Mundarija:
I. Kirish…………………………………………………………………………….2
II. Asosiy qism:
2.1. Fazoda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari………..…5
2.2. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak…………………………………………..7
2.3.Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak……………………...……..9
2.4. Fazoda tekislik tenglamalari……………………………………………...…..12
III. Xulosa………………………………………………………………………...17
IV. Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………….20
1
Kirish
Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida
e’tibor qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi
bo’lgan. Chunki, inson jamiyatdagi barcha munosabatlar, aloqalarning markazida
turadi. Fan-texnika va axborotdagi revolyutsiya inson va uning ilmiy-ma’rifiy
potensialini
ijtimoiy-iqtisodiy
taraqqiyotning
hal
qiluvchi
omiliga
aylantiradi.Kelajakda erishishimiz lozim bolgan buyuk maqsadlarga erishish uchun
avvalo, yuqori malakali, zamon talabiga javob beradigan mutaxassis kadrlar
tayyorlashimiz kerak.
O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risida”gi qonuni va “Kadrlar
tayyorlash milliy dasturi” xalqaro ta’lim standartlarini mamlakatimiz oliy ta’lim
tizimiga joriy qilish, yuqori malakali zamonaviy kadrlar tayyorlashda milliy an’ana
va tajribalarimiz bilan birga ilg’or jahon tajribalaridan keng foydalanish borasida
yangi imkoniyatlar taqdim etayotganligi barchamizga ma’lum.Shu jumladan,
yurtimizda matematikani rivojlantirishga qaratilgan ko’plab chora- tadbirlar
amalga oshirilayotganligining guvohimiz.
Mavzuning dolzarbligi. Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan
iborat deb ham qarash mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda
quyidagi sistema
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(1)
orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada A1 , B1 , C1 koeffitsientlar mos
ravishda A2 , B2 , C2 koeffitsientlarga proportsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni
ifodalaydi. Bunga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
(1) sistemadan birinchi y noma’lumni, keyin x noma’lumni yo’qotsak,
 x  x1  mz ,

 y  y1  nz
(2)
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama OY o’qqa parallel
bo’lgan tekislik, ikkinchisi OX o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan
2
to’g’ri chiziqni XOZ va
YOZ
koordinat tekisliklariga proektsiyalaydi. (2)
sistemaga to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) va M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi
to’g’ri chiziq tenglamasi tekislikda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq
tenglamasidagidek ushbu ko’rinishda
x  x1
y  y1
z  z1


x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1
bo’ladi.
Fazoda ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:
x  x1
y  y1
z  z1


;
m1
n1
p1
x  x2
y  y2
z  z2


.
m2
n2
p2
Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari
orasidagi burchakka teng bo’lib,
cos  
m1m2  n1n2  p1 p2
m12  n12  p12 
m2 2  n12  p12
formula yordamida topiladi.
Kurs ishining maqsadi. Ushbu kurs ishidan maqsadi fazoda ikki nuqtadan
o’tuvchi chiziq tenglamasini o’rganish va tahlil qilish, mavzuga doir misollarni
ko’rib chiqish. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak xossalarini o’rganish.
Kurs ishining vazifasi. Kurs ishining maqsadidan kelib chiqib quyidagi
vazifalar qo’yiladi:
- Fazoda ikki nuqtadan o’tuvchi chiziq tenglamasini o’rganish;
- Mavzuga doir misollarni ko’rib chiqish;
- Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak xossalarini o’rganish.
Kurs ishining ob’ekti. Oliy va o’rta ta’limda geometriya darslari.
Kurs ishining predmeti. Fazoda ikki nuqtadan o’tuvchi chiziq tenglamasini
o’rganish va tahlil qilish.
3
Kurs ishining tuzilishi. Ushbu kurs ishi kirish, 4 ta rejadan iborat asosiy
qism,xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat bo’lib 20 sahifadan tashkil
topgan.
4
II. Asosiy qism
2.1. Fazoda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari.
Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan iborat deb ham qarash
mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda quyidagi sistema
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(1)
orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada A1 , B1 , C1 koeffitsientlar mos
ravishda A2 , B2 , C2 koeffitsientlarga proportsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni
ifodalaydi. Bunga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
(1) sistemadan birinchi y noma’lumni, keyin x noma’lumni yo’qotsak,
 x  x1  mz ,

 y  y1  nz
(2)
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama OY o’qqa parallel
bo’lgan tekislik, ikkinchisi OX o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan
to’g’ri chiziqni XOZ va
YOZ
koordinat tekisliklariga proektsiyalaydi. (2)
sistemaga to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) va M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi
to’g’ri chiziq tenglamasi tekislikda berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq
tenglamasidagidek ushbu ko’rinishda
x  x1
y  y1
z  z1


x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1
(3)
bo’ladi.
2 x  y  5 z  3  0,
3x  2 y  4 z  2  0
2-misol. 
to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan va kanonik tenglamalarini yozing.
Yechish. Berilgan tenglamalar sistemasidan oldin y ni yo’qotamiz, buning
uchun birinchi tenglamani (2) ko’paytirib tenglamalarni hadma-had qo’shib
 x  0  6 z  4  0 , yoki
x  6 z  4 tenglamani hosil qilamiz. Endi
5
x
noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun birinchi tenglamani (3) ga ikkinchi
tenglamani (2) ga ko’paytirib hadma - had qo’shib  y  7 z  5  0 yoki
y  7 z  5 tenglamani keltirib chiqaramiz. Shunday qilib,
 x  6 z  4,

 y  7 z  5
sistema to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan tenglamasi bo’ladi.
Oxirgi tenglamalar sistemasini quyidagicha o’zgartiramiz:
x  4  6z
y  5  7 z
yoki
x4
z,
6
y 5
 z.
7
x4
y 5
z0


.
6
7
1
Demak,
Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasidir.
3-misol.
Uchburchakning
A (3,  2, 1) ,
uchlari
B (6, 5,  7)
va
C (5,  4, 3) berilgan. BD mediananing kanonik tenglamasini yozing.
Yechish. D nuqta AC tomonni teng ikkiga bo’ladi. Kesmani berilgan
nisbatda bo’lish formulasiga asosan:
xD 
35
 4,
2
yD
24
 3 ,
2
Demak, D (4,  3, 2) bo’ladi. Mediana
B va
zD 
1 3
 2.
2
D nuqtalardan o’tadi. (6)
formulaga asosan:
x6
y 5
z7


46
35
27
yoki
x6
y 5
z7


.
2
8
9
Bu BD mediananing kanonik tenglamasidir.
6
2.2. Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak.
Fazoda ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:
x  x1
y  y1
z  z1


;
m1
n1
p1
x  x2
y  y2
z  z2


.
m2
n2
p2
Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari
orasidagi burchakka teng bo’lib,
m1m2  n1n2  p1 p2
cos  
m1  n1  p1
2
2
2

m2  n1  p1
2
2
(7)
2
formula yordamida topiladi.
Berilgan to’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa,
m1
n
p
 1  1
m2
n2
p2
(8)
bo’lib, bu fazoda ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi.
To’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, yo’naltiruvchi vektorlar ham
perpendikulyar bo’lib,
m1  m2  n1  n2  p1  p2  0
(9)
bo’ladi, bu ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartidir.
4-misol.
x5 y 3 z 2


7
5
1
ва
x 8 y 3 z  4


7
4
1
to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
Yechish. Oldin to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi vektorlarini topamiz:




s1  7 i  5 j k ,




s 2  7 i  4 j k
.
To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak ularning yo’naltiruvchi vektorlari
orasidagi burchakka teng. (7) formulaga asosan:
7
cos  
7  7  5  (4)  1  (1)
7 2  52  12 
7 2  (4) 2  (1) 2

28
15 22
 0.3127 ,
cos   0.3127.
Jadvaldan   710 481 ekanligini topamiz.
5-misol. M 0 (2,  1, 3) nuqtadan o’tib,
x4 y 5
z2


2
3
4
to’g’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasini yozing.
Yechish. Izlanayotgan to’g’ri chiziq yo’naltiruvchi vektori uchun berilgan
to’g’ri chiziq yo’naltiruvchi vektorini olish mumkin, chunki ular shartga ko’ra




parallel, ya’ni s  2 i  3 j  4 k yo’naltiruvchi vektor bo’ladi. Berilgan nuqtadan

o’tib, s yunaltiruvchi vektorga ega bo’lgan, izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi
(9) ga asosan,
x2
y 1
z 3


2
3
4
bo’ladi.
8
2.3.Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.
Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb, to’g’ri chiziqning
tekislikdagi proektsiyasi bilan to’g’ri chiziq orasidagi qo’shni burchaklardan biri
olindi (2-chizma).
n
2
s
1
2-chizma.
x  x0
y  y0
z  z0


m
n
p
To’g’ri chiziq
kanonik tenglamasi bilan
tekislik Az  By  Cz  D  0 umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. 1
burchakni


topish

uchun
to’g’ri
chiziqning
yo’naltiruvchi

vektori
s  m i  n j  p k vektor bilan tekislikning normal vektori orasidagi  2
burchakni hisoblaymiz:
cos  2 
Am  Bn  Cp
A  B C 
2
2
2
m  p n
2
2
2
.
1 burchak  2 burchakni  / 2 gacha to’ldiradi. Demak,
cos  2  cos ( / 2  1 )  sin 1
Shunday qilib,
9
sin 1 
Am  Bn  Cp
A  B C
2
2
2

m  p n
2
2
(10)
2
bo’ladi. (10) fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish formulasi
bo’ladi.


To’g’ri chiziq tekislikka parallel bo’lsa s m, n, p  va n  A, B, C  vektorlar
perpendikulyar bo’lib,
Am  Bn  Cp  0
(11)
tenglik o’rinli bo’ladi. (11) tenglikka to’g’ri chiziq va tekislikning parallellik

sharti deyiladi. To’g’ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo’lsa, s m, n, p  va

n  A, B, C  vektorlar parallel bo’ladi va
A B C
 
m n p
munosabat
kelib
chiqadi.
(12)
(12)
tenglik
to’g’ri
chiziq
va
tekislikning
perpendikulyarlik sharti bo’ladi.
(11) shart bajarilmasa to’g’ri chiziq va tekislik kesishadi. Kesishish
nuqtasini topish uchun, ushbu
 x  x0 y  y 0 z  z 0


,

n
p
 m
 Ax  By  Cz  D  0

uch noma’lumli tenglamalar sistemasini yyechish kerak bo’ladi.
6-misol. A (5, 1,  4) va B (6, 1,  3) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq
bilan 2 x  2 y  z  3  0 tekislik orasidagi burchakni toping.
Yechish. AB nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori

sifatida


s  AB 1,0,1 ni olamiz. Tekislikning normal vektori n 2,2,1
bo’lganligi uchun (10) formulaga asosan:
sin  
2  1  0  (2)  1  1
12  12 
4  4 1
10

3
3 2

2
,
2
sin   2 / 2 ,
7 –misol.
  450.
2 x  3 y  3z  7  0,

x  2 y  2z  4  0
to’g’ri chiziqni yasang.
Yechish. Ma’lumki to’g’ri chiziqni yasash uchun u o’tadigan ikkita nuqtani
aniqlash yetarli. Buning uchun to’g’ri chiziqning koordinat tekisliklari bilan
kesishish nuqtalarini topamiz. Bu nuqtalarga to’g’ri chiziqning koordinat
tekisliklaridagi izlari deyiladi.
To’g’ri chiziqning XOY tekislikdagi izini topish uchun berilgan sistemada
z  0 deb olamiz, ya’ni
2 x  3 y  7,

 x  2 y  4  0.
Bu sistemani x , y noma’lumlarga nisbatan yechsak, x  2 ,
y  1 bo’ladi.
Demak, berilgan to’g’ri chiziqning XOY koordinata tekisligidagi izi M 1 (2, 1, 0)
nuqta bo’ladi.
Endi to’g’ri chiziqning XOZ tekislikdagi izini topamiz. Buning uchun
berilgan tenglamalar sistemasida y  0 deb, hosil bo’lgan sistemani yechib,
x  2,
z  1 topamiz. Demak, to’g’ri chiziqning XOZ
tekislikdagi izi
M 2 (2, 0, 1) bo’ladi. Topilgan M1 va M 2 nuqtalardan to’g’ri chiziq o’tkazamiz.
11
2.4. Fazoda tekislik tenglamalari
Fazodagi xar bir M nuqta uchta x,y,z koordinatalar bilan aniqlanadi. Shu
sababli fazodagi gеomеtrik ob’еkt tеnglamasi uch ozgaruvchili, ya’ni F(x,y,z) = 0
korinishda boladi.
Fazoda eng asosiy gеomеtrik obе’ktlardan biri bolib tеkislik hisoblanadi.
Uning tеnglamasi quyidagi tеorеma bilan aniqlanadi.
TЕORЕMA: 1)Agarda fazoda tеkislik bеrilgan bolsa, uning tеnglamasi uch
ozgaruvchili chiziqli tеnglamadan iborat boladi.
2) Fazoda uch noma’lumli chiziqli tеnglama bеrilgan bolsa, bu tеnglama biror
tеkislikni aniqlaydi.
ISBOT: 1) Faraz qilaylik fazoda qandaydir tеkislik bеrilgan bolsin. Uni uch
ozgaruvchili bitta chiziqli tеnglama ifodalashini korsatamiz.
Dеkart koordinatalar sistеmasida bеrilgan tеkislikni ixtiyoriy bir nuqtasini
М(x;y;z), uning radius-vеktorini r kabi bеlgilaymiz. Tеkislikdagi boshqa bir
Т(x0;y0;z0) nuqtadan koordinatalar boshigacha bolgan masofani r orkali
bеlgilaymiz, ya’ni ОТ=р. ОТ pеrpеndikulyar ustida tеkislikka yonalgan n0 birlik
vеktorni olamiz. M(x;y;z) nuqta tеkislikning istalgan nuqtasi bolsa ham ОМ=r
radius–vеktorning birlik n0 vеktorga proеktsiyasi ozgarmas bolib, r masofaga
tеng. Bundan
прп 0 ОМ  р
ва


прп 0 ОМ  r п 0  r п 0  p  0
(1)
natijani olamiz. Hosil qilingan (1) tеnglama tеkislikning vеktor tеnglamasi
dеyiladi. Agarda
r=(x;y;z),
n0=(cos; cos; cos)
dеb olsak, skalyar kopaytmaning koordinatalaridagi ifodasidan
xcos+ycos+zcos-p=0
(2)
tеnglamani hosil qilamiz. Bu tеkislikning normal tеnglamasi dеyiladi. Undan har
qanday tеkislikka chiziqli uch noma’lumli tеnglama mos kеlishini koramiz.
2) Aytaylik bizgа
12
Ах+Ву+Сz+D=0
(3)
uch noma’lumli chiziqli tеnglama bеrilgan bolsin. Agar M(x;y;z) (3) tеnglama
aniqlaydigan sirtning ixtiyoriy nuqtasi bolsa, uning radius–vеktori r=(x;y;z) va
yordamchi п=(А;В;С) ozgarmas vеktorni kiritaylik. Bo’lardan foydalanib (3)
tеnglamani skalyar kopaytma yordamida quyidagicha ifodalaymiz:
nr+D=0
(4)
(3) tеnglamani |n| ga bolamiz. Natijada quyidagi xollar kuzatiladi:
I. Agar D<0 bolsa, u holdа
tеnglamani
olamiz.
n0r+D/|n|=0 vа р= -D/|n| dеsak, rn0-p=0 vеktor
Bu
tеnglamani
qanoatlantiruvchi
barcha
M(x;y;z)
nuqtalarning gеomеtrik orni, (1) ga asosan, tеkislikdan iborat boladi.
II. Agar D>0 bolsa, (4) ni -|n| ga bolamiz va yanа р = D/|n| десак, r (-n0)-p=0
vеktor tеnglamani olamiz.
III. Agar D=0 bolsa, u holda (4) ni |n| yoki-|n| ga bolib, rn0=0 vеktor tеnglamani
hosil qilamiz.
Dеmak, (3) tеnglamadan (1) tеnglama kеlib chiqadi va bundan o’nga fazoda
tеkislik mos kеlishi isbotlanadi.
(3) korinishdagi tеnglamaga tеkislikning umumiy tеnglamasi dеyiladi.
Aytaylik M(x;y;z) tеkislikning ixtiyoriy vа М1(x1;y1;z1) esa uning ma’lum
bir nuqtasi bolsin. U holda bu nuqtalar tеkislik umumiy tеnglamasini
qanoatlantiradi, ya’ni
Ах+Ву+Сz+D=0
Ах1+Ву1+Сz1+D=0.
Ularni birinchisidan ikkinchisini ayirsak,
А(х-х1)+В(у-у1) +С(z-z1)=0.
(5)
Bu bеrilgan M1 nuqtadan otuvchi tеkisliklar dastasining tеnglamasi boladi. (5)
tеnglamа n=(А;В;С) vа М1М=(х-х1; у-у1; z-z1) vеktorlarning ortogonallik shartini
ifodalaydi.
Tеkislikka pеrpеndikulyar bolgan ixtiyoriy noldan farqli vеktor shu
tеkislikning normali dеb ataladi.
13
М1М vеktor tеkislikda yotganligi sababli, n vеktor ham shu tеkislikning
normallaridan biridir. Dеmak (3) yoki (5) tеnglamadagi ozgaruvchilarning
oldidagi A, B, C koeffitsiеntlar orqali hosil qilingan n(А,В,С)
tеkislikning
normallaridan biri ekan.
Shunday qilib normal tеnglama (3) tеnglamaning xususiy xoli boladi.
Tеkislikning umumiy tеnglamasidan normal tеnglamasiga otish uchun (3) ni
М 
1
А2  В 2  С 2
soniga kopaytirish kеrak (M va D ning ishoralari qarama – qarshi bolishi kеrak).
Natijada ushbu tеnglamaga kеlamiz:
МАх+МВу+МСz+МD=0
Bunda M normallashtiruvchi kopaytuvchi dеyiladi.
МА=cos, MB=cos, MC=cos, MD= –p
ekanligini hisobga olsak, normal tеnglamani topish uchun quyidagilarga ega
bolamiz:
A
cos  
cos   
А2  В 2  С 2
cos  
C
А  В С
2
2
p
2
B
А2  В 2  С 2
D
2
2
А В С
2
.
Misol: Tеkislikning 2х-у+2z-5=0 umumiy tеnglamasini normal tеnglama
korinishga kеltiring.
Еchish: Normallashtiruvchi kopaytuvchini topamiz va uni bеrilgan tеnglamaga
kopaytiramiz:
М=
1
2
5
1 2
  х у_ z 0
3
3
3
2 2  (1) 2  2 2 3 3
1
Tеkislikning umumiy tеnglamasini tеkshirish.
Tеkislikning umumiy tеnglamasi
Ах+Ву+Сz+D=0
14
bеrilgan bolsin. Ma’lumki bunda A,B,C koeffitsiеntlarning kamida bittasi
noldan farqli bolishi kеrak, ya’ni tеkislikning normali n=Ai+Bj+Ck nol vеktor
bolmasligi kеrak.
Quyida umumiy tеnglama unda qatnashayotgan koeffitsiеntlarning turli
qiymatlarida qanday tеkisliklarni ifodalanishini korib otamiz.
1. D=0 Ах+Ву+Сz=0
- tеkislik koordinatalar boshidan otadi.
2. А=0 Ву+Сz+D=0
- tеkislik OX oqiga parallеl boladi.
3. В=0 Ах+Сz+D=0
- tеkislik OY oqiga parallеl boladi.
4. С=0 Ах+Ву+D=0
- tеkislik OZ oqiga parallеl boladi.
5.А=0 , D=0 Ву+Сz=0
- tеkislik OX oqidan otadi.
6.В=0 , D=0 Ах+Сz=0
- tеkislik OY oqidan otadi.
7.С=0, D=0 Ах+Ву=0
- tеkislik OZ oqidan otadi.
8.А=0, В=0 Сz+D=0Z=-D/С - tеkislik XOY tеkisligiga parallеl boladi.
9.А=0, С=0 Ву+D=0у=-D/В - tеkislikXOZ tеkisligiga parallеl boladi.
10.В=0, С=0Ах+D=0 х=-D/А - tеkislik UOZ tеkisligiga parallеl boladi.
11.А=0, В=0, D=0Сz=0
- XOY tеkisligi hosil boladi.
12.А=0, С=0, D=0Ву=0
- XOZ tеkisligi hosil boladi.
13.В=0, С=0, D=0 Ах=0
- YOZ tеkisligi hosil boladi.
Tеkislikning kеsmalarga nisbatan tеnglamasi.
Fazoda koordinatalar boshidan otmaydigan va koordinata oqlarini mos ravishdа
а, в vа с nuqtalarda kеsib otuvchi tеkislik tеnglamasini tuzamiz. Buning uchun
tеkislikning umumiy
Ах+Ву+Сz+D =0
tеnglamasidan foydalanamiz. Bu еrda
mulohazalardan topamiz. Tеkislik
A,B,C,D koeffitsiеntlarni quyidagi
(а;0;0), (0;в,0) vа (0;0; с)
nuqtalardan
otganligi uchun, ularning koordinatalari umumiy tеnglamani qanoatlantiradi, ya’ni
Аа +D = 0
Вв +D = 0
А = - D/а

В = - D/в
15
а=- D/A

в = -D/В
Cc + D =0
С = -D/c
c =-D/С .
Koeffitsiеntlarning topilgan qiymatlarini tеnglamaga qoysak, u holdа
х
у
z
-D  D  D   D  0
а
в
c
va hosil bolgan bu tеnglamani (-D) ga bolsak hamda ixchamlasak, u holdа
х у z
  1
а в c
(1)
(1) tеkislikning kеsmalarga nisbatan tеnglamasi dеyiladi.
M i s o l: 3х-4у+z-5 =0 tеkislik tеnglamasini kеsmalarga nisbatan korinishga
kеltiring.
Е ch i sh : Yuqoridagidеk mulohaza yuritib а, в, с larni topish mumkin:
а
D 5
D
5
D
5
 ;b     ;с      5
A 3
B
4
C
1
Dеmak tеkislikning kеsmalarga nisbatan tеnglamasi
у
х
z

 1
5/3  5/ 4 5
ekanligi kеlib chiqadi.
16
Xulosa
Matematika aniq bir bilim sohasi va turli sohalarga chuqur kirib borayotgan
universal vosita bo’lib qolmasdan sivilizatsiyaning ajralmas qismi, umuminsoniy
madaniyatning muhim elementi hamda dunyoni ilmiy o’rganish tilidir. Matematik
bilim hayot sirlarini o’rganishda, kasb tanlashda muhim bo’lgani bois fikrlash
madaniyati tarkibidagi qat’iylik, aniqlik, izchillik, mantiqiylik va asoslanish singari
qirralarining shakllanishiga xizmat qiladi. Ulkan iqtisodiy o`zgarishlar yuz
bеrayotgan hozirgi davrda matеmatikaning ahamiyati yanada oshdi, shuning uchun
ham matеmatik ta’lim katta ijtimoiy ahamiyatga ega. Rеspublikamiz hukumati
yoshlarga ta’lim va tarbiya bеrish tizimini takomillashtirish, ta’lim va tarbiyani
turmushning oshib borayotgan talablari darajasiga yеtkazish vazifasini qo`ydi.
Fazoda to’g’ri chiziqni ikki tekislikning kesimidan iborat deb ham qarash
mumkin. Shuning uchun to’g’ri chiziqni analitik holda quyidagi sistema
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
(1)
orqali ham ifodalash mumkin. (4) tenglamada A1 , B1 , C1 koeffitsientlar mos
ravishda A2 , B2 , C2 koeffitsientlarga proportsional bo’lmasa u to’g’ri chiziqni
ifodalaydi. Bunga to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
(1) sistemadan birinchi y noma’lumni, keyin x noma’lumni yo’qotsak,
 x  x1  mz ,

 y  y1  nz
(2)
tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Bundagi birinchi tenglama OY o’qqa parallel
bo’lgan tekislik, ikkinchisi OX o’qqa parallel bo’lgan tekislik bo’lib, berilgan
to’g’ri chiziqni XOZ va
YOZ
koordinat tekisliklariga proektsiyalaydi. (2)
sistemaga to’g’ri chiziqning proektsiyalarga nisbatan tenglamasi deyiladi.
Fazoda to’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb, to’g’ri chiziqning
tekislikdagi proektsiyasi bilan to’g’ri chiziq orasidagi qo’shni burchaklardan biri
olindi.
17
n
2
s
1
x  x0
y  y0
z  z0


m
n
p
To’g’ri chiziq
kanonik tenglamasi bilan
tekislik Az  By  Cz  D  0 umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. 1
burchakni


topish

uchun
to’g’ri
chiziqning
yo’naltiruvchi
vektori

s  m i  n j  p k vektor bilan tekislikning normal vektori orasidagi  2
burchakni hisoblaymiz:
cos  2 
Am  Bn  Cp
A  B C 
2
2
2
m  p n
2
2
2
.
1 burchak  2 burchakni  / 2 gacha to’ldiradi. Demak,
cos  2  cos ( / 2  1 )  sin 1
Ma’lumki o’quvchilarning fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish har bir fan
oldidagi muhim masalalardan hisoblanadi. Jumladan umumiy o’rta ta’lim
maktablarida o’quvchilarning intellektual qobiliyatlarini rivojlantirish dolzarb
masaladir. Shu bois geometriya o’qitish jarayonida har bir o’quvchining
intellektual qobiliyatlarni rivojlantirish muammosi o’zining strukturasi jihatidan
ancha murakkab bo’lib, uning tarkibida matematik qonuniyatlar, faktlar,
munosabatlar asosida yuzaga kelishi tabiiy holdir. SHuning uchun ham har bir
o’quvchi geometriya darslarida geometrik obrazlar bilan ish ko’radi, chunki undagi
o’lchamlarni, kattaliklarni sezadi va bu kattaliklar orasidagi mavjud qonuniyatlarni
idrok etadi, o’z tasavvuriga tegishli geometrik obrazlarni keltirib va bularni
18
mushohada asosida o’z in’nikosiga o’tkazadi. Geometriya kursida geometrik
obrazlarni ko’p holda ideal ko’rinishda tasavvuriga keltiriladi, va shunday tafakkur
qilinadi, ya’ni nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik, va bularning o’zaro bog’liqligi, hamda
ularning kombinatsiyasidan hosil bo’ladigan nuqta, to’g’ri chiziqlarning geometrik
o’rnini tasavvur qila olish muhim ahmiyatga ega.
Ushbu kurs ishi oliy matematika kursining muhim bo’limlaridan biri bo’lgan
“Geometriya” fanining “ Fazoda ikki nuqtadan o’tuvchi chiziq tenglamalari”
mavzusiga bag’ishlangan. Giperbola va uning tenglamalari xossalari nafaqat
geometriya kursida balki, matematik analiz , kompyuter tizimlari va kundalik
turmushda ham muhim o’rin egallaydi.
19
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:
1. П. С. МОДЕНОВ. Аналитическая геометрия. БЗ-1969
2. SOATOV YO.U. «Oliy matеmatika», I jild, Toshkеnt, Oqituvchi, 1992 y.
3. PISKUNOV N.S. «Diffеrеntsial va intеgral hisob», 1-tom, Toshkеnt,
Oqituvchi, 1972 y.
4. MADRAXIMOV X.S., GANIЕV A.G., MUMINOV N.S. «Analitik gеomеtriya
va chiziqli algеbra», Toshkеnt, Oqituvchi, 1988 y.
5. SARIMSOKOV T.A. «Haqiqiy ozgaruvchining funktsiyalari
nazariyasi», Toshkеnt, Oqituvchi, 1968 y.
6. T. YOKUBOV «Matеmatik logika elеmеntlari», Toshkеnt, Oqituvchi, 1983y.
7. RAJABOV F., NURMЕTOVА. «Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra»,
Toshkеnt, Oqituvchi, 1990 y.
8. SHNЕYDЕR V.Е., SLUTSKIY A.I., SHUMOV A.S. «Oliy matеmatika qisqa
kursi», I tom, Toshkеnt, Oqituvchi, 1983 y.
9. NAZAROV R.N., TOSHPOLATOV B.T., DUSUMBЕTOV A.D.
«Algеbra va sonlar nazariyasi», I qism, Toshkеnt, Oqituvchi, 1993 y.
10.NAZAROV X., OSTONOV K. «Matеmatika tarixi», Toshkеnt,
Oqituvchi, 1996 y.
11. IBROXIMOV R., «Matеmatikadan masalalar toplami», Toshkеnt,
Oqituvchi, 1990 y.
12. AZLAROV T., MANSUROV X. «Matеmatik analiz», I qism, Toshkеnt,
Oqituvchi, 1994 y.
13. TOLAGANOV T., NORMATOV А. «Matеmatikadan praktikum», Toshkеnt,
Oqituvchi, 1983 y.
20