Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Teorı́a de perfiles delgados
Juan Agustı́n Gonzalez *, Nahuel Agustı́n Ochoa **, Julieta Analy Román***
02/05/2023
Resumen
El objetivo de este informe es desarrollar el procedimiento que permite obtener la distribución de presiones en torno a un perfil aerodinámico mediante la teorı́a de perfiles delgados y considerando las hipótesis
de su validez. Además, se obtendrán otras caracterı́sticas aerodinámicas relevantes, a saber: el comportamiento del coeficiente de sustentación, del coeficiente de momento de cabeceo y del centro de presiones.
En particular, se estudiara el perfil NACA 23018, que conforma la raı́z del ala de la aeronave Beechcraft
90 King Air.
Palabras clave: Perfil delgado, coeficientes aerodinámicos, ángulo de deflexión.
Abstract
The objective of this report is to develop the procedure that allows to obtain the distribution of pressures
around an aerodynamic profile through the theory of thin profiles and considering the hypotheses of its
validity. In addition, other relevant aerodynamic characteristics will be obtained, namely: the behavior of
the lift coefficient, the pitch moment coefficient and the center of pressure. In particular, the NACA 23018
profile, which forms the root of the wing of the Beechcraft 90 King Air aircraft, will be studied.
Keywords: Slim profile, aerodynamic coefficients, angle of deflection.
* juan.agustin.gonzalez@mi.unc.edu.ar
** nahuel.ochoa@mi.unc.edu.ar
*** julieta.roman@mi.unc.edu.ar
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 1 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Lista de abreviaturas, sı́mbolos y unidades
α
Γ
γ
ρ∞
An
Cmba
Cl
Cp
c
L
Pe
Pi
q∞
V∞
1.
Ángulo de ataque [Radianes]
Circulación total alrededor del perfil [Adimensional]
Densidad de distribución de vorticidad [Adimensional]
Densidad de la corriente libre [kg/m3 ]
Coeficiente de Fourier [Adimensional]
Coeficiente de momento respecto al borde de ataque [Adimensional]
Coeficiente de sustentación [Adimensional]
Coeficiente de presiones [Adimensional]
Longitud de la cuerda [m]
Fuerza de sustentación [N ]
Presión estática en el extradós [P a]
Presión estática en el intradós [P a]
Presión dinámica de la corriente libre [P a]
Velocidad de la corriente libre [m/s]
Marco Teórico.
1.1.
Teorı́a de perfiles delgados.
La teorı́a de perfiles delgados adopta las hipótesis de flujo estacionario, incompresible e ideal y sus
resultados son útiles cuando se aplica a perfiles cuyo espesor sea menor al 9 % o 10 % de la cuerda.
Dicha teorı́a proporciona un método simple para obtener el coeficiente de presión a lo largo de la cuerda
mediante las siguientes ecuaciones:
El coeficiente de presiones se calcula como:
2γ(θ)
(1)
V∞
Donde γ es la intensidad de la distribución de vórtices a los largo de la cuerda, que a su vez se calcula:
"
#
X
∞
θ
A0
+ α tan
+
An sin nθ
(2)
γ(θ) = 2V∞
2
2
n=1
Cp (θ) =
Donde la variable θ representa la posición sobre la cuerda mediante la relación:
x
1
= X = (1 + cos(θ))
(3)
c
2
Los coeficientes An provienen del desarrollo en serie de Fourier de la función de la linea media y están
dados por la siguiente ecuación:
Z
2 π dy
cos(nθ)dθ
(4)
An = −
π 0 dx
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 2 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
dy
Siendo y(x) la expresión de la linea media del perfil, dx
representa su pendiente. En el caso del perfil
de la quinta serie NACA 23018, que se caracteriza por tener el máximo valor de combadura al 15 % de la
cuerda y una linea media cuya pendiente se vuelve lineal después de este punto, se tienen las siguientes
ecuaciones:
y(X) = 2, 6595 (X − 0, 2025)3 − 0, 20253 X + 0, 20253
X ≤ 0, 2025
y(X) = 2, 6595(0, 20253 x + 0, 20253 )
X > 0, 2025
Nuestro interés radica en obtener la tasa de cambio de la ecuación de la linea media, por lo que obviamos los cálculos para la obtención de las superficies de extradós e intradós, los cuales están detallados en
(Krause, 2021). Ver figura 1, donde se presentó gráficamente los resultados obtenidos.
Figura 1: Perfil NACA 23018 y linea media.
Cuando θ tiende a π, es decir, en el borde de ataque, la intensidad de la distribución de vórtices γ(θ)
tiende a infinito. Se define como ángulo de ataque ideal a aquel que salva dicha discontinuidad:
αi = −
A0
2
(5)
El coeficiente de sustentación viene dado por:
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 3 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Cl = π(2α + A0 + A1 ) = 2π(α − αl0 )
(6)
Donde el Cli ideal o de diseño del perfil, que según la numeración del perfil es aproximadamente 0, 3.
Se calcula a través de la siguiente expresión:
(7)
Cli = πA1
Donde αl0 es el ángulo de sustentación nula:
A0 + A1
2
El coeficiente de momento de cabeceo respecto al borde de ataque se obtiene como sigue:
αl0 = −
(8)
Cl
π
− (A1 + A2 )
(9)
4
4
El primer termino corresponde al momento respecto al borde de ataque producido por la fuerza de
sustentación. El segundo termino representa al momento libre, que es producido por la combadura del
perfil.
El centro de presiones, que en un perfil delgado y simétrico coincide con el centro aerodinámico, varia
con el ángulo de ataque:
Cmba (Cl ) = −
1 Cm0
−
(10)
4
Cl
Las ecuaciones mencionadas se obtienen a partir de las hipótesis y desarrollos matemáticos de la teorı́a
de perfiles delgados, fueron extraı́das de los apuntes de clase (Cátedra, 2023) donde pueden revisarse
dichos desarrollos.
XCp =
2.
Cálculos.
2.1.
Propiedades aerodinámicas del perfil NACA 23018.
El cálculo de los coeficientes An se llevó a cabo de forma numérica: tomando puntos equidistantes
sobre la lı́nea media y calculando la diferencia finita dividida hacia adelante, de lo cual se obtuvo los
siguientes resultados:
A0 = −0, 05489
A1 = 0, 09301
A2 = −0, 07655
El ángulo de ataque ideal resulta :
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 4 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
αi = 0, 0274[rad]
(11)
αl0 = −0, 0191[rad]
(12)
El ángulo de sustentación nula:
El coeficiente de sustentación ideal o de diseño:
Cli = 0, 2922
(13)
Notar que se aproxima a 0,3 que es el especificado por el número de serie del perfil.
El coeficiente de momento de cabeceo libre resulta:
Cm0 = 0, 01293
(14)
A continuación, se presentan en la figura 2 los valores que adoptan el coeficiente de sustentación en
función del ángulo de ataque, el coeficientes de momento de cabeceo respecto al borde de ataque, ver
figura 3 y la coordenada del centro de presiones, ver figura 4, estos dos últimos en función del Cl. Los
datos tabulados se encuentran en el anexo al final del informe.
Figura 2: Coeficiente de sustentación en función del ángulo de ataque.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 5 de 18
Aerodinámica I
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Figura 3: Coeficiente de momento de cabeceo respecto al borde de ataque en función del coeficiente de
sustentación.
Figura 4: Coordenada del centro de presiones en función del coeficiente de sustentación.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 6 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
2.2.
Obtención de la distribución de Presiones.
Lo primero que tenemos que calcular es la densidad a la altura crucero de la aeronave con la expresión:
kg 1 − 22, 558 · 10−6 h[1/m]
ρ(h) = 1, 225
(15)
3
m
La altura para el vuelo crucero es 9120 [m], entonces la densidad será:
kg kg
−6
ρ(h = 9120[m]) = 1, 225
1 − 22, 558 · 10 9120[m][1/m] = 0,45965078
m3
m3
(16)
La velocidad crucero es de 100,33 [m/s] la cual denotamos V∞ y la sustentación L es igual al peso W
multiplicado por la gravedad, es decir:
L = W · g = 3063[Kg]9,8[m/s2 ] = 30017, 4[N ]
(17)
Luego, el coeficiente de sustentación para el perfil bidimensional en vuelo estacionario, recto y nivelado
será:
Cl =
L
1
2
2 ρV∞
·S
=
30017, 4[N ]
1
3
2
2 2
2
2 0,45965[Kg/m ]100, 55 [m /s ]27,18[m ]
= 0, 47524134
(18)
Siendo S la superficie calculada en el trabajo anterior (Juan Gonzalez, 2023) el cual resulta ser 27,18
[m2 ]. Ahora que obtuvimos Cl , obtenemos α:
Cl
+ αl0
(19)
2π
El cual αlo se describió mas arriba. Por último, calculamos los valores de Cp , que se encuentra en la
figura 11. En base a los datos obtenemos el gráfico de distribución de presiones (Ver figura 5).
α=
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 7 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 5: Distribución de presiones a lo largo de la lı́nea media.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 8 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
2.3.
Empenaje horizontal.
Para la determinación de los coeficientes aerodinámicos del empenaje horizonal calculamos los coeficientes de la serie de Fourier para la circulación usando las expresiones tomadas del apunte de cátedra
(Cátedra, 2023), para esto conviene determinar las pendientes de la geométricas del perfil. En la figura 7
se muestra una tabla donde se han relevado los distintos puntos que define al perfil, tomadas del manual
de fabricante (International, 2009), además a continuación se puede observar el perfil esquelo con el punto
de quiebre relativa a la cuerda total que se usó para completar la tabla (ver figura 6).
Figura 6: Perfil esqueleto.
Figura 7: Discretización de la geometrı́a del perfil.
Al ser las superficies rectas, se toman el ángulo de deflexión pasado a radianes como las pendientes.
Entonces, se tiene para el primer coeficiente de la serie de Fourier, recordando que se integra desde el
borde de fuga hacia el borde de ataque:
Z 1,289
−2
−δ dθ = 0,8206 · δ
A0 =
π
0
El siguiente término de la serie:
A1 =
−2
π
Z
1,289
−δ · cos(θ) dθ = 0,6115 · δ
0
Y el siguiente término de la serie:
−2
A2 =
π
Z
1,4907
−δ · cos(2θ) dθ = 0,05077 · δ
0
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 9 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Resumiendo, los coeficientes obtenidos son:
A0 = 0,8206 · δ
A1 = 0,6115 · δ
A2 = 0,05077 · δ
La expresión del incremento de la sustentación en función del ángulo de ataque y de la deflexión del
comando es:
Cl (α) = π(2α + A0 + A1 ) = π(2α + 0,8206δ + 0,6115δ)
Cl (α) = 2πα + 4,4990 · δ
El coeficiente de momento de cabeceo respecto al borde de ataque es:
Cmba =
Cl
−π
Cl
−π
(A1 + A2 ) −
=
(0,6115δ + 0,05077δ) −
4
4
4
4
Cl
4
Finalmente, la ecuación para obtener el centro de presiones queda como sigue:
Cmba = −0,6137 δ −
XCp =
(20)
1 Cm0
−
4
Cl
Donde Cm0 es el primer término de la ecuación del Cmba . Entonces:
XCp =
1 0,6137 δ
+
4
Cl
(21)
Para concluir con esta sección remarcamos la importancia del ángulo de deflexión en cada una de las
expresiones mostradas, ya que está directamente influenciada por la misma en todas ellas. En las figuras
8, 9,10 se representan las correspondientes curvas para deflexiones de 5 grados positivos, negativos y
el caso en que no hay deflexión del elevador además en el anexo se muestran las tablas con los valores
calculados (Ver figuras 13, 14, 15).
3.
Conclusiones.
En conclusión, la teorı́a de perfiles delgados nos permite calcular el coeficiente de sustentación respecto
a diferentes ángulos de ataque, ası́ como también el coeficiente de momento medido desde el borde de
ataque, etc. Si bien no da resultados exactos, nos sirve como una primera aproximación que nos permite
tener una idea inicial de que valores estamos buscando, siempre y cuando el espesor sea muy pequeño
en comparación de la cuerda.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 10 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 8: Curva de sustentación.
Por último, nos ayuda a tener en idea de lo importante que es la influencia del ángulo de deflexión del
empenaje en las diferentes curvas de sustentación, de momento de cabeceo con respecto al borde de
ataque, y las de centro de presiones, de esta última se observó una tendencia a 0,25 lo cual nos pareció
lógico.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 11 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 9: Curva de momento.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 12 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 10: Curvas de centro de presiones para distintos ángulos.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 13 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
4.
Anexo
Figura 11: Cálculo de coeficiente de presión.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 14 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 12: Coeficientes en función del ángulo de ataque.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 15 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 13: Tabla de datos con ángulo de deflexión de -5 grados.
Figura 14: Tabla de datos sin ángulo de deflexión.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 16 de 18
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Aerodinámica I
Figura 15: Tabla de datos con ángulo de deflexión de 5 grados.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 17 de 18
Aerodinámica I
Trabajo Práctico 2
Beechcraft King 90
Año 2023
Referencias
Cátedra, A. (2023). Aerodinámica 1: Apuntes de la cátedra. Facultad de Ciencias Exactas, Fı́sicas y
Naturales (FCEFyN). Descargado de https://acortar.link/bD8Zp
International, F. S. (2009). King air 90 series maintenance training manual. , 1. Descargado de https://
es.scribd.com/document/468339927/KING-AIR-90-SERIES-VOLUMEN-1-pdf
Juan Gonzalez, N. O., Julieta Román. (2023). Nomenclatura y cálculo de parámetros geométricos de alas.
Krause, G. (2021). Aeronáutica general. , 214, 215, 217, 218.
Juan Agustı́n Gonzalez - Nahuel Agustı́n Ochoa - Julieta Analy Román
Página 18 de 18