A.A.Abdushukurov
Xashimov. A.R
EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA
MATEMATIK STATISTIKA
Toshkent-2010
M u n d a rija
K irish
8
E H T IM O L L A R N A Z A R IY A S I
I bob. T aso d ifiy h o d isa la r
1.1
Ehtim ollar nazariyasinig predm eti...................................................
1.2
Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi...............................
1.3
H odisalar ustida am allar.....................................................................
1.4
Tasodifiy hodisalar. H odisalar algebrasi........................................
1.5 Ehtim ollikning statistik ta ’rifi..............................................................
1.6 Ehtim ollikning klassik ta ’rifi................................................................
1.7 Ehtim ollikning geom etrik ta ’rifi.........................................................
1.8 Ehtim ollikning aksiom atik ta ’rifi........................................................
1.9 Ehtim ollikning xossalari.......................................................................
1.10 Ehtim olliklar fazosi..............................................................................
1.11 Shartli ehtim ollik...................................................................................
1.12 T o ‘la ehtim ollik va Bayes form ulalari...........................................
1.13 B o g ‘liqsiz tajribalar ketm a-ketligi. Bernulli form ulasi................
1.14 Lim it teorem alar...................................................................................
I bobga doir m isollar........................................................................................
9
11
11
14
15
16
20
21
22
23
24
26
27
30
35
I I bob. T aso d ifiy m iq d o rla r
2.1
Tasodifiy m iqdor tushunchasi............................................................
2.2
D iskret tasodifiy m iqdorning taqsim ot qonuni...............................
2.3
Taqsim ot funksiyasi va uning xossalari...........................................
2.4
Z ichlik funksiyasi va uning xossalari...............................................
2.5
Tasodifiy m iqdorning sonli xaraktiristikalari...............................
2.6
B a’zi m uhim taqsim otlar..................................................................
II bobga doir m isollar......................................................................................
39
40
41
43
45
49
60
I I I bob. K o ‘p o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o rla r
3.1
3.2
K o ‘p o ‘lchovli tasodifiy m iqdorlar va ularning birgalikdagi
taqsim ot funksiyasi...............................................................................
Ikki o ‘lchovli diskret tasodifiy m iqdor v a uning taqsim ot
5
65
66
q o n u n i......................................................................................................
3.3 Ikki o ‘lchovli tasodifiy m iqdorning taqsim ot funksiyasi va
67
uning xossalari.........................................................................................
3.4 Ikki o ‘lchovli uzluksiz tasodifiy m iqdor zichlik funksiyasi va 70
uning x o s s a la ri......................................................................................
3.5 Tasodifiy m iqdorlarning b o g ‘liq s iz lig i...........................................
75
3.6 Shartli taqsim ot q o n u n la ri....................................................................
76
3.7 Ikki o ‘lchovli tasodifiy m iqdorlarning sonli xarakteristikalari ...
79
3.8 B a’zi m uhim ikki o ‘lchovli ta q sim o tla r...........................................
82
89
3.9 X arakteristik funksiyalar va ularning xossalari...............................
III bobga doir m isollar...................................................................................... 91
IV bob. T aso d ifiy m iq d o rla rn in g fu n k siy a la ri
4.1 B ir argum entning funksiyalari...........................................................
4.2 Ikki argum entning funksiyalari...........................................................
IV bobga doir m isollar....................................................................................
95
99
103
V bob. E h tim o lla r n a z a riy a sin in g lim it te o re m a la ri
5.1 Chebishev tengsizligi............................................................................
5.2 K atta sonlar qonuni. Chebishev va Bernulli te o re m a la ri
5.3 M arkaziy lim it teorem a.........................................................................
V bobga doir m isollar......................................................................................
105
107
109
111
M A T E M A T IK S T A T IS T IK A
V I bob. T a n la n m a v a u n in g x a ra k te ris tik a la ri
6.1 M atem atik statistika predm eti..............................................................
6.2 B osh va tanlanm a to ‘p lam ....................................................................
6.3 E m pirik taqsim ot funksiya...................................................................
6.4 G istogram m a va p o lig o n ......................................................................
6.5 Tanlanm a xarakteristikalari.................................................................
VI bobga doir m isollar....................................................................................
113
114
115
118
120
121
V II bob. N o m a’lu m p a r a m e tr la r n i b aholash
7.1
Statistik baholar va ularning x o s s a la ri.............................................
6
124
7.2 N uqtaviy baholash usullari...................................................................
7.3 Interval baholash.....................................................................................
VII bobga doir m isollar...................................................................................
127
130
137
V III bob. S ta tistik g ip o te z a la rn i te k sh rish
8.1
8.2
8.3
8.4
VIII
Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish
alom atlari va ularning x o s s a la ri........................................................
Param etrik statistik alom at tuzish u sullari.........................................
N oparam etrik m uvofiqlik alom atlari..................................................
M atem atik kutilm a va dispersiyalar haqidagi statistik
gipotezalarni tekshirish.........................................................................
bobga doir m isollar.................................................................................
139
142
145
148
151
IX bob. K o ‘p o ‘lchovli sta tistik ta h lil u su lla ri
9.1 Faktorli tah lil..........................................................................................
9.2 B osh kom ponentalar u su li...................................................................
9.3 IX bobga doir m isollar.........................................................................
Ilovalar...............................................................................................................
Foydalanilgan adabiyotlar.............................................................................
7
152
154
158
159
163
I bob. T aso d ifiy h o d isa la r
1.1 E h tim o lla r n az a riy a sin in g p re d m e ti
Ehtim ollar nazariyasi “tasodifiy tajribalar”, y a ’ni natijasini oldindan
aytib b o ‘lm aydigan tajribalardagi qonuniyatlatni o ‘rganuvchi m atem atik
fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o ‘zgarm as (y a’ni, bir
xil) shartlar kom pleksida hech b o ‘lm aganda nazariy ravishda ixtiyoriy
sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi. Bunday tajribalar har birining
natijasi tasodifiy hodisa ro ‘y berishidan iboratdir. Insoniyat faoliyatining
deyarli ham m a sohalarida shunday holatlar m avjudki, u yoki bu tajribalarni
bir xil sharoitda k o ‘p m atra takrorlash m um kin b o ‘ladi. Ehtim ollar
nazariyasini sinovdan-sinovga o ‘tishida natijalari turlicha b o ‘lgan tajribalar
qiziqtiradi. B iror tajribada ro ‘y berish yoki berm asligini oldindan aytib
b o ‘lm aydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. M asalan, tanga
tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi:
tanganing gerb tom oni tushishi yoki tanganing raqam tom oni tushishi.
A lbatta, bu tajribani bir m arta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan
faqat bittasigina ro ‘y beradi. Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jam iatda,
ilmiy tajribalarda, sport va qim or o ‘yinlarida kuzatishim iz mumkin.
U m um lashtirib aytish m um kinki, tasodifiyat elem entlarisiz rivojlanishni
tasavvur qilish qiyindir. Tasodifiyatsiz um um an hayotning va biologik
turlarning yuzaga kelishini, insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy
faoliyatini, sotsial-iqtisodiy tizim larning rivojlanishini tasavvur etib
b o ‘lmaydi. Ehtim ollar nazariyasi esa aynan m ana shunday tasodifiy
b o g ‘liqliklarning m atem atik m odelini tuzish bilan shug‘illanadi.
Tasodifiyat insoniyatni doim o qiziqtirib kelgandir. Shu sababli ehtim ollar
nazariyasi boshqa m atem atik fanlar kabi am aliyot talablariga mos ravishda
rivojlangan. Ehtim ollar nazariyasi boshqa m atem atik fanlardan farqli
o ‘laroq nisbatan qisqa, ammo o ‘ta shijoatlik rivojlanish tarixiga ega. Endi
qisqacha tarixiy m a’lum otlarni keltiram iz. O m m aviy tasodifiy hodisalarga
mos m asalalarni sistem atik ravishda o ‘rganish va ularga mos m atem atik
apparatning yuzaga kelishi XV II asrga to ‘g ‘ri keladi. XV II asr boshida,
m ashhur fizik G aliley fizik o ‘lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb
hisoblab, ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish,
o ‘lish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi om m aviy tasodifiy
hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan su g ‘urtalanishning
um um iy nazariyasini yaratishga ham urinishlar b o ‘lgan. Am m o, ehtim ollar
nazariyasi m atem atik ilm sifatida m urakkab tasodifiy jarayonlarning
9
o ‘rganishdan emas, balki eng sodda qim or o ‘yinlarini tahlil qilish
natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtim ollar nazariyasining
paydo b o ‘lishi XV II asr ikkinchi yarm iga mos keladi va u Paskal (1623­
1662), Ferm a (1601-1665) va G yuygens (1629-1695) kabi olim larning
qim or o ‘yinlarini nazariyasidagi tadqiqotlari bilan b o g ‘liqdir. Ehtim ollar
nazariyasi rivojidagi katta qadam Y akov Bernulli (1654-1705) ilmiy
izlanishlari bilan b o g ‘liqdir. Unga, ehtim ollar nazariyasining eng m uhim
qonuniyati, deb hisoblanuvchi “katta sonlar qonuni” tegishlidir. Ehtim ollar
nazariyasi rivojidagi yana bir m uhim qadam de M uavr (1667-1754) nom i
bilan b o g ‘liqdir. Bu olim tom onidan norm al qonun (yoki norm al taqsim ot)
deb ataluvchi m uhim qonuniyat m avjudligi sodda holda asoslanib berildi.
K eyinchalik, m a’lum b o ‘ldiki, bu qonuniyat ham, ehtim ollar nazariyasida
m uhim ro l’ o ‘ynar ekan. Bu qonuniyat m avjudligini asoslovchi teorem alar
“m arkaziy lim it teorem alar” deb ataladi. E htim ollar nazariyasi
rivojlanishida katta hissa m ashhur m atem atik Laplasga (1749-1827) ham
tegishlidir. U birinchi b o ‘lib ehtim ollar nazariyasi asoslarini q at’iy va
sistem atik ravishda ta ’rifladi, m arkaziy lim it teorem asining bir form asini
isbotladi (M uavr-Laplas teorem asi) va ehtim ollar nazariyasining bir necha
tadbiqlarini keltirdi. Ehtim ollar nazariyasi rivojidagi etarlicha darajada
oldinga siljish Gauss (1777-1855) nom i bilan b o g ‘liqdir. U normal
qonuniyatga yanada um um iy asos berdi va tajribadan olingan sonli
m a’lum otlarni qayta ishlashning m uhim usuli - “kichik kvadratlar usuli”ni
yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini um um lashtirdi va
ehtim ollar nazariyasini o ‘q uzish m asalalariga q o ‘lladi. U ning nomi bilan
ehtim ollar nazariyasida katta
ro l’ o ‘ynovchi taqsim ot qonuni
nomlangandir. XV II va X IX asrlar uchun ehtim ollar nazariyasining keskin
rivojlanishi va u bilan har tom onlam a qiziqish xarakterlidir. K eyinchalik
ehtim ollar nazariyasi rivojiga R ossiya olim lari V.Ya. Bunyakovskiy (1804­
1889), P.L. Chebishev (1821-1894), A.A. M arkov (1856-1922), A.M.
Lyapunov (1857-1918), A.Ya. X inchin (1894-1959), V.I. Rom anovskiy
(1879-1954), A.N. K olm ogorov (1903-1987) va ularning shogirdlari
bebaho hissa q o ‘shdilar. O ‘zbekistonda butun dunyoga taniqli Sarim sokov
(1915-1995) va S.X. Sirojiddinov (1920-1988) larning m uhim rollarini
alohida ta ’kidlab o ‘tish joizdir.
10
1.2 T asodifiy h o d isa la r, u la rn in g k lassifik atsiy asi
D astlab ehtim ollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri
“tasodifiy hodisa” tushunchasini keltiramiz. N atijasini oldindan aytib
b o ‘lm aydigan tajriba o ‘tkazilayotgan b o ‘lsin. Bunday tajribalar ehtim ollar
nazariyasida tasodifiy deb ataladi.
S Tasodifiy hodisa(yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro ‘y
berishi oldindan aniq b o ‘lm agan hodisaga aytiladi.
Hodisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari a , b , c , . l a r bilan
belgilanadi.
S Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va ©
orqali belgilanadi.
S Tajribaning natijasida ro ‘y berishi m um kin b o ‘lgan barcha elem entar
hodisalar to ‘plam i elementar hodisalar fa zo si
deyiladi va Q orqali
belgilanadi.
1.1-m isol. Tajriba nom erlangan kub(o‘yin soqqasi)ni tashlashdan iborat
b o ‘lsin. U holda tajriba 6 elem entar hodisadan hodisalar © , © 2 , © 4 , © 6
lardan iborat b o ‘ladi.
©1
hodisa tajriba natijasida i (i = i,2,3,4,5,6) ochko
tushishini bildiradi. B unda elem entar hodisalar fazosi: Q = {i,2,3,4,5,6}.
S Tajriba natijasida albatta ro ‘y beradigan hodisaga muqarrar hodisa
deyiladi.
Elem entar hodisalar fazosi m uqarrar hodisaga misol b o ‘la oladi.
A ksincha, um um an ro ‘y berm aydigan hodisaga m um kin b o ‘lm agan
hodisa deyiladi va u 0 orqali belgilanadi.
1.1-m isolda keltirilgan tajriba uchun quyidagi hodisalarni kiritamiz:
^ = { 5 raqam tushishi};
5 = { ju ft raqam tushishi};
C={7 raqam tushishi};
D ={butun raqam tushishi};
B u yerda A va в hodisalar tasodifiy, C hodisa m um kin b o ‘lm agan va D
hodisa m uqarrar hodisalar b o ‘ladi.
1.3 H o d isa la r u stid a a m a lla r
Tasodifiy hodisalar orasidagi m unosabatlarni keltiramiz:
S a va в hodisalar y i g ‘indisi deb, A va в hodisalarning kam ida
bittasi(ya’ni yoki a , yoki в , yoki a va b birgalikda) ro ‘y berishidan
iborat С = A ^ B ( C = A + в ) hodisaga aytiladi.
11
A va в hodisalar k o ‘p aytm asi deb, A va в hodisalar ikkilasi
ham (ya’ni
A
va
в
birgalikda)ro‘y
berishidan
iborat
C = A о B ( C = A •в )hodisaga aytiladi.
A hodisadan в hodisaning ayirmasi deb, A hodisa ro ‘y berib, в hodisa
ro ‘y berm asligidan iborat C = A \ B ( с = A -в ) hodisaga aytiladi.
S a hodisaga qarama-qarshi A hodisa faqat va faqat A hodisa ro ‘y
berm aganda ro ‘y beradi(ya’ni A hodisa A hodisa ro ‘y berm aganda ro ‘y
beradi). A ni a uchun teskari hodisa deb ham ataladi.
S A gar a hodisa ro ‘y berishidan в hodisaning ham ro ‘y berishi kelib
chiqsa A hodisa в hodisani ergashtiradi deyiladi va A с B k o ‘rinishida
yoziladi.
S A gar A с B va B с A b o ‘lsa, u holda A va в hodisalar teng(teng
kuchli) hodisalar deyiladi va A = в k o ‘rinishida yoziladi.
1.2-m isol. A,B va C -ixtiyoriy hodisalar b o ‘lsin. B u hodisalar orqali
quyidagi hodisalarni ifodalang: D ={uchchala hodisa ro ‘y berdi}; £ = {b u
hodisalarning kam ida bittasi ro ‘y berdi}; F = {bu hodisalarning birortasi
ham ro ‘y bermadi}; G ={bu hodisalarning faqat bittasi ro ‘y berdi}.
H odisalar ustidagi am allardan foydalanamiz: d = A о B о C(D = A •B •C );
e = A +b +C ; f = A •B •C ; G = A •B •C + A •B •C + A •b •C .
D em ak hodisalarni to ‘plam lar kabi ham talqin etish m um kin ekan.
B elgilash
Q
©, © g Q
A, A c Q
A ^ B , A +B
T o‘plam lar nazariyasidagi
talqini
Fazo (asosiy to ‘plam)
© fazo elem entlari
A to ‘plam
A va в to ‘plam larning
y ig ‘indisi, birlashm asi
A о B , A •B
A va в to ‘plam larning
kesishm asi
A \ B ,A - B
A to ‘plam dan
в to ‘plam ning ayirm asi
0
A
B o ‘sh to ‘plam
A to ‘plam ga to ‘ldiruvchi
12
E htim ollar nazariyasidagi talqini
Elem entar hodisalar fazosi,
m uqarrar hodisa
© elem entar hodisa
A hodisa
A va в hodisalar y ig ‘indisi ( A
va в ning kam ida biri ro ‘y
berishidan iborat hodisa)
A va в hodisalar k o ‘paytm asi
( A va в ning birgalikda ro ‘y
berishidan iborat hodisa)
A hodisadan в hodisaning
ayirm asi( A ning ro ‘y berishi,
в ning ro ‘y berm asligidan iborat
hodisa)
M um kin b o ‘lm agan hodisa
A hodisaga teskari hodisa( A
A о B =0 ,
A •B = 0
Aс B
A =B
A va в to ‘plam lar
kesishm aydi
A to ‘plam в ning qismi
A va в to ‘plam lar ustm aust tushadi
ning ri’y berm asligidan iborat)
A va в hodisalar birgalikda
emas
A hodisa в ni ergashtiradi
A va в hodisalar teng kuchli
H odisalar va ular ustidagi am allarni Eyler-V enn diaram m alari
yordam ida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. H odisalar ustidagi am allarni
1-5 rasm lardagi shakllar kabi tasvirlash mumkin.
A +B
A -B
1-rasm.
2-rasm.
A-B
A
3-rasm.
4-rasm.
Aс B
5-rasm.
13
H odisalar ustidagi am allar quyidagi xossalarga ega:
• A + B = B + A, A •B = B •A ;
• (A + B) •C = A •C + B •C, ;
• (A + B) + C = A + (B + C),
(A •B) •C = A •(B •C) ;
• A + A = A, A •A = A ;
•
A + Q = Q,
A •Q = A
•
A + A = Q,
A •A = 0 ;
•
0 = Q,
A + 0 = A,
A ^0 = 0 ;
Q = 0 , A =A ;
• A - B = A •B ;
• a + B = A •B va A •B = A + B - de M organ ikkilam chilik prinsipi.
1.3-misol.
a) (A + B) •(A + B) ifodani soddalashtiring.
Y uqoridagi xossalardan foydalanamiz:
(A + B) •(A + B) = A •A + A •B + B •A + B •B = A + A •(B + B) + 0 = A + A Q = A + A = A
Demak, (A + B) •(A + B) = A ekan.
b) A + B = A + A •B form ulani isbotlang.
A + B = (A + B) •Q = A Q + B •Q = A ^Q + B •(A + A) = A Q + (A + A) •B =
= A ^Q + A •B + A •B = (Q + B) •A + A •B = Q •A + A •B = A + A •B .
1.4 T aso d ifiy h o d isa la r. H o d isa la r alg eb rasi
Ehtim ollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.
N atijasi tasodifiy b o 'lg an biror tajriba o'tkazilayotgan bo'lsin. Q -tajriba
natijasida ro 'y berishi m um kin b o 'lg an barcha elem entar hodisalar
to'plam i elem entar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi © esa
elem entar hodisa deyiladi.
S A gar Q chekli yoki sanoqli to 'p lam b o 'lsa (y a'n i elem entlarini
natural sonlar yordam ida nom erlash m um kin bo'lsa), u holda uning
ixtiyoriy qism to 'p lam i A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A с Q .
Q to'plam dagi A qism to 'p lam g a tegishli elem entar hodisalar A
hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
S q to 'p lam m uqarrar hodisa deyiladi.
0 -b o 'sh to 'p lam m um kin
bo'lm agan hodisa deyiladi.
S-Q ning qism to'plam laridan tashkil topgan sistem a bo'lsin.
S A gar
14
1. 0 e S , Q e S ;
2. A e S m unosabatdan A e s kelib chiqsa;
3. A e S va B e S m unosabatdan A +B e s , A •B e S kelib chiqsa S sistem a
algebra tashkil etadi deyiladi.
T a’kidlash joizki, a +в = a •B , a •в = a +в ekanligidan 3 shartdagi A +B e s
va A •B e S m unosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.
1.4-m isol. S = { 0 ,Q } sistem a algebra tashkil etadi: 0 + Q = Q ,
0^Q = 0 , 0 = Q, Q =0 .
A gar 3 shart o 'rn ig a quyidagilarni talab qilsak A„ e S, n = \,2,...,
m unosabatdan J a „ e s , p|a„ e s kelib chiqsa s sistem a a-alg eb ra deyiladi.
n=\
n =\
A gar Q chekli yoki sanoqli b o ‘lsa, Q -to'plam ning barcha qism
to'plam laridan tashkil topgan hodisalar sistem asi algebra tashkil etadi.
1.5 E h tim o llik n in g sta tistik t a ’rifi
A hodisa n ta b o g ‘liqsiz tajribalarda nA m arta ro ‘y bersin. nA son A
n
hodisaning chastotasi, — m unosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi
n
deyiladi.
N isbiy chastotaning statistik tu rg ‘unlik xossasi deb ataluvchi xossasi
mavjud, y a ’ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi m a’lum
qonuniyatga ega b o ‘ladi va biror son atrofida tebranib turadi.
M isol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga A={Gerb}
tom oni bilan tushishi hodisasini qaraylik. Byuffon va K .Pirsonlar
tom onidan o ‘tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jadvalda keltirilgan:
Tajriba
o ‘tkazuvchi
Byuffon
K .Pirson
K .Pirson
Tajribalar soni, n
Tushgan gerblar
soni, nA
2048
6019
12012
4040
12000
24000
N isbiy chastota,
nA/n
0.5080
0.5016
0.5005
Jadvaldan k o ‘rinadiki, n ortgani sari nA/n nisbiy chastota - = 0.5 ga
yaqinlashar ekan.
15
S A gar tajribalar soni etarlicha k o ‘p b o ‘lsa va shu tajribalarda biror A
hodisaning nisbiy chastotasi biror o ‘zgarm as son atrofida tebransa, bu
songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi.
A hodisaning ehtim olligi P(A) sim vol bilan belgilanadi. Demak,
n
n
lim
= P(A) yoki yetarlicha katta n lar uchun - P(A).
п^шn
n
Statistik ehtim ollikning kam chiligi shundan iboratki, bu yerda
statistik ehtim ollik yagona emas. M asalan, tanga tashlash tajribasida
ehtim ollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni ham olishim iz
mumkin. E htim ollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar
o ‘tkazishni talab qiladi, bu esa am aliyotda k o ‘p vaqt va xarajatlarni talab
qiladi.
Statistik ehtim ollik quyidagi xossalarga ega:
1. 0 < P (A ) < 1;
2. P (0 ) = 0;
3. p (Q) = 1;
4. A •B = 0 b o ‘lsa, u holda P (A + B) = P(A) + P ( B ) ;
nA
Isboti. 1) Ihtiyoriy A hodisaning chastotasi uchun 0 < Па < n ^ 0 < — < 1.
E tarlicha katta n lar uchun — - P(A) b o ‘lgani uchun 0 < P(A ) < 1 b o ‘ladi.
Па
2) M um kin b o ‘lm agan hodisa uchun nA=0.
3) M uqarrar hodisaning chastotasi nA=n.
4) A gar A •в = 0 b o ‘lsa, u holda nA+B = nA + nB va
P(A + B) - ПА+В = Па + Пв = ПА + ПВ - P(A) + P(B) .
n
n
n
n
■
1.6 E h tim o llik n in g k la ssik t a ’rifi
Q chekli n ta teng im koniyatli elem entar hodisalardan tashkil topgan
b o ‘lsin.
S a hodisaning ehtim olligi deb, A hodisaga qulaylik yaratuvchi
elem entar hodisalar soni k ning tajribadagi barcha elem entar hodisalar soni
n ga nisbatiga aytiladi.
p( a ) = N
A ) = -п
N (Q)
16
(1 6 .1 )
K lassik ta ’rifdan foydalanib, ehtim ollik hisoblashda kom binatorika
elem entlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kom binatorikaning b a ’zi
elem entlari keltiramiz. K om binatirikada q o ‘shish va k o ‘paytirish qoidasi
deb ataluvchi ikki m uhim qoida mavjud.
a = { a , a ,.., an} va в = {Ъ, Ъ2,..., Ъи} chekli to ‘plam lar berilgan b o ‘lsin.
S Q o ‘shish qoidasi: agar A to ‘plam elem entlari soni n va B to ‘plam
elem entlari soni m b o ‘lib, A •в = 0 ( A va в to ‘plam lar kesishm aydigan)
b o ‘lsa, u holda A +в to ‘plam elem entlari soni n+m b o ‘ladi.
S K o ‘p aytirish qoidasi: A va B to ‘plam lardan tuzilgan barcha ( a , Ъ})
juftliklar to ‘plam i C = { (a ,b ) : *= 1,n j = 1,m} ning elem entlari soni n m
b o ‘ladi.
n ta elem entdan m (0 < m < n )tadan tanlashda ikkita sxem a mavjud:
qaytarilm aydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxem ada olingan
elem entlar qayta olinm aydi(orqaga qaytarilm aydi), ikkinchi sxem ada esa
har bir olingan elem ent har qadam da o ‘rniga qaytariladi.
I. Q a y ta rilm a y d ig a n ta n la s h la r sxem asi
S Guruhlashlar soni: n ta elem entdan m (0 < m < n )tadan guruhlashlar
soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
c : = — n—
m!(n - m)!
(1.6.2)
c : sonlar N yuton binom i form ulasining koeffisientlaridir:
(p + q )n = p n + C1 p n-1q + С 2p n-2q 2 +... + q n .
S O ‘rinlashtirishlar soni: n ta elem entdan m (0 < m < n ) tadan
o ‘rinlashtirishlar soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
•
a: =
(1 .6 3 )
S O ‘rin almashtirishlar soni: n ta elem entdan n tadan o ‘rinlashtirish
o ‘rin alm ashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi:
Pn = n!.
17
(1.6.4)
O ‘rin
alm ashtirish
o ‘rinlashtirishning
xususiy
holidir,
chunki
agar
(1.6.3.)da n=m b o ‘lsa a : = — n!— = — = n! b o ‘ladi.
v
7
n
(n - m)! 0!
II. Q a y ta rila d ig a n ta n la s h la r sxem asi
S Qaytariladigan guruhlashlar soni: n ta elem entdan m (0 < m < n )
tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi form ula orqali hisoblanadi:
—
C rr =
m
C
n m+ m
-
1
(1.6.5)
S Qaytariladigan o ‘rinlashtirishlar soni: n ta elem entdan m
(0 < m < n ) tadan qaytariladigan o ‘rinlashtirishlari soni quyidagi form ula
orqali hisoblanadi:
““m
A n = n m.
(1.6.6)
S Qaytariladigan o ‘rin almashtirishlar soni: k hil n ta elem entdan
iborat to ‘plam da 1-element n 1 marta, 2-elem ent n2 m arta,..., k- elem ent nk
m arta qaytarilsin va n + n2 +... + nk = n b o ‘lsin, u holda n ta elem entdan
iborat o ‘rin alm ashtirish Pn(n1, n2,..., nk) orqali belgilanadi va u quyidagicha
hisoblanadi:
Pn(n1, n2,..., nk ) =
n!
------ .
П1!П2!...Пк !
(1 .6.4)
Endi ehtim ollik hisoblashga doir m isollar keltiramiz.
1.5-m isol. Telefon nom erini terayotganda abonent oxirgi ikki
raqam ni eslay olmadi. U bu raqam lar har xil ekanligini eslab, ularni
tavakkaliga terdi. Telefon nom eri to ‘g ‘ri terilganligi ehtim olligini toping.
Oxirgi ikki raqam ni a2 usul bilan terish mumkin. ^ = {telefo n nom eri
to ‘g ‘ri terilgan} hodisasini kiritamiz. A hodisa faqat bitta elem entdan iborat
b o ‘ladi(chunki kerakli telefon nom eri bitta b o ‘ladi). Shuning uchun klassik
ta ’rifga k o ‘ra P( A) = N (A) = - ^ = —1— = — - 0.011.
ga o a
N (Q) A2 10 •9 90
.
1.6-m isol. 100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli b o ‘lsin.
Tavakkaliga olingan 10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi b o ‘lishi
ehtim olligini toping.
18
100 ta lotoreya biletlaridan 10 tasini c ^
usul bilan tanlash mumkin.
B ={10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi b o ‘lishi } hodisasi b o ‘lsa,
N (B) = c 1 •С999 va P(B) = N (B ) =
= 0.1.
1.7-m isol. Pochta b o ‘lim ida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta
otkritkadan: a) 4 tasi bir xilda; b) 4 tasi turli xilda b o ‘lishi ehtim olliklarini
toping.
6 xil otkritkadan 4 tasini C64 usul bilan tanlash mumkin. a) A={4 ta
bir xildagi otkritka sotilgan} hodisasi b o ‘lsin. A hodisaning elem entar
hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng, y a ’ni N(A)= 6 . K lassik
„ N (A)
6
6
1
ta ’rifga k o ‘ra P(A) ^
^
= — b o ‘ladi. b) B={4 ta har xil
( ) C6
otkritka sotilgan} hodisasi b o ‘lsin, u holda N(B) = c 64 ga teng
va
P( B)
N (B) _ C4 _ 15 _ 5
N (Q) c 4 126 42
K lassik ehtim ollik quyidagi xossalarga ega:
1. P (0 ) = 0;
2. P(Q) = 1;
3. 0 < P(A ) < 1;
4. A gar A •B = 0 b o ‘lsa, u holda P (A + B ) = P (A) + P ( B ) ;
5. VA, B e Q uchun P ( A + B) = P( A) + P( B) - P( A •B)
Isboti. 1) N (0) = 0 b o ‘lgani uchun klassik ta ’rifga k o ‘ra P (0 ) =
N (0 )
= 0.
2) K lassik ta ’rifga k o ‘ra P(Q) = N (Q) = 1.
7
°
N (Q)
3) Ihtiyoriy A hodisa uchun 0 c A c Q ekanligidan 0 < P(A ) < 1 b o ‘ladi.
4) A gar
A •в = 0
b o ‘lsa, u holda
N (A + B) = N (A) + N (B)
va
P( A + B) = N (A + B) = N (A) + N (B) = N(A) + N B ) = P( A) + P( B)
N (Q)
N (Q)
N (Q) N (Q)
5) A +в va в hodisalarni birgalikda b o ‘lm agan ikki hodisalar y ig ‘ndisi
shaklida
yozib
olamiz:
A + B = A + B •A (1.3 - misol), B = B Q = B •(A + A) = A •B + B •A , u holda 4xossaga k o ‘ra P (A + B) = P(A) + P (B •A) va p(b) = p (a •в) + p (b •A) .B u ikki
tenglikdan P (A +B) = P(A) + P(B) - P(A •B) kelib chiqadi.
■
19
1.7 E h tim o llik n in g g eo m etrik t a ’rifi
Ehtim olning klassik ta ’rifiga k o ‘ra Q - elem entar hodisalar fazosi
chekli b o ‘lgandagina hisoblashim iz mumkin. A gar Q cheksiz teng
im koniyatli elem entar hodisalardan tashkil topgan b o ‘lsa, geom etrik
ehtim ollikdan foydalanamiz.
O ‘lchovli biror G soha berilgan
b o ‘lib, u D sohani o ‘z ichiga olsin.
G sohaga tavakkaliga tashlangan
X
nuqtani D sohaga tushishi ehtim olligini
hisoblash m asalasini k o ‘ramiz. Bu yerda
X nuqtaning G sohaga tushishi m uqarrar
va D sohaga tushishi tasodifiy hodisa
b o ‘ladi. A ={X e D} -X nuqtaning D sohaga
6-rasm.
tushishi hodisasi b o ‘lsin.
S A hodisaning geom etrik ehtim olligi deb, D soha o ‘lchovini G soha
o ‘lchoviga nisbatiga aytiladi, y a ’ni
=
mes{D} ,
mes{G} ’
bu yerda mes orqali uzunlik, yuza, hajm belgilangan.
1.8-m isol. l uzunlikdagi sterjen tavakkaliga tanlangan ikki nuqtada
b o ‘laklarga b o ‘lindi. H osil b o ‘lgan b o ‘laklardan uchburchak yasash
m um kin b o ‘lishi ehtim olligini toping.
Birinchi b o ‘lak uzunligini x,
ikkinchi b o ‘lak uzunligini у bilan
belgilasak, uchinchi b o ‘lak uzunligi l-x-y
b o ‘ladi. Bu yerda Q = {(x,>’) : 0 <jc + >'</},
y a ’ni o< x + >’< /sterjenning b o ‘laklari
uzunliklarining barcha b o ‘lishi m um kin
b o ‘lgan
kom binatsiyasidir.
Bu
b o la k lard an
uchburchak
yasash
m um kin b o lis h i uchun quyidagi shartlar
* bajarilishi
kerak:
x + y > i-x -y ,
x + l - x - y > y, y +l - x - y > x .
7-rasm.
20
B ulardan x < 1 , y < 1 , x + y > 1 ekanligi kelib chiqadi.
B u tengsizliklar 7-rasm dagi b o ‘yalgan sohani bildiradi. Ehtim ollikning
geom etrik ta ’rifiga k o ‘ra:
1
P( A) =
1
1
mes{A} _ 2 2 2 = 1
mes{G} 1 •/ •/
4’
2
1.9-m isol. (U chrashuv haqida)
Ikki d o ‘st soat 9 bilan 10 orasida uchrashishga kelishishdi. Birinchi
kelgan kishi d o ‘stini 15 daqiqa davom ida kutishini, agar shu vaqt
m obaynida d o ‘sti kelm asa u ketishi m um kinligini shartlashib olishdi. A gar
ular soat 9 bilan 10 orasida ixtiyoriy m om entda kelishlari m um kin b o ‘lsa,
bu ikki d o ‘stning uchrashishi ehtim olini toping.
Birinchi kishi kelgan m om entni x, ikkinchisinikini y b o ‘lsin:
0 < x < 60, 0 < y < 60 U holda ularning
uchrashishlari
uchun
|x - y < 15
tengsizlik bajarilishi kerak.
Demak, Q = {(x,y):0 < x < 60,0 < y < 60},
A = {(x,y): |x - y <15}. x va y larni D ekart
koordinatalar
tasvirlaym iz(8-rasm ).
U holda
tekisligida
1
(
602 - 2 — •45 •45 _
mes{A} _
2
_ '
P( A) =
mes{G}
602
16
8-rasm.
1.8 E h tim o llik n in g a k sio m a tik ta ’rifi
Ehtim ollar nazariyasini aksiom atik qurishda A.N. K olm ogorov
tom onidan 30-yillarning boshlarida asos solingan.
Q - biror tajribaning barcha elem entar hodisalar to ‘plami, S-hodisalar
algebrasi b o ‘lsin.
21
S S hodisalar algebrasida aniqlangan, haqiqiy qiym atlar qabul qiluvchi
P(A) fuksiya ehtim ollik deyiladi, agar u uchun quyidagi aksiom alar o ‘rinli
b o ‘lsa:
A1: ihtiyoriy A e S hodisaning ehtim olligi m anfiy emas
P(A) > 0
(nom anfiylik aksiomasi);
A2:
m uqarrar
hodisaning
ehtim olligi
birga
teng
P(Q) = 1
(norm allashtirish aksiomasi);
A3: juft-jufti bilan birgalikda b o ‘lm agan hodisalar y ig ‘indisining
ehtim olligi shu hodisalar ehtim ollari y ig ‘indisiga teng, y a ’ni agar
At •Aj = 0 , i ф j b o ‘lsa, u holda
P(U A,-) = I P(A ,)
k
k
(additivlik aksiomasi);
(Q, S , P ) uchlik ehtim ollik fazosi deyiladi, bu yerda Q -elem entar
hodisalar fazosi, S-hodisalar algebrasi, P- A1-A3 aksiom alarni
qanoatlantiruvchi sanoqli funksiya.
1.9 E h tim o llik n in g x o ssalari
K olm ogorov aksiom alarining tatbiqi sifatida quyidagi xossalarni
keltiramiz:
1. M um kin b o ‘lm agan hodisaning ehtim oli nolga teng
P (0 ) = 0.
2. Q aram a-qarshi hodisalarning ehtim olliklari y ig ‘indisi birga teng
P ( A) + P ( A) = 1.
3. Ixtiyoriy hodisaning ehtim olligi uchun quyidagi m unosabat o ‘rinli:
0 < P ( A) < 1
4. A gar A с B b o ‘lsa, u holda P(A) < P (B ) .
5. A gar birgalikda b o ‘lm agan
Al,a 2,...,An hodisalar to ‘la gruppani
n
tashkil etsa, y a ’ni U A = Q va At •a = 0 , i ф j b o ‘lsa u holda
i =1
n
1 P( A ) = 1 .
i=1
22
Isboti:
1.
A + 0 = A, A - 0 = 0
tengliklardan
P(A) + P (0 ) = P (A) ^ P (0 ) = 0
A3
aksiom aga
k o ‘ra
2. A + A = Q A -A = Q tengliklardan P(A) + P(A) = P(Q) ham da A2 va A3
aksiom alardan esa P ( A) + P ( A) = 1 tenglik kelib chiqadi.
3. 2-xossaga k o ‘ra P(A) = 1 - P(A) va A1 aksiom aga asosan 0 < P ( A) < 1.
4. A с В ekanligidan В = (В - A) + A va (B - A)A = 0 . A3 aksiom aga k o ‘ra
P(B) = P (В - A) + P(A), am mo P(B - A) > 0 b o ‘lgani uchun P(A) < P (B ) .
5.
A +A +••• + A =Q
tenglik,
A2
va
A3
aksiom alarga
k o ‘ra
P(A1 + A2 + ••• + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ••• + P(An ) . ■
1.10 E h tim o llik la r fazosi
E lem entar hodisalar fazosi cheksiz b o ‘lsin: Q = {юю2,-, юп, • }. S esa
Q ning barcha qism to ‘plam laridan tashkil topgan hodisalar algebrasi
b o ‘lsin. H ar bir a>l eQ , i = 1,2V„ elem entar hodisaga р (ю ) sonni mos
q o ‘yamiz. р (ю ) -elem entar hodisaning ehtim oli deyiladi. Demak, q da
quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonli р (ю ) funksiya kiritamiz:
1. V ^ e Q ,
Р ( ю ) > 0;
ад
2.
X Р(Ю) = 1.
i=1
U holda A e Q hodisaning ehtim olligi y ig ‘indi shaklida ifodalanadi:
P( A) = X Р(Ю)
(1.10.1)
щ-eA
Ehtim ollikni bunday aniqlash K olm ogorov aksiom alarini qanoatlantiradi:
1. P( A) = X Р(ю) > 0, chunki har bir Р ( ю ) > 0;
tyeA
n
2. P(Q) = X Р(Ю) = X Р(Ю) = 1;
Ю
-eQ
i=1
3. A gar A -В = 0 b o ‘lsa, u holda
P( A + В) = X РЮ ) = X Р(ю ) + X Р(ю, ) = P( A) + P( B ).
ЮeA+В
ю eA
ю eB
23
Bunday aniqlangan {Q, S , P} uchlik ehtim olliklar fazosi(yoki diskret
ehtim olliklar fazosi) deyiladi.
A gar Q = {ю, ю2,•••, юп} - chekli fazo va tajribadagi barcha elem entar
hodisalar teng im koniyatli b o ‘lsa, y a ’ni
Р (ю1) = Р (ю2) = ••• = Р( юп) = 1 ,
n
(1.10.2)
u holda (1.10.1) form ula quyidagi k o ‘rinishga ega b o ‘ladi:
P(A) = X Р (ю ) = 1 + 1 + •••+1 = — .
z Za
n n
n n
(1.10.3)
v
'
V
m
Bu yerda m A hodisaga tegishli elem entar hodisalar soni. Bu esa
ehtim ollikni klassik ta ’rifga k o ‘ra hisoblashdir. Demak, klassik ehtimol
(1.10.1) form ula orqali aniqlangan ehtim ollikning xususiy holi ekan.
1.11 S h a rtli eh tim o llik
A va B hodisalar biror tajribadagi hodisalar b o ‘lsin.
S B hodisaning A hodisa ro ‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
P(A ' B) (P(A) * 0)
P(A)
(1.11.1)
v
>
nisbatga aytiladi. B u ehtim ollikni P(B / A) orqali belgilaymiz.
Shartli ehtim ollik ham K olm ogorov aksiom alarini qanoatlantiradi:
1. P( В / A) > 0;
2 P(Q / A) = P(Q- A) =
= 1P( A)
P( A) ’
3. A gar b -C = 0 b o ‘lsa, u holda
P((B + C) / A) =
P((B + C) -A)
P( A)
P(B -A + C -A)
P( A)
P(B -A) + P(C -A) = P (В / A) + P(C / A),
P( A)
P( A)
24
P(B -A) + P(C -A)
P( A)
chunki В -C = 0 ekanligidan, (В -A) -(C -A) = В -A -A -C = В -C -A = 0 - A = 0
1.10-m isol. Idishda 3 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga ketm a-ket
bittadan 2 ta shar olinadi. Birinchi shar oq rangda b o ‘lsa ikkinchi sharning
qora rangda b o ‘lishi ehtim olligini toping.
B u m isolni ikki usul bilan yechish mumkin:
1) A ={birinchi shar oq rangda}, B ={ikkinchi shar qora rangda}. A hodisa
ro ‘y berganidan so ‘ng idishda 2 ta oq va 7 ta qora shar qoladi. Shuning
7
uchun P (В / A) = - .
2) (1.11.1)
form uladan
foydalanib,
hisoblaymiz:
3
P( A) = — ,
3 7
7
P (A B ) = — -- = —
10 9
30
P (A - B)
Shartli ehtim ollik form ulasiga k o ‘ra: P (B / A) =
7/30 7
= 3 / 10 = 9 .
Shartli ehtim ollik form ulasidan hodisalar k o ‘paytm asi ehtim olligi
uchun ushbu form ula kelib chiqadi:
P( A -B) = P( A) -P(B / A) = P(B) -P (A / B)
(1.11.2)
(1.11.2) tenglik k o ‘paytirish qoidasi(teorem asi) deyiladi. B u qoidani n ta
hodisa uchun um um lashtiram iz:
P(A -A2 -••• -An) = P( Aj) -P(A2/ Ax) -P( A3 / A A ) - -P(An / AxA±... An-!).
(1.11.3)
S A gar P(A / B) = P(A) tenglik o ‘rinli b o ‘lsa, u holda A hodisa
B hodisaga b o g ‘liq emas deyiladi va A ± В orqali belgilanadi.
A gar A ± В b o ‘lsa, u holda
(1.11.2) form ulani quyidagicha yozish
mumkin:
P(A -B) = P(B) -P(A / B) = P(B) -P(A) .
S a va B hodisalar o ‘zaro b o g ‘liq emas deyiladi, agar
P( A -B) = P( A) -P(B)
m unosabat o ‘rinli b o ‘lsa.
L em m a. A gar A ± В b o ‘lsa, u holda A 1 В , A 1 В va A 1 В b o ‘ladi.
25
Isboti: A 1 В b o ‘lsin. U holda P (A - B) = P (A) -P (B) m unosabat o ‘rinli
b o ‘ladi. P(B ) + P ( B) = 1 tenglikdan foydalanib, quyidagiga ega b o ‘lamiz:
P (A -B) = P(A -(Q - B)) = P(A -Q - A -B) = P(A - A -B) = P(A) - P(A -B) =
= P( A) - P( A) -P( B) = P( A) -(1 - P( B)) = P( A) -P( B)•
Demak, P (A -B) = P(A) -P(B) ^ a
isbotlanadi. ■
1
В . Q olganlari ham xuddi shunday
1.12 T o ‘la eh tim o llik v a B ayes fo rm u la la ri
A ,A ,•••, A
juft-jufti bilan birgalikda b o ‘lm agan hodisalar to ‘la
n
gruppani tashkil etsin, y a ’ni
у л =Q va At -a }. = 0 , i* j
. U holda
i=1
A +A +••• + A =Q
ekanligini
hisobga
В = в -Q = В -(А1+ A2 + ••• + An) = в -л +в -А +•••+в -A
olib,
В
ni
k o ‘rinishda yozamiz.
At -Aj = 0 , i * j ekanligidan (в -At) -(в -Aj ) = 0 , i * j ekani kelib chiqadi. в
hodisaning ehtim olligini hisoblaymiz:
P (B ) = P (В -A + В -A
+ ••• + В - A ) =
= P(B -A ) + P (B -A ) + ••• + P (B -An).
K o ‘paytirish qoidasiga k o ‘ra
tenglikni (1.12.1) ga q o ‘llasak,
(1.12.1)
P(B -A ) = P(A ) -P (B /A ), i = 1 n b o ‘ladi. Bu
P(B ) = P ( Ax)P(В / 4 ) + P(A 2 )P (В / A2 ) + ••• + P ( a . )P ( В / Аи).
n
S A gar В с X A , b o ‘lsa, u holda
i =1
n
P (B ) = X P ( A, )P(B / A, )
(1.12.2)
i=1
tenglik o ‘rinli b o ‘ladi. B u tenglik t o ‘la ehtim ollikform ulasi deyiladi.
1.11-m asala. D etallar partiyasi uch ishchi tom onidan tayyorlanadi.
Birinchi ishchi barcha detallarning 25% ini, ikkinchi ishchi 35% ini,
uchinchsi esa 40% ini tayyorlaydi. B u uchchala ishchining tayyorlagan
detallarining sifatsiz b o ‘lish ehtim olliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02
26
ga teng b o ‘lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz
b o ‘lish ehtim olligini toping.
A-={detal i-ishchi tom onidan tayyorlangan} i = 1,3 , B={tekshirish
uchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritam iz
va quyidagi
ehtim olliklarni hisoblaymiz:
P( A ) =
P (B / A1) = 0^05,
100%
= 025, P( A ) =
P (B / A2) = 0^04,
100%
= 035,
P( A ) =
P (B / A3) = 0Ш .
= 04,
100%
T o ‘la
ehtim ollik
form ulasiga asosan P(B) = 0^25 -0^05 + 0 3 5 -0^04 + 0^4 -0^02 = 0Ю345.
A t va B hodisalar k o ‘paytm asi uchun
P ( A t, - B ) = P (B ) - P ( A , / B)
(1.12.3)
P ( A, - B) = P ( a , ) - P (В / a , )
(1.12.4)
tengliklar o ‘rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil
qilamiz:
P (B ) - P ( A / B) = P ( A ) - P ( В / A ) ,
P (A, / B ) = P(Ai) P (B / A i).
(1.12.5)
n
B u yerda
P (B ) = X P (A , )P(B / A, ) . (1.12.5) tenglik Bayes form ulasi
i=1
deyiladi. Bayes form ulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi.
A gar A a 2 A n hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda p ( a , ) ehtim ollik
j ,
v
„ ,
A t gipotezaning aprior(“a priori” lotincha tajribagacha), p (a , / в)
shartli
ehtim ollik esa aposterior(“a posteriori” tajribadan keyingi) ehtim olligi
deyiladi.
1.12-m asala. 1.11-m isolda sifatsiz detal ikkinchi ishchi tom onidan
tayyorlangan b o ‘lishi ehtim olligini toping. Bayes form ulasiga k o ‘ra:
0 3 5 -0^04
28 A/1
P( A / B) = -------------------------------------------= — « 0^4
^
0^25 -0^05 + 03 5 -0^04 + 0^4 -0Ю2 69
.
27
1.13 B og‘liqsiz ta jr ib a la r k etm a-k etlig i. B e rn u lli fo rm u lasi
A gar bir necha tajribalar o ‘tkazilayotganida, har bir tajribada biror A
hodisaning ro ‘y berish ehtim olligi boshqa tajriba natijalariga b o g ‘liq
b o ‘lmasa, bunday tajribalar b o g ‘liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta b o g ‘liqsiz tagribalar o ‘tkazilayotgan b o ‘lsin. H ar bir tajribada A
hodisaning ro ‘y berish ehtim olligi P(A) = p va ro ‘y berm asligi ehtim olligi
P(A) = 1- p = q b o ‘lsin.
M asalan, 1) nishonga qarata o ‘q uzish tajribasini k o ‘raylik. B u yerda
A ={o‘q nishonga tegdi}-m uvaffaqqiyat va A = {o ‘q nishonga tegm adi}m uvaffaqqiyatsizlik; 2) n ta m ahsulotni sifatsizlikka tekshirilayotganda
A ={m ahsulot
sifatli}-m uvaffaqqiyat
va
A ={m ahsulot
sifatsiz}m uvaffaqqiyatsizlik b o ‘ladi.
Bu kabi tajribalarda elem entar hodisalar fazosi Q faqat ikki
elem entdan iborat b o ‘ladi: Q = {щ ,щ } = {A,A}, bu erda щ -A hodisa ro ‘y
berm asligini, щ -A hodisa ro ‘y berishini bildiradi. B u hodisalarning
ehtim olliklari m os ravishdap va q (p+q= 1 ) lar orqali belgilanadi.
A gar n ta tajriba o ‘tkazilayotgan b o ‘lsa, u holda elem entar hodisalar
fazosining elem entar hodisalari soni 2n ga teng b o ‘ladi. M asalan, n=3 da
Q = {щ ,щ ,•••,<^7} = {AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA, AAA},
y a ’ni
Q
о
to ‘plam 2 = 8 ta elem entar hodisadan iborat. H ar bir hodisaning
ehtim olligini k o ‘paytirish teorem asiga k o ‘ra hisoblash mumkin:
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A) P ( A) P ( A) = q 3,
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A) P ( A) P ( A) = p q 2,
р ( щ ) = P ( AAA) = P ( A)P ( A) P ( A) = p \
n ta bo g ‘liqsiz tajribada A hodisa m m arta ro ‘y berish ehtim olligini
hisoblaylik:
p (m) = P(A -A -•••■A- A -A -•••A) + P( AA -A -•••■A- A -A -•••■A) + •••+
V
V
V
V
mta
(n -m )ta
mta
(n -(m -1 ))ta
P(A -A-...-A- A ■A-. . ■A - A ) + P(A ■A , ■■.A-A -A ■...■A )
V
V
V
V
(n -(m -1 ))ta
mta
(n -m )ta
mta
28
H ar bir q o ‘shiluvchi k o ‘paytirish teorem asiga k o ‘ra p mqn~m ga teng.
Demak,
p (m) = p mq n-m + p mq n-m +... + p mq n-m = C ”p mq n-m,
V
.
m = 0,1,...n .
J
v
Cnm/a qo'shiluvchi
S A gar и ta b o ‘g ‘liqsiz tajribaning har birida A hodisaning ro ‘y berish
ehtim olligi p ga, ro ‘y berm asligi q ga teng b o ‘lsa, u holda A hodisaning m
m arta ro ‘y berish ehtim olligi quyidagi ifodaga teng b o ‘ladi:
Pn(m) = cnmpmq n-m,
m = 0,1,...n .
(1.13.1)
(1.13.1) form ula Bernulli form ulasi deyiladi. p (m) ehtim olliklar uchun
n
X p . (m) = 1 tenglik o ‘rinlidir. H aqiqatan ham,
m =0
(q + p x ) n = q n + C\ q n-1p x + C 2nq n-2p 2x 2 +... + p nx n
N yuton binom i form ulasida x = 1 deb olsak,
(q + p ) n = q n + C1 q n-1p + C 2q n-2p 2 +... + p n, y a ’ni
n
1 = Pn (0) + Pn (1) +... + Pn (n) = X Pn (m) b o ‘ladi.
m =0
(1.13.1) ehtim olliklar xossalari:
n
1. X Pn (m) = 1 .
m=0
m2
2. A gar m1 < m < m2 b o ‘lsa, Pn(m 1 ^ m ^ m2) = X Pn(m ).
m=m1
3. n ta b o g ‘liqsiz tajribada A hodisaning kam ida 1 m arta ro ‘y berishi
ehtim olligi P = 1- qn b o ‘ladi.
Chunki, p. (0) + P,(1) + . ..+p, (и) = 1^ P = 1- p. (0) = 1- q n .
P
4. A gar p(m) ehtim ollikning eng katta qiym ati p (m0) b o ‘lsa, u holda m0
quyidagicha
aniqlanadi:
np - q < m 0 < (n +1)p ,
m -eng
deyiladi va
a) agar np-q kasr son b o ‘lsa, u holda mQyagonadir;
b) agar np-q butun son b o ‘lsa, u holda m0 ikkita b o ‘ladi.
29
ehtim olli
son
1.13-m isol. Ikki teng kuchli shaxm atchi shaxm at o ‘ynashm oqda.
Q aysi hodisaning ehtim olligi katta: 4 ta partiyadan 2 tasida yutishm i yoki 6
ta partiyadan 3 tasida yutish. Birinchi holda: n=4, m=2, p= 1 , Bernulli
1
form ulasiga k o ‘ra P4(2) = C
v2 J
Ikkinchi
holda
n=6 ,
m=3,
1- 1
2,
p= 1
6 •A
22 22
6
16
Bernulli
form ulasiga
va
k o ‘ra
1- 1
16 17
16 > 17
16 ^ P4(2) > P6(3 ). Demak, 4
23 23 17.
v 2 J v 2,
ta partiyadan 2 tasida yutish ehtim olligi katta ekan.
Рб(3) = C
1.14 L im it te o re m a la r
A gar n va m lar katta sonlar b o ‘lsa, u holda Bernulli form ulasidan
foydalanib, Pn(m) ehtim ollikni hisoblash qiyinchilik tu g ‘diradi. Xuddi
shunday, p(q) ehtim ollik ju d a kichik qiym atlar
qiyinchiliklarga duch kelamiz. Shu sababli, n
qabul qilsa ham
da p (m) uchun
asim ptotik(taqribiy) form ulalar topish m uam m osini tu g ‘diradi.
P u asso n fo rm u lasi
S A gar n ^ w da A hodisaning ro ‘y berish ehtim olligi p har bir
tajribada cheksiz kam aysa(ya’ni np ^ a > 0 ), u holda
a •e- a
limp, (m) = m! m =0,1,2,... .
(1.14.1) form ula Puassonning asim ptotik form ulasi deyiladi.
p = a belgilash kiritib, Bernulli form ulasidan
n
n!
Pn(m) = C nmp mqn-m
m!(n - m)!
,• (n - 1)v..• ( , - (m -1)) am
m!
nm v
a
n -m
m
1- a
v nJ
-m
nJ
1- a л
v nJ
30
(1.14.1)
\-m
\ n f
n - (m -1) f
i- a л
i- a
n
v
J v nJ
Jn
Jn
— -1- L1— 1^ L1— 2 ^
m!
1
V
n
L1—a Л L1—a ^
n J
V n)
-m
(1.14.2)
Jn
a m
m
-1
am n n -1 n - 2
m! n n
n
n
lim 1- a л
n
nJ
o ‘tamiz:
——^
e a ekanligini e ’tiborga olib, (1.14.2) tenglikdan lim itga
a
lim Pn(m) = — e a .
n—да
m!
Demak, yetarlicha katta n larda (kichik p da)
a m •e a
Pn(m) « ---------- , a = np, m = 0,1,..., n
m!
(1.14.3)
(1.14.3) form ula Puasson form ulasi deyiladi. O datda Puasson form ulasidan
n > 50, np < 10 b o ‘lgan hollarda foydalaniladi.
1.14-m isol. Telefon stansiyasi 2000 ta abonentga xizm at k o ‘rsatadi.
A gar har bir abonent uchun unig bir soatning ichida q o ‘n g ‘iroq qilishi
ehtim olligi 0.003 b o ‘lsa, bir soatning ichida 5 ta abonent q o ‘ngiroq qilishi
ehtim olligini toping.
n=2000, p= 0.003, m=5, ^=np=2000-0.003=6<10. Dem ak, Puasson
65 •e“6
form ulasiga k o ‘ra P2ooo(5) = — “ — ~ 0,13 .
M u a v r-L a p la sn in g lo k al te o re m a si
A gar p ( p ф 0, p ф 1 )ehtim ollik nol atrofidagi son b o ‘lm asa va n
etarlicha katta b o ‘lsa, u holda Pn(m) ehtim ollikni hisoblash uchun M uavrLaplas teorem asidan foydalanish mumkin.
T e o re m a (M u a v r-L a p la s) A gar n ta b o g ‘liqsiz tajribada A
hodisaning ro ‘y berish ehtim olligi 0 < p < 1 b o ‘lsa, u holda yetarlicha katta
n larda
1
Pn(m)
1
—
_
• - ^ •e 2 , x = m=np
sjnpq у[2ж
yjnpq
31
(1.14.4)
-taqribiy form ula o ‘rinli. Bu yerda
P(x) = —j = •e 2
V2^
funksiya Gauss
funksiyasi deyiladi(9-rasm ).
9-rasm.
p(x) funksiya uchun x argum ent qiym atlariga mos qiym atlari jadvali
tuzilgan(l-ilova). Jadvaldan foydalanayotganda quyidagilarni e ’tiborga
olish kerak:
1) p( x) funksiya ju ft funksiya, y a ’ni p ( - x ) = p ( x ) .
2) agar x > 4 b o ‘lsa, p ( x) = 0 deb olish mumkin.
1.15-m isol. Bitta o ‘q otilganda o ‘qning nishonga tegish ehtim olligi
0.7 ga teng. 200 ta o ‘q otilganda nishonga 160 ta o ‘q tegishi ehtim olligini
toping.
Bu yerda n=200, p= 0.7, q=1-p=0.3, m=160. (1.14.4) ga k o ‘ra
i—
160 - 200 •0.7
20
i
i-----------------Jnpq = J 200• 0.7 •0.3 = 442 « 6.48,
x = ------- ==------ = ------- * 3.09 . A gar
^ ™
’
V42
6.48
&
p(3.09) * 0.0034
ekanligini
hisobga
olsak,
u
holda
P200(160) * — • 0.0034 * 0.0005
200
6.48
.
M u a v r-L a p la sn in g in te g ra l te o re m a si
A gar n yetarlicha katta va A hodisa n ta tajribada kam ida
va k o ‘pi
bilan m 2 m arta ro ‘y berish ehtim olligi Pn(m1 < m < m2) ni topish talab etilsa,
u holda M uavr-Laplasning integral teorem asidan foydalanish mumkin.
32
T e o re m a (M u a v r-L a p la s) A gar A hodisaning
ehtim olligi( 0 < p < 1) o ‘zgarm as b o ‘lsa, u holda
■J^
Pn(m1 < m < m2)
л!2ж
ro ‘y
berish
x2
f ^ dx,
r.
(1.14.5)
taqribiy form ula o ‘rinli, bu yerda xt = m>_n p , i = 1,2 .
■\jnpq
(1.14.5) form uladan foydalanilganda hisoblashlarni soddalashtirish uchun
m axsus funksiya kiritiladi:
1
Ф °
(x)
=
x
7 2 T f0 e
dt
(1.14.6)
(1.14.6)-Laplas funksiyasi deyiladi.
ФоСО
10-rasm.
Ф 0(x) funksiya toq funksiya:
1 -x
1 х
/
Ф 0( - x ) = .— f e -t 72dt = [ t = - z ] = — ~^= f e - 72dz = - Ф 0( x ) .
x2n 0
л/ 2 ^ 0
A gar x > 5 b o ‘lsa, u holda Ф 0(x) = 0.5 deb hisoblash mumkin;
Ф 0(x) funksiya grafigi 10-rasmda keltirilgan.
(1.14.5)
dagi tenglikning o ‘ng qism ini Ф 0(x) funksiya orqali
ifodalaymiz:
33
^ x2
Pn(m < m < m2) = ,— f e x2dx =
V2^ xj
x2
1 0
-| x2
= .— f e ^ d t = ,— f e x2dx + ,— f e x2dx = Ф 0(x 2) - Ф 0(x j ). (1.14.7)
-\2ж x
42ж x
42ж 0
-<
1 x
Г -t2/ j
I e 2dt -Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda Gauss
v 2^ 0
funksiyasi deb nom lanuvchi funksidan ham foydalaniladi:
Ф 0(x) =
1
Ф(x) =
x 2/
je " '2/2d t .
(1.14.8)
B u funksiya uchun Ф ( - x) + Ф (x) = 1 tenglik o ‘rinli va u Ф 0(x) funksiya
bilan
Ф( x) = 0.5 + Ф 0 ( x)
(1.14.9)
form ula orqali b o g ‘langan.
1.16-m isol. Sex ishlab chiqargan m ahsulotining o ‘rtacha 96% i
sifatli. B azada m ahsulotni qabul qilib oluvchi sexning 200 ta m ahsulotini
tavakkaliga tekshiradi. A gar tekshirilgan m ahsulotlardan sifatsizlari soni
10 tadan k o ‘p b o ‘lsa butun m ahsulotlar partiyasi sifatsiz deb, sexga
qaytariladi. M ahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtim olligini toping.
B u yerda n=200, p=0.04(m ahsulotning sifatsiz b o ‘lish ehtim olligi), q=0.96,
mj= 0 , m2=10 va m ahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtim olligi
P200(0 < m < 10) ni (1.14.7) form ula orqali hisoblaymiz:
x, =
0 - 200 • 0 .0 4
* - 2 .8 9 , x 7 =
л/200 • 0 .0 4 • 0 .9 6
10 - 200 • 0.04
* 0.72
л/200 • 0.04 • 0.96
P200(0 < m < 10) = Ф 0(0.72) - Ф (-2 .8 9 ) = 0.26424 + 0.49807 = 0.7623 .
A gar
Ф( x)
funksiyadan
foydalansak,
P2m(0 < m < 10) = Ф (0.72) - Ф (-2 .8 9 ) =
= 0.7642 - (1 - Ф(2.89)) = 0.7642 - (1 - 0.998074) = 0.7623.
Laplas funksiyasi yordam ida n ta b o g ‘liqsiz tajribada nisbiy
chastotaning ehtim ollikdan chetlashishi ehtim olligini hisoblash mumkin.
S B iror s> 0 son uchun
34
P
n
n
n
p < £ > = 2Ф Г £
(1.14.10)
pq
tenglik o ‘rinli.
nA
H aqiqatan ham, buni isbotlash uchun — - P < £ tengsizlik ehtim olligini
n
hisoblash kerak. Buning uchun bu tengsizlikni unga teng kuchli
n^ - np
n
< £ tengsizliklar bilan alm ashtiram iz. Bu
- £ < — - p <£ yoki - £ <
n
n
tengsizliklarni m usbat
— songa k o ‘paytiramiz:
pq
n
n np
n
<
<£
pq
jn p q
\ pq
A
A gar m =
.
nA - np
I
belgilashni kiritsak, u holda (1.14.5) form ulaga asosan:
npq
i
•n
n
Pn ( - £ — < m < £ J — ) » .—
V 2^
pq
\p q
ypq
[
^
vpq
dt = .— [
42л i
л/2
,
dt = 2Ф
- £
n
-л
£
v Vpq у
1.17-m isol. D etalning nostandart b o ‘lishi ehtim olligi 0.6 ga teng.
^=1200 ta detal ichida nostandart detallar b o ‘lishi nisbiy chastotasining
^ = 0 .6 ehtim ollikdan chetlashishi absolut qiym ati £= 0.05 dan katta
b o ‘lmasligi ehtim olligini toping.
(1.4.10) ga asosan,
1200
P1200 — - 0.6 < 0.05 у = 2ФГ 0.05.
n
0.6 •0.4
2Ф0(3.54)« 0.9996.
I b o b g a d o ir m iso llar
1.
A,B
va
С hodisalar
uchun quyidagilarni isbotlang:
a)
B = A •B + A •B ;
b) (A + B) • (B + C) = A •B + C ; c) A + B = A • B .
2. 11-rasmda 6 elem entdan iborat sxem a berilgan.
A t( i = 1,6 )
hodisalar m a’lum T vaqt oralig‘ida mos elem entlarning beto ‘xtov ishlashi
35
b o ‘lsa, bu hodisalar orqali m a’lum T vaqt o ralig‘ida sxem aning b eto ‘xtov
ishlashini ifodalang.
3
1
2
6
4
5
11-rasm.
3. Ixtiyoriy ikki q o ‘shni raqam lari har xil b o ‘lgan nechta to ‘rt xonali
son hosil qilish mumkin?
4. M usobaqaning 10 ta ishtirokchisiga 3 ta yutuqni necha xil usul
bilan taqsim lash mumkin.
5. M a’lum uchta kitob yonm a-yon turadigan qilib, 7 ta kitobni
tokchaga necha xil usul bilan taxlash mumkin.
6. Birinchi talabada 7 xil, ikkinchisida 16 xildagi kitoblar bor b o ‘lsa,
kitobga kitobni necha xil usul bilan alm ashtirishlari mumkin. 2 ta kitobga 2
ta kitobnichi?
7. 3,3,5,5,8 raqam laridan nechta besh xonali son hosil qilish mumkin.
8. 9 qavatli bino liftiga 4 kishi kirdi. U larning har biri bir-biriga
b o ‘gliqsiz ravishda ixtiyoriy qavatda chiqishlari mumkin. U lar : a) turli
qavatlarda; b) bitta qavatda: c) 5-qavatda chiqishlari ehtim olliklarini
toping.
9. Im tihon biletlariga kiruvchi 60 savoldan talaba 50 tasini biladi.
Tavakkaliga tanlangan 3 ta savoldan: a) ham m asini; b) ikkitasini bilishi
ehtim olligini toping.
10. Idishda 5 ta k o ‘k, 4 ta qizil va 3 ta yashil shar bor. Tavakkaliga
olingan 3 ta sharning: a) bir xil rangda; b) har xil rangda; c) 2 tasi k o ‘k va
1 tasi yashil rangda b o ‘lishi ehtim olligini hisoblang.
11. R radiusli doiraga teng tom onli uchburchak ichki chizilgan.
D oiraga tavakkaliga tashlangan nuqtaning uchburchakka tushishi
ehtim olligini toping.
12. [0,5] kesm adan tavakkaliga bitta nuqta tanlanadi. Shu nuqtadan
kesm aning o ‘ng oxirigacha b o ‘lgan m asofa 1.6 birlikdan oshm asligi
ehtim olligini toping.
36
13. Idishda 4 ta oq, 3 ta k o ‘k va 2 ta qora shar bor. Tavakkaliga,
ketm a-ket, bittadan 3 ta shar olindi. Birinchi shar oq, ikkinchisi k o ‘k va
uchinchisi qora rangda b o ‘lishi ehtim olligini toping.
14. Shoshqol toshni tashlash tajribasida A ={juft raqam tushishi} va
B={3 dan katta raqam tushishi} hodisalari b o ‘lsin. A va B hodisalar
b o g ‘liqsizmi?
15. Q uyida berilgan bir-biriga b o g ‘liqsiz ravishda ishlaydigan
elem entlardan iborat sxem aning safdan chiqishi ehtim olligini toping,
z'(z'=1,2,.. .,7)-elem entning safdan chiqishi ehtim olligi 0.2 ga teng .
7
5
6
12-rasm.
16. A sbob ikki m ikrosxem adan iborat. Birinchi m ikrosxem aning 10
yil ichida ishdan chiqishi ehtim olligi 0.07, ikkinchisiniki-0.10. Bitta
m ikrosxem a ishdan chiqgani m a’lum b o ‘lsa, bu m ikrosxem a birinchisi
ekanligi ehtim olligini toping.
17. Talaba im tihon 40 ta biletlarining faqat 30 tasiga javob bera
oladi. Talabaga im tihonga birinchi b o ‘lib kirishi foydalim i, yoki ikkinchi?
18. Z avod ishlab chiqargan m ahsulotning 90% i sifat talablariga
javob beradi. Tekshruvchi m ahsulotni 0.96 ehtim ollik bilan sifatli, 0.06
ehtim ollik bilan sifatsiz deb topadi. Tavakkaliga olingan m ahsulotning
sifatli deb topilishi ehtim olligini toping.
19. O ilada 3 ta farzand bor. A gar o ‘g ‘il bola tu g ‘ilishi ehtim olligi
0.51, qiz bola tu g ‘lishi ehtim olligi 0.49 ga teng b o ‘lsa, a) bolalarning
ham m asi o ‘g ‘illar, b) 1 tasi o ‘g ‘il va 2 tasi qiz b o ‘lishi ehtim olliklarini
hisoblang.
20. Shoshqol tosh 10 m arta tashlanganda:
a) 6 raqam i bir m arta tushishi ehtim olligini;
b) 6 raqam i kam ida bir m arta tushish ehtimolligini;
37
c) 6 raqam i tushishi soni ehtim olligi m aksim al qiym atga erishadigan
m iqdorni toping.
21. “Ehtim ollar nazariyasi” fanidan m a’ruza darsida 84 ta talaba
ishtirok etmoqda. Shu talabalarning ikkitasini tu g ‘ilgan kuni shu kuni
b o ‘lishi ehtim olligini toping.
22. M ahsulotning sifatsiz b o ‘lishi ehtim olligi 0.02 ga teng. 200 ta
m ahsulotning ichida sifatsizlari bittadan k o ‘p b o ‘lm asligi ehtim olligiti
toping.
23. A hodisaning ro ‘y berish ehtim olligi 0.6 ga teng. 100 ta
b o g ‘liqsiz tajribada A hodisaning 70 m arta ro ‘y berishi ehtim olligini
toping.
24. Shunday m sonini topingki, 0.95 ehtim ollik bilan 800 ta yangi
tu g ‘ilgan chaqaloqlardan kam ida m tasi qizlar deb aytish m um kin b o ‘lsin.
Qiz bola tu g ‘ilishi ehtim olligini 0.485 deb hisoblang.
25. D etalning nostandart b o ‘lishi ehtim olligi 0.1 ga teng.
Tavakkaliga olingan 400 ta detal ichida nostandart detallar b o ‘lishi nisbiy
chastotasining p=0.1 ehtim ollikdan chetlashishi absolut qiym ati s= 0.03
dan katta b o ‘lm asligi ehtim olligini toping.
38
II b o b T asodifiy m o q d o rla r
2.1 T asodifiy m iq d o r tu sh u n c h a si
Ehtim ollar nazariyasining m uhim tusunchalaridan biri tasodifiy
m iqdor tushunchasidir.
S Tajriba natijasida u yoki bu qiym atni qabul qilishi oldindan m a’lum
bo'lm agan m iqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy m iqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X ,Y ,Z,...(yoki grek
alifbosining kichik harflari £,(ksi), л (eta), ^ ( d z e ta ) ,.) bilan qabul qiladigan
qiym atlari esa kichik harflar x1,x 2,...,y1, y 2,..., z1,z 2,... bilan belgilanadi.
Tasodifiy m iqdorlarga m isollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan
m ahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y-n ta o 'q uzilganda nishonga
tekkanlari
soni; 3) Z-asbobning b eto 'h to v ishlash vaqti; 4) £/-[0,1]
kesm adan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) F-bir kunda
tug'iladigan chaqaloqlar soni va h.k..
S A gar tasodifiy m iqdor(t.m .) chekli yoki sanoqli qiym atlar qabul
qilsa, bunday t.m. diskret tipdagi t.m. deyiladi.
S A gar t.m. qabul qiladigan qiym atlari biror oraliqdan iborat b o 'lsa
uzluksiz tipdagi t.m. deyiladi.
Demak, diskret t.m. bir-biridan farqli alohida qiym atlarni, uzluksiz t.m.
esa biror oraliqdagi ihtiyoriy qiym atlarni qabul qilar ekan. Y uqoridagi X va
Y t.m .lar diskret, Z esa uzluksiz t.m. bo'ladi.
Endi t.m .ni q at’iy ta ’rifini keltiramiz.
S Q elem entar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya t.m.
deyiladi, agar har bir о elem entar hodisaga X (o ) conni m os qo'ysa, yani
X =X (o), o e Q .
M asalan, tajriba tangani 2 m arta tashlashdan iborat bo'lsin. Elem entar
hodisalar
fazosi
Q = {о1, о 2,о 3, о 4}, о 1 = GG, о 2 = GR, о 3 = RG, о 4 = RR
bo'ladi. X -gerb chiqishlari soni b o 'lsin , u holda X t.m. qabul qiladigan
qiymatlari: X ( o 1 )=2, X ( o 2 )=1, X (o 3)=1, X ( o 4 )=0.
A gar Q chekli yoki sanoqli b o 'lsa, u holda Q da aniqlangan ixtiyoriy
funksiya t.m. bo'ladi. U m um an, X (o ) funksiya shunday b o 'lish i kerakki:
V x e R da A = {о : X (о ) < x} hodisa S c-algebrasiga tegishli b o 'lish i kerak.
39
2.2 D isk ret taso d ifiy m iq d o rn in g ta q sim o t q o n u n i
X -diskret t.m.
bo'lsin.
X
t.m.
x1,x 2,...,xn,... qiym atlarni
mos
p 1, p 2,...,p n,... ehtim olliklar bilan qabul qilsin:
X
P
xt
p
1
x
2
x
n
p
2
pn
jadval diskret t.m. taqsim ot qonuni jadvali deyiladi. D iskret t.m. taqsim ot
qonunini p г = P { X = xt} , i = 1,2,...,n,... k o 'rinishda yozish ham qulay.
{X = x1},{X = x2},... hodisalar birgalikda bo'lm aganligi uchun ular
to 'la gruppani tashkil etadi va ularning ehtim olliklari y ig 'in d isi birga teng
bo'ladi, y a ’ni 2 p >= 2 P {X = x>} = 1 .
i
i
S X t.m. diskret t.m. deyiladi, agar x 1 ,x 2,... chekli yoki sanoqli to 'p lam
bo'lib , P {X = x;} = p t > 0 (i = 1,2,...) va p 1+ p 2 +... = 1 tenglik o 'rin li bo'lsa.
S X va Y diskret t.m .lar b o g ‘liqsiz deyiladi, agar A = {X = x } va
B = {Y = y j } hodisalar Vi = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m da b o g'liqsiz b o 'lsa, y a ’ni
P{X = x , Y = y .} = P{X = x;} •P{Y = y .}, n, m > да.
2.1-m isol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli b o 'lsa, tavakkaliga
olingan 3 ta lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m .ning taqsim ot
qonunini toping.
X t.m .ni qabul qilishi m um kin b o 'lg an qiym atlari x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 . Bu
qiym atlarning m os ehtim olliklari esa
p = P { X = 0} =
1
Cf0
= — =— ;
120 15
P2 = P { X = 1} = C L C . = 5 L = 7 ;
2
C30
120 15
Г'2 Г'1
Я
1
p 3 = P { X = 2} =
=— =—
3
—XQ
120 15
X t.m. taqsim ot qonunini jadval k o 'rin ish id a yozamiz:
X
P
0
7
15
1
7
15
2
1
15
V
- 7 ----7 1-----=
1 _ i1
/ p =----1
t i
40
15
15
15
2.3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari
D iskret va uzluksiz t.m .lar taqsim otlarini berishning universal usuli
ularning taqsim ot funksiyalarini berishdir. Taqsim ot funksiya F(x) orqali
belgilanadi.
S F(x) funksiya X t.m .ning taqsimot funksiyasi V x e R son uchun
quyidagicha aniqlanadi:
F (x ) = P { X < x} = P {a : X ( a ) < x} .
(2.3.1)
Taqsim ot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. F(x) chegaralangan:
0 < F (x ) < 1 .
2. F(x)
kam aym aydigan
funksiya:
agar
x 1 <x2
b o 'lsa,
u
holda
F(x) <F(x2).
3 . F (-да) = lim F (x) = 0,
F (+да) = lim F (x) = 1 .
х — -да
х — +да
4. F(x) funksiya chapdan uzluksiz:
lim F (x) = F (x0)
x ——xq - 0
Isboti: 1. B u xossa (2.3.1) va ehtim ollikning xossalaridan kelib chiqadi.
2. A = {X < xx}, B = {X < x2} hodisalarni kiritamiz. A gar x1<x2b o 'lsa,
holda
Aс B
F (x1) < F (x2) .
3. { X < -да} = 0
k o 'ra
va
P(A) < P ( B ) ,
y a ’ni
u
P ( X < x j < P ( X < x2) yoki
va {X < +да} = Q ekanligi va ehtim ollikning xossasiga
F i -да) = P { X < -да} = P { 0 } = 0
FC+да) = P { X < +да} = P{Q} = 1 .
4. A = { X < x0}, An = {X < xn} hodisalarni kiritamiz. B u yerda {xn} ketmaketlik m onoton o ‘suvchi, xn /[
A n hodisalar ketm a-ketligi ham o ‘suvchi
b o ‘lib, U A» = A - U h o l d a P(An) ^ P ( A ) , y a ’ni Д ^ р (х) = F (xo ) .
41
■
D iskret t.m. taqsim ot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:
F (x) = 2 p i .
(2.3.2)
xi <x
2.2-m isol. 2.1-m isoldagi X t.m. taqsim ot funksiyasini topamiz.
X
P
0
1
2
1
7
7
1
2
15
15
15
0<x<1
bo'lsa,
7
F (x) = P {X < 1} = P {X = 0} = — ;
7 7 14
3. A gar 1<x<2 b o 'lsa, F(x) = P {X = 0} + P {X = 1} = — + — = — ;
4. A gar x> 2 b o 'lsa, F(x) = P { X = 0}+P { X = 1}+P { X = 2} = 7 + 7 + ± = 1
Demak,
0, agar x < 0
7 ^ , agar 0 < x < 1
F (x)
1^ 5 , agar 1 < x < 2
1, agar x > 2
F (x) taqsim ot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan.
13-rasm.
42
S X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsim ot funksiyasi ixtiyoriy
nuqtada uzluksiz bo'lsa.
A gar F(x) taqsim ot funksiya uzluksiz t.m. taqsim ot funksiyasi b o 'lsa,
taqsim ot funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish
mimkin:
1. X t.m .ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiym atni qabul qilish ehtim olligi
taqsim ot funksiyaning shu oraliqdagi orttirm asiga teng:
P{a < X < b} = F(b) - F(a) .
(2.3.3)
2. X uzluksiz t.m .ning tayin bitta qiym atni qabul qilishi ehtim olligi
nolga teng:
P { X = x,.} = 0
1-natijada [a,b], (a,b], (a,b) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o'rinli,
y a ’ni
P{a < X < b} = P{a < X < b} = P{a < X < b} = P{a < X < b} = F (b) - F ( a ) .
M asalan, P {a < X < b} = P {X = a} + P {a < X < b} = P {a < X < b} .
Isboti. 1. a<b bo 'lg an i uchun { X < b} = { X < a} + {a < X < b} . {X < a} va
{a <X <b) hodisalar birgalikda b o'lm agani uchun P {X <b} = P {X < a} +
+P{a <X <b}. P{a < X < b} = P {X < b} - P { X < a} = F(b) - F(a) .
2. (2.3.3.) tenglikni [a,x) oraliqqa tatbiq etamiz: P{a < X < x} = F ( x ) - F ( a ) .
F(x)
uchun
lim F (x) = F(a).
lim P{a < X < x} = P{X = a} = limF (x) - F(a) = F(a) - F(a) = 0 .
■
x— a
funksiya
a
nuqtada
uzluksiz
b o 'lg an i
x—a
x—a
2.4 Z ich lik fu n k siy asi v a u n in g x o ssalari
U zluksiz t.m .ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.
S U zluksiz t.m. zichlik funksiyasi deb, shu t.m. taqsim ot funksiyasidan
olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
U zluksiz t.m. zichlik funksiyasif x ) orqali belgilanadi. Demak,
f (x) = F (x) .
Z ichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
43
(2.4.1)
1. f x ) funksiya m anfiy emas, y a ’ni
f (x) > 0.
2. X uzluksiz t.m .ning [a,b] oraliqqa tegishli qiym atni qabul qilishi
ehtim olligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga
teng, y a ’ni
b
P{a < X < b} = J f (x)dx .
a
3. U zluksiz t.m. taqsim ot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha
ifodalanadi:
x
F (x) = J f (t)d t.
(2.4.2)
-д а
4. Zichlik funksiyasidan
birga tengdir
- д а
dan +да gacha olingan xosm as integral
J f(x)dx
1
Isbotlar: 1. F(x) kam aym aydigan funksiya b o 'lg an i uchun F'(x) > 0 , y a ’ni
f (x) >0 .
2. P{a < X < b} = F(b) - F(a)
asosan:
tenglikdan
b
N yuton-Leybnis
form ulasiga
b
F(b) - F(a) = J F (x)dx = J f (x ) d x .
a
a
b
B u yerdan P{a < X < b} = J f (x )d x .
a
3. 2-xossadan foydalanamiz:
x
F (x) = P {X < x} = P{-да < X < x} =
Jf
( t)d t.
-да
4. A gar 2-xossada a
va b = +да deb olsak, u holda m uqarrar
X e (-да, +да) ga hodisaga ega bo'lam iz, u holda
=
- д а
+да
Jf
(x )dx =P{-(& < X < +да} = P{Q} = 1 .
-д а
■
2.3.-m isol. X t.m. zichlik funksiyasi
berilgan. O 'zgarm as a param etrni toping.
44
a
f (x) = -— 1+ x
tenglik bilan
+да
Z ichlik
funksiyaning
4-xossasiga
k o 'ra
J
a
+ ^ 2dx = 1,
y a ’ni
-д а
d
J
1
( я
( 7t \ \
a • j im ------ 2dx = a • lim arctgx \dc = a • — -----—
—+ ^ 1 + x
d—+да
[ 2
I 2 J
= a •— = 1 .
Demak,
’
1
a =—
—
2.5 T aso d ifiy m iq d o rn in g sonli x a ra k te ris tik a la ri
X
diskret
t.m.
taqsim ot
{ p t = P { X = x,.}, i = 1,2,...,n,... }.
qonuni
berilgan
bo'lsin:
M a te m a tik k u tilm a
да
S X t.m. m atem atikkutilm asi deb, 2 xiPi qator y ig 'in d isig a aytiladi va
i=1
да
M X = 2 x,p,
i=1
(2.5.1)
orqali belgilanadi.
M atem atik kutilm aning m a’nosi shuki, u t.m.
o 'rta qiym atini
да
ifodalaydi. H aqiqatan ham 2 p i =
i=1
1
ekanligini hisobga olsak, u holda
да
2^ i
M X = 2 x i±p i = —д--------=
x o,rtacha
,
а
i=1
2i=1 pi
S U zluksiz t.m. m atematik kutilmasi deb
+да
M X = J x •f (x)dx
(2.5.2)
-да
integralga
aytiladi.
(2.5.2)
integral
absolut
yaqinlashuvchi,
y a ’ni
+да
J |x|•f (x)dx < да
b o 'lsa m atem atik kutilm a chekli, aks holda m atem atik
-д а
kutilm a m avjud emas deyiladi.
45
M atem atik kutilm aning xossalari:
1. O 'zgarm as sonning m atem atik kutilm asi shu sonning o 'zig a teng,
y a ’ni
MC=C.
2. O 'zgarm as ko'paytuvchini m atem atik kutilish belgisidan tashqariga
chiqarish mumkin,
M(CX)=CMX.
3. Y ig'indining m atem atik kutilm asi m atem atik kutilm alar y ig 'in d isig a
teng,
M(X+Y)=MX+MY.
4. A gar X ± Y bo'lsa,
M (X Y)=MX^MY.
Isbotlar: 1. O 'zgarm as C sonni faqat 1 ta qiym atni bir ehtim ollik bilan
qabul qiluvchi t.m.
sifatida qarash mumkin.
Shuning uchun
MC=C-P{X=C}=C-1=C.
2. O X diskret t.m. C •x. (i = 1, n) qiym atlarni pt ehtim olliklar bilan qabul
qilsin, u holda M C X = 2 C •xtp t = C 2 xtp t = C •M X .
i=1
i=1
3. X + Y diskret t.m. x t + y. qiym atlarni p ia = P {X = xi, Y = y a} ehtim olliklar
bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun
n
m
(
x
n
+ y
m
n
)=22
(x
j= 1
i=1
m
m
+ y . )p
m
n
«=2 2 ^ + 2 2
i=1 j= 1
n
n
x <
j =1
y<
j =1
p и
m
x ip
i=1
i=1
yerda
X + M Y
n
2 p . =#
va
2 p . =p .
j =1
m
y . p . = M
j =1
m
Bu
y .p ii =
i=1 j = 1
=2 2 pj+2 2 =2 >+2
i=1
m
bo'ladi.
i=1
m
U {X = X,-Y = y,} = { X = ^ } U V = y ,} = {X = xl} m = { X = xl}^
j =1
j =1
( m
\
„
„
p t = P{ X = x } = P [ j { X = xt;Y = y j } = '£ iP { X = xi;Y = y J} = '£ iPy .
j=1
Vj=1
J j= 1
4. A gar X ± Y b o 'lsa, u holda
p.a = P { X = xi,Y = Уи} = P { X = xi} P{Y = Уj} = pt •p j va
46
Chunki,
м ™ = Х Х з д p ix = x» Y = y , ) =
'
7=1 j=l
'---------n
\xaZ - r ^ / = м х ' ш = x K I 7 = у j} = Z - v^
=I I - y ;
i= 1 /= 1
m
4
v
' 4
v
7=1
J= 1
M atem atik kutilm aning xossalari t.m. uzluksiz b o 'lg an d a ham hiddi
shunga
o 'x sh ash
isbotlanadi.
M asalan,
J C •x •f (x)dx = C J x •f (x)dx = C •M X .
+ да
+да
-д а
-д а
MCX =
2.4.-m isol. X diskret t.m. taqsim ot qonuni berilgan b o 'lsa, X t.m .ning
m atem atik kutilm asini toping.
X
P
500
0.01
50 10
0.05 0.1
1
0
0.15 0.69
M X=500-0.01+50-0.05+10-0.1+1-0.15+0-0.69=8.65.
2.5.-m isol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan
J 0 t x ^ (0,1)
[C •x2, x e (0,1).
C va M X ni toping.
+да>
Z ichlik
1
funksiyaning
x 3
1
4-xossasiga
C J x2dx = C — 11,= C •- = 1,
J
^ 10
^
k o 'ra
C = 3 va f (x) =
0
J f (x)dx = 1.
Demak,
r0 , x £ (0,1)
3x2, x e (0,1)
Endi m atem atik kutilm ani hisoblaymiz:
+да
1
^
M X = | x •f (x)dx = 3J x •x 2dx = —.
0
D isp ersiy a
S X t.m. dispersiyasi deb, M (X - M X ) 2 ifodaga aytiladi.
D ispersiya D X orqali belgilanadi. Demak,
D X = M (X - M X )2.
47
(2.5.3)
A gar X dickret t.m. b o 'lsa,
да
D X = 2 (x, - M X f •p , ,
i=1
(2.5.4)
A gar X uzluksiz t.m. b o 'lsa,
+да
DX =
J (x - M X ) 2 •f ( x ) d x
(2.5.5)
-да
T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi form ula qulaydir:
DX=M X2-(MX)2
(2.5.6)
B u form ula m atem atik kutilm a xossalari asosida quyidagicha keltirib
chiqariladi:
D X = M (X - M X ) 2 = M (X 2 - 2X M X + (M X )2) = M X 2 - M (2X M X ) + M ( M X ) 2 =
= M X 2 - 2M XM X + (M X )2 = M X 2 - (M X )2
D ispersiyaning xossalari:
1. O 'zgarm as sonning dispersiyasi nolga teng DC=0.
2. O 'zgarm as ko'paytuvchini kvadratga k o'tarib, dispersiya belgisidan
tashqariga chiqarish mumkin,
D(CX)=C2DX.
3. A gar X U bo'lsa,
D(X+Y)=DX+DY.
Isbotlar: 1. DC = M (C - MC )2 = M (C - C )2 = M 0 = 0.
2. D(CX) = M (CX - M (CX ))2 = M (CX - CMX )2 = M (C 2(X - M X )2) =
= C2M (X - MX Y =C2DX .
3. (2.5.6.) form ulaga k o 'ra
D ( X +Y ) = M ( X +Y ) 2 - ( M ( X +Y))2 = M X 2 + 2M XY + M Y 2 - ( M X ) 2 - 2M XM Y - ( MY ) 2 =
=MX2- (MXY +MY2- (MY)2+2(MXY - MXMY) =DX +DY +2(MXMY - MXMY) = DX +DY
2.6.-m isol. X diskret t.m. taqsim ot qonuni
berilgan:
M X va D X ni hisoblaymiz:
MX=-1 -0.2+0-0.1+1 -0.3+2-0.4=0.9,
D X = (-1)2 •0.2 +12 •0.3 + 22 •0.4 - (0.9)2 = 1.29.
X
P
-1
0
0.2 0.1
1
2
0.3 0.4
S X t.m. o ‘rtacha kvadratik tarqoqligi(chetlashishi) deb, dispersiyadan
olingan kvadrat ildizga aytiladi:
48
<
j x =4d X
D ispersiyaning
(2.5.7)
xossalaridan
o ‘rtacha
kvadratik
tarqoqlikning
xossalari kelib chiqadi: 1. crC = 0 ; 2. crCX = |C| <JX ;
2.6 B a ’zi m u h im ta q s im o tla r
B in o m ial ta q sim o t
S X diskret t.m. binomial qonun b o ‘yicha taqsim langan deyiladi, agar u
0,1,2,.. .n qiym atlarni
p m = P { X = m} = C m
n p mq n~m,
(2.6.1)
ehtim ollik bilan qabul qilsa.
B u yerda 0 < p < 1, q = 1- p , m = 0,1,...,n .
Binom ial qonun b o ‘yicha taqsim langan X diskret t.m. yaqsim ot
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
X=m
pm =P{ X =m}
0
qn
1
Cnp lqn-
2
C^p 2qn-2
m
n
pn
^jm m n-m
n -L *
N yuton binom iga asosan 2 p m
m = (p + q)n = 1 . Bunday taqsim otni Bi(n, p)
m=0
orqali belgilaymiz.
U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
0, agar x < 0
F (x) = < 2 Cn^pmqn-m, agar 0 < x < n
m< x
1, agar n < x.
Endi bu taqsim otning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz.
n
n
n
n
M X = 2 m ■P { X = m} = 2 m ■P{X = m} = 2 m ■C ^ p m q n - m = np2 C ^ p
m=0
m=1
m=1
= n p (p + q)n— = np .
49
m=1
m -1
q n -m =
DX = J m2P{X = m} - (np)2 = J r n 2Cm p m q n -m - (np)2 = | m2 = m(m -1) + m
m=
0
m=
1
n
n
alm ashtirish bajaramiz| = n(n - 1)p 2J C m 2 P m ~2q n~m + np J c m- p m -1q n - m - (np)2 =
m=2
m=1
n(n - 1)p 2 + np - (np) 2 = npq .
Demak, M X = np; D X = n p q .
P u asso n taq sim o ti
S A gar X t.m. 0,1,2,.. . m, . .. qiym atlarni
am■e~a
pm = P{ X = m} = ----- —
m!
(2.6.2)
ehtim olliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni b o ‘yicha taqsim langan
t.m. deyiladi. B u yerda a biror m usbat son.
Puasson qonuni b o ‘yicha taqsim langan X diskret t.m .ning taqsim ot
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
2
a2■e~a
2!
“ am
J p m = e amJ=0 m—•: = e a ■e
m=0
m
ia
Teylor yoyilm asiga asosan,
1
a ■e~a
1!
a
0
e~a
m
X=m
pm =P{ X =m}
m!
= 1. Bu taqsim otni
n(a) orqali belgilaymiz. U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
0, agar m < 0
am■e-a
F (x) = <
J -------- , agar 0 < m < x
Endi bu taqsim otning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
ю
„m —a
<x>
m
<x>
m-1
a ■e
—n^. '
a
-a X ' a
-a a
= a ■e a J ----------- = a ■ e a ■e " = a
M X = J m ------------ = e aJ m
m=0
m•
m=1
m•
m=1 (m - 1)!
50
DX = J
a •e —a
m
к
X
=a
'
-a 2= a J m
m!
m =0
Jk
a ■e
к =0
к
a ■e
J
m 1
•e
a
a2 =
(m -1 )!
m =1
—a
к!
a
—a
- a 2 = a (a + 1) - a 2 = a
к!
k=0
Demak, M X = a;
DX =a .
G e o m e trik ta q sim o t
S A g a rX t.m. 1,2,...m,... qiym atlarni
(2.6.3)
pm = P { X = m} = qm~lp
ehtim olliklar bilan qabul qilsa, u geom etrik qonuni b o ‘yicha taqsim langan
t.m. deyiladi. B u yerda p = 1 - q e (0,1).
G eom etrik qonun b o ‘yicha taqsim langan t.m .larga m isol sifatida
quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz m ahsulot chiqqunga qadar
tekshirilgan m ahsulotlar soni; gerb tom oni tushgunga qadar tashlangan
tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o ‘qlar soni va hokazo.
G eom etrik qonun b o ‘yicha taqsim langan X diskret t.m. taqsim ot
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
X=m
pm =P{ X =m}
X
m=1
chunki
pm
1
p
q
m-1
p =p
ehtim olliklar
p , qp, q 2 p , q 3p , . . .. Shuning
2
qp
m
m
qmp
1
1
Jm q m-1 = p ■—
1 q
X. л
=1
geom etrik
uchun
ham
p =1
p
progressiyani
(2.6.3)
taqsim ot deyiladi va Ge(p ) orqali belgilanadi.
U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
0, agar m < 1
F (x) = <
J qm-p, agar 1 < m < x
51
tashkil
taqsim ot
etadi:
geom etrik
Endi bu taqsim otning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
f
\
m
MX =
m ■q m lp = p
m ■q m l = p
q
p
m=1
m=1
V m=0
J
v1 - q j
X
X
J
J
1
=p ■
(1 - q )
p
1
p
X
DX =
J
J
m 2 ■q m-1p
m=1
p
1
= (m 2 = m (m - 1) + m alm ashtirishni bajaramiz) =
p
X
1
x
J
J
m ■( m - 1 ) q m-1p +
m ■q m-1p
m1
m1
=
q
=
Vm=0
J
1 1
+ —■
p p
pq
x
= pq
p
2
1
J
1
-
m ■( m - 1 ) q m-2 H
m1
p
p
=
1
+—
(1 - q f
p
1
2
p2
pq
1
p3
p
q
1
p2
p2
Demak, M X - ~ ; D X - - q .
p
p
T ek is ta q sim o t
S A gar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi
1
■, agar x e [a,b],
f (x) = < b - a
0, agar x g. [a, b]
k o ‘rinishda
deyiladi.
B u t.m .ning
X t.m. ni X
funksiyasini
(2.6.4)
berilgan b o ‘lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan t.m.
grafigi 14-rasm da berilgan. \a,b\ oraliqda tekis taqsim langan
~ R[a,b] k o ‘rinishda belgilanadi. X ~ R[a,b] uchun taqsim ot
topamiz. (2.4.2) form ulaga k o ‘ra agar a < x < b b o ‘lsa
x
x
dt
t
x-a
F (x) = J
b -a a b -a
ab - a
agar x <a b o ‘lsa, F(x) = 0 va x > b b o ‘lsa,
b
a
b
x
t
F ( = 0 dt +
d + 0 dt =
= 1 b o ‘ladi. Demak,
b —a
b —a
x) J
J
J
52
0,
F (x)
agar x < a bo'lsa,
x-a
agar a < x < b bo'lsa,
b -a
1, agar b < x bo'lsa,
F(x) taqsim ot funksiyaning grafigi 15-rasm da keltirilgan.
J
№
1
b —a
к
a
b
14-rasm.
15-rasm.
X ~ R\ct,b] t.m. uchun M X va DXlarni hisoblaymiz:
53
b
M X = J x ■0dx + J —~ ^ d x + J x ■0dx
J
J b
h —
J
- a/if
a
л2
DX=J(x
a
a+b \
dx
1
1f
2
b -a
b -a
3V
x
2(b - a)
a + b \3
x
a
b2 - a 2
a +b
2(b - a)
2
;
b
2
1
(b -a )3
(a -b )3
( b - a )2
3(b - a)
8
8
12
a +b
( b - a )2
Demak, M X = — :— D X =
2 ’
12
K o ‘rsa tk ic h li ta q sim o t
S A gar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi
f (x)
Xe Xx, agar x > 0,
0, agar x < 0
(2.6.5)
k o ‘rinishda berilgan b o ‘lsa, X t.m. k o ‘rsatkichli
qonun b o ‘yicha
taqsim langan t.m. deyiladi. Bu yerda X biror m usbat son. X param etrli
k o ‘rsatkichli taqsim ot E (X) orqali belgilanadi. U ning grafigi 16-rasmda
keltirilgan.
16-rasm.
54
17-rasm.
Taqsimot funksiyasi quyidagicha k o‘rinishga ega bo‘ladi:
F (x ) =
1 - e~Xx, agar x > 0,
0, agar x < 0.
Uning grafigi 17-rasmda keltirilgan.
Endi
ko‘rsatkichli
taqsimotning
dispersiyasini hisoblaymiz:
+x
matematik
\
I b
-Xx
M X = x •Xe~Xxdx = lim x •Xe~Xxdx = lim I - xde
xue
J
b—x J
b— x
J
0
0
0
b
f
b
1 e ~Xx
= lim - x •e~Xx
= lim
0
b——x
b——x
X
0
)
V
V
0)
J
b
kutilmasi
J
J
I
x
X
+
+x
+X
-t
D X = J x 2f ( x ) d x - ( M X J2 = X J x 2 • e “ Xxd x
X"
=
= [bo'laklab integrallash formulasini ikki marta qo'llaymiz] =
55
va
b\
=X
Г
' x2 -Xx 2
lim — e + — -—e~Xx - — e~Xx
X
X2
V X X
V
1
0У
X2
2
1
X2 X2
Demak, agar X ~ E(X) b o ‘Isa, u holda MX = j va DX =
1
X2
.
N o rm a l ta q sim o t
N orm al taqsim ot ehtim ollar nazariyasida o ‘ziga xos o ‘rin tutadi.
N orm al taqsim otning xususiyati shundan iboratki, u lim it taqsim ot
hisoblanadi. Y a’ni boshqa taqsim otlar m a’lum shartlar ostida bu
taqsim otga intiladi. N orm al taqsim ot am aliyotda eng k o ‘p q o ‘llaniladigan
taqsim otdir.
S X uzluksiz t.m. normal qonun b o ‘yicha taqsim langan deyiladi, agar
uning zichlik funksiyasi quyidagicha k o ‘rinishga ega b o ‘lsa
^
f(x) =
7 -V 2 л
(x -a )2
e 2a ’ x e R
a va <t > о param etrlar b o ‘yicha norm al taqsim ot N(a,&)
belgilanadi. X ~ N(a,&) norm al t.m .ning taqsim ot funksiyasi
1
F ( x ) = ----- ^
x
r
(2.6.6)
orqali
(t-a )
J2~
J e 272 dt ■
(2.6.7)
A gar norm al taqsim ot param etrlari a=0 va 7 = 1 b o ‘lsa, u standart
norm al taqsim ot deyiladi. Standart norm al taqsim otning zichlik funksiyasi
quyidagicha k o ‘rinishga ega:
1
—
Ф(x ) = fZ— ' e ■
V2 л
Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9rasm da keltirilgan). Taqsim ot funksiyasi
1 x
Ф( x) = - = J e ^ 2dt
у/2л J
56
k o ‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda
keltirilgan).
a va a param etrlarni m a’nosini aniqlaymiz. Buning uchun
X ~ N ( a , c r ) t.m .ning m atem atik kutilm asi va dispersiyasini hisoblaymiz:
+да>
^
+,^o
x - f (x ) d x = ----- ■;=
MX
L
(x- a
x-
)
x- a
272 d x
л/2 7
(
7 -4 i n l
=t almashtirish hajaram iz
+да
/л +да
+да
—
J ( y f l 7 t + a)e- 42.7dt = 7
J te -t dt + —^ J e ( dt = 0 + -^ = - 4 л = a
7 -v 2л -да
4 л -да
4 л -да
4л
1
Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq,
integrallash chegarasi esa nolga nisbatan sim m etrikdir. Ikkinchi integral
esa Puasson integrali deyiladi,
да
J e- d t = 4 л .
1-
Shunday qilib, a param etr m atem atik kutilm ani bildirar ekan. D ispersiya
hisoblashda
x- a
=t alm ashtirish
va
b o ‘laklab
integrallashdan
4277
foydalanamiz:
+да
^
D X = Г (x - a ) 2 - f (x ) d x =
L
1
7 4 2л
2
Г (x - a )
л L
f 12e ~t2d t = 2 7
2
4
л =7
1
— te
2
4л V
-д а
-
272
r
J2 7 2t 2e t 7 4 2 d t = 7
272 1
л
-4
+да
=— T =
4
7
(x - a )
+да
dx
+да
-t
+да
^л +
да
+ — J e~f d t
- да
- да
z
Demak, D X = 7 2 va 7 o ‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.
18-rasmda a va 7 larning turli qiym atlarida norm al taqsim ot
grafigining o ‘zgarishi tasvirlangan:
57
18-rasm.
X ~ N ( a , a ) t.m .ning
(a,/J)
intervalga
hisoblaym iz. A vvalgi m avzulardan m a’lumki,
fi
i
P { a < X < fi} = J f (x ) d x = ----- j = J
fi
a
J
=
,—
42л
fi-a
7
7
J
t
__
(x - a )
272 dx
x - a
e 2 d t — 1=
a-a
7
Laplas funksiyasidan
b o ‘lamiz:
7
J
ehtim olligini
fi- a
7
- L -
=t
7
7 ^42^i
J
tushishi
7 e
J_
2d t
4 2 л J -a
7
t
e 2dt.
foydalanib((1.14.6)
quyidagiga
ega
fi-a
P { a < X < fi} = Ф с
- Ф
\
N orm al taqsim ot taqsim ot
quyidagicha ifodalasa b o ‘ladi:
formula),
7
J
funksiyasini
58
(2.6.8)
\
7
J
Laplas
funksiyasi
orqali
X
1
F ( x ) — J ----- = •e
-L ct-V 2 n
2 7
dt —Р{-да< X < x} = Ф С
7
Laplas
J
V
1
+—
У 7
7
J
(2.6.9)
2
J
I X
7/
Ф(x) —~ ^ J e 2dt
42n
funksiyasi
F (x ) —Ф
-Ф
V 7
+ Ф 0(+ да) —Ф 0
Ф,
A gar
(t-af
bo'lsa,
u
holda
va (2.6.8) form ulani quyidagicha yozsa bo'ladi:
J3-a
P { a < X < J3} —Ф
V 7
- Ф
ra -a л
V 7
J
J
(2.6.10)
A m aliyotda k o 'p hollarda norm al t.m .ning a ga nisbatan sim m etrik b o 'lg an
intervalga tushishi ehtim olligini hisoblashga to 'g ri keladi. U zunligi 2l
b o 'lg an
(a - 1 , a + 1 )
intervalni
olaylik,
u
holda
P{a - 1 < X < a + 1} —P { X - a < l} —
V
Q
1
>
*
•
«
1
Q
Q
1
>
*
•
«
+
Фr
-Ф 0
V
7
7
J
—2Ф0f 11 —2Фf 11
V
7J
V
7J
Demak,
P
{
|
X
-
a \
<
l }
—
2
Ф
С
f
V
1
7
1
—
J
2
Ф
f
1
1
-
1
(2.6.11)
7
(2.6.11) da l —37 deb olsak, P {|X - a | < 3 7 } — 2 Ф 0 (3) bo'ladi. Ф 0 ( x )
funksiyaning qiym atlari jadvalidan Ф 0 (3 ) = 0.49865 ni topamiz. U holda
P ^ X - a <3cr} «0.9973 bo'ladi. Bundan quyidagi m uhim natijaga ega
bo'lam iz: A gar X ~ N(a,<j) b o 'lsa, u holda uning m atem atik kutilishidan
chetlashishining absolut qiym ati o 'rtach a kvadratik tarqoqligining
uchlanganidan katta bo'lm aydi. B u qoida “uch sigma qoidasF deyiladi(19rasm).
59
2.7.-m isol. Detallarni o'lchash jarayonida 7 —10 mm parametrli
normal taqsimotga bo'ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga y o 'l qo'yildi.
Bog'liqsiz 3 marta detalni o'lchaganda hech bo'lmasa bitta o'lchash
xatoligining absolut quymati 2 mm dan katta bo'lm asligi ehtimolligini
baholang.
(2.6.11)
formulaga
ko' ra
f 21
P{|X - a\ < 2} —2 Ф 0 ~ ~ 2 ■0 0rl926 —0.15852. Bitta tajribada(o'lchashda)
V10 J
xatolikning
2
mm
dan
oshishi
ehtimolligi
P{| X - a > 2} —1 - P{| X - a < 2} « 0.84148. Tajribalarimiz bog'liqsiz bo'lganligi
uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi
0.841483 « 0.5958 bo'ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.
I I b o b g a d o ir m iso lla r
1. Birinchi talabaning imtihonni topshira olishi ehtimolligi 0.6,
ikkinchisiniki esa 0.9. Quyidagi hollar uchun imtihonni topshira olgan
talabalar soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping: a) Imtihonni qayta
topshirish mumkin emas; b) imtihonni bir marta qayta topshirish mumkin.
2. A hodisaning ro'y berishi ehtimolligi 0.7 ga teng. B og'liqsiz uchta
tajribada A hodisaning ro'y berishlari soni X t.m.ning taqsimot qonunini
toping.
3. Agar
X
P
1
0.3
2
0.2
3
0.4
4
0.1
60
bo'lsa, X t.m .ning taqsim ot funksiyasini toping.
4. Ikki ovchi bir nishonga qarata o 'q uzishmoqda. Birinchi
ovchining nishonga tekkazishi ehtim olligi 0.6, ikkinchisiniki esa 0.8
bo'lsa, nishonga tekkan o 'q lar soni X t.m .ning taqsim ot qununini toping va
taqsim ot funksiyasini tuzing.
5. Taqsim ot funksiyasi
0, agar x < 0,
. , agar 0 < x < 1 ,
0 2
F (x)
<
. , agar 1 < x < 2 ,
0 6
1
, agar x > 2
b o 'lg an X t.m .ning qabul qilishi m um kin b o 'lg an qiym atlari va ularga mos
ehtim olliklarini toping.
6.
A gar P { X > 3} —1 b o 'lsa, FX(3) ni hisoblang.
7.
Q uyidagi
funksiyalardan qaysilari zichlik
1
1
1 1
f 1 (x) —- x , f 2 (x) —- sinx + - , f 3 (x) —7 1+ x 2
2
2
8. Tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi
3
—x 2
< 2
0,
f (x)
funksiya
bo'ladi:
Ixl < h,
Ixl > h,
b o 'lsa h ning qiym atini toping.
9. Taqsim ot funksiyasi
0
, agar x < 0 ,
2
F(x)
— , agar, 0 < x < 4
2
1
, agar x > 4
2
2
,
,
b o 'lg an X t.m .ning zichlik funksiyasini toping
ehtim ollikni hisoblang.
10. A gar X t.m .ning taqsim ot funksiyasi
61
va
P{x < X < 1}
0, agar x < - 1 ,
F (x) — a(x + X)2, agar, -1 < x < 2,
1 , agar x > 2
bo'lsa, o'zgarm as a ning qiym atini hisoblang.
11. Tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi
0, agar x <
f (x)
7
2'
a cos x, agar
7
7
< x < —,
2
2
7
0л agar x >—,
bo'lsa, o'zgarm as a ning qiym atini va t.m .ning taqsim ot funksiyasini
hisoblang.
12. U zluksiz X t.m. zichlik funksiyasining grafigi berilgan:
R4
iM
\
N
1
0
X
20-rasm.
zichlik funksiya f (x) ning ifodasini, F (x) taqsim ot funksiyasini va
|1 < X < 1 j hodisaning ehtim olligini hisoblang.
13.
X ~ R( 0, a ) va P
>-
j= -
b o 'lsa, a ning qiym atini toping.
14. U zluksiz X t.m .ning zichlik funksiyasi:
62
0, agar x < 0 va x > 7 ,
f (x) —<
1 sin x, agar 0 < x < 7 ,
bo'lsa, M X va D X ni hisoblang.
15. X va 7 b o g'liqsiz diskret t.m .lar b o 'lib , MX=0, MY=-3, DX=2,
DY=9 bo'lsa, Z=5X-3Y+2 t.m. uchun M Z va D Z ni hisoblang.
16. U zluksiz X t.m .ning taqsim ot qonuni:
0, agar x < A,
F (x) —<0.25x 2, agar A < x < B,
1, agar x > B,
bo'lsa, A va B qiym atlarini toping, M X va 7X ni hisoblang.
17.
X ~ N ( 3,2)
b o 'lsa,
P { - 3 < X < 5 ] , P { X <4}, P { |X - 3 |< 6 }
ehtim olliklarni hisoblang.
18. A gar X ~ Bi(\; 0.5) b o ‘lsa, (MX)2 va D X ni taqqoslang.
19. Q uyida X t.m .ning taqsim ot jadvali berilgan:
X
P
-0.5
0.1
0
0.4
0.5
0.1
1
0.3
1.5
0.1
a)
Y=10X-1:
b)
Z=-X2
sX
c)
V=2X t.m .larning m atem atik kutilm asi va dispersiyaslarini
hisoblang.
20. A gar X ~ П (23) va 7 = l-X b o ‘lsa FY(2) ni hisoblang.
21. U zluksiz X t.m .ning zichlik funksiyasi quyidagicha k o 'rin ish g a
ega:
3h,
x e [-1,0],
f (x) — h, x e [0,2],
0, aks holda.
h ni, X t.m .ning taqsim ot funksiyasi F(x) ni, M[(2-X)(X-3)] va D[23X] ni hisoblang.
22. X t.m .ning taqsim ot funksiyasi
11—1 , agar x > 1,
x
F (x) —
0, agar x > 1,
63
bo'lsa, P { X > a} —1 tenglik o 'rin li b o 'ladigan a ning qiym atini toping.
x
23. X
uzluksiz
t.m .ning
taqsim ot
funksiyasi
F (x) —c +barctg—
form ula orqali aniqlanadi. Q uyidagilarni toping: a) o'zgarm as a, b va c
larning qiymatlari; b) X t.m .ning zichlik funksiyasi.
24. X t.m .ning taqsim ot funksiyasi
Fm(x)л —1<1 - e - x , x > 0 ,
0 ,
x <0
ko'rinishga ega b o 'lsa, M [ ( X - 4)(5- X)], P { X < M X} va D(3 - 2 X ) larni
hisoblang.
25. A gar f ( x ) zichlik funksiyasi b o 'lsa, u holda f ( - x) funksiya
zichlik funksiya bo'ladim i?
64
I I I bob. K o ‘p o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o rla r
3.1 K o ‘p o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o rla r v a u la rn in g b irg a lik d a g i
ta q sim o t fu n k siy asi
Bir o'lchovli t.m .lardan tashqari, m um kin b o 'lg an qiym arlari 2 ta, 3
ta, ... , n ta son bilan aniqlanadigan m iqdorlarni ham o' rganish zarurati
tug'iladi. Bunday m iqdorlar mos ravishda ikki o'lchovli, uch o'lchovli, ... ,
n o'lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik, ( Q , A P ) ehtim ollik fazosida aniqlangan X 1 , X 2 ,...,Xn
t.m .lar berilgan bo'lsin.
S X = (X 1, X 2,...,Xn) vektorga tasodifiy vektor yoki n-o'lchovli t.m.
deyiladi.
K o 'p o'lchovli t.m. har bir elem entar hodisa о ga n ta X 1 , X 2 ,...,Xn
t.m .larning qabul qiladigan qiym atlarini mos qo'yadi.
S FX1 ,x2,...,Xn(x 1 , x 2 ,...,xn) —P { X 1 < x 1 ,X 2 < x 2 ,...,X n < xn}
n
o lchovli
funksiya X —(X 1 , X 2 ,...,Xn) tasodifiy vektorning taqsim ot funksiyasi yoki
X 1 , X 2 ,...,Xn t.m .larning birgalikdagi taqsim ot funksiyasi deyiladi.
Q ulaylik
uchun
FXi,X X (x 1 ,x 2 ,...,xn)
X 1 , X 2 ,...,Xn indekslarini tushirib qoldirib,
yozamiz.
F (x 1 ,x 2 ,...,xn)
funksiya
taqsim ot funksiyasi bo'lsin.
taqsim ot
funksiyani
F (x 1 ,x 2 ,...,xn)
ko'rinishida
X —(X 1 , X 2 ,...,Xn)
K o 'p
o'lchovli
tasodifiy
vektorning
F ( x 1,x2,...,xn)
taqsim ot
taqsim ot
funksiya
funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
1.
Vxt \ 0 < F (x 1 , x 2 ,...,xn) < 1 ,
y a ’ni
chegaralangan.
2. F ( x 1 ,x 2 ,...,xn) funksiya har qaysi argum enti b o 'y ich a kam ayuvchi
emas va chapdan uzluksiz.
3. A gar biror x ^ +^ b o 'lsa, u holda
lim F(x 1 ,x 2 ,...,xn) —F (xx, . . . , x ^ , да,xt+1 ,...,xn) —
^^
- FFX1,...,Xi-1,Xi+1,...,Xn(( x1,..., xi—
1, xi+1,..., xnЛ
)
4. A gar biror x ^ - “ b o 'lsa, u holda lim F (x 1 ,x 2 ,...,xn) —0.
^
7
xi
65
(3 .1 1 )
3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (3.1.1) taqsimot funksiyaga
marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. X - (X 1, X 2,...,Xn) tasodifiy
vektorning
barcha
marginal
taqsimot
funksiyalari
soni
n
k - Cl + Cl + ...+ Cl-1- I c m - C l - c ; - 2 n - 2 ga tengdir.
n-0
Masalan, X - (X 1, X 2) (n=2) ikki o'lchovlik tasodifiy vektorning
marginal taqsimot
quyidagilardir:
funksiyalari soni k - 22 - 2 - 2 ta
F (x1, +«») - F1(x ) - P ( X 1 <
bo'lib,
ular
x
F ( +^ X2) - F2(X2) - P ( X 2 < X2) .
Soddalik uchun n=2 bo'lgan holda, y a ’ni (X,Y) ikki o'lchovlik
tasodifiy vector bo'lgan holni ko'rish bilan cheklanamiz.
3.2 Ik k i o ‘lchovli d isk re t taso d ifiy m iq d o r v a u n in g ta q sim o t q o n u n i
(X,Y) ikki o'lchovli t.m. taqsimot qonunini
p y - P { X - xt, Y - y . }; i - 1 , n, j - 1 , m
(3.2.1)
formula yordamida yoki quyidagi jadval ko'rinishida berish mumkin:
\
у
У1
У2
ym
X\
x1
x2
p 11
p 12
p 1m
p 21
p22
p 2m
xn
p ;1
p 21
p nm
bu
yerda
barcha
p ij
ehtimolliklar
(3.2.2)
yig'indisi
birga
teng,
chunki
{ X - x ,Y - y j } i - 1,n, j - 1,m birgalikda bo'lmagan hodisalar to'la gruppani
n
tashkil etadi s
m
i p ij - 1 . (3.2.1) formula ikki o'lchovli diskret t.m.ning
i-1 j -1
taqsimot qonuni, (3.2.2) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
(X,Y) ikki o'lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni
berilgan bo'lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot
qonunlarini
topish
mumkin.
Har
bir
i -1, n
uchun
66
{X - xt,Y - y J , { X - xt,Y - y 2},...,{X - xt,Y - y m}
bo'lm agani
sababli:
hodisalar
p Xi - P { X - xt} - p a + p t2 +... + p m .
m
birgalikda
Demak,
___
n
p x, - P {X - xi } - 2 P j , i -1, n , p - P{Y - y3} - 2 Pj j -1, m .
j-1
г-1
3.1-m isol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta k o ‘k shar b o ‘lgan idishdan
tavakkaliga ikkita shar olinadi. O lingan sharlar ichida qora sharlar soni X
t.m. va k o ‘k rangdagi sharlar soni Y t.m. b o ‘lsin. (X,Y) ikkio'lchovli
t.m .ning birgalikdagi taqsim ot qonunini tuzing. X va Y t.m .larning alohida
taqsim ot qonunlarini toping.
X t.m. qabul qilishi m um kin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m .ning qiym atlari
ham
0
va
1.
M os
ehtim olliklarni
hisoblaym iz:
C2 1
2 1 1
p „ - p {x - o, y - 0} - - 2 - _ (yokl _ . - - _ );
C1 2
2
P 1 2 - P { X - 0, Y - 1} - CL - - ; P - P { X - 1, Y - 0} - - ;
CA 6
6
2 1
P
2 2
- P { X - 1, Y - 1} -
(X,Y) vaktorning taqsim ot jadvali quyidagicha k o 'rin ish g a ega:
Ч у
X \
0
1
0
1
1
Bu yerdan
1
6
2
6
2
1
6
6
2
6
1
1
P { X - 0} - - + - - - .
2
6
P{X -1} - - +
2
1
2
1
1
P{Y - 0} - - + - - - , P{Y - 1} - - + 6
6
2
6
6- - ;
- - kelib chiqadi. X
6
2
va Y t.m .larning alohida taqsim ot qonunlari quyidagi
k o 'rinishga ega bo'ladi:
X : 0,
.1
P: - ,
Y : 0,
1
1 va
2
<
1
1
P:
2
1
’
2
3.3 Ik k i o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o rn in g ta q sim o t fu n k siy asi v a u n in g
x o ssa lari
Ikki o'lch o v li t.m. taqsim ot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.
S Ikki o ‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har
bir ju fti uchun {X < x} va {Y < y} hodisalarning birgalikdagi ehtim olligini
aniqlaydigan F(x,y) funksiyasidir: y a ’ni
67
F(x, y ) - P { X < x ,Y < y} - P ( (X .Y ) e (-ю , x) x (-ю , y ) - D ) .
(3.3.1)
(3.3.1.) tenglikning geom etrik tasviri 21-rasm da keltirilgan.
V
* (КУ)
D
•(V/:)
1
0
X
21-rasm.
(X,Y) ikki o 'lchovlik diskret t.m. taqsim ot funksiyasi quyidagi
y ig 'in d i orqali aniqlanadi:
F (x ,y) - 2
2 P j.
x <xyj <y
(3.3.2)
Ikki o 'lchovlik t.m. taqsim ot funksiyasining xossalari:
1. F (x, y) taqsim ot funksiya chegaralangan: 0 < F (x, y) < 1.
2. F (x ,y) funksiya har qaysi argum enti b o 'y ich a kam ayuvchi emas:
agar x- > x- b o 'lsa, F (x2,y) > F (x - ,y ) ,
agar y- > y- b o 'lsa, F (x ,y2) > F (x ,y - ) .
3. F (x ,y ) funksiyaning biror argum enti -ю b o'lsa(lim it m a’nosida),
u holda F (x, y) funksiya nolga teng, F (x, - ю ) - F (-ю , y) - F (-ю , - ю ) - 0 .
4. A gar
F (x, y)
funksiyaning bitta argum enti
+w
bo'lsa(lim it
m a’nosida), u holda
F (x, +ю) - F-(x) - Fx (x); F (+ю,y) - F-(y) - Fy (y ) .
68
(3.3.3)
4. A gar ikkala argum enti +ю b o'lsa(lim it m a’nosida), u holda
F (+ro, +ro) - 1 .
5. F (x, y ) funksiya har qaysi argum enti b o 'y ich a chapdan uzluksiz,
y a ’ni lim F ( x , y ) - F ( x 0 , y ) , lim F ( x , y ) - F ( x , y 0) .
x ^ xq - 0
Isboti.
y ^ y0 -0
1. F (x , y ) - P {X < x , Y < y }
ehtim ollik
b o 'lg alig i
uchun
0 < F (x , y ) < 1 .
2.
(x ,y) argum entlarning birortasini kattalashtirsak, 21-rasm da b o 'yalgan
D soha kattalashadi, dem ak bu sohaga (X,Y) tasodifiy nuqtaning tushishi
ehtim olligi kam aymaydi.
3. {X < -ю }, {Y < -ю } hodisalar va ularning ko'paytm asi m um kin
bo'lm agan hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtim olligi nolga teng.
4. {X <+ю } m uqarrar hodisa b o 'lg an i uchun {X <+«»}.{Y < y } - {Y < y }
bo'ladi.
Demak,
F (+ю,y) - P { X < +ю;Y < y} - P{Y < y} - FY(y ) .
Xuddi
shunday F ( x , +ю) - P {X < x; Y < +ю} - P { X < x } - FX (x ) .
4. {X <+ю } va {Y <+ю} hodisalar m uqarrar hodisalar b o 'lganligi uchun
{X < +ю}•{Y <+ю}
ham
ehtim olligi 1 ga teng. ■
F (x , y )
taqsim ot
m uqarrar hodisa b o 'lad i va bu
funksiya
D - {(x ,y): x 1 < x < x 2 , y 1 < y < y 2}
yordam ida
(X,Y)
hodisaning
t.m.
biror
sohaga tushishi ehtim olligini topish
mumkin:
P { ( X , Y) e D} - P{x- < X < x 2 ,y- < Y < y-} - F (^ y-) - F (x-, y-) - F (^ y-) + F (x-, y-).
22-rasm da (3.3.4) tenglikning geom etrik isboti keltirilgan.
22-rasm.
69
(3.3.4)
3.2-m isol. 3.1-m isoldagi (X,Y) ikki o 'lchovlik t.m .ning h a m d a X va Y
t.m .larning taqsim ot funksiyalarini toping.
A vvalgi bobdagi (2.3.2) formuladan:
0, agar x < 0,
<
F1( x)
0, agar y < 0 ,
0.5, agar 0 < x < 1,
1
f 2( y)
, agar x > 1 ,
<
0.5, agar 0 < y < 1,
1
(X,Y) ikki o 'lchovlik t.m .ning
F (x ,y )
, agar y > 1 .
taqsim ot funksiyasini (3.3.2)
form ulaga k o 'ra topamiz:
Y
y <0
0< y <1
y >1
0
0
0
0
X
x<0
0<x<1
1
6
x >1
0
1 ( - 1 2)
2
6 + 6J
1( - 1 2 )
2 6 + 6J
J 1 2
2 1^
1[ - 6 + 6 + 6 + 6 V
3.4 Ik k i o ‘lchovlik u zlu k siz taso d ifiy m iq d o r zich lik fu n k siy asi va
u n in g x o ssa lari
S Ikki o 'lchovlik t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsim ot funksiyasi
F (x, y ) : 1. uzluksiz bo'lsa;
2. har bir argum enti b o 'y ich a differensiyallanuvchi;
3. F (x,y) ikkinchi tartibli aralash hosila m avjud bo'lsa.
S Ikki o ‘lchovlik (X,Y) t.m.ning zichlik funksiyasi
f (x, y) =
d2F (x, y)
.
= Fxy(x, y)
(3.4.1)
Tenglik orqali aniqlanadi.
(X,Y) t.m .ning G sohaga(23-rasm ) tushishi ehtim olligi
form ulaga ko'ra: P { x < X < x + a x , y < Y < y + д у ) =
70
(3.3.4)
= F(x +ДХ, у +A_y) -
F(x, у +А_у) - F(x +ДХ, у) + F(x, у)
Р{х < Х < х
+ ах, y < Y < y
+ д .у }
o'rtacha
АХ 'Ay
а х
F ( x +дх, у + ду ) - F ( x , у + а у )
F ( x +а х , у ) - F ( x , у )
АХ
АХ
-> 0, ду -» О da lim itga o ‘tamiz,
F l(x ,y + A y )-F l(x ,y )
llm„/»'«, ci» = llm
n-----------------------------------д х -> 0
AJ/—И)
а у
A>>->0
^
y a ’ni f (x y ) = ( F x( x y )) = f ; (x y )
23-rasm.
Demak, (X,Y) ikki o'lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb,
P { x < X < x + dx, y < Y < y + dy} « f (x, y ) d x d y
tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan.
71
(3.4.2)
f (x ,у) zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega:
1. f ( x , у ) > 0 .
2 . P { ( X , Y ) e D} = JJ f (x, y ) d x d y .
(3.4.3)
D
JJ
x
3. F ( x , y ) =
У
f (u, v)dudv
(3.4.4)
+<x> + x
4.
J J
f (x, y ) d x d y = 1 .
—x —x
5. X va Y t.m .larning bir o'lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi
tengliklar yordam ida topish mumkin:
+ x
+ x
J f ( X y )dy = f x (x) ; J f ( X y )dx = f Y(y ) .
Isboti.
1. B u xossa
F (x , y)
(3.4.5)
funksiyaning har qaysi argum enti
b o 'y ich a kam aym aydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi.
2. f ( x , y ) d x d y ifoda (X,Y) tasodifiy nuqtaning tom onlari dx va dy b o 'lg an
to 'g 'r i to'rtburchakka tushish ehtim olligini bildiragi. D sohani to 'g 'r i
to'rtburchaklarga ajratam iz(24-rasm ) va har biri uchun (3.4.2) form ulani
qo'llaym iz:
n
P { ( X J ) e D } & 2 Я х,, у ,) ахау
bo'ladi.
i=1
Endi
д х ^ 0 ,д у ^ 0
da
lim itga
P { ( X , Y)<eD} = JJ f ( x , y ) d x d y
ni
o 'tib ,
hosil
D
qilamiz.
24-rasm.
3. (3.4.3) formuladan:
X
F ( x , y ) = P { X < x , Y < y } = P { —x < X < x , —x < Y < y } =
y
J Jf
—x —x
72
(u, v)dudv.
4.
F (+ « , + x ) = 1
va
(3.4.4)
formulada
x =у = + x
deb
olsak(limit
ma’nosida),
+x +x
F ( + x , + x ) = J J f (x, y ) d x d y = 1.
—x —x
5. Avval X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini topamiz:
\
x +x
x i +x
Fx (x ) = F (x, + x ) = J J f (u, v)dudv = J I J f (u, y ) d y du,
—
x—
x
—
x x
J
(3.4.5)
+x у
Fy (y ) = F ( + x , y ) =
J J
у f +x
Л
f (u, v)dudv = J I J f (x, v)dx dv.
—
x V,—
x
J
Birinchi tenglikni x bo‘yicha, ikkinchisini y bo‘yicha differensiyallasak, X
av Y t.m.larnin zichlik funksiyalarini hosil qilamiz:
+x
f x ( x ) = Fx (.x ) =
J f (x y ) dy
va
+x
f y ( y ) = FY( y ) =
J f (x y ) dx.
Iz o h . Agar X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari berilgan
bo‘lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish
mumkin emas.
3.3-m isol. (X,Y) ikki o'lchovli t.m.ning birgalidagi zichlik funksiyasi
berilgan
Ce'xy, agar x > 0, y > 0
f (x, y ) =
0,
aks holda.
Quyidagilarni toping: 1) O'zgarmas son C; 2) F (x , y ) ; 3) Fx (x ) va FY(y )
4) f x (x ) va f y (y ) ; 5) P { X > 0, Y < 1}.
73
+x +x
J J f (x y )dxdy = 1 tenglikdan
1)
—on —ct.
+ x + x
C
J J
0
2
+ x
+ x
e x ydxdy =C J e xdx • J e ydy = C = 1.
- x
0
0
0
XУ
X
у
) F (x, y ) = J J e~u~vdudv = J e~udu • J e~vdv = (1 —e~x )(1 —e~y )
0 0
0
x > 0, y > 0
0
ya ni
F (x y ) = <
(1 —e~x)(1 —e~y),
x > 0 , y > 0,
0,
aks holda.
x I +x
\
x
3) F x (x) = F (x, + x ) = J| J e-ue ~vdv du = J b e~udu = 1 —e " x, x > 0 , demak
0 V0
Fx (x) =
(1 —e—x),
x > 0,
0,
x < 0.
(1 —e~y),
y > 0,
0,
y < 0.
<
Aynan shunday,
Fy (x) =
4) f x (x) = Fx ( x) =
<
(1 —e-x)x,
x > 0,
e—
x,
x > 0,
0,
x < 0,
0,
x < 0,
va shu kabi
f y (y ) = <
да
e—
y,
y > 0,
0,
y < 0.
1
UU
-t
5) P { x > 0 , Y < 1} = J e“xdx J e“ydy = —(e_1 —1)J e“xdx = 1 — « 0.63.
0
0
0
74
3.5 Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi
S X va Y t.m .lar b o g ‘liqsiz deiladi, agar y x , y e R uchun
{x < x} va
{Y < y} hodisalar b o g 'liq siz bo'lsa.
Endi t.m .lar bog'liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.
T eo rem a. X va Y t.m .lar b o g'liqsiz b o 'lish i uchun
F (x y ) = Fx (x) •Fy (y )
(3.5.1)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Z a ru rlig i. A gar X va Y t.m .lar b o g 'liq siz b o 'lsa, {x < x} va
{Y < y}
hodisalar
ham
b o g 'liq siz
bo'ladi.
U
holda
P { x < x, Y < y} = P { x < x} •P{Y < y } , y a ’ni F (x, y ) = Fx (x) •FY(y ) .
Y etarliligi.
(3.5.1)
tenglik
o 'rin li
bo'lsin,
u
holda
P { x < x, Y < y} = P { x < x} •P{Y < y} bo'ladi. B u tenglikdan X va Y t.m .lar
bog'liqsizligi kelib chiqadi. ■
1 -n atija. X va Y uzluksiz t.m .lar b o g 'liq siz b o 'lish i uchun
f (x, y ) = f x (x) •f y (y )
(3.5.2)
tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Z a ru rlig i. A gar X va Y t.m .lar b o g 'liq siz b o 'lsa, u holda
(3.5.1) tenglik o 'rin li bo'ladi. B u tenglikni x bo'yicha, keyin e s a y b o 'y ich a
differensiyallab,
f (x, y) = ~ ^ Fx ( x ) •~ ^ Fy (y)
tengliklarni,
y a ’ni
f (x, y ) = f x (x) •f y (y ) hosil qilamiz.
Y etarliligi. (3.5.2) tenglik o 'rin li bo'lsin. B u tenglikni x b o 'y ich a va
y b o 'y ich a integrallaymiz:
x
y
J J
—x
B u esa
—x
X
f (u, v)dudv =
y
J f x ( u)du • J
—x
f Y( v ) d v .
—x
F (x, y ) = Fx (x) •FY(y )tenglikning o'zidir. Teorem aga k o 'ra X va
Y t.m .lar bog'liqsizligi kelib chiqadi. ■
75
2 -n a tija . X va Y diskret t.m.lar bog'liqsiz bo'lishi uchun ihtiyoriy
i = \,2,...n, j = \,2,...m larda
P { x = xi , Y = y . } = P { x = x i } • P {Y = y .}
(3.5.3)
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
3.4-m isol. a) 3.1-misoldagi X va Y t.m.lar bog'liqmi? b) 3.3misoldagi X va Y t.m.lar bog'liqsizmi?
a) p n = P { x = 0,Y = 0} = 1 , P {x = 0 }-P {Y = 0} = 1 1 = 1 , ya’ni
6
2 2 4
P { x = 0 ,Y = 0} ф P { x = 0 } P{Y = 0 } . Demak, X va Y t.m.lar bog'liq.
e'x'y, agar x > 0, y > 0
f (x y ) =
b)
f r (y ) =
<
e—
y,
y > 0,
0,
y < 0.
0,
aks holda,
f x (x) =
<
x > 0,
x < 0,
f (x , y ) = f x (x) •f Y(y ) tenglik o'rinli, demak, X va Y
t.m.lar bog'liqsiz.
3.6 S h a rtli ta q sim o t q o n u n la ri
(X,Y) ikki o'lchovlik t.m.ni tashkil etuvchi X va Y t.m.lar bog'liq
bo'lsa, ularning bog'liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari
tushunchalari keltiriladi.
S (X,Y)
ikki o'lchovli diskret t.m. birgalikdagi taqsimot qonuni
Pn = P { x = x,, Y = y j } , i =~n, j =
bo'lsin. U holda
P { x = x ., Y = y .}
P {y = Xj I x = x } = { p {x = ^^ Xj } , i = I2,...n, j = l,2,...m
(3.6.1)
ehtimolliklar to'plami, y a ’ni p ( y j x t),p ( y 2I x t),...p ( y mI xt) lar Y t.m.ning
x = xt dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda
m
m п
T p (y j I x .) =
j =1
1
m
p
1 - =± T P j= -= 1 .
j =1 Px,
P X, j ==1
Px,
Xuddi shunday,
76
P {x = x 1 y = y j } =
P { x = x , Y = y .}
{ p { Y = ^ y } , i = l,2,...n, j = 1,2,...m
(3.6.2)
ehtimolliklar to'plami, y a ’ni p(x1I y j ),p ( x 21y j ),...p ( x n I y j ) lar X t.m.ning
Y = y} dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.
3.5-m isol. (X,Y) ikki o'lchovlik t.m.ni birgalikdagi taqsimot jadvali
berilgan:
______
Quyidagilarni toping: a) X av Y t.m.larning
X\ Y
1
2
3
alohida taqsimot qonunlari; b) X t.m.ning
0.12
0.08
0.40
0.1
Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni.
0.2
0.16
0.10
0.14
a) P =
X
P
0.1
0.60
0.2
0.40
2j =1 p j
va p yj =
Y
P
,
2i=1 p j
1
0.28
0.08
b) (3.6.2) formulaga asosan: P { x = 0.H Y = 2} =
0.18
tengliklardan:
2
0.10
3
0.54
4
9
P { x = 0.21Y = 2} = 0:10 = 5 . X t.m.ning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni
0.18 9
quyidagiga teng:
X
0.1
0.2
5
4
PY=2
9
9
Endi (X,Y) ikki o'lchovli t.m. uzluksiz bo'lgan holni ko'ramiz.
f (x , y ) (X,Y) t.m.ning birgalikdagi zichlik funksiyasi, f x (x ) va f Y(y ) lar
esa X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari bo'lsin.
S Y t.m.ning X=x bo'lgandagi shartli zichlik funksiyasi
f (y I x) = f
=
, f x (x) ф 0
!f(x ,y d
ifodaga orqali aniqlanadi.
77
(3.6.3)
T"x>
Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining f (y I x) > 0,
Jf
(y I x)dy = 1
—x
kabi xossalariga egadir.
S X uddi shunday, X t.m .ning Y=y bo'lgandagi shartli zichlik funksiyasi
(3.6.4)
y
J f (x, y ) d x
—x
tenglik orqali aniqlanadi.
(3.6.3)
va (3.6.4) tengliklarni hisobga olib, f (x,y) zichlik funksiyani
quyidagi ko 'rin ish d a yozish mumkin:
' (x X) = f x (x) • ' (X i x) = f Y(X) • ' ( x I X) .
(3.6.5)
(3.6.5) tenglik zichlik funksiyalarning k o 'paytirish qoidasi(teorem asi)
deyiladi.
3.6-m isol. (X,Y) ikki o'lchovli uzluksiz t.m .ning birgalikdagi zichlik
funksiyasi berilgan:
aga (x y ) e D,
' (x, y ) = '\n
,
4 ^
|0,
agar (x, y) £ D,
25-rasm.
bu yerda D = {(x,y): y > —x, y <2, x < 0}(25-rasm). 1) f x (x) v a f ( x I y) larni
toping. 2) X va Y t.m .larning bog'liqligini ko'rsating.
1) A vval o'zgarm as son C ni topamiz:
78
0
+ x + x
1
=
JJ
f (x, y)dxdy =
2
^
J dx J Cxydy = C J xdx
—2
—on —C
X
0
—x
2
0
f
2 ^
7 - _2x = C J x |2 —
V 2
—2
\
У
dx = —2 C
—2
Bundan C = 1 . f x (x) ni topamiz:
+x
f x (x) =
0
J f ( x y )dy = J I —7 xy dX = —7 x(4 —x2), x e (— , )
2
x
0
2
f (x / y) ni (3.6.4) form ulasidan foydalanam iz, buning uchun dastlab f Y(у )
ni hisoblash kerak:
f Y(y ) =
+x
J
' ^ y )dx =
( 1
J
X3
I —7 xX dx = ~T , X e (0 , 2 ) ,
0
J
—x
1
' (x / у ) =
' (x y ) _
' y
2)
(X)
X
2
y_
4
y
va
f(x/y ) =
= Ш
f Y(У)
xy
2
Y
x
(x, y ) e D.
t.m .lar
Ш й =f x x
f Y(У)
b o g'liqsiz
bo'lsa,
tenglik
o 'rinli.
1
2x
f x (x) = —“ x(4 —x 2) , x e (—2,0) va ' ( x / y ) = —~y2 ,(x,‘y) e D funksiyalarlar
bir-biridan farqli b o 'lganligi uchun X va Y t.m .lar bog'liq.
3.7 Ik k i o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o rla rn in g sonli x a ra k te ris tik a la ri
(X,Y) tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli
tartibdagi m om entlar ko'riladi. A m aliyotda eng k o 'p I va II - tartibli
m om entlar bilan ifodalanuvchi m atem atik kutilm a, dispersiya va
korrelatsion m om entlardan foydalaniladi.
S Ikki o'lchovli diskret (X,Y) t.m .ning matematik kutilmasi (MX,MY)
bo ' lib, bu yerda
79
n
m
n
m
M x = m = Z Z xiPy, M Y = my = Z Z XiPij
i=1 j =1
i=1j =1
(3.7.1)
va Pj = P { x = x , Y = у j }.
A gar (X,Y) t.m. uzluksiz b o 'lsa, u holda
+ x + x
M x = mx =
+ x + x
J J x •f
—x
(x, y )d xd y , M Y = my =
—x
J J у •f
—x
(x, y ) d x d y .
—x
(3.7.2)
S X va Y t.m .larning kovariatsiyasi
K y = cov( x , Y ) = M ((x —m_x)(Y —my )) = UlJ
tenglik bilan
kovariatsiyasi
aniqlanadi.
A gar
(X,Y)
t.m.
diskret
n m
K xy = 2 2 (xi —mx)(Xj —my)Pij,
i=1 j =1
(3.7.3)
b o 'lsa,
uning
(3.7.4)
agar uzluksiz bo'lsa,
+ x + x
Kx y
= J J (x —m )(y —m ) f (x , y ) dxdX
x
x
y
(3.7.5)
—x
form ulalar orqali hisoblanadi.
K ovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:
K X7 = c o v ( x , Y) = M x Y —M x •M Y .
(3.7.6)
B u tenglik (3.7.3) form ula va m atem atik kutilm aning xossalaridan kelib
chiqadi:
K xy = M ((x —m, XY —my )) = M ( x Y —x m y —Ymx + nhmy ) =
80
M x Y - m у, M x - m xM Y + mxm у, = M x Y - m уm x - mxm у, + mxm у, = M x Y - M x M Y .
K ovariatsiya orqali X va Y t.m .larning dispersiyalarini aniqlash mumkin:
D x = c o v ( x , x ) = M ( x - M x ) 2 = M x 2 - (M x Y ,
DY = cov(Y, Y ) = M (Y - M Y )2 = M Y 2 - (MY)2.
(X,Y) vektorning kovariatsiya m atritsasi
C = M {(x , Y)T - (x , Y ) - (mx, my )T( m ,, my )} =
dx
cov( x , Y )
Kxx
K xy
cov(Y, x )
DY
K yx
K yy
- ifoda bilan aiqlanadi.
K ovariatsiyaning xossalari:
1. K x y = K y x ;
2. A gar x ± Y b o 'lsa, u holda Kxy = 0 ;
3. A gar X va Y ixtiyoriy t.m .lar b o 'lsa, u holda D ( x ± Y ) = D x + DY ± 2 К^ ;
4. K C x , = C K ^ = K x
CY
yoki cov( C x , Y ) = C cov( x , Y ) = cov( x , C Y ) ;
5 . K x +C,Y = K xY = K x,Y +C = K x +C,Y+C yoki
c o v ( x + C, Y ) = c o v ( x , Y ) = c o v ( x , Y + C) = c o v ( x + C , Y + C) ;
6. K yI ^ 7 x -7 y .
Isboti. 1. (3.7.3) dan kelib chiqadi.
2. A gar x ± Y b o 'lsa, u holda x - mx va Y - my lar ham b o g 'liq siz b o 'lad i
va m atem atik kutilm aning xossasiga k o 'ra Kxy = 0 .
3. D( x ± Y ) = M ((x ± Y ) - M (x ± Y ))2 = M ((x - M x ) ± (Y - M Y ))2 =
= M (x - M x Y ± 222 (x - M x 2
- M Y ) + M (Y - M Y )2 = D x + D Y ± 2 К x y
4 . K cx,y = M ( C x - M C x X Y - M Y ) = M [ C ( x - m x X Y - M Y )] =c k m .
5 . K x +C,Y M ((x + C ) - M (x + C))(Y - M Y ) = M (x + C - M x - C )(Y - M Y )
M (x - M x ) ( Y - M Y ) = К
x - m
6. 3-xossani
Y - m.
va
7,
=D
7
у
t.m .larga qo'llasak,
У
D
7
7
f v
Y - my ±
+D
7
J
81
± 2M
X - m„
- M
X - m.
лл Y - m.
-M
rv
W
Y - my
JJV
= 1+1 ± 2 M
Г X - mx Y - myЛ
у
JJ
r
v
л
= 2 1± J KXy_
7 x 7 y j
J
r
1 ± —vK XY_ л
D ispersiya m anfiy bo'lm asligidan 2
^ 0 , y a ’ni |k
xy| < 7
x
7
y
.1
7 x 7 y j
3-xossaga k o 'ra, agar KXY ф 0 b o 'lsa, X va 7 t.m .lar b o 'g liq bo'ladi.
B u holda X va 7 t.m .lar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin Kxy = 0
ekanligidan X va 7 t.m .larning bog'liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, X va
7 t.m .larning bog'liqsizligida ularning korrelatsiyalanm aganligi kelib
chiqadi, teskarisi esa har doim ham o 'rin li emas.
S X va 7 t.m .larning korrelatsiya koeffitsienti
K
rXY =
7x7y
_ cov(X , Y )
(3.7.7)
4d x 4dy
form ula bilan aniqlanadi.
K orrelyatsiya koeffisiyentining xossalari:
1. | r j < 1 , y a ’ni
- 1
< rxY < 1;
2. A gar X ± Y b o 'lsa, u holda rXY = 0 ;
3. A gar IrY = 1 b o'lsa, u holda X va 7 t.m .lar chiziqli funksional b o g 'liq
bo'ladi, teskarisi ham o'rinli.
Shunday qilib, bogliqsiz t.m .lar uchun rXY = 0 , chiziqli bog'langan
t.m .lar uchun \rx^\ = 1, qolgan hollarda -1 < rXY < 1 . A gar rXY > 0 bo'lsa,
t.m .lar m usbat korrelatsiyalangan va aksincha
agar rXY < 0 b o 'lsa, ular
m anfiy korrelyatsialangan deyiladi.
3.8 B a ’zi m u h im ik k i o ‘lch o v lik ta q sim o tla r
D o ira d a g i tek is taq sim o t. Radiusi R = 1 b o 'lg an doirada (x, Y) t.m.
tekis taqsim otga ega bo'lsin(26-rasm ).
82
1— х
Demak, (X,Y) ning birgalikdagi zichlik funksiyasi
f(x
\ _{ C
+ У2 < 1
, X "[0 , agarx2 + у 2 > I.
O 'zgarm as C ni
да+да
1 л/l - х2
J J f ( х , У ) d x d y = 1 , y a ’ni J
J C dxdy = 1
—да—да
-1 -
shartdan aniqlaym iz. Bu karrali integralni geom etrik m a'nosidan kelib
chiqqan holda hisoblash osonroq(27-rasm ).
27-rasm.
83
f (х,у) sirt va OXY tekislik bilan chegaralangan jism ning hajm i 1 ga
tengdir. B izning holda bu asosi %R2 =%-i2 = % va balandligi C b o 'lg an
silindr hajm idir V = %C = 1 . Dem ak, C = — va izlanayotgan zichlik funksiyasi
1
2
2 л
— , agar x + у < 1,
f (х X ) : < %
0, agar x 2 + у 2 < 1.
U nga mos taqsim ot funksiyani hisoblaymiz:
X X
x у y
F ( х, у ) = J J f ( u, v ) dudv = | J — dudv
-1-41-u2 %
28-rasm.
Tabiiyki, bu integral х 2 + у 2 < 1 doira bilan uchi M nuqtada b o 'lg an
d
= fa, b)e r 2 : a < х, b < y}- kvadrantning — aniqligida kesishishidan hosil
%
b o 'lg an soha d 0 yuzasiga tengdir(28-rasm ). Tabiiyki, х < - \, - » < у < + » da
F (х, у ) = о , chunki bu holda Do = 0 , endi х > 1 va у > 1 da F (х , у ) = 1 , chunki
bu holda d 0- soha х 2 + у 2 < 1 doira bilan ustm a-ust tushadi.
Endi X va Y larning m arginal taqsim ot funksuyalari Fx va Fr larni
hisoblaymiz: -1 < х < 1 da
84
х
F
(х )=
+
[
l
х
[ / (
u , v ) dudv
y jl
-u 2
= [
-L -L
-1
^
Л
dudv =
[
Г Т
-V 1-u
х
(
\ -------- 2 ~
—
—• [I v|_1
T=
7
я
я
-1 V
Л
1
x
du = —• [
u J
я
_______________
2^1 - u2du =
-1
x J l - x 2 + arcsin x j .
I
|хл/ l ^ ^ j + arcsm u
1 + —•(
2
я
V
я
Demak,
0,
—н----- (x ' J l - x + arcsinxj,agar -1 < x < 1 ,
<
FX ( x j
agar x < - 1 ,
1
,
agar x > 1 .
A ynan shunga o ‘xshash
0,
FY (y j:
<
agar y <- 1 ,
- + —•(У> / 1 - У2 + arcsin y j,agar - 1 < y < 1 ,
2
я '
'
1,
agar y > 1 .
N ihoyat, X va Y lam ing m arginal zichliklarini hisoblaymiz:
+L
/
x
[/
(xj=
-L
V1 -x
-t
F ~ - x 2
(x , y j d y =
—d y
[
r\
j
= — w 1- x
/Т-Тя
“
,
-1 < x < 1
я
-V 1 -x 2
va shu kabi
2
+l
а
/нуy
*
1
?
/ Y(yj = f/( x , y jdx = f - dx = JL
1— я
я
—
-V 1- y
I-------------
•V1- y
, - 1 <y < 1.
K o ‘rinib turibdiki, / (x,yj^ / x (xj-/ (yj, dem ak, X va Y b o g ‘liq t.m .lar ekan.
Shuni ta ’kidlab o ‘tish lozimki, tekis taqsim otga ega b o ‘lgan har
qanday (x ,Y j ju ftlik doimo b o g ‘liq b o ‘ladi deb aytish n o to ‘g ‘ridir. Chunki
X va Y larning b o g ‘liqlik xossalari ular qanday sohada tekis taqsim otga
ega ekanligiga b o g ‘liqdir. Shu boisdan keyingi taqsim otni k o ‘rib o ‘tamiz.
85
K v a d ra td a g i tek is taq sim o t. (x , y j ju ftlik [o,1]x[o,1] kvadratda tekis
taqsim otga ega bo'lsin. U holda ular birgalikdagi taqsom ot funksiyasi
ko'rinishi quyidagidek bo'ladi:
0, x, y < 0,
F (x, y j = <jx • y , 0 < x, y < 1,
1, x, y > 1.
Bundan
0, x < 0,
Fx (xj = F (x,+roj = F (x,1j = < x, 0 < x < 1 ,
1, x >1 .
'0 , y < 0,
FY(y j = F (+ L y j = F (1, y j: < y , 0 < y < 1 ,
1, y >1 .
Demak, barcha x,y e r 1 lar uchun F (x,y j = Fx (xj^Fr (yj , y a ’ni X va Y b o g 'liq
emas ekan.
Ik k i o ^ c ^ v l i k n o rm al(G au ss) taq sim o ti. (x , y j tasodifiy vektor
ikki o'lchovli norm al taqsim otga ega bo'lsin. U holda (x , y j ning
birgalikdagi zichlik funksiyasi
1
1
•exp
(x -
a 1 j2 _ 2
(x -
a1j
(y -
a2j
(y -
a 2 j2
20 - P2j
2ж<J1a 2^|—-
G eom etrik nuqtayi nazardan / (x, y j grafigi cho'qqisi (a1, a 2 j nuqtada
joylashgan « to g '» shaklini bildiradi(29-rasm ). A garda biz bu to g 'n i o x y
tekisligiga narallel tekislik bilan kesadigan bo'lsak, u holda kesilish
chiziqlari quyidagi ellipslardan iborat bo'ladi:
(x - a j2
(x - a j ( y - a j ( y - a j2
v—
- 2 r •!------ •^------------------------ = C -konstanta,
'1
2
2
bu
yerda
a1 = M X ,
2
2
a 2 = M Y , c 1 = D X , c 2 = DY , va r = rXJ -korrelatsiya koeffitsientidir.
A gar r =0 b o 'lsa, bu chiziqlar aylanalardan iborat b o 'lib qoladi. Biz r ning
aynan korrelatsiya koeffisienti b o 'lish ig a ishonch hosil qilish m aqsadida
86
X —ax
1=
С
2 va z 2 =
Y —a0
С
2
yangi t.m .larni kiritamiz. Tabiiyki, M z k = 0, Dzk = 1, k = 1 ,2 . U holda ( z ,z 2j
ning zichlik funksiyasi
1
g ( Z^ Z 2 )
2л^|—- , 2
Z2 - 2r •zxz,2
•exp
2
29-rasm.
Endi korrelatsiya koeffitsientini hisoblaymiz:
^
L
L
rx Y = Cov ( Z 1, Z 2j = M Z !Z 2 = ------------ • [ [ Z g ( Z1, j
2Я v 1 r
1
r 2
2 я ^ |——I
1
f
i s L
+
r
[ Z26 2 ^ [ ( Z1 - rZ2 + rZ2j- eXP
-L
-—
2 •
Z2 •e 2
L
-l -l
1
Г/
l
- r
( Z1 - rZ2j 2 dzr d
' 2 (1- r 2j
ч
I
( zx~
r2
zj22 |
( Z1
- rZ
(z' - " ■ > • p
f exp i
[
Pi
- ^ fr iL
2(1 - r 2j
87
^
f
=
,
d k
4
-
j
d ( Z1 - rZ2j dz2 = r .
dz2 +
O xirgi tenglikni hosil qilishda quyidagi integrallardan foydalandik:
u2
1
—(l—r—)
L
I u •e v
4 —Л • 4 ——
fr
2
'du = 0,
u = z - rz2,
-L
-m arkazlashtirilgan norm al t.m .ning m atem atik kutilmasi;
2
L —
(l—
r—j
[ e ( j du = 1,
4 —Л•^|——r 2 -L
1
u = z - rz2 ,
-zichlik funksiya integrali;
1
z 2
L
2
L [
z2 • e 2 dz2 = 1
2я L
-standart norm al t.m. dispersiyasi.
Demak, r (X ,Y j = r ekan. A gar ikki norm al taqsim otga ega b o 'lg an X
va Y t.m .lar b o g 'liq bo'lm asa, r = 0 b o 'lish i r ning xossasidan kelib
chiqadi. Endi shu t.m .lar uchun r = 0 bo'lsin. U holda
1
(x- axj2 (y - a 2 j2
•exp
С
2я с с 2
= f X ( x j- f Y (y j ,
с
bu yerda
1
f x (x j =
funksiyalar
4Sai
•exp
(x - a j2
2 c l2
N (a , 2 j , N (a2,c 22j
1
exp
\ f Y(y j =
4
2
я
С
п,
norm al t.m .lar zichlik
(y - a2)
2
c
>
2
funksiyalaridir.
Demak, t.m .lar korrelyatsiyalanm aganligidan ularning bog'liqsizligi ham
kelib chiqar ekan. B u hol ikki o'lchovlik normal taqsim otni boshqa
taqsim otlardan ajratib turadi.
88
3.9 Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari
Taqsim ot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi ham m a m a’lum otni
o 'z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi.
X arakteristik funksiya yordam ida b o g 'liq siz t.m .larning yig'indisining
taqsim otini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir m uncha
osonlashadi.
itX
S X t.m .ning xarakteristik funksiyasi
e t.m .ning m atem atik
kutilm asi b o 'lib , uni px (t) yoki pit) orqali belgilaymiz. Shunday qilib,
ta ’rifga ko'ra:
p i t ) = M eltX.
A gar X
t.m.
x1,x2,...xn,...
qiym atlarni
(3.9.1)
p k = P { X = xk}, k = 1,2,...
ehtim olliklar bilan qabul qiluvchi diskret t.m. b o 'lsa, u holda
xarakteristik funksiyasi
uning
L
p (t) = z eiiXkPk
k=1
(3.9.2)
form ula orqali, agar zichlik funksiyasi / (x) b o 'lg an uzluksiz t.m. b o 'lsa, u
holda uning xarakteristik funksiyasi
+L
p i t ) = | elix/ (x)dx
(3.9.3)
-L
form ula orqali aniqlanadi.
X arakteristik funksiyaning xossalari:
1. B archa t e R uchun quyidagi tengsizlik o'rinli:
\p ) \ < p 0 ) = 1.
2. A gar Y = a X +b b o 'lsa, bu yerda a va b o'zgarm as sonlar, u holda
p Y (t) = eitbp x (at) .
3. A gar X va 7 t.m .lar b o g'liqsiz b o 'lsa, u holda X + 7 yig'indining
xarakteristik funksiyasi X va 7 t.m .larning xarakteristik funksiyalari
ko'paytm asiga teng:
px+Y (t) = px (t) •PY(t) .
89
4. A gar X t.m .ning k-tartibli boshlang'ich m om enti a k = M X k m avjud
bo'lsa, u holda unga m os xarakteristik funksiyaning k-tartibli hosilasi
m avjud bo'lib, uning t=0 dagi qiymati
p p \ 0 ) = ikM (X k) = ik •a, .
JtX
Isboti. 1. \p(t)| = MeiX < M e itX = M1 = 1, chunki
eltX = |cos tX + i sin tX\ = yfcosFtX + Sn^tX = 1. p(0) = Me 0 = M 1 = 1 .
2. p Y(t) = M eitY = M eu(^+ b) = M ( e itbeiaXt) = eitbM eiatX = eitbp x (at) .
3. pX+Y(t) = M elt(X+Y) = M ( e ltXeltY) = M eltx •M eltY = p X (t) p Y(t). Bu xossa n
ta bog'liqsiz tasodifiy m iqdorlar y ig 'in d isi uchun ham o'rinlidir.
(k)/ \ d Me
-k , T,k itx\
4. H isoblashdan ko'rinadiki, px (t) = — ~^k— = i M ( X e ) . D em ak t=0
bo'lsa, p p )(0) = ikM ( X k) = ik a k.
■
4-xossadan a k = i~kp%)(0) .
a = M X = - i p ( 0 ) ; a 2 = M X 2 =-p' (0);
(3.9.4)
DX = a 2 - a 2 = - p (0) + (p (0))2.
3.7-m isol. A gar X ~ Bi(n;p) b o 'lsa, u holda X t.m .ning xarakteristik
funksiyasi, m atem atik kutilm asi va dispersiyasini toping.
X t.m. 0 ,1 ,2 ,...,n qiym atlarni p k = P { X = k} = C nk p kq n~k k = 0,1,...,n
ehtim olliklar bilan qabul qiladi. (3.9.2) va N yuton binom i form ulalaridan
foydalansak,
p(t) = ^ ^ e itkCkkPkqn~k = 2 ^ (eit •p )kqn~k = (eitp + q)n, y a ’ni X
k=0
k=0
t.m .ning xarakteristik funksiyasi p(t) = (eltp + q)n ifoda bilan aniqlanishiga
ishonch
hosil
qilamiz.
(3.9.4)
form ulaga
ko'ra:
M X = -i(n(eltp + q f ~ l ■pe" ■i) 11=0= np va shu kabi DX = npq.
3.8-m isol. A gar X ~ N ( a , a ) b o 'lsa, u holda X ning xarakteristik
funksiyasi, m atem atik kutilm asi va dispersiyasini toping.
^
(3.9.3) form ulaga asosan:
+ l
(
xa
-
)2
p (t) = r—
f eltXe 2c dx =
у / 2 я с —L
90
=
+l
Л +
L
1
f
у2яс [
1
= -L 4 S c
-1I
x -2(a+itc2)x+a2
+lL x2-2x(a+itc2)+(a+itc2)2+a2-(a+itc2)2
+
2cl
22
dx = .—
e
dx =
л /2яясс f
+l
+L (x-(a+itc2))2 2aitc2+(itc2)2
[e
2c2
•e
2c2
dx =
L
L - x-(a+itc2) |
+L
iat- tt2cc2+
~
I
2aitc2-t2c4+l
2 c2
I
яc
С
,
.. 2 \\
x - (a + i t c )
■42c =
^\f—^<j
1
(x-(a+itc2))2
2 c2
dx =
22
22
iat-tc
iat- tc
e
2 л[я = e
2
у[я
+L
| e~u du = 4 я Puasson integrali
Shunday qilib, agar X ~ N ( a , a ) bo'lsa,
+2—
2
iat- t c
u holda p ( t ) = e
2 . Endi X
dispersiyasini
M X = 1- ip (0)] = - i e
D X = - p ( 0 ) - ( p (0 ) )
c
2
2
t.m .ning
m atem atik
kutilm asi va
hisoblaymiz.
(ia - t c 2) | ?=o = - i •1 •ia = a
, iat
-c e
2
t2c2 ^
, , iat---+ (ia - t c ) e
2
t= o
+ (ia)2 =
-2 2 . -2 2
2
- i a +i a = c
I I I b o b g a d o ir m iso lla r
1. (X,7)
ikki
o'lchovli uzluksiz t.m .ning birgalikdagi
C
funksiyasi
/ (x, y) = - — ^ ^
ko'rinishida
berilgan
(1 + x2)(1 + y 2)
quyidagilarni toping:
1) o'zgarm as son C; 2) F(x,y); 3) P{X<1, 7<1}; 4) f x ) v a f y ) .
2. A gar (X ,Y ) vektor taqsim oti quyidagicha bo'lsa:
-1
0
1
0
0.1
0.2
0.1
1
0.2
0.3
0.1
z =XY ning m atem atik kuti m asini hisoblang.
91
zichlik
bo'lsa,
3. (X,Y) ikki o 'lchovlik uzluksiz t.m. uchlari 0 (0 ,0 ), A(0,4), 5 (4 ,0 )
nuqtalarda b o 'lg an uchburchak ichida tekic taqsim langan(ya’ni fx ,y )= c ).
Q uyidagilarni hisoblang: 1) birgalikdagi zichlik funksiyasi f x ,y ); 2) f x ) v a
f y ) ; 3) A={0<X<1, 1<Y<3} hodisaning ehtimolligini.
Гx + y, 0 < x < 1 , 0 < y < 1 ,
4. (X, 7) tasodifiy vektor zichligi f (x, y) = <!
\ 0,
aks holda
bo'lsa, MX va MY larni hisoblang.
5. A gar (X ,Y ) tasodifiy vektorning taqsim oti
bo 'lsa, u holda m (X +y ) =m x +m y ,
1
\
x 0
D ( X +Y ) = d x + d y +2Cov(x, y)
tengliklar
Y \
ekanligini ko'rsating.
0
1/8
0
1
1/4
1/8
2
1/8
3/8
o 'rin li
6. Q uyida (X,Y) ikki o'lchovli uzluksiz t.m .ning birgalikdagi zichlik
Cxy, agar (x, y ) e D,
funksiyasi berilgan:
f (x, y ) =
bu erda D
0,
agar (x, y ) £ D
tekislikdagi
quyidagi
shartlarni
qanoatlantiruvchi
soha:
y > - x,
y < 2,
O 'zgarm as son C ni toping, X va Y t.m .lar b o g 'liq ekanligini
x < 0.
ko'rsating.
7. A gar X ~ Bi(2;0.2), 7 - 5 /( 1 ;0.8) va X ± Y
b o 'lsa, u holda
Z = X + Y t.m .ning taqsim ot funksiyasini toping va FZ(1) ni hisoblang.
8. A gar X va Y t.m .larning birgalikdagi taqsim oti
-1
0
1
2
X ^
-1
0.05 0.3 0.15 0.05
1
0.1 0.05 0.25 0.05
bo'lsa, u holda Z = |y- X va U = Y2- X 2 larning taqsim otlarini toping.
9.
berilgan:
X\Y
1
2
3
(X,Y) ikki o'lchovlik diskret t.m .ning birgalikdagi taqsim ot jadvali
1
2
3
4
0.07 0.04 0.11 0.11
0.08 0.11 0.06 0.08
0.09 0.13 0.10 0.02
X
va
Y
t.m .lar
b o g 'liq
yoki
bog'liqsizligini tekshiring va cov(X,Y) ni
hisoblang.
92
10.
X va Y t.m .larning birgalikdagi zichlik funksiyasi berilgan:
a ( 1 - xy 3), agar |x| < 1,|y| < 1 ,
f (x, y ) = <
Д
aks holda.
O 'zgarm as son a va korrelatsiya koeffitsientini hisoblang.
11. X va Y t.m .larning birgalikdagi zichlik funksiyasi berilgan:
ГС(x + y), agar 0 < x < 1,0 < y < 1 ,
f ( , ^y
[0,
aks holda.
1) X va Y t.m .lar bog'liqm i? 2) X va Y t.m .larning m atem atik kutilm asi va
dispersiyasini hisoblang.
12.
(X,Y) tasodifiy vektorning birgalikdagi taqsim oti
0,
x < 0 , y < 0,
F (x, y) :
<
x> , 0 < x < 2,0 < y < 4,
8
1
,
x >2 ,y > 2 ,
bo'lsa, X va Y o 'zaro bog'liqm i?
13.
A gar (X, Y) tasodifiy vektorning
taqsim oti berilgan b o 'lsa, Cov(X,Y) ni hisoblang.
\ y
birgalikdagi
x\
1
2
1
2
1
1
3
0
3
1
3
14. x ~ R(—a,a) b o 'lsa, x va Y = x 2 lar uchun Cov (x,Y ) ni
hisoblang. X va Y lar bog'liqm i?
15. A gar X va Y bog'liqsiz, bir xil taqsim langan va m x 2 , m y 2 < ^
bo'lsa, u holda C o v ( x + Y , x - Y ) = о ekanini isbotlang.
16. A gar X ~ E ( 1), D Y = 2 va D ( X - Y ) = з b o 'lsa, rXY ni hisoblang.
X : - 0 2
2
17. A gar 1
1 1 1
b o 'lsa, Y = sinX va Z = cosX uchun
P : - - X ' 3 3 3
Cov(Y,Z) = 0, ammo Y va Z bog'liqligini ko'rsating.
18. A gar (X,Y) zichlik funksiyasi f(x,y) =e~^y, x,y > 0 b o 'lsa,
shartli zichlik funksiyalar f (x/Y = y ) va g (y j x = x) ni hisoblang.
93
19.
A gar (X, Y) tasodifiy vektorning birgalikdagi zichlik funksiyasi
x + 2 y,
J ( x y ) = *q
(x, y ) e[0,1] x[ 0 , 1 ],
aks holda
hisoblang.
20. A gar (X,Y)
1
2
^ 4 Y
X \
1
2/9
1/9
2
1/9
0
3
2/9
1/9
21.
A gar X
Y
b o 'lsa,
M ( Y / X =x)
ni
x = 1 da
ning birgalikdagi taqsim oti bo'lsa,
rXY ni hisoblang .
3
0
1/9
1/9
va
Y t.m .larning birgalikdagi zichlik funksiyasi
x 2+4 y 2
f (x, y) = — e
3—
6
b o 'lsa,
u
holda
(X,Y)
tasodifiy
nuqtaning
{ x| < 1, |y\ < 2} sohaga tushishi ehtim olligini toping.
22. [a,6] oraliqda tekis taqsim langan X t.m .ning xarakteristik
funksiyasini toping.
23. A gar X t.m. a param etrli Puasson taqsim otiga ega b o 'lsa, uning
m atem atik kutilm asini xarakteristik funksiya yordam ida hisoblang.
24.
X
t.m .ning
zichlik
funksiyasi
berilgan:
\ - 2 x , agar x e[-1 ,0 ],
f ( x ) = 1|0,
л agar x € [-1,0],
„ r 1 mXVx (t) ni hisoblang.
25. A gar X va Y t.m .larning birgalikdagi taqsim oti quyidagi jadval
yordam ida berilgan b o 'lsa, Р(Х=1/У=1), Р(Х=0/У=1), М Х va M Y larni
toping.
0
\X
y \
0
1/4
1
1/8
1
2
1/8
1/8
1/8
1/4
94
IV bob. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
4.1 B ir a rg u m e n tn in g fu n k siy a la ri
S A gar X t.m .ning har bir qiym atiga biror qoida b o 'y ich a mos ravishda
Y t.m .ning bitta qiymati mos qo'yilsa, u holda Y ni X tasodifiy
argum entning funksiyasi deyiladi va Y = p(X) kabi yoziladi.
X diskret t.m. x 1 ,x 2 ,...,xn qiym atlarni mos p 1 , p 2 ,...,pn ehtim olliklar
bilan qabul qilsin: P i = P { X = xt}, i = 1,2,...,n . Ravshanki, Y = p(X) t.m.
ham diskret t.m. b o 'lad i va uning qabul qiladigan qiym atlari y 1 =p( x1) ,
y 2 =p( x 2 ) y „
= p (x„) , m os ehtim olliklari esa p 1 , p 2 ,...,pnbo'ladi. Demak,
Pi = P {Y = y i} = P{Y = p ( x i)}, i = 1,2,...,n . Shuni ta ’kidlash lozimki, X
t.m .ning har xil qiym atlariga mos Y t.m .ning bir xil qiym atlari mos kelishi
mumkin. Bunday hollarda qaytarilayotgan qiym atlarning ehtim olliklarini
qo'sh ish kerak bo'ladi.
Y = p(X) t.m .ning m atem atik kutilm asi va dispersiyasi quyidagi
tengliklar orqali aniqlanadi:
M Y = X P(x )p i,
D Y = X ( P ( x ) - M Y f p, .
4.1-m isol. X diskret t.m .ning taqsim ot jadvali berilgan:
X
-1
1
2
0.1
0.2 0.6
p
Agar: 1) Y = X 2 ; 2) Y = 2 X +10 b o 'lsa, M Y ni hisoblang.
1) Y t.m .ning qabul qiladigan qiymatlari: y 1 =p(x^ = (-1)2 = 1 , y 2 = 1 2 = 1 ,
y 3 = 22 = 4 , y a ’ni uning qabul qiladigan qiym atlai 1 va 4. Y t.m. X t.m .ning
-1 va 1 qiym atlarida 1 qiym at qabul qilganligi uchun
p = p{Y = 1} = P{X = -1} + P{X = 1} = 0.1 + 0.3 = 0.4,
p 2 = P{Y = 4} = P{X = 2} = 0.6.
Demak,
va
M Y = 1-0.4 + 4 -0.6 = 2.8.
Y : 8 , 12, 14
2) Y t.m .ning taqsim ot qonuni quyidagi k o 'rin ish g a ega: j p . q i о 3 0 6
M Y = 8-0.1+12•0.3+14•0.6 = 12.8 .
95
Z ichlik funksiyasi f x ) b o 'lg an X uzluksiz t.m. berilgan bo'lsin. Y t.m.
esa X t.m .ning funksiyasi Y = <p(X) . Y t.m .ning taqsim otini topamiz.
Y = p(X) funksiya X t.m .ning barcha qiym atlarida uzluksiz, (a,b) intervalda
qat’iy o'su v ch i va differensiallanuvchi b o 'lsin , u holda y = p ( x )
funksiyaga teskari x = / ( y ) funksiya mavjud. Y t.m .ning taqsim ot
funksiyasi G(y) = P{Y < y} form ula orqali aniqlanadi. {Y < y} hodisa
{ X < / ( y ) } hodisaga ekvivalent (30-rasm).
X < x = iy(y)
30-rasm.
Y uqoridagilarni e ’tiborga olsak,
/ (y)
G(y ) = P{Y < y } = P { X < / (y )} = FX (/ (y )) = J f (x)dx .
a
(4.1.1)
(4.1.1) ni y b o 'y ich a differensiallaym iz va Y t.m .ning zichlik funksiyasini
topamiz: g (y ) =
dy
= f (/ (y )) ~ (/ (y )) = f (/ (y ))/ (y ) .
dy
Demak,
g (y ) = f (/ (y ))/ (y ) .
(4.1.2)
A gar y = p ( x ) funksiya (a,b) intervalda q at’iy kam ayuvchi b o 'lsa, u holda
{Y < y} hodisa { X < / ( y )} hodisaga ekvivalent. Shuning uchun,
96
b
V (y )
G(y) = J f (x)dx = — J f (x ) d x .
V ( У)
b
B u yerdan,
g (У) = - f (V (y ))V (У)
(4.1.3)
Z ichlik funksiya m anfiy bo'lm asligini hisobga olib, (4.1.2) va (4.1.3)
form ulalarni um um lashtirish mumkin:
y =f ( v ( y)) V (y)\.
g( )
(4.1.4)
A gar y = ф(x ) funksiya (a,b) intervalda m onoton bo'lm asa, u holda g(y)
ni topish uchun (a,b) intervalni n ta m onotonlik bo'lakchalarga ajratish, har
biri bo'y ich a teskari funksiyasi v ni topish va quyidagi form uladan
foydalanish kerak:
n
g (y ) = 2 f (V (y )) V ( У)\ .
(4.1.5)
i =1
A gar X zichlik funksiyasi f(x) b o 'lg an uzluksiz t.m. b o 'lsa, u holda
Y = q>(X) t.m .ning sonli xarakteristikalarini hisoblash uchun Y t.m .ning
taqsim otini q o 'llash shart emas:
+да
M Y = M (ф(X )) = J (p(x)f (x)dx,
—д а
(4.1.6)
+да
DY = D ( p ( X )) = J (p(x) —M Y)2f (x)dx .
4.2-m isol. X zichlik funksiyasi f( x ) b o 'lg an uzluksiz t.m. b o 'lsa, Y=5X+2 t.m .ning zichlik funksiyasini toping.
y = —5x +2 funksiya (-да; +да) intervalda m onoton kam ayuvchi.
1
Teskari funksiyasi x =
-
(2
,
1
—y ) = v ( y ) m avvud, V (y ) = - ~ . U holda
(4.1.4) form ulaga k o 'ra, g (y ) = f
(2—y1 1=1f (2—у1,ye(—
да;+да).
I 5J 5 5 I 5J
97
4.2-m isol
yordam ida
form ulalarini tekshiramiz:
taqsim ot
G(y) = P{Y < y} = P{—5 X + 2 < y} = P i X >
P i X < 2' —y
= 1 —P J X < 2 j y t = 1
2
t +
va
2
zichlik
funksiyalarning
—У
PJX
=
—
y
—У
X
Demak, G (y)
= 1
—f xX
2 —У
, u holda g (y ) = G (y ) =
2
V
—f )X
2 —y 1 ( 2 —y 1
5
5
( 2 —y
5
—У
X
5
JJ
ya ni
1
g (y ) = - f
2 —У '
, У e (—да; +да).
V 5
Y=aX+b chiziqli alm ashtirish taqsim ot xarakterini o'zgartirm aydi:
norm al t.m .dan norm al t.m.; tekis t.m .dan tekis t.m. hosil bo'ladi.
4.3-m isol. X t.m. ^—у ,^-j intervalda tekis taqsim langan. Y = cosX
t.m .ning m atem atik kutilm asini a) g (y) zichlik funksiyani topib; b) g (y)
zichlik funksiyani topm asdan hisoblang.
1
( жж
—, x e l —— —
a) X t.m .ning zichlik funksiyasi f (x) = ж V 2 2 bo'ladi.
intervalda
y = cosx
funksiya
m onoton
o'suvchi, x e
0
funksiya,
x : = —arccos y = Vi( У)
emas:
x е \ —ж,o I intervalda
,ж I intervalda esa kam ayuvchi. Birinchi intervalda teskari
ikkinchi
intervalda
x2 = arccos y = v 2( У) ga teng. U holda (4.1.5) form ulaga asosan
98
esa
1
+—
g (y ) = f (¥ 1 (y )) v \ (y ) + f ( ¥ 2 (y )) ¥ 2(y )
ж
f i
У
1
ж
1
y
2
ж ф ~ У
Demak,
2
<
agar 0 < y < 1,
2
g ( У) = ж^1~У ‘
o,
agar y < 0 yokiy > 1.
U holda
■н»
1 ^ 2 *
MY
J y g (y )dy = | y — f— 2■dy
-сю
J 0 ж41 —У
2
= —- •1 1(1 —УV 2d (1 —y 2) = — 1 •2 jT —y
ж 2 J0
ж
ж
b) (4.1.6) form uladan foydalanamiz:
ж
1 dx = —
1 sin x
M Y = 2I cos x •—
К
ж
ж
л
2
ж
2
1
2
- ( 1 —(—1 ) ) = ж
ж
2
4.2 Ik k i a rg u m e n tn in g fu n k siy a la ri
S A gar X va Y t.m .lar qabul qiladigan qiym atlarining har bir juftligiga
biror qoidaga k o ‘ra Z t.m. m os q o ‘yilsa, u holda Z t.m. X va Y ikki tasodifiy
argum entning funksiyasi deyiladi va Z = (p(X ,Y ) kabi belgilanadi.
Z = y (X , Y ) funksiyaning am aliyotda m uhim aham iyatga ega b o ‘lgan
xususiy holi Z = X +Y t.m .ning taqsim otini topamiz.
(X ,Y ) ikki o ‘lchovli uzluksiz t.m. f (X ,Y) birgalikdagi zichlik
funksiyaga ega b o ‘lsin. (3.4.3) form uladan foydalanib, Z = X +Y t.m .ning
taqsim ot funksiyasini topamiz:
F (z) = P{Z < z} = P { X + Y < z} =
IIf (x , y)dxdy,
Dz
bu yerda Dz = {(x , y ): x + y < z } (31-rasm).
99
(4.2.1)
X
31 -rasm.
U holda Fz (z) =
dx . H osil b o ‘lgan tenglikni z o ‘zgaruvchi
b o ‘yicha differensiallab, Z = X +Y t.m. uchun zichlik funksiyaga ega
b o ‘lamiz:
(4.2.2)
A gar X va Y t.m .lar b o g ‘liqsiz b o ‘lsa, f (x,y) = f (x )■f (y ) tenglik o ‘rinli
b o ‘ladi va (4.2.2) form ula
+да
f Z ( z ) = f X +Y ( z )
=J
f l( x ) f2(z - x )d x
(4.2.3)
k o ‘rinishda b o ‘ladi.
S B og‘liqsiz
t.m .lar
y ig ‘indisining
taqsim oti
shu
t.m .lar
taqsim otlarining kompozitsiyasi deyiladi. Z t.m .ning zichlik funksiyasi
fx+Y = f x * f Y k o ‘rinishda yoziladi, bu yerda * - kom pozitsiya belgisi.
X uddi shunday agar Z = Y +X k o ‘rinishda yozib olsak, f z (z ) uchun
boshqa form ulaga ega b o ‘lamiz:
100
agar X va Y t.m .lar b o g ‘liqsiz b o ‘lsa, u holda
+x
f Z(z) =
J
f ( z - y ) f 2(y )d y
Z = X —Y , Z = X -Y t.m .larning taqsim otlarini topish ham xuddi shunga
o ‘xshash am alga oshiriladi.
4.4-m isol. A gar X
va Y t.m .lar b o g ‘liqsiz b o ‘lib,
X ~N (0,1),
Y ~ N ( 0,1) b o ‘lsa, Z = X + Y ning taqsim otini toping. (4.2.3) form ulaga
asosan:
+w
f z (z) =
J
—x
1
x2
- -
1
/( z
x )\2
2
J
+x
2x - 2 zx+z
J
e 2 •-= = e
ж
2 dx = — \ e
2 ж
2
J
+x
J
dx = — Г e
^2 ж
2
dx =
z2
1
=^ e
2ж
=—
e4 JJ
2 ж
^/ж = " I— Li _ e w
«ДЛж
z2
.г / \
y a 'n i Jx+y (z) =
1
2(^2)
. Demak, b o g ‘liqsiz, norm al taqsim langan
t.m .lar ( a = 0 , 7 = 1 param etrli) y ig ‘indisi ham norm al taqsim langan
( a = 0, <7 = 4 2 param etrli) b o ‘lar ekan.
4.5-m isol. X va Y t.m .larning birgalikdagi zichlik funksiyasi berilgan:
x + y, agar 0 < x < 1, 0 < y < 1 ,
f (x y ) =
0, aks holda.
Z = X —Y t.m .ning zichlik funksiyasini toping.
A vval Z t.m .ning taqsim ot funksiyasi FZ( z ) ni topamiz.
Fz ( z ) = P { Z < z} = P { X —Y < z } =
JJ (x + y ) d x d y
D
101
bu yerda Dz = {(x ,y ): x —y < z } , z ixtiyoriy son. 32-rasm da
<z < 0 bo'lgandagi integrallash sohasi,
bo'lgandagi integrallash sohasi tasvirlangan.
33-rasm da
—1
esa
Dz sohani
0 < z <1
i
У
/y = x - z
1
*
/
/
:
hX
l- te
0
33-rasm.
32-rasm.
1
< z < 0 bo'lganda:
1
1+z
1+z
z
F ( z ) = J J (x + y ) d x d y = J d x J (x + y ) d y = J d x x y +
D,
0
1+f f
1
2
J | x + — —x + xz
(x —z ) 2^
2
0
=
(1 + z )2
1
1
2
+z
(1 + z ) 3
2
3
o
x —z
2 \
z
V
x2
1
x3
x 2 (x —z ) 3
\— x ------- +z ---------------2
2
3
2
6
dx
у
z ( 1 + z )2
1
2
1
6
z 3 (1 + z )2
= --------6
2
.
A gar 0 < z < 1 bo'lsa,
z
Fz ( z ) =
1
JJ( x + y ) d x d y = J dx J
D„
f
J dx I xy
0
yzЛ
z.
+
1
q
J
f
+ Jdx I xy
1
1
(x + y ) d y + J dx J (x + y ) d y
x —z
z
y
2 J
x —z
.2 Л
1
x- z
dx +
J
J
102
1+z
0
ifx
+ 11 x +
+2
2
(x - z)
x
+
x
z
—
-
x2
2
dx = -
2
V2
2
J
^x2 x x3
x 2 (x —z )3^
+ — + --------- + z ------ v
'
2
2
3
6
V
J
x
+-
22 J
x+
-z + 2 z +1
Y uqoridagi hisoblardan
Fz (z ) = <
0,
agar z < -1,
(1 + z)2
2
,
agar -1<z < 0,
—z + 2 z +1
agar 0<z < 1,
2
agar z>1.
1
Z ichlik funksiyasi esa,
0,
agar z <-1, z > 1,
F 'A z) = f Z(z) = <z +1,
1- z,
agar -1<z < 0,
agar 0<z < 1.
IV b o b g a d o ir m iso lla r
1. X diskret t.m .ning taqsim ot jadvali berilgan:
X
p
-2
0.10
-1
0.20
0
0.30
1
0.25
2
0.10
3
0.05
a) Y = 2X 2 - 3 ; b) Y = 4 X + 2 ; c) Y = sin Ж X
t.m .larning taqsim ot
qonunlarini toping.
2. D iskret X t.m .ning taqsim ot qonuni
X
-2
-1
0
1
2
0.2
0.1
0.3
0.1
0.3
P
bo'lsa, Y = X 2 +1, Z = |X| t.m .larning taqsim ot qonunlarini toping.
103
3. A gar X ~ R [ - 2,2] b o 'lsa, Y = X + 1 t.m .ning zichlik funksiyasi va
dispersiyasini toping.
4. A gar X~7V(0,1) b o 'lsa, a) Y = З Х 3 ; b) ^ = |x | t.m .larning zichlik
funksiyasini toping.
5. X eR (0 ,2 ) va Y=-3X+1 b o 'lsa, Y t.m .ning taqsim ot funksiyasini
toping.
6. Taqsim oti
X
-1
0
1
Р
0.4
0.1
0.5
b o 'lg an t.m .dan tuzilgan У =2
t.m .ning m atem atik kutilm asi va
dispersiyasini toping.
7. Taqsim oti P(X =-1)=P(X =1)=1/2 b o 'lg an t.m .dan olingan Z pcosX rc,
Z 2=sinX^; t.m .larning m atem atik kutilm alari va dispersiyalarini toping.
8. Taqsim oti
b o 'lg an t.m .dan tuzilgan У=|Х| t.m. ning
X -1 0
1
2
Р 0.2 0.3 0.3 0.2 m atem atik kutilm asi va dispersiyasini toping.
9. X eB i(2 ,1 /3 );
v ’ h
IY: —1, 1
[
,
,
[ P : 1/4, 3/4
va X 1 Y bo'lsa, Z=X +2Y t.m .ning
’
&
m atem atik kutilm asi va dispersiyasini toping.
10. Ikkita tanga va kub tashlash tajribasida “gerb”lar soni Х va
kubdagi ochkolar soni У ning birgalikdagi taqsim ot jadvalini tuzing va
DX, D y larni hisoblang.
11. X uzluksiz t.m .ning zichlik funksiyasi berilgan bo'lsin:
Ie-x, agar x > 0,
f (x) = [
a) Y = 2 X —1; b) Y = X
t.m .larning zichlik
[0, agar x < 0.
funksiyalarini toping.
12. A gar X ~ i?[0 ,4 ], У~Я[0,1] va X I . Y b o 'lsa, Z = X + Y t.m .ning
zichlik funksiyasini toping.
13. B og'liqsiz X va Y t.m .larning taqsim ot qonunlari berilgan
X
P
-1
0.4
1
0.3
Y
2
0.3
P
-1
0.2
0
0.25
bo'lsa, X + Y va X Y t.m .larning taqsim ot qonunlarini toping.
104
1
0.3
2
0.25
V bob. Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari
Ehtim ollar nazariyasining lim it teorem alari deb nom lanuvchi qator
tasdiq va teorem alarni keltiramiz. U lar yetarlicha katta sondagi tajribalarda
t.m .lar orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. L im it teorem alar shartli ravishda
ikki guruhga bo'linadi. Birinchi guruh teorem alar katta sonlar
qonunlari(K SQ ) deb nomlanadi. U lar o 'rta qiym atning turg'unligini
ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda t.m .larning o 'rta qiymati
tasodifiyligini yo'qotadi. Ikkinchi guruh teorem alar m arkaziy lim it
teorem alar(M LT) deb nomlanadi. Y etarlicha katta sondagi tajribalarda
t.m .lar yig'indisining taqsim oti norm al taqsim otga intilishi shartini
ifodalaydi. KSQ ni keltirishdan avval yordam chi tengliklarni isbotlaymiz.
5.1 C h eb ish ev tengsizligi
T eo rem a(C h eb ish ev ). A gar X t.m. D X dispersiyaga ega b o 'lsa, u
holda V s > 0 uchun quyidagi tengsizlik o'rinli:
DX
P {|X —MX\ > s } < —r .
s
(5.1.1)
(5.1.1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. P {|X —a > s}
ehtim ollik X t.m .ning [ a - s ; a + s ]
oraliqqa
tushm asligi ehtim olligini bildiradi bu yerda a =M X . U holda
a —s
P { X - a| > s } = J d F (x) + J d F (x) = J
-x
a+s
|x—a |>s
chunki |x —a| > s
|x -a |> s
(x —a ) dF(x ) ,
= J 1- dF(x) < J
|x—a |>s
d F (x) =
s
integrallash sohasini
(x —a)2 > s 2 k o 'rinishda yozish
(x —a )2
mumkin. B u yerdan -----2— > 1 ekanligi kelib chiqadi. A gar integrallash
s
sohasi kengaytirilsa, m usbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini
hisobga olsak,
105
1
P { X - a| > s } < —
1 +x 1
(x - a)2d F (x) < — J (x - a)2d F (x) = — —X
J
s I\x-a\>s
ь
s
-x
Chebishev tengsizligini quyidagi k o 'rin ish d a ham yozish mumkin:
—X
P {|X —MX| < s } > 1---- s
(5.1.2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy t.m .lar uchun o'rinli. Xususan, X t.m.
binom ial
qonun
b o 'y ich a
taqsim langan
bo'lsin,
P {X = m } = C mp mq n~m, m = 0,1,...,n ,
q = 1 —p e (0,1) .
U
holda
M X = a = np, —X = npq va (5.1.1) dan
P {m - n p < s } > 1- —2q ;
s
n
ta
—
vn
b o g'liq siz
tajribalarda
ehtim olligi
(5.1.3)
p =M — = a , dispersiyasi
vn
qp
m
— b o 'lg an hodisaning — chastotasi uchun,
n
n
P<
m
n
p <s ^ - S .
(5 1 4 )
X t.m .ni [s; + x ) oraliqga tushushi ehtim olligini baholashni M arkov
tengsizligi beradi.
T eo rem a (M ark o v ). M anfiy bo'lm agan, m atem atik kutilm asi M X
chekli b o 'lg an X t.m. uchun V s > 0 da
P {X >£}< —
s
(5.1.5)
tengsizlik o'rinli.
Isboti. Q uyidagi m unosabatlar o'rinlidir:
+x
P {X > s } =
J
+x
i
—
+x
+” x _ 4 1 +X _ . M X
d F (x) < J x d F (x) = J x d F (x) =
s *0
s
s s
106
(5.1.5) tengsizlikdan (5.1.1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin.
(5.1.5) tengsizlikni quyidagi k o 'rin ish d a ham yozish mumkin:
P { X < s } > 1——
s
.
(5.1.6)
5.1.-m isol. X diskret t.m .ning taqsim ot qonuni berilgan:
X : 1 2 3
(
,
P 0 3 0 2 0 5 Chebishev tengsizligidan foydalanib, P {X - M X |<40.4}
^
X
ehtim ollikni baholaym iz. X t.m .ning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:
M X = 1- 0.3 + 2 -0.2 + 3 -0.5 = 2 .2 ; —X = 12 -0.3 + 2 2 -0.2 + 32 -0.5 - 2.22 = 0.76.
00.76
76
Chebishev tengsizligiga ko'ra: P {X - 2 .2 \ < 4 0 4 } > 1 - —— = 0.9.
~0~4
5.2 K a tta so n la r q o n u n i C h eb ish ev v a B e rn u lli te o re m a la ri
Ehtim ollar nazariyasi va uning tadbiqlarida k o 'p in ch a yetarlicha
katta sondagi t.m .lar y ig 'in d isi bilan ish k o 'rish g a to 'g 'r i keladi.
Y ig'indidagi har bir t.m .ning tajriba natijasida qanday qiym atni qabul
qilishini oldindan aytib bo'lm aydi. Shuning uchun katta sondagi t.m .lar
yig'indisining taqsim ot qonunini hisoblash burm uncha qiyinchilik
tug'diradi. L ekin m a’lum shartlar ostida yetarlicha katta sondagi t.m .lar
y ig 'in d isi tasodifiylik xarakterini y o 'q o tib borar ekan. A m aliyotda ju d a
k o 'p tasodifiy sabablam ing birgalikdagi ta ’siri tasodifga deyarli b o g 'liq
bo'lm aydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish ju d a m uhim dir. Bu
shartlar “K atta sonlar qonuni” deb ataluvchi teorem alarda keltiriladi. Bular
qatoriga Chebishev va Bernulli teorem alari kiradi.
✓ X 1 , X 2 ,... X n,... t.m .lar o'zgarm as son A ga ehtim ollik b o 'y ich a
yaqinlashadi deyiladi, agar V s > 0 uchun
Hm P {X n —A < s} = 1
P
m unosabat o 'rin li bo'lsa. Ehtim ollik b o 'y ich a yaqinlashish X n ^ A kabi
belgilanadi.
107
✓ X i, X 2, —X n,...
t.m .lar
ketm a-ketligi
mos
ravishda
M X 1 ,M X 2 ,...MXn,... m atem atik kutilm alarga ega b o 'lib , V s > 0 son uchun
n
da
in
in
lim P< 1 X X - 1 Z m x
n ^ -да
n ,=i
n ,=i
m unosabat bajarilsa,
X 1 , X 2 ,...Xn t.m .lar
,
<s> = 1
ketm a-ketligi
katta sonlar
qoniniga b o ‘y sunadi deyiladi.
T eo rem a(C h eb ish ev ). A gar b o g'liqsiz X 1 , X 2 ,...Xn,... t.m .lar ketmaketligi uchun shunday
3 C > 0 b o 'lib
DX, < C, i = 1,2,...
tengsizliklar
o 'rin li bo'lsa, u holda V s > 0 uchun
lim P
n ^ -да
1 n
1 n
1 X X - 1 ^ m x , <s> = 1
n i=1
n i=1
(5.2.1)
m unosabat o 'rin li bo'ladi.
Isboti. DX, < C, i = 1,2,... b o 'lg an i uchun
Л
1 n
1
1
1 n
1
D
X =DX, = - (DX, +... + DX,,)< - (C + ... + C )
X
n
n
Vn i=1 у
V i=
1 У n i=1
1
C
=— Cn = — . U holda Chebishev tengsizligiga ko'ra:
n
n
X ,
1X ,
X
n
1 n
P 1 X x - 1 -X M X , <s>> 1 n i=1
n~1
1 n
D 1XX
V n ,=1
Endi n ^ д а da lim itga o 'tsak, lim P
N atija.
у
>1
C
(5.2.2)
ns
in
in
1 X X - 1 -XM X, < s
n i=1
n i=1
= 1
A gar X 1 , X 2 ,...Xn,... b o g 'liq siz va bir xil taqsim langan
t.m .lar va MX, = a, DX, = a
b o 'lsa, u holda V s > 0 uchun quyidagi
m unosabat o 'rin li
" 1
lim P < 1 X Xi - a <s> = 1
n ^ -да
n i=1
108
(5.2.3)
Bernulli teorem asi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi.
U nisbiy chastotaning turg'unligini asoslaydi.
T eo rem a(B ern u lli). A gar A hodisaning bitta tajribada ro 'y berishi
ehtim olligi p bo 'lib , n ta b o g 'liq siz tajribada bu hodisa nA m arta ro 'y
bersa, u holda V s > 0 uchun
lim P-
п^да
n,
n
(5.2.4)
p
m unosabat o'rinli.
Isboti. X 1 , X 2, ...X n indikator t.m .larni quyidagicha kiritamiz: agar itajribada A hodisa ro 'y bersa, X , = 1 ; agar ro 'y berm asa X i = 0 . U holda
n
nA ni quyidagi k o 'rin ish d a yozish mumkin:
Ha = X X : . X, t.m .ning
i= 1
[X, :0
taqsim ot qonuni ixtiyoriy i da: Ч
kutilm asi
1
bo'ladi. X , t.m .ning m atem atik
MXt = 1■p +0 ■(1 - p) = p
ga,
DXt = ( 0 - p ) 2(1 - p) + (1 - p ) 2p = =p ( 1 - p) = p q . X ,
dispersiyasi
t.m .lar b o g 'liq siz va
ularning dispersiyalari chegaralangan, p(1 - p) = p - p 2 = 1
1Y
p—
2у
Vp
1
4
1 n
1 n
U holda Chebishev teorem asiga asosan: lim P * 1 X X , - 1 X m x , <s> = 1
ПТ1
n tf
1
”
n
1 n
1
va - X X == ~ ; “ X M X = = ~ hp = p
n==1
n
n==1
n
b o 'lg an i uchun
п^ да
n,
limP<p < s >= 1
n
5.3 M a rk a z iy lim it te o re m a
M arkaziy lim it teorem a t.m .lar y ig 'in d isi taqsim oti va uning lim iti norm al taqsim ot orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. B ir xil taqsim langan
t.m .lar uchun m arkaziy lim it teorem ani keltiramiz.
T eo rem a. X 1, X 2,...X n bog'liqsiz, bir xil taqsim langan, M X t = a
chekli m atem atik kutilm a va D X t = a 2, i = 1,n dispersiyaga ega bo'lsin,
109
X x,
0 <a2 < да u holda Z„ =
f n
X
- M
,=1
V
==1
X
X
.
X
==1
у
X , - na
t.m .ning taqsim ot
^
( n
D
\
X,
V i=1
у
qonuni n > д а da standart norm al taqsim otga intiladi
л
FZn(x) = P{Z n < 4
>Ф(x) = ^
x
J ^
n
dt .
Demak, (5.3.1) ga k o 'ra yetarlicha katta n larda
Sn = X 1+... + X n
y ig 'in d i
esa
quyidagi
norm al
(5.3.1)
Z n ~ N ( 0,1),
qonun
b o 'y ich a
n
taqsim langan bo'ladi: Sn ~ N ( n a ,\fn<r). Bu holda 2 X > t.m. asim ptotik
i=1
norm al taqsim langan deyiladi.
A gar X t.m. uchun M X = 0, D X = 1 b o 'lsa X t.m. m arkazlashtirilgan va
norm allashtirilgan(yoki standart) t.m. deyiladi. (5.3.1) form ula yordam ida
yetarlicha katta n larda t.m .lar y ig 'in d isi bilan b o g 'liq hodisalar
n
ehtim olligini
hisoblash
mumkin.
S n = X Х г t.m .ni
standartlashtirsak,
i= 1
yetarlicha katta n larda
n
P \ а < Х Х 1< р \ = P
a - na
4n
t= 1
X x ,<
na
i =1
<
(Jyfn
( - na
>
ayfn
Ф
-Ф
r-v/n
-yfn
yoki
P {a < S n < ( } « Ф
r( - M S '
Гa - M S ?
4ds„
■JDS
,
5.2-m isol.
Ф
(5.3.2)
X t b o g'liqsiz t.m .lar [0,1] oraliqda tekis taqsim langan
100
bo'lsa, y =X X
t.m .ning taqsim ot qonunini toping va P{55 < Y < 70}
i=1
ehtim ollikni hisoblang.
110
M arkaziy lim it teorem a shartlari bajarilganligi uchun, Y t.m .ning
(y-MY)2
2j 2
zichlik funksiyasi f Y(y)'
bo'ladi. Tekis taqsim ot m atem atik
7TJ,.
kutilm asi va dispersiyasi form ulasidan M X i = —— = —, DXt = ^
=—
f 1—
— л 1—
—
i
X
X,
=
y
M
X
,
=
1—
—
■
= 5—,
bo'ladi. U holda M Y = M
V i=1 J i=1
5^3
100
D Y = D У4—1X 1
V i=1
3
f Y (У )
J
■e
= y D X
i—i
i=1
3(У-5—
)2
5—
5yf6 n
<7—} * Ф
■—
=
I ")
12
П
J
Y
=
shuning
3
3
uchun,
. (5.3.2) form ulaga k o ' ra,
f
P {55 <
1
= ш
\
f
7—- 5—
5^3
V 3 J
-Ф
\
55 - 5—
5^3
V 3 J
ф ( A43 ) - ф ( 4 з
—.—4.
V b o b g a d o ir m iso lla r
1. B og'liqsiz bir xil taqsim langan
x
1, x 2,..., X n,...
t.m .lar ketma-
ketligining taqsim ot qonuni berilgan
Xn
P
B u ketm a-ketlik K.S.Q. bo'ysunadim i?
2. B og'liq siz bir xil taqsim langan
ketligining taqsim ot qonuni berilgan
X n - na
0
na
P
1/2n
1- 1
2n
a
n
2n +1
x
-a
n +1
2n +1
1, x 2,..., X n,...
t.m .lar ketma-
1/2n
B u ketm a-ketli k K.S.Q. bo'ysunadim i?
3.
D iskret t.m. taqsim ot qonuni
berilgan:
111
X'
0.1
0.4
0.6
P
0.2
0.3
0.5
Chebishev tengsizligidan foydalanib |x - M X < 4—4 ni baholang.
4. X 1 , x 2,..., X , ,... bog'liqsiz t.m.lar ketma-ketligi quyidagi taqsimotga
ega bo'lsin: P { x n = ± 2 n }= 2-(2n+1), p { x n = —} = 1- 2~2n. Bu t.m.lar uchun
K.S.Q. o'rinlimi?
5. Detalning nostandart bo'lish ehtimolligi 0.2 ga teng. 400 ta detaldan
iborat partiyada nostandart detal chiqishning chastotasi va ehtimoli
orasidagi farqning moduli 0.05 dan kichik bo'lishini ehtimolligini
baholang.
6. Chebishev tengsizligidan foydalanib, quyidagi ehtimollikni baholang:
simmetrik tanga 500 marta tashlanganda gerb tushushlari soni к uchun
2——< к < 3——o'rinli.
112