9. წრფივი სივრცე, წრფივი სივრცის მაგალითები
არაცარიელ E სიმრავლეს
ეწოდება
წრფივი
სივრცე,
თუ
მასში
განსაზღვრულია ელემენტების შეკრებისა და ელემენტის ნამდვილ რიცხვზე
გამრავლების ოპერაციები და ეს ოპერაციები აკმაყოფილებენ შემდეგ 8
პირობას (აქსიომას):
x+ y = y+x
1. . ∀x, y ∈ E ,
(კომუტაციურობა);
2. ∀x, y, z ∈ E , ( x + y ) + z =x + ( y + z ) (ასოციაციურობა);
x +θ =
x
3. ∃θ ∈ E , ∀x ∈ E ,
(ნულოვანი ელემენტის არსებობა);
4. ∀x ∈ E , ∃ (− x) ∈ E , x + (− x) =θ (მოპირდაპირე ელემენტის არსებობა);
5. ∀x ∈ E , 1x =x ;
6. ∀x ∈ E , ∀α , β ∈  , (αβ ) x =α ( β x) ;
7. ∀x ∈ E , ∀α , β ∈  , (α + β ) x= α x + β x ;
8. ∀x, y ∈ E , ∀α ∈  , α ( x + y ) = α x + α y (დისრიბუციულობა) .
წრფივი სივრცის ელემენტებს ვექტორებს უწოდებენ.
E წრფივი სივრცის არაცარიელ F ქვესიმრავლეს ეწოდება ამ სივრცის წრფივი
ქვესივრცე, თუ ის არის წრფივი სივრცე E სივრცეში განსაზღვრულ ოპერაციების
მიმართ.
შენიშვნა: წრფივი E სივრცის განსაზღვრებაში ნამდვილ რიცხთა  სიმრავლე
შეიძლება შეიცვალოს კომპლექსურ რიცხვთა  სიმრავლით. მაშინ E –ს ეწოდება
კომპლექსური წრფივი სივრცე.
ვთქვათ, n ნებისმიერი ნატურალური რიცხვია.  n – ით აღვნიშნოთ ნამდვილ
=
 n {( x1 ; x2 ;...; xn )| xi ∈ } .
რიცხვთა ( x1 ; x2 ;...; xn ) დალაგებულ n –ეულთა სიმრავლე:
შემოვიღოთ ამ სიმრავლეში ელემენტების შეკრების და ელემენტის ნამდვილ
რიცხვზე გამრავლების ოპერაციები შემდეგნაირად:
თუ x (=
=
x1 ; x2 ;...; xn ) , y ( y1 ; y2 ;...; yn ) , α ∈  , მაშინ
x + y = ( x1 + y1 ; x2 + y2 ;...; xn + yn ) , α ⋅ x = (α x1 ; α x2 ;...; α xn ) .
n
9.1. დაამტკიცეთ, რომ  სისიმრავლე ასეთნაირად განსაზღვრულ ოპერაციებთან
ერთად წარმოადგენს წრფივ სივრცეს (  n სივრცეს ეწოდება n –განზომილებიანი
კოორდინატული ანუ არითმეტიკული სივრცე).
a3 (1;0; −1;0) .
a2 (1;2; −2;3) , =
9.2. მოცემულია  4 სივრცის ვექტორები a1 = (8;1;0;3) , =
იპოვეთ:
1) 2a1 + 3a2 − 4a3 ;
2) −3a1 − 2a2 + 5a3 .
ა მ ო ხ ს ნ ა (9.3.1) : 2a1 + 3a2 − 4a3 = 2 ⋅ (8;1;0;3) + 3 ⋅ (1; 2; −2;3) − 4 ⋅ (1;0; −1;0) =
= (16; 2;0;6) + (3;6; −6;9) − (4;0; −4;0)= (15;8; −2;15) .
4
(1; −1;2;0) ,=
a2 (2;3;1; −1) , a3 = (−1;2;1;4) .
9.3. მოცემულია  სივრცის ვექტორები a=
1
იპოვეთ x ∈  4 ვექტორი განტოლებიდან:
θ
1) a1 + 2a2 + 3a3 − 2 x =
2) 2(a1 + x) + 3(a2 − x)= 5(a3 + x) .
მ ი თ ი თ ე ბ ა (9.3.1): მოცემულ ტოლობაში ვექტორები ჩაწერეთ კოორდინატებში
[ x ვექტორი წარმოადგინეთ x = ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) სახით], შეასრულეთ მითითებული
მოქმედებანი და გაუტოლეთ ერთმანეთს შესაბამისი კოორდინატები.
9.6–9.9 სავარჯიშოებში გამოარკვიეთ, მოყვანილი სიმრავლეებიდან რომელი არის
წრფივი სივრცე შეკრების და ნამდვილ რიცხვზე გამრავლების ჩვეულებრივი
ოპერაციების მიმართ.
9.6.1) 3 სივრცის (a ; b ;1) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a, b ∈  ;
2) 3 სივრცის (a ;0; b) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a, b ∈  ;
3) 3 სივრცის (a ; b; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a= b= c ;
4) 3 სივრცის (a ; b ; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც
a ≤ 3, b ≤ 3, c ≤ 3 ;
5) 3 სივრცის (a ; b ; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a , b, c ლუწი
რიცხვებია;
6) 3 სივრცის (a ; b ; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a ≤ b ≤ c ;
0 ;
7) 3 სივრცის (a ; b ; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a + b + c =
3
1.
8)  სივრცის (a ; b ; c) სახის ყველა ვექტორის სიმრავლე, სადაც a + b + c =
ა მ ო ხ ს ნ ა (9.6.1) : რადგან აღნიშნული სიმრავლე არ შეიცავს ნულოვან
θ = (0;0;0) ელემენტს, ამიტომ ეს სიმრავლე არ წარმოადგენს წრფივ სივრცეს.
9.7. 1)  3 {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x3 ∈ } სიმრავლე ;
=
=
2) 3 {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x3 ∈ } სიმრავლე ;
=
3) 3 {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x3 ∈ } სიმრავლე ;
=
4)  3+ {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x3 ∈  + } სიმრავლე (  + – დადებით ნამდვილ რიცხვთა
სიმრავლეა);
=
5)  3− {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x ∈  − } სიმრავლე (  − – უარყოფით ნამდვილ რიცხვთა
სიმრავლეა).
ა მ ო ხ ს ნ ა (9.7.3) : 3 არ წარმოადგენს წრფივ სივრცეს, რადგან ამ სიმრავლის
არანულოვანი ელემენტის ირაციონალურ რიცხვზე (მაგალითად,
გამრავლებით მიიღება ირაციონალურ კომპონენტიანი ელემენტი.
=
9.8. 1) 3 {( x1 ; x2 ; x3 ) | x1 , x2 , x3 ∈ } სიმრავლე ;
2) ნამდვილი ცვლადის ყველა მრავალწევრის P სიმრავლე ;
2 –ზე)
3) ნამდვილი ცვლადის ყველა ისეთი მრავალწევრის Pn
სიმრავლე, რომელთა
ხარისხი მოცემულ ფიქსირებულ ნატურალურ n რიცხვს არ აღემატება ;
4) ნამდვილი ცვლადის ყველა ისეთი მრავალწევრის Pn∗ სიმრავლე, რომელთა
ხარისხი მოცემული ფიქსირებული ნატურალური n რიცხვის ტოლია (ნულოვანი
მრავალწევრის დამატებით) ;
5) ერთ სიბრტყეში მდებარე გეომეტრიულ ვექტორთა V2 სიმრავლე ;
6) სიბრტყის გეომეტრიულ ვექტორთა V2 სივრცის იმ ვექტორთა Vl სიმრავლე,
რომლებიც ამ სიბრტყეში მდებარე მოცემული l წრფის პარალელურები არიან ;
7) სივრცის გეომეტრიულ ვექტორთა V3 სიმრავლე.
10. წრფივი სივრცის ბაზისი და განზომილება
წრფივი სივრცის ბაზისისა და განზომილების
ცნება
მჭიდროდ არის
დაკავშირებული სივრცის ვექტორთა წრფივად დამოკიდებულების და წრფივად
დამოუკიდებლობის ცნებებთან.
წრფივი სივრცის ვექტორთა
x1 , x2 , ... , xn
სისტემას ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ მოიძებნება ისეთი ნამდვილი
α1 , α 2 , ... , α n რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც არანულოვანია, რომ
x1 , x2 , ... , xn ვექტორების წრფივი კომბინაცია α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn იქნება
ნულოვანი ვექტორის ტოლი:
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α
=
θ (α12 + α 22 + ... + α n2 ≠ 0) .
n xn
წრფივი სივრცის ვექტორთა
x1 , x2 , ... , xn
სისტემას ეწოდება წრფივად დამოუკიდებული, თუ ის არ არის წრფივად
θ შესრულდება მხოლოდ
დამოკიდებული, ე.ი. თუ ტოლობა α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn =
მაშინ, როცა ყველა α1 , α 2 , ... , α n კოეფიციენტი იქნება 0–ის ტოლი:
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = θ ⇒ α1 = α 2 = ... = α n = 0.
10.1. დაამტკიცეთ, რომ თუ წრფივი სივრცის ვექტორთა სისტემა შეიცავს ნულოვან θ
ვექტორს, მაშინ ის წრფივად დამოკიდებულია.
10.2. დაამტკიცეთ, რომ თუ წრფივი სივრცის ვექტორთა სისტემა შეიცავს ორ ტოლ
ვექტორს, მაშინ ეს სისტემა წრფივად დამოკიდებულია.
10.3. დაამტკიცეთ, რომ თუ წრფივი სივრცის ვექტორთა სისტემის რომელიმე
ქვესისტემა
წრფივად
დამოკიდებულია,
მაშინ
ეს
სისტემაც
წრფივად
დამოკიდებულია.
დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა : ვთქვათ, e1 , e2 , ... , em , em +1 , ... , en
ვექტორთა სისტემის
e1 , e2 , ... , em ქვესისტემა წრფივად დამოკიდებულია. მაშინ მოიძებნება ისეთი
α1 , α 2 , ... , α m რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც არანულოვანია, რომ
θ . მაგრამ მაშინ
შესრულდება ტოლობა α1 ⋅ e1 + α 2 ⋅ e2 + ... + α m ⋅ em =
α1 ⋅ e1 + α 2 ⋅ e2 + ... + α m ⋅ em + 0 ⋅ em+1 + ... + 0 ⋅ en =
θ ,
ე.ი. არსებობს
e1 , e2 , ... , em , em +1 , ... , en
ვექტორთა θ –ს ტოლი წრფივი კომბინაცია,
რომლის კოეფიციენტებს შორის არის არანულოვანი კოეფიციენტიც. ეს ნიშნავს, რომ
e1 , e2 , ... , em , em +1 , ... , en ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებულია.
10.4. დაამტკიცეთ, რომ წრფივი სივრცის ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელი
სისტემის ნებისმიერი ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.
მ ი თ ი თ ე ბ ა : ისარგებლოთ საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდით.
10.5. დაამტკიცეთ, რომ წრფივი სივრცის ვექტორთა სისტემა წრფივად
დამოკიდებულია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა სისტემის ერთ–ერთი ვექტორი
სისტემის დანარჩენი ვექტორების წრფივი კომბინაციის ტოლია.
დ ა მ ტ კ ი ც ე ბ ა : აუცილებლობა. ვთქვათ, ვექტორთა სისტემა x1 , x2 , ... , xn
წრფივად დამოკიდებულია. მაშინ
მოიძებნება
ისეთი α1 , α 2 , ... , α n რიცხვები,
θ . ვთქვათ,
რომელთა შორის ერთი მაინც არანულოვანია, რომ α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn =
α n ≠ 0. მაშინ
xn =−
α
α1
α
⋅ x1 − 2 ⋅ x2 − ... − n −1 ⋅ xn −1
αn
αn
αn
და, მაშასადამე,
xn
ვექტორი
წარმოადგენს სისტემის დანარჩენი ვექტორების წრფივ კომბინაციას .
საკმარისობა. დავუშვათ ახლა, რომ x1 , x2 , ... , xn სისტემის ერთ–ერთი ვექტორი,
მაგალითად xn , დანარჩენი ვექტორების წრფივი კომბინაციის ტოლია, ე.ი.
xn = α1 ⋅ x1 + α 2 ⋅ x2 + ... + α n −1 ⋅ xn −1 .
გადავწეროთ ეს ტოლობა შემდეგი სახით:
α1 ⋅ x1 + α 2 ⋅ x2 + ... + α n −1 ⋅ xn −1 + (−1) ⋅ xn =θ .
რადგან xn ვექტორთან მდგომი კოეფიციენტი α n =−1 ≠ 0 , ამიტომ x1 , x2 , ... , xn
ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებულია.


a
b
10.6. დაამტკიცეთ, რომ გეომეტრიულ ვექტორთა V3 სივრცის ორი
და
ვექტორი
წრფივად დამოკიდებელია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ეს ორი ვექტორი
კოლინეარულია.
მ ი თ ი თ ე ბ ა : გამოიყენეთ ის ფაქტი, რომ ორი ვექტორის კოლინეარულობა იმის
ტოლფასია, რომ ერთ–ერთი მათგანი მიიღება მეორის გამრავლებით გარკვეულ
რიცხვზე.
10.7. დაამტკიცეთ, რომ
V3 სივრცის ნებისმიერი სამი კომპლანარული ვექტორი
წრფივად დამოკიდებელია.
მ ი თ ი თ ე ბ ა : დაამტკიცეთ, რომ ამ სამი ვექტორიდან ერთ–ერთი წარმოადგენს
დანარჩენი ორი ვექტორის წრფივ კომბინაციას (იხ. ნახაზი).

a
10.12. წარმოადგინეთ

αa

c

βb

b
 n სივრცის მოცემული x ვექტორი მოცემული a1 , a2 , ... am
ვექტორების წრფივი კომბინაციის სახით (თუ ეს არის შესაძლებელი). არის თუ
არა x ვექტორის ასეთი წარმოდგენა ერთადერთი?
1) n= m= 3, x = (5; 2; 5) , a1 = (2; 1; 3) , a2 = (−1; 1; 2) , a3 = (3; − 1; − 2) ;
2) n =m =3, x =(0;1; 2), a1 =(1;3;3), a2 =(−1;1;3), a3 =(1; −3; −7) ;
m 3, x =
(0;5;8), a1 =
(1; − 2;3), a2 =
(1;0;5), a3 =
(−2;5; − 5) ;
3) n ==
4)
=
n 4,=
m 3, x = (−1; 4; 15; 17) , a1 = (−1; 2; 3; 5) , a2 = (−3; 4; 1; 3) , a3 = (−2; 3; 3; 4) .
ა მ ო ხ ს ნ ა (10.12.1) : ვიპოვოთ ნამდვილი x1 , x2 , x3 რიცხვები
x1 ⋅ a1 + x2 ⋅ a2 + x3 ⋅ a3 =
x
განტოლებიდან. ამისათვის ჩავწეროთ აღნიშნული განტოლობა კოორდინატებში:
x1 ⋅(2;1;3) + x2 ⋅(−1;1;2) + x3 ⋅(3;−1;− 2) = (5;2;5) ⇔
⇔ (2 x1 ; x1 ;3x1 ) + (− x2 ; x2 ;2 x2 ) + (3x3 ;− x3 ;− 2 x3 ) = (5;2;5) ⇔
⇔
(2 x1 − x2 + 3x3 ; x1 + x2 − x3 ; 3x1 + 2 x2 − 2 x3 ) =
(5; 2; 5) .
გავუტოლოთ ერთმანეთს შესაბამისი კოორდინატები:
5
 2 x1 − x2 + 3 x3 =

2 .
 x1 + x2 − x3 =
3 x + 2 x − 2 x =
5
2
3
 1
ამ სისტემის დეტერმინანტი ∆ = −2 ≠ 0 (გამოთვალეთ), ამიტომ სისტემას აქვს
=
x1 1=
, x2 3,=
x3 2. ამის გათვალისწინებით
ერთადერთი ამონახსნი და ეს ამონახსნია
მივიღებთ მოცემული x ვექტორის საძიებელ (ერთადერთ) წარმოდგენას a1 , a2 , a3
ვექტორების წრფივი კომბინაციის სახით:
x =a1 + 3a2 + 2a3 .
10.13. დაამტკიცეთ, რომ  n სივრცის n ვექტორისაგან შედგენილი სისტემა
=
e1 (a
=
(a21; a=
(an 1; an 2 ;... ann )
11 ; a12 ;... a1n ), e2
22 ;... a2 n ), ..., en
წრფივად დამოუკიდებელია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როცა ამ ვექტორების
კოორდინატებისაგან შედგენილი დეტერმინანტი არ არის 0–ის ტოლი, ე.ი. როცა
a11 a12
a21 a22
... ...
an1 an 2
... a1n
... a2 n
≠ 0.
... ...
... ann
2
10.17. წრფივად დამოუკიდებელია თუ არა  სივრცის ვექტორები:
1) x1 = (0;1) , x2 = (0; 2) ;
2) x1 = (3;1) , x2 = (−1; 4) ;
(1; −2) , x=
(2; −4) ;
3) x=
1
2
4) x1 = (−3; 2) , x2 = (−2;3) .
10.18. წრფივად დამოუკიდებელია თუ არა 
(1; 2;3) , x2 =
(3; − 1; 4) , x3 =
(2; 4;6) ;
1) x1 =
=
=
, x2 (4; 2; 4) ;
3) x1 (2;1;3)
3
სივრცის ვექტორები:
(2;3;3) , x2 =
(5; − 2;1) , x3 =
(1; 2;3) ;
2) x1 =
4) x1 =(4; 2; −6) , x2 =(6;3; −9) .
წრფივი E სივრცის ბაზისი ეწოდება ამ სივრცის ვექტორთა ნებისმიერ
e1 , e2 , ... , en
დალაგებულ
სისტემას, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ ორ
პირობას:
1. e1 , e2 , ... , en სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია;
2. E სივრცის ნებისმიერი
წრფივ კომბინაციას :
x1 , x2 , ... , xn
რიცხვები
x ვექტორი წარმოადგენს e1 , e2 , ... , en ვექტორების
x= x1e1 + x2 e2 + ... + xn en .
ამ
დაშლაში
განისაზღვრება
ცალსახად
( დაამტკიცე თ) და მათ ეწოდებათ x ვექტორის კოორდინატები მოცემულ
ბაზისში . ამ ფაქტს ხშირად აღნიშნავენ ასე: x = ( x1 , x2 ,..., xn )e .
წრფივი E სივრცის ბაზისში შემავალ ვექტორთა რაოდენობას ეწოდება E
სივრცის განზომილება და აღინიშნება dim E სიმბოლოთი (“dimension”
ფრანგულად ნიშნავს განზომილებას). ნულოვანი {θ } წრფივი სივრცის
განზომილებად მიღებულია რიცხვი 0 ( dim {θ } = 0 ). თუ წრფივ სივრცეში
ნებისმიერი ნატურალური n –თვის არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი
ვექტორი, მაშინ სივრცეს ეწოდება უსასრულოგანზომილებიანი.
მაგალითად, უსასრულოგანზომილებიან წრფივ სივრცეს წარმოადგენს
ნამდვილი ცვლადის ყველა ნამდვილკოეფიციენტებიანი მრავალწევრის P
სიმრავლე. მისი ბაზისია
{1, x, x , x , ... , x , ...}.
2
3
n
10.19. დაამტკიცეთ, რომ V2 სივრცის ნებისმიერი ორი არაკოლინეარული ვექტორი
წარმოადგენს ამ სივრცის ბაზისს. რას უდრის ამ სივრცის განზომილება?
10.20. დაამტკიცეთ, რომ e1 და e2
2
ვექტორები ქმნიან 
სივრცის ბაზისს და
იპოვეთ x ვექტორის კოორდინატები ამ ბაზისში:
1) e1 = (1; 2) , e2 = (2;3) , x = (7;12) ;
2) e1 = (2; 4) , e2 = (3;5) , x = (3;7) ;
3) e1 = (−1;1) , e2 = (1; 4) , x = (3;7) ;
x (22; −22) .
4) e1 = (2;3) , e2 = (−4;5) ,=
მ ი თ ი თ ე ბ ა (10.20.4) : იხილეთ 10.12.1 სავარჯიშოს ამოხსნა.

 
10.21. დაამტკიცეთ, რომ a , b და c ვექტორები ქმნიან V3 სივრცის ბაზისს და

იპოვეთ d ვექტორის კოორდინატები ამ ბაზისში:




1) a = (1;1;0) , b= (1; −1;1) , c = (−1;1;1) , d = (0; 2;5) ;




d (28; −1;5) ;
2) a = (2;7;7) , b = (−4;3;9) , c = (9; −6; −9) , =




b (2; −5;7) , =
c (1;3; −1) , d = (4;1;8) ;
3) a = (1;3; 2) , =




c (0;3; −1) , d = (5;16;10) .
4) a = (2;1;0) , b = (1;0;5) , =
10.22. t პარამეტრის რა მნიშვნელობისათვის წარმოადგენს  3 სივრცის ბაზისს
x2 (0; t ; −1) , x2 = (1; t ;1).
ვექტორთა შემდეგი სისტემა: x1 = (t ;1; t ) , =
10.24. დაამტკიცეთ, რომ e1 , e2 , ... , en ვექტორები ქმნიან  n სივრცის ბაზისს:
=
=
, e2 (0;1;...;0)
=
, ... , en (0;0;...;1) ;
1) e1 (1;0;...;0)
=
=
1; 1; ... ;1; 1) , =
e2 (0; 1; 1; ... ;1; 1) , e3 (0;
=
0; 1; ... 1; 1) , ... , en (0; 0; 0; ... 0; 1) .
2) e1 (1;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
პასუხები:
9. წრფივი სივრცე. წრფივი სივრცის მაგალითები
9.2. 1) (15; 8; -2; 15) ; 2) (-21; -7; -1; -15) .
 13 1 1 1 
 11 7 
9.3. 1) 1; ; ; 5  ; 2)  ; − ; ; −  .
2 3 3
6
 2 2 
1
2
9.6 არა კი
3
4
5
6
7
8
კი
არა არა არა კი არა
9
10
9.7 არა არა არა არა არა
9.8 კი
კი
კი
არა კი
კი
კი
10. წრფივი სივრცის ბაზისი და განზომილება
10.12. 2) x ვექტორის წარმოდგენა a1 , a2 , a3 ვექტორების წრფივი კომბინაციის
სახით შესაძლებელია, მაგრამ ასეთი წარმოდგენა ცალსახა არ არის ;
3) x ვექტორის წარმოდგენა a1 , a2 , a3 ვექტორების წრფივი კომბინაციის
სახით შეუძლებელია.
4) x = 2a1 − 3a2 + 4a3 - x ვექტორის წარმოდგენა a1 , a2 , a3 ვექტორების წრფივი
კომბინაციის სახით ერთადერთია .
10.17. 1) არა;
2) კი ;
3) არა ;
4) კი.
10.18. 1) არა; 2) კი ; 3) კი ; 4) არა.
10.20. 1) (3; 2) ;
10.21. 1) (1; 2;3) ;
10.22.
t ≠ ±1 .
2) (3; − 1) ;
3) (−1; 2) ;
2) (2;3; 4) ;
4) (1; − 5) .
3) (1;1;1) ;
4) (1;3;5) .