Simmetrik gruppalar. Qo’shni sinflar. Lagranj teoremasi.
Normal qism gruppa va faktor gruppa.
G группа ва H унинг қисм группаси бўлсин.
Таъриф. Агар ихтиёрий a  G элемент учун ушбу
aH  Ha
тенглик ўринли бўлса, у ҳолда H қисм группага нормал қисм группа ёки
нормал бўлувчи дейилади.
Масала 1. Агар G : H  2 бўлса, H қисм группа нормал бўлишини
исботланг.
Масала 2. Агар ихтиёрий x  G учун x 2  H бўлса, H қисм группа
нормал бўлишини исботланг.
H
қисм группа бўйича тузилган барча ўнг қўшни синфлар
тўпламини G / H орқали белгилаймиз:
G / H  {aH , a  G} .
Лемма 1. Агар H - нормал қисм группа бўлса, у ҳолда G / H тўплам
ушбу
aH  bH  (ab ) H
(1)
бинар амалга нисбатан группа ҳосил қилади.
~
Исбот. 1) Бу амал корректлигини, яъни aH  a~H ва bH  b H
~
тенгликлардан ушбу (ab) H  (a~b ) H тенглик келиб чиқишини кўрсатиш
~
лозим. aH  a~H ва bH  b H эканлигидан ушбу
~
a  a~x , x  H ва b  b y , y  H
тенгликлар келиб чиқади.
H
нормал қисм группа бўлгани учун
қуйидагилар ўринли:
~
~
~
~
~
ab  a~xb y  a~( xb ) y  a~(b x1 ) y  a~b x1 y  (a~b ) H .
(2)
~
Бу ерда x1  H . (2) га кўра (ab) H  (a~b ) H муносабат ўринли бўлади.
~
(a~b ) H  (ab) H муносабат ҳам шу тарзда кўрсатилади.
2) ассоциативлик бажарилиши равшан.
3) H  eH бирлик элемент бўлади.
4) aH га тескари элемент a 1 H бўлади. ■
Таъриф. G / H
тўплам (1) амалга нисбатан қаралганда ҳосил
бўладиган группага H - нормал қисм группа бўйича олинган факторгруппа дейилади.
Мисол 1. Қўшиш амалига нисбатан Z бутун сонлар группасини
кўриб чиқамиз. 5 сонига қолдиқсиз бўлинадиган барча бутун сонлар
тўпламини 5Z орқали белгилаймиз. 5Z тўплам Z нинг нормал қисм
группаси бўлиши равшан. Ушбу Z / 5Z фактор-группа элементларини
топамиз:
Z / 5Z  {a  5Z , a  Z }  {5Z , 1  5Z , 2  5Z , 3  5Z , 4  5Z } .