2 Mathematische Grundlagen
2.1 Aussagen und Prädikate
2.2 Mengen und Relationen
2.3 Boolesche Algebra
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2.1 Aussagen und Prädikate
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Aussagen und Prädikate I
Aussagen:
Wert von Aussagen:
Aussagevariablen:
Logische Ausdrücke:
Tatsachen, Sachverhalte
w (wahr), f (falsch)
a, b, c, (zweiwertig w oder f)
• Konstante
• Variable
• Junktoren (Funktoren) logischer Ausdrücke
Junktoren
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
A bzw . A
AB
AB
AB
AB
Zur Vereinfachung von Klammerschachtelungen werden die
Junktoren in der angegebenen Reihenfolge angewandt
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2.2
Aussagen und Prädikate II
Warheitswerte
ab ab ab a  b
a
b
a
b
f
f
w
w
f
f
w
w
f
w
w
f
f
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
f
w
w
f
f
w
w
w
w
Prädikatenlogik
Prädikate:
Aussage über n-Tupel von Individuen (Elemente) aus
einem Individuenbereich (Wertebereich)
n-stelliges Prädikat: P  x1 , x 2 ,..., x n 
x P x 
Allquantor
Für alle Elemente des Wertebereichs von x ist die Aussage P  x  wahr.
Existenzquantor
 x P x 
Es existiert mindestens ein Element im Wertebereich von x, für das P  x 
wahr ist.
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2.3
2.2 Mengen und Relationen








Mengen
Operationen mit Mengen
Eigenschaften zweistelliger Relationen
Partitionen
Geordnete Mengen
Schranken und Grenzen
Verbände
Abbildung, Funktion
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Mengen: Definitionen und Schreibweisen
Menge: Zusammenfassung von Elementen
Definition durch Aufzählung der Elemente
A  a1 ,a2 ,a3 ,a4 
Definition durch Angabe von Bedingungen bzw.
Eigenschaften.
A  a p A a 
p A Aussage, Prädikat
a A
a ist Element von A
Mächtigkeit A gibt die Anzahl der Elemente von A an
Leere Menge, Nullmenge: Menge, die kein Element besitzt.
 0
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2.5
Teilmengen
Teilmenge, Untermenge: A  B
A ist Teilmenge (Untermenge) von B, wenn jedes Element von A auch
Element von B ist.
AB
Echte Teilmenge:
B enthält mindestens 1 Element, welches nicht in A enthalten ist.
AB
Gleiche Mengen:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen.
P  A   B B  A
Potenzmenge:

Menge aller möglichen Teilmengen von A
Es gilt:
P A  2 A
Beispiel:
A  a1 ,a2 ,a3 

P  A    ,a1 ,a2 ,a3 ,a1 ,a2 ,a1 ,a3 ,a2 ,a3 ,a1 ,a2 ,a3 
P A  23  8
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2.6
Operationen mit Mengen
Vereinigung:
A  B  x x  A  x  B
Durchschnitt: A  B  x x  A  x  B
Disjunkte (elementfremde) Mengen A und B:
A  B 
AB  A  B
Differenz:
 A  B  0
B A  x x  B  x  A
Komplement von A bezüglich einer Bezugsmenge M: C M ( A )  M A
bei fester Bezugsmenge M: C M ( A )  A
Mengenprodukt (kartesisches Produkt) A  B
Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a  A und b  B
A  B  a ,b  a  A  b  B
Mengenpotenz A m m-faches Produkt
A m  A m 1  A
m
Am  A
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2.7
Euler-Venn-Diagramm
z. T. auch als Venn-Diagramm (VD) bezeichnet
 Eine Eingangsvariable n  1
x
x
Gesamt
menge = 1
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x  x 1
Addition der Teilflächen
(Vereinigung)
xx0
Überschneidungsbereich
(Durchschnitt)
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2.8
Euler-Venn-Diagramm
 Zwei Eingangsvariablen  n  2
X0
X1
Vereinigung :
maximale Teilfläche
x0  x1
Durchschnitt :
minimale Teilfläche
x0  x1
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2.9
Definition von Relationen
Relationen
Beziehungen zwischen Elementen von Mengen.
Gliederung von Mengen durch Relationen.
Zweistellige Relationen
Es seien A,B Mengen, dann ist eine zweistellige Relation eine
Teilmenge von A  B .
a steht in der Beziehung R zu b, wenn das geordnete Paar (a,b) in R
ist.
R  AB
a R b  a ,b  R
Beispiel: x R y  x  y
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2.10
Darstellung von Relationen
Liste Darstellung als Menge durch die Liste aller Paare: a ,b  R
Relationsmatrix
Die Elemente einer Menge a  A bilden die Zeilen, die Elemente einer
Menge b  B bilden die Spalten. Für a R b ist das Matrixelement a b 
/ b gilt a b  gleich 0.
gleich1. Ist a R
Graph Gerichteter Graph: G V ,E 
V Knoten
E gerichtete Kanten
a1
a2
a3
a4
V  AB
b1
b2
b3
b4
b5
E  R  a b  a  A  b  B
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a1
a2
a3
a5
a4
V A
E  R  a i a j  a i ,a j  A 
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2.11
Zweistellige Relationen
Eigenschaften von Relationen
Eine zweistellige Relation R auf A mit a , b  A und R  A  A heißt
 reflexiv
wenn a ,a  R
a  A
 symmetrisch
wenn a , b  R
dann b ,a  R
a ,b  A
 antisymmetrisch wenn a ,b  R  b ,a  R  a  b
a ,b  A
a,b,c  A
 transitiv
wenn a , b  R ,b ,c  R dann a ,c  R
 konnex
wenn a ,b  R  b ,a  R
a ,b  A
Abgeleitete Relationen
Eine Relation R auf A heißt
 Äquivalenzrelation
 Verträglichkeitsrelation
 Halbordnung
 Ordnung (Kette)
wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
wenn R reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv ist.
wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
wenn R eine Halbordnung und konnex ist.
Äquivalenzklassen
Eine Äquivalenzrelation zerlegt die Menge A in disjunkte Teilmengen A1 , A2 , An wobei
die Elemente einer Teilmenge zueinander äquivalent sind und zu den Elementen anderer
Teilmengen nicht äquivalent sind.
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2.12
Partition
An
,
A2
,
A1
Partition 
Klasseneinteilung der Menge A in spezielle disjunkte Teilmengen.
Die Teilmengen werden als Blöcke bezeichnet.
  
   P  A 
n
 Ai  A
i 1
Ai  A j   wenn i  j
Die Menge A wird in Blöcke Ai zerlegt
    A (1 Block)
gröbste Zerlegung
feinste Zerlegung
1 Element je Block
 0 
Eine Zerlegung  1 von A heißt feiner (kleiner oder gleich) als eine
andere Zerlegung  2 von A , 1   2 ,wenn jeder Block Ai 1 von  1 in einem
Block Ak 2 von  2 enthalten ist  Ai 1  Ak 2  .
Zwei Partitionen  1 und  2 sind nicht vergleichbar,
wenn  1   2 und  2   1 .
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2.13
Abbildung, Funktion
Funktion F:
Eine Relation heißt Funktion F  A  B , wenn durch F jedem Element a  A
genau ein Element b  B zugeordnet wird.
A  a1 ,a2 ,a3 ,a4 
Schreibweisen: F : A  B
Eine Funktion
a)
injektiv
b)
c)
surjektiv
bijektiv
b  F a 
B  b1 ,b2 ,b3 ,b4 ,b5 ,b6 
F : A  B heißt
 a1  a 2  F a i   F a j  Abbildung von A in B
  b  B a  A b  F a  Abbildung von A auf B
 a  A genau ein b  B
 b  B genau ein a  A
Man sagt auch, F ist eine eineindeutige Abbildung:
A  a1 ,a2 ,a3 
B  b1 ,b2 ,b3 
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2.14
2.3 Boolesche Algebra







Basis der Booleschen Algebra
Boolesche Ausdrücke
Boolesche Algebra
Theoreme zur Booleschen Algebra
Hilfssätze zur Booleschen Algebra
Theoreme zur Booleschen Algebra
Beispiele zur Booleschen Algebra
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Formale Definition einer Booleschen Algebra
Eine Boolesche Algebra ist eine Ereignisalgebra. Man kann sie als
Methode auffassen, Zusammenhänge zwischen Ereignissen als
mathematische Ausdrücke zu formulieren und weiterzuverarbeiten.
Die Variablen sind hier Ereignisse im weitesten Sinn also z.B.
Aussagen, oder technisch sinnvolle Bedingungen, die entweder
wahr oder falsch bzw. erfüllt oder nicht erfüllt sein können. Es
werden ausschließlich solche Aussagen oder Bedingungen
betrachtet, von denen eindeutig gesagt werden kann, ob sie wahr
oder falsch sind.
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2.16
Basis der Booleschen Algebra
1.
Eine Menge B von zwei oder mehreren Elementen
2.
3.
Zwei Operationen: Summe "+" und Produkt " . "
Äquivalenz-Relation
B   ,  , ... 
ab
4.
Ein Satz von Axiomen
Werte, Konstante:  ,  , Elemente von B
Variable:
a ,b ,c Beschreibungen von Ausdrücken und Beziehungen
Äquivalenz:
ab
a 
zwei Variable haben den gleichen Wert für alle Zeiten
eine Variable hat den Wert einer speziellen Konstanten
Komplement:    ,  ist das Komplement von  .
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2.17
Boolesche Ausdrücke
Literal: Symbol zur Darstellung einer Variablen oder ihres Komplements
Summen-Term: Literal oder zwei und mehr Literale kombiniert mit dem
Summenoperator +
Produkt-Term: Literal oder zwei und mehr Literale kombiniert mit dem
Produktoperator ∙
Boolescher Ausdruck BA:
 Konstante
 Variable
 Komplement eines Booleschen Ausdruckes
 Summe zweier Boolescher Ausdrücke
 Produkt zweier Boolescher Ausdrück
Boolesche Gleichung: B A1  B A 2
 Zwei äquivalente oder gleichwertige Boolesche Ausdrücke
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2.18
Boolesche Algebra
Ein algebraisches System einer Menge B von Elementen a ,b ,c ...  und zwei
zweistelligen Operationen Summe "+" und Produkt "•" wird als Boolesche
Algebra bezeichnet, wenn folgende Axiome gelten:
A1 Kommutativgesetz
Für jedes a,b  B gilt
ab ba
a b  b a
A2 Distributivgesetz
Für jedes a,b,c  B gilt
a  b  c   a  b   a  c 
a  b  c   a  b  a  c 
A3 Neutrale Elemente
Es existiert ein Nullelement 0 sowie ein Einselement 1 derart, dass für jedes
a  B gilt a  0  a a 1  a
A4 Komplement
Zu jedem Element a  B existiert ein komplementäres Element a  B , für
a  a 1
aa  0
das gilt
A1-A4: Huntingtonsche Axiome
IMS
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2.19
Theoreme zur Booleschen Algebra
Aus den Axiomen zur Booleschen Algebra lassen sich folgende Sätze ableiten:
S1 Dualität (Satz von Shannon)
Jede Aussage oder algebraische Identität, die aus den Axiomen der
Booleschen Algebra ableitbar ist, bleibt gültig, wenn die Operationen "+"
und "•" sowie Null- und Einselemente untereinander vertauscht werden.
1 1 1
Beispiele:

0 0  0

1 0  0
0  1 1
S2 Idempotenzgesetz (Tautologien) a  a  a
S3 Absorptionsgesetz
S4 Assoziativgesetz
S5 De Morgansche Gesetze
IMS
a a  a
a  a  b   a
a  a  b   a
a  b  c   a  b   c
a  b  c   a  b  c
a b  a  b
a  b  a b
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2.20
Hilfssätze zur Booleschen Algebra
S6 Operationen mit 1 und 0
a  11
a 0  0
S7 Involution (doppelte Komplementbildung)
a a
S8 Komplemente von Null 0 und Eins 1
0 1
1 0
S9 Vereinfachung (erweiterte Absorption)
a  a  b   a  b
a  a  b   a  b
 Hinweis: Prioritätenregelung:
Vereinfachung:
IMS
· vor +
· kann weggelassen werden
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2.21
Visualisierung der Axiome und Theoreme (I)
Abgebildete Axiome nach Huntington
(A1) Kommutativität (Vertauschungsgesetz)
A B  B  A
A
IMS
B
A B  B  A
A
B
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2.22
Visualisierung der Axiome und Theoreme (II)
(A2) Distributivität (Verteilungsgesetz)
A  B  C
  A  C   B  C 
A
B
C
IMS
A  B  C
  A  C   B  C 
B
A
C
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2.23
Visualisierung der Axiome und Theoreme (III)
Theoreme (aus den Axiomen ableitbare Sätze)
(S3) Absorptionsgesetz
A  A  B  A
A
IMS
B
A  A  B  A
A
B
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2.24
Visualisierung der Axiome und Theoreme (IV)
(S4) Assoziativität (Verbindungsgesetz)
A  B  C 
 A  B  C
 A B C
A
A  B  C 
 A  B  C
 A B  C
B
A
C
B
C
(S5) Theorem nach de Morgan
A B  A  B
A
IMS
B
A B  A  B
A
B
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2.25
Beispiele zur Booleschen Algebra
Schaltalgebra
Mengenalgebra B  e1 ,e2 , ... ,en 
Operation +
Operation •
Null 0
Eins 1
:
:
:
:

Vereinigung

Durchschnitt
0/
Leere Menge
e1 ,,...,en  volle Menge B
Aussagenalgebra Aussagenlogik
Wahrheitswerte wahr 1
falsch 0
Verknüpfungen Konjunktion UND  Disjunktion ODER 
Algebra von binären n-fachen Mengenprodukten
B  B 2n  alle binären n  Tupel 
0  0 ,... ,0 
1  1,... ,1
a  a1 ,... ,a n 
a  b  a1  b1 ,... ,a n  b n 
a  b  a1  b1 ,... ,a n  b n 
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2.26