Alette
Iniziamo ora la discussione delle alette e dei banchi alettati. Si ricorre ai banchi alettati ogni qualvolta
si è intenzionati a dissipare calore, e per farlo si aumenta la superficie di scambio, aumentando lo
scambio convettivo che avviene con il fluido circostante, tipo aria. Iniziamo la discussione considerando una singola aletta per poi estenderla ad un banco alettato.
Consideriamo l’aletta in figura e soffermiamoci su un pezzo infinitesimo della barra:
Stabilito il sistema di riferimento, e l’asse x, soffermiamoci
sul volumetto in questione. Applicando il primo principio,
per sistemi chiusi (dato che l’aletta non scambia massa), e
ponendoci in condizioni stazionarie, abbiamo la seguente
formula:
dU
→Φ=0
(1)
Φ − Wi =
dt
Notiamo che l’aletta non scambia neanche lavoro. Ciò che
quindi ricaviamo è una conservazione dei flussi termici, ovvero del calore. Considerando infatti il volumetto, il calore
in entrata, dovuto alla conduzione, deve essere uguale al
calore in uscita (nelle ipotesi di stazionarietà) , dovuto alla
conduzione E alla convezione. Possiamo quindi riscrivere
la (1) come:
Φcond, x = Φcond, x+∆x + Φconv
(2)
Per risolvere la (2), avvaliamoci dell’ipotesi di Fourier e della legge dei Newton per lo scambio
convettivo:
dT
dx
Φ = α Asup (T − Tf )
Φ = −λ Asez
Facciamo attenzione a distinguere Asez da Asup : Asez infatti sta per l’area della sezione , ovvero della
sezioncina attraverso la quale fluisce il calore conduttivo, da un volumetto infinitesimo all’altro; Asup
è invece l’area superficiale del volumetto considerato, grazie alla quale si ha lo scambio convettivo
invece. Possiamo riscrivere la Asup come: Asup = C dx, ove C è il perimetro. Alla luce di ciò,
possiamo riscrivere la (2) nel seguente modo:
−λ Asez
dT
d
∂T
= −λ Asez
(T +
dT ) + α C dx (T − Tf )
dx
dx
∂x
(3)
Semplificando la (3), si giunge alla seguente equazione differenziale:
d2 T
λ Asez 2 = α C(T − Tf )
dx
Possiamo effettuare un cambio di variabili: poniamo θ = T − Tf , da cui ne deriva che dθ = dT , dato
che la temperatura dell’aria circostante la si può assumere costante. Si giunge in ultima analisi alla
seguene espressione:
d2 θ
− m2 θ = 0
(4)
dx2
1
Ove:
r
αC
λ Asez
Data l’equazione differenziale espressa nella (5), essa avrà una soluzione del tipo:
m=
θ(x) = M e−m x + N em x
(5)
(6)
Per risolvere l’equazione bisogna porre le condizioni al contorno: la prima è facilmente intuibile, ed
è che per x = 0 si ha θ = θ0 = T0 − Tf , ove T0 è la temperatura del banco a cui è attaccata l’aletta,
ovvero la temperatura dell’aletta in prossimità della "radice". Ci permette di ottenere:
M + N = θ0
(7)
Per quanto riguarda la seconda condizione, si può procedere in diverse vie, a seconda della
approssimazione che si vuole introdurre. Possiamo infatti supporre che:
• Aletta con lunghezza infinita;
• Aletta con lunghezza finita L, ma con punta adiabatica;
• Aletta con lunghezza finita L e punta non adiabatica.
Sceglieremo la seconda condizione, ovvero dell’adiabaticità della punta: si tratta di una condizione
non molto restrittiva: per alette sottili e con una ∆T = T (x = L) − Tf ≈ 0 = θ l’ipotesi ci permette
di ottenere valori molto attendibili. Questa condizione si traduce in:
∂θ
(x = L) = 0
∂x
Richiamando la (6)
→ −m M −m x + m N m x = 0
Semplificando
→ N m x − M −m x = 0
(8)
Mettendo insieme la (7) e la (8), si perviene alla seguenti soluzioni:
em L
em L + e−m L
e−m L
N = θ0 m L
e + e−m L
La soluzione dell’equazione differenziale (6) diventa quindi:
M = θ0
θ(x) = θ0
em L + e
(10)
e−m L
em L
e−m x + θ0
−m L
(9)
em L + e−m L
em x
(11)
Ovvero
em(L−x)
e−m(L−x)
+
θ
0
em L + e−m L
em L + e−m L
m(L−x)
e
+ e−m(L−x)
θ(x) = θ0
em L + e−m L
Ricordandoci le funzioni iperboliche, si giunge alla seguente formulazione:
θ(x) = θ0
θ(x) = θ0
cosh[m(L − x)]
cosh(mL)
(12)
Determiniamo ora se l’aggiunta di una aletta ha migliorato la dispersione di calore. Prendendo la (2),
2
possiamo dire che il calore scambiato con il fluido per convenzione è uguale al calore scambiato tra
aletta e banco (a cui è attaccato l’aletta) alla radice (ovvero in x = 0). Applicando l’ipotesi di Fuorier,
e ricordandoci che la temperatura del fluido è costante, allora si ha:
Φ = −λ Asez
dθ
dx
(13)
Derivando la (12) si ottiene:
dθ
sinh[m(L − x)]
= −θ0 m
= θ0 (x)
dx
cosh(mL)
Sostituendo la (14) nella (12), si ottiene:
Φ = λ Asez m θ0
sinh[m(L − x)]
= Φ(x)
cosh(mL)
Ma poiché siamo interessati solo al flusso che attraversa la radice, ecco che allora:
Φ(x = 0) = Φ = λ Asez m θ0
sinh(mL)
= λ Asez m θ0 tanh(mL)
cosh(mL)
(14)
Efficacia ed efficienza di una aletta
Bisogna distinguere quando si parla di efficacia di una aletta, e quando si parla di efficienza. Con
efficacia si cerca di definire se l’aggiunta di una aletta ad un banco ha migliorato la dissipazione di
calore, ovvero il flusso termico, rendendolo appunto più efficace sotto questo aspetto; con efficienza
invece definiamo quanto si discosta l’aletta da un caso ideale, che vedremo. Definiamo anzitutto
l’efficacia:
Φ
=
(15)
Φ0
Ove con Φ ci riferiamo al flusso enunciato nella (14), mentre con Φ0 ci riferiamo al flusso termico
convettivo che si avrebbe su Asez se non ci fosse l’aletta. Ricordando la legge di Newton, e ricordando
anche che in condizioni stazionarie il banco si trova ad una temperatura T0 , riscriviamo Φ0 come:
Φ0 = α Asez θ0
(16)
Sostituendo la (16) e la (14) nella (15), giungiamo in conclusione alla seguente espressione:
=
λ m tanh(mL)
λ Asez m θ0 tanh(mL)
=
α Asez θ0
α
(17)
Una aletta si dice efficace quando > 1, ovvero quando effettivamente l’aggiunta di una aletta ne
migliora lo scambio. Ponendo l’efficacia > 1, la (17) si può anche riscrivere nel seguente modo:
λ m tanh(mL)
>1
α
Ma ricordando la formula di m dalla (5), allora il tutto può essere riscritto come:
r
λC
tanh(mL) > 1
α Asez
L’espressione sopra riportata è la condizione di efficacia di una singola aletta.
3
(18)
Definiamo ora l’efficienza come:
Φ
(19)
Φid
ove Φ è la stessa della (14) mentre con Φid ci riferiamo al flusso termico scambiato da una aletta in
condizioni ideali. Le condizioni ideali per una aletta prevedono che essa sia alla stessa temperatura
della parete, su tutta l’aletta. Sotto queste ipotesi, l’aletta scambia con il fluido circostante un notevole
flusso termico, maggiore di quello nelle condizioni reali, dato che nelle aletta reale la temperatura
diminuisce via via che ci si allontana dal banco. Possiamo esprimerla come:
Ω=
Φid = αSA θ0
(20)
Ove con SA ci riferiamo alla superficie laterale dell’aletta, che è esprimibile come: SA = C L.
Riscriviamo quindi l’efficienza come:
Ω=
λ Asez m θ0 tanh(mL)
λ Asez m tanh(mL)
=
αSA θ0
αC L
Notando che nella (21) è contenuto m−1 , otteniamo la seguente forma finale:
Ω=
tanh(mL)
.
mL
4
(21)