שאלון למועד X
שאלה 34( 1נקודות)
נתון כי השדה החשמלי הבא הינו בקואורדינטות כדוריות והוא בכיוון הרדיאלי r .הינו המרחק
מראשית הצירים .נתון כי אין מטענים בתחום :r > R
3
𝑅𝐵
𝑅 < 𝑟 + 𝐵𝑟 ,
2
E= 𝑟 3
𝑅𝐵
𝑅>𝑟
{ 𝑟2 ,
כאשר Bהוא קבוע חיובי.
א.
( 9נק')
מהן היחידות של ?B
.i
מהו סך המטען במערכת ?
.ii
.iii
ב.
1
מהו המטען הכלוא בתחום ? 𝑅 𝑟 < 2
( 9נק') מניחים במישור xyתיל חסר עובי שצורתו
y
חצי מעגל בעל רדיוס 𝑅 2וצפיפות מטען אורכית λ
אחידה .מרכז הקשת בראשית הצירים (ראו שרטוט).
מהו וקטור הכוח החשמלי הפועל על חצי המעגל?
הראו במפורש כי לתשובה שקיבלתם יחידות של
כוח.
ג.
2R
x
R
( 8נק') מחליפים את חצי המעגל בקליפה כדורית
z
שלמה בעלת רדיוס 𝑅 2שמרכזה בראשית.
.i
מה יהיה וקטור הכוח על הקליפה במידה
ולקליפה צפיפות מטען אחידה ?σ
.ii
2R
מה יהיה כיוון הכוח על הקליפה במידה
ולקליפה צפיפות מטען 𝜑 ?σ = σ0 cos
R
y
x
(𝜑 היא הזווית היחס לציר – zראו שרטוט ושימו
לב לכיווני הצירים ,שהם שונים מהשרטוט בסעיף הקודם).
ד.
( 8נק') לגבי השדה שנתון בסעיף א (ללא התיל והקליפה של סעיפים ב ו ג) ,מהם סוגי המטען
במערכת? על כל אחת מהשאלות הבאות יש לנמק את התשובה (תשובה ללא נימוק תיפסל):
.i
.ii
.iii
.iv
האם יש בבעיה מטען נקודתי ?q
האם יש צפיפות מטען קווית (אורכית) ?λ
האם יש צפיפות מטען משטחית ?σ
האם יש צפיפות מטען נפחית ?ρ
לגבי כל סוג מטען שקיים במערכת -ציינו את מיקומו וחשבו את ערכו (במידה וקיים 𝛒
אין צורך לחשבו).
שאלה 33( 2נקודות)
מעגל בעל רדיוס 𝑅 נמצא במישור 𝑦𝑥 ומרכזו בראשית -הנקודה 𝑂 .שני ריבועים בעלי אורך צלע
𝑅 2הוצמדו אל מרכז המעגל עם פינותיהם ,כך שהריבוע האחד נמצא במלואו ברביע הראשון
והריבוע האחר נמצא במלואו ברביע השלישי .לאורך היקפה של הצורה שהתקבלה כופף תיל חסר
עובי מוליך ,כך שהוא יוצר לולאה סגורה ,ראו ציור .מזרימים בלולאה זרם 𝐼 נגד מגמת השעון .בכל
השאלה התעלמו מכוח הכובד.
𝑦
𝐶
𝐵
𝐷
𝐸
𝐴
𝑥
𝑂
𝐻
𝐹
𝐺
א 10( .נק') מהו ווקטור השדה המגנטי שיוצר הזרם שבלולאה בנקודה 𝑂 ?
ב 8( .נק') פרוטון עובר במהירות ̂
𝒙𝒗 בנקודה 𝑂 .מה גודלו וכיוונו של השדה החשמלי שיש
להפעיל בנקודה 𝑂 כדי שהכוח השקול על הפרוטון בנקודה זאת יהיה שווה לאפס?
ג 6( .נק') מזיזים מטען חיובי qמ +∞ -אל ראשית הצירים לאורך ציר ה z -במהירות כלשהי.
האם גודל הכוח המגנטי שיפעל עליו במהלך התקדמותו:
.1ילך ויגדל?
.2ילך ויקטן?
.3יהיה שווה לאפס בכל נקודה?
.4לא ניתן לדעת כי אין מספיק נתונים!
נמקו את תשובותיכם! תשובה ללא נימוק לא תתקבל
ד 9( .נק') מפעילים שדה מגנטי חיצוני אחיד ̂𝒛 𝟎𝑩 במרחב בו נמצאת לולאת הזרם המתוארת.
מהו הכוח המגנטי השקול שמפעיל השדה המגנטי החיצוני על חלק הלולאה שמתחיל
בקדקוד 𝑨 ומסתיים בקדקוד 𝑯 לאורך המסלול → 𝑮 → 𝑭 → 𝑬 → 𝑫 → 𝑪 → 𝑩 → 𝑨
𝑯 ,ראו ציור.
שאלה 33( 3נקודות)
בשמינית המרחב המוגדרת על ידי התחום ∞ < 𝑧 ≤ , 0 ≤ 𝑥 < ∞ , 0 ≤ 𝑦 < ∞ , 0
שורר פוטנציאל חשמלי .𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1248𝑒 (−𝑥−𝑦−𝑧) :כל היחידות הן בשיטת .(MKS) SI
א.
( 9נק') קבלו את וקטור השדה החשמלי בתחום המרחבי שבו מוגדר הפוטנציאל.
ב.
( 9נק') חשבו את המטען הכולל הנמצא בתחום הקובייה שמוגדרת על ידי הגבולות:
𝑚 0 ≤𝑧≤1
,
𝑚 .0 ≤𝑥 ≤1 𝑚 , 0 ≤𝑦 ≤1
z
1
y
1
1
x
ג.
( 9נק') חשבו את האנרגיה החשמלית הכוללת האגורה בתוך נפח הקובייה שהוגדרה
בסעיף ב’
ד.
( 6נק') במיקום 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0משחררים ממנוחה חלקיק אבק שמסתו היא
𝑔𝑘 𝑚 = 10−11ומטענו 𝑙𝑢𝑜𝐶 .𝑞 = 10−8כוח הכובד זניח.
.i
לאיזה כוון ינוע החלקיק?
.ii
האם יגיע למרחק אינסופי מראשית הצירים? אם תשובתכם חיובית ,חשבו מה
תהיה מהירותו במרחק זה? נמקו! תשובה ללא נימוק לא תתקבל
פתרון מבחן בקורס פיזיקה חשמל ומגנטיות תשע"ט -מועד X
שאלה 1
א.
היחידות של :B
𝐸
𝑁
= ] [ = ]𝐵[ ⟹ ]𝑟𝐵[ = ]𝐸[
𝑟
𝑚∙𝐶
המטען הכולל :ניתן להשוות בין הביטוי לשדה מחוץ למערכת לשדה של מטען נקודתי –
𝐵𝑅 3
𝑡𝑜𝑡𝑄𝑘
=
𝑟2
𝑟2
𝐵𝑅 3
= 4𝜋𝜀0 𝐵𝑅 3
𝑘
1
= 𝑡𝑜𝑡𝑄
1
המטען בתחום 𝑅 : 𝑟 < 2כדי לחשב מטען זה ניצור מעטפת גאוס ברדיוס 𝑅 .𝑟 = 2
𝐵𝑅 3
+ 𝐵𝑟) = 4𝜋𝜀0 (𝐵𝑅 3 + 𝐵𝑟 3 ) = 4.5𝜋𝜀0 𝐵𝑅 3
𝑟2
( 𝑄𝑖𝑛 = 𝜀0 𝜙 = 𝜀0 4𝜋𝑟 2 𝐸 = 𝜀0 4𝜋𝑟 2
שימו לב כי מטען זה גדול מסך המטען של המערכת שכן ,כפי שנראה בהמשך יש בבעיה גם מטענים שליליים.
ב.
נחלק את חצי הטבעת לפיסות מטען אינפיניטסימליות ,dq ,נחשב את הכוח על כל פיסת מטען ונסכום את כולן
ע"י אינטגרל:
dq = λdl = λ2Rdφ
𝐵𝑅 3
𝐵𝑅 3
)𝑟̂ = λ2Rdφ 2 (cos φ, 𝑠𝑖𝑛 φ
4𝑅 2
𝑅4
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 = dq𝐸⃗ = λ2Rdφ
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 = 0.5λB𝑅 2 (cos φ, 𝑠𝑖𝑛 φ)dφ
𝜋
̂𝑦 𝐹 = 0.5λB𝑅 2 ∫ (cos φ, 𝑠𝑖𝑛 φ)dφ = 0.5λB𝑅 2 (0,2) = λB𝑅 2
0
בדיקת יחידות:
𝑁 𝐶
𝑁 = 𝑚2
𝑚∙ 𝐶𝑚
= ] [𝐹] = [λB𝑅 2
ג.
.i
במידה ולקליפה צפיפות מטען אחידה σהכוח השקול יהיה אפס ,מטעמי סימטריה.
.ii
כיוון הכוח על הקליפה במידה ולקליפה צפיפות מטען 𝜃 σ = σ0 cosהוא בכיוון zהחיובי ,שוב
1
מטעמי סימטריה :נתבונן בנקודה בזווית 𝜋 𝜃 < 2ביחס לציר ( zלמשל הנקודה Aבשרטוט) .על
נקודה זו פועל כוח בכיוון הרדיאלי (החוצה) .בנקודה בזווית 𝜃 ( 𝜋 −נקודה )Bיש מטען שלילי הזה
בגודלו למטן החיובי שבנקודה Aולכן פועל עליה כוח זהה בגודלו לכוח על הנקודה Aאבל כלפי
הראשית .הכוח השקול על שתי הנקודות הוא בכיוון ( zכלפי מעלה בשרטוט) .מאחר ועל כל שתי
נקודות כאלו הכוח השקול הוא בכיוון ,zהכוח השקול על כול הקליפה הוא גם בכיוון zהחיובי.
z
A
x, y
R
2R
B
ד.
:qלפי ההתבדרות של השדה בראשית ,ניתן להסיק כי יש שם מטען נקודתי .השוואה בין האיבר המתבדר
לשדה של מטען נקודתי נותנת כי
𝐵𝑅 3
= 4𝜋𝜀0 𝐵𝑅 3
𝑘
=𝑞
λ:לא יתכן כי מטען המפוזר על פני תחום חד ממדי יצור את הסימטריה שבשאלה.
:σניתן לראות כי השדה אינו רציף ב Rולכן יש צפיפות מטען משטחית על שפת הכדור:
𝑅𝐵 σ = 𝜀0 Δ𝐸 = 𝜀0 (𝐵𝑅 − 2𝐵𝑅) = −𝜀0
:ρהשדה בתוך הכדור ,שלא נובע מהמטען הנקודתי (𝑟𝐵 = 𝐸( גם לא נובע מהמטען המשטחי (שיוצר שדה
רק מחוץ לכדור) ולא ממטען אורכי (שלא קיים בבעיה) ,ולכן חייבת להיות צפיפות מטען נפחית בתחום
𝑅 < 𝑟.
שאלה 2
א.
מהסתכלות על הציור ניתן לראות שהשדה המגנטי נתרם בחלקו מארבע קטעים של תיל נושא זרם באורך 𝑹𝟐,
כאשר השדה המגנטי של קטע בודד מחושב מהנוסחה
𝐼 𝜇
0
)) (cos(𝜃1 ) + cos(𝜃2
𝑟𝜋 = 4תיל𝐵
450
כאן 𝑅𝜃2 = 450 ,𝜃1 = 900 ,𝑟 = 2
כיוון השדה המגנטי בכיוון ציר ה 𝑧 -החיובי.
900
החלק השני של השדה המגנטי מגיע מתרומתן של שתי קשתות הנשענות ,כל אחת ,על זווית .900ניתן לאחד
את תרומתן לשדה המגנטי כאילו השדה נוצר מקשת אחת בעלת זווית של ,1800או ברדיאנים 𝜋 ,רדיאן.
𝐼 𝜇0
𝜃
𝑅𝜋4
= קשת𝑩𝑧,
לכן השדה הכולל שווה:
̂𝑧)⃗ 𝑇𝑂𝑇 = [4 ⋅ 𝜇0 𝐼 (cos(90) + cos(45)) + 𝜇0 𝐼 𝜋] 𝑧̂ = 𝜇0 𝐼 (𝜋 + √2
𝐵
𝑅4𝜋2
𝑅𝜋4
𝑅𝜋4
ב.
𝐼 𝜇0
𝐼 𝑣𝜇0
= ̂𝑧)(𝜋 + √2
̂𝑦)(𝜋 + √2
𝑅𝜋4
𝑅𝜋4
𝐵 × 𝑣⃗ + 𝐸⃗ ) = 0 ⟹ 𝐸⃗ = −
× ̂𝑥𝑣⃗ = −
𝐵 × 𝑣(𝑞 = 𝐹 ∑
ג .הכוח על המטען המוזז לאורך ציר ה 𝑧-שווה לאפס מכיוון שהתנועה מתבצעת במקביל לשדה המגנטי
𝐵 × 𝑣𝑞 = ⃗
⃗ =0
𝑭
ד .מכוון שהשדה מגנטי חיצוני הינו אחיד ,הכוח השקול על כל הלולאה שווה לאפס .לכן ,הכוח על הצלעות
המבוקשות בשאלה שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח הפועל על הצלעות המשלימות של הלולאה ,ראו ציור .את
הקשת שבציור למטה ניתן גם להשלים ללולאה סגורה העוברת דרך הראשית (סומן בצבע אדום בציור) כך
שלמעשה נשאר לחשב רק את הכוח שפעל על שתי צלעות ישרות באורך 𝐑𝟐 = 𝑳 ,האחת שנמצאת על ציר ה𝒚 -
השלילי והשנייה הנמצאת על ה 𝒙 -החיובי.
𝒚̂−
𝒙( 𝟎𝑩𝑅̂) = 𝐼2
𝒚̂−
)̂
𝒙( 𝟎𝑩𝐿𝐼 = ̂𝒛 𝟎𝑩 × ̂𝑥𝐿𝐼 ∑ 𝐹 = 𝐼𝐿𝑦̂ × 𝑩𝟎 𝒛̂ +
הכוח שפועל על הלולאה שבשאלה שווה ל-
𝒚̂−
)̂
𝒙( 𝟎𝑩𝑅𝐹𝑨→𝑩→𝑪→𝑫→𝑬→𝑭→𝑮→𝑯 = − ∑ 𝐹 = −𝐼2
שאלה 3
א𝐸⃗ = −𝛻⃗𝛷 = 1248 × 𝑒 (−𝑥−𝑦−𝑧) (1,1,1) .
ב .נפתור בהסתמך על חוק גאוס כאשר המעטפת הגאוסית היא הקובייה המוגדרת בסעיף.
𝑧𝑑𝑥𝑑 ])𝑧 𝑄 = 𝜖0 ∫ ∫[𝐸𝑥 (1, 𝑦, 𝑧) − 𝐸𝑥 (0, 𝑦, 𝑧)] 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜖0 ∫ ∫[𝐸𝑦 (𝑥, 1, 𝑧) − 𝐸𝑦 (𝑥, 0,
𝑙𝑢𝑜𝐶 +𝜖0 ∫ ∫[𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 1) − 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 0)] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −8.37 × 10−9
ג .צפיפות האנרגיה החשמלית הנפחית היא
1
2
| ⃗𝐸| 𝜖0
2
= 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑛𝑒𝜌
ולכן האנרגיה הכלולה בתחום המבוקש היא
1
𝑙𝑢𝑜𝐽 𝑈 = 12482 𝜖0 ∫ ∫ ∫ 3𝑒 (−2𝑥−2𝑦−2𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 1.67 × 10−6
2
ד .וקטור התאוצה של החלקיק הוא
𝑞
⃗𝐸
𝑚
.1במיקום בו משוחרר החלקיק
.𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧 > 0לכן החלקיק ינוע בכוון )(1,1,1
1
√3
=𝑎
.מכיוון שכך וקטור
התאוצה ימשיך להיות בכוון זה וכך גם התנועה.
.2החלקיק יגיע לאינסוף .הפוטנציאל שם מתאפס בעוד שבנקודת המוצא הוא חיובי .המטען החיובי של החלקיק
מבטיח שגם האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית מתאפסת באינסוף וחיובית בנקודת המוצא .שימור אנרגיה מוביל
למשוואה
1
2
∞𝑣𝑚 𝑞𝛷(0,0,0) = 2
ולכן מהירותו באינסוף היא
𝑞
𝑠𝛷(0,00) = 1575 𝑚⁄
𝑚
𝑣∞ = √2