NOŢIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT
Formule de calcul
2
2
2
(a  b)  a  2ab  b
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
a 2  b 2  (a  b)(a  b)
a 3 b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
a 3 b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )
(a+b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
(a-b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
a n b n  (a  b)(a n1  a n2 b      b n1 )
Funcţia de gradul I
Definiţie:f:R  R,f(x)=ax+b,a  0 , a,b  R , se numeşte funcţia de gradul I
Proprietăţi:Dacă a>0 f este strict crescătoare
Dacă a<0 f este strict descrescătoare
A ( ,  )  G f  f ( )  
Funcţia de gradul II
Definiţie:f:R  R,f(x)=ax bx  c, a  0 ,a,b,c  R se numeşte funcţia de gradul II
Maximul sau minimul funcţiei de gradul II

b
Dacă a<0 atunci f max 
, realizat pentru x =
4a
2a

b
b 
Dacă a >0 atunci f min 
;Vârful parabolei V(
,
, realizat pentru x =
)
4a
2a
2a 4a
b 
Ecuaţia de gradul II:ax 2 bx  c  0 ;x 1, 2 
,   b 2  4ac
2a
b
c
Relaţiile lui Viete:x 1  x2 
, x1  x2 
a
a
Dacă   0  ecuaţia are rădăcini reale şi diferite.
Dacă   0  ecuaţia are rădăcini reale şi egale.
Dacă   0  ecuaţia nu are rădăcini reale.
Dacă   0  ecuaţia are rădăcini reale.
Intervale de monotonie :a<0
x
b


2a
f(x)

4a
a>0
x
b


2a
f(x)

4a
2
1
Semnul funcţiei de gradul II
0
x
-
f(x)
semnul lui a
0
x
-
f(x)
semnul lui a
0
x
-
f(x)
x1
0 semn contrar lui a
x 1  x2
0
x2
0

semnul lui a

semnul lui a

semnul lui a
Imaginea funcţiei de gr.II

a<0,Imf=(  ,
]
4a

a>0, Imf=[
, )
4a
Funcţii
Definiţii:Fie f:A  B
I. 1)Funcţia f se numeşte injectivă,dacă x1 , x2  A cu f(x 1 )  f ( x2 )  x1  x2
2)Funcţia f este injectivă dacă x1 , x2  A cu x 1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
3)Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x,dusă printr-un punct al lui B,
intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct.
4)Funcţia f nu este injectivă dacă x1  x2 a.i. f ( x1 )  f ( x2 )
II.1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y  B, există cel puţin un punct x  A, a.î.
ƒ(x)=y.
2) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ƒ(A) =B.
3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B,
intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct.
III.1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.
2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y  B există un singur x  A a.î. ƒ(x) =y
(ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură soluţie,pentru orice y din B)
3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B,
intersectează graficul funcţiei într-un singur punct .
IV.Compunerea a două funcţii
Fie f:A→B,g:B→C
g  f : A  C, ( g  f )( x)  g ( f ( x))
V. 1A : A  A prin 1 A ( x)  x , x  A .(aplicaţia identică a lui A)
Definiţie:Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie g:B→A astfel încât
g  f  1A şi f  g  1B , funcţia g este inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ 1 .
Teoremă: ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.
2
Funcţii pare,funcţii impare,funcţii periodice.
Definiţii:
f:R→R se numeşte funcţie pară dacă f(-x) = f(x), ∀ x  R
f:R→R se numeşte funcţie impară dacă f(-x) = -f(x), ∀ x  R
f:A→R(A  R) se numeşte periodică de perioadă T  0, dacăx  A avem x+T  A şi
f(x+T)=f(x).Cea mai mică perioadă strict pozitivă se numeşte perioada principală.
Numărul funcţiilor f:A→B este [n(B)] n ( A) ,n(A) reprezentâd numărul de elemente al
mulţimii A.
Numărul funcţiilor bijective f:A→A este egal cu n!,n fiind numărul de elemente al
mulţimii A.
Numărul funcţiilor injective f:A→B este A kn ,unde n reprezintă numărul de elemente al
mulţimii B, iar k al mulţimii A(k  n)
Funcţia exponenţială
Definiţie f: R→ (0,∞), f(x)= a x ,a>0,a  1 se numeşte funcţie exponenţială.
Proprietăţi:
1)Dacă a>1 ⇒ f strict crescătoare
2)Dacă a  (0,1)  f strict descrescătoare
3)Funcţia exponenţială este bijectivă
Funcţia logaritmică
Definiţie: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a>0, a ≠ 1 se numeşte funcţie logaritmică.
Proprietăţi:
1)Dacă a >1 ⇒ f strict crescătoare
2)Dacă a  (0,1)  f strict descrescătoare
3)Funcţia logaritmică este bijectivă
4)log a xy  log a x  log a y
x
6)log a  log a x  log a y
y
5)log a x m  m log a x ,m  R
7)a loga x  x
log b A
1
,log a b 
log b a
log b a
Progresii aritmetice
Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir de numere reale a n în care diferenţa
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia progresiei
aritmetice:a n1 an  r , n  1
Se spune că numerele a 1 , a2 ,  , an sunt în progresie aritmetică dacă ele sunt termenii
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
a  a n 1
, n  2
Teoremă:şirul (an ) n1 este progresie aritmetică  a n  n 1
2
Termenul general al unei progresii aritmetice:a n  a1  (n  1)r
ac
Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică  b 
2
Schimbarea bazei:log a A 
3
(a1  a n )n
2
Trei numere x 1 , x 2 , x 3 se scriu în progresie aritmetică de forma :
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S n 
x 1 = u – r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r  R .
Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu în progresie aritmetică astfel:
x 1 = u – 3r, x 2 = u – r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r  R .
Progresii geometrice
Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir de numere reale b n , b1  0 în care
raportul oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit raţia progresiei
b
geometrice: n 1  q ,q  0
bn
Se spune că numerele b 1 , b2 ,  , bn sunt în progresie geometrică dacă ele sunt termenii
consecutivi ai unei progresii geometrice.
2
Teoremă:şirul (bn ) n1 este progresie geometrică  bn  bn1  bn1 , n  2
Termenul general al unei progresii geometrice:b n  b1  q n1
Prop.:Numerele a,b,c sunt în progresie geometrică  b 2  a  c
b (q n  1)
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S n  1
,q  1 sau
q 1
S n  n  b1 , dacă q = 1
Trei numere x 1 , x2 , x3 se scriu în progresie geometrică de forma :
x1
u
, x 2  u , x 3  u  q, q  0
q
Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu în progresie geometrică de forma:
x1 =
u
u
, x 2  , x 3  u  q, x 4  u  q 3 , q  0
3
q
q
Formule utile:
n(n  1)
2
n(n  1)(2n  1)
1 2 2 2      n 2 
6
n(n  1) 2
]
1 3 2 3      n 3  [
2
Modulul numerelor reale Proprietăţi:
 x, x  0
x 
 x , x  0
1+2+3+     n 
1. x  0, x  R 2. x  y  x   y 3. x   x 4. x  y  x  y 5.
x
x

y
y
6. x  a  a  x  a, a  0 7. x  a  x  (,a]  [a, ), a  0 8. x  y  x  y
4
Partea întreagă
1.x = [x]+{x}, x  R , [x]  Z şi {x}  [0,1)
2. [x]  x< [x]+1, [x] = a  a  x < a+1
3. [x+k]=[x]+k, x  R, k  Z
4. {x+k}={x}, x  R, k  Z
Numere complexe
1. Numere complexe sub formă algebrică
2
z =a+bi, a,b  R , i = −1, a=Re z , b=Im z
C- mulţimea numerelor complexe;C={a+bi/a,b  R }
Conjugatul unui număr complex: z  a  bi
Proprietăţi:
1. z1  z 2  z1  z 2
2. z1  z 2  z1  z 2

3. z n  z
n
z  z
4.  1   1
 z2  z2
5.z  R  z  z
6.z  R i  z   z
Modulul unui număr complex: z  a 2  b 2
Proprietăţi:
1. z  0, z  C 2. z  z 3. z1  z 2  z1  z 2
z1
z1

6. z1  z 2  z1  z 2
z2
z2
Numere complexe sub formă trigonometrică
Forma trigonometrică a numerelor complexe:
b
z = r(cos t + i sin t ) ,r = a 2  b 2 , tgt  ;r-raza polară;t-argument redus,t  [0,2 )
a
M(a,b)-reprezintă imaginea geometrică a numărului complex z = a+bi
Operaţii:
z 1  r1 (cos t1  i sin t1 ), z 2  r2 (cos t 2  i sin t 2 )
z 1 z 2  r1r2 [cos(t1  t 2 )  i sin(t1  t 2 ) ], z n  r n (cos nt  i sin nt )
z1 r1
 [cos(t1  t 2 )  i sin(t1  t 2 )]
z 2 r2
t  2k
t  2k
n
z  z k  n r (cos
 i sin
), k  {0,1,  , n  1}
n
n
4. z n  z 5.
n
5
Combinatorică
n!=1  2    n ,n  N (0! 1) ,
P n  n! ,n  N 
n!
n!
A kn 
,0  k  n; k , n  N , n  1 C kn 
, 0  k  n; k , n  N
k!(n  k )!
(n  k )!
Proprietăţi:1. C kn  C nnk ,0  k  n; k , n  N 2. C kn  Cnk1  Cnk11 ,1  k <n;k,n  N
Binomul lui Newton:(a+b) n  Cn0 a n  Cn1 a n1b      Cnn b n
Termenul general:T k 1  Cnk a nk b k , k  0,1,  , n
Proprietăţi:
C 0n Cn1      Cnn  2 n (numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este
2 n ).
C 1n Cn3  Cn5      Cn0  Cn2  Cn4      2 n1
Geometrie vectorială
Definiţie:
Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,acelaşi sens şi acelaşi modul.
Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare:
AB   BA
Definiţie:
Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli
şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari.
Teoremă: Fie aşib doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există
 ,   R(unice ) astfel încât v    a    b
AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 -modulul vectorului AB
AB( x B  x A , y B  y A )  coordonatele vectorului AB
x  xB
y  yB
Mijlocul segmentului AB:x M  A
, yM  A
2
2
x  x B  xC
y  y B  yC
Centrul de greutate al triunghiului ABC:x G  A
, yG  A
3
3
Adunarea vectorilor se poate face după regula paralelogramului sau triunghiului
6
Teoremă:Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔    R a.i. v =  ⋅ u .
Punctele A, B, C sunt coliniare     R a.i. AB =  AC
AB CD     R a.i. AB =  AC
Produsul scalar a doi vectori .
u  v  u  v cos(u, v)
u  x1 i  y1 j , v  x2 i  y 2 j  u  v  x1 x2  y1 y 2 , u  x1  y1
2
2
Daca u, v  0 ,atunci u  v  u  v  0
Ecuaţiile dreptei în plan
Ecuaţia carteziană generală a dreptei:ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x M ,y M )  d ⇔a  x M + by M  c  0
Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte:A( x A , y A ) ,B(x B , y B )
x
y 1
AB: x A
xB
y A 1 =0
yB 1
Ecuaţia dreptei determinată de un punct A(x A , y A ) şi panta m : y-y A  m( x  x A )
Dreptele d 1 ,d 2 sunt paralele  md1  md 2
Dreptele d 1 ,d 2 sunt perpendiculare  md1  md 2 = -1
Distanţa dintre punctele A(x A , y A ) ,B(x B , y B ) :AB= ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2
Distanţa de la punctul A(x A , y A ) la dreapta h:ax+by+c=0:
d(A,h)=
ax A  by A  c
a2  b2
xA
Punctele A,B,C sunt coliniare  x B
xC
yA 1
yB 1  0
yC
1
Permutări
Definiţie:Se numeşte permutare de gradul n a mulţimii A  {1,2,  , n} orice funcţie
bijectivă  : A  A.
2
 n 
1

  
 (1)  (2)     (n) 
1 2    n 

e  
1 2    n  se numeşte permutarea identică de gradul n.
7
S n reprezintă mulţimea permutărilor de gradul n.
Produsul(compunerea) a două permutări:Fie  ,  S n
   : A  A, (   )(k )   ( (k ))
Proprietăţi:
1) ( )   ( ),  , ,   S n
2) e  e   ,   S n
3)   S n ,  1  S n a.i. 1   1  e ,  1 se numeşte inversa permutării 
Puterile unei permutări: Fie  S n  definim  n   n1 , n  N  ( 0  e)
Prop.: Fie  S n   m n   mn , ( m ) n   mn , m, n  N
Inversiunile unei permutări:
Definiţie: Fie   S n şi i,j  {1,2,  , n} , i j .Perechea (i,j) se numeşte inversiune a
permutării  dacă  (i) ( j ) .Numărul inversiunilor permutării  se notează cu m(  ).
Definiţii:Se numeşte semnul permutării  ,numărul  ( )  (1) m( )
Permutarea  se numeşte permutare pară dacă  ( )  1
Permutarea  se numeşte permutare impară dacă  ( )  1
Propoziţie:  ( )   ( ) ( ),  ,  S n
1 2    i j    n 
 se numeşte transpoziţie.
Permutarea  ij  
1
2



j
i



n


Proprietăţi:
1
1)  ij   ji 2) ( ij ) 2  e 3)  ij   ij 4)  ( ij )  1
Matrice
 a11a12 ......a1n 


 a 21a 22 ......a 2 n 
A= 
-matrice cu m linii şi n coloane; A  (aij ) i 1,m
.................... 
j 1, n


 a a .....a 
mn 
 m1 m 2
A  M m,n (C ) ,unde M m,n (C ) -reprezintă mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu
elemente din C.
t
A  M n,m (C ) -reprezintă transpusa lui A şi se obţine din A prin schimbarea liniilor în
coloane(sau a coloanelor în linii).
Dacă m = n atunci matricea se numeşte pătratică de ordinul n şi are forma
 a11a12 ......a1n 


 a 21a 22 ......a 2 n 
A= 
- A  M n (C )
.................... 


 a a .....a 
nn 
 n1 n 2
Tr(A)= a11  a22      ann -reprezintă urma matricei A
8
Sistemul ordonat de elemente (a11, a22 ,  , ann ) se numeşte diagonala principală a matricei
A,iar sistemul ordonat de elemente (a1n ,  , an1 ) se numeşte diagonala secundară a
matricei A.
100      0 
 000      0 




 010      0 
 000      0 
-matricea unitate de ordinul n ; Om,n = 
-matricea nulă
In =
 
 




 000      1 
 000      0 




Proprietăţi ale operaţiilor cu matrice.:
1)A+B=B+A , A, B  M m,n (C ) (comutativitate)
2)(A+B)+C = A+(B+C) , A, B, C  M m,n (C ) (asociativitate)
3)A+ Om,n = Om,n +A = A , A  M m,n (C )
4) A  M m.n (C ), ( A)  M m,n (C ) a.î. A+(-A) = (-A)+A= Om,n , A  M m,n (C )
5)(AB)C = A(BC) , A  M m,n (C ), B  M n, p (C ), C  M p,q (C ) (asociativitate)
6)a)A(B+C) = AB+AC , A  M m,n (C ), B, C  M n, p (C ) (distributivitatea înmulţirii faţă de
adunare)
b)(B+C)A = BA+CA, B, C  M m,n (C ), A  M n, p (C )
7) AI n  I n A  A, A  M n (C )
8)a(bA) = (ab)A, a, b  C, A  M m,n (C )
9)(a+b)A=aA+bA, a, b  C, A  M m,n (C )
10)a(A+B)=aA+aB, a  C, A, B  M m,n (C )
11)aA = Om,n  a  0 sau A= Om,n
12) t ( t A)  A, t ( A  B) t A t B , t (aA) a t A, t ( AB) t B t A
Puterile unei matrice:Fie A  M n (C )
Definim A0  I n , A1  A, A2  A  A, A3  A2  A,  , An  An1  A, n  N 
a b 

Relaţia Hamilton-Cayley: A2  (a  d ) A  (ad  bc) I 2  O2 ,unde A  
c d 
Determinanţi.
a b
 ad  bc (determinantul de ordinul doi)
c d
Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)
a b c
d
g
e
h
f  aei  dhc  gbf  ceg  fha  ibd
i
a b c
d e f
9
Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;
2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este nul;
3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între ele obţinem o matrice care
are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale.
4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul;
5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un
element a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul
matricei iniţiale.
6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci
determinantul matricei este nul;
7. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelate
linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.
8. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane)
înmulţite cu acelaşi element se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu
determinantul matricei iniţiale;
a
b
c
a b c a b c
9) d  m e  n
g
h
f p  d
i
g
e
f m n
p
h
i
i
g
h
10)det(A  B)  det A  det B ,  A,B  M n (C )
Definiţie:Fie A  (aij )  M n (C ) .Se numeşte minor asociat elementului aij ,1  i, j  n
determinantul matricei obţinute din A prin eliminarea liniei i şi a coloanei j.Se notează
acest minor cu M ij .
Numărul Aij  (1) i  j M ij se numeşte complementul algebric al elementului a ij .
Matrice inversabile
Inversa unei matrice :A  M n (C ) se numeşte inversabilă dacă există o matrice notată
A 1 M n (C ) a.i. A  A1  A1  A  I n
Teoremă:A  M n (C )inversabilă  det A  0
1
A ,A  adjuncta matricei A. A  se obţine din t A înlocuind fiecare element cu
A 1 
det A
complementul său algebric.
Dacă A,B  M n (C ) sunt inversabile,atunci au loc relaţiile: a)(A 1 ) 1 = A
b)(AB) 1  B 1 A1
Rangul unei matrice
Fie A  M m,n (C ) , r  N ,1  r  min( m, n)
Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu
elementele matricei A situate la intersecţia celor r linii şi r coloane.
10
Definiţie: Fie A  O m,n o matrice . Numărul natural r este rangul matricei A ⇔ există un
minor de ordinul r al lui A,nenul, iar toţi minorii de ordin mai mare decât r (dacă
există)sunt nuli.
Teoremă: Matricea A are rangul r  există un minor de ordin r al lui A, nenul , iar toţi
minorii de ordin r+1(dacă există)obtinuţi prin bordarea(adaugarea unei linii şi a unei
coloane)minorului de ordin r cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile şi
uneia dintre coloanele rămase sunt zero.
Sisteme de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute:
a11 x1  a12 x 2      a1n x n  b1
a x  a x      a x  b
 21 1
22 2
2n n
2




































a m1 x1  a m 2 x 2      a mn x n  bm
a ij -coeficienţii necunoscutelor, x 1 , x2 ,  , xn - necunoscute, b 1 , b2 ,  , bm -termenii liberi
 a11a12 ......a1n b1 
 a11a12 ......a1n 




 a 21a 22 ......a 2 n b2 
 a 21a 22 ......a 2 n 
A= 
-matricea sistemului, A = 
-matricea extinsă
.................... 
.................... 




 a a .....a b 
 a a .....a 
mn m 
mn 
 m1 m 2
 m1 m 2
 b1 
 x1 
 
 
 b2 
x 
B=   matricea coloană a termenilor liberi,X=  2  .matricea necunoscutelor.
....
...
 
 
b 
x 
 m
 n
AX=B -forma matriceală a sistemului
Definiţie:
- Un sistem se numeşte incompatibil dacă nu are soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil determinat dacă are o singură soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat dacă are mai mult de o soluţie.
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Un sistem de ecuaţii liniare este de tip Cramer dacă numărul de ecuaţii este egal cu
numărul de necunoscute şi determinantul matricei sistemului este nenul.
Teorema lui Cramer: Dacă det A notat   0 , atunci sistemul AX=B are o soluţie

unică x i = i ,unde  i se obţine înlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ rangul
matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ toţi minorii
caracteristici sunt nuli.
11
Elemente de geometrie şi trigonometrie
Formule trigonometrice.Proprietăţi.
sin 2 x  cos 2 x  1, x  R
-1  sin x  1, x  R
-1  cos x  1, x  R
sin(x+2k  )  sin x , x  R, k  Z
cos(x+2k  )  cos x, x  R, k  
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
sin2x=2sinxcosx,
cos2x=cos 2 x  sin 2 x
sin (

2
 x)  cos x
cos (
ab
a b
cos
2
2
a b
ab
sina-sinb=2sin
cos
2
2
sin x
tgx=
, cos x  0
cos x
tg(x+k  )  tgx

2
ctg (
tga  tgb
1  tgatgb
2tgx
tg2x=
1  tg 2 x
x
2tg
2
sinx =
x
1  tg 2
2
Valori principale ale funcţiilor trigonometrice
x
0



6
4
3
sinx
0
1
2
3
2
2
2
cosx
1
1
3
2
2
2
2
tgx
0
1
3
3
tg(a+b)=
-
3
3
 x)  sin x
cosa+cosb=2cos
 x)  ctgx
ctgx
2
ab
a b
cos
2
2
a b
ab
cosa-cosb= -2sin
sin
2
2
cos x
ctgx=
, sin x  0
sin x
ctg(x+k  )  ctgx
sina+sinb=2sin
tg (

1
3
3
Semnele funcţiilor trig.
sin:+,+,-,cos:+,-,-,+

2
 x)  tgx
tg(a-b)=
tga  tgb
1  tgatgb
x
2
cosx =
x
1  tg 2
2
1  tg 2

2
1

2
0
3
2
-1
0
-1
0
1
-
0
-
0
0
-
0
-
tg.,ctg.:+,-+,-
12
0
sin(-x)= -sinx (impară)
tg(-x)= -tgx
cos(-x)=cosx(pară)
ctg(-x)= -ctgx
Funcţii trigonometrice inverse
arcsin:[-1,1]→ [
 
arcsin(-x)= -arcsinx
, ]
2 2
arcsin(sinx)=x, x  [
 
sin(arcsinx)=x,x  [1,1]
, ]
2 2
arccos(-x)=   arccos x
cos(arccosx)=x, x  [1,1]
arccos:[-1,1]  [0,  ]
arccos(cosx)=x, x  [0,  ]
arcsinx+arccosx=
arctg:R  (
 
, )
2 2
arctg(tgx)=x, x  (

2
, x  [1,1]
arctg(-x)= -arctgx
 
tg(arctgx)=x, x  R
, )
2 2
arcctg(-x)=   arcctgx
ctg(arcctgx)=x, x  R
arcctg:R  (0,  )
arcctg(ctgx)=x, x  (0,  )
arctgx+arcctgx=

2
, x  R
Ecuaţii trigonometrice
sinx = a,a  [1,1]  x  {(1) k arcsin a  k , k  }
cosx = b,b  [1,1]  x { arccos b  2k , k  }
tgx = c,c  R  x {arctgc  k , k  }
ctgx = d,d  R  x {arcctgd  k , k  }
sinax = sinbx  ax  (1) k bx  k , k  
cosax = cosbx  ax  bx  2k , k  
tgax = tgbx  ax  bx  k , k  
ctgax = ctgbx  ax  bx  k , k  
a
b
c
Teorema sinusurilor:
=2R,unde R este raza cercului circumscris


sin A sin B sin C
triunghiului.
Teorema cosinusului:a 2  b 2  c 2  2bc cos A
Aria unui triunghi:
bh
AB  AC sin( AB, AC )
abc
A
A
A   p( p  a)( p  b)( p  c) ,p=
2
2
2
xA yA 1

c c
l2 3
A ABC  ,   x B y B 1
A dreptunghic  1 2
A echilateral 
2
4
2
xC y C 1
13
Raza cercului circumscris unui triunghi:R=
Raza cercului înscris într-un triunghi:R=
p=
abc
,unde S este aria triunghiului
4S
S
,unde S este aria triunghiului iar
p
abc
2
Grupuri
Definiţie:Fie  : M  M  M lege de compozitie pe M.O submultime nevidă H a lui M
,se numeşte parte stabilă a lui M în raport cu legea “  ”dacă x, y  H  x  y  H .
Proprietăţile legilor de compoziţie
Fie  : M  M  M lege de compoziţie pe M.
Legea “  “ se numeşte asociativă dacă (x  y)  z  x  ( y  z), x, y, z  M
Legea “  “ se numeşte comutativă dacă x  y  y  x, x, y  M
Legea “  “ admite element neutru dacă exista e  M a.i .x  e  e  x  x, x  M
Definiţie:Cuplul (M, ) formează un monoid dacă are proprietăţile:
1)(x  y)  z  x  ( y  z), x, y, z  M
2) există e  M a.i .x  e  e  x  x, x  M
Dacă în plus x  y  y  x, x, y  M atunci monoidul se numeşte comutativ.
Notaţie:U(M)={x  M / x este simetrizabil}
Definiţie:Cuplul (G, ) formează un grup dacă are proprietăţile:
1)(x  y)  z  x  ( y  z), x, y, z  G
2) există e  M a.i .x  e  e  x  x, x  G
3) x  G, x '  G a.i. x  x '  x '  x  e
Dacă în plus x  y  y  x, x, y  G atunci grupul se numeşte abelian sau comutativ.
Definiţie:Un grup G se numeşte finit dacă mulţimea G este finită şi grup infinit ,în caz
contrar.
Se numeşte ordinul grupului G ,cardinalul mulţimii G(numărul de elemente din G).
Ordinul unui element
Definţie:Fie (G, ) un grup şi x  G .Cel mai mic număr natural nenul n cu proprietatea
x n  e se numeşte ordinul elementului x în grupul G.(ordx = n)
Subgrup
Definiţie:Fie (G, ) un grup.O submulţime nevidă H a lui G se numeşte subgrup al
grupului (G, ) dacă îndeplineşte condiţiile:
1) x, y  H  x  y  H .
2) x  H  x '  H
^ ^
^
Grupul claselor de resturi modulo n, Z n  {1, 2,  , n  1}
( Z n ,)  grup abelian
^
( Z n ,) -monoid comutativ ,în care U (Z n )  {k  Z n / c.m.m.d .c.(k , n)  1}
14
Morfisme şi izomorfisme de grupuri
Definiţie:Fie (G, ) şi (G ' ,) două grupuri.O funcţie f:G  G ' se numeşte morfism de
grupuri dacă are loc conditia f( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  G
Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de grupuri.
Prop. Fie (G, ) şi (G ' ,) două grupuri.Dacă f:G  G ' este morfism de grupuri atunci:
1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele două grupuri.
2)f(x ' )  [ f ( x)]' x  G
Inele şi corpuri
Definiţie:Un triplet (A, ,) , unde A este o multime nevidă iar ,,  ” şi ,,  ” sunt două legi
de compozitie pe A,este inel dacă:
1) (A,  )este grup abelian
2) (A,  )este monoid
3)Legea ,,  ”este distributivă fata de legea ,,  ”:
x  (y  z)=(x  y)  (x  z),(y  z)  x  ( y  x)  ( z  x)x, y, z  A
Inelul (A, ,) , este fără divizori ai lui 0,dacă x. y  e  x  y  e ( e  element
neutru de la legea ,,  ”)
Un inel (A, ,) , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x  y  y  x, x, y  A
Un inel (A, ,) , comutativ,cu cel putin 2 elemente şi fără divizori ai lui 0, se
numeşte,domeniu de integritate .
Definiţie :Un inel (K, ,) cu e   e  se numeşte corp dacă x  K , x  e , x '  K a.i.
x  x '  x '  x  e (e , e fiind elementele neutre )
Un corp (K, ,) , se numeşte comutativ dacă satisface şi axioma: x  y  y  x, x, y  K
Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.
Morfisme şi izomorfisme de inele şi corpuri.
Definiţie :Fie (A, ,), ( A' ,) două inele.O funcţie f:A  A' se numeşte morfism de
inele dacă :
1)f( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  A
1)f( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  A
3)f(e  )= e (e  , e fiind elementele neutre corespunzătoare legilor , )
Dacă în plus f este bijectivă atunci f se numeşte izomorfism de inele.
Definiţie:Fiind date corpurile K, K ' ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la
K ' ,se numeşte morfism(izomorfism)de corpuri.
Inele de polinoame
Forma algebrică a unui polinom:f = an x n  an1 x n1      a1 x  a0 , an  0 , ai  A un
inel comutativ.
Definiţie:a  A se numeşte rădăcină a polinomului f dacă f(a)=0.
Teorema împărţirii cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f şi g,cu g  0, polinoame din
K[X].Atunci există polinoamele q şi r din K[X] ,unic determinate,astfel încât f=gq+r cu
gradr<gradg.
Dacă r = 0,adică f = gq ,atunci spunem că polinomul g divide polinomul f.
Teorema restului: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] şi a un element din K
 restul împărţirii lui f la X-a este f(a).
15
Consecinţă:a este radăcină a lui f  X-a divide f.
Definiţie:Elementul a  K este rădăcină de ordinul p  N  pentru polinomul f  K[X ]
dacă (X-a) p divide pe f iar (X-a) p 1 nu divide pe f.
Teoremă: Elementul a  K este rădăcină de ordinul p  N  pentru polinomul
f  K[X ]  f (a)  0, f ' (a)  0,  , f ( p 1) (a)  0 şi f ( p ) (a)  0 ,unde f este fucţia
polinomială asociată polinomului f.
Polinoame cu coeficienţi reali
Teoremă:Fie f  R[X ] ,f  0 .Dacă z = a+ib,b  0 este o rădăcină complexă a lui f,atunci:
1) z = a-ib este de asemenea o rădăcină complexă a lui f
1)z şi z au acelaşi ordin de multiplicitate.
Obs. : ( X  z )( X  z ) / f
Polinoame cu coeficienţi raţionali
Teoremă :Fie f  Q[X ] , f  0 .Dacă x 0  a  b este o rădăcină a lui f,unde
a,b  Q, b 0, b  Q ,atunci
1) x0  a  b este de asemenea o rădăcină a lui f 2)x 0 , x 0 au acelaşi ordin de
multiplicitate.
Obs. : ( X  x0 )( X  x0 ) / f
Polinoame cu coeficienţi întregi
Teoremă :fie f= an x n  an1 x n1      a1 x  a0 , an  0 ;f  Z [X ]
p
1)Dacă x 0  ( p, q numere prime între ele) este o rădăcină raţională a lui f,atunci
q
a)p divide termenul liber a 0
b)q divide pe a n
2)Dacă x 0  p este o rădăcină întreagă a lui f,atunci p este un divizor al lui a 0 .
Polinoame ireductibile
Definiţie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numeşte
reductibil peste K dacă există g,q din K[X] cu gradg<gradf,gradq<gradf astfel încât f=gq.
Dacă f nu este reductibil peste K atunci se spune că f este ireductibil peste K.
Prop.:Polinoamele de grad 2 sau 3 din K[X] sunt ireductibile peste K  nu au rădăcini
în K.
Relaţiile lui Viete: Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X],
f = an x n  an1 x n1      a1 x  a0 , an  0 .Dacă x1 , x2 ,  , xn sunt n rădăcini ale lui f în K
atunci f = an ( X  x1 )( X  x2 )    ( X  xn ) şi
x1  x2      xn  an1  an1
x1 x2  x1 x3      xn1 xn  an2 an1
.......................................................
x 1 x2    xn  (1) n a0 an1
16

a2
 x1  x 2  x3  
a3

3
2
Dacă f = a3 x  a2 x  a1 x  a0 , f  C[ X ]  
a1
 x1 x 2  x1 x3  x 2 x3 
a3


a
 x1 x 2 x3   0
a3

a3

 x1  x 2  x3  x 4   a
4


a2
 x1 x 2  x1 x3      x3 x 4  a
4
f=a 4 x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a 0 , f  C[ X ]  

a1
 x1 x 2 x3  x1 x 2 x 4  x1 x3 x 4  x 2 x3 x 4  
a4


a0
 x1 x 2 x3 x 4 
a4

Ecuaţii reciproce
Definiţie:O ecuaţie de forma an x n  an1 x n1      a1 x  a0 , an  0 pentru care
ani  ai ,0  i  n se numeşte ecuaţie reciprocă de gradul n.
Orice ecuaţie reciprocă de grad impar are rădăcina -1.
Ecuaţia reciprocă de gradul IV are forma:a x 4  bx 3  cx 2  bx  a, a  0
1
1
1
Se împarte prin x 2 şi devine a ( x 2  2 )  b( x  )  c  0 ;notez x   t şi obţinem o
x
x
x
ecuaţie de gradul II.
Şiruri de numere reale
Şir monoton (crescător sau descrescător)
Fie (an ) nN un şir de numere reale.
Şirul (a n ) este crescător dacă: an  an1 , n  N .
Şirul (a n ) este strict crescător dacă: an  an1 , n  N .
Şirul (a n ) este descrescător dacă: an  an1 , n  N .
Şirul (a n ) este strict descrescător dacă: an  an1 , n  N .
Şir mărginit
Fie (a n ) nN un şir de numere reale.
Şirul (a n ) este mărginit dacă:  ,   R a . i .  an   , n  N
Definiţie
Un şir care are limita finită se numeşte convergent.
Un şir care nu are limită sau care are limita infinită se numeşte divergent
Teoremă :Orice şir convergent este mărginit.
Consecinţă :Dacă un şir este nemărginit atunci el este divergent.
17
Teoremă Dacă un şir are limită, atunci orice subşir al său are aceeaşi limită.
Consecintă: dacă un şir conţine două subşiruri cu limite diferite, atunci şirul nu are
limită.
▪Teorema lui Weierstrass
Orice şir monoton şi mărginit este convergent.
▪Teorema cleştelui
Dacă xn  an  yn , n  k si lim xn  lim y n  l atunci lim a n  l .
n
n
n
▪ Criteriul raportului
a n 1
 l  [0,1) atunci lim a n  0 .
n  a
n 
n
Fie (an ) nN un şir cu termeni strict pozitivi. Dacă lim
a n 1
 l  (1, ) sau l   atunci lim a n   .
n 
an
 Lema lui Stolz-Cezaro
Fie (an ) nN şi (bn ) nN două şiruri de numere reale.
a  an
 l (finit sau infinit) şi (bn ) nN este strict monoton şi nemărginit ,
Dacă lim n 1
n  b
n 1  bn
a
atunci lim n  l
n  b
n
▪ Criteriul radicalului
a
Fie (an ) nN un şir cu termeni strict pozitivi.Dacă lim n 1  l atunci lim n a n  l .
n 
n  a
n
Şiruri remarcabile
0, dacă q  (1,1)
1, dacă q  1
,   0

lim n   
lim q n  
n 
n 
0,  0
, dacă q  (1, )
nu există, dacă q  (,1]
Daca lim
n 
lim n k a n  0 ,unde a  (1,1), k  N
n
n
 1
lim 1    e ; e  2,7178... este constanta lui Euler
n
n

1 
xn
1
generalizare: lim 1    e dacă xn   ; lim 1  yn  yn  e dacă yn  0
n
n
xn 
sin x n
tg xn
lim
 1 dacă xn  0 , lim
 1 dacă xn  0 ,
n 
n xn
xn
arc tg x n
arcsin x n
 1 dacă xn  0 , lim
 1 dacă xn  0 ,
n 
n 
xn
xn
lim
18
Limite de functii
Teoremă:O funcţie are limită într-un punct finit de acumulare dacă şi numai dacă are
limite laterale egale în acel punct.
f are limită în x 0  l s ( x0 )  l d ( x0 )  f ( x0  0)  f ( x0  0)  lim f ( x)  lim f ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Obs.:Funcţia f :D  R nu are limită în punctul de acumulare x 0 în una din situaţiile :
a)există un şir x n  D  {x0 } cu limita x 0 astfel încât şirul ( f ( xn )) nu are limită
b)există şirurile ( xn ), ( y n ), xn , y n  D  {x0 }, astfel încât şirurile ( f ( xn )), ( f ( y n )) au
limite diferite.
Teoremă:Fie f :D  R ,o funcţie elementară şi x 0  D un punct de acumulare al lui
D  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor finite)
Fie f,g:D  R şi x 0 un punct de acumulare al lui D.Dacă lim g ( x)  0 şi există l  R
x  x0
a.î. f ( x)  l  g ( x), x  D  V , x  x0 , V vecinătate a lui x 0 şi dacă
lim g ( x)  0  lim f ( x)  l
x  x0
x  x0
Teoremă(Criteriul majorării,cazul limitelor infinite)
Fie f,g:D  R , x 0 un punct de acumulare al lui D şi f ( x)  g ( x), x  D  V , x  x0 ,V
vecinătate a lui x 0 .
a)Dacă lim f ( x)    lim g ( x)  
x  x0
x  x0
b)Dacă lim g ( x)    lim f ( x)  
x  x0
x  x0
Teoremă(Criteriul cleştelui)
Fie f,g,h:D  R , x 0 un punct de acumulare al lui D şi
f ( x)  g ( x)  h( x), x  D  V , x  x0 , V vecinătate a lui x 0 .
Dacă lim f ( x)  lim h( x)  l  lim g ( x)  l
x  x0
x  x0
x  x0
Limite uzuale.Limite remarcabile.
lim (an x n  an1 x n1      a1 x  a0 )  lim an x n
x 
x 
 ak
b , k  m
m
a k x k  a k 1 x k 1      a1 x  a 0 
lim
 0, m k
m 1
x   b x m  b
     b1 x  b0 
m
m 1 x
a
 k  () k  m , k  m
 bm
lim
x 
lim
x 
1
0
x
x 
lim
x 
1
0
x
lim 3 x  
x 
lim
x 0
x 0
1
 
x
lim
x 0
x 0
lim
x
19
3
1
 
x
x  
 , daca a  1
lim a x  
x 
0 , daca a  0,1
0 , daca a  1
lim a x  
x
 , daca a  0,1
 , daca a  1
lim loga x  
x 
- , daca a  0,1
lim arctg x 
x 

2
lim arctgx  
x 
x
 1
lim 1    e
x 
x
sin x
lim
1
x 0 x
ln1  x 
1
x 0
x
lim
lim
x 0
sin u ( x)
1
u ( x)
  , daca a  1
lim loga x  
x 0
 , daca a  0,1
x 0

x
x 0
x 
x 
 1
lim 1    e
x  
x
lim
lim arcctgx  
lim arcctgx  0
2
1
lim 1  x  x  e
x 0
tgx
arcsin x
arctg x
1
lim
1
lim
1
x

0
x 0
x
x
x
a x 1
lim
 ln a , a  0, a  1
x 0
x
arcsin u ( x)
arctg u ( x)
tg u ( x)
lim
1
lim
1
lim
1
x

0
x

0
x 0
u ( x)
u ( x)
u ( x)
a u ( x)  1
ln 1  u ( x) 
lim
 ln a , a  0, a  1 unde lim u ( x)  0
1
x  x0
x 0
x 0
u ( x)
u ( x)
 0
Operaţii fără sens: , ,   ,0  ,1 ,0 0 ,  0
 0
Funcţii continue
Definiţie Fie f : D  R şi x0  D punct de acumulare pentru D
lim
f este continuă în x0  D dacă lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Dacă f nu este continuă în x0  D ,ea se numeşte discontinuă în x 0 ,iar x 0 se numeşte
punct de discontinuitate.
Definiţii:Un punct de discontinuitate x0  D este punct de discontinuitate de prima speţă
pentru f ,dacă limitele laterale ale funcţiei f în punctul x 0 există şi sunt finite.
Un punct de discontinuitate x0  D este punct de discontinuitate de speţa a doua dacă nu
este de prima speţă.(cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul x 0 nu este
finită sau nu există)
Teoremă: Fie f : D  R şi x0  D punct de acumulare pentru D  f continuă în x 0
 l s ( x0 )  l d ( x0 ) = f( x0 )
Teoremă:Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiţie.
Operaţii cu funcţii continue
Teoremă:Fie f,g:D  R continue pe D
f
 f+g, f  g , ( g  0), f , max( f , g ), min( f , g ) sunt funcţii continue pe D.
g
Compunerea a două funcţii continue este o funcţie continuă.
Teoremă: Fie f:[a,b]  R o funcţie continuă a.î. f(a)f(b)<0   c  (a, b) pentru care
f(c)=0.
20
Asimptote
1.Asimptote verticale
Definiţie:Fie f :E  R, a  R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este
asimptotă verticală la stanga pentru f,dacă lim f ( x)   sau lim f ( x)   .
x a
xa
x a
xa
Definiţie:Fie f :E  R, a  R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a este
asimptotă verticală la dreapta pentru f,dacă lim f ( x)   sau lim f ( x)   .
x a
xa
x a
xa
Definiţie : Fie f :E  R, a  R punct de acumulare pentru E.Se spune că dreapta x = a
este asimptotă verticală pentru f dacă ea este asimptotă verticală atât la stânga cât şi la
dreapta sau numai lateral.
2.Asimptote oblice
Teorema : Fie f :E  R, unde E conţine un interval de forma(a, )
Dreapta y=mx+n,m  0 este asimptotă oblică spre +  la graficul lui f dacă şi numai dacă
f ( x)
m,n sunt numere reale finite,unde m= lim
, n  lim[ f ( x)  mx] .Analog la -  .
x 
x 
x
3.Asimptote orizontale
Dacă lim f ( x)  l , l număr finit atunci y = l este asimptotă orizontală spre +  la graficul
x 
lui f.
Analog la - 
Obs :O funcţie nu poate admite atât asimptotă orizontala cât şi oblică spre +  (-  )
Funcţii derivabile
Definiţie:Fie f:D  R ,x 0  D punct de acumulare pentru D
f ( x)  f ( x0 )
.
x  x0
f este derivabilă în x 0 dacă limita precedentă există şi este finită.
▪Dacă f este derivabilă în x0 , graficul funcţiei are în punctul M 0 ( x0 , f ( x0 )) tangentă a
Derivata într-un punct:f ' ( x0 ) = lim
x  x0
cărei pantă este f ' ( x0 ) .Ecuaţia tangentei este: y  f ( x0 )  f ' ( x0 )( x  x0 ) .
Teoremă:Fie f:DR , x 0  D punct de acumulare pentru D  f este derivabilă în
f ( x)  f ( x0 )
punctul de acumulare x0  f s' ( x0 )  f d' ( x0 )  R (finite)  lim
= .
x  x0
x

x
0
x x
0
lim
x  x0
x x0
f ( x)  f ( x0 )
R.
x  x0
Teoremă . Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.
Puncte de întoarcere.Puncte unghiulare.
Definiţii:Fie f:DR , x 0  D punct de acumulare pentru D.Punctul x 0 se numeşte punct
de întoarcere al funcţiei f, dacă f este continuă în x 0 şi are derivate laterale infinite şi
diferite în acest punct. Punctul x 0 se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă f este
continuă în x 0 ,are derivate laterale diferite în x 0 şi cel puţin o derivată laterală este finită.
21
Derivatele funcţiilor elementare
Functia
c
x
n
x , n  N*
Derivata
0
1
nx n1
xr , r  R
rx r 1
n
x
1
x
2 x
1
n n x n 1
1
x
ex
ln x
ex
a x (a  0, a  1)
sin x
cos x
tg x
arcsin x
a x ln a
cos x
 sin x
1
cos 2 x
1
 2
sin x
1
arccos x
1 x2
1
ctg x

1 x2
1
1 x2
1

1 x2
arctg x
arcctg x
Operaţii cu funcţii derivabile
f
(g  0 )sunt funcţii derivabile pe D.
g
Compunerea a două funcţii derivabile este o funcţie derivabilă.
Reguli de derivare
Teoremă:Fie f,g:D  R derivabile pe D  f+g ,fg,
'
f
f '  g  f  g'
( f  g )  f  g ; ( f  g )  f  g  f  g ; (  f )    f ;   
g2
g
( f  u) '  f ' (u)  u '
'
'
'
'
'
'
'
22
'
Proprietăţile funcţiilor derivabile
Definiţie:Fie f:DR.Un punct x 0  D se numeşte punct de maxim local(respectiv de
minim local)al lui f dacă există o vecinătate U a punctului x 0 astfel încât
f(x)  f(x 0 )(respectiv f(x)  f(x 0 ) ) pentru orice x  D  U .
Dacă f(x)  f(x 0 )(respectiv f(x)  f(x 0 ) ) pentru orice x  D atunci x 0 se numeşte punct
de maxim absolut(respectiv minim absolut)
Teoremă . ( Fermat) Fie I un interval deschis şi x 0  I un punct de extrem al unei funcţii
ƒ: IR. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x 0 atunci ƒ’(x 0 )=0.
Definiţie:O funcţie ƒ: [a, b] R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe
intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b).
Teorema lui Rolle
Fie ƒ: [a, b] R, a< b o funcţie Rolle astfel încât ƒ(a)= ƒ(b), atunci există cel puţin un
punct c  (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0.
Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie ƒ o funcţie Rolle pe un interval compact [a, b].
Atunci  c  (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c)
Consecinţe:
1.Dacă o funcţie derivabilă are derivata nulă pe un interval atunci ea este constantă pe
acel interval.
2.Dacă două funcţii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele diferă printr-o
constantă pe acel interval.
Rolul primei derivate
3. Fie f o funcţie derivabilă pe un interval I.
Dacă f ' ( x)  0( f ' ( x)  0), x  I , atunci f este strict crescătoare( crescătoare) pe I.
Dacă f ' ( x)  0( f ' ( x)  0), x  I , atunci f este strict descrescătoare(descrescătoare) pe I.
4.Fie f:D  R ,D interval şi x 0  D .Dacă
1)f este continuă în x 0
2)f este derivabilă pe D- {x0 }
3)există lim f ' ( x)  l  R
x  x0
atunci f are derivată în x 0 şi f ' ( x0 )  l .Dacă l  R atunci f este derivabilă în x 0 .
Observaţie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei
funcţii derivabile şi se determină punctele de extrem local.
Rolul derivatei a doua
Teoremă: Fie f o funcţie de două ori derivabilă pe I.
Dacă f " ( x)  0, x  I , atunci f este convexă pe I.
Dacă f " ( x)  0, x  I , atunci f este concavă pe I.
Definiţie: Fie f o funcţie continuă pe I si x0  I punct interior intervalului. Spunem că x 0
este punct de inflexiune al graficului funcţiei dacă f este convexă pe o vecinătate stânga a
lui x 0 şi concavă pe o vecinătate dreapta a lui x 0 sau invers.
Observaţie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate şi
concavitate şi se determină punctele de inflexiune.
23
Noţiunea de primitivă
Definiţie: Fie I  R interval, f : I  R. Se numeşte primitivă a funcţiei f pe I, orice
funcţie F : I  R derivabilă pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x  I.
Teoremă.Orice funcţie continuă f : I  R posedă primitive pe I.
Teoremă:Fie f : I  R,I interval ,o funcţie care admite primitive pe I.Atunci f are
proprietatea lui Darboux.
Consecinţe:
1.Dacă g : I  R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite
primitive pe I.
2.Fie g : I  R.Dacă g(I)= {g ( x) / x  I } nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.
3.Dacă g : I  R are discontinuităţi de prima speţă atunci g nu admite primitive pe I.
Tabel de integrale nedefinite
x n 1
n
x
dx

 C ,n  N ,x  R

n 1
x a 1
a
x

 C ,a  R, a  1 ,x  (0, )

a 1
1
 xdx  ln x  C, x  (0, ) sau x (,0)
ax
x
a
dx

 C , a 0, a  1, x  R

ln a
1
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  C, a  0, x  (,a) sau x (a, a) sau x  (a, )
1
1
x
 x 2  a 2 dx  a arctg a  C, a  0, x  R
1
x
 a 2  x 2 dx  arcsin a  C, a  0, x  (a, a)


1
x a
1
2
2
dx  ln( x  x 2  a 2 )  C , a  0, x  R
dx  ln x  x 2  a 2  C , a  0, x  (,a) sau x  (a, )
x a
 sin xdx   cos x  C, x  R
2
2
 cos xdx  sin x  C, x  R
1
 cos xdx  tgx  C, cos x  0
2
1
 sin
2
x
dx  ctgx  C , sin x  0
24
Integrala definită
Teoremă.Funcţiile continue pe un interval a, b sunt integrabile pe a, b .
Teoremă.Funcţiile monotone pe un interval a, b sunt integrabile pe a, b .
Proprietăţile funcţiilor integrabile.
a)(Proprietatea de linearitate)
Dacă f,g : [a.b]  R sunt integrabile şi   R 
b
b
b
a
a
1)   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
b
a
a
2)  f ( x)dx    f ( x)dx
b)Dacă f ( x)  0, x  a, b şi este integrabilă pe a, b , atunci  f ( x)dx  0 .
b
a
c)Dacă f ( x)  g ( x) pentru orice x  a, b şi dacă f şi g sunt integrabile pe a, b ,
b
b
a
a
atunci  f ( x)dx   g ( x)dx
d)(Proprietatea de aditivitate în raport cu intervalul)
Funcţia f : [a, b] R este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă,  c  (a, b) funcţiile
f1  f [a, c] şi f 2  f [c, b] sunt integrabile şi are loc formula:

c
a
b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
e)Dacă funcţia f este integrabilă pe a, b , atunci şi f este integrabilă pe a, b şi

b
a
b
f ( x)dx   f ( x) dx .
a
Teoremă (Formula Leibniz - Newton)
Dacă f : [a, b] R este o funcţie integrabilă şi f admite primitive pe [a, b] atunci pentru
orice primitivă F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

b
a
f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) .
b
Teorema de medie Dacă f : [a, b]  R este o funcţie continuă, atunci există c[a, b] a.i.

b
a
f ( x)dx  (b  a) f (c) .
Teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue
Dacă g : [a, b] R este o funcţie continuă,atunci funcţia G: [a, b]R,
x
G ( x)   g (t )dt , x  [a, b] are proprietăţile:
a
1)G este continuă pe [a, b] şi G(a) = 0
2)G este derivabilă pe [a, b] şi G ' ( x)  g ( x), x  [a, b]
'
x

Reţinem:   g (t )dt   g ( x)
a

25
Teoremă (Formula de integrare prin părţi)
Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de
integrare prin părţi:

b
a
b
fg ' dx  fg a   f ' gdx .
b
a
Teoremă:Fie f:[-a,a]  R, a 0 o funcţie continuă.Atunci
a
a
a
0
1)  f ( x)dx  2 f ( x)dx, dacă f este funcţie pară.
a
2)
 f ( x)dx  0 ,dacă f este funcţie impară.
a
Teoremă:Fie f:R R o funcţie continuă de perioadă
a T
T 0 

a
T
f ( x)dx   f ( x)dx, a  R
0
Aria unui domeniu din plan
1. Aria mulţimii din plan D R2 mărginită de dreptele x = a, x = b, y = 0 şi graficul
funcţiei f : [a, b] R pozitivă şi continuă se calculează prin formula: A  D    f ( x)dx .
b
a
2. În cazul f : [a, b] R continuă şi de semn oarecare, avem: A  D    | f ( x) | dx .
b
a
3. Aria mulţimii din plan mărginită de dreptele x = a, x = b şi graficele funcţiilor
f , g : [a, b] R continue este calculată prin formula: A  D    | g ( x)  f ( x) | dx .
b
a
Volumul unui corp de rotaţie Fie f : [a, b] R o funcţie continuă, atunci corpul C f din
spaţiu obţinut prin rotirea graficului lui f , Gf, în jurul axei Ox, are volumul calculat prin
b
formula: .V(C f )=   f 2 ( x)dx
a
26