical. Para analizar los modelos, se
utilizó el programa ETABS (CSi, 1997). Tanto las losas como los muros se modelaron utili‐
zando elementos finitos tipo cascarón. La discretización de los elementos se realizó de tal
manera que existiera unión en el perímetro y no sólo en sus nodos comunes. Con este
análisis se obtuvieron los cortantes directos en los muros de mampostería.
Mediante las ecuaciones (5‐10) Y (5‐11) y con los cortantes directos, se calcularon las co‐
ordenadas de los
y
de cada uno de los entrepisos (Tabla 5‐2).
Conocidas estas coordenadas y utilizando la ecuación (5‐9) se calculó la excentricidad es‐
tructural, . Tabla 5‐2. En la Figura 5.4 se muestran estos resultados con ayuda de los
cuales se clasificó a los elementos resistentes como flexibles o rígidos (Tabla 5‐4).
Tabla 5‐2 Coordenadas de los
,
y
, excentricidad estática (m) y ex‐
centricidad normalizada.
Dirección Entrepiso
X
Y
2
6.27
6.35
5.22
1.13
0.094
1
6.24
6.29
5.43
0.86
0.072
2
5.72
5.89
5.87
0.02
0.002
1
5.74
5.78
5.23
0.55
0.055
4x
4x
4x
2y
4x
2y
4y
4y
1y
5y
2y
flexible
rígido
2y
3x
+
CR
1y
flexible
++CC
CM
rígido
5y
3x
+
+
+CC
CR CM
2x
2x
rígido flexible
3y
rígido flexible
3y
Y
Y
X
X
1x
1x
a) Planta baja
b) Primer piso
Figura 5.4. Localización del CC y CR en la casa habitación estudiada.
Tabla 5‐3 Rigidez torsional y radios de giro de los entrepisos.
Entrepiso
61
2
535566
0.5002
0.2502
0.7475
0.5588
1
620228
0.5128
0.2630
0.7297
0.5324
Tabla 5‐4 Clasificación, posición normalizada en la planta de la estructura y FAT de los elemen‐
tos resistentes
Dirección
Elemento
X
Y
Tipo
Entrepiso 1
Entrepiso 2
Entrepiso 1
Entrepiso 2
1X
rígido
0.587
0.587
1.044
1.108
2X
rígido
0.187
0.187
1.010
1.034
3X
flexible
0.013
0.013
1.026
1.002
4X
flexible
0.413
0.413
1.164
1.072
1Y
rígido
0.452
0.435
1.048
1.011
2Y
rígido
0.077
0.060
1.008
1.001
3Y
flexible
0.173
0.190
1.136
1.183
4Y
flexible
0.256
0.273
1.202
1.263
5Y
flexible
0.548
0.565
1.433
1.544
Tabla 5‐5 Efectos en los elementos estructurales, cortantes directos, resistentes, y totales incluyendo
torsión (kN).
Dirección Entrepiso Elemento
2
X
1
Y
2
1
0.19
0.19
0.40
/
0.40
/
1X
34.6
72.8
134.1
38.3
0.29
80.7
0.60
2X
21.6
45.4
61.8
22.3
0.36
47.0
0.76
3X
19.4
40.8
58.3
19.4
0.33
40.9
0.70
4X
58.2
122.5
135.6
62.4
0.46
131.4
0.97
133.8
281.5
389.8
1X
75.0
157.9
160.6
78.3
0.49
164.9
1.03
2X
35.5
74.8
72.4
35.9
0.50
75.6
1.04
3X
30.5
64.3
69.3
31.3
0.45
66.0
0.95
4X
86.4
181.9
157.5
100.6
0.64
211.7
1.34
227.4
478.9
459.9
1Y
58.9
124.0
175.1
59.5
0.34
125.3
0.72
2Y
10.4
22.0
55.9
10.4
0.19
22.0
0.39
3Y
24.1
50.8
71.8
28.5
0.40
60.1
0.84
4Y
7.7
16.1
71.5
9.7
0.14
20.3
0.28
5Y
34.7
73.1
102.5
53.6
0.52
112.8
1.10
135.8
286.0
476.8
95.0
200.1
207.4
99.7
0.48
209.8
1.01
1Y
62
2Y
16.4
34.5
77.6
16.5
0.21
34.8
0.45
3Y
33.2
69.8
87.7
37.7
0.43
79.3
0.90
4Y
25.1
52.8
86.0
30.2
0.35
63.5
0.74
5Y
58.7
123.5
118.3
84.0
0.71
177.0
1.50
228.4
480.7
577.0
Los cortantes directos y los desplazamientos de entrepiso correspondientes, obtenidos del
análisis estructural realizado en el paso 2, se utilizaron para calcular el radio de giro nor‐
malizado,
y
, para cada uno de los ejes ortogonales de los entrepisos (Tabla 5‐3).
Después, y de acuerdo con la posición y clasificación de los elementos resistentes (Figura
5.4), se calculó el
para cada uno de ellos (Tabla 5‐4). En esta, el valor del
mues‐
tra la magnitud del incremento que la torsión sísmica produce en las fuerzas producidas
por el cortante directo en los elementos estructurales.
De acuerdo con la Sección 5.4.2 de las NTCM, la capacidad de carga de los muros de
mampostería se calculó, como
0.5
0.3
1.5
; para
3
2
kg/cm y
0.7 (Tabla 5‐5).
Los cortantes directos para los dos coeficientes sísmicos utilizados, los cortantes resisten‐
tes, y los cortantes totales de cada elemento resistente incluyendo los efectos de torsión
se presentan en la Tabla 5‐5 para las direcciones X y Y respectivamente.
De acuerdo con la revisión que se señala en el inciso 7 de las NTCS, en la Tabla 5‐5 para la
dirección de la estructura analizada para
0.4, se puede observar que la capacidad de
carga global de sus entrepisos es superior a la demanda. Así, para la planta baja es de 577
kN contra 480.7 kN respectivamente, mientras que el primer piso tiene 476.8 kN de resis‐
tencia contra 286 kN de fuerza actuante. Sin embargo, a pesar de ello la capacidad de car‐
ga del elemento 5Y se excede hasta 50% en la planta baja, lo cual puede significar un ries‐
go para la estabilidad de la estructura.
Para la dirección X se puede observar que, además de que la capacidad de carga global de
la planta baja es inferior que la demanda, para los elementos 1X, 2X y 4X se excede su ca‐
pacidad de carga, particularmente en este último hasta 34%.
5.9
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El método simplificado es, sin duda, una herramienta útil en la etapa de diseño conceptual
de las estructuras y sirve, principalmente, para localizar a los elementos resistentes en la
planta de las mismas de la manera más eficaz; es decir, para prediseñar. Es útil también
para comparar sus resultados con los de otros métodos más elaborados y tener un índice
de comprobación. Sin embargo, comparar la capacidad de carga de los entrepisos (suma
de las resistencias de los muros) con la fuerza cortante actuante, como lo propone el
método simplificado, puede conducir a resultados poco confiables. Por lo que se reco‐
mienda realizar esta comparación elemento por elemento y considerar los efectos de tor‐
sión.
63
Por otro lado, el método estático (aplicado correctamente, según las NTCS), considera la
torsión sísmica estática, por lo que resulta adecuado para el diseño estructural.
Debido a que la ductilidad en las estructuras de mampostería la proporciona básicamente
el refuerzo de acero adicional en los muros o en castillos y dalas, la elección del factor de
comportamiento sísmico es muy significativa. En este sentido, los resultados obtenidos
con
1.5 mostraron que este valor produce fuerzas grandes, mismas que excedieron la
capacidad de carga de los tres últimos modelos estudiados. Por lo anterior, se recomienda
diseñar correctamente los elementos de confinamiento para garantizar la capacidad de
formación de los muros.
Con el objetivo de proporcionar un método práctico para calcular las fuerzas debido a la
torsión sísmica, se aplicó el Procedimiento Simplificado de Diseño, PSD, al análisis por tor‐
sión de estructuras de mampostería. El PSD, simplifica notablemente este tipo de análisis
sin perder precisión en los cálculos ya que basta un solo análisis de la estructura tridimen‐
sional, en cada una de sus dos direcciones ortogonales en planta, para calcular las fuerzas
de diseño en todos los elementos estructurales.
El PSD distribuye el cortante sísmico por torsión y determina el factor de amplificación por
torsión,
, para cada elemento resistente de acuerdo con lo especificado en el RCDF.
Esto permite conocer, cuantitativamente, el efecto que tendrá la torsión sísmica en cada
uno de los elementos resistentes de las estructuras. El PSD está diseñado para utilizarse
con programas comerciales de análisis estructural, pudiéndose realizar modelos estructu‐
rales complejos como la mampostería con elementos finitos.
Al calcular las fuerzas por torsión en estructuras de mampostería es posible que la resis‐
tencia nominal de alguno de los elementos estructurales se exceda poniéndose en riesgo
la estabilidad del sistema. Esto a pesar de que se cumpla con la recomendación de las ac‐
tuales Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo en las que se establece
que, para estructuras de mampostería con altura menor que 13 m, no es necesario anali‐
zar por torsión, sino que basta con comprobar que la capacidad de carga global de sus
entrepisos sea superior que la demanda.
Por lo anterior, se recomienda revisar siempre la capacidad de carga de cada uno de los
elementos estructurales considerando los efectos de la torsión sísmica que se pueden
calcular, de manera práctica con el Procedimiento Simplificado de Diseño propuesto.
64
6
6.1
ANÁLISIS POR TEMPERATURA
INTRODUCCIÓN
En el análisis de estructuras de mampostería es común no considerar los efectos de la va‐
riación de la temperatura, lo cual es válido para estructuras ubicadas en lugares donde no
se producen grandes variaciones de temperatura en el transcurso del día; sin embargo, en
sitios donde estas variaciones llegan a ser significativas y entre mayores sean las dimen‐
siones de la estructura, los esfuerzos producidos en los muros no son despreciables y de‐
ben ser tomados en cuenta en el diseño de los mismos.
Las NTCDF hacen referencia al análisis por temperatura en su sección 3.2.4
3.2.4 Análisis por temperatura. Cuando por un diferencial de temperaturas así se requiera,
o cuando la estructura tenga una longitud mayor de 40 m, será necesario considerar los
efectos de la temperatura en las deformaciones y elementos mecánicos. Se deberá poner
especial cuidado en las características mecánicas de la mampostería al evaluar los efectos
de temperatura.
En el presente documento se hace el análisis de tres edificios que presentan modulaciones
de muros típicas en edificios de mampostería para uso residencial, en los cuales se consi‐
deró el efecto que causa la dilatación de sus losas, tanto de azotea como de entrepiso.
36.0
3.0
3.0
3.0
3.0
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
Figura 6.1 Modelo MH‐36
Tabla 6‐1 Propiedades de los Materiales
Concreto
Mampostería 1
Mampostería 2
Módulo de elasticidad
221360 kg/cm2
32000 kg/cm2
16000 kg/cm2
Coef. de dilatación térmica
1 x 10-5 1/ºC
0.6 x 10-5 1/ ºC
0.6 x 10-5 1/ ºC
v*m
----
5.0 kg/cm2
3.0 kg/cm2
65
48.0
3.0
3.0
3.0
3.0
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
Figura 6.2 Modelo MH‐48
60.0
3.0
3.0
3.0
3.0
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
2.6
Figura 6.3 Modelo M‐60
6.2
DESCRIPCIÓN DEL MODELO
Se analizaron tres tipos de edificios, todos con un ancho de 7.0 m y una altura de 15.60 m
(6 niveles), considerando longitudes de 36, 48 y 60 m, denominando a cada edificio MH‐
36, MH‐48 y MH‐60 respectivamente. Los modelos están formados por módulos de 7.00 x
12.00 m que se repiten en la dirección larga según se puede ver en la Figura 6.1, Figura 6.2
y Figura 6.3.
Se consideró que el sistema de piso está formado por una losa maciza de concreto, con un
espesor de 15 cm, apoyada directamente sobre los muros de mampostería
Se consideró un solo tipo de concreto y dos tipos de mampostería, en la tabla siguiente se
muestran las propiedades utilizadas en el análisis.
66
Loss muros se analizaron
a
m
mediante
el método
m
de la columna ancha,
a
y las losas se mo
odela‐
ron
n mediante elementos
e
barra ligados rígidamentee a los muro
os de mampo
ostería.
6.3
ANÁLISISS DE RESULTTADOS
Se realizaron dos tipos de análisis, en el primero se
s consideró
ó un incremeento de tempera‐
turaa en la losa de azotea únicamente,
ú
, mientras que
q en el seggundo se co
onsideró tam
mbién
un incremento de temperaatura en las losas
l
interio
ores.
6.4
4
INCREMEENTO DE TE MPERATUR A EN LA LO SA DE AZOTTEA
Parra los tres modelos
m
en consideració
c
n se hizo vaariar el incremento de teemperatura en la
losaa de azotea de 5 a 35 °C
C, se observó
ó en todos los modelos que las defo
ormaciones y por
tan
nto las fuerzas cortantess máximas se
s concentraaban en los muros exteeriores del último
ú
niveel como se puede
p
aprecciar en la Figu
ura 6.4 a la Figura
F
6.9.
Figura 6.4
4 Deformada Modelo
M
M‐30
Figura 6.5
5 Deformada Modelo
M
M‐30
67
Figgura 6.6 Deform
mada Modelo M‐60
Figura 6..7 Diagrama de
e cortantes Mo
odelo M‐30
Figura 6..8 Diagrama de
e cortantes Mo
odelo M‐45
Figura 6..9 Diagrama de
e cortantes Mo
odelo M‐60
68
Los valores obtenidos de fuerza cortante última y desplazamiento máximo para el muro
extremo del nivel 6 se presentan en la Tabla 6‐2 y Tabla 6‐4, para mampostería tipo 1 y
tipo 2 respectivamente.
Con la finalidad de determinar cuán grande es la fuerza cortante originada en los muros,
producto de la dilatación de la losa de azotea se calculó el cortante resistente del muro,
considerando que se trata de mampostería confinada con y sin refuerzo horizontal para
los dos tipos de mampostería en estudio.
Para el cálculo de la fuerza cortante resistida por la mampostería se consideró como carga
vertical, solamente la carga muerta actuando sobre el muro.
6.5
MAMPOSTERÍA TIPO 1
6.5.1 SIN REFUERZO HORIZONTAL
0.5
0.7 0.5
0.5
3600
0.3
0.3
6.8 T
Δ
Δ
1.5
0.5
5.0
3600
18.9 T
MH‐36
3.55
7.10
10.65
14.19
17.74
21.29
24.84
mm (Nivel 6)
MH‐48
MH‐60
0.89
1.084
1.78
2.17
2.67
3.25
3.56
4.34
4.45
5.42
5.34
6.50
6.23
7.59
MH‐36
2.32
4.64
6.96
9.29
11.61
13.93
16.25
Tabla 6‐3 Mampostería Tipo 2
(Nivel 6)
MH‐48
MH‐60
MH‐36
2.87
3.28
0.71
5.74
6.33
1.41
8.62
9.83
2.12
11.49
13.11
2.82
14.36
16.28
4.53
17.23
19.66
4.24
20.11
22.94
4.94
mm (Nivel 6)
MH‐48
MH‐60
0.94
1.15
1.88
2.40
2.81
3.46
3.75
4.61
4.69
5.76
5.63
6.91
6.57
8.07
°
5
10
15
20
25
30
35
2362
Tabla 6‐2 Mampostería Tipo 1
(Nivel 6)
MH‐48
MH‐60
MH‐36
4.21
4.64
0.67
8.41
9.28
1.35
12.62
13.92
2.03
16.82
18.56
2.71
21.03
23.20
3.38
25.23
27.84
4.06
29.44
32.48
4.74
°
5
10
15
20
25
30
35
1.5
69
6.5.2 CO
ON REFUER ZO HORIZO NTAL MÍNIM
MO
3
0.6
3
6000
0.0005
si
6 kg/cm
k
0.7
0
0.6
6.80
6.6
0.0005
5
4.54
6000
3600
10
4.54 t
11.3
34 t
MA
AMPOSTERÍA
A TIPO 2
6.6.1 SIIN REFUERZ O HORIZON
NTAL
0.5
0.7 0.5
4.28 t
0.3
3.0
1.5
3600
0.3
2362
1.5
5
0.7
3..0
3600
11.34 t
6.6.2 CO
ON REFUER ZO HORIZO NTAL MÍNIM
MO
3
0.6
3
6000
si
0.0005
6 kg/cm
k
0.7
4.28
0
0.6
4.54
0.0005
5
6000
3600
10
4.54 t
8.82
2t
En las sigguientes gráficas se pressenta la variación de la fuerza cortante última en función
del increm
mento de te
emperatura.
a)
Mam
mpostería tipo
o1
b) Mam
mpostería tipo 2
Figura 6.10 Mam
mposterías Tipo
o1y2
70
6.7
INCREMEENTO DE TE MPERATUR A
Se estudió
e
el effecto que teendría en los muros de mampostería
m
a un incremeento de tempera‐
turaa tanto en la losa de azotea como en
e las losas de entrepiso, para esto
o se consideraron
doss casos princcipales, en el
e primero see aplicó un incremento de temperaatura a la losa de
azo
otea de 20 ºC, mientras que en el seegundo el in
ncremento fue
f de 25 ºC
C. Para ambo
os ca‐
soss se mantuvo
o constante el incremen
nto de temperatura en la losa de azzotea mientrras se
haccía variar el incremento de temperaatura en las losas de en
ntrepiso de 0.0
0 a 0.5 vecces la
varriación de temperatura en
e la losa dee azotea.
En las siguiente
es figuras se muestra la deformada de
d los tres tiipos de mod
delos de estu
udio.
Figura 6.11 Deformada Modelo
M
MH‐36
Figura 6.12 Deformada Modelo
M
MH‐48
Figura 6.13 Deformada Modelo
M
MH‐60
71
Se observo que según se va incrementando la variación de temperatura en las losas de
entrepiso la fuerza cortante en los muros del último nivel va disminuyendo mientras que
en los muros de planta baja ocurre lo contrario. En las siguientes figuras se muestra los
diagramas de cortantes para tres valores del incremento de temperatura en las losas de
entrepiso, dichos diagramas corresponden al modelo MH‐60.
Figura 6.14 Diagrama de cortantes para ΔText =25 ºC y ΔTint = 2.5 ºC
Figura 6.15 Diagrama de cortantes para ΔText =25 ºC y ΔTint = 7.5 ºC
Figura 6.16 Diagrama de cortantes para ΔText =25 ºC y ΔTint = 12.5 ºC
72
Los valores de la fuerza cortante última del muro exterior del primer y sexto nivel se
muestran en la Tabla 6‐4 y Tabla 6‐5:
Tabla 6‐4 Fuerza cortante en muros extremos (Mampostería tipo 1)
Δ azotea = 20 °C
( t ) (Nivel 6)
( t ) (Nivel 1)
Δ °
entrepiso
MH‐36
MH‐48
MH‐60
MH‐36
MH‐48
MH‐60
0
14.19
16.82
18.56
0.20
0.36
0.60
2
12.75
15.10
16.64
2.90
3.47
3.80
4
11.31
13.38
14.72
6.00
7.30
8.20
6
9.87
11.66
12.81
9.10
11.12
12.60
8
8.43
9.94
10.89
12.20
14.95
17.00
10
6.99
8.22
8.97
15.29
18.78
21.40
Δ azotea = 25 °C
0.0
17.74
21.03
23.20
0.25
0.45
0.75
2.5
15.94
18.88
20.80
3.63
4.34
4.75
5.0
14.14
16.73
18.41
7.50
9.12
10.25
7.5
12.34
14.58
16.01
11.37
13.90
15.75
10.0
10.54
12.43
13.61
15.25
18.69
21.25
12.5
8.74
10.28
11.22
19.12
23.47
26.74
Tabla 6‐5 Fuerza cortante en muros extremos (Mampostería tipo 2)
ΔT azotea = 20 ºC
( t ) (Nivel 6)
( t ) (Nivel 1)
Δ
entrepiso
MH‐36
MH‐48
MH‐60
MH‐36
MH‐48
MH‐60
0
9.29
11.49
13.11
0.09
0.14
0.21
2
8.35
10.33
11.77
1.72
2.17
2.51
4
7.41
9.16
10.44
3.52
4.47
5.23
6
6.47
8.00
9.11
5.33
6.78
7.94
8
5.53
6.84
7.78
7.14
9.08
10.66
10
4.60
5.67
6.44
8.94
11.39
13.38
ΔT azotea = 25 ºC
0.0
11.61
14.36
16.38
0.11
0.17
0.26
2.5
10.43
12.91
14.72
2.15
2.71
3.14
5.0
9.26
11.45
13.05
4.40
5.59
6.53
7.5
8.09
10.00
11.39
6.66
8.47
9.93
10.0
6.92
8.54
9.72
8.92
11.35
13.33
12.5
5.74
7.09
8.05
11.18
14.23
16.72
A partir de los datos anteriores se pudo elaborar los siguientes figuras que muestran la
variación de la fuerza cortante en los muros en función del incremento de temperatura en
las losas.
En la Figura 6.17.a,b se observa que la fuerza cortante en el muro extremo del nivel 6 se
reduce en forma lineal conforme se va incrementando la dilatación de las losas de entre‐
piso, se ve que el fenómeno es el mismo para los tres modelos de estudio.
73
a) Δ en
e azotea de 20
2 °
b) Δ en
e azotea de 25
5°
Figura 6.17
7 Variación de
e fuerza cortan
nte en muro nivvel 6 (Mampostería Tipo 1)
a) Δ en
e azotea de 20
2 °
e azotea de 25
5°
b) Δ en
Figura 6.18
8 Variación de
e fuerza cortan
nte en muro nivvel 6 (Mampostería Tipo 2)
uce en una proporción
p
siimilar al incrremento de
En todos los casos la fuerza cortaante se redu
ón Δ
/Δ
.
la relació
En la Figu
ura 6.18.a,b se presentaa la reducció
ón de fuerzaa cortante en
e el mismo muro pero
para mam
mpostería tip
po 2, como se
s puede ver el comporttamiento es similar en ambos
a
tipos
de mamp
postería.
En la Figura 6.19.a,b
b se presentta el incremento que su
ufre la fuerzza cortante en el muro
extremo del primer nivel para mamposterí
m
ía tipo 1, también a maanera de reeferencia se
muestra el valor de la fuerza corrtante resisteente de dich
ho muro con
nsiderando que
q se trata
postería con y sin refuerrzo horizontaal, la carga vertical
v
conssiderada parra el cálculo
de mamp
de la fueerza cortante
e resistida por
p la mamp
postería fue solamente el peso de los muros y
losas porr encima de dicho
d
nivel, obteniéndose los siguientes valoress
74
MA
AMPOSTERÍA TIPO
T
1
Sin Refuerzo Horiizontal
Con Refuerzo Horiizontal
VmR = 11 .27 ton
VR = 18.03 ton
AMPOSTERÍA TIPO
T
2
MA
Sin Refuerzo Horiizontal
Sin Refuerzo Horizzontal
VmR = 8.75 ton
t
VR = 14.00 ton
t
Se puede obse
ervar que el incremento
o de la fuerzza cortante es prácticam
mente lineal para
los tres modelo
os. En el caso
o de mampo
ostería Tipo 1 se ve que para un incrremento de 20 ºC
en la losa de azzotea el corttante resisteente del muro se excedee a partir dee que las lossas de
en un increm
mento de tem
mperatura su
uperior al 50
0 % del increemento que sufre
enttrepiso sufre
la lo
osa de azote
ea en los mo
odelos MH‐3
36 y MH‐48, mientras qu
ue en el caso
o del modelo
o MH‐
60 el cortante resistente es
e excedido
o cuando el incremento
o en las losaas intermediias es
sup
perior al 43 % del increm
mento en la losa de azottea, en cambio cuando el incremento de
tem
mperatura en la losa de azotea es de
d 25 ºC el cortante
c
resiistente del muro
m
se exceede a
parrtir de una variación
v
en la temperattura de las losas
l
de enttrepiso mayo
or al 40 % del
d in‐
cremento que se
s da en la azotea.
a
En la Figura 6.2
20.a,b se prresentan los resultados obtenidos para
p
mampo
ostería tipo 2, di‐
cho
os resultados son muy similares
s
a lo
os anteriorees, pero al tratarse de una
u mamposstería
menos rígida laa fuerza corttante que to
oma también
n es menor, así cuando la losa de azotea
sufre un increm
mento de tem
mperatura de
d 20 ºC, el cortante
c
ressistente del muro
m
no es exce‐
dido mientras el incremen
nto en las lossas de entreepiso sea menor al 50 % del increm
mento
sufrido por la lo
osa exterior..
a) Δ en azoteea de 20 °
b) Δ en azoteea de 25 °
Figu
ura 6.19 Variacción de fuerza cortante en muro
m
nivel 1 (M
Mampostería Tipo
T
1)
75
a) Δ en
e azotea de 20
2 °
b) Δ en
e azotea de 25
5°
Figura 6.20
0 Variación de
e fuerza cortan
nte en muro nivvel 1 (Mampostería Tipo 2)
Para el caaso en que se
s dio un incremento de temperatu
ura de 25 ºC
C a la losa dee azotea, el
cortante resistente se
s excede so
olamente en
n el modelo MH‐60 paraa incrementtos de tem‐
o exterior.
peratura en las losas de entrepiso superioress a 42 % del incremento
6.8
CO NCLUSIONEES
ƒ
See observó qu
ue los muros ubicados en
e el sentido
o largo del edificio
e
son los que más
su
ufren por la dilatación de las losas de azotea y/o
o entrepisos
ƒ
Cu
uando el inccremento dee temperatu
ura ocurre solamente
s
en la losa dee azotea las
fu
uerzas cortan
ntes se conccentran práccticamente en
e los muross del último nivel
n
ƒ
Lo
os muros ub
bicados en los
l extremo
os de la edifficación son lo que se encuentran
e
so
ometidos a mayor
m
fuerzaa cortante.
ƒ
Lo
os muros perpendicularees a la direccción larga deel edificio no
o se ven afecctados
ƒ
Laa capacidad de los muro
os sin refuerrzo horizonttal pueden ser fácilmentte excedida
aú
ún para valo
ores de 5 o 10º
1 C de variación de tem
mperatura.
ƒ
En
ntre más mu
uros se tengga en la direección larga es mejor, ya que de esta forma el
co
ortante gene
erado por la dilatación de
d las losas se
s distribuyee entre más elementos.
e
76
PARTE III Temas especiales
7
INTERACCIÓN SUELO‐ESTRUCTURA
Tanto en los fenómenos dinámicos como en la distribución de acciones estáticas, la in‐
fluencia del terreno de cimentación es fundamental, en especial el caso de suelos blandos.
Sin embargo, muy pocas veces se toma en cuenta este efecto en el análisis estructural, ya
que se acostumbra simplificar el modelo a una estructura empotrada en la base.
7.1
INTRODUCCIÓN
Un conflicto que frecuentemente se presenta en la ingeniería práctica ocurre durante el
análisis de la cimentación. En efecto, el ingeniero estructurista proporciona al geotecnista
las descargas del edifico al subsuelo considerando que el edificio está apoyado sobre una
base rígida, mientras que el geotecnista lleva a cabo la revisión de los estado límite de
falla y de servicio de la cimentación considerando al subsuelo con comportamiento elas‐
toplástico y a la estructura como flexible, por lo que surgen las siguientes situaciones pa‐
radójicas:
¿El subsuelo es perfectamente rígido como lo asume el estructurista o es flexible como lo
ve el geotecnista?; asimismo, ¿la estructura es flexible según el geotecnista o con rigidez
finita como lo establece el estructurista?
Sabemos bien que tanto el subsuelo como la superestructura y la cimentación tienen una
rigidez finita así como un comportamiento elastoplástico, por lo que el camino directo a la
solución de esta paradoja es realizar el análisis en forma conjunta y no separar el análisis
del subsuelo con el de la cimentación y la superestructura, como actualmente se lleva
acabo en la práctica ingenieril. Pero un análisis de este tipo es complicado desde el punto
de vista conceptual, dado que el analista debe dominar ambas disciplinas, pero principal‐
mente porque se requieren recursos de cómputo importantes. Por estas razones, se recu‐
rre a simplificaciones.
En la ingeniería de cimentaciones esta problemática se estudia detalladamente mediante
el análisis de interacción suelo‐cimentación‐superestructura, donde los objetivos principa‐
les son:
ƒ
Evaluar los asentamientos y su distribución a lo largo y ancho de la cimentación, en
especial los asentamientos diferenciales.
ƒ
Definir las presiones de contacto entre la cimentación y el suelo.
ƒ
Determinar los elementos mecánicos de la estructura de la cimentación
Lo anterior, asegurando la compatibilidad de deformaciones entre el suelo portante y el
sistema estructural de la edificación, incluyendo a la cimentación.
Desafortunadamente, el análisis de interacción suelo‐cimentación‐superestructura se rea‐
liza pocas veces y principalmente en proyectos importantes, por tanto la solución de ci‐
77
mentación en las edificaciones donde se omite dicho análisis suele ser conservadora en el
mejor de los casos, pero en otros se han llegado a condiciones de riesgo innecesarias,
dando como resultado, como primer consecuencia, la generación de agrietamientos en los
elementos de la superestructura y/o elementos accesorios, dado que se inducen asenta‐
mientos diferenciales, o rotaciones ligeras del edificio. En los casos donde no se atienden
de manera oportuna estas primeras manifestaciones del mal comportamiento de la ci‐
mentación, se ha llegado a la pérdida del inmueble.
Las anomalías no previstas con análisis de interacción se agudizan cuando la edificación
está sometida a fenómenos de consolidación regional diferencial o a sismos de gran inten‐
sidad.
En algunos casos, la omisión de los análisis de interacción suelo‐cimentación‐
superestructura soslaya la evaluación correcta de los asentamientos diferenciales que se
generan en la cimentación del edificio, siendo especialmente esenciales en la valoración
de los estados límite de servicio de las estructuras de mampostería.
Las reglamentación vigente en el Distrito Federal (Reglamento de Construcciones del Go‐
bierno del Distrito Federal, 2004) limita los valores de la relación entre el asentamiento
diferencial entre apoyos y el claro, para estructuras de mampostería, a valores del 0.2%.
Los análisis convencionales que ignoran la contribución de la rigidez flexural de la cimen‐
tación y de la superestructura, seguramente producirán diseños conservadores, o contra‐
riamente sobresforzarán la superestructura en el caso de subdiseñar la cimentación por
no tener una herramienta capaz de tomar en cuenta la influencia de su refuerzo.
En la práctica se ha observado que a partir de relaciones entre el desplazamiento diferen‐
cial y el claro mayores que el 1%, empiezan a generarse grietas en los muros, además de
ser perceptible por los usuarios.
Bajo este contexto, la importancia de un análisis de este tipo es evidente, ya que es posi‐
ble detectar dichas condiciones, principalmente a largo plazo, como se detalla en el ejem‐
plo de aplicación que se expone al final de este capítulo.
Es importante comentar que el análisis de interacción es más relevante para el ingeniero
estructurista en comparación con el geotecnista, dado que el impacto del análisis se refle‐
ja principalmente en la variación de los elementos mecánicos de la cimentación y en los
elementos de los primeros niveles de la superestructura, y en un porcentaje menor en la
variación de los esfuerzos y condiciones de falla en el subsuelo.
7.2
CONCEPTOS BÁSICOS
La interacción suelo‐cimentación‐superestructura se entiende como el análisis acoplado
del sistema formado por suelo‐cimentación‐superestructura, que es sometido a fuerzas
internas/externas y/o desplazamientos preestablecidos, donde se asegura la compatibili‐
dad de deformaciones entre el suelo portante y el sistema estructural de la edificación,
incluyendo a la cimentación.
El análisis de interacción puede llevarse a cabo para condiciones estáticas (o cuasiestáticas
con deformaciones a corto y largo plazo) o dinámicas. Asimismo, es posible estudiar la
78
evolución de los estados de esfuerzo y deformación en condiciones estáticas durante el
proceso constructivo del edificio, o por variaciones de las condiciones del subsuelo como
el abatimiento y la recuperación de los niveles freáticos, excavaciones, etc.
En ocasiones, cuando el sistema suelo‐cimentación‐superestructura es complicado, el aná‐
lisis de interacción se simplifica a subsistemas del tipo suelo‐cimentación o cimentación‐
superestructura.
Por otra parte, para llevar a cabo el análisis de interacción pueden emplearse diversas
técnicas. Entre las más importantes y populares se tienen: las Soluciones Cerradas, el
Método Matricial de las Rigideces (MMR), el Método de Elementos Finitos (MEF), el
Método de Diferencias Finitas Langrangeanas (MDFL) y el Método de los Elementos Distin‐
tos (MED).
En los párrafos siguientes se describen los conceptos básicos del análisis de interacción
estático no evolutivo para las Soluciones Cerradas y las técnicas de MMR y MEF.
7.2.1 SOLUCIONES CERRADAS
Una primera aproximación al análisis de interacción es mediante las Soluciones Cerradas,
principalmente porque son técnicas cuya aplicación es inmediata, no requieren de recur‐
sos de cómputo importantes y la solución es exacta.
En la literatura técnica existen Soluciones Cerradas para diferentes condiciones del pro‐
blema a estudiar. En la Tabla 7‐1 se presentan expresiones para evaluar los asentamientos
en superficie tomando en cuenta la rigidez a flexión de la cimentación (totalmente flexi‐
ble, totalmente rígida y con rigidez finita), considerando el caso de un medio homogéneo,
con espesor finito y que la cimentación es de forma rectangular y uniformemente cargada.
Si bien la implementación de estas soluciones en el análisis de la cimentación es simple,
no se aplican en casos donde existan suelos estratificados o con heterogeneidades latera‐
les, en geometrías de la cimentación complejas, con profundidades de desplante varia‐
bles, etc., por lo que es necesario recurrir a aproximaciones numéricas como las descritas
en las secciones siguientes.
El factor de rigidez propuesto por (Borowicka, 1939) se emplea para determinar si una
cimentación es rígida, flexible o elástica. Si
0 se trata de una cimentación perfecta‐
mente flexible, si
∞ significa que es perfectamente rígida, y valores intermedios
indican una cimentación elástica.
Después de varias propuestas por parte de diferentes autores para definir la rigidez de la
cimentación, (Grabhoff, 1987), recomienda el parámetro
, dado por siguiente ecua‐
ción:
,
1
cimentación rígida
0.1
cimentación elástica
0.001 cimentación lexible
79
Tabla 7‐1 Expresiones para determinar el asentamiento superficial considerando la rigidez de la cimenta‐
ción
Rigidez de la
cimentación
Totalmente
flexible
Ecuación
Ayudas gráficas para las soluciones
1
(Egorov, 1958)
Ff
Z/B
Losa
rígida
Totalmente
rígida
1
Fr
(Egorov, 1958)
Z/B
L/B=1
νs=0.3
Rigidez finita
(Milovic, 1992)
Nomenclatura:
‐ asentamiento superficial al centro de la cimentación,
‐ módulo de elasticidad del suelo,
νs‐ relación de Poisson del suelo
‐ módulo de compresibilidad del suelo, B, L y d‐ ancho, largo y espesor de la cimentación
‐ esfuerzo aplicado en la cimentación, Ec‐ módulo de elasticidad de la cimentación
‐ relación de Poisson de la cimentación
4
1
factor de rigidez, (Borowicka, 1939)
3
1
80
Es importante mencionar que las fórmulas disponibles para evaluar la rigidez de la cimen‐
tación, como las mencionadas previamente, asumen que las zapatas o losas tienen una
geometría rectangular, con carga uniforme o lineal y que el subsuelo es homogéneo y
elástico, por lo que su espectro de aplicación es limitado.
Los parámetros principales que influyen en la determinación de la rigidez de la cimenta‐
ción son, a saber:
ƒ Espesor de los estratos deformables
ƒ Propiedades mecánicas de los estratos deformables y de la cimentación
ƒ Geometría de la cimentación
ƒ Espesor de la cimentación
ƒ Distribución de la carga
El procedimiento actual para determinar la rigidez de la cimentación, es comparar la de‐
formada de la cimentación en estudio ( ) con la deformada de una cimentación total‐
mente rígida ( ). Para ello es necesario llevar a cabo análisis numéricos, por ejemplo con
el MEF, donde se consideren las características antes mencionadas, y obtener ambas de‐
formadas. Utilizando tres puntos, se determina el valor del parámetro
dado por:
1
Donde es el asentamiento en el punto ,
y Δ es la diferencia absoluta entre y .
Cuando se obtienen valores de
Δδ
100
la correspondiente traslación en dicho punto
90% se considera que la cimentación es rígida.
7.2.2 MÉTODO MATRICIAL DE LAS RIGIDECES (MMR)
Existen variantes al modelo clásico del método propuesto por (Winkler, 1867), que consis‐
te en representar a la superestructura y la cimentación mediante elementos interconec‐
tados del tipo viga, placa y/o cascarón con comportamiento elástico, y modelar al subsue‐
lo mediante elementos tipo Winkler elásticos (resortes), que están conectados a la cimen‐
tación pero no entre ellos (elementos desacoplados) (Figura 7.1)
Bajo esta estrategia, la superestructura y la cimentación se modelan detalladamente, no
así el subsuelo.
Un punto crítico del método es evaluación del parámetro que define el elemento Winkler;
es decir, el módulo de rigidez ( ), el cual se determina al multiplicar el módulo de reac‐
ción ( ) por el área tributaria del resorte ( ), (Figura 7.1) es decir,
(7‐1)
Es importante comentar que durante la discretización de la cimentación, debe preverse
que las áreas tributarias de los resortes sean iguales, o muy semejantes, y lo más peque‐
ñas posibles para que la deformada de la cimentación sea válida.
81
SprY=828.8
SprY=1255.2
SprY=912.1
SprY=1196.7
SprY=1358.5
SprY=860.2
SprY=1320.1
SprY=1291.2
SprY=860.2
SprY=1245.1
SprY=1291.2
SprY=912.1
SprY=1245.1
SprY=1358.1
SprY=826.8
SprY=1320.1
SprY=1255.2
Figura 7.1 Modelado de la edificación con elementos cascarón y viga para la superestructura, cascarón
para la losa de cimentación y Winkler para el subsuelo.
Figura 7.2. Determinación del módulo de rigidez del elemento Winkler
7.2.3
MÓDULO DE REACCIÓN
Se define como el cociente entre la carga aplicada a un elemento rígido entre el despla‐
zamiento observado (Ec.(7‐2)), por lo que sus unidades son de fuerza entre longitud al
cubo (KN/m3).
(7‐2)
Si bien el concepto del módulo de reacción es simple, en la práctica es confuso principal‐
mente porque no es una propiedad intrínseca del suelo ni de la cimentación, sino de am‐
bos, por lo que muchos diseñadores prefieren sustituir el modelo reológico tipo Winkler
por un medio continuo, y con ello caracterizar el subsuelo con el módulo de elasticidad
y la relación de Poisson , en vez del módulo de reacción.
Es importante recalcar que el módulo de reacción no es una propiedad del suelo como en
muchos textos técnicos se menciona, por lo que los valores de dicho módulo podrían ser
semejantes en proyectos que tienen modelos estratigráficos diferentes, o ser diferentes
para el mismo modelo estratigráfico pero para geometrías y rigideces de la cimentación
distintas.
82
Tabla 7‐2. Valores representativos de los módulos de reacción y de elasticidad de dife‐
rentes tipos de depósitos
Módulo de elásticidad
Módulo de Reacción
Tipo de suelo
(KN/m2)
(KN/m3)
Arena gruesa
80,000 a 100,000
‐‐
Arena suelta
4,800 a 16,000
10,000 a 25,000
Arena suelta con gravas
‐‐
50,000 a 140,000
Arena densa
64,000 a 128,000
50,000 a 100,000
Arena densa con gravas
‐‐
80,000 a 200,000
Arena media densa
9,600 a 80,000
50,000 a 120,000
Arena media densa arcillosa
32,000 a 80,000
‐‐
Arena media densa limosa
24,000 a 48,000
5,000 a 20,000
Arena gruesa con pocas gravas
80,000 a 100,000
‐‐
Grava media con arena fina o
100,000 a 150,000
100,000 a 250,000
gruesa
Grava gruesa angulosa
120,000 a 200,000
150,000 a 300,000
Arcilla blanda a muy blanda
6,000 a 20,000
1,000 a 5,000
Arcilla media
24,000 a 48,000
2,500 a 8,000
50,000 a 80,000
5,000 a 15,000
Arcilla firme a dura
Arcilla arenosa
30,000 a 60,000
30,000 a 42,500
Limo
20,000 a 80,000
3,000 a 15,000
Suelo orgánico
5,000 a 10,000
800 a 1,500
Relleno de arena y grava
10,000 a 20,000
‐‐
1,500 a 6,000 Módulos de
Serie Arcillosa Superior de la
compresibilidad (m2/KN) =
200 a 2,000
Cd. de México
0.0006 a 0.004
Costra superficial de la Cd. de
4,000 a 15,000
4,000 a 12,000
México
Figura 7.3 Módulos de rigidez variables
A manera ilustrativa, en la Tabla 7‐2 se presentan valores de los módulos de reacción y de
elasticidad. Es importante comentar que el módulo de elasticidad si es una propiedad
mecánica del suelo.
Los valores reportados del módulo de reacción para la serie arcillosa superior consideran
la deformación por consolidación de dicho estrato, es decir a largo plazo.
En un análisis convencional, los módulos de reacción varían gradualmente (Figura 7.3), ya
sea de corto o largo plazo, teniendo los valores mayores en los extremos y menores al
centro de la cimentación, lo cual indica que los asentamientos de la cimentación son ma‐
yores al centro y menores en las esquinas, como se ha observado en la realidad.
Una simplificación a la que se recurre frecuentemente (Bowles, 1986) es asignar a las es‐
quinas y orillas de la cimentación el doble del valor del módulo de reacción del centro, ya
83
que en general el asentamiento en las esquinas es del orden de la mitad del valor del cen‐
tro (esta simplificación es válida cuando la cimentación está cargada uniformemente).
La determinación del módulo de reacción no es trivial; existen tres métodos principales
para su determinación: pruebas de campo (como la prueba de placa), correlaciones con el
módulo de elasticidad del suelo y análisis geotécnicos.
Los ensayes de campo son confiables pero pueden no ser representativos cuando las di‐
mensiones de la cimentación son mayores a las de la prueba, especialmente cuando exis‐
ten heterogeneidades importantes en el subsuelo, tales como estratificaciones o variacio‐
nes laterales. En el caso de suelos finos donde se presenta el fenómeno de consolidación,
la duración de las pruebas puede ser de meses.
Al utilizar correlaciones con el módulo de elasticidad y la Relación de Poisson es importan‐
te considerar que no existe una relación directa y que el intervalo de aplicación es limita‐
do. Una expresión frecuentemente empleada es (Bowles, 1977):
(7‐3)
donde
es la capacidad de carga última de la cimentación y , el asentamiento ob‐
servado o esperado. Considerando que en las arcillas del valle de México el asenta‐
miento máximo permisibles es de 0.3m, el valor del módulo de reacción esperado es
del orden de:
3.3
(7‐4)
En otras regiones donde no se presentan efectos de consolidación ni estratos potentes de
arcillas muy deformables, el asentamiento máximo tolerado es del orden de 1 pulg
(2.54cm), por lo que la expresión anterior se transforma a,
40
(7‐5)
Por otra parte, también es posible utilizar elementos Winkler para modelar pilas o pilotes.
En este caso el módulo de rigidez del elemento se determina mediante análisis con el MEF
axisimétrico, empleando elementos interface entre el pilote y el suelo.
En el caso de los análisis geotécnicos, es necesario representar al subsuelo como un conti‐
nuo con comportamiento elastoplástico o simplemente elástico. Posteriormente, se aplica
una carga en la superficie del terreno, o a una determinada profundidad, y se obtiene la
deformada, tomando en cuenta o no la rigidez de la cimentación. Posteriormente, el
módulo de reacción se determina al dividir el esfuerzo aplicado entre la deformación eva‐
luada en cada punto de la cimentación.
En la Figura 8.4.a se presenta la deformada obtenida cuando una área de 10x11.5m2 es
cargada con un esfuerzo uniforme de p=22.3 KN/m3 sin tomar en cuenta la rigidez de la
cimentación y que el subsuelo es un medio estratificado. El módulo de reacción mostrado
en la Figura 8.4.b se obtiene al dividir el esfuerzo aplicado entre el desplazamiento vertical
en cada punto del área cargada.
84
14.36
13.62
12.88
12.14
11.40
10.66
9.92
9.18
8.44
7.70
6.96
6.22
5.48
417.0
395.5
374.0
352.5
331.0
309.5
288.0
266.5
245.0
223.5
202.0
180.5
159.0
a) Asentamientos
b) Módulos de reacción
Figura 7.4. Evaluación de los asentamientos y los correspondientes módulos de reacción para un área de
10x11.5m2, uniformemente cargada con un esfuerzo de p =22.3 KN/m2, para una cimentación totalmente
flexible.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
7.2.4
En la Tabla 8‐3 se indican las ventajas y desventajas del MMR clásico. Asimismo, es impor‐
tante mencionar que un error frecuente que se comete al utilizar el MMR es asignar un
valor único al módulo reacción a todo lo largo y ancho de la cimentación, o al módulo de
rigidez de cada resorte, lo que significa que el subsuelo se considera infinitamente rígido,
y por tanto los resultados del análisis de interacción carecen de sentido.
MÉTODOS ALTERNOS
7.2.5
Existen métodos alternos al MMR donde es posible representar el subsuelo con un medio
continuo en vez del elemento discreto tipo Winkler y a la cimentación con elementos cas‐
carón o placa. En esta alternativa, tanto el suelo como la cimentación pueden detallarse,
no así la superestructura.
Para asegurar la compatibilidad entre la deformación de la cimentación y el asentamiento
del suelo se debe cumplir con la Ec.(7‐6).
(7‐6)
Tabla 7‐3 Ventajas y desventajas del MMR
Ventajas
ƒ
Fácil implementación
ƒ
No es necesario un diseñador que
domine ambas disciplinas
ƒ
Recursos de cómputo de ligeros a
medios dependiendo la dificultad de
la edificación a analizar
Desventajas
ƒ
El elemento Winkler es lineal por lo que es una
aproximación del comportamiento no lineal de
las curvas experimentales de carga‐
asentamiento.
ƒ
El modelo Winkler asume que la cimentación
se carga uniformemente y que el asentamien‐
to obtenido es uniforme.
ƒ
Los elementos Winkler no están interconecta‐
dos.
85
ƒ
Es un proceso iterativo donde existe intercam‐
bio de información entre el geotecnista y el es‐
tructurista, y por lo regular esta comunicación
es inadecuada
ƒ
Cuando la rigidez de la estructura es mucho
mayor que la del suelo, el proceso no converge
ƒ
No se toma en cuenta la pérdida del contacto
entre la cimentación y el subsuelo en algunas
áreas de la cimentación por efecto de las ex‐
centricidades
donde el desplazamiento en el contacto suelo‐cimentación y P el vector de fuerzas inci‐
dentes en la cimentación.
Se aprecia en la Ec.(7‐6) que la matriz de rigideces del sistema suelo‐cimentación es la
suma de las respectivas matrices de rigidez de la cimentación
y del suelo . Asimis‐
mo, se observa que ambas matrices no son compatibles dado que el grado de libertad en
la matriz de la cimentación (desplazamientos y giros) es mayor que la del subsuelo (des‐
plazamientos). Para superar este inconveniente se han propuestos diferentes estrategias
(El Gendy, 1994) y (El Gendy, 1998), que difieren esencialmente en el tiempo y los recur‐
sos de cómputo requeridos.
7.2.6 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)
Principios. En el MEF, el medio (estructura y subsuelo) se divide en zonas pequeñas cono‐
cidas como elementos. Los elementos están conectados en ciertos puntos (usualmente
esquinas) conocidos con el nombre de nodos, y en estos puntos se calculan los desplaza‐
mientos que son las variables fundamentales del método.
Los desplazamientos en cualquier punto dentro del elemento están relacionados con los
desplazamientos de los nodos. A partir de los desplazamientos se determinan las defor‐
maciones del elementos utilizando las ecuaciones del medio continuo (por ejemplo,
/ , y a partir de las deformaciones es posible determinar el estado de esfuerzos
en los elementos mediante leyes constitutivas (relaciones esfuerzo‐deformación), como
por ejemplo la ley de Mohr‐Coulumb.
Nodos
3
2
3
4
ELEMENTOS
LINEALES
1
2
1
5
3
6
2
1
2
1
1
7
4
6
5
3
1
2
Figura 7.5. Tipos de elementos finitos
86
ELEMENTOS
PARABÓLICOS
Ó
4
8
3
El equilibrio del sistema se lleva a cabo a través del principio del trabajo virtual, por lo que
se asegura una solución única, dadas las condiciones de frontera.
Los elementos que conforman al medio pueden ser triangulares o rectangulares con lados
rectos o curvos (Figura 7.5). Los elementos parabólicos, o curvos, se emplean comúnmen‐
te pero recientemente los lineales se prefieren debido a que los desplazamientos pueden
obtenerse de manera exacta, ya que en los elementos parabólicos se lleva a cabo la inte‐
gración numérica.
Cada paquete de cómputo tiene su biblioteca de elementos; por tanto, es importante que
durante la selección de un programa comercial, se verifique que existan los elementos
apropiados para el problema que se requiere analizar. Por ejemplo, existen paquetes
orientados al diseño estructural, donde se tienen elementos especiales para modelar, por
ejemplo, estructuras de mampostería, o paquetes orientados en geotecnia donde existen
elementos diseñados para representar determinados tipos de subsuelo o condiciones de
flujo de agua. Para mayores detalles del método se recomienda consultar (Zienkiewicz &
Cheung, 1970)
7.2.7 APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE INTERACCIÓN.
Con esta técnica es posible modelar todo el sistema (subsuelo, cimentación y superestruc‐
tura) utilizando elementos continuos, discretos o ambos, ya sea en los espacios 2D y 3D, y
teóricamente es el método con mayor aproximación.
Asimismo, es posible considerar diferentes condiciones de carga (estáticas y dinámicas),
geometrías y condiciones de frontera, y no es necesario recurrir a la evaluación del módu‐
lo de rigidez y separar el análisis estructural del geotécnico, por lo que es una herramienta
con gran potencial en el análisis de interacción suelo‐cimentación‐superestructura.
Un punto esencial en la aplicación del MEF en los problemas de interacción es la selección
adecuada de los elementos a utilizar, lo que implica un conocimiento profundo de las
hipótesis y limitaciones de los elementos, y la discretización de la malla en las zonas donde
existen grandes contrastes de esfuerzos y geometrías, y/o donde se presentan deforma‐
ciones importantes.
En general, para el modelado del subsuelo se han empleado con éxito los elementos sóli‐
dos de orden alto, siguiendo criterios de cedencia del tipo Mohr‐Coulomb. Para represen‐
tar elementos estructurales se emplean elementos viga de orden alto y elementos tipo
cascarón, con comportamiento elástico lineal. Usualmente se ocupan los elementos placa,
pero debe considerarse un mallado denso a fin de representar adecuadamente la defor‐
mada. Un punto esencial es emplear elementos de interfase para conectar los elementos
que representan al suelo con los de la estructura. No hacerlo podría conducir a configura‐
ciones de deformación erróneas, pero principalmente a mecanismos de falla falsos.
Es importante ubicar las fronteras de las malla lo suficientemente lejanas de la zona don‐
de se está estudiando el problema; por ejemplo, a cinco veces el ancho de la cimentación.
Para ello es necesario llevar a cabo análisis de sensibilidad a fin de evitar la influencia de
las fronteras en los resultados.
87
Por otra parte, es buena práctica tratar de aprovechar las condiciones de simetría del pro‐
blema, ya que con ello se reducen tanto los tiempos como los recursos de cómputo nece‐
sarios. Asimismo, es conveniente iniciar los análisis con modelos simples, y en caso dado ir
incrementando la complejidad del problema paulatinamente.
Es deseable que previo a los análisis con el MEF, o durante los análisis preliminares, llevar
a cabo la calibración del modelo, para ello es recomendable resolver el problema utilizan‐
do las soluciones cerradas, aunque los alcances son limitados de estas soluciones, ayudan
a establecer el orden de magnitud de las deformaciones esperadas, y con ello es posible
detectar de manera oportuna errores cometidos durante la construcción de los modelos
con el MEF.
Entre los inconvenientes del MEF destacan los recursos de cómputo considerables que se
requieren para análisis detallados, y el tiempo necesario en la elaboración de las mallas de
elementos finitos cuando la geometría es complicada.
7.3
EJEMPLO DE APLICACIÓN
A fin de ilustrar la importancia de llevar a cabo el análisis de interacción se presenta un
ejemplo (Ibarra et al., 2005), donde se estudia un tren de viviendas de tres niveles que se
desplantan en un área aproximada de 115 m² cada una de ellas, con frente, , de 11.5 m y
fondo, , de 10.1 m. Cada tren cuenta con 10 edificios contiguos separados por juntas
constructivas de 20 cm, por lo que la longitud total del tren es de 115 m (Figura 8.6).
La solución de cimentación es una losa de 15 cm de espesor con contratrabes perimetra‐
les y en los ejes de los muros de carga, que se construye sobre una plataforma de tepetate
compactado de 40 cm de espesor, directamente sobre la costra arcillosa endurecida. Las
contratrabes tienen sección de 50x30cm.
Edificio aislado
Tren de edificios
Figura 7.6 Prototipo y tren de viviendas estudiado y perspectiva de la losa de cimentación con la plata‐
forma de desplante y las zanjas para el colado de las contratrabes
7.3.1 CONDICIONES ESTRATIGRÁFICAS.
La estratigrafía está formada por una costra endurecida por secado, formada por arcilla de
alta plasticidad de espesor variable entre 0.5 m hasta 1.0 m. La resistencia no drenada
88
oscila entre 70 y 100 KN/m2, con módulos de elasticidad variables entre 7,500 y
10,000 KN/m2. Subyace a la costra la formación arcillosa superior compuesta por arcillas
de alta plasticidad, CH, de consistencia blanda a muy blanda, de baja resistencia al esfuer‐
zo cortante y de deformabilidad alta. Tiene un espesor variable desde 6.4m hasta 8.5m en
la parte Sur. La parte Norte del predio presenta propiedades mecánicas diferentes (mayor
resistencia al esfuerzo cortante y menor deformabilidad), debido a la mayor presencia de
intercalaciones de materiales arenosos.
Los materiales arcillosos de esta unidad se encuentran fuertemente preconsolidadados en
la parte superior (OCR>5) y se atenúa este efecto con la profundidad (OCR=2) hasta mos‐
trar arcillas normalmente consolidadas a partir de 8 m de profundidad. Subyaciendo a la
formación arcillosa, se presentan intercalaciones de depósitos lacustres con depósitos
aluviales, encontrándose capas de arcillas con arenas, arenas arcillosas y arenas limosas.
La resistencia no drenada de esta unidad varía entre 40 y 58 KN/m2, con módulos de elas‐
ticidad variables entre 5,000 y 8,000 KN/m2. En la Figura 7.7 se muestra un corte estra‐
tigráfico típico de la zona. Las viviendas se ubican en la parte Norte, donde los espesores
de arcillosos son más reducidos y existe un ligero buzamiento de los estratos.
Para los edificios descritos se determinan los asentamientos a largo plazo, , y su configu‐
ración espacial, las distorsiones máximas, , y los elementos mecánicos en la cimentación
de acuerdo con las siguientes consideraciones:
i.
Análisis de un prototipo aislado (11.5 m x 10.1 m) sin considerar la influencia de los
edificios contiguos, en cimentación totalmente flexible, CF, totalmente rígida, CR, y
con la rigidez real, CE. Las condiciones de carga son uniformemente repartida
(24.9 KN/m²), CUR, y carga lineal en los ejes de muros de carga, CL.
ii.
Análisis de un tren (115 m x 10.1 m) considerando la influencia de los edificios con‐
tiguos, con cimentación totalmente flexible, totalmente rígida y la rigidez real.
Zona Norte
SCE-1 y
SS-1 inGenium
Elev. (m)
100.00
Costra super‐
ficial
95.00
Formación
Arcillosa Sup.
90.00
Intercalación entre
depósitos lacustres
y aluviales
85.00
Resistencia de punta qden kg/cm²
Número de golpes
Resistencia de punta qden kg/cm²
Número de golpes
Resistencia de punta qden kg/cm²
Resistencia de punta qden kg/cm²
Número de golpes
80 00
Figura 7.7 Corte estratigráfico típico
89
Tabla 7‐4 Comparación de resultados
Rigidez
Cargas
-
Uniformes
repardas
-
baja de
cargas en
muros
9.3
0.0
11.4
1.1
10.9
100%
flexible
Uniformes
repardas
17.7
1.34
17.7
2.6
100%
rígIda
Uniformes
repardas
-
11.5
0.0
Losa
elásca con
contratrabes
Losa
elásca con
contratrabes
Uniformes
repardas
16.0
1.0
Uniformes
repardas
-
90
15.6
Settlements s [cm]
-
Settlements s [cm]
Losa
elásca con
contratrabes
Uniformes
repardas
14.1
1.4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Settlements s [cm]
Losa
elásca con
contratrabes
16.8
1.29
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
6.3
7.2
8.1
9.0
9.9
10.8
11.7
12.6
13.5
14.4
15.3
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
2
4
0
Settlements s [cm]
100%
flexible
Uniformes
repardas
Settlements s [cm]
100%
flexible
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Settlements s [cm]
analíco MEF
Settlements s [cm]
Módulo
Tren
10
10
0
20
30
10
20
30
40
x [m]
6
8
10
x [m]
6
8
10
x [m]
6
8
10
8
10
x [m]
6
x [m]
60 70
80
20
x [m]
30
40
50
x [m]
60 70
40
50
80
90 100 110
50
90
100 110
iii. Las condiciones de carga son uniformemente repartida, CUR, y carga lineal en los ejes
de muros de carga, CL.
7.3.2 RESULTADOS.
En la Tabla 7‐4 se muestran de manera resumida los asentamientos máximos calculados a
largo plazo, las distorsiones y las configuraciones deformadas en la sección longitudinal
central de la losa de cimentación calculados con las diferentes técnicas y condiciones de
análisis antes expuestas. Se indica también en la tabla la rigidez de cimentación conside‐
rada, la forma de aplicación de la carga y si se analiza un edificio o el conjunto de ellos. En
todos los análisis se consideró una estratigrafía horizontal, excepto en el último, donde se
modeló con el buzamiento de los estratos que se muestra en el corte estratigráfico (Figura
7.7). Para dos de los casos estudiados, se consigna el cálculo del asentamiento al centro de
la cimentación considerando la distribución de esfuerzos de Boussinesq para un medio
uniformemente cargado con cimentación flexible.
De la inspección de los resultados de la Tabla 7‐4, se observa que existen diferencias im‐
portantes al considerar una u otra hipótesis en el análisis. En el caso de una cimentación
totalmente flexible en un edificio aislado, se tiene la configuración deformada típica que
se muestra en la Figura 7.8, con asentamiento máximo al centro del área de carga (14.3
cm) y mínimos en las esquinas (5.2 cm). Las secciones mostradas corresponden a las de‐
formadas longitudinales desde el extremo hasta el centro de la losa a cada medio metro.
Las distorsiones máximas se presentan en la periferia y para el caso estudiado se obtienen
valores de 1.4%.
A = 11.50 [m]
x [m]
5
14.36
13.62
12.88
12.14
11.40
10.66
9.92
9.18
8.44
7.70
6.96
6.22
5.48
0
1
B = 10.00 [m]
Settlements s [cm]
6
2
3
4
5
6
7
9
10
11
Centro
extremo
7
8
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
0
10
20
30
extremo
40
x [m]
50
60
b) Edificios asilado, sección longitudinal
y [m]
70
80
90
100
110
Settlements s [cm]
Settlements s [cm]
a) Edificio aislado
Centro
12
13
14
15
16
17
18
c) tren de edificios, sección longitudinal
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0
1
2
3
extremo
4
5
6
7
8
9
10
Centro
d) Tren de edificios, sección transversal
Figura 7.8 Cimentación flexible, edificio asilado, a) contorno de asentamientos, b) sección longitudinal,
cimentación flexible tren de edificios c) sección longitudinal, d) sección transversal
91
Si se toma en cuenta la influencia de todo el tren de viviendas, es decir, de los 10 edificios,
se tiene la configuración deformada que se muestra en la Figura 7.8. Nótese que los dife‐
renciales máximos en sentido longitudinal se presentan en los primeros 11 m, es decir,
para una relación /
0.1 y llegan a valores del 2.6%; más allá de /
0.1, los dife‐
renciales longitudinales son mínimos y la sección central del tren de viviendas
presenta el asentamiento máximo (17.7 cm), casi constante en todo el intervalo. Por su
parte, el comportamiento en la dirección transversal es distinto y se tienen distorsiones
importantes en los tercios extremos que alcanzan valores del 2.7%. Evidentemente en los
cálculos anteriores no se toma en cuenta la rigidez de la cimentación. Al incluirla en el
modelado, los asentamientos totales y diferenciales disminuyen de manera importante.
En la Figura 7.9 se comparan las configuraciones deformadas para un edificio aislado y
para un tren de edificios con cimentación 100% flexible, cimentación 100% rígida y cimen‐
tación con la rigidez real dada por la losa y las contratrabes. En los casos del tren deedifi‐
cios solo se presenta la mitad de la deformada máxima dada la simetría del problema. Se
observa que los asentamientos máximos considerando un solo edificio con cimentación
flexible, rígida o elástica subestiman de manera importante los asentamientos ya que co‐
rresponden al 84%, 81% y 74% de su similar considerando todo el bloque de edificios. Por
otro lado, las diferencias entre las configuraciones deformadas son evidentes; en efecto,
para los casos analizados con carga uniformemente repartida se presentan deformadas
suaves, mientras que al considerar las cargas por los muros, las juntas y la rigidez de la
cimentación, la deformada es mas accidentada y se observan incluso las ondulaciones que
distinguen entre una losa de cimentación y otra contigua. Lo anterior conduce a tener
distribuciones de momentos y fuerzas de contactos diferentes más realistas por supuesto,
en el último caso.
La forma en que se aplica la carga es también un factor que influye en la configuración de
asentamientos, tal como se muestra en la Figura 7.10, en la que se comparan los asenta‐
mientos en la sección central de un solo edificio para una losa cargada con carga unifor‐
memente repartida o con cargas lineales en los ejes de los muros. Para esta última condi‐
Distancia longitudinal, x, en m
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Asentamiento, en cm
6
Edificio. c flexible
Edificio. c rígida
Edificio. c elástica
Tren. c flexible
Tren. c rígida
Tren. c elástico
8
10
12
14
16
18
Figura 7.9 Deformadas para cimentación de rigidez variable: edificio aislado y tren de edificios
92
Distancia longitudinal, x, en m
Asentamiento, en cm
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8
10
12
Carga sobre muros
14
Carga repartida
16
18
Figura 7.10 Comparación de deformadas para aplicaciones diferentes de la carga: edificio aislado
ción se observa una deformada asimétrica producto de una ligera excentricidad en las
cargas.
Se construyó también un modelo tridimensional con elementos finitos con el código
PLAXIS para comparar los valores de deformación con los modelos anteriores. Una vista
de la malla se muestra en la Figura 7.11.
El modelo se construyó con tres prototipos únicamente debido a la capacidad del equipo
de cómputo que impidió agregar más losas del tren de viviendas. Los asentamientos obte‐
nidos en una sección longitudinal por el centro de las losas se muestran en la Figura 7.12,
donde se obtiene que el asentamiento al centro del tren de tres losas es de 23 cm, mayor
al registrado con los modelos anteriores.
Figura 7.11. Malla de elementos finitos
93
Figura 7.12 Desplazamientos verticales obtenidos con el modelo de elementos finitos
7.3.3 MEDICIONES Y OBSERVACIONES DE CAMPO.
En la Figura 8.13 se muestran configuraciones deformadas de trenes de viviendas obser‐
vadas a 1.5 años de concluida su construcción. Si bien aún las mediciones realizadas son
escasas para definir claramente el comportamiento de las viviendas, toda vez que las de‐
formaciones por peso propio seguirán desarrollándose por los siguientes años. Sin embar‐
go, permiten esbozar opiniones respecto al comportamiento esperado:
ƒ El asentamiento máximo observado es de 11 cm en promedio, que es menor al deter‐
minado en los modelos dado el desarrollo parcial de la consolidación.
ƒ De acuerdo con el caso estudiado, se observa la deformada típica ondulada de una lo‐
sa de cimentación, en especial los efectos de borde. Este comportamiento también se
refleja en los resultados numéricos.
Figura 7.13.a Deformadas medidas en tren de viviendas
94
Figura 7.14.b Deformadas medidas en tren de viviendas
7.3.4 CONCLUSIONES.
En este ejemplo se estudiaron los asentamientos, distorsiones y deformadas de la losa de
cimentación de trenes de vivienda, empleando diferentes aproximaciones analíticas y
numéricas para representar al suelo y a la cimentación. Derivado de los análisis y de las
mediciones y observaciones de campo, se emiten las conclusiones siguientes:
ƒ Los cálculos para estructuras individuales subestiman hasta en un 26% el asentamien‐
to máximo generado por el peso propio del conjunto o tren de edificios.
ƒ Considerar las losas sin rigidez o con rigidez infinita, es válido únicamente para obte‐
ner las cotas inferior y superior del asentamiento generado por el peso propio.
ƒ La influencia de la rigidez de la losa y sus contratrabes se ignora cuando se emplean
modelos simples. En efecto, si se determina el asentamiento considerando una cimen‐
tación elástica (con contratrabes, por ejemplo), la cimentación flexible genera un
130% tanto en el asentamiento como en la distorsión, y no induce momentos ni con‐
centraciones de esfuerzos, en cambio la rígida subestima el asentamiento en un 82% y
reduce la distorsión al 100%.
ƒ Las distorsiones y configuraciones deformadas por peso propio mas realistas solo se
pueden estudiar con las técnicas numéricas en 3D, donde es posible tomar en cuenta
las heterogeneidades presentes en el subsuelo, las condiciones de descarga reales que
inciden a la cimentación, el valor y distribución real de la rigidez de la cimentación
(presencia de contratrabes) y la cercanía de las edificaciones colindantes.
ƒ Las configuraciones de las deformadas determinadas con los modelos numéricos se
aproximan de manera importante a las observadas en los trenes de vivienda estudia‐
dos.
95
8
ANÁLISIS NO LINEAL
En caso de requerirse, se presentan lineamientos y recomendaciones para realizar un aná‐
lisis no lineal, ya sea del tipo empuje monótono o dinámico paso a paso.
8.1
INTRODUCCIÓN
Aunque el daño extensivo observado en estructuras de mampostería después de varios
sismos ha llegado a ganarle a la mampostería una mala reputación como material sismo‐
rresistente, las pruebas experimentales llevadas a cabo en México y el resto de América, y
algunos países de Europa y Asía, han dejado claro que con el debido cuidado durante su
diseño y detallado, las estructuras de mampostería resultan una buena alternativa para la
sismorresistencia. A pesar de lo anterior, es importante mencionar que todavía hay mu‐
chos casos de relevancia para la práctica de la ingeniería estructural en donde no se cuen‐
ta con la información suficiente acerca del comportamiento de algunos muros y sistemas
estructurales de mampostería.
Los resultados experimentales varían notablemente en función de la forma en que se apli‐
can las cargas (cuasi‐estáticas o dinámicas) a los especímenes de mampostería. Bajo estas
circunstancias, el tipo de prueba experimental llevado a cabo se vuelve un factor determi‐
nante en la calidad de la información con que se cuenta. Dado que la gran mayoría de la
información disponible a la fecha ha sido derivada de ensayes de carácter cuasi‐estático,
los requerimientos de diseño incluidos actualmente en los códigos de diseño para estruc‐
turas de mampostería han sido calibrados a partir de este tipo de pruebas. Se ha conside‐
rado que este enfoque resulta en diseños conservadores.
La envolvente de comportamiento histerético aporta información relevante para entender
el comportamiento de muros de mampostería sujetos a cargas laterales cíclicas. Conforme
muestra la Figura 8.1, dicha envolvente corresponde a los puntos máximos asociados a
cada ciclo de carga aplicado experimentalmente. Dado que el comportamiento de la
mampostería suele estar dominado por componentes de corte (Sánchez et al., 1996), su
respuesta tiende a estar caracterizada, aún para deformaciones relativamente pequeñas,
por un importante deterioro de sus propiedades estructurales.
Figura 8.1. Envolvente del comportamiento histerético de muros de mampostería confinada
96
En la Figura 8.2 y la Figura 8.3 se identifican zonas bien definidas asociadas a la envolvente
del comportamiento histerético de muros de mampostería confinada:
a) Comportamiento elástico. A niveles pequeños de desplazamiento y esfuerzo, ca‐
racterizados por la ausencia de agrietamiento diagonal, la mampostería exhibe un
comportamiento prácticamente elástico.
b) Degradación de rigidez. Después de que se presenta agrietamiento diagonal, los
muros de mampostería exhiben una pendiente post‐elástica positiva (aunque mu‐
cho menor que la que exhibían en su rango elástico de comportamiento), lo que
les permite alcanzar una resistencia máxima que es considerablemente mayor a la
correspondiente al primer agrietamiento.
c) Degradación de rigidez resistencia. Una vez que alcanza su resistencia máxima, la
mampostería exhibe una pendiente negativa asociada a una pérdida de resistencia
que evoluciona hasta la falla del muro.
Figura 8.2. Evolución del daño estructural en muros de mampostería confinada
Figura 8.3. Envolvente para mampostería confinada según (Flores & Alcocer, 1995) (ver Tabla 8‐1)
97
Tabla 8‐1. Parámetros empleados en el modelo de (Flores & Alcocer, 1995)
Mampostería confinada sin refuerzo
horizontal.
1.25
0.8
Mampostería confinada con refuer‐
zo horizontal.
1.5
1.1
0.003
0.005
0.006
0.01
Con base en evidencia experimental, (Flores & Alcocer, 1995) han propuesto una curva
trilineal para caracterizar la envolvente del ciclo histerético de muros de mampostería
confinada hechos con piezas macizas de barro recocido. Dicha propuesta, basada en la de
(Meli, 1975), se diferencia en que el tercer tramo considera deterioro de resistencia.
El modelo de (Flores & Alcocer, 1995) se define a partir del valor de seis parámetros, va‐
rios de los cuales pueden estimarse directamente a partir de las expresiones establecidas
por las Normas Técnicas Complementarias para Diseño de Estructuras de Mampostería
(NTCM, 2004), para estimar la resistencia de diseño de muros de mampostería confinada.
0.5
0.3
1.5
(8‐1)
Mientras que la Tabla 8‐1 indica cómo se determinan los parámetros involucrados en el
modelo, la Figura 8.3 muestra esquemáticamente el modelo de (Flores & Alcocer, 1995)
Donde
corresponde al cortante de diseño propuesto en las NTCM, es la altura de
entrepiso,
es la distorsión de agrietamiento diagonal de la mampostería,
es
,
es la distorsión a la que
la distorsión a la que se alcanza la resistencia máxima (
se alcanza el cortante último
,y
es la rigidez elástica obtenida a partir de méto‐
dos tradicionales de mecánica de materiales.
8.2
DEGRADACIÓN DE RIGIDEZ
Modelos como el de Flores y Alcocer permiten caracterizar la resistencia, rigidez y capaci‐
dad de deformación de elementos y estructuras de mampostería. Sin embargo, el plan‐
teamiento de un método para estimar la respuesta dinámica máxima de una estructura
implica manejar otro tipo de información, como lo es el cambio de estas propiedades en
función de las demandas máxima y acumulada de deformación. En particular, un sistema
estructural de mampostería exhibe degradación de rigidez y resistencia en presencia de
cargas cíclicas, situación que puede complicar de manera importante su análisis estructu‐
ral.
Una forma de establecer el grado de deterioro de la rigidez lateral de las estructu‐
ras de mampostería consiste en el uso del concepto de rigidez de ciclo. Dentro de este
contexto, la rigidez de ciclo se define como la pendiente de la línea secante que une al
origen del sistema coordenado con el punto asociado al cortante máximo/distorsión
máxima en cada ciclo de carga (Figura 8.4). Los lazos de histéresis de la mampostería se
estabilizan a través de la aplicación de varios ciclos de deformación constante cuando su
98
Figura 8.4. Cálculo de la rigidez de ciclo.
amplitud es menor que
. Si la distorsión de los ciclos se controlara dentro de este
umbral, sería posible aplicar de manera razonable el concepto de rigidez de ciclo a través
de considerar la rigidez promedio que corresponde a los diferentes ciclos.
Es práctica común normalizar la rigidez de ciclo por la rigidez elástica inicial de la mampos‐
tería. A partir de resultados experimentales, (Ruiz‐García et al., 1998) proponen la siguien‐
te expresión para estimar la rigidez de ciclo en muros de mampostería confinada sin re‐
fuerzo interior:
1
1
.
5300
(8‐2)
donde es la rigidez de ciclo; , la rigidez elástica; , la distorsión (mayor que
),
definida como el desplazamiento relativo de entrepiso normalizado por la altura del mis‐
mo; y
, la distorsión lateral asociada al agrietamiento diagonal de la mampostería.
8.3
MODELO MODIFICADO DE LA COLUMNA ANCHA
S han planteado, entre otros, dos hechos: A) El modelo de la columna ancha representa
una alternativa viable para modelar el comportamiento elástico de los muros de mampos‐
tería, y B) Las deformaciones que exhiben los muros de mampostería, particularmente en
su rango no‐lineal de comportamiento, tienden a estar regidas por corte. A partir de estos
dos hechos, aquí se plantea un modelo modificado de la columna ancha, que asocia a la
componente de deformación por corte en la totalidad de la degradación de la rigidez late‐
ral del muro de mampostería. Esto implica que después del agrietamiento diagonal de la
mampostería, la rigidez a flexión se mantiene constante mientras que la rigidez lateral por
corte es modificada conforme al grado de degradación que exhibe el muro. En términos
de la rigidez de ciclo, este planteamiento puede expresarse conforme a lo siguiente:
(8‐3)
99
Donde
es la rigidez de ciclo del muro de mampostería correspondiente a una distorsión
dada, y / es el factor de degradación de la rigidez del muro que depende de la de‐
manda de distorsión en el muro (como ejemplo ver Ec.(8‐2)).
Para evaluar la pertinencia de utilizar el modelo modificado de la columna ancha
para el análisis estructural de edificaciones de mampostería, se recurrió a modelar por
medio del mismo los especímenes W‐W, WBW, WWW y 3D probados por Alcocer et al.
(1993 y 1994). Conforme a lo que muestra esquemáticamente la Figura 8.5; se estimó con
la Ec.(8‐3) el valor de
para cada espécimen y un valor dado de / . En caso de que el
espécimen tuviera más de un muro, el área a corte fue degradada en todos ellos en la
misma proporción.
Figura 8.5 Obtención analítica de la curva de degradación de rigidez.
Figura 8.6 Curvas analíticas de degradación de rigidez a corte.
Después se buscó el punto en que la línea recta definida por
intercepta la envolvente
definida para el espécimen de acuerdo a la propuesta de Flores y Alcocer. Una vez encon‐
trado el punto de intersección se encontró el valor de distorsión de entrepiso asociado a
dicho punto, el cual se asocia al valor dado de / con el cual inicia el proceso resumido
en la Figura 8.5. Los resultados obtenidos para los diferentes especímenes y valores de
/ se ilustran en la Figura 8.6.
100
A partir de una regresión simple, para ajustar una curva teórica a las curvas mostradas en
la Figura 8.6, se obtuvo lo siguiente:
.
2500
donde /
entrepiso.
1.0
(8‐4)
es ahora el factor de degradación de rigidez a corte, y
la distorsión de
La Figura 8.7 compara los resultados obtenidos con las Ec.(8‐2) y (8‐3). Note que mientras
que la Ec.(8‐2) presenta la relación entre la rigidez total de ciclo y la rigidez total elástica
medida experimentalmente en especímenes de mampostería, la Ec.(8‐3) ofrece la misma
relación para la rigidez a corte estimada analíticamente en varios especímenes de mam‐
postería. Dado que las curvas derivadas de ambas ecuaciones comparan razonablemente
bien, puede concluirse que: A) La degradación de las propiedades estructurales de un mu‐
ro de mampostería están asociados en lo esencial a su comportamiento a corte; y B) El
modelo modificado de la columna ancha aquí propuesto tiende a arrojar resultados razo‐
nables durante el modelado de las edificaciones de mampostería. Note que las ecuaciones
(8‐2) y (8‐4) solo aplican a muros de mampostería confinada sin refuerzo interior, lo que
implica que los coeficientes en estas ecuaciones deben recalibrarse para representar la
degradación de rigidez de otros tipos de mampostería.
Ec 13.2
Ec 13.4
Figura 8.7 Comparación de funcionales para estimar el factor de degradación de ciclo.
8.4
ANALISIS NO LINEAL DE EDIFICACIONES DE MAMPOSTERÍA CONFINADA
La curva de capacidad de una edificación (discutida en detalle con anterioridad) se obtiene
con la ayuda de un análisis estático no‐lineal bajo desplazamiento lateral monótonamente
creciente. Durante este análisis, se aplica un patrón de cargas laterales que aunque varía
en magnitud, mantiene su valor relativo en altura. Las fuerzas variables se aplican paso a
paso hasta que la edificación alcanza su estado máximo de utilidad (usualmente asociado
a la falla o colapso de la misma). En función de los resultados obtenidos de este análisis, es
posible establecer una curva que relaciona el desplazamiento lateral global en la edifica‐
101
ción con el cortante basal actuante. Cambios importantes en la curva de capacidad apor‐
tan información relevante sobre el comportamiento y nivel de daño en la estructura; es
decir, proporciona herramientas para establecer las demandas de desplazamiento asocia‐
das a la fluencia de la estructura, colapso de la estructura, etc.
Vale la pena recordar que para el análisis no lineal de marcos momento‐
resistentes, el comportamiento no‐lineal se considera concentrado en articulaciones
plásticas que usualmente se ubican en los extremos de columnas y vigas. Normalmente se
desprecian para estos elementos la contribución de los efectos de corte, de tal manera
que solo se considera durante el análisis sus propiedades a flexión. En contraste, los efec‐
tos de corte en muros de mampostería son importantes y deben tomarse explícitamente
en cuenta durante su modelado analítico.
El análisis no‐lineal de las estructuras debe considerar dos tipos de no linealidad: la
que está relacionada con el comportamiento del material y la que está relacionada con la
configuración deformada de la estructura. En el caso de las estructuras de mampostería,
el umbral de desplazamiento asociado a su estado máximo de utilidad suele ser tan bajo
que usualmente es posible despreciar el segundo tipo de no linealidad. Debido a lo ante‐
rior, los análisis que aquí se presentan solo consideran la no linealidad de la mampostería.
El modelado propuesto en este artículo para una edificación de mampostería implica
modelar a su vez cada muro de mampostería a través de una columna ancha. Mientras
que la rigidez a flexión de las columnas anchas se mantiene constante durante el análisis,
la rigidez a corte se modifica de acuerdo a lo indicado en la Tabla 8‐1 (modelo de Flores y
Alcocer). La Figura 8.8 ilustra esquemáticamente la idealización de los muros de mampos‐
tería para dos condiciones de apoyo. Note que las propiedades que definen el comporta‐
miento no lineal de la mampostería se asignan a una articulación en la base de los ele‐
mentos.
Las curvas de capacidad mostradas en este artículo se obtuvieron con el programa
SAP2000 Advanced (CSi, 2004). La Figura 8.9 muestra esquemáticamente el modelo modi‐
ficado de la columna ancha utilizado para analizar el espécimen 3D estudiado experimen‐
talmente por (Alcocer et al., 1993).
Conforme a lo mostrado, el comportamiento no lineal de los muros de mampostería
se modela a través de una articulación ubicada en su base que contempla sus propiedades
a corte.
102
Figura 8.8. Idealización del modelo de la columna ancha
Figura 8.9 Modelo modificado de la columna ancha para espécimen 3D
La Figura 8.10 compara los resultados derivados de los modelos analíticos de los especí‐
menes W‐W, WBW, WWW y 3D (Alcocer et al., 1993) (Alcocer et al., 1994) con los valores
medidos experimentalmente en dichos especímenes. A pesar de la elevada variabilidad
exhibida por los resultados experimentales, puede decirse que el modelo modificado de la
columna ancha ofrece estimaciones razonablemente conservadoras de las curvas de capa‐
cidad de
los especímenes bajo consideración. Note que tanto la rigidez elástica como la resistencia
asociada al primer agrietamiento son capturadas con elevada precisión por el modelo
propuesto.
103
Figura 8.10. Respuesta experimental y analítica del espécimen W‐W.
Figura 8.11. Progreso del daño en el espécimen 3D
Es importante notar que aparte de estimar de manera razonable el comportamiento glo‐
bal de los especímenes a través de su curva de capacidad, el modelo propuesto en este
artículo es capaz de establecer de manera razonable la evolución del daño estructural en
los diferentes muros de mampostería. Esto se muestra en la Figura 8.11 para el espécimen
3D, el cual exhibió en laboratorio daño severo en la planta baja y daño leve en la planta
superior.
Antes de terminar esta sección, vale la pena mencionar que se hicieron estudios para ob‐
servar el efecto de degradar la componente por flexión de la rigidez en la misma propor‐
ción en que se degrada la componente por corte. Al respecto, (Zuñiga, 2008) observa que
el impacto de degradar la componente a flexión es mínimo en relación con los resultados
arrojados por el modelo modificado de la columna ancha aquí propuesto.
104
8.5
DETERMINACIÓN DEL GRADO DE DAÑO EN LA MAMPOSTERÍA
Conforme a lo ilustrado en la Figura 8.1, uno de los objetivos de una metodología de eva‐
luación por desempeño consiste en establecer el nivel de daño en los elementos estructu‐
rales de una edificación en función de sus demandas locales y globales de deformación.
Por tanto, el modelo planteado hasta el momento debe complementarse con información
como la que se provee en la Tabla 8‐2 y en Tabla 8‐3. Una vez que se haya estimado la
demanda esperada de desplazamiento en la edificación para una excitación sísmica de
interés, es posible establecer, a partir de los resultados de un análisis estático no lineal, la
demanda máxima de distorsión en los muros de mampostería. A partir del valor de la dis‐
torsión crítica y las tablas en cuestión, es posible determinar el estado de daño en los mu‐
ros (Tabla 8‐3) o revisar si dicho estado de daño satisface un estado límite bajo considera‐
ción (Tabla 8‐4).
Tabla 8‐2. Daño y deterioro de las propiedades estructurales en muros de mampostería confinada (Ruiz‐
García et al., 1998)
Distorsión
Estado de daño observado.
K/Ko
V/Vmax
Grado de daño.
(%)
Fisuras horizontales por flexión. Fisuras ver‐
ticales por flexión cercanas al paño de los
0.04
0.8
0.5
Ligero (I)
castillos.
Primer agrietamiento por tensión diagonal
0.13
0.35
0.85
Moderado (II y III)
de la mampostería.
Inicio de la penetración del fisuramiento
0.20
0.27
0.90
Fuerte (IV)
inclinado en los extremos de los castillos.
Agrietamiento en forma de “X” en todos los
0.23
0.24
0.98
Fuerte (IV)
paneles de mampostería.
Aplastamiento del concreto, agrietamiento
horizontal distribuido en la altura de los
0.32
0.18
1.0
Fuerte (V)
castillos.
Concentración de grietas diagonales en los
extremos de los castillos. Desconchamiento
0.42
0.13
0.99
Grave (V)
del recubrimiento del concreto.
Concentración del daño en los extremos
Grave (no se clasifi‐
0.50
0.10
0.80
inferiores de los castillos. Plegamiento del
ca)
refuerzo longitudinal (Deformación en “S”).
Tabla 8‐3. Estados límite para muros de mampostería
confinada (Astroza & Schmidt, 2004)
Estado Límite.
Distorsión (%)
Estado límite de servicio
0.05
Estado límite operacional
0.10
Estado límite de daño controlado
0.17
Estado límite de resistencia
0.22
Estado límite ultimo
0.44
La Figura 8.2 resume de manera esquemática la información contenida en la Tabla 8‐2.
Note que la evolución del daño estructural en las edificaciones de mampostería depende
de las demandas máximas de deformación, y que la deformación máxima que debe
105
Figura 8.12. Daño estructural en mampostería en función de la demanda de deformación lateral
permitirse en una estructura de mampostería durante una excitación sísmica severa debe
estar acotada por la distorsión en que se alcanza el cortante máximo (0.35 % para el caso
de la Figura 8.12). Si la demanda de desplazamiento lateral rebasa dicho umbral, la mam‐
postería exhibe una pendiente negativa que inestabiliza de manera importante la respues‐
ta dinámica de la edificación. Esto tiene dos consecuencias altamente negativas: A) El nivel
de seguridad estructural de la edificación disminuye considerablemente y B) Se reduce
sustancialmente la posibilidad de obtener estimaciones razonables de las demandas de
desplazamiento en la edificación.
8.6
SISTEMA EQUIVALENTE DE UN GRADO DE LIBERTAD
El proceso de evaluación por desempeño de una edificación requiere estimar su demanda
máxima de desplazamiento lateral. Esto a su vez implica considerar explícitamente el
comportamiento histerético de las estructuras de mampostería durante la estimación de
su respuesta dinámica ante la excitación sísmica de diseño. Dado que las estructuras de
mampostería tienden a poseer un periodo fundamental de vibración que es normalmente
similar o menor al periodo dominante de las excitaciones sísmicas, su respuesta dinámica
tiende a estar dominada por su modo fundamental de vibración. Bajo estas circunstancias,
se vuelve atractivo estimar sus demandas máximas de desplazamiento a través del uso de
un sistema equivalente de un grado de libertad (1GL).
Durante el planteamiento del sistema equivalente, es importante considerar la informa‐
ción necesaria para definir el comportamiento global de la edificación ante acciones
dinámicas de carácter sísmico. Entre la información relevante esta la distribución de rigi‐
dez lateral y, por tanto de deformación, en altura. Es importante señalar que dicha distri‐
bución depende del nivel de daño estructural. En particular, una estructura de mampos‐
tería sin daño tiende a exhibir una distribución constante de rigidez en altura, lo que resul‐
ta en un patrón de cargas y deformaciones laterales cercano al triangular. Conforme se
incrementa la demanda de desplazamiento en la estructura, el daño estructural tiende a
acumularse en la planta baja, lo que resulta que la rigidez en dicha planta se reduzca con‐
siderablemente con respecto a la de los otros pisos y, por tanto, que el patrón de cargas
laterales evolucione de uno triangular a uno rectangular. Dado que, como se discutirá en
detalle más adelante, las propiedades estructurales del sistema equivalente de 1GL de‐
penden de la distribución de desplazamiento lateral en altura (y por tanto de la rigidez
106
lateral en altura), es necesario tener una estimación inicial razonable de la máxima de‐
manda de desplazamiento lateral en la edificación o, en su caso, iterar hasta conciliar la
distribución de rigidez lateral con la demanda máxima de desplazamiento de azotea.
A partir de la curva de capacidad de una estructura de mampostería (obtenida con
el modelo modificado de la columna ancha), es posible establecer la curva de capacidad
de su sistema equivalente de 1GL. Aunque la curva de capacidad de las edificaciones gene‐
ralmente se establece en términos de su desplazamiento de azotea, durante el plantea‐
miento del sistema equivalente de 1GL de una estructura de mampostería vale la pena
referir su curva de capacidad con respecto al desplazamiento lateral del primer nivel. Esto
debido a que precisamente es el primer nivel el que prácticamente acumula el daño es‐
tructural en la edificación. Las ecuaciones 6 a 9, planteadas originalmente por Ayala
(1998), resumen la transformación de la curva de capacidad de una edificación a la curva
de capacidad del sistema equivalente de un 1GL, la cual se ubica dentro de un espacio de
seudo‐aceleración, , contra seudo‐desplazamiento, :
∑
∑
∑
∑
8‐5
∑
8‐6
8‐7
Δ
8‐8
donde N es el número de pisos;
, la masa correspondiente al piso ;
, el valor aso‐
ciado al piso i correspondiente a la forma modal ;
, el factor de participación modal
para el piso en el modo ; , el factor de participación del cortante basal para el modo ;
, el peso total de la estructura; , el cortante basal obtenido de la curva de capacidad; y
Δ , el desplazamiento lateral del entrepiso obtenido de la curva de capacidad del primer
nivel. Para convertir la curva de capacidad de varios a un grado de libertad, se van toman‐
do directamente de un punto de la curva de capacidad, pares de valores de y Δ . Estos
valores se convierten conforme a las Ec.8‐5 a 8‐8 para obtener un punto de la curva de
capacidad correspondiente al sistema equivalente de 1GL. Este proceso se repite hasta
definir completamente la curva de capacidad que se desea establecer.
Una de las ventajas de obtener la curva de capacidad del sistema equivalente de
1GL en un espacio espectral, es que esta queda planteada en términos que se manejan
usualmente en la práctica del diseño sísmico, tales como espectros de aceleraciones y
desplazamientos. Una vez obtenida la curva de capacidad del sistema equivalente, esta se
idealiza a través de una curva bilineal, lo cual define la envolvente del comportamiento
histerético de la estructura. La Figura 8.13 muestra el modelo bilineal propuesto para una
edificación de mampostería, el cual no ofrece resultados razonable cuando el desplaza‐
miento global de la estructura excede el desplazamiento asociado al punto de
107
Figura 8.13. Simplificación de la curva de comportamiento a una curva bilineal
Figura 8.14. Comparación de respuesta experimental con simulación analítica, nivel 1 del Espécimen 3D [a)
Experimental, b) Analítica]
Tabla 8‐4 Parámetros del modelo modificado de los tres parámetros
Parámetros del modelo analítico.
Tipo de mampostería
HC
HBD
HBE
Mampostería confinada
2.5
0.020
0.040
HS
0.010
resistencia máxima.
Aparte de la envolvente de comportamiento histerético de la mampostería, un análisis
dinámico requiere establecer reglas que definan la degradación de las propiedades estruc‐
turales del sistema equivalente de 1GL en función de las demandas máxima y acumulada
de desplazamiento lateral. Al respecto, (Ruiz‐García & Miranda, 2003) observan que la
respuesta histerética de las estructuras de mampostería puede modelarse de manera ra‐
zonable a partir del modelo modificado de los tres parámetros (Cheok et al., 1998). A par‐
tir de la calibración de este modelo para estimar el comportamiento histerético del espé‐
cimen 3D, se obtienen los valores indicados en la Tabla 8‐4 para los diferentes parámetros
del modelo modificado de los tres parámetros.
Las Figura 8.14 compara los resultados experimentales con aquellos derivados del modelo
modificado de los tres parámetros para el espécimen 3D. Puede concluirse que el modelo
modificado de los tres parámetros estima de manera razonable la capacidad de disipación
108
de energía del espécimen, y que es capaz de modelar cercanamente la historia de cargas
en el mismo.
Si el sistema equivalente de 1GL es capaz de capturar la envolvente y las propiedades del
ciclo histerético, entonces es posible estimar de manera razonable las demandas máximas
de desplazamiento en las edificaciones de mampostería. Vale la pena mencionar que el
uso de un sistema equivalente de 1GL como el aquí propuesto requiere calibrar los resul‐
tados analíticos con información experimental. Hasta la fecha esto no ha sido posible por
la falta de resultados experimentales obtenidos en pruebas dinámicas.
8.7
CONCLUSIONES
El modelo modificado de la columna ancha propuesto en este artículo es capaz de captu‐
rar de manera razonable la envolvente del comportamiento histerético de las edificacio‐
nes de mampostería. Un análisis estático no lineal bajo deformación lateral monótona‐
mente creciente de una edificación de mampostería modelada de esta manera ofrece una
estimación razonablemente conservadora de su curva de capacidad. Otra ventaja del mo‐
delo propuesto es que permite establecer el nivel de daño estructural relativo que ex‐
hiben los diferentes muros de la edificación, lo que a su vez permite identificar la ocurren‐
cia del fenómeno de planta baja débil y flexible.
El modelo propuesto asigna a cada muro de la edificación de mampostería una co‐
lumna ancha cuyas propiedades se obtienen de la envolvente de la curva carga‐
deformación propuesta por (Flores & Alcocer, 1995) para muros de mampostería confina‐
da. La degradación de las propiedades estructurales se asigna exclusivamente a las pro‐
piedades a corte de cada columna ancha, de tal manera que el modelo propuesto pudiera
no ser aplicable a estructuras que exhiban muros esbeltos.
La evaluación del desempeño sísmico de una edificación de mampostería requiere
de la estimación de su demanda máxima de desplazamiento lateral. Dado que en la ma‐
yoría de los casos, el modo fundamental de vibración domina la respuesta dinámica de las
edificaciones de mampostería, la estimación de dicha demanda puede hacerse de manera
razonable a través de un sistema equivalente de un grado de libertad. Dentro de este con‐
texto, el sistema equivalente debe ser capaz de capturar la envolvente y las propiedades
del ciclo histerético de la mampostería.
Una vez obtenido el desplazamiento lateral máximo en la edificación de mampostería, es
posible evaluar el nivel de daño estructural en los diferentes muros de mampostería, y así
evaluar el desempeño sísmico de la edificación.
Es importante reconocer que la información que se dispone hasta el momento no
abarca muchas situaciones que pueden presentarse en edificaciones reales de mampos‐
tería. Por tanto, es necesario seguir llevando a cabo estudios que integren los aspectos
experimental, analítico y de campo para aportar información que permita calibrar de me‐
jor manera modelos como el que aquí se presenta. A partir de esto, será posible estable‐
cer criterios más racionales para el diseño de las edificaciones de mampostería.
109
9
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