Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGIBUXORO DAVLAT UNIVERSITETI Fizika –matematika fakulteti “Matematik fizika va analiz” kafedrasi 5460100-“Matematika ta’lim yo’nalishi” bo’yicha bakalavr darajasini olish uchun Qurbonova Dilafro’z Dehqonboy qizi MAXSUS FUNKSIYALAR UCHUN FURE ALMASHTIRISHLARI Mavzusidagi Bitiruv malakaviy ishi “Ish ko’rildi va himoyaga ruxsat Ilmiy rahbar _____dots.Mamatova N.H. berildi” “______”________________________2016y. Kafedra mudiri dots. Muxitdinov.R Taqrizchi________ f-m.f.n.dots.X.M.Teshaev “____”_______________2016y. “______”________________________2016 y. “Himoya qilishga ruxsat berildi” Fakultet dekani prof.Sh.M.Mirzayev “____”______________06 _______2016 y. 1 Buxoro-2016 Mundarija Kirish.........................................................................................................................3 I-bob L(-π,π) sinfda Fure almashtirishi. Fure almashtirishining xossalari. 1.1. L(-π,π) sinfda Fure almashtirishi…………………………………………….10 1.2. Fure almashtirishining xossalari. Furening sinus va kosinus almashtirishlari…………………………………………………………..….16 1.3. Teskari Fure almashtirishlari………………………………………………..20 I bob bo’yicha xulosa………………………………………………………..34 II-bob 𝑳𝟐 sinfda Fure almashtirishi. Plansherov nazariyasi. Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi. 2.1. 𝐿2 sinfda Fure almashtirishi…………………………………………………….35 2.2. Plansherel nazariyasi……………………………………………………………40 2.3. Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi…………………………………….44 II bob bo’yicha xulosa………………………………………...……………...55 Xotima……………………………………………………………………………….56 Foydalangan adabiyotlar…………………………………………………………….57 2 Kirish "Vatanimizning ertangi kuni, hamjihatidagi kelajagi, xalqimizning mamlakatimizning jahon obro’-e'tiboriavvalombor farzandlarimizning unib-o’sib, ulg'ayib, qanday inson bo'lib hayotga kirib borishiga bog'liqdir.Biz bunday o'tkir haqiqatni hech qachon unutmasligimiz kerak." I.A.Karimov Biz farzandlarimizning nafaqat jismoniy va ma’naviy sog’lom o’sishi, balki ularning eng zamonaviy intelektual bilimlarga ega bo’lgan, uyg’un rivojlangan insonlar bo’lib, XXI asr talablariga to’liq javob beradigan barkamol avlod bo’lib voyaga yetishi uchun zarur barcha imkoniyat va sharoitlarni yaratishini o’z oldimizga maqsad qilib qo’yganmiz. Shu kunlarda hukumatimiz tomanidan ushbu masala yuzasidan qabul qilingan Davlat dasturi ana shu ezgu maqsadga erishish yo’llariga jami davlat va nodavlat manbalari hisobga olingan holda mavjud barcha resurs va imkoniyatlarning safarbar etishni ko’zda tutadi kabi satrlarni o’qish mumkin. Shuningdek, “Barkamol avlod” yili davlat dasturi to’g’risida O’zbekiston Respublikasi Prezidenti qarorida “ta’lim jarayonida yangi axborot komunikatsiya va pedagogic texnalogiyalarda, elektron dasturlar, multimediya vositalarini keng joriy etish orqali mamlakatimiz maktablarida, kasb-hunar kollejlari, litseylar va oliy o’quv yurtlariga o’qitish sifatini tubdan yaxshilash, ilm-fanni yanada rivijlantirish, iqtidorli va qobiliyatli yoshlarni ilmiy faoliyatiga keng jalb qilish, ularning o’z ijodiy va intelektual salohiyatini ro’yobga chiqarish uchun sharoit yaratishga doir kompleks chora-tadbirlarni 3 ishlab chiqish ”ko’zda tutilgan vazifalardan hisoblanar ekan, darslarda yangi pedagogik texnalogiyalardan foydalanish ta’lim samaradorligini oshirish Bu muammoga hukumatimiz tomonidan alohida e’tibor berilmoqda. Yurtboshimiz I.A.Karimovning 2001 - yil may oyida Oliy Majlisning 5sessiyasida so’zlagan nutqida axborot texnologiyalari va kompyuterlarni jamiyat hayotiga, kishilarning turmush tarziga, maktab va oliy o’quv yurtlariga jadallik bilan olib kirish g’oyasi ilgari surilgan edi. Prezidentimiz tashabbusi bilan O’zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2001 yil 23 maydagi 230-sonli “2001-2005 yillarda kompyuter va axborot texnologiyalarini rivojlantirish ”, shuningdek, “Internetning xalqaro axborot tizimlariga keng kirib borishini ta’minlash dasturini ishlab chiqishni tashkil etish chora-tadbirlari to’g’risida”gi qarorlari qabul qilindi.Oradan bir yil o’tgach, 2002 yil 30 mayda O’zbekiston Respublikasi Prezidentining “Kompyuterlashtirishni yanada rivojlantirish va axborotkommunikatsiya texnologiyalarini joriy etish to’g’risida”gi farmoni va uning ijrosini amalga oshirish yuzasidan va axborotkommunikatsiya texnologiyalari sohasida strategik ustuvorlikni amalga oshirishga doir amaliy chora-tadbirlarni ta’minlash maqsadida Vazirlar Mahkamasining2002 yil 6 iyundagi “2002-2010 yillarda kompyuterlashtirish axborotkommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirish dasturi ” to’g’risidagi qarori e’lon qilindi. Prezidentimiz I. A. Karimovning “ Yoshlarimiz bizdan ko’ra kuchli bilimli dono va albatta baxtli bo’lishlari kerak “, ”O’zbekiston kelajagi yoshlar qo’lida” degan so’zlari va 2011-yilning “Kichik biznes va xususiy tadbirkorlik” deb belgilaganlari, yoshlarga va biznes va tadbirkorlikka bo’lgan e’tiborni va katta ishonchni ko’rsatadi. Biz yoshlar o’z navbatida bunday ishonchni oqlashga va komillik sari intilishga harakat qilamiz. Yangi axborot – kommunikatsion texnologiyalari hozirgi vaqtda eng dolzarb mavzulardan biri bo’lib kelmoqda, sababi har bir sohani o’rganish, izlanish va tajriba orttirish uchun turli usullardan foydalanish kerak bo’ladi. Shuning uchun yangi axborot – kommunikatsion texnologiyalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir. 4 Yurtboshimiz “Barkamol avlod – O`zbekiston taraqqiyotining poydevori” asrlarida quyidagi satrlarni o’qish mumkin: “Mamlakatimizni istiqlol yo’lidagi birinchi qadamlaridayoq, buyuk ma’naviyatimizni tiklash va yanada yuksaltirish, milliy Jumladan, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” da ta’kidlanganidek, - Ta’lim sohasini tubdan isloh qilish uni o’tmishdan qolgan mafkuraviy qarashlar va sarqitlardan to’la xolis etish, rivojlangan demakratik davlatlar darajasida yuksak ma’naviy va axloqiy talablarga javob beruvchi yuqori malakali kadrlar tayyorlash milliy tizimini yaratish” dan iborat. Ta’lim tizimini isloh qilish bilan bir qatorda, ta’lim jarayonining mazmunini, uning shakli tuzulmasi va unga qo’yilgan talablar ham yangicha ko’rinishga o’tmoqdaki, u endi o`zining oldingi, ya’ni sobiq tizim davridagi qotib qolgan ma’muriy, pedagogik tizimdan tubdan farq qilishi bilan xarakterlanadi. Prezident Islom Abdug’aniyevich Karimov “barkamol avlod- O`zbekiston taraqqiyotining poydevori” mavzusidagi yana quyidagilarga to’xtalib o’tgan edi. Umumlashtirlgan holda kadrlar tayyorlash tizimining shakillanishi va faoliyat ko’rsatishning asosiy tamoillari, mening nazarimda quyidagi vazifalarni o`z ichiga oladi. - Barcha xil va turdagi ta’lim muassasalarida yuqori malakali mutaxassislar tayyorlash uchun uzliksiz ta’lim, fan va ishlab chiqarish salohiyatidan samarali foydalanish; - Davlat ta’lim standartlarini joriy etish va ularni faoliyat ko’rsatish mexanizmini ishlab chiqarish - Ixtisosliklar, malaka darajasiga ko’ra mutaxassislarga bo’lgan umumdavlat va mintaqaviy talablarning istiqbolni aniqlash. - Ta’lim tizimini tuzilishi va mazmun jihatdan isloh qilish uchun o’qituvchilarni va murabbiylarni qayta tayyorlash. - Davlat va ijtimoiy muassasalarning kasbga yo’naltirish bo’yicha faoliyatini takomillashtirish. Bunda kasb tanlashning bozor ehtiyojlari va imkoniyatlarini e’tiborga olish zarur. - O`quvchi yoshlarni Vatanga sadoqatli bo’lish ruhida tarbiyalash. - Ta’limiy muassasalarni birinchi navbatda, umumta’lim maktablarini davlat tomonidan to’liq ta’minlashni meyorlarni oshirish va uning mexanizmini 5 takomillashtirish; - Kadrlar tayyorlash tizimi iste’molchilarni – muassasalar, banklar va boshqalarning imkoniyatlaridan, birinchi navbatda, o’rta maxsus kasb- hunar o`quv yurtlari va oliy o`quv yurtlarining moddiy va molyaviy bazasini mustahkamlash uchun mumkin qadar kengroq foydalanish; shartlaridan biri. Istiqlol yo’lida qadam tashlab boarayotgan Vatanimizdagi mavjud ma’naviy madaniy omillarga ahamiyat berish bilan birga maorif, ta’lim tarbiya ishlaruga e’tibor kuchaytirilmoqda. Ta’lim va tarbiya tizimini o`zgarmasdan turib ongni o`zgartirib bo’lmaydi. Ongni, tafakkurni o`zgartirmasdan turub esa biz ko`zlagan oliy maqsad “Ozod va obod jamiayatni barpo etib bo’lamaydi deydilar ” deydilar Prezidentimiz I.A. Karimov Respublikamizda ta’limning yangi tizimini amalga oshirishda tariximizdagi ta’lim jarayonlarini o’rganib chiqib ta’limni isloh qilish dasturi tayyorlandi. Barcha e’tibor ta’lim tizimini demakratik va insonparvarlik tamoillari asosida takomillashtirish, uning moddiy texnika bazasini zamon va davr talablari darajasida ko’tarish va O`zbekiston ma’rifiy salohiyatini kuchaytirish qaratiladi. Shu maqsadda 1992- yil 2- iyulda “Ta’lim to’g’risidagi ” qonun qabul qilindi. Ma’lumki, O`zbekiston Respublikasi Prezidenti I. A. Karimovning Respublika Oliy Majlisi IX sessiyasida so`zlangan nutqi va “Ta’lim – tarbiya va kadrlar tayyorlash tizimini tubdan isloh qilish, barkamol avlodni voyaga etkazish to’g’risi“ dagi Farmoni muhum ahamiyatga ega edi. Bu esa oliy ta’lim tizimida o’qitish sistemasini isloh qilishni taqizo etadi. Shuning uchun zamon talabiga mos o`quv qo’llanmalar yaratish milliy dasturini amalga oshirish vazifalarida biridir. Matematika, informatika, axborot texnoligiyalari o’sib borayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o`quv fanlari sifatida keng imkoniyatlarga ega. Ular tafakkurni rivojlantirib, aqlni chaqxlaydi, fikrlashni tartibga soladi. Bu Prezidentimiz Islom Abdug’aniyevich Karimovning "O`zbekiston XXI asr bo’sag’asida : xavfsizlikka tahdid, barqarorlik shartlari va taraqqiyor kafolatlari“ nomli kitoblarida keltirilgan quyidagi so`zlardan ham bilib olask bo’ladi: „Respublika quyidagi yo’nalishlar bo’yicha – jahon darajasidagi ilmiy maktablar yaratilgan bo’lib, ularda tadqiqotlar muvaffaqiyatli olib borilmoqda. Matematika, ehtimollar nazariyasi, tabiiy va 6 ijtimoiy jarayonlarni matematik modellash, informatika va hisoblash texnikasisohasidagi tadqiqotlar shular jumlasidandir“, - degan fikrlarga mos keladi. Bitiruv malakaviy ish mavzusining dolzarbligi: Asosan hisoblanishi odatdagi usul bilan murakkab bo’lgan integrallar alohida-alohida chuqur o’rganilgan. Integral tenglamalarni o’rganish muhim. Matematik fizikaning teskari masalalari integral tenglamalarga keladi. Integral almashtirishlar asosiy kursida to’liq o’rganilmaydi. Shu sababdan integral almashtirishlardan biri bo’lgan Furye almashtirishini o’rganish mumkin. Chunki integral almashtirishlar keng amaliy tadbiqqa ega. Shu tadbiqlardan biri masalan Fure almashtirishi yordamida texnikada ko’p qo’llaniladigan masalasi BMI da yechib ko’rsatilgan. Umuman aytganda   cos x 0 1  x 2 dx, x sin x  1 x 2 dx 0 ko'rinishdagi integrallar va Parseval tengligidab foydalanib odatdagi usul bilan hisoblanishi murakkab bo’lgan xosmas integrallar hisoblangan. Bitiruv malakaviy ishining maqsadi va vazifalari: Bitiruv malakaviy ishning maqsadi L1 ( ,  ) va L2 ( ,  ) sinflarda Fure almashtirishini keltirish va uning xossalarini o’rganishdan iborat. Har bir sinfda qaralayotgan f ( x) funksiyaning turli xil ko’rinishlarida Fure almashtirishi uchun formulalar keltirib chiqarish va ular yordamida misollar yechish. Bunday formulalar I bobning 1.2 rejasida keltirib o’tilgan. Bitiruv malakaviy ishi tadqiqot ob’ekti va predmeti: Fure almashtirishi: 𝐹(𝜏) = 1 √2𝜋 +∞ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜏𝑥 𝑑𝑥. ∫ −∞ Fure almashtirishiga teskari amashtirish: 𝑓(𝑥) = 1 √2𝜋 +∞ ∫ 𝐹( 𝜏)𝑒 −𝑖𝜏𝑥 𝑑𝜏. −∞ Parseval tengligi: ‖𝑓‖ = ‖𝐹‖. Bitiruv malakaviy ishining yangiligi: Asosan funksiyalarning Fure almashtirishi o’rganilgan bo’lib, undan tashqari ba’zi maxsus funksiyaning Fure almashtirishi keltirib o’tilgan (II bobning 1.3 rejasida). Yuqorida keltirib o’tilgan integrallarni Fure almashtirishi yordamida oson hisoblash yo’llarini ham keltirib o’tilgan. 7 Chunki bunday integrallar amaliyotda ko’p uchraydi va bu usul bunday integrallarni hisoblashda kam vaqt talab qiladi. Bitiruv malakaviy ishining ilmiy ahamiyati: Bitiruv malakaviy ishi referativ xarakterga ega. Bitiruv malakaviy ishining amaliy ahamiyati: Bitiruv malakaviy ishi amaliy ahamiyat ega bo’lib texnikaning ba’zi yo’nalishlarda qo’llaniladi. Masalan: To’g’ri to’rtburchakli implus to’g’risida quyidagi masalani keltirib o’tamiz: Quyidagi ko’rinishda aniqlangan juft f (t ) funksiya berilgan bo’lsin: 1, agar | t |  f (t )   0, agar | t |    0  const. Bu funksiya uchun Furening kosinus almashtirishi: Fc ( )  2  cos  tdt   0 2 sin    bo'lib, bu funksiyaning grafigi ko'rinishda bo’ladi. Yuqoridagi f ( x) funksiyani jismning odatdagi harakati deb olsak, keyingi Fc ( ) funksiyaning grafigi sifatida to’qnashuv sodir bo’lgandan so’ng hosil bo’ladigan implus chizig’i deb qarasak bo’ladi. Bitiruv malakaviy ishi tuzilishi va hajmi: Bitiruv malakaviy ishi kirish, ikki bob va har bir bobda uchtadan paragrof, ikkita xulosa, xotima va foydalanilgan adabiyotardan iborat bo’lib, kirish qismida ishda keltiriladigan misol va Fure almashtirishining 8 texnikaga qo’llanilishi bo’yicha qisqacha ma’lumot keltirib o’tilgan. I bobda L( ,  ) sinfda Fure almashtirishi. Fure almashtirishining xossalari, teskari Fure almashtirishi va bob bo’yicha xulosa keltirib o’tilgan. II bobda esa L2 ( ,  ) sinfda Fure almashtirishi. Plansheral nazariyasi va Bessel fuksiyasi uchun Furening kosinus almashtirishi va bob bo’yicha xulosa keltirib o’tilgan. Bitiruv malkaviy ishning so’ngida xotima va foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati keltirib o’tilgan. Bitiruv malakaviy ishi __ betdan iborat. 9 I bob. 𝐿(−𝜋, 𝜋) sinfda Fure almashtirishi. Fure almashtirishining xossalari. 1.1. 𝐿(−𝜋, 𝜋) sinfda Fure almashtirishi. 1. Fure qatorining kompleks ko’rinishi: Faraz qilaylik 𝑓(𝑥) funksiya 𝐿(−𝜋; 𝜋) sinfda berilgan bo’lib [−𝜋; 𝜋 ] kesmada integirallanuvchi bo’lsin. Bu shartlar quyidagi Fure koeffitsientlarini mavjudligini taminlaydi 1 𝜋 𝑎𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥𝑑𝑥, 𝑘 = 0,1,2,3, … … 𝜋 −𝜋 1 𝜋 𝑏𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 𝑑𝑥, 𝜋 −𝜋 𝑘 = 1,2,3, … . f(x) funksiyaga uning Fure qatorini mos qo’yamiz ∞ 𝑎0 𝑓(𝑥)~ + ∑(𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥) 2 𝑘=1 Eyler formulasidan foydalanib 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥, trganametrik funksiyalarni ko’rsatkichli funksiyalar ko’rininshda yozamiz. 𝑒 𝑖𝑘𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 = , 2𝑖 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 = ; 𝑖 = √−1 2 Quyidagi belgilashlarni kiritamiz. 𝑎−𝑘 = 𝑎𝑘 , 𝑏−𝑘 = 𝑏𝑘 , 𝑘 = 1,2, … va 𝑐0 = 𝑎0 𝑎𝑘 + 𝑖𝑏𝑘 , 𝑐𝑘 = ,𝑘 ≠ 0 2 2 bo'lsin 𝑓(𝑥) funksiyaning Fure qatorini ko’rsatkichli funksiya va 𝑐𝑘 koeffitsiyentlari orqali qaytadan yozib olamiz. 10 ∞ ∞ 𝑘=1 𝑘=1 𝑎0 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑓(𝑥)~ + ∑ (𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥) = 𝑐0 + ∑(𝑎𝑘 2 2 ∞ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 ) = 𝑐0 + ∑(𝑎𝑘 − 𝑖𝑏𝑘 ) 2𝑖 2 2 𝑘=1 ∞ = 𝑐0 + ∑( 𝑘=1 𝑎𝑘−𝑖𝑏𝑘 𝑎𝑘+𝑖𝑏𝑘 −𝑖𝑘𝑥 ∗ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 ) 2 2 ∞ ∞ = 𝑐0 + ∑( 𝑐𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥 + 𝑐𝑘 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 ; 𝑘=1 𝑘=−∞ Demak, 𝑓(𝑥) funksiyaning Fure qatorini quydagi sodda ko’rinishda yozamiz. ∞ 𝑓(𝑥) ∾ ∑ 𝑐𝑘 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑘=−∞ Faraz qilaylik f(x) funksiyaning Fure qatori tekis yaqinlashuvchi bo’lsin u holda matematik analiz kursidan ma’lumki, −𝑖𝑘𝑥 𝑓(𝑥) = ∑∞ 𝑘=−∞ 𝑐𝑘 𝑒 (1.1.1) tenglik o’rinli bo’ladi. (1.1.1)tenglikni chegaralangan eiμk funksiyaga ko′ paytiramiz va bu qatorning eiμk chegaralangan funksiyaga tekis yaqinlashish sharti buzilmaydi. ko′ paytirgandan so′ ng hosil bo′ lgan tenglikni − π dan π ga integirallaymiz. Demak, qator tekis yaqinlashuvchi, u holda uning integiralaganimizda Quydagiga ega bo’lamiz. π π π i(μ−k)x i(μ−k)x )dx=(∑+∞ dx ∫−π f(x)eiμx dx = ∫−π(∑+∞ k=−∞ ck e k=−∞ ck ∫−π e oxirgi integiralni hisoblaymiz π ∫−π i(μ−k)x e dx = ei(μ−k)x +∞ | 𝑖(𝜇−𝑘) −∞ = ei(μ−k)π −e−i(μ−k)π i(μ−k) = 2sin(𝜇−𝑘)𝜋 Eslatib o’tamiz π ′ μ ≠ k, μ = k bo lsa ∫ −π 11 ei(μ−k)x dx = 2π 𝜇−𝑘 =0 Demak ,quydagiga ega bo’ldik π ∫ f(x)eiμx dx = 2πcμ −π bundan esa ck koiftsentlarini quydagicha aniqlab olamiz 1 π ck = ∫ f(x)eikx dx, k = 0 ± 1 ± 2. . (1.1.2) 2k −π (1.1.2) L(-πμ, πμ)funksiyalar sinfi uchun Fure qatori Faraz qilaylik f(x) funksiya [−πμ; πμ] kesmada aniqlangan va L(-πμ, πμ) sinfga qarashli bo’lsin . Quydagigicha almashtirish bajaramiz X=u-μ bu yerda u o’zgaruvchi ko’rinib turibdiki [−π; π] kesmada o’zgaradi bu holda g(u)=f(uμ)=f(x) Funksiya[-π;π]kesmada aniqlangan va L(-π;π)sinfga tegishli bo’ladi. g(u) funksiya uchun Fure qatorini 1-paragrifda ko’rib o’tganimizdagidek aniqlab olamiz. −iku g(u)~ ∑+∞ ck = k=−∞ ck e ck koeffitsentda U = π ck = ∫−π g(u)eiku 2π 1 1 π ∫ g(u)eiku 2π −π du x almashtirish bajarilsa x o′ zgaruvchiga qaytib keladi μ πμ x ikx 1 q ( )e dx ∫ −πμ 2π μ μ μ 1 du = = Demak f(x)funksiya mos keluvchi Fure qatori +∞ ikx μ − ∑ ck e k=−∞ Ko’rinishida ekan ,bu yerda Ck koeffisent πμ ikx 1 Ck = ∫ f(x)e μ dx (1.1.3) 2πμ −πμ Formula bilan aniqlanadi. (1.1.3) Funksiyaning Fure almashtirishiga olib kelish 12 kx πμ i f(x) e μ dx ∫ −πμ 2πμ 1 Faraz qilaylik f(x)ϵL (-πμ,πμ) bo’lib barcha μ>0 larda ikx − μ f(x)=∑+∞ k=−∞ ck e tenglik o’rinli bo’lsin ck koiffitsentini o′ rniga (1.1.1)ifodani qo′ yib. Quydagi k πμ − (u−x) 1 μ f(x)=∑∞ k=∞ 2πμ ∫−πμ f(u)e (1.1.4) Formulaga ega bo’lamiz (1.1.4)tenglikni o’ng tomoni uning integrali yig’indisi ko’rinishda qarash mumkin .Buni tushuntirish uchun butun R da aniqlangan φμ (φ)= 1 πμ ∫ f(u)eiτ(u−x) du (1.1.4) 2π –πμ Funksiyani kiritamiz sonlar o’qini 1 2 0 ± ± … .. μ μ nuqtalar yordamida uzunligi 1 μ ga teng bo’lgan kesmalarga bo’lamiz . k Undan so’ng φu (δ)funksiyani bo′ linish nuqtalardagi qiymatni hisoblaymiz. μ k φμ ( )= μ k πμ i (u−k) μ f(u)e du ∫ 2π −πμ 1 k kμ (1.1.3) ifodani har ikkala tomoni ni [ , μ μ (1.1.5) ] kesmaning uzunligiga ko’paytiramiz va k bo’yicha −∞ + ∞gacha jamlaymiz(yig ′ indi tuzamiz)Bu jarayon mos ravishda aniq integiralni beradi.Demak biz quydagi munosabatga ega bo’ldik . f(x) =∑+∞ k=−∞ k πμ i (u−x) μ f(u)e du ∫ 2πμ –πμ 1 k 1 = ∑+∞ k=+∞ φμ (μ) μ (1.1.6) (1.1) ifodani 𝜇 → ∞ dagi limitini topaylik Ko′ rinib turibdiki, k k+1 μ → ∞ da [ , ] μ μ kesmaning uzunligi nolga intiladi va bunda integral yig ′ indiintegralga intiladi tenglikni limintga o’tsak bizga Furening integral formulasini beradi . +∞ 1 +∞ +∞ f(x)∫−∞ 𝜓∞ (𝜎) d𝜎 = ∫ d𝜎 ∫−∞ f (u) = ei𝜎(u−x) du (1.1.5) 2π −∞ 13 odatdagi usul bilan Fure funksiyasiga ega bo’ldik. Limitga o’tish usuli bilan ham hosil qilish mumkin.A ning birinchidan integral yig’indi cheksiz oraliqda, ikkinchidan integral ostidagi funksiya μ ga bog’liq. L sinfdan olingan funksiyaning Fure almashtrishi f (x ) funksiya uchun Fure almashtrishining ko’rinishi va aniqlanishi. Furening integral formulasini quyidagi ko’rinishda yozamiz. formulaga qarang. 1 +∞ 1 +∞ f(u)eiσu du} e−iσx d𝜎 ∫ { ∫ √2π −∞ √2π −∞ F(x) = F(𝜎) funksiyani aniqlaymiz 𝐹(𝜎) = 1 √2𝜋 +∞ 𝑓(𝑢) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑢 ∫ −∞ ( I.2.1) Furening integral formulasi f(x) funksiya orqali yordamida F(𝜎) funksiyani mos ravishda qo’yishdan hosil bo’lishdi. Fure almashtrilishi bilan faqat uning minus darajasiga farq qiladi. 𝑓(𝑥) = 1 √2𝜋 +∞ ∫−∞ 𝐹( 𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑥 𝑑𝜎 (I..) (I.2.2) formulaga Fure almashtrish formulasi deyiladi. F(𝜎) funksiya (I.2.2) formula bilan aniqlanadi va u f(x) funksiyaning Fure almashtrilishi deyiladi. Berilgan funksiyani biz kichik harf bilan, mos ravishda uning Fure almashtrilsh katta harf bilan belgilaymiz. Shunday ekan f (x) funksiya f (x) funksiyaning Fure almashtrilishi deyiladi. Bu belgilashlar bilan birga Fure almashtrilishini operator ko’rinishi ham keltrib o’tamiz Fure almashtirishning operatori yoki qisqacha Fure operatorni V bilan belgilaymiz va F(σ) = Vf(x) munosabatga ega bo’lamiz. (I.2.3) formula Fure almashtrishtrishiga teskari almashtrishi deyiladi.f (x) funksiya F (σ) funksiyaning Fure almashtrishiga teskari almashtrish deyiladi. V −1 orqali Fure almashtirishiga teskari almashtrish operatorini belgilaymiz. Shunday qilib quyidagiga ega bo’ldik. f(x)V −1 F(σ); (I. 2.1) Furening integral formulasini 14 f(x) = V −1 Vf(x) ko’rinishida yozipsh mumkin.Eslatib o’tamiz Fure operatori chiziqli ya’ni V operatori chiziqlilik xossasini saqlaydi. V [αf(x) + βg(x)] = α V f (x) + βV g(x) bu esa integral xossasidan kelib chiqadi. 1.1.1ta’rif.Quyidagi 1,x,ϵ(a,b) 𝜑(𝑎, 𝑏, 𝑥 ) { 0,x∄(a,b) } moslik bog ′ lanish bilan aniqlangan funksiya (a, b)dagi xarakteristik funksiya deyiladi . 1.1.1-teorema Agar f(x)ϵL bo’lsa,u holda f(x)funksiyaning Fure almashtirishi F(𝜎)=Vf(x)butun sonlar o’qida uzluksiz chegaralangan bo’ladi va lim F(σ) → Munosabatlarni qanoatlantiradi (𝜎)→∞ Isbot.F(τ) chegaralangan ekanligi va quydagi bahodan ko’rinadi |F(𝜎)| = 1 √2π +∞ [∫−∞ f(x)eiσx dx| ≤ 1 +∞ 1 1 +∞ ∫ |f(x)eiσx |dx − √2π ∫−∞ |f(x)dx < √2π −∞ | ‖f‖ < ∞ √2π Bu yeda +∞ ‖f‖ = ∫−∞ |f(x)|dx = ∞ . ekanligidan foydalandik. Teoremani qolgan tasdiqlarini intervaldagi xarakteristik funksiya uchun isbotlaymiz undan so’ng esa L dagi barcha pag’onali funksiyalar to’plamining to’liq xossasidan foydalanib umummiy xolga o’tkazamiz φ(a,b,x)funksiyaning Fure almashtirishini qaraymiz. 1 +∞ 1 a ∫ φ(a, b, x)eiσx dx = 2π ∫−∞ φ(a, b. . x)eiσx dx + 2π ∞ Φ(a,b,π)= 1 b 1 φ(a, b, x) eiσx dx + ∫ a 2π √2π +∞ ∫ e iσx φ(a, b, x)e b 1 b 1 eiσx iσx iσx dx = ∫ φ(a, b, x)e dx = ∫ e dx = 2π a √2π a √2π iτ Ф(a,b,τ) funksiya butun sonlaro’qida aniqlanganligi uchun quyidagi. |𝜕(a,b,𝜎)|= 1 √2π | eibσ −eiaσ iσ 15 |≤ 2 √2πσ bahoga ega bo′ lamiz bu bahodan lim Ф(a, b, σ) = 0 |σ|→∞ ga ega bo′lamiz Ixtiyoriy h(x)pag’onali funksiyani φ(a,b,x)funksiyaning chiziqli kombinatsiyasi ko’rinishda ko’rinish tasvirlash mumkin. H(x)=∑nk=1 αk φ(ak , bk , x)u holda H(τ)uchun H(τ)=∪ h(x) ∪ {∑kk=1 αk φ(ak , bn ; x)} = ∑nk=1 αk ∪ φ(ak bk ; x) = ∑nk=1 αk eibk σ −eiak σ √2π;τ Formulaga ega bo’lamiz. 1.2.Fure almashtirishning xossalari . Furening sinus va kosinus almashtirishlari. Faraz qilaylik haqiqiy qiymatli f(x)funksiya Lsinfdan olingan bo’lsin. f(x) funksiyaning Fure almashtirishini kosinus va sinus orqali formulasini yozamiz: 𝑒 𝑖𝜎𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥, 𝐹(𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 + −∞ 𝑖 √2𝜋 +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 . −∞ Agar qo’shmcha mulohazani kiritsak ,ya’ni f(x) juft (f(-x)=f(x)) funksiya deb qarasak ikkinchi yig’indi nolga aylanadi va biz f(x) funksiyaning cos almashtirishini olamiz: 𝐹𝑐 (𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 _∞ 𝑎 ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫𝑜 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) formuladan foydalansak, 2 +∞ 𝐹𝑐 (𝜎) = √ ∫𝑜 𝜋 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 (1.2.1) formulaga ega bo’lamiz. Xuddi shunday usulda 2 +∞ 𝐹𝑠 (𝜎) = √ ∫𝑜 𝜋 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 16 (1.2.2) formulaga ega bo’lamiz. Odatda (1.2.1) va (1.2.2) formulalar 𝑓(𝑥) funksiya uchun mos ravishda Furening kosinus va Furening sinus almashtirishlari deyiladi. Bizga ma’lumki ixtiyoriy haqiqiy qiymatli f(x)funksiyani ikkita,juft va toq funksiyalar yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥) 2 + 𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥) 2 = 𝜑𝑗 (𝑥) + 𝜑𝑡 (𝑥). Funksiyaning bunday ko’rinishini,uning Fure almashtirishida 𝐹(𝜎) = 𝐹𝑐 (𝜎) + 𝑖𝐹𝑠 (𝜎) ko’rinishni oladi. Agar berilgan funksiya kompleks qiymatli bo’lsa, u holda uni 𝑓(𝑥) = 𝑅𝑒 𝑓(𝑥) + 𝑖𝐼𝑚𝑓(𝑥) ko’rinishda tasvirlaymiz. Bu funksiyani Fure almashtirishini topishda, Furening cos va sin almashtirishlaridan foydalanamiz. Misol: Juft funksiyaning Fure almashtirishi, uning Fure cos almashtirishiga tengligiga isbotlang. Isbot: Faraz qilaylik f(-x)=f(x)bo’lsin. Bu holda uning Fure almashtirishi. 𝐹(𝜎) = = + 1 √2𝜋 𝑖 √2𝜋 +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 −∞ +∞ ∫ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥)𝑑𝑥 −∞ +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 −∞ +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 < 𝐼1 + 𝑖𝐼2 −∞ ko’rinishni oladi. Bunda 𝐼1 va 𝐼2 integiralni alohida hisoblaymiz: 𝐼1 = 1 √2𝜋 𝐼2 = 𝐼1 = 1 +∞ +∞ ∫ 1 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 = √2𝜋 −∞ +∞ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 ∫ √2𝜋 −∞ 1 1 +∞ 2∫ 0 2 +∞ √ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 𝜋 0 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡) = | 𝑥 = −𝑡, 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡, 𝑥1 = −∞ | = − 𝑡1 = +∞, 𝑥2 = +∞, 𝑡2 = −∞ +∞ 1 +∞ +∞ ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝜎(−𝑡)𝑑𝑡=√2𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑠𝑖𝑛 𝜎𝑡𝑑𝑡 = − √2𝜋 ∫−∞ ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑠𝑖𝑛 𝜎𝑡𝑑𝑡 = √2𝜋 −∞ −𝐼2 → 𝐼2 = −𝐼2 + 𝐼2 = 0 → 2𝐼2 = 0 𝐼2 = 0, demak 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) funksiya uchun 17 𝐼2 = 1 √2𝜋 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 = 0 −∞ Bundan esa +∞ 2 𝐹𝑐 (σ) = 𝐼1 = √ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 𝜋 Furening kosinus almashtirishlarini olamiz. 𝑠𝑖𝑛, 𝑥 < 𝑎 Misol: 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑥 ≥ 𝑎 funksiya uchun Furening sinus almashtirishlarini aniqlang . Yechim: 𝑎 2 +∞ 1 𝐹𝑠 (𝜎) = √ ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 = 𝐹𝑠 (𝜎) ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥 𝜋 0 √2𝜋 −∞ = 1 √2𝜋 𝑎 ∫ [cos(1 − 𝜎) 𝑥 − cos(1 + 𝜎) 𝑥]𝑑𝑥 0 𝑎 1 sin(1 − 𝜎) 𝑥 sin(1 + 𝜎) 𝑥 = − [ ]| 1−𝜎 1+𝜎 √2𝜋 𝑜 = 1 sin(1 − 𝜎) 𝑥 sin(1 + 𝜎) 𝑥 1 =( − )= 1−𝜎 1+𝜎 √2𝜋 √2𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎 + 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎 1 − [ ]= 1−𝜎 1+𝜎 √2𝜋 [ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎−𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎+𝜎(𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎−𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎)−𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎−𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎+𝜎(𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎+𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎) ]= 1−𝜎 2 1 √2𝜋 [ −2𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎+2𝜎𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎 1−𝜎 2 ]=√ 2 𝜎𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝜎𝑎−𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝜎𝑎 1−𝜎 2 𝜋 𝜎 ≠ ±1. Fure almashtirishlarining xossalari. Quyda keltiriladigan xossalar yordamida jadvalda beriladigan funksiyalarning Fure almashtirishini keltirib chiqarish mumkin. 1.xossa. Chiziqlilik xossasi: Agar 𝑓1 (𝑥) → 𝐹1 (𝜎) va 𝑓2 (𝜎) → 𝐹2 (𝜎) bo’lsa, u holda 𝐶1 𝑓1 (𝑥) + 𝐶2 𝑓2 (𝑥) → 𝐶1 𝐹1 (𝜎) + 𝐶2 𝐹2 (𝜎) 18 o’rinli. Isbot: Faraz qilaylik 𝑓1 (𝑥) funksiyaning Fure almashtirishi 𝐹1 (𝜎) va 𝑓2 (𝑥) funksiyaning Fure almashtirishi F2 (σ) bo’lsin. U holda +∞ 1 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 dx √2𝜋 −∞ 1 𝐹1 (𝜎) = 𝐹2 (𝜎) = (1.2.3) +∞ 1 ∫ 𝑓 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 √2𝜋 −∞ 2 (1.2.4) (1.2.3) va (1.2.4) ifodalarni mos ravishda c1 va c2 larga ko’paytirib ularni qo’shamiz. C1 𝐹1 (𝜎) + 𝐶2 𝐹(𝜎) = 1 √2𝜋 +∞ (C1 𝑓1 (𝑥) + 𝐶2 𝑓2 (𝑥)) 𝑒 𝑖𝜏𝑥 𝑑𝑥 ∫ −∞ Bu esa xossani isbotlaydi. 2.xossa: Bir jinslilik xossasi. Agar 𝑓(𝑥) → 𝐹(𝜎) bo'lsa, u holda 1 𝜎 𝑓(𝑎𝑥) → |𝑎| 𝐹 ( ), a≠ 𝑜 𝑎 bo'ladi. Isbot: 𝑓(𝑎𝑥) funksiyaning Fure almashtirishini yozamiz va 𝑎𝑥 = 𝑡 almashtirish bajaramiz. 𝐹(𝑎𝑥) → +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 −∞ +∞ 𝜎 1 1 1 𝜎 𝑓(𝑎𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑖 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹( ) |𝑎| √2𝜋 −∞ |𝑎| 𝑎 3.xossa: Agar 𝑓(𝑥) → 𝐹(𝜎) bo’lsa, u holda 𝑓(𝑥 − 𝑎) → 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝐹(𝜎) bo′ladi. Isbot: 𝐹(𝑥 − 𝑎) → +∞ 1 √2𝜋 = = 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑥 = | ∫ −∞ 1 √2𝜋 1 √2𝜋 𝑥−𝑎 =𝑡 | 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 +∞ ∫ 𝑒 𝑖𝜎(𝑡+𝑎) 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 −∞ +∞ ∫ 𝑒 𝑖𝜎𝑎 𝑖𝜎𝑡 𝑒 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒 −∞ 4.xossa: Agar 𝑓(𝑥) → 𝐹(𝜎) bo’lsa u holda: 19 𝑖𝜎𝑎 1 √2𝜋 +∞ ∫ −∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒 𝑖𝜎𝑎 𝐹(𝜎). 1 a) 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 → [𝐹(𝜎 − 𝜔) + 𝐹(𝜎 + 𝜔)] 2 b) 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥 → 1 2𝑖 [𝐹(𝜎 − 𝜔) − 𝐹(𝜎 + 𝜔)]. Isbot: a) cosωx ni Eyler formulasidan foydalanib yozamiz: f(x)cosωx→ 𝑒 𝑖𝜔𝑥 +𝑒 −𝑖𝜔𝑥 f(x) 2 +∞ 𝑖𝜎𝑥 1 𝑒 ∫ −∞ 2𝜋 √ +∞ 1 ∫ 2 √2𝜋 −∞ 1 𝑑𝑥= [ 1 2 f(x) cosωxdx= f(x)𝑒 𝑖(𝜎−𝜔)𝑥 𝑑𝑥 + +∞ 𝑖𝜎𝑥 1 𝑒 ∫ −∞ 2𝜋 √ +∞ 1 ∫ −∞ 2𝜋 √ f(x)𝑒 𝑖(𝜎+𝜔)𝑥 𝑑𝑥] = [𝐹(𝜎 − 𝜔) + 𝐹(𝜎 + 𝜔)]. b) xossaning isboti ham shunga o’xshash isbotlanadi. 5.xossa.Agar 𝑓(𝑥) → 𝐹(𝜎) bo’lsa u holda 𝑓 ′ (𝑥) → −𝑖𝜎𝐹(𝜎) bo’ladi. Isbot: Fure almashtirishining aniqlanishiga ko’ra 𝑓 ′ (𝑥) ning Fure almashtirishi 𝑓 ′ (𝑥) → +∞ 𝑖𝜎𝑥 𝑒 ∫ √2𝜋 −∞ 1 𝑓 𝑢 = 𝑒 𝑖𝜎𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑖𝜎𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 =| |= 𝑑𝑣 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑓(𝑥) +∞ 1 √ ′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑥)|+∞ − 𝑖𝜎 ∫−∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ). (𝑒 −∞ 2𝜋 𝑓(𝑥) funksiyani aniqlanishiga ko’ra butun sonlar o’qida absalut integirallanuvchi bo’lgani uchun 𝑓(±∞) = 0 bunda esa 𝑓’(𝑥) → 𝑖𝜎 1 √2𝜋 +∞ ∫ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑖𝜎𝑠(𝜎). −∞ 5.1xossa. Agar 𝑓(𝑥) → 𝐹(𝜎) va 𝑓(±∞) =. . = 𝑓 (𝑘−1) (±∞) = 0 bo’lsa u holda, 𝑓 (𝑘) (𝑥) → (𝑖𝜎)𝑘 𝐹(𝜎) bo’ladi. 6.xossa. O’zaro bir qiymatlilik xossasi.Furening kosinus va sinus almashtirishlari uchun o’zaro bir qiymatlilik xossasini keltirib o’tamiz. Agar Agar 𝑐 𝑐 𝑓(𝑥) → 𝐹𝑐 (𝜎) bo′ lsa, u holda 𝐹𝑐 (𝑥) → 𝑓(𝜎)bo′ladi 𝑠 𝑠 𝑓(𝑥) → 𝐹𝑠 (𝜎)bo′ lsa u holda 𝐹𝑠 (𝑥) → 𝑓(𝜎)bo′ladi. 1.3.Teskari Fure almashtirishi. Furening teskari almashtirish ta’rifi. Faraz qilaylik f(x)ϵL va uning L dagi Furealmashtirishi F(σ)bo′ lsin. Umuman 20 olganda F(𝜎) Lda yotmasligi ham mumkin. Misol: Quydagi f(x) funksiyani L sinfda Fure almashtirishni toping: 𝑒 −𝑥 , 𝑥 ≥ 0 F(x)={ 0, 𝑥 < 0 Yechim: Bu funksiyani Fure almashtirishini topish uchun (I.2.2)formuladan foydalanamiz ya’ni 1 +∞ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥(𝐼. 2.2) √2π −∞ F(𝜎) Funksiyaning grafigini yasaymiz . Chizma: 1.1.1 𝑒 −𝑥 , 𝑥 ≥ 0 F(x)={ funksiyaning grafigi 0, 𝑥 < 0 Berligan funksiya barcha sonlar o’qida absalut integirallanuvchidir. +∞ ∫ 0 +∞ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 = ∫ 0𝑑𝑥 + ∫ −∞ −∞ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 −𝑥 |+∞ −∞ = 1 0 F(x)funksiya butun sonlar o’qida bo’lakli silliq bo’ladi; 0, 𝑥𝜖(−∞; 0) 𝑓 ′ (x) ={ −𝑥 −𝑒 , 𝑥𝜖(0, +∞) (I.2.2) formuladan: 1 +∞ 1 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = √2π −∞ F(𝜎)= 1 𝑖𝜎−1 ∞ 𝑒 (𝑖𝜎−1)𝑥 |𝑜 = 1 √2π ∗ +∞ ∫ √2π 0 𝑒 −𝑥 ∗ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 1 ∞ 1 (𝑖𝜎−1) F(𝜎)funksiyaning modulini hisoblaymiz. F(𝜎)= 1 √2𝜋|1−𝑖𝜎| = 1 √2𝐹(1+𝜎 2 ) 21 1 1 ∫ 𝑒 (𝑖𝜎−1) 𝑑𝑥 = √2π ∗ √2π 0 ∾ |𝜎| = |𝜎 | −1 Demak, |F(𝜎)| funksiya |𝜎 | −1 tartib bilan cheksizga intiladi va integirali mavjud bo’lmaydi. Shuning uchun bu Furening teskari almashtirishni to’g’ridan-to’g’ri qo’llay olmaymiz Furening teskari almashtirishini qo’llash uchun xosmas integiralning bo’sh qiymat formulasidan foydalanamiz Ma’lumki sonlar o’qida integirallanuvchi Q(𝜎) funksiya n ko′ rinishda aniqlanadi bu yerda N, N1 lar lim∫n Q(𝜎)d𝜎 bir − biridan bog ′ liqsiz ravishda ∞ ga intiladi. N Agar bu limit mavjud bo’lmasa, lim∫−N Q(𝜎)d𝜎 limit mavjud bo′ ladi. Bu holda +∞ lim∫−∞ Q(σ)d𝜎 xosmas integiral Koshining bo′ sh qiymati manodagi integral deb yuritiladi; Misol: Quyidagi Funksiyaning Fure almashtirishni toping 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥, |𝑥| < 𝑎 F(x){ 0, |𝑥| ≥ 𝑎 Yechim: Ko’rinib turibdiki f(x) fuksiya R da aniqlangan va absalyut integirallanivchi: +∞ 𝑎 𝑎 I=∫−∞ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = ∫−𝑎|𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥|𝑑𝑥 = 2 ∫0 |𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥|𝑑𝑥 Hosil bo’lgan integiralni tahlil qilamiz. Y(x)=cosax; a>0 y 1 x -1 Chizma-1.1.2 Y(x)=cosax; 𝜋 2𝑎 𝜋 𝑎 3𝜋 2𝑎 a>0 funksiya grafigi 22 2𝜋 𝑎 6𝑎 2𝑎 1) Faraz qilaylik aϵ(0; 𝜋 2𝑎 a ) a 2 2 a 𝑎 I =2∫0 |cosax|dx = 2 ∫0 cosaxdx = sinax |𝑎0 = 𝑠𝑖𝑛2 Agar a → +0 bo′lsa 2𝑠𝑖𝑛𝑎2 𝑠𝑖𝑛𝑎2 lim = 2 lim 𝑎=0 𝑎→+0 𝑎→+0 𝑎 2 𝑎 Chekli son 2) aϵ( 𝜋 , 3𝜋 2𝑎 2𝑎 ) π 2a a I=2∫0 |cosax|dx 2 𝑎 − 2 𝑎 a 2 2a a 𝜋 2𝑎 2 = 2 ∫0 cosaxdx = − 2 ∫π cosaxdx = sinax |0 − sinax |𝑎π = 4 2 2 𝑎 𝑎 𝑎 a 2a (𝑠𝑖𝑛𝑎2 − 1) = − 𝑠𝑖𝑛𝑎2 = (2-sin𝑎2 ) 3) aϵ( 3𝜋 5𝜋 , 2𝑎 2𝑎 a I=2∫0 |cosax|dx ) 3π 2a π 2a π 2a a 2 4 2 2a a a a = ∫0 cosaxdx − 2 ∫ coaxdx + 2 ∫3π cosaxdx = + + (sina2 + 8 2 2 a a a 1) = + sina2 = (4 + sina2 ) a –chekli son bo’lganligi uchun integral chekli qiymat qabul qiladi.Bu esa f(x)funksiyaning butun sonlar o’qida absalut intgirallanuvchi ekanligi kelib chiqadi . Endi Funksiyaning Fure almashtirishini topamiz: F(𝜎) +∞ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 ∫ √2π −∞ 1 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑖(𝜏−𝑎) − 1 2√2π 2√2𝜋 ( 2 𝑒 𝑖(𝑎 +𝜎𝑎) 𝜎+𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 ∫ √2π 0 1 𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑖𝜏𝑥 +𝑒 −𝑖𝜎𝑥 ∫ 2 √2π 0 1 1 ∗ 1 ∫0 (𝑒 𝑖(𝑎+𝜎)𝑥 + 𝑒 𝑖(𝑎−𝜎)𝑥 )𝑑𝑥 = 2√2π (𝑖(𝜎+𝑎) 𝑒 𝑖(𝑎+𝜎)𝑥 + 𝑒 𝑖(𝑎−𝜎)𝑥 ) |𝑎0 = − 𝑖 = + 𝑖 2√ 2 𝑒 𝑖(𝑎 −𝜎𝑎) 𝜎−𝑎 1 1 ( (𝑒 𝑖(𝑎+𝜎)𝑎 − 1) + 𝜎−𝑎 (𝑒 𝑖(𝜎−𝑎)𝑎 − 1)) = 2𝜋 𝑎+𝜏 − 2𝜎 𝜎 2 −𝑎2 ) Misol: quyidagi funksiyaning Fure almashtirishini toping. 𝑥 2 |𝑥| ≤ 1 f(x){1 , |<|𝑥 ∣≤ 2 2 0, |𝑥| > 2 23 Yechim:Berilgan funksiyaning [-2;2]kesma tashqarisidan nolga teng ya’ni Fure funksiyasidir Eslatma! Kesmaning tashqarisidagi barcha nuqtada nolga teng bo’lgan funksiyalarga limit funksiya deyiladi) y=f(x)funksiyani tekislikda tasvirlaymiz: y 1 2 -2 -1 1 − 2 x 1 2 -1 Chizma:1.1.3 ) y=f(x) funksiyani tekislikda tasviri (I 2.2) integiraldan formuladan foydalanamiz: +∞ 1 1 2 ∫ f(x)eiσx dx √2π ∫−2 f(x)eiσx dx √2π −∞ F(𝜎)= f(x)funksiya siniq chiziqdan iborat bo′ lganligi uchun[−2; 2]kesmani bo′laklarga bo’lib integirallaymiz . [-2;2]=[-2;-1]∪ [−1; 1] ∪ [1; 2] F(σ)= −1 1 1 1 𝑥 21 −1 1 2 1 (𝐽 + 𝐽2 + 𝑒 −𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 + ∫−1 𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 + ∫1 𝑒 𝑖σ𝑥 dx)= ∫ −2 2π 2 2 2 √ √2π 1 𝐽3 )𝐽1 + 𝐽3 = ∫−2 𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 + ∫1 𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 = 2 1 2𝑖σ −1 𝑒 𝑖σ𝑥 ∫−2 + 1 2𝑖σ 2 1 𝑒 𝑖σ𝑥 ∫1 2𝑖σ (𝑒 −𝑖σ − 𝑒 −𝑖2σ + 𝑒 𝑖2𝜋 − 𝑒 𝑖σ ) = 𝑒 −𝑖2𝜋 − (𝑒 𝑖σ − 𝑒 −𝑖σ )) = 1 2𝑖σ (𝑒 𝑖2𝜋 − 𝑠𝑖𝑛2σ−𝑠𝑖𝑛σ σ Keyingi integiralni hisoblashda Eyler formulasidan foydalanamiz. 1 𝑥 1 1 𝑖 1 𝐽2 = ∫−1 𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 = ∫−1 𝑥(𝑐𝑜𝑠σ𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛σ𝑥)𝑑𝑥 ∫−1 𝑥𝑠𝑖𝑛σ𝑥𝑑𝑥 => 2 2 2 24 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑥 1 1 1 | | = (− 𝑐𝑜𝑠σ𝑥 |−1 + ∫ 𝑐𝑜𝑠σ𝑥𝑑𝑥 ) 1 2 σ 𝜎 −1 𝑠𝑖𝑛σ𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣, 𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠σ 𝑣 𝑖 1 1 (−𝑐𝑜𝑠σ − 𝑐𝑜𝑠σ + 2 𝑠𝑖𝑛σ + 2 𝑠𝑖𝑛σ) 2σ σ 𝜏 𝑖 2 𝑠𝑖𝑛σ − σ𝑐𝑜𝑠σ = (1 − 2𝑐𝑜𝑠σ + 𝑠𝑖𝑛σ) = 𝑖 2σ σ σ2 = Bu yerda 1 ∫ xcosσxdx = 0 −1 tenglikdan foydalanib demak bergan funksiyaningFure almashtirishi. F(σ)= 1 𝑠𝑖𝑛2σ−𝑠𝑖𝑛σ √2𝜋 ( σ +𝑖 𝑠𝑖𝑛σ−σ𝑐𝑜𝑠σ σ2 ) Biz o’rganayotgan masalalardagi f(x)funksiyaning Fure almashtirishi yaxshigina fizikaviy ahamiyatga ega. F(σ)funksiyaF(x)ningspektralxarakteristikasi, |F(σ)|esa f(x)ning amplitudaviy spektori, argF(x)esa f(x)fazoviy spektori deyiladi. Misol:f(x)funksiyaning amplitudaviy speklari toping bu yerda. 1,0 < 𝑥 ≤ 1 F(x)={ 0, 𝑅/(0,1] Yechim:f(x)funksiyani Fure almashtirishini topish uchun (I,2.2) formuladan foydalanamiz. F(𝜎)= 1 +∞ 1 1 1 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 = √2𝜋 ∫0 𝑒 𝑖σ𝑥 𝑑𝑥 = 𝑖√2𝜋𝜎 𝑒 𝑖𝜎𝑥 |10 = 𝑖√2𝜋𝑣 (𝑒 𝑖σ − 1) = √2𝜋 −∞ 1 𝑖 √2𝜋σ (𝑐𝑜𝑠𝜎 − 1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛σ) ≠ Shuning uchun |𝐹(σ)| = = 1 √2𝜋σ √𝑐𝑜𝑠 2 σ − 2𝑐𝑜𝑠σ + 1 + 𝑠𝑖𝑛2 σ = 1 − 𝑐𝑜𝑠σ 2 1 σ √ √ ∗ ∗ (𝑠𝑖𝑛 ) 2 𝜋 |σ| 2 √𝜋|σ| √2 2 1 𝜋 |𝐹 (𝜏) = √ ∗ | 𝑠𝑖𝑛 𝜋 |σ| 2 Amplitudaviy spektor 25 1 √2𝜋σ √8 − 2𝑠𝑖𝑛σ 2 1 𝜋 σ| 0≤ |𝐹(𝛼)| ≤ √ ∗ | tengsizlikni qanoatlantiradi. Endi ko’rib chiqadigan masalalarimiz bevosita fizika va informatika bilan bog’liqdir . Misol:Uchburchak implusining Fure almashtirishini aniqlang va uning amplitudaviy spektorini yasang. 1− f(x)= { 0, 2|𝑥| 𝜏 , |𝑥| ≤ |𝑥| > 𝜏 2 𝜏 2 Yechim:Berilgan funksiyani 𝜏 = 4 bo’lgan holda grafigini yasaymiz ,hamda Fure almashtirishini topamiz: Grafimiz 𝜏=4 uchun 1.5 1 0.5 -5 o 2.5 5 Chizma:1.1.4 funksiyani 𝜏 = 4 bo’lgan holda grafigi F(𝜎)= +∞ ∫ √2π −∞ 2|𝑥| 𝑖𝜎𝑥 𝜏 )𝑒 1 √ ) sin𝜎𝑥𝑑𝑥 = 21 𝜏 2 dx = (cos𝜎𝑥+isin𝜎𝑥)dx= 2|𝑥| 𝜏 f(x)e iσx ∫ (1 − 𝜋𝜎 𝑜 i 𝜏 2 𝜏 −2 1 √2π 1 √2π ∫ (1 − √2π 𝜏 2 𝜏 −2 ∫ (1 − 𝜏 2 𝜏 −2 ∫ (1 − 2|𝑥| 𝜏 21 𝜏 𝜋𝜎 𝜏 √2π ) 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫𝑜 ((1 − 26 √2π i 𝜏 2 ) cos𝜎𝑥𝑑𝑥 = √ ∫𝑜 (1 − 𝜋 2|𝑥| ) 𝑑(sin𝜎𝑥) = √ 𝑑𝑥 = 1 2|𝑥| 2|𝑥| 𝜏 )𝑒 𝑖𝜎𝑥 2|𝑥| 𝜏 𝜏 2 𝜏 −2 ∫ (1 − 𝜏 2 𝜏 −2 ∫ (1 − ) cos𝜎𝑥𝑑𝑥 = 𝜏 2|𝑥| 𝜏 2 𝜏 21 𝜏 2 2 2 2 ) 𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥 ∫𝑂 + ∫𝑂 𝑠𝑖𝑛𝜎𝑥𝑑𝑥) = √ (− 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑥| ∫0 ) √ (1 − 𝜋 𝜋𝜎 𝜏𝜎 𝜋 𝜏𝜎 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜎𝜏 2 )= 2 2 2 𝜏𝜎 √ 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝜋 𝜏𝜎 2 4 2 4 𝜏𝜎 = 2 2 𝜏 𝑠𝑖𝑛 ( 4 ) √ 𝜋 4 (𝜏𝜎)2 =√ 2𝜏 𝜋4 𝜎𝜏 2 (𝑠𝑖𝑛 ( )) 4 4 𝜏 = 4 da amplitudaviy spektorning signali 2 |F(𝜎)|=√ (𝑠𝑖𝑛𝑐𝜎)2 𝜋 Chizma:1.1.5 𝑠 = 4 da amplitudaviy spektorning signali Fure almashtirishini teskarilash 1.3.1-ta’rif.f(x) funksiya x=𝑥𝑜 nuqtada Dini shartini qanoatlantiradi deyiladi,agar 𝜑(𝑢) = 𝑓(𝑥𝑜+𝑢 ) − 𝑓(𝑥𝑜 ) 𝑢 Funksiya 𝛿 > 𝑜 larda L(-𝛿, 𝛿)sinfga tegishli bo’lsa 1.3.1-teorema. Agar f(x)𝜖𝐿 bo’lib va ba’zi x nuqtalarda Dini shartini qanoatlantirsa ,u holda bu nuqtalarda. +∞ ∫ −∞ 2π √ f(x)= 1 F(σ) e−iσx dx tenglik o’rinli bo’lib, shuning bilan birgalikda qaralayotgan integral bosh qiymat ma’nosida bo’ladi. 27 Isbot: Agar bo’lsa,u f(x)𝜖𝐿 holda Riman–Lebeg teoremasiga ko’ra F(σ)=Vf(x)funksiya chegaralangan butun sonlar o’qida uzluksiz va lim 𝐹(𝜎) = 𝑜 |𝜎|→∞ munosabatni qanoatlantiradi.Quyidagi 𝑓𝑁 (𝑥) = +N 1 ∫ F(σ)e −iσx dσ √2π −N Tenglik bilan aniqlanuvchi 𝑓𝑁 (𝑥)funksiyani qaraymiz, bu yerda N-ayrim musbat son . Bu tenglikka F(σ)funksiyaning qiymatini qo’yamiz va quyidagi munosabatni olamiz 𝑓𝑁 (𝑥)= 𝑁 1 +∞ ∫ 𝑑𝜎 ∫−∞ 𝑓(𝑢) 𝑒 𝑖𝜎(𝑢−𝑥) 𝑠𝑥. 2𝜋 −𝑁 Bu yerda biz xosmas integralni 𝜎 bo’yicha integrallashimiz mumkin , yoki |𝑓 (𝑢)𝑒 𝑖𝜎(𝑢−𝑥) | ≤ |𝑓(𝑢)| Baho o’rinli bo’lsa ,xosmas integral 𝜎 parameter bo’yicha tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.Fubini teoremasidan foydalanib integrallash tartibini o’rgatamiz: 𝑓𝑁 (𝑥) = 1 +N +∞ ∫ d(σ) ∫−∞ 𝑓(𝑥) e −iσ(u−x) du = 2𝜋 −N +∞ +∞ 𝑁 𝜎=𝑁 1 𝑒 𝑖𝜎(𝑢−𝑥) 𝑖𝜎(𝑢−𝑥) ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 ∫ 𝑒 𝑑𝜎 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 | 2𝜋 𝑖𝜎(𝑢 − 𝑥) 𝜎=−𝑁 −∞ −𝑁 −∞ +∞ +∞ 1 𝑒 𝑖𝑁(𝑢−𝑥) − 𝑒 𝑖𝑁(𝑢−𝑥) 1 𝑠𝑖𝑛𝑁(𝑢 − 𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢. 2𝜋 𝑖𝜎(𝑢 − 𝑥) 2𝜋 𝑢−𝑥 −∞ −∞ Hosil bo’lgan integralda t=u-x almashtirish bajarib ,uni quyidagi ko’rinishda yozamiz: 𝑓𝑁 (𝑥) = 1 +∞ ∫ 𝑓(𝑥 2𝜋 −∞ + 𝑡) 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑡 𝑑𝑡 (1.3 1) Xosmas integrallarni integrallash kursidan ma’lum bo’lgan ∞ sin 𝛼𝑥𝑑𝑥 ∫0 𝑥 𝜋 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝛼 2 (1.3.2) Formuladan foydalanamiz, bu yerda 1, 𝛼 > 0 𝑠𝑖𝑔𝑛𝛼 = { 0, 𝛼 = 0 −1, 𝛼 < 0 28 (1.3.2 ) formuladan foydalanib quyidagi tenglikni olamiz +∞ sin 𝑁𝑡 ∫−∞ 𝑡 0 = ∫−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑡 −∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑑 + ∫0 𝑡 ∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 2∫0 +∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑑𝑡 = ∫0 𝑡 ∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑑𝑡 + ∫0 𝑡 ∞ 𝑠𝑖𝑛𝑁𝑡 𝑑𝑡+∫0 𝑡 - 𝜋 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑛𝑁 = 𝜋 𝑡 2 Agar bu ifodani 𝜋 ga bo’lib f(x) ikkala tomonini f(x) ga ko’paytirsak , u holda f(x) ni quyidagi integral ko’rinishini oladi. +∞ 1 𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝜋 sin 𝑁𝑡 𝑡 𝑑𝑡 (1.3.3) Keyingi bosqichda , x nuqtada Dini shartini qanoatlantiruvchi lim 𝑓𝑁 (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑛→∞ Munosabatni isbotlashdan iborat bo’ladi. Agar shu munosabatni qura olsak, u holda x nuqtada bo’lib qiymat ma’nosida teskari fure almashtirish mavjud bo’lib,u f(n) bilan mos tushadi.(1.4.1)dan (1.4.3) ni ayiramiz. 1 +∞ sin 𝑁𝑡 𝑓𝑁 (𝑥) − 𝑓(𝑥) = ∫ [𝑓(𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑡 𝜋 −∞ 𝑡 Va integralni 3 qismga ajratamiz. 1 𝑓𝑁 (𝑥) − 𝑓(𝑥) = ∫|𝑡|≤𝐴 𝜋 𝑓(𝑥+𝑡)+𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝜋 𝑡 1 sin 𝑁𝑡𝑑𝑡 + ∫|𝑡|>𝐴 𝜋 sin 𝑁𝑡 ∫|𝑡|>𝐴 𝑡 𝑑𝑡. 𝑓(𝑥+𝑡) 𝑡 sin 𝑁𝑡𝑑𝑡 − (1.3.4) ∀ 𝜀 > 0ni berilgan bo’lsin, u holda (1.3.4) tenglikdagi o’ng tomondan ikkinchi yig’indining moduli ∃ 𝐴 (𝐴 > 1) larda ε 3 dan kichik qilib olish mumkin , yoki |t≥ 1| uchun | sin 𝑁𝑡 |≤1 𝑡 tengsizlik o’rinli bo’ladi, t argument bo’yicha esa f(x + t)ϵL bo’ladi.(1.3.4) tenglikdagi o’ng tomonda joylashgan uchinchi ifodani esa modul jihatdan bo’lgan A sonlarni tanlash mumkin, chunki 𝑁 ≥ 1 da +∞ ∫ −∞ sin 𝑁𝑡 𝑑𝑡 𝑡 Xosmas integral tekis yaqinlashuvchi Dini shartidan quyidagi 29 𝜀 3 dan kichik 𝑓(𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥) , |𝑡| ≤ 𝐴 ѱ(𝑥) = { 𝑡 0 , |𝑡| > 𝐴 funksiya L sinfga tegishli bo’ladi, u holda Riman – Lebeg teoremasidan +∞ lim ∫ 𝑛→∞ −∞ ѱ(𝑡) sin 𝑁𝑡𝑑𝑡 Munosabat ko’rinadi va n sonlar tanlab olish yordamida (1.3.4) tenglikni o’ng 𝜀 tomonidagi birinchi yig’indini modul jihatdan dan kichik qilib olamiz, shunday qilib, 3 ∀𝜀 > 0 da ∃ 𝑁0 son topiladiki undan kata ∀ 𝑁 > 𝑁0 lar uchun |𝑓𝑁 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀 Shart bajariladi va uni bevosita lim 𝑓𝑁 (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑛→∞ Munosabat bilan yozamiz.Teorema isbotlandi. Quyida yana bitta Fure almashtirishini teskarilashga doir natijani isbotsiz keltirib o’tamiz. 1.3.2-ta’rif. F(x) funksiya [a,b] kesmada chegaralangan variatsiyaga ega deyiladi, agar [a,b] kesmani barcha mumkin bo’lgan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥𝑛 = 𝑏 bo’linishlarda 𝑛−1 𝑠𝑢𝑝 ∑ |𝑓(𝑥𝑘+1 ) − 𝑓(𝑘) | 𝑠=0 1.3.2-teorema. Agar 𝑓(𝑥)𝜖𝐿va𝛿 > 0, [ 𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿] kesmada variatsiyasi chegaralangan bo’lsa, u holda 𝑓(𝑥0 + 0) + 𝑓(𝑥0 − 0) 1 +∞ = ∫ 𝐹(𝜎)𝑒 −𝑖𝑥0 𝑑𝜎, 2 2𝜋 −∞ Tenglik o’rinli bo’lib, shu bilan birga integral bosh qiymat ma’nosida bo’ladi. Xususi holda, agar f(x) funksiya 𝑥 − 𝑥0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda tengklikning chap tomonini 𝑓(𝑥0 ) ga almashtirish mumkin, ya’ni 30 1 +∞ 𝑓(𝑥0 ) = ∫ 𝐹(𝜎) 𝑒 −𝑖𝑥0 𝑑𝜎; 2𝜋 −∞ Misol: Agar 𝐹(𝜎) funksiya f(x) funksiyaniong Fure almashtirishi, bo’lsa, u holda quyidagi funksiyalar uchun 𝐹(𝜎) larni ko’rinishni aniqlang. 1) f(x) 2) f(x+a) 3) f(x+a)+f(x-a) 4) 2f(x)-f(x-a)-f(x+a) 5) f(ax+b) 6) 𝑒 𝑖𝑏𝑥 f(ax) 7) ) f(x) axbx 8) f(ax+c) sin bx Eslatma! a>0, b>0 1)f(x ) : ̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥) Yechim: ф(𝜎)= 1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 dx=√2𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑐 −𝑖𝜎𝑥 dx={√2𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖(−𝜎)𝑥 𝑑𝑥} = √2𝜋 −∞ 𝐹(−𝜎) Demak f(x) funksiyaning Fure almashtirishi 𝐹 𝐹(−𝜎) f(x)→𝐹(−𝜎) 2)f 𝜔: 𝑓(𝑥 + 𝑎) Yechim : Ф(𝜎)= +∞ 1 𝑓(𝑥 ∫ −∞ 2𝜋 √ 1 + 𝑎) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = +∞ 1 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑖𝜎(𝑡−𝑎) 𝑑𝑡 ∫ −∞ 2𝜋 √ +∞ ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑖𝜎𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑖𝜎𝑎 𝐹(𝜎) √2𝜋 −∞ 𝐹 F(x+a)→ 𝑒 −𝑖𝜎𝑥 𝐹(𝜎). 3) f(x): f(x+a)+f (x-a) Yechim: 31 = Ф (𝜎)= +∞ 1 +∞ 1 ∫ 𝑓(𝑥 + 𝑎) + 𝑓(𝑥 − 𝑎) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = √2𝜋 ∫−∞ 𝑓(𝑥 + 𝑎) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 + √2𝜋 −∞ +∞ 𝑓(𝑥 ∫ √2𝜋 −∞ 1 𝑒 𝑖𝜎𝑎 +𝑒 −𝑖𝜎𝑎 − 𝑎) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑖𝜎𝑎 𝐹(𝜎) + 𝑒 𝑖𝜎𝑎 𝐹(𝜎) = 2 2 . 𝐹(𝜎) = 2𝑐𝑜𝑠(𝜎𝑎)𝐹(𝜎) 𝐹 f(x+a)+f(x-a) → 2𝑐𝑜𝑠(𝜎𝑎)𝐹(𝜎). 4) f(x) : 2 f(x)- f(x-a)-f(x+a)= 2 f(x) – (f(x-a) + f(x+a)). Yechim : f (x ) ning Fure almashtirilishi va 3), 5) lardan foydalanib, Ф (𝜎)= +∞ 1 (2𝑓(𝑥) − ∫ −∞ 2𝜋 √ 𝑓(𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑥 − 𝑎))𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 1 − cos(𝜎𝑎) 𝐹𝜎 2 = 2𝐹(𝜎) − 2 cos 𝜏𝑢 𝐹(𝜎) = 2(1 − cos(𝜎𝑎))𝐹(𝜎) = 4 = 4 sin2 𝜎𝑎 𝐹(𝜎) 2 Demak, 𝐹 2𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − 𝑎) − 𝑓(𝑥 + 𝑎) → 4 sin2 𝜎𝑎 𝐹(𝜎) 2 5) f(x):f(ax+b) Yechim: Ф(𝜎) = = +∞ 1 ∫ √2𝜋 1 𝑎√2𝜋 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 𝑖𝜎𝑥 −∞ 𝑏 +∞ ∫ _∞ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 𝑡 −𝑏 1 𝑑𝑥 = | 𝑥= 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡| 𝑎 𝑎 𝑓(𝑡)𝑒 𝑡−𝑏 𝑖𝜎 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑖𝜎𝑎 𝑎√2𝜋 +∞ ∫ 𝜎𝑡 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 𝑎 𝑑𝑡 −∞ 𝑡−𝑏 +∞ 𝑒 𝑖𝜎 𝑎 1 1 𝑏𝜎 𝜎 = ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒 𝑖𝜎𝑥 = 𝑒 𝑖𝜎 𝑎 𝐹( ) 𝑎 √2𝜋 −∞ 𝑎 𝑎 𝑏𝜏 𝐹 1 𝜎 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) → 𝑒 𝑖𝜏 𝑎 𝐹( ) 𝑎 𝑎 6) 𝑓(𝑥): 𝑒 𝑖𝑏𝑥 f(ax) 32 Yechim: Ф(𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝑒 𝑖𝑏𝑥 𝑓(𝑎𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 1 √2𝜋 +∞ 𝑒 𝑖(𝑏+𝜎)𝑥 𝑓(𝑎𝑥)𝑑𝑥 ∫ −∞ +∞ 𝑏+𝜎 𝑎 1 1 1 𝑏+𝜎 = |𝑥 = , 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡| == ∫ 𝑒 𝑖( 𝑎 )𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹( ) 𝑡 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎√2𝜋 −∞ 𝐹 1 𝑏+𝜎 𝑒 𝑖𝑏𝑥 𝑓(𝑎𝑥) → 𝐹( ) 𝑎 𝑎 7) f(x):f(x)cos⁡bx Yechim: 𝑓(𝑥) cos 𝑏𝑥ni Eyler formulsidan foydalanib quyidagicha yozamiz. 𝑒 𝑖𝑏𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑏𝑥 𝑓(𝑥) cos 𝑏𝑥 = 𝑓(𝑥) 2 Ф(𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 𝑓(𝑥) cos 𝑏𝑥 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = ∫ = = −∞ +∞ 1 √2𝜋 ∫ −∞ 1 𝑓(𝑥) (𝑒 𝑖𝑏𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑏𝑥 )𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 2 +∞ 1 2√2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 (𝑏+𝜎)𝑥 −∞ 𝑑𝑥 + 1 2√2𝜋 +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 (𝑏−𝜎)𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 1 1 𝐹(𝑏 + 𝜎) + 𝐹(𝑏 − 𝜎) = 𝐹(𝑏 + 𝜎) + 𝐹(𝜎 − 𝑏) = ; 2 2 2 Demak, 𝐹 𝑓(𝑥) cos 𝑏𝑥 → 𝐹(𝑠 + 𝜎) + 𝐹(𝑏 − 𝜎) 2 8) 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) sin 𝑏𝑥 Yechim: 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) sin 𝑏𝑥ni Eyler formulsidan foydalanib quyidagicha yozamiz. 𝑒 𝑖𝑏𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑏𝑥 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) sin 𝑏𝑥 = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) 2𝑖 Ф(𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) sin 𝑏𝑥 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 ∫ −∞ +∞ =∫ −∞ 𝑒 𝑖𝑏𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑏𝑥 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) ( ) 𝑒 𝑑𝑥 = 2𝑖 33 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝑡 +∞ 1 𝑖(𝜎+𝑏𝑥) 𝑖(𝜎−𝑏)𝑥 𝑡−𝑐 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐)(𝑒 + 𝑒 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡| = )𝑑𝑥 | ∫ 𝑥= , 2𝑖 √2𝜋 −∞ 𝑎 1 𝑎 +∞ 1 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 ∫ −∞ 2𝑖 √2𝜋 𝜎+𝑏 (𝑡−𝑐)𝑥 𝑎 +∞ 1 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 [ ∫ −∞ 2𝑎𝑖 √2𝜋 1 2𝑎𝑖 𝑒 𝑒 −𝑖 −𝑖 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 1 [𝑒 −𝑖 2𝑎𝑖 𝜎+𝑏 𝑡 𝑎 1 𝑎 𝑒 −𝑖 𝑑𝑡 − 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 +∞ 1 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 ∫ −∞ 2𝑖 √2𝜋 +∞ 𝑑𝑡 − ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 𝜎+𝑏 𝜎+𝑏 +∞ 𝑖 𝑡 −𝑖 𝑎 𝑑𝑡𝑒 𝑎 𝑐 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 √2𝜋 −∞ 1 +∞ 1 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖 ∫ −∞ 2𝜋 √ 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 𝜎+𝑏 𝐹( 𝑎 𝜎+𝑏 𝑡 𝑎 ) − 𝑒 −𝑖 𝑑𝑡 = 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 1 𝜎−𝑏 𝐹( 𝑎 𝜎+𝑏 𝑡 𝑎 𝑒 −𝑖 1 𝑎 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡] = − 𝜎+𝑏 [𝐹 ( 2𝑎𝑖 𝜎−𝑏 (𝑡−𝑐)𝑥 𝑎 𝑎 ) 𝑒 −𝑖 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 𝜎−𝑏 −𝐹( 𝑎 ) 𝑒 −𝑖 𝜎+𝑏 𝑐 𝑎 ]= )]; Demak 𝐹 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑐) sin 𝑏𝑥 → 𝜎+𝑏 𝜎+𝑏 1 𝜎+𝑏 𝜎−𝑏 [𝑒 −𝑖 𝑎 𝑐 𝐹 ( ) − 𝑒 −𝑖 𝑎 𝑐 𝐹 ( )] 2𝑎𝑖 𝑎 𝑎 Xulosa I-bob L(−𝜋, 𝜋)sinfda Fure almashtirishi . Fure almashtirishining xossalari deb nomlanadi I-bob 3 paragrifdan iborat L(−𝜋, 𝜋)sinfda Fure almashtirishi,bo’lib unda L(−𝜋𝜇, 𝜋𝜇)funksiyalar sinfi uchun Fure qatori va L sinfdan olingan funksiyaning Fure alamshtirishi haqida ma’lumot berilgan 2-paragrifda Fure almashtirishning xossalari Furening kosinus va sinus almashtirishlari haqida umumiy tushunchalar berilgan 3-paragrifda esa teskari Fure almashtirishlari haqida bir qancha misollar keltirilgan bo’lib unda Fure almashtirishini Teskarilashga doir misollar ,t’tif tioremalar ularning isbotlari keltirilgan . 34 II-bob 𝑳𝟐 sinfda Fure almashtirishi Plansherov nazariyasi Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi. 2.1.𝐋𝟐 𝐬𝐢𝐧𝐟𝐝𝐚 𝐅𝐮𝐫𝐞 𝐚𝐥𝐦𝐚𝐬𝐡𝐭𝐢𝐫𝐢𝐬𝐡𝐥𝐚𝐫𝐢 . Plansherel nazariyasi. 2.1.1 L2 sinf haqida Butun sonlar o’qida aniqlangan va o’lchovli haqiqiy yoki komplekis qiymatli haqiqiy argumentli f(x)funksiya L2 sinfga qarashli bo′ ladi, agar +∞ |𝑓(𝑥)| 2 𝑑𝑥 < ∞ ∫ −∞ Tenglik o’rinli bo’lsa.Umuman olganda integiral chekli bo’lishi kerak.Aniqlangan L2 sinf Lebeg integirali manosida tushuniladi. Bu sinfdan olingan har bir f(x)funksiya‖f‖son mos qo′yilgan bo’lsin. +∞ ‖f‖ = (∫ 1 |𝑓 (𝑥)| 2 𝑑𝑥 < ∞) 2 , −∞ Ko’rinadiki aniqlangan ‖f‖ga f(x) funksiyaning L2 sinfdagi normasi deyiladi.Normalshartlarni qanoatlantirishini osongina tekshirish mumkin. 2.1.1-ta’rif. L2 sinfdan olingan {fn (x)} n = 1,2,3, … . funksiyalar ketma − ketligi ′ f(x)ϵL2 funksiyaga o rta kvadiratik a(normal bo′yicha)yaqinlashdi deyiladi,agar lim ‖fn− f‖ = 0 bajarilsa. n→∞ 2.1.2-ta’rif. L2 sinfdan olingan {fn (x)} funksiyalar ketma-ketligi, o’ziga yaqinlashadi deyiladi, agar lim ‖fn− f‖ = 0 𝑚,𝑛→∞ munosabat o′ rinli bo′ lsa. Lemma:1 Agar L2 sinfdan olingan {fn (x)} funksiyalar ketma − ketligi f(x)ϵL2 funksiyaga o’rtacha kvadiratik ma’noda yaqinlashuvchi bo’lsa,u holda,u o’ziga yaqinlashadi. Lemmaning isboti uchburchak tengsizlikidan kelib chiqadi ya’ni ‖𝑓𝑛 − 𝑓𝑚 ‖ = ‖𝑓𝑛 − 𝑓 + 𝑓 − 𝑓𝑠 ‖ ≤ ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖ + ‖𝑓𝑚 − 𝑓‖. Agar f(x),g(x)ϵL2 bo′ lsau holda ularning bu fazodagi skalyar ko′ paytmasi 35 +∞ (f,g)=∫−∞ 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ko’rinishda bo’ladi.Bu qanoatlantiradi . aniqlangan ifoda skalyar ko’paytmasining shartlarni a) ‖𝑓‖ 2 = (𝑓, 𝑓); b) (f,g)=( ̅̅̅̅̅ 𝑔, 𝑓 ); v) (α f,g)=α(f,g),(f,β g)=𝛽̅ (f,g),∀αβστ; g) (f+g,h)=(f,h)+(g,f);(f,g+h)=(f,g)+(f,h); 𝑚 𝑛 d)∑𝑛𝑘=1 𝛼𝑘 𝑓𝑘 , ∑𝑚 𝑖=1 𝛽𝑖 𝑦𝑖 = ∑𝑘=1 ∑𝑖=1 𝛼𝑘 𝛽𝑖 (𝑓𝑘 , 𝑔𝑘 ) Bu xossaning barchasi skalyar ko’paytma aniqlangan formula yordamida kelib chiqadi ,d)esa v)va g)dan kelib chiqadi. L2 da skalyar ko’paytma uchun bahoni qaraymiz. Bu bahoni Koshi-Bunyakeviskiy tangsizligi yordamida |(𝑓, 𝑔)| ≤ ‖𝑓‖ ∗ ‖𝑔‖, 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)𝜖L2 ko’rinihni oladi.Bu bahoga ekvivalent baho sifatida (|𝑓|, |𝑔|)≤ ‖𝑓‖ ∗ ‖𝑔‖ ni olishimiz mumkin. 2.1.3-ta’rif. L2 dan olingan {fn (x)} funksiyalar ketma-ketligi f(x)ϵL2 ga kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi deyiladi,agar lim (fn , g) = (f, g) munosabat barcha g(x)ϵL2 lar uchun n→∞ bajarilsa 2.1.1-teorema. O’rtacha kvadiratik yaqinlashishdan kuchsiz ma’noda yaqinlashish kelib chiqadi. Isbot:Teoremani isbotlash uchun Koshi-Bunyakoviskiy tengsizligidan foydalanamiz. |(𝑓𝑛 , 𝑔) − (𝑓, 𝑔)| = (𝑓𝑛 − 𝑓, 𝑔)𝜀 ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖𝑙𝑔 ∣∣→ lim ‖𝑓𝑛 − 𝑓𝑙‖ = 0 𝑛→∞ ligidan 0≤ lim |(𝑓𝑛 , 𝑔) − (𝑓, 𝑔)| = lim ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖ ∗ ‖𝑔‖ = 0 → lim (𝑓𝑛 , 𝑔) = (𝑓, 𝑔) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ Teskari tasdiq umuman olganda o’rinli emas.Quyidagi L2 dan olingan {fn (x)} funksiyalar ketma-ketligini qaraymiz. Fn (x) = { 1, 𝑥𝜖 (𝑛, 𝑛 − 1) 0, 𝑥𝜖 (𝑛, 𝑛 + 1) , 𝑛 = 1,2,3, … … 36 y 1 x -6 8 -5 -4 -3 -2 -1 Chizma:1.1.6 Fn (x) = { 0 1 2 3 4 5 6 7 1, 𝑥𝜖 (𝑛, 𝑛 − 1) funksiya tekislikdagi tasviri. 0, 𝑥𝜖 (𝑛, 𝑛 + 1) Bu funksiyalar ketma-ketligi,butun sonlar o’qida nolga tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik g(x)𝜖𝐿2 bo′ lsin skalyar ko’paytmasi hisoblaymiz 1 +∞ 𝑛−𝑎 𝑛+1 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (𝑥) 𝑑𝑥| = |∫𝑛 𝑓𝑛 (𝑥)𝑔 (𝑥)𝑑𝑥 | ≤ (∫𝑛 12 𝑑𝑥) 2 |(𝑓𝑛, 𝑔)| = |∫−∞ 𝑓𝑛, (𝑥)𝑔 𝑛+1 (∫𝑛 1 𝑛+1 |𝑔(𝑥)| 2 𝑑𝑥 ) 2 = (∫𝑛 |𝑔(𝑥)| 2 𝑑𝑥) 1 2 Demak g(x)σL2 , u holda oxirgi integiral n→ ∞ da nolga intiladiva kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi ekan .Biz qarayotgan funksiya o’rtacha kvadiratik ma’noda nolga yaqinlashmaydi,haqiqatdan ham. +∞ 1 ‖𝑓𝑛 − 0‖ = ‖𝑓𝑛 ‖ = (∫−∞ |𝑓𝑛 (𝑥)| 2 dx) 2 = 1 lim ‖𝑓𝑛 − 0‖ = 1 𝑡 > 0 𝑛→∞ L2 sinfdan olingan funksiyalar uchun Fure almashtirishi. Faraz qilaylik f(x)𝜖 L2 bo′ lsin.Bundan kelib chiqadi f(x) funksiya ∀𝑁 > 0 uchun 𝑁 𝑓(𝑥)𝜖L2 (−𝑁, 𝑁) ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑛 −𝑁 Integiral uchun Koshi-Bunyokovskiy yengsizligini qo’llaymiz. 𝑁 𝑁 𝑁 1 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 ≤ (∫ 𝑑𝑥 ∫ |𝑓(𝑥)| 2 ) 2 < ∞. −𝑁 −𝑁 −𝑁 Oxirgi tengsizlik f(x)funksiya L(-N,N)sinfga tegishli ekanligini ko’rsatadi. 37 Quydagi. 𝑓(𝑥), |𝑥 | ≤ 𝑁 0, |𝑥| > 𝑁 Funksiya kiritamiz .Bu L(-N,N)sinfga tegishli bo’ladi va demak shuning uchun Fure almashtirishi mavjud. 𝑓𝑁 (𝑥) = { 𝐹𝑁 (𝜎) = +∞ 1 √2𝜋 ∫ 𝐹𝑁 (𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 𝑁 1 √2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥. −𝑁 Oxirgi integiralni N→ ∞ dagi limiti mavjud emasligini ko′ rsatish mumkin ya′ ni. +∞ ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 −∞ integiral bosh qiymat ma’nosida uzoqlashuvchi ∀f(x)σL2 funksiyauchun o′ rtacha kvadiratik ma′ noda .Ammo biz bu qisimda lim Fn (σ) = F(σ) n→∞ limit mavjud bo′ ladi. Yuqoridagi limit aniqlanishi bo’yicha f(x) funksiyaning Fure almashtirishi bo’ladi. Takidlash lozimki L sinfdan farqli ravishda Fure operatori f(x) funksiyani 𝐿2 dan chiqarib tashlamaydi, ya’ni F(σ)ϵ𝐿2 . Lemma1. Agar f(x)va G(σ) funksiyalar Lsinfga qarashli bo’lsa , u holda (f,g)=(F,G) tenglik o’rinli bo’ladi. Isbot: Lemma shartiga ko’ra f(x)ϵL, G(σ)ϵL.Demak , G(σ)funksiyaning teskari Fure almashtirishi ya’ni g(x) funksiya butun sonlar o’qida chegaralangan .SHubhasiz ,bu xossa ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑔(𝑥) funksiya uchun ham bor.SHuning uchun f(x)̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑔(𝑥) ko’paytma L sinfga qarashli bo’ladi.Demak, f(x)̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑔(𝑥) ko’paytmaning Fure almashtirishi mavjud va uni hisoblaymiz: +∞ +∞ +∞ 1 1 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑥)𝑒 𝑖𝑢𝑥 d(x)= ∫−∞ 𝑓 (𝑥)̅̅̅̅̅̅̅̅ ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑒 𝑖𝑢𝑥 ∫−∞ 𝐺 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑥 dσdx= √2𝜋 1 √2𝜋 √2𝜋 √2𝜋 +∞ +∞ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑒 𝑖𝑢𝑥 𝑑𝑥 ∫−∞ 𝐺 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑥 dσ= +∞ 1 𝐺(𝜎) ∫ ̅̅̅̅̅̅̅ √2𝜋 −∞ 1 √2𝜋 +∞ +∞ +∞ 𝐺(𝜎)𝑒 𝑖𝜎𝑥 dσ= ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑒 𝑖𝑢𝑥 𝑑𝑥 ∫−∞ ̅̅̅̅̅̅̅ dσ∫−∞ 𝑓 (𝑥)𝑒 𝑖(𝜎+𝑢)𝑥 𝑑𝑥 = +∞ 1 ∫ 𝐹(𝜎 √2𝜋 −∞ + 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐺 (𝜎)dσ. Skalyar ko’paytmani hisoblashda biz 𝑔(𝑥) funksiyani ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑉 −1 𝐺 (𝜎) funksiyaga almashtirdik va ma’lum bo’lgan Fubini teoremasidan faydalandik .Lemma shartidagi (f,g)=(F,G) tenglikni olish uchun U=0 ni qo’yamiz: 38 1 +∞ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑥)̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝜋 −∞ √ +∞ 1 𝐺 (𝜎)𝑑𝜎 ⇒ (f,g)=(F,G) ∫ 𝐹 (𝜎)̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝜋 −∞ √ Xossa: Agar f(x)ϵL va F(σ)ϵL bo’lsa,u holda +∞ +∞ 2 |F(σ)| 2 dσ |f(x)| dx = ∫ ∫ −∞ −∞ ′ Porseval tengligi o rinli bo′ladi. Xossani isbotlash uchun G(σ)=F(σ) olish yetarli. Eslatma: Agar f(x),F(σ)ϵL bo’lsa, u holda f(x)ϵL2 bo′ladi.Haqiqatdan f(x)=𝑉 −1 F(σ)funksiya chegaralangan,shuning uchun. |f(x)| 2 = f(x) ∗ ̅̅̅̅̅ f(x)ϵL yoki f(x)ϵL bo′ lsa, ̅̅̅̅̅ f(x) chegaralangan bo′ladi. ham Lemma2:Agar f(x)Finit funksiya va butun sonlar o’qida2-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsa,u holda uning F(𝛔)Fure almashtirish L sinfga tegishli bo’ladi Isbot:Lemma shartiga ko’ra f ’’(x)→Finit funksiya,va demak u L sinfdan olingan .Uning Fure almashtirishi butun sonlar o’qida chegaralangan V f‘’(x)funksiyani hisoblaymiz, buning uchun 2 marta bo’laklab integirallaymiz. V f ’’(x)= +∞ 1 ∫ 𝑓 2𝜋 −∞ √ ′′ (x) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = 1 +∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑓 ′ (𝑥) = ∫ 2𝜋 −∞ √ 1 √2𝜋 +∞ 𝑖𝜎𝑥 [𝑒 𝑖𝜏𝑥 𝑓′(𝑥)|+∞ 𝑑𝑥]= −∞ − 𝑖𝜎 ∫−∞ 𝑓′(𝑥)𝑒 − 𝑖𝜎 √2𝑘 +∞ ∫ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑓(𝑥) = − −∞ =− 𝜎2 𝑖 √2𝑘 +∞ [𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑓(𝑥)|+∞ −∞ − 𝑖𝜎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 ] −∞ +∞ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 = −𝜎 2 𝐹(𝜎) √2𝜋 −∞ f(x)va f’(x) Finit funksiya ekanligidan ,ikkita almashtirishda ham nolga aylandi.Quydagi bahoni olamiz. 𝑐 |𝜎 2 𝐹 (𝜎)| = |𝑉𝑓 ′′ (𝑥)| ≤ 𝑐 𝑦𝑜𝑘𝑖 |𝛿 𝐹(𝜎)| ≤ . |𝜎| 2 Oxirgi,tengsizlik F(σ)funksiya |σ| −2 tartib bo′ yichacheksiz kamayuvchi F(σ) uzluksiz u holda F(σ)ϵL Lemma isbotlandi. Eslatma: Ko’rish mumkinki ,agar f(x)funksiya uchun Lemma sharti o’rinli bo’lsa ,u holda u uzliksiz hosilaga ega bo’ladi. Shuning uchun ,ixtiyoriy x qiymatda Fure almashtirishiga teskari almashtirish o’rinli bo’lib shuning bilan birga ma’noda ,yoki F(𝜎)funksiya butun sonlar o’qida uzluksiz va L sinfga qarashli bo’ladi . 2.2. Plansherel nazariyasi. 1.Unitar operator 39 Masalan ,VFure qatori Lsinfda aniqlangan shuning bilan birgalikda bu sinfdagi funksiyani Butun sonlar o’qida aniqlangan |𝛿 | → ∞ da nolga aylanadigan uzliksiz funksiyalar sinfiga o’tkazish mumkin. 2.2.1-ta’rif. A operator chiziqli deyiladi ,agar ∀α, βgD va ∀ f, gϵL lar uchun. A[𝛼𝑓 (𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥) = 𝛼𝐴𝑓 (𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)] tenglik o’rinli bo’lsa. 1.1.6-ta’rifdagi funksiyalar sinfi A operatorning aniqlanish sohasi hisoblanadi chiziqli bo’lganda ,ya’ni f(x)va g(x) funksiyalar ∀α,β sonlarda α f(x) β g(x) chiziqli kombinatsiyaga ega bo’lishi talab etiladi. 2.2.2-ta’rif. A: L2 → L2 chiziqli operator unitar deyiladi,agar u normani saqlasaya’ni ‖𝐴𝑓 ‖ = ‖𝑓‖. Unitar operatorni aniqlanishini misol bilan tushuramiz.𝑇𝜕 operator L2 da aniqlangan bo’lib quydagi ko’rinishda bo’lsin. 𝑇0 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑖𝜕𝑥 𝑓 (𝑥) Bu yerda 𝜕 haqiqiy son.Bu operator chiziqli. 𝑇0 [𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)] = 𝑒 𝑖𝜕𝑥 [𝛼𝑓 (𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)]= 𝑒 𝑖𝜕𝑥 𝑓 (𝑥) + 𝛽𝑒 𝑖𝜕𝑥 𝑔(𝑥) = 𝛼𝑇0 𝑓 (𝑥) + 𝛽𝑇0 𝑔(𝑥). Ma’lumki 𝑇0 operator L2 dan olingan barcha f(x)funksiyalar uchun aniqlangan ,shuning bilan birgalikda ∀F(n)ϵL2 funksiya uchun∃f(x)ϵL2 ko’rsatilishi mumkinki F(x)= 𝑇0 𝑓(𝑥) o’rinli bo’ladi.Demak𝑇0 f(x),ϵL2 funksiyalar to’plami L2 da ustma-ust tushadi. Endi. 𝑇0 𝑓(𝑥),vaf(x) funksiyaning normalari bir xil ekanligi ko’rsatamiz.Haqiqatdan ham |𝑇0 𝑓 (𝑥)| = |𝑒 𝑖𝜕𝑥 | = |𝑓 (𝑥)|, 𝑇0 𝑓(𝑥)vaf(x)funksiyalarning modullari mosligidan ular normalarining mosligi kelib chiqadi. Lemma.1 Agar A operator unitar bo’lsa ,u holda 𝐴−1 teskari operator mavjud va unitardir. Isbot. F(x)→g(x)=Af(x)akslantirish o’zaro bir qiymatdir .Haqiqatdan ham ,agar A𝑓1 (x)=A𝑓2 bo’lsa u holda A operatorning chiziqliylik va normaning saqlanishidir. 0=‖A𝑓1 (x) − A𝑓2 ‖ = ‖𝐴(𝑓1 − 𝑓2 )‖ = ‖𝑓1 − 𝑓2 ‖ tenglikka ega bo’lamiz. Normaning shartidan 𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥)bo’ladi ya’ni 𝐴−1 operator mavjud.Demak Af(x)=g(x) operator teskarilanuvchi ekan, va biz qarayotgan A operator L2 sinf L2 sinfga o’tkazadi , bu holda uning 𝐴−1 teskarisi L2 sinf L2 sinfga o’tkazadi 𝐴−1 operatorning norma saqlashini oson ko’rsatiladi. ‖𝐴−1 𝑔‖ = ‖𝑓‖ = ‖𝐴𝑓 ‖ = ‖𝑔‖ → ‖𝐴−1 𝑔‖ = ‖𝑔‖ Lemma isbotlandi. 40 𝐾eyingi keltirilgan teoremamizPlonshe tomonidan keltirilgan bo’lib , L2 sinfda Fure almashtirishini tavsiflayiz.Teoremanioperator ko’rinishda beramiz. 2.2.1-teorema. L2 da aniqlangan,quydagi Vf(x)=F(σ)= 1 +∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 −1 𝑑 ∫ 2𝜋 𝑑𝜎 −∞ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 (∗) 𝑖𝑥 √ Munosabat bilan berilgan V operator unitardir. Bu operatorga teskari operator. 𝑉 −1 𝐹 (𝜎) = 1 𝑑 +∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 −1 ∫ 2𝜋 𝑑𝜏 −∞ −𝑖𝜎 √ 𝐹 (𝜎)𝑑𝜎 (∗,∗) formula bilan tasvirlanadi.V va 𝑉 −1 operatorlar mos ravishda L2 dagi Fure almashtirishioperator va Fure almashtirishuga teskari almashtirish operatorlari ya’ni ularni V f(x)=F(σ)= lim 1 𝑛→∞ √2𝑘 1 𝑉 −1 𝐹(𝜎) = 𝑓(𝑥) lim 𝑛→∞ 𝑁 ∫−𝑁 𝐹(𝜎)𝑒 𝑖𝜏𝑥 𝑑𝑥 (2.2.1) 𝑁 ∫ 𝐹(𝜎)𝑒 𝑖𝜏𝑥 𝑑𝑥 √2𝑘 −𝑁 (2.2.2) Munosabat bilan aniqlash mumkin. Isbot:Faraz qilaylik f(x)GL2 bo’lsin. O’rtacha kvadiratik ma’noda f(x)funksiyaga yaqinlashuvchi ikkinchi tartibli uzluksiz hosilali Finit funksiyalar ketma-ketligini olamiz. Bunaqangi funksiyalar ketma ketligi L2 da to’la. Faraz qilaylik Fn (x)funksiyal ketma-ketligi (-K n K n )dan tashqarida integiral nolga aylansi α-1dagi 2-lemmaga ko’ra fn (x)va F(τ)funksiyalar +∞ +∞ ∫−∞ |fn (x)| 2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |Fn (𝜎)| 2 𝑑𝑣 (2.2.3) Munosabat bilan berilgan.Fure almashtirishi chiziqli bo’lganligi uchun, V[fn (𝑥) − fm (𝑥)] |Fn (𝜎) − Fm (𝜎)| 2 𝑑𝜎 (2.2.4) munosabat olamiz. {fn (𝑥)}funksiyalar ketma-ketligi f(x)funksiyaga o’rtacha kvadiratik ma’noda yaqinlashuvchi shunday qilib u o’ziga yaqinlashuvchi,umuman aytganda (2.2.4) tenglikning chap qismi n,m→∞da nolga intiladi .Bundan esa tenglik o’ng tomoni ham nolga intilishi kelib chiqadi ya’ni {Fn (𝜎)}ketma-ketlik yaqinlashuvchi ∃Fn (𝜎)𝜖L2 funksiya mavjudki {Fn (𝜎)} ketma-ketlik o’rta ma’noda F(σ)yaqinlashuvchi shunday qilib biz ushbu lim Fn (𝜎) = 𝐹 (𝜎) 𝑛→∞ Limitning mavjudligini ko’rsatdik Endi (x)formulani isbotlaymiz ,bunda faqat o’rta ma’noda limit mavjud bo’lgan 𝐹 (𝜎)uchun qaraymiz Fn (𝜎)funksiya 0 dan σ gacha integirallaymiz: 𝜎 𝜎 ∫0 Fn (𝑢)𝑑𝑢 = ∫0 { = 1 𝐾𝑛 ∫ f (𝑥) 2𝜋 −𝐾𝑛 n √ 𝑒 𝑖𝑥𝑢 𝑖𝑥 𝜎 𝐾 1 𝑛 fn (𝑥)𝑒 𝑖𝑥𝑛 𝑑𝑥{𝑑𝑢 = ∫ −𝐾 2𝜋 𝑛 √ ∫0 𝑑𝑥 = 1 𝐾𝑛 ∫ f (𝑥) 2𝜋 −𝐾𝑛 n 𝑒 𝑖𝑥𝑢 −1 𝑖𝑥 √ 𝐾 1 𝜎 𝑛 fn (𝑥)𝑑𝑥 ∫0 𝑒 𝑖𝑥𝑢 𝑑𝑢 ∫ −𝐾 2𝜋 𝑛 √ 𝑑𝑥 = 1 +∞ ∫ f (𝑥) 2𝜋 −∞ n √ 𝑒 𝑖𝑥𝑢 −1 𝑖𝑥 𝑑𝑥 . (2.2.5) Bu tenglik ikkala tomonini n→∞da limint mavjudligini ko’rsatamiz.Chap tomoniga qaraylik . Fn (𝑢)ϵL2 bundan esa . Fn (𝑢)ϵL2 (0, 𝜎)kelib chiqadi. Bundan tashqari 41 𝜎 |∫0 12 𝑑𝑢| = |𝜎| < ∞ uchun 1ϵL2 (0,σ) {𝐹𝑛 (𝑥)}funksiyalar ketma-ketligi L2 da F(u)funksiyaga o’rta ma’noda yaqinlashuvchi shunday ekan L2 (0,σ)da ham o’rta ma’noda yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi,ya’ni 𝜎 𝜎 lim ∫ 𝐹𝑛 (𝑢)𝑑𝑢 = ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢 𝑛→∞ 0 0 Munosabat o’rinli . O’ng tomondagi limitning mavjudligi shunga o’xshab isbotlanadi. 𝑓𝑛 (x)ning f(x)ga o’rta ma’noda yaqinlashishdan kuchsiz ma’noda yaqinlashish kelib chiqadi.Quydagi | 𝑒 𝑖𝜏𝑥 − 1 | 𝑖𝑥 2 ≤ (|𝑒 𝑖𝜏𝑥 | + 1) 2 4 = 2 2 |𝑥| 𝑥 Bahodan va x ning barcha qiymatlarida 𝑒 𝑖𝜏𝑥 − 1 𝑖𝑥 funksiyaning uzluksizligidan, uning x argument bo’yicha L2 sinfga qarashli bo’ladishunday qilib . +∞ lim ∫ 𝑛→∞ −∞ +∞ 𝑒 𝑖𝜏𝑥 − 1 𝑒 𝑖𝜏𝑥 − 1 𝑓𝑛 (𝑛) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑖𝑥 𝑖𝑥 −∞ Tenglikka ega bo’lamiz (2.2.5)tenglikda ikkala tomonini n→∞ da limitga o’tsak 𝜏 ∫0 𝐹(𝑢) 𝑑𝑢 = 1 +∞ ∫ 𝑓 (𝑥 ) 2𝜋 −∞ √ 𝑒 𝑖𝜏𝑥 −1 𝑖𝑥 𝑑𝑥 (2.2.6) Munosabatni olamiz.F(u)ϵL2 ligidan F(u)ϵL2 (-N,N)bo’ladibundan esa F(u)ϵL (-N,N) Shunday qilib (2.2.6) formuladagi chap tomondagi integiralni yuqori chegarasi bo’yicha differensillash mumkin d σ ∫ F(u)du = Fσ dσ 0 F(σ)= 1 d √2𝜋 dσ +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 −1 𝑖𝑥 𝑑𝑥 bu yerda o’ng tomondagi hosila barcha nuqtalarda mavjud va (*) formula o’rinli ekan (* *)formula ham (*)ga o’xshash isbotlanadi. 𝑓𝑛 (𝑥) = 1 +∞ ∫ √2𝜋 −∞ Tenglikni [0,x]kesma bo’yicha integirallaymiz: 42 𝐹𝑛 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑥 𝑑𝜎 𝑥 ∫0 𝑓𝑛 (𝑢) 𝑑𝑠= 1 𝑥 +∞ ∫ 𝑑𝑢 ∫−∞ 𝐹𝑛 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑢 𝑑𝜎 = 2𝜋 0 √ +∞ 𝐹𝑛 (𝜎) ∫ −∞ √2𝜋 1 = 𝑒 𝑖𝜎𝑥 −1 𝑖𝜎 1 +∞ 𝑥 ∫ 𝐹 (𝜎)𝑑𝜎 ∫0 𝑒 −𝑖𝜎𝑢 𝑑𝑢 = 2𝜋 −∞ 𝑛 √ 𝑑𝜎 (2.2.5’) Integiral ostidagi 𝐹𝑛 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑢 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛|𝐹𝑛 (𝜎)𝑒 −𝑖𝜎𝑢 | ≤ |𝐹𝑛 (𝜎)| baho o’rinli va F(𝜎) funksiya L sinifiga qarashli Davom etamiz 𝑒 𝑖𝜏𝑥 −1 𝑖𝜎 funksiya σ argument bo’yicha L2 sinfga qarashli bo’ladi. Qolgan mulohazalar (x)ni alohida keltirilgan o’xshash ko’rsatiladi va (* *)tenglikning to’griligi ko’rsatildi.V va 𝑉 −1 unitar operatorlar normaning uzluksizligidan foydalanib (2.2.3) tenglikni limitga o’tkazamiz limitga o’tgandan so’ng Parseval tengligi deb ataluvchi tenglikka ega bo’lamiz. ‖𝑓‖ = ‖𝐹 ‖ (2.2.1)va (2.2.2)munosabatlarni qurib, F(σ)funksiya f(x)fuksiyaning Fure almashtirishini va f(x) funksiya F(σ) funksiyaning teskar Fure almashtirishi ekanligini ko’rsatib o’tamiz(2.2.1)formulani isbotlaymiz ((2.2.2)formula shunga o’xshash isbotlanadi). Faraz qilaylik f(x)𝜖 L2 bo’lsin N> 𝑜 son olib 𝑓 (𝑥), |𝑥| < 𝑁 𝑓𝑁 (x)={ 𝑜, |𝑥| ≥ 𝑁 Funksiyani qaraymiz uLsinfga qarashli bo’ladi.(*)formula bo’yicha uni Fure almashtirishini aniqlaymiz. d +∞ 𝑒 𝑖𝜎𝑥 − 1 1 d 𝑁 𝑒 𝑖𝜎𝑥 − 1 ∫ 𝑓𝑛 (𝑥) = ∫ 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝐹𝑁 (𝜏) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑖𝑥 𝑖𝑥 √2𝜋 dσ −∞ √2𝜋 dσ −𝑁 1 Integiral ostidagi funksiyani τ bo′ yichadiferensiallaymiz 𝐹𝑁 (𝜎) 1 𝑁 ∫ 𝑓𝑛 (𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 √2𝜋 −𝑁 σ parametiri bo’yicha integiral tekis yaqinlashuvchi .Ikki tomondan ,agar F(σ)funksiya (x)formula yordamida f(x)bo’yicha aniqlangan bo’lsa ,u holda Parseval tengligidan. F=‖𝐹 − 𝐹𝑁 ‖ 2 = ‖𝑓 − 𝑓𝑁 ‖ 2 = ∫|𝑥|→𝑁|𝑓(𝑥)| 2 𝑑𝑥 Munosabatni olamiz.N→∞da o’ng tomondagi integiral nolga intiladi,demak 1 𝑁 ∫ 𝑓𝑛 (𝑥) 𝑒 𝑖𝜎𝑥 𝑑𝑥 2𝜋 √ −𝑁 Funksiya o’rtacha kvadiratik ma’noda F(σ)ga yaqinlashadi .Bundan esa (2.2.1)formula kelib chiqadi Plonsherel teoremasi isbotlandi. 𝐹𝑁 (𝜎) Umumlashgan Parsevol tengligi. Faraz qilaylik f(x),g(x)ϵL2 bo′ lsin, u holda F(σ), G(σ)ϵL2 bo′ladif(x)+ 𝝺 g(x) vaF(σ)+ c G(σ)funksiya uchun Parseval tengligini (***)tatadbiq qilamiz, bu yerda λ ixtiyoriy kompleks son 43 ‖𝑓 + λg‖2 = ‖𝐹 + λG‖2 . Normaning kvadratini skalyar ko’paytma orqali yozamiz: (f+ λg, f + λg)=( 𝐹 + λG, 𝐹 + λG). Skalyar ko’paytmani ochib yozamiz (f,f+λg)+( λg,f+λg)=(f,f)+(f, λg)+( λg, f)+( λg, λg)=‖𝑓‖ + λ(f, g) + λ(g, f) + |λ| 2 ‖𝑔‖ Tenglikni ikkinchi tomoniniham skalyarko’paytmani xossalaridan foydalanibyozib chiqamiz. ( 𝐹 + λG, 𝐹 + λG)=‖𝐹 ‖ 2 +λ̅ (F,G)+ λ(F, G) + |λ| 2 ‖𝐺 ‖ 2 Perseval tengligidan foydalanib λ(g, f) + λ̅(f,g)= λ(G,F)+ λ̅(𝐹, 𝐺 ) munosabatga ega bo’lamiz. Bu munosabatda oldin λ = 1va λ = 𝑖 deb olib quydagi tenglikka ega bo’lamiz (g,f) +(f,g)=(G,F)+(F,G) (2.2.7) i(g,f)-i(f,g)=i(G,F)-i(F,G) (2.2.8) (2.2.8) tenglikni iga qisqartirib (2.2.7) dan (2.2.8)ni ayiramiz va (f,g)=(F,G) ko’rinishdagi umumlashgan Parseval tengligini olamiz va uni +∞ +∞ ̅̅̅̅̅̅ (𝑥) dx=∫−∞ 𝐹(𝜎) ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐺(𝜎) dσ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑔 ko’rinishda yozamiz 2.3. Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishlari. Biz bu paragrofda to’g’ridan to’g’ri Fure almashtirishini qo’llashga murakkab bo’lgan funksiyaning Fure almashtirishini keltirib o’tamiz. Avvalo Bessel funksiyalari haqida qisqacha ma’lumot keltirib o’taylik. 1. Besselning I- va II-tur funksiyalari:  2  1 y  y  1  2  y  0 x  x  (2.3.1) tenglamaga Bessel tenglamasi deyiladi, uning yechimiga esa Bessel funksiyasi (yoki silindrik funksiya) deyiladi. (2.3.1) tenglamada   sonli parametr bo’lib, tenglamaning indeksi deb ataladi. Bessel tenglamasining yechimi  2 k  x     2  x  k J ( x)   (1)   k !  ( k    1) 2 k 0 2    x     2   1   ...  (  1) 2!(  2)      44 (2.3.2)   2 k  x     2  x  k J  ( x)   (1)   k !  ( k    1) 2 k 0 2    x     1 2      ...  (1  ) 2!(2  )      (2.3.3) ko'rinishda bo’lib, bular Besselning I-tur funksiyalari deyiladi. Agar   butun son bo’lmasa, u holda J ( x) va J  ( x) funksiyalar chiziqli bog’lanmagan bo’ladi va (2.3.1) tenglamaning yechimini y( x)  c1 J ( x)  c2 J  ( x),   Z ko'rinishda tasvirlash mumkin, bu yerda c1 , c2  lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Besselning II-tur funksiyasi Y ( x)  J ( x)cos( )  J  ( x) , sin( ) Yn ( x)  lim Y ( x),  n  Z nZ (2.3.4) (2.3.5) formula ko’rinishda aniqlanadi. J ( x) va Y ( x) funksiyalar chiziqli bog’lanmagan, shuning uchun Bessel tenglamasining umumiy yechimini y( x)  c1 J ( x)  c2Y ( x). Besselning boshqa funksiyalari: III-tur Bessel funksiyasi yoki Xankel funksiyasi deb, quyidagi Besselning I- va II-tur funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasiga aytiladi.  (1) J ( x)e  i  J  ( x)  H ( x)  J ( x)  iY ( x)  i sin( )   i  H (2) ( x)  J ( x)  iY ( x)  i J ( x)e  J  ( x)     sin( ) (2.3.6) bu yerda   Z va n  Z da H n(1) ( x)  lim H(1) ( x), H n(2) ( x)  lim H(2) ( x).  n  n (2.3.7) Quyidagi tenglamaga x 2 y  xy   x 2  2  y  0 45 (2.3.8) tenglamaga Besselning modifitsirlangan (shakli o’zgartirilgan) tenglamasi deyiladi. Uning yechimiga  2 k  1  x I ( x)     k 0 k !(  k  1)  2  (2.3.9) esa Besselning I-tur modifitsirlanagan funksiyasi deyiladi, va K ( x)   I  ( x)  I ( x) ; K n ( x)  lim K ( x),   Z , n  Z  n 2 sin( ) (2.3.10) funksiyalarga Besselning II-tur modifitsirlangan funksiyasi deyiladi. Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi: Bessel funksiyasida Furening kosinus va sinus almashtirishlarini olish uchun bizga gipergeometrik funksiyadan foydalanamiz. Gipergeometrik qator deb darajali qarorga aytiladi va F (a; b; c; z ) kabi belgilanadi. Bu funksiya  (a) n (b) n n z ( c )  n ! n 0 n F (a; b; c; z )   (2.3.11) ko'rinishda aniqlanadi, bu yerda z  kompleks o’zgaruvchi, a, b, c  kompleks parametrlar bo’lib (c  0, 1, 2,...) (a)0  1    ( a  n)  ( a )   a(a  1)(a  2)  ...  (a  n  1), n  1, 2,3,... n   ( a )  (2.3.12) ko'rinishda aniqlanadi va (b)n ,(c)n lar ham yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi. | z | 1 doirada gipergeometrik qatorning yig’indisi z kompleks o’zgaruvchili regulyar funksiya hisoblanadi. Ko’plab elementar va maxsus funksiyalar gipergeometrik funksiyalar orqali ifodalanadi. Biz keying hisoblashlarda quyidagi munosabatlardan foydalanamiz: 46  1  1  1 2  cos( arcsin  ) F ; ; ;   2 2  2  1 2 (2.3.13)  3    sin( arcsin  ) F 1  ;1  ; ; 2   . 2 2 2 2    1   (2.3.14) Endi ishning asosiy qismiga o’tamiz. Besselning Itur I ( x), 0    1 funksiyasi uchun Furening kosinus almashtirishi    Fc ( )      2 cos( arcsin  )  , 2  1 2   sin 0  1  (   2  1) 2  1 2 ,   1. ko'rinishda bo’ladi. Δ Isbot: Qaralayotgan holda Furening kosinus almashtirishi xosmas integral bo’lib,   1 da uzulishga ega. Shuning uchun 0    1 va   1 hollarini alohida qaraymiz. Qaralayotgan ikki holda ham kontur bo’yicha integralni qaraymiz. Faraz qilaylik 0    1 bo’lsin. Quyidagi integralni qaraymiz  K ( z)ch( z)dz R bu yerda K ( x)  Besselning II-tur modifitsirlangan funksiyasi. Integralni  R kontur bo’yicha quyidagicha integrallaymiz(chizmadagi yo’nalish bo’yicha). Integral ostidagi K ( z ) va ch( z ) funksiyalar butun kompleks tekisligida regulyar, shuning uchun yopiq kontur bo’yicha olingan integral Koshi teoremasiga ko’ra nolga teng.  R konturni uch qisimga ajratamiz: 0 R  K ( z)ch( z)dz  i  K (iy)cos( y)dy   K ( x)ch( x)dx  0 1 R 0 bu yerda biz  2 chiziq bo’yicha integrallashda z  iy, (0  y  R) ko’rinishda,  3 chiziq bo’yicha integrallashda 47 (*) z  x, (0  x  R) ko’rinishda oldik, va e z  e z ei y  ei y ch( z )  ; ch(i y)   cos( y) 2 2 munosbatdan foydalandik. (*) integrallarni R   dagi limitini hisoblaymiz.  1) K ( z )ch( z )dz :  1 1 yoy bo’yicha integralni hisoblashda z  R ei ,      0. 2 Shuning uchun 0  K ( z )ch( z)dz   K ( R e  1 i 0 )ch( z )  iR e d  R  K ( R ei ) ch( R ei ) d  i  2  2 Integral ostidagi ifodalarni har birini baholaymiz:  i 1 2 K ( R e )  M 1  R  e  R cos va ch( R ei )  M 2  e R cos . yuqoridagi baholarni [6] da uchratish mumkin. Shuning uchun qaralayotgan integral uchun 1 2 0  K ( z)  ch( z)dz  M  R   e   1  (1 ) R cos  d  2     2 1 2 2    M  R   e (1 ) R sin d , 0 Bizga ma’lum bo’lgan 48 M  M1  M 2 . 2   sin , 0    2 tengsizlik va 0    1 shartdan e  (1 ) R sin e 2  (1 ) R  ga ega bo’lamiz. Yuqoridagilardan foydalanib (*) tenglikning chap tomonidagi birinchi integralni R   dagi limitini hisoblaymiz:  1 2 2  K ( z)ch( z)dz  M  R  e 2  (1 ) R  d  M  R 0 1  M R 1 2 1  2  (1   ) R e 1 2 2  (1 ) R e  d  0 2  (1 ) R  |0  M  0. 2(1   ) R R 1 2 Shunday qilib R   da (*) tenglikdan 0   0 i  K (iy )cos( y )dy   K ( x)ch( x)dx  0 ga ega bo’lamiz. Agar i i2 (1) K (iy )  e H ( y ) 2 munosabatni e’tiborga olsak, bu holda oxirgi tenglikni quyidagi ko’rinishda yoza olamiz:  2 e i 0 2  H  (1)  ( y )cos( y )dy   K ( x)ch( x)dx  0 0 Tenglikning chap qismidagi birinchi integralda y ni x ga va integral chegarasini o’zgartiramiz 49   2 e i  2  H 0   H (1)  (1) ( x) cos( x)dx    K ( x)ch( x)dx 0 ( x) cos( x)dx  0 2  e  i  2  K ( x)ch( x)dx 0 yoki   2    H ( x )cos(  x ) dx  cos  i sin    K ( x)ch( x)dx 0  2 2  0 (1) (2.3.15) (1) ko'rinishda yozamiz. H ( x ) ni aniqlanishiga ko’ra H(1) ( x)  I ( x)  iY ( x). Oxirgi tenglining o’ng tomonini (2.3.15) ga qo’yamiz va har ikkala tomonini 2 ga  ko’paytiramiz. Natijada Fc ( )  2   2 2  I ( x) cos( x)dx   0  cos  2   K ( x)ch( x)dx. 0 O'ng tomondagi integralni hisoblaymiz: ( x)2 n ch( x)   n 0 (2n)!  ni e’tiborga olsak, u holda   ( x)2 n dx 0 K ( x)ch( x)dx  0 K ( x) (2 n )! n 0  yoki   ( )2 n 2 n 0 K ( x)ch( x)dx    x K ( x)dx n 0 (2n)! 0  yoki o’ng tomondagi integralning qiymatini hisobga olib  2 n 1  1    1  2   n  n  2n . 0 K ( x)ch( x)dx     2  (2n)! n 0  2  Gamma funksiyaning xossasidan 50 (2.3.16)  1    1    1    1    1    1     n    ,   n          2   2 n  2   2   2 n  2   1    2   1     2   .    cos 2 Yana bir eslatmani keltirib o'tamiz (2n)! 1  2  ...  (2n  1)  2n 11  1  1   n !   1  ...    n  1  n !  , 2n 2 2  2  2  2  2...  2  2 22  2   2 n ni e’tiborga olsak,moxirgi integral quyidagi ko'rinishni oladi:  1     1         2 n  2 n 2 n   0 K ( x)ch( x)dx    1   n 0 2cos   n! 2  2 n      cos( arcsin  )  1   1  1 2  F ; ; ;   [(2.3.13)]  . 2   2  2 2  1 2cos 2cos 2 2 Oxirgi ifodani (2.3.16) ga qo’ysak Bessel funksiyasi uchun Fc ( )  2 cos( arcsin  )  1 2 , 0  1 ko'rinishdagi Furening kosinus almashtirishini olamiz.▲ Faraz qilaylik   1 bo’lsin. Quyidagi  e  z I ( z )dz, R integralni qaraymiz, bu yerda  R kontur bo’yicha integralni 51 ko'rinishda olamiz. I  Besselning I-tur modifitsirlangan funksiyasi. Qaralayotgan integralni ko’rsatilgan kontur bo’yicha yuqoridagi hisoblashlarni amalga oshirib Fc ( )   2 sin        1 2  2 1 2  ,  1  ifodani olamiz. Quyidagi  cos x  1 x 2 (1) dx 0 ko'rinishdagi integralning ikki xil usuldagi qiymatini keltirib chiqaramiz:  1) Fure almashtirishi yordamida  0 cos  x d integralni ko’rib chiqamiz. 1  2 Yechim: f ( x)  e|x| , x  (, ) da funksiyaning Fure almashtirishini qaraylik. F ( )  1 2  e | x|  i x e dx   0   1  (1i ) x dx   e (1i ) x dx   e 2   0   1  1 (1i ) x 1 (1i ) x  1  1 1  2 1  e  e        2 1  i 2  i  1 2  1  i 1  i   1   0 Demak, f ( x)  e|x| funksiyaning Fure almashtirishi 2 1 ko’rinishda ekan, ya’ni  1  2  2 1  , x  R,   0.  1  2 F e|x|  Endi yuqoridagi natijaga ya’ni Fure almashtirishiga Teskari almashtirishni amalga oshiramiz. e | x|  1 2    2 1 1  ei x d  2  1    yoki 52  ei x  1   2 d   ei x | x|  1   2 d   e ko'rinishda bo’ladi. Endi oxirgi integralni Eyler formulasidan foydalanib ikkitaga ajratamiz,      ei x cos  x  i sin  x cos  x sin  x cos  x | x|  1   2 d   1   2 d   1   2 d i  1   2 d  1   2 d   e bu yerda biz simmetrik oraliqda toq funksiyadan olingan integral nolga teng shartdan foydalandik, ya’ni  sin  x  1  2 d  0  Demak, (1) ko’rinishdagi integral   0  cos  x 1 cos  x 1 d   d     e | x| 2 2 1  2  1   2 Oxirgi integralda x ning o’rniga bir qo’yib,   x ga almashtirsak (1) integral kelib chiqadi, ya’ni  cos x  1 x 0 2 dx   2  e 1 (2) 2) Qoldiqlar nazariyasidan foydalanib (1) integralni (2) ko’rinishda ekanligini keltirib chiqaramiz. Buning uchun juft funksiyalar uchun va kompleks analizdan ma’lum bo’lgan, quyidagi Fc ( )  2    f ( x) cos  xdx  2 i  resf ( z )ei z 0 formuladan foydalanamiz. Keling avval shu formulani keltirib chiqaraylik. Isbot: Juft funksiyaning shartiga ko’ra f ( x)  f ( x). (2.1) formulani isbotlash uchun bizga kompleks analizdan ma’lum bo’lgan 53 (2.1)    f ( x)ei x dx  2 i  resf ( z )ei z formuladan foydalanamiz.   f ( x )e i x 0 dx    f ( x )e   dx   f ( x)e dx  i x   f (  x )e 0   i x   i x  dx   f ( x)ei x dx  0 0  f ( x)  e i x  ei x  dx  2  f ( x) cos  xdx. 0 0 Bundan esa Fc ( )  2    f ( x) cos  xdx  0 2 1   2 i  resf ( z )ei z  2 i  resf ( z )ei z  2 (2.1) formula kelib chiqadi. Endi (1) formulani keltirib chiqaramiz.  cos x  1 x 2 dx 0 f ( z)  bu yerda 1 , 1 z2 z1,2  i.  2 cos x res f ( z )eiz  Im z1  0, z1  i  2 i res f ( z )eiz  0 1  x2 dx  2 i z  zk z  z1 k 1 eiz e1  1  2 i lim f ( z)e  2 i lim  2 i   e z i z i z  i 2i 2 iz yoki  2 cos x eiz e1  1 iz dx  2 i lim f ( z )e  2 i lim  2 i   e z i z i z  i  0 1  x2 2i 2   cos x  1  x dx  2  e 2 0 Yuqoridagiga o’xshash 54 1 .  x sin x  1 dx  0 1  x2 2  e ekanligi oson ko’rsatiladi. Xulosa II bob 𝐿2 sinfda Fure almashtirishi.Plansherel nazaryasi ,Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi deb nomlanadi.1-paragrifda 𝐿2 sinfda Fure almashtirishi bo’yicha ta’rif teoremalar keltirilgan 2-paragrifda Plansherel nazaryasi bir qancha teorema ,Lemmalar va va ularning isbotlari keltirilgan 3-paragrifda Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi bo’lib bunda Besselning I-II – tur funksiyalari haqida ma’lumotlar va Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi haqida ma’lumotlar keltirilgan. Xotima Mazkur bitiruv malakaviy ishiningmavzusi:Maxsus funksiyalar uchun Fure almashtirishlari deb nomlanadi.Bu bituruv malakaviy ishi 2 ta bob paragrif 2 ta xulosa xotima va foydalanilgan adabiyotlardan iborat .I-bob 3 ta paragrifdan iborat bo’lib L(−𝜋, 𝜋) sinfda Fure alamashtirishi . Fure alamashtirishining xossalari deb nomlanadi.1-paragrifda L(−𝜋, 𝜋) sinfda Fure alamashtirishi yoritilgan bo’lib ,unda L(−𝜋𝜇, 𝜋𝜇)funksiyalar sinfi uchun Fure qatori va E sinfdan olingan funksiyaning Fure almashtirishi haqida ma’lumot berilgan .2-paragrifda Fure almashtirishning xossalari .Furening kosinus va sinus almashtirishlari haqida umumiy tushunchalar berilgan .3paragrifda teskari Fure almashtirishiga doir misollar keltirilgan. 55 II-bob ham 3 ta paragrifdan iborat II- bob 𝐿2 sinfda Fure almashtirishi.Plansherel nazaryasi ,Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi deb nomlanadi.1-paragrifda 𝐿2 sinfda Fure almashtirishi 2-3- paragriflarda Plansherel nazaryasi va Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishlari haqida ma’lumot berilgan .Shuningdek ushbu bitiruv malakaviy ishi xotima va foydalaanilgan adabiyotlardan iborat bo’lib, . Umuman aytganda  cos x 0 1  x 2 dx,  x sin x  1 x 2 dx 0 ko'rinishdagi integrallar va Parseval tengligidab foydalanib odatdagi usul bilan hisoblanishi murakkab bo’lgan xosmas integrallar hisoblangan. 56 Foydalanilgan adabiyotlar 1.I.A.Karimov “Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch”Toshkent. 2008 y .30-38 betlar. 2.I.A.Karimov “Barkamol avlod orzusi”Toshkent 1999 y 46-58 betlar 3. I.A.Karimov ”Ona yuryumiz baxtu iqboli va buyuk kelajak yo’lida xizmat qilish eng oliy saodatdir.2015 y 235-238 betlar 4.M.Xoliqov,N,Teshaboeva “Furye qatorlari va variatsion hisob”Toshkent “O’qituvchi”,1997 y ,b-345 5.N.S.Piskunov ,”Differentsial va integral hisob” ,2-qism Toshkent ,”O’qituvchi”1974-b-606 6.M.S.Solohitdinov “Matematik fizika tenglamalari “,Toshkent “O’qituvchi”,2003,b440. 7.Saloitdinov M. Matematik fizika tenglamalari. T.”O’zbekiston” 2002, 444-b 8.Azlarov T.Mansurov.H. Matematik analiz I-II qism,Toshkent “O’zbekiston” 1995 Maqsudov Sh. 9.Internent ma’lumotlarini olish mumkin bo’lgan saytlar: www.exponenta .ru www.lochelp.ru www.math.msu.su www.colibri.ru 57

Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

Products

Support

Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib