OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS BIENVENIDOS OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS CAPÍTULO I FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN 1.1 Nociones básicas 1.2 Optimización convexa 1.3 Teoría de grafos y aplicaciones 1.4 Programación lineal y no lineal 1.5 Método simplex dualidad OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS NOCIONES BÁSICAS DE OPTIMIZACIÓN Qué es la Optimización? Cuáles son los elementos que intervienen en un problema de Optimización? • • • Variables de decisión Función objetivo Restricciones OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN La Investigación operativa tienes sus orígenes en la Segunda Guerra Mundial, como una necesidad de asignación de los escasos recursos en las operaciones militares, problemas tácticos y estratégicos. Estas técnicas hoy en día se han extendido en los diferentes ámbitos de las Empresas. Disciplinas típicas de la Investigación de Operaciones son la Optimización y entre sus técnicas tenemos: OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Dentro de los resultados del aprendizaje están los de formular y resolver modelos de programación lineal y no lineal y la de planificar óptimamente las partes del SEP, razón por la cual le daremos mucho énfasis a esta parte de las Matemáticas. La programación lineal es un tipo de modelo matemático que se desarrolló a partir de la Segunda Guerra Mundial para resolver cierto tipo de problemas de asignación de recursos entre distintas actividades y después se extendieron a una amplia variedad de problemas El objetivo de un modelo matemático es poder representar la realidad con variables de la manera mas simplificada posible, de tal forma que podamos comprender su comportamiento y por supuesto obtener respuestas a determinadas acciones, para lo cual se pueden utilizar varias técnicas. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS NOCIONES BÁSICAS DE OPTIMIZACIÓN Qué es la Optimización? Los encargados de controlar sistemas, en los que intervienen personas y equipos, se ven en la necesidad de mejorar los procesos, lo cual significa la optimización de recursos, que puede ser vista desde diferentes perspectivas profesionales. Ejemplos. • El problema puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio. • Proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representación sintética o modelo del sistema físico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS NOCIONES BÁSICAS DE OPTIMIZACIÓN Qué es la Optimización? La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor producción o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar, por lo general esto significa utilizar de manera más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones del problema con respecto a las variables. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Dentro de esa técnicas muy usadas y de mucho interés para nosotros tenemos: • Programación lineal (PL) y Programación no lineal (PNL) Otras disciplinas como: Algoritmos metaheurísticos, redes neuronales y otras técnicas de inteligencia artificial, aunque conceptualmente se encuadran dentro de la investigación operativa, se las estudia dentro de la Ingeniería Informática y muy ligadas a la Estadística. Objetivo de la Programación lineal (PL).- Interpretar problemas de sistemas complejos y resolverlos empleando modelos con ecuaciones lineales que permitan encontrar la solución óptima (maximizar beneficios o minimizar costos). OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Objetivo de la Programación lineal (PL).- OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Objetivo de la Programación No lineal (PNL).- Los problemas que resuelve la programación no lineal, también son llamados curvilíneos y la función objetivo puede ser cóncava (maximizar ) o convexa (minimizar). OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN INTRODUCCIÓN A LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE PL Conjunto convexo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS OPTIMIZACIÓN Un modelo de optimización trata de encontrar valores de las variables de decisión para optimizar (minimizar o maximizar) una función objetivo, entre un conjunto de valores donde las variables de decisión cumplan las restricciones del problema. Elementos que intervienen en la Optimización.• Variables de decisión • Función objetivo • Restricciones Para entender como funciona la OPTIMIZACIÓN vamos a analizar ejercicios sencillos con una herramienta conocida como es el Excel y su complemento Solver, GAMS y Lingo. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización (Excel) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización (Lingo) https://www.youtube.com/watch?v=1uwpm06IvUU OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización (Lingo) https://www.youtube.com/watch?v=1uwpm06IvUU LINGO 18.0 on Windows64, x64: https://www.lindo.com/downloads/LINGO-WINDOWS-64x86-18.0.zip Comandos Básicos de LINGO Envía el modelo de la ventana activa al solucionador de LINGO. Abre las opciones para el reporte de resultados Permite cambiar varios parámetros de LINGO • • • • LINGO requiere un objetivo, con una o más variables, y una o varias restricciones. Cada instrucción termina con “;”. “@GIN” es usado para expresar una variable tipo entera. “@BIN” es usado para especificar una variable binaria (1-0). 1 7 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización (Excel) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de Optimización (Lingo) Comandos Básicos de Matlab Ejecuta un script. • Comandos para optimización: ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ “linprog” → Programación lineal (minimización) “intlinprog” → Programación lineal entera- pura, mixta o tipo 1-0 “fminbnd” → Minimización de una función no lineal de una sola variable “fminunc” → Minimización de una función no lineal no restringida “fmincon” → Minimización de una función no lineal con restricciones linprog [x, z] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub) Encuentra el mínimo de un problema de programación lineal especificado como: OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN APLICADOS A LA PROFESIÓN OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Para iluminar una sala de pintura es preciso colocar suficientes bombillas que sumen un total de 1440 vatios como mínimo. En el mercado se pueden adquirir bombillas incandescentes tradicionales de 90 vatios al precio de 1 euro la unidad y bombillas de bajo consumo de 9 vatios (equivalentes a 60 vatios) al precio de 5 euros la unidad. Debido a la estructura del espacio, el número total de bombillas no puede ser mayor de 20. Por otra parte, las normas del Ayuntamiento imponen que, para este tipo de salas, el número de bombillas de bajo consumo no puede ser inferior a la mitad del de bombillas tradicionales. Calcular el número de bombillas de cada clase que se debe colocar para que el coste sea mínimo. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.- OPTIMIZACIÓN EN LA FABRICACIÓN DE LÁMPARAS OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.- OPTIMIZACIÓN EN LA FABRICACIÓN DE LÁMPARAS OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN SOLUCIÓN GRÁFICA PARA DOS VARIABLES OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Lámparas L2 SOLUCIÓN GRÁFICA PARA DOS VARIABLES Ejercicio de aplicación.- OPTIMIZACIÓN EN LA FABRICACIÓN DE LÁMPARAS Punto de solución óptima (210, 60) Lámparas L1 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS CAPÍTULO I FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Programación no lineal (PNL) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Objetivo de la Programación No lineal (PNL).- Los problemas que resuelve la programación no lineal, también son llamados curvilíneos y la función objetivo pueden ser cóncavos (maximizar ) o convexos (minimizar). OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Programación No lineal (PNL) Funciones cóncavas y convexas Para interpretar la definición se puede pensar en una función de 2 variables que podemos representar en el plano. CONVEXA.- f(x,y) es convexa, si las cuerdas entre dos puntos de la función están por arriba de la curva que representa la función. En este caso las derivadas primeras son las rectas que permanecen por debajo de la función (rectas en verde) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Programación No lineal (PNL) Funciones cóncavas y convexas Para interpretar la definición se puede pensar en una función de 2 variables que podemos representar en el plano. CONCAVA.- f(x,y) es cóncava si las cuerdas entre dos puntos de la función están por debajo de la curva que representa la función En este caso las derivadas primeras son las rectas que permanecen por encima de la función (rectas en verde) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Programación No lineal (PNL) EJEMPLO PNL • PNL de una variable con restricción: Maximizar 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 𝑥 2 ❑ Restricción 0≤𝑥≤10 ❑ • PNL de dos variables con restricción de igualdad: ❑ ❑ Maximizar 𝑓 𝑥 = −2𝑥 2 − 2𝑦 2 + 𝑥𝑦 + 8𝑥 + 3𝑦 Restricción 3𝑥 + 𝑦 = 10 PNL de dos variables con restricción de desigualdad: 2 2 ❑ Maximizar 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 17𝑥 − 𝑦 + 35𝑦 ❑ Restricción 𝑥 + 𝑦 <= 17,25 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN TAREA: Parte 1: Desarrollar los 2 ejercicios de aplicación a la profesión: • Excel, • GAMS • Lingo, • Gráficamente Parte 2: Graficar y analizar si las siguientes funciones son cóncavas o convexas. Y = 2x2+ 3 Y= 2 - x2 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMA DE TRANSPORTE El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc.) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMA DE TRANSPORTE:Ejemplo Suponga que una empresa posee 3 plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 1000, 800 y 1500 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a dos ciudades con demandas diarias de 1200 y 1300 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son: MATRIZ DE COSTO de Transporte OFERTA DEMANDA Ciudad Ciudad 1 2 Planta 1 $2,00 $5,00 Planta 2 $2,00 $4,00 Planta 3 $6,00 $3,00 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMA DE TRANSPORTE Analizaremos el siguiente ejercicio a continuación OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE 1. Variables de Decisión: Xij : Unidades transportadas desde la Planta i hasta la ciudad j (Con i=1,2,3 y j=1,2) 2. Función Objetivo: Consiste en minimizar la función que representa los costos de transporte entre los oferentes y los demandantes. Minimizar 2X11 + 5X12 + 2X21 + 4X22 + 6X31 + 3X32 MATRIZ DE COSTO de Transporte OFERTA Planta 1 Planta 2 Planta 3 DEMANDA Ciudad 1 Ciudad 2 $2,00 $5,00 $2,00 $4,00 $6,00 $3,00 OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE 3. Restricciones: •X11 + X21+X31 = 1.200 (Satisfacer Demanda Ciudad 1) •X12 + X22+X32 = 1.300 (Satisfacer Demanda Ciudad 2) •X11 + X12 <= 1.000 (Capacidad Planta 1) •X21 + X22 <= 800 (Capacidad Planta 2) •X31 + X32 <= 1.500 (Capacidad Planta 3) •Xij >= 0 (No Negatividad de las variables de decisión) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE Desarrollo en Excel y Lingo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE Desarrollo en Excel y Lingo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE Desarrollo en Excel y Lingo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE Desarrollo en Excel y Lingo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DE TRANSPORTE Desarrollo en Excel y Lingo OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMA DE TRANSPORTE OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS PROBLEMA DEL TRANSPORTE CON PROGRAMACIÓN LINEAL.- • La oferta total es igual a la demanda. Toda la capacidad ofertada se utiliza cubriendo la demanda • • La oferta total no es igual a la demanda. • El suministro total excede a la demanda, no es necesaria ninguna modificación en la formulación de programación lineal. El exceso de suministro aparecerá como una holgura en la solución de la programación lineal. La holgura para cualquier origen particular puede interpretarse como la oferta sin usar o la cantidad no enviada desde el origen. • Si el suministro total es menor que la demanda total, el modelo de programación lineal de un problema de transporte no tendrá una solución factible OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.OPTIMIZACIÓN DEL COSTO DE LA ILUMINACIÓN. Para iluminar una sala de pintura es preciso colocar suficientes bombillas que sumen un total de 1440 vatios como mínimo. En el mercado se pueden adquirir bombillas incandescentes tradicionales de 90 vatios al precio de 1 euro la unidad y bombillas de bajo consumo de 9 vatios (equivalentes a 60 vatios) al precio de 5 euros la unidad. Debido a la estructura del espacio, el número total de bombillas no puede ser mayor de 20. Por otra parte, las normas del Ayuntamiento imponen que, para este tipo de salas, el número de bombillas de bajo consumo no puede ser inferior a la mitad del de bombillas tradicionales. Calcula el número de bombillas de cada clase que se debe colocar para que el coste sea mínimo. OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.- OPTIMIZACIÓN EN ILUMINACIÓN (MINIMIZACIÓN DE COSTOS) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.- OPTIMIZACIÓN EN ILUMINACIÓN (MINIMIZACIÓN DE COSTOS) OPTIMIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS FUNDAMENTOS DE OPTIMIZACIÓN Ejercicio de aplicación.OPTIMIZACIÓN DEL COSTO DE TRANSPORTE. Suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:
